Calcul diferen‚tial ‚si integral pentru func‚tii de o...

Calcul diferential si integral pentru functii de ovariabil¼a real¼a

Marius DUREA, Adriana�Ioana LEFTER

Pagin¼a l¼asat¼a alb¼a

Prefat¼a

Lucrarea de fat¼a urmeaz¼a, cu unele ad¼augiri, programa cursului de Calcul diferential siintegral pentru functii de o variabil¼a real¼a predat pe primul semestru studentilor din anulI ai Facult¼atii de Matematic¼a de la Universitatea �Alexandru Ioan Cuza�din Iasi.Conceptele si metodele de analiz¼a matematic¼a prezentate în acest curs, în cadrul in-

tuitiv al axei numerelor reale, sunt unele fundamentale si sunt ulterior folosite la o multi-tudine de alte cursuri de Analiz¼a matematic¼a, Ecuatii diferentiale, Topologie, Geometrie,Probabilit¼ati, Mecanic¼a si Analiz¼a functional¼a. Nu credem c¼a exager¼am dac¼a a�rm¼amc¼a tehnicile de calcul diferential si integral pe axa real¼a contin, in nuce, multe dintredezvolt¼arile ulterioare ale Analizei matematice pe spatii mai generale sau înzestrate cupropriet¼ati speciale.Concepte precum cele de convergent¼a si convergent¼a uniform¼a, continuitate si continu-

itate uniform¼a, derivabilitate si diferentiabilitate, deschidere si închidere, integrabilitateRiemann si integrabilitate Riemann-Stieltjes sunt, f¼ar¼a îndoial¼a, fundamente pe care sesprijin¼a orice constructie ulterioar¼a din cadrul ramurilor matematice mai sus mentionate.Cu sigurant¼a, exist¼a multe c¼arti, deja clasice sau mai noi, care cuprind partial sau

în totalitate aspectele continute în acest curs (a se vedea Bibliogra�a), dar principalulobiectiv pe care îl avem în vedere aici este de a oferi materialul necesar într-o form¼aconcis¼a, cât mai apropiat¼a de nivelul obisnuit al studentilor anului I, cu trimiteri, pe de oparte, la chestiuni care trebuie s¼a fac¼a parte din bagajul matematic de la teminarea liceuluisi, pe de alt¼a parte, la aspecte care înlesnesc conexiunile cu alte cursuri ce urmeaz¼a încadrul curriculei facult¼atii. În plus, este în intentia autorilor ca acest curs s¼a �e în scurttimp însotit de o culegere de exercitii si probleme care s¼a acopere partea de seminaraferent¼a cursului.Subliniem faptul c¼a structura acestui curs este întrucâtva paradoxal¼a, în m¼asura în

care nu reprezint¼a propriu-zis o continuare a unei materii deja studiate sau o noutateabsolut¼a pentru studenti, ci o reluare însotit¼a de multiple complet¼ari a materiei studiatela Analiz¼a matematic¼a în ultimele dou¼a clase de liceu. Astfel, este de asteptat ca studentiis¼a cunoasc¼a o bun¼a parte dintre elementele prezentate aici, unele neputând � integralreanalizate sau demonstrate în cadrul cursului, din lips¼a de timp. Din acest motiv, aminclus, la �nalul lucr¼arii, o serie de anexe ce cuprind astfel de elemente referitoare la functiielementare si propriet¼atile lor, limite fundamentale, derivatele si primitivele principalelorfunctii întâlnite în practic¼a. De altfel, o cuprindere complet¼a a acestor aspecte în cadrulcursului, chiar dac¼a ar exista spatiul si timpul necesare, nu ar �o întreprindere lesnicioas¼a,întrucât introducerea riguroas¼a a multor notiuni cu care se opereaz¼a în mod uzual necesit¼apreparative îndelungate si o ordonare logic¼a semni�cativ diferit¼a fat¼a de nevoile unei

i

prezent¼ari e�ciente din punct de vedere didactic. Cu titlu de exemplu, doar introducereariguroas¼a a multora dintre functiile elementare (exponentiale, logaritmice, trigonometrice)ar avea nevoie de multe dintre rezultatele de analiz¼a matematic¼a studiate aici (si, în unelecazuri, mai mult decât atât), asa încât o prezentare coerent¼a din punct de vedere logicar însemna studiul conceptelor principale, exempli�carea pe functii simple (rationale, deexemplu) de�nirea celorlalte functii si apoi reluarea implicatiilor ce decurg din studiulanterior pe cazul acestor functii (cum ar � limite fundamentale, derivate, primitive).Cursul este structurat în cinci capitole principale si un capitol auxiliar ce grupeaz¼a

mai multe anexe. În continuare, facem o scurt¼a prezentare a tuturor acestor capitole si aconexiunilor dintre ele.Primul capitol contine unele aspecte generale de teoria multimilor si introduce, într-o

manier¼a axiomatic¼a, multimea numerelor reale. Sunt, de asemenea, demonstrate o serie derezultate fundamentale legate de structura acestei multimi în cadrul c¼areia vor � ulteriorintroduse toate notiunile ce vor � studiate.Al doilea capitol studiaz¼a sirurile numerice, sirurile de functii, seriile numerice si seriile

