Calculo Integral ROJAS

5/26/2018 Calculo Integral ROJAS

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Cuadernos de Matemtica

de la Escuela Politcnica Nacional

Germn Rojas

CLCULO EN UNA VARIABLE

Clculo Integral


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Cuaderno de Matemtica No. 2

Clculo en una variable: Clculo Integral

Germn Rojas I.

Responsable de la Edicin: Juan Carlos TrujilloRevisin tcnica: Alejandro Araujo y Rolando SenzAsistentes: David Ynez, Maribel MontenegroPortada: Byron Reascos

Registro de derecho autoral No. 34994ISBN: 978-9978-383-02-5

Publicado por la Unidad de Publicaciones de la Facultad de Ciencias de la EscuelaPolitcnica Nacional, Ladrn de Guevara E11-253, Quito, Ecuador.

cEscuela Politcnica Nacional 2010


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Tabla de contenidos

1 La integral indefinida 11.1 Primitivas e integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 La diferencial y la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Cambios de variable en integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Clculo de integrales mediante el uso de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Integrales de potencias de sen y cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Integrales de potencias de sec y tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 Integracin de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.1 Integracin de fracciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8.2 El mtodo de las fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9 El mtodo de Ostrogradski mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 La integral definida 292.1 El Palimpsesto de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Definicin de integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Otra propiedad de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 El teorema fundamental del clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7 El cambio de variable para la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.8 La integracin por partes para la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 522.9 Integracin de funciones racionales de seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . 53

2.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10 Sustituciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.10.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.11 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.11.1 Tipo I. Integrales impropias de dominios infinitos . . . . . . . . . . . . 602.11.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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TABLA DE CONTENIDOS TABLA DE CONTENIDOS

2.11.3 Tipo II. Integrales con integrandos no acotados . . . . . . . . . . . . . 622.11.4 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.11.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.12 Integracin aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.12.1 Mtodo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.12.2 Mtodo de los trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.12.3 El mtodo de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.12.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Aplicaciones de la integral definida 713.1 La ofrenda de oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Definicin de longitud, rea y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 El rea de una figura plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4 Clculo de volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.1 Volumen de un cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.2 Clculo de volmenes por elementos de seccin (rodajas) . . . . . . . 783.4.3 Clculo de volmenes de slidos de revolucin por arandelas . . . . . . 803.4.4 Clculo de volmenes de slidos de revolucin por cortezas . . . . . . 81

3.5 Modelizacin y solucin al problema de la ofrenda de oro . . . . . . . . . . . 833.5.1 Identificacin del modelo matemtico a usarse . . . . . . . . . . . . . . 833.5.2 Solucin del problema matemtico del volumen de la cruz . . . . . . . 843.5.3 Solucin del problema de la ofrenda de oro . . . . . . . . . . . . . . . 873.5.4 Eplogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6 Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.7 rea de superficies de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.7.1 Caso con giro alrededor del ejeOx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.7.2 Caso con giro alrededor del ejeOy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.8 El valor medio de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.8.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.9 Masa y densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.10 Posicin, velocidad y aceleracin de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.10.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.11 Trabajo mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.11.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.12 Presin hidrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.12.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.13 Momentos de masa y Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.13.1 Caso de sistemas en lnea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.13.2 Caso de sistemas planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.13.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.14 Aplicaciones en economa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.14.1 Ingreso de una empresa o un gobierno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.14.2 Supervit del consumidor y del productor . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.14.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

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4 Funcin logaritmo y exponencial 1194.1 Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.2 Sentido de la expresin ax para x Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3 La funcin logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.4 Funcin exponencial natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5 Definicin deax, a >0, x R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.5.1 Generalizacin de la regla de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.6 Funcinloga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.7 Funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.8 Ejercicios adicionales de funciones exponenciales y logartmicas . . . . . . . . 135

5 Sucesiones y series 1375.1 Sucesiones numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.1.1 Las sucesiones numricas vistas como elementos deR . . . . . . . . 1375.1.2 Las sucesiones como funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.1.3 Sucesiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.1.4 Sucesiones montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.1.5 Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.1.6 Convergencia de sucesiones montonas y acotadas . . . . . . . . . . . 1425.1.7 Criterio de Cauchy. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.3 Series numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.3.1 Series telescpicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.3.2 Propiedades algebraicas de las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.5 Series de trminos no-negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.6 Criterio integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.7 Criterios de comparacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.7.1 Criterio de la razn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.9 Series alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.11 Criterio general de la razn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.13 Error de aproximacin del lmite de una serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.15 Convergencia puntual de sucesiones y series de funciones reales . . . . . . . . 1685.16 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.17 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.18 Derivacin e Integracin de Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.19 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.20 Series de Taylor y de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.21 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.22 Serie Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.23 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

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A Tablas de integracin 185A.1 Frmulas bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.2 Frmulas en las que interviene

a2 + u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

A.3 Frmulas en las que interviene

a2 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186A.4 Frmulas en las que interviene

u2

a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

A.5 Frmulas con las funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187A.6 Frmulas con funciones exponenciales y logartmicas . . . . . . . . . . . . . . 188A.7 Frmulas con funciones hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

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Captulo 1

La integral indefinida

1.1 Primitivas e integral indefinidaDada una funcin fderivable en un intervaloI, sabemos que la funcin derivada def,fesnica. Ahora nos planteamos el problema inverso: hallar, para una funcin fdefinida en unintervaloI, una funcinFcuya derivada seaf. De existir una tal F, la llamaremosprimitivadef.

Cuntas primitivas podra tener una funcin f? Para verlo, supongamos que F es unaprimitiva de fen un intervaloI. Entonces, la funcin G definida por

G(x) =F(x) + C,

donde Ces una constante, tambin es una primitiva de f, pues

G(x) =F(x) + 0 =f(x)

para todo x I.La recproca de esta afirmacin tambin es verdadera; es decir, cualquier otra primitiva

de ftendr una forma similar. Esto resulta del siguiente teorema.

Teorema 1.1

Seah: I R

una funcin continua en un intervaloIy derivable enint I. Entonces

h(x) = 0

para todox int Isi y solo existeC R tal queh(x) =Cpara todox I

Demostracin. Si h es constante, entonces h es igual a0. Recprocamente, seanx1, x2en I,x1 < x2. Basta probar que h(x1) =h(x2). Como hcumple las condiciones del Teorema delValor Medio para las derivadas en el intervalo[x1, x2], tenemos que existex ]x1, x2[tal que

h(x) = h(x2) h(x1)x2 x1 .

Como h(x) = 0 para todo x I esto implica que h(x2)h(x1) = 0 y, por ende,h(x1) =h(x2).


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2 La integral indefinida

Corolario 1.2

SiF yG son dos primitivas defdefinidas en un intervaloI, existeC R tal que

F(x) =G(x) + C

para todox I.

Demostracin. Basta aplicar el teorema anterior a la funcin h= F G.Recordemos que si para una funcin ftomamos a x como la variable independiente, a la

llamamos expresinf(x)se la llama forma funcional de la funcin f. En la practica se da laforma funcional para definir una funcin.

Definicin 1.1(Integral indefinida)

Dada una funcinfdefinida en un intervaloI, se llamaprimitiva defa toda funcinFdefinidaenItal queF(x) =f(x)para todox I.A la forma funcional que permite definir el conjunto de todas las primitivas de f, se le llamaintegral indefinida defy se nota as

f(x)dx= F(x) + C (1.1)

Ax se le llamavariable de integraciny Ces una constante arbitraria.

El corolario (1.2) garantiza que con esta forma funcional se estn representando a todaslas primitivas de fsi la funcin Fes una de ellas.

El smbolo

(una s (ese) alargada) se lee integral de y puede considerarse la operacininversa del signo d que define la operacin de hallar la diferencial de una forma funcionaldada. As, se puede ver que

dF(x) =F(x) + C y d

f(x)dx= f(x).

Ejemplo 1.1

1.

dx= x+ C.

2.

xa dx= 1

a + 1xa+1 + C, con aQ \ {1}.

3.

sen x dx=cos x+ C.

4.

cos x dx= sen x + C.

5.

tan x dx=

ln

|cos x

|+ C.

6.

sec x dx= ln | sec x + tan x| + C.

7.

sec2 x dx= tan x + C.


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1.1 Primitivas e integral indefinida 3

Solucin. El clculo de la derivada de la funcin expresada en el lado derecho de cada una de lasigualdades muestra claramente que cada igualdad es verdadera.

Con el procedimiento utilizado en este ejemplo se demuestra el siguiente teorema.

Teorema 1.3(Integral indefinida de una suma algebraica)

SeanF yG las primitivas de las funcionesf yg, respectivamente, definidas en un intervaloI.Seak R. Entonces:

1.

[f(x) + g(x)]dx =

f(x)dx +

g(x)dx= F(x) + G(x) + C.

2.

kf(x)dx= k

f(x)dx = kF(x) + C.

Ejemplo 1.2

Calcular la integral indefinida de un polinomio cualquieraP:

P(x) =

n

k=0

akxk.

Solucin. Aplicando el teorema (1.3) y el numeral (2) del ejemplo (1.1), se obtiene: n

k=0

akxk dx=

n

k=0

ak

xk dx=

n

k=0

akk+ 1

xk+1 + C.

Ejemplo 1.3

Calcular

x dx.

Solucin. De acuerdo con el numeral (2) del ejemplo (1.1) (a= 1/2) se obtiene:

x dx=

x12 dx=

2

3x

32 + C.

Ejemplo 1.4

Calcular

3x4 + 2x2 1x2

dx.

Solucin. Utilizando el numeral (1) del teorema (1.3) se obtiene:

3x4 + 2x2 1x2

dx=

(3x2 + 2 + (

1)x2) dx

= 3

x2 dx + 2

dx+ (1)

x2 dx

=x3 + 2x+ 1

x+ C.


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Ejemplo 1.5

Calcular

(x+ 3)(x 3) dx.

Solucin. De acuerdo con el ejemplo (1.1), la integral indefinida de este polinomio es:

(x + 3)(x 3)dx =

(x2 9) dx

=

x2 dx 9

dx

= x3

3 9x+ C

1.1.1 EjerciciosCon la ayuda del ejemplo 1.1 y del teorema 1.3, calcule:

1.

3

x2 dx

2.

x2 2x+ 3x

dx

3.

2

x 3 3

x2 + 5

x4

dx

4.

