《电磁场与电磁波》第13讲 - Shandong...

第 4 章电磁场与电磁波

《电磁场与电磁波》第13讲

1

第四章时变电磁场（1）

4.1 波动方程

4.2 电磁场的位函数

4.3 电磁能量守恒定律

4.4 惟一性定理

教师姓名：宗福建

单位：山东大学微电子学院

2019年4月9日

1


本讲内容

4.1 波动方程



4.4 惟一性定理

2


4.1 波动方程

在无源真空中，则有

无源区的波动方程

波动方程 —— 二阶矢量偏微分方程，揭示电磁场的波动性。

麦克斯韦方程一阶矢量偏微分方程组，描述电场与磁场

间的相互转化关系。（较复杂）

麦克斯韦方程组波动方程。（较简单）

问题的引入

22

0 0 2 0HHt

22

0 0 2 0EEt

电磁波动方程

3


4.1 波动方程

一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组：

0

t

t

BED EB HJ ED

B

其中 DH J

4


4.1 波动方程

现在我们研究在没有电荷电流分布的自由空间（或均匀介质）中的电磁

场运动形式。在自由空间中，电场和磁场互相激发，电磁场的运动规

律是齐次的麦克斯韦方程组（ ρ = 0 , J = 0 情形）：

0

0

t

t

BE D

DH B

5


4.1 波动方程

真空情形在真空中，D = ε0 E , B = μ0 H 。取第一式的旋度并利用第

二式得

用矢量分析公式及▽·E = 0 得

2

0 0 2( )t t

EE B

2 2

22

0 0 2

( ) ( )

0t

E E E EEE

6


4.1 波动方程

同理取第二式的旋度并利用第一式得

用矢量分析公式及▽·B = 0 得

2

0 0 0 2( )t t

BB D

2 2

22

0 0 2

( ) ( )

0t

B B B BBB

7


4.1 波动方程

令

得 0 0

22

2 2

22

2 2

1

1 0

1 0

c

c t

c t

EE

BB

8


4.1 波动方程

此即为波动方程。由其解可知电磁场具有波动性，电磁场的能量可

以从一点转移到另一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁场

总是以波动形式运动着。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围

的电磁波，如无线电波、光波、X射线和γ射线等）都以速度c传播，

c就是最基本的物理常量之一，即光速。

22

2 2

22

2 2

1 0

1 0

c t

c t

EE

BB

9

1 2

1 2

( ) ( )( ) ( )x ct x ctx ct x ct

E E EB B B


4.1 波动方程

介质情形研究介质中的电磁波传播问题时，必须给出D和E的关系以及

B和H的关系，当以一定角频率ω作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，

介质内的束缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动。在线性介

质中有关系

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

D EB H

10


4.1 波动方程

由介质的微观结构可知，对于不同频率的电磁波，介质的介电常数是不

同的，即

ε和μ随频率ω而变化的现象，称为介质的色散。

( ) ( )

11


4.1 波动方程

由于色散，对一般非正弦变化的电场E(t)，关系式 D(t)=εE(t)不成立。

因此在介质内，不能够推出E和B的一般波动方程。这是因为

0 0

0

1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 ( ) ( )2

i t i t

i t

t e d e d

e d t

D D E

E E

12


22

2 0HHt

22

2 0EEt

2

2( ) HH Ht

2

( )EHt

0

0

ΕHtHΕt

H

Ε

同理可得

推证

( )H Et

电磁场波动方程

在无源空间中，。设媒质是线性、各向同

性且无损耗的均匀媒质，则有

0, 0J

13


2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

0

0

0

x x x x

y y y y

z z z z

E E E Ex y z tE E E Ex y z tE E E Ex y z t

在直角坐标系中，波动方程可以分解成三个标量方程，每

个方程只含有一个方向上的场分量。

波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。研

究电磁波的传播问题都可归结为在给定的边界条件和初始条件

下，求解波动方程的解。

22

2 0EEt

14


出题优点名签到



讨论内容

位函数的性质

位函数的定义

位函数的规范条件

位函数的微分方程

16


引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。

引入位函数的意义

时变电磁场中位函数的定义

( ) 0AΕt

0B

B A

BΕt

AEt

AEt

电磁场的

矢量位电磁场的

标量位

17


把电磁场用矢势和标势表示出来。

注意现在电场E不再是保守力场，一般不存在势能的概念，标势φ失

去作为静电场中势能的意义。

因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。

在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢势和标势作为

一个整体来描述电磁场。

t

B AAE

18


位函数的不唯一性

( )