de functii. Înc¼a de la prima sectiune a acestui capitol întâlnim conceptul de�nitoriu alAnalizei matematice, si anume acela de convergent¼a. Mai întâi, studiem pe larg acestconcept pentru siruri de numere reale si prezent¼am o serie de criterii de convergent¼a carepermit, în particular, deducerea convergentei unor siruri remarcabile si, în unele cazuri,determinarea limitelor lor. Din motivele prezentate mai sus, o serie de limite remarcabile(fundamentale) sunt grupate în anex¼a în cadrul ultimului capitol. Extinderea conceptuluide convergent¼a de la siruri la serii prin intermediul sirului sumelor partiale permite studiulcomport¼arii seriilor numerice. În mod obisnut, dup¼a prezentarea unor propriet¼ati generale,discutia se împarte între serii cu termeni pozitivi (nenegativi) si serii cu termeni oarecare.De asemenea este prezentat si studiat conceptul de absolut¼a convergent¼a. Urm¼atoareatem¼a de discutie o reprezint¼a sirurile de functii pentru care prezent¼am dou¼a conceptede convergent¼a: convergenta punctual¼a si convergenta uniform¼a. Motivarea acestui dinurm¼a tip de convergent¼a se face, la nivelul acestui capitol, prin necesitatea de transmiterea propriet¼atii de m¼arginire de la functiile termen la functia limit¼a, dar ulterior, în �ecaredintre urm¼atoarele trei capitole, convergenta uniform¼a îsi va dovedi e�cacitatea decisiv¼a siîn transmiterea si altor propriet¼ati: continuitate, derivabilitate, integrabilitate. În sfârsit,capitolul se încheie cu o prezentare a convergentelor pentru serii de functii si cu descriereacazului cu totul remarcabil al seriilor de puteri, caz care va avea o mare important¼a încadrul Capitolului 4.În capitolul al treilea se studiaz¼a conceptul de limit¼a a unei functii într-un punct (si la

�1) si apoi pe aceast¼a baz¼a este introdus¼a notiunea de continuitate. Discutia riguroas¼a aacestor concepte necesit¼a câteva notiuni de topologie, care, de fapt, deschid capitolul. Deasemenea, sunt introduse si studiate, prin intermediul unor rezultate de prim¼a important¼apentru dezvolt¼arile ulterioare, proprietatea valorii intermediare (sau proprietatea lui Dar-boux) si notiunea de functie uniform continu¼a pe o multime. Conservarea continuit¼atiiprin convergenta uniform¼a, atât în cazul sirurilor de functii, cât si pentru serii de functiiîncheie capitolul.Capitolul al patrulea introduce si studiaz¼a conceptul central al acestui curs: acela

de functie derivabil¼a. Sunt prezentate consecintele imediate ale acestei notiuni (printre

ii

care faptul c¼a derivabilitatea implic¼a continuitatea) si apoi sunt demonstrate rezultatelefundamentale ale teoriei: Teoremele lui Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy precum si con-secintele acestora. Mai multe exemple ilustreaz¼a principalele aspecte discutate, iar unalt aspect esential, si anume modul în care aceste rezultate permit reprezentarea gra�c¼aa functiilor face obiectul unei anexe speciale din Capitolul 6: Un alt fapt esential esteposibilitatea dezvolt¼arii unor functii în serii de puteri, iar acesta este abordat odat¼a custudiul Formulei lui Taylor în dou¼a variante: cu rest Peano si cu rest Lagrange. Din nou,capitolul se încheie cu studiul modului în care proprietatea studiat¼a (derivabilitatea, încazul de fat¼a) se transmite prin intermediul convergentei sirurilor si seriilor de functii.Ultimul capitol principal, al cincilea, este dedicat studiului integrabilit¼atii Riemann si

unei scurte introduceri în integrala Riemann-Stieltjes. Dup¼a prezentarea conceptului deintegral¼a în sens Riemann este studiat¼a Teorema Leibniz-Newton si sunt demonstrate maimulte criterii de integrabilitate Riemann, ocazie care ne permite s¼a discut¼am mai multeclase de functii integrabile, precum si propriet¼ati ale integralei. Transferul de integrabi-litate la siruri si serii de functii este, de asemenea, discutat si, în plus, este prezentat¼a oversiune a Formulei lui Taylor cu rest integral. O sectiune este dedicat¼a unor metode decalcul al integralelor Riemann. În �nal, ca o extindere a integralei Riemann, dar si ca oanticipare a unor tipuri de integrale ce vor � studiate ulterior, este introdus¼a si studiat¼a,în unele aspecte esentiale, integrala Riemann-Stieltjes.Capitolul al saselea grupeaz¼a opt anexe ce cuprind unele sinteze formate din elemente

care trebuie s¼a �e cunoscute de c¼atre toti studentii atât pentru facilitarea parcurgerii siîntelegerii p¼artii teoretice, cât si pentru rezolvarea exercitiilor.

