Capítulo 33 - crodzmate3026.files.wordpress.com · –la moda 3-2 . La media aritmética de una...
49
Capítulo Resumir datos numéricamente © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 3 3
Transcript of Capítulo 33 - crodzmate3026.files.wordpress.com · –la moda 3-2 . La media aritmética de una...
Capítulo
Resumir datos
numéricamente
© 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
3 3
Medidas de tendencia central
• Una medida de tendencia central
describe numéricamente el valor promedio
o dato típico de un conjunto de datos.
• Es un dato representativo de un grupo de
datos.
• Discutimos las medidas de tendencia
central más ampliamente utilizados:
– la media
– la mediana
– la moda 3-2
La media aritmética de una variable se calcula
sumando todos los valores de la variable en el
conjunto de datos y dividiendo la suma entre el
número total de observaciones.
3-3 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
La media aritmética de la población se calcula
utilizando todos los individuos de la población.
La media aritmética de la población es un parámetro.
La media aritmética de la población se denota 𝜇 (se
pronunica miu).
3-4 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
La media aritmética de la muestra se computa
utilizando los datos de la muestra.
La media aritmética de la muestra es una estadística.
La media aritmética de la muestra se denota
𝑥 . (𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑥 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎)
Si x1, x2, …, xN son las N observaciones de una
variable de la población, entonces la media de la
población, µ, esta dada por
1 2 Nx x x
N
3-5 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Si x1, x2, …, xn son las n observaciones de la muestra,
entonces la media de la muestra, 𝑥 , esta dada por
1 2 nx x x
xn
ó
ó 𝑥 = 𝑥𝑖𝑛
ACTIVIDAD Calcular la media de una población y la media de
varias muestras.
Los siguientes datos representan la duración del viaje al
trabajo (en minutos) para los diez empleados de una
empresa.
23, 36, 23, 18, 5, 26, 43, 45, 65, 75
(a) Calcule la 𝜇 para estos datos.
(b)Tome una muestra aleatoria simple de n = 3
empleados. Calcule 𝑥 .
(c) Tome una segunda muestra aleatoria simple de n = 3
empleados. Calcule 𝑥 para esta segunda muestra.
3-6 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
ACTIVIDAD Calcular la media de una población y la
media de varias muestras.
(a)
3-7 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
EXAMPLE Computing a Population Mean and a Sample
Mean
(b) Tome una muestra aleatoria simple de n = 3 empleados.
Calcule 𝑥 . Tome una segunda muestra aleatoria simple de n =
3 empleados. Calcule 𝑥 para esta segunda muestra.
3-8
EXAMPLE Computing a Population Mean and a Sample
Mean
b) Tome una segunda muestra aleatoria simple de n = 3
empleados. Calcule 𝑥 para esta segunda muestra. Haga lo
mismo para una segunda muestra aleatoria simple de n = 3.
3-9
𝑥 = 𝑥𝑖𝑛
La mediana de una variable es el valor que se
encuentra en el medio de los datos cuando éstos
se han ordenado de forma ascendente.
Utilizamos M para representar a la mediana.
3-10 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
3-11 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Pasos para determinar la mediana de un
conjunto de datos
Paso 1: Organizar los datos en orden ascendente.
Paso 2: Determinar el número de observaciones, n.
Paso 3: Determinar la observación en el centro del
conjunto de datos.
• Si el número de observaciones es impar, la mediana
es el valor que está exactamente en el medio del
conjunto.
Valor que se encuentra en la posición 𝑛+1
2
• Si el número de observaciones es par, entonces la
mediana es la media de la
dos observaciones intermedias del conjunto.
Hallar la media de los valores en posiciones
𝑛
2 𝑦
𝑛
2+ 1
EJEMPLO Calcular la mediana de un conjunto de datos
con número impar de observaciones
Los siguientes datos representan los pulsos (latidos por
minuto) de nueve estudiantes matriculados en una
sección de Estadística de alguna universidad.
76, 60, 60, 81, 72, 89, 89, 68, 73
Determine la mediana del conjunto.
