信号与系统课程教案 -...

信号与系统课程教案

1

第一讲

学时数：2

内容：

第一章信号的函数表示与系统分析方法

1.0 信号与系统概论 1.1 信号的描述与分类

信号的描述：函数法、波形法和序列法（对于离散序列）

信号的分类：

连续时间信号与离散时间信号

因果信号与非因果信号

周期信号与非周期信号

确定信号与随机信号

能量有限信号与功率有限信号

1.2 信号的运算与变换

信号的运算：相加与相减、相乘、微分与积分、差分

一阶前向差分 ( ) ( 1) ( )f n f n f n ，

一阶后向差分 ( ) ( ) ( 1)f n f n f n

累加

( ) ( )n

m

y n f m

信号的变换：

时移（位移）： 0( )f t t， 0( )f n n

反褶： ( ) ( )f t f t ，

( ) ( )f n f n

压缩与扩展： ( ) ( )f t f at

典型例子讲解： ( ) ( ) ( )f t f at b f b at 及的步骤

重点讲解：

1. 连续时间信号与离散时间信号

2. 信号的时移（位移）、反褶、压缩与扩展

作业：

1.10; 1.12 (c,d)


2

第二讲

学时数：2

内容：

1.3 常用连续信号

单边指数信号与双边指数信号

单边指数信号：

0, 0

, 0

( ) t

t

e t

f t

及双边指数信号： ( ) tf t Ae

正弦信号 ( ) sin( )f t A t

复指数信号 ( )( ) cos sinst j t t tf t Ae Ae Ae t jAe t

欧拉公式

cos sin

cos sin

j t

j t

e t j t

e t j t

12

12

sin ( )

cos ( )

j t j t

j

j t j t

t e e

t e e

抽样信号

sin( )

tSa t

t

，

sin( )

tSa t

t

阶跃信号与门函数，( ) ( / 2) ( / 2)G t t t

单位冲激信号 0 0

1( ) lim ( ) lim [ ( ) ( )]

2 2t G t t t

( ) 1

( ) 0, 0

t dt

t t

，及其时移

0

0 0

( ) 1

( ) 0,

t t dt

t t t t

冲激函数的性质

抽样性： 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t t dt f t t t dt f t t t dt f t

对偶性： ( ) ( )t t

尺度变换性：

1( ) ( )at t

a

批

积分性：( ) ( )

t

d t

冲激函数与阶跃函数之间的关系 ( ) ( )

dt t

dt

，( ) ( )

t

d t

符号函数

1, 02 ( ) 1

1, 0( )

tt

tSgn t

斜变函数

, 0

0, 0( )

at t

tR t

钟形函数

2( )

( )t

f t Ee


3

1.4 常用离散信号

阶跃序列和单位样值序列

阶跃序列

1, 0( )

0, 0

nn

n

，及位移

0

0

0

1,( )

0,

n nn n

n n

单位样值序列

1, 0( )

0,

nn

其他

，及位移

0

0

1, ( )

0,

n nn n

其他

阶跃序列和单位样值序列之间的关系

( ) ( )n

k

k n

，

( ) ( ) ( 1)n n n

阶跃序列和阶跃函数的不同： ( )t 在 0t 处发生跳变，往往不予定义，

而 ( )n 在 0n 处定义为 1；

冲激函数和单位样值序列的不同： ( )t 可理解为 0t 处脉宽趋于零幅度

无限大的信号，而 ( )n 在 0n 处为有限值，等于 1；

用单位样值系列及其位移序列表示有限长序列： ( ) ( ) ( )

k

f n f k n k

矩形序列 ( ) ( ) ( )NG n n n N

斜变序列 ( ) ( )R n n n

实指数序列 ( ) nf n a ，1a 时，序列发散；当

1a 时，序列收敛

正弦序列 0( ) sin( )f n A n ， 02 /

为有理数时是周期的，否则为非

周期的。

重点讲解：

1. 阶跃信号和冲激信号的应用，两者关系

2. 阶跃序列和单位样值序列的应用，两者关系

3. 阶跃信号与阶跃序列的不同，冲激信号与单位样值序列的不同

作业：

1.3 (a, b); 1.4 (a,c); 1.5(c); 1.6 (b,c); 1.7 (a,c,d); 1.9 (a,b); 1.15 (d,e);

1.16 (b,d,f)


4

第三讲

学时数：2

内容：

1.4 信号的分解

直流分量和交流分量 ( ) ( ) ( )d af t f t f t

偶分量和奇分量 ( ) ( ) ( )e of t f t f t

( ) ( )e ef t f t ， ( ) ( )o of t f t

1( ) [ ( ) ( )]

2ef t f t f t

，

1( ) [ ( ) ( )]

2of t f t f t

脉冲分解 0( ) ( ) ( )

t

f t f t d ，

( ) ( ) ( )k

f n f k n k

实分量和虚分量 ( ) ( ) ( )r if t f t jf t

共轭 *( ) ( ) ( )r if t f t jf t

*1[ ( ) ( )]

2( )r f t f tf t

，

*1[ ( ) ( )]

2( )i f t f tjf t

1.5 系统的数学模型及其分类

1.5.1 系统的数学模型

连续系统的微分方程表示 ( ) ( )

( ) ( )0 0

( ) ( )n i m ln m

i ln i m li l

d dC r t E e t

dt dt

离散系统的差分方程表示

0 0

( ) ( )N M

k r

k r

a y n k b x n r

1.5.2 系统的分类：

连续时间系统与离散时间系统

因果系统与非因果系统

时变（移变）系统与非时变（非移变）系统；

集中参数系统与分布参数系统；

有记忆系统与无记忆系统；

稳定系统与不稳定系统；


5

线性系统与非线性系统，增量线性系统

可逆系统

1.5.3 线性非时变（移变）系统的特性

线性： 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )T a e t a e t a T e t a T e t a r t a r t

非时变（移变）性：如果 [ ( )] ( ) T e t r t ，则有 0 0[ ( )] ( )T e t t r t t

因果性：任何时刻的输出只取决于输入的现在与过去值，而不取决于输

入的将来值

微分和差分特性：[ ( )] ( )

d dT e t r t

dt dt

， [ ( )] ( )T x n y n

积分特性：[ ( ) ] ( )

t t

T e d r d

重点讲解：

1. 线性非时变（移变）因果系统的特性

2. 线性系统与增量线性系统的区别

作业：

1.23 (b,c,f,h); 1.24 (c,f,g)


6

第四讲

学时数：2

内容：

第二章连续时间系统的时域分析

2.0 微分方程的算子表示

微分算子：

( )( )

dx tpx t

dt

，积分算子

1( ) ( )

t

x d x tp

算子的代数运算：代数和、算子多项式及其因式分解

微分方程的算子表示

( ) ( )

( ) ( )0 0

( ) ( )n i m ln m

i ln i m li l

d dC r t E e t

dt dt

( ) ( )

0 0

( ) ( )n m

n i m l

i l

i l

C p r t E p e t

传输算子

( )

0

( )

0

( )

mm l

l

l

nn i

i

i

E p

H p

C p

及

( )

0

( )

0

( ) ( ) ( ) ( )

mm l

l

l

nn i

i

i

E p

r t H p e t e t

C p

2.1 微分方程的经典法求解

起始状态：激励信号加入前一瞬间系统所处的状态，用( ) (0 )kr

表示

初始状态：激励信号加入后一瞬间系统所处的状态，用( ) +(0 )kr 表示

齐次方程

( )