Autorii

iii

Cuprins

Prefat¼a i

1 Multimea numerelor reale, R 11.1 Preliminarii: multimi, functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Multimea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Siruri si serii 142.1 Siruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Serii de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.2 Serii cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.3 Produsul a dou¼a serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Siruri de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 Serii de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Limite de functii si continuitate 593.1 Notiuni de topologie pe dreapta real¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Limite de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Functii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Transfer de continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Calcul diferential 834.1 Derivabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Rezultate fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3 Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4 Transfer de derivabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5 Calcul integral 1105.1 Integrala Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2 Clase de functii integrabile si propriet¼ati ale integralei . . . . . . . . . . . . 1155.3 Metode de calcul al integralelor Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.4 Integrala Riemann-Stieltjes: introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

iv

6 Anexe 1376.1 Elemente de logic¼a matematic¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.2 Formule de calcul prescurtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.3 Functii numerice �elemente de baz¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4 Formule trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.5 Limite fundamentale de siruri si de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.6 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.7 Reprezentarea gra�c¼a a functiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.8 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Bibliogra�e 166

Lista rezultatelor principale 167

v

Capitolul 1

Multimea numerelor reale, R

1.1 Preliminarii: multimi, functii

Notiunea de multime este una fundamental¼a, adic¼a nu se de�neste (ca si punctul saudreapta în geometrie). Accept¼am totusi c¼a o multime este o colectie de obiecte diferite.Vom nota multimile cu litere mari A;B;C; ::: Obiectele dintr-o multime se numesc ele-mente ale multimii si le vom nota cu litere mici a; b; c; ::: Dac¼a A este o multime si x unelement al s¼au, atunci scriem x 2 A: În caz contrar, scriem x =2 A: Postul¼am existentamultimii care nu contine niciun element si pe care o numim multimea vid¼a si o not¼am ;:O multime A se numeste submultime a unei multimi B (spunem si c¼a A este inclus¼a înB) dac¼a orice element al lui A apartine lui B: Scrierea cuanti�cat¼a a acestei situatii este:

8x 2 A; x 2 B:

Notatia utilizat¼a este A � B: Situatia contrar¼a se noteaz¼a prin A 6� B si revine la

9x 2 A; x =2 B:

Este evident c¼a A � A si ; � A; oricare ar �multimea A: Dou¼a multimi sunt egale dac¼aau aceleasi elemente. Not¼am egalitatea dintre multimile A si B prin A = B: O observatieesential¼a pentru demonstrarea egalit¼atii dintre dou¼a multimi A si B este faptul c¼a A = Beste echivalent cu A � B si B � A: Dac¼a A si B nu sunt egale scriem A 6= B; ceea ce,conform observatiei precedente, revine la a spune c¼a A nu este inclus¼a în B sau B nu esteinclus¼a în A: Asadar, conform unor principii bine cunoscute ale logicii (a se vedea Anexa6:1) avem:

A 6= B , 9x 2 A; x =2 B sau 9x 2 B; x =2 A:

Fie A o multime. Not¼am cu P(A) multimea submultimilor sale. Este din nou clar c¼a;; A 2 P(A):

Fie X; Y multimi si A;B 2 P(X): De�nim:

� reuniunea multimilor A si B

A [B = fx 2 X j x 2 A sau x 2 Bg;

1

2 Capitolul 1. Multimea numerelor reale, R

� intersectia multimilor A si B

A \B = fx 2 X j x 2 A si x 2 Bg;

� diferenta multimilor A si B

A nB = fx 2 X j x 2 A si x =2 Bg;

� diferenta simetric¼a a multimilor A si B

A�B = (A nB) [ (B n A);

� complementara lui A fat¼a de X

cXA = X n A;

� produsul cartezian al multimilor X si Y este multimea perechilor ordonate (x; y) cux 2 X si y 2 Y , adic¼a

X � Y = f(x; y) j x 2 X si y 2 Y g:

Fie A;B;C 2 P(X): List¼am mai jos câteva propriet¼ati utile, care pot � veri�caterelativ usor.

� A [B = B [ A; (A [B) [ C = A [ (B [ C);

� A \B = B \ A; (A \B) \ C = A \ (B \ C);

� A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C);A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C);

� A nB = A \ cXB;

� A \ (B n C) = (A \B) n (A \ C) = (A \B) n C;

� (A \B) n C = (A n C) \ (B n C); (A [B) n C = (A n C) [ (B n C);

� cX(A [B) = cXA \ cXB; cX(A \B) = cXA [ cXB (Legile lui de Morgan).

Reuniunea si intersectia pot � extinse la familii oarecare de multimi. Astfel, dac¼a Ieste o multime de indici si (Ai)i2I este o familie de p¼arti ale unei multimi arbitrare X,numim reuniunea familiei (Ai)i2I multimea[

i2IAi = fx 2 X j 9i 2 I astfel încât x 2 Aig:

Numim intersectia familiei (Ai)i2I multimea\i2IAi = fx 2 X j x 2 Ai; 8i 2 Ig:

1.1. Preliminarii: multimi, functii 3

Dac¼a I = f1; 2; :::; ng sau I = N�, atunci vom scrie în loc de[i2IAi (respectiv,

\i2IAi)

n[i=1

Ai sau1[i=1

Ai (respectiv,nTi=1

Ai sau1Ti=1

Ai), dup¼a caz.