( ) ( )

A A A B

A AA Et t t t

A

（、）满足下列变换关系的两组位函数和能描述同

一个电磁场问题。

A

（、）

A A

t

即

也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。

A 原因：未规定 A的散度。

为任意标量函数

19


规范变换和规范不变性

即(A’ , φ’)与(A , φ )描述同一电磁场。

变换

称为势的规范变换。

每一组(A , φ )称为一种规范。

t

A AA A

20



在经典电动力学中，由于表示电磁场属性的可测量的物理量为E和

B，而不同规范有对应着同一的E和B ，因此，如果用势来描述

电磁场，客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。

当势作规范变换时，所有物理量和物理规律应该保持不变，这种

不变性称为规范不变性。

21



从数学上来说，规范变换自由度的存在是由于在势的定义式

中，只给出A的旋度，而没有给出A的散度。

我们知道仅由矢场量的旋度是不足以确定这矢量场的。为了确定A，

还必须给定它的散度。电磁场E和B本身对A的散度没有任何限制。

因此，作为确定势的辅助条件，我们可以取▽∙A为任意的值。

.t

B AAE

22



每一种选择就对应一种规范。采用适当的辅助条件可以使基

本方程和计算简化，而且物理意义也较明显。从计算方便

考虑，在不同问题中可以采用不同的辅助条件。应用最广

的是以下两种规范条件：

23


除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑规范条件，即

在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件，即

位函数的规范条件

0A

0At

24


达朗贝尔（d’Alembert）方程

由麦克斯韦方程组推导势A和φ所满足的基本方程。

把

代入

.t

B AAE

0

t

EB J

E

0 0 0

25



得

2

0 0 0 0 0 2( ) ,t t

AA J

2

0t

A

2( ) ( ) A A A

26



应用μ0ε0 = 1/c2并将两式加以整理后，得

这是适用于一般规范的方程组。

22

02 2 2

2

0

1 1( )c t c t

t

AA A

A

J

27



若采用库仑规范，得

22

02 2 2

2

0

1 1( )

( 0)

c t c t

t

AA A

A

A

J

28



若采用库仑规范，得

22

02 2 2

2

0

1 1

( 0)

c t c t

AA

A

J

29



这种规范的特点是标势所满足的方程与静电

场情形相同，其解是库仑势。解出φ后代入

第一式可解出A，因而可以确定电磁场。

30



若采用洛伦兹规范，得

22

02 2 2

2

0

2

1 1( )

1(

c t c t

t

c t

AA A

A

A ＝０)

J

31



若采用洛伦兹规范，得

称为达郎贝尔方程

22

02 2

22

2 20

2

1

1

1( 0)

c t

c t

c t

AA

A

J

32



用这种规范时，方程具有相同形式，其意义也特别明显。

方程称为达郎贝尔方程，它是非齐次的波动方程，其自由项为电流密度

和电荷密度。由该式，电荷产生标势波动，电流产生矢势波动。离开

电荷电流分布区域后，矢势和标势都以波动形式在空间中传播，由它

们导出的电磁场E和B也以波动形式在空间中传播。

当然E和B的波动性质是和规范无关的。

33


DH Jt

( )AA Jt t

22

2 ( )AA J At t

EB Jt

22

2

AA Jt

位函数满足的微分方程BD E H

AB A Et

2( )A A A

0At

34


D

( )At

22

2t

同样AD E Et

、

0At

22

2t

22

2

AA Jt

达郎贝尔方程: J

电流密度

：电荷密度

35


① 以上方程是在应用“洛仑兹条件”下所得到的。

② 位函数满足的方程在形式上是对称的，且比较简单，易求解；

③解的物理意义非常清楚，明确反映出电磁波具有有限传播速度；

④矢量位只决定于J，标量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。

⑤电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应

用不同的规范条件，矢量位 A 和标量位的解也不相同，但最终

得到的电磁场矢量E、H是相同的。

注意：

36


静态场与时变场中位函数的比照

静态场（静电场、恒定磁场）

E 静

0A

B A

恒

22

2

22

2

AA Jt

t

2

2

A J

AEt

变

B A

变

At

时变电磁场

特点：电场、磁场相互独立特点：电场、磁场是一个整体

矢量磁位

标量电位

库仑规范

电磁场的

矢量位

电磁场的

标量位

洛仑兹规范

泊松方程达郎贝尔

方程

37


静态场与时变场中位函数的比照

静态场（静电场、恒定磁场）

E 静

0A

B A

恒

0

0

'( )4

1 ( ')( )4

J xA x dvrxx dvr

( )

