Calcul stocastic aplicat in inginerie financiaracdn4.libris.ro/userdocspdf/762/Calcul stocastic...

15

Transcript of Calcul stocastic aplicat in inginerie financiaracdn4.libris.ro/userdocspdf/762/Calcul stocastic...

Bogdan NEGREA Virgil DAMIAN

Calcul stocasticaplicat in inginerie financiard

ng?taff**'

Cuprins

Elemente de Analizd clasicd

l.lCalcululdiferenlial . . . :

1.1.1 Funclii de o singurd variabil5

1.1.2 Functii de mai multe variabile

1.1.3 Serii Taylor

1.2 Calculul integral

1.2.1 Integrala Riemann

t.2.2Integrala dubld,

1.3 ThansformS,ri funclionale

1.3.1 tansformata Laplace

1.3.2 Transformata Fourier

1.3.3 Convolulii .

l.4 Exemple, exercigii propuse

Mdsur5 qi probabilitate 75

2.1 Spalii m5surabile qi mdsuri 75

2.1.1 Spatii qi funclii mdsurabile 75

2.L.2 Corytl borelian produs 79

2.1.3 Mdsura 80

2.1.4 Integrala Lebesgue

2.1.5 Teorema Radon-Nikodym 85

2.1.6 Teorema lui tr\rbini 86

l_3

13

14

1B

24

27

27

30

{).f

34

44

50

52

2.2 Teoria probabilitdtilor. GeneralitXli B8

2.3 Variabile aleatoare

2.3.1 Definilia variabilei aleatoare

2.3.2 o-algebra generatS, de o variabild, aleatoare

2.3.3 Repartilii. Funclii de repartilie . .

2.3.4 Cuantilele unei variabile aleatoare

2.3.5 F\rnclii de variabile aleatoare

2.3.6 Independenta variabilelor aleatoare

2.3.7 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

2.3.8 Convergenta qirurilor de variabile aleatoare

2.3.9 Functia generatoare de momente

2.3.10 Funclia caracteristic5, .

Mediacondilionatd...