Fie X; Y multimi nevide.

De�nitia 1.1.1 Se numeste functie de�nit¼a pe X cu valori în Y un procedeu (notat,de exemplu, f) care asociaz¼a �ec¼arui element x 2 X un unic element y 2 Y: Pentru adesemna functia f; scriem f : X ! Y ; pentru a preciza corespondenta dintre elementelex si y scriem f(x) = y si spunem c¼a y este imaginea lui x sau c¼a x este contraimaginea lui y: Multimea X se numeste domeniul de de�nitie al functiei f; iar multimea Y senumeste codomeniul s¼au.

De�nitia 1.1.2 Fie A � X si B � Y: Imaginea lui A prin f este multimea

f(A) = ff(x) j x 2 Ag;

iar contraimaginea lui B prin f este

f�1(B) = fx 2 X j f(x) 2 Bg:

Multimea f(X) se numeste imaginea lui f si se noteaz¼a Im f:

Observatia 1.1.3 Cum pot exista mai multe elemente în X care au imaginea y; scriemx 2 f�1(fyg): Pentru simplitate, vom nota f�1(fyg) cu f�1(y): Conchidem c¼a simbolulf�1 nu desemneaz¼a, în general, o functie.

De�nitia 1.1.4 În notatiile date, functia f se numeste injectiv¼a dac¼a pentru orice ele-mente x1; x2 2 X cu x1 6= x2 rezult¼a f(x1) 6= f(x2):

Observatia 1.1.5 Pe baza principiilor logicii (a se vedea Anexa 6:1), injectivitatea lui feste echivalent¼a cu proprietatea

8x1; x2 2 X; f(x1) = f(x2)) x1 = x2:

De�nitia 1.1.6 Functia f se numeste surjectiv¼a dac¼a

8y 2 Y;9x 2 X astfel încât f(x) = y;

sau, echivalent, Im f = Y:

De�nitia 1.1.7 Functia f se numeste bijectiv¼a dac¼a este simultan injectiv¼a si surjectiv¼a.

De�nitia 1.1.8 Gra�cul functiei f este submultimea produsului cartezian X�Y de�nit¼aprin

gr f = f(x; f(x)) j x 2 Xg:


De�nitia 1.1.9 Fie X; Y; Z multimi nevide si f : X ! Y; g : Y ! Z: Se numestecompunerea functiei g cu functia f functia g � f : X ! Z dat¼a prin

(g � f)(x) = g(f(x)):

De�nitia 1.1.10 Fie A o submultime nevid¼a a lui X.(i) Dac¼a f : X ! Y este o functie, numim restrictia lui f la multimea A � X functia

f jA : A! Y; (f jA)(x) := f(x):

(ii) Dac¼a f0 : A � X ! Y este o functie dat¼a, atunci orice functie f : X ! Y cuproprietatea c¼a f jA = f0 se numeste prelungire a functiei f0.

1.2 Multimea numerelor reale

Toate notiunile care vor �discutate în acest curs vor �dezvoltate pornind de la multimeanumerelor reale, notat¼a cu R. Exist¼a mai multe modele ale multimii numerelor reale: allui Dedekind, bazat pe notiunea de t¼aietur¼a, al lui Weierstrass, care foloseste notiuneade fractie zecimal¼a, modelul lui Cantor, care are la baz¼a notiunea de sir fundamental denumere rationale.Vom indica o de�nitie axiomatic¼a a multimii numerelor reale. Astfel, vom numi

multimea numerelor reale, notat¼a R, o multime nevid¼a înzestrat¼a cu dou¼a operatii al-gebrice + (adunarea) si � (înmultirea) si cu o relatie de ordine � si care satisface grupelede axiome I, II, III de mai jos.

I. (R;+; �) este corp comutativ, adic¼a:(I.1) x+ (y + z) = (x+ y) + z; 8x; y; z 2 R(I.2) x+ y = y + x; 8x; y 2 R(I.3) 9 0 2 R astfel încât 0 + x = x; 8x 2 R(I.4) 8 x 2 R, 9 �x 2 R astfel încât x+ (�x) = 0(I.5) x � (y � z) = (x � y) � z; 8x; y; z 2 R(I.6) x � y = y � x; 8x; y 2 R(I.7) 9 1 2 R, 1 6= 0 astfel încât 1 � x = x; 8x 2 R(I.8) 8 x 2 R, x 6= 0; 9 x�1 2 R (notat si 1

x) astfel încât x � x�1 = 1

(I.9) x � (y + z) = x � y + x � z; 8x; y; z 2 RII. (R;+; �;�) este un corp total ordonat, adic¼a:

(II.1) 8x 2 R; x � x (re�exivitate)(II.2) 8x; y; z 2 R, (x � y si y � z) ) x � z (tranzitivitate)(II.3) 8x; y 2 R, (x � y si y � x) ) x = y (antisimetrie)(II.4) 8x; y 2 R, x � y sau y � x (ordine total¼a)(II.5) 8x; y; z 2 R, x � y ) x+ z � y + z (compatibilitatea cu adunarea)(II.6) 8x; y; z 2 R, (0 � z si x � y)) x�z � y �z (compatibilitatea cu înmultirea).

