Cap 2 Chapman

5/14/2018 Cap 2 Chapman

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CAPITULO2TRANSFORMADORES

Un transformador es un dispositivo que cambia potencia electrica alterna de un nivel de voltajea potencia electrica altern a a otro nivel de voltaje mediante la acci6n de un campo magnetico,Consta de dos 0mas bobinas de alambre conductor enrolladas alrededor de un nucleo ferrornag-netico cormin. Estas bobinas no estan (usualmente) conectadas en forma directa. La iinica co-nexion entre las bobinas es el flujo rnagnetico cormin que se encuentra dentro del micleo.

Uno de los devanados del transformador se conecta a una fuente de energfa electrica alternay el segundo (y quizas el tercero) surninistra energta electrica a las cargas. El devanado deltransformador que se conecta a la fuente de potencia se llama devanado primario 0devanado deentrada, y e1 devanado que se conecta a Ia carga se llama devanado secundario o devanado desalida. Si hay un tercer devanado en e I transformador, este se llama devanado terciario.

Figura 2-1El primer transforrnador rnoderno practice. constn.ido en li\SS por William Stanley. Notese que el nucleo estaelaborado con hojas de metal (laminas) (cortesia de General Electric Company).

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r CAPiTULO 22~1 POR QUE SON IMPORTANTESLOS TRANSFORMADORES EN LA VIDA MODERNAEI primer sistema de distribucion de potencia en los Estados Unidos fue un sistema de corrientecontinua a 120 V inventado par Thomas Alba Edison para suministrar potencia a bombillasincandescentes. La primera central de potencia de Edison entro en operaci6n en la ciudad deNueva York en septiembre de 1882. Por desgracia, este sistema de potencia gener6 y transrnitiopotencia a tan bajos voltajes que se requerian muy altas corrientes para suministrar cantidadessignificativas de potencia. Estas altas corrientes ocasionaban enormes cafdas de voltaje y perdi-das de potencia en las lineas de transmisi6n, restringiendo bastante el area de servicio de lasestaciones de generaci6n. En la decada de 1880 las centrales generadoras se localizaban a muypocas cuadras entre sf para para evitar este problema. El hecho de no poder transmitir potenciasa sitios lejanos a bajos voltajes de signific6 que las estaciones generadoras fueran de bajacapacidad, locales y, por tanto, relativamente ineficientes,

La invenci6n del transfarmador y el desarrollo simultanco de las fuentes de potenciaaltern a eliminaron para siempre las restricciones referentes al rango y el nive1 de los sistemas depotencia. Un transformador cambia, idealmente, un nivcl de voltaje alterno a otro nivel devoltaje sin afectar la potencia gue esta suministrandose. Si un transformador eleva el nivel devoltaje de un circuito, debe disminuir la corriente para mantener igual la potencia que sale de el.De esta manera, la potencia electrica alterna puede ser generada en determinado sitio, se elevasu voltaje para transmitirla a largas distancias con muy bajas perdidas y luego se reduce paradejarlo nuevamente en e1 nivel de utilizacion final. Puesto que las perdidas de transrnision enlas lineas de un sistema de potencia son proporcionales al cuadrado de la corriente, elevandocon transformadores el voltaje de transmisi6n en un factor de 10 con 10 cual se reduce 1acorriente con el mismo factor, las perdidas de transrnision se reducen en un factor de 100. Sin eltransformador, sirnplemente, no seria posible utilizar la potencia electrica en muchas de lasformas en que se utiliza hoy.

En un sistema rnoderno de potencia, se genera potencia electrica a voltajes de 12 a 25 kV. Lostransformadores elevan el voltaje hasta niveles cornprendidos entre 110 kV y cerca de 1000 kVpara transmision a grandes distancias con poeas perdidas y, nuevamente, los transformadoresbajan el voltaje a entre kV 12 y 34.5 kV para distribuci6n local, y para perrnitir que la potenciaelectric a sea utilizada can seguridad en los hogares, oficinas y fabricas a voltajes tan bajos como120 V .

2-2 TIPOS Y CONSTRUCCIONDE TRANSFORMADORES

El prop6sito principal de un transformador es convertir la potencia alterna de un nivel de voItajeen potencia alterna de la misma frecuencia pero en otro nivel de voltaje. Los transformadorestambien se utilizan para otros prop6sitos (ejemplo, para mostrar voltajes, mostrar corrientes ytransformar irnpedancias), pero este capitulo esta dedicado en principio al transformador depotencia.

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TRANSFORMADORES

Los transformadores de potencia se construyen de dos maneras. Un tipo de transformadorconsta de una pieza de acero rectangular, laminada, con los devanados enrollados sabre dos delos lados del rectangulo. Este tipo de construccion, conocido como transforrnador tipo nucleo,se ilustra en la figura 2-2. EI otro consta de un nucleo laminado de tres colurnnas, cuyas bobinasestan enrolladas en la columna central. Este tipo de construccion se conoce como transformadortipo acorazado y se ilustra en la figura 2-3. En todo caso, el micleo se construye con delgadaslaminas aisladas electricamente unas de otras para minimizar las corrientes parasitas.

En un transformador, las bobinas del primario y del secundario estan fisicamente enrolladasuna sobre la otra; la bobina de menor voltaje esta situada en la parte interna (mas cerca delmicleo). Esta disposicion cumple dos objetivos:1. Simplifica el problema del aislamiento del devanado de alta tension desde el nucleo.2. Resulta menor flujo disperso que en caso de disponer los dos devanados en el micleo,

separados,Los transformadores de potencia reciben variedad de nombres, dependiendo de su utiliza-

ci6n en los sistemas de potencia. Un transformador conectado a Ia salida de un generador utiliza-do para elevar el voltaje hasta niveles de transmision (llOkV y mayores) a veces se denominatransformador de unidad. EI transformador sitnado en el otro extremo de la linea de transmision,que reduce el voltaje de los niveles de rransmision a los niveles de distribucion (desde 2.3 a34.SkV), se denomina transformador de subestacion. Por Ultimo, el transformador que reduce elvoltaje de distribucion al voltaje final a que se utiliza la potencia (110. 208, 220 V, ctc.) es Hamadatransformador de distribucuin. Todos estos dispositivos son, en esencia, e 1 mismo; la iinicadiferencia entre ellos es 1a utilizacion que se les da.

Ademas de los varios tipos de transformadores de potencia, existen dos tipos de transfer-madores para propositos especiales utilizados con rnaquinas electricas y sistemas de potencia, Elprimero de estos transformadores especiales es un dispositivo disefiado para mostrar un voltajealto, y producir un voltaje secundario bajo, directamente proporcional a aquel. Tal transforrnadorse llama transjormador de potencial. Un transformador de potencia tarnbien produce un voltajesecundario directamente proporcional a su voltaje prim aria. La diferencia entre el transforrnadorde potencial y el transformador de potencia es que el primero esta disefiado para rnanejar unica-mente una corriente rnuy pequefia. El segundo es un dispositive disefiado para proveer unacorriente secundaria mucho menor pero directamente proporcional a su corriente primaria. Estedispositive se denomina transformador de corriente. Estos dos transformadores de usa especialse analizan posteriormente en este capitulo.

2~3 EL TRANSFORMADOR IDEALUn transformador ideal es un dispositivo sin perdidas, con un devanado de entrada y un deva-nado de salida. Las relaciones entre el voltaje de entrada y el voltaj e de salida, y entre la corrientede entrada y la corriente de salida. estan dadas par dos sencillas ecuaciones. La figura 2-4muestra un transformador ideal.

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CAPiTULO 2

El transformador mostrado en la figura 2-4 tiene N; vueltas de alambre en el primario y N,.vueltas de alambre en el secundario. La relacion entre el voltaje vAt) aplicado al lado primario deltransformador y el voltaje vit) producido en el lado secundario es

donde a esta definida como relacion de vueltas del transformador:

(2-1)

Npa=-NsLa relacion entre la corriente ip(t) que fluye en e11adoprirnario del transformador y la corriente ilt)que sale del transformador por el secundario es

o

En terminos de cantidades fasoriales, estas ecuaciones son

y

(2-2)

(2-3a)

(2-3b)

(24)

(2-5)

i,(I).--------0+\TFigura 2-2Construccion del transforrnudor tipo ruiclco.

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T RANSFORMADORES

r r:0----1Np0-- f - - - - - -o

Ns~ . . . . ::. - /'- . . . . .

a)

b )

Figura 23a) Construccion del transformador tipo acorazado. h) Transformador tipo acorazado caracterfstico tcortesiade General Electric Company).

N6tese que el angulo de fase de Vpes el rnisrno Angulode V s. y el angulo de fase de If' es el mismoangulo de fase de I,..La relaci6n de vueltas del transformador ideal afecta las magnitudes de losvoltajes y corrientes, pero no sus dngulos.

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-CApiTULO 2

ip (t ) is (t)- --) Np Ns

+\v,. (t)J

a)

is ( I )- -b )

Figura 2-4a) Diagrama de un transforrnador ideal. b) Sfrnbolcs esquematicos de un transformador.

Las ecuaciones (2-1) a (2-5) describen las relaciones entre las magnitudes y los angulos delos voltajes y corrientes en los lados primario y secundario del transforrnador, pero dejan sinresponder un interrogante: Puesto que el voltaje del circuito primario es positivo en un ladeespecifico de la bobina, i,cu:il sera lapolaridad del voltaje del circuito secundario? En los trans-formadores reales, seria posible identificar la polaridad del1ado secundario unicamente abriendoel transformador y examinando sus devanados. Para obviar esta necesidad, los transforrnadoresutilizan Ia convenci6n depuntas. Los puntos que aparecen en un extremo de cada devanado, enla figura 2-4, indican lapolaridad del voitaje y la corriente en el lado secundario del transformador.La relacion es la siguiente:

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TRANSFORMADORES

1. Si el voltaje primario es positivo en el extremo de la bobina marcado con punto, respecto alextremo que no tiene marca, el voltaje secundario sera positivo tambien en el extremo marca-do con punta. Las polaridades del voltaje son las mismas can respecto a los puntas en cadalado del ruicleo.

2. Si la corriente primaria del transformador fluye hacia dentro del devanado primario par elextremo marcado can punto, la corriente secundaria fluira haciafuera del devanado secun-dario par el extremo marc ado con punta.

En relacion con el transformador real el significado fisico de la convenci6n de puntas y la razonde las polaridades se explicaran en la seccion 2.4.

Potencia en el transformador idealLa potencia surninistrada al transfonnador por el circuito primario esta dada por la ecuacion

(2-6)donde e p es el angulo entre el voltaje y la corriente primarios, La potencia suministrada por elcircuito secundario del transformador a sus cargas esta dada par la ecuacion

(2-7)

donde B s es el angulo entre el voltaje y la corriente secundarios. Puesto que los angulos delvoltaje y la corriente no se afectan en un transfonnador ideal, e p - e s = e . Los devanados primarioy secundario de un transformador ideal tienen el mismo factor de poten cia.

i.Como es la potencia que fluye en el devanado primario del transformador ideal, comparadacan la potencia que sale del otro lado? Es posible saberlo, mediante la simple aplicaci6n de lasecuaciones de voltaje y de corriente [ecuaciones (2-4) y (2-5)]. La potencia de salida del transfor-mador es

(2-8)Aplicando Ia ecuaci6n de relaci6n de vueltas, V, = Vpla y Is = all'; entonces

I Pout = Vp I p cos () = ~n IDe esta manera, la palencia de salida de un transformador ideal es igual a su potencia deentrada.

