Carte di controllo per attributi - UniBG · Carta di controllo per numero di unit`a non conformi -...

Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi

Carte di controllo per attributi

Il controllo per variabili non sempre e effettuabile

• misurazioni troppo difficili o costose

• troppe variabili che definiscono qualita di un prodotto

• le caratteristiche dei prodotti non sono misurabili

In questi casi si utilizza il controllo per attributi che si basa sulla formula-

zione di un giudizio qualitativo sulle unita prodotte che vengono classificate

in conformi oppure non conformi.

Ilia Negri 1


Carta di controllo per frazione di unita non conformi - Carta p

Dato un campione di numerosita n sia d il numero di unita risultate difet-

tose. Se 0 < p < 1 e il livello di difettosita del processo produttivo e se

indichiamo con D la v.c. che conta il numero di difetti in un campione di

numerosita n abbiamo

P (D = d) =(nd

)pd(1− p)n−d, d = 0,1, . . . , n

La frazione di non conformi e definita da p = Dn ed e distribuita approssi-

mativamente come una gaussiana

p ∼ N

(p,

p(1− p)

n

)Se non si conosce p si estraggono m campioni di numerosita n si calcola

per ogni campione la pi = din e quindi si stima p con

p =

∑mi=1 di

mn=

∑mi=1 pi

m

Ilia Negri 2


I limiti di controllo per la carta 3-sigma e per la carta di probabilita sono

rispettivamente

UCL = p + 3

√p(1− p)

nCL = p

LCL = p− 3

√p(1− p)

n

UCL = p + z1−α/2

√p(1− p)

nCL = p

LCL = p− z1−α/2

√p(1− p)

n

Se LCL risulta negativo si pone uguale a zero. Le carte di controllo per la

frazione di difettosi tengono sotto controllo sia la media che la variabilita

del processo produttivo.

Ilia Negri 3


Esempio: (Montgomery). Consideriamo i dati relativi alla produzione di

contenitori per succo d’arancia che vengono prodotti a partire da fogli di

cartone grezzo. Si ispezionano le confezioni finali per controllare che non

perdano liquido. Vi sono m = 30 campioni di n = 50 unita ciascuno. Sulla

base di questo primo campionamento si stimano i limiti di una carta di

controllo 3-sigma. I valori centrale, UCL e LCL sono riportati nel grafico

alla pagina seguente.

Si notano un valore centrale piuttosto elevato (oltre il 20% di pezzi di-

fettosi) e due punti fuori controllo (il 15-esimo e il 23-esimo campione).

Individuato il motivo si tolgono questi due campioni e si ricalcolano i limiti

di controllo per la carta.

Si noti che nel secondo calcolo vi e ancora un punto fuori controllo. Non

avendo trovato nessuna causa apparente del motivo si lascia il punto tra

i campioni. Resta il fatto che la percentuale di pezzi difettosi e troppo

elevata e occorre apportare qualche modifica al processo produttivo.

Ilia Negri 4


Carta p per D[Trial]

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

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●

●

0.1

0.2

0.3

0.4

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

LCL

UCL

●

●

Number of groups = 30Center = 0.2313333StdDev = 0.421685

LCL = 0.05242755UCL = 0.4102391

Number beyond limits = 2Number violating runs = 0

Ilia Negri 5


Carta p senza i punti fuori controllo

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

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●

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●

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●

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●

●

●

●

●

●

●

●

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

LCL

UCL●


LCL = 0.04070284UCL = 0.3892972


Ilia Negri 6


La carta porta a concludere che il processo e sotto controllo con una media

p = 0.215 di frazione di pezzi difettosi. Una percentuale decisamente

alta. Dopo alcuni accorgimenti volti a migliorare il processo di produzione

sono raccolti altri 24 campioni sempre di numerosita 50 e i risultati sono

rappresentati nel grafico seguente.

Si nota un vistoso abbassamento della frazione di difettosi. La carta se-

gnala un punto fuori controllo in basso (non genera preoccupazione) e un

campione che viola il numero di sequenze tutte dalla stessa parte.

A questo punto un test per la verifica dell’uguaglianza delle due proporzioni

nel primo gruppo di 30 campioni e nel secondo di 24 dovrebbe confermare

il cambiamento avvenuto.

