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CALCUL MENTAL

CYCLES 2 & 3 Formations départementales 2016-2017

MC Croset ESPE Grenoble E. Touchard CPD math-sciences

1

Objectifs de la formation

• Partager un vocabulaire commun

• Identifier les enjeux du calcul mental

• Vivre et analyse une séance de calcul mental

• Concevoir son enseignement : démarches & outils pour la

classe

• Partager sa pratique et s’approprier des ressources

2

Plan

• 1 Définir les différents types de calcul

• 2. Construire une séance de calcul mental

vivre et analyser une séance

• 3. Construire une séquence de calcul mental

apports théoriques et élaboration pratique

• 4. Concevoir son enseignement

s’appuyer une programmation annuelle

3

Affirmations Vrai ou Faux à votre avis ? 1.Le calcul mental s'appuie uniquement sur la mémoire.

2.Lors de séances de calcul mental, seul le résultat peut

être écrit.

3.Le calcul mental, par exemple de 15 x 4 ou 75 : 5, permet

également de travailler les propriétés des opérations.

4.Le calcul mental permet de préparer la résolution de

problèmes.

5.La répétition fréquente des tables suffit a en assurer la

mémorisation.

6.Les compétences en calcul mental se préparent dès les

premières années de maternelle.

7.Il faut imposer aux élèves des procédures de calcul

réfléchi.

4

Fonctionnement

Calcul réfléchi

Calcul automatisé Moyens

Calcul posé

Technique opératoire non

automatisée

Calcul en ligne

Techniques opératoires :

Algorithme

Calcul mental

Procédures automatisées

ou non pour des calculs

exacts ou approchés

Calcul en ligne

Restitution immédiates des

résultats mémorisés

faits numériques

Calcul

instrumenté

Anticipation/ordre de

grandeur

Utilisation usuelle d’instruments

de calcul

5 1- Définir les différents types de calcul (COPIRELEM Juin 2012)

S’entendre sur le vocabulaire

• Calcul mental pas de traitement écrit du calcul lui-

même, même si le résultat peut être écrit (l’énoncé parfois

aussi).

• Calcul posé : usage d’une technique opératoire

• .Calcul en ligne écrits (partiels) des calculs

intermédiaires. Etape vers le calcul mental. Repose sur la

compréhension du nombre, du principe de numération

décimale et des propriétés des opérations

6 1- Définir les différents types de calcul

S’entendre sur le vocabulaire

• Calcul réfléchi élaborer une procédure adaptée en

fonction des opérations et des nombres. Fait appel au

raisonnement, à des procédures automatisées ou non.

• Calcul automatisé réponse à «a x b» ou «a + b (les

tables) restitution la plus directe possible. Pour les tables

on parle de faits mémorisés.

• Calcul rapide critère de performance pour la restitution

des tables, pas une forme de calcul


« Le calcul mental est

un calcul sur les

nombres plutôt que

sur les chiffres »

(F. Boule)


MÉMORISER LES FAITS NUMÉRIQUES

• Les doubles et moitiés

• Les décompositions (10 et par le 5)

• Compter de 10

• Les relations entre des nombres d’usage courant : entre

5, 10, 25, 50, 75, 100,

• Les relations entre 15, 30, 45 et 60.

• Les résultats des tables d’addition ? et de multiplication

….


MÉMORISER LES FAITS NUMÉRIQUES

• Faits du cycle 2

• Tables de multiplication, tables de division(illustrations)

• Compter de 100 en 100

• Compter de 0,5 en 0,5…; compter de ¼ en ¼

• Triple , quart

• Compléments à la dizaine et centaine supérieure

…


MÉMORISER DES PROCÉDURES

• Les presque doubles 8 + 7

• Ajouter / Retrancher 9, 11

• Multiplier par 11

• L’ ordre de grandeur

• Le nombre de chiffres du quotient

• Convertir un nombre de dizaines en unités

…


12

2. Une séance pour vous

2. Construire une séance de calcul mental

Une séance pour vous.pptx



14

• De l’imagination… pour l’habillage

cf. organigramme, TBI

• Varier les formes de travail au sein d’une séance : au moins 3 en cycle 2; au moins 2 par séance en cycle 3

CollectifArdoise/PropositionEleveOral; IndividuelEcrit/CollectifOral;… Mais aussi TBI, Calculette, boulier, …

• Varier les types de calcul au sein d’une séance

Echauffement avec calculs faciles et sus Entraînement avec calculs automatisés Temps de calculs réfléchis

Des principes pour une séance


Les enjeux du calcul mental

1. Développer des habiletés calculatoires et des

connaissances numériques

Produire des faits numériques (tables) par récupération

en mémoire ou reconstruction instantanées.

