EL CÁL CU LO MEN TAL ES UN PRO CE DI MIEN TOPEN SA DO Y NO ME CA NI ZA DO

Cuan do nos re fe ri mos a cál cu los men ta les es ta mos to man do laidea de cál cu los re fle xio na dos (Pa rra,1994). O sea que son aque -llos pa ra los que es ne ce sa rio to mar de ci sio nes res pec to de có modes com po ner los nú me ros y qué cál cu los par cia les ha cer. No ne -ce sa ria men te se los efec túa con ra pi dez ni en for ma oral, tam -bién pue den ser es cri tos. Una “mar ca” de que los chi cos es tán ha cien do cál cu los men ta leses, jus ta men te, la pre sen cia de una di ver si dad de pro ce di mien -tos. Por ejem plo, si fren te a es te cál cu lo: 1 250 + 1 250 la to ta li dadde los chi cos de una cla se rea li za ra

po dría afir mar se que los alum nos no es tán to man do de ci sio nes,que es ta es tra te gia es la úni ca en se ña da y exi gi da.

¿Por qué se ría con ve nien te que los alum nos co no cie ran más for masde re sol ver el mis mo cál cu lo?, ¿por qué se va lo ra la di ver si dad dees tra te gias? Cuan do se en se ña un cál cu lo úni co los chi cos lo rea -li zan en for ma me cá ni ca y sin con trol de lo que es tán ha cien do.

o

1

1 250 +

1 250

2 500

1 250 + 1 250

1 000 + 250 + 1 000 + 250

2 000 + 500 = 2 500

CA PÍ TU LO I

ENSEÑAR DIFERENTES ESTRATEGIAS DE CÁLCULOS MENTALES

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Si guen una se rie de pa sos es tu dia dos, pe ro al con fun dir o sal tearuno, apa re ce una gran can ti dad de erro res. Es to arro ja re sul ta dosmuy ale ja dos del cam po nu mé ri co po si ble. Sin em bar go, mu choschi cos no se dan cuen ta de que el re sul ta do no pue de ser el queob tu vie ron. Co mo no sue len te ner la res pon sa bi li dad de ele gir lafor ma de re so lu ción, an ti ci par cuán to da rá, ni con tro lar con pos -te rio ri dad la per ti nen cia del re sul ta do ob te ni do, apa re cen erro resco mo el si guien te:

1 250

+ 1 250 o

13 750que si bien se pro du cen por una equi vo ca ción apa ren te, mues -tran que con si de rar la per ti nen cia de ese re sul ta do no for ma par -te de los co no ci mien tos dis po ni bles. Más ade lan te se ana li za rácó mo en se ñar les a los alum nos la ta rea de an ti ci pa ción y con trol.

¿Qué otras es tra te gias po drían usar se, ade más depa ra re sol ver ese cál cu lo?

Por ejem plo:

1 250 + 1 000 = 2 250; 2 250 + 250 = 2 500

1 000 + 1 000 + 500 = 2 500

1 000 + 1 000 + 250 + 250 = 2 000 + 500 = 2 500

1 250 + 250 = 1 500 y 1 500 + 1 000 = 2 500

1 250 + 1 250 = 2 500

Si en una cla se apa re cen for mas de re so lu ción di fe ren tes, es por -que los chi cos apren die ron a se lec cio nar la que con si de ran mássen ci lla, tie nen a su car go de ci dir qué nú me ros des com po ner,pue den con tro lar los pa sos in ter me dios de los cál cu los que ha -cen y eli gen las for mas de re pre sen tar ca da cál cu lo. Abor da re -mos a con ti nua ción di fe ren tes pro pues tas pa ra que los alum nosad quie ran esos co no ci mien tos.

1 2 5 0

+1 2 5 0

2 410 0

1 250

+ 1 250

2 500

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PA RA HA CER CÁL CU LOS MEN TA LES ES PRE CI SODIS PO NER DE AL GU NOS EN LA ME MO RIA

Los adul tos te ne mos en la me mo ria un con jun to de re sul ta dos muyúti les pa ra ha cer otros cál cu los. Por ejem plo, pa ra el cál cu lo an te -rior ya sa be mos que 1 000 + 1 000 = 2 000 o que 250 + 250 = 500.Pa ra ha cer cual quier cál cu lo men tal nos apo ya mos en re sul ta dospar cia les co no ci dos. Sa be mos que pa ra los chi cos es mu cho mássen ci llo rea li zar cál cu los con nú me ros que ten gan la uni dad se gui -da de ce ros (a me nu do tam bién lla ma dos nú me ros “re don dos” o“nu dos”) aun que sean gran des, que ha cer lo con nú me ros no “re -don dos”, aun que sean más pe que ños. Por ejem plo, es más sen ci llorea li zar 4 000 + 4 000 e in clu so 40 000 + 40 000 que 234 + 319.

Se pro po ne que en ca da año se pre sen te un con jun to de cál cu -los sen ci llos, de nú me ros re don dos, pa ra que po co a po co losalum nos los uti li cen pa ra re sol ver otros (p. ej., usar 4 000 + 4 000pa ra re sol ver 4 120 + 4 120). Du ran te un tiem po los alum nos po -drán con sul tar esos re sul ta dos, lue go se rea li za rán ac ti vi da desque les per mi tan sis te ma ti zar los y or ga ni zar los, y, por úl ti mo, sepro pon drá su me mo ri za ción.

Se rá pro ve cho so tra ba jar du ran te va rios días con cál cu los si mi la -res, de mo do que los chi cos pue dan es ta ble cer re la cio nes en trelos re sul ta dos co no ci dos y los que bus can ob te ner.

Se gu ra men te ya co no ce rán des de el pri mer ci clo al gu nos re sul ta -dos. De no ser así, se pue den lle var a ca bo al gu nas ac ti vi da des pa raor ga ni zar los re sul ta dos co no ci dos por al gu nos alum nos del gru po,pa ra que se va yan di fun dien do. Se rá in te re san te con fec cio nar uncar tel en el que se va yan com ple tan do los cál cu los que se es pe raque se pan de me mo ria en un tiem po bre ve. Los chi cos po dráncom ple tar los car te les y a la vez co piar los en sus car pe tas, pa ra con -sul tar los por un tiem po. La in ten ción es que em pie cen a sis te ma ti zary to mar con cien cia de los cál cu los que co no cen y de los que es tánapren dien do. In clu so po drán mar car con co lo res di fe ren tes los

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co no ci dos y los que aún no co no cen, e ir mo di fi can do esas mar casa me di da que au men ta su re per to rio de cál cu los me mo ri za dos. Pa -ra prac ti car con esos cál cu los po drán rea li zar se di ver sas ac ti vi da des.

AC TI VI DA DES PA RA FA VO RE CER LA CONS TRUC CIÓN DE UN

CON JUN TO DE RE SUL TA DOS ME MO RI ZA DOS

• Re gis trar su mas ya co no ci das en gru pos pe que ños y lue gocom ple tar la lis ta en for ma co lec ti va.

• Re gis trar res tas ya co no ci das en gru pos pe que ños y lue gocom ple tar la lis ta en for ma co lec ti va.

Restas denúmeroschicos

Restas que dannúmeros“redondos”

Restasfáciles

Restas quesabemos porlos dobles

Restar 10o 100

15 - 8 = 7 456 - 56 = 400 100 - 25 = 75 800 - 400 = 400

20 - 10 = 10

50 - 25 = 25

34 - 10 = 24

340 - 100 = 240

1 456 - 100 = 1 356

13 - 6 = 7 29 - 9 = 20 150 - 25 = 125

75 - 25 = 50

Sumasque dan1 000

Dobles Sumas denúmeros“redondos”

6 + 4 2 + 2 = 4

30 + 30 = 60

150 + 150 = 300

75 + 25 = 100

125 + 125 = 250

100 + 20 = 120

300 + 50 = 350

400 + 20 + 3 = 423

Sumassencillas omuy usadas

200 + 800

Sumasque dan10

Sumasque dan100

30 + 70

300 + 300 = 600

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• Su mas de nú me ros “re don dos”

• Cal cu lar mi ta des, do bles, tri ples y cuá dru ples de nú me ros“re don dos”

• Di vi sio nes de nú me ros “re don dos”

Mitad Doble Triple Cuádruple

100

1 500

2 500

2 200

500

100 : 2 =100 : 4 =1 000 : 2 =10 000 : 2 =200 : 4 =2 000 : 4 =4 400 : 2 =

6 300 : 3 =2 500 : 5 =8 400 : 4 =500 : 5 = 5 500 : 5 =5 550 : 5 =5 555 : 5 =

55 555 : 5 =700 : 7 = 7 700 : 7 =7 770 : 7 =7 777 : 7 =77 777 : 7 =

100 + 100 =1 000 + 1 000 =200 + 300 = 2 000 + 3 000 =150 + 150 =1 500 + 1 500 =2 400 + 2 300 = 3 300 + 2 700 =2 000 + 300 + 50 + 2 =

4 000 + 600 + 30 + 6 = 8 000 + 400 + 10 + 4 =7 000 + 300 + 70 + 2 = 500 + 500 + 500 + 500 =350 + 350 + 350 = 4 000 + 4 000 + 4 000 + 4 000 =250 + 250 + 250 + 250 + 250 =30 000 + 4 000 + 500 + 70 + 4 =20 000 + 5 000 + 600 + 30 + 2 =

100 000 + 600 +1 =200 000 + 5 000 + 50 =10 000 + 10 000 =20 000 + 20 000 =50 000 + 20 000 =

Nº

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Pa ra es tas ac ti vi da des se su gie re pre sen tar al gu nos cál cu los quelos chi cos re sol ve rán en for ma in di vi dual; lue go co mu ni ca rán có -mo pro ce die ron pa ra ob te ner el re sul ta do. Se es pe ra que ha ya unadi fu sión y cir cu la ción de es tra te gias, de ma ne ra que to dos los chi -cos pue dan apro piar se de las que en con tra ron sus com pa ñe ros.

• Ha cer lis tas de cál cu los me mo ri za dos.Es cri ban en es ta ta bla cál cu los que ya se pan de me mo ria. Al fi na -li zar agre guen al gu nos de los re sul ta dos de sus com pa ñe ros, queus te des se ol vi da ron pe ro en realidad tam bién los saben.

