Calcul Stochastique Finance 07 L1

8/14/2019 Calcul Stochastique Finance 07 L1

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Introduction la modlisation stochastique en financeLe mouvement Brownien comme limite dune marche alatoire

Proprits du mouvement brownien

CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCEIMFSE, Dpartement de Mathmatiques Appliques

Nizar TOUZI

SEANCE 1: 25 septembre 2007

Nizar TOUZI Calcul stochastique & finance
http://find/http://goback/


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Outline

1 Introduction la modlisation stochastique en finance

2 Le mouvement Brownien comme limite dune marche alatoire

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Fig.: Wall Street, New York



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Fig.: London Stock Exchange, LondresNizar TOUZI Calcul stochastique & finance

I d i l dli i h i fi


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Fig.: Salles de marchs


I t d ti l dli ti t h ti fi


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Fig.: Evolution du NASDAQNizar TOUZI Calcul stochastique & finance

Introduction la modlisation stochastique en finance


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Outline



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Le modle binomial : march financier

On considre un march financier constitu- dun actif sans risque de rendement R0 = er sur chaque priode(r est le taux dintrt)- dun actif risqu de rendement R. Le modle binomial suppose que

P[R = u] = 1 P[R = d] = p o 0 < p < 1

Les acteurs du march peuvent faire des changes en ces deuxactifs toute date t = 0, . . . T (soit T + 1 priodes) sans

contraintes sur les volumes, sans cots de transaction, sans taxes... On notera pas St le prix de lactif risqu la date t, par dfinition

St = RSt1 = = RtS0




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Portefeuilles autofinancs

Allocation dynamique de la richesse :

- Richesse initiale X0 = x rpartie en

0S0 en actif risqu

X0 0S0 en actif sans risque- Richesse la date t : Xt rpartie en

tSt en actif risqu

Xt tSt en actif sans risque

- Valeur de la richesse la date t + 1 :

Xt+1 = tSt+1 + (Xt

tSt) R0




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Portefeuilles autofinancs - suite

On calcule alors simplement que :

Xt

R0t= X0 +

tk=1

k1

Sk

R0k Sk1

R0k1




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In od c on l modl on oc q e en n nceLe mouvement Brownien comme limite dune marche alatoire


Portefeuilles et structure dinformation

La valeur de la richesse :

Xt

R0t= X0 +

t

k=1k1

Sk

R0k Sk1

R0k1

est connue la date t La dcision dinvestissement est base sur linformation disponible la date dinvestissement

Mathmatiquement la structure de linformation est dfinie par la

donne dune suite croissante de algbres (Ft)0tT, etles variables alatoires t, Xt sont Ft mesurables




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qLe mouvement Brownien comme limite dune marche alatoire


Valeur actualise, choix de numraire

Les valeurs actualises de la richesse et des cours de lactif risqu :

Xt :=Xt

R0tet St :=

St

R0t

i.e. valeur exprime en termes de nombre dunits dactif sans risque sapplique toute variable reprsentant un montant financier En termes de valeurs actualise, la richesse sexprime simplement

Xt = X0 +

tk=1

k1

Sk Sk1




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Le mouvement Brownien comme limite dune marche alatoireProprits du mouvement brownien

Valeur actualise, choix de numraire - suite

On peut aussi utiliser un autre actif de rference de prixS0t0tT :

Xt

S0t,

St

S0t

Un tel actif est alors appel numraire




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Extension : taux dintrt stochastique, multi-actifs

Le rendement R0

t

= ert sur la priode [t

1, t] peut varier demanire alatoire. Comme il est rattach un actif sans risque

R0t est une variable alatoire Ft1 mesurableOn dit que (Rt)1tT est un processus prvisible

Les valeurs actualises sont alors dfinies par

Xt =Xt

R01 R0t

et St =St

R01 R0t

Si le march contient d actifs risqus, la richesse se gnralise

Xt = X0 +t

k=1

k1

Sk Sk1

o les processus et S sont maintenant valeurs dansRd


Introduction la modlisation stochastique en financeL B i li i d h l i


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Outline



3 Proprits du mouvement brownien


Introduction la modlisation stochastique en financeL t B i li it d h l t i


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Les grands thormes en probabilit

Loi des grands nombres (LGN) Soit (Ui)i1 une suite devariables alatoires relles indpendantes et de mme loi (iid)intgrables ou positives. Alors

1

n

ni=1

Ui E[U1] P p.s.