ProbabilitS,ti echivalente

Exemple, exercilii propuse

CUPRINS

100

1L2

115

t77

L27

133

137

B9

90

92

93

97

98

r00

2.4

2.5

2.6

Procese stocastice 155

3.1 Procese Markov 160

3.2 Martingale

3.3 Miqcarea browniand . . .

3.3.1 Definilie, proprietdli generale

3.3.2 Miqcarea browniand generalizatd

3.3.3 Martingale asociate miqcdrii browniene

3.4 Integrala stocasticd . . .

3.4.1 Integrala stocastic5, Itd

3.4.2 Integrala stocasticd Stratonovich

3.5 Procese It6. Formula lui Itd

3.5.1 Covarialia pdtraticd

3.5.2 Formula Leibniz-Newton pentru integrala Stratonovich .

3.6 Schimbarea de probabilitate

3.6. 1 Introducere, generalit5li

3.6.2 Teorema Girsanov

3.6.3 Necesitatea teoremei in evaluarea activelor financiare

165

167

169

173

174

t75

176

182

185

188

L92

193

L94

195

197

CUPRINS

3.7 Exemple, exercitii propuse 20L

Ecualii diferenliale qi cu derivate parliale 22g

4.1 Ecualii diferenliale ordinare 22g

4.1.1 Ecualii cu variabile separabile . 230

4.L.2 Ecualii diferenliale liniare de ordinul intd,i . 231

4.1.3 Ecuatii diferentiale afine de ordinul intA,i . 237

4.I.ABcua\ii diferentiale de tip Bernoulli 233

4.1.5 Ecuatii diferenliale de tip Riccati 234

4.1.6 Ecualii diferenliale liniare de ordinul n . . 235

4.1.7 Exemple, exercilii propuse 237

4.2 Ecualii diferentiale stocastice 239

4.2.I Context general 239

4.2.2 Ecua\ii diferenliale stocastice afine 240

4.2.3 Solulia generalS a ecualiei afine . 242

4.2.4 O alt5, metodd de rezolvare a EDS 244

4.2.5 Un caz particular: exponentiala stocastic5 245

4.2.6 Rezolvarea ecualiilor stocastice Itd folosind

calculul stocastic Stratonovich 249

4.2.7 Exemple, exercilii propuse 254

4.3 Ecualii cu derivate parliale 283

4.3.1 Rezolvarea ecualiei cS,ldurii 284

4.3.2 Teorema de reprezentare Feynman-Kad

4.3.3 Exemple, exercilii propuse 292

Metodologia

financiare

Black-Scholes-Merton privind evaluarea activelor

289

5.1 Opliunile qi proprietdlile acestora

5.1.1 Definitii . .

5.1.2 Evaluarea optiunilor qi arbitrajul

5.1.3 Paritatea call-put pentru optiunile europene

5.1.4 Limita superioard qi inferioard a prelului unei opliuni

5.1.5 Factori care determinS, valoarea unei op{iuni . . . .

311

311

311

3t7

320

321

325

CUPRINS

5.2 Evaluarea derivativelor europene

5.2. 1 Dinamica prelurilor in metodologia Black-Scholes-Merton

5.2.2 Eua\ia de evaluare

5.2.3 O metodd alternativd de evaluare

6.1.3 Procese Poisson neomogene

6.1.4 Procese Poisson compuse

6.2 Modelul Merton de evaluare

6.2.1 Calculul speranlei matematice

6.2.2 Evaluarea derivativelor pentru procese cu salturi6.2.3 Teorema Feynman-Kad pentru difuzii cu salturi6.2.4 Formula Merton pentru opliunea col/ europeand,

