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COLE DE TECHNOLOGIE SUPRIEURE UNNERSIT DU QUBEC

THSE DE DOCTORAT PRSENTE L'COLE DE TECHNOLOGIE SUPRIEURE

COMME EXIGENCE PARTIELLE L'OBTENTION DU

DOCTORAT EN GNIE PH.D.

PAR

ROGER CHAMPAGNE

SIMULATION EN TEMPS REL L'AIDE DE LA REPRSENTATION D'TAT: APPLICATION UN ENTRANEMENT LECTRIQUE BAS SUR UNE

MACHINE ASYNCHRONE

MONTRAL, LE 16 JUIT..LET 2001

droits rservs de Roger Champagne 2001


CETIE THSE A T VALUE PAR UN JURY COMPOS DE:

M. Louis-A. Dessaint, directeur de thse Dpartement de gnie lectrique 1 'cole de technologie suprieure

Mme Ouassima Akhrif, professeure Dpartement de gnie lectrique l'cole de technologie suprieure

M. Kamal AI-Haddad, professeur Dpartement de gnie lectrique l'cole de technologie suprieure

M. Jean Mahseredjian, chercheur Institut de recherche d'Hydro-Qubec

ELLE A FAIT L'OBJET D'UNE SOUTENANCE DEVANT JURY ET UN PUBLIC

LE 22 JUIN 2001 L'COLE DE TECHNOLOGIE SUPRIEURE


SIMULAnON EN TEMPS REL L'AIDE DE LA REPRSENTAnON D'TAT: APPLICAnON UN ENTRANEMENT LECTRIQUE BAS SUR

UNE MACHINE ASYNCHRONE

Roger Champagne

(Sommaire)

Les machines lectriques sont omniprsentes dans nos vies. Il y en a dans nos ordinateurs et appareils mnagers, elles entranent les machines-outils et les robots dans nos usines et dplacent trains et navires. Suite aux progrs importants en lectronique de puissance ces dernires annes, les entranements vitesse variable ont aussi connu une popularit croissante. Cependant, leur utilisation grande chelle pollue le rseau lectrique avec des harmoniques indsirables qui troublent le fonctionnement d'quipements sensibles, tels les ordinateurs et les systmes de tlcommunications. L'impact des entranements vitesse variable sur le rseau lectrique qui les alimente doit donc tre analys l'aide d'outils de simulation. De plus, la conception des entranements de grande puissance bnficierait aussi d'un outil permettant de dvelopper les prototypes des contrleurs associs ces entranements.

Le but de cette thse est donc de dvelopper 1' outil en question, soit un simulateur d'entranements lectriques entirement numrique en temps rel. Ce simulateur permet-trait aux ingnieurs chargs de la conception des entranements d'effectuer des batteries de tests sur un prototype de contrleur, sans avoir besoin ds le dpart du vritable con-vertisseur et de la vritable machine. Ces premiers essais pourraient donc se faire dans des installations beaucoup plus modestes et de faon plus scuritaire.

Notre travail est bas sur la modlisation des entranements lectriques l'aide de l'approche par variables d'tat. Nous dcrivons d'abord une mthode permettant d'obte-nir automatiquement les quations d'tat de tout systme lectrique linaire, les compo-santes non-linaires tant simules l'extrieur de la reprsentation d'tat. La mthode est base sur la thorie des graphes linaires et comporte beaucoup de calcul matriciel, lequel est ralis efficacement dans l'environnement Matlab. Une technique originale de mise jour des quations d'tat suite un changement d'tat d'interrupteurs est utilise, ainsi qu'une mthode permettant d'obtenir une reprsentation d'tat unique de tout 1 'tage de puissance. Cette dernire mthode permet une solution simultane de toutes les quations dynamiques du systme. Une implantation de la discrtisation trapzodale adapte aux systmes variant dans le temps est ensuite dcrite et compare une mthode


iv

d'intgration rcemment dveloppe pour la simulation en temps rel des systmes rigi-des. Enfin, les diverses techniques exposes sont implantes afin de permettre la simula-tion en temps rel d'un entranement industriel sur un ordinateur parallle. D'excellents rsultats sont obtenus avec un pas de calcul de l'ordre de 60 JJ.s, incluant les communica-tions interprocesseur et les acquisitions des entres et sorties.


ABSTRACT

Electric machinery is widely used in our daily lives. There are electric motors in our com-puters and appliances at home, in tools and robots in manufacturing plants, and in vehi-cles such as cars, trains and ships. The past few decades have seen major advancements in the field of variable speed drives, consequent to new technologies in power electronics. However, widespread use of such drives pollutes the power grid with undesirable har-monies which compromise the normal operation of sensitive deviees such as computers and telecommunication systems. The impact of the variable speed drives on the power grid must therefore be analyzed with simulation tools. Moreover, designing high power drives could also benefit from a simulation tool that would allow prototyping of the drive' s controller.

Our goal in this thesis is to develop such a tool, a fully digital real-time simulator dedicated to electric drives. Such a simulator would allow engineers responsible for the design of large drives to prototype the drive's contrc.!lcr and initially test it using a simu-lated power converter and machine. Such tests would require limited space and equip-ment, and could be carried out safely without any high power deviees.

Our work is based on modeling the drive using the state variable approach. We first describe a method which automatically computes the state equations of any linear electric system, nonlinear components being simulated outside the state-space representation. The method is based on linear graph theory and uses matrix computations extensively. This task is performed efficiently in the Matlab environment. An original technique, used to update the state equations when a switching deviee changes state, is then described. We then describe a method which yields a unique state-space representation for the entire power stage of a drive. This method allows a simultaneous delay-free solution of ali the drive's dynamic equations. An implementation of the trapezodal integration rule, adapted for time-varying systems, is then described and compared to an integration method recently developed specifically for real-time simulation of stiff systems. Finally, the various methods discussed thus far are implemented in order to yield a real-ti me sim-ulation of an industrial drive on a parallel computer. Good results are obtained with timesteps of the order of 60 J.lS, which includes interprocessor communications and inputs and outputs acquisition and conversion.


AVANT-PROPOS

Le travail dcrit dans cette thse est le fruit d'une collaboration entre le

G.R..P.C.I.,le Laboratoire de Simulation de Rseaux (LSR) de l'IREQ, et Transnergie

Technologies. Plus spcifiquement, nos travaux ont t raliss dans le cadre de deux

subventions industrie-universit du CRSNG. Le G.R..P.C.I. et ses partenaires indus-

triels collaborent dans diffrents projets de recherche lis la simulation des rseaux

lectriques.

J'aimerais d'abord remercier mon directeur de thse, le professeur

Louis-A. Dessaint, avec qui je travaille depuis plus de six ans maintenant. Le dynamisme

et la grande disponibilit du professeur Dessaint sont des lments cls dans le succs de

mes tudes de matrise et de doctorat. Il a toujours su bien m'encadrer, tout en me don-

nant beaucoup de latitude pour exprimer mes initiatives.

J'aimerais galement remercier les autres membres du jury, les professeurs Ou as-

sima Akhrif et Kamal Al-Haddad, ainsi que Jean Mahseredjian, chercheur l'IREQ. Les

nombreuses discussions que j'ai eues avec eux, autant durant les cours qu'ils rn' ont don-

ns que durant mes travaux de recherche, ont eu un impact apprciable sur mon travail.

Ils ont galement tous fait preuve d'une grande disponibilit mon gard.


vii

Je veux galement remercier tous les gens qui travaillent chez nos partenaires

industriels, et avec qui j'ai eu l'occasion d'changer, notamment l'quipe du LSR de

I'IREQ et l'quipe chez Transnergie Technologies. Pierre Mercier, ancien charg de

techniques de simulation I'IREQ, est le principal instigateur de la collaboration conti-

nue entre le G.R..P.C.I. et le LSR et a t d'un support inconditionnel tout au long de

mes travaux. Gilbert Sybille, chercheur au LSR et auteur principal du Power System

Blockset (PSB), a gnreusement partag avec moi ses connaissances lies aux divers

aspects de mes travaux. Je tiens galement remercier Michel Ttreault, chef du LSR,

ainsi que Jean-Claude Soumagne et Silvano Casoria, tous deux chercheurs au LSR, qui

ont support ces travaux par l'entremise des subventions sus-mentionnes. Je remercie

galement toute l'quipe du LSR pour avoir consenti m'accueillir et pour m'avoir sup-

port durant l't 2000. J'y ai pass plusieurs semaines exprimenter avec leur ordina-

teur SGI et je tiens reconnatre les contributions de Pierre Giroux, Van Qu Do et

Christian Larose, chercheurs au LSR, ainsi que de Jose Plante, administratrice du rseau

informatique, et plus particulirement Sylvain Gurette, galement du LSR. Sylvain m'a

aid comprendre beaucoup de choses concernant les ordinateurs mmoire partage et

son exprience rn' a permis de sauver beaucoup de temps.

Chez Transnergie Technologies, je tiens remercier Yves Carmel, ancien direc-

teur gnral, ainsi que Alain Valle, directeur gnral, et Bahram Khodabakhchian, ing-

nieur, pour leur collaboration. Merci galement Patrice Brunelle, responsable technique

du dveloppement du PSB, pour son ouverture d'esprit face mes ides et suggestions,


viii

ainsi que pour sa capacit adapter rapidement le PSB des exigences sans cesse chan-

geantes.