( )0

( ) 0n in

i n ii

dC r t

dt

特征方程 1

0 1 ... 0n n

nC C C ， 1 2, ,..., n

为特征根

特征方程的根对齐次解的形式的影响

1 2, ,..., n 为互异单根： 1

( ) i

nt

e i

i

r t Ae

， iA

在全解中由边界条件( ) +(0 )kr

决定

特征根有重根 1 2 k ， 1 2, ,...,k k n 为互异单根：

1 1

( ) ji

k nttk i

e i j

i j k

r t At e A e


7

特解及其与输入信号的对应关系见表 2.1

激励函数 ( )e t 特解

( )pr t

1. E (常数) B

2． pt

1

1 2 1...p p

p pB t B t B t B

3． te

tBe （当 α不是特征根）

0 1

t tB te B e （当 α是特征单根）

1

0 1 ...k t k t t

kB t e B t e B e （当 α是 k 重根特征根）

4. cos t

5. sin t

1 2cos sinB t B t

6. cosp tt e t

7. sinp tt e t

1 1

1 1

( ... ) cos

( ... ) sin

p t

p p

p t

p p

B t B t B e t

D t D t D e t

特解代回原方程后通过比较方程两边的系数求得其待定系数

全解=齐次解+特解： 1

( ) ( )i

nt

i p

i

r t Ae r t

（特征根为单根）

1 1

( ) ( )ji

k nttk i

i j p

i j k

r t At e A e r t

（特征根有 k 重根）

齐次解为自由响应

特解为强迫响应

2.2 零输入响应和零状态响应

零输入响应的定义：没有系统激励的作用，由系统的储能产生的响应

零输入响应形式 1

( ) i

nt

zp zpi

i

r t A e

， zpiA

由起始状态( ) (0 )kr

决定

重点讲解：

1. 特方程的根与齐次解的形式

2. 特解及其与输入信号的对应关系

3. 零输入响应的求解

作业： 2.3；2.4


8

第五讲

学时数：2

内容：

2.2 零输入响应和零状态响应（续）

零状态响应的定义：不考虑系统储能的作用，由于激励的加入而产生的

系统响应

零状态响应的形式： 1

( ) ( )i

nt

zs zsi p

i

r t A e r t

，

( )pr t为特解，系统状态的

跳变量决定零状态响应中的待定系数 zsiA

自由响应的系数与零输入、零状态响应系数之间的关系

1 1 1

( ) ( ) ( )i i i

n n nt t t

zpi zsi p i p

i i i

r t A e A e r t Ae r t

强迫响应零输入响应零状态响应自由响应

1 1 1

i i i

n n nt t t

i zpi zsi

i i i

Ae A e A e

举例说明微分方程的求解及各种响应之间的关系

2.3 冲激响应与阶跃响应

2.3.1 冲激响应

冲激响应的定义：系统的激励为单位冲激信号 ( )t 时，系统产生的零状

态响应，用 ( )h t 表示

冲激响应的形式：基于微分方程

( ) ( )

( ) ( )0 0

( ) ( )n i m ln m

i ln i m li l

d dC r t E e t

dt dt

n m ： 1

( ) ( ) ( ) ( )i

nt

i

i

h t B t Ae t

n m ： 1

( ) ( ) ( )i

nt

i

i

h t Ae t

n m ： ( )h t 中将包含冲激函数 ( )t 的各阶导数项

冲激响应的收敛性决定 LTI 系统的稳定性，即( )h t dt

时系统稳定


9

冲激响应的因果性决定 LTI 系统的因果性，即因果系统 ( )= ( ) ( )h t h t t

2.3.2 阶跃响应

阶跃响应的定义：系统的激励为单位阶跃信号 ( )t 时，系统产生的零状

态响应，用 ( )g t 表示

阶跃响应的形式： 1

( ) ( ) ( ),i

nt m

i

i n

Eg t Ae t n m

C

阶跃响应与冲激响应的关系：冲激响应积分得到阶跃响应，反之，阶跃

响应求导，即可得到冲激响应。

2.4 卷积积分

2.4.1 卷积积分的定义

卷积积分定义式 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t f t f t f f t d

函数 1( )f t， 2( )f t

的定义区间与积分上下限之间的关系

2.4.2 利用卷积积分求系统的零状态响应

( ) ( ) ( )e t e t d

，

[ ( )] ( )T t h t ，对于 LTI 系统

( ) ( ) ( )r t e h t d

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t e t h t e h t d

重点讲解：

1. 冲激响应的概念及与系统特性的关系

2. 零输入响应、零状态响应及自由相应和强迫响应之间的关系

3. 零状态响应卷积求法的重要意义：时域分析和变换域分析的联系纽带

作业：

2.6;


10

第六讲

学时数：2

内容： 2.4.3 借助图形求卷积

( ) ( ) ( ) ( )e t h t e h t d

其计算过程可分为反折、平移、相乘与积分三个步骤。举例说明。

2.4.4 卷积的性质

卷积的性质：

交换律： 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t ，其物理意义为系统的输入和单位冲激响

应可以交换

分配律： 1 2 3 1 2 1 3( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t f t f t ，其物理意义为并联

系统总的冲激响应是每个并联子系统冲激响应之和。

结合律： 1 2 3 1 2 3[ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )]f t f t f t f t f t f t ，其物理意义为串联系统总

的冲激响应是每个串联子系统冲激响应之间的相互卷积。

微积分特性：( ) ( ) ( )

1 2( ) ( ) ( )i j i jf t f t f t ，式中，当 i j、取正整数时为求导数的

阶次，取负整数时为重积分的次数。物理意义：LTI 系统的微分和积分特性

时移特性 0 1 0 2 1 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t f t t f t f t f t t ，物理意义：LTI 系统的

非时变特性

举一个例子：用定义、借助图形及利用性质分别求卷积，比较各种方法。

与冲激函数的卷积

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t t f t f t d f t

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t t t t f t f t t d f t t

( ) ( )

0 0( ) ( ) ( )k kf t t t f t t

1 1

1

( ) ( )*[ ( )] [ ( )* ( )]

( )

n n

n

f t f t t nT f t t nT

f t nT

举例：详解习题 2.21


11

重点讲解：

1. 借助图形求卷积，这是基本功

2. 把卷积特性的物理意义讲清楚，讲透彻，特别是系统的串并联及时移

3. 普通信号与冲激信号的卷积

作业：

2.17（a,c,d,g）; 2.18； 2.21； 2.26


12

第七讲

学时数：2

内容：

第 3 章离散时间系统的时域分析

3.1 差分方程的建立

差分方程的形式：

后向形式差分方程 0 0

( ) ( )N M

k r

k r

a y n k b x n r

3.2 差分方程的求解

3.2.1 差分方程的迭代法求解

优点：求解简单；

缺点：很难得到闭式解；应用：求边界条件需要的几个数值。

3.2.2 差分方程的经典法求解

齐次方程 0

( ) 0N

k

k

a y n k

特征方程 1

0N

n k

k

k

a

，特征根 1 2, , , N

特征方程的根及对应齐次解的形式

1 2, , , N 无重根： 1

( )N

n

h k k

k

y n C

， kC

在全解中由初始状态决定

1 是 K 重特征根：

1

1 1 1 1 1 1

1

( )K

K i n n n K n

h i K K

i

y n C n C C n C n

特解( )sy n

的形式及其与输入信号的对应关系

激励 0

( ) ( )M

c r

r

x n b x n r

特解

( )sy n

kn

1 2

1 2 1 0,...k k k

k k kD n D n D n D n D

，当所有特征根

均不等于 1 时；

1 2

1 2 1 0( ,... )m k k k

k k kn D n D n D n D n D

，当有m 重

特征根等于 1 时。


13

na

nDa ，当a 不是特征根时；

1 0( ) nD n D a，当a 是特征单根时；

1

1 1 0( ... )m m n

m mD n D n D n D a

，当 a 是 m 重特征根

时。

cos( )n 或 sin( )n 1 2cos( ) sin( )D n D n

特解代回原差分方程即可求同过系数比较法得到其待定系数

全解=齐次解+特解 1

( ) ( ) ( ) ( )N

n

h s i i s

i

y n y n y n C y n

起始状态和初始状态

激励信号在 0n 时加入：

( 1), ( 2),... ( )y y y N 为起始状态， (0), (1),... ( 1)y y y N 为初始状态

激励信号在 0n n时加入：

0 0 0( 1), ( 2),... ( )y n y n y n N 为起始状态， 0 0 0( ), ( 1),... ( 1)y n y n y n N

为初

始状态

齐次解为自由响应，特解为强迫响应

举例说明经典法求解查分方程，特别注意特解的形式设定

3.2.3 零输入和零状态解

零输入响应的形式及决定其系数的边界条件

1

( )N

n

zp zpi i

i

y n C

， zpiC

由起始状态决定

零状态响应

1

( ) ( )N

n

zs zsi i s

i

y n C y n

，其中

( )sy n为特解

zsiC由初始状态决定，初始状态可用迭代法求得（但要注意零状态条件）

自由响应的系数与零输入零状态响应系数之间的关系

1 1

( )N N

n n

i i zpi zsi i

i i

C C C


14

举例说明经典法与零输入、零状态法结合求解差分方程

重点讲解：

1. 特解及其与输入信号的对应关系，特别是 1 为特征根及 n 的 k 次多项式

输入时的特解设定

2. 零输入响应、零状态响应及全响应，注意求初始状态值时一定要用零状

态

作业：

3.5； 3.7（c, e）; 3.8; 3.9;