( 2 -9 )

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r - - -CAPiTULO 2

La misma relacion se aplica a las potencias reactiva Q y aparente S:(2-10)

y( 2 - 1 1 )

Transformacion de impedanciaa traves de un transformadorLa impedancia de un dispositivo 0un elemento se define como la relacion entre el fasor de voltajea traves de 61,y el fasor de corriente que fluye par 61:

VLZ=-L I L ( 2 - 1 2 )Una de las propiedades interesantes del transformadar es que, como cambia los niveles de

voltaje y corriente, cambia la proporcion entre el voltaje y la corriente y par consiguiente laimpedancia aparente de un elemento. Para entender esta idea, remitase ala figura 2-5. Si la corrien-te secundaria es I s y el voltaje secundario V,., la impedancia de la carga esta dada par

VsZL =Is (2-13)La impedancia aparente del circuito primario del transformador es

Z' _ VpL~ I pPuesto que el voltaje primario puede ser expresado como

( 2 -14 )

y la corriente primaria puede ser expresada comoIsI=-P a

la impedancia aparente del primario esZ' = Vp=aVS=a2~L Ip Isla Is

Z~= a 2ZL ICan un transformador, es posible acoplar la magnitud de la impedancia de carga a la impe-

dancia de la fuente escogiendo simplemente la relacion de vueltas adecuada.

(2-15)

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T RA.NSFORMADORES

+\

~ VLZL ZL '" ~I L

JIs

(I)

+

+

Vs ZL

-

h )

Figura 2-5(I) Definicion de irnpedancia. h) Impedancia escalizada par un transforrnador,

Analisis de circuitosque contienen transformadores idealesSi un circuito contiene un transformador ideal, la forma mas facil de analizar sus voltajes ycorrientes es remplazar la porcion del circuito ubicada a un lado del transformador par su equiva-lente con las misrnas caractensticas en terminales. Una vez sustituido el circuito par su equivalen-te en uno de los lados, el nuevo circuito (sin el transformador presente) puede ser resuelto parasus voltajes y corrientes. En la porci6n del circuito que no se remplaz6, los resultados obtenidosseran los valores correctos de voltaje y corriente del circuito original. Luego, 1a relacion devueltas puede utilizarse para determinar los voltajes y corrientes del otro lado del transformador.El proceso de remplazar un lado del transformador par su equivalente en e] otro lado se conocecomo referir el primero de los lados del transformador al segundo de ellos.

~Como esta conformado el circuito equivalente? Su forma es exactamente la misma que la delcircuito original. Los valores de voltajes en el lado que se esta remplazando estan dados por laecuaci6n (2-4) y los valores de las irnpedancias, par la ecuacion (2-15). Las polaridades de lasfuentes de voltaje en el circuito equivalente invertiran sus direcciones en el circuito original si lospuntos de uno de los lados de los devanados del transformador se invierten con respecto a lospuntos de los devanados del otro lado del transformador.

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CAPITULO 2

La soluci6n de circuitos que contienen transformadores ideales se ilustra en el siguienteejemplo.

Ejemplo 2-1 Un sistema rnonofasico de potencia consta de un generador de 480 V 60 Hz que alimentauna carga 20 , 1 ' = 4 + j3 Q a traves de una linea de transmisi6n de irnpedancia Zli""" = 0.18 + jO.24 Q.Responda lassiguientes preguntas acerca de este sistema:a) Si el sistema de potencia es exactamente como se describe en la figura 2-6a, ~cmil sera el voltaje en

la carga? ~Curues seran las perdidas en la lfnea de transmisi6n?b) Suponga que un transformador elevador de 1 0: 1 se coloca en el extremo del generador de la linea

de transmisi6n, y un transfonnador reductor de 1: lOse coloca en el extremo de la carga de la linea(figura 2-6b). ~Cual sent el voltaje en la carga? LCuales seran las perdidas de transmision en Ialinea?

Soluciona) La figura 2-6a muestra el sistema de potencia con los transformadores. Aqui 1(; = 1111100 = I,",go'La corriente de lfnea en este sistema esta dada por

Ilfnca=z +Zlinea cargav

480LO V=(0.18 n + jO.24 il) + (411 + j3 1 1 )480 LaD 480 LOa

4.18 + j3.24 5.29 L37.8= 90.8L-37.8 AEntonees cl voltaje en la carga es

= (90.8 L -37.8 A)(4 n + j3 fl)= (90.8 L -37.80 A)(5 .L36.9011)= 454.L -0.9 V

y las perdidas en Ia linea sonPloss = (hnea)2 Rlfnca

= (90.8 A)2 (0.18 0,) = 1484 Wb) La figura 2-6b muestra el sistema de potencia con los transformadores, Para analizar este sistema

es necesario reducirlo a un nivel de voltaje corruin, 1 0 cual se logra en los dos pasos siguientes:1. Eliminar el transformador T] refiriendo la earga allado del transfonnador sobre la linea detransmision.2. Eliminar el transformador T, refiriendo los elementos de la linea de transmision y el equivalen-

te de la carga en cI voltaje de la linea de transmision, allado de la fuente.

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TRANSFORMADORES

Ilin~a 0.180 j 0.240

+ IIcargaV =480L O O V

a)T2 L.:urga10: I ~_~

v = 480 L 0" V h)Figura 2-6Sistema de potencia del cjcmplo 2-1 a) sin y b) can transforrnadorcs en los extrernos de la linea de transmisirin.

El valor de la impedancia de carga, cuando se refleja en cllado de la linea de transrnision, es

( 1 0 ) 2= T (40 + j3 0)= 400 n + j300 D

Ahora la impedancia total en el nivel de la Ifnea de transmision es

= 400.18 + j300.24 D = 500.3 L36.88Q DEste circuito equivalente se muestra en la figura 2-7a. La impedancia total en cl nivel de la linea detransmisi6n (Zlinea+ Z,, , ,g) se refleja a traves de T, al nivel de voltaje de la fuente:

Z~g "" a2 Zeq"" a2(Zlicea + Z:ar~a)"" UoYCO.18 0 + jO.24 D + 400 D + j300 D)= (0.0018 D + jO.0024 n + 4 D + j3 fl)= 5.003 L36.88 n

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CAPiTULO 2

N6tese que Z>'O"f'" =4 + j3 Q YZ'Hneo =0.0018 + )0.0024 Q. El circuito equivalente resultante semuestra en la figura 2-7 b. La corriente de I generador es

_ 480LO V _ 0Ie - 5.003 L36.880 n- 95.94L-36.88 A

Conociendo la corriente L; se puede retroccder y encontrar I l l " " , , e I,"rgo. EI calculo a traves de T, da

1= 10 (95.94 L-36.88 A) = 9.594 L-36.88 A

y a traves de T2 da

NnI'irlo" =N s2CargaNnIarsn = -N Inea.- S2

= \ 0 (9.594 L- 36.88 A) = 95.94 L- 36.88 AAhora es posible responder la pregunta original. EI voltaje en la carga esta dado por

= (95.94L-36.88 A)(S L36.87 f!)= 479.7 L-om 0 V

y las perdidas en la Ifnea estan dad as por

= (9.594 A)2 (0_180) = 16.7 W N6tese que elevando e1voltaje de transmision del sistema de potencia se reducen las perdi-

das de transmision en un factor cercano a 90. Tambien, el voltaje en Ia carga presenta una caidamucho menor en el sistema con transforrnadores que en e1 sistema sin transformadores, Estesencillo ejernplo ilustra la ventaja de utilizar voItajes mas altos en las lineas de transmision, as!como la extrema importancia de los transformadores en los sistemas de potencia modemos.

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T RANSFORMADQRES

V =480 L 0" V Ii nea O.IS n jO.24 nI:o IIII

. IZ caraa F I~ I400 +i 300nI L...--r-----"

III

a) I '---------v----I Circuito cquivalcrueI

0 .0018 n } 0.0024 [1

V=4S0LOOV Z" carga = 4+ j 3fl

C ir cu ito e q ui v a le n te

b )Figura 2-7a) Sistema con la carga referida al nivel de voltajc de la linea de transmision. b) Sistema con la carga y linea detransmision referidas al nivcl de voltajc del generador.

2-4 TEORIA DE OPERACIONDE TRANSFORMADORES MONOFAsICOS REALES

Los transformadores ideales descritos en la secci6n 2-3 no pueden ser fabricados, sino los trans-formadores reales: dos 0mas bobinas de alambre fisicamente enrollado alrededor de un micleoferromagnetico. Las caracteristicas de un transfonnador real se aproximan a las de un transforrna-dor ideal pero solo hasta cierto punto, Esta seccion se refiere al comportamiento de los transfor-madores rcalcs.

Para entender ia operacion del transformador real, remitase ala figura 2-8, que muestra untransformador que consta de dos bobinas de alambre enrolladas alrededor de un micleo. EIprimario del transformador esta conectado a una fuente de potencia alterna, y el devanado secun-dario esta abierto. La curva de histeresis del transformador se muestra en la figura 2-9.

La base de operacion del transformador puede derivarse de la ley de Faraday:dA

eind =dt (1-41)

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- - 4WCAPITULO 2

donde Aes el flujo ligado en la bobina a traves de la cual se induce el voltaje. EI flujo ligado Aesla suma del flujo que pas a a traves de cada vuelta de la bobina tomadas todas las vueltas de 1abobina:

(1-42)EI flujo ligado total a traves de Ia bobina no es justamente Nd, donde N es el mimero de vueltasde Ia bobina, puesto que el f1ujo que pas a a traves de cada vuelta de la bobina es ligeramentediferente al de las demas, dependiendo de la posicion de la vuelta dentro de la bobina.

(t)

ip (t)--+ + + (

)) -)Np Ns (--(-( ----0Figura 2-8Diagrama de un transformador real sin carga conectada al secundario.

flujo

--------++-------- Fuerza magnetomotriz

Figura 2-9Curva de hisreresis del transformador.

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- -TRANS fORMADORES

Sin embargo, es posible definir el flujo media en una bobina. Si el flujo ligado total en todaslas vueltas de la bobina es Ay si hay N vueltas, entonces elflujo medio por vuelta esta dado por

- Acp=-N (2-16)y la ley de Faraday puede escribirse como

_ fM .eind - N dt (2-17)

Relacion de voltaje en eI transformadorSi el voltaje de 1afuente en la figura 2-8 es vl'(t), Yesta aplicado directamente a traves de lasbobinas del devanado primario del transfonnador, ~c6mo reaccionara el transformador a estevoltaje ap1icado? La ley de Faraday explica 1 0 que ocurre. Cuando Ia ecuacion (2-17) se solucionapara el flujo medio presente en el devanado primario del transform ador, el resultado es

- 1 J4 > = 1 \1 vp(t)dtp (2-18)Esta ecuacion establece que el flujo medio en el devanado es proporcional a la integral del voltajeaplicado al devanado y la constante de proporcionalidad es el inverso del mimero de vueltas deldevanado primario lINp

Este flujo esta presente en la bobina primaria del transform ador. ~Que efecto tendra en labobina secundaria del transformador? El efecto depende de cuanto flujo llega a Ia bobina secun-daria. No todo el flujo producido en la bobina primaria atraviesa la bobina secundaria puesalgunas de las lfneas de flujo abandonan el niicleo de hierro y pasan a traves del aire (vease figura2-10). La porcion del fluj0que atraviesa una de las bobinas del transformador, pero no la otra, sellamaflujo disperso. EI flujo de la bobina prirnaria del transformador puede dividirse en doscomponentes: un flujo mutuo, que perrnanece en el micleo y Iiga ambos devanados, y un flujodisperso pequeiio que pasa a traves de Ia bobina prirnaria pero retorna a ella a traves del aire, sincruzar por la bobina secundaria.

