CHAPITRE I -- NUMERISATION DU SIGNAL ANALOGIQUE · 2013. 2. 5. · Introduction au traitement...

Introduction au traitement numérique du signal A. Oumnad 1

Traitement Numérique du signal

Chapitre I -- Les représentations du signal......................................... 3 I.1 -- Signal .............................................................................................................................................................3 I.2 -- Signal continu ou signal analogique..........................................................................................................3 I.3 -- Signal discret ..............................................................................................................................................3 I.4 -- Les deux domaines d'un signal .................................................................................................................3 I.5 -- Représentation des signaux périodique .................................................................................................5

I.5.1 -- Séries de Fourier................................................................................................................................5 I.5.2 -- Série de Fourier exponentielle complexe......................................................................................5 I.5.3 -- Troisième forme de la série de Fourier ........................................................................................6 I.5.4 -- Séries de Fourier de quelques signaux utiles...............................................................................6

I.6 -- Représentation des signaux Apériodiques ............................................................................................7 I.6.1 -- Spectre d'un signal ............................................................................................................................8 I.6.2 -- Propriétés de la transformée de Fourier......................................................................................9 I.6.3 -- Transformées de Fourier usuelles ................................................................................................10 I.6.4 -- Transformée de la place ................................................................................................................. 11

I.7 -- Représentation des signaux Discret périodiques ..............................................................................12 I.8 -- Représentation des signaux Discret Apériodiques ...........................................................................12 I.9 -- La transformée de Fourier Discrète (TFD)........................................................................................13 I.10 -- Exemples : la fenêtre carrée sous ces différentes formes .......................................................16

I.10.1 -- fenêtre Continue périodique ..........................................................................................................16 I.10.2 -- fenêtre Continue Apériodique....................................................................................................17 I.10.3 -- fenêtre Apériodique discrète....................................................................................................18 I.10.4 -- fenêtre Apériodique discrète centrée ....................................................................................19 I.10.5 -- fenêtre Apériodique discrète 'centrée' (L pair)...................................................................19 I.10.6 -- fenêtre discrète périodique...................................................................................................... 20

I.11 -- Algorithme de la transformée de Fourier rapide (FFT) ..............................................................21 I.11.1 -- Exemple de calcul de la TFD à l'aide de l'algorithme FFT..................................................... 27

Chapitre II -- Numérisation du signal analogique..................................29 II.1 -- Spectre d'un signal échantilloné ...................................................................................................... 30 II.2 -- Reconstitution dU signal continu à partir du signal échantillonné .............................................31 II.3 -- Théorème déchantillonnage............................................................................................................... 33 II.4 -- La quantification .................................................................................................................................. 35

II.4.1 -- Quantification non uniforme ......................................................................................................... 38 II.4.2 -- Compression .................................................................................................................................. 40

Chapitre III -- Estimation spectrale à l'aide la tTFD ............................41 III.1 -- Amélioration de l'estimation spectrale .......................................................................................... 43

III.1.1 -- Amélioration de la résolution spectrale.................................................................................. 44 III.1.2 -- Fenêtrage ...................................................................................................................................... 44

III.2 -- Réalisation du filtre de HILBERT à l'aide de la TFD.................................................................. 46 III.2.1 -- Signal analytique .......................................................................................................................... 46

Chapitre IV -- Les systèmes linéaire discrets invariants dans le temps .........49 IV.1 -- Définitions............................................................................................................................................. 49 IV.2 -- Etude d'un système discret par sa réponse impulsionnelle........................................................ 49 IV.3 -- Propriétés.............................................................................................................................................. 50

IV.3.1 -- Causalité......................................................................................................................................... 50 IV.3.2 -- Stabilité......................................................................................................................................... 50

IV.4 -- La transformée en Z ............................................................................................................................51 IV.5 -- La transformée en z rationnelle ....................................................................................................... 53 IV.6 -- Comportement d'un signal selon la position de ces pôles............................................................ 55


IV.7 -- Fonction de transfert en z d'un système discret........................................................................ 57 IV.8 -- Transformée en z inverse (TZ-1 ).................................................................................................... 57

IV.8.1 -- Transformée en z inverse par développement en série ...................................................... 57 IV.9 -- Systèmes à réponse impulsionnelle finie et infinie ...................................................................... 58 IV.10 -- Les systèmes récursifs et NON-RECURSIFS.............................................................................. 59 IV.11 -- Système LIT définis par une équation aux différences............................................................. 60

Chapitre V -- Les filtres numériques ...............................................61 V.1 -- Les filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF) ................................................................................61 V.2 -- Filtre passe bas.........................................................................................................................................61 V.3 -- Filtre passe haut...................................................................................................................................... 64 V.4 -- Filtre passe bande ................................................................................................................................... 65 V.5 -- Filtre réjecteur de bande...................................................................................................................... 66 V.6 -- Diminution des ondulations par troncature douce............................................................................ 66


CHAPITRE I -- LES REPRESENTATIONS DU SIGNAL

I.1 -- SIGNAL On désigne par signal l'information relative à une grandeur physique qui évolue dans le temps. Les

signaux les plus couramment utilisés sont les signaux électriques. Mais ces signaux sont les plus souvent des traductions de signaux physiques comme des signaux acoustiques, sismiques, de température ou de pression … L'obtention des signaux électriques à partir des variations d'une grandeur naturelle se fait à l'aide d'un capteur ou d'un transducteur.

I.2 -- SIGNAL CONTINU OU SIGNAL ANALOGIQUE

Un signal analogique (Fig. I.1) est un signal qui est

défini (par une valeur unique) pour n'importe quel instant t. Un signal peut être fonction d'une grandeur autre que le temps.

I.3 -- SIGNAL DISCRET Un signal discret ( Fig. I.2) n'est défini que pour des

instants tk appartenant à un ensemble dénombrable {t1, t2, t3, t4, . . . tn,} Les signal est noté x(tn ) ou tout simplement x(n).

Les signaux rencontrés dans la nature sont par nature des signaux analogiques. Tout traitement numérique (discret) de ces signaux nécessite au préalable une opération de numérisation. Ceci fera l'objet d'un chapitre du chapitre suivant.

I.4 -- LES DEUX DOMAINES D'UN SIGNAL

Comme on vient de le voir, la représentation naturelle d'un signal est sa représentation dans le domaine temporel. Il existe une autre représentation non moins importante, qui est la représentation dans le domaine fréquentiel, qu'on appelle représentation fréquentielle ou représentation harmonique ou tout simplement spectre du signal. Elle consiste à représenter la variation du signal en fonction de la fréquence. Cette représentation est importante car elle permet de voir l'amplitude des composantes qui constituent le signal pour chaque fréquence (composante spectrales). La figure (Fig. I.3) montre le spectre d'un son grave, on remarque les composantes basse-fréquence sont prépondérantes. La figure (Fig. I.4) montre le spectre d'un son aigu, on remarque que les composantes haute-fréquence sont prépondérantes.

La figure ci-dessous montre les deux représentations de quelques signaux élémentaire qui vont nous servir dans la suite de ce document.

x(t)

t

Fig. I.1 : signal analogique

n

x(n)

Fig. I.2 : Signal discret

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Hz0

500

1000

1500

Fig. I.3 : spectre d'un son grave

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Fig. I.4 : spectre d'un son aigu


t

x(t)

f

X(f)

fo-fo x(t) = A cos(2πfot) [ ])ff( )ff( 2

A )f(X oo ++−= δδ

t

x(t)

0fo

-fo

f

R

I

x(t) = A sin(2πfot) [ ])ff( - )ff( j2

A )f(X oo +−= δδ

f

R

I

f

X(f)

fo tfj2 oAe )t(x π= )ff(A )f(X o−= δ

t

x(t)

f

X(f)

x(t) = A )f(A )f(X δ=


I.5 -- REPRESENTATION DES SIGNAUX PERIODIQUE Un signal périodique (Fig. I.5) de période To est t.q. : xp(t) = xp(t+kTo) Pour suivre plus facilement l'évolution d'un signal plus ou

moins complexe à travers les système qu'il traverse, il convient mieux de le représenter par une combinaison linéaire de signaux simples appelés signaux élémentaires (u1(t). u2(t), u3(t). …) En théorie, on peut trouver plusieurs types de fonctions élémentaires uk(t) permettant de représenter un signal quelconque par la relation :

∑=

=N

0kkk )t(ua )t(x (1)

Dans la pratique, l'analyse de Fourier qui consiste à décomposer un signal en une somme de signaux sinusoïdaux a éclipsé toutes les autres représentations.

I.5.1 -- SERIES DE FOURIER

Selon l'analyse de Fourier, un signal périodique xp(t) peut être représenté par une série de Fourier qui est une somme infinie de signaux sinusoïdaux.

[ ]∑∞

=++=

1kokok

op )tkf2sin(b )tkf2cos(a 2

a )t(x ππ (2)

avec

dt)tkfx(t)cos(2 T2 a

oTo

ok ∫= π (3)

dt)tkfx(t)sin(2 T2 b

oTo

ok ∫= π (4)

Ainsi un signal périodique de fréquence fo est la somme d'une composante continue (valeur moyenne) et d'un nombre infini d'harmoniques de fréquences fo , 2fo , 3fo, 4fo , . . . L'harmonique de fréquence fo s'appèle le fondamental.

I.5.2 -- SERIE DE FOURIER EXPONENTIELLE COMPLEXE

Si on utilise les formules trigonométriques, on peut facilement démontrer que qu'un signal périodique xp(t) peut s'écrire sous la forme :

∑−∞=

=N

k

tkf2jkp

oeC )t(x π (5)

avec

...)3,2 1,0,(n dt(t)ex T1 C

o

o

T

tkfj2-p

ok ±±±== ∫ π (6)

Les relations entre les coefficients Ck et ak et bk sont :

( )

( )( ) ( )

1,2,3,... k

C2- CCj bC2 CC a

jba21 Ca C2

kkkk

kkkk

kkk

oo

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ℑ=−=

ℜ=+=

−=

=

−

−

(7)

Cette représentation complexe signifie tout simplement que chaque composante spectrale est une

sinusoïde ayant une amplitude (module de Ck) et une phase (argument de Ck ), ce qui nous amène à la troisième forme de la série de Fourier.

t

x(t)

To0 Fig. I.5 : signal périodique


I.5.3 -- TROISIEME FORME DE LA SERIE DE FOURIER

∑∞

=++=

1kkok

op )tkf2cos(d 2

d )t(x φπ (8)

avec

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==

+==

==

1,2,3,... k

abarctg )Carg(2

ba C2 d

a C2 d

k

kkk

2k

2kkk

ooo

φ

(9)

I.5.4 -- SERIES DE FOURIER DE QUELQUES SIGNAUX UTILES

( ) impair n ,...tnf2sinn1...)tf52sin(

51)tf32sin(

31)tf2sin(A4)t(m oooo ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +π++π+π+π

π=

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++π

+−

++π+π−ππ

= ...tf)1n2(2cos1n2

)1(...)tf52cos(

51)tf32cos(

31)tf2cos(A4)t(m o

n

ooo

( ) impair n ,...tnf2cosn1...)tf52cos(

251)tf32cos(

91)tf2cos(A8)t(m o2ooo2 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +π++π+π+π

π=

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+π

−++π+π−π

π=

+

...tnf2sinn)1(...)tf32sin(

31)tf22sin(

21)tf2sin(A2)t(m o

1n

ooo

( )

pair n

...tnf2cos1n

2)1(...)tf42cos(152)tf22cos(

32)tf2cos(1A2)t(m o2

1

ooo

2n

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+π

−×−

++π−π+π+π

=+

Le tableau ci-dessous contient les amplitudes et les fréquences des harmoniques du premier signal

m1(t) de la liste ci-dessus avec fo = 125 Hz. Son spectre est représenté sur la figure Fig. I.6.

m(t)

t

A

m(t)

t

A

m(t)

t

m(t)

t

m(t)

t


Harmonique fréquence amplitude 1 125 1.2732 3 375 0.4244 5 625 0.2546 7 875 0.1819 9 1125 0.1415 11 1375 0.1157 13 1625 0.0979 15 1875 0.0849 17 2125 0.0749 19 2375 0.0670 21 2625 0.0606 23 2875 0.0554 25 3125 0.0509 27 3375 0.0472

Les figures ci-dessous montrent la reconstitution du signal carré à l'aide de 2, 3, 15 et 30 harmoniques.

0 1 2 3 4 5 6 7 8ms-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.51er

3ème

0 1 2 3 4 5 6 7 8ms-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.51er

5ème

3ème

Fig. I.7: reconstitution avec 2 harmoniques. Fig. I.8 : reconstitution avec 3 harmoniques

0 1 2 3 4 5 6 7 8 ms

1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 ms-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Fig. I.9 : reconstitution avec 15 harmoniques. Fig. I.10 : reconstitution avec 30 harmoniques

I.6 -- REPRESENTATION DES SIGNAUX APERIODIQUES

Nous allons essayer de développer une représentation similaire à la représentation précédente pour les signaux non périodiques appelés aussi signaux transitoires (Fig. I.11). Pour cela, nous allons d'abord construire un signal périodique xp(t) (Fig. I.12) en répétant la fonction x(t) avec une périodicité To.