15

第八讲

学时数：2

内容：

3.3 离散时间系统的单位样值响应与阶跃响应

3.3.1 单位样值响应

单位样值响应的定义：

当 LSI 系统的输入为单位样值序列 ( )n 时，离散时间系统的零状态响应称为

系统的单位样值响应，以 ( )h n 表示，即 ( ) ( )h n T n

单位样值响应的形式与自由相应相同，即 1

( )N

n

k k

k

h n C

， kC

由

(0), (1),..., ( 1)h h h N 决定

( )h n 可在 z 域对系统函数 H(z)求反变换得到。

单位样值响应的收敛性决定 LSI 系统的稳定性，即稳定系统的 ( )h n 满足

绝对可和条件，( )

n

h n

单位样值响应的因果性决定 LSI 系统的因果性，要求因果系统满足

( ) ( ) ( )h n h n n

3.3.1 阶跃响应

阶跃响应的定义

输入为阶跃序列 ( )n 时 LSI 系统的零状态响应，以 ( )g n 表示，即

( ) ( )g n T n

阶跃响应与单位样值响应的关系：

单位样值响应累加得到阶跃响应，即( ) ( )

n

m

g n h m

对阶跃响应求差分得到单位样值响应，即 ( ) ( ) ( 1)h n g n g n


16

3.4 离散卷积和

卷积和的定义 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k

y n x n x n x k x n k

，累加区间随着

1( )x n和 2 ( )x n

的定义区间变化而变化

零状态响应的卷积和求法

( ) ( ) ( )k

x n x k n k

，

[ ( )] ( )T n k h n k

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zs

k

y n x k h n k x n h n

直接用定义式和借助图形求卷积和

卷积和性质：交换律、结合律、分配律、差分和累加特性、位移特性等

及其每个特性相应的物理意义。

交换律： ( )* ( ) ( )* ( )x n h n h n x n ，其物理意义为系统的输入和单位样值响

应可以交换

结合律： 1 2 1 2( )* ( )* ( ) ( )* ( ) * ( )h n x n x n h n x n x n

，其物理意义为串联系统

总的单位样值响应是每个串联子系统单位样值响应之间的相互卷积和。

分配率： 1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )* ( ) ( )* ( )h n x n x n h n x n h n x n

，其物理意义为并联

系统总的单位样值响应是每个并联子系统单位样值响应之和。

利用性质求卷积和

利用序列阵表格求卷积和

两个有限长序列 1( )x n和 2 ( )x n

的卷积和定义为：1 2

0

( ) ( ) ( )n

m

y n x m x n m

，即

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

(0) (0) (0)

(1) (0) (1) (1) (0)

(2) (0) (2) (1) (1) (2) (0)

(3) (0) (3) (1) (2) (2) (1) (3) (0)

( ) (0) ( ) (1) ( 1) ... ( ) (0)

y x x

y x x x x

y x x x x x x

y x x x x x x x x

y n x x n x x n x n x

以上过程可用一个序列阵表实现（图 3.4）：

在表中各行与列的交叉点处，填入相应的乘积，那么沿斜线上各数值之和就

是卷积和 ( )y n ，而 (0)y 的值为 1(0)x和 2 (0)x

之交叉点所在斜线上各数值之和，从


17

(0)y 向下移，依次可得 (1), (2), (3),...y y y 。如果 1( )x n和 2 ( )x n

为非因果序列，那么

自 (0)y 向上移，依次可得 ( 1), ( 2), ( 3),...y y y

重点讲解：

1. 单位样值响应及与系统特性的关系

2. 卷积和的借助图形求和利用序列阵表格求

3. 总结卷积和求法并分别以无限长和无限长、无限长和有限长、有限长和

有限长序列卷积的例子总结更有效的求法。

作业：

3.12（b, d, e, h）; 3.21（a, d）; 3.23（b, c）; 3.25


18

第九讲

学时数：2

内容：

第 4 章连续信号的傅里叶分析 4.1 完备正交函数集

正交矢量及矢量的正交化表示

二维 1 2x yC C V V V，三维 1 2 3x y zC C C V V V V

， , ,x y z V V V

为三维

正交矢量集

正交函数集 2

1

2

1

2

( ) ( ) 0

( )

t

i jt

t

i it

t t dt i j

t dt K

，

，则 1 2( ), ( ), , ( )nt t t 构成正交函数集

函数的正交函数集表示及系数求法

1 1 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

n n r r

r

f t C t C t C t C t

2

21

21

1

2

( ) ( ) 1( ) ( )

( )

t

i tt

i it ti

it

f t t dtC f t t dt

Kt dt

或

2

1

2

1

*

2

( ) ( )

( )

t

it

i t

it

f t t dtC

t dt

（复正交函数集）

完备正交函数集的定义

如果在正交函数集 ( ) ( 1, 2, , )r t r n

之外，不存在函数 ( )t ，满足 2

1

20 ( )t

tt dt

2

1

( ) ( ) 0, 1,2,t

it

t t dt i

则此函数集称为完备正交函数集。此时 1

( ) ( )r r

r

f t C t

。

帕斯瓦尔(Parseval)方程 2

1

2 2

1

( )t

rt

r

f t dt C


19

4.2 周期信号的傅立叶级数

4.2.1 信号分解为完备正交函数

三角函数集

三角函数集 1 1cos , sin ( 0,1, 2, , )n t n t n

在区间 0 0 1, )t t T 内组成完备

正交函数集，其中1

1

2T

。

三角形式的傅立叶级数及系数公式

0 1 1 0 0 1) ( cos sin )n n

n

f t a a n t b n t t t t T

或 0 1) cos( )n n

n

f t C C n t

或 0 1) sin( )n n

n

f t D D n t

直流分量 1

0

1

1( )

Ta f t dt

T

余弦分量系数 1

1

1

2( )cosn

Ta f t n tdt

T

正弦分量系数 1

1

1

2( )sinn

Tb f t n tdt

T

0 0 0

2 2 ;

cos sin ;

sin cos ; 1,2,

;

n n n n

n n n n n

n n n n n

nn

n

a C D

C D a b

a C D

b C D n

barctg

a

;nn

n

aarctg

b

指数函数集

函数集1{ }( 0, 1, 2, )

jn te n

是一个复变函数集，在区间 0 0 1, )t t T

内是一个

完备正交函数集，其中1

1

2T

。


20

指数形式的傅立叶级数及系数公式

1

0 0 1)jn t

n

n

f t F e t t t T

或展开成

1 1 1

1 1 1

2

0 1 2

2

1 2

)j t j t jn t

n

j t j t jn t

n

f t F F e F e F e

F e F e F e

10

1

1( )

TF f t dt

T

，

1

11

1( )

jn t

nT

F f t e dtT

，

狄义赫利条件：周期函数必须满足如下的充分条件才能进行傅里叶级数

展开，这些条件称为狄里赫利条件：

（1）在任一周期内，被展开函数 ( )f t 必须可积，即 1

( )T

f t dt

（2）在任一周期内，其最大值和最小值的数目有限。

（3）在任一周期内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数

必须是有限值。

频率响应概念

幅频特性 2 2

1 1 1( ) ( ) 2 ( ) n nC n D n F n a b

相位特性 1( ) n

n

bn arctg

a

或 1( ) n

n

an arctg

b

4.2.2 两种级数形式的系数关系

0 0 0 0

2 2

2 2 2 2

;

;

( );

1( );

2

1( );

2

1 1 1;

2 2 2

4

n

n

n n n

n n n

j

n n n n

j

n n n n

n n n n n n

n n n n n n

F C D a

a F F

b j F F

F F e a jb

F F e a jb

F F a b C D

C D a b F F

4.3 函数对称性与傅立叶级数系数之间的关系

偶对称信号，只有直流和余弦分量


21

1

21

01

4( ) cos

0

T

n

n

a f t n tdtT

b

2

2

0

2

nn n

n n n n

n

n

aF F

C D a F

奇对称信号，直流分量为零，只有正弦分量

1

0

21

01

0, 0

4( )sin

n

T

n

a a

b f t n tdtT

0 0 0 0

2

2

2

0

n n n

n n n n

n

n

F a C D

jF b F

C D b F

重点讲解：

1. 用三角和指数形式的完备正交函数表示函数

2. 具有对称性的函数能够简化系数求取过程

3. 幅频特性，相位特性、频率响应概念

作业：

4.7; 4.8； 4.11；


22

第十讲

学时数：2

内容： 4.4 典型周期信号的傅立叶级数

周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展开

指数形式

1 11

1

( )2

jn t jn t

n

n n

nEf t F e Sa e

T

三角形式

1 11

11

( ) cos2n

E nEf t Sa n t

T

信号带宽计算方法

2 1, fB B

周期越小，脉冲越窄，信号带宽越大；数字信号的传输速率与信号带宽

大约相同

连续时间周期信号的离散谱线特征：离散性和谐波性


23

离散性：谱线只出现在 1n频点上

谐波性：基波 1 1cos ,sint t , n 次谐波 1cosn t

, 1sin n t

吉伯斯现象：不连续周期信号，傅里叶级数表示时会在不连续点呈现起

伏和上冲，级数的项数越大，这种起伏趋平越快，但上冲的最大值不变

4.5 傅里叶变换

函数傅立叶变换定义 ( ) ( ) j tF f t e dt

，

1( ) ( )

