Champ magnétique

I. Introduction

1. Rappel

Nous avons rencontré le champ magnétique dans le cours de mécanique. Son action sur unecharge électrique en mouvement à la vitesse ~v dans le référentiel galiléen dans lequel seradéfini le champ magnétique ~B se traduit par la force

~F = q~v ∧ ~B

Les champs magnétiques sont crées par des aimants ou par des courants électriques, c’est-à-dire par des charges en mouvement 1. Les très forts champs magnétiques sont créés par desbobines supraconductrices.

2. Notion de champ vectoriel

Dans le chapitre précédent, on a défini la notion de champ scalaire (exemple champ de pression,de température).Le champ magnétique sera quant à lui décrit par un champ vectoriel ~B(~r) défini en tout pointde l’espace. On a déjà rencontré d’autres champs vectoriels comme le champ gravitationnel,le champ électrique. On peut définir aussi le champ de vitesse du vent dans l’atmosphère,champ de gradient, etc...

Le champ magnétique en un point sera caractérisé par sa norme (ou son intensité) mesuréeen tesla (T) et par sa direction.Une façon simple de visualiser sa direction est de tracer les lignes de champ.

Par définition, une ligne de champ est une ligne en tout point tangente auchamp ~B.

On oriente la ligne de champ dans le sens du vecteur ~B. Deux lignes de champ ne peuventpas se croiser, sauf pour ~B = ~0. Une ligne de champ ne donne pas d’indication sur la normedu champ qui peut varier le long de la ligne.

1. On constate ici que, compte-tenu de sa définition, le champ magnétique dépendra du référentiel danslequel on se place. Il en est de même pour le champ électrique ~E (le champ électrostatique est défini dans leréférentiel où les charges sont fixes). Les vecteurs ~E et ~B sont donc liés. On parle du champ électromagnétique.Son expression varie lorsqu’on change de référentiel

1

II. Aimants et boussoles

1. Cartographie du champ

On peut obtenir l’allure des lignes de champ en utilisant de la limaille de fer. En présence duchamp magnétique, la limaille de fer s’aimante et tend à s’orienter dans le sens du champ.

aimant droit aimant en U

2. Pôles d’un aimant

Tout aimant possède un pôle nord et un pôle sud ma-gnétique. Les interactions entre deux aimants obéissentà la loi suivante :• deux pôles de même nature se repoussent• deux pôles de nature distincte s’attirent

On appelle pôle nord le pôle par lequel émerge les lignes de champ. Ces lignes sont ainsiorientées du pôle nord vers le pôle sud.

3. Boussoles

Une boussole est un petit aimant susceptible de tourner librement autour d’un axe (en généralvertical). Placée dans un champ magnétique, la boussole tend à s’aligner sur le champ ~B. Sion note Sb et Nb les pôles sud et nord de la boussole, localement le vecteur

−−→SbNb est colinéaire

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et de même sens que le champ magnétique ~B.

https://phet.colorado.edu/en/simulation/magnet-and-compass

Sur le schéma ci-dessus on peut voir que le pôle nord (en rouge) des boussoles pointe vers lesud de l’aimant et réciproquement.

III. Champ créé par des circuits

1. Fil infini

a) Cartographie

On considèrera un fil infini, si on se place à une distancer très petite devant sa longueur ` (r � `).Vous établirez en deuxième année l’expression du champmagnétique créé par le fil en coordonnées cylindriques :

~B =µ0I

2πr~uθ

avec µ0 la perméabilité magnétique du vide. En unitéS.I. sa valeur est µ0 = 4π10−7 H.m−1 (1).

La norme du champ magnétique produit est proportion-nelle à l’intensité du courant qui le crée (‖ ~B‖ = kI).La norme du champ magnétique décroît au fur et à me-sure que l’on s’éloigne de la source (ici du fil).On constate que les lignes de champ magnétiques sont des cercles d’axe Oz.

Les lignes de champ magnétiques s’enroulent autour du fil. Pour obtenir le sens on peut uti-liser la règle du tire-bouchon ou la règle de la main droite.

