Cap3 Notas Aulas Valente

PAVF

c

1999 37

Pareto-otimalidade

� Formula�c~ao geral do problema

� Solu�c~oes e�cientes

� T�ecnicas de escalariza�c~ao

� Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para e�ciencia

� An�alise no espa�co dos objetivos

� M�etodo do crit�erio global

PAVF

c

1999 38

Formula�c~ao geral do problema

Formula�c~ao

Seja f = (f

1

; f

2

; : : : ; f

m

) (m � 2) um vetor de objetivos

e � R

n

um subconjunto de decis~oes fact��veis sobre o

qual f est�a de�nida

Problema multiobjetivo

'minimizar' f(x) s.a x 2

� O sentido da minimiza�c~ao n~ao �e o usual

� Em geral, m��nimos locais ou globais n~ao podem ser

obtidos

� Note que f : ! Y � R

m

e Y �e parcialmente

ordenado: em geral, qualquer que seja � > 0,

6 9 x

�

2 : f(x

�

) � f(x); 8x 2 \ B(x

�

; �)

De�ni�c~ao - Solu�c~ao ut�opica

A solu�c~ao ut�opica y := (y

1

; y

2

; : : : ; y

m

) do problema �e

de�nida como y

i

= f

i

(x

i

); i = 1; 2; : : : ;m, onde

x

i

:= argmin

x2

f

i

(x)

PAVF

c

1999 39


Dominancia

Para um ponto qualquer x

0

2 R

n

, de�na

<

(x

0

) := fx : f(x) � f(x

0

) e f(x) 6= f(x

0

)g

�

(x

0

) := fx : f(x) � f(x

0

)g

�

(x

0

) := fx : f(x) 6� f(x

0

) e f(x) 6� f(x

0

)g

� R

n

=

<

(x

0

) [

�

(x

0

) [

�

(x

0

); 8x

0

2 R

n

�

<

(x

0

) e

�

(x

0

) contem pontos de que dominam

e s~ao dominados por x

0

de acordo com '�'

�

�

(x

0

) cont�em todos os pontos n~ao-compar�aveis a x

0

� Como se busca a minimiza�c~ao simultanea dos objetivos

e x

0

62

<

(x

0

), uma solu�c~ao candidata x

�

2 dever�a

ser tal que \

<

(x

�

) = ;

De�ni�c~ao - Solu�c~ao e�ciente

x

�

2 �e uma solu�c~ao e�ciente se n~ao existe qualquer

outro ponto x 2 tal que f(x) � f(x

�

) e f(x) 6= f(x

�

)

PAVF

c

1999 40


Observa�c~oes

� Na literatura, e�ciente=n~ao-dominada=n~ao-inferior=

Pareto-�otima

� Solu�c~oes e�cientes n~ao s~ao dominadas por quaisquer

outros pontos de

� Qualquer ponto x 2 que proporcione um decr�escimo

em algum objetivo, deve ao mesmo tempo levar ao

acr�escimo de pelo menos algum outro, relativamente

aos valores produzidos por uma solu�c~ao e�ciente

� Interpreta�c~ao:

PSfrag replacements

x

f

1

f

2

e� ()

x

n

� Em geral, existem in�nitas solu�c~oes e�cientes em ,

representadas pelo conjunto e� ()

� Adota-se um sentido global para e�ciencia, mas carac-

teriza�c~oes locais s~ao poss��veis

PAVF

c

1999 41

T�ecnicas de escalariza�c~ao

Caracter��sticas

� Utiliza�c~ao de problemas escalares (mono-objetivos) pa-

ra descrever e gerar solu�c~oes e�cientes

� As condi�c~oes para e�ciencia �cam associadas �as con-

di�c~oes de otimalidade destes problemas

Teorema 1

x

�

2 e� () se e somente se x

�

resolve os m problemas

escalares

P

k

: minimizar

x2

f

k

(x)

s.a f

j

(x) � f

j

(x

�

); 8j 6= k

Prova: ()) Suponha que x

�

2 e� (). Ent~ao n~ao existe

x 2 tal que f(x) � f(x

�

) e f(x) 6= f(x

�

) e neste caso

x

�

resolve P

k

; k = 1; 2; ::;m. (() Suponha que x

�

resolve

P

k

; k = 1; 2; ::;m, mas x

�

62 e� (). Ent~ao existe x 2

tal que f(x) � f(x

�

) e que para algum k, f

k

(x) < f

k

(x

�

)

e x

�

n~ao resolveria o problema P

k

. 2

� A veri�ca�c~ao de e�ciencia exige a resolu�c~ao de m pro-

blemas

PAVF

c

1999 42


Teorema 2

Se x

�

2 �e solu�c~ao �unica de P

k

para algum k, ent~ao

x

�

2 e� ()

