제1장

제목:

CHAPTER 11

푸리에 광학

광학 제4판OPTICS, 4th

11-2

11.1 서론

11.2 푸리에 변환

11.3 광학적 응용

목차

11-3

11.1 서론

푸리에 해석(Fourier analysis) - 공간주파수(spatial frequency)

프라운호퍼 회절(Fraunhofer diffraction)

11-4

11.2 푸리에 변환

11.2.1 1차원 변환공간변수를 가진 1차원 함수 f(x)

[7.56]

푸리에 코사인 변환 및 사인 변환(Fourier cosine and sine transforms)

[7.57]

푸리에 적분의 복소수 형태

(11.5)

k = 각공간주파수(angular spatial frequency)

(11.4)

11-5

푸리에 변환

(11.6)

(11.7a)

(11.7b) 진폭 스펙트럼(amplitude spectrum)

위상 스펙트럼(phase spectrum)

역 푸리에 변환(inverse Fourier transform)

(11.8)

흔히 f(x)와 F(k)를 푸리에 변환쌍이라 부른다. 공간주파수를 도입하면 푸리에 변환과 그 역변환을 더

욱 대칭적인 형태로 나타낼 수 있다.

11-6

가우스 함수의 변환가우스 확률함수

(11.11)

이 함수는 개별적인 광자를 파동 다발(wave packet)로나타내거나, TEM00 모드의 레이저 광속에서 복사조도의 단면 분포 또는 가간섭 이론에서 열복사광(thermal light)을 통계적으로 다루는 등 많은 문제와 밀접한관계를 가진다. (11.12)

a가 증가함에 따라 f(x)는 좁아지지만 F(k)는 넓어진다. 다시 말해펄스폭이 짧아질수록 주파수 대역폭(bandwidth)은 넓어지게 된다.

11-7

11.2.2 2차원 변환

광학에서는 일반적으로 2차원 신호를 다룬다[예 : 구멍(aperture)에서의 전기장 분포 또는 상면에서 선속밀도 분포].

푸리에 변환쌍은

(11.13)

(11.14)

kx와 ky는 각각 x, y축 방향의 각공간주파수

식 (11.13)의 의미는 복소인자 F(kx, ky)에 의해 진폭과 위상이 동시에적절히 가중된 exp[2i(kxx+kyy)] 형태의 기본함수가 선형 결합하여 함

수 f(x, y)를 나타내고 있다는 것이다.

11-8

3차원의 경우와 마찬가지로, 임의의 파는 여러 가지 방향과 전파상수를 가진 평면파의 선형 결합으로 합성될 수 있다.

주어진 kx, ky값에 대해 기본함수의 지수 혹은 위상은 직선

(11.15)

11-9

원통함수의 변환

원통함수(cylinder function)

(11.19)

(11.25)

11-10

푸리에 변환자로서의 렌즈

수렴렌즈의 앞 초평면에 놓인 슬라이드에 평행광이 비치고 있다. 이물체는 평면파를 산란시키며, 이들은 렌즈에 의해 모아져 평행한 광선 다발이 뒤 초평면에 맺히게 된다. 소위 변환평면(transform plane) ∑t

에 스크린을 놓으면 그 위에 물체의 원거리 회절무늬를 관찰할 수 있다. 바꾸어 말하면 물체면의 전기장 분포, 즉 구멍함수(aperture function)

는 렌즈에 의해 원거리 회절무늬로 변환된다.

11-11

11.2.3 디랙 델타함수

공간영역에서 뾰족한 펄스와 같은 어떤 자극을 생각해 볼 수 있다. 어두운 배경 속에서 빛나는 작은 광원은 본질적으로 매우 국소적인

2차원 공간 펄스-복사조도의 스파이크(spike)이다.

디랙 델타함수(Dirac delta function) (x)

(11.26)

(11.27)

(11.30)

2차원으로 확장

(11.34)

(11.35)

(11.36)

델타함수의 선택성(sifting property)

11-12

델타함수의 다른 표현

(11.39)

변위와 위상 이동

(11.40)

공간적으로(혹은 시간적으로) 좌표 이동된 함수의 푸리에 변환은 원래 함수의 푸리에 변환에 선형적인 위상을 갖는 지수함수를 곱한 것과 같음

사인함수와 코사인함수

빗살 모양처럼 균일하게 배열되어 있는 델타함수를 생각해 보자

(11.41)

(11.42)

11-13

11-14

그림 11.13

그림 11.14

11-15

11-16

11.3 광학적 응용11.3.1 선형계

입력신호 f(y, z)가 어떤 광학계를 통과한 후 출력 g(Y, Z)로 되었다고 하자.선형계는 다음 조건을 만족한다:

1. 상수 a가 곱해진 입력신호 f(y, z)는 출력 ag(Y, Z)를 생성한다.2. 입력신호가 두 함수(또는 그 이상)의 가중된 결합, 즉 af ₁(y, z)+bf ₂(y, z)일 때, 출력은 마찬가지로 ag₁(Y, Z)+bg₂(Y, Z)가 된다. 여기서 f ₁(y, z)와 f

₂(y, z)는 각각 g₁(Y, Z)와 g₂(Y, Z)의 출력을 생성한다.