Le dveloppement d'outils de simulation est un sujet fort intressant, mais peu utile

sans usager. cet effet, je tiens remercier particulirement mes collgues et amis du

G.R..P.C.I., autant tudiants que professeurs, pour leur grande patience avec toutes les

versions intermdiaires du PSB, et pour leurs nombreux commentaires et suggestions.

J'ai eu plusieurs discussions fort enrichissantes avec bon nombre d'entre eux et j'ai t en

mesure d'apprcier pleinement, grce eux, la force du travail en groupe.

Des tudes de doctorat se compltent difficilement sans support moral. Outre les

personnes dj mentionnes, je tiens adresser mes remerciements les plus sincres ma

famille et mes amis, qui ont endur mon absence, ou ma prsence a temps partiel,

durant ces annes et ce, tout en me soutenant dans mes efforts avec quantit d'encourage-

ments.

Enfin, s'il y a une personne qui mrite son propre paragraphe dans ces remercie-

ments, c'est ma copine Julie. Nos chemins se sont croiss quelque part au dbut de ma

matrise, et elle est toujours l, ce qui en dit long en soi. Merci pour ta grande patience et

tes encouragements soutenus. J'espre un jour pouvoir te rendre a.


TABLE DES MAnRES

Page

SOMMAIRE .......................................................... .iii

ABSTRACT ........................................................... v

A V ANT -PROPOS ...................................................... vi

TABLE DES MATIRES ................................................ ix LISTE DES TABLEAUX ................................................ xiii

LISTE DES FIGURES .................................................. xiv

LISTE DES ABRVIATIONS ET DES SIGLES ............................ xvii INTRODUCfiON ...................................................... 1

REVUE DE LA LITTRATURE ........................................... 7 CHAPITRE 1 - Modlisation des systmes lectriques l'aide de la

reprsentation d'tat ....................................... 13

1.1 Thorie des graphes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2 Matrices fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.2.1 Matrice d'incidence nodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.2.2 Matrice des mailles fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.2.3 Matrice des coupures fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.3 Choix des variables d'tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2 Circuits passifs RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.1 Obtention de l'arbre topologique ............................. 27

1.2.2 Calcul des matrices d'incidence nodale et des coupures

fondamentales ........................................... 29


x

1.2.3 Matrices des lments passifs ............................... 31

1.2.4 Matrices d'tat A et B ..................................... 32

1.2.5 Matrices d'tat Cet D ..................................... 38

1.2.5.1 Sorties tension .................................... 39

1.2.5.2 Sorties courant .................................... 40

1.3 Circuits contenant des transformateurs ............................. 41

1.3.1 Matrices d'lments passifs affectes ......................... 42

1.3.2 Rseaux isols ........................................... 43

1.3.3 Matrices d'tat A et B ..................................... 45

1.3.4 Matrices d'tat Cet D ..................................... 47

1.3.5 Restrictions sur les paramtres .............................. 48

1.4 Circuits contenant des inductances couples ......................... 49

1.4.1 Matrices affectes ........................................ 50

1.4.2 Restrictions sur les paramtres .............................. 51

1.5 Dtection d'erreurs dans les donnes d'entre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.6 Analyse de performance ......................................... 52

1.7 Conclusions .................................................. 56

CHAPITRE 2- Modlisation des entranements lectriques l'aide de la

reprsentation d'tat ....................................... 57

2.1 Systmes comprenant des interrupteurs ............................. 58

2.1.1 Modlisation des interrupteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.1.2 Changements d'tat d'interrupteurs ........................... 62

2.2 Machines lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.2.1 Modlisation de la machine asynchrone ....................... 66

2.2.2 Les transformations de rfrentiel ............................ 71

2.2.2.1 Relations entre les variables de phase et le rfrentiel

dq arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2.2.2 Transformations de rfrentiel courantes ................ 74

2.3 Entranement complet .......................................... 79


xi

2.4 Validation de la mthode de simulation en temps diffr ............... 83

2.5 Conclusions .................................................. 93

CHAPITRE 3 - Intgration numrique ...................................... 95

3.1 quations diffrentielles rigides ................................... 95 3.2 Caractristiques des mthodes courantes d'intgration pas fixe ......... 97

3.2.1 valuation de la stabilit des mthodes d'intgration ............. 98 3.2.2 valuation de la prcision des mthodes d'intgration ........... 102

3.3 Discrtisation trapzodale applique aux quations d'tat ............. 104

3.4 Implantation de la discrtisation trapzodale ....................... 109

3.5 La mthode MSRP-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.6 tude de cas ................................................. 117 3.7 Conclusions ................................................. 121

CHAPITRE 4 - Simulation en temps rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.1 Systme tudi ............................................... 123

4.2 Ordinateurs parallles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2.1 Architectures mmoire distribue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2.2 Architectures mmoire partage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3 Dcouplage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.4 Simulation parallle de la partie onduleur/machine ................... 131

4.5 Principaux facteurs affectant le temps de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.5.1 Matriel ............................................... 135

4.5.2 Systme d'exploitation ................................... 138

4.5.3 Compilateur ............................................ 139

4.5.4 Outils d'analyse ......................................... 144

4.5.5 Style de programmation ................................... 145

4.6 Optimisation des calculs ....................................... 147

4.6.1 Algorithmes matriciels ................................... 147

4.6.2 Mise jour des matrices d'tat suite une commutation ......... 149 4.7 tude de cas ................................................. 151


xii

4.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

CONCLUSION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

RECOMMANDATIONS ............................................... 167

RFRENCES BffiLIOGRAPHIQUES ................................... 169 ANNEXE A : Paramtres des simulations des chapitres 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

ANNEXE B: Paramtres des simulations du chapitre 4 ....................... 175


LISTE DES TABLEAUX

Page

1-1 Temps requis pour obtenir les matrices d'tat d'un grand rseau ............. 54

1-2 Remplissage des matrices d'tat selon la mthode de calcul. ................ 56

2-1 Coefficients de rigidit obtenus dans diverses conditions ................... 62

2-2 Pas de calculs utiliss pour les comparaisons ............................ 90

2-3 Temps d'excution des deux simulations ............................... 93

3-1 Fonctions de transfert discrtes correspondant une approximation du

processus d'intgration selon trois mthodes courantes .................... 98

3-2 Termes principaux du LTE pour trois mthodes courantes ................. 103

3-3 Temps d'excution des deux simulations .............................. 120

4-1 Patrons d'accs aux donnes pour les variantes de la multiplication

matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4-2 Principaux paramtres de chaque partie de la simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4-3 Temps d'excution de la partie onduleur/machine avec 11 variables

d'tat (DEC Alpha 533 MHz) ....................................... 155 4-4 Temps de calcul sur DEC Alpha 533 MHz de chacun des trois sous-systmes

de 1 'entranement avec cinq variables d'tat du ct onduleur/machine. . . . . . . 156

4-5 Temps d'excution des diffrentes tches avec 11 variables d'tat

(DEC Alpha 533 MHz et SOI Origin 2000 400 MHz) .................... 157


LISTE DES FIGURES

Page

1-1 Un circuit simple et son graphe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1-2 Un arbre correspondant au graphe de la figure 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1-3 Maille fondamentale dfinie par le lien Lsrc ............................. 18

1-4 Coupure fondamentale forme par le retrait de la branche Cch ............... 21

1-5 Relations de base pour le traitement des transformateurs ................... 42

1-6 Un circuit simple comprenant un transformateur idal et le

graphe correspondant ............................................... 43

1-7 Fort correspondant au systme de la figure 1-6 .......................... 45

1-8 Circuit quivalent d'une inductance mutuelle deux enroulements ........... 49

1-9 Patron de remplissage de la matrice d'tat A. a) avec le PSB 1.0; b) avec la mthode propose ......................................... 55

2-1 Macromodles d'interrupteurs utliss. a) modles binaire rsistif avec inductance srie; b) modle binaire rsistif .............................. 59

2-2 Interface de la partie linaire du systme avec le modle d'interrupteur ....... 60

2-3 Circuit simple utilis pour illustrer le concept de rigidit ................... 61

2-4 Schma-bloc illustrant la mthode de mise jour des matrices d'tat ......... 64 2-5 Reprsentation d'tat quivalente (matrices A, B, Cet 0) .................. 64 2-6 Schma quivalent du modle de machine asynchrone dans le

rfrentiel dq arbitraire ............................................. 69

2-7 Reprsentation graphique de la transformation de rfrentiel pour des

circuits stationnaires ............................................... 72


xv

2-8 Reprsentation graphique de la transformation de rfrentiel pour des

circuits en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2-9 Schma de l'exemple ............................................... 79

2-l 0 Sparation du schma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2-11 Sparation du systme en trois parties distinctes .......................... 81

2-12 Schma de 1 'entranement tudi ...................................... 84

2-13 Schma Simulink/PSB de la simulation de rfrence ...................... 85

2-14 Schma Simulink utilisant la s-function en langage Matlab ................. 86

2-15 Courant statorique de la phase a de la machine avec les deux mthodes

de simulation: a) PSB 2.0; b) mthode propose ......................... 91 2-16 Vitesse du moteur d'induction avec les deux mthodes de simulation et

pour diffrents pas de calcul: a) PSB 2.0; b) mthode propose .............. 92 3-1 Coefficient de rigidit obtenu en simulant 1' entranement de la section 2.4 ..... 96

3-2 Zones de stabilit correspondant aux trois mthodes: a) Euler arrire; b) trapzodale; c) Gear-2 ........................................... 99

3-3 Zone de stabilit d'une mthode d'intgration rigidement stable ............ 101

