線形代数学の基礎2 - Miyagi University of...

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線形代数学の基礎２

瓜生等

2015年 4月 7日

目次

1 平面ベクトルの基礎 2 2

1.1 ベクトルの内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 正規直交系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 転置行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 直交行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 行列の固有ベクトルと固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 対称行列の対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 2次形式の標準化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8 行列の標準形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9 直線と平面の向き . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.10 平面ベクトルの外積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.11 平行四辺形の面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.12 代数への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.13 漸化式への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.14 微分方程式への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 空間ベクトルの基礎 2 17

2.1 ベクトルの内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 正規直交系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 固有値と固有ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 対称行列の対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 2次形式の標準化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 行列の標準形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7 行列式と平行 6面体の体積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8 ベクトルの外積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9 図形への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 一般のベクトルの基礎 2 32

線形代数学の基礎２ 2 / 42 1:59pm 2015年 4月 7日 Uryu Hitoshi

3.1 ベクトルの内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 正規直交系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 固有値と固有ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 対称行列の対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 2次形式の標準化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6 行列の標準形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1 平面ベクトルの基礎 2

1.1 ベクトルの内積

定義 1.1 ベクトル u =

(u1

u2

), v =

(v1

v2

)∈ R2 に対して

(u, v) = u1v1 + u2v2

をベクトル u, v の内積という.¶ ³内積の性質

u, v, w ∈ R2, k ∈ Rに対して以下が成立する.

(1) (u, u) = 0 ⇔ u = 0

(2) (u, v) = (v,u)

(3) (ku, v) = k(u, v), (u, kv) = k(u, v),

(4) (u, v + w) = (u, v) + (u,w), (u + v,w) = (u, w) + (v, w)µ ´定義 1.2 ベクトル u, v ∈ R2 に対して (u, v) = 0 のとき u, v は直交するという.

定義 1.3 ベクトル u =

(u1

u2

)に対して

||u|| =√

(u, u)

をベクトル uの大きさという.

高校では内積をつぎのように学ぶ.

(u, v) = ||u|| ||v|| cos θ, ここで θ は u, v のなす角である

そして,三角形の余弦定理を用いて, 成分表示の式として (u, v) = u1v1 + u2v2 を導きだす.このように高校

と大学で内積の導入のしかたが逆になっていることに注意しよう.

内積の定義を成分で表示して出発することはさほど重要とも思えないが,このように視点を変えておくと,後

に次元の制約から解放されることがわかるのである.

2


命題 1.4 ピタゴラスの定理

u, v ∈ R2 に対して,(u, v) = 0であれば,

||u||2 + ||v||2 = ||u + v||2

命題 1.5 コーシーシュワルツの不等式

u, v ∈ R2 に対して,|(u, v)| ≤ ||u||||v||

等号成立は u, v が平行となるときである.

証明高校の定義からは自明である.成分の定義からの証明法を与えておく.

u = 0のときは,不等式は成立している.そこで,u = 0のときを証明する.

n = 1||u||uとおいて,単位ベクトルにしておく.

v = v − (v,n)n + (v, n)n

と分解できるが, (v − (v, n)n, (v, n)n) = 0 であるので,このふたつのベクトルは直交している.(これはベク

トルをあるベクトルとそれに直交するベクトルに分解する便利な方法である.)

ピタゴラスの定理を用いると,

||v||2 = ||v − (v,n)n||2 + ||(v, n)n)||2 ≥ ||(v, n)n)||2 = |(v, n)|2

||v||2 ≥ |(v, n)|2 より,所望の不等式が得られる.

||v||2 ≥ |(v, n)|2 の等号は v − (v, n)n = 0のとき成立している.これは u, v が平行となるときである. ¤

命題 1.6 三角不等式 (ミンコフスキー)

u, v ∈ R2 に対して,||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

等号成立は u, v が同一方向を表わすベクトルとなるときである.

問題 1 上記をコーシーシュワルツの不等式を利用して示せ.

1.2 正規直交系

標準ベクトル e1, e2 は特徴のある以下の性質を満たす.

• (e1, e2) = 0

• ||e1|| = ||e2|| = 1

一般に以下の定義を与える.

定義 1.7 u1, u2 ∈ R2 が

• (u1, u2) = 0

3


• ||u1|| = ||u2|| = 1

を満足するとき {u1, u2}はR2 の正規直交系という.

正規直交系とは直交していて,大きさが 1であるベクトルの組である.

問題 2 {u1, u2}はR2 の正規直交系であるとき,u1,u2 は平行でないことを示せ.

定理 1.8 平行でないベクトル v1,v2 ∈ R2 があるとき,S(v1, v2) = S(u1,u2)をみたす正規直交系 {u1,u2}が存在する.

これは,基底があったら,正規直交系の基底に置き換えることができることを主張している.

証明まず,u1 =1

||v1||v1 とおき,大きさを１にする.つぎにw = v2 − (v2, u1)u1 とおくと,(w, u1) = 0が従

う.ところで,w = 0である.なぜなら, w = 0ならば,作り方から v1, v2 が平行となり矛盾が生じるからであ

る.最後に u2 =1

||w||w とおけばよいことになる. ¤

1.3 転置行列

ここで転置行列を定義しておこう.

定義 1.9 A =

(a11 a12

a21 a22

)= (a1,a2)であるとき,

tA =

(a11 a21

a12 a22

)で Aの転置行列を定義する.Aの行と列を入れ替えたものである.

このとき, tA = (ta1,ta2)であることに注意しよう.また内積 (u, v)は

(u, v) = tuv

と行列の積で書くことができる.これが結構有用である.

問題 3 以下が成立することを示せ.

(1) t(tA) = A

(2) t(AB) = tBtA

問題 4 ２行２列の行列 Aに対して,以下を示せ.

(Au, v) = (u, tAv), u,v ∈ R2

これが成立するように定めたものが転置行列と考えたほうが自然かもしれない.

問題 5 ２行２列の行列 Aに対して,以下を示せ.

|A| = |tA|

4


これは行列式の列について成立する性質は行についても成立することを表わしている.行列式の性質参照.

1.4 直交行列

内積を保存する行列がどのような形になるかを確認しておこう. T を２行２列の行列として,

(Tu, Tv) = (u, v), u,v ∈ R2

を満足する行列 T は何かを問うていることになる.

(Tu, Tv) = (u, tTTv) = (u,v), u,v ∈ R2

であるから,u, v ∈ R2 の任意性から tTT = I が従うことになる.

定義 1.10 直交行列

以下を満足する行列 T を直交行列とよぶ.tTT = I

注意 1.11 tTT = I を満していると,|T | = 0 であるので,T は正則行列となる. 従って, 逆行列の一意性よ

り,T tT = I も満していることがわかる.

直交行列で値が変化しないものをスカラーということがある.これから,内積はスカラーであるということが

できる.

例 1.12 回転の行列 Tθ =

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)は直交行列である.

反転の行列 T−1 =

(1 0

0 −1

)は直交行列である.

定理 1.13 T = (u1, u2)であるとき,T が直交行列であることと, {u1, u2}はR2 の正規直交系であることは

同値である.

証明 tTT =

(tu1

tu2

)(u1, u2) =

(tu1u1

tu1u2

tu2u1tu2u2

)=

((u1, u1) (u1,u2)

(u2, u1) (u2,u2)

)=

(1 0

0 1

)= I ¤

ここで直交行列は具体的に以下となることを注意しておこう.

問題 6 直交行列 T はある θ ∈ Rが存在して, T = Tθ または TθT−1 と書くことができることを示せ.

1.5 行列の固有ベクトルと固有値

行列 Aに対して,u = 0, λ ∈ Rが存在して,

Au = λu

を満足するとき,λを Aの固有値といい,uを固有ベクトルという.

5


注意 1.14 固有ベクトルは何を意味しているかをここで考えておく.λ = 0であれば,u ∈ KerAとなる.つぎ

に,λ = 0の場合を考える. 集合 {tu : t ∈ R}は直線を表わしている. uが固有ベクトルであるので,この直線

の Aによる像は同一の直線を表わしている.このように 0でない固有値の固有ベクトルを求めることができれ

ば,写像による不動の直線を求めることができるのである.

定理 1.15 行列 Aの固有値 λは以下を満足する.

|A − λI| = 0

証明 Au = λuより (A−λI)u = 0と変形できる.ところで,u = 0であるので,消去法の原理より |A−λI| = 0

が従う. ¤

これにより,固有値が求まると,それぞれの固有値 λに対して,uに対する連立方程式 (A− λI)u = 0を解く

ことにより,固有ベクトル uを求めることができる. 連立方程式の解法がまた登場することになる.

1.6 対称行列の対角化

定義 1.16 a11, a12, a22 ∈ Rであるとき A =

(a11 a12

a12 a22

)の形の行列を対称行列という.

別の表現をすると Aが実対称行列とは A = tAをみたすものと定義してもよい.

命題 1.17 対称行列の固有値は実数である.

証明 A =

(a11 a12

a12 a22

)に対して,固有値を λとすると,以下の λについての 2次方程式を満す.

|A − λI| = λ2 − (a11 + a22)λa11 + a11a22 − a212 = 0

この判別式はD = (a11 + a22)2 − 4(a11a22 − a2

12) = (a11 − a22)2 + 4a212 ≥ 0

したがって,λは実数である. ¤

問題 7 ２行２列実対称行列 Aに対して,次が成立する.

(Au, v) = (u, Av), u, v ∈ R2

この性質は非常に重要といえる.

定理 1.18 ２行２列実対称行列 Aの固有値 λの固有ベクトルを uとするとき, (u, v) = 0, v = 0を満足する

v は Aの固有ベクトルである.

この定理は一つ固有ベクトルがあればもう一つの固有ベクトルをみつけることができることを示していて, ２

行２列実対称行列は２つの平行でない固有ベクトルをもつことを保証しているだけでなく, 求め方も示して

いる.

証明仮定より,まず以下が成立していることに注意する.