2

j tf t F e d

傅立叶变换存在的条件：狄义赫利条件

傅里叶变换的实、虚部及幅度和相位表示

( )( ) ( ) ( ) ( )jF F e R jX

实部：( ) ( )cos R f t tdt

实部为频率的偶函数

虚部：( ) ( )sin X f t tdt

虚部是频率的奇函数

幅度：2 2( ) ( ) ( )F R X

幅度为频率的偶函数

相位：

( )( )

( )

Xarctg

R

相位是频率的奇函数

4.6 常用非周期信号的傅立叶变换

4.6.1 典型非周期信号的傅里叶变换（要求记住）

单边指数信号 ( ) ( )tf t e t ，

1( )F

j

双边指数信号 ( ) , ( 0, )t

f t e t

， 2 2

2( )F

门函数( ) [ ( ) ( )]

2 2f t E t t

，

2( ) sin ( )

2 2

EF E Sa

抽样信号，

( ) [ ( )] [ ( ) ( )]c c c

c

F Sa t u u

F

单位冲激信号 ( ) ( ) 1j tF t e dt

直流信号 [1] 2 ( ) F，

[ ] 2 ( )E E F


24

符号函数

1, 0( ) ( )

1, 0

tf t Sgn t

t

，

2[ ( )] ( )Sgn t F

j

F

阶跃信号

1 1 1[ ( )] [ ( )] [ ] ( )

2 2t Sgn t

j

F F F

4.3.2 傅里叶变换的性质

线性性 1 1

[ ( )] ( )n n

i i i i

i i

a f t a F

F

时移性，时域传输时延导致频域附加相位移

0

0[ ( )] ( )j t

f t t e F

F

频移特性，通信调制的概念

0

0[ ( ) ] ( )j t

f t e F F

0 0

0

0 0

1 1( )cos ( ) ( )

2 2

1 ( ) ( )

2

j t j tf t t f t e f t e

F F

F F

0 0 0

1( )sin ( ) ( )

2f t t F F

j F

重点讲解：

1. 周期矩形脉冲的频谱特征及脉宽与信号带宽之间的关系

2. 信号时延产生相位移

3. 调制概念及应用

作业：

4.22; 4.24（a,c,d,f）； 4.25； 4.27; 4.29; 4.31


25

第十一讲

学时数：2

内容： 4.6.2 傅里叶变换的性质（续）：

尺度变换特性

1[ ( )]f at F

a a

F

， [ ( )]f t F F

，从信号

的变换的角度详细讲解 0

0

1[ ( )]

j taf at t F e

a a

F

及

0

0

1[ ( )]

j taf t at F e

a a

F

对称互易性， [ ( )] 2 ( )F t f F ，讲解

2 2

1 2, ,cSa tt t

的傅里叶变换

时域微分特性 [ ( )] ( )f t j F （）F 及

( )[ ( )] ( )n nf t j F （）F

举例：三角脉冲的傅里叶变换 2(1 ),

2( )

0, 2

tE t

f t

t

，

2( ) ( )2 4

EF Sa

解释结论及特征

频域微分特性 1 ( )[ ( )] ( ) ( )n nF jt f t F ，举例说明 , nt f t t f t 的傅里

叶变换

时域积分特性

( 1) 1[ ( )] (0) ( ) ( )f t F F

j

F

无时限信号的微分特性应用限制，时域微积分特性的补充，设

( ) [ ( )]G f t F ，则

( )[ ( ) ( )] ( )

GF f f

j

，举例应用。

对称性（奇偶虚实性）

频谱

( )f t 为实函数 ( )f t 为虚函数

偶对称奇对称偶对称奇对称

( )F 实偶虚奇虚偶实奇

( )R 偶对称奇对称


26

( )X 奇对称偶对称

( )F 偶对称偶对称

( ) 奇对称

( )

时域卷积定理 1 2 1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )jf t f t f F e d F F

F

举例：三角脉冲傅里叶变换的另一种求法——矩形脉冲自身卷积形成三角脉冲 2 2( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( )

2 4

EF f t g t g t G Sa

F F

频域卷积定理 1 2 1 2

1[ ( ) ( )] ( ) ( )

2f t f t F F

F

时域相乘信号的傅里叶变换求取好方法，举例：sin . ( )ct t

及cos . ( )ct t

的

傅里叶变换求法

帕斯瓦尔定理

2 21( ) ( )

2f t dt F d

能量谱密度函数

2( )F

功率谱密度函数

2| ( ) |( ) lim T

T

F wf

T

4.7 周期信号的傅里叶变换：

正余弦信号的傅里叶变换

cos [ ( ) ( )]c c ct

sin [ ( ) ( )]c c ct j


27

一般周期信号的傅里叶变换 1 1

2( ) 2 ( ), n

n

F F nT

重点讲解：

1. 性质的综合应用并举例

2. 卷积定理及其应用

3. 周期冲激信号及正余弦信号的 F-T，并要求熟记

作业：

4.22（b）; 4.34（a,c）； 4.39； 4.41; 4.44


28

第十二讲

学时数：2

内容： 4.8 抽样定理

带限信号的概念和特征，频域带限必时域无限

抽样与信号数字化关系：采样，量化，编码

抽样实现机理， ( )sf t f t p t

， ( )p t 为周期信号

周期冲激串脉冲 tT 与周期矩形脉冲 tp 的傅立叶变换

周期冲激串脉冲 tT 的频谱

2 n s s s

n n

P t P n n

F

周期矩形脉冲 tp

22

sn s s s

n n

nP P n E Sa n

时域抽样的频谱( ) ( )s n s s

n

F P F n

，

2s

sT

为采样角频率

周期矩形脉冲采样信号的频谱

2

ss s

ns

nEF Sa F n

周期冲激采样信号的频谱：

1( ) ( )s s

ns

F F nT

时域抽样定理：当 2s m ， =2m mf 为信号的最大角频率；或

1

2s

m

Tf

时，

采样信号能表现原来信号的全部特征， =2m mf 为奈奎斯特采样频率，1

2s

m

Tf

为奈奎斯特采样间隔

利用理想带限内插（低通）由样本重构原带限信号，内插公式信号重建

( ) ( ) [ ( )]cs c s

n

f t f nT Sa t nT


29

简述频域采样及频域采样定理

第 5 章．连续时间系统的频域分析

5.1 LTI 系统的频率响应

LTI 系统对特征函数j te

的响应 ( ) ( )j tr t e H j ， ( )= [ ( )]H j h t F 为 LTI

系统的频率响应，也称系统函数。

系统函数 ( )H j 的求法：

从单位冲激响应求： ( )= [ ( )]H j h t F

从电路图求：

1, , R R L j L C

j C

替代以后直接求输出/输

入之比。

从微分方程求：( )= ( ) p jH j H p

利用卷积定理从输入输出求：

( )( )=

( )

zsR jH j

E j

5.2 LTI 系统对激励的响应

LTI 系统对一般激励 e(t)的零状态响应： 1( ) ( ) ( ), ( ) [ ( ) ( )]

zsR j H j E j r t H j E j F

LTI 系统对正弦信号 0sin t的稳态响应： 0 0 0( ) ( ) sin[ ( )]r t H j t j

LTI 系统对其他周期信号的稳态响应还是周期信号

重点讲解：

1. 时域采样定理及奈奎斯特准则

2. 特征函数

3. LTI 系统对正余弦信号的稳态响应

作业：

4.49; 4.52


30

第十三讲

学时数：2

内容：

5.3 无失真传输

传输无失真的定义 0( ) ( )r t ke t t

对频率响应的要求0( )

j tH j ke

，幅度特性为常数，相位特性为一条过

原点的斜线，时域要求 0( )= ( )h t k t t

群时延

( )d

d

线性失真和非线性失真的概念

5.4 理想低通滤波器

滤波器的概念与分类：低通滤波、高通滤波、带通滤波、带通带阻滤波

理想低通滤波器

0

( ),

( ) ( )0,

j t

cj

c

eH j H j e

理想低通滤波器的冲激响应： 1

0( ) ( ) ( )cch t H j Sa t t

F ，t<0

时不为零，因此是非因果的，是物理不可实现的。

理想低通滤波器的阶跃响应： 0

1 1( ) ( )