Utiliser des procédures élémentaires : compléments à la

dizaine, X par 10, +9, -9…

Mettre en œuvre des procédures variées qui utilisent les

propriétés des nombres pour résoudre des problèmes

oraux.



2. Développer des capacités de résolution de problèmes

Automatiser des calculs pour libérer de l’espace mental pour

la résolution de problèmes.

Connaitre une grande variété de procédures pour

développer les capacités d’initiative lors de la résolution de

problèmes

Connaitre les nombres et les calculs élémentaires pour

remplacer des données par des nombres plus « familiers »



3. Développer le calcul approché

Prévoir et contrôler la vraisemblance d’une réponse

Pour l’utiliser dans la vie courante


• Exemple de séance de calcul mental en classe de CP

Vidéo CP

Identifier les trois phases de la séance et les supports

utilisés

A quelle étape de la séquence se situe cette séance ?

Discuter la gestion de l’erreur

18 2. Construire une séance de calcul mental

../videos classe/Calcul mental CP Bizanet.mov

Une séquence en quatre étapes

1. Etape d’explicitation

Ex: expliquer la construction des tables de + ou X,

expliciter une stratégie : + 9, x 20, x 200…

Production d’un écrit pour expliciter les stratégies

Des séances sur un temps plus long (25 – 30 min)

19 3. Construire une séquence de calcul mental


2. Etape d’entrainement

- utiliser une règle déjà construite

- restituer des résultats mémorisés

- accroitre la vitesse de restitution (faits/ procédures)

Des séances courtes et fréquentes (15min)



3. Etape de réinvestissement

- Mobiliser les connaissances dans d’autres contextes: dans les

problèmes, sur d’autres supports (jeux)

Des séances de durée moyenne (20- 30 min)

4. Etape d’évaluation

- En fonction des connaissances : varier les formes d’évaluation

(ceintures, …)

Des séances de durées variables (5 – 15min)

+ Etape de révision

3 semaines après : faire le point et réinvestir ce qui a été vu


Extrait vidéo : une séance en CM2

• Repérer l’objectif de la séance.

• Identifier à quelle(s) étape(s) de la séquence en sont les

élèves.

• Comment est gérée l’hétérogénéité des élèves ?


../videos classe/RWGE0336.mov

23

J1 J2 J3 J4 J5

Phase

d’échauffement

Phase

d’entrainement

Phase de calcul

réfléchi

Etapes

d’apprentisasge

Cycle 2 : automatiser les résultats des presque doubles

Cycle 3 : automatiser la procédure de multiplication par 20, 30, 200…

Construire une trame de séquence sur une semaine intégrant 2

phases d’une séance type ainsi que les 4 étapes de la

démarche d’apprentissage

3. Construire une séquence de calcul mental

Les presque doubles 24

J1 J2 J3 J4 J5 ..S

Echauffe-

ment

Donner le

successeur

Donner le

prédécesseur Doubles par

furet

Doubles par

furet(varier 2x3

double de 3 ou 3+3)

R

E

V

I

S

I

O

N

Calcul

automatisé

Doubles

Doubles Automatisation de

la stratégie du

presque double

Automatisation du

résultat (chrono)

4 calculs à

l’oral

Calcul

réfléchi

Explicitation

des

stratégies.

Choix de

s’entraîner a

passer par le

double (inf)

Explicitation

de la

procédure de

s’entraîner a

passer par le

double (inf et

sup)

Addition à trou

6+… = 13

Problème

On cherche le

nombre de billes au

total. Julie a 6 billes

et Paul a 7 billes.

Combien ont-ils de

billes en tout ?

Etapes

d’apprentis-

sage

Explicitation Explicitation

Ou Entraine-

ment

Entrainement

Evaluation

formative

Réinvestissement Evaluation

3. Construire une séquence de calcul mental

Multiplier par un multiple de 10 J1 J2 J3 J4 J5 ..S

Echauffe-

ment

Qui suis-je par

un furet

Qui suis-je

par binôme

Doubles et

moitiés par

furet

Allonger la queue

du serpent 21-210-

2100…. Ecrit

Allonger la

queue du

serpent….

