Carta de Smith

Chris Zelley, Nanotech Semiconductor, Bristol, UK ([email protected])

Traductora: Pilar Molina Gaud (E-mail: [email protected])

60 IEEE microwave magazine 1527-3442/07/$25.002007 IEEE Junio 2007

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Chris Zelley

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mundo crea que la Tierra era plana Durante una serie de aos he venido usando una extensin de la carta de Smith convencional para ayudarme a comprender problemas de RF, tales como el diseo de osciladores y la estabilizacin de amplificadores, en los que aparecen impedancias negativas. El concepto me ha permitido profundizar en problemas relativos a impedancias y ha resultado ser una til ayuda adicional.

Recientemente, en el

transcurso de una discusin con otros ingenieros durante una cena, se me ocurri mencionar mis ideas. stas fueron bien recibidas y desde entonces he sido persuadido para publicar mi extensin a la carta de Smith. Llegados a este punto, este artculo es mi intencin de explicar, lo ms simplemente posible, las ideas detrs de mi herramienta conceptual basada en la bien conocida carta de Smith.

La gran ventaja de la carta de Smith es que sta es en esencia una calculadora grfica.

Junio 2007 IEEE microwave magazine 61

Figura 1. La carta de Smith de impedancias convencional (imagen cortesa de RF caf 2002).Esto permite hallar soluciones de adaptacin (o acoplamiento) de impedancias simplemente dibujando en la carta, en lugar de tener que realizar complejos clculos. Esto hace que los clculos de impedancias sean accesibles a todos los ingenieros a todos los niveles y les ayuda a desarrollar un sexto sentido acerca de buenas redes candidatas para adaptar. De hecho, cuando un ingeniero se ha familiarizado con la carta de Smith y tiene una fotografa clara de sta en su mente, resulta posible visualizar soluciones de adaptacin a priori mentalmente.

La extensin de la carta de Smith descrita en este artculo implica el moverse de una carta circular en un plano bidimensional (2-D) (como por ejemplo un grfico sobre un papel o una pantalla) a una carta tridimensional en la superficie de una esfera. Esta formulacin de la carta de Smith puede, por supuesto, ser expresada matemticamente usando las transformaciones de coordenadas apropiadas y sus correspondientes coordenadas 3-D, no obstante ese trabajo sobrepasa las intenciones de este artculo.

Algunas supuestas cartas de Smith 3-D estn disponibles. Sin embargo, stas son en esencia, unas

cartas 2-D con los datos de los contornos de medida transferidos a una altura en la tercera dimensin. Segn el conocimiento del autor, este es el primer trabajo de una verdadera versin 3-D de la carta de Smith. Esta implementacin se basa en el uso de una esfera y un sistema de coordenadas esfricas.

Este artculo supone que el lector est familiarizado de forma bsica con la carta de Smith. No intenta ser un tutorial acerca de sta. Para ello, el lector es referido a alguno de los muchos libros sobre lneas de transmisin y teora de adaptacin en RF. Por ejemplo, [1] y [2]. Este artculo ha sido intencionadamente escrito de forma llana, libre de intimidantes ecuaciones matemticas. Los orgenes de la carta de Smith La carta de Smith fue ideada y desarrollada por Philip H. Smith. Est disponible una biografa en [3]. Smith trabaj para los Laboratorios Telefnicos Bell (Bell Telephone Laboratorios) en Nueva Jersey. Durante su carrera de ingeniero de lneas de transmisin, Smith public dos artculos clave, [4] y [5], que describen su trabajo. La bien conocida carta de Smith aparece en la Figura 1.


Originalmente, la carta de Smith era una herramienta de diseo en papel. Se podan comprar bloques o cuadernos de papel preimpreso con ella. El ingeniero de diseo poda realizar sus ejercicios de adaptacin de impedancias con un lpiz, una regla y un comps. Ms recientemente, las actividades de RF se han convertido casi nicamente en una cuestin de computadores. Sofisticadas herramientas de diseo asistido por ordenador (CAD, por sus siglas en ingls) han permitido incrementar significativamente la complejidad de los problemas que pueden ser afrontados y el tiempo de diseo reducido. Sin embargo, el extendido uso de las

Figura 2. Ejemplo de crculo de estabilidad grande.