Prova: Por absurdo, suponha que x

�

2 �e a solu�c~ao

�unica de P

k

, mas x

�

62 e� (). Ent~ao existe x 2 tal que

f(x) � f(x

�

) e f(x) 6= f(x

�

) e, em particular, f

k

(x) �

f

k

(x

�

), o que contradiz a unicidade de x

�

. Portanto x

�

2

e� (). 2

� Os problemas P

k

; k = 1; 2; : : : ;m induzem condi�c~oes

anal��ticas para e�ciencia, mas tem pouca utilidade pr�a-

tica

Teorema 3

Se x

�

2 e� (), ent~ao existem um inteiro k 2 I :=

f1; 2; : : : ;mg e reais �

j

; j = 1; 2; : : : ;m (j 6= k) tais que

x

�

resolve

P

k

(�) : minimizar

x2

f

k

(x)

s.a f

j

(x) � �

j

; 8j 6= k

onde � est�a de�nido em

E

k

:= f� = (�

1

; ::; �

k�1

; �

k+1

; ::; �

m

) :

k

(�) 6= ;g

k

(�) := fx 2 : f

j

(x) � �

j

; 8j 6= kg

PAVF

c

1999 43


Prova: De�na f

�

i

= f

i

(x

�

); i = 1; 2; ::;m e suponha que

x

�

2 e� () n~ao resolve o problema para nenhum k 2 I

e reais �

j

; j = 1; 2; : : : ;m (j 6= k). Neste caso, para

algum k e �

j

= f

�

j

; 8 j 6= k, deve existir x 2 tal que

f

k

(x) < f

k

(x

�

) e f

j

(x) � f

�

j

; 8 j 6= k, o que contradiz

x

�

2 e� (). 2

� P

k

(�) �e chamado de problema �-restrito

� Variando-se convenientemente � em E

k

, �e poss��vel ge-

rar e� ()

� Nem toda solu�c~ao de P

k

(�) ser�a e�ciente

� Condi�c~oes su�cientes asseguram a e�ciencia da so-

lu�c~ao

Teorema 4

Dado � 2 E

k

, uma solu�c~ao x

�

de P

k

(�) �e e�ciente se

a) x

�

�e a solu�c~ao �unica de P

k

(�) para algum k, ou

b) x

�

resolve P

k

(�) para todo k 2 I.

PAVF

c

1999 44


Prova: a) Se x

�


k

(�) para algum k,

ent~ao x

�

�e tambem a solu�c~ao �unica do problema P

k

minimizar

x2

f

k

(x)

s.a: f

j

(x) � f

j

(x

�

); 8j 6= k

pois f

j

(x

�

) � �

j

; 8j 6= k. Logo, pelo Teorema anterior,

x

�

�e e�ciente; b) Suponha que x

�

�e e�ciente, mas n~ao

resolve P

k

(�) para todo k 2 I. Ent~ao existe um k

�

tal que

x

�

n~ao resolve

minimizar

x2

f

k

�

(x)

s.a f

j

(x) � f

j

(x

�

); 8j 6= k

�

e portanto x

�

n~ao �e e�ciente. 2

Exemplo (k = 1)

PSfrag replacements

x

x

0

x

00

f

1

f

2

1

(�

0

)

1

(�

00

)

�

0

2

�

00

2

e� ()

PAVF

c

1999 45


Observa�c~oes

� No Exemplo anterior, x

0

e x

00

s~ao as solu�c~oes �unicas dos

problemas P

1

(�

0

) e P

1

(�

00

). Portanto, x

0

; x

00

2 e� ()

� Considere k = 2 na situa�c~ao abaixo

PSfrag replacements

x

x

0

f

1

f

2

2

(�

0

)

�

0

1

e� ()

� Existem solu�c~oes para P

2

(�

0

) que n~ao s~ao e�cientes

� Dentre as solu�c~oes de P

2

(�

0

), x

0

2 e� ()