Înainte de a prezenta ultima axiom¼a a multimii numerelor reale, avem nevoie de câtevade�nitii suplimentare.

1.2. Multimea numerelor reale 5

Fie A � R. Spunem c¼a x 2 R este un majorant al multimii A dac¼a pentru oricea 2 A are loc a � x: O multime care admite cel putin un majorant se numeste majorat¼asau m¼arginit¼a superior. Analog se de�neste notiunea de minorant si multime minorat¼asau m¼arginit¼a inferior. O multime care este simultan minorat¼a si majorat¼a se numestem¼arginit¼a. Dac¼a pentru o multime A � R exist¼a cel mai mic majorant x0 2 R; atuncix0 se numeste marginea superioar¼a sau supremum al multimii A. Dac¼a exist¼a, margineasuperioar¼a a multimii A � R se noteaz¼a supA: Analog, de�nim marginea inferioar¼a: dac¼apentru o multime A � R exist¼a cel mai mare minorant x1 2 R; atunci x1 se numeste mar-ginea inferioar¼a sau in�mum al multimii A. Dac¼a exist¼a, marginea inferioar¼a a multimiiA � R se noteaz¼a inf A: A nu se confunda marginea superioar¼a (respectiv, inferioar¼a) aunei multimi cu cel mai mare element al multimii, numit maxim si notat (atunci cândexist¼a) cu maxA (respectiv, cu cel mai mic element al multimii, notat (atunci când e-xist¼a) cu minA). Suntem acum în m¼asur¼a s¼a formul¼am si ultima axiom¼a care de�nestemultimea R.

(III) (Axioma de completitudine sau axioma Cantor-Dedekind) Orice multimenevid¼a si majorat¼a a lui R admite margine superioar¼a în R.

Demonstratia riguroas¼a a faptului c¼a într-adev¼ar exist¼a o multime cu propriet¼atile I,II, III este destul de laborioas¼a. În plus, se poate demonstra c¼a acest¼a multime este unic¼apân¼a la un izomor�sm de corpuri total ordonate.

Exemplul 1.2.1 Fie R := fa; bg; cu a 6= b:

� Operatia de adunare este de�nit¼a astfel: a+ a = a; a+ b = b+ a = b; b+ b = a:

� Operatia de înmultire este de�nit¼a astfel: a � a = a; a � b = b � a = a; b � b = b:

� Relatia de ordine este de�nit¼a astfel: a � a; b � b; a � b:

Aceast¼a multime structurat¼a cu operatiile si relatia de ordine de mai sus satisface toateaxiomele lui R; mai putin II.5.

Dup¼a ce am de�nit multimea R si ne-am asigurat c¼a exist¼a, s¼a d¼am si un scurt "ghidde utilizare" al acestei multimi de baz¼a.Mai întâi s¼a spunem c¼a vom utiliza notatia x < y pentru a desemna c¼a x � y si x 6= y:

Notatia x � y e un alt fel de a scrie c¼a y � x: Numerele reale x cu x � 0 se numescnumere pozitive, iar cele cu x � 0 se numesc negative. În plus, numerele reale x cu x > 0se numesc strict pozitive, iar cele cu x < 0 se numesc strict negative. Pentru orice x; y 2 Rvom scrie x� y în loc de x + (�y); iar dac¼a y 6= 0 vom scrie x

yîn loc de x � y�1: Notatia

x � y va � prescurtat¼a prin xy: Dac¼a x 2 R, atunci �x se numeste opusul lui x iar dac¼ax 2 R n f0g; atunci x�1 se numeste inversul lui x: Este de asemenea clar c¼a opusul unuinum¼ar real este unic si la fel pentru inversul unui num¼ar real nenul. Prin x2 întelegemx � x:Au loc urm¼atoarele propriet¼ati ce se demonstreaz¼a pe baza seturilor de axiome I si

II:


Propozitia 1.2.2 Fie x; y; z 2 R. Atunci:(i) 0 � x = 0;(ii) (�1) � x = �x;(iii) dac¼a x � y = 0; atunci x = 0 sau y = 0;(iv) dac¼a x � y; atunci �y � �x;(v) dac¼a x � y si z � 0; atunci xz � yz;(vi) dac¼a 0 � x si 0 � y; atunci 0 � xy;(vii) 0 � x2;(viii) 0 < 1;(ix) dac¼a 0 < x; atunci 0 < x�1;(x) dac¼a 0 < x < y; atunci 0 < y�1 < x�1:

Demonstratie. (i) Folosim axiomele I:3 si I:9 pentru a scrie, pentru orice x 2 R,

0 � x = (0 + 0) � x = 0 � x+ 0 � x:

Cum 0 � x 2 R; conform axiomei I:4 admite un opus cu care adun¼am ambii membri aiegalit¼ati de mai sus si folosind I:1; avem

0 = 0 � x;

adic¼a concluzia.(ii) Pentru orice x 2 R, din punctul anterior si din axiomele I:4; I:9; I:7 avem