선형계가 정상성(stationarity)을 가진다면, 다시 말해 입력 위치가 바뀌어도 출력의 형태는 변치 않고 단지 출력의 위치만 변한다면 그러한

계를 공간불변(space invariant)이라고 한다.

선형계의 작용을 L { }라는 기호로 나타낸다면 입력과 출력의 관계는(11.46)

(11.47)

　 L {(y’-y)(z’-z)} = 임펄스 응답(impulse response)

11-17

물체면(스스로 발광하는, 즉 가간섭성이 없는 광원)에서 복사조도 분포가 I0(y, z)이고, 믈체면과상면 간의 배율을 1로 가정하면

(11.49)

S(y, z; Y, Z)는 점퍼짐함수(point-spread function)

11-18

공간불변계에 있어서는

(11.50)

(11.51)

역상관 적분(convolution integral)

11.3.2 역상관(convolution) 적분

(11.52)

하나의 함수를 다른 함수의 각 점에 가중하여 배분하는 과정

역상관 정리

(11.54)

(11.53)

11-19

주파수 역상관 정리(frequency convolution theorem)

(11.56)

11-20

11.3.3 회절이론과 푸리에 방법프라운호퍼 회절

(11.61)

구멍함수(aperture function)

(11.62)

A0(y, z) = 구멍에서 전기장 진폭의 변화exp[i(y, z)] = 위치에 따른 위상변화

공간주파수 kY, kZ

(11.64)

(11.65)

(11.66)

상면 위의 주어진 위치에는 각각 거기에대응하는 공간주파수가 존재한다

11-21

(11.67)

프라운호퍼 회절무늬에서의 전기장 분포는 구멍에 걸친 전기장 분포(즉, 구멍함수)의 푸리에 변환이다

상면의 전기장 분포는 구멍함수와 공간주파수 스펙트럼이다. 따라서 역변환은

(11.69)

(11.68)

즉,

회절 구멍이 작을수록 회절된 빛의 각도 분포, 즉 공간주파수의 대역폭이증가한다.

단일 슬릿

사각 구멍

11-22

영의 실험 : 이중 슬릿

구멍이 실제 슬릿과 같이 어느 정도의 폭을 가지고 있는 경우

11-23

삼중 슬릿

무족화

회절무늬에서 2차 최대 또는 측엽(side lobe), 즉 발을 줄이는 과정

　 A0(y, z)를 서서히 감소하게 만들면 높은 주파수 성분이 줄어들고, 결과적으

로 측엽이 억제되는 것이다.

11-24

배열 정리

(11.70)

N개의 동일한 구멍이 있는 스크린에 가간섭성 단색광이 입사하는 경우, 상면 위의 한 점 P에서의 결과적인 프라운호퍼 회절장 E(Y, Z)

배열정리(array theorem)

유사한 방향으로 배치된 동일한 구멍의 배열에 의한 프라운호퍼 회절에서 전기장의 분포는 각 구멍함수의 푸리에 변환(즉,

회절장의 분포)에 동일한 형태로 배치된 점광원 배열에 의하여얻어지는 회절무늬(A의 변환)를 곱한 것과 같다

(11.74)

전체 배열에 대한 총구멍함수의 변환

(11.73)

11-25

11.3.4 스펙트럼과 상관관계

파스발 공식

(11.76)

파워 스펙트럼(power spectrum) 혹은 분광에너지 분포(spectrum energy distribution)

(11.77)

공간영역에서

11-26

로렌츠 곡선 형태

감쇄조화파

로렌츠 선폭확대(Lorentz broadening)

공명곡선(resonance profile) 혹은로렌츠 곡선(Lorentz profile)

(11.79)

파워 스펙트럼

=스펙트럼 선폭

자연선폭(natural linewidth)

11-27

자체상관과 상호상관

자체상관(autocorrelation)

(11.82)

(11.83)

양변의 (푸리에) 변환을 취하면

위너-킨친(Wiener-Khintchine) 정리의 한 형태

상호상관(cross-correlation)

(11.85)

상관분석이란 기본적으로 두 신호 사이의 비슷한 정도를 결정하기위하여 그들을 비교하는 하나의 방법이다. 예를 들면, 상관분석은무작위(random) 배경잡음 속에서 신호를 추출하는 데 이용된다.

