Ch6 Application Newton Kepler (1)

7/30/2019 Ch6 Application Newton Kepler (1)

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Animation1.trajectoire parabolique (Walter Fendt)2. l'animation reprsentant la trajectoire d'une particulecharge dans un champ lectrostatique (universit deNantes),3. logiciel solstice (visualisation de mouvement de satellite)4.relativit du mouvement /gravitation (Gastebois)5. ellipse (universit de Nantes)6. loi des aires (universit de Nantes)

Table des matires

Lois et modles

Chapitre 6: application de lois de Newton et de Kepler

I) Mouvement d'un systme dans un champ de pesanteur uniforme

1) Observation du mouvement d'un objet dans un champ de pesanteur uniforme:2) tude mcanique3) Dtermination des quations horaires du mouvement4) trajectoire du point

II) mouvement d'une particule charge dans un champ lectrostatique uniforme

1) observation du mouvement2) tude mcanique3) Dtermination des quations horaires du mouvement

III) mouvement des satellites et des plantes

1) observation des mouvements des satellites et plantes2) tude mcanique avec la seconde loi de Newton

3) Les lois de KeplerProgramme officiel

I) Mouvement d'un systme dans un champde pesanteur uniforme

1) Observation du mouvement d'un objet dans unchamp de pesanteur uniforme:

Un champ de pesanteur est uniforme si en chaque pointde l'espace le vecteur champ de pesanteur g estconstant. C'est le cas dans un cube d'environ 1 km d'arrteau voisinage de la Terre.

Utiliser l'Animation: trajectoire parabolique (WalterFendt), et regarder l'volution des diffrents paramtres(position, vitesse etc.)

On lance un projectile dans l'air avec une vitesse initiale vofaisant un angle quelconque avec l'horizontale. Lemouvement du point G. centre d'inertie du solides'effectue dans le plan vertical. Sa trajectoire estparabolique. Si on dcompose le mouvement du projectilesuivant l'axe vertical et horizontal on observe

-sur la verticale un mouvement uniformment

acclr tel que ay = -g.- sur l'axe horizontal le mouvement est rectiligne

uniforme. Son acclration ax = 0.

COMPRENDRE

Lois et modlesChapitre 6: application de lois de Newton et de Kepler
http://www.walter-fendt.de/ph14f/projectile_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph14f/projectile_f.htmhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlftp://trf.education.gouv.fr/pub/educnet/orbito/solstice2000xp.exehttp://pagesperso-orange.fr/Gilbert.Gastebois/java/gravitation/gravitation.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Coniques/Ellipse/Ellipse_cart.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Planetes/Aires.htmlhttp://www.walter-fendt.de/ph14f/projectile_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph14f/projectile_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph14f/projectile_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph14f/projectile_f.htmhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlftp://trf.education.gouv.fr/pub/educnet/orbito/solstice2000xp.exehttp://pagesperso-orange.fr/Gilbert.Gastebois/java/gravitation/gravitation.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Coniques/Ellipse/Ellipse_cart.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Planetes/Aires.htmlhttp://www.walter-fendt.de/ph14f/projectile_f.htmhttp://www.walter-fendt.de/ph14f/projectile_f.htm


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2) tude mcanique

Pour tudier le mouvement d'un objet il faut effectuer sontude mcanique. Elle se fait en 5 tapes:

1) dfinir le systme : le solide de masse 'm'2) dfinir le rfrentiel : la Terre suppose rfrentielgalilen.3) dfinir le repre (cartsien orthonorm dans ce cas) liau rfrentiel: ),j,i,O(R

4) rechercher la somme des forces extrieures agissantsur le projectile de masse m en chute parabolique : ++= fPextF

P : vecteur poids de l'objet : pousse d'Archimdef : force de frottement fluide (cas du frottement fluide)La pousse d'Archimde peut-tre nglig car le poids duvolume d'air dplac est ngligeable devant le poids del'objet. De plus pour de faible distance parcourue et desvitesses de dplacement faibles, on pourra ngliger lesforces de frottement de l'air sur le projectile.