(Av,u) = (v, Au) = (v, λu) = λ(v, u) = 0

6


(v, u) = 0であるので, u,v はR2 の基底である.したがって,Av = k1v + k2uとなる k1, k2 ∈ Rが存在する

ので,

(Av,u) = (k1v + k2u, u) = k2(u, u)

(Av,u) = 0であったので k2 = 0が従うため,Av = k1v となり,これは v が固有ベクトルであることに他な

らない. ¤

定理 1.19 ２行２列実対称行列 A の固有値を λ1, λ2 とするとき, その固有ベクトルを u1, u2 を {u1,u2}が正規直交系となるようにとることができる. さらに T = (u1, u2) とおけば, 直交行列であり, tTAT =(

λ1 0

0 λ2

)とできる.すなわち２行２列実対称行列は直交行列で対角化できる.

問題 8 定理の証明をせよ.

1.7 2次形式の標準化

u =

(x

y

)に対して,実対称行列 A =

(a11 a12

a12 a22

)を用いて表現された式 (Au, u) を２次形式という.

具体的に書けば以下の形となる.

(Au,u) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2

問題 9 x, y の実係数 2次式は対称行列 Aを用いて,(Au, u)と書くことができることを示せ.

前節で, 対称行列 A は直交行列 T で対角化できる. tTAT =

(λ1 0

0 λ2

), ここで λ1, λ2 は A の固有値

(実数値)である.tTT = T tT = I に注意し,v = tTuとおくと,

(Au, u) = (AT tTu, T tTu) = (tTAT tTu, tTu) = (tTATv,v) = λ1v21 + λ2v

22

このようにして得られた 2 次式 λ1v21 + λ2v

22 を 2 次形式 (Au, u) の標準形という. これは高校でも計算す

る 2次式の平方完成とである. ここでは直交変換により平方完成ができていることになるが,これには大きな

メリットがある.なぜなら,もとのベクトルの大きさと変換されたベクトルの大きさが保存されているからで

ある.

定理 1.20 Aを実対称行列とする.u ∈ R2 に対して,以下が成立する.

min(λ1, λ2)||u||2 ≤ (Au, u) ≤ max(λ1, λ2)||u||2

ここで λ1, λ2 は Aの固有値 (実数値)である.なお,max(a, b), min(a, b)はそれぞれ a, bの最大値,最小値を表

わす記号である.

問題 10 以上の定理を示せ.

7


1.8 行列の標準形

前節の方法で固有値を求めることができるので,つぎに固有ベクトルを求めてみよう. この節の結果は一般

に Jordan標準形を求めることに対応しているが,行列が 2行 2列のため,大掛りな準備は必要ない.

まず固有値 λは |A − λI| = 0をみたしているが,λについての実係数２次方程式であるので,以下の場合が

ある.

(1) 固有値 λ1, λ2 が相異なる実根であるとき

(2) 固有値 λが実の重根であるとき

(3) 固有値 λ1, λ2 が共役な複素根であるとき

(1) この場合は固有ベクトルを２つ求めることができる.

Au1 = λ1u1 Au2 = λ2u2

ここで,u1,u2 が平行でないことを示そう.

ku1 + lu2 = 0とおいて k = l = 0を導くことができればよい.

0 = A(ku1 + lu2) = kAu1 + lAu2 = kλ1u1 + lλ2u1 と変形できるので,

以下の２つの等式が成立することになり,

ku1 + lu2 = 0, kλ1u1 + lλ2u1 = 0

λ1 = λ2 を用いると k = l = 0が従うのである.

P = (u1, u2)と置くと,

AP = (Au1, Au2) = (λ1u1, λu2) = (u1, u2)(

λ1 00 λ2

)= P

(λ1 00 λ2

)P は正則行列であるので,以下が成立する.(

λ1 00 λ2

)= P−1AP

問題 11 以下を示せ. (λ1 00 λ2

)n

=(

λn1 00 λn

2

)

(2)のために以下の定理を準備する.

定理 1.21 ケーリー・ハミルトン

A =

(a11 a12

a21 a22

)であるとき

|A − λI| = λ2 − (a11 + a22)λ + |A|であり,さらに

A2 − (a11 + a22)A + |A|I = O が成立する.

問題 12 ケーリー・ハミルトンの式を証明せよ.

8


注意 1.22 ケーリー・ハミルトンの式は A2 = (a11 + a22)A− |A|I ともみることができる.これは A2 が A, I

のスカラー倍で表わされていることを意味している.これを帰納的に用いると,

An = αnA + βnI, αn, βn ∈ R

が得られ,は An が A, I のスカラー倍で表わされていることになる.An を理解するひとつの方法である.

(2) この場合はケーリー・ハミルトンより (A − λI)2 = O が成立している.

(i) A − λI = O

このときは A =

(λ 0

0 λ

)である.

(i) A − λI = O

このときはある u2 が存在して,(A − λI)u2 = 0であるが, u1 = (A − λI)u2 とおくと (A − λI)2 = O よ

り,Au1 = λu1

以上より, Au1 = λu1, Au2 = λu2 + u1 が成立している.

問題 13 u1,u2 は平行でないことを示せ.

P = (u1, u2)とおくと

AP = (Au1, Au2) = (λu1, λu2 + u1) = (u1, u2)(

λ 10 λ

)= P

(λ 10 λ

)P 正則行列であるので, (

λ 10 λ

)= P−1AP

問題 14 以下を示せ. (λ 10 λ

)n

=(

λn nλn−1

0 λn

)

(3)このときは固有値が複素数となり,R2 で固有ベクトルを求めることができない.

今,固有値を λ = α ± iβ, α, β ∈ Rとする.なお,β = 0であることに注意する.このときは

(A − αI)p = βq(A − αI)q = −βp

となる p, q を求める.

注意 1.23 なぜこのような式を思いつくかを説明する. A(p + iq) = (α + iβ)(p + iq) とおいて,両辺の実部

と虚部を比較したのである.

いま p ∈ R2 を p = 0とし,q = 1β (A − αI)pと置くと,(A − αI)q = −βpを自動的に満す.

補題 1.24 p ∈ R2 を p = 0するとき,p, q は平行でない.

9


証明いま, p, q = 1β (A − αI)pが平行であったとすると, k ∈ R, k = 0が存在して,q = kpである.これより,

1β

(A − αI)p = kp

となり,Ap = (α + kβ)p

α + kβ ∈ Rより,α + kβ は Aの固有値ではない.従って,p = 0となり,矛盾を生じる.

¤

問題 15 P = (p, q)と置くとき,以下を示せ.(α −ββ α

)= P−1AP

上記補題より,P は正則行列となることに注意する.

ここで,

(α −β

β α

)が何を意味するかを考えてみよう.

cos θ =α√

α2 + β2, sin θ =

β√α2 + β2

を満足する θ を求めることができる.これを用いると,(α −ββ α

)=

√α2 + β2

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)と表わすことができて,伸縮と回転の組み合わせとなる.

問題 16 以下を示せ. (α −ββ α

)n

= (α2 + β2)n2

(cos nθ − sinnθsinnθ cos nθ

)

1.9 直線と平面の向き

最初に直線に向きはどのように定めるべきかを考える.直線内に基準となる原点 O をまず定める. そして,O

から発するベクトル aを一つ定め,これを正の方向とすることになる.

つぎに平面の向きを考えてみる.今度は正の方向を 2つ定める必要がある.

最初に平面に原点 Oを定めることから始める.

つぎにその原点 O をとおる直線を引き,この直線に向きを一つ定める.いまこの直線の正の向きを定める大

きさ 1ベクトルを aとしておく.つぎに原点 O をとおるもう一本の直線を引く.通常は最初の直線に対して,

原点 O において直交する直線を平面内に引く.そして新たに引いた直線内にベクトルを一つ指定し,この直線

の正の方向を定める大きさ 1のベクトルを bとする.この様に 2つのベクトル a, bを順番に決めていくことに

より平面に向きが定まると考えられる.

10


ところで,この平面の向きの定め方には任意性があるので,他の向きのとの関係を明らかにしておかなければ

ならない.

そこで,この平面にもうひとつ向き a′, b′ あったとして,これとの関係を考察することにする.

原点 O に対してベクトル aを回転移動させベクトル a′ に重ねる.この回転により bも同様に移動するが,

この bを回転させたベクトルと b′ の向きは同じか反対かのいずれかとなる.これが同じときに向き a, bと向

き a′, b′ は同じ向きと考えることにする.

これを式で説明する. いま平面の回転の行列を N とし,a′ = Naとする. b′ = Nbのときは

(a′, b′) = N(a, b)

となる.また b′ = −Nbのときは(a′, b′) = N(a,−b)

となる.回転の行列の行列式の値は 1であるので,a, bと a′, b′ が同じ向きの場合 |a′, b′| = |a, b|であり,逆向

きの場合は |a′, b′| = −|a, b|と行列式の符号の違いで向きが表現できていることがわかる.

しかし,平面にとる基底は必ずしも大きさ 1で直交しているわけではない.a, bが直交していないとき,向き

を理解するには少し工夫が必要となる.

いま a, bを一組の基底として,a′, b′ を他の基底の組とする.そして,この順に向きが定められているとする.

パラメータ t ∈ [0, 1] に連続的に依存した行列 Nt を考え,N0(a, b) = I(a, b) = (a, b), N1(a, b) = (a′, b′)

とする. ベクトル a, b を少しずつ移動させて a′, b′ に重なったということはこのような Nt を考えること

にほかならない. 但し, 移動の途中で Nt(a, b) が基底を定めているためには Nt が正則行列である必要があ

る.|N0| = |I| = 1 であり,Nt は t に連続的に依存しているので,|Nt| > 0 となることに注意する. このとき,

|a′b′| = |Nt(a, b)| = |Nt||a, b|と |Nt| > 0より |a′b′|と |ab|は同符号となる.

このように, 一組の基底 a, b を少しずつ変化させ, 他の基底 a′, b′ に重なることは行列式 |a, b| と行列式|a′, b′|が同符号であることに他ならないことになる.そこで |a, b|と |a′, b′|が同符号であるとき a, bと a′, b′

は同じ向きであると定めることにする.

1.10 平面ベクトルの外積

u =

(u1

u2

), v =

(v1

v2

)とおくと,行列式の定義から

det(u, v) =

∣∣∣∣∣ u1 v1

u2, v2

∣∣∣∣∣ = (−u2)v1 + u1v2 が得られる.