Représentons maintenant la fonction xp(t) à l'aide de la série de Fourier complexe.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Hz0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Fig. I.6 : Spectre du signal m1(t)

x(t)

t

Fig. I.11 : signal transitoire


xp(t)

t0 To

Fig. I.12 : signal périodique obtenu par répétition

o

o

N

k

tkf2jkp T

1f avec eC )t(x o == ∑−∞=

π (10)

(11) Si on note fo = Δf , fk = k Δf et g(f) = T Ck il vient :

fe)f(g eT)f(g )t(x

N

k

tf2jk

N

k

tf2j

o

kp

kk Δππ ∑∑−∞=−∞=

== (12)

Si on fait tendre To vers l'infini : • xp(t) x(t) • Δf devient infiniment petit et on peut le noter df • fk qui ne pouvait prendre que des valeur discrètes (Δf , 2Δf , 3Δf ,…) peut prendre maintenant des

valeur tellement rapprochées que l'on peut l'assimiler à une variable continue f • ∫∑ →

dtex(t) g(f) )f(g

dfeg(f) x(t) (t)x

tfj2-

-k

tfj2

-p

2oT

2oT

π

π

∫

∫

=→

=→+∞

∞ (13)

• g(f) est notée X(f), c'est la transformée de Fourier de x(t) • x(t) est la transformée de Fourier inverse de X(f)

dtex(t) X(f)

dfeX(f) x(t)

tfj2-

-

tfj2

-

π

π

∫

∫∞+

∞

+∞

∞

=

= (14)

I.6.1 -- SPECTRE D'UN SIGNAL

Le spectre d'un signal transitoire x(t) est constitué par le tracé de X(f) en fonction de la fréquence. C'est un spectre continu dans le sens où il est défini pour toutes les valeurs de f. En général X(f) est complexe, on peut l'exprimer sous la forme :

(f)je )f(X )f(X φ= (15)

Le spectre est alors constitué d'un spectre d'amplitude et d'un spectre de phase. Pour les signaux réels x(t), X(f) présente une symétrie Hermitienne : X(f) = X*(-f)


• La partie réelle ainsi que le module sont des fonctions paires

• la partie imaginaire ainsi que la phase sont des fonctions impaires

I.6.2 -- PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE

DE FOURIER 1) Linéarité : (f)bM (f)aM )t(bm )t(am 2121 +↔+ (16) 2) Changement d'échelle du temps :

)afM(a

1 )at(m ↔ (17)

3) décalage dans le temps : oft-j2

o e M(f) )tt(m π=− (18) 4) Décalage en fréquence : )f-M(f m(t) e o

tf2j o ↔π (19) 5) Dualité : m(-f) M(t) alors M(f) m(t) Si ↔↔ (20) 6) Aire sous m(t):

∫+∞

∞−= M(o) dt)t(m (21)

7) Aire sous M(f) :

∫+∞

∞−=m(o) dt)f(M (22)

8) Dérivation dans le domaine temporel :

M(f) fj2 )t(mdtd π↔ (23)

9) Intégration dans le domaine temporel :

)f(2M(o) M(f) fj2

1 )t(mt

δπ +↔∫∞−

(24)

10) Conjugaison : (-f)M (t)m alors M(f) m(t) Si ** ↔↔ (25) 11) Multiplication et convolution:

∫+∞

∞−=∗ d )-(xf )(f (x)f (x)f :est covolution de produit le 2121 τττ (26)

(f)M (f)M )t(m )t(m 2121 ∗↔ (27) )f(M )f(M (t)m )t(m 2121 ↔∗ (28)

réel

imaginaire

f

Fig. I.13 spectre d'un signal réel


I.6.3 -- TRANSFORMEES DE FOURIER USUELLES

τ

( )τtrect τsinc(f τ)

−1/τ 1/τ

−Β Β

( )Btcsin )Bt(Brect

1/B

cos(2πfot) [ ])ff()ff(21

oo ++− δδ

fo-fo

sin(2πfot) [ ])ff()ff(j21

oo +−− δδ

fo-fo

tf2j oe π )ff( o−δ

fo

to

)tt( o−δ ft2j oe π−

)t(δ 1

1 )f(δ

1

-1

sign(t) fj1π

t1π -jsign(f)

1

-1

1

U(t) f2

j)f(21

πδ −

f2

j )f(21

πδ + U(f) 1

∑+∞=

−∞=−

k

ko)kTt(δ ∑

+∞=

−∞=−

k

k oo)T

kt(T1 δ


I.6.4 -- TRANSFORMEE DE LA PLACE Nous avons vu dans le paragraphe précédent qu'un signal transitoire (sommable) peut être considéré

comme la superposition d'un nombre infiniment grand de composantes sinusoïdales tje ω ayant des amplitudes infiniment petites s'étendant de manière continue sur tout le domaine des fréquences.

Malheureusement, des signaux aussi simples que l'échelon unité, le signal constant ou le signal en rampe ne sont pas sommables et ne possèdent pas de transformée de Fourier. C'est la raison du développement de la transformée de Laplace. L'idée de base est que, si un signal x(t) n'est pas sommable, on peut néanmoins définir la transformés de Fourier du produit te)t(x σ− avec σ suffisamment grand pour que le produit soit sommable :

∞<∫∞

∞−

− dte)t(x tσ (29)

On défit la transformée de Laplace par :

ωσ j p avec dte)t(x )p(X pt +== ∫∞

∞−

− (30)

On constate donc que la transformée de Laplace de x(t) est la transformée de Fourier de te)t(x σ− .

La transformée de Laplace inverse est définie par

dte)p(Xj21 )t(x

j

j

pt∫∞+

∞−

=σ

σπ (31)

Pour les signaux sommables, on prend σ=0, la variable de Laplace se réduit à p=jw , les transformées

de Fourier et de Laplace se confondent. Pour la transformée de Laplace, il faut toujours définir le domaine de convergence qui est

l'intervalle de σ pour lequel la fonction te)t(x σ− est sommable,

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

t

Fig. I.14 : x(t) = kteA+ (k>0) ( ) tkt eeA σ−+ (σ < k) ( ) tkt eeA σ−+ (σ > k)

On remarque donc que la fonction x(t) de la figure ci-dessus possède une transformée de Laplace

dans l'intervalle σ > k, ailleurs, le produit te)t(x σ− n'est pas sommable.


I.7 -- REPRESENTATION DES SIGNAUX DISCRET PERIODIQUES

x(n)

n

Fig. I.15 : Signal discret périodique

Un signal discret périodique (Fig. I.15) de période N (To = N Te ) peut être représenté par la série

de Fourier :

∑

∑

=

−

=

=

=

1-N

0k

n2jn

1-N

0k

n2jk

Nk

Nk

e)n(xN1 C

eC )n(x

π

π

(32)

n

Cn

0 N

f0 fefe

2

Fig. I.16 : Spectre d'un signal discret périodique

Un signal discret périodique de période N dont la période d'échantillonnage est Te (fréquence d'échantillonnage fe = 1/ Te ) possède un spectre discret périodique de période N. Dans l'intervalle [0 N], le spectre est symétrique par rapport à N/2. Le pas d'échantillonnage en fréquence est fe /N = 1/To, Le spectre est donc périodique de période fe et symétrique par rapport à fe/2 dans l(intervalle [0, fe ]. I.8 -- REPRESENTATION DES SIGNAUX DISCRET APERIODIQUES

Un signal discret Apériodique ou transitoire a une transformée de Fourier continue périodique de période fe . La période [0,fe] et symétrique par rapport à fe/2.

∑

∫∞

∞==

=

-k

fj2-

fj2f

0e

efk

efne

x(n)e )f(X

dfeX(f) f1 (n)x

π

π

(33)


x(n)

n

Fig. I.17 : signal discret transitoire

f0 fefe

2

X(f)

Fig. I.18 : Spectre d'un signal discret transitoire

I.9 -- LA TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE (TFD)

Quand on fait du traitement numérique d'un signal, on ne possède qu'un enregistrement de ce signal pendant une durée limitée. Le calcul de sa transformée de Fourrier par la formule (33) ne peut se faire que pour des valeurs discrètes de f et la sommation ne peut se faire que sur un nombre fini d'échantillons. Ce qui revient d'une certaine façon à échantillonner dans le domaine fréquentiel le spectre X(f) du signal discret de longueur non finie. La Transformée de Fourier discrète et la Transformée de Fourier discrète inverse sont définies par :

∑

∑−

=

−

=

=

=

1N

0k

nj2-

1N

0k

nj2-

Nk

Nk

X(n)e N1 (n)x

x(n)e )n(X

π

π

(n = 0,1,2 . . .N-1) (34)

x(n)

n0

N-1

n

Cn

0 N-1f

0 fefe2

Fig. I.19 : Signal discret de longueur finie Fig. I.20 : TFD du signal fini x(n)

En général le nombre de point de X(n) est égal au nombre de point x(n), mais il est clair que l'équation (34) permet de calculer X(n) pour toute valeur de n, On obtient une suite périodique tout à fait semblable à la série de Fourier discrète d'un signal discret périodique (Fig. I.16). Les équations (34) et (32) sont d'ailleurs tout à fait similaires.


Signaux continus Signaux discrets Continu périodique Discret apériodique Discret périodique Discret périodique

0 Tot

x(t)

∑+∞

−∞==

k

tkf2jkp

oeC)t(x π

f

Ck

0 fo

tkf2jp

ok

o2oT

2oT

e)t(xT1C π−

−∫=

t

x (n)p

∑−

==

1N

0k

n2jk

NkeC)n(x π

k

Ck

0 N n2j1N

0nk

Nke)n(xN

1C π−−

=∑=

Continu apériodique Continu apériodique discret apériodique continu périodique

0 Tot

x(t)

dfe)f(X)t(x ft2j π∫+∞

∞−

=

t

X(f)

dte)t(x)f(X ft2j π−+∞

∞−∫=

n0

x(n)

dfe)f(Xf1)n(x fk2j

f

0e

efne

π

∫=

f

X(f)

fe0

∑+∞

−∞=

−=

n

ffn2jee)n(x)f(X

π

Séquence discrète finie Transformée de Fourier Discrète

n0

x(n)

N∑

−

==

1N

0k

n2j Nke)n(XN

1)n(x π

n2j1N

0k

Nke)k(x)n(X π−

−

=∑=

n0

X(n)

N


I.10 -- EXEMPLES : LA FENETRE CARREE SOUS CES DIFFERENTES FORMES I.10.1 -- FENETRE CONTINUE PERIODIQUE

xp(t)

t0 To

2θ

2−θ

Fig. I.21 : fenêtre carrée périodique continue

θπθπθ

ππ

ππ

ππ

θ

π

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

o

o

oo

2o

o0o

o

o

0

-o

o-o

o-

tkfj2-p

on

nf)nfsin( T nf2

)nf2sin( T2 nf2

)tnf2sin( T2

dt)tnf2sin( Tj dt)tnf2cos( T

1 dt(t)ex T1 C

2

2

2

2

2

2

2

o

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

+==

=

∫∫∫44 344 21

on T avec n

)nsin( C θττπτπτ ==

)n(csin Cn ττ=

0 1 23 4 n

f0

To

1θ1

Cn

Fig. I.22 : Coefficients de la série de Fourier pour la fenêtre carrée continue périodique

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2fo=200 To=5 ms H=1ms

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 40000

0.05

0.1

0.15

0.2

fo=200 To=5 ms H=1ms

Fig. I.23 : fo = 200, To = 5 ms, H = 1ms


Les figure Fig. I.23, Fig. I.24 et Fig. I.24 montrent quelques exemples illustrant comment la période

To et la largeur de la fenêtre agissent sur le spectre. On remarque : • Comme la séparation entre deux raies spectrales est égale à fo, alors, plus les fenêtres sont

éloignées (To grande, fo faible), plus les raies spectrales sont rapprochées. • La largeur du lobe principal de spectre est inversement proportionnelle à la largeur de la fenêtre.

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 40000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1fo=200 To=5 ms H=0.5ms

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 40000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4fo=400 To=2.5 ms H=1ms

Fig. I.24 : fo = 200, To = 5 ms, H = 0.5ms Fig. I.25 : fo = 400, To = 2.5 ms, H = 1ms

I.10.2 -- FENETRE CONTINUE APERIODIQUE

x(t)

t0

2θ

2−θ

Fig. I.26 : fenêtre carrée apériodique

θπθπθ

θ

θ

π

f)fsin( dte )f(X

2

2-

tfj2- == ∫ (35)

)fsinc( )f(X θθ= (36)

f0

θ1

X(f)

Fig. I.27 : transformée de Fourier d'une fenêtre carrée


I.10.3 -- FENETRE APERIODIQUE DISCRETE

n0

x(n)

L1 2 Fig. I.28 : fenêtre carrée discrète apériodique

∑∑−

=

−−

=

− ==1L

0k

kj1L

0k

kj e e)k(x )f(X ΩΩ (37)

Ω est la pulsation normalisée, et ν est la fréquence normalisée : 2 ff2 f ee

πνπωΩ ===

( )k1L

0k

2j1L

0k

k2j e e )f(X ∑∑−

=

−−

=

− == πνπν (38)

C'est une progression géométrique : • f=0 X(f) = L • f ≠ 0 :

πνπν

πνπν

πν

πν

πν

πν

j-jL-jLj

j-L-j

j2-L-j2

eeee e

e e - 1e - 1 )f(X

−−== (39)

)sin(L)sin(e )f(X 1)-L(j2-

πνπνπν= (40)

soit avec la fréquence non normalisée :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠

=

=

0f )f

fsin(

L)ffsin(

e

0f L

)f(X

e

e1)-L(f

fj2-e

π

ππ

(41)

Le terme 1)-L(-j2e πν intervient seulement dans la phase de X(f). S'est seulement ce terme qui est modifié quand on décale la fenêtre à droite ou à gauche dans le domaine temporel.