Par consquent la somme des forces extrieures agissantsur le solide de masse 'm' en mouvement dans l'air serduit essentiellement son poids :

PextF

5) dans le rfrentiel galilen la seconde loi de Newton ouprincipe fondamental de la dynamique s'crit:

=dtpd

extF

La masse ne variant pas au cours du mouvement on peut lasortir de la drive:

ga

g.mPa.mdt

)v(.d.m

dt

)v.m(d

dt

pdextF

=

===== =

Le vecteur acclration est constant, le mouvement estuniformment acclr.

3) Dtermination des quations horaires dumouvement

A l'aide de l'tude mcanique et des conditions initiales, onpeut dterminer les quations horaires du mouvement: ax(t),ay(t), vx(t), vy(t), x(t) et y(t).

Conditions initiales, t = 0 les vecteurs positions etvitesses ont pour coordonnes:

sin.ovoyvcos.ovoxvlov;

oyox

oOM ==

est l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'axehorizontal.

Dtermination des quations horaires des coordonnes duvecteur acclration.

2m.s8,9gygya

0xa

ygxg

gyaxa

a ===

==

On retrouve l'acclration nulle sur l'axe des x et uneacclration constante sur l'axe des y.

Dtermination des quations horaires des coordonnes duvecteur vitesse.

dtydvgya

0dt

xdvxa

==

==

ax est la drive de vx par rapport au temps, vx est laprimitive de ax par rapport au temps. Idem pouray et vy.

)tetancons(2Ct.gyvdtydvg

tetancons1Cxv0dtxdv

+==

===

les constantes C1 et C2 sont dtermines avec les conditionsinitiales:

sin.ov2Csin.ov)tetancons(2C0.g)0(yv

cos.ov)0(xv1Cxv

=

=+=

===

Les coordonnes du vecteur vitesse sont:

sin.ovt.gyvcos.ovxvv

+=

=

Dtermination des quations horaires des coordonnes duvecteur position.

sin.ovt.gdtdy

yv

cos.ovdtdx

xv

+==

==
http://www.youtube.com/watch?v=uoYEEcK0qXghttp://www.youtube.com/watch?v=uoYEEcK0qXghttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=PZ3SCSFi03whttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=PZ3SCSFi03whttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=WcED9wPo9gQhttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=WcED9wPo9gQhttp://www.youtube.com/watch?v=uoYEEcK0qXghttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=PZ3SCSFi03whttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=WcED9wPo9gQ


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vx est la drive de x par rapport au temps, x est laprimitive de vx par rapport au temps. Idem pourvy et y.

4Ct.sin.ov2

2t.gy

3Ct.cos.ovx

++

=

+=


04Coy4C0.sin.ov2

20.g)0(y

ox3Cox3C0.cos.ov)0(x

==++=

==+=

Les coordonnes du vecteur position sont:

oyt.sin.ov2

2t.gy

oxt.cos.ovx

OM++=

+=

4) trajectoire du pointL'quation de la trajectoire est la relation qui lie

l'ordonne l'abscisse du point M: y = f(x). Pourla dterminer on utilise les quations horaires dela trajectoire, x(t) et y(t). On exprime l'instant ten fonction de x dans la premire quation et onrinjecte sa valeur dans la seconde.

oy)cos.ovoxx.(sin.ov2

2)cos.ov o

xx.(gy

)cos.ov

oxx(t

oyt.sin.ov2

2t.gy

oxt.cos.ovx

OM

+

+

=

=

++=

+=

L'quation de la trajectoire est:

oy)oxx.(tan2

2)cos.ov

oxx.(gy ++

=

L'quation de la trajectoire est un polynme de degr 2(a.x2 + b.x + c). La trajectoire est une parabole qui confirmeles observations faites au 1)

II) mouvement d'une particule chargedans un champ lectrostatiqueuniforme

1) observation du mouvement

Un particule de masse M, suppose ponctuelle, de chargelectrique q et de masse m, est place dans un champ

lectrostatique uniformeE . En TS tous les mouvementsseront plans et tudis dans le plan de la trajectoire.Cliquer sur l'animation reprsentant la trajectoire d'uneparticule charge dans un champ lectrostatique (universitde Nantes), rgler les paramtres figurant sur la figure cidessus et observer la trajectoire. Conclusion.

Lorsque le champ lectrique est dans le mme plan P que levecteur vitesse initiale, la trajectoire de la

particule charge est parabolique. Elle se situedans le plan P.