(2-19)

donde = flujo rnedio total en eIprimarioM = componente del flujo que liga los dos devanados (primario y secundario)rpLp:::: flujo disperso en el devanado primario

EI flujo del devanado secundario tambien se divide en flujo mutuo y flujo ligado, que pasa atraves del devanado secundario pero retorna a el a traves del aire sin tocar el devanado primario:

( 2 - 2 0 )

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CAPITULO 2

. . . . ./ "-f j J M

/ -,/ \\r, I 1 $ \

I -. \ \ I .- III + \ \ I + \I \ \ I

{, , . . \I \ \ I I \I \ . ' . 1 . . '\

Figura 2-10Flujos mutuo y dispcrso en un miclco de transformador.

donde rps = flujo medio total del devanado secundarior p M = componente del flujo que liga ambos devanados (primario y secundario)r j J L S = flujo disperso de] devanado secundario

Can la division del flujo medio primario en flujos mutuo y disperso, la ley de Faraday para elcircuito primario puede cxpresarse como

(2-21)

E1primer miembro de esta expresion puede ser Hamada elt), y el segundo eLP(t). De este modo,la ecuacion (2-21) puede escribirse

(2-22)

El voltaje en la bobina secundaria del transformador puede expresarse, en terminos de la leyde Faraday, como

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T RANSFORMADORES

d < p sV5(t ) =NSdtd < P M d < p L S= Ns dt + Ns dt

= eset ) + eLS(t )(2-23)(2-24)

EI voltaje primario debido a los flujos mutuos esta dado por(2-25)

y el voltaje secundario debido a los flujos mutuos esta dado por(2-26)

N6tese de estas dos relaciones que

Por tanto,(2-27)

Esta ecuacion significa que fa relacion entre el voltaje primario causado por elflujo mutua, yelvoltaje secundario causado por el flujo mutua, es igual a fa relacion de vueltas del transforma-dor. Puesto que en un transformador bien diseiiado lvf LP YM fLS' la relacion entre elvoltaje total en e1 primario y el voltaje total en el secundario del transformador es aproximada-mente

(2-28)Cuanto menores sean los flujos dispersos en el transformador, mas exacta sera la aproximaci6n ala relaci6n de vueltas del transformador ideal analizado en la seccion 2-3 ,

Corriente demagnetizacion en un transformador realCuando una fuente de potencia alterna se conecta a un transformador, como se muestra en lafigura 2-8, la corriente fluye en su circuito primario, aun cuando el circuito secundario esteabierto. Esta corriente es la requerida para producir flujo en un micleo ferrornagnetico real, comose explico en el capitulo 1. Esta corriente tiene dos componentes:1. La corriente de magnetizacion ( I v ! ' requerida para producir el flujo en el nucleo del transfer-

rnador.

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CAPfTUlO 2

2. La corriente de perdidas en el nucleo t.; requerida por el fen6meno de histeresis y por lascorrientes parasitas.La figura 2-11 muestra la curva demagnetizacion tipica del micleo de un transformador. Si se

conoce el flujo del nucleo, se puede encontrar la magnitud de la corriente de magnetizaciondirectamente de la figura 2-11.

Ignorando momentaneamente los efectos de la dispersion de flujo, el flujo medio en elmicleo esta dado por

- 1 J= IV vp(t )d tpSi el voltaje prirnario esta dado por la expresion vA t ) =V I1 cos on V,el flujo resultante sera

(2-18)

- 1 J= I V VM cos wt dtpVM= ~-senwt WbwN p ( 2 -29)

Si los valores de la corriente requerida para producir un flujo dado (figura 2-11a) se comparan conel flujo del nucleo en diferentes tiernpos, es posible construir una grafica para la corriente demagnetizaci6n del devanado en el micleo. Tal grafica se muestra en la figura 2-11b. N6tense lossiguientes aspectos acerca de Ia corriente de magnetizaci6n:1. La corriente de magnetizacion en el transforrnador no es sinusoidal. Las componentes de

mas altas frecuencias de Ia corriente de rnagnetizaci6n se deben a Ia saturaci6n magneticadel micleo del transformador.

2. Una vez que el pi co del flujo alcanza el punto de saturaci6n en el micleo, un pequefioincremento en el flujo pica reguiere un incremento muy grande en la corriente pica dernagnetizacion.

3. La cornponente fundamental de la corriente de rnagnetizaci6n atrasa el voltaje aplicado alruicleo en 900.

4. Las componentes de mas altas frecuencias de la corriente de magnetizaci6n pueden serbastante mayores con respecto a la de frecuencia fundamental. En general, cuanto masfuerte sea el proceso de saturacion del micleo, mayores seran las componentes arm6nicas.La otra componente de 1acorriente de vacio en un transforrnador es la corriente requerida

para suministrar potencia al proceso de histeresis y a las perdidas por corrientes parasitas en elmicleo, es decir, es Ia corriente de perdidas en el micleo. Suponga que el flujo en el nucleo essinusoidal. Puesto que las corrientes parasitas en el micleo son proporcionales a d/dt, seranmayores cuando el flujo pasa por 0 Wb. Por tanto, la corriente de perdidas en el nucleo es maximacuando el flujo pasa por cero. La corriente total requerida para compensar las perdidas en elmicleo se muestra en la figura 2-12.78


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T RANSFORMADORES

a)

V< /1 (1 ) ~ NM sen W IW I'

b)

Figura 2-11a) Curva de magnetizacion del niicleo del transformador. h) Corriente de magnctizacion causada por el flujo enel rniclco del transformador.

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CAPITULO 2

Tenganse en cuenta los siguientes aspectos referentes a la corriente de perdidas en elnucleo:1. La corriente de perr'idas en el micleo no es lineal debido a los efectos no lineales de la

histeresis,2. La componente fundamental de la corriente de perdidas en el micleo esta en fase can el

voltaje aplicado,La corriente total de vacfo en e1micleo se llama corriente de excitaci6n del transform ador y

es justamente la surna de la corriente de magnetization y Ia corriente de perdidas en el micleo:(2-30)

La corriente total de excitacion en el micleo tipico de un transformador se muestra en lafigura 2-13.

Figura 2-12Corriente de perdidas en el transforrnador,

Figura 2-13Corriente total de cxcitacion cn un Iransfonnador.

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TRANSFORMADORES

Relaci6n de corriente en un transformadory convencion de puntosSuponga ahora que se conecta una carga al secundario del transformador. EI circuito resultantese muestra en la figura 2-14. N6tense los puntas en los devanados del transformador. Como en eltransfonnador ideal antes descrito, los puntos ayudan a determinar la polaridad de los voltajes ycorrientes sin tener que recurrir a la inspecci6n ffsica de los devanados. EI significado ffsico de laconvenci6n de puntas es que una corriente que [luye hacia un devanado, par su extremamarcado can punta, produce unajuerra magnetomotri; positiva ' Z F , en tanto que una corrienteque fluye hacia dentro del devanado, por el extremo no marcado con punta, produce una fuerzamagnetomotriz negativa. Por 10 anterior, dos corrientes que fluyen hacia adentro, por los extremosmarcados can punta en sus respectivos devanados, producen fuerzas magnetomotrices que seadicionan. Si una corriente fluye hacia dentro de un devanado, por el extremo marcado con punto,y otra corriente fluye hacia fuera del devanado por su extrema marcado con punta, las fuerzasmagnetornotrices se restaran entre sf.

En la situacion mostrada en la figura 2-14, la corriente primaria produce una fuerzamagnetomotriz positiva ' ? : F p = N p i p , y la corriente secundaria produce una fuerza magnetomotriznegativa gji-s N s i ! J " Entonces, la fuerza magnetomotriz neta en el mic1eo sera

(2-31)Esta fuerza rnagnetomotriz neta debe producir el flujo neto en el nucleo y debe ser igual a

(2-32)donde C Z J t es Ia reluctancia del micleo del transformador. Puesto que 1areluctancia del micleo de untransfonnador bien disefiado es muy pequeria (cercana a cere), hasta tanto el micleo este satura-do, la relaci6n entre las corrientes primaria y secundaria es aproximadarnente

(2-33)en tanto el niicleo se haya saturado. Entonces,

I Nplp =Nsis (2-34)o

(2-35). E . _ Ns =1is - Np aEI hecho de que la fuerza magnetomotriz en ei nucleo este cercana a cera da significado a laconvencion de puntos de la seccion 2-3. Para que la fuerza magnetomotriz sea aproximadamentecero, la corriente debe fluir haria dentro par uno de los terminales marcados y hacia fuera parel otro. Los voltajes deben generarse de la misma forma, con respecto a los puntas en cadadevanado, para impulsar las corrientes en la direccion requerida (la polaridad de los voltajestambien puede determinarse mediante la ley de Lenz, si sc ve la conformaci6n de las bobinas deltransformador),

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CAPITULO 2

I p+

Figura 2-14Transforrnador real con carga conectada a su sccundario,

Carga

(,Que se debe suponer para convertir un transfonnador real en el transfonnador ideal descri-to anteriormente? Los siguientes aspectos:1. El micleo no debe tener histeresis 0 corrientes parasitas.2. La curva de magnetizacion debe tener laforma mostradaen la figura 2-15. Notese que para un

micleo no saturado, la fuerza magnetomotriz neta 8Fnc t = 0, 10 cual implica que N)I' = Ni".3. El flujo disperso en el micleo debe ser cero; esto implica que todo el flujo en el micleo ligaambos devanados.4. La resistencia de los devanados del transformador debe ser cera.

Aunque estas condiciones no se cumplan del todo, los transformadores de potencia bien disefia-dos estan cerca de ellas.

2-5 CIRCUITO EQUIVALENTEDE UN TRANSFORMADOR

Las perdidas que ocurren en los transformadores reales deben tenerse en cuenta en cualquiermodele aproximado del transfonnador. Los principales Items que deben tenerse en cuenta para laconstruccion de tal modelo son:1. Perdidas en el cohre (12R). Son perdidas por calentamiento resistivo en los devanados

primario y secundario del transformador. Son proporcionales aI cuadrado de la corriente enlos devanados.

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T RANSFORMADORES

1 , \V b

Figura 2-15Curvu de mngnetizacion de un tranxformacor ideal.

2. Perdidas por corrientes pardsitas, Perdidas pOI calentamiento resistivo en el nucleo deltransformador. Son proporcionales al cuadrado del voltaje aplicado al transforrnador.

3. Perdidas par histeresis. Estan relacionadas con los reordenamientos de los dominios mag-neticos en el nucleo durante cada serniciclo, como se explico en el capitulo 1. Son unafuncion compleja no lineal del voltaje aplicado al transformador.

4. Flujo disperso. Los flujos < P L P Y < P I S que escapan del nucleo Y pasan iinicamente a traves deuno de los devanados del transformador son flujos dispersos. Esta fuga de flujos produceuna autoinductancia en las bobinas primaria y secundaria, y sus efectos deben tenerse encuenta.