Figura 3. Plano de impedancias.

herramientas de CAD no ha reducido para nada el uso de cartas de Smith. Los paquetes de software de diseo permiten que los resultados se muestren en grficos con este formato. De la misma manera, los analizadores de redes ms modernos tambin permiten visualizar resultados grficamente en una carta de Smith. Limitaciones Existen muchas caractersticas atractivas asociadas al uso de la carta de Smith. Entre ellas est su simplicidad, su facilidad de uso debido a que convierte problemas matemticos en un problema grfico y la posibilidad de que todas las impedancias con parte real positiva se puedan representar en un solo trozo de papel. Sin embargo, existe una limitacin importante de la carta de Smith convencional, relacionada con la forma en la que se maneja la mitad real negativa del dominio de impedancias. En el proceso de conversin de coordenadas que posiciona todo el dominio de resistencias positivas en un circulo manejable (la carta de Smith), la parte real negativa se expande. Esto hace que dibujar impedancias con una parte real negativa sea problemtico. Adicionalmente, el punto de -50 se convierte en un crculo con radio igual a infinito. Por lo tanto, el uso de impedancias negativas en la carta de Smith puede resultar incmodo. Un ejemplo de esto ocurre cuando se investigan crculos de estabilidad para el diseo y estabilizacin de una etapa amplificadora de RF. El centro y el radio de estos crculos de estabilidad pueden llegar a hacer que los crculos sean extremadamente grandes comparados con el tamao de la carta. Un ejemplo de esto se puede ver en la Figura 2. Los programas de diseo asistido por ordenador que automticamente

Figura 4. Transformacin del plano de impedancia con parte real positiva en un crculo tal y como hace Smith.

Este artculo supone que el lector est familiarizado de forma bsica con la carta de Smith.


Figura 5. Cartas tangentes que cubren el plano de impedancias entero (imagen cortesa de RF Caf 2002) escalan el tamao de la carta reduciran el rango del dominio de parte real positiva a slo unos pocos pxeles. Alternativamente, el centro del crculo de estabilidad y su circunferencia se dibujaran fuera de la parte visible de la carta de Smith.

Otras reas del diseo de RF/microondas requieren el manejo de resistencias negativas, como es el caso del diseo de osciladores, as como el diseo de filtros activos de microondas. En el diseo de osciladores, un dispositivo activo es intencionadamente inestabilizado mediante el uso de algn tipo de realimentacin serie o paralelo. La resistencia negativa resultante se conecta a un circuito tanque o a un circuito resonante. En el diseo de filtros activos, se crea una resistencia negativa para tratar de compensar las resistencias parsitas de los componentes L y C. En ambos casos, una comprensin grfica de cmo las transformaciones de impedancia y la carga afectaran a las impedancias negativas vistas podra resultar muy til.

He descubierto que visualizar la carta de Smith como una esfera 3-D en lugar de un crculo en dos dimensiones me ha permitido una mejor percepcin de los problemas de adaptacin siempre que intervienen impedancias negativas. En la siguiente seccin se presenta un mtodo para, convenientemente, incorporar la mitad correspondiente a la parte real negativa del dominio de impedancias en un formato de carta de Smith extendida.

Debe notarse que, a lo largo de este artculo, se considera una carta de Smith de impedancia 50. Aunque no va a mostrarse, es tambin posible producir una carta de Smith esfrica de admitancias o una carta hbrida impedancia/admitancia para cualquier valor de impedancia caracterstica. Extensin propuesta a la carta de Smith La impedancia compleja Z = R + jX se dibuja en el plano x-y en la Figura 3. En este diagrama, las letras se usan para indicar varios puntos de impedancia. A = - + 0j , B = 50 + 0j , C = 0 + 0j , D = 50 + 0j y E = + 0j. Tambin F = 0 j , G = 0 50j , H = 0 + 50j , y J = 0 + j .

Figura 6. Transformacin del plano entero en dos crculos tangentes.


Adicionalmente, la lnea vertical discontinua se traza para R = 50 , y la lnea horizontal se dibuja para X = 50 . Se puede ver que en la parte izquierda del plano x-y, R es mejor que cero (por lo tanto una R negativa) y que la mirad derecha del plano x-y representa una resistencia positiva.