そこで, n =

(−u2

u1

)とおくと, det(u,v) = (v, n)となるが,行列式の性質より,det(u, u) = (u,n) = 0

が従い, また内積の性質より,det(u,n) = (n, n) ≥ 0が従う.

¶ ³u =

(u1

u2

), n =

(−u2

u1

)とおくと,(u, n) = 0, det(u, n) ≥ 0が成立する.

µ ´11


この nは空間における外積の役目を果していので、平面でも外積ということにする. nは uに直交する大

きさが ||u||のベクトルであるが、これだけの条件では 2つのベクトルがあり、ひとつに限定できない。u, n

の順で平面の正の向きを定めているものを選択するのである。

1.11 平行四辺形の面積

ベクトル a1, a2 ∈ R2 がつくる平面上の平行四辺形の面積 S(a1, a2)を求めたい.

A = (a1, a2)とおいて,G2 = tAAを計算する.すでにみたように,

tAA =

((a1, a1) (a1, a2)

(a2, a1) (a2, a2)

)であった.この右辺の行列式を計算していくことにより,以下の定理を導くことができる.

定理 1.25 S(a1,a2) = |det(A)|

証明 a1,a2がつくる平面内にあり,a1に直交する単位ベクトルをnとする. このとき,(a1,n) = 0, (n, n) = 1

である.

a2 = k1a1 + k2nとおくと,(a1, a2) = k1(a1,a1), (a2, n) = k2 である.det(tAA)の 1行 2列成分を消去す

るために,1列を (−k1)倍して 2列に加えると,

det(tAA) =(

(a1, a1) (a1,a2)(a2, a1) (a2,a2)

)=

((a1,a1) 0(a2,a1) (a2, a2) − k1(a2, a1)

)ところで, (a2, a2) − k1(a2, a1) = (a2, k2n) = (a2, n)2 であるので,

det(tAA) = (a1, a1)(a2, n)2 = (||a1||(a2, n))2 = S(a1, a2)2 が成立することになる.

一方,det(tAA) = det(tA) det(A) = det(A)2 であるので,

det(A)2 = S(a1,a2)2

が成立することになる. ¤

1.12 代数への応用

前節で登場した, 行列

(α −β

β α

)を用いて, 複素数 z = α + iβ を定義する方法がある. これを紹介しよ

う. 発想は単純で以下で対応をつけるのである.2行 2列の行列には和と積が定義できている. この演算を利用

して,複素数に演算を定義するのである.¶ ³(α −ββ α

)⇔ α + iβ = zµ ´

いま,z1, z2 に以下の対応がついているものとする.(α1 −β1

β1 α1

)⇔ α1 + iβ1 = z1,

(α2 −β2

β2 α2

)⇔ α2 + iβ2 = z2

行列の和を計算してみると,

12


(α1 −β1

β1 α1

)+

(α2 −β2

β2 α2

)=

(α1 + α2 −(β1 + β2)β1 + β2 α1 + α2

)であるから,複素数の和を以下と定義するのである.

z1 + z2 = (α1 + α2) + i(β1 + β2)

行列の積を計算してみると,(α1 −β1

β1 α1

)(α2 −β2

β2 α2

)=

(α1α2 − β1β2 −(α2β1 + α1β2)α2β1 + α1β2 α1α2 − β1β2

)であるから,複素数の積を以下と定義するのである.

z1z2 = (α1α2 − β1β2) + i(α2β1 + α1β2)

1に対応する行列は

(1 0

0 1

), iに対応する行列は

(0 −1

1 0

)であり,(

α −ββ α

)= α

(1 00 1

)+ β

(0 −11 0

)

が成立している. また,

(1 0

0 1

), と

(0 −1

1 0

)は互いに定数倍で表わすことができないことを注意して

おく.

なお,前節で示した, (α −ββ α

)=

√α2 + β2

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)は複素数の極座標の表示式にほかならない.このようにして,複素数は平面上の伸縮と回転で表示できること

になる. また,

det(

α −ββ α

)= α2 + β2

に注意すれば,これは複素数 |z|2 を表わしている.

1.13 漸化式への応用

1.13.1 単独漸化式

高校で習ってきた,最も簡単な pn に対する 2項漸化式 (等比数列)を考える.

pn+1 = rpn (1.1)

これは容易に解けて pn = rn−1p1 となる.

13


1.13.2 連立漸化式

3項漸化式の典型として,フィボナッチ数列 an がある.ここで,an は

an+2 = an+1 + an, a1 = a2 = 1

を満足している.ここで,qn = an, pn = an+1 と置くと,以下を満足していることになる.

pn+1 = pn + qn

qn+1 = pn

そこで一般に pn, qn に対する連立の漸化式を考える.

pn+1 = apn + bqn

qn+1 = cpn + dqn

これは行列を用いて,以下の様に表わされる.

(pn+1

qn+1

)=

(a bc d

)(pn

qn

)ここで,以下の記号を使用することにすると,

Pn =(

pn

qn

), A =

(a bc d

)上記の連立漸化式は

Pn+1 = APn (1.2)

と書け,単独型 (1)と類似の形式に書くことができる.そして,これを解けば, Pn = An−1P1 となる.ここで An

は行列 Aを n回乗じたものである.

従って,An を具体的に表現できれば,pn, qn がわかることとなる.

1.13.3 関数漸化式

以下の形の関数の漸化式を考える.

f0(x) = 0, f1(x) = xとして,n ≥ 3に対して以下の漸化式が成立しているとする.ただし,|x| < 2とする.

fn(x) = xfn−1(x) − fn−2(x)

fn(x)は xの n次式となることは容易にわかる.これはチェビシェフ多項式を若干変形したものである.

これから以下の行列の関係を導くことができる.(fn fn−1

fn−1 fn−2

)=

(fn−1 fn−2

fn−2 fn−3

)(x 1−1 0

)

14


An(x) =

(fn fn−1

fn−1 fn−2

)と置くと,

An(x) = An−1(x)(

x 1−1 0

), A2(x) =

(x2 xx 0

)以上より,

An(x) =(

x 1−1 0

)n−2 (x2 xx 0

)(

x 1

−1 0

)の固有値が解ると fn(x)の正体がわかることになる.

問題 17 x = 2 cos θ と置くと,固有値は以下となることを示せ.

λ1 = cos θ + i sin θ, λ2 = cos θ − i sin θ

ここで,sin θ = 0

このように固有値が共役複素根となるので,すでに示したことが利用できる.

問題 18 以下の等式を示せ.

fn(2 cos θ) =sinnθ

sin θ

また,このことから fn(x) = 0の |x| < 2における根を求めよ.

答: θj = πnj, j ∈ Z とするとき,x = 2 cos θj が根である.

この内容は参考文献 2次行列の世界を参考にした.

1.14 微分方程式への応用

この節では行列の応用として微分方程式をとく.

1.14.1 単独微分方程式

最も簡単な微分方程式を考える.

z′(t) = az(t) (1.3)

この解き方は解析学の授業で学ぶが,以下の z(t)が解であることを確認することは易しい.

z(t) = eatz(0)

さらに解析学の授業で以下のことを学ぶ.

ex =∞∑

n=0

xn

n!

15


これはマクロリン展開と呼ばれていて,多項式で表わせない関数 (この場合は指数関数)を無限多項式で表示

する方法である.

このことを用いれば,z(t)は以下の様に表示できることになる.この表示式を次節で用いる.¶ ³z(t) =

∞∑n=0

tnan

n!z(0)

µ ´1.14.2 連立微分方程式

次に連立の漸化式を考える.

x′(t) = ax(t) + by(t)y′(t) = cx(t) + dy(t)

これは行列を用いて,以下の様に表わされる.

(x′(t)y′(t)

)=

(a bc d

)(x(t)y(t)

)ここで,以下の記号を使用することにすると,

Z(t) =(

x(t)y(t)

), A =

(a bc d

)上記の連立微分方程式は

Z ′(t) = AZ(t) (1.4)

と書け, 単独型 (3) と類似の形式に書くことができる. 単独型のマクロリン展開による解の表示を参考にす

ると,

Z(t) =∞∑

n=0

tnAn

n!Z(0)

が解として候補となるが, これを微分してみると, 以下の様に Z ′(t) = AZ(t) を満していることを確認で

きる.

証明右辺を tで (項別)微分すると

Z ′(t) =∞∑

n=1

tn−1An

(n − 1)!Z(0)

= A

∞∑n=1

tn−1An−1

(n − 1)!Z(0)

= A

∞∑n=0

tnAn

n!Z(0)

= AZ(t)

16


¤

従って,∞∑

n=0

tnAn

n!を具体的に表現できれば,x(t), y(t) がわかることとなる. この表示式から An の計算が必

要であることがわかる.

2 空間ベクトルの基礎 2


定義 2.1 ベクトル a, b ∈ R3 の内積 (a, b)を以下で定義する.

(a, b) =3∑

i=1

aibi

(a, b) = 0のとき,ベクトル a, bは直交しているという. また,||a|| =√

(a, a)をベクトル aの大きさという.¶ ³内積の性質

u, v, w ∈ R3, k ∈ Rに対して以下が成立する.

(1) (u, u) = 0 ⇔ u = 0

(2) (u, v) = (v,u)

(3) (ku, v) = k(u, v), (u, kv) = k(u, v),

(4) (u, v + w) = (u, v) + (u,w), (u + v,w) = (u, w) + (v, w)µ ´以下のピタゴラスの定理,コーシーシュワルツの不等式,三角不等式は平面の証明と全く同じく証明できる.


u, v ∈ R3 に対して,(u, v) = 0であれば,

||u||2 + ||v||2 = ||u + v||2

命題 2.3 コーシーシュワルツの不等式

u, v ∈ R3 に対して,|(u, v)| ≤ ||u||||v||


命題 2.4 三角不等式 (ミンコフスキー)

u, v ∈ R3 に対して,||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

等号成立は u, v が同一方向を表わすベクトルとなるときである.

17


¶ ³内積に関係した行列の性質

u, v ∈ R3 に対して,以下が成立している.

