Cálculo diferencial e integral de una variable 1 Integrales Clase 9.1.
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11
Cálculo diferencial e integral de una variable
Integrales
Clase 9.1
22
Cálculo diferencial e integral de una variable
33
Cálculo diferencial e integral de una variable
Supongamos que se conoce con que velocidad V(t) viaja un avión en cada instante de tiempo y se quiere encontrar el espacio recorrido en cada instante de tiempo (función de posición). Su posición inicial es S(0)= 9 m
643 2 tttV )(
44
Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición: Una función F se llama primitiva o antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.
Primitivas o Antiderivadas
55
Cálculo diferencial e integral de una variable
Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+ c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+ c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema
Si dos funciones P y Q son primitivas de una función f en un intervalo I entonces P(x) = Q(x) + C, (C constante) para todo x en I.
cxFdxxf
66
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.
2
2
2
( 1)
1
cos
sen
sec
1
11
1
n
x
x n
x
e
x
x
x
x
x
cxFdxxf
77
Cálculo diferencial e integral de una variable
Interpretación geométricaInterpretación geométrica
88
Cálculo diferencial e integral de una variable
Interpretación geométricaInterpretación geométrica
99
Cálculo diferencial e integral de una variable
Interpretación geométricaInterpretación geométrica
1010
Cálculo diferencial e integral de una variable
Problemas1. Una lancha de motor se aleja del muelle describiendo una trayectoria rectilínea, con una aceleración en el instante t, dada por
En el instante t = 0, la lancha tenia una velocidad de 8 m/s y se encontraba a 15 metros del muelle. Determinar la posición de la lancha S (t ) respecto al embarcadero al cabo de t segundos.2. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 1600 pies/seg. Despreciando la resistencia del aire, calcule su altura s (t ) en el instante t. ¿Cuál es su altura máxima?
1111
Cálculo diferencial e integral de una variable
Resolver: 11, 12, 18, 35, 60, 62, 65, 68.
Pág.. 356
1212
Cálculo diferencial e integral de una variable
ÁREAS
A2
A4
A3
A1
1313
Cálculo diferencial e integral de una variable
1414
Cálculo diferencial e integral de una variable
x
Definición 2: El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:
xxfxxfxxfAA nn
ii
n
...limlim 211
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/index.html
1515
Cálculo diferencial e integral de una variable
f continua definida .
Dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho
Elegimos las muestras x1*, x2
*,..., xn*
Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es:
bxa
n
abx
*
1
( ) lim ( )Δb n
i inia
f x dx f x x
Definición de Integral definida
1616
Cálculo diferencial e integral de una variable
Notas 1Leibniz introdujo el símbolo
b
a
dxxf )(
Integrando
Limite
Inferior
y superior
No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.
El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración.
1717
Cálculo diferencial e integral de una variable
Nota 2: La integral definida es un número.
Nota 3: Debido a que hemos supuesto que f es continua, se puede probar que el límite de la definición siempre existe y da el mismo valor sin importar cómo elijamos los puntos muestras.
Nota 4: Se llama suma Riemann,
en honor al matemático alemán y si f es positiva, esta suma se puede interpretar como un área.
*
1
( )Δn
i ii
f x x
1818
Cálculo diferencial e integral de una variable
Propiedades página 385
Nota 5: Aun cuando la mayoría de las funciones son continuas, el límite de la definición también existe si f tiene un número finito de discontinuidades removibles o por saltos (pero no discontinuidades infinitas).
1919
Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición:Sea f una función continua tal que:• f(x) 0 en [a, b] y• S={(x, y)/ a x b, 0 y f(x)}
Se denota por a(S) y se llama área bajo la curva y = f(x) al número dado por:
( ) ( )b
aa S f x dx
Propiedad 1
2020
Cálculo diferencial e integral de una variable
A partir del ejemplo anterior se tiene que:
)ab(hdxhb
a
que es el área de un rectángulo de alturah y longitud de base (b – a).
Propiedad 2
2121
Cálculo diferencial e integral de una variable
Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()())()((
Propiedad de linealidad
Propiedad 3
2222
Cálculo diferencial e integral de una variable
Si existen dos de las integrales siguientes, también existe la tercera y se tiene:
c
a
b
a
b
cdxxfdxxfdxxf )()()(
Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
Propiedad 4
2323
Cálculo diferencial e integral de una variable
La propiedad anterior es aplicadacuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua.
Ejemplo:Si
y se quiere hallar:
31 1 -
10 x )(
2
xx
xxf
3
0
1
0
3
1
2 )1()( dxxdxxdxxf
2424
Cálculo diferencial e integral de una variable
Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) f(x) para todo x [a, b], se tendrá:
b
a
b
a
dxxfdxxg )()(
Teorema de comparaciónPropiedad 5
2
0
2
0
32 sensen
dxxdxx
Demuestre que
2525
Cálculo diferencial e integral de una variable
Sin calcular la integral, estime entre qué valores se encuentra:
4
1dxx
Ejemplo
2626
Cálculo diferencial e integral de una variable
b
a
0 dxf(x) entonces
b,xa cuando 0,f(x) Si
b
a
a)-M(b dx f(x) a)-m(b
b,xa cuando M, f(x) m Si
Propiedad 6 y 7
2727
Cálculo diferencial e integral de una variable
DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces:
a
adxxf 01 )(.
b
a
a
bdxxfdxxf )()(.2
2828
Cálculo diferencial e integral de una variable
1° Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f una función continua en [a, b], y la función F(x) definida por:
( ) ( )x
aF x f t dt a x b
Entonces F(x) es derivable en [a, b] yF’(x) = f(x)
2929
Cálculo diferencial e integral de una variable
1. Determine la derivada con respecto a x de las funciones:
2
0) ( ) 1
xa g x t dt
Ejemplos
2. Aplique la regla de L’Hôpital para calcular:
x
dtt
ex t
x
0
0
1
lim
4
0
sec)x
dttb
3030
Cálculo diferencial e integral de una variable
2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función integrable en [a, b]y F una primitiva de f en [a, b], entonces:
Esta regla convierte al calculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de primitivas y evaluación.
( )( ) ( ) ( )bb
a aF xf x dx F b F a
3131
Cálculo diferencial e integral de una variable
Evaluar las integrales
01. (1 cos )x dx
3 3
03. x dx
1
202.
1
dt
t
Ejemplos
4. Hallar el área de la región que se muestra en la figura.
3232
Cálculo diferencial e integral de una variable
Regla de sustitución
Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, y f es continua sobre I, entonces:
duufdxxgxgf
dxxxe
xdxd
dxx
xc
dxxxb
dxxxa
25
2
43
2
1)
tan)
1
arctan)
2sen)
3)
Evaluar las siguientes integrales: