Captulo 3 Modelo de ProbabilidadesII-2001

Lecturas: Recomendadas1.- B. Eyzaguirre , C. Le Foulen, X. Hinzpeter: Los chilenos no saben lo que leen Revista 230. CEP. www.cep.cl Lectura obligatoria

2.- A Philosophical Essay in Probabilities. Marquis de Laplace. Pierre Simon Dover publications, Inc 1951 (Grupo 1): General principles of the calculus of Probability + Concerning Probability ( Grupo2 ): General principles of the calculus of Probability + Concerning Hope

Entregar por escrito un resumen incluyendo anlisis critico y discusin Viernes 31 de agosto de 2001 a las 17:00 ( Quiz 3)

Experimento aleatorio : Espacio Muestral : Espacio Muestral : Discreto , ContinuoEvento o SucesoSucesos elementales, seguros e imposiblesProbabilidad : grado de certidumbreProbabilidad y Juegos de AzarProbabilidad y Frecuencia relativaProbabilidad Subjetiva (Personal)Conceptos Bsicos

Experimento Aleatorio: Proceso en observacinEvento Elemental: -Resultado de un experimento indivisible -Mutualmente Excluyentes: si ocurre uno no existe posibilidad de observar otro - Equiprobable : Cada evento simple tiene identica probabilidadEspacio Muestral El conjunto de todas las observaciones elementalesEvento A - El conjunto de todos los eventos elementales observaciones posibles que resultan en la ocurrencia del evento AConceptos Bsicos

Conjuntos y EventosW (S)(S): Espacio Muestral: Todos los posibles resultados elementaless S, resultado elemental:Familia de todos los eventos posibles de S , luego es un Evento s , luego evento imposibleS , luego S es el Evento SeguroA y B , luego son eventosAB ; AB ; Ac , son eventosABs W

Conjuntos vs. EventosTeora ConjuntosTeora ProbabilidadesS WUniversoEspacio MuestralConjunto PotenciaFamilia Clases de EventosA A subconjunto de SA es un Eventos As es elemento de AOcurre el evento AConjunto vacoEvento ImposibleSUniversoEvento SeguroABA unin BEvento A o Evento B AB A interseccin BEvento A y Evento BAc Complemento de AEvento no-AA BA es subconjunto de BA implica BAB= A y B son disjuntosA y B mutuamente excluyentes

Se toma al azar una esfera de la urna I Se transfiere a la urna II, se mezclan bien. Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II. cul es la probabilidad a priori que sea verde?Experimento Aleatorio

Espacio MuestralTraspasar Roja # 1Traspasar Verde # 1Traspasar Verde # 2Distintas formas como puede resultar el experimento. Ya que las esferas has sido sacadas al azar, cada uno de ellos tiene la misma posibilidad de ocurrirIIIIIII1234

5678

9101112

Probabilidad es una medida de la incertidumbre (Estimacin de la probabilidad)Terica - A PrioriPr (Ai) = n / N n = nmero de posible formas en queAi puede ser observadoN = nmero total de resultados posiblesHistrica (emprica-frecuencia) - A PosterioriPr (Ai) = n/Nn = nmero de veces que ocurrio AiN = nmero total de observacionesSubjetiva La Opinin de un ExpertoNociones de Probabilidad

Modelo ProbabilsticoSea una Distribucin de Probabilidad P, funcin que asigna a cada sub-conjunto razonable de un valor entre 0 y 1.Sea 2 coleccin de eventos razonables de (-lgebra)P: [0;1]Modelo de Probabilidad= (, , P)

Clculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables)

Nocin intuitiva:

P(A) = Resultados favorables al evento AResultados posibles

Nocin frecuentista:

Sea N: N total de veces que se realiza un experimentoNA: N total de veces que ocurre A

P(A) =

Elegir 1 objeto al azar, significa que cada objeto tiene la misma probabilidad de ser elegido. P(elegir ai ) = 1/ NElegir 2 objetos al azar significa que cada par de objetos tiene la misma probabilidad de ser selecionado. Supongamos que existen K de tales pares, entonces la probabilidad de elegir un par cualesquieres es 1/ K.Elegir r objetos aleatoriamente, r < N, signifiva que cada r-tupla de objetos tiene la misma probabilidad de ser seleccionada que cualquier otra r-tupla.ObservacinEn muchas ocasiones nos preocupamos de elegir de manera aleatoria uno o ms objetos desde una coleccin de objetosSea N el nmero de objetos.

