capitulo 4-Optimizacion

5/27/2018 capitulo 4-Optimizacion

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MATEMTI CAS PARA ECONOMI STAS Car l os Or i huel a Romer o, MSc

CAPITULO 4: OPTIMIZACIN 81

CAPITULO 4: OPTIMIZACINOptimizacin es el proceso de hallar el mximo o mnimo relativo de una funcin,

generalmente sin la ayuda de grficos.

4.1 Conceptos clavesA continuacin se describir brevemente algunos conceptos necesarios para

comprender apropiadamente el tema de optimizacin.

4.1.1 Funciones crecientes y decrecientesSe dice que una funcin f(x) es creciente (decreciente) en x=a, si en la vecindad

inmediata del punto [a,f(a)] el grfico de la funcin crece (cae) al moverse de izquierda

a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de

una funcin, una primera derivada positiva en x=a indica que la funcin es creciente

a; una primera derivada negativa indica que es decreciente.

Grfico 4-1Funcin creciente en x = a

Pendiente >0)Funcin decreciente en x = a

Pendiente 0: funcin creciente en x = a

f(a) < 0: funcin decreciente en x= a

4.1.2 Concavidad y convexidadUna funcin f (x) es cncava en x = a, si en alguna pequea regin cercana al punto

[a, f(a)] el grfico de la funcin se ubica completamente debajo de su lnea tangente.

Una funcin es convexa en x = a, si en un rea cercana a [a, f(a)] el grfico esta

complemente arriba de su lnea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a

x

a

y

x

a


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denota que la funcin es convexa en x = a. Anlogamente, una segunda derivada

negativa en x = a denota que la funcin es cncava en a.

Grfico 4-2Convexo en x=a

f(a) > 0 f(a) > 0 f(a) < 0 f(a) > 0

Cncavo en x=af(a) > 0 f(a) < 0 f(a) < 0 f(a) < 0

f(a) > 0: f(x) es convexo en x = a

f(a) < 0: f(x) es cncavo en x = a

4.1.3 Extremo relativoUn extremo relativo es un punto en el cual una funcin esta a un mximo o mnimo.

Para ello, la funcin debe estar en un punto en el cual no esta creciendo ni

decreciendo, y por ende, su primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un

punto en el dominio de una funcin donde la derivada iguala a cero o es indefinida es

llamado punto o valor critico.

y

x

a

x

y

a

x

y

a

x

a

y


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a aa

x

y y

xa

Grfico 4-3Mnimo relativo en x=a Mximo relativo en x=af(a) = 0 f(a) > 0 f(a) = 0 f(a) < 0

4.1.4 Puntos de inflexinUn punto de inflexin es un punto en el grafico donde la funcin cruza su lnea

tangente y cambia de cncavo a convexo y viceversa. Los puntos de inflexin pueden

ocurrir solo donde la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f(a)=0.

Grfico 4-4

f(a)=0

f(a) = 0 f(a) = 0 f(a) < 0 f(a) > 0

f(a) = Nd

f(a) > 0 f(a) < 0 f(a) = 0

y

x

y

x

a

x

y y

x

a

y

x

y

x

y

x


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4.2 Optimizacin sin restriccin4.2.1 Funciones objetivo de una variableSea la funcin: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) mximo(s) o

mnimo(s) relativo(s) sern:

1. Identificar los puntos crticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0,dy

0dx

=

2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos crticos, y revisar los signos. Esta

condicin es llamada condicin suficiente. Si un punto critico es a, entonces:

f(a) < 0, la funcin es cncava en a, por ende un mximo relativo

f(a) > 0, la funcin es convexa en a, por ende un mnimo relativo

f(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las derivadas

sucesivas:

- Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior,

cuando se evala un punto critico es una derivada de grado impar (tercer,

quinto, etc.) la funcin es un punto de inflexin.

- Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior,

cuando es evaluado en un punto crtico es una derivada de grado par,

entonces la funcin es un extremo relativo en a. Si esta derivada tiene

valor negativo entonces la funcin es cncava en a (y por ende, es un

mximo relativo). Caso contrario, la funcin es convexa y presenta un

mnimo relativo en a.

Ejercicio 76: Obtener el extremo relativo de la siguiente funcin:f(x) = -7x2 + 126x - 23

Solucin.

Calculando la primera derivada e igualndola a 0:

f(x)=-14x + 126 = 0 x = 9 (valor critico)



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Tomando la segunda derivada y evaluando el valor critico:

f(x) = -14, entonces f(9) = -14 < 0 es cncavo, mximo relativo.

Ejercicio 77: Obtener el extremo relativo de la siguiente funcin:f (x) = 2x4 16x3 + 32x2 + 5

Solucin.


f(x) = 8x3

48x2

+ 64x = 0

f(x) = 8x( x 2 ) ( x 4) = 0 x=0, x=2, x=4 (puntos crticos)

Tomando la segunda derivada y evaluando los puntos crticos:

f(x) =24x2 - 96x +64

f(0) =24(0)2 96(0) +64 = 64 >0 convexo, mnimo relativo

f(2) =24(2)2 96(2) +64 = -32 0 convexo, mnimo relativo

Ejerci 78:Obtener el extremo relativo de la siguiente funcin:f(x) = - ( x - 8 )4

Solucin.


f(x) = -4( x - 8 )3 = 0 x=8 (punto critico)

Tomando la segunda derivada y evaluando el punto crtico:

f(x) = -12( x - 8 )2

f(8) = -12( 8 - 8 )2 = 0

Se requiere el test de derivadas

sucesivas.

f (x) = -24( x - 8 )

f (8) = -24( 8 - 8 ) = 0 test inconcluso



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f (x) = -24

f (8) = -24 0 (convexo)PT = 180 6 K = 0 K = 30

K > 30 PT < 0 (cncavo)

Puesto que K = 30, PT = 0, hay un punto de inflexin en K=3

b) Pmek=PT

K= 90K K2

Pmek = 90 2K = 0 K=45 (valor critico)

Pmek = -2 < 0 (cncavo, mximo relativo)

c) PMgk= PT = 180K - 3K2

PMgk = 180 6K = 0 K=30 (valor crtico)



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PMgk = 6


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2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son

evaluadas en el punto critico (a,b) para un mximo relativo y positivas para un

mnimo relativo. Ello asegura que la funcin es cncava y movindose hacia abajo

en relacin a los ejes principales en el caso de un mximo relativo y la funcin es

convexo y movindose hacia arriba en relacin a los ejes principales en el caso de

un mnimo relativo.

3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto

crtico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas tambin

evaluadas en dicho punto. Esta condicin adicional es necesaria para evitar un

punto de inflexin o punto de silla (ver grfico 4-6). En resumen:

Condicin necesaria Mximo MnimoPrimer orden fx = fy = 0 fx = fy = 0

Segundo orden* fxx , fyy < 0 y fxx , fyy > (fxy)2 fxx , fyy > 0 y fxx , fyy < (fxy)2

Nota: las derivadas parciales de segundo orden son evaluadas en el punto critico (a,b) o los puntos

crticos que hubieren.

En la situacin que fxx fyy < (fxy)2, cuando fxx y fyy tienen el mismo signo, la funcin

esta en un punto de inflexin. Caso contrario, la funcin estar en un punto de silla.Si fxx fyy = (fxy)2entonces se requerira mayor informacin.