6.3 Exemple, exercilii propuse

Calcul stocastic multidimensional7.1 Vectori aleatori bidimensionali

325

326

327

331

5.3 Modelul Black-Scholes JJz5.3.1 Formula de evaluare $35.3.2 Portofolii autofinanlate 940

5.3.3 Sensitivitatea prelului 343

5.3.4 Evaluarea obligaliunilor corporatiste: modelul Merton g4g

5.3.5 Cazul parametrilor variabili in timp5.4 Volatilitate local5 855

5.5 Exemple, exercitii propuse B5g

6 Model de evaluare cu proces de difuzie cu salturi 40r

402

402

407

41L

4r2

414

416

427

429

43I

433

435

438

439

440

453

453

453

6.1 Generalitdti privind calculul stocastic

6.1.1 Procesul Poisson

6.1.2 Calcul stocastic asociat proceselor Poisson

6.1.5 Integrale stocastice in raport cu procese poisson

6.1.6 Formula lui Itd pentru procese cu salturi

6.1.7 Schimbarea de probabilitate

6.1.8 Ecuatii diferenliale stocastice pentru procese cu salturi .

7.1.1 Dependenta a doud variabile aleatoare

CUPRINS

7.1.2 Distribulii conditionate qi medii condilionate

7.1.3 F\rnclii de vectori aleatori bidimensionali .

7.1.4 Suma variabilelor aleatoare

7. 1.5 Distribulia normal5 multivariatX

7.1.6 Exemple, exercitii propuse

7.2 Calcul stocastic vectorial

459

460

462

463

468

474

7.2.1 Migcarea browniand n-dimensionalS 474

7.2.2Formlla lui ItO pentru procese vectoriale 426

7.2.3 Schimbarea de probabilitate . 481

7.2.4 Sisteme de ecualii diferenliale stocastice

7.2.5 Teorema de reprezentare Feynman-Kad

7.2.6 Metodologia Black-Scholes in cazul a n active 490

7.2.7 Exemple, exercilii propuse 4gJ

7.3 Procese Bessel 518

7.3.1 Ecualia lui Bessel. Functii Bessel

7.3.2 Context general

7.3.3 Definilia general5

7.3.4 Absolut continuitatea

7.3.5 Proprietdti ale proceselor Bessel

7.3.6 Procesul Ornstein-Uhlenbeck-pdtrat radial 533

7.3.7 Procesul Cox-Ingersoll-Ross 5BB

7.3.8 Procesul cu elasticitate constantS, a varianlei 535

7.3.9 Exemple, exercitii propuse 540

7.4 Volatilitate stocasticd b50

7.4.1 ModeIuI Heston 5b3

7.4.2 Schimbarea numerarului b60

7.4.3 Modelul Heston ca proces bivariat bO8

7.4.4 Exemple, exercilii propuse bT2

Evaluarea instrumentelor

8.1 Modelarea dinamicii ratei

8.1.1 Modele cu revenire

fi.nanciare cu venit fixde dobAndd

482

490

519

520

523

525

530

591

593

593la medie

10 CUPRINS

8.1.2 Modele cu elasticitate constantS, a varianlei bg4

8.1.3 Modele afine bg5

8.2 Obligatiuni zero-cupon . 596

8.2.1 Ecualia de evaluare a unei obligatiuni zero-cupon 596

8.2.2 Teoria martingalelor ln modelele pe termen scurt 598

8.3 Ratele forward .000

8.4 Modelul Heath-Jarrow-Morton 601

8.4.1 Generalitdti G02

8.4.2 Universul neutru la risc : . . r 605

8.4.3 Evaluarea instrumentelor financiare pe rata dobA,nzii 608

8.5 Modele gaussiene 613

8.5.1 Prelurileforward ...1 6L4

8.5.2 Mdsura forward neutrd 61b

8.5.3 Evaluarea opliunilor call emise pe obligaliuni zero-cupon 618

8.6 Exemple, exercilii propuse 620

Capitolul 1

Elemente de Analizd clasic5

Intrucdt spaliul qi scopul acestei Iucrdri nu ne permite o abordare constructivistd

a Analizei matematice, ne vom rezuma la a (re)aminti rezultatele fundamentale

ce sunt necesare studiului riguros al eualuh,ri,i,'instrumentelor financi,are.

1.1 Calculul diferentialMd,rimile fi.zice se schimbd cu timpul (variaz5, in timp). O asemenea mS,rime

fizicd se descrie in matematicS. printr-o funclie / (l), unde argumentul t semnificd

timpul, iar valorile / (t) ale funcliei reprezintd mdsura m5rimii respective, la

momentele t. Dupd, expresia profesorului Whiteheadl, calculul diferenlial este

studi,ul si,stemati,c aI ui,tezelor de creEtere a func{i,i,Ior. Exemple in acest sens se pot

formula, dup5 cum urmeazS,: u'iteza tn m'iEcarea rect'ilini,e este deriuata spafi,ului,

tn raport cu t'impul, accelerafia tn miqcarea recti,Iini,e este deri,uata ai,tezei, tn raport

cu ti,mpul, debi.tul unui,li,chid este deriuata canti.tb,{i,i, de li,chi,d tn raport cu ti,mpul,

i.ntens'itatea curentulu'i electri,c este derr,aata canti,td[ii de electri,ci,tate tn raport cu

timpul. ins5,, nu doar dependenla unei m5rimi fizice in raport cu timpul poate

lAifred North Whitehead (1861-1947), matematician qi filosof britanic.

13

t4 Elemente de Analiz5 clasic5

fi cuantificatS, printr-o func[i,e. De exemplt) costul total (al producliei) este

interpretat ca fiind o func[i,e in raport at canti,tatea produs5. Derivata acestei

functii se numeqte cost marg'inal al productiei qi mXsoard (in unit5,!i absolute) cu

cAt se modificd costurile atunci cdnd productia unui bun cregte cu o unitate (in

general, infinitezimal5). in Finanle, astfel de indicatori se numesc sensi,ti,uztb,[i,.

1.1.1 F\rnctii de o singurd variabil5

itrcepem abordarea calculului diferenlial prin recapitularea noliunilor funda-

mentale studiate in cadrul oricS,rui curs general de Analizd matematicS,.