(3 cos x tan x) dx

5.

(3sec x tan2 x) dx

6.

(x2 + 11/x+ 2 exp x) dx

Recuerde que(exp x)= exp xy (ln |x|) = 1x

7.

x 3x + 4x

x dx

8.

(3x+ 2)(5x+ 1)2 dx

9.

(2 sen x + exp x) dx

10.

(5x

x 3cos x) dx

11.

3

x 5

x 7

x

dx

1.2 La diferencial y la integral indefinida

Recordemos el concepto de diferencial: dada una funcin F: RR, la derivada de F en a,notada F(a), puede ser vista como la pendiente de la recta tangente a la grfica de Fen elpunto (a, F(a)). En el sistema de coordenadasxy, la ecuacin de esta recta es

y F(a) = F(a)(x a). (1.2)Si escogemos un sistema de coordenadas cuyo origen est en (a, F(a)) y si llamamos dx ydy a las variables correspondientes a las abscisas y ordenadas, la ecuacin (1.2) de la rectatangente mencionada, toma la forma

dy= F(a) dx.

A las variablesdx y dy se las llamadiferencialesdex y dey , respectivamente. Dada unafuncin f :RR, x f(x), con x como variable independiente, a una expresin de tipof(x)dxse la llamaforma diferencial, mientras que a una expresin de tipoF(x)le llamamos

forma funcional.Dada una funcin f, escogidas x e y como variables independiente y dependiente, res-

pectivamente, a la diferencial d se le puede ver como un operador que transforma una formafuncional en una forma diferencial

d : F(x) dF(x) def= F(x) dx.


11/200

1.3 Cambios de variable en integrales indefinidas 5

En este caso la integral indefinida

puede ser vista como una especie de operador inversode d, aunque multivaluado porque, como acabamos de ver, si existe una primitiva de unafuncin, existe en realidad una infinidad de ellas:

: f(x) dx

f(x) dx def

= F(x) + C,

con

F(x) =f(x).

Tendremos entonces:

d(F(x)) =F(x) + C, d

f(x) dx

=f(x)dx.

Para los lectores que sean aficionados al lgebra Lineal, mencionaremos que si definimosla relacin binaria f g cuando existe CR tal que f = g +C, tendremos que es unarelacin de equivalencia en el conjunto de funciones

X= F(R,R) = {f : R R}.

Entoncesd : XXes lineal, inyectivo, y el operador : X X|, f F, es el operadorlineal inverso ded. Aqu Fdenota la clase de equivalencia con representanteFy conF= f.

Ejemplo 1.6

Calcular

d(3x2 + cos x)y d

(5x4 sec2 x) dx .

Solucin.

d(3x2 + cos x) = 3x2 + cos x+ Cy d

(5x4 sec2 x) dx = (5x4 sec2 x)dx.

1.2.1 Ejercicios

Calcule:

1.

(5x+ cos x) dx

2.

d[3exp x+ cos(2x2 + 5)]

3.

(cos x+ 3x2 5 ln x) dx

4.

(3x2 2x+ exp x) dx

5. d

(cos x + exp x) dx

6. d

2

x 3exp x dx

7.

x+ 3

x

dx

8.

[cos x 3sen x + exp(5x+ 4)] dx

1.3 Cambios de variable en integrales indefinidas

Sean I y Jdos intervalos. Sea g :I Juna funcin continua en I, derivable en el interiorde Iy biyectiva como se ilustra el siguiente dibujo, donde tomamos I = [a, b] y J = [c, d],con a >0 y c >0.


12/200


x

u

a b

c

d

x

u

a b

c

d

Sea F: JR, uF(u), y sea H=F g. Entonces H: IR, xH(x) =F(g(x)).Si ponemos u g(x)y como x g1(u), tendremos

F(u) F(g(x)) = H(x) H(g1(u)).

Por ello, para todo x Iy para todou J:

F(u) F(g(x)) = H(x)H(x) H(g1(u)) =F(u).

Se dice entonces que F: IR, u F(u)se obtiene de H: I R, x H(x)medianteel cambio de variableu g(x). Se tiene tambin que Hse obtiene de Fmediante el cambiode variable inverso x g1(u). Escribiremos entonces

F(u) H(x).

Notemos que las imgenes de F y de Hcoinciden. Por otra parte, como

H(x) = [F(g(x))] = F(g(x)) g(x),

el signo de H(x) ser el mismo que el de F(g(x)), si g(x) > 0, y el signo contrario sig(x) < 0. As los intervalos de monotona de F y H coinciden en el primer caso, y soncontrarios en el segundo. La interelacin entre la convexidad o concavidad de F y Ges mscompleja debido a que

H(x) =F(g(x)) [g(x)]2 + F(g(x))g(x).

En particular, sig(x) = 0, es decir si el grfico deges una recta, los intervalos de concavidady los de convexidad de F y H coinciden!Ilustremos lo dicho con un ejemplo:

I= [1, 2], J= [2, 4], u g(x) = 2 + 2(x 1).El cambio de variable significa que para u g(x) o, lo que es lo mismo, x g1(u),identificamos las formas funcionales F(u)y H(x):

F(u) H(x) (1.3)Qu pasa con las correspondientes formas diferenciales obtenidas aplicando da las formas

funcionales F(u)y H(x)? De (1.3) se obtiene, aplicando d a ambos lados:

F(u) du H(x) dx= [F(g(x))] dx= F(g(x))g(x) dx.Es decir que

F(u) du F(g(x)) g(x) dx


13/200

1.4 Clculo de integrales mediante el uso de tablas 7

En general, dada una forma diferencial f(u) du, con u J, tendremos, parau g(x):

f(u) du f(g(x))g (x) dx.

Supongamos ahora queFes una primitiva def, ambas funciones definidas en un intervalo

J. Sea guna funcin como antes descrita. Entonces tenemos que:

1.

f(u) du = F(u) + C,

2.

f(g(x))g(x) dx=

F(g(x))g (x) dx=

d(F(g(x))) =F(g(x)) + C.

De donde podemos deducir el as llamado mtodo de sustitucin o de cambio de variablepara las integrales indefinidas: si ponemos u g(x), y en una integral de tipo

f(g(x)) g(x) dx

sustituimos g(x)por uy g(x) dxpor duse obtiene la integral

f(u) du

con u como variable de integracin. Si se logra hallar un resultado para la integral as obte-nida, digamos

f(u) du = F(u) + C,

podemos regresar a la variable original x y tendremos

f(g(x))g(x) dx= F(g(x)) + C.

Para que la integral dada est lista para un cambio de variable es necesario a veces ciertosclculos previos, teniendo en cuenta las propiedades de la integral indefinida, identidadesalgebraicas, trigonomtricas, logartmicas, etc. Todo ello se ilustra en los siguientes ejemplos.

1.4 Clculo de integrales mediante el uso de tablas

Una aplicacin sencilla del mtodo de sustitucin o cambio de variable nos permite calcularintegrales mediante el uso de tablas de integracin como las que constan en el anexo.

Ejemplo 1.7

Calcular

dx

4x2 + 4x+ 10.

Solucin. Como

4x

2

+ 4x+ 10 = (4x

2

+ 4x+ 1) + 9= (2x+ 1)2 + 32,

si ponemosu2x+ 1, tenemos quedu2dxy

dx

4x2 + 4x+ 10 =

1

2

du

u2 + 32.


14/200


Esta ltima integral puede ser calculada usando la frmula siguiente (cona= 3):

du

u2 + a2 =

1

aarctan

u

a+ C.

Entonces:

dx4x2 + 4x+ 10

= 16

arctan2x+ 13

+ C.

Ejemplo 1.8

1. La integral

cos(ax) dx=

cos(ax)a dx

a

con el cambio de variable

uax, dua dx, dx 1a

du

se convierte en

cos udu

a =

1

a

cos u du= 1

asen u + C

que, con el regreso a la variable original, resulta igual a:

cos(ax) dx= 1

asen(ax) + C

2.

x2

2 + 3x 7

2

32

(x+ 3) dx

u32 du

= 25 u52 + C

25

x2

2 + 3x 7

2

52

+ C

mediante el cambio de variable

u x2

2 + 3x 7

2, du(x + 3) dx.

En este ejemplo:

f(u) =u32 , g(x) =

x2

2

+ 3x

7

2

, I= [1,

[, J= [0,

[, F(u) =

2

5

u52 .

3.

tan x dx= sen x

cos x dx

du

u = ln |u| + C= ln | cos x| + C

considerando el cambio de variable

ucos x, du sen xdx.

4.

sen(ax) dx= 1

a

sen(ax) a dx

1a

sen u du

=1a

cos u+ C 1a

cos(ax) + C

con el cambio de variableuax, duadx.


15/200


16/200


c

c2

a2

a

Por ello

cos

arcsina

c

= cos = b

c =

c2 a2

c .

1.4.1 Ejercicios

1. Use el cambio de variableug(x)para calcular:

(a)

x2 exp x3 dx, ux3

(b)

cos3 x sen x dx, ucos x

(c)

senn x cos x dx,nN, usen x

(d)

(ln |x|)5x

dx,uln |x|

(e)

sen(exp x+x)(exp x+1) dx,uexp x+x

(f)

cot x dx, usen x

(g)

3

2 + 3

x

x2 dx, u2 + 3x

(h)

xx2 + 3

dx, u = x2 + 3

(i)

x325 x4 dx, u25 x

4

(j)

(3 tan2 xtan x +3)sec2 x dx,utan x

(k)

sec4 x tan3 x dx, utan x

(l)

sec5 x tan3 x dx, usec x

(m)

x

x2 + a2 dx, ux2

+ a2

(n)

dx

x2 + a2

2. Use el cambio de variablexg1(u) para calcular:

(a)

dx36 x2 , x6sen u

(b)

dx

(x2

9)3/2

, x3sec u

(c)

x

(25 x2)dx, x5sen u

(d)

x3

(x2 + 16)3/2dx, x4tan u

(e)

tan(x/2)

sen x+ cos x+ 1dx, x2 tan1 u,

utan(x/2)

(f)

x22x+ 3

dx, x(u2 3)/2,u 2x+ 3

(g)

dx

x2 + 2x+ 5, x

1 + 2 tan u

(h)

x22x+ 3

dx, x(u 3)/2, u2x + 3

(i)

dx

x2 + a2, xa tan u

(j)

Ax + B

x2 + 2bx+ cdx, si d = b2 c < 0,

xu b

1.5 Integrales de potencias de sen y cosSon integrales del tipo

cosm x senn x dx; m, n Q.