Limita�c~oes da abordagem

� Veri�car a otimalidade de x

�

com respeito a m pro-

blemas de otimiza�c~ao; agrega�c~ao de m � 1 objetivos

�as restri�c~oes originais

� As �-restri�c~oes podem modi�car a natureza do proble-

ma de otimiza�c~ao

PAVF

c

1999 46


Teorema 5

Seja x

�

2 uma solu�c~ao de

P

w

: minimizar

x2

< w; f(x) >

para w 2 R

m

; w � 0 dado. Ent~ao x

�

2 e� () se

a) x

�


w

, ou

b) w

i

> 0; i = 1; 2; ::;m

Prova: a) Se x

�


w

, ent~ao

< w; f(x

�

)� f(x) > < 0; 8x 2 ; x 6= x

�

Suponha que x

�

62 e� (), isto �e, que existe x 2 tal

que f(x

�

)� f(x) � 0 e f(x

�

)� f(x) 6= 0. Como w � 0,

isto implica que < w; f(x

�

)� f(x) > � 0, contradizendo

a unicidade de x

�

. Portanto, x

�

2 e� (). O caso b) �e

demonstrado por argumentos similares. 2

Formula�c~ao equivalente

P

w

: minimizar

x2

< w; f(x) >

onde w 2W := fw : w � 0;

m

X

i=1

w

i

= 1g

PAVF

c

1999 47


Observa�c~oes

� P

w

�e chamado de problema ponderado

� Variando-se w sobre W , �e poss��vel gerar e� () se

f

1

; f

2

; : : : ; f

m

forem convexas sobre convexo

Exemplo - Considere o problema do tipo 0� 1

minimizar

x2

wf

1

(x) + (1� w)f

2

(x); w 2 [0; 1]

f

1

(x) = x

1

+ 3x

2

+ 4x

3

;

f

2

(x) = 4x

1

+ 3x

2

+ x

3

;

= fx : x

1

+ x

2

+ x

3

= 1; x

1

; x

2

; x

3

2 f0; 1gg

= f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g

Os valores dos objetivos s~ao f(1; 4); (3; 3); (4; 1)g e por-

tanto e� () = . P

w

:

minimizar

x2

(4� 3w)x

1

+ 3x

2

+ (1 + 3w)x

3

Solu�c~ao:

w 2

8

>

>

>

<

>

>

>

:

[0; 0:5); x

�

= (0; 0; 1)

[0:5; 1]; x

�

= (1; 0; 0)

Conclus~ao: x

�

= (0; 1; 0) n~ao pode ser gerado atrav�es de

P

w

. Atrav�es de P

k

(�), pode-se gerar e� () com k = 1 e

�

2

= 4, �

2

= 3 e �

2

= 1, respectivamente 2

PAVF

c

1999 48

Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para e�ciencia

De�ni�c~ao

Sejam f

i

; i = 1; 2; : : : ;m e g

j

; j = 1; 2; : : : ; p fun�c~oes

diferenci�aveis e

:= fx : g(x) � 0g 6= ;

Diz-se que x

�

satisfaz as condi�c~oes de Kuhn-Tucker para

e�ciencia - KTC

e

- se existem reais w

i

� 0; i = 1; 2; : : : ;m

n~ao todos nulos e �

j

� 0; j = 1; 2; : : : ; p tais que

m

X

i=1

w

i

r f

i

(x

�

) +

p

X

j=1

�

j

r g

j

(x

�

) = 0

g

j

(x

�

) � 0; �

j

g

j

(x

�

) = 0; j = 1; 2; : : : ; p

2

� Condi�c~oes de Kuhn-Tucker para problemas escalares -

KTC - s~ao obtidas sob quali�ca�c~ao de restri�c~oes: x

�

�e

um ponto regular das restri�c~oes

� Rela�c~oes entre KTC

e

e as KTC de P

k

(�

�

) - KTC

k

-

minimizar

x2

f

k

(x) s.a f

j

(x) � f

j

(x

�

); 8 j 6= i

com �

�

j

= f

j

(x

�

); 8 j 6= k, podem ser investigadas

PAVF

c

1999 49


Teorema 6

Assuma que f

i

; i = 1; 2; : : : ;m e g

j

; j = 1; 2; : : : ; p

s~ao diferenci�aveis e que x

�

�e um ponto regular de P

k

(�

�

)