Thorme de la limite centrale (TCL) Soit (Ui)i1 une suitede variables alatoires relles iid et de carr intgrable. Alors

n

1

n

ni=1

Ui E[U1]

N (0,Var[U1]) en loi




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Le mouvement Brownien comme limite d une marche alatoireProprits du mouvement brownien

Les gaussiennes

X est distribu suivant N(0, 1) siP [X [x, x + dx]] = 1

2exp

x22

dx

X est distribu suivant N(m, 2) siX

m

est distribu suivantN(0, 1) Une variable alatoire X valeurs dans Rn est un vecteurgaussien si a.X est une gaussienne pour tout a Rn

Soit X valeur dansRn

un vecteur gaussienN

(m, V), a Rp

etb MR(p, n) de rang p. Alors

a + bX est distribu suivant N

a + bm , bVbT




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Les gaussiennes - suite

Transforme de Laplace dun vecteur gaussien X suivant N(m, V)

E eX = em+ 12TV(caractrise une gaussienne) Soit (Xn)n1 une suite de gaussiennes qui converge en loi versune variable alatoire X. Alors X est une gaussienne

Lensemble G des variables alatoires gaussiennes, muni du

produit scalaire X, Y = E[XY], est un espace de Hilbert




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Limite en temps continu du modle binomial

Le temps continu est une modlisation plus riche qui inclut le

temps discret, puisquil suffit de se restreindre des stratgiesdiscrtes... Que devient ce modle trs simple si le pas de temps tend verszro ? i.e. dates de transaction ti = i

Tn

, i = 0, . . . , n

On dfinit Yi := 1I{Sti=uSti1} 1I{Sti=dSti1} pour i = 1, . . . , n,alors

lnST

S0=

n

2ln (ud) + ln

ud

ni=1

Yi o Yi iid 12

(1 + 1)

Thorme de la limite centrale = ln ud Cn1/2 etln (ud) = O

n1

(ici, on a suppos p = 1/2)

Typiquement, si r est le taux dintrt par priode unitaire

u = erT

n+

qTn et d = e

rTn

qTn




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Marche alatoire symtrique change dchelle

Fixons p = 1

2, les variables alatoires Yi, i = 1, . . . , n, sont

indpendantes de mme loi P[Yi = 1] = 1 P[Yi = 1] = 12 M0 = 0 et pour tk := kn , Stk =

kj=1 Yj, k = 1, . . . , n :

marche alatoire = On tend t 0 par interpollation linaire,et on dfinit

Mnt := 1n Snt , t 0

Mnt Mntk et Mntj Mnti indpendants, 0 i j k n E[Mntk Mnti] = 0 et Var[Mntk Mnti] = tk ti , 0 i k Proprit de martingale :

Ei[Mntk

] = Mnti , 0 i k Variation quadratique :

[Mn, Mn]tk = kj=1 Mntj

Mntj12

= tk




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Limite en temps continu de la marche alatoire symtrique

On dfinitMnt pour tout t

[0, 1] par interpolation linaire

Daprs le thorme de la limite centrale : Mnt N(0, t) en loi. En utilisant un thorme de la limite centrale fonctionnel, onobtient la convergence de la suite de processus {Mnt , t [0, 1]} versle ... mouvement Brownien (Thorme de Donsker)




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De la marche alatoire au brownien




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Le mouvement brownien

T = R+ ou [0, T] Un processus valeurs dans Rn est une application de T dans Rn

Si X est un processus, X(., ) est une trajectoire correspondant

ltat du monde Dfinition W : (t, ) T W(t, ) R est unmouvement brownien standard si W0 = 0 et W est trajectoires continues p.s. W est accroissements indpendants : Wt4 Wt3 et Wt2 Wt1indpendants si 0 t1 t2 t3 t4 Wt+h Wt est distribu suivant N(0, h) pour t > s 0



i d i


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Distribution marginale du mouvement brownien

Par dfinition Wt est distribu suivant N(0, t) :

P [Wt [x, x + dx]] = 12t

ex2/2t

vrifie lquation de la chaleur ! !

Fig.: Une trajectoire brownienne et les courbes 1.96t



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P it d t b i


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Brve histoire du mouvement brownien (suite)

Louis Bachelier (1870-1946) a soutenu en 1900 la Sorbonne,

sous la direction de Henri Poincar, une thse intitule

Thorie de la spculation

Il introduit le mouvement brownien et jette les bases de la finance





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Brve histoire du mouvement brownien (suite)

Norbert Wiener (1894-1964) a donn en 1923 une constructionrigoureuse du mouvement brownien, et produit de nombreusespublications en thorie du signal et des tlcommunications

Paul Lvy, X1904 (1886-1971), Professeur a lX, dveloppe ltude

mathmatique du mouvement brownien et montre des propritssurprenantes de non diffrentiabilit, de grandes oscillations... Kyioshi It (1915-) dveloppe le calcul diffrentiel stochastique,les quations diffrentielles stochastiques et les processus de

diffusion Dveloppement considrable en France, notamment en liaisonavec la thorie des martingales J.L. Doob, P.A. Meyer





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Mouvement brownien et finance

Louis Bachelier a t le premier introduire le mouvementbrownien dans la modlisation mathmatique en finance, mais sestravaux nont pas eu le succs mrit... Fisher Black, Myron Scholes, et Robert Merton (Prix NobeldEconomie 1997) ont crit les articles fondateurs entre 1969 et1973 de la thrie moderne de la finance mathmatique. Ils ontintroduit la thorie de lvaluation par arbitrage et de gestion de

portefeuille.