Es te ti po de ac ti vi da des apun ta a que los alum nos to men con cien -cia de la can ti dad de cál cu los que con ser van en su me mo ria. El re -co no ci mien to de su uti li dad se rá el im pul so pa ra apren der otros.

• Ha cer lis tas de cál cu los para memorizarSe les pro po ne a los alum nos com ple tar la ta bla con cál cu los que suscom pa ñe ros se pan y ellos aún no re cuer den. Ten drán que aprender losen un tiem po. Se po drán or ga ni zar mo men tos, dia rios o se ma na les, di ri -gi dos ex clu si va men te a am pliar el re per to rio de cál cu los me mo ri za dos.

Sumas Restas Multiplicaciones Divisiones

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• In ven tar cál cu los fá ci les con nú me ros da dos.Es ta ta bla es pa ra ju gar al “Tut ti Fru ti”. Se jue ga en gru pos de acua tro o cin co alum nos. Uno de ca da gru po lee en si len cio los nú -me ros de es ta lis ta. Un com pa ñe ro di ce “bas ta” y el alum no queleía los nú me ros anun cia cuál es ta ba le yen do. El res to de los chi -cos de ese gru po tie ne que lle nar la fi la con cál cu los que ten ganese nú me ro (pue de ser uno de los nú me ros con los cua les ope raro el re sul ta do). El pri me ro de ca da gru po que lle na su fi la di ce“Tut ti Fru ti”. Si son co rrec tos (los “du do sos” se com prue ban concal cu la do ra) es el ga na dor de la fi la.

Lis ta de nú me ros: 1 500, 2 000, 200, 400, 15, 25, 250, 2 500, 125, 1 250, 3 000, 80, 4000, 150, 5 000, 500, 10 000, 100, 1 000, etc. (sepue den agre gar o cam biar por otros nú me ros “re don dos”).Por ejem plo, si el nú me ro leí do es 500, los alum nos po drán lle narla fi la co rres pon dien te a ese tur no de jue go con al gu nos de es toscál cu los:

Sumas Restas Multiplicaciones Divisiones

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En al gu nos ca sos se rá ne ce sa rio otor gar pun ta jes “por ori gi na li dad”,tal co mo se rea li za en el jue go con ven cio nal, de mo do de in hi birpo co a po co que los chi cos usen al gún re cur so co mo su mar ores tar uno, mul ti pli car y di vi dir por uno, ya que esas so lu cio nesno exi gi rían tra tar con otras des com po si cio nes po si bles. In clu sose pue de de ci dir en con jun to con los alum nos cuá les cál cu los yano “va len” pa ra ju gar, por que son muy sen ci llos.

AC TI VI DA DES PA RA APREN DER A USAR RE SUL TA DOS, DA DOSO ME MO RI ZA DOS, PA RA HA CER OTROS CÁL CU LOS

• Al gu nos cál cu los us te des ya los sa ben de me mo ria. Úsen lospa ra pen sar en re sul ta dos de otros pa re ci dos.

Restas Multiplicaciones Divisiones GanadorSumas

500 500 × 10 = 5 000 500 : 5 = 100400 - 100 = 300500 + 500 = 1 000

Número

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Usen ese re sul ta do pa ra ave ri guar:

2 002 + 2 002 =2 001 + 2 001 = 2 300 + 2 300 = 2 250 + 2 250 = 2 000 + 2 000 + 2 000 =

• Es cri ban otros cál cu los que tam bién se pue dan ha cer usan doel re sul ta do de 2 000 + 2 000.

• 1 200 + 1 200 = 2 400. In ven ten cin co cál cu los que se pue danre sol ver con ma yor fa ci li dad usan do es te cál cu lo.

• Usar el cál cu lo 2 345 + 2 345 = 4 690 pa ra re sol ver es tos otros cál cu -los.Es cri bir los re sul ta dos, lue go ve ri fi car los con la cal cu la do ra.2 345 + 2 346 =; 2 355 + 2 355 =; 2 340 + 2 340 =;2 347 + 2 348 =; 23 450 + 23 450 =

• Usar el cál cu lo 678 + 678 = 1 256 pa ra re sol ver es tos otros cál cu -los. Es cri bir los re sul ta dos y lue go ve ri fi car los con la cal cu la do ra.678 + 679 =; 679 + 679 =; 6 780 + 6 780 =; 680 + 680 =; 688 + 688 =

• Usar el cál cu lo 1 250 x 7 = 8 750 pa ra re sol ver es tos otros cál cu los.Es cri bir los re sul ta dos y lue go ve ri fi car los con la cal cu la do ra.1 251 x 7 =; 1 250 x 8=; 12 500 x 7=; 1 250 x 70=; 125 000 x 7=

• Pa ra re sol ver es tos cál cu los pue den en con trar ayu da en al gu nosque es tán en los cua dros que ya lle na ron. Es cri ban al la do deca da cál cu lo cuál de ellos “ayu da”. 1 234 + 1 234 = (se es pe ra que los alum nos es cri ban 1 000+ 1 000 o 200 + 200 o 1 200 + 1 200, 4 + 4, etc.)