para no m��nimo um k. Ent~ao x

�

2 e� () implica que x

�

satisfaz KTC

e

Prova: Se x

�

2 e� () ent~ao x

�

resolve P

k

(�

�

); 8 k. Por

hip�otese, existe um k

�

tal que x

�

�e um pto. regular de

P

k

�

(�

�

). Ent~ao x

�

satisfaz KTC

k

: existem reais w

i

�

0; i = 1; 2; : : : ;m; i 6= k e �

j

� 0; j = 1; 2; : : : ; p tais

que

f

i

(x

�

)� �

�

i

� 0; w

i

(f

i

(x

�

)� �

i

) = 0; 8 i 6= k

g

j

(x

�

) � 0; �

j

g

j

(x

�

) = 0; j = 1; 2; : : : ; p

f

k

(x

�

) +

X

i 6=k

w

i

r f

i

(x

�

) +

p

X

j=1

�

j

r g

j

(x

�

) = 0

Portanto, x

�

satisfaz KTC

e

(w � 0; w 6= 0) 2

Teorema 7 (Su�ciencia)

Assuma que f

i

; i = 1; 2; : : : ;m e g

j

; j = 1; 2; : : : ; p

s~ao diferenci�aveis e que f

i

; i = 1; 2; : : : ;m s~ao estritamen-

te convexas sobre convexo. Ent~ao x

�

2 e� () se x

�

satisfaz KTC

e

PAVF

c

1999 50


Prova: Se x

�

satisfaz KTC

e

, ent~ao existe k tal que w

k

> 0

e consequentemente x

�

satisfaz KTC

k

. Por hip�otese, f

k

�e

estritamente convexa sobre : x

�

�e a �unica solu�c~ao (global)

de P

k

(�

�

) e portanto x

�

2 e� () 2

Exemplo (Car�ater necess�ario das KTC

e

)

PSfrag replacements

x

f

1

f

2

a

b

c

� f

1

; f

2

convexas sobre := fx : g(x) = �x � 0g

convexo

� Com w

1

> 0 e w

2

= � = 0, KTC

e

s~ao satisfeitas no

intervalo (1; 2):

w � 0; w 6= 0; � � 0

g(x) � 0 ; �g(x) = 0

w

1

df

1

(x)

dx

+ w

2

df

2

(x)

dx

� � = 0

� As solu�c~oes no intervalo (1; 2) n~ao s~ao e�cientes

� KTC

e

s~ao condi�c~oes necess�arias, mesmo que o proble-

ma seja convexo

PAVF

c

1999 51


Rela�c~oes entre KTC

w

, KTC

k

e KTC

e

U : problema apresenta solu�c~ao �unica;

C : f

i

; 8 i s~ao convexas sobre convexo;

E : f

i

; 8 i s~ao estrit. convexas sobre convexo;

T : implica�c~ao v�alida 8 k;

P : w

i

> 0; 8 i;

R : x

�

�e um pt. regular das restri�c~oes

PSfrag replacements

x

�

= argmin

x2

m

X

i=1

w

i

f

i

(x)

w 2W

x

�

2 e� ()

x

�

= argmin

x2

f

k

(x)

f

j

(x) � f

j

(x

�

); 8j 6= k

x

�

satis. KTC

k

x

�

satis. KTC

e

1

2

3

4

5

6

U ou T

T

C R

C

R

U ou P

PAVF

c

1999 52


Implica�c~oes

1! 2 (T); 2! 1 (U ou T) : Teorema 1, Teorema 2

2! 3 (R) : Sempre verdadeira, sem hip�oteses adicionais

3! 4; 4! 3 : Sempre verdadeira, sem hip�oteses adicio-

nais: se x

�

satisfaz KTC

e

, existe ao menos um k tal

que w

k

> 0 e portanto

f

k

(x

�

) +

X

i 6=k

w

i

w

k

!

rf

i

(x

�

) +

p

X

j=1

�

j

w

k

!

rg

j

(x

�

) = 0

o que demonstra 4 ! 3. Com o racioc��nio inverso,

3! 4

5! 4 (R) : As KTC do problema P

w

, KTC

w

, s~ao equiva-

lentes as KTC

e

. Note que se w 2 W , ent~ao w � 0 e

w 6= 0

4! 5 (C) : Se x

�

satisfaz KTC

e

e o problema �e convexo,

ent~ao x

�

resolve P

w

, para w � 0; w 6= 0 (eventual-

mente normalizado)