Veamos algunos casos.


17/200

1.5 Integrales de potencias de sen y cos 11

(i) Si n impar:n= 2k+ 1, k 0, k N {0}; m Q.Como senn x= sen2k+1 x= (sen2 x)k sen x= (1 cos2 x)k sen x, podemos escribir

cosm x senn x dx=

cosm x(1

cos2 x)k(

sen x) dx=

um(1

u2)k du,

usando el cambio de variable

u= cos x, du= sen xdx,obtenindose la integral de un polinomio que siempre se puede resolver (an si los expo-nentes no son enteros).

(ii) Si mimpar: m = 2k+ 1, k 0, k N {0};n Q.Como cosm x= cos2k+1 x= (cos2 x)k cos x= (1 sen2 x)k cos x, podemos escribir

cosm x senn x dx=

(1 sen2 x)k senn x cos x dx=

(1 u2)kun ducon el cambio de variable

u= sen x, du= cos xdx,

y llegamos nuevamente a la integracin de un polinomio que siempre se puede resolver(an en los casos en que los exponentes no sean enteros).

(iii) Si n= 0y mes par: m = 2k, k N.Como

cosm x= cos2k x= (cos2 x)k =

1 + cos(2x)

2

k

, (1.4)

se llega a integrales de tipo

cosj(2x) dx, j = 1, . . . , k .

Para j impar, es similar al caso (ii). Para j par como k = m2 < m, utilizando (1.4) lasveces que sea necesario se consigue el resultado.

(iv) Caso m y n pares: m = 2k, n = 2j, k, j N {0}. Como

senn x= sen2j x= (sen2 x)j =

1

cos(2x)

2

j

,

y por (1.4) se llega a la misma situacin que en el caso (iii).

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.9

1. Anlogamente al caso descrito en (i), la integral:

sen5(ax) dx=

(sen2(ax))2 sen(ax) dx

=1a

(1 cos2(ax))2(a sen(ax)) dx

=1a

(1 u2)2 du

(considerando el cambio de variable u= cos(ax), du=a sen(ax) dx)


18/200


=1a

(1 u2)2 du

=1a

(1 2u2 + u4) du

=1

a

u 2

3 u3

+

1

5 u5

+ C

=1a

cos(ax) 23

cos3(ax) +1

5cos5(ax)

+ C.

2. La siguiente integral se calcula como en el caso (iv)

cos2(ax)sen2(ax) dx=

1 + cos(2ax)

2

1 cos(2ax)2

dx

= 1

4

[1 cos2(2ax)] dx

= 1

4

sen2(2ax) dx

= 1

8

[1 cos(4ax)] dx

= 1

8

x sen(4ax)4a

+ C.

3. Aplicando el caso (ii) se calcula la integral indefinida:

sen2(ax)cos3(ax) dx=

sen2(ax)cos2(ax) cos(ax) dx

=

sen2(ax)(1 sen2(ax))cos(ax) dx

=

sen2(ax) sen4(ax) cos(ax) dx

= 1

a

(u2 u4) du

(con el cambio de variable u= sen(ax), du= a cos(ax) dx)

= 1

a

u3

3 u

5

5

+ C

= 1

a

sen3(ax)

3 sen

5(ax)

5

+ C.

4.

sen92

x cos3

x

dxx

= 2

sen92 cos3 d

(con el cambio de variable del caso (ii) =

x, d= dx

2

x)

= 2

sen92 (1 sen2 )cos d

= 2

(u92 u 132 ) du

(con el cambio de variable u= sen , du= cos d)

= 2

211

u112 2

15u

152

+ C

= 4

sen112

x

11 sen

152

x

15

+ C.


19/200

1.6 Integrales de potencias de sec y tan 13

1.5.1 Ejercicios

Calcule:

1.

5

sec4(5x)sen3(5x) dx

2.

cos9(ax) sen(ax) dx

3.

sen3(bx) dx

4.

cos5(cx) dx

5.

sen5(ax)cos5(ax) dx

6.

sen4 x cos2 x dx

7.

sen2(2x)cos4(2x) dx

1.6 Integrales de potencias de sec y tan

Son integrales del tipo

secm x tann x dx; m, n Q.Veamos algunos casos.

(i) En el caso en que mpar:m = 2k,k N; n Q, comosecm x= sec2k x= sec2k2 xsec2 x= (sec2 x)k1 sec2 x= (tan2 x + 1)k1 sec2 x,

podemos escribir

secm x tann x dx=

(tan2 x + 1)k1 tann x sec2 x dx

=

(u2 + 1)k1un du

(con el cambio de variable u= tan x, du= sec2 c dx),

con lo cual llegamos a la integral de un polinomio (con exponentes racionales en ciertoscasos), que podemos integrar fcilmente.

(ii) En el caso de que nsea impar: n= 2k+ 1, k N {o}; m Q, comosecm x tann x= secm x tan2k+1 x= secm1 x(tan2 x)k sec x tan x

= secm

1

x(sec2

x 1)k

sec x tan x,

podemos escribir

secm x tann x dx=

um1(u2 1)k du.

Con el cambio de variable u sec x, du sec x tan x dx, se llega tambin en este casoa la integral de polinomios con, tal vez, exponentes racionales no enteros, que podemosintegrar fcilmente.

(iii) En el caso de quem sea impar y n par;m N,n = 2kcon k N, se escribe la funcinque vamos a integrar solo en trminos de sec, ya que

tann = tan2k = (tan2)k = (sec2 1)k,obteniendo la suma de integrales de potencias de secde tipo

Ij =

secj x dx


20/200


con j N y j 3 para los cuales se puede usar la frmula de recurrencia siguiente,que la obtendremos en la siguiente seccin:

Ij = 1

j 1

secj2 x tan x + (j 2)Ij2

con j 3, con lo cual todo se reduce al clculo deI2 o I1 ya conocido:I1 =

sec x dx= ln | sec x + tan x| + C y I2=

sec2 x dx= tan x + C.

1.6.1 Ejercicios

Calcule:

1.

tan2 x dx

2.

(tan x+ cot x)2 dx

3.

tan3(3x)sec4(3x) dx

4.

sec4 x dx

5.

tan(2x) sec(2x) dx

6.

tan5(3x) dx

7.

cot6(2x + 1) dx

8.

tan3 x

cos x dx

9.

(tan(x/4) sec(x/4))3

dx

10.

tan2(3x) sec(3x) dx

11.

tan4(5x) dx

12.

sec4 x cot8 x dx

13.

sen x

cos7

x

dx

1.7 Integracin por partes

Dadas las funciones derivables G y H, recordemos que:

d[G(x)H(x)] =G(x)H(x) dx+ G(x)H(x) dx.

Si ponemos u= G(x), v= H(x), tendremos que:

d(uv) = d[G(x)H(x)], du= G(x) dx, dv= H(x) dx

y, por lo tanto, d(uv) =u dv+ v du.

Por ello, aplicando

a ambos lados se obtiene:

d(uv) =

u dv+

v du,

de donde

uv=

u dv+

v du,

y, finalmente,

u dv= uv

v du.

Esta frmula, que tambin puede escribirse:

G(x)H(x) dx= G(x)H(x)

H(x)G(x) dx

se llama frmula de integracin por partes. Veamos cmo se aplica en algunos ejemplos.


21/200

1.7 Integracin por partes 15

Ejemplo 1.10

1.

xex dx= xex

ex dx

con u= x, du= dx, dv = ex dx, v= ex.

xex dx= xex ex + C.

2.

x cos x dx= ex sen x

ex sen x dx

con u= ex, du= ex dx, dv= cos x dx, v= sen x.

x cos x dx= ex sen x

ex cos x+

ex cos x dx

con u= ex, du= ex dx, dv= sen xdx, v=cos x.La integral

ex cos x dxaparece otra vez en el miembro derecho pero puede ser despejada dela igualdad que hemos obtenido:

ex cos x dx= ex(sen x+ cos x)

ex cos xdx.

As, finalmente:

ex cos x dx= 1

2ex(sen x + cos x) + C.

3.

sec3 x dx= sec x tan x

sec x tan2 x dx

con u= sec x, du= sec x tan x dx, dv = sec2 x dx, v= tan x. Como

sec x tan2 x= sec x(sec2 x 1) = sec3 x sec x,

se tiene:

sec3 x dx= sec x tan x

sec3 x dx+

sec xdx,

es decir

sec3 x dx= 12

sec x tan x +

sec x dx

,

y como

sec x dx= ln | sec x+ tan x| + C,

se tiene finalmente

sec3 x dx= 1

2(sec x tan x+ ln | sec x+ tan x|) + C.

4.

xn

ln x dx=

xn+1 ln x

n + 1 1

n+ 1

xn+1 dx

x

con u= ln x, du= dxx

, dv= xn, v = xn+1

n+1.

xn ln x dx= xn+1 ln x

n + 1 1

(n + 1)2xn+1 + C=

xn+1

n+ 1

ln x+ 1

n+ 1

+ C.


22/200


5.

cos x ln(sin x) dx=

t ln t dt

con t= sin x, dt= cos x dx.

cos x ln(sin x) dx= t2

2 ln t 1

2

t dt

con u= ln t, du= dtt , dv= t dt, v= t2

2.

cos x ln(sin x) dx= t2

2 ln t t

4

4 + C=

1

4sin2 x [2 ln(senx) 1] + C.

1.7.1 Ejercicios

Calcule, mediante integracin por partes:

1.

x

x+ 1 dx

2.

x(3x + 1)1/2 dx

3.

ln(ax) dx

4.

ln(3x + 2) dx

5.

x ln(bx) dx

6.

x ln x dx

7.

x2 ln(x2) dx

8.

tan1 x dx

9.

sen1 x dx

10.

x

2

tan1

x dx

11.

x exp(ax) dx

12.

x2 exp(ax) dx

13.

x3 exp(x2) dx

14.

exp(ax) cos(bx) dx

15.

exp(ax)sen(bx) dx

16.

sen(ln x) dx

17.

x cos2 x dx

18.

tan1

x dx

Sugerencia: use antes un cambio de variableapropiado.

19.

sen

ax+ b dx

Sugerencia: use antes un cambio de variableapropiado.