(1) (Au, v) = (u, tAv)

(2) Aが対称行列のとき,(Au, v) = (u, Av).

(3) T が直交行列のとき,(Tu, Tv) = (u, v).µ ´2.2 正規直交系

標準ベクトル e1, e2, e3 は特徴のある以下の性質を満たす.

• e1, e2, e3 は互いに直交している.

• ||e1|| = ||e2|| = ||e3|| = 1


定義 2.5 u1, u2, u3 ∈ R3 が

• u1,u2, u3 は互いに直交している.

• ||u1|| = ||u2|| = ||u3|| = 1

を満足するとき {u1, u2, u3}はR3 の正規直交系という.


問題 19 {u1, u2, u3}はR3 の正規直交系であるとき,{u1, u2, u3}は一次独立であることを示せ.

定理 2.6 一次独立なベクトル v1, v2, v3 ∈ R3 があるとき,S(v1, v2, v3) = S(u1, u2, u3) をみたす正規直交

系 {u1, u2,u3}を具体的に求めることができる.

これは,基底があったら,正規直交系の基底に置き換えることができることを主張している.

証明以下の証明の方針は基本的に平面と同じであるが,R3 において実際に正規直交系をつくる手順を示して

いるので,証明を加えることにした.

まず,u1 =1

||v1||v1 とおき,大きさを１にする.つぎに w2 = v2 − (v2, u1)u1 とおくと,(w2, u1) = 0が従

う.ところで,w2 = 0である. w2 = 0であれば, 作り方から v1, v2 が一次独立となり矛盾が生じるからであ

る. つぎに u2 =1

||w2||w2 とおく.w3 = v3 − (v3, u1)u1 − (v3,u2)u2 とおくと,(w3, u1) = (w3, u2) = 0

が従う.ところで,w3 = 0である.なぜなら, w3 = 0であれば, 作り方から v1, v2, v3 が一次独立となり矛盾

が生じるからである. 最後に, u3 =1

||w3||w3 とおく.この様にして得られた,{u1, u2, u3} は正規直交系を成

す.{u1, u2, u3} のつくり方から,u1, u2, u3 ∈ S(v1, v2, v3)である.逆に v1, v2, v3 は u1, u2, u3 の一次結合

で表現できるので,v1, v2, v3 ∈ S(u1, u2, u3) がいえる. これから,S(v1, v2, v3) = S(u1, u2, u3) も成立して

いることがわかる.

このように正規直交系を作成する方法をグラムシュミットの方法という. ¤

18


定理 2.7 T = (u1, u2, u3)であるとき,T が直交行列であることと, {u1, u2, u3}は R3 の正規直交系である

ことは同値である.

平面の証明と同様にできる.

問題 20

T = ZϕYθZψ =

cos ϕ − sinϕ 0

sin ϕ cos ϕ 0

0 0 1

cos θ 0 sin θ

0 1 0

− sin θ 0 cos θ

cos ψ − sinψ 0

sinψ cos ψ 0

0 0 1

とおく,Zϕ は z 軸のまわりの角 ϕの回転行列であり,Yθ は y軸のまわりの角 θの回転行列となっているこ

とを確認せよ,また,T は直交行列で |T | = 1であることを示せ,

注意 2.8 実はこの逆が成立している.T が直交行列で |T | = 1であれば,T = ZϕYθZψ となるのである.¶ ³直交分解

{u1, u2,u3} ⊂ R3 が正規直交系を成しているとする. u ∈ R3 に対して以下が成立している.

u = (u, u1)u1 + (u,u2)u2 + (u, u3)u3

||u||2 = (u,u1)2 + (u, u2)2 + (u, u3)2µ ´これは e1, e2, e3 を正規直交系とした場合は高校で学んだ内容である.

問題 21 以上を示せ.

2.3 固有値と固有ベクトル

定義 2.9 A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

とする. この Aに対して,u = 0, λ ∈ Rが存在して,

Au = λu

を満足するとき,λを Aの固有値といい,uを固有ベクトルという.

定理 2.10 行列 Aの固有値 λは以下を満足する.

|A − λI| = 0

消去法の原理からの帰結である. |A − λI| = 0は実係数 3次方程式であるので, すべてが実根であるか, 実

根が 1つで他は共役複素根であるかのいずれかである.

命題 2.11 行列 Aと正則行列行列 P があるとき, Aと P−1AP の固有値は同じである.

19


問題 22 以上を示せ.

問題 23 相異なる実固有値をもつ固有ベクトルの組は一次独立となることを示せ.


定理 2.12 実対称行列 Aの固有値は実数であり,直交行列 T が存在して T−1AT が対角行列にできる.

証明 |A − λI| = 0 は λ の実係数 3 次方程式であるので, 少くともひとつの実根を持つ (これは微分積分で

学ぶ中間値の定理の応用である). これを α としておき, 固有ベクトルの大きさを 1 としたものを u とする.

このとき, Au = αu が成立している. つぎに,{u,u1, u2} が正規直交系となるように u1, u2 を選んでおく.

{u, u1, u2}が正規直交系であるので,以下が成立する.

Au1 = (Au1, u)u + (Au1, u1)u1 + (Au1,u2)u2

Au2 = (Au2, u)u + (Au2, u1)u1 + (Au2,u2)u2

ここで,Aが対称行列で Au = αuなので,(Au1, u) = (Au2, u) = 0が成立していることに注意すれば,以

下が得られる.

Au1 = (Au1, u1)u1 + (Au1, u2)u2

Au2 = (Au2, u1)u1 + (Au2, u2)u2

上記の式を考慮し,P = (u,u1, u2)とおくと以下が得られる.

AP = A(u, u1,u2) = (u, u1,u2)

α 0 00 (Au1, u1) (Au2, u1)0 (Au1, u2) (Au2, u2)

= P

α 0 00 (Au1, u1) (Au2, u1)0 (Au1, u2) (Au2, u2)

ここで, B =

((Au1, u1) (Au2, u1)

(Au1, u2) (Au2, u2)

)は対称行列である. すでに平面で確認したように, 2行 2列の対称

行列は実の固有値をもち,また 2次の直交行列で対角化できるのであった. そこで, B の実固有値を λ1, λ2 と

し,直交行列を S =

(s12 s12

s21 s22

)とすると,

S−1BS =(

λ1 00 λ2

)

20


とできる. 最後に, T = P

1 0 0

0 s11 s12

0 s21 s22

と置くと,

T−1AT =

α 0 00 λ1 00 0 λ2

が従うのである.

すでに述べてあるように,Aと D = T−1AT の固有値は同じであったので,Aは実固有値を持つことがわか

る.また,T が直交行列であることを確かめるのは, P, S が直交行列であることを思いだせば容易であるので省

略する. ¤


u =

u1

u2

u3

に対して,実対称行列 A =

a11 a12 a13

a22 a22 a23

a32 a32 a33

を用いて表現された式 (Au, u) を２次形式

という.

前節で,対称行列 Aは直交行列 T で対角化できる. tTAT =

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

,ここで λ1, λ2, λ3 は Aの

固有値 (実数値)である.tTT = T tT = I に注意し,v = tTuとおくと, 平面と同様にして以下が得られる.

(Au,u) = λ1v21 + λ2v

22 + λ3v

23

この右辺を 2次形式 (Au, u) の標準形という.


3行 3列の実係数行列 Aを考える。このとき、固有方程式は実係数 3次方程式になるので、固有値はすべ

て実数か、ひとつ実数で残りは共役な複素数の組である。

2.6.1 行列の三角化

命題 2.13 三角化

行列 Aが実の固有値をもち,その固有値が λ1, λ2, λ3 であるとき

ある正則行列 P が存在して,

P−1AP =

λ1 ∗ ∗0 λ2 ∗0 0 λ3

とできる.

注意 2.14 証明は対称行列の対角化の証明のなかで用いた行列のサイズを落していく方法を利用する.

21


2.6.2 行列の対角化

命題 2.15 Aを行列とし, 実数の固有値をもつとする.

Aが正則行列 P を用いて,P−1AP が対角行列にできるための必要十分条件は Aの固有ベクトルで一次独立

なもの p1, p2, p3 ∈ R3 が存在することである.

具体的には,p1,p2, p3の固有値を順に λ1, λ2, λ3としておき,P = (p1, p2, p3)と置くと以下のようにできる.

P−1AP =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

問題 24 以上を示せ. Ap1 = λ1p1, Ap2 = λ2p2, Ap3 = λ3p3 を利用する.

命題 2.16 Aを行列とする. Aの固有値が実ですべて異なるとき,正則行列 P を用いて,P−1AP が対角行列

とできる.

問題 25 以上を示せ. 相異なる固有値をもつ固有ベクトルは一次独立であることを利用する.

このように、正則行列 P 適当に選んで,D = P−1AP を対角行列にできることがある。以後、対角行列にな

らない場合もこめて、正則行列 P を用いて,D = P−1AP を最も簡単な行列に分類することを考えたい。ここ

で扱う最も簡単な行列のことを (Jordan)標準形という。

Dを標準形という。¶ ³行列 Aの固有値がすべて実数で λ, µ, ν とする. このとき, Aの標準形は以下の三つの形になる.

(1)

λ 0 00 µ 00 0 ν

(2)

λ 1 00 λ 00 0 ν

(3)

λ 1 00 λ 10 0 λ

ただし,λ, µ, ν は異なる必要はない.

Aが実数の固有値 λと複素数の固有値 α ± iβ (β = 0)である場合の標準形は以下となる.

(4)

λ 0 00 α −β0 β α

=

λ 0 00 r cos θ −r sin θ0 r sin θ r cos θ

, r =√

α2 + β2, θ = arctan(

β

α

)µ ´

22


問題 26 以下を示せ.