2) tude mcanique1) le systme : la particule de masse m et de charge q2) le rfrentiel : la Terre suppose rfrentiel galilen.3) le repre (cartsien orthonorm dans ce cas) li aurfrentiel: ),j,i,O(R4) la somme des forces extrieures agissant sur laparticule: +++= feFPextF

tiquelectrostaforce:E.qeF =

P : vecteur poids de l'objet : pousse d'Archimdef : force de frottement fluide (cas du frottement fluide)La pousse d'Archimde, le poids et les forces defrottement sont ngligeables devant la forcelectrostatique. Par consquent la somme des forcesextrieures agissant sur le solide de charge lectrique q serduit essentiellement la force lectrostatique :

= E.qFextF

5) dans le rfrentiel galilen la seconde loi de Newton ouprincipe fondamental de la dynamique s'crit:

=dtpd

extF

La masse ne variant pas au cours du mouvement on peut lasortir de la drive:

E.mq

a

a.mdt

)v(.d.mdt

)v.m(dE.qFext

=

====

Le vecteur acclration est constant, le mouvement estuniformment acclr.

E.mqa

=

3) Dtermination des quations horaires dumouvement

Conditions initiales, t = 0 les vecteurs positions etvitesses ont pour coordonnes:

sin.ovyvcos.ovoxvlov;0oy

0oxOM

oo ==

=

=

est l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'axehorizontal.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=uoYEEcK0qXghttp://www.youtube.com/watch?v=uoYEEcK0qXghttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=PZ3SCSFi03whttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=PZ3SCSFi03whttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=WcED9wPo9gQhttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=WcED9wPo9gQhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Charges/general.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=uoYEEcK0qXghttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=PZ3SCSFi03whttp://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=WcED9wPo9gQ


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Dtermination des quations horaires des coordonnes duvecteur acclration.

mE.q

myE.q

ya

0xa

EyE0xEE.

mq

yaxaa

==

=

=

==

Remarque:

- la cordonne de l'acclration sur l'axe des y, ayest positive si q > 0 et ngative si q < 0.

- le mouvement sur l'axe des x est rectiligneuniforme, sur l'axe des y il uniformment acclr.

Dtermination des quations horaires des coordonnes duvecteur vitesse.

mE.q

ya

0dt

xdvxa

=

==

ax est la drive de vx par rapport au temps, vx est la

primitive de ax par rapport au temps. Idem pouray et vy.

)tetancons(2Ct.mE.q

yvdtydv

mE.q

tetancons1Cxv0dtxdv

+==

===


sin.ov2C

sin.ov)tetancons(2C0.

m

E.qyv)0(yv

cos.ov)0(xv1Cxv

=

=+==

===

Les coordonnes du vecteur vitesse sont:

sin.ovt.mE.q

yv

cos.ovxvv

+=

=

Dtermination des quations horaires des coordonnes duvecteur position.

sin.ovt.mE.q

dtdy

yv

cos.ovdtdx

xv

+==

==

vx est la drive de x par rapport au temps, x est laprimitive de vx par rapport au temps. Idem pourvy et y.

4Ct.sin.ov2

m.2

t.E.qy

3Ct.cos.ovx

++=

+=


04C0oy4C0.sin.ovm2

20.E.q)0(y

03C0ox3C0.cos.ov)0(x

===++=

===+=

Les coordonnes du vecteur position sont:

t.sin.ovm2

2Et.qy

t.cos.ovx

OM+=

=

III) mouvement des satellites et des

plantes1) observation des mouvements des satellites etplantes

Lancer le logiciel solsticepuis observer le mouvement d'unsatellite gostationnaire Meteosat 5 puis du satelliteMOLNYA 3-47. Dcrire leur mouvement dans le rfrentielgocentrique puis terrestre.

Conclusion: dans le rfrentiel terrestre le satellitegostationnaire METEOSAT 5 est immobile, dans le

rfrentiel gocentrique il est circulaire uniforme.MOLNYA 3-47 un mouvement curviligne quelconque dansle rfrentiel terrestre et un mouvement elliptique dans lerfrentiel gocentrique.
ftp://trf.education.gouv.fr/pub/educnet/orbito/solstice2000xp.exeftp://trf.education.gouv.fr/pub/educnet/orbito/solstice2000xp.exeftp://trf.education.gouv.fr/pub/educnet/orbito/solstice2000xp.exe


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Cliquer sur l'animation suivantemouvement des satelliteset plantes (Gastebois)et dcrire le mouvement desplantes telluriques dans le rfrentiel hliocentrique.Conclusion: le mouvement des plantes dans le rfrentielhliocentrique est circulaire uniforme (en fait latrajectoire est lgrement elliptique).