1.8 Integracin de funciones racionales

La integracin de funciones racionales se realiza generalmente por el mtodo de reduccina fracciones parciales. Cuando el denominador tiene races mltiples, la frmula de Ostro-gradski permite simplificar el clculo, reducindolo a integrales de fracciones con denomina-dores con solo races simples. Si combinamos los dos mtodos, podemos escribir directamente

el resultado con coeficientes por determinar mediante la solucin de un sistema lineal deecuaciones. Este procedimiento puede ser denominado el de Ostrogradski mejorado.

Una funcin f: D R Rde la forma

f(x) = p(x)

q(x),


23/200

1.8 Integracin de funciones racionales 17

donde p y qson polinomios se denomina funcin racional. Obviamente:

Dm(f) = R {x R : q(x) = 0}.

En principio, se puede obtener la integral indefinida de cualquier funcin racional. Pro-

baremos este aserto poco a poco.

1.8.1 Integracin de fracciones simples

Integracin de fracciones simples de primer grado

Caso 1 Dado aR, a la expresin 1xa le llamaremos fraccin simple de primer grado ytenemos que :

dx

x a = ln |x a| + C.

Integracin de fracciones simples de segundo grado

Dado k >0 llamaremos fracciones elementales de segundo grado a expresiones fraccionalesde la forma

x

x2 + k2 y

1

x2 + k2.

Las podemos integrar de la siguiente manera.

Caso 2 Dado k >0: Con el cambio de variable u x2 + k2, se obtiene:

x

x2 + k2dx=

1

2

du

u

= 1

2ln |u| + C

= 1

2ln(x2 + k2) + C,

con el cambio de variable u x2 + k2.

Caso 3 Dadok >0: Con el cambio de variable esx k tan tcon t ] 2 , 2 [, por lo tanto:

dx

k sec2 t dt y x2 + k2

k2(tan2 t+ 1) =k2 sec2 t;

se obtiene:

dx

x2 + k2 =

k sec2 t

k2 sec2 t

= 1

k

dt

= 1

kt + C

= 1

karctan

x

k+ C.

Ahora bien, un trinomio cuadrado de la forma x2 + 2bx+ c no se puede descomponer enfactores si el discriminanted = (b2 c)es menor que 0. En este caso, podemos expresar estetrinomio como la suma de dos cuadrados:

x2 + 2bx + c= (x + b)2 + k2


24/200


con k =

c b2. Gracias a esto, el cambio de variable u x+b nos permite transformarintegrales de expresiones de la forma

Ax + B

x2 + 2bx + c,

que llamaremos fracciones simples de segundo grado, en integrales de fracciones elementalesque acabamos de estudiar.

En efecto, puesto que

x2 + 2bx + c u2 + k2, x u b, dx du,se obtiene:

Caso 4 Dados A, B, b y c Rtales que d = b2 c


25/200


pM y qNson polinomios de grado M y N, respectivamente, si M > Npodemos dividir pMpor qNy obtendremos

f=pMqN

=CMN+rKqN

,

donde el cociente CMNes un polinomio de gradoM

Ny el residuo rKes un polinomio

de gradoK < N. Para integrar fbasta entonces saber cmo integrar fracciones racionales,el grado de cuyo denominador es mayor que el del numerador.

Se supone entonces que

f=pMqN

, M < N.

Ahora bien, una funcin racional f = pMqN con M < Npuede siempre ser escrita comola suma de fracciones parciales de primero y segundo grado. Veamos algunos casos simples(m= 1,n = 1) porque para multiplicidades mayores que 1es ms conveniente usar el mtodode Ostrogradski que solo requiere el clculo de integrales con fracciones simples de primeroo de segundo grado.

Caso 5 Con fracciones simples de primer gradoEl integrando

f(x) = pM(x)

(x a1)(x a2) (x aN) , con N > M,

se puede escribir:

f(x) = A1

(x a1)+ A2

(x a2)+ + AN

(x aN) .

Se puede hallar A1, A2, . . . , AN expresando la suma de la derecha como una fraccin con

denominador comn (x a1)(x a2) (x aN)y al ser igual a la fraccin

pM(x)

(x a1)(x a2) (x aN) ,

los polinomios numeradores deben ser idnticos, por lo que se pueden igualar losN coeficien-tes de los dos polinomios, puesto que el grado de ambos ser menor a N, los dos polinomiostendrn la forma

a0+ a1x + + aN1xN1,con Ncoeficientes. Se obtiene as un sistema lineal de Necuaciones con las incgnitas

A1, A2, . . . , AN.

Resuelto este sistema, para integrarf(x)basta calcular integrales consideradas en el Caso 1.

Ejemplo 1.12

Calcular

4x2 9x 4x3 x2 2xdx.

Solucin. Se tiene que el denominador es:x3 x2 2x= x(x + 1)(x 2).

Al descomponer en suma de fracciones parciales:

f(x) = 4x2 9x 4x3 x2 2x


26/200


= A

x + 1+

B

x +

D

x 2=

A(x2 2x) + B(x2 x 2) + D(x2 + x)x3 x2 2x

=

(A + B+ D)x2 + (

2A

B+ D)x

2B

x3 x2 2x .Como las dos fracciones son idnticas, se identifican los numeradores, es decir, los coeficientes de x2,xy x0 deben ser iguales.

Coeficientes de:

x2 : A+ B+ D= 4

x : 2A B+ D=9x0 : 2B =4

.

Este es un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incgnitas: A,B y D. Resolvindolo se obtiene

A= 3, B = 2, D=1.

As,

f(x) dx= 3

dx

x+ 1dx + 2

dx

x dx

dx

x 2dx

= 3 ln |x+ 1| + 2 ln |x| ln |x 2| + C.Finalmente,

4x2 9x 4x3 x2 2xdx = ln

x2(x + 1)3

x 2

+ C.

Caso 6 Con fracciones simples de segundo gradoEl integrando

f(x) = pM(x)

(x2 + 2b1x + c1)(x2 + 2b2x + c2) (x2 + 2bLx + cL) , con N= 2L > M,

se puede escribir:

f(x) = B1x + D1x2 + 2b1x + c1

+ B2x +D2

x2 + 2b2x + c2+ + BLx + DL

x2 + 2bLx + cL.

Se calculan los coeficientes B1, B2, . . . , BL y D1, D2, . . . , DL de manera anloga al caso pre-

cedente. Hecho esto, integrar f(x) se reduce al clculo de integrales estudiadas en el Caso4.

Ejemplo 1.13

Calcular

f(x) dxsi f(x) = x3 + 7x2 + 40

(x2 2x+ 2)(x2 + 6x+ 13) .

Solucin. Podemos expresar f(x) como la siguiente suma de fracciones parciales:

f(x) = Ax+ B

x2 2x+ 2 + Dx+ E

x2 + 6x+ 13

= (Ax + B)(x2 + 6x+ 13) + (Dx+ E)(x2 2x+ 2)

(x2 2x+ 2)(x2 + 6x+ 13)

= (A + D)x3 + (6A+ B 2D+ E)x2 + (13A+ 6B+ 2D 2E)x+ (13B+ 2E)

(x2 2x+ 2)(x2 + 6x+ 13) .


27/200


Identificando los coeficientes de los numeradores def(x)y los de la ltima expresin, obtenemos elsiguiente sistema lineal de 4 ecuaciones para calcular las 4 incgnitas A, B, D y E:

Coeficientes de:

x3 : 1 =A + D

x2 : 7 = 6A+ B

2D+ E

x : 0 = 13A+ 6B+ 2D 2Ex0 : 40 = 13B+ 2E

.

Al resolver este sistema obtenemos:

A= 0, B= 2, D= 1, E= 7.

Entonces

f(x) dxes la suma de dos integrales estudiadas en el Caso 4:

f(x) dx=

2

x2

2x + 2

dx+

x + 7

x2 + 6x+ 13dx

= 2 arctan(x 1) +12

ln(x2 + 6x+ 13) + 2 arctanx + 32

+ C.

Caso 7 Con fracciones simples de primero y de segundo gradoEl integrando

f(x) = pM(x)

(x a1)(x a2) (x aK)(x2 + 2b1x + c1) (x2 + 2bLx + cL)con

M < K+ 2L=N y b2

k ck


28/200


Identificando los numeradores de esta ltima fraccin y de f(x)obtenemos el siguiente sistema linealde 4 ecuaciones para hallar las 4 incgnitas A, B,D y E:

Coeficientes de:

x3 : 2 =A+ B+ D

x2 :

6 = 2B

2D+ E

x : 4 = 4B 2Ex0 : 8 =8A

.

Resolviendo este sistema obtenemos

A= 1, B=1, D= 2, E= 0.

Entonces

f(x) dxse calcula como la suma de integrales estudiadas en los Casos 1 y 4:

f(x) dx=

dx

x

dx

x 2+ 2

x

x2

+ 2x+ 4

dx

= ln |x| ln |x 2| + ln(x2 + 2x+ 4) 23

arctanx + 1

3+ C

= ln

x(x2 + 2x+ 4)

x 2

23

arctanx + 1

3+ C.

Caso 8 El Mtodo de Ostrogradski

Se usa para calcular

PMQN

dx, donde P y Qson polinomios de grado My N, respecti-

vamente, conM < N

, cuandoQ

tiene races mltiples reales o complejas, es decir factoresde tipo

(x + a)m con m 2, o (x2 + 2bx + c)n con b2 c


29/200

1.9 El mtodo de Ostrogradski mejorado 23

6x2(Ax5 + Bx4 + Cx3 + Dx2 + Ex + F)

(x3 + 1)3

+(Gx2 + Hx + I)(x3 + 1)2

(x3 + 1)3 .

Igualando los coeficientes de los numeradores se obtiene un sistema de 9 ecuaciones y 9 incgnitaspara calcular los coeficientes A, B , . . . , I .La integral de la derecha se resuelve luego por los mtodos antes descritos de fracciones parciales.

1.8.3 Ejercicios

Calcule usando, de ser necesario, el mtodo de fracciones parciales o la frmula de Ostrogradski.

1.

dx

2x+ 1

2.

dx

(2x+ 3)5

3.

dx

(2x+ 1)(2x+ 3)

4.

dx

x(x + 1)(x 2)

5.

2x

(x + 1)(x2 + 2x+ 5)dx

6.

x5

(x 1)(x2 + 4x+ 8) dx

7.

x6

(x2 + x + 1)(x2 x+ 1) dx

8.

dx

x3(x + 1)2

9.

dx

x2(x2 2x+ 10)

10.

x + 2

x3(x2 + 1) dx

11.