Grfico 4-6

xy

Mnimo Mximo

y

x

z z



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Punto de Silla

z

y

x

Ejercicio 80:En la siguiente funcin encontrar los puntos crticos y determinar si stosson mximos o mnimos relativos, puntos de inflexin o puntos de silla:

f(x, y) = 3x3 5y2 225x + 70y + 23

Solucin.


fx= 9x2 225 = 0 fy= -10y + 70 = 0

Resulta: x = 5, y 7= . Entonces los puntos crticos sern: (5,7) y (5,-7)

Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)

fxx = 18 x fyy = -10 fxy = fyx = 0

Evaluando el punto crtico (5,7):

fxx ( 5, 7 ) = 18 (5) = 90 fyy ( 5, 7 ) = -10

Cumple fxx ( 5, 7 ). fyy ( 5, 7 ) > [ fxy(5,7) ]2 ? 90. (-10)


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Evaluando el punto crtico (-5,7)

fxx ( -5, 7 ) = 18 (-5) = -90 fyy ( -5, 7 ) = -10

Cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 ? -90. (-10) >0 (Si cumple!)

Dado que se cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 y adems, fxx,fyy< 0 entonces

el punto en anlisis es un mximo.

Ejercicio 81: En la siguiente funcin encontrar los puntos crticos y determinar si stosson mximos o mnimos relativos, puntos de inflexin o puntos de silla:

f (x,y) = 3x3+1.5y2 18xy +17

Solucin.

Calculando la primera derivada e igualndola a 0 (condicin de primer orden):

fx= 9x2 18y = 0 y= x2fy= 3y 18x = 0 y = 6x

Donde x = 0, x = 12, y = 0, y = 72. As, los puntos crticos son: (0,0) y (12,72)

Calculando las segundas derivadas:

fxx = 18x fyy = 3 fxy = fyx = -18

Evaluando el punto crtico (0,0)

fxx = ( 0, 0 ) = 18 (0) = 0 fyy = ( 0, 0 ) = 3

Cumple que fxx ( 0, 0 ). fyy ( 0, 0 ) > [ fxy(0,0) ]2? 0.3 < ( -18 )2(No cumple)

Entonces este punto crtico no es ni mximo ni mnimo. Puesto que fxx y fyy

(evaluadas en este punto crtico) tienen signos iguales entonces es un punto de

inflexin.

Evaluando el punto crtico (12,72)



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fxx = ( 12, 72 ) = 18 (12) = 216 fyy = ( 12, 72 ) = 3

Cumple que fxx( 12, 72 ).fyy( 12, 72 ) > [ fxy(12,72) ]2 ? 216.3 > ( -18 )2(Si cumple!)

Dado que se cumple fxx ( 12, 72 ). fyy ( 12, 72 ) > [ fxy (12,72) ]2 y adems, fxx, fyy > 0

entonces el punto en anlisis es un mnimo relativo.

4.2.3 Funciones objetivo con ms de dos variablesConsiderando una funcin de tres variables z = f ( x1, x2, x3) cuyas derivadas parciales

primeras son f1, f2 y f3y las derivadas parciales segundas fij ( 2z / xixj ) ; con i,

j=1, 2, 3. Conforme al teorema de Young se sabe que fij = fji .Como en los casos

anteriores, para tener un mximo o un mnimo de z es necesario que dz = 0 paravalores arbitrarios de dx1, dx2y dx3, no todos nulos. Ya que el valor de dz es ahora

dz = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3. Ya que dx1, dx2 y dx3 son no nulos, la nica forma de

garantizar que dz = 0 es f1 = f2 = f3 = 0. En otras palabras, lo mismo que en el caso de

dos variables. Generalizando para 3 o ms variables, el test de determinante para un

extremo relativo en este caso ser:

Condicin necesaria Mximo MnimoPrimer orden f1 = f2 = f3 = .. = fn = 0 f1 = f2 = .. = fn = 0

Segundo orden* H1 < 0; H2 > 0; H3 < 0;..;(-1)nHn > 0 H1, H2,..,Hn>0

Donde nH es el determinante de la matriz Hessiana (simtrica).