42 + 62 = 150 + 156 = 4 500 - 1 500 = 300 - 149 =

2 000 + 2 000 = 4 000

COM PREN DER LAS RE LA CIO NES EN TRE NÚ ME ROSAYU DA A ME MO RI ZAR RE SUL TA DOS. EL CA SO DELA TA BLA PI TA GÓ RI CAEn el pri mer ci clo los chi cos con se gu ri dad han es tu dia do e in -ten ta do me mo ri zar “las ta blas de mul ti pli car”, a ve ces con no muybue nos re sul ta dos. A los alum nos del cuar to año se les pue depro po ner un tra ba jo de ex plo ra ción de las re la cio nes nu mé ri casin vo lu cra das en la ta bla pi ta gó ri ca, lo que ayu da rá a su pos te riorme mo ri za ción y re cons truc ción, y pre ven drá con tra los “ol vi dos”.

Vea mos en la si guien te ta bla pi ta gó ri ca al gu nas re la cio nes.

Los chi cos de se gun do ci clo ya sue len co no cer la pro pie dadcon mu ta ti va: 4 × 6 = 6 × 4; 7 × 8 = 8 × 7, etc. Los alum nos po dránen sa yar ex pli ca cio nes de por qué en la ta bla pi ta gó ri ca al gu nosnú me ros se re pi ten y otros no.

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Al gu nos alum nos no ta rán que en tre las co lum nas hay re la cio nesde do bles, tri ples, cuá dru plos, etc. Por ejem plo:

“los pro duc tos de la co lum na del 8 son el do ble que los de laco lum na del 4”,

“los pro duc tos de la co lum na del 4 son el do ble que los de laco lum na del 2”,

“los pro duc tos de la co lum na del 8 son el cuá dru plo que los de laco lum na del 2”,

“los pro duc tos de la co lum na del 6 son el do ble que los de laco lum na del 3”,

“los pro duc tos de la co lum na del 10 son el do ble que los de laco lum na del 5”, et cé te ra.

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Evi den te men te, los chi cos po drán en con trar las ra zo nes de es tasre la cio nes. Mul ti pli car por 8 equi va le a ha cer lo por 4 y lue go por2; mul ti pli car por 6 es igual que ha cer lo por 3 y lue go por 2, etc.En tér mi nos nu mé ri cos, 6 × 9 = 6 × 3 × 3 y 8 × 8 = 8 × 2 × 2 × 2.La pro pie dad que in ter vie ne aquí es la aso cia ti va. De ve lar es tasre la cio nes per mi ti rá re cons truir pro duc tos nue vos apo yán do seen otros da dos.

Por ejem plo:

• Da das es tas co lum nas, ¿cuá les otras po drás com ple tar?

Otras re la cio nes que los alum nos po drán en con trar son al gu nas“su mas y res tas”. Por ejem plo, los pro duc tos de la co lum na del 3 su -ma dos a los de la co lum na del 5 dan co mo re sul ta do los pro duc -tos de la co lum na del 8. Los pro duc tos de la co lum na del 7 tam -bién se ob tie nen de la su ma de los de las co lum nas del 4 y el 3 o

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5 6 7 8 9 10×

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de la di fe ren cia en tre los de las co lum nas del 9 y el 2. Es to “fun cio -na” por la pro pie dad dis tri bu ti va de la mul ti pli ca ción:

6 × 8 = 6 × 5 + 6 × 3

9 × 7 = 9 × 9 - 9 × 2

Pa ra reu ti li zar es tas re la cio nes los alum nos po drán rea li zar ac ti vi -da des co mo las si guien tes:

• A par tir de es tas co lum nas, y su man do y res tan do, ob te nerlos re sul ta dos de otras.

Lue go del es tu dio de es tas re la cio nes en tre los nú me ros de lata bla pi ta gó ri ca y de la iden ti fi ca ción de las pro pie da des quesub ya cen a es tas re la cio nes, los alum nos es ta rán en me jo res con -di cio nes pa ra la me mo ri za ción. És ta exi gi rá, sin du da, un tiem po

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de tra ba jo en el que los chi cos au men ta rán pro gre si va men te losre sul ta dos me mo ri za dos. Pue den pro po ner se ta blas va cías y quelos alum nos, du ran te va rias se ma nas, com ple ten en un tiem poda do con los re sul ta dos que ya co no cen. Pa ra la pró xi ma vezde be rán es tu diar los que aún no lo gra ron me mo ri zar.

O bien com ple tar par tes de la ta bla pi ta gó ri ca:

Se in ten ta rá fa vo re cer el es tu dio de la to ta li dad de los re sul ta dosde la ta bla en for ma con jun ta, pa ra no “per der de vis ta” las re la -cio nes nu mé ri cas ana li za das.

LAS ES TRA TE GIAS DE CÁL CU LO MEN TAL SEAPO YAN EN PRO PIE DA DES DE LAS OPE RA CIO NESY DE LOS NÚ ME ROS

Los chi cos –y tam bién los adul tos– usan in tui ti va men te las pro pie -da des de las ope ra cio nes in clu so cuan do no co no cen sus nom bres

2

4

6

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10×

6

7

8

9

6 7 8 9×

27

o no las ex pli ci tan. En el se gun do ci clo se tra ta rá de pro po ner con -jun tos de cál cu los si mi la res que apun tan a una mis ma es tra te gia.Al gu nos alum nos in ven ta rán es tra te gias pa ra re sol ver los; ellas po -drán di fun dir se al res to de la cla se y lue go prac ti car se. Se es pe raque a tra vés de un uso ini cial in tui ti vo de ca da pro pie dad, ca da unapue da ex pli ci tar se y reu ti li zar se.

