chap8_medaf

Fondements de FinanceFondements de Finance

Chapitre 8. Chapitre 8. : Choix optimal de portefeuille et : Choix optimal de portefeuille et Modle dEvaluation Des Actifs FinanciersModle dEvaluation Des Actifs Financiers

(Introduction la thorie du choix de portefeuille et au MEDAF)(Introduction la thorie du choix de portefeuille et au MEDAF)

Chapitre 8. Chapitre 8. : Choix optimal de portefeuille et : Choix optimal de portefeuille et Modle dEvaluation Des Actifs FinanciersModle dEvaluation Des Actifs Financiers

(Introduction la thorie du choix de portefeuille et au MEDAF)(Introduction la thorie du choix de portefeuille et au MEDAF)

Fahmi Ben Abdelkader ESCP, ParisOctobre 2012

10/21/2012 8:13 PM 1

Version tudiants

Plan du chapitre1 Mesures de la rentabilit et du risque dun portefeuille dactions

Esprance de rentabilit dun portefeuilleCombinaison des risques au sein dun portefeuilleVariance, covariance et corrlation dun portefeuille compos de deux titresVariance dun portefeuille compos de N titres

2

3

Choix optimal de portefeuille (Intro la thorie de choix de portefeuille)Portefeuilles efficients et courbe defficience : cas des portefeuilles de 2 titresPortefeuille efficientPrise en compte des ventes dcouvertLes portefeuilles efficients composs de N titres et la frontire defficience

Mesure du risque de march (systmatique)Portefeuille efficient et le portefeuille de march

Fahmi Ben Abdelkader Fondements de Finance Choix optimal de portefeuille10/21/2012 8:13 PM 2

4

Portefeuille efficient et le portefeuille de marchLe Bta () : une mesure du risque de marchLes mthodes de calcul du BtaLe Bta en pratique

Introduction au MEDAF (CAPM)La relation risque - rentabilit espre prime de risqueLa droite de marchLe MEDAF et le portefeuille dactionsLe MEDAF en pratique

La rentabilit historique versus espre dun portefeuille

Mesures de la rentabilit et du risque dun portefeuille dactions La rentabilit dun portfeeuilleCombiner les risques: Covariance et CorrlationLa Volatilit dun PortefeuilleEn Rsum

La part de chaque actif dans la valeur totale du portefeuille est exprime par xi :

Avec

La rentabilit historique dun portefeuille P compos de deux titres est ainsi :

En gnralisant pour un portefeuille N titres :

La rentabilit espre dun portefeuille P compos de deux titres est ainsi :


La rentabilit espre dun portefeuille P compos de deux titres est ainsi :

En gnralisant pour un portefeuille N titres :

La rentabilit historique versus espre dun portefeuille

Mesures de la rentabilit et du risque dun portefeuille dactions La rentabilit dun portfeeuilleCombiner les risques: Covariance et CorrlationLa Volatilit dun PortefeuilleEn Rsum

Exemple 11.2 (B&DM p.342) la rentabilit espre dun portefeuille Nicolas a achet pour 10 000 dactions EADS et 30 000 dactions Total Les rentabilits annuelles espres dEADS et de Total sont respectivement de 10 % et 16 %. Quelle est lesprance de rentabilit du portefeuille ? Quelle est lesprance de rentabilit du portefeuille ?


Comment varie le risque dun portefeuille selon le type dactions qui le composent ?

Mesures de la rentabilit et du risque dun portefeuille dactions La rentabilit dun portefeuilleCombiner les risques: Covariance et CorrlationLa Volatilit dun PortefeuilleEn Rsum

Tableau11.1 (B&DM p.342) Rentabilits dactions et de portefeuilles de deux actions


La combinaison des actions au sein dun portefeuille rduit le risque grce la diversification1

La part du risque limin dun portefeuille dpend du niveau de risque systmatique (ou commun) auquel sont exposes les actions

La volatilit de chacun des portefeuilles est plus faible que celles des actions qui les composent

2

Ce risque commun peut tre apprci par la tendance ou non des prix des actions voluer de manire conjointe (Ex. les rentabilits des actions des compagnies ariennes ont tendance baisser ou augmenter en mme temps)

Comment varie le risque dun portefeuille selon le type dactions qui le composent ?


Portfolio split equally between North Air and West Air Portfolio split equally between West Air and Texas Oil


To find the risk of a portfolio, one must know the degree to which the stocks returns move together.

Covariance

La covariance et la corrlation : mesures du risque commun


La covariance est une mesure de la variation simultane de deux variables

La covariance espre des rentabilit Ri et Rj

Si la Cov(Ri,Rj)> 0 :1

La covariance historique des rentabilit Ri et Rj

sa valeur est comprise dans


Les rentabilits des deux actions ont tendance voluer ensemble dans le mme sens

2 Si la Cov(Ri,Rj)< 0 :Les rentabilits des deux actions ont tendance voluer de manire contraire



Exemple :Quelle est la covariance des rentabilits de Air Med et Europe Air en 2003 et 2004

1 Les rentabilits des deux actions ont tendance voluer de manire contraire

cart la moyenneDates Cov (Air Med ; Europa Air)2003 11% -1% -0.0011

2004 20% 11% 0.0220

1

2


1

Les rentabilits des deux actions ont tendance voluer ensemble dans le mme sens 2

Les rentabilits des deux actions ont tendance voluer de manire contraire

- Limite : si la covariance indique le sens de variation des rentabilits, elle ne renseigne pas le niveau de corrlation entre les carts de variations des rentabilits respectives

Le coefficient de .



