CapItulo1-CursoSemestre2015-1

7/26/2019 CapItulo1-CursoSemestre2015-1

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LECCIONES DELCURSO DE MODELACIN

MATEMTICA Y COMPUTACIONALPOSGRADOS DECIENCIAS DE LA TIERRA

Y DECIENCIA E INGENIERA DE LA

COMPUTACIN

UNAMAUTOR:

ISMAEL HERRERA REVILLA1


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Basado en el Libro

Mathematical Modeling in

Science and Engineering:An Axiomatic Approach

PorIsmael Herrera y George F. Pinder

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3

John Wiley

2012


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CAPTULO 1

FORMULACIN AXIOMTICA DE

LOS MODELOS BSICOS

4


5/65

SECCIN 1

DEL

CAPTULO 1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

5


6/65

FSICA MICROSCPICA

Y

FSICA MACROSCPICA

6


7/65

CINEMTICA DE LOS

SISTEMAS CONTINUOS

7


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CARACTERSTICAS DE LOS SISTEMAS MONOFSICOS:

Los sistemas continuos de una fase, satisfacen lasiguiente hiptesis: "En cada punto del espacio fsico hay

una y slo una partcula material"Un cuerpo m

aterial es un conjunto de partculas que en

cada instante ocupa un dominio en el sentido matemtico

del espacio fsico. Adems, en cada dominio del espaco fsicohay un cuerpo material

Los cuerpos ma

teriales llenan completamente

el espacio que ocupanEl conjunto de partculas materiales que forman uncuerpo se denota por y el dominio del espacio fsico que

l ocupa en el tiempo , por Bt t

B


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NOTACIN: Sistemas de Referencia

Los puntos del espacio fsico se denotarn por medio de suvector de posicin. Para ellos se reserva la notacin

Una forma de identificar a lx

as partculas materiales es por

medio de la posicin que ocupan en algn tiempo, llamadotiempo de referencia. A menos que se diga otra cosa, el tiempode referencia ser t = 0. As, las partculas se denotarn por medio

del vector , el cual corresponde al vector de posicin del puntodel espacio fsico que ellla ocupaba en el tiempo t = 0El conjunto de partculas materiales que forman un

cuerpo s

e denota por y el dominio del espacio fsico quel ocupa en el tiempo , por B . As, con las convenciones queya hemos adoptados, se tiene:

B 0

t t

B

B


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10


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LA FUNCIN DE POSICIN

11


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12

Cuando un cuerpo est en movimiento cada una de sus partculas

describe su propia trayectoria. Es decir, su posicin es funcindel tiempo. Dada la partcula , escribiremos , para el

vector de la

p t

posicin que ella ocupa en el espacio fsico, en el

tiempo . Con la notacin que hemos adoptado es claro que elpunto del espacio fsico est ocupado por la partcula , en el

tiempo , si y slo

t

x

t

1

si,

, (ver Fig.1.1)En sentido opuesto, la partcula se encuentra en el punto del

espacio fsico, en el tiempo , si y slo si,

,

x p t ----

x

t

p x t ----

1

(ver Fig.1.2)

Aqu, es la funcin inversa de . Adems :

,0

p p

p


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13


14/65

14

PROPIEDADES DE LOS CUERPOS:

PROPIEDADES EXTENSIVAS


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15

Una nocin bsica es el concepto de

para las cuales usaremos la notacin : , . Note

que esta notacin implica que el valor de dependedel cuerpo y del tiempo

'propiedad extensiva'

E t

E

B

B

. La condicin para que

una funcin , constituya una

es que se pueda expresar como una integralcon respecto al volumen sobre el espacio fsico ocupado

por el cuerpo. La expres

t

E t propiedad

extensiva

B

in matemtica de esta condicin es :

, ,

Aqu, el integrando , es alguna funcin (integrable).

B tE t x t d x

x t

B


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16

PROPIEDADES DE LAS PARTCULASMATERIALES:

PROPIEDADES INTENSIVAS


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17

DEFINICIN

Toda funcin , de las partculas

materiales y del tiempo constituye una.

t

propiedad intensiva


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18

Considere una , y un punto del espacio fsico.