2x5 + x4 + 16x3 + 8x2 + 34x+ 17

(x2 + 4)3 dx

12.

dx

x4 + 8x2 + 16

13.

x+ 1

x5 + 4x4 + 5x3dx

14.

x3

x4 81dx

15.

x4

x3 + 1dx

16.

x5

x3 1dx

1.9 El mtodo de Ostrogradski mejorado

Se aplica en los mismos casos que el mtodo de Ostrogradski, es decir cuando una o msraces, reales o complejas del denominadorQ(x)es o son mltiples. Notemos que en la frmulade Ostrogradski (1.5) el denominadorQ2(x)solo puede tener factores simples de tipo (x + a)

o (x2

+ 2bx + c)conb2

c


30/200


Ejemplo 1.16

Segn la frmula de Ostrogradski, con

X(x) =A0+ A1x + + An2xn2

se tiene: Pn1(x)(x a)n dx=

A0+ A1x + + An2xn2(x+ a)n1

+

An1x adx.

Pero podemos escribir directamente

Pn1(x)(x a)n dx=

A0+ A1x+ + An2xn2(x a)n1 + An1ln |x a| + C

= X(x)

(x a)n1 + An1ln |x a| + C.

Derivando y escribiendo todo con el mismo denominador comn (x a)n se obtiene la identidad

Pn1(x) (x a)X(x) (n 1)X(x) + An1(x a)n1

que nos permitir hallar los ncoeficientes A0, A1, . . . , An1.

Ejemplo 1.17

En vez de

P2n1(x)(x2 + k2)n

dx= X(x)

(x2 + k2)n1 +

Ax + B

x2 + k2 dx,

conX(x) =A0+ A1x+ + A2n3x2n3

podemos escribir directamente

P2n1(x)(x2 + k2)n

dx= X(x)

(x2 + k2)n1 + A2n2ln(x

2 + k2) + A2n1arctan x

k

+ C.

Derivando y escribiendo todo con el mismo denominador comn(x2 + k2)n, se obtiene la identidad

P2n1(x) = (x2 + k2)X(x) 2(n 1)xX(x) + 2A2n2x(x2 + k2)n1 + kA2n1(x2 + k2)n1,

que nos permitir calcular directamente A0, A1, . . . , A2n1 y escribir la respuesta!

Ejemplo 1.18

Teniendo en cuenta que (x4 1) = (x+ 1)(x 1)(x2 + 1)

dx

(x4 1)3 = Ax7 + Bx6 + Cx5 + Dx4 + Ex3 + F x2 + Gx + H

(x4 1)2+ Iln |x+ 1| + Jln |x 1| + Kln |x2 + 1| + L arctan x + M,

de donde

1(x4 1)(7Ax6 + 6Bx5 + 5Cx4 + 4Dx3 + 3Ex2 + 2F x + G)+ (2)(4x3)(Ax7 + Bx6 + Cx5 + Dx4 + Ex3 + F x2 + Gx + H)+ I(x 1)(x2 + 1)(x4 1)2 + J(x+ 1)(x2 + 1)(x4 1)2+ 2Kx(x2 1)(x4 1)2 + L(x2 1)(x4 1)2.

Resolviendo el sistema lineal de ecuaciones correspondientes se obtienen los coeficientes

A= 0, B = 0, C= 7

32, D= E= F = 0,


31/200


G=1132

, H= 0, I=J= 21128

, K= 0, L=2164

,

por lo que

dx

(x4 1)3 = 7x5

11x

32(x4 1)2 + 21

128ln

x

1

x+ 1

21

64arctan x+ C.

Podemos aplicar el mtodo de Ostrogradski mejorado (MOM) desde el inicio, esto es, sinusar fracciones parciales para las fracciones cuyos denominadores tienen solo factores simplessean estos de primer grado, de segundo grado o ambos. As tenemos los siguientes casos.

1. Denominadores con factores simples de primer grado

Sean K 1,a1, . . . , ak R, PK1 un polinomio de grado menor que K.

PK1

(x) dx

(x + a1)(x+ a2) (x + aK) =K

k=1Ckln |x + ak| + C,

dondeC1, . . . , C kse determinarn derivando la expresin anterior y escribiendo la ecua-cin obtenida con el mismo denominador comn

Kk=1(x+ak) en ambos miembros e

identificando los numeradores.

2. Denominadores con factores simples de segundo grado

Sean N 2, bn, cn R, 1 n N tales que b2n cn < 0 para todo n, P2N1 unpolinomio de grado menor que 2N.

Entonces

P2N1(x) dx(x2 + 2b1x + c1)(x2 + 2b2x + c2) (x2 + 2bNx + cN) =

N

n=1

ANln(x2 + 2bnx + cn)

+N

n=1

BNarctan x + bn

cn b2n+ C.

3. Denominadores con factores simples de primero y segundo grado

Sean K1, N 1, an, bb, cnR, 1kK, 1nN tales que b2n cn


32/200


Kk=1 Mk + 2

Nn=1 Nn y Q1 es el mximo comn divisor de Q y Q

, donde la fun-cin a integrar es f= PQ , lo que quiere decir que

Q1(x) =K

k=1

(x + ak)Mk1

N

n=1

(x2 + 2bnx + cn)Nn1.

Entonces

f(x) dx=

P(x) dx K

k=1(x + ak)Mk

Nn=1(x

2 + 2bnx + cn)Nn

= X(x)

Q1(x)+

N

n=1

Anln(x2 + 2bnx + cn) +

N

n=1

Bnarctan x + bn

cn b2n

+K

k=1

Ckln |x + ak| + C,

dondeXes un polinomio de grado igual al grado de Q1menos 1, cuyos coeficientes, aligual que los An, Bn y Ck se calcularn derivando la ltima igualdad y escribiendo laobtenida con mismo denominador comnQ en ambos miembros, para luego identificarlos numeradores de estos dos quebrados.

Ejemplo 1.19

Volvamos a calcular

f(x) dxcon

f(x) = 2x3

6x2

4x 8x4 8x

del Ejemplo del Caso 7 donde aplicamos el mtodo de fracciones parciales. Esta vez calculemos laintegral con el mtodo de Ostrogradski mejorado.

Buscamos el resultado de la forma:

f(x) dx= A ln |x| + B ln |x 2| + D ln(x2 + 2x+ 4) + Earctanx + 13

+ C.

Derivando ambos miembros de esta igualdad obtenemos la identidad

f(x) = A

x

+ B

x 2+

(2x + 2)D

x2

+ 2x+ 4

+

13

E

1 +

x+13

2 .

Como x4 8xes el denominador comn de la ltima expresin obtenemos

f(x) = A(x3 8) + Bx(x2 + 2x+ 4) + [2D(x+ 1) + 3E](x2 2x)

x4 8x .

Identificando los coeficientes de los numeradores de estas fracciones obtenemos el siguiente sistemalineal de 4 ecuaciones para el clculo de A, B,D y E:

Coeficientes de:

x3 : 2 =A + B+ 2D

x2 : 6 = 2B 2D+ 3Ex : 4 = 4B 4D 23Ex0 : 8 =8A

.

Resolvemos este sistema y obtenemos que

A= 1, B =1, D= 1, E=23

,


33/200


por lo cual

f(x) dx= ln |x| ln |x 2| + ln(x2 + 2x+ 4) 23

arctanx + 1

3+ C.

Ejemplo 1.20

Calculemos

f(x) dxcon

f(x) = 1

(x + 1)(x2 + 2x+ 5).

Solucin. En primer lugar, si tenemos que:

f(x) = A

x + 1+ B

2x+ 2

x2 + 2x+ 5+ C

12

1 +

x+12

2 ,

entonces:

f(x) = A(x2 + 2x + 5) + (x+ 1)[B(2x+ 2) + 2C]

(x+ 1)(x2 + 2x+ 5) .

Obtenemos, entonces, el siguiente sistema lineal de 3 ecuaciones para el clculo de A, B y C:

Coeficientes de:

x2 : 0 =A+ 2B

x : 0 = 2B

2D

x0 : 4 = 5A+ 2B+ 2C

.

Resolvemos este sistema y obtenemos que

A= 1

4, B =

18

, C= 0,

de donde resulta que:

f(x) dx= A ln |x| + B ln |x2 + 2x+ 5| + Carctanx + 12

+ D.

1.9.1 Ejercicios

1. Use el mtodo de Ostrogradski mejorado para calcular:

(a)

ax+ b

x(x + 1)3dx

(b)

dx

x(x + 1)(x 3)(c)

dx

x4 27x

(d)

dx(x2 + 2x+ 5)2

(e)

x

(x + 1)2(x2 + 1)dx

(f)

x3

(x + 1)2(x2 + 9)dx

(g)

dx

x4 16(h)

dx

(x4 1)2

(i)

(x+ 1)

x4 + 8xdx

(j)

dx(x2 + 1)3

(k)

x2 + 2x+ 4

(x+ 1)3 dx

(l)

6x 1x3(2x 1)dx


34/200


2. Dados N 1 y P: RN R, Q :RN R dos polinomios de N variables, R :RN Rtal que xR(x) = P(x)/Q(x), se dice queR es una funcin racional de N variables.(a) Pruebe que con el cambio de variable xtan1 t, una integral de la forma

R(sen2

x, cos2

x) dx,

donde R es una funcin racional de2 variables, se transforma en la integral de una funcinracional. Use este resultado para calcular

dx

sen2 x.

(b) Sean k1, k2, . . . , kn N para N 1. Sea k = MCM{k1, . . . , kn}. Pruebe que el cambio devariable xtk transforma una integral de la forma

R(x, x1/k1 , x1/k2 , . . . , x1/kN) dx,

donde R es una funcin racional de N+ 1variables, en la integral de una funcin racional.Use este resultado para calcular

x

3

x + 1dx.

(c) Sean a,b,c,d R tales que ad= cb, y sea m N. Pruebe que el cambio de variablex(dtm + b)/(ctm a)(lo que datm (ax + b)/(cx + d)), transforma una integral de laforma

R

x, m

ax + b

cx+ d

dx,

donde Res una funcin racional de 2 variables, en la integral de una funcin racional. Useeste resultado para calcular

x + 1

x dx.