Circuito equivalente exactode un transformador realEs posible elaborar un circuito equivalente que tenga en cuenta las principales irnperfecciones delos transformadores reales. Se considera cada una de estas irnperfecciones y sus efectos seincluyen en el mode1o de transformador.

El efecto mas sencillo de modelar son las perdidas en el cobre: perdidas resistivas en losdevanados primario y secundario del transformador, Se modelan disponiendo un resistor R; en elcircuito prirnario y un resistor R.I en el circuito secundario del transformador.

Como se explic6 en la seccion 2.4, el flujo disperse en el devanado primario LP produce unvoltaje eLP(t) dado por

(2-360)

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CAPiTULO 2

y el flujo disperso en el devanado secundario u produce un voltaje CIS dado por

Puesto que mucho del recorrido del flujo disperso es a traves del aire, y dado gue la reluctanciadel aire es constante y mucho mayor que la del micleo, el flujo es directamente proporcional alacorriente primaria i,y el flujo ] _ s es directamente proporcional a la eorriente secundaria i..

(2-37a)(2-37b)

donde C Z J > = perrneancia del camino del flujoNr = mimero de vueltas de la bobina primariaN\. = numero de vuelras de la bobina secundaria

Sustituyendo las ecuaciones (2-37) en las ecuaciones (2-36) resulta

(2-38a)

(2-38b)

Las constantes en estas ecuaciones pueden agruparse; entonees(2-39a)

(2-39b)donde L " = N 2 1 ' C Z J > es Ia autoinductancia de la bob ina prirnaria y L , = N '; ! ! f > es la autoinductancia dela bobina secundaria. Por consiguiente, el flujo disperso sera rnodelado por inductancia en elprimario y el secundario.

LeOmO pueden modelarse los efectos de excitaci6n en el micleo? La corriente demagnetizacion i " , es proporcional (en la regi6n no saturada) al voltaje aplicado al nucleo yatrasael voltaje aplicado en 90~ pur tanto puede modelarse por una reactancia XMconectada a travesde la fuente de voltaje primario. La corriente de perdidas en el nucleo i ' l + l " es proporeional alvoltaje aplicado al nucleo que estd en fase co n el vo lta je ap licado , tal que puede ser modeladopor una resistencia x, eoneetada a traves de Ia fuente de voltaje primario (reeuerde que estas doscorrientes son no lineales realmente y Ia inductancia XM Y Ia resistencia Rc son, a 1 0 sumo,aproximaciones de 10s efectos rea1es de 1aexcitacion).

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T RANSFORMADORES

EI circuito equivalente resultante se muestra en la figura 2-16. N6tese que todos los eJemen-tos que forman la rama de excitacion estan colocados adentro, detras de la resistencia R; Y lainductancia LI' primarias. Esto se debe a que el voltaje actualmente aplicado es en realidad igualal voltaje de entrada menos las caidas internas de voltaje en los devanados.

Aunque la Figura 2-16 es un modelo correcto de un transformador, no es la mas utilizada.Normalmente, para hacer un analisis practice de circuitos que contienen transformadores serequiere convertir e 1 circuiro completo en un circuito equivalente de un unico nivel de voltaje (talconversion se hizo en el ejemplo 2-1). Par supuesto, el circuito equivalente debe ser referido a sulado primario 0 a su lado secundario para solucionar el ejercicio. La figura 2-17 a es el circuitoequivalente del transformador, referido a su lado primario, Yla figura 2-17 b es el circuito equiva-lente, referido a su lado secundario.

Circuitos equivaJentes aproximadosde un transformadorLos modelos de transformador mostrados son, con frecuencia, mas complejos que 1 0 requeridoen la practica para obtener buenos resultados. Uno de los principales inconvenientes es que larama de excitacion del modele ariade otro nodo al circuito en analisis, 1 0 cual hace que su solucionsea mas complej a de 10necesario. La rarna de excitaci6n tiene una corriente rnuy pequefia compa-rada con la corriente de carga de los transformadorcs. En efecto, es tan pequefia que en condicio-nes normales causa una caida de voltaje despreciab1e en R; Y X I " Por esta causa, se ha elaboradoun circuito equivalente simpl ificado que opera casi tan bien como el original. S610 se ha movidola rama de excitacion hacia la entrada del circuito, dejando en serie las impedancias primaria ysecundaria. Estas impedancias se adicionan dando como resultados los circuitos que se mues-tran en la figura 2-18a Yh.

En ciertas aplicaciones, 1a rarna de excitacion puede omitirse por cornpleto sin ocasionargraves errores. En estos casos, el circuito equivalente del transformador se reduce a los circuitossimples de la figura 2-18c y d.

. . .'-v-------Transformadorideal

Figura 2-16Modele de un transforrnador real.

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CAPiTULO 2

I p- Rp jX p

V."

b )

Ftgura 2-17a) Modclo de transformador refcrido a xu nivel de volraje primario. h) Mode lo de transtormador referido a 5Univel de voltaje sccundario.

Determinacion de los val ores de lascomponentes en el modelo de transformador

Es posible detenninar experimentalmente los valores de las resistencias e inductancias del rnode-]0del transformador. Una aproximacion adecuada para estos valores se puede lograr con s610 dosensayos: 1aprueba de circuito abierto y la prueba de cortocircuito.

En la prueba de circuito abierto, se deja abierto el devanado secundario del transformadory el devanado prirnario se conecta al voltaje pleno nominal. Observe el circuito equivalente de lafigura 2-17. En las condiciones descritas, toda la corriente de entrada debe fluir a traves de la ramade excitacion del transformador. Las componentes en serie R1 , YX; son tan pequefias, compara-das con R c Y X,\I ' para ocasionar una caida significativa del voltaje que, esencialmente, todo elvoltaje de entrada cae a traves de la rama de excitacion.

La figura 2-19 muestra las conexiones para la prueba de circuito abierto. Se aplica el voltajepleno al primario del transforrnador y se miden el voltaje, la corriente y la potencia de entrada altransformador, Can esta informacion es posible deterrninar e1 factor de potencia, la magnitud Yeldngulo de la impedancia de excitacion.

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--T RANSFORMADORES

If'I,arYVV"\__-o +

a) Reqp '" Rp + a2RsXeql' = XI' + a2X,

I p+0-----'\

c)

b)

alp-V ,.

Figura 2-18Modelos aproximados de un transformador. a) Rcfcrido al Iado prirnario: b) referido al Indo secundario;c ) sin la ram a de cxciracion, referido al lado prirnario; J) sin la ram a de excitacion, rcfcrido al lado secundario.

La forma mas facil para calcular los valores de Rc YXI consiste en estirnar prirnero laadmitancia de Ia rama de excitacion, La conductancia de la resistencia de perdidas en el nucleoesta dada por 1Gc=Rc (2-40)y la susceptancia de Ia inductancia de magnetizacion es

1BM= XMPuesto que estos dos elementos estan en paralelo, sus admitancias se surnan y Ia admitancia totalde la excitacion es

( 2 - 4 1 )

( 2 - 4 2 )1 . 1=--J~Rc XM (2 -43 )

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CAPiTULO 2

Vatimetro

+ v (t)

Transforrnador-0- Amperimetro-0- VoltimetroFigura 2-19Conexicn para la prueba de circuito abierto del translormador.

La magnitud de la admitancia de excitacion (referida al circuito primario) puede calcularsecon base los valores de voltaje Y corriente de la prueba de circuito abier to :

I y I = lacE Voe

E1dngulo de la adrnitancia puede encontrarse a partir del factor de potencia. EI factor de potenciadel circuito abierto (PF) esta dado por

(2-44)

PocPF = cos 8 = --=-Voe/oe (2-45)y el angulo e del factor de potencia es

Poe() = cos-I_-==-VoelocEl factor de potencia esta siempre en atraso para un transformador real, de modo que el angulo dela corriente siempre atrasa a1voltaje en e grados. Por tanto, la admitancia YE es

(2-4D)

Iy. = oe ,L.-@E Voe= lac ,L . +cos " PFVoe

Comparando las ecuaciones (2-43) y (2-47), es po sible determinar los valores de R, YXH directa-mente de los datos de Ia prueba de circuito abierto.En Ia p rueba de cortocircuito los terminales del secundario del transforrnador se

cortocircuitan y los del primario se conectan a una fuente adecuada de voltaje, como se muestraen la figura 2-20. E1 vo1taje de entrada se ajusta hasta que 1a corriente de los devanadoscortocircuitados sea igual a su valor nominal (asegurese de mantener el voltaje primario en un

(2-47)

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TR4 .NSFORMADORES

nivel seguro, No es buena idea quernar los devanados del transformador mientras se intentaprobarlo). De nuevo, se miden el voltaje, la corriente y la potencia de entrada.

Puesto que el voltaje de entrada es tan pequefio durante Ia prueba, la corriente que f1uye porla rama de excitaei6n es despreciable. Si la corriente de excitacion se ignora, toda la caida devoltaje en el transformador puede ser atribuida a los elementos del cireuito en serie. La magnitudde las impedancias en serie, referidas allado primario del transformador, es

(248)El factor de potencia es

PscPF = cos e = ~-=:..=.-~


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CAPiTULO 2

Es posible deterrninar 1a impedancia total referida allado primario utilizando esta tecnica,pero no hay un camino facil para dividir las impedancias serie en sus cornponentes prirnario ysecundario, Por fortuna, esta separacion no es necesaria para la solucion de los problemasnormales,

Estas pruebas tarnbien pueden ser realizadas en el lado secundario del transforrnador, siconviene hacerlo asf debido a los niveles de voltaje IIotras razones. Si las pruebas se hacen en ellado secundario.Ios resultados daran las impedancias del circuito equivalente, referidas al secun-dario del transformador y no al primario.

Ejemplo 2-2 Se requiere determinar las impedancias del circuito equivalente de un transformador de20 kVA, 8000/240 V, 60 Hz. Las pruebas de circuito abierto y cortocircuito se hicieron en el ladoprimario del transformador y arrojaron los siguicntcs resultados:

Prueba de circuito abierto Prueba de cortocircuito(en el primario ) (en el primario)

Voe 8000 VJoe = 0.214 APoe 400W

v, 489Vi; = 2.5 Ar: 240WEncuentre las irnpedancias del circuito equivalente aproximado, referido allado prirnario, y dibuje elcircuito.Solucion. EI factor de potencia durante la prueba de circuito abierto es

PoePF =cos e = v , : Ioc oc400W

(2-45)

= cos e = (8000 V)(0.214 A)= 0.234 en atraso

La admitancia de excitacion esta dada pnr

Por tanto,

l o eY t_ =VL -cOS-I PFOC- 0.214 A L -I0234- 8000 V -cos .=0.0000268 L-76S !1= 0.0000063 - jO.0000261 = ~ - j iC M

(2-47)

1Rc = 0.0000063 159 k!11X14 =0.0000261 = 38.4 k!1

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T RANSFORMADORES

EI factor de potencia durante la prueba de cortocircuito esPscPF = cos (j = _"_Vsclsc240W

(2-49)

= cos (j = (489 V)(2.S A) =0.196 en atrasoLa impedancia serie csta dada por

Z ~ V sc / -IPF-SE - -L ~coslsc= 489 V L78 T'2.5 A .=195.6 L78.7 = 38.4 + j192 nEntonees, la resisteneia y la reactancia equivalentes son

X eq =19 2 nEI circuito equivalente resultante se muestra en la figura 2-21.