5! 1 (U ou T) : Teorema 5

Teorema 6: 1! 2! 3! 4

Teorema 7: 4! 3 e com (E) 3! 2! 1

PAVF

c

1999 53


Objetivos lineares

Considere f

i

(x) = < c

i

; x >; i = 1; 2; : : : ;m (note que

rf

i

(x) = c

i

) e as de�ni�c~oes

<

(x

0

) := fx : f(x) � f(x

0

) e f(x) 6= f(x

0

)g

�

(x

0

) := fx : f(x) � f(x

0

)g

�

(x

0

) := fx : f(x) 6� f(x

0

) e f(x) 6� f(x

0

)g

para um dado x

0

2 R

n

Proposi�c~ao

Seja C o cone gerado pelos vetores f�c

1

;�c

2

; : : : ;�c

m

g

e C

�

o cone polar associado. Ent~ao

<

(x

0

) = C

�

Prova: Por de�ni�c~ao, C

�

= fy : y

T

z � 0; z 2 Cg. Em

particular, para z = c

i

2 C; i = 1; 2; : : : ;m,

y

T

(�c

i

) � 0; i = 1; 2; : : : ;m

Considere C e C

�

com v�ertices em x

0

. Como (c

i

)

T

y �

0; i = 1; 2; : : : ;m; 8 y 2 C

�

, os pontos de C

�

fornecem

valores iguais ou menores para objetivos, relativamente a

f(x

0

), isto �e,

<

(x

0

) = C

�

2

PAVF

c

1999 54


Exemplo (Goicoechea et al. (1982), pg. 42)

PSfrag replacements

H

C

C

�

C

�

0

�

x

1

x

2

x

0

x

�

�c

1

�c

1

�c

2

�c

2

�g

1

�g

2

g

1

(x) = 0

g

2

(x) = 0

� Como \

<

(x

0

) 6= ;, x

0

n~ao �e e�ciente

� Como \

<

(x

�

) = ;, x

�

�e e�ciente (assim como todos

os pontos nos trechos destacados)

� Como x

�

2 @ e \ C

�

= ;, existe um hiperplano H

que separa de

<

(x

�

). Se �e o vetor normal de H,

existem w

1

; w

2

� 0 e �

1

; �

2

� 0 tais que

= w

1

(�c

1

) + w

2

(�c

2

) = �

1

g

1

+ �

2

g

2

isto �e,

w

1

c

1

+ w

2

c

2

+ �

1

g

1

+ �

2

g

2

= 0 (KTC

e

)

PAVF

c

1999 55

An�alise no espa�co dos objetivos

Espa�co dos objetivos

Seja Y = f() a representa�c~ao do mapeamento de

no espa�co dos objetivos:

Y := fy 2 R

m

: y = f(x); x 2 g

Formula�c~ao no espa�co dos objetivos

P

y

: minimizar

y2Y

y

Conjunto de solu�c~oes e�cientes: e� (Y) := f(e� ())

Proposi�c~ao

Se y

�

2 e� (Y), ent~ao y

�

2 @Y

Prova: Se y

�

2 int (Y) pode-se de�nir B(y

�

; �) no entorno

de y

�

, e qualquer ponto y 2 B(y

�

; �) da reta que une

y

�

�a origem do R

m

seria tal que y < y

�

, contradizendo

y

�

2 e� (Y) 2

PAVF

c

1999 56


Interpreta�c~ao atrav�es de P

w

PSfrag replacements

Y

y

0

y

1

< w

0

; y > = �

0

< w

1

; y > = �

1

Dado w

0

2 W , seja y

0

2 Y uma solu�c~ao �otima do

problema

P

w

0

: minimizar

y2Y

< w

0

; y >

e �

0

o valor m��nimo associado. Ent~ao

H := fy : < w

0

; y > = �

0

g

�e um hiperplano suporte a Y no ponto y

0

, pois

< w

0

; y

0

> = �

0

e < w

0

; y > � �

0

; 8 y 2 Y

� Em outras palavras, Y � H

�

. Se y

0

�e a �unica solu�c~ao

de P

w

0

e/ou w

0

> 0, ent~ao y

0

2 e� (Y)

PAVF

c

1999 57


Observa�c~oes

� Em geral, nem todos os pontos de e� (Y) admitem

hiperplanos suportes e portanto podem ser gerados

atrav�es de P

w

:

