CHAPITRE 5 Trigonométrie- Angles inscrits, Angles au centre
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CHAPITRE 5
Trigonométrie- Angles inscrits, Angles au centre
Objectifs:
- Utiliser la calculatrice pour déterminer un angle aigu ou le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu.
- Ecrire les relations entre le cosinus, le sinus et la tangente d’un angle aigu et les deux longueurs d’un triangle rectangle.
- Calculer, dans un triangle rectangle, un angle ou la longueur d’un côté en utilisant la trigonométrie
- Calculer un angle en utilisant la propriété de l’angle inscrit et de l’angle au centre.
- Construire un polygone régulier.
Le mot vient du grec "trigone" (triangle) et "metron" (mesure).
On attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120) les premières tables trigonométriques. Elles font correspondre l’angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle.
Le grec Claude Ptolémée (85 ; 165) poursuit dans l’Almageste les travaux d’Hipparque avec une meilleure précision et introduit les premières formules de trigonométrie.
Plus tard, l’astronome et mathématicien Regiomontanus, de son vrai nom Johann Müller développe la trigonométrie comme une branche indépendante des mathématiques. Il serait à l’origine de l’usage systématique du terme sinus.
Ici on appelle la mesure de l ’angle BÂC dans le triangle rectangle en C.
Hypoténuse (c’est le plus grand des côtés, c’est aussi le côté opposé à l’angle droit.)Côté opposé à
Côté adjacent à
B
A
C
I. Vocabulaire du triangle rectangle Avant d’aborder tout problème de trigonométrie, il faut savoir
nommer les côtés d’un triangle rectangle.
hypoténuse
à opposé côté Sin
hypoténuse
àadjacent côté Cos
àadjacent côté
à opposé côté Tan
Hypoténuse
Côté adjacent à
Hypoténuse
Côté adjacent à
Côté opposé à
Côté opposé à
II. Trois formules trigonométriques
-Pour s’aider à retenir ces trois formules, on peut retenir le « célèbre » mot
Soh Cah Toa
ypoténuse
àdjacent côté os
haC
àdjacent côté
à pposé côté an a
oT ypoténuse
à pposé côté in
hoS
Remarques :
- sin se lit « sinus », cos « cosinus » et tan « tangente »
Méthode:
1. On nomme les côtés du triangle.
Calculer la longueur de AB.
2. On repère le côté que l’on
cherche et le côté que l’on connaît,
en les soulignant par exemple.
Côt. Adj.
Hyp.
Côt. Opp.
3. On choisit la formule dans
laquelle il y a les deux
côtés soulignés.
B
41°
A
C23 cm
?
Comme ABC est rectangle en C,
on a:
sin = Côt.Opp.
Hyp.
III. Applications 1) Calcul de la longueur d’un côté connaissant un angle et un autre côté
Méthode:
1. On nomme les côtés du triangle
Calculer la longueur de AB
2. On repère le côté que l’on
cherche et le côté que l’on connaît,
en les soulignant par exemple.
Côt. Adj.
Hyp.
Côt. Opp.
3. On choisit la formule dans
laquelle il y a les deux
côtés soulignés.
B
41°
A
C23 cm
?
Comme ABC est rectangle en C,
on a:sin =
Côt.Opp.Hyp.
4. On remplace dans la formule
tout ce que l’on connaît. sin 41° = 23AB
5. On fait un produit en croix
et on calcule AB AB = 23 ÷ sin 41°
Donc AB 35,1 cm
A
B C
26 cm
10 cm
2) Calcul de la mesure d’un angle connaissant la longueur connaissant la longueur de deux côtés
Calculer l’angle BÂC.
Méthode:
2. On repère les deux côtés que
l’on connaît, en les soulignant.
Côt. Adj.
Hyp.
Côt. Opp.3. On choisit la formule dans laquelle
il y a les deux côtés soulignés.
1. On nomme les côtés du triangle.
Comme ABC est rectangle en B, on a:
tan BÂC = Côt.Opp.Côt.Adj .
?
A
B C
26 cm
10 cm
Calculer l’angle BÂC.
Méthode:
2. On repère les deux côtés que
l’on connaît, en les soulignant.Côt. Adj.
Hyp.
Côt. Opp.
3. On choisit la formule dans laquelle
il y a les deux côtés soulignés.
1. On nomme les côtés du triangle.
Comme ABC est rectangle en B, on a:
tan BÂC = Côt.Opp.Côt.Adj .
?
4. On remplace dans la formule
tout ce que l’on connaît.tan BÂC =
1026
5. Avec la calculette, on tape:
tan -1 (10/26)=Donc BÂC 21°
IV. Angles inscrits- angles au centre 1) Introduction et définitions
est un
angle au centre.
BOA ˆ
C’est un angle
dont le sommet
est le centre
du cercle.
BJA 1ˆ BJA 2
ˆ BJA 3ˆ
, et
sont des angles inscrits.
C’est un angle dont
le sommet est
sur le cercle.
2) Propriétés
En mesurant les angles, on constate que :
BJA 1ˆ BJA 2
ˆ BJA 3ˆ mesurent 46°
BOA ˆet mesure 92°
Propriété 1
La mesure d’un angle au centre est le double de
celle de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.
Propriété 2
Deux angles inscrits qui interceptent
le même arc ont la même mesure.
V. Polygones réguliersUn polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle
dont tous les côtés ont la même longueur.
O
120°
O90°
O
72°
O
45°
O
60°
Triangle équilatéral
Carré Pentagone régulier
Hexagone régulier
Octogone régulier
Remarques : - Il existe toujours une rotation laissant
invariant un polygone régulier.
- L’angle au centre d’un polygone régulier se calcule avec la
formule suivante angle au centre =360°
nb côtés polygone
Exemple: Construction d'un décagone
régulier inscrit dans un cercle à
la règle, au compas et au
rapporteur.
Cliquez sur l’icône pour voir l’animation ABCDEFGHIJ est un décagone
régulier inscrit dans le cercle de centre O