La corrlation mesure le niveau de dpendance entre deux variables

Coefficient de corrlation

sa valeur est comprise dans [ 1;+1]

Si Corr (Ri,Rj) = +1 :1Les rentabilits des deux actions sont positives ou ngatives en mme temps et leurs variations en % sont identiques

2 Si Corr (Ri,Rj) = -1 :


Les sens de variation des deux actions sont opposes et leurs variations en % sont identiques



La corrlation mesure le niveau de dpendance entre deux variables


Exemple : Corr (R AirMed, R EuropaAir) = 62% ; => les rentabilits des deux actions ont tendance voluer de manire conjointe

en raison de leur exposition commune au risque systmatique

Pearson Education France



Exemple 11.3 (B&DM-p.344) : covariance et corrlation




Tableau 11.2 (B&DM-p.346) : Ecarts types et corrlations de quelques actions franaises


Les corrlations entre les rentabilits de diffrentes actions sont dautant plus proches de 1 quelles sont influences par les mmes vnements conomiques

Variance et cart type dun portefeuille


La variance dun portefeuille se calcule partir de la covariance des titres composant le portefeuille

Variance dun portefeuille compos de deux titres

),(2)()()( 2121222121 RRCovxxRVarxRVarxRVar P ++=

)()(),(2)()()( 212121222121 RSDRSDRRCorrxxRVarxRVarxRVar P ++=

= i j jijiP RRCovxxRVar ),()(Variance dun portefeuille compos de N titres


Pour la dmonstration,voir B&DM p.347

Pour la dmonstration,voir B&DM p.347

)( PRVarSD =La volatilit dun portefeuille

Variance et cart type dun portefeuille


Exemple : quelle est la volatilit dun portefeuille quipondr compos dactions de BNP et Socit gnrale (P1)? Mme question pour Peugeot et socit gnrale (P2).

BNP SG Peugeotcart type 37% 50% 38%

La variance de P1 et P2:

)()(),(2)()()( 212121222121 RSDRSDRRCorrxxRVarxRVarxRVar P ++=

BNP SG

P1

PGT SG

P2Corrlation avecBNP 100% 62% 25%

SG 62% 100% 19%Peugeot 25% 19% 100%


La volatilit de P1 et P2:

Corrlation et volatilit dun portefeuille


La volatilit dun portefeuille est dautant plus faible que la corrlation entre les actions qui le composent est petite

Le risque total dun portefeuille est influenc par les volatilits des titres qui le composent, en fonction de leurs poids relatifs et de la proportion dexposition au risque commun

La volatilit dun portefeuille sera toujours infrieure la moyenne pondre des volatilits des titres qui le composent

La diversification dun portefeuille contribue alors rduire son risque total plus


La diversification dun portefeuille contribue alors rduire son risque total plus que sa rentabilit

La corrlation ninfluence pas la rentabilit espre dun portefeuille, mais seulement sa volatilit



2

3




4



Fig. 11.2 (B&DM p.350) Volatilit dun portefeuille quipondr en fonction de sa taille

Introduction

Source : Berk J. and DeMarzo P. (2011), Corporate Finance, Second Edition. Pearson Education. (Figure 11.2 p.339)

Systematic risk

Diversifiable risk



Le bnfice de la diversification dcrot avec le nombre de titres composant le P

Un arbitrage doit tre fait sur le nombre de titres inclure dans le P => atteindre une diversification efficiente

La baise du risque est plus importante lorsque lon passe dun deux titres que de 100 101

A quel seuil doit-on arrter dintgrer de nouvelles actions dans notre portefeuille ? Quelle est la taille optimale dun portefeuille ?

Portefeuille efficient avec deux actions

Choix optimal de portefeuille Portefeuilles efficients La vente dcouvertLa frontire defficience et la diversificationIdentifier le portefeuille super-efficient

ExempleConsidrons un portefeuille compos de deux actions: Intel et Coca-Cola. Supposons que ces deux actions sont non corrls et quils ont les caractristiques suivantes:

Expected Return VolatilityIntel 26% 50%

Coca-Cola 6% 25%

Si les donnes sont stables dans lavenir, quel portefeuille linvestisseur doit-il dtenir ?

Il faut disposer dune base de comparaison/arbitrage de plusieurs combinaisons des deux actions


0% 100% 6% 25.0%

20% 80% 10% 22.3%

40% 60% 14% 25.0%

60% 40% 18% 31.6%

80% 20% 22% 40.3%

100% 0% 26% 50.0%



Arbitrage entre rentabilit espre et risque pour les portefeuilles composs de deux actions

C

B

C

Le choix entre B et C dpendrades prfrences de lindividu en

matire de rentabilit et de risque

Solution domine par B(car B offre une esprance de rentabilit

suprieure pour un risque moindre)Coca-ColaA


suprieure pour un risque moindre)

Exemple: Un ami a investit 100% de son argent dans des actions Coca-Cola. Il vous demande un conseil. Il souhaite obtenir la rentabilit espre la plus leve possible sans augmenter le risque. Quel portefeuille recommanderiez vous?

Arbitrage entre rentabilit espre et risque pour les portefeuilles composs de deux actions

Pour un portefeuille efficient: il nest pas possible de rduire le risque sans rduire la rentabilit

Efficient Frontier



Coca-Cola

Inefficient Portfolios

Un portefeuille est inefficient lorsquil est possible de trouver un autre portefeuille dont la rentabilit espre est plus leve et la volatilit est infrieure ou gale

risque sans rduire la rentabilit espre

P1

P2Minimum Variance Portfolio


ou gale

Un portefeuille efficient : pour un mme niveau de risque, il offre la rentabilit espre la plus leve

Leffet de la corrlation sur la volatilit dun portefeuille


Ensemble des portefeuilles constitus dactions Coca et Intel pour diffrents niveaux de corrlation

Pour mmoire : la corrlation naffecte pas la

R espre dun P, mais seulement sa volatilit


Le risque du portefeuille est dautant plus faible que la corrlation entre ses titres est faible

seulement sa volatilit

Principe de la Vente Dcouvert


La vente dcouvert consiste vendre un titre que lon ne dtient pas (quon emprunte auprs dun autre investisseur) et le racheter ultrieurement en esprant que son prix baisse

En jargon de la Finance on dira que lon a short ou vad le titre

Quel est lintrt dune vente dcouvert ?Peut tre une stratgie dinvestissement rentable pour un investisseur qui anticipe une baisse du prix dun titre


Position longue dans un portefeuilleLa pondration du titre achet est positif

Position courte dans un portefeuilleLa pondration du titre vendu dcouvert

est ngative (emprunt)

Exemple:Vous anticip une baisse du prix de laction AXA. Vous dcidez de vendre dcouvert 1000 actions AXA et de cloturer votre position ds que le prix de laction AXA tombe 10.

Les mcanismes de la vente dcouvert


Today

Short seller cash flows

Broker

30 May

Broker borrows 1000 shares

and sells them

AXA price=15.1/sh

+P0= + 15,100

30 June

Dividend paid

AXA Div=1.1/sh

- Divt = - 1,100

15 July

Broker buys 1000 shares and returns

them

AXA Price=10/sh

- P1 = - 10,000 Short seller net cash flows = +P0 - Divt - P1 =+4,000


Jean-Mouloud: owner of AXA shares

Jean-moulouds

account

1000 AXA

1000 AXA

Jean-moulouds

account

1000 AXA

1000 AXA

Jean-moulouds

account

1000 AXA

1000 AXA

1,100

Jean-moulouds

account

1000 AXA

1000 AXA

1,100

1,100 1,100

VW Shares Plunge, a Day After Surge: the mystery of a 200% increase

Short sellers yesterday took a pounding as shares in Volkswagen, Europe's biggest carmaker, soared as much as 200% on the back of Porsche's

Vente dcouvert : laction Volkswagen, un cas dcole


soared as much as 200% on the back of Porsche's move to seize full control The Guardian, Tuesday 28 October 2008


Vente dcouvert : quel impact sur la rentabilit et le risque


ProblmeLe 29 dcembre 2006, Paul dispose de 4 810 placer pendant un an. Il dcide de vendre dcouvert pour 5460 dactions Renault et dacheter pour 10270 dactions Alstom. Alstom : volatilit = 50 % ; Renault : volatilit = 35 %. Les rentabilits de ces deux actions sont non corrles. 1. Quelle tait la rentabilit de ce portefeuille ? 2. La volatilit de ce portefeuille? portefeuille ? 2. La volatilit de ce portefeuille?




Problem: Expected Return and Volatility with a Short SaleSuppose you have 20,000 in cash to invest. You decide to short sell 10,000 worth of Coca-Cola stock and invest the proceeds from your short sale, plus your 20,000, in Intel. What is the expected return and volatility of your portfolio?

Expected Return Volatility Cov (Intel, Coca)Expected Return Volatility Cov (Intel, Coca)

Intel 26% 50% 0

Coca-Cola 6% 25%




Arbitrage entre esprance de rentabilit et volatilit lorsque les ventes dcouvert sont autorises : les cas des portefeuilles composs de Intel et Coca-Cola

Vendre dcouvert Intel pour investir dans Coca-Cola est inefficient

Vendre dcouvert Coca-Cola pour investir dans Intel est efficient et peut tre attractif pour un investisseur agressif la recherche dune plus grande rentabilit


La vente dcouvert offre de nouvelles opportunits dinvestissement

inefficient

La frontire efficiente avec plusieurs actions


Inclure Bore Industries au portefeuille initial compos de deux actions:A-t-on intrt inclure des actions Bore dans le portefeuille initial ?

En ajoutant Bore, on peut obtenir de nouvelles opportunits dinvestissement


On peut aussi faire mieux que le portefeuille avec deux actions: B+I+C > I+C

Il faut examiner le potentiel de diversification offert par lajout dactions Bore

Esprance de rentabilit et volatilit des portefeuilles composs de Intel, Coca-Cola, et Bore





Aucune des actions nest situe sur la frontire efficiente: ne dtenir quune seule action nest pas efficient

Fig. 11.8 (B&DM-p.363) : Frontires efficientes avec trois et dix actions




Plus de titres Frontire effficiente se dplace vers la gauche

Les bnfices de la diversification augmentent

Combiner un actif sans risque et un portefeuille risqu

Vous disposez des informations suivantes concernant deux types dinvestissement. Return rate in one year Expected Return

E[R] VolatilitySecurity Sunny weather Rainy weather

Est-il intressant de combiner actif sans risque et actif risqu au sein dun mme portefeuille ?


E[R]Security Sunny weather Rainy weatherRisk-free bond +3% +3% 3% 0%Umbrella SA -10% +20% 10% 20%

Vous envisagez dinvestir 100 000 dans des actions Umbrella. Un ami vous suggre dinvestir seulment une fraction de votre argent (50 000) dans Umbrella et le reste dans des obligations dEtat. Quel est leffet de cette stratgie sur la rentabilit et la volatilit de votre investissement?

Cash flows in one yearAverage expected

cash flowsExpected Return

E[R] VolatilitySecurity Amount Sunny Rainy


En combinant actif sans risque et actif risqu, on peut rduire le risque. Nanmoins, cette baisse du risquese fait au prix dune baisse de la rentabilit.

cash flows E[R] VolatilitySecurity Amount invested

Sunny weather

Rainy weather

Risk-free bond 50,000 51,500 51,500 51,500 3% 0%Umbrella SA 50,000 45,000 65,000 55,000 10% 20%Total 100,000 95,500 116,500 106,500 6.5% 10%

Gnralisonsun investisseur dtient un portefeuille P compos exclusivement dactifs risqus. Quelles sont les consquences en termes de rentabilit et de risque si linvestisseur dcide dinvestir une fraction x de sa richesse en actifs risqus et le reste (1-x) en bons de trsor ?

[ ] [ ] [ ]+=



[ ] [ ] [ ]2211 .. RExRExRE P +=Expected Return [ ] [ ]PfxP RExrxRE .).1( +=

[ ] [ ]( )fPfxP rRExrRE += . Volatility ),(2)()()( 2121222121 RRCovxxRVarxRVarxRVar P ++=

( ) ),(.)1(2)()(1)( 22 PfPfxP RrCovxxRVarxrVarxRVar ++=

1


( ) ),(.)1(2)()(1)( PfPfxP RrCovxxRVarxrVarxRVar ++=0 0

)()( 2 PxP RVarxRVar = )(.)( PxP RSDxRSD =

1 2

2

[ ] [ ]( ) )(.)( xPPfP

fxP RSDRSDrRE

rRE

+=



Fig. 11.9 (B&DM-p.366) : Couple rentabilit-risque des portefeuilles composs dactif sans risque et dun sous-portefeuille risqu (Capital Allocation Line: CAL)

Portefeuille compos exclusivement dactif

risqu

[ ] [ ]( )fPfxP rRExrRE += . [ ] [ ]( ) )(.)( xPP

fPfxP RSDRSD

rRErRE

+=CAL


Lorsque la part x investie dans le portefeuille risqu P augmente, la prime de risque et le risque du portefeuille total (actif sans risque + portefeuille risqu) augmentent proportionnellement

Acheter des actions en empruntant de largent au taux sans risque: leffet de levier


Exemple: Vous diposez de 10 000 et vous dcidez demprunter 10 000 au taux sans risque de 5%. Vous investissez la totalit (20 000) dans des actions Umbrella (P). Calculer la rentabilit espre et la volatilit de cet investissement.

Est ce profitable dacheter des actions en empruntant au taux sans risque?

Return rate in one year Expected ReturnE[R] VolatilitySecurity Sunny weather Rainy weather

Umbrella SA -10% +30% 10% 20%

Cash flows in one year Average expected cash

flowsExpected Return

E[R] VolatilitySecurity Amount Sunny weather Rainy weather

[ ]= xPRE =)( xPRSD


Le levier permettrait dapporter une meilleure rentabilit espre que lutilisation de ses moyens propres. Nanmoins, il serait lorigine dun doublement du risque.

flows E[R]Security Amount investedSunny weather Rainy weather

Loan -10,000 -10,500 -10,500 -10,500 -5% -Umbrella SA 20,000 18,000 26,000 22,000 10% 20%Total 10,000 7,500 (-25%) 15,500 (+55%) 11,500 15% 40%

Acheter des actions en empruntant de largent au taux sans risque: leffet de levier


Fig. 11.9 (B&DM-p.366) : Couple rentabilit-risque des portefeuilles composs dactif sans risque et dun sous-portefeuille risqu (Capital Allocation Line: CAL)

[ ] [ ]( )fPfxP rRExrRE += . [ ] [ ]( ) )(.)( xPP

fPfxP RSDRSD

rRErRE

+=CAL

Est ce que ceportefeuille est

efficient?


efficient?

Lorsque la part x est > 100% Linvestisseur emprunte des capitaux au taux dintrt sans risque pour investir dans P

Lidentification du portefeuille super-efficient: le ratio de Sharpe


Pour un niveau de risque donn, linvestisseur cherchant obtenir la rentabilit espre la plus leve possible doit chercher la droite la plus pentue combinant lactif sans risque et un portefeuille appartenant la frontire efficiente des actifs risqus

[ ] [ ]( )rRE CAL

Cette pente correspond au ratio de Sharpe

[ ] [ ]( ) )(.)( xPPfP

fxP RSDRSDrRE

rRE

+=CAL


leportefeuildu Volatilitleportefeuildu reexcdentai RentabilitSharpe de Ratio =

[ ])SD(

ESharpe de Ratio

P

fPR

rR =



Pour un niveau de risque donn, linvestisseur cherchant obtenir la rentabilit espre la plus leve possible doit chercher la droite la plus pentue combinant lactif sans risque et un portefeuille appartenant la frontire efficiente des actifs risqus