-1000 -500 0 500 1000-2

0

2

4

6

8

10

fe=2000 Hz , L=10

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000-2

0

2

4

6

8

10fe=2000 Hz , L=10

Fig. I.29 : partie réelle de X(f) dans le cas fe = 2000 Hz et L = 10


-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

fe=2000 Hz , L=10

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 30000

2

4

6

8

10fe=2000 Hz , L=10

Fig. I.30 : partie imaginaire et module de X(f)

X(f) est périodique de période fe . Etant complexe, il est plus intéressant de considérer son module.

Celui-ci s'annule la première fois au point f = fe / L, le lobe principal à donc une largeur de 2fe/L. I.10.4 -- FENETRE APERIODIQUE DISCRETE CENTREE

n

x(n)

Fig. I.31 : fenêtre discrète centrée

Ce signal n'est rien d'autre que le signal précédent dans le cas L impair, décalé à gauche de 21L− ,

d'après la propriété de décalage dans le temps (18), et si on note X1(f) la transformée de Fourier de la fenêtre précédente, on obtient :

)f(X e )f(X 1j2 2

1Leff −

=π

(42) soit :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠

=

=

0f )f

fsin(

L)ffsin(

0f L

)f(X

e

e

π

π (43)

I.10.5 -- FENETRE APERIODIQUE DISCRETE 'CENTREE' (L PAIR)

n

x(n)

Fig. I.32 : fenêtre discrète centrée avec L pair


Ce signal n'est rien d'autre que le signal de (Fig. I.28) dans le cas L pair, décalé à gauche de 2L ,

d'après la propriété de décalage dans le temps (18), et si on note X1(f) la transformée de Fourier de la fenêtre précédente, on obtient :

)f(X e )f(X 1j2 2

Leffπ

= (44) soit :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠

=

=

0f )f

fsin(

L)ffsin(

e

0f L

)f(X

e

effje

π

ππ

(45)

I.10.6 -- FENETRE DISCRETE PERIODIQUE

n

x(n)

0 L N Fig. I.33 : fenêtre carrée discrète périodique

k2j1N

0kn

Nne)k(xN

1C π−−

=∑= (46)

progression géométrique :

f = 0 NLCn = (47)

f ≠ 0 Nnj-N

nj

LNnj-LN

nj

Nnj-

LNnj-

Nnj2-

LNnj2-

neeee

ee N

1 e - 1e - 1 N

1 Cππ

ππ

π

π

π

π

−−== (48)

soit :

( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≠

=

=

0f Nnsin

LNnsin

eN1

0f NL

C1)-(LN

nj2-n

π

ππ

(49)

L'exemple de la figure (Fig. I.34) montre le module de Ck (spectre) dans le cas (N=20, L=4, fe=2000

Hz). l'axe horizontal est gradué en fréquence. On relève les constatations suivantes : • Le spectre est périodique de période N ≡ fe • Le spectre est symétrique par rapport à N/2 ≡ fe/2. • La séparation entre deux raies spectrales (résolution spectrale) est df = 1/NTe = fe/N • Le lobe principal s'annule à 1/(LTe) = fe /L


-2000 -1000 0 1000 2000 3000 40000

0.05

0.1

0.15

0.2

Fig. I.34 : spectre d'un signal carré discret (fe=2000 Hz, N=20, L=4)

I.11 -- ALGORITHME DE LA TRANSFORMEE DE FOURIER RAPIDE (FFT)

Nous avons vu que la transformée de Fourier discrète d'un signal discret x(n) est :

∑−

==

1N

0k

nj2- Nkx(n)e )n(X π (n = 0,1,2 . . .N-1) (50)

Si on note N2j

N eWπ−

= , on peut vérifier que la série kNW possède des propriétés intéressantes :

• Périodicité : kN

NkN W W =+

kN

2j2jkN2j)Nk(N

2j e e e eππππ −−−+−

== (51)

• Symétrie : kN

2Nk

N W- W =+

kN

2jjkN2j)2

Nk(N2j e- e e e

ππππ −−−+−== (52)

• Puissance : 2N

2N W W =

2N2j2N

2j e eππ −−

= (53) La TFD peut alors s'écrire :

∑−

==

1N

0k

nkNx(n)W )n(X (54)

Si on sépare les éléments d'ordre pair et impair, on obtient : ∑∑ +=

pairim k

nkN

pair k

nkN x(n)W x(n)W )n(X (55)

ou encore

( ) ( )∑∑

∑∑−

=

−

=

−

=

+−

=

++=

++=

1

0k

kn2N

nN

1

0k

kn2N

1

0k

1)n(2kN

1

0k

2knN

2N

2N

2N

2N

W1)x(2kWWx(2k)

1)Wx(2kx(2k)W )n(X (56)

en utilisant la propriété (53) on obtient :


∑∑−

=

−

=++=

1

0k

knnN

1

0k

kn2N

2N

2N

2N 1)Wx(2k W x(2k)W )n(X (57)

ou encore : H(n) W )n(G )n(X n

N+= (58) • G(n) est la TFD de la suite constituée des éléments d'ordre pair de x(n) • H(n) est la TFD de la suite constituée des éléments d'ordre impair de x(n)

Bien que n varie de 0 à N-1, G(n) et H(n) ne seront calculées que pour N/2 valeurs du moment qu'elles sont périodiques de période N/2. Ainsi apparaît l'idée de base la FFT qui est de décomposer une TFD d'ordre N en plusieurs TFDs d'ordres inférieurs car on peut vérifier dans ce cas que le nombre d'opérations effectué est plus réduit.

La démarche ci-dessus peut être représentée sur le diagramme ci-dessous ( cas N=8). G(n) et H(n) étant périodiques de période 4, on a par exemple G(7) = G(3) et H(7) = H(3) ce qui

donne l'expression de X(7) suivante : H(3) W G(3) H(7) W G(7) )7(X 7

87

8 +=+= (59)

x(0)

x(2)

x(4)

x(6)

G(0)

G(1)

G(2)

G(3)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

TFD

à

N/2 points

x(1)

x(3)

x(5)

x(7)

H(0)

H(1)

H(2)

H(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

TFD

à

N/2 points

Wn0

Wn1

Wn2

Wn3

Wn4

Wn5

Wn6

Wn7

Fig. I.35 : décomposition d'une TFD d'ordre 8 en 2 TFD d'ordre 4

En appliquant la même procédure que précédemment, nous pouvons de nouveau décomposer les TFD à 4 points en TFD à 2 points. Pour cela il faut que N/2 soit pair, ce qui est toujours le cas si on a pris le soin de prendre un nombre N qui est une puissance de 2. On obtient :

∑∑−

=

−

=++=

1

0k

knn1

0k

kn4N

4N

2N

4N

4N 1)Wg(2k W g(2k)W )n(G (60)

∑∑−

=

−

=++=

1

0k

knn1

0k

kn4N

4N

2N

4N

4N 1)Wh(2k W h(2k)W )n(H (61)

En utilisant la propriété (53), tous les coefficients peuvent être exprimés en puissance de W8 , d'où :


x(0)

x(2)

x(4)

x(6)

G(0)

G(1)

G(2)

G(3)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

x(1)

x(3)

x(5)

x(7)

H(0)

H(1)

H(2)

H(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

Wo8

W28

W48

W68

Wo8

W28

W48

W68

W80

W81

W87

W82

W83

W84

W85

W86

TFD2points

TFD2points

TFD2points

TFD2points

Fig. I.36 : : décomposition d'une TFD d'ordre 8 en 4 TFD d'ordre 2

La TFD élémentaire à deux points est selon (54) :

n2

02 x(1)W x(0)W )n(X += (62)

⎩⎨⎧

+=+=

k2

02

02

02

x(1)W x(0)W )1(Xx(1)W x(0)W )0(X (63)

Sachant que 0

2W = 1 et 2W = -1 on obtient le graphe ci-dessous connu sous le nom de papillon

x(0)

x(1)

X(0)

X(1)-1 Fig. I.37 : papillon d'une TFD à 2 points

En injectant cette structure dans le graphe de la figure (Fig. I.36) on obtient


-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

x(0)

x(2)

x(4)

x(6)

x(1)

x(3)

x(5)

x(7)

1

W28

W28

1 W28

1

W81

W83

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

Fig. I.38 : Algorithme FFT pour N=8

Bien que ce graphe paraisse assez simple, l'élaboration d'un algorithme général fonctionnant pour toutes les valeurs N n'est pas sans difficultés.

On remarque d'abord que la séquence d'entrée n'est pas ordonnée, il faut donc commencer par écrire un algorithme réalisant ce classement appelé classement binaire inversé. En effet, on remarque que si on écrit les indices ordonnés en binaire et si on inverse le binaire de droite à gauche, on obtient ce classement.

indices non classés Binaire Binaire inversé indices classés

0 000 000 0 1 001 100 4 2 010 010 2 3 011 110 6 4 100 001 1 5 101 101 5 6 110 011 3 7 111 111 7

On pourrait utiliser cette propriété pour écrire un algorithme de classement mais nous avons

préféré écrire un algorithme qui retrace la démarche qui consiste à décomposer une TFD en d'autres TFD d'ordre plus faible. La démarche est la suivante : • On part de séquence initiale x(n) avec les indices non classés (dans l'ordre) et on construit deux

séquences, l'une contenant les éléments d'ordre (d'indice) impair et l'autre les éléments d'ordre pair.

• On refait la même opération sur chaque séquence jusqu'à ce qu'on obtienne des séquences à deux éléments.


Exemple pour N=8 :

Pour la commodité de programmation sur MATLAB,

les indices commencent à 1 et non à 0

On remarque : • La première séquence (étage) contient 1 paquet de 8 • Le deuxième étage contient 2 paquets de 4 • Le troisième étage contient 4 paquets de 2

D'une façon générale : • Le nombre d'étage est n tel que N = 2n • Le nombre de paquets par étage est l = 2i , i est l'indice de l'étage, on ne traite que n-1 étage, le

dernier étage est déjà classé (i = 0,1, . . . n-2) • La taille des paquets de l'étage i est M = N/l • Les indices de début et de fin du paquet k sont d=(k-1)*M+1 , f=d+M-1

étage (i=0:1) 0 1 nombre de paquets (l= 2i) 1 2

Taille paquet (M=8/l) 8 4 indice début et fin paquet

( d=(k-1)*M+1) (f=d+M-1)

1 paquet d = 1 f = 8

2 paquets (k=1:2) k=1 d=1, f=4

k=2 d=5, f=8

L'encadré ci-contre contient

une fonction MATLAB réalisant l'algorithme de classement ci-dessus.

Maintenant on peut commencer l'algorithme de la FFT proprement dit. En observant le graphe de la figure (Fig. I.38), on peut déterminer une démarche générale pour le calcul d'une TFR à N points :

• Le graphe est constitué de n étages tels que N = 2n • L'étage k contient M paquets de papillons tels que M = 2n-k • Les points des papillons de l'étage k sont séparés de p = 2k-1 (Taille des papillons) • Si on observe l'exemple N=8 (Fig. I.38), le 3ème étage est constitué d'un paquet de 4 papillons de

x(8)

x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)

x(8)

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

x(8)

x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

Fig. I.39 : démarche de l'algorithme de classement

function y=bitrvrs(x); x=x(:); N=length(x); n=nextpow2(N); for l = 2.^(0:n-2) % nombre de paquet à chaque passage y=[]; M=N/l; % taille du paquet for k=1:l % traitement paquet par paquet d=(k-1)*M+1; % début du paquet f=d+M-1; % fin du paquet y=[y; x(d:2:f); x(d+1:2:f)]; % les éléments impairs puis paires end; x=y; % pour le prochain passage end;


taille 4. Chaque papillon 'possède' un coefficient écrit devant son coin bas-gauche. On remarque que les 4 coefficient sont les puissance d'un coefficient de base qui est dans ce cas, 1

8W , les 4

coefficient sont ( ) ( ) ( ) ( )318

218

118

018 W W W W . On peut maintenant généraliser et dire que le

coefficient de base de chaque étage est WB = ( ) ( )p1NN 1- W W p1

2Np2

N

== , au papillon i de chaque paquet

correspond le coefficient ( ) 1iBW − . On remarque que le premier coefficient d'un paquet est toujours

1 puisque c'est toujours (WB)0, On commence donc avec un coefficient W=1, et à chaque changement de papillon, on multiplie le coefficient par WB .