3-4 Nombre d'oprations mathmatiques requises pour solutionner (3-12) (factorisation et solution LU) ....................................... 108

3-5 Nombre d'oprations mathmatiques requises pour solutionner (3-12) (inversion de matrice l'aide d'une factorisation LU) .................... 109

3-6 Organigramme de la fonction de mise jour des sorties de la s-function (d. ' . . ' ''dal ) Il? ascreusataon trapezoa e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -

3-7 Une boucle algbrique simple et sa solution ............................ 116

3-8 Interaction entre notre s-function et le contrleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3-9 Organigramme de la fonction de mise jour des sorties de la s-function (mthode MSRP-2) ............................................... 118

3-10 Courant statorique de la phase a de la machine avec les deux

mthodes d'intgration: a) trapzodale; b) MSRP-2 ..................... 119 3-11 Vitesse de rotation de la machine avec les deux mthodes d'intgration ...... 119


xvi

4-1 Schma de l'entranement tudi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4-2 Ordinateur parallle mmoire distribue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4-3 Ordinateur parallle mmoire partage ............................... 126 4-4 Architecture du SGI Origin 2000. a) systme avec huit processeurs;

b) contenu d'une carte ("Node board") ................................ 128 4-5 Dcouplage par l'utilisation d'une ligne de transport ..................... 129

4-6 Dcouplage d'un rseau lectrique l'aide d'quivalents

Thvenin et Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4-7 Mthode de dcouplage utilise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4-8 Inversion de matrice parallle sur deux processeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4-9 Une boucle simple ................................................ 141

4-10 Une boucle simple droule une fois .................................. 142

4-11 Algorithme de multiplication matricielle, version ijk ..................... 147 4-12 Forme de la matrice (1- DoDsw) ..................................... 150 4-13 Forme des facteurs L et U de l'exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1

4-14 Schma Simulink 1 PSB des trois parties du systme: a) source et redresseur; b) onduleur, machine et charge; c) commande DFTC ........... 153

4-15 Schma Hypersim utilis pour la simulation en temps rel. . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4-16 Courant statorique de la machine, phase a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4-17 a) Consigne de vitesse et vitesse de la machine; b) tension du bus CC . . . . . . . 159 4-18 Enveloppes des temps d'excution des deux principales parties: a) partie

onduleur et machine; b) partie source et redresseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160


G.R..P.C.I.

IREQ

CRSNG

PSB

PI

EMTP

dqO

x

u

y

A

B

c

D

LISTE DES ABRVIATIONS ET DES SIGLES Groupe de recherche en lectronique de puissance et commande industrielle

Institut de recherche d'Hydra-Qubec

Conseil de recherches en sciences naturelles et en gnie du Canada

Power System Blockset

Proportionnel et intgrale

Electromagnetic Transients Program

axes du rfrentiel dq arbitraire (d=direct, q=quadrature, O=homopo-laire)

temps, s indice indiquant une composante appartenant l'arbre (branche)

indice indiquant une composante n'appartenant pas l'arbre (lien)

drive de la variable x par rapport au temps

vecteur des variables d'tat

vecteur des entres

vecteur des sorties

matrice des paramtres du systme

matrice de couplage des entres

matrice de couplage des sorties

matrice liant les entres aux sorties


i ou 1

vou v

E

J

RLC

s

T

p

xviii

matrice des mailles fondamentales

matrice des coupures fondamentales

courant lectrique, A. Indices utiliss:

a,b,c grandeur de phase a, bouc (rfrentiel fixe)

d,q grandeur statorique d'axe d ou q (rfrentiel dq)

rn grandeur mcanique ou magntisante

e grandeur lectrique

n grandeur nominale

b grandeur de base

grandeur de fuite

s grandeur statorique

r grandeur rotorique

tension, V (mmes indices que courant lectrique)

source de tension, V

source de courant, A

acronyme indiquant un circuit passif contenant exclusivement les deux types de sources idales ainsi que des rsistances, inductances et con-densateurs

matrice liant les variables d'tat aux tensions et courants des lments rsistifs

matrice liant les entres aux tensions et courants des lments rsistifs

matrice des chemins ("path matrix"). puissance active, W sous-matrice de la matrice d'tat C


G

D,M

v

w

rou R

L

f

p

nouN

co

9

K

xix

matrice de conductances (circuits sans transformateurs) matrice liant les tensions aux courants des lments rsistifs (circuits avec transformateur)

matrices intermdiaires utilises dans le calcul des matrices d'tat Cet D

matrice liant les variables d'tat aux tensions des branches inductives

matrice liant les entres aux tensions des branches inductives

flux magntique, V.s (mmes indices que courant lectrique) valeurs propres d'une matrice

rsistance, 1l (mmes indices que courant lectrique)

inductance, H (mmes indices que courant lectrique)

frquence, Hz

nombre de paires de ples de la machine

vitesse de rotation, r/min ou radis

vitesse angulaire lectrique du rfrentiel dqO, radis

position angulaire lectrique du rfrentiel dqO, degrs

vitesse angulaire du champ tournant statorique, radis

position angulaire du champ tournant statorique, degrs

vitesse angulaire lectrique du rotor, radis

position angulaire lectrique du rotor, degrs

vitesse angulaire mcanique du rotor, radis

position angulaire mcanique du rotor, degrs

matrice de transformation de rfrentiel. Indices utiliss:

s: transformation applique des circuits stationnaires


xx

r: transformation applique des circuits en rotation

M, N matrices de transformation de rfrentiel

Q1, Q2 sous-matrices de la matrice d'tat D

l3 matrice identit 3 par 3

J moment d'inertie, kg.m2 matrice d'tat A ou sa linarisation

T priode d'chantillonnage

Tm couple mcanique, N.m ou p.u.

Te couple lectrique, N.m ou p.u.

F coefficient de frottement visqueux, N.m.s ou p.u.

x' variable x est une grandeur rotorique rfre au stator

A0, A1, 8 0, B1 matrices des coefficients d'intgration de la mthode MSRP-2

U AL unit arithmtique et logique


INTRODUCTION

Les machines lectriques sont omniprsentes dans nos vies. De celles qui se trou-

vent dans nos ordinateurs et appareils mnagers aux moteurs dans les trains et navires en

passant par ceux qui entranent les convoyeurs, pompes, machines-outils et robots dans

les usines, les machines sont partout. Les entranements frquence variable ont connu

ces dernires dcennies une croissance tonnante, consquence directe de progrs nota-

bles dans le domaine de l'lectronique de puissance.

Cependant, l'utilisation grande chelle d'entranements frquence variable

cause certains problmes au niveau du rseau lectrique. Les convertisseurs lectroni-que de puissance de ces entranements gnrent des harmoniques qui polluent le rseau et

perturbent le fonctionnement d'appareils sensibles tels les ordinateurs et quipements de

tlcommunication. Il est donc important de pouvoir tudier et analyser l'impact de ces

entranements dans un contexte donn et un bon outil de simulation devrait faciliter cette

analyse. Ceci est d'autant plus important que les machines lectriques reprsentent une

part importante de la charge du rseau lectrique.

La conception d'entranements lectriques de grande puissance est galement une

activit qui pourrait bnficier selon nous d'un type particulier d'outil de simulation,

c'est--dire un simulateur d'entranements lectriques en temps rel entirement numri-

que. Un tel outil permettrait aux ingnieurs chargs de la conception de l'entranement de

dvelopper un prototype de commande et de faire des essais avec cette commande en la

raccordant un simulateur en temps rel qui reproduit fidlement le comportement de

l'tage de puissance de l'entranement (source, convertisseur, machine et charge). Bien que le prototype doive ventuellement tre test sur "le vrai" systme, nous sommes


2

d'avis que les premires phases de conception bnficieraient de l'utilisation d'un tel

simulateur.

Les simulateurs en temps rel entirement numriques existent depuis le dbut des

annes 1990. Ils sont principalement utiliss pour la simulation des grands rseaux lec-

triques et les essais lis aux quipements qui s'y raccordent, par exemple les disjoncteurs de lignes de transport haute tension, les relais de protection, et la commande pour les

compensateurs statiques. La plupart de ces simulateurs comprennent des modles de con-

vertisseurs lectronique de puissance ainsi que quelques modles de machines utilises

dans les entranements modernes. Cependant, les contraintes imposes par le temps rel

forcent l'utilisation de modles discrets dcrits par des quations aux diffrences et il

n'est pas possible d'utiliser une technique itrative comme on le fait pour simuler ces sys-

tmes en temps diffr. La simulation d'un entranement sur ces simulateurs exige l'ajout de composantes parasites afin d'assurer la stabilit de la simulation. Dans un contexte de

rseau lectrique o le comportement d'une usine complte est tudi, ces composantes

ne sont pas parasites et consistent en des charges passives qui se retrouvent proximit

des entranements. Cependant, lorsque l'on veut tudier le comportement d'un entrane-

ment isol, ces composantes parasites sont ncessaires et modifient la dynamique du sys-

tme de faon apprciable et selon nous inacceptable.

Les simulateurs de rseaux lectriques en temps rel sont bass sur la modlisation

du rseau l'aide de l'approche nodale. La plupart de ces simulateurs utilisent de plus la

mthode de discrtisation trapzodale, aussi connue sous le nom de mthode de Tustin.