(1)

λ 0 0

0 µ 0

0 0 ν

n

=

λn 0 0

0 µn 0

0 0 νn

(2)

λ 1 0

0 λ 0

0 0 ν

n

=

λn nλn−1 0

0 λn 0

0 0 νn

(3)

λ 1 0

0 λ 1

0 0 λ

n

=

λn nλn−1 n(n − 1)λn−2

0 λn nλn−1

0 0 λn

(4)

λ 0 0

0 r cos θ −r sin θ

0 r sin θ r cos θ

n

=

λn 0 0

0 rn cos nθ −rn sinnθ

0 rn sin nθ rn cos nθ

2.6.3 実数の固有値の場合

定理 2.17 行列 Aの固有値が実数で λ, µ, ν とする. このとき, 正則行列 P を用いて,P−1AP が以下のいずれ

かとなる.

(1)

λ 0 00 µ 00 0 ν

(2)

λ 1 00 λ 00 0 ν

(3)

λ 1 00 λ 10 0 λ

ただし,λ, µ, ν は異なる必要はない.

これを解決するためには,次元定理とケーリー・ハミルトンの定理が必要となる.

すでにみたように, 行列 Aがあるとき,以下の次元定理成立していた.

dimKerA + dim ImA = 3

定理 2.18 ケーリー・ハミルトン

行列 Aが実の固有値をもち,その固有値が λ1, λ2, λ3 であるとき

(A − λ1I)(A − λ2I)(A − λ3I) = O

が成立する.

証明行列の三角化の命題より, 正則行列 P を用いて P−1AP =

λ1 ∗ ∗0 λ2 ∗0 0 λ3

とできる.この右辺を D

と置いて,(D − λ1I)(D − λ2I)(D − λ3I) = O

を証明することができる.これより,

23


P (D − λ1I)(D − λ2I)(D − λ3I)P−1 = O

も従うので,この結果(A − λ1I)(A − λ2I)(A − λ3I) = O

が成立する. ¤

行列 Aが実の固有値をもち,その固有値が λ1, λ2, λ3 であるとする. 固有値による場合分けをする.

• 固有値が相異なる場合• 固有値の一つが 2重根の場合で対角化できないとき

• 固有値が 3重根の場合で対角化できないとき

2.6.4 単根の場合

λ1, λ2, λ3 が相異なっている場合は各固有値に対して,固有ベクトル p1, p2,p3 が一つずつ存在するので,こ

れを用いて Aは対角化できる.

P = (p1, p2,p3)と置くと, P−1AP =

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

とできる.

2.6.5 2重根の場合

λ1 = λ2 = λ3 で対角化できないときを考える。λ1 = λ, λ3 = µと書いて説明する.

問題 27 (A − λI)2 = O が成立することを示せ.背理法で,dim Im(A − λI)2 = 0 であったとすると,基

底が 4個以上となることを言う.

最小多項式の理論につながる結果である.ここでは直接示すことになる.

問題 28 dim Im(A− λI) = 0が成立することを示せ.背理法で,dim Im(A− λI) = 0 であったとすると,

基底が 4個以上となることを言う.

以上のことから, dim Im(A − λI)2 = 0, dim Im(A − λI) = 0 である場合を考えればよいことになる.

dim Im(A − λI) = 0 より, v ∈ Im(A − λI) である v = 0 が存在する. これより w ∈ R3 が存在し

て,(A − λI)w = v とできる.(A − λI)2 = O が成立していたので,(A − λI)v = 0であることに注意しよう.

一方,µに対する固有ベクトルも存在しているので,これを.uとおく.

(A − λI)v = 0, (A − λI)w = v, (A − µI)u = 0

が成立している.

問題 29 v,w,uが一次独立であることを示せ.

P = (v, w, u)とおくと,以下が成立する.

24


P−1AP =

λ 1 00 λ 00 0 µ

2.6.6 3重根の場合

λ1 = λ2 = λ3 で対角化できないときを考える。この 3重根を λと書いて説明する.

ケーリー・ハミルトンの定理より,(A − λI)3 = O

これを利用して分類を行なう.

(1) dim Im(A − λI)2 = 0

(2) dim Im(A − λI)2 = 0, dim Im(A − λI) = 0

(1) v ∈ Im(A − λI)2 である v = 0が存在する.これよりw ∈ R3 が存在して,(A − λI)2w = v とできる.

ケーリー・ハミルトンの定理より.(A − λI)v = 0であることに注意しよう.さらに,(A − λI)w = uと置くこ

とにする.

以上より,以下が成立していることになる.

(A − λI)v = 0, (A − λI)u = v, (A − λI)w = u

問題 30 v,u, w が一次独立であることを示せ.

P = (v, u, w)と置くと,以下が成立する.

P−1AP =

λ 1 00 λ 10 0 λ

(2) v ∈ Im(A − λI)である v = 0が存在する.これより w ∈ R3 が存在して,(A − λI)w = v とできる.

dim Im(A − λI)2 = 0より, (A − λI)v = 0であることに注意しよう.

問題 31 dim Im(A − λI) = 1を示せ.背理法で,2以上であるとして,基底が 4個以上となることを言う.

このことから,dimKer(A − λI) = 2 であるので, 一次独立な固有ベクトルは 2 つある. その一つは,v であ

る.もう一つの固有ベクトルを uとする.以下が成立している.

(A − λI)v = 0, (A − λI)w = v, (A − λI)u = 0

問題 32 v,w,uが一次独立であることを示せ.

P = (v, w, u)と置くと,以下が成立する.

P−1AP =

λ 1 00 λ 00 0 λ

25


2.6.7 複素数の固有値の場合

命題 2.19 Aが実数の固有値 λと複素数の固有値 α ± iβ (β = 0)もつとする.

(A − λI)u = 0(A − αI)p = βq(A − αI)q = −βp

となる u, p, q = 0を求めることができ, P = (u,p, q)とおくと,P は正則行列であり, 以下を満す.

P−1AP =

λ 0 00 α −β0 β α

注意 2.20 p, q の求めかた

x ∈ C2 として,

(A − (α + iβ)I)x = 0

を複素数の係数の連立方程式として xを求め,p, q ∈ R3 として,x = p + iq

とおいて,両辺の実部と虚部を比較して,p, q ∈ R3 を求める.

2.7 行列式と平行 6面体の体積

ベクトル a1, a2,a3 ∈ R3 があるとき,a1, a2,∈ R3 が成す平行四辺形の面積と a1, a2, a3 ∈ R3 が成す平行

6面体の体積の公式を導いておこう.

2.7.1 面積

a1, a2 ∈ R3 に対して,S(a1, a2)をベクトル a1,a2 が作る平行四辺形の面積とする.

命題 2.21 S(a1,a2)2 =

∣∣∣∣∣ (a1,a1) (a1, a2)

(a2,a1) (a2, a2)

∣∣∣∣∣この証明は平面上の証明と全く同様にできるので省略する.

2.7.2 体積

a1, a2,a3 ∈ R3 に対して,V (a1,a2, a3)をベクトル a1, a2, a3 が作る平行六面体の体積とする.

命題 2.22 V (a1, a2, a3)2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣(a1, a1) (a1, a2) (a1,a3)

(a2, a1) (a2, a2) (a2,a3)

(a3, a1) (a3, a2) (a3,a3)

∣∣∣∣∣∣∣∣証明 a1, a2 に直交する単位ベクトルを nとする.

(a1, n) = (a2, n) = 0, (n, n) = 1である.

a3 = k1a1 + k2a2 + k3nと置くと上記から,

26


(a1,a3) = k1(a1, a1) + k2(a1, a2), (a2, a3) = k1(a2,a1) + k2(a2, a2), k3 = (a3, n)

これから以下の行列式の変形を行なう.

G3 =

∣∣∣∣∣∣(a1, a1) (a1,a2) (a1,a3)(a2, a1) (a2,a2) (a2,a3)(a3, a1) (a3, a2) (a3,a3)

∣∣∣∣∣∣(1,3),(2,3)成分を消すために,第 1列を (−k1)倍,第 2列を (−k2)倍して第 3列に加えると,

G3 =

∣∣∣∣∣∣(a1, a1) (a1, a2) 0(a2, a1) (a2, a2) 0(a3, a1) (a3, a2) (a3, a3) − k1(a3,a1) − k2(a3, a2)

∣∣∣∣∣∣となるが,

(a3,a3) − k1(a3, a1) − k2(a3, a2) = (a3, k3n) = (a3, n)2

であるので, 3列について余因子展開を用いると以下が従う.

G3 =∣∣∣∣ (a1, a1) (a1, a2)

(a2, a1) (a2, a2)

∣∣∣∣ (a3, n)2

前定理から

∣∣∣∣∣ (a1, a1) (a1, a2)

(a2, a1) (a2, a2)

∣∣∣∣∣ = S(a1, a2)2 であったので,G3 = (S(a1, a2)(a3, n))2

一方, 平行 6 面体の体積は底面積と高さの積であるから,V (a1, a2,a3) = S(a1, a2)|(a3, n)| となり,G3 =

V (a1, a2, a3)2 が従う. ¤

命題 2.23 A = (a1, a2, a3)と行列 Aを列ベクトル表現すると,

V (a1, a2, a3) = |D(a1, a2,a3)|

である.

証明

|A|2 = |tAA| =

∣∣∣∣∣∣(a1, a1) (a1, a2) (a1, a3)(a2, a1) (a2, a2) (a2, a3)(a3, a1) (a3, a2) (a3, a3)

∣∣∣∣∣∣に注意すれば直前の命題からあきらかである. ¤

2.8 ベクトルの外積

大学初年級の物理の授業に外積が多用される.このことを考慮して,ここで外積を定義しておこう.

行列式を以下の様に列ベクトル表現しておく.

|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = |a1,a2, a3|

27


n =

α13

α23

α33

をベクトル a1, a2 の外積という.ここで,αi3, i = 1, 2, 3は行列式 |A|の ai3 の余因子である.

|A|を 3列目において余因子展開すると,

|A| = |a1, a2, a3| = a13α13 + a23α23 + a33α33 = (a3, n) = (n, a3)

行列式の性質より,

|a1, a2, a1| = (n, a1) = 0, |a1, a2,a2| = (n,a2) = 0

であるので,外積 nと a1, a2 は直交している.また,

|a1, a2,n| = (n, n) = ||n||2

が成立している.左辺はベクトル a1, a2, nが形成する平行 6面体の体積であったので,S(a1, a2)||n||である.

この結果,||n|| = S(a1, a2)となり,大きさもわかる.