The slope of this line is often referred to as the Sharpe ratio of the portfolio:

Return Excess PortfolioRatio Sharpe =[ ] fP rR E

[ ] [ ]( ) )(.)( xPPfP

fxP RSDRSDrRE

rRE

+=CAL

P1

P2


Volatility PortfolioReturn Excess PortfolioRatio Sharpe =

[ ])SD(

ERatio Sharpe

P

fPR

rR =

)SD( PR

Le ratio de Sharpe exprime la prime de risque offerte par le portefeuille pour une unit de risque additionnelle



Le portefeuille super-efficient est celui qui appartient la frontire efficiente des portefeuilles risqus et dont le ratio de Sharpe est maximal: le portefeuille tangent

[ ] [ ]( ) )(.)( xTTfT

fxT RSDRSDrRE

rRE

+=CAL

[ ] [ ]( ) )(.)( xPPfP

fxP RSDRSDrRE

rRE

+=CAL

T


Le portefeuille optimal = x.(le portefeuille de march) + (1-x).(actif sans risque ) x dpendra de laversion au risque de linvestisseur



Combin un actif sans risque, le portefeuille super-efficient permet dobtenir le meilleur arbitrage entre risque et rentabilit

Laversion pour le risque dun investisseur dtermine seulement la proportion de sa

Le portefeuille super-efficient est le seul portefeuille risqu efficient en prsence dun actif sans risque

Le portefeuille super-efficient que doit choisir un investisseur ne dpend pas de son aversion pour le risque


Laversion pour le risque dun investisseur dtermine seulement la proportion de sa richesse investie dans le portefeuille super-efficient

ProblemMarie-Fatima souhaite avoir vos conseils. Elle dispose de 100 000, investis dans un portefeuille P (voir graph.), avec une rentabilit espre de 10.5% et une volatilit de 8%. Le taux sans risque est de 5%, le portefeuille super-efficient T a une esprance de rentabilit de 18.5% et une volatilit de 13.5%. 1. Pour maximiser la rentabilit espre sans augmenter le risque, quel portefeuille recommanderiez-vous?

Lidentification du portefeuille super-efficient: application


maximiser la rentabilit espre sans augmenter le risque, quel portefeuille recommanderiez-vous? 2. Si Marie-Fatima prfre garder le mme niveau de rentabilit espre et souhaite rduire le risque, quelportefeuille recommanderiez vous? 3. Enfin, elle vous demande de lui donner une ide de la rentabilitespre pour un niveau de volatilit quavlent 12%.

[ ] [ ]( ) )(.)( xTTfT

fxT RSDRSDrRE

rRE

+=CAL


Lidentification du portefeuille super-efficient: application


Solution Q.1

Solution Q.2


Solution Q.3

La thorie de choix de portefeuille


Harry Markowitz

Portfolio Selection . The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1. (Mar., 1952), pp. 77-91.

Fundamentals of Portfolio Theory

Developed techniques of mean-variance portfolio optimization, which allow an investor to find the portfolio with the highest expected return for any level of variance

Markowitzs Approach has evolved into one of the main methods of portfolio


Harry MarkowitzNobel Prize in 1990

Markowitzs Approach has evolved into one of the main methods of portfolio optimization used on Wall Street



2

3




4



Rappel: lEcart-Type est la Mesure du Risque Total dune action

Mesurer le risque de march Identifier le risque de march : le Portefeuille de marchLe Beta: une mesure du risque de marchCalculer et interprter le BetaLe Beta en pratique

Risque total dune action = Risque diversifiable + risque systmatique

Quelle est la mesure du risque de march?


Rappel: La prime de risque dune action ne dpend pas de son risque diversifiable


En AOA,

les investisseurs peuvent liminer le risque spcifique gratuitement grce la diversification

En revanche, la diversification ne rduit pas lexposition dun Portefeuille au risque systmatique


La prime de risque dune action est dtermine par son risque de march et ne dpend pas de son risque spcifique

Identifier le risque de march laide dun portefeuille diversifi


Mesure du risque = mesure de la variabilit des rentabilits

Mesure du risque systmatique = identifier la part de la variabilit qui est due au risque systmatique

= valuer la sensibilit de laction aux chocs systmatiques = valuer la sensibilit de laction aux chocs systmatiques

Pour ce faire, il faut observer comment ragit la rentabilit de laction par rapport la variation de la rentabilit dun portefeuille exclusivement expos au risque de march

Le portefeuille qui bnficie dune diversification maximale


..

Contient le plus grand nombre des actions disponibles sur le march

En pratique, investir dans le CAC40 ou le S&P500 constitue une approximation du portefeuille de march

Paris Stock MarketLes pondrations des principales

entreprises du CAC40

Comment investir dans le portefeuille de march?


Sur le march boursier, il existe des indices boursiers qui reprsentent les performances du march des actions

40

80 70%

30%130

CAC40

SBF120

SBF250

Nombre % de Capitalisation


Nombre dentreprise

% de Capitalisation boursire totale de la place de Paris

Le CAC40 est considr comme un indice qui rplique assez fidlement le portefeuille de march

Pour investir dans un portefeuille de march : il faut acheter des trakers (titres reprsentant un portefeuille dactifs indice bouriser- qui schangent sur le march comme nimporte quel autre titre). Ex. le Lyxor ETF CAC40, SPDR (S&P Depository Receipts, nick-named Spiders), etc.