PSfrag replacements

Y

y

1

y

2

y

3

� e� (Y) poderia ser gerado atrav�es de P

w

se Y fosse

um conjunto convexo

� N~ao se pode garantir Y convexo, mesmo que o pro-

blema seja convexo, isto �e, mesmo que f

1

; f

2

; : : : ; f

m

sejam convexas sobre convexo

� Entretanto pode-se garantir que se o problema for con-

vexo, ent~ao qualquer ponto de e� (Y) admite um hi-

perplano suporte

PAVF

c

1999 58


Lema

Seja Y � R

m

um conjunto arbitr�ario e conv (Y) a casca

convexa de Y . Se y 2 conv (Y), ent~ao y pode ser expresso

como

y =

m+1

X

i=1

�

i

y

i

; �

i

� 0;

m+1

X

i=1

�

i

= 1

com y

i

2 Y ; i = 1; 2; : : : ;m+ 1

Teorema 8

Sejam f

1

; f

2

; : : : ; f

m

fun�c~oes convexas sobre um conjun-

to convexo . Ent~ao Y admite um hiperplano suporte em

qualquer ponto de e� (Y)

Prova: Seja conv (Y) a casca convexa de Y e e� (conv (Y))

o conjunto das solu�c~oes e�cientes de conv (Y). Se y

0

2

e� (conv (Y)), ent~ao y

0

2 conv (Y) e atrav�es do Lema

y

0

=

m+1

X

i=1

�

i

y

i

; �

i

� 0;

m+1

X

i=1

�

i

= 1

onde y

i

= f(x

i

) 2 Y com x

i

2 ; i = 1; 2; : : : ;m+ 1

PAVF

c

1999 59


(Cont. da prova)

Usando a hip�otese de convexidade, obt�em-se

y = f

0

@

m+1

X

i=1

�

i

x

i

1

A

�

m+1

X

i=1

�

i

y

i

= y

0

� Observe que y 2 Y , e que portanto y 2 conv (Y).

Como y

0

2 e� (conv (Y)), conclui-se que y = y

0

2 Y

� Como y

0

2 e� (conv (Y)), ent~ao n~ao existe qualquer

outro y 2 conv (Y) tal que y � y

0

e y 6= y

0

� Dado que y

0

2 Y �e e�ciente sobre conv (Y) e Y �

conv (Y), conclui-se que y

0

2 Y tambem �e e�ciente

sobre Y , isto �e, y

0

2 e� (Y)

� Como, por de�ni�c~ao, e� (conv (Y)) admite hiperpla-

nos suportes, Y admite um hiperplano suporte em

y

0

2 e� (Y) 2

Observe que o Teorema 8 n~ao a�rma que Y �e um con-

junto convexo, e que portanto

P

y

: minimizar

y2Y

y

�e um problema convexo

PAVF

c

1999 60


Formula�c~ao convexa equivalente

Rede�na a regi~ao de factibilidade de P

y

como

Y +D := f� 2 R

m

: � = y + d; y 2 Y ; d 2 Dg

onde D �e o cone convexo

D := fd 2 R

m

: d � 0g

Teorema 9

e� (Y) = e� (Y +D)

Prova:

� Suponha y

�

2 e� (Y), mas y

�

62 e� (Y + D). Ent~ao

existem y 2 Y e d 2 D tais que y+ d � y

�

e y+ d 6=

y

�

, o que implica em y � y

�

e y 6= y

�

, isto �e, que

y

�

62 e� (Y). Portanto, e� (Y) � e� (Y +D)

� Suponha y

�

2 e� (Y +D), mas y

�

62 e� (Y), ou seja,

existe y 2 Y tal que y � y

�

e y 6= y

�

. Por continui-

dade, existe d 2 D; d 6= 0, tal que y+ d � y

�

, isto �e,

y

�

62 e� (Y +D). Logo e� (Y +D) � e� (Y) e assim

e� (Y +D) = e� (Y) 2

PAVF

c

1999 61


Consequencias

� Y +D preserva a estrutura e�ciente de Y

� O problema multiobjetivo �e equivalente (no sentido da

e�ciencia da solu�c~ao) a

P

y

: minimizar

y2Y+D

y

� Demonstra-se que a nova formula�c~ao �e convexa

Teorema 10

Sejam f

1

; f

2

; : : : ; f

m

fun�c~oes convexas sobre um conjun-

to convexo . Ent~ao Y +D �e um conjunto convexo

Prova: Sejam y

1

; y

2

2 Y+D, isto �e, y

k

= f(x

k

)+d

k

; k =

1; 2, com x

k

2 e d

k

2 D. Para � 2 [0; 1] e de�nindo

�� := 1� �,

�y

1

+ ��y

2

= �f(x

1

) + ��f(x

2

) + �d

1

+ ��d

2

� f(�x

1

+ ��x

2

) + �d

1

+ ��d

2

�y

1

+ ��y

2

= f(�x

1

+ ��x

2

) + �d

1

+ ��d

2

+ d

�

= f(�x

1

+ ��x

2

)