まとめておく.

命題 2.24 a =

a1

a2

a3

, b =

b1

b2

b3

に対して, n =

∣∣∣∣∣ a2 b2

a3 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a3 b3

a1 b1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 b1

a2 b2

∣∣∣∣∣

を a, bの外積という.

このとき以下が成立している.

(a, n) = (b, n) = 0, ||n|| = S(a, b), |a, b, n| > 0

また,|a, b, n| > 0が成立しているとき,ベクトル a, b, nは右手系という.右手の親指を a,人差し指を bに

重ねたとき中指が向う方向が nとなっているからである.

2.9 図形への応用

2.9.1 直線と点との距離

直線 ax + by + c = 0と点 P (x1, y1)との距離を計算する.

直線ax + by + c = 0

上の点を 1点を (x0, y0)とする. これより

ax0 + by0 + c = 0

をみたす.いま (x, y)がこの直線上の点であるとすると,

a(x − x0) + b(y − y0) = 0

28


である.これより内積の性質を考えれば,この直線の法線方向は (a, b) であることがわかる.これと平行な大き

さ 1の単位ベクトルを n = (nx, ny)とおくと,つぎが成立している.

(nx, ny) = k(a, b), k =1√

a2 + b2

点 Pからこの直線に下した垂線上の点は p = (x1, y1) + t(nx, ny)と表すことができる.この点が直線上に

あることより,a(x1 + tnx) + b(x2 + tny) + c = 0

これより

t = −ax1 + by1 + c

anx + bny= −ax1 + by1 + c√

a2 + b2

|t|が求める距離となるので,上記から

|ax1 + by1 + c|√a2 + b2

2.9.2 平面と点との距離

平面 ax + by + cz + d = 0と点 (x1, y1, z1)との距離も直線と点との距離と同様に求めることができる.

平面 ax + by + cz + d = 0上の 1点を (x0, y0, z0)とする.

平面ax + by + cz + d = 0

上の点を 1点を (x0, y0, z0)とする. これより

ax0 + by0 + cz0 + d = 0

をみたす.いま (x, y, z)がこの平面上の点であるとすると,

a(x − x0) + b(y − y0) + c(y − z0) = 0

である.これより内積の性質を考えれば,この平面の法線方向は (a, b, c) であることがわかる.これと平行な大

きさ 1の単位ベクトルを n = (nx, ny, nz)とおくと,つぎが成立している.

(nx, ny, nz) = k(a, b, c), k =1√

a2 + b2 + c2

点 Pからこの平面に下した垂線上の点は p = (x1, y1, z1) + t(nx, ny, nz)と表すことができる.この点が平

面上にあることより,a(x1 + tnx) + b(y1 + tny) + c(z1 + tnz) + d = 0

これより

t = −ax1 + by1 + cz1 + d

anx + bny + cnz= −ax1 + by1 + cz1 + d√

a2 + b2 + c2

|t|が求める距離となるので,上記から

|ax1 + by1 + cz1 + d|√a2 + b2 + c2

29


2.9.3 方向余弦

空間内に互いに直交する単位ベクトルの組 u1, u2, u3 を考える.これを通常正規直交系と言う.このとき,大

きさ 1のベクトル aに対して,((a, u1), (a, u2), (a, u3))

を考え, これを正規直交系 u1, u2, u3 に対するベクトル a の方向余弦と呼ぶ慣わしがある. これはベクトル a

の基底 u1, u2, u3 の成分表示となっているので,a の方向を表わすことになり, また各成分は (a, ui) = cos θi

( θi は a, ui の成す角度) と表わされているので, 余弦の漢字を付加するのである. 最近ではベクトルは最

初から数の組をもって a = (a1, a2, a3) で定義されるようになった. これは標準基底 e1, e2, e3(正規直交系の

一つ) に対する成分表示そのものである. ベクトルの導入としてはいたしかたないのかもしれない. この場

合,((a, e1), (a, e2), (a, e3)) はベクトル a と他ならない. さらに正規直交系も標準基底に限定することが多く

なった.このような事情からか教科書から方向余弦の言葉を見付けることが困難となってきた.

2.9.4 消去法の原理の応用

例 2.25 3点 (xi, yi), (i = 1, 2, 3)が同一直線上にある必要十分条件は以下である.∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

直線の方程式は (a, b) = (0, 0) としたとき,ax + by + c = 0 と表わすことができる. この直線上に 3 点

(xi, yi), (i = 1, 2, 3)があるとすると以下が成立していることになる.

ax1 + by1 + c = 0ax2 + by2 + c = 0ax3 + by3 + c = 0

これを行列を用いて書くと x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

abc

= 0

a

b

c

= 0であるので,消去法の原理より,

∣∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 が従う.

例 2.26 平面内の相異なる 2点 (xi, yi), (i = 1, 2)をとおる直線の方程式は以下である.∣∣∣∣∣∣x y 1x1 y1 1x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

左辺の (x, y)に (xi, yi), (i = 1, 2)を代入すると,行列式の性質から左辺の値は 0となる.

また,この左辺を 1行について展開してみると,

30


∣∣∣∣ y1 1y2 1

∣∣∣∣ x −∣∣∣∣ x1 1

x2 1

∣∣∣∣ y +∣∣∣∣ x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣ = 0

(x1, y1) = (x2, y2)より, (

∣∣∣∣∣ y1 1

y2 1

∣∣∣∣∣ ,−

∣∣∣∣∣ x1 1

x2 1

∣∣∣∣∣) = 0であるので,これは直線の方程式である.

例 2.27 4点 (xi, yi, zi), (i = 1, 2, 3, 4)が同一直線上にある必要十分条件は以下である.∣∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1x4 y4 z4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

消去法の原理から容易である (前例と同様である).

例 2.28 空間内の 3点 (xi, yi, zi), (i = 1, 2, 3)が一直線上にあるための必要十分条件は∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣y1 z1 1y2 z2 1y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣x1 z1 1x2 z2 1x3 z3 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

空間内の 3点 (xi, yi, zi), (i = 1, 2, 3)が一直線上にあれば,その点を x−y平面に射影した 3点 (xi, yi), (i =

1, 2, 3)は x − y 平面において同一直線上にある.平面における考察より,∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

が従う.これと同様にして,y − z 平面と x − z 平面を考えれば,上記の条件が 2つ追加されることになる.これ

で必要性を確かめることができた.

十分性は以下のように考える.条件が成立していると,任意の α, β, γ に対して,以下が成立する.これは第 1

行について展開してみればよい. ∣∣∣∣∣∣∣∣α β γ 0x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

転置行列を考えることにより,以下が従う.∣∣∣∣∣∣∣∣α x1 x2 x3

β y1 y2 y3

γ z1 z2 z3

0 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

これよりベクトルの一次従属性が従う.

ある k0, k1, k2, k3 が同時には 0ではなく,

31


k0

αβγ0

+ k1

x1

y1

z1

1

+ k2

x2

y2

z2

1

+ k3

x3

y3

z3

1

= 0

第 4成分より,k1 + k2 + k3 = 0が従う.これより以下の関係が成立していることがわかる.

k0

αβγ

+ k1

x1 − x3

y1 − y3

z1 − z3

+ k2

x2 − x3

y2 − y3

z2 − z3

= 0

さらに α, β, γ は任意であるので,k0 = 0が従う.これより,

k1

x1 − x3

y1 − y3

z1 − z3

+ k2

x2 − x3

y2 − y3

z2 − z3

= 0

以上より,3点 (xi, yi, zi), (i = 1, 2, 3)が一直線上にあることがわかる.

例 2.29 空間上の同一直線にない 3点 (xi, yi, zi), (i = 1, 2, 3)をとおる平面の方程式は以下である.∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

(x, y, z) = (xi, yi, zi), (i = 1, 2, 3) を左辺に代入してみると,行列式の性質より左辺は 0 となり上記の関係

式を満している.

左辺の行列式の 1行目について展開すると,以下が得られる.∣∣∣∣∣∣y1 z1 1y2 z2 1y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣ x −

∣∣∣∣∣∣x1 z1 1x2 z2 1x3 z3 1

∣∣∣∣∣∣ y +

∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣ z +

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣ = 0

前例から (

∣∣∣∣∣∣∣∣y1 z1 1

y2 z2 1

y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣∣∣x1 z1 1

x2 z2 1

x3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

∣∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣) = 0 より, この展開式は平面の方程式をあらわ

すことがわかる.

3 一般のベクトルの基礎 2


定義 3.1 ベクトル a, b ∈ Rn の内積 (a, b)を以下で定義する.

(a, b) =n∑

i=1

aibi

32


また,||a|| =√

(a, a)をベクトル aの大きさという.

定義 3.2 (a, b) = 0のとき,ベクトル a, bは直交しているという.¶ ³内積の性質

u, v, w ∈ Rn, k ∈ Rに対して以下が成立する.

(1) (u, u) = 0 ⇔ u = 0

(2) (u, v) = (v,u)

(3) (ku, v) = k(u, v), (u, kv) = k(u, v),

(4) (u, v + w) = (u, v) + (u,w), (u + v,w) = (u, w) + (v, w)µ ´以下のピタゴラスの定理,コーシーシュワルツの不等式,三角不等式は平面の証明と全く同じく証明できる.


u, v ∈ Rn に対して,(u, v) = 0であれば,

||u||2 + ||v||2 = ||u + v||2

命題 3.4 コーシーシュワルツの不等式 u,v ∈ Rn に対して,

|(u, v)| ≤ ||u||||v||


命題 3.5 三角不等式 u, v ∈ Rn に対して,

||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

等号成立は u, v が同一方向を表わすベクトルとなるときである.¶ ³内積に関係した行列の性質

u, v ∈ Rn に対して,以下が成立している.

(1) (Au, v) = (u, tAv)

(2) Aが対称行列のとき,(Au, v) = (u, Av).

(3) T が直交行列のとき,(Tu, Tv) = (u, v).µ ´定義 3.6 Gramian

n 次元実ベクトル空間にベクトル a1, a2, · · · , am ∈ Rn がある. ただし,0 ≤ m ≤ n とする . 行列

Am = (a1, a2, · · · , am)と行列 Gm = ((ai, aj)) (0 ≤ i, j ≤ m) を考える.ここで Gm はグラムの行列と呼ば

れている.Gm の行列式 detGm をグラムの行列式 (Gramian)と呼んでいる.