Si en el punto hay una partcula material , entonces se satisface= ,

Esta ecuacin es equvale

propiedad intensiva t x

xx p t

1

1

nte a

= ,

y el valor de la propiedad intensiva en el punto de espacio fsico es

, , . Definimos la de propiedad intensiva

conisdereda po

p x t

x

p x t t representacin Eulereana

1r :

, , ,

En conclusin : La

permite calcular el valor de esa propiedad en cada punto del espacio fsico.

Por

x t p x t t

'representacin Eulereana de una propiedad intensiva'

otra parte, a la funcin , se le llamar

y obervamos que ella permite calcular el valor de esa

propiedad en cada partcula del medio continuo.

t 'representacin Lagrangeana

de la propiedad intensiva'


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REPRESENTACIONES

LAGRANGEANA Y EULEREANA

19

Consideraremos dos formas de especificar las

, en una se especifica el valor de la propiedad en

cada partcula , para cada tiempo , y en la otra el valor dela propiedad en la p

propiedades

intensivas

t

artcula que ocupa la posicin , en el

tiempo . En el primer caso, se usar la notacin , y

, en el segundo.

Esto da lugar a dos representaciones de las

: a la funcin

x

t t

x t

propiedades

intensivas

, se le llamay a la funcin , .

Consideraremos slo para las que su

es integrable.

t representacin

agrangeana x t representacin Eulereana

propiedades intensivas

representacin Eulereana


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20

A toda funcin , definida en el espacio y

en el tiempo le corresponde una y slo una

, , definida por

x t

propiedad intensiva t

DOS FORMAS DE DEFINIR A LAS PROPIEDADES INTENSIVAS

, , ,

COROLARIO

Las propiedades extensivas pueden definirse

univocamente tanto por medio de su representacin

Lagrangeana como por su representacin Eulereana.

t p t t


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VELOCIDAD DE LAS PARTCULAS

21


22/65

22

DEFINICIN

, ,

La velocidad es una propiedad intensiva (vectorial).

Esta definicin proporciona su representacinLagrangeana. Su representa

p V t t

t

1

cin Eulereana es :

, , ,OBSERVE LA NOTACIN

x t V p x t t

v


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23

LA DERIVADA CON RESPECTO AL

TIEMPO

DE PROPIEDADES INTENSIVAS.

LA DERIVADA MATERIAL


24/65

24

La (es decir, la derivada con respecto al tiempo)

del valor de una en una partcula , cuando se usala es:

rapidez de cambio

propiedad intensiva

representacin Lagrangeana

t

,

Cuando se usa la , dicha

est dada por la ' ', que se define por :

+

Con mayor precisin, cuando la

t

representacin Eulereana rapidez de cambio

derivada material

D

Dt t

deriva

v

, se evala en ,

se obtiene la de la propiedad intesiva en la partculamaterial que se encuentra en la posicin , en el tiempo . Note que

Dda material x t

Dt

rapidez de cambio

x t

Dx

t

, , + ,t x t x t

t

v


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EJERCICIO 1

25

1 2 3

Demostrar la identidad :

, , + , ,

Aqu :

,

Adems

, , , , , ,

t x t x t x t t t

x p t

x t x t x t x tx x x

v


26/65

ACELERACIN DE LAS PARTCULAS MATERIALES:

REPRESENTACIONES LAGRANGEANA Y EULEREANA

26

2

2

La aceleracin de las partculas se define por :

, ,

Su representacin Eulereana es

, , ,

pA t t

t

Da x t x t x t Dt t

v v

v v


27/65

EJERCICIO 2

27

2

Demostrar la identidad :

, , + , ,

Cuando

,Adems

1, , + , , ,2

A t x t x t x tt

x p t

a x t x t x t x t x t t

v v v

vv v v


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28

CORRESPONDENCIA ENTRE

PROPIEDADES

INTENSIVAS Y EXTENSIVAS


29/65

29

, ,B t

E t x t d x

A TODA PROPIEDAD EXTENSIVA LE CORRESPONDE UNA

INTENSIVA, CUYA ES

EL INTEGRANDO DE SU EXPRESIN INTEGRAL. ADEMS,

ESTA CORRESPONDENCIA ES BIUNVO

REPRESENTACIN EULEREANA

B

CA.