Los cál cu los men ta les se apo yan en las pro pie da des con mu ta ti -va, aso cia ti va y dis tri bu ti va, así co mo en las pro pie da des del sis -te ma de nu me ra ción de ci mal.

AC TI VI DA DES PA RA USAR Y ES TU DIAR PRO PIE DA DES DE

LAS OPE RA CIO NES

• ¿Son igua les o no? Co lo cá ver da de ro o fal so sin ha cer la cuen ta.Jus ti fi cá tu res pues ta. Lue go ve ri fi cá tus an ti ci pa cio nes con lacal cu la do ra y en con trá en qué te con fun dis te.

Al gu nos de los cál cu los se lec cio na dos son vá li dos y otros no.El ob je ti vo de es ta ac ti vi dad es, jus ta men te, dis cu tir, lue go de lare so lu ción, que en la su ma y en la mul ti pli ca ción se pue den apli -car las pro pie da des con mu ta ti va, aso cia ti va y dis tri bu ti va pa ra lasu ma y la mul ti pli ca ción. Tam bién apun ta a ana li zar por qué mul -ti pli car por 10 y lue go por 4 no es equi va len te a ha cer lo por 14 si no

5 460 : 12 = 5 460 : 4 y el re sul ta do : 35 460 : 12 = 5 460 : 10 + 5 460 : 25 460 : 12 = 5 460 : 10 y lue go el re sul ta do : 25 460 : 12 = (5 460 : 6) : 26 780 : 18 = 6 780 : 9 y el re sul ta do : 26 780 : 18 = 6 780 : 10 + 6 780 : 86 780 : 18 = (6 780 : 6) : 3

3 591 + 98 765 + 91 232 = 91 232 + 98 765 + 3 5914 356 + 4 002 = 4 000 + 4 000 + 356 + 2209 + 205 + 1 202 = 1 200 + 200 + 200 + 14 + 2239 × 12 = 200 × 10 + 39 × 12239 × 12 = 239 × 10 + 239 × 2239 × 12 = 239 × 4 × 3239 × 12 = 239 × 6 × 6398 × 14 = 398 × 7 × 2398 × 14 = 398 × 10 × 4398 × 14 = 398 × 10 + 398 × 4

a mul ti pli car por 40. Por úl ti mo, res pec to de la di vi sión se rá ne ce -sa rio enun ciar que el di vi sor pue de des com po ner se en fac to res(di vi dir por 12 equi va le a di vi dir pri me ro por 4 y lue go por 3) y noen dos nú me ros que su ma dos den 10 (di vi dir por 10 y lue go por2 equi va le a di vi dir por 20, pe ro no a ha cer lo por 12).Las ac ti vi da des si guien tes apun tan a rein ver tir los co no ci mien -tos nue vos pro du ci dos a par tir del pro ble ma an te rior:

• Es cri bí di fe ren tes for mas de rea li zar es tos cál cu los. Lue go, dis -cu tí con tu com pa ñe ro si son co rrec tas. Fi nal men te, ve ri fi cálas “du do sas” con la cal cu la do ra.

• ¿Cuál de los cál cu los de la pri me ra co lum na da rá lo mis moque los de la se gun da co lum na?

28

3 672 - 1 431 =a)b)c)

9 142 : 14 =a)b)c)

3 451 + 2 222 =a)b)c)

3 461 × 12 =a)b)c)

24 × 36

2 × 6 × 6 × 6

6 × 4 × 6 × 6

8 × 3 × 2 × 6 × 4

24 × 48

36 × 12

3 × 2 × 6 × 6 × 2

29

• Rea li zá es tos cál cu los en la cal cu la do ra sin apre tar la te cla del2. Ano tá qué cál cu los vas ha cien do.

En es te ca so, la res tric ción de no usar el 2 obli ga a rea li zar di fe -ren tes des com po si cio nes. ¿Cuá les se rán vá li das y cuá les no? ¿Porqué? Tam bién la in ten ción aquí es reu ti li zar las pro pie da desapren di das.

El pro ble ma si guien te tam bién con sis te en la pro pie dad dis tri bu -ti va, apli ca da a un ca so pun tual: nú me ros que tie nen uno más ouno me nos que un nú me ro re don do. Por ejem plo, ope rar con 19,199, 2 999 o 101, 3 001, 1, et cé te ra.

20 x 19 pue de pen sar se co mo 20 x 10 + 20 x 9 o co mo 20 x 20 - 20

Se pue de co men zar con nú me ros pe que ños: 3 x 19; 2 x 29; 4 x 49,y des pués de com pa rar las es tra te gias usa das se mues tra la eco -no mía de “re don dear pa ra arri ba”, pen san do el 19 co mo 20, el 29co mo 30, et cé te ra.

Una vez iden ti fi ca da y di fun di da es ta es tra te gia, se po drá in ves ti -gar con nú me ros ma yo res: 120 x 99; 199 x 5; 1 999 x 20, et cé te ra.