Construire un portefeuille de march

Le poids de chaque titre i dans le PM doit tre proportionnel sa capitalisation boursire (V )



Pondration par la capitalisation boursire

Exemple : capitalisation boursire dEDF (Number of shares = 1.8 billion ; Stock price=17)

MV(EDF) =


Pondration par la capitalisation boursire



Investir 20 000 pour constituer un portefeuille de march

Si le portefeuille du march est reprsent par un fonds indiciel qui rplique lvolution du CAC40, quelle est la composition de votre portefeuille ?


Si la rentabilit dune action est sensible aux variations de la rentabilit du portefeuille de march, alors cette action est sensible au risque de march

c.a.d. Lorsque des vnements systmatiques affectent lensemble du march, ils affectent galement cette action

Le portefeuille de march est une bonne proxy pour le risque de march


Monthly excess returns for Apple stock and for S&P500, (2005-2010)


Si la rentabilit dune action est sensible aux variations de la rentabilit du portefeuille de march, alors cette action est sensible au risque de march

c.a.d. Lorsque des vnements systmatiques affectent lensemble du march, ils affectent galement cette action

Le Beta


Mesurer cette sensibilit = mesurer le risque de march

Le Beta

Le est le pourcentage de variation de la rentabilit excdentaire dun actif lorsque la rentabilit excdentaire du portefeuille de march varie de 1%


Ex. Laction Capgemini a un = 2.16 :

Si la rentabilit excdentaire du portefeuille de march (CAC40) augmente de 1%, la rentabilit excdentaire de Capgemini aura tendance augmenter en moyenne de 2.16 x 1% = 2.16%

Autrement dit , laction Capgemini est expose deux fois plus de risque systmatique que le CAC40

Tableau 10.5 - Exemples de btas calculs partir de donnes historiques fournis par Euronext

Le Beta



Lorsque la rentabilit excdentaire du march progresse de 1% (conjoncture conomique favorable), laction Air France connat en moyenne une hausse deux fois plus grande (1.99%) que la moyenne du march, et rciproquement durant les priodes de rcession

Le Beta versus lEcart-Type


La volatilit et le bta sont deux mesures du risque, mais ils diffrent quant la nature du risque mesur

Le bta : La volatilit :

Risque systmatique + risque spcifique dun actif

Exemple : AXA et Air France ont des volatilits proches sur la priode 2002-2007 ( ~ 45% par an), mais le bta dAir France est beaucoup plus lev que celui dAXA. Explication ?

Risque systmatique dun actif

Entreprises


Entreprises

Air France-KLM 45% 1.99

AXA 45% -0.03tableau 10.5 (B&DM p.324)

Estimation du bta partir de donnes historiques


Fig12.6 (B&DM-p.404) : Rentabilits mensuelles de STMicroelectronics et du CAC40 sur 2002-2007

Reprsentation chronologique des rentabilits laide dhistogrammes Reprsentation chronologique des rentabilits laide dhistogrammes


Les rentabilits de STM tendent varier dans le mme sens que le march (CAC40), en amplifiant les variations de celui-ci

Example: In octobre 2002, RSTM=47.13% and RCAC40=13.4%47.13%



Fig12.6 (B&DM-p.404) : Graphique en nuage de points des rentabilits mensuelles de STMicroelectronics et du CAC40 sur 2002-2007

Reprsentation des rentabilits laide dun nuage de point


Chaque point reprsente un couple de rentabilit (CAC40/STM) un mois donn entre 2002 et 2007

13,4%



Fig12.6 (B&DM-p.404) : Graphique en nuage de points des rentabilits mensuelles de STMicroelectronics et du CAC40 sur 2002-2007

La pente de la droite de rgression = 1.8 = Beta

En moyenne, une hausse de 10% de la rentabilit du march implique une hausse de la rentabilit de STM de 18%


Les btas des entreprises europennes calculs partir de donnes historiques

Exemples de bta partir de donnes historiques



Average Betas for stocks by industry and the betas of slected company in each industry(based on historical data)

Exemples de bta partir de donnes historiques



Estimation du bta partir de la covariance


Si le Portefeuille de march est compos des actions du CAC40 et le bta de laction i est i =1.5

une augmentation de 1% de la rentabilit excdentaire du CAC40, induit une augmentation de 1.5% de la rentabilit excdentaire de laction i.

=

Part de la volatilit de lactif i qui est commune

==

%1%5.1

i

[ ]2)( D) ,( C

Mkt

Mktii RS

R Rov=


Part de la volatilit de lactif i qui est commune celle du portefeuille du march

)( D) ,( C . )( D

Mkt

Mktiii RS

R RorrRS=

Le mesure la sensibilit de la rentabilit dune action i aux volutions des conditions de march

If i =1 La rentabilit du titre i a tendance voluer dans le mme sens que celle du march

Interprtation du bta


If i >1 La rentabilit du titre I a tendance tre plus sensible au risque systmatique que le portefeuille de march

If i

Interprtation du bta


Fig12.6 (B&DM-p.404) : Rentabilits mensuelles de STMicroelectronics et du CAC40 sur 2002-2007


Thoriquement, le doit tre >1 ou

Lestimation du bta est-elle fiable ?