Afin de palier au problme sus-mentionn, nos travaux de recherche ont t raliss dans

le cadre de deux mandats, pour le compte du Laboratoire de Simulation de Rseaux

(LSR) de l'IREQ, visant spcifiquement tudier la possibilit d'utiliser une autre appro-che de modlisation, soit l'approche par variables d'tat, pour raliser des simulations en

temps rel. Ces mandats visaient galement explorer des mthodes d'intgration pas

fixe alternatives la discrtisation trapzodale dans le but d'liminer les principaux


3

inconvnients lis cette mthode, notamment les oscillations numriques produites lors

de discontinuits.

L'utilisation de l'approche par variables d'tat peut se justifier de plusieurs faons. D'abord, les quations dynamiques de plusieurs classes de systmes s'expriment naturel-

lement sous forme d'quations diffrentielles ordinaires d'ordre un. C'est le cas des sys-

tmes lectriques comprenant des convertisseurs de puissance et c'est galement le cas

pour les machines lectriques. De plus, il existe de nombreux outils mathmatiques nous permettant d'analyser les proprits d'un systme modlis sous forme d'quations

d'tat. Les notions de commandabilit et d'observabilit sont bases sur cette reprsenta-

tion. Connaissant les quations d'tat d'un systme, on peut galement analyser sa stabi-

lit puisque les valeurs propres de la matrice d'tat A sont en fait les ples du systme. Un

autre avantage de la reprsentation d'tat est qu'elle permet de changer facilement de

mthode d'intgration. Pour changer de mthode d'intgration avec l'approche nodale, il

faut discrtiser chaque composante nouveau avec une mthode diffrente. Comme une part de nos travaux consiste tudier les algorithmes d'intgration, cet avantage est

apprciable. Cette approche permet galement d'implanter des algorithmes pas varia-

bles plus facilement qu'avec l'approche nodale. Cependant, comme nous aspirons rali-

ser des simulations en temps rel, cet avantage est moins marqu dans notre cas. Enfin,

l'approche par variable d'tat se gnralise facilement aux systmes non-linaires et est

souvent la mthode de choix dans ce cas.

Les travaux dcrits dans cette thse visent donc liminer certaines contraintes des

simulateurs actuels, et ainsi permettre la simulation numrique en temps rel d'entrane-

ments lectriques. Notre objectif principal est de dvelopper des modles et/ou mthodes de simulation qui permettent de simuler le comportement dynamique d'un entranement

lectrique isol. Dans ce contexte, nous avons aussi comme objectif d'tudier les algo-rithmes d'intgration pas fixe, dans le but d'utiliser une technique d'intgration la fois

assez simple pour tre applicable en temps rel, et assez robuste pour simuler de faon


4

stable et prcise les systmes particulirement exigeants que sont les entranements lec-

triques.

Nous tenons mentionner que nous nous concentrons exclusivement sur les techni-

ques de modlisation et de simulation des entranements dans cette thse. Bien que notre

but ultime soit de dvelopper un simulateur permettant de connecter une commande

relle un entranement simul, nous ne dcrivons pas d'exprimentation o une telle

interconnection est ralise. Cette tche dpasse le cadre de notre thse.

Nous avons commenc par nous familiariser avec la gnration automatique des

quations d'tat pour un systme lectrique gnral. En tant que co-auteur du Power Sys-

tem Blockset (PSB) [1], une librairie ddie la simulation des rseaux lectriques et des entranements dans l'environnement Matlab/Simulink, nous tions familiers avec les

principes lis l'obtention de ces quations, mais cette partie a t dveloppe par un

chercheur de l'IREQ, Gilbert Sybille, dans la version 1 du PSB. Notre contribution cette premire version a consist participer au dveloppement des modles de machines

lectriques et de rgulateurs du PSB [2]. Lors de notre tude, nous nous sommes familia-riss avec une mthode d'obtention des quations d'tat base sur la thorie des graphes

linaires [3]. Cette mthode s'est avre trs performante dans l'environnement Matlab et notre implantation, un petit programme que nous avons crit et que nous utilisions pour

nos besoins personnels dans le cadre de la prsente thse, a grandi. La technique utilise a

t implante dans la version 2 du PSB et est dcrite en dtail dans notre premier chapitre

pour un systme lectrique gnral. Quelques exemples simples sont utiliss tout au long du dveloppement afin de faciliter la comprhension de la mthode. Le premier chapitre

dcrit le point de dpart de nos travaux, soit l'obtention des quations d'tat du systme.

La technique dcrite au chapitre l s'applique pour un systme lectrique linaire.

Toutes les non-linarits (interrupteurs, machines) sont considres comme des modles externes la reprsentation d'tat et apparaissent comme des entres, sous forme de sour-

ces de courant, du point de vue de cette dernire. Nous discutons donc au chapitre 2 de la


5

modlisation des interrupteurs et des machines lectriques. Une technique originale per-

mettant d'inclure les interrupteurs dans les matrices d'tat du systme est d'abord dcrite.

Un modle de machine asynchrone est ensuite dfini et une attention particulire est por-

te aux diffrentes transformations de rfrentiel qui permettent de simplifier le modle.

Notre tude porte exclusivement sur la machine asynchrone, tant donne que c'est la

machine la plus couramment utilise dans l'industrie. Les quations associes la

machine sont typiquement solutionnes sparment du reste du systme. Or, nous avons

adopt une mthode qui permet d'inclure les quations d'tat de la machine dans la repr-

sentation d'tat du reste du systme, permettant une solution simultane sans dlai du

systme entier. Cette mthode est dcrite la fin du chapitre 2, lequel se termine par une

validation en temps diffr des techniques dcrites date.

Au chapitre 3, nous nous attardons la question de la discrtisation du processus

d'intgration, notre entranement tant dcrit par des quations diffrentielles qui doivent

tre solutionnes en temps rel. Un entranement constitue un systme d'une classe parti-

culirement dlicate discrtiser et ces particularits imposent des restrictions quant au

choix de la mthode de discrtisation. Une mthode d'intgration matricielle rcemment

publie est analyse et compare la discrtisation trapzodale.

Enfin, la thse se termine par un chapitre portant sur l'implantation en temps rel

des techniques de simulation et d'intgration exposes aux chapitres antrieurs. Pour ce

faire, un systme consistant en un entranement industriel courant est tudi. La com-

plexit du systme simuler couple aux contraintes svres du temps rel forcent l'utili-

sation d'ordinateurs parallles, dont nous dcrivons ensuite les deux principales

architectures. La sparation des tches sur plusieurs processeurs l'aide de techniques de

dcouplage est discute, puis les principaux facteurs que nous avons eus considrer

pour rduire le temps de calcul de nos programmes sont numrs. Quelques optimisa-tions apportes nos algorithmes sont enfin dcrites, aprs quoi la simulation de l'entra-

nement en temps rel est analyse.


6

Avant d'attaquer le corps de notre sujet, nous allons faire une brve revue de la lit-trature lie aux diffrents aspects de notre sujet de recherche.


REVUE DE LA LITTRATURE

Au dbut de ce projet, nous avions un mandat bien clair qui consistait tudier la possibilit de simuler, en temps rel et l'aide de la reprsentation d'tat, des entrane-

ments lectriques. Nous avons donc fait une recherche bibliographique en ce sens mais

n'avons trouv aucun article qui couvrait tous ces concepts. Nous avons donc t con-

traints de faire plusieurs recherches avec un nombre rduit de concepts et avons ainsi

trouv plusieurs publications intressantes. Nous prsentons ici les principaux rsultats

de ces recherches.

D'abord, l'obtention des quations d'tat d'un systme lectrique est un sujet qui a t abondamment couvert par la littrature de la fin des annes 1960 par, entre autres,

Balabanian et Bickart [3] et durant les annes 1970 par de nombreux auteurs, dont Rohrer [4], Gille [5], et Chua et Lin [6]. Le sujet a galement t repris dans quelques livres plus modernes, dont celui de Rajagopalan [7].

Nous avons dvelopp une certaine expertise en modlisation de machines lectri-

ques lors du dveloppement du Power System Blockset (PSB) [ 1 ]. Ce projet a galement fait l'objet de notre mmoire de matrise [2]. Cependant, les modles dvelopps pour la premire version du PSB sont des modles dans le domaine continu, destins une utili-

sation dans l'environnement Simulink. La version 1 du PSB rsout les quations diffren-

tielles l'aide d'algorithmes d'intgration itratifs pas et ordre variables. Les modles

ne sont donc pas directement utilisables dans le contexte d'une simulation en temps rel.

Les modles utiliss dans la version 2, laquelle pennet les simulations discrtes pas

fixe, ont simplement t obtenus en substituant au bloc d'intgration de Simulink "1/s"


8

une fonction de transfert discrte, en l'occurrence celle de la mthode de discrtisation

Euler avant.

Par consquent, nous avons cherch des modles alternatifs dans la littrature.

Lauw et Meyer [8] prsentent le modle de machine universelle qui est utilis dans le trs populaire logiciel de simulation de rseaux lectriques EMTP (Electromagnetic Tran-sients Program) [22]. Ce modle permet de simuler 12 types de machines lectriques dif-frentes, incluant les machines courant continu et les machines courant alternatif

monophases et triphases. cause de la faon dont EMTP rsout les quations d'un rseau (approche nodale et discrtisation trapzodale), le modle de machine universelle est scind en quatre parties distinctes et la solution des quations de la machine est un

processus itratif. La mthode de solution propose s'adapte donc plutt mal une simu-lation en temps rel.