1. Vous montrerez en deuxième année que la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans levide est c = 1√

µ0ε0

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Tire-Bouchon : le sens de rotation permettant une avancée du tire-bouchon dans le sensde I, indique le sens d’enroulement de ~B

Main droite : lorsque l’index pointe dans le sens de I les autres doigts se replient dansle sens de ~B.

b) Invariance par translation, rotation. Symétries

• Le courant parcourant le fil est invariant par translation parallèlement à Oz : il en est demême pour le champ magnétique.• Le courant parcourant le fil est invariant par rotation quelconque autour de Oz : il en estde même pour le champ magnétique.• Tout plan contenant Oz est plan de symétrie pour le courant et d’antisymétrie pour ~B.On note Sπ la symétrie par rapport au plan π contenant Oz.

Si M ′ = Sπ(M) alors ~B(M ′) = −Sπ( ~B(M))

Dans le cas particulier où M ∈ π on a M ′ = M et donc ~B(M ′) = ~B(M) = −Sπ( ~B(M)) cequi implique ~B(M) ⊥ π.

M /∈ π M ∈ π

En tout point d’un plan de symétrie pour lecourant, et donc d’antisymétrie pour ~B, ~Best perpendiculaire à ce plan.

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Ainsi, tout plan contenant Oz étant plan de symétrie pour I et donc d’antisymétrie pour ~B,~B est orthoradial.

2. Spire de courant

a) Cartographie des lignes de champ

On constate que le sens du champ magnétique créé est en accord avec la règle tire-bouchon(ou de la main droite) vue précédemment.Dans le cas des circuits à enroulement circulaire il existe une seconde loi de la main droiteutilisable : si les doigts s’enroulent dans le sens de I alors le pouce pointe dans le sens de ~B.De manière équivalente, si on tourne le tire-bouchon dans le sens du courant il avance dansle sens de ~B :

On peut établir l’expression du champ surl’axe Oz :

~B =µ0I

2Rsin3 α~uz =

µ0I

2R

R3

(R2 + z2)32

~uz

La norme du champ magnétique au centre de la spire vaut B(0) =µ0I

2R.

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b) Invariance par rotation. Symétrie

On constate que la spire de courant est invariante par rotation quelconque autour de Oz : lechamp magnétique vérifie la même invariance.

Tout plan méridien est plan d’antisymé-trie pour le courant et plan de symétriepour ~B.

Le plan contentant la spire est un plan de symétriepour le courant : une symétrie par ce plan laissela spire inchangée. On constate que ce plan est unplan d’antisymétrie pour ~B. En tout point de ceplan ~B est perpendiculaire à ce plan. Ailleurs ~Bvérifie les propriétés d’antisymétrie.

Pour une visualisation en 3D des lignes de champ on pourra consulter le site :http://www.falstad.com/vector3dm/

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3. Utilisation de deux spires pour obtenir un champ uniforme

Les lois de l’électromagnétisme étant linéaires, la superposition des courantsentraîne la superposition des champs magnétiques.

Ainsi, si on considère deux spires (1) et (2) créant respectivement les champs magnétiques~B1(~r) et ~B2(~r), le champ résultant créé par les deux bobines vaudra

~B(~r) = ~B1(~r) + ~B2(~r)

On s’intéresse au champ créé par deux bobines identiques de même axe.

Sur l’animation suivante :http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02b/electri/bobines.html– Modifier la distance entre les deux bobines : c’est lorsque la distance séparant les deux spiresest égale au rayon que l’on obtient un champ quasi-constant sur l’axe (dans cette situationon superpose les points d’inflexion des deux courbes).

Sur l’animation suivante :http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02b/electri/helmoltz.html– Observer l’influence de l’écart entre les deux spires : c’est lorsque la distance séparant lesdeux spires est égale au rayon que l’on obtient un champ quasi-uniforme sur un grand domaine.

Variation spatiale du champ :– Cliquer sur une ligne de champ et faire varier la position du point : on constate que, surune même ligne de champ, lorsque les lignes de champ se rapprochent, la norme du champmagnétique augmente, lorsque les lignes de champ restent parallèles entre elles le champ estconstant le long de la ligne et lorsque qu’elles divergent le champ diminue.– Dans la zone où les lignes de champ sont parallèles, on constate que la norme du champest uniforme quand on passe d’une ligne à l’autre. Dans le vide si les lignes de champmagnétiques sont parallèles alors le champ magnétique peut être considéré comme uniforme.– Ajouter d’autres spires et observer.

Justification mathématique de la distance R :L’expression du champ magnétique sur l’axe d’une bobine centrée en O est :B(z) = B0

R3

(R2+z2)32avec B0 =

µ0I2R

champ magnétique au centre de la spire.