Hessiano simtrico)Es simplemente una matriz conformada por derivadas de segundo grado. Esta matriz

es utilizada para testear mximos o mnimos en funciones con n variables. En general,

el hessiano ser:

H1 = f11

11 122

21 22

f fH

f f=

11 12 13

3 21 22 2

31 32 33

f f f

H f f f

f f f

= 3

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

f f ... f

f f ... f H

. . ... .

f f ... f

=

Donde los

Menores

sern

Y as sucesivamente.


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Para el caso de una matriz hessiana del orden 3 x 3, los menores pueden denotarse

como:

H1 = f11

11 122

21 22

f fH

f f=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

f f f

H f f f

f f f

=

H3 = H

Ejercicio 82:Hallar los valores extremos dez = - x13+ 3x1x3 + 2x2 - x22- 3x32

Solucin.Las derivadas parciales son:

f1 = - 3x12+ 3x3 f2 = 2 - 2x2 f3 = 3x1- 6x3

Ahora, haciendo f1 = f2 = f3 = 0, los puntos crticos sern: (0, 1, 0) y (0.5, 1, 0.25).

Reemplazando tales puntos en la funcin original z, se tiene que z 1= , y z 17 16= ,

respectivamente.

Las derivadas parciales de segundo orden dispuesta ordenadamente en el hessiano:

16x 0 3

H 0 2 0

3 0

=

6

1. Usando (0, 1, 0), el hessiano es:

H1 = 0

H2 = 0

0 0 3

H 0 2 0

3 0 6

=

H3 = 18

No concuerda con ninguna de las dos test. Entonces es necesaria mayor informacin.

2. Usando (1/2, 1, 1/4) el hessiano es:


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H1 = -3

H2 = 6

3 0 3

H 0 2 0

3 0 6

=

H3 = -18

Cumple el test, entonces, el punto z 17 16= es mximo.

Ejercicio 83:Utilizar el criterio del Hessiano con el ejercicio 81.Solucin.

En el ejemplo 81 se obtuvieron los puntos crticos (0, 0) y (12, 72), ahora analizaremos

la segunda derivada con el criterio del Hessiano.

Las segundas derivadas: fxx = 18x fyy = 3 fxy = fyx = -18

El hessiano ser: xx xy

yx yy

f fH

f f=

18x 18H

18 3

=

1. Evaluando el hessiano para el punto (0,0):

H1 = 18(0) = 018(0) 18H

18 3

=

H2 = 18(0) x 3 (-18) (-18)= -324

Puesto que H1 = 0y H2 < 0 entonces el punto no es mximo ni mnimo. Es un puntode silla o de inflexin (revisar los criterios).

2. Evaluando el hessiano en el punto (12,72):

H1 = 18(12) = 21618(12) 18H

18 3

=

H2 = 18(12) x 3 (-18) (-18)= 324

Dado que H1 > 0y H2 > 0, el punto es un mnimo.Cuando se utiliza el criterio del hessiano para funciones de dos variables es necesario

resaltar lo siguiente:



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La matriz hessiana ser de orden 2: xx xy

yx yy

f fH

f f=

Para el caso de un mximo, el hessiano requiere inicialmente que:

H1 < 0, o lo que es igual

fxx< 0 (i)

Adems, se requiere que 2H > 0 , o lo que es igual:

fxxfyy - fyxfxy> 0 (ii)

Recordando que fxy= fyx, tal expresin puede quedar como:

fxxfyy > (fxy)2 (iii)

Dado que fxx< 0, para que la expresin (iii) sea vlida, es necesario que:

Entonces, para que el punto critico sea un mximo se requiere que se cumpla (i), (iii) y

(iv), condiciones de suficiencia conforme a la seccin 4.2.2. Note que la multiplicacin

de las segundas derivadas parciales debe ser positiva (fxx fyy > 0) ya que cada

segunda derivada debe ser negativa.