0 = 0 � x = (1 + (�1)) � x = 1 � x+ (�1) � x = x+ (�1) � x;

ceea ce înseamn¼a c¼a opusul lui x este (�1) � x; deci

�x = (�1) � x:

(iii) Presupunem c¼a x � y = 0, dar x 6= 0 si y 6= 0: Atunci exist¼a, conform axiomei I:8;x�1 si înmultind relatia xy = 0 cu acest num¼ar real, folosind si I:5; avem�

x�1 � x�� y = x�1 � 0;

adic¼a,y = x�1 � 0;

ceea ce, conform (i), înseamn¼a c¼a y = 0: Am ajuns la o contradictie, deci presupunereac¼a x 6= 0 si y 6= 0 este fals¼a, ceea ce înseamn¼a c¼a x = 0 sau y = 0:(iv) În relatia x � y adun¼am succesiv �x si �y si, pe lâng¼a axiome deja utilizate,

folosim si II:5: Obtinem

x � y ) �x+ x � �x+ y ) 0 � �x+ y

) �y � �x+ y + (�y)) �y � �x:

(v) Din punctul anterior;

z � 0) �0 � �z ) 0 � �z:


Putem acum folosi axioma II:6; punctul (ii) si din nou punctul (iv) pentru a scrie

x � y ) x � (�z) � y � (�z)) x � (�1) � z � y � (�1) � z) � (x � z) � � (y � z)) y � z � x � z:

(vi) Cum 0 � x si 0 � y; conform axiomei II:6

0 � y � x � y

si din (i) avem concluzia.(vii) Dac¼a 0 � x; înmultim aceast¼a relatie cu x si din II:6 si (i);

0 � x � x � x;

deci0 � x2:

Dac¼a x < 0 înmultim aceast¼a relatie cu x si folosim (v) pentru a scrie

x � x � 0 � x;

adic¼a din nou concluzia.(viii) Cum 1 = 1 � 1; din punctul precedent obtinem c¼a 0 � 1: Dar, conform axiomei

I:7; 1 6= 0; deci 0 < 1:(ix) Stim c¼a 0 < x: Evident, x�1 exist¼a si este nenul. Dac¼a am avea x�1 < 0; atunci

din (v) am avea0 � x�1 � x � x�1;

adic¼a 0 � 1; ceea ce contrazice punctul anterior.(x) E clar c¼a x�1 6= y�1: Înmultim succesiv inegalitatea dat¼a cu numerele strict pozitive

(conform (ix)) x�1 si y�1: Utiliz¼am o dat¼a în plus axioma II:6 si punctele anterioare siavem

0 < x < y ) 0 < 1 � x�1 � y ) 0 < y�1 � x�1;

de unde deducem concluzia. �

De�nitia 1.2.3 Pentru orice num¼ar real x; de�nim modulul sau valoarea absolut¼a a luix prin

jxj =�

x; dac¼a x � 0�x; dac¼a x < 0:

Propozitia 1.2.4 (propriet¼atile modulului) Au loc propriet¼atile:(i) jxj � 0 pentru orice x 2 R si jxj = 0 dac¼a si numai dac¼a x = 0:(ii) jxyj = jxj � jyj pentru orice x; y 2 R.(iii) jx+ yj � jxj+ jyj pentru orice x; y 2 R.(iv) jjxj � jyjj � jx� yj pentru orice x; y 2 R.


Demonstratie. Propriet¼atile de la (i) sunt evidente din îns¼asi de�nitia valorii absolute.Punctul (ii) see veri�c¼a imediat considerând cele patru situatii legate de semnele nu-merelor x si y:Ar¼at¼am inegalitatea de la (iii): Dac¼a x = 0 sau y = 0 proprietatea este evident¼a. Dac¼a

x; y > 0 atunci x+ y > 0 si

jx+ yj = x+ y = jxj+ jyj ;

deci are loc chiar egalitatea. Dac¼a x; y < 0 atunci x+ y < 0 si

jx+ yj = � (x+ y) = �x� y = jxj+ jyj ;

si din nou are loc egalitatea.Presupunem acum c¼a x > 0 si y < 0: Distingem dou¼a posibilit¼ati: dac¼a x + y � 0

atunci, pentru c¼a y < jyj ; avem

jx+ yj = x+ y = jxj+ y < jxj+ jyj ;

iar dac¼a dac¼a x+ y < 0 atunci, pentru c¼a �x < jxj ; avem

jx+ yj = �x� y = �x+ jyj < jxj+ jyj :

Ultimul caz r¼amas, si anume x < 0 si y > 0 se deduce din cel precedent prin inversarearolurilor lui x si y.Pentru punctul (iv) observ¼am c¼a, pe baza punctului (iii); pentru orice x; y 2 R avem

jxj = jx� y + yj � jx� yj+ jyj ;

adic¼ajxj � jyj � jx� yj :

Din nou inversând x cu y; avem

jyj � jxj � jy � xj = jx� yj

si cele dou¼a relatii asigur¼a concluzia. �

Presupunem cunoscute functiile numerice fundamentale, precum si formulele de calculprescurtat cu numere reale (a se vedea Anexele 6:2; 6:3; 6:4).