1.1.1.1 Continuitate gi derivabilitate

Considerdm un interval nedegenerat2 al axei reale D C iR. Se spune cd funclia

.f : D -- IR. este deri,aabild, tn punctul rs e D, dacd, raportul:

R@) rys f(")-f@o) (1.1)r-roare, in punctul 16, limitX finitX. Se spune c5, functia f : D ---+ IR este deri,uabild,

pe o subrnulfirne A I D dacd, este derivabil5 in fiecare punct din A. Dac5,

raportul fi (r) are limitele la dreapta qi la stA,nga lui rs egale gi finite, atunci se

spune cd funclia f are deri,uatd, tn punctul rs.

Deri,uata functiei f : D --- lR in punctul rs este, prin definilie,

f(r)*f@o) (r.2)f'(*o) B' ti*,+to r-ro

DacS fiec5,rui punct ro € D facem s5,-i corespundd numdruJ f'(rs), se obline o

functie definit5, pe D, care se noteaz[" // qi care se numeqte funclia deri.uatd, a

funcliei f . Dacd" existd, aceasta comport5 urmdtoarea formul5 de calcul:

f(r+h)- f(")/'(") : ;To(1 .3)

Observalia L.L Deri,uabi,li,tatea Ei d,eri,uata f' (*o) sunt, respecti,u aspectul cali,-

tati,u Ei, canti,tati.u al acelezaEi, nofi,uni,. Pentru a putea calcula deriuata f ' (ro),

trebui.e sk ne as'igurkm ma'i Ant6,i, cb, ea eristh, adi,cb, trebui,e uerzficat dacb" func[iaeste deri,uabr,lk 0n punctul rs.

2 nevid

Elemente de Analiz5 clasic5

Derivata f' (ro) se mai noteazd adesea prin:

(f' (r)),:,o dflsau.ldr lr:ro

Dacd se considerd curba A : f (r), se mai folosesc notaliile:

a' : f' (*) sau #: # sar y'*: f' (r) .

[.f , ,l' f' (") g (") - f @) s' @)

ft ("rl :

st Gi

15

(1.4)

(1.5)

Teorema L,L Deri,uata unei funcli,i, f , D e IR * R, dacd, eristk, are urmb,-

toarele propri,eth,fii, uzuale :

(a) dacb, f (") = a, unde a este o constant6,, atunc,i f' (r) :0;(b) dacd, g: D C n -+ IR, atunc'i:

l@f +bs) @)l' - af' (r) +bs' (r) ,

unde a Ei, b sunt constante reale;

(c) dacb, g I D g* -- IR, atunc'i:

(1.6)

lff.g) (r)l': f'(r).s(r)+ f (").g'(r); (1.7)

(d) dacd, g I D gn --.+ IR, astfel tncd,t g (r) I 0, pentru orice r € D, atunc,i:

(1.8)

Teorema 1,2 Fi,e D Ei, E 'interuale nedegenerate ale arei, realeR, rs e D, ao € E

Eif D--Eofunc[iebdjecti,ud,3,deri,uabilktnpunctulrs,astfeltncd,tys:f@o)

Ci f' (rd I 0. Dacd, func[i,a 'inuersk f-' t E '--+ D este cont'inukL tn Ao, atunc'i

30funclieg:DCIR+EClRsenumegtei,njectia6,dacd,pentruoricerl,rz€DaleqiastfelincA,t rt I x:2, rezultd g@L) +,p(rz). O funclie g: D C lR + E C lRsenumegtesurjecti,ud, dacd pentru orice y € E existd (cel putin) un a € D, astfel inc6,t gr : g@). Ofunclie g : D C lR -+ E C lR se numeqte bijectiad. dacd este, simuitan, injectivd, qi surjectivS,echivalent cu formaiizarea matematicd:

(V) ge E, (=!) r€Dastfelinc6,tgr:p@).

aO functrie g: D C IR + IR. se numegte cont'i,nud, tn punctul fio € D dacd, lim /(z) :/("0). O funclie continudin orice punct 16 € D se numegte continud, (pe D).