2-6 SISTEMA DE MEDIDA POR UNIDADComo se observ6 en el ejemplo 2-1, relativamente sencillo, la solucion de circuitos que contienentransform adores puede ser una operacion bastante tediosa dada la necesidad de referir a lin nivelcomun los distintos niveles de voltaje en los diferentes lados de los transformadores del sistema.S610 cuando haya sido ejecutado este paso, puede resolverse el circuito en cuanto a sus voltajesy eorrientes.

Existe otro metodo para la soluci6n de cireuitos que contienen transforrnadores, el cualelimina la necesidad de hacer explfcitas las conversiones de nivel de voltaje en todos los transfer-madores del sistema. En su lugar, las conversiones necesarias se realizan automaticarnente por elmetodo en sf, sin que el usuario deba preocuparse por la transformacion de las impedancias.Debido a que tales transformaciones de impedancias pueden omitirse, los circuitos que contie-nen muchos transformadores pueden resolverse con facilidad y riesgo minimo de error. Estemetoda de calculo se eonoce como sistema par unidad (pu) de medida.

E! sistema par unidad tiene otra ventaja que 1 0 hace importante en el estudio de las maqninasy los transformadores electricos. Puesto que el tamafio de las maquinas y los transform adoresson diversos, sus impedancias internas varian en gran medida. Por ejemplo, una reactancia prima-ria de 0.1Q podria ser un mimero excesivamente grande para un transformador pero, ridiculamen-te pequefio para otro; todo depende del voltaje y de la potencia norninales del aparato. Sinembargo. en un sistema par unidad relacionado con los valores nominales del aparato, lasimpedancias de las mdquinas y los transformadores caen regularmente dentro de ranges estre-

) chos para eada tipo y construccion, Este hecho puede ser de utilidad al verificar la solucion de losejercicios.

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CAPiTULO 2

j192D.t I m

jX mj38AUl

Figura 221Circuito cquivalentc del ejernplo 2-2.

En el sistema por unidad, voltajes, corrientes, potencias, impedancias y otras magnitudes nose miden en sus unidades usuales SI (volts, amperes, watts, ohms, etc.) En su lugar, cada magni-tud electrica se mide como una [raccion decimal de algun nivel base. En el sistema base parunidad, cualquier cantidad puede expresarse mediante la ecuaci6n

Valor realCantidad pur unidad = 'Valor base (2-53)donde el "valor real" es el valor en volts, amperes, ohms, etc.

Es costumbre seleccionar dos magnitudes base para definir el sistema por unidad. Las quese seleccionan usualmente son el voltaje y la potencia (0 la potencia aparente). Una vez seleccio-nadas estas cantidades base, los otros valores base se relacionan con ellas pm media de las leyeselectric as corrientes, En un sistema monofasico estas relaciones son

(2-54)vZ = basebase I.base (2-55)v - [base.lbase - _-Vbase (2-56)

(2-57)Seleccionados los valores base de 5 (0 P) y V, los demas valores base se pueden ca1cular canfacilidad de las ecuaciones (2-54) a (2-57).

En un sistema de potencia, se seleccionan una potencia aparente base y un voltaje base enunpunto especifico del sistema. Un transformador no afecta la potencia aparente base del siste-

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T RANSFORMADORES

rna puesto que la potencia aparente de entrada a1transforrnador es igual a la potencia aparente desalida del transformador [ecuacion (2-11)J. Por otra parte, el voltaje cambia cuando atraviesa eltransformador y, por tanto, el valor de V h " ' " cambia en cada transformador del sistema de acuerdoa su relaci6n de vueltas. Debido a que las cantidades base cambian a1 pasar a traves de untransforrnador, e1 proceso de referir cantidades a un nivel de voltaje comun se tiene en cuentaautomaticamente durante la conversion a por unidad,

Ejemplo 2-3 La figura 2-22 muesrra un sistema de potencia sencillo. Este sistema contiene ungenerador de 480 voltios conectado a un transformador elevador ideal de relacion 1:10, una linea detransmision, un transformador ideal reductor de rclacion 20: 1 y una carga. La impedancia de L a lineade transrnision es 20 + )60 Q, y la impedaneia de la earga es 1OL30 Q. Los valores base para estesistema se escogen como 480V y 10 kVA en el generador,a) Encuentre las bases de voltaje, corriente, impedaneia y potencia aparente en eada punto del

sistema de potencia.b) Convierta este sistema a su circuito equivalente en por unidad.c) Encuentre la potencia surninistrada a la carga en el sistema.d) Encuentre la potencia perdida en la linea de transmision.Soluciona) En la region del generador, V b"" '" 480 V YShlSc"" 10 kVA, entonces

10,000 VA = 2083 A480 V ._ Vbase I _ 480 VZba,e I - I - 20.83 A =23.04 Dbase I

R eg ion 1

1 : 1 0 20:1

Figura 2-22Sistema de potcncia del cjemplo 2-3.

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CAPiTULO 2

La relaei6n de vueltas del transformador TI cs a ....1/10 =0.1, par 1 0 eual cl voltajc base en fa regionde la linea de transmision, es

\I, = "base 1 =480 V = 4800 Vbase 2 a 0.1Las otras cantidades base son

Sbase2 = 10 kYAI 10,000 VA = 2083 Abase 2 = 4800 V .Z 4800 V = 2304 nbase 2 = 2.083 A

La relacion de vueltas del transformador T: es a = 2011 = 20, entonces el voltaje base en la regionde Lacargo es

= Vbase2 = 4800 V = 240 VVbase 3 a 20

Las otras cantidades base son

Sbase3 = lOkVAI 10,000 VA = 4167 Abase S = 240 V .

240 VZbase 3 = 41.67 A = 5.76 n

b) Para convertir un sisterna de paten cia a sistema por unidad, cada componente debe dividirse entresu valor base segun la region del sistema. El voltaje en por unidad del generador es su valor realdividido entre su valor base:

_ 480LO V _VG, pu - 480 V - 1.0 LO pu

La impedancia en par unidad de la linea de transmision cs su valor actual dividido entre su valorbase:

"- 20 + j6 0 n .z linea. p LL = 2304 (1 = 0.0087 + }O.0260 puLa impedancia de la carga en par unidad tambien Sf da por c\ valor real dividido entre el valor base

1 0 L30 1 1Z GLrga.]JU = 5.76n 1.736 L30 puEl circuito equivalente del sistema de potencia por unidad se muestra en la figura 2-23.

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TRANSFORMADORES

c) La corrienie que fluye en este sistema de potencia par unidad es

(0.00S7 + )0.0260) + (1.736 L 30)1 LO(0.00S7 + jO.()260) + (1.503 + )0.868)

1LO 1 LaO1.512 + jO.894 1.757 L30.6

= 0.569 L-30.6 puAsi mismo, la potencia de Ia carga por unidad cs

y la potcncia actual suministrada a la carga esPcarg1l = P'Mga. pu SUetS" = (0.487)(10,000 VA)

= 4870Wd) La perdida de poiencia en par unidad en la linea de transrnision es

y la perdida de polencia real en la lfnea de transmision es

Plinca = PI inca. ru Sbac" = (0.00282)(10,000 VA)= 28.2 W II inca 0.0087 pu jO.0260 pu lcarga-

Zcanw :: 1.736 L30 por unidad~ I

III

Ic,pu = llinca, pu = Icarga, pu =0 JpuFigura 2-23Circuito equivalcntc por unidad para cl cjemplo 2-3.

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CAPITULO 2

Cuando s610 se analiza un aparato (transformador a motor), se utilizan norrnalmente suspropios valores nominales como base para el sistema par unidad. Si se ernplea un sistema parunidad basado en los valores nominales propios de un transformador, las caractertsticas de untransformador de potencia a de distribucion no variaran mucho en un amplio rango de valoresnominales de potencia y voltaje, Por ejemplo, la resistencia serie de un transformador es usual-mente alrededor de 0.01 por unidad, y la reactancia serie esta entre 0.02 y 0.10 pOTunidad. Engeneral, cuanto mayor sea el transformador menores son sus impedancias serie. La reactancia demagnetizacion esta en general entre 10 y 40 par unidad. mientras que la resistencia de perdidas enel micleo esta entre S O y 200 por unidad. Debido a que los val ores par unidad dan una formaconveniente y significativa para comparar las caracterlsticas de los transformadores cuando sonde diferentes tamarios, las impedancias de estes se expresan normalmente en par unidad a enporcentaje sobre sus caracteristicas de placa (vease figura 2-46, posteriormente en este capitulo).

La misma idea se aplica a las maquinas sincronicas y de inducci6n: sus impedancias en porunidad eaen dentro de rangos relativamenteestrechos sobre muy amplios rangos de tamaiio.

Si mas de una maquina y un transformador estan presentes en un sistema de potencia, elvoltaje y la potencia bases se pueden escoger arbitrariamente, pero el sistema entero debe tenerL a mism a ba se. Un procedimiento comun es escoger las cantidades base del sistema tal que seanlas mismas del componente mas grande del sistema. Los valores en por unidad dados en otra basepueden expresarse en una nueva base, convirtiendolos a sus valores reales (volts, amperes,ohms, etc.) como paso intermedio, En forma alterna, se pueden convertir directamente mediantelas ecuaciones

Sbasc 1(P, Q , S )p u e n base 2 =P, Q, S ) p u ell base 1-S--base 2 (2-58)

v . - l/ Vbase 1pu ell base 2 - pu en base I --Vb"se 2

(2-59)

(Vhase l?(Sbase 2)C R , X , Z )l'u en r.lSc:! = (R , X , Z) 1' " "1 1 base I (V )2(S )base 2 base I (2-60)

Ejemplo 2-4 Dihuje el circuito cquivalenrc aproximado pOl unidad del transformador del ejemplo2-2. Utilice los valores nominales del transforrnador como base del sistema.Solucion. Los valores del transformador del ejcmplo 2-2 son 20 kVA, 8000/240 V. El circuito equiva-leote aproximado (Iigura 2-21) desarrollado en el ejcrnplo se refirio al lado de alta tension deltransformador; para convertirlo a por unic1ad se debe cncontrar la impedancia base del circuitoprirnario. Eo este,

Vbase I = 8000 VSbase! = 20,000 VA

(Vbasc ])2Zba,e 1 = Sbase 1(8000 y)2 = 3200 n20,000 VA

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T RAI \ S FORMADORES

a) iJ )Figura 2-240) Trans Iorrnador tfpico de d istri hucion de 13.2 kV a 1201240 V t cort esia de General Elect ric Companvs.h) Vista ell corte de lIll transforrnudor de distribucion qu;;; muestra su tipo acorazado t co rt cxia de GeneralElectric Company),

Por tanto,38.4 + j192 n

ZSE,pu= 3200fl = 0.012 + jO.06pu159 kDRe. pu = 3200 n= 49.7 pu

Z 38.4 k!l 12u, pu = 3200 n = puEl circuito equivalente aproximado par unidad, expresado sobre la base propia del transforrnador, scmuestra en la Figura 2-25.

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CAPITULO 2

V".pu V,.PU

Figura 2-25Circuito cquivalente por unidad del cjemplo 2-4.