De leur ct, Vainio et al. [9] proposent un modle de machine asynchrone mono-phase destin une simulation en temps rel. Cependant, leur modle est implment

sur plusieurs ASIC ("Application Specifie lntegrated Circuit") de fabrication maison. La priode d'chantillonnage requise n'est pas discute et la discrtisation du modle est

faite selon deux approches (Euler avant et trapzodale), les deux tant compares.

L'article de Gehlot et Alsina [10] prsente un modle de machine asynchrone tri-phase, destin de la commande en temps rel. Ils utilisent un modle d'tat avec

comme variables lectriques les courant du stator et les flux du rotor. Ce choix est dict

par l'application vise (commande vectorielle) qui exige une estimation prcise des flux au rotor. La topologie simule est base sur un onduleur MLI (Modulation de largeur d'impulsion, en anglais "PWM"). Cependant, le convertisseur est approxim de faon simpliste en considrant que la tension prsente aux bornes de la machine est constante

durant une priode d'chantillonnage et gale la valeur de la source courant continu.

La discrtisation du modle est base sur une mthode de prdicteur-correcteur et la

simulation dmontre d'excellents rsultats pour une priode d'chantillonnage de 555 J.ls.


9

La simulation de convertisseurs de puissance a t l'objet de nombreuses publica-tions scientifiques et se retrouve aussi dans plusieurs manuels de rfrences [6,7]. Cepen-dant, nous avons limit notre recherche la simulation en temps rel de convertisseurs de

puissance et nous n'avons trouv que quelques publications.

D'abord, Haskew et Byakod [11) proposent une mthode de simulation d'un redresseur thyristors 12 impulsions. Leur mthode est base sur l'approche par varia-

bles d'tat et la discrtisation est ralise l'aide de la mthode d'Euler arrire. La tech-

nique propose exige cependant que les 4096 tats possibles du redresseur ( 12 interrupteurs, deux tats possible chacun, 212 = 4096 possibilits) soient stocks en mmoire. De plus, leur simulation est implmente en langage Fortran sur un IBM RISC

6000.

Dans le but de nous rapprocher du sujet de notre projet, nous avons ensuite entre-pris une recherche sur la simulation d'entranements lectriques en gnral, en omettant

les concepts "reprsentation d'tat" et "temps rel".

Notre premire trouvaille est l'article de Kleinhans et al. [12]. On y prsente un logiciel permettant la simulation, en temps diffr, d'entranements lectriques de confi-

gurations varies. On dmontre l'utilisation du logiciel l'aide d'une application de com-

mande flux orient d'une machine asynchrone triphase cage d'cureuil. L'approche

de simulation est modulaire, mais les auteurs ne discutent pas la stratgie d'interface

entre les divers modules, ce qui est la principale difficult dans ce type de simulation. De

plus, on ne donne que les quations gnrales du modle de machine et aucune mention

n'est faite de l'algorithme de solution utilis.

Une autre publication, celle de Chhaya et Bose [13] prsente le dveloppement d'un systme expert servant concevoir, simuler et ajuster des entranements lectriques varis. Le systme semble superviser une simulation en temps rel de l'ensemble conver-

tisseur-machine, mais nous n'en sommes pas certains (trs peu de dtails sur cette partie


10

dans l'article). Cette simulation est ralise l'aide du logiciel SIMNON et sert essentiel-lement ajuster les paramtres du contrleur, lui-mme implment sur un DSP. Cet arti-cle offre une excellente rcapitulation des tapes requises pour la conception d'un

entranement lectrique.

Les deux publications suivantes sont les seules que nous ayons trouves qui discu-

tent de simulation en temps rel d'entranements lectriques. Dans celle de Matuonto et

al. [14], il n'y a aucune mention quant au convertisseur (qui est un cycloconvertisseur) ce qui nous porte croire que son fonctionnement est idalis et est simul de faon lmen-

taire. Les auteurs simulent une machine synchrone ples saillants l'aide de l'algo-

rithme de Runge-Kutta d'ordre 4 (intgration itrative), avec une priode d'chantillonnage de 1 ms. Dans l'article de Dezza et al. [15], la topologie simule est un onduleur MLI, semblable un cas mentionn plus haut, et le fonctionnement du conver-

tisseur est encore une fois idalis. Cependant, la simulation utilise 1' algorithme

d' Adams-Bashforth d'ordre 3 avec une priode d'chantillonnage plus raisonnable de

200 JJ.s. La simulation est ralise sur un DSP TMS320C30 et l'interface avec la simula-

tion est ralise grce au logiciel Labview, qui est excut sur un ordinateur Macintosh.

Le logiciel Labview permet d'entrer les paramtres de la simulation priori et de visuali-

ser les rsultats sur des graphiques posteriori.

Nous rsumons maintenant les rsultats de diverses recherches faites l'aide de

concepts autres que ceux mentionns date. Tout d'abord, nous avons gard en tte tout

au long de nos travaux la possibilit de faire de la simulation hybride. Ce que nous enten-

dons par simulation hybride est la simulation d'un systme dont une partie est modlise

avec l'approche nodale et l'autre partie est modlise l'aide de l'approche par variables

d'tat. Nous avons recueilli deux publications traitant de simulation hybride. Dans celle

de Zavahir et al. [ 16], on simule un convertisseur HTCC (haute tension courant continu) l'aide de la reprsentation d'tat et cette simulation s'intgre dans un rseau plus large

qui est simul l'aide de l'approche nodale. Dans l'article de Kang et Lavers [17], on uti-lise les deux approches afin d'obtenir un systme d'quation sous une forme assez origi-


Il

nale, qui est cependant itrative. Les auteurs prtendent conserver les avantages des deux

mthodes tout en liminant les inconvnients propres chacune. L'efficacit de la

mthode propose est illustre l'aide d'un onduleur triphas thyristors.

Un autre papier intressant, que nous n'arrivons pas placer dans une catgorie particulire, est celui de Wasynczuk et Sudhoff [18]. Ce papier nous intresse puisqu'on y dcrit une mthode systmatique d'obtention de la reprsentation d'tat d'un systme

complet. En guise d'exemple, on illustre l'application de la mthode dveloppe l'aide

d'une topologie consistant en une machine synchrone raccorde un redresseur diodes.

Le tout est implment dans l'environnement ACSL, un langage symbolique permettant

de solutionner les quations diffrentielles. La procdure dcrite est cependant de nature

itrative et n'est donc pas applicable en temps rel.

La discrtisation du processus d'intgration est le dernier sujet que nous discutons dans cette revue de la littrature. Nous avons tudi durant un certain temps une publica-

tion de De Abreu-Garcia et Hartley [19] qui dcrit une technique d'intgration discrte, baptise "Matrix Stability Region Placement" (MSRP). Il s'agit d'un oprateur d'intgra-tion matriciel qui permet de fixer la priode d'chantillonnage non pas en fonction de la

stabilit de la simulation, mais en fonction du degr de prcision dsir. De plus, cette

mthode a t spcifiquement conue pour simuler, en temps rel, les systmes rigides.

Elle exige cependant que le systme simuler se prsente sous forme de reprsentation

d'tat (linaire ou non). Enfin, nous avons analys les mthodes d'intgration discrtes l'aide de deux volumes de rfrence, soir celui de Chua et Lin [6] et celui de Hartley et al. [20].

Cette recherche bibliographique nous permet de tirer trois grandes conclusions (la troisime tant une consquence des deux autres):


12

a. beaucoup de publications traitent de l'un des sujets suivants: simulation de machines lectriques, de convertisseurs de puissance ou d'entranements

lectriques;

b. seulement quelques unes de ces publications traitent de simulation en temps

rel d'entranements lectriques et dans ces publications, la dynamique du

convertisseur est idalise; par consquent, le convertisseur n'est pas vrai-

ment simul;

c. date, personne ne semble avoir publi d'article o l'on simule en temps rel

un ensemble convertisseur-machine lectrique (un entranement) en mode isol.

Cette dernire conclusion nous encourage et nous angoisse un peu en mme temps.

Elle nous encourage dans l'optique o un projet de doctorat doit apporter une contribu-tion originale. Il semble que ce soit le cas. Cependant, le fait de n'avoir trouv aucune

publication traitant spcifiquement de notre sujet est intrigant, en ce sens o il s'agit de quelque chose de difficile raliser, ou alors il n'y a pas d'intrt ( date) poursuivre un tel but. Dans l'optique de cette dernire remarque, il est fort possible que les limites de la

technologie aient empch la ralisation de simulations en temps rel d'entranements

lectriques. Or ces limites sont constamment repousses.


CHAPITRE 1

MODLISATION DES SYSTMES LECTRIQUES L'AIDE DE LA REPRSENTATION D'TAT

Afin d'tudier la possibilit d'utiliser l'approche par variables d'tat pour faire des

simulations en temps rel, il est important de pouvoir gnrer systmatiquement les qua-tions d'tat d'un systme quelconque. Ce premier chapitre a pour but de prsenter une

synthse des notions associes la modlisation des systmes lectriques 1' aide de la

reprsentation d'tat.

Nous avons constat qu'il existe essentiellement deux mthodes pour obtenir les

quations d'tat d'un rseau lectrique. Une premire mthode consiste en l'analyse de

rseaux rsistifs multiports [6,3]. Avec cette mthode, on extrait sous forme de ports tou-tes les composantes non-rsistives du circuit, puis on substitue ces ports par une source

approprie (tension ou courant) et on obtient ainsi la contribution de chacune des compo-santes sur 1' ensemble du circuit. La seconde mthode est base sur la thorie des graphes

[6,3]. C'est cette dernire approche qui est dcrite dans le prsent chapitre. Nous compa-rons les performances des deux mthodes la fin du chapitre.