7

dBdz

= − 3B0R3z

(R3+z3)52

d2Bdz2

= −3B0R3(R2−4z2)(R3+z3)

72

La dérivée seconde s’annule pour z = ±R2. Graphiquement on observe un point d’inflexion.

Dans la configuration des bobines de Helmoltz où la distance entre les deux bobines vaut Rles points d’inflexion des deux courbes se superposent.B(z) = B1(z) +B2(z)B(z) est une fonction paire.Si on effectue un DL au voisinage de O

B(z) = B(0) +

(dB

dz

)z=0

z +

(d2B

dz2

)z=0

z2

2+

(d3B

dz3

)z=0

z3

3!+

(d4B

dz4

)z=0

z4

4!(dBdz

)z=0

= 0 et(

d3Bdz3

)z=0

car les dérivées impaires d’une fonction paire sont impaires et doncs’annulent en 0.(

d2Bdz2

)z=0

= 0 car dans le cas particulier de la configuration des bobines de Helmoltz onsuperpose les points d’inflexion des deux courbes, pour lesquels la dérivée seconde est nulle.On en déduit donc au voisinage de 0

B(z) = B(0) +

(d4B

dz4

)z=0

z4

4!

le champ sur l’axe varie en z4. On peut vérifier sur l’animation qu’il varie également peutlorsqu’on s’écarte de l’axe.

La configuration où les deux bobines sont distantes de R est appelé configuration de Helmoltz.On parle alors de "bobines de Helmoltz".Les bobines de Helmoltz constituent un dispositif intéressant pour réaliser unchamp magnétique uniforme.

4. Solénoïde

Un solénoïde est constitué d’un enroulement de filconducteur sur un profil cylindrique. Il est assimilableà la juxtaposition de N spires parcourues par un cou-rant I. Si on note L la longueur totale du solénoïde, ondéfinit n = N

Lnombre de spires par unité de longueur.

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02b/electri/solenoide.html

http://www.physics-chemistry-interactive-flash-animation.com/electricity_electromagnetism_interactive/solenoid_magnetic_field_current_poles_north_south.htm

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Si on note R le rayon d’une spire, plus L � r plus le champ est uniforme à l’intérieur dusolénoïde. À la limite du solénoïde infini, on obtient un champ uniforme à l’intérieur dusolénoïde et parallèle à l’axe Oz.

~B = µ0nI ~uz

L’orientation de ~B se déduit de celle de I par la règle du tire bouchon ou la règle de la maindroite.

On peut, par analogie avec le champ créé par un aimant, attribuer des faces Nord et Sud à unsolénoïde (ou à une spire). La face Nord correspond à la face par laquelle le champ magnétiqueémerge.

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IV. Moment magnétique

1. Champ à grande distance d’une spire

Considérons une spire de rayon a. On remarque que le champ produit à grande distance dela spire (pour r � a) est comparable à celui produit par un aimant. Ce champ s’appelle unchamp dipolaire magnétique. On le caractérise par un vecteur ~M appelé moment dipolairemagnétique.

champ à proximité de la spire champ loin de la spire

On définit le moment magnétique d’une spire par le vec-teur

~M = I ~S = IS~n

où S désigne la surface de la spire et ~n est un vecteurunitaire normal à la surface de la spire et dont le sensse déduit du sens d’orientation du courant par la règledu tire-bouchon.

[‖ ~M ‖] = A.m2

On attribue également un moment magnétique à un aimant,même si dans ce cas, il ne s’exprime plus par un produit dedeux termes. Le vecteur ~M est orienté Sud-Nord.

Exemples :– le moment dipolaire d’une spire de rayon 5 cm parcourue par un courant d’intensité égaleà 1A vaut M = 8.10−3 A.m2

– le moment dipolaire d’un aimant dépend de son volume : un aimant usuel possède unmoment dipolaire de l’ordre 1 A.m2.