33


すでに平面と空間において,この行列式が面積,体積の概念に密接に関係していることを指摘しておいた.実

は,これを利用して一般次元の体積要素を定義するのであるが,ここでは以下の性質のみをあげておく.

命題 3.7 (1) Gm = tAmAm である.

(2) Gm は半正定値対称行列である.

(3) a1, a2, · · · , am が一次独立であることと det Gm > 0は同値である.

3.2 正規直交系

標準ベクトル e1, e2, e3, · · · , ep ∈ Rn(1 ≤ p ≤ n)は特徴のある以下の性質を満たす.

(ei, ej) = δij


定義 3.8 u1, u2, u3, · · · , up ∈ Rn が

(ui, uj) = δij

を満足するとき {u1, u2, · · · , up}はRn の正規直交系という.


問題 33 {u1, u2, u3, · · · , up} が Rn の正規直交系であるとき,{u1, u2,u3, · · · , up} は一次独立であることを示せ.

定理 3.9 一次独立なベクトル v1,v2, v3, · · · , vp ∈ Rn(1 ≤ p ≤ n) があるとき,S(v1,v2,v3, · · · , vp) =

S(u1, u2, u3, · · · , up)をみたす正規直交系 {u1, u2, u3, · · · , up}を具体的に求めることができる.

これは,部分空間の基底を正規直交系の基底に置き換えることができることを主張している. 空間におけるグ

ラムシュミットの方法と同様の手続きで証明できる.

定義 3.10 S ⊂ Rn を部分空間とする,集合 S⊥ を

S⊥ = {u : (u,v) = 0, ∀v ∈ S}

で定義し,S の直交補空間という,

問題 34 S ⊂ Rn を部分空間とするとき,S ⊕ S⊥ = Rn を示せ,

定理 3.11 T = (u1, u2, u3, · · · ,un)であるとき,T が直交行列であることと, {u1, u2, u3, · · · , un}がRn の

正規直交系であることは同値である.

34


¶ ³直交分解

{u1, u2, · · · ,un} ⊂ Rn が正規直交系を成しているとする. u ∈ Rn に対して以下が成立している.

u = (u,u1)u1 + (u, u2)u2 + · · · + (u, un)un

||u||2 = (u, u1)2 + (u, u2)2 + · · · + (u, un)2

正規直交系によるベクトルの成分を方向余弦ということがある.µ ´問題 35 以上を示せ.

3.3 固有値と固有ベクトル

この節では n行 n列の行列を考える.

定理 3.12 行列 A に対して,x ∈ Rn が固有値 λ の固有ベクトルであるとき, |A − λI| = 0 が成立する.

|A − λI| = 0を Aの固有方程式という.

証明 Au = λuより (A−λI)u = 0と変形できる.ところで,u = 0であるので,消去法の原理より |A−λI| = 0

が従う. ¤

|A − λI| = 0は n次多項式あるので, 代数学の基本定理から C にすべての根がある.

定義 3.13 Aの固有値を λとする.λを固有値とする固有ベクトル全体を E(λ)と書き,固有空間という.

少くともひとつの固有ベクトルはあるはずであるので,dimE(λ) ≥ 1

定義 3.14 n行 n列の行列 A = (aij)に対して, TrAを TrA =n∑

i=1

aii で定義し,行列 Aのトレースという.

命題 3.15 行列 Aと正則行列行列 P があるとき, Aと P−1AP の固有値方程式は同一である.

命題 3.16 行列 Aと正則行列行列 P があるとき, Aと P−1AP の固有値は同じである. さらに,Aの固有値を

λ1, λ2, · · · , λn と置くと以下が従う.

|A| =n∏

i=1

λi, TrA =n∑

i=1

λi

命題 3.17 行列の三角化

Aに対して,ある正則行列 P を用いて Q = P−1AP を対角成分が Aの固有値である上三角行列にできる.

命題 3.18 ケーリー・ハミルトンの定理

Aに対して,|A − λI| = λn + an−1λn−1 + · · · + a1λ

1 + a0 とおくと,以下の等式が成立する.

35


An + an−1An−1 + · · · + a1A

1 + a0I = O

命題 3.19 行列 Aの相異なる固有値を λ1, · · · , λs とする.それぞれの固有値の固有ベクトルを u1, · · · , us と

すると,u1, · · · , us は一次独立である.

この命題を固有空間の言葉で述べたものが以下である.

命題 3.20 行列 Aの相異なる固有値を λ1, · · · , λs とする.

i = j のとき,E(λi) ∩ E(λj) = {0}


定理 3.21 対称行列の固有値は実数であり,固有ベクトルもRn に求めることができる.

証明固有方程式 |A − λI| = 0は λについての n次方程式であるので,一般に固有値は複素数であり,固有ベ

クトルの成分も複素数である.そこで,複素数ベクトルについての内積をここで使用する.

u1, u2, · · · , un, v1, v2, · · · , vn ∈ C として, u = t(u1, u2, · · · , un), v = t(v1, v2, · · · , vn) に対して,

< u, v >=n∑

i=1

uivi

を考える.これをエルミート内積という. 対称行列を Aとすると

< Au,v >=< u, Av >

が成立していることが確かめられる. 今,Aの固有値を λ ∈ C 固有ベクトルを x ∈ Cn とする. Ax = λxであ

るので u = x, v = xとして上式に代入すると,

< λx, x >=< x, λx >

右辺は < λx, x >= λ < x, x > であり,左辺は < x, λx >= λ < x, x >となる.固有ベクトル故 x = 0であ

るので, < x, x >= 0であるから, λ = λが従い,これより,λ ∈ Rである.

これで,λが実数であるので,連立方程式 (A− λI)u = 0 は実係数の連立方程式となる.これより,u ∈ Rn と

求めることができる. ¤

定理 3.22 対称行列 Aは直交行列 T で対角化できる.

証明 Aを n行 n列の行列とし,nについて帰納法で証明する.n = 2のときは平面のところで証明済みである.

そこで,n − 1について成立しているとする.

A の固有値は実数であったので, これを α としておき, その固有ベクトルの大きさを 1 としたものを u と

しておく. このとき, Au = αu が成立している. つぎに,{u,u1, u2, · · · , un−1} が正規直交系となるようにu1, u2, · · · , un−1 を選んでおく. {u, u1, u2, · · · , un−1}が正規直交系であるので,以下が成立する.

36


Au1 = (Au1, u)u + (Au1,u1)u1 + (Au1, u2)u2 + · · · + (Au1, un−1)un−1

Au2 = (Au2, u)u + (Au2,u1)u1 + (Au2, u2)u2 + · · · + (Au2, un−1)un−1

...Aun−1 = (Aun−1, u)u + (Aun−1, u1)u1 + (Aun−1, u2)u2 + · · · + (Aun−1,un−1)un−1

ここで,Aが対称行列で Au = αuなので,(Au1, u) = (Au2, u) = · · · = (Aun−1, u) = 0が成立しているこ

とに注意すれば,以下が得られる.

Au1 = (Au1, u1)u1 + (Au1,u2)u2 + · · · + (Au1, un−1)un−1

Au2 = (Au2, u1)u1 + (Au2,u2)u2 + · · · + (Au2, un−1)un−1

...Aun−1 = (Aun−1, u1)u1 + (Aun−1, u2)u2 + · · · + (Aun−1,un−1)un−1

上記の式を考慮し,P = (u, u1, u2, · · · , un−1)とおくと以下が得られる.

AP = (u,u1,u2, · · · , un−1)

α 0 0 · · · 00 (Au1,u1) (Au2,u1) · · · (Aun−1,u1)...

......

. . ....

0 (Au1, un−1) (Au2, un−1) · · · (Aun−1, un−1)

ここで, B =

(Au1, u1) (Au2,u1) · · · (Aun−1, u1)

(Au1, u2) (Au2,u2) · · · (Aun−1, u2)...

.... . .

...

(Au1, un−1) (Au2, un−1) · · · (Aun−1, un−1)

は対称行列である. すでに平面で確

認したように, (n − 1)行 (n − 1)列の対称行列は帰納法の仮定から (n − 1)行 (n − 1)列のの直交行列で対角

化できる. そこで, B の固有値を λ1, λ2, · · · , λn−1 とし,直交行列を以下のようにおく.

S =

s12 s12 · · · s1n−1

s22 s22 · · · s2n−1

......

. . ....

sn−12 sn−12 · · · sn−1n−1

このとき, S−1BS =

λ1 0 · · · 0

0 λ2 · · · 0

0 0. . . 0

0 0 · · · λn−1

とできる.

最後に, T = P

(1 0

0 S

)と置くと,

T−1AT =

α 0 · · · 00 λ1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn−1

が従うのである. T が直交行列であることを確かめるのは, P, S が直交行列であることを思いだせば容易であ

るので省略する. ¤

37



u =

u1

u2

...

un

に対して,対称行列 A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

を用いて表現された式 (Au, u) を２次

形式という.

前節で, 対称行列 A は直交行列 T で対角化できる. tTAT =

λ1 0 · · · 0

0 λ2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · λn

, ここで

λ1, λ2, · · · , λn は Aの固有値 (実数値)である.tTT = T tT = I に注意し,v = tTuとおくと, 以下が得られる.

(Au,u) = λ1v21 + λ2v

22 + λ3v

23 + · · · + λnv2

n

この右辺を 2次形式 (Au, u) の標準形という.


命題 3.23 行列の対角化

n行 n列の行列 Aの相異なる固有値を λ1, · · · , λs とし以下が成立しているとする.