2) tude mcanique avec la seconde loi de Newton

On va vrifier qu'un satellite qui est en orbite circulaireautour de la Terre une vitesse constante. Son mouvementest alors circulaire uniforme

tude mcanique :

- Systme : le satellite de masse m, et de centred'inertie S.

- rfrentiel : gocentrique suppos galilen.

-Repre : repre de Frnet ( noter que l'origine Sdu repre est confondue avec le centre d'inertie dusatellite :

)n,,S(R

- la somme des forces extrieures se rduit la

force d'attraction gravitationnelle de la Terre sur lesatellite (les autres forces de gravitation des autres astressont ngligeables, ainsi que les forces s'exerant parl'atmosphre terrestre):

TSu.2R

m.Tm.GS/TF

=

Avec R = ST distance entre les centres d'inertie de laTerre et du satellite. R = h+RT avec h altitude du satelliteet RT rayon de la Terre. , mT, masse de la Terre.G:constante de gravitation universelle, G = 6,67.10-11N kg-2.m2.

Unit lgale: m(kg), h(m) R(m) et RT (m), FT/S(N)

Le vecteur unitaire nTSu = (vecteurs opposs car normesgales 1, mme direction mais sens oppos.

La seconde loi de Newton permet de dterminer la valeurde l'acclration du centre d'inertie de la plante, dans lecas d'un mouvement circulaire uniforme:

n.2R

Tm.Ga

nTSuor

TSu.2RTm.Ga

TSu.2Rm.Tm.Ga.m

a.mdt

)v(.d.mdt

)v.m(ddtpd

TSu.2R

m.Tm.GS/TFextF

=

=

=

=

=== ===

Le vecteur acclration est centripte (dirig vers lecentre de la trajectoire).
http://pagesperso-orange.fr/Gilbert.Gastebois/java/gravitation/gravitation.htmlhttp://pagesperso-orange.fr/Gilbert.Gastebois/java/gravitation/gravitation.htmlhttp://pagesperso-orange.fr/Gilbert.Gastebois/java/gravitation/gravitation.htmlhttp://pagesperso-orange.fr/Gilbert.Gastebois/java/gravitation/gravitation.htmlhttp://pagesperso-orange.fr/Gilbert.Gastebois/java/gravitation/gravitation.html


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On a vu au chapitre 5 que le vecteur acclration dans lecas d'un mouvement circulaire est:

or n.2RTm.Ga =

donc:

tetanconsv0dtdv R

Tm.Gv

2R

Tm.G

R

2v

n.2RTm.Gt.

dtdvn.

R

2va

==

==

=+=

On a vrifi que lorsqu'un satellite une trajectoirecirculaire alors sa vitesse est constante, sonmouvement est circulaire uniforme.

La priode T de rvolution du satellite:c'est la duremise par le satellite pour faire un tour autourde la Terre. Elle est gale la circonfrencede l'orbite divise par la vitesse du satellite:

Tm.G

3R..2T

Tm.GRR..2T

R

Tm.GR..2T

RTm.Gvor

vR..2T

TR..2v

=

==

===

3) Les lois de KeplerKepler (1571-1630) formule trois lois qui dcrivent lemouvement des plantes autour du soleil.rappel :une ellipse est une courbe caractrise par :

- ses foyers F et F' symtriques l'un de l'autre parrapport au point O centre de l'ellipse

- Une distance 'a' nomm demi-grand axe, et b ledemi-axe.Un point M de l'ellipse vrifie : FM+MF' = 2aschma :

Remarque : le cercle est une ellipse particulire pourlaquelle les foyers sont confondus, le demi-grand axe et ledemi-axe ont mme valeur :a = b = R , rayon du cercle.

L'orbite d'une plante est la trajectoire de son centred'inertie dans le rfrentiel hliocentrique.

Premire loi est de Kepler : toutes les orbites desplantes sont des ellipses dont le soleil occupel'un des foyers.