16

e& este deriaabilb, tn punctul lJo Q,i aaern:

Elemente de Analiz5 clasic5

(1.12)

(1.e)

Dacx / este o funclie derivabil5 qi derivata sd, f', este, ra randul sd,u, o funcliederivabil5, atunci se spune cd funclia / este de d,oub, ori d,eriuabil6,, iar derivatalui // se numeqte d,eri,uata de ordinul aI d,o,i,Iea a lui / qi se noteazl: f, sau

f@. in general, / este d,eri,uabild, d,e n ori dacd / este derivabild, de (n - 1) oriqi derivata de ordinul n - 1 este o funclie derivabild. Derivata derivatei de ordinuln- 1se numeqte deri,aata d,e ord,inul n alur / qi se noteazd,f("). DacX, inplus, /(n) este o funclie continuS, atunci se spune cd" funcfia f ore d,eri,aatade ordinul n contintrd (sau cd, este de clasd, C).

Derivatele de ordin superior pentru un produs de funclii / qi g sunt:

Iff.g)(r)ltz) : 7@ @).g(r) +2.f'(*).g'(") + f (r). s(z) (r);(1.10)

lff . d(r)l(s) : y(s) (z) . g(r) +J. f@ (r). g, (*)

+3. f, (d . s(z) @) + f (r) . s(z) @) etc. (1.11)

Formula generald (Leibnizs), ce poate fi. demonstratx prin metoda induclieimatematice, este datd in urmS,toarea teoremd,.

Teorema 1.3 (formula lui Leibniz) Dacd, f qi, g sunt func[i,i, d,eriuabi,le de nori, atunc'i h: f ' g este o func[i,e deriuabi,tk de n ori Ei, este uerificatb, rela{i,a:

6tn) @): t Ck . f(n-k) @) . s(k) @) ,

k:0

unde notafi,a Cf reprezintd combi,nb"ri, d,e n luate cd,te k q,i are formula d,e calculrtk

- nl.vn - tttTr,-k)r.'

5Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (1646-1716), filosof qi matematician german, unuldin intemeietorii iluminismului german. AISturi de Isaac Newton, Leibniz este considerat fonda-torul Anali,zei, matemat'ice moderne.

Elemente de Analiz5 clasicS

1.1.L.2 Diferen{iala

Fie / o funclie derivabil5 pe un interval D qi rs un punct din D; fie f, (ro)derivata lui / in punctul ro, f' (16) definitx prin relalia (1.2). Dacd, se noteazd:

t7

(1. 13)

(1.14)

atunci:

q]:

f(")-f@o)r-ro

I+IO

: f' (ro) - a (r) (, * *o)

r+no f - fOlim o (r) : f' (ro)- lim f @) - f ("o) : o. ( 1.15)

Deoarece JiT * (r) : 0, rezultd cd, pentru valori ale lui r suficient de apropiate:x+Iode 16, se poate realiza ca a(r) sd fie c6,t de mic dorim; deci, pentru astfel de

valori ale lui z, raportul f @)- [(r0) este aproximativ egal cu f,(ro). Aqadar,r-ro

f (") - f ("0) * f'(ro) (" - ro), pentru r ---+ tro. (1.16)

Dacd se noteazd fr - ro: h, atunci tr : tro * h; relalia precedentd se scrie astfel:

f (*o + h) - f (ro) - f' (ro) h, pentru x) ---+ rlt (1.17)

qi exprimd faptul c5, pentru creqteri h suficient de mici ale argumentului, de la

rs la rs * h, creqterea corespunz5toare f ("o + h) - f (ro) u funcliei poate fi

aproximatd cu produsul f'(ro) h, considerat ca func{ie in raport cu argumentul

h. Evident, cu c6,t creqterea h este mai mic5,, cu atAt f' (ro) h este mai apropiat

de f (rs + h) - f (*o), deci eroarea comisd in aproximalie este cu atat mai mic5.

Definilia L.I Func[i,a f' (ro) h se numeqte d,iferenliala func{iei f tn punctulxo €'i se noteazd df (rd, df ("d @-' f ' @d h.