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30

La ecuacin : , ,

establece una correspondencia entre propiedadesextensivas e intensivas. Adems, esa correspondencia es

biunvoca y la ecuacin

lim li,

0

B t

f f

E t x t d x

E

E tx t

V V

B

,m

0

nos dice que la asociada es la propiedad

extensiva por unidad de volumen del espacio fsico

B t

f f

x t d x

V V

propiedad intensiva


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SECCIN 2

DEL

CAPTULO 1

ECUACIONES DE BALANCE

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BALANCES ECONMICOS

32

Por qu cambia la existencia

de automviles en nuestro pas?

E P I


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BALANCE DE UNA PROPIEDAD EXTENSIVA

33

Por qu cambia el valor de una propiedad

extensiva de un cuerpo?

valor de la propiedad extensiva

produccin en el interior del cuerpo por u

dEP Idt

E

P

nidad de tiempoimportacin por la frontera por unidad de tiempoI


34/65

EXPRESIN DEL BALANCE

EN TRMINOS DE LA PROPIEDAD EXTENSIVA

34

,

,

,

, ,

B t

B t

B t

B t B t

E x t dx

P g x t dx

I q x t dx

dEt g x t dx q x t dx

dt


35/65

OTRA EXPRESIN PARA EL FLUJO

POR LA FRONTERA

35

El flujo por la frontera , , siempre se puedeexpresar en la forma

, , ,(ste es un resultado matemtico). Por Teorma de Gauss :

,B t B t B t

q x t

q x t = x t n x t

q x t dx ndx dx


36/65

OTRA EXPRESIN PARA

LA ECUACN DE BALANCE

36

B tdE

t g dxdt


37/65

UN RESULTADO FUNDAMENTAL:

EXPRESIN DEL BALANCE ENTRMINOS DE LA PROPIEDAD INTENSIVA

37


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38

EL RESULTADO FUNDAMENTAL

La ecuacin

, ,

se satisface para todo cuerpo (y todo

tiempo ) si y slo si, la ecuacin diferencial

se satisface en cada punto del es

B t B t


dtB t

t

gt

v

pacio fsico(y todo tiempo )t


39/65

DEMOSTRACIN DEL

RESULTADO FUNDAMENTAL

39


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OTRO RESULTADO MATEMTICO

40

Cuando

,

Entonces,

B t

B t

E t x t d x

dEt d x

dt t

v


41/65

41

Luego :

Esta ecuacin se satisface para todo cuerpo,si y slo si,

B t B t

d x g dx

t

gt

v

v

RECAPITULANDO


42/65

RECAPITULANDO:

ECUACIONES DE BALANCE EXPRESADAS EN

TRMINOS DE PROPIEDADES INTENSIVAS

42

La "

" es :

ecuacin de balance en trminos

de la propiedad intensiva

gt

v


43/65

EJEMPLO: FORMULACIN DERESTRICCIONES EN EL

MOVIMIENTO

43


44/65

PRIMER EJEMPLO

MOVIMIENTOS QUE CONSERVAN

EL VOLUMEN DE LOS CUERPOS

44


45/65

PRIMER CASO

UN FLUIDO LIBRE

45


46/65

46

El volumen de un cuerpo de fluido libre estdado por

1

Por lo mismo es una propiedad extensivala propiedad intensiva asociada es :

, 1

fB t

V t dx

x t


47/65

LA ECUACIN DE BALANCE PARA EL VOLUMEN

47

, ,

Donde .