La carta de Smith surge llevando a cabo una transformacin del plano de impedancias para producir la Figura 4. El detalle de la transformacin de coordenadas usada aparece en [1]. Se puede ver que en la Figura 4 los puntos E, F y J coinciden con la parte derecha del crculo. El punto C, representando el origen, con cero resistencia y cero reactancia, aparece en la parte izquierda del crculo. As mismo, los puntos G y H, representando una capacidad de 50j y una inductancia de +50j respectivamente, ahora quedan transformados a sendos puntos en la parte baja y alta del crculo. La parte real positiva del plano de impedancias (R > 0) est dentro del crculo formado por el permetro de la carta de Smith y el semiplano de parte real negativa (R < 0) queda fuera del crculo.

Las lneas discontinuas que en la Figura 3 representaban una lnea de resistencia constante y de reactancia constante, tambin se reflejan en la Figura 4.

Figura 7. Plano de impedancias tras su transformacin a una superficie esfrica.

Desgraciadamente, durante esta transformacin de coordenadas, la parte real negativa del dominio se expande. Esto hace que trabajar con resistencias negativas sea incmodo.

Una posible solucin para contener el semiplano de resistencia negativa dentro de un tamao manejable podra ser el crear dos cartas de Smith tangentes la una a la otra [6], con una de ellas cubriendo la parte real positiva y la otra la parte negativa. Las dos cartas juntas permiten al ingeniero visualizar de forma fcil todo el dominio de las impedancias de un solo vistazo. Un ejemplo de esto se muestra en la Figura 5.

Las cartas de Smith tangentes se producen al llevar a cabo dos transformaciones de coordenadas diferentes, una para el lado derecho del plano de impedancias, tal y como hizo Smith y otra para el semiplano de la izquierda, el de las resistencias negativas.

Si nos fijamos en la Figura 3, puede verse que los puntos F, G, H y J estn en el eje y que forma la frontera entre las dos mitades del plano de impedancias. Por lo tanto, debido a la doble transformacin para generar las dos cartas de Smith, estos puntos aparecen por partida doble. En el caso del punto G por ejemplo, se crean los puntos G y G en la Figura 6. La desventaja de esta aproximacin es que aparece una discontinuidad entre las dos cartas en el eje de las mismas. Por ejemplo, los puntos de +50j se dibujan en el eje externo de ambas cartas simultneamente pero con un espacio en blanco entre ambas.

Una posible solucin al problema anterior sera el visualizar las cartas no tangencialmente la una a la otra sino de espaldas. Por ejemplo, pegadas cada una a un lado de una raqueta de tenis de mesa (ping-pong) De nuevo, tampoco existe una transicin suave de un lado al otro. Al contrario, el ingeniero de diseo se vera obligado a continuamente girar la raqueta de un lado al otro.

Formato esfrico expandido de la carta de Smith Para formar la carta de Smith esfrica incluyendo el dominio entero de impedancias, el que se puede ver en la Figura 3, es necesario envolver con ste la superficie de una esfera. Esto se muestra en la Figura 7. Los puntos etiquetados en la Figura 3 tambin se muestran en la superficie de la esfera. Se puede ver que el origen (punto C) de la Figura 3, ahora aparece en la parte izquierda de la esfera. Su coordenada normalizada (x,y,z) sera (1, 0, 0). (Ntese que al original de la Figura 3 se le ha dado un offset de x = 1 por conveniencia). Los puntos A, E, F, y J, que eran donde los ejes x e y se hacan infinito positivo y negativo, coinciden ahora todos

Desde hace varios aos utilizo una extensin de la carta de Smith convencional para ayudarme a entender problemas de RF en los que intervienen impedancias negativas, tales como el diseo de osciladores y la estabilizacin de amplificadores.


en el punto (1, 0, 0). Los puntos B y D, que representan 50 y +50, estn ahora en las posiciones (0, 1, 0) y (0, 1, 0), respectivamente.

En esta nueva formulacin de la carta de Smith, las impedancias cero e infinito ocurren en el eje x. Visualizar la esfera desde la direccin de z positiva, nos dara una visin similar a la de la carta convencional. Por supuesto la forma de los crculos quedara algo distorsionada debido a la naturaleza curva de la superficie de la esfera. Se puede ver que con el plano de impedancias proyectado sobre la superficie de una esfera, el dominio entero est contenido en un rea manejable y las transiciones de resistencias positivas a negativas pueden hacerse de forma continua.

