Capítulo 3 Modelo de

Probabilidades

II-2001

Lecturas: Recomendadas

• 1.- B. Eyzaguirre , C. Le Foulen, X. Hinzpeter: “Los chilenos no saben lo que leen” Revista 230. CEP. www.cep.cl Lectura obligatoria

• 2.- A Philosophical Essay in Probabilities. Marquis de Laplace. Pierre Simon Dover publications, Inc 1951

(Grupo 1): General principles of the calculus of Probability

+ Concerning Probability

( Grupo2 ): General principles of the calculus of Probability

+ Concerning Hope

Entregar por escrito un resumen incluyendo análisis critico y discusión Viernes 31 de agosto de 2001 a las 17:00 ( Quiz 3)

Experimento aleatorio : Espacio Muestral : Espacio Muestral : Discreto , ContinuoEvento o SucesoSucesos elementales, seguros e imposiblesProbabilidad : grado de certidumbreProbabilidad y Juegos de AzarProbabilidad y Frecuencia relativaProbabilidad Subjetiva (Personal)

Conceptos BásicosConceptos BásicosConceptos BásicosConceptos Básicos

• Experimento Aleatorio: Proceso en observación

• Evento Elemental: -“Resultado” de un experimento indivisible

-“Mutualmente Excluyentes”: si ocurre uno no existe posibilidad de

observar otro

- “Equiprobable” : Cada evento simple tiene identica

probabilidad

• Espacio Muestral El conjunto de todas las observaciones elementales

• Evento “A” - El conjunto de todos los eventos elementales observaciones posibles que resultan en la ocurrencia del evento “A”

Conceptos BásicosConceptos BásicosConceptos BásicosConceptos Básicos

Conjuntos y Eventos

(S)

(S): Espacio Muestral: Todos los posibles

resultados elementales

s S, resultado elemental

:Familia de todos los eventos posibles de S

, luego es un Evento

s , luego evento imposible

S , luego S es el Evento Seguro

A y B , luego son eventos

AB ; AB ; Ac , son eventos

EA

B

s

Conjuntos vs. Eventos

Teoría Conjuntos Teoría Probabilidades

S Universo Espacio Muestral

Conjunto Potencia Familia Clases de Eventos

A A subconjunto de S A es un Evento

s A s es elemento de A Ocurre el evento A

Conjunto vacío Evento Imposible

S Universo Evento Seguro

AB A unión B Evento A o Evento B

AB A intersección B Evento A y Evento B

Ac Complemento de A Evento no-A

A B A es subconjunto de B A implica B

AB= A y B son disjuntos A y B mutuamente excluyentes

Se toma al azar una esfera de la urna I Se transfiere a la urna II, se mezclan bien. Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II. ¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde?

Experimento Aleatorio

I II

1

1

2 2

3

3

Espacio Muestral

Traspasar Roja # 1

Traspasar Verde # 1

Traspasar Verde # 2

Distintas formas como puede resultar el experimento. Ya que las esferas has sido sacadas al azar, cada uno de ellos tiene la misma posibilidad de ocurrir

1

1

2

1

2

3

2

3

2

3

1

2

3

2

3

I

II

II

II

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

• Probabilidad es una medida de la incertidumbre (Estimación de la probabilidad)

• Teórica - “A Priori”– Pr (Ai) = n / N

• n = número de posible formas en que“Ai” puede ser observado

• N = número total de resultados posibles

• Histórica (empírica-frecuencia) - “A Posteriori”– Pr (Ai) = n/N

• n = número de veces que ocurrio “Ai”

• N = número total de observaciones

• Subjetiva – La “Opinión de un Experto”

Nociones de Probabilidad

Modelo Probabilístico

Sea una Distribución de Probabilidad P, función que asigna a cada sub-conjunto razonable de un valor entre 0 y 1.

Sea 2 colección de eventos razonables de (-álgebra)P: [0;1]Modelo de Probabilidad= (, , P)

Cálculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables)

Noción intuitiva:

P(A) = Resultados favorables al evento AResultados posibles

Noción frecuentista:

Sea N: N° total de veces que se realiza un experimento

NA: N° total de veces que ocurre A

P(A) =NN

lim AN

1. Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la misma probabilidad de ser elegido. P(elegir ai ) = 1/ N

2. Elegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir un par cualesquieres es 1/ K.

3. Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser

seleccionada que cualquier otra r-tupla.