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Intgration stochastique et finance

Rappelons que la valeur actualise dun portefeuille est

Xt = X0 +t

k=1

k1

Sk Sk1

Si on veut dfinir ce processus en temps continu, on doit tre

capable de passer la limite quand le pas de temps tend vers zro.Si tout se passe bien, on sattend obtenir

Xt = X0 +

t0

u dSt (intgrale stochastique)

Ce passage la limite nest pas trivial car la variation totale

limn

kj=1

Mtj Mtj1

=1

nn !





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3 Proprits du mouvement brownien





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p

Premires proprits du mouvement brownien

Fonction de covariance :

Cov (Wt,Ws) = E [WtWs] = t s = min{t, s} Proprit de martingale : avec Fs := (Wu, u s),

E [Wt

|Fs] = Ws pour 0

s

t

E W2t |Fs W2s , s t, et W2t t, t 0 est martingale. Avec ti := i tn , (p.s.-) limn

nj=1

Wtj Wtj1

2

= t (LGN)

- Nous verrons que cette limite ne dpend pas du choix de lasubdivision de [0, t], et quelle dfinit la variation quadratique- Pour f : R+ R de classe C1, on alimn

n

j=1(f(tj) f(tj1))2 = 0...





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p

Premires proprits du mouvement brownien

Soit W = {Wt, t 0} un mouvement brownien. Alors Symtrie : W est un MB

Proprit dchelle (scaling) : pour tout c > 0,

Wct := 1cWc2t, t 0 est un MB Retournement du temps : pour tout T > 0,

WTt := WT Wt, t [0, T]

est un MB

Inversion du temps : Wt := tW1/t, t > 0, W0 = 0 est un MB

(continuit en zro !)





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Trajectoires du mouvement Brownien

A linfini : Loi des grands nombres

Wt

t 0 p.s. quand t

En zro : Loi du logarithme itr

lim supt0

Wt2tlnln 1

t

= 1 et lim inf t0

Wt2tlnln 1

t

= 1 p.s.

Non diffrentiabilit nulle part : pour tout t 0 :

lim suph0

Wt+h

Wt

h = + et lim inft0Wt+h

Wt

h = p.s. La trajectoire du mouvement brownien est localementhlderienne pour tout 0 < < 1

2, nulle part hlderienne pour

tout > 12





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Temps darrt

On utilise pour linstant comme filtration Ft := (Ws, s t)Dfinition Un temps darrt est une v.a. U valeurs dansR+ {+} telle que {U t} Ft pour tout t 0Exemple Premier temps de passage du brownien par le niveau 1

(surtout pas dernier temps de passage par 1 avant une maturitdonne) Si U, V sont des temps darrt et a R+,

U V, U V, U + V sont des temps darrt mais U

a nest pas un temps darrt

Dfinition Pour un temps darrt U,FU := {A : A {U t} Ft}





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Proprit de Markov forte

Dfinition Soit W un MB et X0 une v.a. indpendante de W. Leprocessus {Xt := X0 + Wt, t T} est appel MB issu de X0Proposition Soit U un temps darrt. Le processus{Wt+U, t 0} est un mouvement brownien independant issu deWU Proprit de Markov forte Comme consquence de cetteproposition, tant donns deux temps darrt 0 U V et unefonction borlienne borne f : Rn R,

E [f(WV

)|FU

] = E [f(WU

+ (WV

WU

))|FU

]

= E [E {f(WU + (WV WU)) |WU} |FU]= E {f(WU + (WV WU)) |WU}





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Principe de rflexion (ou de symtrie)

Ty := inf{t : Wt y} : 1er

temps de passage au dessus de y Premire remarque : Ty t suput

Wu y

Deuxime remarque : WTy +

Wt+Ty WTy d

=WTy Wt+Ty WTy= Loi du maximum courant / du temps de passage :

P

suput

Wu y

= P [Ty t] = P [|Wt| y]

= Loi du brownien et de son maximum courant :P

WT x , sup

utWu y

= P [WT 2y x]


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