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2. Champ dipôlaire magnétique (hors programme)

Les composantes du champ magnétique créé parun dipôle ~M placé à l’origine O, s’expriment surla base des coordonnées sphériques (−→ur ,−→uθ ,−→uϕ) par

Br =µ0

4π

2M cos θ

r3

Bθ =µ0

4π

M sin θ

r3

Bϕ = 0

V. Champ magnétique terrestre

1. DescriptionEn première approximation le champ magné-tique terrestre correspond au champ créée parun aimant placé au centre de la Terre mais dontla direction ne coïncide par tout à fait avec celledes pôles géographiques situés sur l’axe de ro-tation de la Terre.Ainsi le pôle nord d’une boussole (en rouge)pointe vers le Nord (qui correspond en réalitéà un sud magnétique).Le champ magnétique terrestre a subi des inver-sions. Il s’est inversé environ 300 fois ces der-niers 200 millions d’années. La dernière inver-sion est survenue il y a 780 000 ans. Actuelle-ment une anomalie magnétique apparaît dansl’atlantique sud, prémisse possible d’une futureinversion ?En 2013, le premier satellite SWARM a été mis sur orbite dans le but d’étudier le champmagnétique terrestre (à terme, la mission utilisera 3 satellites).http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/5920-swarm.php

Le moment dipolaire de la Terre vaut MT = 7, 9.1022 A.m2.

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2. Inclinaison magnétiqueLe champ magnétique est incliné parrapport au plan horizontal. Une bous-sole, d’axe de rotation vertical, pla-cée dans le champ magnétique s’aligneparallèlement à la composante horizon-tale ~BH du champ magnétique. Le nordde l’aiguille aimanté pointe approxima-tivement vers le Nord géographique.Pour visualiser l’inclinaison du champmagnétique terrestre par rapport auplan horizontal, on peut utiliser uneboussole d’axe horizontal perpendicu-laire à l’axe nord-sud. On constate surl’image ci-contre que l’aiguille s’inclined’un angle I = 60◦ (son nord pointantvers le bas dans l’hémisphère nord).À Paris, l’ordre de grandeur de la norme du champ magnétique est de 5.10−5 T (soit 0, 5 G (1gauss correspondant à 10−4T). La composante horizontale est de l’ordre de 2.10−5 T (0, 2 G).

3. DéclinaisonUne boussole d’axe de rotation vertical s’oriente dans desens de la composante horizontale ~BH du champ magné-tique et pointe vers le Nord magnétique.La déclinaison magnétique est, en un point donné surla surface de la terre, l’angle formé entre la directiondu pôle Nord géographique et le Nord magnétique (ils’agit donc d’un angle sur le plan horizontal du pointd’observation). Cet angle est compté positivement versl’est et négativement vers l’ouest.

Il existe des programmes qui permettent de calculer la déclinaison pour un lieu donné.http://www.ngdc.noaa.gov/geomag-web/#declination

Des modèles tracent les courbes isogones (courbes d’égale déclinaison magnétique).

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US/UK World Magnetic Model -- Epoch 2005.0Main Field Declination (D)

Map Date : 2005.0Units (Declination) : degrees (Red contours positive (east), blue negative (west))Contour Interval : 2 degreesMap Projection : Mercator

180°

180°

210°

210°

240°

240°

270°

270°

300°

300°

330°

330°

0°

0°

30°

30°

60°

60°

90°

90°

120°

120°

150°

150°

180°

180°

-60° -60°

-30° -30°

0° 0°

30° 30°

60° 60°

-160-150

-140-130

-120-110-100

-100

-90 -90-80

-80

-80

-70

-70

-70

-70

-60

-60

-60

-60

-60

-50

-50-50

-50

-50

-50

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-30

-30

-30

-30

-30

-30

-30

-30

-30-30

-20

-20

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-20

-20

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-20

-20-20

-20

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101010

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1010

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1010

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20

20

20202020

20

20

20

20

20

2020

20

20

30

303030

30

30

40

4040

40

40

50

50 5050

60

60 6070

7080

80

90

90

100110120130140150160

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

00

0

VI. Ordres de grandeurLa mesure de la norme du champ magnétique s’effectue avec un teslamètre.

Champ magnétique terrestre : 5.10−5 T soit 0.5 G.

Champ entre deux bobines de Helmoltz , alimentées par 1 A (50 spires, R = 20 cm) : 10−4 T

Champ à la surface d’un aimant de bonne qualité (les meilleurs étant au néodyme) : 0, 1 à 1 T

Champ au voisinage d’un électroaimant : de 1 à 10 TUne électroaimant est constitué d’un bobinage de cuivre autour d’un noyau de fer doux. Laprésence du fer amplifie le champ magnétique produit.

Champ créé par des bobines supraconductrices : de l’ordre de la dizaine de teslas (LHC, IRM).Par exemple, CMS, une des détecteurs du LHC, utilise un solénoïde supraconducteur (fil enalliage niobium-titane) refroidi par un circuit d’hélium liquide et parcouru par un courantde 18 kA.

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