Lerreur destimation

Lhorizon temporel : arbitrage entre peu et trop de donnes historiques

Lindice reprsentant le portefeuille de march : quel indice choisir ?

Estimation Methodologies Used by Selected Data Providers

( )0.131

32Security of Beta Adjusted += ii

Lerreur destimation

Le recours des btas sectoriels jugs plus fiable => bta ajust


Le traitement des observations aberrantes (rentabilits de magnitude exceptionnellement importante)

Fig12.10 (B&DM-p.414) : Estimation du bta de DNA selon que les observations aberrantes sont, ou non, prises en compte




Lvaluation du bta dun titre est plus un art quune science



* Choix par dfaut, mais lutilisateur peut slectionner dautres indices de rfrence.


Des fournisseurs dinformations financires diffrents et des mthodes dvaluation diffrentes

* Choix par dfaut, mais lutilisateur peut slectionner dautres indices de rfrence.

** Indice auquel lentreprise appartient. Par exemple, SBF 250 si lentreprise appartient cet indice sans appartenir au CAC 40 ou au SBF 120.



Lexemple de Bouygues : impact de l'volution des activits sur le Bta




2

3




4



Le MEDAF: objectif

Le Modle dEvaluation des Actifs Financiers (MEDAF) Les hypothses du MEDAF et le Portefeuille de MarchEstimer le cot du Capital: lquation du MEDAFLa Droite de March Versus la Droite du MEDAFLe MEDAF en pratique

Estimer le cot des capitaux propres dun projet dinvestissement en Estimer le cot des capitaux propres dun projet dinvestissement en utilisant son Beta

Capital Asset Prices. A Theory of Market Equilibrium under Conditions of


Capital Asset Prices. A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk . The Journal of Finance, Vol. 19, No. 3, (1964), pp. 425-442 .

William F. Sharpe Nobel prize 1990

Hypothse 1

On suppose que les cots de transactions et les impts sont nuls

Les 3 hypothses du MEDAF


Les investisseurs peuvent acheter ou vendre nimporte quel actif financier son prix de march (sans supporter de cots de transactions ni dimpts) et prter ou emprunter au taux dintrt sans risque

Hypothse 2Tous les investisseurs ont pour objectif de dtenir un portefeuille efficient (rationalit des acteurs)

Hypothse 3Hypothse des anticipations homognes des investisseurs

Cest--dire un portefeuille offrant la rentabilit espre la plus leve pour un risque donn

supporter de cots de transactions ni dimpts) et prter ou emprunter au taux dintrt sans risque

Les investisseurs forment des anticipations homognes sur les rentabilits espres, les volatilits et


Selon le MEDAF: le portefeuille super-efficient est le portefeuille de march

Principale impliquation du MEDAF:

Mkteff PP =

Les investisseurs forment des anticipations homognes sur les rentabilits espres, les volatilits et les corrlations de tous les actifs financiers

Selon le MEDAF: le portefeuille super-efficient est le portefeuille de march

La droite de march (The Capital Market Line)



La droite de march reprsente les portefeuilles dont la rentabilit espre est la plus leve pour une volatilit donne

1La rentabilit espre dun actif partir du bta


[ ] ) de risque de Prime( irRE fi +=Si les hypothses des marchs efficients sont vrifies:

La prime de risque dpend uniquement du risque de march

Mktdu risque de Prime . de risque de Prime Pi =[ ] Mkt de risque de Prime . PrRE fi +=

2

1 2

La prime de risque dun titre i est proportionnelle la prime de risque de march

La prime de risque dpend uniquement du risque de march


Lquation du MEDAF

[ ] ( )fPfi rrRE += ][R E . Mkti risque de Prime

Exemple 12.4 (B&DM-p.392) calcul de la rentabilit espre dune action Le taux de rmunration des OAT est de 4%. Quel est le Beta de laction Renault? Selon le MEDAF, quelleest la rentabilit espre de Renault?

Expected Return SD Corr (RNO, Pm)

La rentabilit espre dun actif partir du bta


Expected Return SD Corr (RNO, Pm)Renault (RNO) ? 35% 27%PMkt 30% 20% -


Exemple 12.5 (B&DM-p.393) Calcul de la rentabilit espre dun actif bta ngatif Le taux de rmunration des OAT est de 4%. Comparer la rentabilit espre dAXA et le taux des OAT. Quen dduisez vous?

Expected Return

La rentabilit espre dun actif partir du bta


Expected Return AXA ? - 0.1PMkt 30% 1


La droite du MEDAF exprime la rentabilit espre dun actif en fonction de son

[ ] ( )fPfs rrRE += ][R E . Mkt

La Droite du MEDAF (The Security Market Line (SML))


Expectedreturn

PMkt 30% ?

Market Portfolio

Security Market Line (SML)

1

A

B


Selon le MEDAF, La rentabilit dun actif risqu dpend exclusivement de son : de son risque commun

Risk-free Investment 4% ?

Fig12.3b (B&DM-p.394) : La droite du MEDAF (SML) [ ] ( )fPfs rrRE += ][R E . Mkt

La Droite du MEDAF (The Security Market Line (SML))


1


Selon le MEDAF, tous les titres et tous les portefeuilles possibles sont situs sur la droite du MEDAF

Fig12.3 (B&DM-p.394) : Droite de march (CML) et droite du MEDAF (SML)

La Droite de March Versus la Droite du MEDAF



)( Type-Ecartl' defonction ][ SDRE = du fonction ][ =REAucun titre risqu nest situ sur la CML

Aucune relation linaire entre la volatilit dun titre et sa rentabilit espre

Le Beta dun portefeuille

Le Beta dun portefeuilleLa rentabilit espre dun portefeuille P dpend exclusivement du risque de march, mesure par son


If

= x .