11-28

광학적으로 2개의 2차원 공간함수를 상관시키는 과정

(11.88)

상관도(correlogram)

점 P의 복사조도는 g(x, y)의 자체상관함수

두 슬라이드가 다르면 영상은그 함수들의 상호상관을 나타내게

된다. 마찬가지로, 슬라이드 중하나를 180도 회전시키면 역상관을

얻게 된다(그림 11.25).

11-29

함수 f(t)의 자체상관이란 실제적으로는 그 함수와 다른 시간에서의함숫값 f(t+)을 비교하는 것이다 .

11-30

상호상관은 상대적 이동시간 에 따른 두 파형 f(t)와 h(t)의 유사성척도이다. 그러나 자체상관과 달리 =0에 별다른 의미는 없다.

11-31

광학적 패턴인식(optical pattern recognition)

11-32

11.3.5 전달함수

광학계의 성능을 평가하는 매우 유용한 지수는 다음과 같이 정의되는 대비도(contrast) 혹은 변조도(modulation)이다:

(11.89)

모든 공간주파수에서 물체 변조도에 대한 영상 변조도의 비율을 변조전달함수(modulation Transfer Function) 혹은 MTF라 정의한다.

11-33

렌즈 1의 분해능 한계가 높다는사실에도 불구하고, 렌즈 2가 특정한 검출기(그림에 그 한계주파수를 나타낸)에 부착되었을 때 더

좋은 성능을 보일 것이다.

선형연산자 기능을 하는 광소자는 사인파 입력신호를 왜곡되지 않은 사인파 출력으로 변환시킨다

퍼짐함수가 좌우대칭이면, 영상의 복사조도는 이동하지 않은 사인파이지만, 비대칭 퍼짐함수는 그림 11.48에서 볼 수 있는 것처럼 출력을 조금 옆으로 밀게 될 것이다. 어느 경우든 퍼짐함수의 형태에 관

계없이 물체가 조화함수꼴이면 영상도 조화함수꼴이다.

11-34

물체가 푸리에 성분으로 이루어진 것으로 본다면, 이 각각의 조화 성분이광학계에 의해 이에 상응하는 영상의 조화 성분으로 변환되는 방식이 결상

과정의 핵심이다. 이 변환을 수행하는 함수를 광학적 전달함수(optical transfer function) 또는 OTF라 한다. 이 함수는 공간주파수에 따라 변하는복소수이며 그 크기는 변조전달함수(modulation transfer function, MTF)이고 위상은 자연히 위상전달함수(phase transfer function, PTF)이다. 전자는물체에서 영상으로 바뀌는 과정에서 주파수에 따라 감소되는 대비도의 지

수이다. 후자는 이때의 상대적인 위상 이동을 나타낸다.

MTF는 자기 테이프와 필름에서부터 망원경, 대기권 그리고 눈 등에 이르기까지 온갖 종류의 광소자와 광학계의 성능을 나타내는 수단으로 널리

사용되고 있다. 더구나 광학계를 구성하는 독립적인 광소자들의 MTF가 주어지면, 전체 MTF는 종종 단순히 이들의 곱으로 주어진다는 장점이 있다.

예: 30선/mm에서 변조도 0.3인 물체를 적절한 조건하에서 30선/mm에서의 MTF가 0.5인 렌즈를 가진 사진기를 이용하여 30선/mm에서 MTF가 0.4인 Tri-X와 같은 필름에 촬영할 경우, 영상의 변조도는 0.3X0.5X0.4=0.06

11-35

영상은 (공간불변과 비간섭성의 조건하에서) 물체복사조도와 점퍼짐함수의 역상관으로 표현된다:

(11.90)

공간주파수 영역에서 이에 대응하는 관계는 푸리에 변환을 취하여,

(11.91)

11-36

영상의 복사조도 분포의 주파수 스펙트럼은 물체의 복사조도 분포의 주파수 스펙트럼과 퍼짐함수의 변환을 곱한 것과 같다

물체 스펙트럼을 영상 스펙트럼으로 전환시켜 주는 비규격화OTF(unnormalized OTF)를 다음과 같이 정의한다:

(11.92)

공간주파수가 0일 때의 값으로 나눈 일련의 규격화 전달함수(normalized transfer function)를 정의하는 것이 관례가 되었다. 규격화 퍼짐함수는

규격화 OTF는

2차원에서는

11-37