2-7 REGULACION DE VOLTAJE Y EFICIENCIADEL TRANSFORMADOR

Debido a que un transformador real tiene impedancia serie dentro de el, su voltaje de salida variacan la carga, aunque el voltaje de entrada permanezca constante. Para comparar adecuadamentetransform adores en este aspecto, se acostumbra definir una cantidad Hamada regulacion devoltaje (VR). La regulacion de voltaje a plena carga es una cantidad que campara el voltaje desalida del transformador sin carga (en vado ) con e1 voltaje de salida del transformador a plenacarga. Esta definida par la ecuacion

VS, I I I - Vs, flVR = x 100%VS,fl ( 2 - 6 1 )Puesto que en vacio, V s::: V r i a , la regulacion de voltaje puede ser expresada como

Vp/a-V.SflVR = x 100%Vs ,n ( 2 - 6 2 )Si el circuito equivalente del transformador esta en por unidad, la regulaci6n de voltaje puedeexpresarse como

v . -v;VR = P.puv. S,ft,pu x 100%S,fI.pu

(2-63)

En general, una buena practica es tener una regulaci6n de voltaje tan pequefia como seaposible. Para un transformador ideal VR :::;0 %. No siempre es una buena idea tener una bajaregulacion de voltaje ya que, a veces, se utilizan adrede transformadores de alta impedancia yaltaregulacion de voltaje, para reducir las corrientes de falla en un circuito.

(,C6mo se puede determinar Ia regulaci6n de voltaje de un transformador?

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- -TRANSFORMADORES

Diagrama fasorial del transformadorPara deterrninar la regulacion de voltaje de un transforrnador, es necesario entender las caidas devoltaje dentro de el. Considere el circuito equivalente simplificado de la figura 2- ISb. Los efectosde la rama de excitacion en la regulacion de voltaje del transformador pueden ser ignorados, por10cual s610 deben considerarse las impedancias serie. La regulacion de voltaje de un transforma-dor depende tanto de la magnitud de esas impedancias serie como del angulo de fase de Iacorriente que fluye en el transformador. La forma mas facil de determinar e1 efeeto de las impedanciasy los angulos de fase de la corriente en la regulacion de voltaje del transforrnador es examinandoel diagramafasorial, un dibujo de los fasores de los voltajes y las corrientes en el transformador.

En los diagramas fasoriales siguientes, se supone que el angulo del fasor del voltaje V, es 0,y los demas voltajes y corrientes se comparan con esa referencia. Aplicando la ley de voltajes deKirchhoff al circuito equivalente de Ia figura 2-18b, el voltaje en el primaria puede ser hallado apartir de

(2-64)

Un diagrama fasorial del transformador es una representacion visual de esta ecuacion,La figura 2-26 muestra un diagrama fasorial de un transformador que opera a un factor de

potencia en atraso. Es facil ver que Vp/a > V : " para cargas en atraso, tal que la regulaci6n de voltajede un transformador con eargas en atraso debe ser mayor que cera.

En la figura 2-27 a se muestra un diagrama fasorial con factor de potencia igual a1. Aquf denuevo, el voltaje en el secundario es menor que el voltaje en e1 primario, por tanto, VR> O.S inembargo, esta vez la regulacion de voltaje es un mimero mas pequefio que el obtenido cuando lacorriente estaba en atraso. Si la corriente seeundaria esta en adelanto, el voltaje seeundario puedeser mayor que el voItaje primario de refereneia. Si esto oeurre, el transformador tendra una regu-lacion de voltaj e nega t i v a (vease figura 2~27h).

Calculo simplificado de la regulacion de voltaje

Al examinar el diagrama fasorial de la figura 2-26, pueden observarse dos factores interesantes.Para cargas en atraso (las mas comunes en la vida real), las componentes perpendiculares de lascaidas de voltaje resistiva e inductiva tienden a cancelarse parcialmente, Tambien el angulo entreVp y Vs es muy pequefio para las cargas nonnales (unos pocos grad os en la mayoria). Estos dosfaetores significan que es posible deducir una ecuacion aproximada y sencilla para la caida devoltaje. Esta ecuacion aproximada es suficientemente precisa para 10 requerido en el trabajo deingenieria.

En un triangulo largo y angosto como el de Ia figura 2-28. el lado mas largo es casi igual a lahipotenusa. Las componentes perpendiculares de las cafdas de voltaje resistiva e inductiva soloson importantes para el pequefio lade vertical del diagrama fasorial; entonces, es posible aproxi-mar e1 voltaje de entrada ignorandolas por completo.

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CAPiTULO 2

Vpa

" ' - " ' k - , F f ) = = = = = = = = = = = = v = , ~l'~ ~~

Figura 2-26Diagrams fasorial de un transformador que opera a factor de potenciu en uuuso.

a)

v,h )

Figura 2-27Diagrama fasorial de un transformador que opera a factor de potcnci a a) unitario y iI) en adelanto.

Si solo se considera la componente horizontal, el voltaje prirnario es aproximadamente

La regulacion de voltaje puede calcularse introduciendo en la ecuaci6n de regulacion devoltaje (2-62), el termino Vrla calculado en la ecuacion (2-65).

Eficiencia del transformadorLos transformadores son comparados y juzgados por su eficiencia. La eficiencia de un aparatoesta definida por la ecuacion

Pout11 = ~ x 100%~n

(2-66)

100


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T RANSFORMADORES

PoutY J = x 100%~ut + Fross (2-67)

Estas ecuaciones se aplican a los motores, los generadores y tambien a los transformadores.Los circuitos equivalentes del transformador facilitan los calculos de eficiencia, Existen tres

tipos de perdidas en los transformadores:1. Perdidas en el cobre ( I C R ) . Estas perdidas son causadas por la resistencia en serie del

circuito equivalente.2. Perdldas par histeresis. Estas perdidas fueron explicadas en el capitulo 1 y son causadas

par Ia resistencia Rc3. Perdidas par co rri en tes p ard si ta s. Estas perdidas se explicaron en el capitulo 1 y soncausadas por la resistencia Rc

Para caIcular la eficiencia de un transformador en una carga dada, adicione las perdidas decada resistencia y aplique la ecuacion (2-67). Puesto que la potencia de salida esta dada pOI

(2-7)Ia eficiencia del transformador puecle ser expresada por

x 100% (2-68)

Ejcmplo 2-5 Se prueba un transformador de 15 kVA, 23001230 V para determinar sus componentesdc la rama de exciracion, sus impedancias seric y su regulacion de voltaje, Los siguientes datos tueronobtenidos de las pruebas en cllado primario del transformador:

Is

__ L_III-----t--I

Figura 228Deducci6n de la ecuacion aprox imada para Vp la.

101


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CAPiTULO 2

Prueba de circuito abierto Prueba de cortocircuitoV(X- "" 2300Vloe 0.21 Ar: SOW

47V6.0A160W

Los datos se tomaron utilizando las conexiones mostradas en las figuras 2-19 y 2-20.a) Encuentre el circuito equiva1cntc del transforrnador, referido al lado de alto voltaje.b) Encuentre el circuito equivalcnte del transformador, referido allado de bajo voltaje.c) Utilizando Ia eeuaci6n exacta para V I " calcule la regulacion de voltaje a plena carga si los faetores

de potencia son 0.8 en atraso, y t.O Y 0.8 en adelanto.d) Haga los mismos calculos pero utilizando Ia ecuaci6n aproximada para V p - lQue tan semejantcs

son los valores aproximados a los valorcs cxactos?e) Dibuje la regula cion de voltaje con carga desde vacio hasta plena carga, si los factores de potencia

son 0.8, en atraso, y 1.0 Y0.8 en adelanto ..f ) leual es la eficiencia del transformador a plena carga si cl factor de potencia es 0.8 en atraso?

Solucion0) Los valores de la rama de excitacion del circuito equivalente sc pueden calcular partiendo de los

datos de la prueba de circuito abierto y los elementos serie se pueden calcular a partir de los datosde la prueba de cortocircuito. De los datos de circuito abierto, el angulo de la impedancia decircuito abierto es

_ _[ Poe(Joe - cos V I.oc oc- COS-I SOW = 84 0- (2300 V)(O.21 A)

La admitancia de excitacion es1

Y =ae L'-84QE Voc= 0.2} A L-8402300 V= 9.13 X 10-5 L-84 U = 0.0000095 - jO.0000908 l. J

Los elementos de la ram a de excitaci6n referidos al primario son

Rc =0.00000951

105 kO

XM = 0.0000908 11 kO

102


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T RANSFORMADORES

De los datos de cortocircuito, el Angulo de la impedancia de cortocircuito esp.e - - I _ _ _ _ g : _sc - cos V . Jsc sc

--} 160W -';54- eos (47V)(6A) - - .La impedancia serie equivalcnte es

~')cZSE = I L. fJscsc= ~ : L55.4 n= 7.833 L55.4Q = 4.45 + )6.45

Los elementos serie referidos al primario son

Req = 4.450El circuito equivalente se muestra en la figura 2-290.

b) Para encontrar el circuito equivalents referido al lado de bajo voltaje, s610 es necesario dividir laimpedancia entre a'. Como a =NpIN, = 10, los valorcs resultantes son

Rc = 1050nXM = 1100

Reg = 0.0445 nXeq = 0.0645 !1

EI circuito cquivalente resultante se muestra en la figura 2-29b.c) La corriente a plena carga en ellado secundario del transformador cs

Snomtrw.11S,I1ominoi =V .S . nominal

15,000 VA = 652 A230V .Para calcular VJa, se utiliza Ia ecuacion (2-64):

(2-64)

Para un PF =0.8 en atraso, la corriente Iy = 65.2 L- 36.9 A. Entonccs,v.u : = 230 LO V + (0.0445 n)(65.2 L -36.9 A) + )(0.06450)(65.2 L -36.9 A)a

= 230LO V + 2.90L-36.9 V + 4.21 L53V V= 230 + 2.32 - )1.74 + 2.52 + j3.36= 234.84 + j1.62 = 234.85 LOAO V

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CAPITULO 2

Ip--o-------~~ __J j6.45.n(IV,.

i.' ~,.__. .:

". j

J, a) ,\~ ; Is

jO.0645.a

:"'" v,.

b )

Figura 2-29Circuito equivalenre del transforrnador del ejemplo 2-5 referrdo oj a! primario y 17)al secundario.