Si on note x la séquence d'entrée d'un étage et X sa séquence de sortie, on obtient l'algorithme :

pour k = 1 à n faire

p = 2k-1

Wb = (-1)1/p

M = 2 n-k

pour m = 1 à M faire

W = 1

d = 2p(m-1) + 1

pour i = 1 à p faire

l = d + i - 1

x(l+p) = W.x(l+p)

X(l) = x(l) + x(l+p)X(l+p) = x(l) - x(l+p)

W = W * Wb

fin boucle i

fin boucle m

x = X

fin boucle k

(étage)

(paquet)

taille papillon

coef de base

nombre de paquets

coef de départ

indice débutpaquet

(papillon)

indice 1er pointdu papillon

calcul sortie

papillon

multiplicationpar coef.

coef dupapillon suivant

les sorties de l'étage términédeviennent les entrée du prochain

Fig. I.40 : Organigramme de l'algorithme de la FFT


Voici la transcription sous MATLAB de l'algorithme précédent :

function X=myfft(x) N=length(x); n=nextpow2(N); if ~(N == 2^n) disp('pour l''instant cet algorithme ne fonctionne que pour N=puissance de 2'); return; end; x=x(:); % Classement x=bitrvrs(x); X=zeros(size(x)); for k = 1 : n %indice des étages p = 2^(k-1); % le pas entre points de chaque butterfly Wb = (-1)^(1/p); % coéficient de base M = 2^(n-k); % nombre de paquets de butterfly for m = 1 : M % indice paquet W=1; % coéficient de départ d = (m-1)*2*p+1; % indice debut paquet for i = 1 : p % indice butterfly dans paquet l = d+i-1; % indice 1er point du butterfly x(l+p)= W*x(l+p); X(l) = x(l) + x(l+p); X(l+p) = x(l) - x(l+p); W = W * Wb; % pour le prochain passage end; end; x = X; % les sorties de cet étage = entrées étage suivant end;

I.11.1 -- EXEMPLE DE CALCUL DE LA TFD A L'AIDE DE L'ALGORITHME FFT On désire calculer la TFD du signal : x(n) = {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0} (Fig. I.41) • Les coefficients du premier étage sont

toujours tous égaux à 1. • Les coefficients du 2ème étage :

- taille des papillons : p = 2 - coefficient de base : Wb = (-1)½ = j - Les coefficients pour chaque paquet sont

donc 1 et j • coefficients du 3ème étage

- taille des papillons : p = 4 - coef. de base : Wb = (-1)1/4 = 0.7+0.7j - Les coefficients pour chaque paquet sont

donc 1, 0.7+0.7j, j, -0.7+0.7j La figure ci-dessous montre le détail du calcul, le classement des entrées est fait en deux

passages.

1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

n

x(n)

Fig. I.41 : signal discret


-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

28

4+9.66j

4+4j

4+1.66j

4

4-1.66j

4-4j

4-9.66j-0.7+0.7j

j

0.7+0.7j

1

16

4+4j

4

4-4j

12

4+4j

4

4-4j

10

4

6

4

8

4

4

4

1

j

1

j

7

3

5

1

6

2

4

0

7

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

5.66j

5.66j

classement Fig. I.42 : détail de calcul de la FFT du signal x(n) = {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}


CHAPITRE II -- NUMERISATION DU SIGNAL ANALOGIQUE

Les signaux rencontrés dans la nature sont par nature analogique, pour pouvoir les traiter numériquement, il faut d'abord les numériser pour obtenir un signal discret ou signal numérique ou encore signal digital.

Un signal digital est un signal défini seulement pour un certain nombre d'instants que l'on choisit de préférence périodique. La valeur du signal pour chacun de ces instants ne peut prendre elle-même que des valeurs discrètes. Pour obtenir un signal digital à partir d'un signal analogique, on procède en deux étapes; Etape d'échantillonnage

Pendant cette étape, on va échantillonner le signal analogique avec une période d'échantillonnage Te ( fe = 1/Te = fréquence d'échantillonnage). On obtient un signal échantillonné défini seulement aux instants nTe. Etape de quantification

Pendant cette étape, dite aussi étape de codage, on va discrétiser la valeur du signal, c.a.d. qu'on va les ramener aux valeurs discrètes possibles. Pour cela, on peut procéder de deux façons différentes ;

- par troncature, on prend la valeur discrète immédiatement inférieure. - par arrondi, on prend la valeur discrète la plus proche.

0 1 2 3 4 5 6nt

60 1 2 3 4 5n

signal analogique signal échantilloné

signal digital

Fig. II.1 : Numérisation d'un signal Exemple :

On veut numériser le signal m(t) = A + Asin(2π fo t) (A = 4.9 , fo = 120 Hz) avec une fréquence d'échantillonnage fe = 1000 Hz ( Te = 1 ms). Les valeurs du signal seront codés sur 3 bits, elles ne peuvent prendre que les valeurs (0,1,2,3,4,5,6,7). Si on fait correspondre 0 à 0Volts et 7 à la valeur max du signal, c.a.d. 9.8Volts, le signal digital ne peut prendre que les valeurs (0,1.4,2.8,4.2,5.6,7,8.4,9.8)


0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

t (ms)

Fig. II.2 : signal m(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4.9

8.2543

9.7903

8.6755

5.5141

2.0199

0.08680.7628

3.6814

7.2606

9.5602

Fig. II.3 : signal échantillonné

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1.4

2.8

4.2

5.6

7

8.4

9.8

Fig. II.4 : signal digital

II.1 -- SPECTRE D'UN SIGNAL ECHANTILLONE

Pour déterminer le spectre d'un signal échantillonné, la meilleure façon est d'utiliser la fonction d'échantillonnage constituée d'un train d'impulsion de Dirac appelée peigne de dirac

)kTt()t( ek

Te −=∑+∞

−∞=δΨ (64)


L'expression du signal échantillonné est :

)kTt(. )m(kT )kTt( . m(t) )t(. m(t) (t)m ek

eek

Te e −=−== ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=δδΨ (65)

Pour déterminer le spectre, on utilise la transformée de Fourier ;

)kff( T1* M(f) (f)M e

ke e −= ∑

+∞

−∞=δ (66)

)kff(M T1 (f)M e

k e e −= ∑

+∞

−∞= (67)

Le spectre d'un signal échantillonné est un spectre continu, périodique de période fe .Il est constitué par la répétition à ∞ avec la période fe du spectre du signal analogique d'origine.

m(t) M(f)

F

échantillonage

Me(f)0 fe-fe B-B

A

0

0

ATe

F

me(t)

Fig. II.5 : Spectre d'un signal échantillonné II.2 -- RECONSTITUTION DU SIGNAL CONTINU A PARTIR DU SIGNAL ECHANTILLONNE

Le spectre M(f) du signal analogique m(t) peut être facilement extrait du spectre Me(f) par troncature c.a.d. en multipliant celui-ci par une fenêtre carrée d'amplitude 1 et qui s'étend de –fe /2 à + fe /2.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

eee f

frect . )f(M T )f(M (68)

En appliquant la transformée de Fourier inverse on obtient :


( )

( ) ( )tf* sinc kTt)kT(m

tf sincf* )t(m T )t(m

e-k

ee

eeee

∑∞+

∞=−=

=

δ (69)

( )e

e

-ke T

kTt sinc)kT(m )t(m −= ∑+∞

∞= (70)

Un signal analogique peut être reconstitué à partir de sa version échantillonnée en additionnant à l'infini des fonctions sinc(t/Te). Chacune étant centrée sur l'instant kTe et ayant l'amplitude m(kTe). C'est pour cette raison que la fonction sinc(t) est souvent appelée fonction d'interpolation.

0 Te 2Te 3Te-Te-2Te-3Te Fig. II.6 : reconstitution d'un signal à partir de ses échantillons

Dans la pratique, on ne meut évidemment pas sommer jusqu'à l'infini, mais comme la fonction sinus

cardinal décroît assez rapidement, il suffit de sommer une nombre N pas trop grand (une dizaine) de fonctions sinc de part et d'autre de l'instant considéré. si par exemple on désire calculer la valeur m(to) avec n Te < to < (n+1)Te :

( )e

eoNn

N-nkeo T

kTt sinc)kT(m )t(m −= ∑+

= (71)

La figure (Fig. II.7) montre la reconstitution d'un signal de largeur de bande B = 90 Hz à partir de

son signal échantillonné à fe = 200 Hz. (N=20)


0.24 0.245 0.25 0.255 0.26 0.265-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Fig. II.7 : reconstitution d'un signal à partir de ces échantillons (fmax=90Hz, Te=0.005 s)

II.3 -- THEOREME DECHANTILLONNAGE

On a vu au paragraphe précédent (Fig. II.5), que le spectre de M(f) de m(t) constituait la bande de

base du spectre Me(f) de me(t) et pouvait être extrait à l'aide d'un filtre passe bas de fonction de

transfert ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

effrect . En utilisant la transformée de Fourier inverse de M(f), on a montré que le signal

continu m(t) est peut être reconstitué à partir du signal échantillonné. On observant la figure (Fig. II.8), on remarque que M(f) ne peut être extrait de Me(f) que si la relation de Shannon fe ≥ 2B est vérifiés.

Si cette condition n'est pas vérifiée, le spectre Me(f) présente des recouvrements entre ses

différentes périodes (Fig. II.8). Le spectre )f(M̂e extrait par filtrage n'est pas identique au spectre M(f) de m(t). Ce dernier ne peut donc pas être reconstitué à partir de ses échantillons.


Me(f)0 fe-fe B-B

0

ATe

F

me(t)

Me(f)

0

ATe

F

me(t) 0 fe-fe B-B

0

ATe

0 fe-fe fe2

-fe2

0 fe-fe

Fig. II.8 : illustration du recouvrement du spectre

Un signal est supposé être correctement représenté par la suite de ces

échantillons prélevés avec la périodicité e

e f1T = à condition que la relation fe ≥ 2B

soit vérifiée. Dans ce cas, le signal d'origine peut être intégralement reconstitué à partir de cette suite d'échantillons.

La figure (Fig. II.9) montre la reconstitution d'un signal de largeur de bande B = 90 Hz à partir de

son signal échantillonné à fe = 166 Hz. On remarque que le signal reconstitué est différent du signal d'origine et ceci parce que la relation de Shannon n'est pas vérifiée.


0.24 0.245 0.25 0.255 0.26 0.265-5

0

5

10

15signal d'origine

signal reconstitué

Fig. II.9 : reconstitution d'un signal à partir de ces échantillons (fmax=90Hz, fe=166 s)

II.4 -- LA QUANTIFICATION Si la valeur du signal est codée sur n bits, elle ne peut prendre que 2n valeurs entières différentes. Si le signal évolue entre deux limites –Vmax, +Vmax on définit le pas de quantification par :

2

2V q nmax=

A un instant d'échantillonnage ti, la valeur numérique N(ti) du signal peut être définie de deux façons :

- On prend la valeur numérique immédiatement inférieure à q)t(V i troncature

- On prend la valeur numérique la plus proche de q)t(V i arrondi

5=Vmax

0 t 1

t

t 2 t 3 t 4 t 5 t 6-5=-Vmax

0

1

2

3

-1

-2

-3

-4

1.25

2.5

3.75

-1.25

-2.5

-3.75

q=1.25

Fig. II-1 : codage sur 3 bits

La reconstitution du signal est obtenue par la relation :


q )t(N )t(V ii ×= On peut vérifier sur la figure ci-dessus que l'erreur de quantification (arrondi) est au plus égale à

q/2. Mais au voisinage de Vmax, cette erreur peut atteindre q du fait que l'on ne peut pas représenter le nombre +4 sur 3 bits. Pour remédier à ce problème il suffit de prendre Vmax supérieure de q/2 par rapport à la vraie valeur maximum du signal. Une autre méthode consiste à décaler le signal analogique de q/2 vers le bas avant de le quantifier. Dans ce cas, il ne faut pas oublier de redécaler le signal reconstitué de q/2 vers le haut.

Dans la pratique, un signal peut présenter une différence de niveaux importante. C’est le cas du

signal parole pur lequel la différence de niveau entre les sons voisés et les sons non voisés peut être très importante. Ce pose alors le choix du pas de quantification.

Comme on utilise un pas de quantification uniforme et que celui-ci est défini en fonction de la valeur max du signal, sa valeur sera bien adaptés pour les signaux de forte amplitude mais sera trop grande pour la quantification des signaux à faible niveau. En d'autres termes, si on note Amax l'amplitude max des signaux voisés et am l'amplitude max des signaux non voisés, L'erreur de quantification max pour

les deux types de signaux sera égale à 22

2A 2q e n

maxq ×

== , l'erreur relative pour chacun des deux signaux

sera :

son voisé : Ae

emax

qqr =

son non voisé : ae

em

qqr =

am étant bien plus faible Amax, l'erreur de quantificateur relative des sons non voisés est bien plus importante que celle des son voisés.

(faire une erreur de 1 DH sur 1000 DH est mois grave que de faire une erreur de 1DH sur 10 DH)

V o isé

n o n vo isé

Fig. II-2 : allure d'un signal vocal


1

2

3

-1

-2

-3

-4

V

N

q 2q 3q-3q -2q -q-4q

Fig. II-3 : Quantificateur uniforme

Ceci peut être mis en évidence en calculant le rapport Signal/Bruit pour les deux types de signaux. Si on note: x(n) : signal à l'entrée du quantificateur y(n) : signal quantifié à la sortie du quantificateur e(n) = y(n) – x(n)

Le rapport Signal à bruit est défini par : 2e

2x

qlog 10 B

Sσσ=

σ représente la variance d'un sigal, c'est une mesure de son niveau d'amplitude. σ2 est la valeur

moyenne du carré du signal : 22x x =σ , 2

x x =σ Pour un quantificateur sur n bits, on démontre que :

x

max

q

Alog 20 4.77 6n BS

σ−+=

Pour un signal sinusoïdal d'amplitude A, 2

A x =σ , le rapport signal à bruit de quantification

devient : AAlog 20 1.8 6n B

S max

q−+=

Pour un signal vocal, le niveau d'un son voisé peut être de 10 à 30 fois supérieur à celui d'un son non

voisé. Le terme AAlog 20 max peut donc varier de 20 à 30 dB entre les deux types de signaux.