(d) Sean a, b]0, [. Pruebe que el cambio de variable x (a/b)sen t, con x] a/b, a/b[ yt] /2, /2[, transforma una integral de la forma

R

x,

a2 b2x2 dx

en la integral de la forma

R1(cos t, sen t) dt,

donde R1 es otra funcin racional de dos variables, y que una integral de este tipo se puedetransformar en la integral de una funcin racional con el cambio de variableutan(t/2)(uselas identidadessen t2u/(1+u2),cos t(1u2)/(1+u2),t2tan1 u;dt= 2du/(1+u2)).Aplique estos resultados para calcular

3 5x2 dx.

3. Para las integrales siguientes escriba la forma de una primitiva, sin calcular los coeficientes, dadapor el mtodo de Ostrogradski mejorado:

(a)

dx(x+ 2)3(x+ 1)(x 1)2

(b)

dx

(x+ 1)2(x2 + 6x+ 18)3

(c)

dx(x+ 4)2(x + 1)3(x2 8x+ 17)3

(d)

x

(x3 + 1)3(x4 + 1)2dx


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Captulo 2

La integral definida

2.1 El Palimpsesto de ArqumedesEn 212 a. C., un soldado romano decapit a uno de los ms extraordinarios seres humanosque ha existido: Arqumedes. l fue sorprendido dibujando figuras geomtricas en la arena ysolo alcanz a decir: no daes mis crculos.

El legado de Arqumedes se conoce a partir de tres obras suyas: el cdice A, transcrito algriego; el cdice B, al latn, ambos en el siglo ix; y el enigmtico cdice C, copiado en el sigloxen Constantinopla (Estambul). De alguna manera fue llevado a Palestina, donde cay enmanos del presbtero IOANNES MYRONAS quien, en abril de 1229, borr el texto con zumode limn y piedra pmez para transcribir en l oraciones religiosas. Para ello, dividi las hojas

en dos y escribi perpendicularmente a las desaparecidas lneas de la obra de Arqumedes,que se convirti as en un Palimpsesto.En 1880 un estudioso griego descubri la existencia del texto borrado, del cual se adi-

vinaban apenas algunos trazos detrs de las oraciones, y pudo copiar algn fragmento de laspalabras de Arqumedes.

Este fragmento llam la atencin, en 1906, del filsofo dans Johan Ludvig Heiberg, quiencon la ayuda de una lupa, tradujo lo que logr leer y lo public en 1910, el que contena un80 % del texto original.

El Palimpsesto desapareci hasta que, en 1998, una familia francesa de apellido Guersanlo puso a la venta. Un comprador annimo pag dos millones de dlares por la obra y ladeposit en el Walters Art Museum para que lo conserven.

Debemos anotar que en el siglo xxalguien destruy para siempre cuatro pginas del libro,al pintar sobre ellas los retratos de los cuatro apstoles, copiados de una obra medieval. Conesto se intent subir el precio del antiguo libro de oraciones. El arte antiguo falsificado erams cotizado que el legado cientfico de Arqumedes!

Con tcnicas modernas, en el ao 2000, el especialista Roger Easton del Rochester Insti-tute empez a trabajar en el libro y logr recuperar un 15 % adicional del texto.

En 2002 el fsico Uwe Bergman de Stanford, usando nuevas tecnologas de rayos X, logrprecisar anteriores hallazgos de Arqumedes relativos al clculo del centro de gravedad de ob-

jetos y revelar una seccin entera de El Mtodo que haba estado escondida en las seccionescosidas de algunas pginas del libro: . . . contiene parte de la discusin sobre cmo calcular el

rea dentro de una parbola, usando una nueva forma de razonar sobre el infinito. . . , segndijo Netz, profesor de Ciencias Clsicas, luego de mirar las imgenes de rayos X obtenidas.Y aadi: Parece ser una temprana incursin al Clculo (Infinitesimal) casi 2000 aos antesde que Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz lo inventaran.

La obra de Arqumedes contiene sus resultados en otros temas que muestran lo increble-mente avanzado que estuvo respecto a su tiempo. Invitamos al lector a estudiarlos. Tratare-


36/200

30 La integral definida

mos aqu en delante de reproducir los resultados de Arqumedes relativas al rea dentro deuna parbola.

Solo indicamos que numerosos cientficos de varias disciplinas y de diversos orgenes sehallan estudiando el Palimpsesto de Arqumedes, y tratan de descubrir el 100 % del contenidode la obra.

Uno de los problemas que resolvi Arqumedes, y se lo puede hallar en el Palimpsesto delCdice C, es el de la cuadratura de la parbola; es decir, el problema de hallar el rea de laregin plana comprendida entre una parbola y una recta.

Tomaremos, por ejemplo, la parbola de ecuacin y = f(x) = 1x2 y el eje de lasabscisas, o sea la recta de ecuacin y = 0. Arqumedes aproximaba el rea buscada A con elrea de los polgonos de (n+ 1) lados inscritos en la figura, segn se muestra en la figura.

11 x

y

Tringulo 11 x

y

Pentgono 11 x

y

Heptgono

Es decir, para todo n 2 se verifica que Pn < A. Mientras mayor sea el nmero delados del polgono, es decir, mientras mayor sean, mejor es la aproximacin. Los vrtices delpolgono de n + 1lados sern

Pk(xk, yk), 0 k n,

con

yk =f(xk) y xk = 1 + kxk, donde xk = 2

n ,

de donde

xk = 1 +2kn

.

Por ejemplo, si n = 4, tendremos el pentgono de vrtices

P0(1, 0), P1

12

,3

4

, P2(0, 1), P3

1

2,

3

4

, P4(1, 0).

Qu resultados habra obtenido Arqumedes al tomar n cada vez ms grandes?Notemos que el rea Pn del polgono de n+ 1 lados inscrito en la figura que usaba

Arqumedes es la suma de las reas Tk de los trapecios de vrtices

(xk1, 0), (xk1, yk1), (xk, 0), (xk, yk),

con

yk =f(xk) = 1 x2k, 1 k n.

= 1

1 +2kn

2

= 1

1 +

4k

n +

4k2

n2

=4k

n 4k

2

n2

= 4

n

k k2n .


37/200

2.1 El Palimpsesto de Arqumedes 31

Como reaTk = yk1+yk

2 xk y como xk = 2n , tendremos

Tk = 1

n(yk1+ yk).

Entonces

A Pn =n

k=1

Tk = 1

n

n

k=1

(yk1+ yk)

= 1

n

n

k=1

yk1+n

k=1

yk

= 1

n

y0+ 2n

k=1

yk yn

= 8n2

n

1

k=1

k k2

n

=4(n2 1)

3n2 =

4

3

1 1n2

A qu valor se acerca Pn cuando n es cada vez ms grande? Ese valor no es otro que

lmnPn=

4

3.

Veamos ahora cmo se puede resolver el problema aproximando el rea Acon la de una

figura formada por rectngulos en vez de los trapecios que utilizamos para calcular el readel polgono de Arqumedes: si trazamos las rectas verticales de ecuacinx =xk,0 k n,nuestra figura se divide en n fajitas.

xk1 xk xk

Lak-sima fajita se puede aproximar con un rectngulo del mismo anchoxk =xkxk1y de alturaf(xk), donde x

k es un valor cualquiera comprendido entre xk1 y xk.

Podemos escribir

A n

k=1

f(xk)xk =An.

En este caso, para todo k, xk = 2n , pero nada impide que los xk sean distintos. Lo quehace falta es que

1 =x0 < x1 < x2 < .. . < xn1 < xn= 1y xk =xk xk1.

Se puede intuir que mientras el grosor de las fajitas sea ms pequeo, mejor ser laaproximacin de A con la suma de las reas de los rectngulos. En el caso de las fajas deigual grosorh = xk = 2n , esto es equivalente a decir que mientras mayor sea n, mejor ser


38/200


la aproximacin. En el ejemplo tomemos xk = xk =1 + 2kn . El lector puede repetir losclculos con otros valores xk y obtendr un resultado igual. Entonces

An=n

k=1

f(x)xk

=n

k=1

1

1 +2kn

2 2

n

= 2

n

n

k=1

4

nk 4

n2k2

= 8

1

n2

n

k=1

k 1n3

n

k=1

k2

= 8

n(n+ 1)

2n2

n(n + 1)(2n + 1)

6n3

= 8

(n+ 1)

2n (n+ 1)(2n + 1)

6n2

.

Vemos que sines cada vez ms grandeAnse acerca a un valor que puede calcularse tomandoel lmite:

lmn+

An= 8

1

21

3

=4

3.

Se obtiene pues el mismo resultado que Arqumedes!

2.2 Definicin de integral definidaLa suma de la forma

n

k=1

f(xk)xk

fue usada por los creadores del clculo integral Newton y Leibniz, para aproximar el valor delreaAy sirvi a Riemann1 para obtener una generalizacin que tiene mltiples aplicaciones.Esta es la integral definida que se nota

b

af(x) dx

y es igual al lmite de las sumas de Riemannn

k=1

f(xk)xk, si los valores xk se aproximan

a cero.Formalicemos la definicin de la integral definida.Sea f : [a, b]R una funcin acotada. Se llama a todo conjuntoP ={x0, x1, . . . , xn},

particin de [a, b], si n 1, a= x0 < x1 < . . . < xn1 < xn =b, porque al intervalo [a, b]lopartimos en nsubintervalos Ik = [xk1, xk], 1 k n.

Se llama grosor (amplitud o norma) de la particinPal nmero

P= max

1knxk .

Es decirP es la longitud del ms grande de los subintervalos Ik = [xk1, xk ]. En cadaintervaloIk escogemos un valor xk. A la particinPasociamos entonces un vectorP iguala (x1, . . . , x

n)que llamaremos vector o particin asociada aP.

1George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866).


39/200

2.2 Definicin de integral definida 33

Llamaremos, entonces, suma de Riemannal nmero

n

k=1

f(xk)xk

Diremos que fes integrable segn Riemann en [a, b] si existe el lmite de las sumas de

Riemannn

k=1

f(xk)xk cuando el grosor de la particinPtiende a cero. A este lmite se

lo llama integral definida de f en [a, b]y se lo denomina b

af(x) dxo

[a,b]fo simplemente

f.

Notemos que la existencia del lmite est condicionada solamente al hecho de quePtienda a cero sin importar los valores xk y xk elegidos. Basta entonces que para la pareja(P

,P

),P

tienda a cero.Tendremos entonces, por definicin, que

b

af(x) dx= lm

P0

n

k=1

f(xk)xk .