ObservaciónEn muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de manera aleatoria uno o más objetos desde una colección de objetosSea N el número de objetos.

Probabilidad Axiomática

Axioma 1: P(A) 0Axioma 2: P() = 1

Suponiendo que A1, A2,..... son eventos mutuamente excluyentes

Axioma 3: P(Ai) = P(Ai)

Propiedades

1. P() = 02. P(A) 13. P(AC) = 1 - P(A)4. Si A B P(A) P(B)5. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)6. P(Ai) P(Ai)7. Si A B P(B-A) = P(B) - P(AB)

Espacio Muestral Finito

Sea S = {s1, s2, s3, ...., sN } Espacio Muestral Finito

Ei = {si} i =1,..N Evento Elemental

Ei = S Mutuamente excluyentes de a pares

Aplicando los axiomas se tiene

1. P(Ei) = fi > 0 i =1, 2, 3, .. , N;

2. P( Ei) = 1 fi = 1

3. Como Ei Ej = 0 i j P(Ei Ej)=P(Ei) + P(Ej)

N

i

N

i

Probabilidad Condicional

Sean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A/B) :

P(A/B) = P(AB) P(B)

Propiedades:1. P(A/B) 02. P( /B) = 13. P(Ai/B) = P(Ai/B) con Ai Aj = , i, j : i j

Probabilidad Condicional

A

B

Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que han ocurrido el evento B

Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B

Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B

Probabilidad Condicional

Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallas visibles en la superficie.

Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallas superficiales son funcionalmente defectuosas

100% piezasManufacturadas

Por lo tanto el 90% no tienen fallas visibles en la superficie.

También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallas superficiales son funcionalmente defectuosas

Evento A = { pieza funcionalmente defectuosa}

B = { pieza tiene una falla visible en la superficie}

P( A dado B) = P(A | B) ?

Casos Probabilidad Condicional

AB

Si A B = A P(A | B) = = P(A)P(A B )

P(B)

P(A)

P(B)

AB Si A B = B P(A | B) = = = 1

P(A B )

P(B)

P(B)

P(B)

AB

Si A B = P(A | B) = = = 0P(A B )

P(B)

P()

P(B)

AB

Si A B P(A | B) = =P(A B )

P(B)

Probabilidad Total

Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente

excluyentes : P( ) = 1

Entonces

P(A) =

Consecuencia (Regla de Bayes):

P(Bi/A) = P(A/Bi) P(Bi) P(A)

n

iiB

1

n

iii BPBAP

1

)()/(

Probabilidad Total

B1 B2

B3B4

AB4

AB3

AB1

AB2

B5

Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes

P( Bi ) = 1

Entonces P(A) = P(A | Bi) P(Bi)

A Equipo Fallado

Equipo Manufacturado

en Planta B2

n

i 1=

=

n

i 1

Regla de Bayes

P (Bi | A ) =

P (Bi) P (A | Bi )

P (Bi) P (A | Bi )BiBj = ; i j

Bi = S j

Supongamos de que se elige aleatoriamente un Equipo y se encuentra que está fallado. ¿cuál es la probabilidad que sea manufacturado en Planta B3 ?

• Se pide P(B3 | A); pero sólo se conoce P(A Bi), i = 1, 2, 3, .. , k

• Sabemos que P(A Bi) = P( A | Bi ) P(Bi) = P(Bi | A) P(A)

j

Probabilidad Multiplicativa

Ley Multiplicativa:

siempre que:

1

112

1

)/()......./()()(

n

iini

n

ii AAPAAPAPAP

n

iiAP

1

0)(

El Número de maneras diferentes

de elegir o sacar un elemento de

del conjunto 1 que tiene n1

elementos, luego un elemento de

un conjunto 2 que tiene n2

elementos, ... , y finalmete un

elemto del k-ésimo conjunto que

tiene nk elemetos, en DONDE EL

ORDEN COMO SE

SELECCIONA ES IMPORTANTE

n1* n2* ......* nk

Regla de la Multiplicación

n2

n2

n2

n1

Ejemplo 3.1

1) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de probabilidad (, , P) tales que:

P(B)=0,4 P(AB)=0,7 P(A/B)=0,75

Determinar:

P(AC) ; P(A-B) ; P(ACBC) ; P(A/BC)