Exemple :

n = 8 bits , Av = 4.8V, Anv = 0.25 V, Amax = 5 V

dB 49.4 8.45log 20 1.8 48 (voisé)B

Sq

=−+=


dB 24 25.05log 20 1.8 48 voisé) (nonB

Sq

=−+=

Conclusion : Lors de la quantification d'un signal non uniforme (comme le signal vocal) dans lequel se succèdent des tronçons à fort niveau et des tronçons à faible niveau, les faibles niveau sont mal quantifiés et produisent un rapport signal à bruit de quantification médiocre (20 à 30 dB inférieur à celui des signaux à fort niveau). II.4.1 -- QUANTIFICATION NON UNIFORME

Le remède qui vient à l'esprit pour remédier au problème du bruit de quantification est d'essayer de quantifier les faibles signaux avec un pas plus fin que celui des forts signaux. de cette façon on peut avoir la même erreur de quantification relative pour des signaux de différents niveaux et obtenir ainsi un rapport signal à bruit constant.

V o isé

no n vo isé

Fig. II-4 : Utilisation d'un pas de quantification non uniforme

On démontre que pour avoir un Rapport signal à bruit constant, il faut que le pas de quantification

augmente d'une façon logarithmique


1

3

-1V

N

4 5 6 7 8 9

10

2

-2-3-4-5-6-7-8-9

-10

q10 q9q8q7q6

Fig. II-5 : Quantificateur logarithmique

En Europe, on a adopté la loi A

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

>++=

<+=

87.5 A avec

A1 x pour Ln(A) 1

x) Ln(A 1 y

A1 x pour Ln(A) 1

x A y

Aux Etats Unis, on a adopté la loi µ

255 µavec µ) Ln(1 µx) Ln(1 y ++=

(Si on trace les deux lois on s'aperçoit qu'elles sont quasiment superposées, les choix différents relèvent plus de considérations stratégiques que scientifiques)

On démontre qu'avec un quantificateur du type loi µ, le rapport signal à bruit est de la forme :

( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σ++−+=x

max2

x

max

q µA2µ

A1log 10 - µ1Lnlog 20 4.77 6n BS

On constate que le rapport signal à bruit n'est pas constant comme on l'aurait espéré mais on peut

vérifier qu'il dépend beaucoup moins du terme x

maxAσ que dans le cas du quantificateur uniforme.

La figure ci-dessous permet de comparer un quantificateur uniforme avec un quantificateur non uniforme. On remarque que pour le quantificateur non uniforme, le rapport signal à bruit reste quasiment constant [36 – 38 dB] pour un niveau de signal variant entre Amax à Amax/100


1 10 100 1000 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50 non uniforme

µ=255

uniforme

Fig. II-6 : rapport signal brui en fonction de x

maxAσ

d'un quantificateur sur 8 bits

II.4.2 -- COMPRESSION

La quantification non uniforme avec une loi logarithmique est équivalente à une quantification uniforme signal préalablement compressé avec un amplificateur logarithmique. L'amplification logarithmique consiste à amplifier les faibles niveaux afin qu'ils soient correctement quantifiés avec un pas uniforme. Les lois de compression utilisée sont la loi A en Europe et la loi µ aux Etats Unis

A la réception le signal est décompressé par les loi de compression inverse ou loi de décompression.

Amplificateur

Logarithmique Quantificateur

uniforme

0 10 20 30 40 50 60 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Fig. II-8 : Signal comprimé avec la loi µ (u = 255)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

50

255

1000

Fig. II-7 : loi de compression µ


CHAPITRE III -- ESTIMATION SPECTRALE A L'AIDE LA TTFD

Soit un signal discret x(n) (Fig. III.1) issu de l'échantillonnage du signal xc(t) avec les paramètres suivant :

• fe : fréquence d'échantillonnage. • Te = période d'échantillonnage • N : Nombre de points. • θ : duré observée, θ = N . Te

La TFD X(n) de x(n) est illustrée sur la figure

(Fig. III.2). On constate : • X(n) contient N points ( 0 à N-1) • X(n) est symétrique par rapport à N/2

correspondant à fe/2. • Les échantillons de X(n) sont séparés de

θ1 NT

1 Nf df

e

e === qu'on appelle résolution

spectrale. • Pour éviter les erreurs, remarquer que

l'échantillon X(0) n'a pas de symétrique - la durée observée est θ = N Te , mais le dernier échantillon se situe à (N-1)Te

- L'étendue (période) de X(n) est fe = N df, mais le dernier échantillon se situe à (N-1)df

Exemple : x(n) = 0.8n , N = 10, fe = 500 Hz, Te = 2 ms, θ = 20 ms, df = 50 Hz

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t (ms)0 1 2 3 5 7 94 6 8 n

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

500 Hz

n0 1 2 3 5 7 94 6 8

axe desymétrie

Fig. III.3 : x(n) = 0.8n X(n) = TFD de x(n)

La question qui se pose maintenant est : Est-ce que X(n) est une bonne estimation spectrale du signal xc(t) ? Pour répondre à cette question, il faut bien comprendre à quoi correspond la TFD de x(n) .

x(n)

t

n

θ0 Te

0 1 2N-1

3 4 5 6 7 8 9 N

Fig. III.1 : signal discret x(n)

X(n)

f

n

0 df

0 1 2N-1

3 4 5 6 7 8 9 N

fe2

fe

Fig. III.2 : TFD du signal x(n)


Le signal x(n) est obtenu en tronquant le signal xc(t) à l'aide de la fenêtre discrète w(n) (Fig. III.4) constitué de N impulsions de Dirac espacées de Te. :

w(n)

n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fig. III.4 : fenêtre de troncature W(n)

∑=

=1-N

0ke)-kT(t )n(w δ (72)

x(n) = xc(t) . w(n) Conformément au théorème de convolution, La transformée de Fourier de x(n) est défini par :

W(f) (f)X )f(X c ∗= (73) avec W(f) périodique de période fe définie dans le paragraphe ( I.10.3 -- ) soit :

)f

fsin(

N)ffsin(

e )f(We

e1)-N(f

fj2-e

π

ππ= (74)

Si on calcule la TFD de x(n) , on obtient Une suite X(n) qui n'est rien d'autre que le résultat de

l'échantillonnage de X(f) avec un pas d'échantillonnage de fe/N = 1/θ .

En conclusion, Les échantillons dans le domaine fréquentiel obtenu par la TFD d'une observation finie x(n) d'un signal continu xc(t) ne correspondent pas aux échantillons de Xc(f) mais de W(f) (f)Xc ∗ , W(f) étant la transformée de Fourier de la fenêtre de troncature discrète ayant permis d'obtenir x(n).

Pour illustrer cette constatation, supposons que xc(t) est un signal sinusoïdal de fréquence fo , Il

vient que Xc(f) est constituée d'une raie spectrale δ(f-fo) située à la fréquence fo et d'une raie spectrale δ(f+fo) située à la fréquence -fo. X(f) aura donc l'allure représentée sur (Fig. III.5 )

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 30000

2

4

6

8

10

12

fe=2000 Hz , L=10 , fo = 300 Hz

Fig. III.5 : X(f) dans le cas fe=2000 Hz, N=10, fo = 300 Hz


L'opération de convolution à placé les lobes de W(f) (Fig. I.30) en fo et –fo . Donc au lieu d'avoir des raies spectrales en fo et –fo, on a des lobes plus au moins large et ceci

selon la valeur de N. rappelons que la largeur du lobe principal de W(f) est égale à 2fe/N. et celle des lobes secondaires est égale à fe/N.

Si on calcule X(n) par TFD de x(n), cela reviendra à échantillonner X(f) aux points multiples de

df=fe/N. La situation va dépendre de la relation entre la fréquence fo du signal sinusoïdal et de df.

exemple 1 : fe = 500 Hz, N= 10, df = 50 Hz fo = 100 Hz On remarque sur la figure (Fig. III.6)

que du fait que fo est multiple de df, le résultat est parfait. Le spectre est constitué de deux raies parfaitement bien placées. Mais ceci est du au fait que tout les autres échantillons coïncident avec les fréquences où X(f) s'annule. Rappelons que la largeur du lobe principal est égale à 2 df et que celle des lobes secondaires est égale à df.

exemple 2 : Prenons maintenant un signal de fréquence

fo = 125 Hz qui n'est pas multiple de df=50Hz.

Le résultat est tout simplement

catastrophique. Au lieu d'avoir une raie à fo et une autre à fe-fo , on a une multitude de raies dues à l'échantillonnage de X(f) à des points où elle n'est pas nulle.

En conclusion, Si on échantillonne un signal x(t), et si on prend un nombre fini d'échantillons x(n) dont on calcule la TFD X(n), Alors le module de X(n) ne constitue pas une approximation exacte du spectre de x(t)

III.1 -- AMELIORATION DE L'ESTIMATION SPECTRALE Beaucoup d'articles ont été publiés pour proposer des remèdes aux problèmes de l'estimation

spectrale par la TFD. Nous ne parlerons que de deux idées fondamentales

0 100 200 300 400 5000

2

4

6

8

10

12

Fig. III.6 : X(n) dans le cas où fo est multiple de df

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

2

4

6

8

10

Fig. III.7 : X(n) dans le cas où fo n'est pas multiple de df


III.1.1 -- AMELIORATION DE LA RESOLUTION SPECTRALE Ceci revient à diminuer df donc d'augmenter N, c'est à dire de travailler sur des observations plus

longues. Prenons par exemple : fe = 500 Hz, N = 50, df = 10 Hz fo = 127 Hz On remarque sur la figure (Fig. III.8) que les choses se sont un peu améliorés. Le spectre ressemble

d'avantage à celui d'un signal sinusoïdal. Le lobe principal est très étroit et les lobes secondaires d'amplitudes non négligeables sont concentrés au voisinage de fo ce qui diminue l'erreur due aux lobes secondaires. remarque : Pour N=200, (Fig. III.8) X(n) a été tracée en reliant les échantillons par un trait continu

pour améliorer la lisibilité de la figure.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

2

4

6

8

10

12N=50 df = 10 fo=127

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4

5

6

7

8

N=200 df=2.5 fo=126Hz

Fig. III.8 : Estimation spectrale avec un nombre de points plus important

III.1.2 -- FENETRAGE

Comme on vient de le voir, les lobes secondaires de la fenêtre carrée sont responsables d'une partie non négligeable de l'erreur sur l'estimation spectrale. Ces lobes secondaires sont dus à la coupure 'brutale' de la fenêtre carrée. Il existe d'autres fenêtres plous 'douces' ayant des lobes secondaires moins importants.

• Fenêtre de Hamming : ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−=

ailleur 0N n 0 N

n2cos46.054.0)n(w

π (75)

• Fenêtre de Hanning : ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−=

ailleur 0N n 0 N

n2cos5.05.0)n(w

π (76)

• Fenêtre de Blackmann : ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤+−=

ailleur 0N n 0 N

n4cos08.0Nn2cos5.042.0

)n(wππ

(77)

On remarque sur la figure (Fig. III.9) que les fenêtres de Hamming et de Hanning on des lobes secondaires bien plus faibles que ceux de la fenêtre carrée. En revanche leurs lobes principaux sont plus larges ce qui est un inconvénient.

La figure (Fig. III.10) illustre la troncature d'un signal par fenêtre carrée et par une fenêtre de Hanning.

La figure (Fig. III.11) permet de vérifier que la fenêtre de Hanning donne une estimation spectrale bien meilleure que la fenêtre carrée.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 kaiserbartletthamminghanningblackman

1

122

3

3

4

4

5

5

temps

hanninghamming

carré

fréquence Fig. III.9 : figure de troncature et leurs transformée de Fourier

Fig. III.10 : Troncature d'un signal sinusoïdal par une fenêtre carrée et une fenêtre de Hanning

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4

5

6

7N=50 df=10 fo=125Hz

fenêtre carrée

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

N=50 df=10 fo=125Hz

fenetre deHanning

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4

5

6

7

8N=100 df=5 fo=127Hz

fenêtre crrée

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

2

4

6

8

10N=100 df=5 fo=127Hz

fenêtre deHanning

Fig. III.11 : Comparaison de l'estimation spectrale avec fenêtre carrée et fenêtre de Hanning


III.2 -- REALISATION DU FILTRE DE HILBERT A L'AIDE DE LA TFD Le filtre e Hilbert est un filtre particulier qui n'agit pas sur l'amplitude du signal qui le traverse

mais il en déphase tous les harmoniques de π/2. Ce filtre est impossible à réaliser à l'aide des techniques analogiques classiques, On ne sait pas réaliser un filtre déphaseur dont le déphasage soit indépendant de la fréquence.

Hx(t) x(t)^

Fig. III.12 : filtrage de Hilbert

III.2.1 -- SIGNAL ANALYTIQUE

Par définition, le signal analytique complexe xa(t) attaché au signal x(t) est définit par :

(t)x̂ j x(t) )t(xa += (78)

(t)x̂ est la transformée de Hilbert de x(t). On montre que la transformée de Fourier Xa(f) du signal xa(t) est une fonction causale c'est à dire

que Xa(f) est nulle pour les fréquences négatives.