Pero, qu significa sto? Recordemos la definicin de

lmh0

F(h) =L,

donde F : R

Rest definida para valores de hcercanos a 0 y L

R.

En este caso

Lpuede ser aproximado porF(h)con la precisin que se desee, para lo cual bastatomar|h|suficientemente pequeo,

es decir:

L= lmh0

F(h) >0 >0 tal que h: 0< |h| < |F(h) L| < .

Anlogamente: b

af(x) dxpuede ser aproximado con la precisin que se desee por las sumas de

Riemannn

k=1

f(xk)xk, para lo cual basta tomarP suficientemente pequeo.

Esto se puede escribir

b

af(x) dx= lm

P0

n

k=1

f(xk)xk >0 >0 tal queP P:

P<

n

k=1

f(xk)xk

b

a

f(x) dx

< .

En este casof es Riemann-integrable en [a, b].En el ejemplo introductorio, que resuelve el problema de Arqumedes de la cuadratura de

la parbola, 1

1f(x) dx, conf(x) = 1 x2, es el rea buscada, en este caso 43 .


40/200


Usaremos el concepto de integral definida para resolver mltiples problemas de geometra,fsica, economa, etc.

En el ejemplo introductorio tendremos entonces que el rea buscada A es

A=

1

1(1 x2

) dx=

4

3 .

Es decir que si ponemos f(x) = 1 x2, fes integrable en [1, 1]y su integral es 43 .La funcin fes un polinomio de segundo grado. Se puede probar que todo polinomio es

Riemann-integrable en cualquier intervalo [a, b]. Es ms, aunque no lo podemos demostraren este libro, vamos a tener en cuenta el siguiente resultado:

Teorema 2.1

Sea f : [a, b] R una funcin real definida en un intervalo [a, b]. Entonces f es Riemann-integrable en[a, b]si se cumple una de las siguientes propiedades:

1. fes continua en[a, b].

2. fes montona en[a, b].

3. fes acotada en[a, b]y es continua en[a, b], salvo en un nmero finito de puntos.

Nota:Hemos definido antes lo que es una funcin montona y una funcin acotada; perorecordemos estas definiciones.

1. f es montonaen[a, b]si f:o es no decreciente: para todo x1, x2

R

a x1 < x2 b f(x1) f(x2).o es no creciente: para todo x1, x2 R

a x1 < x2 b f(x1) f(x2).

2. f es acotada en [a, b]si

existe R >0 tal que: para todox [a, b], |f(x)|< R.O, lo que es lo mismo, si

existen c1 < c2 tales que: para todo x [a, b], c1 < f(x)< c2.

Nota:Si se tiene una funcinf : [a, b] R y se quiere averiguar si es Riemann-integrableen[a, b], el uso de la definicin es en extremo complejo. Si por el contrario, ya se conoce quefes integrable, por cumplir alguna de las conocidas propiedades que son condiciones suficientespara ello, el clculo de

ba f(x) dxse lo puede hacer tomando una sucesin de particiones Pn,

n 1, donde los subintervalos Ik = [xk1, xk] son de igual longitud. Tales particiones sellaman particiones homogneas y, en este caso,

xk =a+ kh, 0 k n, xk =h =b

a

n ,y

Pn 0 si y solo si n +.Los valores xk se pueden tomar de modo que los clculos sean ms simples. Ilustremos estocon un ejemplo.


41/200

2.2 Definicin de integral definida 35

Ejemplo 2.21

Clculo de 1

0 x2 dx.

Solucin. Aqu, para n1,

h= xk = 1

n, xk =k

1

n, 0< k < n.

Si ponemos f(x) =x2, fes creciente en el intervalo [0, 1]considerado, por lo que

mnxk1xxk

f(x) =f(xk1) = (k 1)2

n2 y max

xk1xxkf(x) =f(xk) =

k2

n2.

tomando para 1 k n, xk = xk1, se tendr entonces que las sumas de Riemann tendrn elmnimo valor posible, mientras que si xk = xk, su valor ser el mximo posible. Realicemos los

clculos siguientes. Pongamos :

Sn =

n

k=1

f(xk1)xk = 1

n3

n

k=1

(k 1)2 = 1n3

n1

k=1

k2,

Sn =

n

k=1

f(xk)xk = 1

n3

n

k=1

k2.

Tendremos que para todoP = (x1, . . . , xn),

Sn

n

k=1

f(xk)xk

Sn.

Sabemos quen

k=1

k2 = n(n + 1)(2n+ 1)

6 ,

por lo cual

n1

k=1

k2 = (n 1)((n 1) + 1)(2(n 1) + 1)

6 =

n1

k=1

k2 = (n 1)n(2n 1)

6

Con las dos sumas anteriores hallamos que

Sn = (n 1)(2n 1)

6n2 , Sn =

(n + 1)(2n+ 1)

6n2 .

Como para todoP = (x0, x1, . . . , xn)

Snn

k=1

f(xk)xkSn,

y para las particiones homogneas

P 0 h0 n ,

como

lmn

Sn = lmn

Sn = 1

3,

tendremos: 1

0

x2 dx= 1

3.


42/200


La utilizacin de este procedimiento ilustra el hecho de que no importan los valores dexk que se tomen, pero tambin vemos que hacen falta frmulas que simplifiquen el clculode sumas de la forma

n

k=1

f

a+ kb a

n

.

Si f es un polinomio de grado m, los clculos exigen conocer el valor de sumas de tipo

k=1 km. Se conocen frmulas para m = 1, 2, 3, 4, . . .pero no mayores que 13.

El mtodo indicado es pues interesante pero no muy til para polinomios de grado mayory peor para funciones farbitrarias, an en el caso de funciones muy conocidas y estudiadas,como son las funciones trigonomtricas, exponenciales, etc.

La utilidad prctica del concepto de integral definida sera limitada sin el descubrimientode un mtodo de clculo admirable por su simplicidad y amplitud que, no en vano, se loconoce como el teorema fundamental del clculo.

Antes de abordarlo, establezcamos algunas propiedades importantes de la integral defini-

da. Previamente recordemos algo ms sobre la notacin de sumatorias y sus propiedades.

2.3 Sumatorias

Si estn dados, para n 1, n nmerosa1, a2, . . . , an, en vez de escribir

a1+ a2+ + an,

se suele escribirn

k=1

ak,

que se lee sumatoria deak, parak entre 1 yn. En general, si1 m nn

k=m

ak =am+ am+1+ + an1+ an.

Las conocidas propiedades de la suma pueden entonces escribirse as:

(1)n

k=1

ak =a1+ a2+ + an (definicin)

(2)n

k=1

(ak) =n

k=1

ak; R (distributiva)

(3)n

k=1

(ak+ bk) =n

k=1

ak+n

k=1

bk (aditiva)

(4)n

k=1

(ak+ bk) = n

k=1

ak+ n

k=1

bk (lineal)

(5) Si para todo k {1, 2, . . . , n}, ak 0, entoncesn

k=1

ak 0.

(6) Si para todo k {1, 2, . . . , n}, ak bk, entoncesn

k=1

akn

k=1

bk.


43/200

2.3 Sumatorias 37

(7)

n

k=1

ak

n

k=1

|ak|.

(8)n

k=1

ak =m

k=1

ak+n

k=m+1

ak.

(9)n

k=m

ak =

n+p

j=m+p

ajp. (cambio de variable)

Ejemplo 2.22

1.

5

k=1(2k 1) = (2 1 1) + (2 2 1) + (2 3 1) + (2 4 1) + (2 5 1)

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

2.6

k=1

= + + + + + = 6. En generaln

k=1

= n.

3. S(1)n =n

k=1

k= 1 + 2 + + n= n(n+ 1)2

.

En efecto: S(1)n = 1 + 2 + + (n 1) + n.O tambin: S(1)n =n + (n 1) + + 2 + 1.Sumandolos respectivos miembros de las dos igualdades anteriores se obtiene:

2S(1)n = (n + 1) + (n + 1) + + (n+ 1) =n(n+ 1),

lo que conduce al resultado. ste tambin se puede probar mediante el mtodo induccin mate-mtica.

4. Probemos por induccin que S(2)n =n

k=1

k2 = 12 + 22 + + (n 1)2 +n2 = F(n) para n1,

donde F(n) = n(n+ 1)(2n+ 1)

6 . En efecto, probemos que la igualdad es vlida para n = 1:

S(2)

1 =

1

k=1

k2 = 12 = 1.Por otro lado, F(1) =1(1 + 1)(2

1 + 1)

6 = 1.

Probemos ahora que para todo n 1 si la igualdad es verdadera para n, tambin es verdaderapara n + 1:

S(2)n+1 =

n+1

k=1

k2 =

n

k=1

k2 + (n + 1)2 =F(n) + (n + 1)2

= n(n + 1)(2n+ 1)

6 + (n + 1)2 =

(n + 1)[n(2n+ 1) + 6(n + 1)]

6

= (n + 1)(2n2 + 7n+ 6)

6 =

(n + 1)(n+ 2)(2n+ 3)

6 .

Por otro lado, tenemos que

F(n + 1) = (n + 1)[(n+ 1) + 1][2(n+ 1) + 1]

6 =

(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)

6 .

Por lo tanto, concluimos que F(n + 1) =S(2)n+1.


44/200


5. Anlogamente se prueba que:S(3)n =n

k=1

k3 = n2(n+ 1)2

4 ,y que

S(4)n =

n

k=1

k4 = n(n+ 1)(6n3 + 9n2 + n 1)

30

.

2.3.1 Ejercicios

1. Calcule los siguientes sumatorios:

(a)58

k=23

(5k+ 2k2)

(b)

17

k=3(1 + 2k+ 4k

3

+ 3k

4

)

(c)15

k=10(k2 + k4)

(d)25

n=5

(1 + 2n+ 6n2)

(e)N

k=1

(k2 + k+ 1)2

(f)

100

m=1

1

m(m + 1)(m + 2)

Sugerencia: descomponer cada binomio ensus fracciones parciales:

1

m(m + 1)(m + 2) =

12

m 1

m + 1+

12

m + 2.

2. Escriba con la notacin de sumatoria las siguientes expresiones:

(a) 42 + 62 + 82 + 102 +

+ 202

(b) 1 + 3 + 5 + 7 + + 251(c) 1 + 5 + 9 + 13 +

+ 101

(d) 1 2! + 3! 4! + + 99! 100!