Se il test conferma l’ipotesi che la proporzione di non conformi e diminuita

si procede a ricalcolare i nuovi livelli della carta p. (Il test e richiamato in

fondo alla lezione)

Ilia Negri 7


p Chartfor D.trial[−out] and D[!trial]

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

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●

●

●

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

1 3 5 7 9 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50

LCL

UCL●

●

●

Calibration data in D.trial[−out] New data in D[!trial]


LCL = 0.04070284UCL = 0.3892972


Ilia Negri 8


Carta p per D[!Trial]

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s●

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●

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●

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●

●

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●

●

●

●

●

●

●

●

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19 21 23

LCL

UCL


LCL = 0UCL = 0.2440207


Ilia Negri 9


Scelta di n nelle carte di controllo per frazione di non conformi

Dopo aver stimato p con un controllo del 100% della produzione se p

e molto piccolo allora n deve essere molto grande per poter osservarealmeno un difetto. Infatti se p = 0.01 e n = 8 abbiamo che UCL =p + 3

√p(1− p)/n = 0.1155. Se si dovesse osservare una non conformita si

avrebbe p = 1/8 = 0.1250 e quindi il punto cadrebbe oltre UCL e il processosarebbe considerato fuori controllo. Per evitare cio si puo ricorrere a dueprocedure.

Possiamo scegliere n affinche la probabilita di osservare una non conformitasia almeno superiore ad un livello γ fissato P(D ≥ 1) ≥ γ. Dall’approssima-zione della Binomiale con la Poisson

P(D = k) =(nk

)pk(1− p)n−k ∼ e−npnpk

k!,

ricaviamo

n ≥− log(1− γ)

p

Da cui per γ = 0.95 e p = 0.01 ricaviamo n ≥ 300.

Ilia Negri 10


Un altro approccio consiste nello scegliere n in modo che la carta si accorgadi un cambiamento di specificata entita. Ad esempio se vogliamo che siasegnalato un punto come fuori controllo quando la frazione di non conformie pari a p1 > p allora deve essere

p + 3

√p(1− p)

n≤ p1

ponendo δ = p1 − p ricaviamo

n ≥9p(1− p)

δ2

Se, a titolo d’esempio, vogliamo determinare uno scostamento da p = 0.01a p1 = 0.05 abbiamo, δ = 0.04 e ricaviamo n ≥ 56.

A volte ci si vuole anche garantire di avere un LCL positivo in modo daandare a ispezionare quei casi di frazione di non conformi molto bassi. Intal caso deve essere scelto n in modo che

p− 3

√p(1− p)

n≥ 0 da cui n ≥ 9

1− p

p

Ad esempio per p = 0.01 ricaviamo n ≥ 891, per p = 0.05, n ≥ 171

Ilia Negri 11


Carta di controllo per numero di unita non conformi - Carta np

Invece che costruire la carta per la frazione di non conformi p possiamo

costruire direttamente la carta per il numero di non conformita. I limiti

della carta 3-sigma e di probabilita, rispettivamente, sono i seguenti

UCL = np + 3√

np(1− p)

CL = np

LCL = np + 3√

np(1− p)

UCL = np + z1−α/2

√np(1− p)

CL = np

LCL = np− z1−α/2

√np(1− p)

Non conoscendo p si provvedera a stimarlo.

Ilia Negri 12


Dimensione campionaria variabile

Capita spesso che la dimensione campionaria sia diversa. In questo caso 3sono gli approcci che si possono seguire. Il primo consiste nel considerarele linee della carta variabili (poco consigliato). Il secondo consiste nelcostruire la carta basandosi sul valore medio di n calcolato come segue

n =1

m

m∑i=1

ni

e utilizzando come stima di p la seguente

p =

∑mi=1 di∑mi=1 ni

I limiti di controllo per la carta 3-sigma sono

UCL = p + 3

√p(1− p)

nCL = p

LCL = p− 3

√p(1− p)

n

Ilia Negri 13


Il terzo metodo consiste nell’utilizzare i valori standardizzati. Per ogni

campione si calcolano i valori

zi =pi − p√p(1−p)

ni

, i = 1,2, . . . , m

dove pi e la frazione di non conformi nel gruppo i-esimo e a p dobbiamo

sostituire una sua stima. La carta ha come linea centrale zero, mentre

come UCL e LCL rispettivamente 3 e −3.