La mis ma es tra te gia tam bién se po drá usar pa ra “re don dear pa raaba jo” y lue go agre gar. Por ejem plo:

101 x 8 se pien sa co mo (100 x 8) + (1 x 8)

2 001 x 5 se pien sa co mo 2 000 x 5 y al re sul ta do se le su ma 5, et cé te ra.

Co mo he mos men cio na do va rias ve ces, se tra ta rá de ofre cer unase rie de cál cu los si mi la res, y lue go de la ex pli ci ta ción y di fu sión

2 000 + 200 =2 200 + 20 =3 200 - 1 200 =2 500 - 1 200 =

2 000 × 5 =2 002 × 2 =10 × 12 =20 × 6 =

360 : 12 =4 000 : 20 =

30

de las es tra te gias, se prac ti ca rán y fi nal men te se eva lua rán losmis mos ti pos de cál cu los que se en se ña ron.

• Rea li zá es tos cál cu los usan do la es tra te gia de mul ti pli car porel nú me ro re don do más pró xi mo y lue go res tar o su mar:

• Sa bien do que 12 x 14 = 168, re sol vé los cál cu los si guien tes

sin ha cer las cuen tas:En es te ca so el pro ble ma exi ge es ta ble cer re la cio nes en tre los fac -

to res en los cua les se pue den des com po ner el 12 y el 14. Co mo 12es equi va len te a 6 x 2, y 14 a 7 x 2, se rá ne ce sa rio ana li zar, por unla do, la ope ra ción in ver sa y es ta ble cer re la cio nes del ti po “si di vi -do por 14 da 12; si di vi do por 7, co mo es la mi tad, da rá el do ble”.

• Sin ha cer la cuen ta de di vi dir, pen sá cuál va a ser el res to:En es te ca so el co no ci mien to ex per to, que per mi te re sol ver es te

pro ble ma, son los cri te rios de di vi si bi li dad. Sin em bar go, aun quelos alum nos aún no los ha yan es tu dia do, po drán de du cir cuál esel res to ape lan do al cál cu lo men tal, da do que son nú me ros re -don dos cu yas di vi sio nes ca si es tán dis po ni bles y me mo ri za das.Se rá in te re san te ele gir uno o dos de és tos pa ra que los alum nos

199 × 20 =201 × 10 =

19 × 200 =1 999 × 10 =

2 001 × 20 =2 002 × 3

168 : 12 =168 : 14 =168 : 6 =

168 : 3 =168 : 7 =168 : 2 =

168 : 4 =168 : 42 =

201 : 2 =203 : 5 =12 001 : 2 =3 333 : 3 =

3 334 : 3 =666 : 6 =667 : 6 =2 000 : 4 =

2 001 : 4 =2 002 : 4 =2 003 : 4 =2 004 : 4 =

31

los re suel van en for ma in di vi dual. Si no en cuen tran la for ma sinha cer la cuen ta, se pue de ha bi li tar es ta es tra te gia. En la pues ta enco mún se in ten ta rá que cir cu len ex pli ca cio nes del ti po: “Co mo200 : 2 es 100 y no so bra na da, si es 201 so bra 1”, o “si 666 : 6 es111, con 667 so bra rá 1 tam bién”, et cé te ra.

AC TI VI DA DES QUE APUN TAN A EX PLO RAR LA RE LA CIÓN EN TRE

DI VI DEN DO, DI VI SOR, CO CIEN TE Y RES TO

Se pue den pre sen tar pro ble mas que apun ten, en pri mer lu gar, aque los alum nos pon gan en jue go la re la ción di vi den do = di vi sor× co cien te + res to.

Si los chi cos no co no cie ran o no re cor da ran los nom bres de ca dauno de los pa pe les que de sem pe ñan los nú me ros en una di vi -sión, se los pue de pre sen tar, pa ra que los re cuer den, o in for mar,pa ra que los con sul ten mien tras re suel ven los pro ble mas. Por ejem plo:

• En la cuen ta de di vi dir, ca da nú me ro re ci be un nom bre se gúnla fun ción que ocu pa.

No se tra ta de co mu ni car de en tra da la re la ción in for man do queel co cien te por el di vi sor más el res to equi va len al di vi den do, si -no de te ner la opor tu ni dad, du ran te al gu nas cla ses, de ex plo raresa re la ción con pro ble mas sen ci llos, al co mien zo apun tan do asu uso más im plí ci to y ex pli ci tar la con pos te rio ri dad.

Con al gu nos de es tos pro ble mas los chi cos po drán ex plo rar queel di vi den do se ob tie ne a par tir del pro duc to del di vi sor y el co -cien te más el res to.

102 5

2 20

Dividendo Divisor

CocienteResto

32

Por ejem plo:• ¿Cuál se rá el di vi den do si el res to es 3, el di vi sor es 7 y el co -

cien te es 121?

• ¿Exis ten es tas cuen tas? Si te pa re ce que hay erro res ex pli cácó mo te dis te cuen ta.

• ¿Exis te una cuen ta con co cien te 18, di vi sor 18 y res to 4? ¿Cuálse rá el di vi den do?

Otros pro ble mas apun ta rán a que to men con cien cia de que elres to siem pre es me nor que el di vi sor. Por ejem plo:

• ¿Pue de ser 4 el res to de un nú me ro di vi di do 7?