Para el caso de un mnimo, el lector puede fcilmente demostrar que las condiciones

sealadas en el punto 4.2.2 igualmente coinciden con el criterio del hessiano

(simtrico). Por qu?. En realidad, el hessiano (simtrico) es el caso general para

optimizacin funciones de cualquier orden.

4.3 Optimizacin con restriccin4.3.1 Funciones con igualdadesSe plantea un nuevo problema, el de optimizar una funcin sujeta a una restriccin de

igualdad:

fyy< 0 (iv)


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Maximizar f (x1,x2)

Sujeto a g(x1,x2) = k (una constante),

Para encontrar la solucin a este nuevo tipo de problema, se debe formar una nueva

funcin F que debe ser formada por (1) estableciendo la restriccin igual a cero, (2)

multiplicndolo por (el multiplicador de Lagrange) y (3) sumando el producto a la

funcin original:

F(x1,x2, ) = f(x1,x2) + [ k - g(x1,x2)]

Aqu, F(x1,x2, ) es llamada la funcin Lagrangiana, f(x1,x2) es la funcin objetivou

original, y g(x1,x2) es la restriccin. Puesto que la restriccin es siempre igual a cero, elproducto [ k - g(x1,x2)] tambin es igual a cero y la suma de tal trmino no cambia el

valor de la funcin objetivo. Los valores crticos x0,y0 y

0 (para los cuales la funcin

es optimizada) son obtenidos tomando las derivadas parciales de F (con respecto a

cada una de las tres variables independientes) e igualndolas a cero. Es decir,

simultneamente:

F1(x1,x2, ) = 0 F2(x1,x2, ) = 0

F (x1,x2, ) = 0

Donde F1expresa una derivada parcial F/ x1

Ejemplo: Considere el siguiente problema con tres variables de decisin (x, y, z),

donde la ecuacin G(.) = c (es una constante) y determina un conjunto de

restricciones para (x, y, z), en el espacio, el cul es una superficie y lo

denotaremos por SG. El problema es determinar el valor ms grande de la

funcin V (x1,y, z )para puntos (x, y, z) sobre la superficie SG.

Maximizar V ( x,y, z )

Sujeto a G ( x,y, z ) = c (1)

Solucin:

Paso 1: formar el lagrangiano.

L = V (x,y, z ) [G (x,y, z ) c] (2)


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Paso 2: Por las condiciones de primer orden tomar las derivadas parciales.

Lx = Ly = Lz= 0 (3)

Paso 3: La solucin a este problema es mostrado en la grfico (4-7) por el punto

P* = ( x*, y*, z* ) sobre la superficie SG donde la funcin objetivo V (x1,y, z ) consigue

ser mximo. Considere tambin que el volumen V (.) pasa por P* y es tangente a la

superficie de restriccin SG.

Grfico 4-7)x

P z

GS

y

=V V(x ,y ,z )

Ejercicio 84: Considerar el siguiente ejemplo:

Maximizar 2x 3y + z

Sujeto a x2+ y2 + z2 = 9

Solucin.

Paso 1: formamos el lagrangiano para este problema

L = 2x 3y + z - (x2+ y2 + z2 - 9)

Paso 2: Por las condiciones necesarias de primer orden



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L

x= 2 - 2x = 0

(1)

L

y= -3 - 2y = 0

(2)

Lz

= 1 - 2z = 0 (3)

L= - x2- y2 - z2 + 9

(4)

Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones:

De la ecuacin (1) y (2)

2 - 2x = 0 = 1/x -3 - 2y = 0 = -3/2y

Igualando se obtiene: y = - 3x/2 (en funcin de x) (a)

De la ecuacin (1) y (3)

2 - 2x = 0 = 1/x 1 - 2z = 0 = 1/2z

Igualando se obtiene: z = x/2 (en funcin de x) (b)

Luego reemplazamos (a) y (b) en la restriccin

2 2

2 3x xx 02 2

+ +

= x 3 2= 7

Resulta en dos soluciones:

x1= 3 2 7 = 1.6 y1= -9 / 14 = -2.41 z1= 3 / 14 = -0.8

x2= 3 2 7 = -1.6 y2= 9 / 14 = 2.41 z2= -3 / 14 = -0.8

Notamos sin embargo que:

V (x1,y1,z1)= 42/ 14 = 11.22

V (x2,y2,z2)= -42/ 14 = -11.22


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Por lo tanto, el punto mximo es ( x1, y1, z1 ) y el punto mnimo es ( x2, y2, z2 ). El

problema y la solucin son retratados en la siguiente grfico (4-8).