La superficie del hemisferio donde z > 0 contiene todos los valores de impedancia con una parte real positiva, y el hemisferio correspondiente a z < 0 contiene todos los valores donde existe un trmino de resistencia negativa. De la misma forma, el hemisferio de y > 0 contiene todas las impedancias inductivas y el hemisferio de y > 0 contiene todas las impedancias capacitivas. Slo los puntos en la superficie de la esfera tienen significado, los puntos interiores no lo tienen.

Ahora que la carta de Smith esfrica ya ha sido construida, podemos considerar diversas representaciones del dominio de las impedancias, de la misma forma que se hace en la carta de Smith 2-D.

En primer lugar, se pueden representar lneas de resistencia y reactancia constante. Estas lneas forman una serie de crculos entrecruzados que empiezan y termina en el punto (1, 0, 0). As, por

ejemplo, las lneas para +50, +50j, 50 y 50j todas empiezan en el punto AEFJ (polo norte), luego van barriendo lneas hasta los puntos D, H, B, y G (en el ecuador), antes de volver otra vez al principio. Representar estas lneas para otros valores de resistencia y reactancia daran las lneas sobre la esfera que la haran parecer similar a la carta 2-D. Esto se muestra en la Figura 8. La Figura 8(a) ilustra la carta de Smith esfrica tal y como se vera desde le polo sur (Z = 0), mientras que la Figura 8(b) muestra la vista de la esfera desde el polo norte (Z = ).

Tambin se pueden considerar las lneas de Q (factor de calidad) constante que pueden representarse en la carta de Smith estndar. Estas forman una serie de arcos que se extienden desde la impedancia cero a la impedancia infinita. Cuando el Q es cero (una resistencia ideal), el arco es una lnea recta entre cero e infinito, y cuando Q es infinito (una L ideal o una C ideal) el arco sigue el permetro de la carta de Smith. En la carta esfrica, las lneas de Q constante ahora forman lneas de longitud (meridianos) desde el polo norte en Z= infinito hasta el polo sur en Z = 0. Esto se muestra en la Figura 9. El crculo de Q constante que existe en el plano x-z tiene un valor de 0, mientras que el crculo que existe en el plano x-y tiene un valor de infinito. El uso de la carta de Smith esfrica permite

La extensin de la carta de Smith implica pasar de una carta circular en un plano 2-D a una carta 3-D en

la superficie de una esfera.

Figura 8. Carta de Smith esfrica con lneas de resistencia constante y reactancia constante. (a) Visto desde el polo sur. (b) Perspectiva desde el polo norte.


lneas de Q fcilmente utilizables incluso con resistencia negativa.

En la Figura 9 se han aadido lneas de latitud. Estas se han construido dibujado lneas de |Z| constante. El ecuador por ejemplo, es la lnea de |Z| = 50. Visualizar la esfera con Q como lneas de longitud y |Z| como lneas de latitud es equivalente a ver la carta de Smith en coordenadas polares, en lugar de cartesianas, dnde mag(Z) = raiz(R2 + X2) y fase(Z) = arctan(X/R) = arctan(Q).

La carta de Smith tambin es til para trabajar con coeficientes de reflexin. El coeficiente de reflexin se representa generalmente en la carta de Smith

C

D

G

HAEFJ

B

x

yz

C

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HAEFJ

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Figura 9. Carta de Smith esfrica con lneas de Q constante (continuas) y de |Z| constante (discontinuas).

C

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Figura 10. Carta de Smith esfrica con lneas de || constante (discontinuas) y de fase de reflexin constante (continuas).

para varios valores de | | constante. Estos forman una serie de crculos concntricos centrados en la impedancia caracterstica de la lnea de transmisin (50 en nuestro caso). Estos empiezan con un radio de cero en el centro de la carta y van aumentando de tamao hasta que un coeficiente de reflexin de la unidad se representa justo en el permetro de la carta. Se pueden dibujar tambin coeficientes de reflexin con | | > 1. Esto representa una situacin donde la onda reflejada es mayor que la incidente. Esta ganancia de reflexin es consecuencia de la existencia de una resistencia negativa. La Figura 10 muestra lneas de | | constante y lneas de fase() constante. El polo norte est en 50 con un coeficiente de reflexin de cero (lnea de transmisin perfectamente adaptada) y el polo sur est en 50 , donde el coeficiente de reflexin es infinito. El ecuador representa un | | = 1.