• ¿Pue de ser 7 el res to de un nú me ro di vi di do 4?

• ¿Exis te una cuen ta con res to 18 y di vi sor 4?

• ¿Cuán tos res tos di fe ren tes pue de ha ber en una cuen ta cu yodi vi sor es 14?

Y al gu nos per mi ti rán ex plo rar la ga ma de so lu cio nes po si bles.Por ejem plo:

• Bus cá di fe ren tes cuen tas con co cien te 14 y di vi sor 8. ¿Cuán tasso lu cio nes tie nen?

• Pen sá cuen tas que ten gan co cien te 12 y di vi sor 5. ¿Cuán tasso lu cio nes hay?

• ¿Hay cuen tas con co cien te 18 y di vi sor 4? Si res pon dés que sí,¿cuán tas hay?

124 5

4 25

4 567 8

7 555

3 476 23

24 124

33

• ¿Cuán tas cuen tas hay que ten gan res to 4 y di vi sor 5?

• ¿Cuán tas cuen tas pue den te ner di vi sor 4 y res to 5?

Me dian te la re so lu ción y el de ba te en tor no de es tos pro ble masse po drán ir re gis tran do con clu sio nes acer ca de en qué ca sos nohay cuen ta po si ble, en cuá les hay va rias so lu cio nes, cuál es la for -ma de en con trar el di vi den do, y qué res tric cio nes hay en la re la -ción en tre el res to y el di vi sor.

Es im por tan te an ti ci par que aun cuan do los chi cos es tén en con -di cio nes de re sol ver di vi sio nes por me dios al go rít mi cos, mu chosde es tos pro ble mas les pre sen ta rán de sa fíos nue vos.

AC TI VI DA DES PA RA TRA BA JAR CON LA MUL TI PLI CA CIÓN POR LA

UNI DAD SE GUI DA DE CE ROS

Se gu ra men te los chi cos ha brán es tu dia do la re gla de la mul ti pli -ca ción por la uni dad se gui da de ce ros en el pri mer ci clo. Los pro ble masque aquí se pro po nen apun tan a una ma yor pro fun di za ción desu uso, a su ex ten sión a nue vos ti pos de pro ble mas y cál cu los, y aela bo rar una com pren sión ma yor de las ra zo nes por las cua les seagre gan ce ros.

• Com ple tá las pri me ras co lum nas de la ta bla –sin usar la cal cu -la do ra– y lue go ve ri fi cá los re sul ta dos ob te ni dos.

Número original

45

Operación arealizar

Número aobtener

Control concalculadora

34

× 10

× 100

÷ 100

50

45 000

200 000

340

24 000

34

• Com ple tar se ries de cál cu los rea li za dos con la cal cu la do ra.Por ejem plo: si gan la se rie de pa sos de cál cu los pa ra lo grarque, en el vi sor de la cal cu la do ra, les apa rez ca, en for ma su ce -si va, la si guien te se rie de nú me ros:

Los alum nos po drán pro bar con di fe ren tes cál cu los y re gis trarca da in ten to. Por ejem plo:

• ¿Por qué se agre gan o qui tan ce ros?

Una vez que los chi cos se ma ne jan con co mo di dad con la re gu la -ri dad en tre la mul ti pli ca ción y la di vi sión por la uni dad se gui da dece ros, se rá in te re san te pro mo ver con ellos un de ba te acer ca depor qué se agre gan ce ros. Una es tra te gia po si ble de or ga ni za ciónde la cla se se rá que ca da gru po dis pon ga de un tiem po pa ra pre -pa rar una ex pli ca ción que con ven za a los de más com pa ñe ros. Sees pe ra que pue dan ana li zar los fun da men tos de la re gla que des -cu brie ron y usan. Por ejem plo, con pen sa mien tos co mo “al mul ti -pli car el 3 por diez, el 3, que era de las uni da des, pa sa a ser de lasde ce nas y es ne ce sa rio un 0 pa ra lle nar la po si ción va cía de lasuni da des. Si se mul ti pli ca por 100, pa sa a ser 3 cen te nas y se pre -ci san dos ce ros pa ra la po si ción de de ce nas y uni da des” o “el 3 pordiez es trein ta y si no le po nés el ce ro, el tres si gue sien do un tres,hay que co rrer lo pa ra el lu gar de las de ce nas”, et cé te ra.

Es tu diar la mul ti pli ca ción y la di vi sión por la uni dad se gui da dece ros se rá útil pa ra re sol ver una gran can ti dad de cál cu los.

3 300 30 0003 000 3

300 × 100 = 30 000 sí me dio

30 000 : 100 = 300 no me dio

30 000 : 1 000 = 30 no me dio

30 000 : 10 000 = 3 sí me dio

3 × 100 = 300 no me dio

3 × 1 000 = 3 000 sí me dio

3 000 × 10 = 30 000 no me dio

3 000 : 10 = 300 sí me dio

35

• Com ple tar el nú me ro que fal ta y ve ri fi car con cal cu la do ra:

• Es cri bir en la cal cu la do ra el 56. ¿Qué cál cu lo le ha rías pa ra que secon vier ta en 560?, ¿y en 5 600?, ¿y en 56 000?, ¿y en 56 000 000?