3-12
EJEMPLO Calcular la mediana de un conjunto de datos
con número par de observaciones
Supongamos que llega un estudiante tarde a la clase. El
pulso de este estudiante es 80. Determine la mediana
del conjunto “nuevo”.
76, 60, 60, 81, 72, 89, 89, 68, 73, 80
EJEMPLO Medidas resistentes o robustas
Los siguientes datos representan la duración del viaje al trabajo
(en minutos) para los diez empleados de una empresa.
5, 18, 23, 23, 26, 36, 43, 45, 65, 75
Supongamos que se contrata a un nuevo empleado y este tiene
que hacer un viaje de 180 minutos. ¿Cuál es el impacto
sobre el valor de la media y la mediana de este nuevo
conjunto?
Media antes: 35.9 minutos
Mediana antes: 31 minutos
Media después:
Mediana después: 3-14
A numerical summary of data is said to be resistant if
extreme values (very large or small) relative to the data do
not affect its value substantially.
Un resumen numérico de un conjunto de datos se dice que
es resistente si los valores extremos (muy grandes o muy
pequeños) relativos a los datos, no afecta, sustancialmente, a
su valor.
La mediana es una medida más robusta o resistente que
la media.
Cuando los datos son asimétricos (sesgados hacia izquierda o
derecha) debemos usar la mediana como medida de
tendencia central
3-15 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Medidas resistentes o robustas
3-16 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Relación entre la media, mediana y la forma de la distribución de
frecuencias
Sesgado hacia la izquierda
(sesgo negativo)
La media es sustancialmente menor
que la mediana
Simétrica
La media es aproximadamente igual
a la mediana
Sesgado hacia la izquierda
(sesgo negativo)
La media es sustancialmente mayor
que la mediana
EJEMPLO Describir la forma de una distribución
Los siguientes datos representan los precios de venta de
casas en Lincoln, New Hampshire.
Source: http://www.homeseekers.com
79,995 128,950 149,900 189,900
99,899 130,950 151,350 203,950
105,200 131,800 154,900 217,500
111,000 132,300 159,900 260,000
120,000 134,950 163,300 284,900
121,700 135,500 165,000 299,900
125,950 138,500 174,850 309,900
126,900 147,500 180,000 349,900
3-17 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
1. Encuentre la media y la mediana de los datos sobre precios
de venta de casas.
3-18
EJEMPLO Describir la forma de una distribución (cont.)
1. Encuentre la media y la mediana de los datos sobre
precios de venta de casas.
EJEMPLO Describir la forma de una distribución (cont.)
3-20 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
1. Encuentre la media y la mediana de los datos sobre precios
de venta de casas.
2. Utilice la media y la mediana para identificar la forma de
la distribución.
3. Verifique el resultado dibujando un histograma de los datos.
3-21
1. Usaremos 10 clases.
2. Ancho de clase
Verifique el resultado dibujando un
histograma de los datos. (cont)
3-22 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Una tercera medida de tendencia central es la moda.
La moda de una variable es la observación que se produce
con mayor frecuencia.
Si no hay ninguna observación que se produce con la mayor
frecuencia, o si más de dos observaciones se producen con
la misma frecuencia decimos que el conjunto de datos NO
tiene moda.
El conjunto de datos puede tener más de un modo. En este
caso, decimos que el conjunto es bimodal.
3-23 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Medidas de tendencia central (cont.)
EJEMPLO Identificar la Moda de un conjunto de datos
Los datos que siguen muestran los gobernadores
electos de Puerto Rico y el pueblo donde nacieron.
Identificar la moda.
3-24
# Nombre Pueblo de nacimiento
1 Luis Muñoz Marín San Juan
2 Roberto Sánchez Vilella Mayaguez
3 Luis A. Ferré Ponce
4 Rafael Hernández Colón Ponce
5 Carlos Romero Barceló Santurce
6 Pedro Rosselló González San Juan
7 Sila M. Calderón San Juan
8 Aníbal Acevedo Vilá Hato Rey
9 Luis Fortuño Santurce
10 Alejandro Garcia Padilla Coamo
3-25 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Benjamin es dueño de una pequeña empresa de
Internet. Además de sí mismo, se emplea a otras nueve
personas. Los salarios que reciben por los empleados
se ofrecen a continuación en miles de dólares (el salario
de Benjamin es el más grande, por supuesto):
Determine la moda, la media y la mediana.