Nous prsentons d'abord les notions de base de la thorie des graphes linaires. Ces

notions sont ensuite appliques l'obtention des quations d'tat de systmes simples,

comportant uniquement des sources idales et des composantes passives (rsistances, condensateurs, inductances). Nous ajoutons ensuite la possibilit d'inclure dans les syst-mes modliser les transformateurs et les inductances couples. Nous discutons des


14

capacits de notre mthode dtecter les erreurs qui peuvent dcouler de mauvaises don-

nes d'entre et concluons ce premier chapitre en comparant les performances de notre

mthode d'obtention des quations d'tat avec une mthode alternative.

De faon gnrale, un systme est dcrit avec l'approche par variables d'tat par les

deux quations

i = Ax+Bu y= Cx+Du'

(1-l)

o x est le vecteur des variables d'tat, u est le vecteur des entres et y est le vecteur

des sorties. Pour ce qui est des matrices, A est la matrice des paramtres du systme, tan-

dis que B et C sont les matrices de couplage des entres et des sorties, respectivement.

Enfin, D lie directement les sorties aux entres et est souvent nulle.

Il est important de noter que les systmes lectriques pour lesquels la procdure

dcrite ici est applique sont des systmes linaires. Les lments non-linaires comme

les machines lectriques et les interrupteurs sont considrs ce stade comme des sources

de courant externes et sont des entres du point de vue de la reprsentation d'tat. Nous

dcrivons au chapitre suivant des mthodes permettant d'inclure ces composants dans la

reprsentation d'tat.

1.1 Thorie des graphes linaires

Afin d'expliquer notre algorithme de calcul de reprsentation d'tat, nous devons

d'abord rappeler quelques notions fondamentales sur la thorie des graphes.


15

1.1.1 Dfinitions

Le graphe correspondant un rseau lectrique donn est un ensemble de points

(les noeuds du rseau) relis ensemble par des segments (les lments du rseau). Un noeud de rfrence doit tre choisi et il est pratique courante d'assigner ce noeud le numro zro. Dans le cas de systmes lectriques, le graphe est toujours orient, c'est--dire qu'une direction est assigne chaque segment. Cette direction correspond

au sens de circulation du courant dans l'lment que reprsente le segment en question.

Une exception ne respecte pas cette rgle: les sources de tension indpendantes, auxquel-

les on doit assigner la direction contraire celle du courant. La figure 1-l reprsente un

circuit simple et son graphe. ce stade-ci, la nature des lments formant le rseau n'est d'aucune importance et cette information n'est pas contenue dans le graphe.

Un arbre est dfini comme tant un sous-graphe connect comprenant tous les

noeuds du graphe l'tude ainsi qu'un certain nombre de ses segments, lesquels sont

choisis de telle sorte qu'aucune maille ne soit forme. Tous les noeuds doivent tre tou-

chs par au moins un segment. Les segments faisant partie de l'arbre portent de nom de

branches de l'arbre, alors que les segments ne faisant pas partie de l'arbre sont nomms

les liens de 1' arbre. Si un graphe comprend n+ l noeuds, 1' arbre doit contenir n branches.

Rcb

Figure l-1 Un circuit simple et son graphe.


16

La figure l-2 illustre un arbre correspondant au graphe de la figure 1-1. Nous disons un

arbre plutt que l'arbre parce qu'il n'est pas unique pour un graphe donn.

---t .. ~ branches --- _. liens

Figure 1-2 Un arbre correspondant au graphe de la figure 1-1.

1.1.2 Matrices fondamentales

Il existe trois matrices fondamentales lorsque la thorie des graphes est utilise

pour dvelopper les quations d'tat d'un systme lectrique, soit:

a. la matrice d'incidence nodale;

b. la matrice des mailles fondamentales;

c. la matrice des coupures fondamentales.

1.1.2.1 Matrice d'incidence nodale

Cette matrice est souvent symbolise par A et ne doit pas tre confondue avec la

matrice d'tat A. La matrice d'incidence nodale A dcrit la topologie du systme en fai-

sant abstraction de la nature des lments qui le composent. Pour un graphe comportant n


17

noeuds et s segments, la matrice A est forme de n ranges et s colonnes. Ses lments

peuvent prendre les valeurs 0, -l ou l, selon les conditions dcrites en ( l-2).

A .. = IJ 1 0: si le segmentj n'est pas incident au noeud i

-l: si le segmentj est incident au noeud i et sort de ce dernier l : si le segment j est incident au noeud i et entre dans ce dernier

(1-2)

La matrice d'incidence nodale n'est pas vraiment utile dans le dveloppement qui

suit. On utilise plutt la matrice d'incidence nodale rduite, qui est simplement la matrice

d'incidence nodale de laquelle on retire la range correspondant au noeud de rfrence.

La matrice d'incidence nodale rduite correspondant au graphe de la figure 1-1 est mon-

tre en (l-3).

Esrc Csn Cch Rrrc Rsn R,.h Rdit1 Lsrc Lch

nr -1 0 0 -1 0 0 0 0 0

n2 0 0 0 l 0 0 0 -1 0 A = n.J 0 -l 0 0 0 0 -l 1 0 (1-3)

n., 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 ns 0 0 -1 0 1 -1 0 -1

1.1.2.2 Matrice des mailles fondamentales

La seconde matrice importante pour nos dveloppements ultrieurs est la matrice

des mailles fondamentales, identifie par Bf Elle comporte autant de ranges qu'il y a de

liens dans l'arbre et autant de colonnes qu'il y a de segments dans le graphe. On obtient

cette matrice, une fois l'arbre choisi, en ajoutant un un les liens dans le graphe. Une maille fondamentale (une ligne de la matrice B1) est ainsi forme. L'orientation de la maille est celle du lien qui la dfinit. La maille fondamentale dfinie par le lien Lsrc est

illustre la figure l-3.


18

Figure 1-3 Maille fondamentale dfinie par le lien LsrC'

Comme la matrice d'admittance nodale, les lments de la matrice des mailles fon-

damentales ne peuvent prendre que les valeurs 0, -1 et 1 selon les conditions nonces en

(l-4).

BJ .. = 1}

0: si la maille dfinie par le lien i ne comprend pas le segmentj

1: si la maille dfinie par le lien i comprend le segmentj et que les orientations concident

-1 : si la maille dfinie par le lien i comprend le segment j et que les orientations ne concident pas

(l-4)

La matrice des mailles fondamentales B1correspondant l'arbre de la figure 1-2 est donne en ( 1-5). La partie encadre correspond la maille fondamentale illustre la figure 1-3.


0 0 -l 0 0 l 0 0 0 Rch 0 -l 0 0 l 0 l 0 0 RJ;,

B f =: ~-1----------- l -0- -0--.--0 -is;..: -o--o-~i--6--o--o--o-o ___ l -ici..

19

(1-5)

La matrice des mailles fondamentales permet aussi d'exprimer une gnralisation

de la loi de Kirchhoff des tensions. En considrant que v est le vecteur des tensions aux

bornes de tous les segments d'un graphe, on obtient l'expression (1-6). Pour l'arbre de la figure 1-2, le rsultat est l'expression (1-7).

(1-6)

VEsrc

Vcsn

VCc/1 0 0 -1 0 0 1 0 0 0

VRsrc 0

0-1 0 0 0 0 0 0 (1-7) VRsn = -l 1 1 0 0 1 0 0

0 0 -1 0 0 0 0 0 VRc/1 0 VRdio

VLsrc

VLc/1

En partitionnant correctement l'expression (l-6), il est possible d'exprimer les ten-sions des liens de l'arbre en fonction des tensions aux bornes des branches de l'arbre. En

effet, en utilisant les indices t et 1 pour identifier respectivement les grandeurs lies aux

branches et aux liens de l'arbre et en dsignant la matrice identit par/, on obtient (l-8). En r-arrangeant cette expression, on obtient la relation ( l-9).


20

(l-8)

v1 = -B,v, (l-9)

L'quation (l-9) nous permet de conclure que pour un systme comprenant s seg-ments et n branches, il suffit de calculer les tensions aux bornes des n branches (vecteur v,) et les tensions des s-n liens (vecteur v1) seront obtenues partir des tensions de bran-ches par combinaison linaire.

1.1.2.3 Matrice des coupures fondamentales

La dernire matrice ncessaire pour les dveloppements qui suivent est la matrices

des coupures (en anglais "cutsets") fondamentales, que nous identifions par le symbole QI" Une coupure est cre lorsque l'on retire certains segments d'un graphe et que ce retrait a pour effet de couper le graphe en deux sous-graphes disjoints. Une coupure fon-damentale est associe chaque branche d'un arbre. En effet, si une branche est retire de

l'arbre, on obtient ncessairement deux graphes disjoints. Une coupure fondamentale est donc dfinie par une branche de 1' arbre et par tous les liens de 1 'arbre qui transitent entre

les deux sous-arbres obtenus lors du retrait de la branche. L'orientation de la coupure est

la mme que celle de la branche qui dfinit la coupure. Si on prend par exemple l'arbre de

la figure l-2 et que l'on retire la branche correspondant Cch (entre les noeuds n5 et n0), on obtient deux arbres tel que montr la figure l-4.