La conservacin del volumen da :

0

Luego

, 0 , 0

B t B t

f

f


dt

E V

dV t

dt

g x t y q x t

ECUACIN DE BALANCE EXPRESADA EN


48/65

ECUACIN DE BALANCE EXPRESADA EN

TRMINOS DE LA PROPIEDAD INTENSIVA ES

48

Para el volumen 1, 0 :

1 1 0

Es la condicin de incompresibilidadpara un fluido libre

gt

g

t

v

v v


49/65

49

El volumen de un cuerpo de fluido libre estdado por

1Por lo mismo es una propiedad extensiva y

la propiedad intensiva asociada es :, 1

Adems, en este caso : g ,

fB tV t dx

x t

x

0 y , 0. Yla ecuacin de balance se reduce a

0

t x t

v


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SEGUNDO CASO

UN FLUIDO EN UN MEDIO POROSO

50


51/65

51

PARA FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS


52/65

PARA FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

(SATURADOS)

52

En este caso, el volumen del fluido es

,

La propiedad intensiva asociada es :

, ,En este caso : g , 0 y , 0. Y

la ecuacin de balance se reduce a

fB t

V t x t dx

x t x t

x t x t

0t

v


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SECCIN 3

DELCAPTULO 1

MODELO GENERAL DE LOS

SISTEMAS CONTINUOS

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54/65

54

EL MODELO GENERALDE LOS

SISTEMAS MULTIFSICOS

DE LA

FSICA MACROSCPICA

ALCANCES


55/65

ALCANCES

El modelo general de los sistemas de la Fsica

Macroscpica que se presenta a continuacin,abarca tanto sistemas de una fase -con una ovarias componentes- como sistemas de variasfasesen cada una de las cuales puede habertambin ms de una componente

55


56/65

QU SON LAS FASES?

56

QU SON LAS COMPONENTES?


57/65

QU SON LAS FASES?

Cada fase se mueve con supropia velocidad

57


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QU SON LAS COMPONENTES?

Las componentes son lassustancias disueltas. Cada

componente se mueve con lavelocidad de la fase en que est

disuelta

58


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CARACTERSTICAS DE LOS SISTEMAS MULTIFSICOS

Los modelos continuos multifsicos, satisfacen lasiguiente hiptesis: "En cada punto del espacio fsico, hay

tantas partculas materiales como fases tiene

el sistema"Un cuerpo material es un conjunto de partculas que en

cada instante ocupa un dominio en el sentido matemtico

del espacio fsico. En cada dominio del espaco fsico haytantos cuerpos mat

eriales como fases tiene el sistema (uncuerpo de cada fase)

Se usar la notacin para el cuerpo de la fase elcual, en el tiempo , ocupa el dominio B del espacio fsico;

1,..., nmero de f

t t

M

B

ases

FORMA DE DEFINIR LOS MODELOS


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60

1

:;

,..., : ;N

Cada sistema multifsico est definido por

Una familia de fases M nmero de fases

Una familia de propiedades extensivas E E

Cada una de las propiedades extensivas est asociada

a un

;

a y slo una fase y

Cada fase se mueve con su propia velocidad

FORMA DE DEFINIR LOS MODELOSDE LA

FSICA MACROSCPICA

EL MODELO BSICO DE LA


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61

FSICA MACROSCPICAEl modelo matemtico bsicodel sistema est

constituido por el sistema de ecuacionesdiferenciales parciales que se obtiene al aplicar

la ecuacin general de balance, expresada entrminos de la propiedad intensiva asociada, a

cada uno de los miembros de la familia depropiedades extensivas

ECUACIONES DE BALANCE PARA UNA


62/65

ECUACIONES DE BALANCE PARA UNA

PROPIEDAD INTENSIVA (RECORDATORIO)

62

gt

v


63/65

63

RECORDATORIOSIGNIFICADO DE g Y DE

,B t B t

dE t g x t dx ndxdt


64/65

64

MODELO MATEMTICOBSICO

EST CONSTITUIDO POR LAS

CONDICIONES DE BALANCE DE CADA UNA

DE LAS PROPIEDADES INTENSIVAS

(N en total)

EL MODELO GENERAL DE LOS


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65

EL MODELO GENERAL DE LOS SISTEMAS FSICOS MACROSCPICOS

, 1,...,

es nmero de propiedades propiedades

(o

Las "ecuaciones diferenciales"

g Nt

N extensivas

inte

v

) que definen al modelo.

es la fase asociada a la propiedadnsivas

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