Solución

P(AC) = 1 - P(A)P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)P(AB) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6P(AC) = 0,4

P(A-B) = P(ABC) = P(A) - P(AB) = 0,6 - 0,3 = 0,3

P(ACBC) = P(AC) + P(BC) - P(ACBC)P(ACBC) = P(BC) - P(ABC) = 0,6 - 0,3 = 0,3Luego P(ACBC) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7

P(A/BC) = P(ABC) = 0,3 = 0,5 P(BC) 0,4

Ejemplo 3.2Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25 ; p2 = 0,50; p3 = 0,25.Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes:

i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante 10.000 horas.

ii) Si el procesador funcionó correctamente durante el período de 10.000 horas ¿cuál es la probabilidad de que haya provenido del 3er fabricante?

Solución

i) P(C) =

= 0,1*0,25 + 0,2*0,5 + 0,4*0,25 = 0,225.

ii) P(F3/C) = P(C/F3) P(F3)P(C)

= 0,4 * 0,25 = 0,444. 0,225

3

1

)()/(i

ii FPFCP

Independencia Probabilística

2. Sean Ai: i I = 1,2,3,......,k una colección de eventos de (, , P). Se dice que los elementos son conjuntamente independientes ssi:

P( Ai ) = P(Ai) J I = 1,2,3,......,kjJ

jJ

1. Sean A, B dos eventos del modelo probabilístico (, , P). A, B se dicen probabilísticamente independientes ssi:

P(AB) = P(A) P(B) P(A | B) = P(A) P(B | A) = P(B)

Observaciones

1. Independencia probabilística Conjunta Independencia de a pares2. Independencia probabilística de a pares Independencia

probabilística Conjunta

3. Si A, B son eventos independientes probabilísticamente. Entonces se tiene

- A, BC son independientes. - AC, BC son independientes

- AC, B son independientes

4. Sea (, 2, P) modelo de probabilidad. Estudiar independencia conjunta y de a pares.

Ejemplo 3.3:

Sea (, 2, P) modelo de probabilidad.

= (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)

P(wi ) = 1/4 i = 1, 4

Sean A1, A2, A3 eventos de (, 2, P) :

A1: 1era coord. es 1

A2: 2da coord. es 1

A3: 3era coord. es 1

Estudiar independencia conjunta y de a pares.

Independencia Probabilística

Ejemplo 3.4 : Independencia Probabilística

A B

1 2

3 4

A B

1 2

3 4

5

Probabilidad de cerrar los relés 1,2,3 y 4 es “p”. Si todos los relés funcionan independientemente , ¿cuál es la probabilidad que pase corriente de A a B

4243214321 2][][][)()];()[()( ppRPRRPRRPEPRRRRPEP i

VariacionesDef: Sea A un conjunto : , se llama variación simple o sin repetición a todo subconjunto de n elementos distinguiéndose estos entre si, en los elementos que lo componen y en el orden en que estos elementos van colocados

A={x1,x2,.......xn } V(n,2)= n(n-1) ; V(n,3)= n(n-1)(n-2)...

V(n,k)= n(n-1)(n-2)......(n-k+1)

Obs: Si las variaciones son con repetición V1(n,k) = nk

nACard )(

Permutaciones

Pr

n nn r

=-!

( ) !

Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL ORDEN IMPORTA :Nota: Estudiar permutaciones con repetición

n objetos

- - - - -

1 2 3 4 r

Combinaciones

C(n,r)nn r

=-

!r!( )!

CombinaCombinaccionionees( sin repetición)s( sin repetición)::Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL ORDEN NO IMPORTA

Nota : Estudiar combinaciones con repetición C1(n,r)= (n+r-1)!/ r!(n-1)!

Construcción Modelos de Probabilidad

• Sea una medida en el Espacio Muestral tal que () < : Longitud ; Superficie Volumen. etc.

• Entonces existe un función definida en IR

P : IR IR :

es una medida de Probabilidad

()

(A )P(A )

Ejemplo 3.5: Problema del encuentro:

Dos estudiantes acuerd [9; 10] an encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un día lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro 10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes.

¿ Cuál es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?

Solución: X(t) : Llegada del estudiante 1 Y(t) : Llegada del estudiante 2 [X(t);Y(t)] [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]= A={[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10} P(A)= = 11/ 36