Suntem acum în posesia tuturor elementelor pentru a analiza conceptele de marginesuperioar¼a si inferioar¼a. Evident, antisimetria relatiei de ordine pe R si Axioma de comple-titudine asigur¼a c¼a pentru o multime m¼arginit¼a superior sup exist¼a si este unic determinat.

Teorema 1.2.5 (de caracterizare a marginii superioare) Fie A o submultime nevi-d¼a a lui R. Elementul � 2 R este marginea superioar¼a a lui A dac¼a si numai dac¼a au locpropriet¼atile:(i) x � � pentru orice x 2 A;(ii) 8" > 0, 9x" 2 A astfel încât �� " < x":


Demonstratie. Fie � = supA: Este clar c¼a (i) exprim¼a faptul c¼a � este majorant pentruA, iar (ii); faptul c¼a orice num¼ar real mai mic decât � nu este majorant pentru A, deci �este cel mai mic dintre majoranti. �

În mod cu totul analog, avem urm¼atorul rezultat.

Teorema 1.2.6 (de caracterizare a marginii inferioare) Fie B o submultime nev-id¼a a lui R. Elementul � 2 R este marginea inferioar¼a a lui B dac¼a si numai dac¼a au locpropriet¼atile:(i) � � x pentru orice x 2 B;(ii) 8" > 0, 9x" 2 B astfel încât x" < � + ":

Propozitia 1.2.7 Dac¼a A este o submultime nevid¼a a lui R care este majorat¼a, atuncimultimea B = �A := fx 2 R j � x 2 Ag este minorat¼a; admite in�mum si

inf(�A) = � supA:

Demonstratie. Existenta lui supA este asigurat¼a de axioma Cantor-Dedekind. Este su-�cient s¼a veri�c¼am c¼a � supA satisface propriet¼atile teoremei precedente pentru a �inf(�A): Într-adev¼ar, din Teorema de caracterizare a marginii superioare, avem

� := supA,�x � � pentru orice x 2 A8" > 0;9x" 2 A astfel încât �� " < x":

deci

� := �� = � supA,��x � � pentru orice � x 2 �A8" > 0;9 (�x") 2 �A astfel încât � + " > �x";

adic¼a � = inf(�A): �

O consecint¼a imediat¼a este urm¼atoarea teorem¼a.

Teorema 1.2.8 Orice submultime nevid¼a minorat¼a a lui R admite margine inferioar¼a înR.

Demonstratie. Fie B nevid¼a minorat¼a. Atunci �B este majorat¼a, deci admite supremum.Cum sup(�B) = � inf B; deducem c¼a B admite in�mum. �

Observatia 1.2.9 Atunci când exist¼a, in�mumul unei multimi este unic.

Observatia 1.2.10 O observatie foarte util¼a este urm¼atoarea: dac¼a A;B sunt multimim¼arginite nevide astfel încât A � B, atunci

inf B � inf A � supA � supB:


S¼a trecem în revist¼a câteva submultimi remarcabile ale lui R. Deducem c¼a odat¼a cu 1multimea R contine si elementele 2 = 1 + 1; 3 = (1 + 1) + 1; ::: De�nim astfel multimeanumerelor naturale, notat¼a N; ca �ind cea mai mic¼a submultime a lui R care contine pe 0 siodat¼a cu elementul n contine si elementul n+ 1: Multimea numerelor naturale posed¼a siproprietatea c¼a orice submultime nevid¼a a sa are un cel mai mic element. Dac¼a la multimeaN ad¼aug¼am opusele numerelor naturale, obtinem multimea numerelor întregi, notat¼a Z.Tot din axiomele de mai sus, observ¼am c¼a dac¼a x; y 2 Z; y 6= 0; x � y�1 2 R. Numerelereale de aceasta form¼a determin¼a multimea numerelor rationale, notat¼a Q: Este usor dev¼azut c¼a multimea Q satisface grupul de axiome de la I si II. Axioma de completitudinenu este îns¼a satisf¼acut¼a, un exemplu clasic �ind multimea fx 2 Q j 0 < x2 < 2g; care estenevid¼a, dar nu admite margine superioar¼a în Q: Numerele reale care nu apartin lui Q senumesc irationale. De exemplu,

p2 2 R nQ: Este important de remarcat c¼a suma dintre

un num¼ar rational si un num¼ar irational este un num¼ar irational. De asemenea, produsuldintre un num¼ar rational nenul si un num¼ar irational este un num¼ar irational.

Astfel, consider¼am multimile:

� N = f0; 1; 2; 3; :::g - multimea numerelor naturale

� Z = f:::;�2;�1; 0; 1; 2; :::g - multimea numerelor întregi

� Q =nmn

��m;n 2 Z; n 6= 0o - multimea numerelor rationale� R - multimea numerelor reale (despre care vom vorbi mai pe larg în continuare)

� N�;Z�;Q�;R� - multimile corespunz¼atoare din care se elimin¼a elementul 0.