Rn = E(λ1) ⊕ E(λ2) ⊕ · · · ⊕ E(λs)

dimE(λi) = mi とし,その基底を u1i , · · · , umi

i (i = 1, 2, · · · , s)とする.このとき,仮定からs∑

i=1

mi = nで

ある. P = (u11, · · · , um1

1 , · · · , u1s, · · · , ums

s ) と置くと P−1AP = Dである.ここで,D = (dij)は対角行列で,

その対角成分は以下となる.

dii =

λ1 (i = 1, · · · ,m1)λ2 (i = m1 + 1, · · · , m1 + m2)...λs (i = n − ms + 1, · · · , n)

定理 3.24 n × n行列 Aは,基底の変換を行なうことにより,

J =

J1

. . .Js

とできる. なお,成分が書いていないところはすべて 0である,

Ji は ki × ki の行列で以下の形をしている.

38


Ji =

λi 1

. . . . . .. . . 1

λi

または Ji = (λi)である

なお,成分が書いていないところはすべて 0である,

ここで n =s∑

i=1

ki を満している.

このように得られた J を Aの Jordan標準形という.

3.6.1 Jordan 系列

基底変換の正則行列を U と置く.

U = (u11, · · · , uk1

1 , u12, · · · , uk2

2 , · · · , u1s, · · · , uks

s )

定理が成立していれば

AU = UJ

となる.これより,i = 1, 2, · · · , sに対して以下が従う.

Au1i = λiu

1i

Au2i = λiu

2i + u1

i

...Auki

i = λiukii + uki−1

i

が従う.以上の関係を満足する {u1i , u

2i , · · · , uki

i }を固有値 λi に対する Jordan系列の一つであるという.

U は正則行列であるので,{u11, · · · , uk1

1 , u12, · · · , uk2

2 , · · · , u1s, · · · , uks

s } は一次独立である. 逆に

{u11, · · · , uk1

1 , u12, · · · , uk2

2 , · · · , u1s, · · · , uks

s } がいくつかの Jordan 系列として求まり, すべてが一次独

立であれば,Aは Jordan標準形になおせることとなる.

定理 3.25 Aの固有値 λに対して,自然数 k が存在して,

Nk = O,Nk−1 = O

であるとする.ここで,N = A − λI である.

Nk−1v = 0であるベクトル v を一つ選ぶと,

v1 = Nk−1v, v2 = Nk−2v, · · · , vk−1 = Nv, vk = v

と置くとき次が成立する

39


(1) v1, v2, · · · , vk−1, vk 一次独立である.

(2) Nv1 = 0, Nv2 = v1, · · · , Nvk = vk−1

(2)を Aで書き直すと

Av1 = λv1, Av2 = λv2 + v1, · · · , Avk = λvk + vk−1

となり,v1, v2, · · · , vk が Jordan系列となっていることに注意する.

3.6.2 Jordan標準形の定理の証明

以下の方法は Filippovによるものである.ストラング「線形代数とその応用」の記述を参照した.

行列のサイズ nについての帰納法で示す. 2 × 2の行列の Jordan標準形については平面のとことで示した.

帰納法の仮定として,r × r (r ≤ n − 1) の行列が Jordan標準形にできることを仮定する.

簡単の為に 0を固有値としてもつ場合,すなわち KerA = {0}として一般性を失わない.なぜなら,一般に固

有値 µ = 0をもつ場合は以下の議論における Aを A − µI とおきかえて証明すれば良いからである.

以下が成立していたことを思い出そう.

dim ImA + dimKerA = n

これにより,dim ImA = r,dimKerA = n − r と置くことができる.

今 N = ImA ∩ KerA,dimN = pと置く.ImA ∩ (KerA\N) = {0}であるので,

ImA ∪ KerA = ImA ⊕ (KerA\N)

ImA ∪ KerAの補空間を S と置くと, Cn は

Cn = ImA ⊕ (KerA\N) ⊕ S

と直和分解することができるが,次元の関係より dimS = pとなる.

S の構成法¶ ³まず u ∈ N とすると,u ∈ ImA ∩ KerAであるので,まず Au = 0である.また,w が存在して,u = Aw

と表わされるので, これを繰り返すとことにより, ある自然数 k が存在して,u = Akv, Ak+1v = 0

となる v /∈ ImA ∪ KerA が存在することになる. この様にして N の基底をなす個々のベクトル

ui ∈ N(i = 1, 2, · · · , p)に対して,vi(i = 1, 2, · · · , p)がひとつ求まるが,この vi ∈ N(i = 1, 2, · · · p)が

生成する部分空間を S とする.µ ´¶ ³上記のように構成した S は以下を満している.

Cn = ImA ⊕ (KerA\N) ⊕ Sµ ´これを示すためには

S ∩ ImA = S ∩ (KerA\N) = {0},dim S = p

40


を確認すればよいが,構成のしかたから S ∩ ImA = S ∩ (KerA\N) = {0}は明らかである.

従って {v1, v2, · · ·vp}が一次独立であることを示せばよい.p∑

i=1

λivi = 0 とする. 一般性を失なうことなく 1 ≤ k1 ≤ k2 ≤ · · · ≤ kp としてよい. そこで一次結合の

両辺に Akp を作用させると,p∑

i=1

λiAkpvi = 0 である. 今 km−1 < km = km+1 = · · · = kp であるとする

と,i = 1, 2, · · · ,m − 1 に対して, ki + 1 ≤ kp であるから,Akpvi = 0 となり, また i = m, · · · , p に対して,

Akpvi = uiに注意すれば,p∑

i=m

λiui = 0である. uiはN の基底であったので,これより λi = 0 (i = m, · · · p)

が従うので,等式m−1∑i=1

λivi = 0が成立していることになる.

この式に,Akm−1 を作用させることにより,さらにいくつかの λi が 0となる.以下これを繰り返すことによ

り,最終的に λi = 0 (i = 1, · · · p)が従う.よって,dim S = pが証明できたことになる.

帰納法の仮定を用いる.

dim ImA = r とおいたが,dimKerA ≥ 1であるので,r ≤ n − 1である.V = ImAとおくと,AV ⊂ V である

ので,線形写像 A : V → V を考えることができ,Aはベクトル空間 V の変換として r × r の行列で表現されて

いることになる.従って,帰納法の仮定を用いることができ,A : V → V に対して一次独立な Jordan系列が存

在していて,V の基底となっていることになる. S は構成の仕方からその元は固有値 0の Jordan 系列の最後の

元になっている.従って,S は Jordan系列の一部で書けている.また,(KerA\N)の元は固有値 0の固有ベクト

ルになり,これに続く Jordan系列はないので,いわばサイズ 1の Jordan系列となる.このようにして,Cn の

元はすべて Jordan系列の元で書けていることになり,これで証明が終ったことになるのである.

3.6.3 具体計算の効率化のために

以下,固有値 λに対する Jordan系列の元のすべてから生成される部分空間を P (λ)と書く.これは通常は一

般固有空間とよばれることが多い.

Jordan標準形の J の形から

det(tI − J) =s∏

i=1

det(tI − Ji) =s∏

i=1

(t − λi)ki

また U−1AU = J であったので,det(tI − J) = det(tI − A)

が成立している.Ji の Jordan 系列の元の個数は A の固有値 λi の重複度 ki になっている. これより次が

従う.

定理 3.26 行列 Aの固有値 λの重複度を r とするとき,つぎが成立する.

dimP (λ) = r

これを意識して用いると,Jordan標準形を効率的に求めることができる. 固有値の重複度分の Jordan系列の

元が求まれば,この固有値に対する Jordan系列の元はもはやないと判断できる.また,Jordan系列の元を求め

ていけば,その一次独立性も保証されながら求まることになるので,このやり方で目標数を r とすればよい.

41


定理 3.27 行列 Aの相異なるを固有値 λ1, λ2, · · · , λs とするとき,つぎが成立する.

i = j =⇒ P (λi) ∩ P (λj) = {0}

注意 3.28 固有空間の場合とほぼ同様に示すことができる. これにより,相異なる固有値の Jordan系列の間

の一次独立性のチェックが必要ないことがわかる.

3.6.4 実際の Jordan系列の求め方

定理の証明から Jordan系列構成法のアルゴリズムが読みとれる.

まず固有値を求める.そのために固有方程式 |A − λI| = 0を解く.

次に固有値 λ に対して,Ker(A − λI) を求める. これは固有空間 E(λ) を求めていることと同じである.

N = Im(A− λI) ∩Ker(A− λI) と置く. N = {0}のときはこれで終了であるが, N = {0}のときは,N の基

底を求めることに進むことになる.

u ∈ N に対し u ∈ Im(A− λI)であるので,u = (A− λI)v となる v が存在する. さらに u ∈ Ker(A− λI)

であるので,(A− λI)2v = 0となる v をまず求める必要がある.これをまず求めておいて,u = (A− λI)v とし

たものが N の元となるので,このようにして N の基底を求めることができる.

N = (A − λI)(Ker(A − λI)2)

N の各基底 u(= w1) に対しては固有ベクトルに続く Jordan 系列がある. そこで, (A − λI)w2 = w1

となる w2 を求める. しかし, これはすでに上で求めた v であるので, 再度計算する必要はない. さらに

w2 ∈ Im(A − λI)であれば,(A − λI)w3 = w2 となる w3 を求める.これが繰り返せるだけ実行する.いつか

wk /∈ Im(A − λI)となりこのアルゴリズムは終了する.このとき得られた w1, w2, · · · , wk がサイズ k(≥ 2)

の Jordan系列である. また,固有値 λの重複度分の個数の Jordan系列が求まった時点で終了させてよいこと

がわかっているので,これを意識しながら計算する.

これを全ての固有値に対しておこなえばよいこととなるが,他の固有値から得られる Jordan系列間の一次

独立性は保証されているから,最後にこれらを形式的に並べることにより,変換の行列が得られることになる.

参考文献

[1] 線型代数学佐武一郎裳華房

[2] 線型代数入門斎藤正彦東京大学出版会

[3] 線形数学 I,II 入江昭二共立出版

[4] 線型代数学入門福井他内田老鶴圃

[5] 線形代数とその応用 G.ストラング産業図書

[6] 線形代数学増補版寺田文行サイエンス社

[7] 線形代数概説内田伏一浦川肇裳華房

[8] 入門線形代数三宅敏恒培風館

[9] 2次行列の世界岩堀長慶岩波書店

[10] 線型代数長谷川皓司日本評論社

[11] 線形代数佐武一郎共立出版

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