Ilia Negri 14


Curva operativa caratteristica

La curva OC descrive la probabilita di accettare erroneamente un puntocome sotto controllo quando invece non lo e, in funzione dello scosta-mento dal valore fissato p0. Si tratta quindi di calcolare la probabilita dicommettere un errore di secondo tipo (β) al variare di p

β(p) = P (p < UCL|p)− P (p < LCL|p)= P (D < nUCL|p)− P (D < nLCL|p)

dove D segue la distribuzione Binomiale con parametri n e p.

Fissati i limiti UCL e LCL avremo una curva per ogni numerosita campiona-ria n. Ad esempio per la carta con limiti LCL=0 e UCL=0.2440 dobbiamocalcolare

β(p) = P (D < 50·0.2440|p)−P (D < 50·0|p) = P (D < 12.2|p) = P (D ≤ 12|p)

Mentre per la carta con limiti LCL=0.0407 e UCL=0.3893 dobbiamocalcolare

β(p) = P (D < 19|p)− P (D ≤ 2|p)

Ilia Negri 15


Riportiamo il grafico per la carta di pagina 9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Curva Caratteristica n == 50

p

β(p)

Ilia Negri 16


Riportiamo il grafico per la carta di pagina 8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Curva Caratteristica n == 50

p

β(p)

Ilia Negri 17


Dalla curva OC ricaviamo, se il processo e sotto controllo, con valore della

CL p = 0.215, β(p) = 0.9971 da cui α = 0.0029 e

ARL0 =1

0.0029= 339.38

Per cui si avra un segnale di falso allarme in media ogni 339 campioni.

Se invece il valore di riferimento si sposta a p = 0.3 abbiamo β = 0.9152 e

ARL =1

1− β=

1

1− 0.9152= 11.79

Per cui dovremo aspettare in media 12 campioni prima di avere un segnale

di fuori controllo.

Se il valore si sposta a p = 0.4 abbiamo β = 0.4465 e

ARL =1

1− β=

1

1− 0.4465= 1.807.


di fuori controllo.

Ilia Negri 18


Carte di controllo per numero di non conformita per unita - Carta c

Si e interessati al numero totale di difetti per unita prodotta (ad esempioil numero di falle in un tessuto).

L’ipotesi su cui si basa la costruzione di tali carte e che la v.c. che descriveil numero di difetti abbia la distribuzione di Poisson con parametro c cherappresenta il numero medio di difetti nell’unita di misura prefissata.

P (X = x) =cx

x!e−c, x = 0,1,2, . . .

La carta di controllo con limiti 3-sigma sfrutta l’approssimazione della Pois-son alla Gaussiana N(c, c). Questa approssimazione vale se c = np nel casoin cui cresce n e contemporaneamente diminuisce p mantenendo costanteil prodotto np. I limiti della carta sono dunque i seguenti

UCL = c + 3√

c

CL = c

LCL = c− 3√

c

dove c =∑

ci/m, essendo ci il numero di difetti nell’unita i.

Ilia Negri 19


Esempio: (Montgomery). Si considerano il numero di non conformita

riscontrate su 26 campioni costituiti da 100 circuiti stampati. La stima di

c e data da c = 51626 = 19.85. I limiti della carta sono rappresentati nella

figura seguente.

c Chartfor x[trial]

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

●

●

●

●

●

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●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

510

1520

2530

3540

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

LCL

UCL

●

●


LCL = 6.481447UCL = 33.21086


Ilia Negri 20


Si osservano due punti fuori controllo, le unita 6 e 20. Individuate le cause

si tolgono i punti e si ricalcolano i limiti di controllo della carta. La nuova

carta e rappresentata di seguito. La stima di c e data da c = 47224 = 19.67

c Chartfor x[inc]

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

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●

●

●

●

●

●

●

●

1015

2025

30

1 2 3 4 5 7 8 9 11 13 15 17 19 22 24 26

LCL

UCL


LCL = 6.362532UCL = 32.9708


Ilia Negri 21


Carte di controllo per frazione di non conformita per unita - Carta u

Si basa sul calcolo del numero medio di non conformita per unita di rife-

rimento. Se vengono rilevate c difformita in n unita di riferimento avremo

che il numero medio di tali difformita per unita di riferimento e

u =c

n

I limiti della carta sono i seguenti

UCL = u + 3

√u

n

CL = u

LCL = u− 3

√u

n

dove u =∑

uim e ui = ci

n e il numero medio di non coformita per unita.