Probabilidad AxiomticaAxioma 1:P(A) 0Axioma 2:P() = 1

Suponiendo que A1, A2,..... son eventos mutuamente excluyentes

Axioma 3:P(Ai) = P(Ai)

Propiedades1. P() = 02. P(A) 13. P(AC) = 1 - P(A)4.Si A B P(A) P(B)5.P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)P(Ai) P(Ai)Si A B P(B-A) = P(B) - P(AB)

Espacio Muestral FinitoSea S = {s1, s2, s3, ...., sN } Espacio Muestral Finito Ei = {si} i =1,..N Evento Elemental Ei = S Mutuamente excluyentes de a pares

Aplicando los axiomas se tiene P(Ei) = fi > 0 i =1, 2, 3, .. , N; P( Ei) = 1 S fi = 1Como Ei Ej = 0 i j P(Ei Ej)=P(Ei) + P(Ej)NiNi

Probabilidad CondicionalSean A, B dos sucesos tal que P(B) > 0.La probabilidad de A condicionada a la ocurrencia de B, denotada como P(A/B) :

P(A/B) = P(AB) P(B)Propiedades:1.P(A/B) 02.P( /B) = 13.P(Ai/B) = P(Ai/B) con Ai Aj = , i, j : i j

Probabilidad CondicionalABWCentra el foco de atencin en el hecho que se sabe que han ocurrido el evento B

Estamos indicando que el espacio muestral de inters se ha reducido slo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B

Entonces, P(A | B) mide la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B

Probabilidad Condicional100% piezasManufacturadasEvento A = { pieza funcionalmente defectuosa} B = { pieza tiene una falla visible en la superficie}

P( A dado B) = P(A | B) ?

Casos Probabilidad Condicional

Probabilidad TotalSean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente

excluyentes : P( ) = 1

Entonces

P(A) =

Consecuencia (Regla de Bayes):

P(Bi/A) = P(A/Bi) P(Bi) P(A)

Probabilidad TotalB1B2B3B4AB4AB3AB1AB2B5 Sean B1, B2,....,Bn eventos mutuamente excluyentes

P( Bi ) = 1

Entonces P(A) = P(A | Bi) P(Bi)A Equipo FalladoEquipo Manufacturado en Planta B2n=ni1

Regla de BayesP (Bi | A ) =P (Bi) P (A | Bi )P (Bi) P (A | Bi )BiBj = ; i j

Bi = S jSupongamos de que se elige aleatoriamente un Equipo y se encuentra que est fallado. cul es la probabilidad que sea manufacturado en Planta B3 ?

Se pide P(B3 | A); pero slo se conoce P(A Bi), i = 1, 2, 3, .. , k

Sabemos que P(A Bi) = P( A | Bi ) P(Bi) = P(Bi | A) P(A)

j

Probabilidad MultiplicativaLey Multiplicativa:

siempre que:

El Nmero de maneras diferentes de elegir o sacar un elemento de del conjunto 1 que tiene n1 elementos, luego un elemento de un conjunto 2 que tiene n2 elementos, ... , y finalmete un elemto del k-simo conjunto que tiene nk elemetos, en DONDE EL ORDEN COMO SE SELECCIONA ES IMPORTANTE n1* n2* ......* nkRegla de la Multiplicacin

Ejemplo 3.11) Sean A,B sucesos de un mismo modelo de probabilidad (, , P) tales que:

P(B)=0,4 P(AB)=0,7P(A/B)=0,75

Determinar:

P(AC) ; P(A-B) ; P(ACBC) ; P(A/BC)

SolucinP(AC) = 1 - P(A)P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)P(AB) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6P(AC) = 0,4

P(A-B) = P(ABC) = P(A) - P(AB) = 0,6 - 0,3 = 0,3

P(ACBC) = P(AC) + P(BC) - P(ACBC)P(ACBC) = P(BC) - P(ABC) = 0,6 - 0,3 = 0,3Luego P(ACBC) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7

P(A/BC) = P(ABC) = 0,3 = 0,5 P(BC) 0,4

Ejemplo 3.2Un procesador para computadores puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades: p1 = 0,25 ; p2 = 0,50; p3 = 0,25.Las probabilidades de que un procesador funcione correctamente durante 10.000 horas es 0,1; 0,2 y 0,4 respectivamente para los 3 fabricantes:

i) Calcular la probabilidad de que un procesador elegido al azar funcione durante 10.000 horas.

ii) Si el procesador funcion correctamente durante el perodo de 10.000 horas cul es la probabilidad de que haya provenido del 3er fabricante?