On remarque que cette coupure fondamentale est oriente de 1' arbre 2 vers 1' arbre l

(orientation de la branche retire, Cch> et que les liens transitant entre les deux arbres sont Rch Lch et Lsrc Cette coupure fondamentale est donc dfinie par la branche Cch et les

liens Rch Lch et Lsrc La matrice des coupures fondamentales permet de dfinir les cou-


. .

ns

1 \ Rch 1 1

1 1 /

. / 1 Lch ~. /

__ ... ~

..... -.

arbre 1: no. n1, nz

arbre 2: n3, n4, n5

Figure 1-4 Coupure fondamentale forme par ie retrait de la branche Cch

21

pures de faon concise. Elle comporte autant de ranges qu'il y a de branches dans 1' arbre et autant de colonnes qu'il y a de segments dans le graphe. Comme pour la matrice d'admittance nodale et la matrice des mailles fondamentales, les lments de la matrice

des coupures fondamentales peuvent prendre les valeurs 0, -1 ou 1 selon les conditions nonces en ( 1-1 0).

Qfij =

0: si la coupure dfinie par la branche i n'est pas traverse par le segment j

1: si la coupure dfinie par la branche i est traverse par le segmentj et que les orientations concident

-1: si la coupure dfinie par la branche i est traverse par le segment j et que les orientations ne concident pas

( 1-10)

La matrice des coupures fondamentales obtenue pour l'arbre de la figure 1-2 est

montre en ( 1-11 ). La partie encadre montre la range associe la coupure fondamen-tale cause par la branche Cch dcrite plus haut.


1 0 0 0 0 0 0 1 0 Esrc 0 1 0 0 0 0 1 -1 0 CS/1

----------------------------

: 0 0 l 0 0 l 0 -l l cch: ----------------------------

0 0 0 1 0 0 0 -1 0 Rsrc 0 0 0 0 1 0 1 -1 0 Rsn

22

(l-11)

La matrice des coupures fondamentales est en quelque sorte le dual de la matrice

des mailles fondamentales et permet d'exprimer une gnralisation de la loi de Kirchhoff

des courants:

(1-12)

o i est le vecteur des courants de tous les segments de 1' arbre. Pour notre exemple,

la relation ( 1-13) est obtenue.

iEsrc

icsn

0 0 0 0 0 0 1 0 icclr 0 0 1 0 0 0 0 1 -1 0 iRsrc 0 0 0 1 0 0 1 0-1 1 iRsn = 0 (1-13) 0 0 0 0 0 0 -1 0 iRch 0 0 0 0 0 0 1 -1 0

iRdio 0

iLsrc

iLch

La matrice des coupures fondamentales permet donc de lier les courants des bran-

ches de l'arbre aux courants des liens. ll est possible de partitionner la relation (1-12) comme nous l'avons fait plus haut pour la matrice des mailles fondamentales. L'expres-


23

sion ( 1-12) devient alors ( 1-14 ). En r-arrangeant cette expression, on obtient la relation (l-15).

(l-14)

(l-15)

Le rsultat (l-15) nous permet donc de conclure qu'une fois calculs les courants des liens, les courants des branches s'obtiennent par combinaison linaire de ces derniers.

Il existe une relation entre la matrice des coupures fondamentales et la matrice des

mailles fondamentales (le symbole' indique la transpose d'une matrice):

(l-16)

partir de cette relation, il dcoule que

(l-17)

Il est donc possible d'exprimer les deux lois de Kirchhoff (l-9) et (l-15) partir de la matrice des coupures fondamentales seulement (partie associe aux liens), tel qu'exprim en (l-18). Nous exploiterons ce rsultat un peu plus loin.

it = -Qlil VI = (Ql)'vt

(l-18)


24

1.1.3 Choix des variables d'tat

date, notre discussion de la thorie des graphes est de nature purement topologi-que, en ce sens que nous faisons abstraction de la nature des composantes. En effet,

1' obtention de 1' arbre et le calcul des trois matrices fondamentales ont t prsents sans

parler de la nature des composantes. Nous allons maintenant considrer ces composantes.

L'obtention des quations d'tat l'aide de la thorie des graphes est base sur les

trois catgories d'quations suivantes:

a. l'application de la loi de Kirchhoff des courants;

b. l'application de la loi de Kirchhoff des tensions;

c. les relations courant/tension de chacune des composantes du systme.

Pour des systmes passifs ne comprenant que des sources idales et les trois l-

ments de base, les relations courant/tension et tension/courant requises sont les suivantes:

VR = RiR iR = VR

bi icdt + vc(O) R vc = dvc ic = C- (l-19)

diL dt VL = L- li vLdt + iL(O) dt iL =

Outre l'approche par variables d'tat, il existe deux autres mthodes couramment

utilises pour solutionner les systmes lectriques:

a. mthode des noeuds;

b. mthode des mailles.


25

Nous allons discuter brivement de ces deux mthodes afin de justifier le choix des variables dans l'approche par variables d'tat. D'abord, ces deux mthodes dcoulent de

l'application d'une des deux lois de Kirchhoff (courants ou tensions) suivie d'une substi-tution des relations courant/tension ou tension/courant des diverses composantes puis

d'une limination des variables dpendantes l'aide de l'autre loi de Kirchhoff (tensions ou courants).

Dans le cas de la mthode des mailles, on applique d'abord la loi de Kirchhoff des

tensions dans toutes les mailles indpendantes, puis on substitue dans les quations obte-

nues les relations tension/courant (colonne de droite de ( 1-19)) des composantes passi-ves. On applique ensuite la loi de Kirchhoff des courants dans le but d'liminer les

variables dpendantes et le rsultat est un ensemble d'quations intgro-diffrentielles,

comportant la fois des drives et des intgrales des courants de mailles.

Si l'on inverse l'ordre d'application des deux lois de Kirchhoff, on obtient alors la

mthode des noeuds. On applique d'abord la loi de Kirchhoff des courants, et on substi-

tue dans le rsultat les relations courant/tension des composantes passives (colonne de gauche de ( 1-19)) puis on limine les tensions dpendantes en appliquant la loi de Kir-chhoff des tensions. Le rsultat final est encore un ensemble d'quations intgro-diff-

rentielles, mais comportant cette fois-ci des drives et des intgrales des tensions de

noeuds.

L'application de la mthode des noeuds ou de la mthode des mailles entrane donc

un ensemble d'quations intgro-diffrentielles. Il est possible d'liminer les intgrales

prsentes en drivant les quations, mais ceci lve l'ordre des quations finales. Il

s'avre que les intgrales des variables proviennent d'une part de la substitution de la

relation courant/tension des inductances dans le cas de la mthode des noeuds et d'autre

part de la substitution de la relation tension/courant des condensateurs dans le cas de la

mthode des mailles.


26

Si les tensions de condensateurs et les courants d'inductances sont conserves

comme variables, le rsultat de l'application successive des deux lois de Kirchhoff sera

un ensemble d'quations diffrentielles du premier ordre, ou quations d'tat, avec

comme variables les tensions des condensateurs et les courants des inductances du sys-

tme. Dans le dveloppement qui suit, nous allons donc utiliser comme variables d'tat

les tensions des condensateurs et les courants des inductances.

Ceci complte la description des notions de la thorie des graphes requises pour

continuer le dveloppement de notre mthode d'obtention des quations d'tat d'un sys-

tme lectrique. Nous allons d'abord commencer avec les systmes comportant exclusi-

vement des sources de tension et de courant idales et des lments passifs, soit des

rsistances, inductances et condensateurs.

1.2 Circuits passifs RLC

L'obtention des quations d'tat d'un systme lectrique l'aide de la thorie des

graphes comporte les grandes tapes suivantes:

a. obtention de l'arbre topologique du systme l'tude;

b. calcul des matrices d'incidence nodale et des coupures fondamentales;

c. construction des matrices d'lments passifs (RLC); d. calcul des matrices d'tat A et B ( i = A x + Bu ); e. calcul des matrices d'tat Cet D (y = Cx +Du).

Ces tapes seront dcrites dans les sections subsquentes, d'abord pour des circuits

RLC simples, puis pour des circuits comprenant en plus des transformateurs ou des

inductances couples (mutuelles).


27

1.2.1 Obtention de l'arbre topologique

Lorsque l'on considre des systmes lectriques, les lments du rseau doivent

d'abord tre tris dans un certain ordre selon la nature des composantes. Cet ordonnance-

ment dterminera quels composantes sont des branches de 1' arbre et lesquelles sont des

liens de l'arbre. Nous avons dj mentionn que les variables d'tat sont les tensions des condensateurs et les courants des inductances du systme. Il s'agit maintenant de dter-

miner comment classifier les composantes ractives et dterminer lesquelles il serait pr-frable de conserver dans 1' arbre.

Lorsque nous avons discut plus haut des lois de Kirchhoff et de leurs liens avec les

matrices des mailles et des coupures fondamentales, nous avons conclu que les tensions

des branches de l'arbre fonnent une base partir de laquelle il est possible d'obtenir par combinaison linaire les tensions aux bornes de toutes les composantes du systme. De

faon analogue, les courants des liens de l'arbre fonnent une base partir de laquelle il est possible d'obtenir par combinaison linaire les courants circulant dans toutes les com-

posantes du systme. Ceci implique que si nous voulons avoir les tensions de condensa-

teurs et les courants d'inductances comme variables d'tat, nous devrions favoriser la

prsence des condensateurs dans l'arbre et dfavoriser la prsence des inductances dans

l'arbre. Autant que possible, les condensateurs doivent donc tre des branches et les

inductances des liens.