Cliquer sur l'animation suivante:loi des aires (universit deNantes). Que peut-on dire des aires parcourus pendant desdures gales?

les plantes ne tournent pas avec une vitesse constanteautour du soleil. Quand elle s'approche de celui-ci leurvitesse est plus grande !

letangentielonacclratil'devaleur:dtdvTa

normalenacclatio'ldevaleur:R

2va

t.dt

dvn.

R

2vt.Tan.Nadt

vda

=

=

+=+==

M

F F'O

2a

2b

Sens dumouvement

n

v

a
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Coniques/Ellipse/Ellipse_cart.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Coniques/Ellipse/Ellipse_cart.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Planetes/Aires.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Planetes/Aires.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Planetes/Aires.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Planetes/Aires.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Coniques/Ellipse/Ellipse_cart.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Planetes/Aires.htmlhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Planetes/Aires.html


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Seconde lois de Kepler: pendant des intervalles de tempst gaux la plante balaye des surfaces 'S'gales de l'ellipse.

Schma:

Si t = t1-t0= t3-t2 alors S1=S2

Remarque : dans le cas d'une trajectoire circulaire lemouvement est uniforme

Troisime loi de Kepler ou loi des priodes: Soit T lapriode de rvolution de la plante autour dusoleil, et 'a' la longueur du demi-grand axe del'ellipse.

La priode de rvolution au carr divise par le demi-grandaxe 'a' au cube est une constante. La priode Tne dpend pas de la plante mais uniquement dela masse MS du soleil et de la constanted'attraction universelle G :

SM.G

2.43

a

2T=

G = 6,67.10-11N.kg-2.m2 : constante de gravitation universelle

MS = 1,96.1030 kg: masse du soleil.

Dans le cas particulier ou l'ellipse est un cercle, a = R(rayon de l'orbite circulaire). La priode de rvolution de laplante vaut:

T

3

3

S

22

S

2

3

2

m.GR..2T

R..M.G.4T

M.G.4

RT

=

=

=

On retrouve l'expression de la priode, dmontre avec laseconde loi de Newton.

Programme officielComprendre: Lois et modlesComment exploite-t-on des phnomnes priodiques pour accder la mesure du temps ? En quoi le concept de temps joue-t-il un rleessentiel dans la relativit ? Quels paramtres influencentlvolution chimique ? Comment la structure des molcules permet-elle d'interprter leurs proprits ? Comment les ractions enchimie organique et celles par change de proton participent-ellesde la transformation de la matire ? Comment seffectuent les

transferts dnergie diffrentes chelles ? Comment semanifeste la ralit quantique, notamment pour la lumire ?

Temps, mouvement et volutionNotions etcontenus

Comptences exigibles

Temps,cinmatique etdynamiquenewtoniennes

Extraire et exploiter des informationsrelatives la mesure du temps pourjustifier lvolution de la dfinition de laseconde.

Description dumouvementdun point au

cours du temps: vecteursposition,vitesse etacclration.

Choisir un rfrentiel dtude.Dfinir et reconnatre des mouvements(rectiligne uniforme, rectiligne

uniformment vari, circulaire uniforme,circulaire non uniforme) et donner danschaque cas les caractristiques duvecteur acclration. Dfinir la quantitde mouvement dun point matriel.

Rfrentielgalilen.Les 3 lois deNewton

Connatre et exploiter les trois lois deNewton ; les mettre en uvre pourtudier des mouvements dans des champsde pesanteur et lectrostatiqueuniformes.Mettre en uvre une dmarche

exprimentale pour tudier unmouvement.

Conservationde la quantitde mouvementdun systmeisol.

Mettre en uvre une dmarche

exprimentale pour interprter un mode

de propulsion par raction laide dun

bilan qualitatif de quantit de

mouvement.

Mouvementdun satellite.Rvolution dela Terre autourdu Soleil.

Dmontrer que, dans lapproximation destrajectoires circulaires, le mouvementdun satellite, dune plante, est uniforme.tablir lexpression de sa vitesse et de sapriode.

Lois de Kepler. Connatre les trois lois de Kepler ;exploiter la troisime dans le cas dunmouvement circulaire.

SoleilS2S1

Orbite de laplante

t1

to

t3

t2

Ch6 Application Newton Kepler (1)

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