Grfico 4-8)

V* 11.22 2x 3y z= = +

2 2 2

x y z 9+ + =

1 1 1(x ,y , z ) (1.6, 2.4,0.8)=

Ejercicio 85: Considere una economa de recurso basada en que cada obreros (L)puede optar por cosechar rboles madereros (T) o pescar (F). Suponga que la

economa exporta tanta madera como peces y se enfrentan a precios mundiales

constantes significados PT y PF respectivamente. La siguiente curva de transformacin

son combinaciones tcnicamente eficientes de madera, peces y trabajo

G( T, F, L ) = T2+ F2/ 4 L = 0

Suponga que PT= $ 500 / TM, PF= $ 1000 / TM y L = 1700es el nmero de las horas

disponibles asignados entre cosechar rboles madereros o pescar. Resolver el

problema de optimizacin esttico que trata de maximizar el valor de la cosecha sujeto

a la funcin de transformacin.

z

y

x

11

4

6

3

3

3


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Solucin.

Paso1: Formamos el problema de maximizacin.

Maximizar V = 500T + 1000F

Sujeto a T2+ F2/ 4 = 1700

Paso 2: Formamos el lagrangiano.

L = 500T +1000F - ( T2+ F2/ 4 - 1700 )

Paso 3: Por las condiciones de primer orden

L

T= 500 2T = 0

(1)

L

F= 1000 0.5 F = 0

(2)

L= -T2+ F2/ 4 - 1700

(3)

Paso 4: Resolvemos el sistema de ecuaciones

-De la ecuacin (1)

500 2T = 0 = 250/T (a)

-De la ecuacin (2)

1000 2F = 0 = 2000/F (b)

- Igualamos (a) y (b) y obtenemos F en funcin de T.

= =250 2000

T F F = 8T

(c)

Luego reemplazamos (c) en la restriccin (3). ( )2

2 8TT 17004

+ =



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Las soluciones son:

T = 10 F = 80 = 25

Por lo tanto, la economa debe asignar la fuerza de trabajo disponible para producir 10

toneladas mtricas de madera y 80 toneladas mtricas de peces. El valor marginal

(precio sombra) de una unidad adicional de trabajo es $25/horas.

Hessiano OrladoAhora, para determinar si los valores crticos corresponden a un mximo o mnimo, es

necesario utilizar el criterio del Hessiano Orlado. Este tipo de hessiano se aplica para

el caso de optimizacin de funciones con restricciones. En general, cuando la funcinobjetivo toma la forma de F = F ( x1, x2,. Xn) sujeta a g( x1, x2,. Xn) = k, el Hessiano

Orlado ser de la forma siguiente:

1 2

2 1 11 12

2 21 22

0 g g

H g F F

g F F

2

1 2 n

1 11 12 1n

21 22 2n

n n1 n2 nn

0 g g ... g

g F F ... F

g F F ... FH

... ... ... ... ...g F F ... F

= 1 2 3

1 11 12 133

2 21 22 23

3 31 32 33

0 g g g

g F F FHg F F F

g F F F

Condicinnecesaria Mximo Mnimo

Primer orden

F = F1 = F2 = .. = Fn = 0

F = F1 = .. = Fn = 0

Segundo orden2

H 0> ;3

H 0< ;4

H 0> ;..; n

n

( 1) H 0 >2 3 n

H , H ,..., H 0

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