Solucin

i) P(C) =

= 0,1*0,25 + 0,2*0,5 + 0,4*0,25 = 0,225.

ii) P(F3/C) = P(C/F3) P(F3)P(C)

= 0,4 * 0,25 = 0,444. 0,225

Independencia ProbabilsticaSean A, B dos eventos del modelo probabilstico (, , P). A, B se dicen probabilsticamente independientes ssi:

P(AB) = P(A) P(B) P(A | B) = P(A) P(B | A) = P(B)

ObservacionesIndependencia probabilstica Conjunta Independencia de a pares2. Independencia probabilstica de a pares Independencia probabilstica Conjunta

3. Si A, B son eventos independientes probabilsticamente. Entonces se tiene- A, BC son independientes. - AC, BC son independientes - AC, B son independientes

4.Sea (, 2, P) modelo de probabilidad. Estudiar independencia conjunta y de a pares.

Ejemplo 3.3:Sea (, 2, P) modelo de probabilidad. = (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1) P(wi ) = 1/4 i = 1, 4Sean A1, A2, A3 eventos de (, 2, P) :A1: 1era coord. es 1 A2: 2da coord. es 1A3: 3era coord. es 1Estudiar independencia conjunta y de a pares.Independencia Probabilstica

Ejemplo 3.4 : Independencia ProbabilsticaProbabilidad de cerrar los rels 1,2,3 y 4 es p. Si todos los rels funcionan independientemente , cul es la probabilidad que pase corriente de A a B

VariacionesDef: Sea A un conjunto : , se llama variacin simple o sin repeticin a todo subconjunto de n elementos distinguindose estos entre si, en los elementos que lo componen y en el orden en que estos elementos van colocados

A={x1,x2,.......xn } V(n,2)= n(n-1) ; V(n,3)= n(n-1)(n-2)... V(n,k)= n(n-1)(n-2)......(n-k+1)

Obs: Si las variaciones son con repeticin V1(n,k) = nk

PermutacionesNmero de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n CUANDO EL ORDEN IMPORTA :Nota: Estudiar permutaciones con repeticin

n objetos

Combinaciones

Construccin Modelos de ProbabilidadSea una medida en el Espacio Muestral tal que () < : Longitud ; Superficie Volumen. etc.

Entonces existe un funcin definida en IR

P : IR IR :

es una medida de Probabilidad

=(W )(A )

P(A )

Ejemplo 3.5: Problema del encuentro:

Dos estudiantes acuerd [9; 10] an encontrarse en la biblioteca de la UTFSM entre las 9 A.M. y las 10 A.M. un da lunes. El primero que llega a la biblioteca , espera al otro 10 minutos (dentro del intervalo de tiempo pactado). Si se supone que cada uno llega al azar en el intervalo de tiempo convenido y que los tiempos de llegada son independientes. Cul es la probabilidad que estos estudiantes se encuentren ?

Solucin: X(t) : Llegada del estudiante 1 Y(t) : Llegada del estudiante 2 [X(t);Y(t)] [9; 10]x [9; 10]= [0; 60]X [0; 60]= A={[X(t);Y(t)] : |X(t);Y(t)|< 10} P(A)= = 11/ 36

Estas 12 formas en que puede ocurrir el experimento cada una con identica posibiloidad - es lo que llamamos el Espacio Muestral.

Cul es la probabilidad que la esfera sacada de la urna II sea verde? A :={la esfera sacada de la urna dos es de color verde} Existen cinco (5) resultados favorables al evento, cada uno con una probabilidad de ocurrur 1/12. Casos: 4, 7, 8, 11 y 12 Luego A = { 4, 7, 8, 11, 12} Entonces p(4)=p(7) =.....= p(12) = 1/12

P(A) = p(4)+ p(7)+ p(8) + p(11)+ p(12) = 1/12+ 1/12+ 1/12+ 1/12+ 1/12 = 4/ 12

Nmero de casos favorables al evento Nmero total de eventos posibles P(A) = Sea un Call Center de una gran organizacin. Supongamos que se ha declarado que un tiempo de respuesta satisfactorio debe ser entre 10 y 30 segundosSea A = {tiempo respuesta es mayor de 20 segundos} B = {tiempo de respuesta es menor de 25 segundos}Calcular la probabilidad que el tiempo de respuesta para una llamada dada sea menor de 25 segundos, dado que la llamada lleva ms de 20 segundos: P(B | A)

Podemos apreciar que el tiempo de respuesta es mayor de 20 segundos el 50% de las veces y que el tiempo de respuesta entre 20 y 25 segundos A ^ B ocurre el 25% de las veces. Luego P(B | A ) = .25 / .50 = .5010 15 20 25 30AB1. Independencia Conjunta Independencia de a pares Independencia de a pares Independencia Conjunta

2. Si A, B son independientes. Entonces A, BC tambin son independientes.