30, 60,30, 75, 50, 60, 50, 55, 45, 50, 55, 30, 70
Solución:
EJEMPLO Identificar la moda, media y mediana
3-26
30, 30,30, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 70, 75
Moda:
Mediana:
Media:
EJEMPLO cont.
Medidas de dispersión
3-27 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
• La variación entre los valores de un conjunto de
datos se conoce como dispersión
• Cuando la dispersión es grande, los valores se
dispersan ampliamente; cuando es pequeña, están
agrupados estrechamente.
• Hay varias medidas de dispersión, entre ellas el
rango, la varianza y la desviación estándar.
• Estas medidas indican hasta qué punto las
observaciones individuales de un conjunto de datos
se dispersan o son "repartidos" en torno a su media.
Se presentan datos que describen el tiempo de espera
(en minutos) en una fila, de una muestra aleatoria
simple de 30 clientes, en dos restaurantes de comida
rápida durante la hora del almuerzo.
Para cada muestra, responda a las siguientes
preguntas.
a) ¿Cuál es la media del tiempo de espera?
b) Construya un histograma de los tiempos de espera
de cada restaurante.
c) ¿Cuál conjunto aparenta estar más disperso? ¿En
cuál fila preferirías esperar? ¿Por qué?
3-28 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Exploración
1.50 0.79 1.01 1.66 0.94 0.67
2.53 1.20 1.46 0.89 0.95 0.90
1.88 2.94 1.40 1.33 1.20 0.84
3.99 1.90 1.00 1.54 0.99 0.35
0.90 1.23 0.92 1.09 1.72 2.00
3.50 0.00 0.38 0.43 1.82 3.04
0.00 0.26 0.14 0.60 2.33 2.54
1.97 0.71 2.22 4.54 0.80 0.50
0.00 0.28 0.44 1.38 0.92 1.17
3.08 2.75 0.36 3.10 2.19 0.23
Tiempo de espera en Wendy’s
Tiempo de espera en McDonald’s
3-29 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
3-30 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Exploración (cont.)
¿Cuál conjunto aparenta estar más disperso? ¿En cuál
fila preferirías esperar? ¿Por qué?
El rango, R, de una variable es la diferencia
entre el valor máximo y mínimo de los datos.
Es decir:
Rango = R = Valor máximo – Valor mínimo
3-31 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Medidas de dispersión (cont.)
EJEMPLO Determinar el rango de un conjunto de
datos
Los siguientes datos representan los tiempos de viaje (en
minutos) hacia el trabajo para siete empleados de una
empresa de desarrollo para la Web.
23, 36, 23, 18, 5, 26, 43
Determinar el rango.
3-32 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
La varianza poblacional de una variable es la suma de
desviaciones cuadráticas de la población alrededor de la
media poblacional, 𝜇, dividida entre el número de
observaciones en la población, N.
3-33
Medidas de dispersión (cont.)
La varianza poblacional se representa simbólicamente
por una letra minúscula del alfabeto griego, sigma, σ2
Nota: Cuando utilices la fórmula anterior, no debe redondear hasta el
último cómputo. Utilice tantos decimales como lo permite su calculadora
para evitar errores redondea.
EJEMPLO Calcular la varianza poblacional
mediante fórmula
Los siguientes datos representan los tiempos de viaje (en
minutos) hacia el trabajo para siete empleados de una empresa
de desarrollo para la Web.