2cr t Si t t

，上升时间

2r

c

t

与截至频率成反比，存在吉伯斯现象。

5.5 物理可实现的低通滤波器

一阶低通和高通电路频率特性分析

幅频特性限制条件：佩利-维纳准则：

2

( )H j d

及

2

ln ( )

1

H jd

如果系统物理可实现，可以允许( )H j

在某些不连续的频率点上为零，但

不允许在一个有限的频带内为零。

相频特性限制条件：系统函数实虚部之间的希尔伯特变换：


31

1 ( )( )

1 ( )( )

XR d

RX d

5.6 傅里叶分析方法在通信系统中的应用

调制的意义和作用，线性和非线性调制

复用概念及分类：FDMA、TDMA 及 CDMA

同步解调的幅度调制： f t g t c t

， g t为调制信号， c t

为载波

信号

1 1*

2 2c cF G C G G

同步解调：

1 1cos cos 2

2 2c cw t f t t g t g t t

1 1

w 2 22 4

c cW t G G G F

相位差的影响：

1 1cos cos 2

2 2c c c c cw t g t g t t

非同步解调的幅度调制： cos cf t A g t t

举例，单边带系统的调制机理并简要介绍解调方案

重点讲解：

1. 理想低通滤波器的冲激和阶跃响应

2. 幅度调制中的同步调制和解调

3. 调制和滤波结合的系统分析，举 2-3 个综合例子

作业：

5.3; 5.4; 5.11; 5.15; 5.19; 5.24; 5.26; 5.27; 5.34


32

第十四讲

学时数：2

内容：习题课

某一年的期中考试试卷讲解与分析。

不包括离散时间傅里叶变换及离散时间系统的傅里叶分析。

第十五讲

学时数：2

内容： 6.1 离散时间傅里叶变换

针对非周期序列的 DTFT 及 IDTFT 的定义

( ) [ ( )] ( )j j n

n

X e DTFT x n x n e

1( ) [ ( )] ( )

2

j j j nx n IDTFT X e X e e d

DTFT 与 DFS 及 DFT 之间没有关系

DTFT 对序列的收敛性要求——绝对可和

常用序列的 DTFT，要求记住。包括：

（1） ( )n ，

( ) [ ( )] ( ) 1j j n

n

X e DTFT n n e

（2）( ) ( ), 1nx n a n a

，

0

1( ) ( )

1

nj n j n j

jn n

X e a n e aeae

（3）( ) ( ), 1nx n a n a

，

1

1( ) ( )

1

j n

jX e DTFT a n

a e

（4）( ) , 1

nx n a a


33

2

2

1 1 1( ) 1

1 1 1 2 cos

j

j j

aX e

ae ae a a

（5） ( ) 1, x n n

[1] 2 ( 2 )m

DTFT m

（6） ( )n ，

1[ ( )] ( 2 )

1 jm

DTFT n me

（7）

1

1

1, ( )

0,

n Nx n

n N

= ( ) [ ( 1)]n N n N ，

1

1

1

1sin

2( )

sin2

Nj j n

n N

N

X e e

6.2 离散时间傅里叶变换的性质

DTFT）的性质及其应用举例：

周期性： 2

( ) ( ), j m jX e X e m

为整数

线性： 1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )j jDTFT ax n bx n aX e bX e

时移： 0

0[ ( )] ( )j n jDTFT x n n e X e

频移性质： 0 0( )

[ ( )] ( )j n j

DTFT e x n X e

时间反转：

[ ( )] ( ) ( ) ( )j n j n j

n n

DTFT x n x n e x n e X e

差分特性： [ ( ) ( 1)] (1 ) ( )j jDTFT x n x n e X e


34

尺度变换：

1[ ( )] ( )x at X

a a

F

频域微分：

( )( ) [ ( )]

jj n

n

dX enx n e DTFT nx n j

d

帕斯瓦尔定理：

22 1

( ) ( )2

j

n

x n X e d

对称性：

序列傅里叶变换

1. ( )x n

( )jX e

2. *( )x n

*( )jX e

3. ( )x n

( )jX e

4. *( )x n

*( )jX e

5. Re[ ( )]x n

( )j

eX e

6. jIm[( )x n

] ( )j

oX e

7. ( )ex n

Re[ ( )]jX e

8. ( )ox n

Im[ ( )]jj X e

重点讲解：

1. ( )n， ( )na n ， ( )na n 的 DTFT

2. 时域时移与频域相位移、频移与数字调制

作业：

6.3（a）; 6.4（a,b）； 6.6； 6.7（a,c,d）


35

第十六讲

学时数：2

内容： 6.3 卷积定理及其应用

时域卷积定理 ( ) ( )* ( )zsy n x n h n

( ) DTFT[ ( )] ( ) ( )j j j

zsY e y n X e H e

应用举例，主要用于求序列的 DTFT，序列累加的 DTFT 及系统响应的频域

求解，如

( ) ( )* ( )n

m

x m x n n

，则

0( )( ) ( ) [ ( )] ( ) ( 2 )

1

jnj j

jm k

X eDTFT x m X e DTFT n X e k

e

频域卷积定理及应用举例，主要介绍相乘序列的 DTFT ( )

1 2 1 2

1[ ( ) ( )] ( ) ( )

2

j jDTFT x n x n X e X e d

6.4 离散时间系统的频率响应

( ) [ ( )]jH e DTFT h n

由差分方程求 ( )jH e

及由 ( )jH e

写出差分方程

用卷积和方法求 LSI 系统对j ne

输入的响应，再次引出特征信号、特征

值及特征输出等概念，即

特征输入 j ne

( )j je H e 特征输出

6.5 离散时间系统的频域分析

由时域卷积定理引出系统零状态响应的频域求解方法

( ) DTFT[ ( )] ( ) ( )j j j

zsY e y n X e H e

( ) ( ) ( )j j

zsy n IDTFT H e X e

系统对于正弦周期信号的响应还是正弦信号，受系统函数的幅度和相位

加权。即


36

输入为 0 0

0( ) cos2 2

j n j nj jA Ax n A n e e e e

输出

0 0 0 0( ) ( ) ( ) 2 2

j j n j j nj jA Ay n H e e e H e e e

0

0( ) cos ( )j

A H e n

举例说明。

重点讲解：

1. 卷积定理及其应用举例

2. 系统对j ne

输入及对正弦输入的响应

作业：

6.23; 6.29（a,b）； 6.34； 6.35


37

第十七讲

学时数：2

内容：

第 8 章拉普拉斯变换和连续时间系统的 S 域分析

8.1 拉普拉斯变换及其收敛域

拉普拉斯变换的定义式导出；

b b( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt

L

， 1

b

1( ) ( ) ( )

2

j stb jF s f t F s e ds

j

L

0( ) ( ) stF s f t e dt

，

1

( ) , 0( ) 2

0 , 0

j st

jF s e ds t

f t jt

拉普拉斯变换收敛域的意义：

( )ste f t dt

的 S 取值范围

S 平面及 ( )F s 的零极点和零极点图

因果信号的收敛域：

0Re[ ]s

，

0Re[ ]s

为收敛轴，ROC 位于收敛轴

的右平面。

极点位于右半平面，对应的信号发散

极点位于左半平面，对应的信号收敛

反因果信号的收敛域：

0Re[ ]s

， ROC 位于收敛轴的左平面

极点位于右半平面，对应的信号收敛

极点位于左半平面，对应的信号发散

非因果（双边）信号的收敛域： 1 2Re[ ]s ，ROC 是一个带状区间

多积点情况下的收敛域划分及相应的时域信号收敛情况。

ROC 包含虚轴，对应的信号收敛

收敛域内没有极点

8.2 常用信号的拉普拉斯变换

阶跃信号 ( )t ，

1( ) , Re[s]>0

stL


38

( )t ， b

1( ) , Re[s]<0

stL

指数信号 ( )te t ，

1( ) , Re[ ]te t s

sL

( )te t ，

b

1( ) , Re[ ]te t s

sL

( )nt t ，

1

!( ) , Re[s]>0n

n

nt t

sL

( )nt t ，

b 1

!( ) , Re[s]<0n

n

nt t

sL

(t) ， b (t) (t) 1ste dt

L

重点讲解：

1. 多个极点情况下的收敛域划分

2. 收敛域和信号收敛性的关系

作业：

暂不布置


39

第十八讲

学时数：2

内容：

8.3 单边拉普拉斯变换的性质

线性性， 1 1

( ) [ ( )]N N

i i i ii i

f t f t

L L

应用例子：导出单边正余弦信号的拉氏变换

2 2

1 1 1sin ( ) [ ]