Si tous les condensateurs du systme sont dans l'arbre et qu'aucune inductance ne

s'y trouve, l'arbre est dit propre. Dans ce cas, les variables d'tat sont toutes indpendan-

tes. Si un condensateur n'a pu tre inclus dans l'arbre, c'est que le systme comporte une

maille capacitive et la tension du condensateur exclu n'est pas indpendante. De la mme

manire, si une inductance se retrouve dans l'arbre, c'est que notre rseau comprend une

coupure inductive, c'est--dire qu'il y a un noeud auquel ne sont raccords que des seg-


28

ments inductifs. Le courant de l'inductance qui se retrouve dans l'arbre n'est donc pas

indpendant.

En appliquant un raisonnement similaire celui des lments ractifs, on peut

dterminer si les sources indpendantes de tension et de courant doivent tre des branches

ou des liens. Par dfinition, une source de tension impose sa tension. peu importe com-

ment on la raccorde. Cette source ne peut donc en aucun cas tre un lien puisque si c'tait

le cas, la tension ses bornes seraient dicte par les branches de l'arbre. De la mme

manire. une source de courant, qui impose son courant, ne peut tre une branche puisque

dans cette ventualit, le courant qui la traverse serait dtermin par les courants des

liens. Les sources de tension doivent donc tre des branches et les sources de courant doi-

vent tre des liens.

Enfin. les seuls lments dont nous n'avons pas discut dans le choix des branches

sont les rsistances. Celles-ci peuvent faire partie de l'arbre ou non. Elles doivent tre

considres aprs les condensateurs dans le choix des branches et on en prend juste assez pour tenter de complter l'arbre. Si une fois toutes les rsistances considres il manque

encore des branches, on doit choisir certaines inductances. Les composantes doivent donc

tre tries dans l'ordre suivant:

a. les sources de tension indpendantes E (doivent tre des branches); b. les condensateurs C;

c. les rsistances R;

d. les inductances L;

e. les sources de courant indpendantes J (doivent tre des liens).

Une fois le tri des composantes complt, nous passons la construction de l'arbre

proprement dit. On considre chacune des composantes dans l'ordre tabli prcdem-

ment. Pour un systme comportant n+l noeuds, l'arbre doit contenir n branches. Les


29

branches ne doivent pas former de maille. L'arbre de la figure 1-2 a t construit en res-

pectant ces rgles et en considrant la diode comme une rsistance.

La construction de 1' arbre associ un systme donn peut se faire la main si le systme est relativement petit. Cependant, pour un circuit plus grand, la tche se compli-

que et il devient pratique de programmer un algorithme pour accomplir ce travail. Nous avons implment l'algorithme des ensembles de segments ("edge sets") [7]. Il s'agit de crer initialement au plus n/2 ensemble de segments vides pour un systme comportant

n+ 1 noeuds. On considre ensuite un un les segments (tris selon l'ordre tabli ci-des-sus) du graphe. Selon que chacun des deux noeuds associs chaque segment fait partie d'un ensemble de segments ou non, ces noeuds sont ajouts dans un ensemble spcifique ou les ensembles sont concatns selon le cas. la fin du processus, tous les noeuds du graphe sont dans le premier ensemble et tous les autres ensembles sont vides.

Nous avons programm cet algorithme en langage Matlab. Les cellules ("cell arrays"), un nouveau type de donnes dans Matlab 5, ont t d'une grande utilit pour accomplir cette tche.

1.2.2 Calcul des matrices d'incidence nodale et des coupures fondamentales

Une fois que l'on a trouv un arbre topologique correspondant notre rseau, on

peut construire la matrice d'incidence nodale rduite A. Les segments sont pralablement

re-tris, de faon avoir d'abord les branches de l'arbre, suivies des liens. La matrice

d'incidence nodale rduite A est finalement partitionne (A= [ArAl 1) pour usage ult-rieur; Ar contient les colonnes de A correspondant aux branches de l'arbre, alors que At

contient les colonnes de A correspondant aux liens de l'arbre. La matrice d'incidence

nodale rduite correspondant notre exemple est montre en ( 1-3).


30

La matrice des coupures fondamentales est ensuite obtenue en effectuant une

rduction de Gauss-Jordan sur la matrice d'incidence nodale rduite. On obtient une

matrice dont la partie de gauche est une matrice identit et la partie de droite est la

matrice de coupures des liens, symbolise par Q1 (Q1= [ 1 QI]). La matrice des coupures fondamentales correspondant la matrice d'incidence nodale (1-3) est prsente en (1-11).

Pour des besoins ultrieurs, la matrice des coupures fondamentales des liens Q1 est ensuite partitionne tel que montr en ( 1-20). Les zros prsents dans la premire colonne et la dernire range de (l-20) s'expliquent de la faon suivante. D'abord, si un conden-sateur du systme est un lien (prsence de la premire colonne de (1-20)), c'est parce qu'il y a une maille capacitive dans le systme. Or, une telle maille ne peut inclure de

rsistance ou d'inductance. Il ne peut donc y avoir de termes non-nuls dans les deux der-

nires ranges de la premire colonne de ( 1-20). Rappelons que d'aprs la relation entre Q1 et B, ( 1-17), la premire colonne de ( 1-20) est aussi la premire range de B,. En appli-quant un raisonnement similaire, si une inductance est une branche (prsence de la der-nire range de (l-20)), c'est qu'il y a ncessairement une coupure inductive. Or, une telle coupure ne peut comprendre de branche capacitive ou rsistive. Par consquent, il ne

peut donc y avoir de termes non-nuls dans les deux premires colonnes de la dernire ran-

ge de ( 1-20).

liens--+C R L 1 branches

QEC QER QEL QEJ E QI = QCC QCR QCL QCJ

c ( 1-20) 0 QRR QRL QRJ R 0 0 QLL Qu L

Pour notre exemple, le partitionnement obtenu est montr en ( 1-21 ).


1

R 1 L ---~ o:_J _o

[o o]

[~ ~ QEL = [t 0]

QCL = [-l ol -1 tj 0 11-l 0

1 01-l l 0 ol-t -0 QRR = fo

0 Ol~ Q r-l ol

o 1~-t o ~ J RL = L-t oj QEC = QEJ = QCC = QCJ = QRJ = QLL = Qu = [ ]

1.2.3 Matrices des lments passifs

31

(1-21)

Cette tape est la dernire avant le calcul des matrices d'tat. Il s'agit en fait

d'assembler les diffrentes matrices contenant les valeurs des composantes du systme de

faon ordonne. Les composantes faisant partie de 1' arbre sont dans une matrice spare

de celle du mme type de composantes ne faisant pas partie de l'arbre. Si l'on considre

les systmes ne contenant que des lments RLC (pas d'inductance couple ni de trans-formateur), les matrices suivantes sont dfinies et elles sont toutes diagonales:

a. Rr: matrice des branches rsistives;

b. R1: matrice des liens rsistifs;

c. Gr: matrice des conductances faisant partie de l'arbre (Rr- 1); d. G1: matrice des conductances ne faisant pas partie de l'arbre (R1-1); e. Cr: matrice des branches capacitives; f. C1: matrice des liens capacitifs;

g. Lu: matrice des branches inductives;

h. L11: matrice des liens inductifs.

Pour notre exemple, les matrices suivantes sont obtenues:


32

c, = [c,. o J Rt= [R,h 0] o ccl, 0 Rdio

Lu = ct = [] ( 1-22) R, = [R"' 0] L = r"' 0 J 0 Rsn 11 0 L ch

partir de ces matrices de composantes lmentaires et des sous-matrices Qxy dfi-nies plus haut, on obtient les matrices finales des composantes ( 1-23). Ces matrices seront dfinies un peu plus loin lorsque nous dvelopperons les matrices d'tat A et B.

R = RI+ Q'RRRtQRR G = G, + QRRGIQ1RR

= C, + QccCtQ'cc L = Lu+ Q'LLLttQLL

Pour notre exemple, les matrices suivantes sont obtenues:

R = [ Rel, Rdio:R.J 0 = [c,. o J 0 cch

0 G= Rsrc L = [L'" 0]

0 1 1 0 Lch -+--Rsn Rdio

1.2.4 Matrices d'tat A et B

( 1-23)

( 1-24)

Dans cette section, nous dveloppons les quations requises pour le calcul des

matrices d'tat de circuits ne comprenant que des composantes RLC, sans transformateur ni inductance couple. Ces deux dernires classes de composantes seront traites spar-

ment dans les sections suivantes.


33

ce stade, nous devons combiner les deux lois de Kirchhoff avec les relations cou-rant/tension des composantes afin de dfinir les matrices de composantes finales. On

dfinit en premier lieu les vecteurs de tensions et de courants suivants.

v = [v, vJ' i = ~~;J' v, = [vE Ver vR, vuJ' i, = ~E cr Rt iuJ' ( 1-25) VI = [v ct VRI Vw V;]' t = ~Cl Rt iw ;;)'

Ensuite, on combine les quations (l-18) et (l-20) pour obtenir (l-26) ( 1-33).

E = -QEcct- QERRI- QELW- QEJJ

ic, = -Qccict- QcRiRt- QcLiw- QcJi J

Rt = -QRRRt- QRLiw- QRJJ

iu, = -QLLiw- Qui J

v ct = Q'EcvE + Q'ccvc,

VRI = Q'ERVE + Q'cRVCt + Q'RRVRt

Vw = Q'ELVE + Q'cLVCt + Q'RLVRt + Q'LLVLtt

V J = Q'EJVE + Q'

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