• Es cri bir en la cal cu la do ra el nú me ro 18. ¿Qué cál cu lo ha ríaspa ra que se con vier ta en 180?, ¿y en 1 800?, ¿y en 18 000?, ¿yen 180 000?

• Es cri bir en la cal cu la do ra el nú me ro 33 000 000. ¿Qué cál cu loha rías pa ra que se con vier ta en 33 000?; ¿y en 33?, ¿y en 330?

• Un jue go pa ra ju gar de a pa re jas. Pre ci san una cal cu la do ra. Un com pa ñe ro ano ta un nú me ro (por ejem plo, 35). Le da lacal cu la do ra a su com pa ñe ro quien de be trans for mar lo ha cien douna cuen ta que cam bie el 35 por otro. So la men te pue de usarlos sig nos de × y % y los nú me ros 10, 100 y 1 000, y su com pa ñe rono de be ver lo. Le de vuel ve el nú me ro trans for ma do (porejem plo, si apre tó × 100 le de vol ve rá el 3 500). El pri mer com -pa ñe ro de be vol ver a trans for mar lo en el 35 (co mo de be ráha cer lo in ver so que hi zo su com pa ñe ro, en es te ca so de be rádi vi dir por 100).

• Di vi dir y mul ti pli car con mu chos ce rosDi vi dir y mul ti pli car por la uni dad se gui da de ce ros per mi te ha cercál cu los con nú me ros muy gran des en for ma muy ve loz (no ha cefal ta sa ber có mo se lla man los nú me ros, aun que lue go pue danave ri guar lo).

5 000 × 4 =40 000 × 5 =20 000 × 4 =

200 × 22 =20 × 5 000 =10 000 : 10 =

45 670 : 10 =

32 × = 32032 × = 3 20032 × = 32 000

32 × = 320 00047 000 : = 4747 000 : = 470

47 000 × = 470 00047 000 : = 47

36

1 000 000 000 000 000 000 : 1 000 000 000

1 000 000 000 × 1 000 000 000

Se gu ra men te al gu nos chi cos ha rán la cuen ta o tra ta rán de es cri -bir esos nú me ros en la cal cu la do ra. Se rá su fi cien te con que al gu -nos en cuen tren una es tra te gia li ga da a con tar los ce ros pa ra ge -ne rar un mo men to de di fu sión de és ta. Lo in te re san te de esaes tra te gia es que per mi te re sol ver el cál cu lo aun que no se se pael nom bre del nú me ro.

• ¿Cuá les de es tos cál cu los dan el mis mo re sul ta do? No se pue -de ha cer la cuen ta.

És te tam bién se rá un pro ble ma com ple jo pa ra mu chos chi cos. Seapun ta rá a que, en pa re jas o en gru pos pe que ños, ex plo ren có -mo ha cer pa ra dar se cuen ta sin ha cer el cál cu lo. Lue go de untiem po de in ves ti ga ción se or ga ni za rá un tra ba jo co lec ti vo entor no de la ex pli ci ta ción de los cri te rios usa dos pa ra an ti ci par laigual dad de cál cu los.

AC TI VI DA DES PA RA AVE RI GUAR EL RES TO EN LA DI VI SIÓN POR

LA UNI DAD SE GUI DA DE CE ROS

• ¿Se pue de sa ber cuál se rá el co cien te y el res to sin ha cer lacuen ta? Si no te sa le, ha cé la cuen ta e in ten tá en el si guien tever si se pue de sa ber sin ha cer cuen tas.

3 000 × 4 000 =

300 × 40 000 =

400 × 30 000 =

300 × 4 000 =

3 000 × 400 =

3 × 4 000 000 =

12 × 1 000 000 =

12 × 100 000 =

3 000 000 × 4 =

37

• Juan di ce que mi ran do el nú me ro 4 567 sa be cuál va a ser elres to al di vi dir por 1 000, por 100 y por 10, ¿pue de sa ber só lomi ran do el nú me ro?, ¿có mo ha ce?

AC TI VI DA DES PA RA IN VES TI GAR EL ROL DEL CE RO Y EL UNO EN

LAS DI FE REN TES OPE RA CIO NES

Otro as pec to in te re san te pa ra tra ba jar con los chi cos es el lla ma -do “ele men to neu tro” y “ele men to ab sor ben te”. En tér mi nos de loschi cos se les pue de pro po ner in ves ti gar el rol del 0 y del 1 en lasdi fe ren tes ope ra cio nes. Por ejem plo:

• ¿Qué su ce de cuan do se su ma, res ta, mul ti pli ca o di vi de por 1?¿Y por 0? ¿Hay al gu na ope ra ción que no se pue da ha cer? Es -cri ban en gru po las con clu sio nes a las que arri ben y den unejem plo de ca da afir ma ción.

• En con trar rá pi do los re sul ta dos de es tos cál cu los (no es ne ce -sa rio sa ber có mo se lla man los nú me ros pa ra rea li zar lo, aun -que pue den ave ri guar lo lue go):

Resto

43

CocienteDivido por

10

10

100

100

10

34

980

343

2 345

2 000

Número

4 556 432 : 4 556 432 =

64 656 632 × 0 =

123 454 656 432 × 1 =

345 877 542 - 1 =

345 098 980 + 1 =

145 654 123 + 0 =

111 111 111 111 : 1 =