Xa(f)

f

Fig. III.13 : transformée de Fourier d'un signal analytique Si on travaille avec des signaux discrets, le signal analytique discret est défini par :

(n)x̂ j x(n) )n(xa += (79) sa transformée de Fourier discrète est définie par :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

==

=

ailleurs 012

N à 1n de 2X(n)2Nn et 0n pour X(n)

)n(Xa (80)

soit : (n)U . X(n) )n(X Na = (81) avec UN(n) définie sur la figure (Fig. III.14)


n

U (n)N

1

2

Fig. III.14 : Echelon Discret UN(n)

Avec ces définitions, on détermine l'algorithme qui permet de déterminer le signal (n)x̂ constituant

la transformée de Hilbert discrète du signal discret x(n) :

(n)x (n)x (n)X X(n) )n(x Imaginaire P. a

FFT a

(n)U FFT -1N)

⎯⎯⎯ →⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯→⎯ × (82) Exemple :

Déterminer le signal (n)x̂ correspondant à x(n) = cos(2πf1t) + cos(2πf2t) avec f1=500Hz , f2=750Hz. • On calcule X(n) à l'aide de la FFT (Fig. III.15) • On multiplie par UN(n) et on obtient Xa(n) (Fig. III.15) • On réalise la FFT inverse et on obtient xa(n) • On en extrait la partie imaginaire (n)x̂ (Fig. III.17)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

10

20

30

40

50

60

70

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

20

40

60

80

100

120

140

Fig. III.15 : X(n) Fig. III.16 : Xa(n)

Attention :

(n)x̂ ne peut pas être détermine à partire de x(n) par décalage dans le temps. Ceci peut être fait seulement pour un signal à un seul harmonique.

0 1 2 3 4 5 6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x(n)

x(n)^

Fig. III.17 : x(n) et (n)x̂


Vérification : Pour vérifier le résultat précédent,

nous allons vérifier que (n)x̂ coïncide parfaitement avec le signal

( ) ( )2tf2cos 2tf2cos )n('x 21ππππ −+−=

car nous savons que le filtre de Hilbert décale chaque harmonique de π /2 .

Le résultat est illustré sur la figure (Fig. III.18)

0 1 2 3 4 5 6ms-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fig. III.18 : ( ) ( )2tf2cos 2tf2cos )n('x 21

ππππ −+−=


CHAPITRE IV -- LES SYSTEMES LINEAIRE DISCRETS INVARIANTS DANS LE TEMPS

Les systèmes linéaires discrets invariants dans le temps (LIT) constituent un domaine très important du traitement numérique du signal, dont celui des filtres numériques à caractéristiques fixes.

IV.1 -- DEFINITIONS

Un système discret est un système qui convertit une suite d'entrée x(n) en une suite de sortie y(n). Un système discret est : • Linéaire si :

)n(y )n(y )n(x )n(x )n(y )n(x)n(y )n(x

21212211 +⇒+⇒→

→ (83)

• Invariant dans le temps si : )nn(y )nn(x )n(y )n(x oo −→−⇒→ (84)

Ceci veut dire tout simplement que si on applique maintenant à l'entrée du système un signal x(n), on obtient une sortie y(n), alors si on recommence dans une minute, on obtiendra la même sortie. Ce qui signifie que c'est un système qui ne change pas dans le temps. Il existe deux méthodes de base pour l'étude d'un système LIT et pouvoir déterminer sa réponse à

un signal discret quelconque : • L'une est basée sur l'idée qui consiste à décomposer le signal d'entrée en une somme de signaux

élémentaires dont la réponse du système pour chacun de ces signaux est facile à déterminer. En utilisant ensuite la propriété de linéarité, la réponse du système est déterminée en sommant les réponses élémentaires. Cette méthode est connue par la méthode d'analyse par la réponse impulsionnelle.

• L'autre méthode consiste à représenter le système par une équation reliant l'entrée et la sortie. Cette équation s'appèle l'équation aux différences.

IV.2 -- ETUDE D'UN SYSTEME DISCRET PAR SA REPONSE IMPULSIONNELLE

Le signal discret étant constitué d'une suite d'échantillons. Le signal unitaire le plus adapté à sa décomposition est l'impulsion unité δ(n) qui est égale à 1 pour n = 0 est nulle partout ailleurs où n ≠ 0.

Si on note h(n) la réponse d'un système LIT à la suite unitaire δ(n) , alors, la propriété d'invariance dans le temps implique : )kn(h )kn( )n(h )n( −→−⇒→ δδ (85) d'autre part, nous savons que n'importe quelle suite x(n) peut s'écrire (échantillonnage) :

-k)(n x(k) )n(x-k

δ∑∞

∞== (86)

La propriété de linéarité implique alors que la réponse du système à la séquence x(n) est :

-k)h(n x(k) )n(y-k∑∞

∞== (87)

Cette expression n'est rien d'autre que la fonction de convolution des suites x(n) et h(n). h(n) x(n) )n(y ∗= (88)

C'est l'équation de convolution qui caractérise les systèmes LIT. C'est à dire l'équation qui permet de calculer sa sortie à partir de la séquence d'entrée.


-k)x(n h(k) -k)h(n x(k) )n(y-k-k∑∑∞

∞=

∞

∞=== (89)

Un système LIT est donc parfaitement défini par la donnée de sa réponse impulsionnelle h(n)

IV.3 -- PROPRIETES IV.3.1 -- CAUSALITE

Un système LIT est dit causal si sa sortie à l'instant no ne dépend que des valeurs de l'entrée aux instants n ≤ no. Tous les systèmes physiques réalisables sont causaux, car aucun système ne peut calculer sa sortie à un instant donné en fonction des valeurs de l'entrée qui ne sont pas encore arrivés. Pour voir ce que cela implique, essayons d'écrire la valeur de y(10) à partir de (89) :

y(10) = . . . + h(-2)x(12) + h(-1)x(11) + h(0)x(10) + h(1)x(9) + h(2)x(8) + . . . (90)

Pour ne pas avoir les termes x(11) , x(12), . . . qui ne sont pas

encore arrivé à l'instant no, Il faut que leurs coefficients soient nuls. C'est à dire h(-1) = h(-2) = h(-3) = . . . = 0 :

IV.3.2 -- STABILITE

Un système LIT est stable si à toute entrée d'amplitude bornée, correspond une sortie d'amplitude bornée. Une condition nécessaire est suffisante de stabilité est donnée par :

∞<∑∞

−∞= )k(h

k (91)

• Cette condition est nécessaire, en effet, si on applique au système la suite x(n) définie par :

⎩⎨⎧

<−≥+= 0 h(-n) si 1

0 h(-n) si 1 x(n) (92)

Alors on a pour n = 0, ∑∞

−∞==

k)k(h )o(y

Si la relation (91) n'est pas vérifiée, alors y(0) n'est pas bornée est le système n'est pas stable. • Cette condition est suffisante, en effet, si x(n) est bornée, alors | x(n) | ≤ M pour tout n

D'autre part, il est toujours vrai que :

)kn(x )k(h )kn(x)k(hkk

−<− ∑∑ (93)

donc :

-10 -5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. IV.1 : réponse impulsionnelle d'un

système causal

Un Système LIT causal est un système dont la réponse impulsionnelle h(n) est causale, c.a.d. :

h(n) = 0 pour n < 0


∑∑ ≤−≤kk

)k(h M )kn(x )k(h )n(y (94)

Si l'inégalité (91) est vérifiée, alors y(n) est bornée.

exemple : Le système LIT dont la réponse impulsionnelle est h(n) = an avec n ≥ 0 est stable si |a| < 1

IV.4 -- LA TRANSFORMEE EN Z La transformée de Fourier est un outil précieux en traitement des signaux, analogiques ou

numériques, sur le plan théorique et expérimental. Toutefois, dans certains problèmes, surtout dans ceux qui sont orientés vers l'analyse et la synthèse des systèmes (par exemple en filtrage Numérique), les limites des capacités de la transformée de Fourier sont vite atteintes. Le besoin ainsi crée d'un outil plus puissant est comblé, principalement sur le plan théorique, par la transformée en z. Cette transformation peut être considérée comme une généralisation de la transformée de Fourier à laquelle elle s'identifie dans un cas particulier.

La transformée en z d'une suite x(n) est définie par :

∑∞

∞==

-k

k-z x(k) )z(X (95)

z est une variable complexe et la fonction X(z) possède un domaine

de convergence (en z) ou région de convergence (ROC : Region Of Convergence) qui est en général un anneau centré sur l'origine et compris entre deux rayons R1 et R2 .

R1 < |z | < R2

La région de convergence dépend de la nature du signal. La figure

(Fig. IV.3) donne quelques exemples caractéristiques.

exemple 1 : déterminer les transformée en z des séquences finies suivantes : x1(n) = { 1 , 2 , 5 , 7 , 0 , 1 }, x2(n) = { 1 , 2 , 5 , 7 , 0 , 1 } 5 signifie x2(0) = 5 X1(z) = 1 + 2z-1 + 5z-2+ 7z-3+ z-5 R.O.C : tout le plan Z sauf z = 0 X2(z) = z2+ 2z+1+ 5 + 7z-1+ z-3 R.O.C : tout le plan Z sauf z = 0 et z = ∞ Si on observe les expressions de X1(z) et de X2(z) on remarque que, mathématiquement parlant, la

transformée en z n'est qu'une façon différente de représenter une séquence discrète, les coefficients des termes z-n sont les valeurs de x(n) aux instants n.

Exemple 2 :

Déterminer la transformée en z du signal ( ) u(n) 21 )n(x

n=

réel

imaginaire

R1 R2

Fig. IV.2 : domaine de convergence


C*Causalfini

antcausalfini

sauf z =

fini

sauf z = o et z=

Causalinfini . . . .

r

| z | > r

Anticausalinfini

. . . .

r

| z | < r

infini. . . .

r2 < | z | < r1

. . . .

∞

∞

Fig. IV.3 : régions de convergence de signaux typiques.

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= . . . ,2

1 , . . . ,21 ,2

1 , 21 , 1 x(n)

n32

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

−=++++++=0k

k1n-n3-32-21- z21 . . . z2

1 . . . z21 z2

1 z 21 1 X(z)

C'est une progression géométrique : 1 A si -A11 ...AAA1 32 <=++++

d'où 21 z : R.O.C z-1

1 )z(X 121 >= − (96)

On remarque que dans ce cas la transformée en z offre une représentation compacte du signal x(n).


IV.5 -- LA TRANSFORMEE EN Z RATIONNELLE Les transformée en z sous forme rationnelle constituent une famille importante dans le domaine du

traitement numérique du signal. Rappelons que les zéros de X(z) sont les valeurs de z pour lesquels X(z) = 0 et les pôles sont les

valeurs de z pour lesquels X(z) = ∞ (ce sont les zéros du dénominateur). Une fonction X(z) rationnelle est de la forme :

N-N

3-3

2-2

1-10

-MM

-33

-22

-11o

za . . . za za za azb . . . zb zb zb b X(z)

++++++++++

= (97)

oN3-N

o32-N

o21-N

o1N

o

M3-M

o

32-M

o

21-M

o

1M

0

oMN

aa . . . za

a zaa za

a z

bb . . . zb

b zbb zb

b z a

bzz )z(X

+++++

+++++= (98)

)p-...(z )p-(z )p-(z )p-(z )z-...(z )z-(z )z-(z )z-(z z G X(z)

N321

M321M-N= (99)

∏

∏

=

== N

1kk

M

1kk

M-N

)p-(z

)z-(z z G X(z) (100)

Une transformée en z rationnelle est donc parfaitement définie par la donnée de ses pôles et de ses

zéros. ________________________________________________________________ signal x(n) transformée en z X(z) R.O.C. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ δ(n) 1 tout Z (101)

u(n) 1z-11

− |z| > 1 (102)

an u(n) 1za-11

− |z| > |a| (103)

nan u(n) ( )21

1

za-1za

−

− |z| > |a| (104)

-an u(-n-1) 1za-11

− |z| < |a| (105)

-nan u(-n-1) ( )21

1

za-1za

−

− |z| < |a| (106)

cos(ωn) u(n) 211

zcosz2-1cosz-1

−−

−

+ωω |z| > 1 (107)

sin(ωn) u(n) 211

zcosz2-1cosz

−−

−

+ωω |z| > 1 (108)

(an cos(ωn)) u(n) 2211

zacosz2a-1cosza-1

−−

−

+ωω |z| > |a| (109)

(an sin(ωn)) u(n) 2211

zacosz2a-1sinza

−−

−

+ωω |z| > |a| (110)

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tab. IV.1 : transformées en z usuelles


___________________________________________________________________________ propriété domaine temporel domaine en z R.O.C. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Linéarité a1x1(n) +a2 x2(n) a1X1(z) + a2X2(z) au moins ROC1 ∩ ROC2 (111) décalage temps x(n-k) z-k X(z) ROC de X(z) sauf (112) z=0 si z>0 et z=∞ si z<0 Scalling dan Z an x(n) X(a-1z) |a|r2 < |z|< |a|r1 (113) Inversion x(-n) X(z-1) 1/r1 < |z| < 1/r2 (114) Conjugaison x*(n) X*(z*) ROC de X(z) (115) Partie réelle Re{x(n)} ½[X(z)+ X*(z*)] inclus ROC de X(z) (116) Partie imaginaire Im{x(n)} ½[X(z)+ X*(z*)] inclus ROC de X(z) (117)

Dérivé en z nx(n) dz)z(dXz− r2 < |z| < r1 (118)

Convolution x1(n) * x2(n) X1(z) . X2(z) au moins ROC1 ∩ ROC2 (119) Corrélation x1(n) * x2(-n X1(z) . X2(z-1) au moins (120) ROC{X(z)} ∩ ROC{ X2(z-1)} ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tab. IV.2 : principales propriétés de la transformée en z

Exemple 3 : Déterminer les pôles et les zéros de la transformée en z du signal x(n) = an u(n) avec a>0

----------------- D'après le tableau (Tab. IV.1) , relation (103)

a z , za-11 )z(X 1 >= − soit a p : pôle 1

0 z : zéro 1 a-zz )z(X

1

1

⎩⎨⎧

==→=

Exemple 4

placer les pôles et les zéros de ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−≤≤

= 0a ailleurs 0

1Nn 0 a)n(xn

-----------------------

( ) ( )( ) az

az z1 az

az zz za-1

za-1 za1za-1 za za )z(X

NN1-N

NNN1

NN1

N11-N

0k

k11-N

0k

nn−−=−

−==−

=== −

−

−

−

=

−

=

− ∑∑

Numérateur : l'équation zN = aN possède N solutions,

1-N , . . . 0,1,2, k aez Nk2j

k ==π

Pour z=0 correspond le zéro zo = a le terme (z – zo) se simplifie avec (z – a) d'où

z )z-...(z )z-(z )z-(z )z-(z X(z) 1-N

1-N321=

Pour N = 8 on obtient les pôles et les zéros illustrés sure la figure (Fig. IV.4)

a

z1z2

z6

z3

z4

z5 z77

Fig. IV.4


IV.6 -- COMPORTEMENT D'UN SIGNAL SELON LA POSITION DE CES POLES Le comportement d'une suite réelle causale (d'un système si la suite = h(n) ) dépend de la position

des pôles de sa transformée en z sur le plan complexe, surtout par rapport au cercle unit |z = 1.