Considerando los coeficientes de reflexin, se ve cmo los polos norte y sur se han desplazado 90 comparndolo con el caso de las impedancias.

Representacin grfica y diseo asistido por ordenador (CAD) La naturaleza bidimensional de la carta de Smith se ajusta muy bien para representarla en un papel o una pantalla de ordenador. No se puede decir lo mismo en el caso de la versin tridimensional. Representar la carta esfrica y trazar las lneas y los contornos sobre ella presenta algunas dificultades prcticas.

Una posibilidad podra ser fabricar una pelota impresa. Sera similar a un baln de ftbol de plstico pero con las lneas de resistencia y reactancia en lugar de los hexgonos habituales. Un ejemplo de esto se ve en la Figura 8. Desde hace aos tengo esto sobre mi mesa como herramienta de diseo y ayuda grfica. (Uno de mis colegas anteriores lo bautiz como la esfera Zelley y se diverta tirndomela cuando entraba a mi oficina.) Quizs, en la tarima de cualquier aula universitaria destinada a clase de microondas podra mostrarse la mencionada pelota de forma similar a un globo terrqueo usado en geografa! Desde luego representar los resultados de simulacin y los contornos sobre una pelota sera costoso. Adems, el dibujar las lneas de forma manual sera demasiado lento con respecto a la rpida generacin de resultados de un proceso automatizado.

Una alternativa podra ser el uso de un paquete de software de diseo 3-D. Esto le dara al diseador la libertad de girar la carta de Smith esfrica usando el ratn o el teclado. Podra darse la facilidad al diseador de escoger, bien una carta de

Hay muchas ventajas asociadas al uso de la carta de Smith.


impedancias, bien de admitancias (o hbrida) con lneas de Q constante, o bien con lneas de coeficiente de reflexin constante impresas sobre la esfera. sta podra ser opaca o incluso semitransparente. Quizs mltiples proyecciones 2-D de la superficie de la esfera satisfaceran convenientemente el compromiso trabajando con un ordenador.

Conclusiones En este artculo se presenta y se ha discutido acerca de una limitacin de la carta de Smith convencional en 2-D. Se propone una extensin de la carta de Smith como un intento de solucionar estas limitaciones. La extensin implica transformar el plano 2-D de impedancias a tres dimensiones y representarlas sobre la superficie de una esfera. Este artculo pretende ser el primero que presenta esta formulacin para la carta de Smith.

Se han considerado un nmero de representaciones diferentes de la carta esfrica de Smith. Entre ellas, el uso de lneas de resistencia constante, reactancia constante, impedancia o coeficientes de reflexin. Finalmente se ha discutido el asunto de su representacin grfica en tres dimensiones.

Ha de quedar claro que muchas de las ideas aqu presentadas no han sido desarrolladas matemticamente de forma rigurosa, as que, es posible que pueda haber algunas inconsistencias en la carta de Smith esfrica. Sin embargo, el concepto bsico y las ideas presentadas han sido consideradas por el autor como suficientemente interesantes para garantizar su publicacin.

Confo que la carta de Smith tridimensional discutida en este artculo sea de utilidad a la comunidad de diseadores en RF y microondas, bien como soporte grfico, bien como herramienta de diseo. Al menos espero que este artculo proporcione a los lectores un hilo de discusin interesante.

Agradecimientos El autor desea reconocer con gratitud la ayuda y las sugerencias de Steve Cripps y Gord Rabjohn y agradecerles su estmulo para escribir este artculo.

Referencias [1] C.W. Davidson, Transmission Lines for Communications.

Londres: McMillon, 1989. [2] D.M. Pozar, Microwave Engineering. Nueva York: Wiley, 1998. [3] R. Rhea, Phillip H. Smith: A Brief Biography. Nueva York:

Noble, 1995. [4] P.H. Smith, Transmission-line calculator, Electronics, vol. 12,

n 1, pp. 29-31, 1939. [5] P. H. Smith, An improved transmission-line calculator,

Electronics, vol. 17, n 1 pp. 130, 1944. [6] H. F. Lenzing y C. D.Elio, Transmission line parameters

with negative conductance loads and the negative Smith chart, Proc. IEEE, vol. 51, n 3, pp. 481-482, Marzo 1963.

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