La regulacion de volraje resultantc esVpla - Vs flVR = v : . . x 100%

S.fl=234.85 V - 230 V 100m = 2 1m230 V x/o . -1 0

(2-62)

Con PF =1.0. 1a corrientc Is= 65.2 LO" A. Entonces,v_ _ _ E _ = 230 LOO V + (0.04450)(65.2 LO A) + }(0.0645 0)(65.2 LO A)a = 230 LOa V + 2.90 LO V + 4.21 L90 V=230 + 2.90 + )4.21= 232.9 + j4.21 = 232.94 L 1.04 V

La regulacion de voltaje resultante esVR = 232. 942i o ~ 230 V x 100% = 1.28%

104


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- - -T RANSFORMADORES

Con PF =0.8 en adelanto, la corricnte II=65.2 L36.9" A. Entonces,v_j'_ =230 LO" V + (0.0445 fl)(65.1 L36.9 A) + )(0.0645 [})(65.2 L36.9 A)a=230 LO V + 2.90 L36.9 V + 4.21 L 126.9 V=230 + 2.32 + jL74 - 2.52 + )3.36= 229.80 + j5.1 0 = 229.85 L 1.27" V - f r . > f "

La regulaci6n de voltaje rcsultante cs

VR = 229.85 V - 230 V 1000/, = -006201230 V x .C /0

Cada uno de estos trcs diagramas fasoriales se mucstra en Ia figura 2-30.d) Para calcular el valor aproximado de Vp/a _sc utiliza Ia ecuacion (2-65). Con PF =0.8 en atraso, el

angulo de la corriente es -36.9. Entonees el angulo de la impedancia f} = 36.9D, Y el voltajcpri mario aproximado es

Vp-- ;; = Vs + R e/s cos f) + Xec/s sell {1= 230 V + (0.0445 !l)(65.2 A) cos 36.9" + (0.0645 !1)(6S.2 A) se n 36.90= 230 V + 2.32 V + 2.52 V = 234.84 V

VR = 234.84 V - 230 V 100m = ') 10/230 V x 70 -. 70

(2-65)

Con PF =1.0, cl voltaje primario aproximado sera

(2-65)= 230 V + (0.0445 n)(652 A) cos 36.9 + (0.0645.0)(65.2 A) sel l 36.9"= 230 V + 2.32 V + 2.52 V = 234.84 V

VR = 234.842~0 ~ 230 V x 100% = 2. J %Con PF =0.8 en adelanto, cl angulo de la corrientc cs 36.9. Entonces el angulo de la irnpedanciae =- 36.9, Yel voltaje primario aproximado csVp-;; = Vy + RegIS cos () + Xe'lIS sen () (2-65)

= 230 V + (0.04450)(65.2 A) cos (-36.9) + (0.0645 [})(65.2 A) sen (-36.9)= 230 V + 2.32 V - 2.52 V = 229.80 V

VR =229.802i o ~ 230 V x 100% = -0.09%105


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CAPiTULO 2

v: = 234.9 L OAo V

Is = = 65.2 L - 36.9 Aa)

v: = 232.9 L 1.040 V

~)42IL900VI, '" 65.2 L 0 A 230 L 0 V '--v---"2.9 LO" V

h )

v_I' = = 229.8 L 1.270 Va

c)

Figura 2-30Diagrurna fasoriul para el transformador del ejcrnplo 2-5.

N6tesc c6mo las respucstas obtenidas con el metodo aproxirnado son muy parecidas a las res-puestas exactas, No hay casi diferencia,

e) La mejor forma para dibujar la regulacion de voltaje en funci6n de Ia carga es rcpetir los calculos delliteral c) para diferentcs cargas, utilizando el MATLAB. Un programa para hacerlo se muestra enscguida.

% l',rchia 1 '1: trans_vr _m% Archiva M para calcu1ar y dihujar 1a regu1acion de voltaje% de un transfor-mador como una funci6n de 1a carga para% f~ctores de potencia de 0.8 en atraso, 1_0, y 0.8 cn adelanto.VS = 230; ~; Vo1taje secundario (V)Arnos = 0:6.52:65.2; % Valores de corriente (A)F~eq ~ O~0445; % R equivalente (ohm)

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TRANSFORMADORES

Xeq = 0.0645; x equivalente (ohm)% Calcule las corrientes reales para los tres% Factores de potencia. La primera fila contiene% la corriente en atraso, la segunda contiene% corrientes unitarias, y la tercera fila contiene% corrientes en adelantoI (1,:) amps * (0.8 -j*O.6);I ( 2 , : ) amps * (1. C) ; % Atraso% UnitarioI (3,:) amps * (0.8 +j*0.6); % Adelanto% calcule VP /a.VPa = VS + Req. * I + j.Xcq.*I;% Calcule la regulaci6n de voltajeVR = (abs (Vpa ) - VS) ./ VS .* 100;% Dibuje 1a regulaci6n de voltajeplot (amps, VR (1,:), 'b-') ;hold on;plot (amps, VR (2,:), 'k-');plot (amps f \TR (3 I : ), I r- ~ I ) ;title ('Regulaci6n de voltaje-Carga');xlabel ('carga (A) ');ylabel ('Regulaci6n de voltaje) (%1');legend ('0.8 PF en atraso'l.O PF' ,0.8 PF en adelanto);hold off;El dibujo producido par este program a se muestra en la figura 2-31.

Regulacion de Voltaje - Carga

--- 0.8 PF en atraso---- 1.0 PF_. -. - 0.8 PF en adelanto2


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CApiTULO 2

j) Para hallar Ia eficiencia del transformador, primero se calculan las perdidas. Las perdidas cn elcobre son

Las perdidas en el nucleo estan dadas por(Vp/a)2 = (234.85 V)2 = 525 WP n " d c o = R 1050 n .c

La potencia de salida con este factor de potencia esPout = V,/s cos e

= (230 V)(65.2 A) cos 36.9 = 12,000 WEntonees la eficiencia del transformador con csta condici6n es

(2-68)12000 W a189W + 52.5 W + 12,000W X IOOY;

= 98.03% 2-8 TOMAS (TAPS) Y REGULACION DE VOLTAJE

EN EL TRANSFORMADOREn las secciones previas de este capitulo, se describieron los transformadores par su relaci6n devueltas 0 pOI su relacion de voltajes primario a secundario. A traves de aquellas secciones, larelacion de vueltas del transformador se trato como si fuera completamente fija. En casi todos lostransformadores de distribuci6n reales, esto no es cierto. Los transformadores de distribuci6ntienen una serie de tomas (taps) en los devanados para perrnitir pequeiios cambios en la relacionde vueltas del transformador despues de haber salido de fabrica, Una instalacion tfpica podrfatener cuatro tomas adem as del valor nominal, con intervalos entre estas de 2.50/0 del voltaje aplena carga.

Tal distribuci6n permite ajustes hasta delS % pOI encima 0 por debajo del voltaje nominal deltransformador.Ejemplo 2-6 Un transformador de distribucion de 500 kVA, 13,200/480-V tiene cuatro tomas de2.5% sobrc su devanado prirnario. l,Cu:iLes son las relaciones de voltaje del transformador en cadaloma?Solucion. Los cinco valores nominales de voltaje posibles en este transformador sonToma de + 5.0% 13,860/480 VToma de + 2.5% 13,5301480 VValor nominal 13,200/480 VToma de - 2.5% 12,870/480 VToma de - 5% 12,540/480 V

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T RANSFORMADORES

Las tomas de un transformador permiten que este se pueda ajustar para acomodarse a lasvariaciones de los voltajes de las localidades, Sin embargo, estas tomas normalmente no sepueden cambiar mientras el transformador esta suministrando potencia, sino cuando se encuen-tre sin carga.

A veces un transformador se utiliza en una linea de potencia cuyo voltaje varia ampliamenteconla carga. Tales variaciones de vo1taje podrian ser ocasionadas por una alta impedancia de Ialfnea entre los generadores del sistema de potencia y esa carga en particular (quiza se encuentrelocalizada lejos). Las cargas normales requieren suministros de voltaje constante. z,C6mo puedeuna compania de energia electric a entregar un voltaje controlado a traves de hneas de alta impe-dancia a cargas que cambian constanternente?

Una solucion a este problema es utilizar un transformador especial llamado transformadorconmutador de tomas bajo carga (TCUL) 0 regulador de voltaje. Basicarnente un transformadorTCUL es aquel que tiene posibilidad de cambiar las tomas mientras se esta suministrando poten-cia. Un regulador de voltaje es un transformador TCUL con un circuito sensor de voltaje incorpo-rado que cambia automaticamenre las tomas para mantener con stante el voltaje del sistema. Talestransformadores especiales son muy comunes en los sistemas de potencia modernos.

2-9 EL AUTOTRANS}~ORMADOREn algunas ocasiones es deseable cambiar los niveles de voltaje iinicamente en una pequefiacantidad, Por ejemplo, puede necesitarse cambiarel voltaje de 110 a 120 V 0de 13.2 a 13.8 kV. Estospequefios incrernentos pueden ser necesarios debido a las caidas de voltaje que oeurren ensistemas de potencia alejados de los generadores. En estas circunstancias, es demasiado costosoelaborar un transformador con dos devanados completos independientes dimensionados paracasi el mismo voltaje. En su lugar, se utiliza un transformador especial Ilarnado autotransformadot:

En la figura 2-32 se muestra un diagrama de un autotransformador elevador. En la figura 2-32a, las dos bobinas del transforrnador se muestran de manera convencional. En la figura 2-32h,el primer devanado se muestra conectado en forma aditiva al segundo. Ahora, la relacion entre elvoltaje del devanado primario y el voltaje del devanado secundario esta dado por la relacion devueltas del transformador. Sin embargo, en la salida del transformador; el voltaje completo es Lasuma del voltaje en el primer devanado y el voltaje en el segundo devanado. El primer devanadose denornina devanado comun debido a que su voltaje aparece en ambos lados del transforrna-dor, El devanado mas pequefio se denomina devana do serie porque esta conectado en serie conel devanado cormin.

La figura 2-33 muestra el diagrarna de un autotransformador reductor. Aqui, el voltaje deentrada es la suma de los voltajes de los devanados serie y cormin, mientras que el voltaje desalida es justamente el voltaje del devanado cornun.

Debido a que las bobinas de los autotransforrnadores estan ffsicamente conectadas, para elautotransformador se utiliza terminologfa diferente de la de los otros tipos de transformadores. EIvoltaje del devanado comun se llama volta]e comun VoY la corriente en este devanado se llamacorriente comun. EI voltaje del devanado serie se llama voltaje serie VS~:Yla corriente en estedevanado se llama corriente serie ISF.' EI voltaje y la corriente dellado de bajo voltaje del transfor-mador son llamados VI. e Iv respectivamente, mientras que Jas cantidades correspondientes al

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CAPITULO 2

lado de alto voltaje del transformador son Ilamados VHe I J I _Ellado primario del autotransformador(el lado por el cual entra la potencia) puede ser el de alto 0 el de bajo voltaje dependiendo de si elautotransformador actiia como reductor 0 como elevador. De la figura 2-32b, los voltajes y lascorrientes de las bobinas se relacionan por las ecuaciones

(2-69)

(2-70)Los voltajes de los devanados se relacionan con los voltajes de los terrninales mediante lasecuaciones

(2-71)

(2-72)y las corrientes de los devanados se relacionan con las corrientes de los terminales mediante lasecuaciones

(2-73)(2-74)

a) b )Figura 2-32Transforrnador con sus devanados a) conectados de manera convencional y b) conectados como autotr ans-forrnador.

110


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TRANSFORMADORES

Relaciones de voltajes y corrientesen un autotransformadorheWU es Ia relacion de voltajes entre los dos lados de un autotransfonnador? Es muy facil deter-minar las relaciones entre VH YVr-EI voltaje en el lado de alta tension del autotransfonnador estadado por

(2-72)

NSEVH =Vc +NVcc

Finalmente, teniendo en cuenta que V I : ; ; ; ; Vc , se obtiene(2-75)

(2-76)o

(2-77)

Las relaciones de corriente entre los dos lados del autotransformador se pueden encontrarteniendo en cuenta que(2-73)

If!III = ISE

IL = IS E + IeIS E J NSE

ILVll ) V ce 1 NcFigura 2-33Conexi o n de un


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CAPiTULO 2

De Ia ecuad6n (2-70), r, =(Nsr , /Nc) ISr , entoncesNSEI L =N ISE + ISEC (2-78)

Finalmente, teniendo en cuenta que I f { = I S E , se halla que

o(2-79)

(2-80)

Ventaja en el valor nominal de la potencia aparenteen los autotransformadoresEs interesante notar que no toda Ia poteneia que pasa del primario al secundario en unautotransformador pasa a traves de los devanados. En consecuencia, si un transformador con-vencional se reconecta como autotransformador, este puede manejar mucha mas potencia que Ianominal definida originalmente.