2.4 Propiedades de la integral definida

Hemos definido, para a < by f : [a, b] R, b

af(x) dx= lm

P0

n

k=1

f(xk)xk ,

si el lmite existe, dondeP ={x0, x1, . . . , xn} son particiones de [a, b]; es decir, se verificaque a = x0 < x1 < .. . < xn1 < xn =b, yP= (x1, . . . , xn)son particiones asociadas aP,es decir que para todo k {1, . . . n}, xk [xk1, xk].

En el caso de que a= b, se define a

af(x) dx= 0

y, tambin, se define: a

bf(x) dx=

b

af(x) dx.

Las propiedades se resumen en los siguientes dos teoremas:

Teorema 2.2

Seanf : [a, b] R y g : [a, b] R dos funciones Riemann-integrables en [a, b] y , R.Entonces


45/200

2.4 Propiedades de la integral definida 39

1.

b

a dx= (b a).

2. fes Riemann-integrable en[a, b]y

b

a(f)(x) dx=

b

af(x) dx=

b

af(x) dx. (homogeneidad)

3. f+ ges Riemann-integrable en[a, b]y

b

a(f+ g)(x) dx=

b

a[f(x) + g(x)] dx=

b

af(x) dx +

b

ag(x) dx.

(aditividad respecto a funciones)

4. f+ g es Riemann-integrable en[a, b]y

b

a(f+ g)(x) dx=

b

a[f(x) + g(x)] dx=

b

af(x) dx +

b

ag(x) dx.

(linealidad de la integral definida)

Teorema 2.3

Sean f : [a, b] R y g : [a, b] R dos funciones Riemann-integrables en [a, b], a1, b1,c1 [a, b]. Entonces

1. fes integrable en cualquier intervalo de extremos en {a1, b1, c1}. Adems c1

a1

f(x) dx=

b1

a1

f(x) dx +

c1

b1

f(x) dx. (aditividad respecto a intervalos)

2. Si para todox [a, b]f(x)g(x), entonces b

af(x) dx

b

ag(x) dx. (monotona de

la integral)

3. Si |f| es integrable, entoncesftambin lo es y

b

af(x) dx

b

a|f(x)| dx.

Teorema 2.4(Integral nula)

Se tiene que:

1. Si : [a, b] R es la funcin nula, es decir si (x) = 0para todox [a, b], entonces b

a(x) dx= 0.

2. Sif : [a, b] R es continua, y si para todo x [a, b],f(x) 0, entonces b

af(x) dx= 0 f=.


46/200


Demostracin.

1. Es obvio porque las sumas de Riemann sern todas nulas.

2. Supongamos que b

af(x) dx = 0. Basta probar que f(x) = 0 para todo x [a, b]. Por el

absurdo. Supongamos que existe x0 [a, b] tal que f(x0) > 0. Hay tres casos: (i) x0]a, b[,(ii)x0 = a, (iii) x0 =b.

Caso (i) Comofes continua en x0,

>0 >0 tal que ]x0 , x0+ [[a, b] y |x x0|< |f(x) f(x0)|< .

Tomando = f(x0)2

>0, se tiene que

a < x0 < x < x0+ < b f(x0)2

< f(x)< 3f(x0)

2 .

Si ponemos

g(x) =

f(x0)2

si x0 < x < x0+

0 si x / ]x0 , x0+ [se tiene entonces que para todo x[a, b], g(x) f(x). Entonces

b

a

g(x) dx b

a

f(x) dx

pero b

a

g(x) dx=

x0

a

0 dx+

x0+

x0

f(x0)

2 dx+

b

x0+

0 dx= f(x0)

y por hiptesis b

af(x) dx= 0, por lo que

0< f(x0)

0,

lo cual es absurdo.

Casos (ii) y (iii): Para estos dos casos se obtiene anlogamente 0< 1

2f(x0)0.

2.4.1 Ejercicios

1. Use la definicin de integral definida y la integrabilidad de las funciones continuas para calcular:

(a)

2

0

5 dx

(b)

6

1(3) dx

(c)

5

23x dx

(d)

3

1(2x+ 1) dx

(e)

2

0

(x2 + x+ 1) dx

(f)

2

2

(x3 + x2 + x + 1) dx

(g)

2

0

(2x3 1) dx

(h)

b

a

x dx

(i)

b

a

x2 dx

(j)

b

a

x3 dx

(k)

b

a

x4 dx

2. Calcule la suma de RiemannN

k=1

f(xk)xk para el intervalo I, si:

(a) f(x) =x+ 2, I= [0, 4], N = 3, x1 = 1, x2 = 3, x1 = 1, x2 = 2, x

3 = 3

(b) f(x) =x2 + 3, I= [0, 1], N= 100, xk =xk = k/100


47/200

2.5 Otra propiedad de las funciones continuas 41

3. Pruebe que lmN

S(N) = b

af(x) dxpara:

(a) S(N) =N

k=1

k2

N2 3

N3 + k3, f(x) =x2/

1 + x3, [a, b] = [0, 1]

(b) S(N) = 3

N

N

k=1

2 + 3kN

3

, f(x) =x3, [a, b] = [2, 1]

4. Use los resultados del primer ejercicio, literales (h)(k) y las propiedades de la integral definidapara calcular:

(a)

2

1(x2 x+ 1) dx

(b)

3

0

(x4 + 9) dx

(c)

3

1(x3 + 1) dx

(d)

2

5(3x2 + x+ 2) dx

(e)

3

1

(x4 3x+ 1) dx

(f)

2

2(x2 + 1) dx+

3

2

(x2 + 1) dx

2.5 Otra propiedad de las funciones continuas

Lema 2.1

Seaf : [a, b] R una funcin continua. Seax0 [a, b[. Parah ]0, b x0]sea

fm(h) = mnx0xx0+h f(x), fM(h) = maxx0xx0+h f(x).

Entonces

lmh0+

fm(h) = lmh0+

fM(h) =f(x0)

Demostracin. Como f es continua en [a, b], entonces f es continua en x0 y, por lo tanto, f escontinua en x0 por la derecha. Entonces,

0 >0 0 > 0 tal que x0 < x < x0+ 0(0)b |f(x) f(x0)|< 0.

Es decir:x0< x < x0+ 0 f(x0) 0 < f(x)< f(x0) + 0.

Probemos que

(i) f(x0) = lmh0+

fm(h),

(ii) f(x0) = lmh0+

fM(h).

(i) Sea >0.Debemos hallar >0 tal que

0< h < |fm(h) f(x0)|< .

Basta tomar = 0(). En efecto, si 0< h < 0(), como fes continua en [x0, x0+ h], existexm[x0, x0+ h]tal que

f(xm) = mnx0xx0+h

f(x) =fm(h).

Pero entonces|xm x0|< h < 0(), por lo que

|fm(a) f(x0)|=|f(xm) f(x0)|< .


48/200


(ii) Es idntica la demostracin.

Nota: Anlogamente se demuestra que si fes continua en [a, b] y si x0 ]a, b] y parah ]0, x0 a]ponemos

fm(h) = mnx0hxx0 f(x), fM(h) = maxx0hxx0 f(x),

entonceslm

h0fm(h) = lm

h0fM(h) =f(x0).

Con ayuda de esta propiedad de las funciones continuas demostraremos el Teorema Fun-damental del Clculo para estas funciones.

2.6 El teorema fundamental del clculo

Hemos mencionado ya que calcular la integral definida de una funcin dada, salvo en el casode los polinomios de grado no muy elevado, es prcticamente imposible si solo se utiliza ladefinicin.

El Teorema Fundamental del Clculo que presentaremos ahora nos provee de una he-rramienta maravillosa para dicho clculo.

Consideramos una funcin continua f: [a, b] R. Podemos definir A : [a, b] Rpor

A(x) =

x

af(t) dt.

Para visualizar esta funcin, tengamos en cuenta que cuando para todo t[a, b], f(t)0,A(x) es el rea comprendida entre la grfica de fy las rectas t = a, t = x y el eje de lasabscisas.

f

A(x)

a x b t

El Teorema Fundamental del Clculo afirma que Aes una primitiva de f! Es decir que

A= f.

Teorema 2.5(Teorema Fundamental del Clculo I (TFC1))

Sif : [a, b] R es continua y si A(x) = xa f(t) dt, entoncesA = f. Es decir:A+(a) =f(a), A

(b) =f(b)

y para todox ]a, b[A(x) =f(x).

Demostracin. Basta probar que:

1. para todo x[a, b[, A+(x) =f(x), y2. para todo x]a, b], A(x) =f(x),

donde A+(x) es la derivada de A en x por la derecha y A(x) es la derivada de A en x por la

izquierda. Hagamos las demostraciones.


49/200

2.6 El teorema fundamental del clculo 43

1. Sea x[a, b[. Debemos probar que

f(x) = lmh0+

A(x + h) A(x)h

.

Sea h]0, b x].

A(x + h) =

x+h

a

f(t) dt

=

x

a

f(t) dt +

x+h

x

f(t) dt

=A(x) +

x+h

x

f(t) dt.

Por lo tanto:

A(x + h) A(x) =

x+h

x f(t) dt.

Seanfm(h) = mn

xtx+hf(t), fM(h) = max

xtx+hf(t)

(existen porquefes continua en [x, x + h]).Evidentemente

fm(h)f(t)fM(h) para todo t[x, x+ h].Integrando en [x, x+ h] se obtiene

x+h

x

fm(h) dt

x+h

x

f(t) dt

x+h

x

fM(h) dt,

de dondehfm(h)A(x + h) A(x) hfM(h).

Dividiendo para h:

fm(h) A(x + h) A(x)h

fM(h).Estas desigualdades son vlidas para todo h]0, b x]. Tomamos lm

h0+y gracias al lema 2.1

de la pgina 41, tenemos que:

lmh

0+fm(h) = lm

h

0+fM(h) =f(x),

de dondeA+(x) =f(x) para todo x[a, b[.

2. Anlogamente probamos que

A(x) = f(x) para todo x]a, b],

de donde A+(a) =f(a), A(b) =f(b) y

A(x) = f(x) para todo x]a, b[.

El teorema anterior tambin suele escribirse: si fes continua en un intervalo I, entonces

d

dx

x

af(t) dt= f(x) para todo x I.

El siguiente, equivalente, provee un mtodo de clculo de la integral definida.


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Calculo Integral ROJAS

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