| {z }

2Y

+�(d

�

+ d

1

) + ��(d

�

+ d

2

)

| {z }

2D

para d

�

� 0. Portanto, �y

1

+ ��y

2

2 Y +D; 8� 2 [0; 1],

isto �e, Y +D �e convexo 2

PAVF

c

1999 62


Observa�c~oes

� Seja F := Y + D. O problema multiobjetivo equiva-

lente

P

y

: minimizar

y2F

y

�e convexo

� P

y

apresenta objetivos lineares (componentes de y) e

regi~ao fact��vel convexa

� O n�umero de vari�aveis (objetivos) �e m e, em geral,

m � n; ocorre um dr�astica redu�c~ao de dimensionali-

dade

Teorema 11 (Representa�c~ao de F)

F := fy : f(x) � y; x 2 g

� Note que cada y 2 F se escreve como y = f(x) +

d; x 2 ; d 2 D

� Qualquer m�etodo de resolu�c~ao de P

y

deve estar pre-

parado para, dado y

0

2 R

m

, veri�car se y

0

2 F

PAVF

c

1999 63


Teorema 12

Sejam f

1

; f

2

; : : : ; f

m

fun�c~oes convexas de�nidas sobre

um conjunto convexo compacto . Ent~ao y

0

2 F se e

somente se y

0

satisfaz o sistema de in�nitas desigualdades

lineares

inf

x2

< w; f(x)� y

0

> � 0; 8w 2W

Prova: ()) Suponha que y

0

2 Y . Ent~ao existe x

0

2 tal

que f(x

0

)� y � 0. Mas ent~ao

inf

x2

< w; f(x)� y

0

> � < w; f(x

0

)� y

0

> � 0

8w 2W , e a necessidade �ca provada. (() Se y

0

satisfaz

o sistema de inequa�c~oes, ent~ao

sup

w2W

inf

x2

< w; f(x)� y

0

> � 0

Neste caso,

sup

w�0

inf

x2

< w; f(x)� y

0

> = 0

pois, sem a normaliza�c~ao, w = 0 �e fact��vel. Logo, o valor

�otimo dual associado ao problema primal ( compacto)

minimizar

x2

0

T

x s.a f(x) � y

0

�e �nito (zero) e portanto o primal �e fact��vel, isto �e, existe

x

0

2 tal que f(x

0

) � y

0

2

PAVF

c

1999 64


Interpreta�c~ao

De�na x(w) = arg min

x2

< f(x)� y >; w 2W

PSfrag replacements

F

y

1

y

2

y

3

y

4

y

5

< w

2

; y > � < w

2

; f(x(w

2

)) >

� O sistema de inequa�c~oes

inf

x2

< w; f(x)� y

0

> � 0; 8w 2W

restringe y a pertencer a F

� Para cada w 2W obt�em-se uma restri�c~ao do tipo

< w; y > � < w; f(x(w)) >

PAVF

c

1999 65


Exemplo (Goicoechea et al. (1982), pg. 46)

minimizar

x2

(f

1

(x); f

2

(x))

f

1

(x) = x

1

� 3x

2

f

2

(x) = �4x

1

+ 2x

2

g

1

(x) = �x

1

+ x

2

� 7=2

g

2

(x) = x

1

+ x

2

� 11=2

g

3

(x) = 2x

1

+ x

2

� 9

g

4

(x) = x

1

� 4

g

5

(x) = �x

1

g

6

(x) = �x

2

= fx : g

i

(x) � 0; i = 1; 2; : : : ; 6g

PSfrag replacements

e� ()

C

�

0

1

1

2

2

3

3 4

A

B

C

D

E

F

x

1

x

2

c

1

c

2

PAVF

c

1999 66


Espa�co dos objetivos

PSfrag replacements

Y

e� (Y)

0

A

0

= (�12:5; 5)

B

0

= (�2:5; 10)

C

0

= (1;�14)

D

0

= (4;�16)

E

0

= (0; 0)

F

0

= (�10:5; 7)

A

0

B

0

C

0

D

0

E

0

F

0

y

1

y

2

� = �1:50

� = �1:14

� = �0:67

Rela�c~oes com P

w

:

minimizar

x2

wf

1

(x) + (1� w)f

2

(x); w 2 [0; 1]

� No espa�co dos objetivos,

minimizar

y2Y

�y

1

+ y

2

onde � := w=(1� w); w 2 [0; 1)

PAVF

c

1999 67


Exemplo (cont.)