23, 36, 23, 18, 5, 26, 43
Calcular la varianza poblacional para estos datos usando
Solución:
3-34 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
xi μ xi – μ (xi – μ)2
23 24.85714
36 24.85714
23 24.85714
18 24.85714
5 24.85714
26 24.85714
43 24.85714
3-35 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
EJEMPLO Calcular la varianza poblacional
mediante fórmula (cont)
• Calculemos las desviaciones y sus cuadrados
Fórmulas para varianza
3-36 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
EJEMPLO Calcular la varianza poblacional
mediante otra fórmula
Los siguientes datos representan los tiempos de viaje
(en minutos) hacia el trabajo para siete empleados de
una empresa de desarrollo para la Web.
23, 36, 23, 18, 5, 26, 43
Calcular la varianza poblacional para estos datos
usando la fórmula
3-37 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
23, 36, 23, 18, 5, 26, 43
3-38 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
𝑁 = 7
EJEMPLO Calcular la varianza poblacional
mediante otra fórmula (cont.)
La varianza muestral se calcula determinando la suma
de los cuadrados de las desviaciones de las
observaciones alrededor de la media muestral y
dividiendola entre n – 1.
La varianza muestral se denota s2
3-39 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Varianza muestral
Nota: Siempre que una estadística sobreestima o subestima
consistentemente a un parámetro, el estadístico se conoce como
sesgado.
Para obtener una estimación sin sesgo de la varianza
poblacional, dividimos la suma de las desviaciones cuadradas
alrededor de la media entre n - 1.
3-40 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
EJEMPLO calcular la varianza muestral
Supongamos que hemos obtenido una muestra
aleatoria simple de los datos sobre tiempo de traslado
de los empleados del ejemplo anterior: 5, 36, 26.
Calcular la varianza muestral del tiempo de traslado.
3-41 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Solución:
EJEMPLO calcular la varianza muestral (cont)
Tiempo
de
traslado,
xi
Media
muestral,
Deviación, Deviaciones
cuadradas
5 22.333
36 22.333
26 22.333
xix x
2
ix x
La desviación estándar poblacional se denota .
Se obtiene tomando la raíz cuadrada de la varianza
poblacional, de manera que
La desviación estándar muestral se denota s .
Se obtiene tomando la raíz cuadrada de la varianza
muestral, de manera que
2s s
3-43 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Desviación estándar
EJEMPLO Calcular la desviación estándar
poblacional
Los siguientes datos representan los tiempos de traslado (en
minutos) hacia el trabajo para siete empleados de una empresa de
desarrollo para la Web.
23, 36, 23, 18, 5, 26, 43
Calcular la desviación estándar de la población.
3-44 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
EJEMPLO Calcular la desviación estándar
muestral
Use este resultado para determinar la desviación estándar
muestral.
3-45 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Para la muestra aleatoria simple de los datos sobre
tiempo de traslado : 5, 36, 26, se calculó que la
varianza muestral es
𝑠2 = 250.333 minutos2
Determinar la deviación estándar para el
tiempo de espera en las filas de Wendy’s y
McDonald’s. ¿Cuál es mayor? ¿Por qué?
3-46 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
EJEMPLO Comparar desviación estándar de
dos conjuntos (cont.)
1. Encuentre la desviación estándar de los datos sobre
tiempo de espera .
3-47
EJEMPLO Comparar desviación estándar de
dos conjuntos (cont.)
a
1.50 0.79 1.01 1.66 0.94 0.67
2.53 1.20 1.46 0.89 0.95 0.90
1.88 2.94 1.40 1.33 1.20 0.84
3.99 1.90 1.00 1.54 0.99 0.35
0.90 1.23 0.92 1.09 1.72 2.00
3.50 0.00 0.38 0.43 1.82 3.04
0.00 0.26 0.14 0.60 2.33 2.54
1.97 0.71 2.22 4.54 0.80 0.50
0.00 0.28 0.44 1.38 0.92 1.17
3.08 2.75 0.36 3.10 2.19 0.23
Tiempo de espera en Wendy’s
Tiempo de espera en McDonald’s
3-48 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Deviación estándar para el tiempo de espera
en las filas de Wendy’s y McDonald’s
Desviación estándar muestral para Wendy’s:
Desviación estándar muestral para McDonald’s:
3-49 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
EJEMPLO Comparar desviación estándar de
dos conjuntos (cont.)