2 -

, Re[ ] 0

t tj s j s j

ss

L

2 2cos ( ) , Re[ ] 0

st t s

sL

时移特性，概念：必须是整体时移

0

0 0 0( ) ( ) ( ), Re[ ]stf t t t t e F s sL

应用举例：

[ ( ) ( 2)]te t t

0

1( ) , Re[ ] 0

1- sTn

t nT se

L

1 1

0

1( ) ( ) ( ), Re[ ] max{0, }

1- isTn

f t nT t nT F s s pe

L

S 域平移特性，

0 0( )

00( ) ( ) ( )s t s s te f t f t e dt F s sL

应用举例，导出指数包络加权信号的正余弦信号及正负对称周期方波信号的

拉氏变换

2 2

sin ( ) , Re[ ]( )

te t t ss

L

2 2

cos ( ) , Re[ ]( )

t se t t s

sL


40

学生课堂训练，时移合 S 域频移综合应用：

1

( ) ( )te f t tL，其中

1 110

( )= ( ) ( )n

f t f t nT t nT为正负对称周期

矩形方波（给出波形图）

尺度变换特性， 0

1( ) ( ), Re[ ]

sf at F s a

a aL

，一般要求

时域微分特性，

( )( ) (0 )

df tsF s f

dt

L

(2) 2 (1)( ) ( ) (0 ) (0 )f t s F s sf fL 以及

1( ) 1 ( )

0

( ) ( ) (0 )n

n n n m m

m

f t s F s s f

L

应用举例：求解一个二阶微分方程的全解，指出解的结构

频域微分特性，

( )( ) ( )

nn

n

d F st f t

dsL

应用举例：导出

-

2

1 1( ) [ ] , Re[ ]

( )at d

te t s ads s a s a

L

及

-

1

!( ) , Re[ ]

( )n at

n

nt e t s a

s aL

和

-

b 2

1( ) , Re[ ]

( )atte t s a

s aL

时域积分特性

( 1) -( ) (0 )( )d

t F s ff

s s

L

，及

( ) ( )

11

( ) 1( ) (0 )

nn m

n n mm

F sf t f

s sL

，导出：

( )1

1 1( ) ( ) ( )

!

nn

n n

tt t t

n s s

L L L

举例应用：一个具有微积分元件电路的微积分方程组建立及微积分特性的应

用

S 域积分特性，一般要求


41

时域卷积定理 1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( )f t f t F s F sL

，讲解其收敛域

应用举例：三角形脉冲的拉氏变换及利用卷积定理求两个无限长信号的卷

积，然后引出系统零状态响应的 S 域求解，即 ( ) ( ) ( )R s H s E s 及

1

ZSr t H s E s L

初值定律，

0

lim ( ) (0 ) lim ( )st

f t f sF s 强调 ( )F s 为真分式的重要性，并

以一阶、零极点对称系统为例说明该定理在后续求取系统函数待定参数中的应

用。

终值定理，一般要求，指出函数终值存在才适用该定理

重点讲解：

1. 时移特性要求整体时移

2. S 域频移性质在具有共轭极点函数反变换中的应用

3. 时域微分性质在求解微分方程中的应用

4. 初值定理在求系统函数中的应用

5. 卷积定理的重要性及其应用举例

作业：

8.1（b,d）； 8.2 (b)； 8.3 (a)；8.9 (c)


42

第十九讲

学时数：2

内容： 8.4 拉普拉斯反变换

拉氏反变换的三种方法：查表、部分分式展开、围线积分

8.4.1 部分分式展开法

有理分式的部分分式展开法：

1

1 1

1

1 1 0

...( )( )

( ) ...

m m

m m o

n n n

n

a s a s a s aA sF s

B s b s b s b s b

1 2

1 2

, ( ) ... n

n

KK Kn m F s

s p s p s p

， ip

为互异实数极点

( ) ( ) , 1,2,...,ii i s pK s p F s i n

2

1 2

1 1 11 2

1

1 2

( ) ...

[ ... ] ( )n

n

n

p tp p ft

n

KK Kf t

s p s p s p

K e K e K e t

L L L

n m 时，先用长除法，化成真分式，余下的部分满足真分式。

极点为共轭时，采用配方法

极点为多重时：

111 12

1

11 1

( )( ) ...

( ) ( )( ) ( )

k

k k

KK K E sF s

s p D ss p s p

1

( 1)

1 11

1( ) 1.2...

( 1)!

i

i s pi

dK F s i k

i ds

四种情况各讲解一例

8.4.2 围线积分法

由围线积分求反变换 ( )f t

1

1( ) ( ) Re [ ( ) ]

2i

nst st

i s p

f t F s e ds s F s ej

， ip为为围线内的极点

ip为一阶极点，则留数为

Res[ ( ) ] [( ) ( ) ]i i

st st

s p i s pF s e s p F s e

若 ip为 k 阶极点，则

-1

1

1Re s[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]

( 1)!i i

kst k st

s p i s pk

dF s e s p F s e

k ds

举一个例子，包含单极点和多重极点


43

8.5 拉氏变换和傅氏变换之间的关系

从定义式观察两种变换之间的关系

0( ) ( ) j tF j f t e dt

，

( ) ( ) st

BF s f t e dt

， 0

( ) ( ) stF s f t e dt

，用一个

图描述两种变换之间的关系

从拉氏变换到傅氏变换

拉氏变换的收敛域包含虚轴，原函数收敛，故( ) ( ) |s jF j F s

拉氏变换的收敛域不包含虚轴，原函数发散，故傅氏变换不存在

单边拉氏变换的收敛轴为虚轴，F(s)在 1 2, , , Nj j j 有单极点时

1

1 1

1( ) ( ) | [ ( ) ]

( )

( ) | ( )

N

a s j n n

n n

N Nn

a s j n n

n nn

F j F s Kj

KF s K

j j

重点讲解：

1. 部分分式展开法及典型例题

2. 收敛域包含虚轴时原函数收敛，傅里叶变换可从拉氏变换直接得到

作业：

8.4（a,c,d）； 8.27； 8.28


44

第二十讲

学时数：2

内容： 8.6 系统响应的 S 域分析

三方面分析：

微分方程求解，用时域微分性质

电路求解，用元件和电路的 S 域模型

根据系统函数求解

从 LTI 系统对无时限信号ste 的响应入手，即

( )st ste H s e

系统函数 H(S)的定义及分类

系统函数的求取方法

1 ( ) ( ) L-T ( )

2 ( ) ( )

( )3 ( )

( )

4

5 s

6

p s

zs

h t h t H s

H s H P

R sH s

E s

）给定系统的冲击响应 , 通过对进行求

）给定微分方程，用求得

）系统的输入输出给定，用求得

）系统函数的零极点给定，通过待定系数求得

）给定电路图时，用零状态下的元件域模型求出

）给定流程框图（或信号流图），直接得到或用梅荪公式求

对前面 4 种分别举例。

微分方程的 S 域求解：二阶方程，给定起始条件

1）用单边拉氏变换的时域微分特性求

2）用时域和 S 域结合的混合方法求，时域求零输入响应，S 域求零

状态响应。

用元件的 S 域模型求解电路：从元件在时域的端特性出发导出 S 域模型

( ) ( )R Ru t Ri t，

( ) ( )R RU s RI s

( )( ) L

L

di tu t L

dt

，串联模型 ( ) ( ) (0 )L L LU s sLI s Li

，

并联模型

(0 )1( ) ( ) L

L L

iI s U s

sL s

0

1( ) ( ) (0 )

t

C C Cu t i d uC


45

串联模型

(0 )1( ) ( ) C

C C

uU s I s

sC s

并联模型 ( ) ( ) (0 )C C CI s sCU s Cu

重点讲解：

1. 系统函数的求取方法

2. 微分方程的 S 域求解：单边拉氏变换的时域微分特性求和时域与 S 域混

合方法求。

作业：

8.15； 8.16； 8.19； 8.23； 8.30； 8.36 ； 8.39； 8.40； 8.42


46

第二十一讲

学时数：2

内容： 8.7 系统响应的 S 域分析（续）

结合系统函数 H(S)求零输入响应和零状态响应

时域求零输入响应：系统函数的极点个数和系统阶数一致时，系统函数的极

点就是微分方程的特征根，因此 1

( ) i

np t

zp zpij

r t C e

， zpiC

由起始状态决定。

零状态响应：1 1( ) [ ( )] [ ( ) ( )]zs zsr t R s H s E s L L

以习题 8.40（a）为例，分别用单边拉氏变化方法和时域求零输入响应，S

域求零状态响应的混合方法求解微分方程。

8.8 LTI 系统的 S 域分析

8.8.1 sH 的零、极点分布决定时域特性

根据 sH 的极点分布以及收敛域决定系统稳定性、因果性和 th 的波形

系统函数 sH 的极点位置分布与冲激响应的波形关系，即

1 1

1

( ) [ ( )] [ ]n

i

i i

Kh t H s

s p

L L

，

用 S 平面的一张图加以说明，画出各点的波形图

系统函数 sH 的极点决定自由响应的波形，激励信号 tx 的极点决定强

迫响应的波形，即 1 1

( )( ) ( )

n vi k

i ki k

K KR s

s p s p

， ip

是 ( )H s 的极点, kp是 ( )E s 的

极点，第一部分为自由相应的拉氏变换，第二部分为强迫相应的拉氏变换，

1 1

( ) i k

n vp t p t

i k

i k

r t K e K e

暂态响应和稳态响应的定义

清晰讲解图 8.33 及例 8.38


47

8.8.2 系统函数 sH 的零、极点分布确定频域特性

介绍稳定系统的频响、幅频特性与相频特性等概念 1 2

1 2

( ... )1 ( )1 2

( ... )

1 2

1

( )...