AEt

变

B A

变

At

时变电磁场

特点：电场、磁场相互独立特点：电场、磁场是一个整体

矢量磁位

标量电位

库仑规范

电磁场的

矢量位

电磁场的

标量位

洛仑兹规范

38

0

0

',( , )

4

( ', )1( , )4

rJ x tcA x t dv

rrx tcx t dv

r

( )



讨论内容

能流密度矢量 S

电磁能量守恒原理

坡印廷矢量及其特点

电磁能量的流动

39


电磁能量的定向流动形成“能流”，类似于“水流”。


定性分析：

40



41



42


电场能量密度：e

12

w E D

磁场能量密度： m12

w

H B

电磁场能量密度： e m1 12 2

w w w E D

H B

空间区域V中的电磁能量：1 1d ( )d2 2V V

W w V E D H B V

特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随

时间改变，从而引起电磁能量流动。

ddWt

VS

定量分析：

43


• 能流密度矢量又称“坡印廷矢量”，用表示，其单位为

W/m2(瓦/米2)。

坡印廷矢量=能流密度矢量=功率密度矢量

为了描述能量的流动状况，引入“能流密度矢量”，其

方向表示能量的流动方向，其大小表示“单位时间”内穿过

与能量流动方向相垂直的“单位面积”的能量。

能流密度矢量

S

44


进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量

电磁能量守恒关系（定性描述）：

电磁能量守恒原理—坡印廷定理 ddWt

VS 前提假设：

假设闭合曲面 S 包围的体积 V 中

无外加源，其中媒质是线性和各向同

性的，且参数不随时间变化。

45


其中： —— 单位时间内体积V 中所增加

的电磁能量。

—— 单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率。

—— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。

积分形式：d 1 1( ) d ( )d dd 2 2S V V

V Vt

E H S E D H B E J

dV

V E J

d 1 1( )dd 2 2V

Vt

E D H B

( ) dS

E H S

1 1( ) ( )2 2t

E H E D H B E J

微分形式：

坡印廷定理（能量守恒原理的数学表示）：

46


— 单位时间内电磁场对体积V中的电流所做的功；在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率。

积分形式：d 1 1( ) d ( )d dd 2 2S V V

V Vt

E H S E D H B E J

dV

V E J

1 1( ) ( )2 2t

E H E D H B E J

微分形式：

坡印廷定理（能量守恒原理的数学表示）：

47

( )v v F v E J E E

电场力功率密度

( ) 0v B v

磁场力功率密度


在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有

将以上两式相减，得到

由

DH Jt

BΕt

DΕ H Ε J Εt

BH Ε Ht

D BΕ H H Ε Ε J Ε Ht t

1 ( ) 1( )2 2

D Ε Ε ΕΕ Ε Ε Dt t t t

1 ( ) 1( )2 2

B H H HH H H Bt t t t

推证

48


即可得到坡印廷定理的微分形式

再利用矢量恒等式： ( )Ε H H Ε Ε H

1 1( ) ( )2 2

Ε H Ε D H B Ε Jt

在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散

度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式

d 1 1( ) d ( )d dd 2 2S V V

V Vt

E H S E D H B E J

物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于

体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。

49


定义： ( W/m2 )S Ε H

物理意义：

的方向 —— 电磁能量传输的方向S

的大小 —— 通过垂直于能量传输方

向的单位面积的电磁功率

S

描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量

坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）

H

S

能流密度矢量

E

O

50


由于式中的E(r,t)和H(r,t)都是瞬时值，所以能流密度

S(r,t)也是瞬时值，只有当E(r,t)和H(r,t)同时达到最大值

时， S(r,t)才能达到最大。若某一时刻，E(r,t)或H(r,t)