1) Signal réel, X(z) possède un seul pôle, ce pole est obligatoirement réel. les seuls signaux ayant cette propriété sont les signaux exponentiels,

x(n) = an u(n) , X(z) = 1za-11

− , |z| > |a|

La séquence x(n) a les propretés suivantes (Fig. IV.5) :

• décroissant si le pôle est à l'intérieur du cercle unité • Constant si le pôle est sur le cercle unité • Croissant si le pôle est hors du cercle unité • Change de signe alternativement si le pôle est négatif

1. . . .

1

1

1

1

1

Fig. IV.5 : comportement d'une séquence ayant un pôle simple

2) Signal réel causal avec un pole réel double.

Les seuls signaux ayant cette propriété sont de la formes :

x(n) = nanu(n), X(z) = ( )21

1

za-1za

−

− , |z| > |a|

On remarque (Fig. IV.6) qu'à la différence d'un signal avec un pôle simple, un signal avec un pôle double sur le cercle unité est non borné.


1 1

1

1

1

1

2 2

22

2 2

Fig. IV.6 : comportement d'une séquence ayant un pôle double

3) Signal avec une paire de pôles complexes conjugués.

Comme on peut le voir sur la figure ( ), le module r des pôles détermine la nature de l'exponentielle, et leur angle détermine la fréquence de la sinusoïde.

1 1 1

r ω

Fig. IV.7 : comportement d'une séquence ayant une paire simple de pôles conjugués

4) Signal avec une paire de pôles doubles.

Ce signal diffère du précédent par le fait qu'il n'est pas borné quand les pôles sont sur le cercle unité.

1

2

2

Fig. IV.8 : : comportement d'une séquence ayant une paire doubles de pôles conjugués


En résumé : • Un signal causal réel avec des pôles simple à l'intérieur ou sur le cercle unité est borné. • Plus les pôles sont proches de zéro plus le signal décroît rapidement.

Tout ce que nous venons de dire pour les signaux, s'applique évidemment à la réponse impulsionnelle h(n) d'un système LIT causal. De ce fait, si un pôle d'un tel système est hors du cercle unité, alors ce système est instable.

IV.7 -- FONCTION DE TRANSFERT EN Z D'UN SYSTEME DISCRET

Nous avons vu qu'un système discret est décrit dans le domaine temporel par sa réponse impulsionnelle, sa sortie est déterminée par la relation de convolution :

y(n) = h(n) * x(n) (121)

D'après la propriété de convolution (119), on a :

X(z) . H(z) Y(z) = (122) H(z) est la fonction de transfert en z d'un système discret. C'est la transformée en z de sa

réponse impulsionnelle.

k-

-kz h(k) )z(H ∑

∞

∞== (123)

IV.8 -- TRANSFORMEE EN Z INVERSE (TZ-1 )

la transformée en z inverse est définie par :

dz X(z) zj21 x(n)

C

1-n∫= π (124)

L'intégration se fait sur un contour fermé contenant tous les pôles de X(z) ainsi que l'origine. Cette

expression de la TZ-1 n'est pas très utilisée car, les systèmes d'intérêt physique ont une transformée en z rationnelle pour laquelle il existe une méthode plus simple pour détermine la réponse dans le domaine temporel.

IV.8.1 -- TRANSFORMEE EN Z INVERSE PAR DEVELOPPEMENT EN SERIE

Partant d'une transformée en z X(z), si on arrive à la décomposer en une série de puissance de z, il

suffira alors d'identifier avec la définition k-

-kz x(k) )z(X ∑

∞

∞== pour déterminer le signal x(n). Dans

le cas ou X(z) est une fonction rationnelle, une méthode simple pour la décomposer est la division euclidienne des polynômes.

Exemple :

déterminer la réponse impulsionnelle du système dont la fonction de transfert est :

z z - 11 )z(H 2-

211-

23 +

= (125)

et ceci pour les deux régions de convergence : a) |z| > 1 ; b) |z| < 0.5 a) La ROC est à l'extérieur du cercle, il faut s'attendre à un signal causal, c.à.d. qui n'a que des termes

en z-1


38155

16154

1631

2474

873

815

1333

432

47

2211

23

2211

23

z zz 0 z zz 0 z zz 0

1 zz0

z z - 1 1

−−−

−−−

−−−

−−

−−

−+

−+

−+

−+

+

... z1631 z8

15 z47 z2

3 1 )z(H 4-3-2-1- +++++=

{ }... , 16

31 , 815 , 4

7 , 23 , 1 )n(h =

b) ROC : |z| < 0.5 fonction anti-causale, H(z) est constituée des puissance positive de z,

22

2-211-

23 2z 3z - 1

2z z z - 11 )z(H

+=

+=

...z62 0 z28z03 0

z12z14 0 62z30z14z6z2z z4z60 z2 z3 - 1 z2

6

65

54

6543243

22

−+

−+

−+

++++−+

+

Nous savon que les termes en z-1 sont nuls, en plus les termes en z0 z1 le sont aussi,

h(n) = { . . . 62 , 30 , 14 , 6 , 2 , 0 , 0 } IV.9 -- SYSTEMES A REPONSE IMPULSIONNELLE FINIE ET INFINIE

Il est intéressant de subdiviser les systèmes LIT en deux clases de systèmes, • Les systèmes à réponse impulsionnelle de durée finie (RIF ou FIR) • Les systèmes à réponse impulsionnelle de durée infinie (RII ou IIR)

Un système RIF a une réponse impulsionnelle nulle en dehors d'un intervalle donné (Fig. IV.9). Nous nous intéresserons plus aux RIF causaux : h(n) = 0 pour n < 0 < N (126)

La relation de convolution des ces systèmes est :

-k)h(k)x(n )n(y1-N

0k∑=

= (127)

-10 -5 0 5 10 15 -10 -5 0 5 10 15

...

entrée

sortie

n0


Fig. IV.9 : réponse d'un RIF causal Fig. IV.10 : réponse d'un RII causal Fig. IV.11 :calcul de la sortie d'un RIF

Une interprétation utile de cette expression est que la sortie du système à un instant donné no est calculée à partir de N échantillons d'entrée qui précèdent cet instant (Fig. IV.9). On dit qu'un système RIF a une mémoire de N échantillons.

Un système RII est un système qui possède une réponse impulsionnelle infinie. L'expression de la

sortie pour un RII causal est :

-k)h(k)x(n )n(y0k∑∞

== (128)

On dit qu'un système RII a une mémoire infini

IV.10 -- LES SYSTEMES RECURSIFS ET NON-RECURSIFS Il est souvent souhaitable de pouvoir calculer la sortie d'un système à l'instant n non seulement à

partir des valeurs précédentes de l'entrée, mais aussi à partir des valeurs précédentes de la sortie. L'exemple suivant illustre ce point de vue.

On désire calculer la moyenne cumulée du signal x(n) définie par :

∑=

=n

0kx(k) 1-n

1 )n(y (129)

A chaque instant la valeur de la sortie est égale à la valeur moyenne de toutes les valeurs précédentes de l'entrée. On remarque que cette opération est assez coûteuse en calcul et en mémoire de stockage, et que ces deux quantités augmentent avec le temps.

Intuitivement, on peut penser que la sortie y(n-1) qui constitue la moyenne des n points précédents peut être utilisée pour calculer le terme y(n), en effet :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++==− ∑∑

−

=

−

=

1n

0k

1n

0kx(n) x(k) 1n

1 x(k) n1 )1n(y (130)

1nx(n) 1)-ny(n )n(y +

+= (131)

avec la méthode directe, on réalisait : • n + 1 addition • 1 multiplication • n mémorisation avec la méthode récursive on réalise : • 2 multiplications • 1 mémorisation [y(n-1)]

En général, on appèle système récursif, tout système dont la sortie y(n) à l'instant n dépend, -en plus de la valeur courante et éventuellement quelques valeurs précédentes de l'entré-, de une ou plusieurs valeurs précédentes de la sortie. ( )M)-x(n1),...,-x(nx(n), K),-y(n 2),...,-y(n 1),-y(nf )n(y = (132)

Alors que dans un système non récursif, la sortie y(n) à l'instant n, ne dépend que de la valeurs

courante et un certain nombre de valeurs précédentes de l'entrée. y(n) ne peut être calculée qu'à l'aide de la relation de convolution ( )

Les systèmes LIT peuvent être répartis en deux classes, les RIFs et les RIIs, • Les RIFs peuvent être réalisés de façon récursive ou non récursive. • Les RIIs peuvent être réalisé seulement par une implémentation récursive

z -1

n+11

y(n)x(n)

ny(n-1)

Fig. IV.12 : architecture d'implantation de la moyenne cumulée


IV.11 -- SYSTEME LIT DEFINIS PAR UNE EQUATION AUX DIFFERENCES

Il s'agit d'une sous classe de systèmes LIT qui peuvent être représentés par une équation aux différences à coefficients constants de la forme :

∑∑==

+=M

0kk

N

1kk -k)x(n b -k)y(n a - )n(y (133)

ou encore avec ao = 1

∑∑==

=M

0kk

N

0kk -k)x(n b -k)y(n a (134)

soit dans le plan complexe,

∑∑==

=M

0k

k-k

N

0k

k-k X(z)z b Y(z)z a (135)

ou encore,

∑

∑

=

== N

0k

k-k

M

0k

k-k

z a

z b X(z)

Y(z) (136)

Le système est dit d'ordre N et sa fonction de transfert est,

NN

22

11

MM

22

110

za ... za za 1zb ... zb zb zb )z(H −−−

−−−

++++++++

= (137)

Trois cas intéressants peuvent se présenter : • Si le dénominateur est égal à 1, (ai = 0 pour 1 ≤ i ≤ N), Le système est un RIF, sa réponse

impulsionnelle n'est rien que la suite { bk } : h(n) = bn •

MM1M

2-M2

1-M1

M0

zb zb... zb zb zb )z(H +++++

= − (138)

Ce système possède le pole d'ordre M z=0, c'est un système stable. • Si bi = 0 pour 1 < i ≤ M, alors la fonction de transfert devient,

N1-N

2-N2

1-N1

N

N0

a za ... za za zzb )z(H

+++++= (139)

Ce système a N pôles. Du fait de la présence de pole, c'est un système à réponse impulsionnelle infinie RII. (y'a qu'à faire une division euclidienne pour s'en apercevoir)

• Dans le cas général, ai ≠ 0, bi ≠ 0, le système est un RII. Exemple :

Déterminer la fonction de transfert du système défini par y(n) = ½y(n-1) + 2x(n) _._._._._._._._._._._

)z(X2z)z(Y21)z(Y 1+= − ce qui donne [ ] )z(X2z2

11)z(Y 1 =− − d'où

121 z12)z(H −−

=

H(z) a un seul pole z = 0.5 RII stable. Le tableau (Tab. IV.1, (105) ) )n(u)5.0(2)n(h n=


CHAPITRE V -- LES FILTRES NUMERIQUES

Les filtres numériques constituent une classe particulièrement importante des systèmes LIT Rappelons qu'un filtre est un système qui atténue (ou amplifie) différemment les signaux qui le

traversent et ceci selon leurs fréquences. Les principaux filtre utilisés sont illustrés sur la figure Fig. V.1). On distingue : (a) : Filtre passe bas. Ce filtre laisse passer les fréquences basses (f < fc ) et coupe (atténue) les

fréquences supérieures à fc. fc est la fréquence de coupure du filtre. (b) : Filtre passe haut. Ce filtre arrête les fréquences inférieures à fc et laisse passe les fréquences

supérieures à fc. (c) : Filtre passe bande. Ce filtre ne laisse passer que les signaux dont la fréquence est comprise entre

la fréquence de coupure basse fc1 et la fréquence de coupure haute fc2 . (d) : Filtre éjecteur de bande. Ce filtre laisse passer tous les signaux sauf ceux dont la fréquence est

comprise entre fc1 et fc2

ffc

H

1

ffc1

H

1

fc2

ffc1

H

1

fc2

(a) (c) (d)

ffc

H

1

(b) Fig. V.1 : fonctions de transfert idéales des quatre types de filtres

A remarquer que nous avons utilisé des fonctions de transfert H(f) en fonction de la fréquence

comme pour les filtres analogiques alors que pour les systèmes discrets c'est de H(z) qu'il s'agit. Ceci tout simplement parce que le tracé de H(z) dans le plan complexe pour les quatre types de filtre n'est

pas très parlant, alors on préfère remplacer la variable z par eff2je π

et on obtient la fonction de transfert H(f) qui est périodique de période fe. La figure (Fig. V.1) ne montre que l'intervalle [0 fe/2]

V.1 -- LES FILTRES A REPONSE IMPULSIONNELLE FINIE (RIF)

Les filtres RIF constituent une classe importante des filtres numériques car, ils sont caractérisés par une phase linéaire dans la bande passante. Cette propriété a une importance fondamentale dans les systèmes de communication. Un filtre ou un système qui a une phase linéaire est caractérisé par le fait que tous les harmoniques qui le traversent subissent un retard identique, le résultat est l'absence de distorsion de phase car ce type de distorsion se produit quand les différents harmoniques constituant un signal n'arrivent pas au même instant à la sortie du filtre. Un harmonique de fréquence fo sera

déphasé de (φo = k fo, et donc retardé de πππφθ 2

k f2kf f2

o

o

o

o === , ce retard est indépendant de la

fréquence et sera le même pour tous les harmoniques.