( ) ( ) | = ( )...

( )

m

n

m

j jj jm

s j n j

ni

t

j zN N N e

H j H s K K H j eM M M e

j p

借助零、极点图，选几个比较典型的频率点，求出幅度和相位值，画出频响

图。

全通系统： sH 的零点和极点对于虚轴是镜像对称的，( )H j K

最小相位系统：系统函数的零点位于 s 左半平面或虚轴 j上，则该系统

相位特性 ( ) 最小

重点讲解：

1. 时域和 S 域混合方法解微分方程

2. 根据 sH 的极点分布以及收敛域决定系统稳定性、因果性和 th 的波形

3. 零输入相应、零状态响应、自由相应、强迫相应、暂态相应、稳态响应

之间的关系。

作业：

8.45； 8.46； 8.47；8.63；8.64（d）


48

第二十二讲

学时数：2

内容：

8.9 系统的稳定性

LTI 系统稳定的充要条件：( )h d

系统的稳定性 S 域判别方法： sH 的 ROC 包含虚轴，对应的单位冲激

响应收敛，系统稳定

用罗斯阵列判别连续系统的稳定性，罗斯阵列的第一列不变号。变号次

数即为因果系统 sH 的极点在 S 平面右半平面的极点个数。

8.10 连续系统的模拟

用加法器、系数乘法器和积分器这三个基本单元表示描述连续系统的方

框图，三种基本形式：直接型、并联型和串联型

用信号流图替代方框图

信号流图的简化

用 Mason 公式求流图输入输出之间的系统函数，即

1i i

i

H g

ig表示由输入节点至输出节点的第 i 条前向通路的增益。

, , ,

1 a b c d e f

a b c d e f

L L L L L L ，

称为信号流图的特征行列式， a

a

L

是所有不同环路增益之和； ,

b c

b c

L L为

所有两两互不接触环路的增益乘积之和； , ,

d e f

d e f

L L L 为所有三个都互不接触环

路的增益乘积之和；

i 为第 i 条前向通路特征行列式的余因子，它是除去与第 i 条前向通路相接

触的环路外，所剩下的特征行列式。

利用 Mason 公式，从信号流图求系统函数

利用 Mason 公式，从系统函数画出信号流图


49

重点讲解：

1. 罗斯阵列判别连续系统的稳定性

2. 直接型、并联型和串联型系统模拟框图

3. Mason 公式。

作业：

8.72； 8.77； 8.78；

第二十六讲

习题课

教辅书：例 6.1；例 6.2；例 6.3；例 6.5；例 6.8；例 6.10；例 6.11


50

第二十七讲

学时数：2

内容：

第 9 章 Z 变换和离散时间系统的 Z 域分析

9.1 Z 变换及其收敛域

9.1.1 Z 变换定义式的导出

从抽样信号的拉普拉斯变换导出 Z 变换的定义式：

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )s T

n

x t x t t x nT t nT

0

( ) ( ) snT

s

n

X s x nT e

令sTz e ， 0

( ) ( ) n

n

X z x nT z

令 T=1， 0

( ) ( ) n

n

X z x n z

双边 Z 变换 -

( ) ( ) n

n

X z x n z

Z 变换定义的级数概念

9.1.2 Z 变换的收敛域

Z 变换收敛域的意义：( ) n

n

x n r

的 z 取值范围

因果序列 Z 变换为圆外收敛域，即 1xR z

反因果 Z 变换为圆内收敛域，即 10 xz R

双边 Z 变换为环状收敛域，即 1 2x xR z R

收敛域内不包含任何极点


51

9.2 常用序列的 Z 变换

0

[ ( )] ( ) 1, 0n

n

Z n n z z

1

1[ ( )] , 1

1 1

zZ n z

z z

1

1 1[ ( 1)] 1 , 1

1 1 1

zZ n z

z z z

20

[ ( )] , 1( 1)

n

n

zZ n n nz z

z

2[ ( 1)] , 1

( 1)

zZ n n z

z

2

3

( 1)[ ( )] , 1

( 1)

z zZ n n z

z

23

4

( 4 1)[ ( )] , 1

( 1)

z z zZ n n z

z

1

1[ ( )] ,

1

n zZ a n z a

az z a

1

1[ ( 1)] ,

1

n zZ a n z a

az z a

1

2 21

[ ( )] , 1

n az azZ na n z a

z aaz

2

3

( )[ ( )] , n az z a

Z n a n z az a

重点讲解：

1. Z 变换的收敛域

2. 常用序列的 Z 变换

作业：

暂不布置


52

第二十八讲

学时数：2

内容：

9.3 Z 反变换

幂级数展开法（长除法）、部分分式展开法、围线积分法

1．幂级数展开法（长除法）

若 ( )X z 为一有理分式，分子多项式为 ( )N z ，分母多项式为 ( )M z ，当给定收

敛域为z a

时， ( )X z 中的 ( ) ( )N z M z和按 z 的降幂排列后再进行长除。若上例

中 ROC 给定为z a

，则 ( )X z 的 ( ) ( )N z M z和按 z 的升幂排列再进行长除。

分别举例说明长除法。

2．部分分式展开法

有理分式

1

1 1 0

1

1 1 0

( )( )

( )

r r

r r

k k

k k

b z b z b z bN zX z

M z a z a z a z a

只包含一阶极点，在

( 1, , )mz z m k 处，则

( )X z

z 可以展开为

0

( ) km

m m

AX z

z z z

( ) ( )Res ( )

m m

m m

z z z z

X z X zA z z

z z

于是 0

0 1

( )k k

m m

m mm m

A z A zX z A

z z z z

若 ( )X z 收敛域为 1xz R，而 1xR

为 ( )X z 的极点 1 2, , , kz z z中模最大的一个极

点之幅值，即 0

1

( ) ( ) ( ) ( )k

n

m m

m

x n A n A z n

若 ( )X z 的收敛域为 2xz R，而 2xR

为 ( )X z 的极点 1 2, , , kz z z中模最小的一

个极点之幅值，即 0

1

( ) ( ) ( ) ( 1)k

n

m m

m

x n A n A z n


53

若 ( )X z 的收敛域为一环状区域，即以 1 2x xR z R

0

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)k l

n n

m m m m

m l m

x n A n A z n A z n

如果 ( )X z 中具有高阶极点，除含有u 个一阶极点外，在 iz z处还有一个 s 阶极

点（ s u k ），此时 ( )X z 可展开为

0 1

( )u s

jm

jm jm i

B zA zX z

z z z z

式中 jB可利用下式求得：

1

1

1 ( )

( 1)!i

ss

j is

z z

d X zB z z

s dz z

( )X z 还可以展开成

0

1 1

( )

ju sjm

jm jm i

C zA zX z A

z z z z

式中 ( )

i

s

ij

z z

z zC X z

z

其他 jC可由待定系数法求出。

分别举例： ( )X z 具有单极点和多重极点时的反变换

3．围线积分法

1 11( ) ( ) Res[ ( ) ]

2 m

n n

z zC

m

x n X z z dz X z zj

式中 C 是 ( )X z 收敛域 ROC 中一条环绕原点逆时针方向的闭合围线， mz为

1( ) nX z z

在围线 C 内的极点，Res[ ]表示极点 mz z上的留数，积分对正负 n 均成立。

设

1 ( )( )

( )

n

s

m

zX z z

z z

，表示

1( ) nX z z

在 mz z处具有 s 阶极点，而 ( )z 在

mz z处没有极点，则


54

1

1 1

1

1Res[ ( ) ] ( )