为零，则S(r,t)=0。

坡印廷矢量的特点

H

S

能流密度矢量

E

O S既垂直于E也垂直于H，又因

为E和H自身也是相互垂直的，

因此， S 、H 、 E三者是相互

垂直，且成右手螺旋关系。

51

( , ) ( , ) ( , )S r t Ε r t H r t


例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其间

填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电

流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的

功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体表面

进入每单位长度内导体的功率。

同轴线

52


解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存

在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分

量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易

求得内外导体之间的电场和磁场分别为

,ln( )UE eb a

( )a b 2πIH e

2[ ] ( )ln( ) 2π 2π ln( )zU I UIS E H e e eb a b a

内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量

53


电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向

负载，如图所示。

2d 2π d2π ln( )

b

zS a

UIP S e S UIb a

穿过任意横截面的功率为

同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量

（理想导体情况）

54


（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方

向的电场

2πzJ IE e

a

内

根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即

因此，在内导体表面外侧的电场为

zzE E

外内

2ln( ) πza

U IE e ea b a a

外

2πa

IH ea

外

磁场则仍为

内导体表面外侧的坡印廷矢量为2

2 3 2( )2π 2π ln( )zaa

I UIS E H e ea a b a

外外外

同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）

55


2 21 22 3 20

( )d 2π d2π πS a

I IP S S a z RIa a

外

e

2

1π

Ra

式中是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导

体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。

由此可见，内导体表面外

侧的坡印廷矢量既有轴向

分量，也有径向分量，如

图所示。进入每单位长度

内导体的功率为

以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向

引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中

的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。

同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）

56


在电磁波情形中，能量在场中传播的实质，一般是容易理解的。

但是在恒定电流或低频交流电情况下，由于通常只需要解电路

方程，不必直接研究电磁场量，人们往往忽视能量在场中传

播的实质。事实上在这情形下电磁能量也是在场中传输的。

在电路中，物理系统的能量包括导线内部电子运动的动能和导

线周围空间的电磁场能量。

57


一般金属导体内有n ~ 1023 cm-3,对于10 A/mm2电流密度来说，J=107

A/m2,电子电荷e ~ 1.6×10−19 C，把这些数值代入 J=nqv 得 v~

6×10−4 m/s。

金属导体,自由电子的热运动速度,约1×105 m/s 。

电子绕氢核的速度， 2×106 m/s

58


由此可见，导体内自由电子平均漂移速度是很小的，相应的动能也很小。

而且，在恒定情况下，整个回路（包括负载电阻上），电流I都有相

同的值，因此，电子运动的能量并不是供给负载上消耗的能量。在负

载上以及在导线上消耗的功率完全是在场中传输的。

59

第 4 章电磁场与电磁波 60


4. 4 惟一性定理

在以闭曲面S为边界的有界区域V 内，

如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度

的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t > 0 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。

惟一性定理的表述

在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初

始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条

件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦

克斯韦方程的解的惟一问题。

惟一性问题

V

S

63


惟一性定理的证明

利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟

一的，那么至少存在两组解、和、满足同样的麦克斯韦

方程，且具有相同的初始条件和边界条件。1E

2H

2E

1H

00 0

EH Et

0

0HEt

0( ) 0H

0( ) 0E

则在区域V 内和的初始值为零；在边界面S 上电场强度的切向分量为零或磁场强度的切向分量为零，且和满足麦

克斯韦方程

0E

0H

0E

0H 0E

0H

0 1 2E E E

0 1 2H H H

令

64


根据坡印廷定理，应有

2 2 2

0 0 0d 1 1( )d d 0d 2 2V V

H E V E Vt

所以

由于场的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得

2 2 2

0 0 00

1 1( )d ( d )d 02 2

t

V VH E V E V t

0 0 n n 0 0 0 n 0( ) ( ) ( ) 0S S S

E H e e E H H e E

根据和的边界条件，上式左端的被积函数为0E

0H

2 2 2

0 0 n 0 0 0d 1 1( ) d ( )d dd 2 2S V V

E H e S H E V E Vt

65


0 0,E

0 0H

1 2 ,E E

1 2H H

上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有

（证毕）即

惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场

问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的

应用。

66


思考题


4. 5 时谐电磁场

复矢量的麦克斯韦方程

时谐电磁场的复数表示

复电容率和复磁导率

时谐场的位函数

亥姆霍兹方程

平均能流密度矢量

68


课下作业：

第189页

4.2，4.6，4.7，4.9

69

69

《电磁场与电磁波》第13讲 - Shandong...

Documents

Transcript of 《电磁场与电磁波》第13讲 - Shandong...