Ilia Negri 22


Esempio: (Montgomery). Si considerano il numero di non conformita

registrate sull’unita di riferimento posta pari a 5 computer. I dati forniscono

una stima u = 1.93. Il grafico seguente mostra la carta.

u Chartfor x

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

01

23

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20

LCL

UCL


LCL = 0.06613305UCL = 3.793867


Ilia Negri 23


Curva operativa caratteristica - Carta c

In questo caso si deve calcolare l’errore di seconda specie β al variare di c.

Indicata con X la v.c. di Poisson che conta il numero di difetti per unita

prodotta

β(c) = P (X < UCL|c)− P (X < LCL|c)

Ad esempio per la carta a pagina 21 con limiti LCL= 6.36 e UCL=32.97

dobbiamo calcolare

β(c) = P (X < 32.97|c)− P (X < 6.36|c) = β(c) = P (X ≤ 32|c)− P (X ≤ 6|c)

Al variare di c.

Ilia Negri 24


0 10 20 30 40 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Curva Caratteristica

c

β(p)

Ilia Negri 25


Dalla curva OC ricaviamo, se il processo e sotto controllo, con valore della

CL c = 19.67, β(c) = 0.9960 da cui α = 0.0040 e

ARL0 =1

0.0040= 247.23

Per cui si avra un segnale di falso allarme in media ogni 247 campioni.

Se invece il valore di riferimento si sposta a c = 24 abbiamo β = 0.9532 e

ARL =1

1− β=

1

1− 0.9532= 21.41


di fuori controllo.

Se il valore si sposta a c = 32 abbiamo β = 0.54.68 e

ARL =1

1− β=

1

1− 0.54.68= 2.21.


di fuori controllo.

Ilia Negri 26


Verifica di ipotesi per il confronto di due proporzioni

Abbiamo due campioni casuali X1, . . . , Xn1 e Y1, . . . , Yn2 provenienti da po-

polazioni Bernoulliane rispettivamente di parametro p1 e p2.

Vogliamo verificare l’ipotesi nulla

H0 : p1 = p2

contro una delle consuete alternative:

HA : p1 6= p2

per un test a due code, oppure

HA : p1 > p2

o

HA : p1 < p2

per un test ad una coda

Ilia Negri 27


Denotiamo con

p1 =

∑Xi

n1p2 =

∑Yi

n1

e introduciamo

p =

∑Xi +

∑Yi

n1 + n2

Vale che, sotto l’ipotesi nulla, cioe p1 = p2 ovvero p1 − p2 = 0,

Z =p1 − p2√

p(1− p)(

1n1

+ 1n2

) ∼ N(0,1)

Denotati con k1 e con k2 il numero di successi rispettivamente nel primo

e nel secondo campione e le proporzioni di successi osservati con lo stesso

simbolo p1 = k1n1

e p2 = k2n2

, le regole per decidere se accettare l’ipotesi nulla

sono riassunte nella tabella seguente

Ilia Negri 28


Test per il confronto tra proporzioni

Se p1 = k1n1

e p2 = k2n2

sono le proporzioni di successo su due campioni di

ampiezza n1 ed n2 rispettivamente, si puo costruire un test Z per testare

l’ipotesi nulla H0 : p1 = p2 contro le usuali alternative come segue. Si

calcola il valore della statistica

z =p1 − p2√

p(1− p)(

1n1

+ 1n2

)con p = k1+k2

n1+n2. Il test di livello α corrisponde alle seguenti regole di

decisione

quando HA : p1 6= p2, Rifiutare H0 se |z| > z1−α2

quando HA : p1 > p2, Rifiutare H0 se z > z1−α

quando HA : p1 < p2, Rifiutare H0 se z < zα

Ilia Negri 29

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