Oral

R

E

V

I

S

I

O

N

Calcul

automatisé

…x 2

….x 10

…x 3

…x 5

….x100

…x 20

….x 30

…x 20

….x 200

4 calculs à

l’écrit

Résolution

d’un problème

Calcul

réfléchi

u x 20

u x 200

8 x 20

4 x 200

Explicitation de

la stratégie

du x 20

u x 30

25 x 20

5 x 30

7 x 300

d0 x 20

c00 x 20

…0 x 20

…00 X 200

Problème

J’ai 20 bouquets

de 6 fleurs.

Combien ai-je de

fleurs?

Etapes

d’apprentis-

sage

Explicitation Explicitation

Ou Entraine-

ment

Entrainement

Evaluation

formative

Réinvestissement Evaluation


4. Concevoir son enseignement a partir…

Des compétences du socle commun

Des programmes et repères de progressivité

Une programmation annuelle

Différents types de séances

Des séances structurées en 3 phases

Des supports variés

D’outils de suivi des progrès

26

• Domaine 1: les langages pour penser et communiquer

• Domaine 2 : les méthodes et outils pour apprendre

• Domaine 4 : les systèmes naturels et les systèmes techniques

• Domaine 5 : les représentations du monde et l'activité humaine

Socle

• Mathématiques cycles 2 et 3 Nombres et calculs- Grandeurs et mesures – Espace et géométrie

Programmes 2016

• Chercher D 2, 4

• Modéliser D 1,2, 4

• Représenter D1, 5

• Raisonner D 2,3, 4

• Calculer D4

• Communiquer D 1, 3

Programmations de cycle

• Le calcul aux cycles 2 et 3

• Le calcul en ligne cycle 2

• Le calcul en ligne cycle 3

Ressources d’accompagnement

4. Concevoir son enseignement

Progression et programmation…

Les apprentissages se construisent dans la durée.

Une programmation est toujours associée aux autres apprentissages mathématiques : quand on étudie la relation centimes /euros, il est impossible d’éviter de revenir au complément à 100, la distributivité dans la technique opératoire de la multiplication doit être travaillée en calcul mental.

Des spécificités sont à respecter : les techniques du calcul mental sont à apprendre spécifiquement. Les techniques de calcul mental s’appliquent prioritairement dans les situations de la vie courante : monnaie, comparaison de mesures, échanges entre enfants.

Les techniques spécifiques au calcul mental ne pourront s’installer durablement que si elles sont comprises, c’est-à-dire reliées à des connaissances déjà installées sur les nombres et sur les opérations : sens et technique sont étroitement liés.

28 4. Concevoir son enseignement

Exemple de progressions • Compétence CP

• Ajouter ou retrancher 1




• Connaître les décompositions de 10

• Décomposer un nombre inférieur a 10 a l’aide du nombre 5

• Décomposer un nombre inférieur a 20 a l’aide du nombre 10

• Additionner deux nombres dont la somme est inférieure à 10

• Décomposer un nombre inférieur a 10 sous forme additive (2, 3… termes)

• Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés correspondantes.

• Maîtriser le répertoire additif : Compléments, différences et décompositions associées

• Calculer des sommes des différences et des compléments du type 20+7, 27-7, 20 pour aller à 27.

• Connaître les doubles et les moitiés correspondantes de nombres-clés : 10, 20, 30, 40, 50, 100, 15, 25


Exemple de progressions • Compétence CE1





• Connaître les compléments à 20

• Connaître les compléments aux dizaines supérieures à 20

• Maîtriser le répertoire additif : Compléments, différences et décompositions associées



• Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines ou des centaines, calculer les compléments correspondants

• Connaître les doubles et les moitiés correspondantes de nombres-clés: 10, 20, 30, 40, 50, 100, 200, 300, 400, 15, 25

• Connaître les tables de multiplication par 2, 5, 4 puis 3.

• Multiplier par 10 et 100

• Calculer les doubles de nombres inférieurs à 50

• Calculer les moitiés de nombres pairs inférieurs à 100, connaitre des tiers

• Calculer le produit de deux nombres inférieurs à 10


Exemple de progressions • Compétence CE2

• Maîtriser le répertoire additif (tables d’addition) : sommes de deux nombres entiers inférieurs à 10, compléments, différences et décompositions associés

• Connaitre les doubles, les moitiés, les triples et les tiers, les quadruples et les quarts de nombres « repères » : les multiples de 10, de 5 ; en particulier, 25, 50, 75 et 100. 15,30,45, 60, etc

• Connaître les tables de multiplication par 2, 3, 4, 5, 6 et les utiliser pour calculer un produit ou un quotient entier

• Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines, des centaines, des milliers