Para entender esta idea, rernftase nuevamente a la figura 2-32b. Notese que la potenciaaparente de entrada al autotransforrnador esta dada par

(2-81)y la potencia aparente de salida esta dada por

Es facil dernostrar, utilizando las ecuaciones de voltaje y de corriente [ecuaciones (2-77) y(2-80)1, que la potencia aparente de entrada es igual de nuevo a la potencia aparente de salida

(2-83)donde S)o esta definida como las potencias aparente de entrada y de salida del transformador. Sinembargo, la potencia aparente en los devanados del transformadar es

(2-84)

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T RA.NSFORMADORES

La relacion entre la potencia gue entra al primario (y que sale del secundario) del transformador yla potencia real en los devanados del transformador puede ser hallada como sigue:

Sw = VclcVL(IL - IH)VL'L - ~IH

Utilizando Iaecuacion (2-80), se obtiene(2-85)

- 5 '- 'TO NSE + Nc (2-86)

Par tanto, la relacion entre la potencia aparente en el primario y en el secundario delautotransformador y la potencia aparente real que atraviesa los devanados es

SIQ _ NSE + NcSw - NSE

La ecuaci6n (2-87) describe la ventaja en el valor nom-inal de potencia aparente de unautotransformador sabre un transformador convencional, Aqui, SIOes la potencia aparente queentra al prirnario y sale pOl' el secundario del transformador mientras que S'P es la potenciaaparente real que pasa a traves de los devanados del transformador (1arestante pasa del primarioal secundario sin ser acoplada a traves de los devanados del transformador). Notese que cuantomenor sea el devanado serie, mayor sera la ventaja de potencia.

Por ejemplo, un autotransfonnador de 5000 kVA que eonecta un sistema de 110kV a otro de138 kVA debcria tener una relacion de vueltas NJN.,,[ de 110:28. Tal autotransformador deberfatencr devanados dimensionados para

(2-87)

Sw = SIQ N + N,SE C (2-86)28=(5000 kVA) 28 + 110 = 1015 kVA

El autotransformador deberfa tener devanados dimensionados a cerea de 1015 kVA,mientras queel transforrnador eonvencional necesitaria devanados dimensionados a 5000 kVA para hacer elmisrno trabajo. El autotransformador puede ser cinco veces menor que el transforrnador conven-cional y tarnbien mucho menos costoso. Por esta razon, es muy ventajoso construirautotransformadores con transformadores entre dos voltajes muy cercanos,

113


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CAPiTULO 2

r----------------Q +

+ o---------~~--~

v " 1 2 0 L O OV (VH

Nc( - 1 2 0 )

Figura 2-34Autotransformador del ejemplo 2-7.

El siguiente ejemplo ilustra el anal isis de un autotransformador y la ventaja e n el dimensiona-rniento de los autotransformadores.

Ejemplo 2-7 Se conecta un transfonnador de 100 VA 120/12 V para conformar un autotransforrnadorelcvador tvease figura 2-34). Si se aplica un voltajc primario de 120 V al transformador,a) (,Cual es e1 voltaje secundario del transformador?b) l,Cual es su maxima capacidad en voItamperios para este modo de operacion?c) Calcule la ventaja al conectarlo en la concxion como autotransformador sobre la ventaja nominal

como transformador convericional en operacion a 120/12- V .Solucion. Para conseguir una transformacion elevadora de vol taje con 120 V cn el prirnario, la relaci6nentre las vucltas del devanado cormin Nc y las vueltas del devanado serie Nscdebe scr 120:12 (0 10: 1).a) Este transformador sc utiliza como elevador. EI voltaje secundario es Vu y, de la ecuacion

(2- 76),

(2-76)

b) La capacidad nominal maxima en voltampcrios en cada dcvanado del transforrnador es 100 VA.. : .Cuanta potencia aparente de entrada 0 salida puedc provcer? Para encontrarla, sc examina eldevanado serie. EI voltaje VSJ- en cl devanado es 12 V y S1l capacidad nominal es 100 VA. De estaforma, la maxima corriente en el devanado scrie es

100VA12V = 8.33 A

1 14


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T RANSFORMADORES

Como I SE es igual a la corriente secundaria , Is (0 IH ) y como el voltaic secundario Vs =VH =132V, la potencia aparentc en el secundario es

SQUl = " ' 5 l s = VHIH= (132 V)(8.33 A) = 1100 VA = Sin

c) La ventaja en la capacidad nominal puede calcularsc del literal b) 0por separado, de la ecuacion(2-87). Del literal h),

SJO 11 00 VA = IISw IOOVA

De la ecuacion (2-87),SID ~ NSE + NcSw - NSE

12+12o_132_1112 12

(2-87)

En cualquiera de las ecuaciones, 1a potencia aparcntc nominal se incrementa en un factor de 11.

Normalmente no es posible reconectar un transformador de tipo convencional comoautotransformador y utilizarlo en la forma del ejemplo 2-7, debido al aislamiento de1lado de bajovoltaje del transformador cormin, que podrfa ser insuficiente para soportar el voltaje de salida dela conexion como autotransformador, En los transformadores construidos especfficamente comoautotransforrnadores, e1 aislamiento del devanado mas pequefio (devanado serie) es tan fuertecomo el del devanado mas grande.

En sistemas de potencia, es una practica comiin utilizar autotransforrnadores siempre quedos voltajes que sean muy cercanos en su nivel necesiten transforrnarse ya que, cuanto mascercanos sean estes voltajes, mayor es la ventaja en la potencia obtenida del autotransformador.Tambien se utilizan como transforrnadores variables, donde la torna de baja tension se muevehacia arriba y hacia abajo en el devanado. Esta es una forma rnuy conveniente de obtener unvoltaje ac variable. Tal autotransformador variable se muestra en la figura 2-35.

La principal desventaja de los autotransformadores es que, a diferencia de los transforrna-dores corrientes, hay una conexion [isica directa entre las circuitos primario y secundario; deeste modo se pierde el aislamiento electrico de los dos lados. Si una aplicacion particular norequiere aislamiento electrico, el autotransformador es una forma conveniente y barata de ligarvoltajes aproximadamente iguales.

Impedancia interna de un autotransformadorLos autotransformadores tienen una desventaja adicional comparados con los transformadoresconvencionales. Es un hecho que la impedancia efectiva pOI unidad de un autotransformador,

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comparada can la de un transformador conectado de manera convencional, es menor en un factorigual al inverse de la ventaja en potencia de la conexion como autotransformador.

La prueba de este hecho se deja como un ejercicio al final del capitulo.La impedancia interna reducida de un transformador, comparada con la del transforrnador

convencional de dos devanados, puede causar graves problemas en algunas aplicaciones querequieran limitar la corriente que fluye durante fallas del sistema de potencia (corrocircuitos). EIefecto de la menor impedancia interna provista par un autotransformador debe ser tenido encuenta en aplicaciones practicas antes de seleccionar el autotransforrnador.

Ejemplo 2-8 Un transformador esta dimensionado para 1000 kVA, 12/1.2 kV, 60 Hz cuando operacomo transiormador convcncional. En estas condiciones, su resistcncia y rcactancia serie son 1 y 8%pu, rcspecrivamente, Este Iransformador se va a utilizar como transformador reductor a 13.2112 kVen un sistema de distribucion de potencia. En Ia conexion como aurotransforrnador,a) l.eua! es la capacidad nominal cuando se utiliza de esta manera? y b) (.cual es la impedancia serie

del transformador en por unidad?Soluciona) La relaci6n de vueltas N(JN,j debe ser 12: 1.2 0 10:1. E1voltaje nominal de cste transformador debe

ser 13.2112 kV Yla potencia aparente (voltamperios) nominal sera

NSE + Nc510 = N SillSf1 ~ 10 IOOOkVA = 11,000kYA

b) La impedancia del transformador en por unidad cuando se conecta de manera convencional esZeq = 0.0 I + )0.08 pu devanados separados

al h)Figura 2-35a)Autotransformador de voltaje variable. h) Vista en corte de 1111 aurotransforrnsador (cortesia de SuperiorElectric Company).

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TRANSFORMADORES

La ventaja en potcncia aparentc de este autotransformador es 11; por tanto, Ia impedancia delautotransformador conectado como sc describe cs

0.01 + jO.08z ., = 11= 0.00091 + lO.00727 pu autotransfonnador

2-10 TRANSFORMADORES TRIFASICOSCasi todos los principales sistemas de generaci6n y distribucion del mundo actual, son sistemastrifasicos de corriente alterna, Puesto que los sistemas trifasicos juegan tan import ante papei enla vida moderna, es necesario entender como se utilizan los transformadores en ellos.

Los transformadores para circuitos trifasicos se suelen construir de dos maneras. Una deestas consiste simplemente en tomar tres transformadores monofasicos y conectarlos en bancotrifasico. Otra alternativa es construir un transforrnador trifasico que consta de tres conjuntos dedevanados enrollados sobre un micleo co rnun . Estas dos posibilidades de construir un transfor-mador trifasico se muestran en las figuras 2-36 y 2-37. Hoy en dia se prefiere construir un transfer-mador trifasico como tal puesto que es mas liviano, mas pequerio, mas barato y un poco maseficiente. La tecnica mas antigua de construcci6n era utilizar tres transforrnadores separados. Estaforma tiene la ventaja de rernplazar cada unidad del banco individualrnente en caso de alguna falla,pero no supera las ventajas de una unidad trifasica combinada, en la mayorfa de las aplicaciones.Sin embargo, aun quedan muchas instalaciones con tres unidades monofasicas en servicio.

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N

;- "\ "\ SVR = - x 100%a V d > S..El voltaje nominal de fase del transformador en el primario es 13,800 V, par tanto 1a corrientenominal en ellado primario es

S1 1 > = 3 V 1 >La potencia aparcntc nominal cs S ::::50 kYA, par tanto

_ 50,000 VA _1 1 > - 3(13,800 V) - 1.208 A

El voltaje nominal de fase en el secundario del transformador es 208 V/V3 ::::120 V. Cuando sercficrc allado de alto voltajc del transformador, cstc voltajc llcga a ser V "rps = = aVs:::: 13,800 V. _Si el secundario esta operando a voltaje y corriente nominales, el voltaje primario de faseresultante es

V 1 > P = a V q , s + RCqI + ) X e q I 1 >= 13,800LO V + (114.2 fl)(1.208 L -36.87 A) + C;800,0)(1.208 L -36.87 A)= 13,800 + 138 L -36.87 + 966.4 L53.13= 13,800 + 110.4 - )82.8 + 579.8 + j773.l= 14,490 + j690.3 = 14,506 L2.73 V

Entonees, v - aVVR = p P V 1 x 100%a r / > S14,506 - 13,800 100m = 5 1 0 113,800 X 70 70

c) En el sistema por unidad, el voltaje de salida es 1 L 0 Yla corriente es 1L -36.87. Entonces, elvoltaje de entrada es

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TRANSFOR," ' tADORES

Vp= 1 LO + (0.01)(1 L -36.87) + (j0.07)(l L -36.87)= 1 + 0.008 - jO.006 + 0.042 + jO.056= 1.05 + )0.05 = 1.0

Cap 2 Chapman

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