( 1)!m

m

ssn n

z z ms

z z

dX z z z z X z z

s dz

如果1( ) nX z z

在 mz z处只有一个一阶极点，即 s＝1，则

1 1Res[ ( ) ] ( ) ( )m

m

sn n

z z m mz z

X z z z z X z z z

必须仔细注意围线 C 所包含的1( ) nX z z

极点情况是随着不同的 n 值而改

变的，因此必须根据不同的 n 值，考虑围线 C 内1( ) nX z z

的极点位置与阶次，再

计算极点上的留数值

分别举例： ( )X z 具有单极点和多重极点时的围线积分反变换

重点讲解：

1. 用部分分子展开法进行 Z 反变换

2. 围线积分的围线方向与符号关系

作业：

9.2； 9.3（a）; 9.5（b）; 9.11（a,b,c,d）; 9.14; 9.17


55

第二十九讲

学时数：2

内容：

9.4 Z 变换的性质

线性性， 1 2 1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( ) Z ax n bx n aX Z bX Z R z R ，，

11 211 max{ , }x xR R R， 12 222 min{ , }x xR R R

经过组合可能改变 ROC

位移性质及其应用

双边 Z-T： [ ( )] ( )mZ x n m z X z

单边 Z-T：

1

0

[ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ]m

m k

k

Z x n m n z X z x k z

1

[ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ]m k

k m

Z x n m n z X z x k z

[ ( ) ( )] ( )mZ x n m n m z X z

应用举例：求解后向形式的差分方程

频移性质 0 0

1 2[ ( )] ( ),

j n j

x xZ e x n X e z R z R

；

1 20

0 0

[ ( )] ( ), n

x x

z zZ z x n X R R

z z

指数加权性质 1 2

[ ( )] ( ), | |n

x x

z zZ a x n X R R

a a

1 2[ ( )] ( ), | |n

x xZ a x n X az R az R

1 2[( 1) ( )] ( ), | |n

x xZ x n X z R z R

时间反转 1 2

1 1[ ( )] ( ), | |x xZ x n X R R

z z

Z 域微分性质 1 2

[ ( )] ( ), | |x x

dZ nx n z X z R z R

dz

( )[ ( )] [ ] ( ) [ ( ( ( )))]m md d d d d

Z n x n z X z z z z z X zdz dz dz dz dz

例：

1

1 1 2 2

1[ ( )] ( ) , | | | |

1 (1 ) ( )

n d az azZ na n z z a

dz az az z a


56

初值定理

因果序列的初值： 0

1 2

lim ( ) lim[ ( ) ]

lim[ (0) (1) (2) ]

(0)

n

z zn

z

X z x n z

x x z x z

x

反因果序列的初值：

0

0 0

2

0

lim ( ) lim[ ( ) ]

lim[ (0) ( 1) ( 2) ]

(0)

n

z zn

z

X z x n z

x x z x z

x

终值定理

1 1

10

lim( 1) ( ) (0) lim [ ( 1) ( )]

(0) lim [ ( 1) ( )]

(0) [ (1) (0)] [ (2) (1)] [ (3) (2)]

( )

z z

n

zn

z X z x Z x n x n

x x n x n z

x x x x x x x

x

时域卷积定理 1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )Z x n x n X z X z

或 1

1 2 1 2( ) ( ) [ ( ) ( )]x n x n Z X z X z

应用举例：（1）求两个无限长序列的卷积和。

（2）零状态响应 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]zsy n x n h n Z X z H z

共轭性质 1 2[ ( )] ( ), x xZ x n X z R z R

帕斯瓦尔定理

1

1 2 1 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 Cn

x n x n X z X z dzj z

9.5 Z 变化与拉氏变化之间的关系

S 域（平面）与 Z 域（平面）之间的映射关系：

1, lnsTz e s z

T

S 平面 z 平面

1．虚轴( 0, )s j

2．左半平面( 0)

3．右半平面( 0)

单位圆 ( ,| | 1)j Tz e z

单位圆内 ( 1)Tr e

单位圆外 ( 1)Tr e


57

4．平行于虚轴的直线( 0 )

5．实轴 ( 0, )s

6．平行于实轴的直线 0( )

7．平行于实轴的直线

( , 1,3, )2

skk

8．虚轴( )

2 2

s s

圆0( )T

r e

正实轴 ( 0, )TT r e

始于原点的辐射线 0( )T

负实轴

2( , 1,3, )

2

s

s

kk k

单位圆 ( )

抽样信号与原信号的拉氏变换关系 ( )

( )

1 ( )( )

2 1

( )Re [ ]

1 i

s s p TC

p ps p Ti

X pX s dp

j e

X ps

e

Z 变换与拉氏变换的相互关系以及模拟滤波器 ( )H s 与数字滤波器 ( )H z

之间的关系—冲激不变法：1

( )1 i

i

p Ti

AH z

z e

， iA为 ( )H p 在 ip p

处的

留数。即若有

( ) i

i i

AH s

s s

，则有1

( )1 i

i

s Ti

AH z

z e

数字频率与模拟频率的换算关系： 2

s

T

或 T ，

为数字角频率，为模拟角频率， s 为抽样角频率，T 为抽样间隔

重点讲解：

1. 利用 Z 变换的位移性质求解差分方程

2. 利用时域卷积定理求两个无限长序列的卷积和

3. S 平面和 Z 平面的映射关系，特别强调 S 平面的虚轴映射为 Z 平面的单

位圆的意义。

作业：

9.19（a）; 9.42（a, b）; 9.55


58

第三十讲

学时数：2

内容：

9.6 离散系统响应的 Z 域求解

分析：

差分方程求解，用位移性质

根据系统函数求解

差分方程的 Z 域求解：二阶方程，给定起始条件

1）用单边 Z 变换的位移性质求

2）用时域和 Z 域结合的混合方法求，时域求零输入响应，Z 域求零

状态响应。

举例：以习题 9.42(a)为例，先介绍用单边 Z 变换的位移性质求，即方法 1）。

利用系统函数求解：从 LSI 系统对无时限信号na 的响应入手，即

( ) ( ) ( ) ( )n n n m n m n

z a

m m

a a h n a h m a h m a a H z

系统函数 H(z)的定义: ( ) [ ( )]H z Z h n

系统函数的求取方法 0

0

1 ( ) ( ) Z-T ( )

( )2 , ( )

( )

( )3 ( )

( )

4

5

Mr

r

r

Nk

k

k

zs

h n h n H z

b zY z

H zX z

a z

Y zH z

X z

）给定系统的单位样值响应 , 通过对进行求

）给定差分方程有

）系统的输入输出给定，用求得

）系统函数的零极点给定，通过待定系数求得

）给定流程框图（或信号流图）直接得到

对前面 4 种分别举例。

重点讲解：

1. 差分方程的 Z 域求解：单边 z 变换的位移性质求和时域与 z 域混合方法

求。

2. 系统函数的求取方法

3. 已知系统函数，求 h(n)并确定系统因果性和稳定性

作业：9.40； 9.44； 9.49


59

第三十一讲

学时数：2

内容：

9.7 离散系统的 Z 域分析

系统函数的零极点概念

根据 ( )H z 极点位置及收敛域决定系统稳定、因果性及 ( )h n 波形, 1

1 1 11

1 0

1

(1 )

( ) [ ( )] [ ] [ ]

(1 )

M

r Nkr

Nk k

k

k

z zA z

h n Z H z Z G Zz p

p z

用一张图说明极点分布与 ( )h n 波形的关系

圆外 ROC，因果系统，0

1

( ) ( ) ( ) ( )N

n

k k

k

h n A n A p n

圆内 ROC，反因果系统，0

1

( ) ( ) ( ) ( 1)N

n

k k

k

h n A n A p n

圆环 ROC，非因果系统， 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)h n h n n h n n

( )H z 的 ROC 包含单位圆，则系统稳定

系统函数 ( )H z 的极点决定自由响应的波形，激励序列 ( )X z 的极点决定

强迫响应的波形

( ) ( ) ( )Y z H z X z

，1( ) [ ( ) ( )]zsy n Z H z X z

暂态响应与稳态响应

最小相移系统的概念及其系统函数的零极点分布

稳定系统的频响，幅频特性与相频特性 1

1

( )

( )

( )

M

r

r

N

k

k

z z

H z

z p

，

( )1

1

( )

( ) | ( ) |

( )

Mj

rj j jr

Nj

k

k

e z

H e H e e

e p


60

9.8 离散系统的模拟

离散系统的框图和信号流图描述：直接 II 型，串联型，并联型

重点讲解：

1. 已知系统函数，求 h(n)并确定系统因果性和稳定性

2. 系统的频响

3. 离散系统的模拟，框图法和信号流图法

作业：9.54； 9.55；

第三十二讲

习题课

教辅书：例 9.7；例 9.8；例 9.9；例 9.10；例 9.11；例 9.12。

信号与系统课程教案 -...

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