=i

iiP x .

Exemple 12.6 (B&DM-p.395) Calcul de la rentabilit espre dun portefeuilleLe taux de rmunration des OAT est de 4%. Selon le MEDAF, quelle est la rentabilit espre dun portefeuille quipondr de ces deux titres?

Rentabilit espre

Le Beta dun portefeuille


Action Danone (BN) ? 0.5Action Infogrames (IFG) ? 1.25PMkt 10%

[ ] [ ]=i

iiP RExRE [ ] ( )fPfs rrRE += ][R E . Mkt =i

iiP x .1st way


2nd way

Putting It All Together: The Capital Asset Pricing Model

Part de la volatilit de lactif i qui est commune celle du portefeuille du march

) ,( C . )( D),( R RorrRSRRCov


Le Beta

Lquation du MEDAF

[ ] )( D) ,( C . )( D

)(),(

2Mkt

Mktii

Mkt

Mktii RS

R RorrRSRSD

RRCov==


[ ] ( )fPfi rrRE += ][R E . Mkti risque de Prime


The Capital Asset Pricing Model (CAPM) The CAPM Assumptions and the Market PortfolioMeasuring the Cost of Capital: the CAPM EquationThe Capital Market Line Versus The Security Market LineSummary of the CAPM

Rappel:

le taux dactualisation pour le calcul de la VAN est le cot dopportunit du capital

Dans une situation o l'on est confront plusieurs choix dinvestissement, le cot Dans une situation o l'on est confront plusieurs choix dinvestissement, le cot d'opportunit d'un choix donn est estime par la meilleure rentabilit que l'on peut obtenir sur le march pour un projet de risque comparable.

Selon le MEDAF, la rentabilit espre dun investissement risqu dpend uniquement de son Beta

Le cout dopportunit du capital ncessaire au calcul de la


Le cout dopportunit du capital ncessaire au calcul de la VAN est gal la rentabilit espre dun actif qui a un Beta identique au projet dinvestissement

Exemple : cot des capitaux propres dun projetStocks Volatility BetaArcelor Mittal 25% 1.9

Vallourec 35% 1.15

Risk-free investment Expected Return of PMkt4% 10%



Vallourec 35% 1.15

Quel est le titre le plus risqu ?Quel titre comprend le plus de risque systmatique ?

Quel est le cot du capital dun projet dont le est identique celui de Vallourec ?

Quel est le cot du capital dun projet dont le est identique celui dArcelor-Mittal ?


Quel est le cot du capital dun projet dont le est identique celui dArcelor-Mittal ?

Quel projet a le cot du capital le plus lev ?



Aux Etats-Unis, entre 70 % et 85 % des entreprises utilisent le MEDAF pour valuer le cot de leurs capitaux propres

Bruner, Eades, Harris et Higgins (1998) et Graham et Harvey (2001) Bruner, Eades, Harris et Higgins (1998) et Graham et Harvey (2001)

En Europe, environ 45 % des entreprises utilisent le MEDAF pour valuer le cot de leurs capitaux propres

Brounen, de Jong et Koedijk (2001)




Le MEDAF sert calculer le cot des capitaux propres

Le MEDAF permet de calculer la prime de risque (= rentabilit exige) partir dune estimation du

Connatre la rentabilit exige dun actif est ncessaire au choix dinvestissement

Le MEDAF permet de calculer la prime de risque (= rentabilit exige) partir dune estimation du bta de lactif

Le MEDAF est appliqu dans la gestion de portefeuille

Le MEDAF permet didentifier les titres sous ou sur-valus

Essayer de gagner de largent en bourse => identifier des opportunits darbitrage

investir dans ces titres avant que le march ne r-ajuste le portefeuille de march en fonction des


investir dans ces titres avant que le march ne r-ajuste le portefeuille de march en fonction des nouvelles valeurs

On parle alors de stratgie dinvestissement active

Par opposition la stratgie dinvestissement passiveinvestir dans un fonds qui rplique le portefeuille de march (ex : un tracker ETF index sur le CAC 40) et dans l actif sans risque (emprunt d Etat), dans les proportions souhaites, puis attendre...

Quiz

Si les actions taient corrles positivement de faon parfaite, la diversification ne rduirait pas le risque dun portefeuille

La corrlation entre les actifs dun portefeuille ninfluence pas la rentabilit espre de celui-ci, mais seulement sa volatilit

VraiVrai FauxFaux


Un portefeuille efficient : pour un mme niveau de risque, il offre la rentabilit espre la plus leve

Seul le risque spcifique dun actif dtermine la prime de risque exig par les investisseurs

Le bta est une mesure du risque spcifique dune action

Quiz

1. Il est inutile dacheter des actions plus risques et moins rentables que les actions composant notre portefeuille

2. Selon le MEDAF, une action de bta nul a une rentabilit espre nulle

VraiVrai FauxFaux


3. Le bta de laction dAXA est ngatif. Sa prime de risque est donc ngative

4. Les investisseurs exigent une rentabilit plus leve pour les actions dont les rentabilits sont plus variables

chap8_medaf

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