• Ajouter 9, Ajouter 11, ajouter 99, ajouter 101…

• Calculer avec des nombres entiers, des sommes, des différences ou des compléments du type 200 + 70, 270-70, 200 pour aller à 270, ou 2000 + 37, 2037 – 37, 2000 pour aller à 2037

• Retrancher 9, retrancher 11

• Calculer les compléments d’un nombre entier a la dizaine supérieure

• Calculer les compléments à 100

• Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur a 10) d’unités, de dizaines, de centaines, de milliers… a un nombre quelconque, dans des cas sans retenue et dans des cas avec retenue

• Multiplier par 10, 100, 1000…sur les nombres entiers

• Diviser par 2, par 5…


• Compétence CM1

• Additionner ou soustraire un nombre proche d’une dizaine ou centaine (9, 11, 19, 101, etc.)

• Calculer avec des nombres entiers, des sommes, des différences ou des compléments du type 200 + 70, 270-70, 200 pour aller à 270, ou 2000 + 37, 2037 – 37, 2000 pour aller à 2037

• Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur a 10) d’unités, de dizaines, de centaines, de milliers… a un nombre quelconque, dans des cas sans retenue et dans des cas avec retenue

• Calculer les compléments à 100 et à la centaine supérieure pour des nombres entiers dont, le chiffre des unités est 0

• Maîtriser le répertoire multiplicatif : produit de 2 nombres inférieurs a 10, recherche d’un facteur, quotients et décompositions associés

• Calculer des sommes de plusieurs nombres entiers qui « vont bien ensemble »

• Calculer des sommes et des différences de nombres entiers de 2 chiffres (ou dont le calcul peut s’y ramener)

• Evaluer un ordre de grandeur, en utilisant un calcul approché : somme de deux ou plusieurs nombres entiers, différence de deux nombres entiers

• Connaître les relations additives entre multiples de 25 inférieurs à 100 ou de multiples de 250 inférieurs à 1000

• Multiplier par 5, par 20, par 50

• Calculer les produits d’un entier par une puissance de 10 : 30x4, 400x8, 20x30 et les quotients correspondants

• Calculer les doubles, moitiés, triples, tiers, quadruples et quarts de nombres entiers

• Calculer certaines sommes de 2 nombres décimaux (avec un chiffre après la virgule), en particulier ajouter un entier et un décimal

• Décomposer un nombre décimal en utilisant l’entier immédiatement inférieur

• Calculer les compléments a l’unité supérieure de nombres ayant un chiffre après la virgule

• Utiliser la connaissance des tables pour répondre à des questions du type « Combien de fois 8 dans 50 ? » Situer un nombre entre 2 résultats de table de multiplication

• Multiplier et diviser par 10, 100, 1000… sur les nombres entiers…


• Compétence CM2

• Calculer des sommes de plusieurs nombres entiers qui « vont bien ensemble »

• Evaluer un ordre de grandeur, en utilisant un calcul approché : somme et différence

• Maîtriser le répertoire multiplicatif : produit de 2 nombres inférieurs à 10, recherche d’un facteur, quotients et décompositions associés

• Multiplier par 5, par 20, par 50

• Calculer des sommes et des différences de nombres entiers

• Multiplier et diviser par 10, 100, 1000…

• Calculer certaines sommes de 2 nombres décimaux, en particulier ajouter un entier et un décimal

• Décomposer un nombre décimal en utilisant l’entier immédiatement inférieur

• Multiplier par 0,1

• Calculer les compléments a l’unité supérieure pour des nombres ayant un chiffre après la virgule

• Connaître et utiliser les relations entre les nombres « repères »

• Multiplier par des nombres comme 11, 12, 9, 19, 21, 15, 25

• Décomposer un nombre sous forme de produit de 2 ou plusieurs facteurs

• Evaluer l’ordre de grandeur d’un produit par un calcul approché

• Calculer les doubles, moitiés des nombres supérieurs à 100 (résultats entiers et non entiers)

• Calculer les quadruples, quarts, tiers, triples des nombres supérieurs à 100 (résultats entiers)


Pour la journée 2

1. Comment l’élève, l’enseignant, le parent évalue les

progrès sur une séquence? Sur l’année?

Quels outils utilisez vous?

2. Témoignage d’une séquence de calcul mental avec les

4 étapes :

- Quelle compétence travaillée?

- Quelles activités proposées aux élèves

- Quelles productions : trace écrite collective/

individuelle

3. Mutualiser des exemples de jeux pratiqués en classe

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