V.2 -- FILTRE PASSE BAS Nous allons commencer par étudier un filtre passe bas, et nous verrons par la suite que les autres

filtres peuvent être déduit de ce dernier par des transformations adéquates. Le travail consiste à déterminer la réponse impulsionnelle h(n) correspondant à une réponse en

fréquence désirée Hd(f). Si on ne peut pas déterminer h(n) correspondant à Hd(f), on essayera de déterminer h(n) dont la transformée H(f) approche le mieux que possible Hd(f).

La fonction de transfert d'un filtre passe bas idéal est (Fig. V.2) périodique dont la période est égale à la fréquence d'échantillonnage fe dans le domaine temporel.


f

H (f)d

fc fe/2 fe

B

Fig. V.2 : fonction de transfert d'un filtre passe bas idéal

La réponse impulsionnelle correspondant est

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= nf2fsinc f

2f )n(he

c

e

cd (140)

Pour qu'un filtre soit réalisable, il faut que :

• h(n) soit finie • h(n) soit causale

La réponse hd(n) n'est ni finie ni causale. Le filtre désiré dont la réponse est illustrée sur la figure (Fig. V.2) n'est tout simplement pas réalisable.

Comme hd(n) décroît assez rapidement, on peut l'approximer par la réponse hf(n) finie obtenue par

troncature de hd(n) par une fenêtre carrée w(n) de longueur N. Pendant tout ce qui suit, nous prendrons N impair, w(n) (n)h )n(h df = (141)

avec

ailleurs 0 n - 1 )n(w 2

1-N2

1-N

⎩⎨⎧ <<= (142)

D'après la règle de convolution, La fonction de transfert correspondante (Fig. V.4) est :

( )( )

e

e

ff

ff

df sinNsin * )f(H )f(H π

π= (143)

f

H (f)f

fe

Fig. V.4 : illustration de l'effet de troncature par une fenêtre carrée

On remarque donc que l'opération de troncature de la réponse impulsionnelle par une fenêtre

carrée, introduit des ondulations sur la fonction de transfert. Maintenant que la réponse impulsionnelle est finie, il faut essayer de la rendre causale. Ceci peut

être obtenu en la décalant de (N-1)/2 échantillons à droite. Cette opération, heureusement, n'agit pas sur le module de la transformée de Fourier H(f) qui restera celle illustrée sur la figure (Fig. V.4).

0

Fig. V.3 : réponse impulsionnelle d'un filtre RIF passe bas idéal


La réponse impulsionnelle réalisable ainsi obtenue est illustrée sur la figure (Fig. V.5)

Son expression est :

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= −

21N

e

c

e

c nf2fsinc f

2f )n(h (144)

Voici une fonction MATLAB permettant de calculer ce filtre :

function h=myfirl(N,fc,fe) B=2*fc/fe; n=0:N-1; h=B*sinc(B*(n-(N-1)/2));

D'après la propriété de décalage de la transformée de Fourier, la fonction de transfert du filtre réalisable est donc :

( )( )

1Nj-

ff

ff

dj-

feff

e

e21N

eff2

e 2sinNsin * )f(H e )f(H )f(H −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

− ππ

ππ

(145)

En conclusion, on remarque que le filtre réalisable H(f) n'est qu'une approximation du filtre désiré Hd(f), il a les caractéristiques suivantes :

• Il comporte une ondulation 2δ1 dans la bande passante. • Il comporte une ondulation δ2 dans la bande coupée. Cette ondulation dépend de l'amplitude des

lobes secondaires de la transformée de Fourier de la fenêtre carrée. • La coupure du filtre n'est pas verticale, ce qui définit une zone de transition qui dépend de la

largeur du lobe principal c'est à dire qui diminue quand N augmente.

1+δ1

1−δ11

fp fc fs Fig. V.6 : Fonction de transfert réalisable du filtre passe bas

h(n)

n

Fig. V.5 : réponse impulsionnelle réalisable d'un filtre passe

bas


V.3 -- FILTRE PASSE HAUT Si on note HL(f) la fonction de transfert désirée de du filtre passe bas (Fig. V.2) alors la fonction

de transfert idéale HH(f) d'un filtre passe haut peut en être déduite par décalage soit à droite soit à gauche soit la somme des deux (Fig. V.7),

[ ] 2f

ooLoLHef avec )ff(H )ff(H 2

1 )f(H =++−= (146)

f

H (f)H

fc fe/2 fe

B

Fig. V.7 : fonction de transfert d'un filtre passe haut idéal

En appliquant la propriété de décalage de la transformée de Fourier, on obtient la réponse

impulsionnelle suivante :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

− )n(h e )n(h e 21 )n(h L

n2jL

n2jH

efof

efof ππ

(147)

ceee

H f2f B avec n)cos( nfBsinc f

B )n(h −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= π (148)

Pour obtenir une fonction réalisable, on pratique une troncature et un décalage à droite comme on

l'a pratiqué pour le filtre passe bas. On obtient réponse impulsionnelle :

( ) ( )( )21N

21N

e

ce

e

ce ncos nf2f-fsinc f

2f-f )n(h −− −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= π (149)

Voici une fonction MATLAB permettant de calculer h(n)

function h = myfirh(N,fc,fe) B=1-2*fc/fe; n=0:N-1; N2=(N-1)/2; h= B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*(n-N2));

0 5 10 15 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fig. V.8 : réponse impulsionnelle et fonction de transfert d'un filtre passe haut, N=21 , fc=1000 Hz, fe=8000Hz


V.4 -- FILTRE PASSE BANDE Le traitement du filtre passe Bande est identique à celui du filtre passe haut à la différence que fo

et B ne sont pas les mêmes. La fonction de transfert est illustrée sur la figure

f

H (f)B

f1 fe/2 fe

B

f2fo Fig. V.9 : fonction de transfert d'un filtre passe bande idéal

Avec 2

ffo

21f += étant la fréquence centrale du filtre, la fonction de transfert est : )ff(H )ff(H )f(H oLoLB ++−= (150) d'où

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

− e e )n(h )n(h n2jn2jLB

efof

efof ππ

(151)

12e

o

eeB ff B avec n)f

f2cos(2 nfBsinc f

B )n(h −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= π (152)

Après troncature et décalage à droite, on obtient :

( ) ( ) nfff2cos nf

ffsinc fff )n(h 2

1N

e

122

1N

e

12

e

12 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−= −− π (153)


function h = myfirb(N,f1,f2,fe); fo=(f1+f2)/fe; B=(f2-f1)/fe; N2=(N-1)/2; n=0:N-1; h= 2 * B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*fo*(n-N2)) ;

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fig. V.10 : réponse impulsionnelle et fonction de transfert d'un filtre passe bande, N=41 , f1=1500 Hz, f2=2500Hz


V.5 -- FILTRE REJECTEUR DE BANDE Ce filtre peut être traité comme la somme d'un filtre passe bas de fréquence de coupure f1 et d'un

filtre passe haut de fréquence de coupure f2. L'expression de sa réponse impulsionnelle est donc :

( ) ( ) ( )( ) ncos nf2f-fsinc f

2f-f nf2fsinc f

2f )n(h 21N

21N

e

2e

e

2e2

1N

e

1

e

1 −−− −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= π (154)


function h = myfirs(N,f1,f2,fe); f1=f1/fe; f2=f2/fe; N2=(N-1)/2; B1=2*f1; B2=1-2*f2; n=0:N-1; h= B1 * sinc(B1*(n-N2)) + B2 * sinc(B2*(n-N2)) .* cos(pi*(n-N2)) ;

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fig. V.11 : réponse impulsionnelle et fonction de transfert d'un filtre stop bande, N=31 , f1=1500 Hz, f2=2500Hz

V.6 -- DIMINUTION DES ONDULATIONS PAR TRONCATURE DOUCE

La question qui se pose maintenant est ; y a –t-il un moyen de réduire les ondulations ? La réponse est : Oui, en utilisant des fenêtres de troncature plus "douces" qui ont des lobes

secondaires plus faibles. Les figures ci dessous montrent les fonctions de transfert H(f) et HdB(f) = 20 log[H(f)] d'un filtre

passe bas d'ordre N=60 et ceci pour différentes fenêtres de troncature. On remarque que : A part la fenêtre carrée, les autres fenêtres n'ont quasiment pas d'ondulations dans la bande

passante. La fenêtre de Blackmann est celle qui offre les ondulations les plus faibles dans la bande coupée, mais elle a une bande de transition plus grande.


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-100

-80

-60

-40

-20

0

Hdb

Fig. V.12 : fenêtre carrée

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-100

-80

-60

-40

-20

0

Hdb

Fig. V.13 : fenêtre de hamming

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-100

-80

-60

-40

-20

0

Hdb

Fig. V.14 : fenêtre de blackman

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-100

-80

-60

-40

-20

0

Hdb

Fig. V.15 : fenêtre de kaiser


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-100

-80

-60

-40

-20

0

Hdb

Fig. V.16 : fenêtre de hanning

Exemple de filtre :

Si la fréquence d'échantillonnage est fe=8000 Hz, déterminer la réponse impulsionnelle d'un filtre RIF d'ordre N = 21, de fréquence de coupure fc=1000 Hz, et tracer le module de la fonction de transfert dans les deux cas suivants : 1) Troncature par fenêtre carrée. 2) Troncature par fenêtre de Hamming

- *-*-*-*-*-*-*- 1) la réponse impulsionnelle est :

( ) ( )2.5 - 0.25nsinc 0.25 nf2fsinc f

2f )n(h 21N

e

c

e

c1 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= − (155)

h1(n)={0.032,0.025,0.000,-0.032,-0.053,-0.045,0.000,0.075,0.159,0.225,0.250, symétrie }

0 5 10 15 20-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fig. V.17 : réponse impulsionnelle et fonction de transfert avec troncature carrée

2) h2(n) = h1(n) . w(n) avec w(n) = fenêtre de Hamming de longueur N

w(n)= {0.080,0.103,0.168,0.270,0.398,0.540,0.682,0.810,0.912,0.977,1.000, symétrie } h2(n)={0.003,0.003,0.000,-0.009,-0.021,-0.024,0.000,0.061,0.145,0.220,0.250, symétrie }


0 5 10 15 20-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fig. V.18 : réponse impulsionnelle et fonction de transfert avec troncature de hamming

Les calculs seraient évidemment trop long à faire à la main. Mais qui dit traitement numérique du signal, dit traitement sur une machine informatique. Voici le programme MATLAB ayant permit d'obtenir ces résultats.

%===========Définition des paramètres du filtre============ N=21; %ordre du filtre fe=8000; % fréquence d'échantillonnage fc=1000; % fréquence de coupure % ========Calcul des réponse impulsionnelle h(n) n=0:N-1; h1 = 2*fc/fe * sinc(2*fc/fe * (n-(N-1)/2)); % réponse impulsionnelle w=hamming(N)'; % fenêtre de Hamming h2 = h1 .* w; % reponse impulsionnelle avec troncature de Hamming %=============== Tracé des réponses impulsionnelles ================ close all; stem(n,h1);grid; title('Réponse impulsionnelle, fenetre carrée'); figure;stem(n,h2);grid; title('Réponse impulsionnelle, fenetre de hamming'); %======== Tracé de la fonction de transfert ======== Nf=512; % pour le dessin X1=fft(h1,Nf); % calcule TFD X2=fft(h2,Nf); % calcule TFD df=fe/Nf;f=0:df:(Nf/2-1)*df; % axe des fréquences n=1:Nf/2; H1=abs(X1(n)); H2=abs(X2(n)); figure;plot(f,H1,f,H2);grid; % ============== Sortie des valeur numériques fprintf('\nh1(n)={');fprintf('%4.3f,',h1); fprintf('\nw(n)= {');fprintf('%4.3f,',w); fprintf('\nh2(n)={');fprintf('%4.3f,',h2);

CHAPITRE I -- NUMERISATION DU SIGNAL ANALOGIQUE · 2013. 2. 5. · Introduction au traitement...

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