� A equa�c~ao do hiperplano seria

�y

1

+ y

2

= � ) y

2

= ��y

1

+ �

� No tre�cho A

0

B

0

,

�� = �

w

1� w

= �1:50 ) w = 0:60

� Interpreta�c~ao: com w = 0:60, o objetivo de P

w

minimizar

x2

0:6(x

1

� 3x

2

) + 0:4(�4x

1

+ 2x

2

)

equivale a �x

1

�x

2

, cujas curvas de n��vel s~ao paralelas

ao hiperplano

x

1

+ x

2

� 11=2 = 0

correspondente �a restri�c~ao g

2

(x) (solu�c~oes m�ultiplas)

� Demais solu�c~oes e�cientes podem ser geradas de for-

ma similar

PAVF

c

1999 68

M�etodo do crit�erio global

Normas l

p

Se y 2 R

m

, a norma l

p

de y �e

kyk

p

:=

0

@

m

X

i=1

j y

i

j

p

1

A

1=p

; p � 1

As normas l

1

(soma absoluta), l

2

(Euclideana) e l

1

(in-

�nito) s~ao particularmente �uteis. Curvas de n��veis (kyk

p

=

cte):

PSfrag replacements

y

1

y

1

y

1

y

2

y

2

y

2

l

1

l

2

l

1


Resolve-se, por exemplo, para p = 1; 2 ou 1

minimizar

x2

0

@

m

X

i=1

(f

i

(x)� y

i

)

p

1

A

1=p

; p � 1

PAVF

c

1999 69


Exemplo

PSfrag replacements

Y

e� (Y)

0

A

0

B

0

C

0

D

0

E

0

F

0

y

1

y

2

y = (�12:5;�16)

p

=

1

p

=

2

p

=

1

� Minimiza-se a distancia de y ao conjunto Y

� A solu�c~ao �otima depende da medida de distancia (p)

� Diferentes normas re etem diferentes pondera�c~oes so-

bre os objetivos

PAVF

c

1999 70


Seja

l

p

(x) :=

0

@

m

X

i=1

(f

i

(x)� y

i

)

p

1

A

1=p

; 1 � p <1

Como l

p

(x) �e estritamente crescente (p < 1) em rela�c~ao

a

~

l

p

(x) :=

m

X

i=1

(f

i

(x)� y

i

)

p

; 1 � p <1

minimizar l

p

(x) �e equivalente a minimizar

~

l

p

(x) sobre .

Mas

~

l

p

(x) =

m

X

i=1

(f

i

(x)� y

i

)

p�1

(f

i

(x)� y

i

)

e fazendo w

i

(x) := f

i

(x)� y

i

,

~

l

p

(x) =

m

X

i=1

w

i

(x)

p�1

(f

i

(x)� y

i

); 1 � p <1

� Se p = 1, os desvios em rela�c~ao a y s~ao ponderados

igualmente

� Se p = 2, as pondera�c~oes s~ao proporcionais aos des-

vios

PAVF

c

1999 71


Quando p!1,

~

l

p

(x) = max

i

f(f

i

(x)� y

i

)g

p

e

l

1

(x) = max

i

f(f

i

(x)� y

i

)g

� Se p =1, minimiza-se o maior desvio em rela�c~ao a y

Proposi�c~ao

Se x

p

minimiza

~

l

p

(x); 1 � p <1 sobre , ent~ao x

p

2

e� ()

Prova: Se x

p

minimiza

~

l

p

(x) sobre , ent~ao

m

X

i=1

(f

i

(x

p

)� y

i

)

p

�

m

X

i=1

(f

i

(x)� y

i

)

p

; 8x 2

Suponha x 2 tal que f(x) � f(x

p

) e f(x) 6= f(x

p

).

Ent~ao existe i tal que f

i

(x) < f

i

(x

p

), o que contraria a

desigualdade acima. Portanto x

p

2 e� () 2

� Eventualmente, x

p

62 e� () se p =1

Cap3 Notas Aulas Valente

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Transcript of Cap3 Notas Aulas Valente