Diferenliala funcliei / intr-un punct oarecare r € D se scrie d,f (r) - f,(*)h.Diferen[i,ala func{i,ei,'identi,ce p(r): r, d(r), este egald cu cregterea h (justi,-

ficati!) a argumentului. in loc de d (r) se obignuiegte sd se scrie, mai simplu,

dr: dr : h. in loc de d,i,feren[i.ata func[i,ei, ,id,ent,ice, dr se numeqte, mai simplu,

diferentiala argurnentului, sau uariafia i,nfinitezimald, a &rgunlentului.

18 Elemente de Analiz5 clasic5

Rezult5,, aqadar, df (") : f' (n) dr. Fdc6,nd raportul dintre diferenliala lui / qi

diferentiala argumentului, se obline:

df(r) _f'(")h _ rt,.\d* - h -I\r). (1.18)

L.L.2 F\rnctii de mai multe variabile

Ne propunem, in aceastd secliune, prezentarea elementelor de calcul dife-

renlial pentru funclii de mai multe variabile.

L.I.2.l Spatiul JR.'

in acest sens, pentru inceput, enumerdm caracteristi clle algebri,ce ale spaliului

IR'. Prin definitie,

R' : {x : (rt,...,rn): 14 € IR, 1 < i, < n} . (1.le)

in acest context, frr, ..., zn se numesc cornponente ale aectorului x. Dac5, xqi y sunt vectori ai spaliului IR', atunci x : y dac5, qi numai dacd" ri: gi, pentru

orice i € {1,..., n}. Adunareo vectorilor este definitd, natural, pe componente;

astfel, dacd x, y € R', atunci:

x+y: (rr+ar,...,rn+an). (1.20)

Dacd o € IR. gi x € IRn, se defineqte tnmulfirea aectori,Ior cu scalari (notatd

cu .) de asemenea, pe componente:

A.x : (**t,...,ctrn) . (1.21)

Spaliul R', pe care s-au definit aceste doud operalii, formeazd, un spafiu aec-

torial n*dirnensional real. Din relalia (1.20), pentru X: y, rezult5:

x - y : (0, ...,0) E' 0n", (r.22)

unde 0p' se numeqte originea spaliului vectorial IR.,. Fiind dali scalarii al, ...,a?n € IR gi vectorii Xlr ... r x- € IRn, se numegte combi,nafie li,niard, a vectorilor

Elemente de AnalizS clasicS

x.r cu scalarii a1 vectorul:

19

TN

" "g t ai.xi € IRn.

i':1(1.23)

(1.25)

o submultime w C IRz se numeqte subspafiu aectorial dacd,, pentru orice doi

vectori x,y € IRn gi orice doi scalari a,13 € lR, are loc a.x+ p.y €W.Fie W C IRn un subspaliu vectorial. O mullime de vectori M : {*r,...,x,,}

se numeqte sistem de generatori al subspaliului W dacd" W este mullimea

tuturor combinaliilor Iiniare posibile ale vectorilor x;, adicd dacd.:

(1.24)

Mullimea,AZ se numegte liniar independentd, dac{" oricare ar fi scalarii a6, clr.

I < i < m) are loc implicalia:

* : {Z.,i.xi

,, € R} E rru).

Dacd" M este un sistem de generatori liniar independent al (sub)spaliului vectorial

W, atunci M se numeqte bazd, a lui W. Vectorii er : (1,0,0,...,0), ez :(0, 1, 0, ..., 0), ..., e, : (0, 0, ..., 0, 1) formeazd o bazd" a spaliului IR', numitd baza

canonicd, a spaliului vectorial IR.z. Fiecare vector ei are n componente.

i*r'xi :> ai :0.i:t

D,"? € IR+.i,:t

Se observX trivial cX, dac5, n:7, se obline modulul unui numdr real.

Dacd x,y € R', se defineqte prod,usul lor scalar prin x .y"g D::rr&r €

R.. ,AIorrno unui vector x € IRz se defineqte prin:

,, ,, not. def .

llxll : x'x = (1.26)