S¼a observ¼am c¼a în de�nitia luiQ se încalc¼a tacit conventia ca în descrierea unei multimielementele s¼a �e distincte.În continuare vom nota prin:

R+ �multimea numerelor reale pozitive;

R�+ �multimea numerelor reale strict pozitive;

R� �multimea numerelor reale negative;

R�� multimea numerelor reale strict negative.

Cu aceste notatii, putem scrie R = R+ [ R�, unde R+ \ R� = f0g.Fie a; b 2 R; a < b. Folosim urm¼atoarele notatii, iar multimile astfel de�nite se numesc

intervale:

� [a; b] := fx 2 R j a � x � bg

� [a; b) := fx 2 R j a � x < bg

� (a; b] := fx 2 R j a < x � bg


� (a; b) := fx 2 R j a < x < bg

� [a;+1) := fx 2 R j a � xg

� (a;+1) := fx 2 R j a < xg

� (�1; a] := fx 2 R j x � ag

� (�1; a) := fx 2 R j x < ag:

Primele patru intervale se numesc m¼arginite, iar urm¼atoarele, nem¼arginite. Preciz¼amc¼a deocamdat¼a simbolurile +1;�1 reprezint¼a doar notatii. Se poate ar¼ata c¼a toateintervalele de�nite mai sus sunt multimi nevide. De exemplu, a+b

22 (a; b): De asemenea,

putem asimila R cu intervalul (�1;+1): Folosim si conventiile

[a; a] = fag ; [a; a) = (a; a] = ;:

Observatia 1.2.11 O observatie foarte important¼a în practic¼a este urm¼atoarea: dac¼ax > 0 si y 2 R; atunci

jyj � x, �x � y � x, y 2 [�x; x];

sijyj < x, �x < y < x, y 2 (�x; x) :

Prezent¼am în continuare câteva rezultate remarcabile referitoare la structura multimiinumerelor reale.

Teorema 1.2.12 (Proprietatea lui Arhimede) Pentru orice x > 0 si y > 0; exist¼an 2 N astfel încât nx > y:

Demonstratie. Dac¼a presupunem contrarul concluziei (metoda reducerii la absurd), atunciy este un majorant al multimii nevide fnx j n 2 Ng: Din axioma de completitudine exist¼anum¼arul real �; supremumul acestei multimi. Din teorema de caracterizare a marginiisuperioare, pentru " = x exist¼a y" = m"x (unde m" 2 N) astfel încât � � x < m"x � �:Deducem c¼a � < (m" + 1)x: Cum m" + 1 2 N; ajungem la o contradictie cu faptul c¼a �este majorant al multimii scrise mai sus. �

Propozitia 1.2.13 (i) Multimea numerelor naturale este nem¼arginit¼a superior.(ii) Dac¼a a > 0; atunci exist¼a n 2 N n f0g astfel încât 1

n< a:

(iii) Dac¼a a � 0 si pentru orice " > 0 are loc a < "; atunci a = 0:

Demonstratie. (i) Lu¼am x = 1 în Proprietatea lui Arhimede.(ii) Lu¼am x = a si y = 1 în Proprietarea lui Arhimede.(iii) Dac¼a a 6= 0; stim c¼a exist¼a n natural nenul astfel încât na > 1: Lu¼am " = 1

2n

în ipotez¼a si ajungem la o contradictie. Se observ¼a c¼a putem presupune c¼a relatia dinipotez¼a are loc doar pentru " rational. �


Teorema 1.2.14 (de existent¼a si unicitate a p¼artii întregi) Pentru orice x real e-xist¼a un unic num¼ar întreg n astfel încât n � x < n + 1: Num¼arul n se noteaz¼a [x] si senumeste partea întreag¼a a lui x:

Demonstratie. Fiind un rezultat de existent¼a si unicitate, vom demonstra pe rând celedou¼a a�rmatii.Începem prin a demonstra existenta. Dac¼a x � 0; exist¼a n 2 N� cu x < n: Fie �n cel mai

mic num¼ar natural cu aceast¼a proprietate. Atunci num¼arul �n � 1 satisface proprietateacerut¼a. Dac¼a x < 0; consider¼am cel mai mic num¼ar natural �n pentru care �x < �n. Atunci��n+ 1; dac¼a x este întreg, sau ��n; dac¼a x nu este întreg, satisface proprietatea.Demonstr¼am acum unicitatea. Presupunem, prin reducere la absurd, c¼a ar exist¼a dou¼a

numere naturale n1 < n2 ce satisfac concluzia. Atunci

n1 < n2 � x < n1 + 1;

adic¼a n2 se a�¼a între n1 si succesorul s¼au, ceea ce nu se poate. �

Teorema 1.2.15 (De densitate a lui Q în R) Dac¼a x; y 2 R si x < y atunci exist¼aq 2 Q astfel încât x < q < y:

Demonstratie. Din proprietatea lui Arhimede, exist¼a n 2 N� astfel încât

1

y � x< n;

adic¼a1

n< y � x:

Fie m = [nx] + 1 2 Z: Atunci m� 1 � nx < m; deci

x <m

n< x+

1

n< y:

Astfel, num¼arul rational q = mnse a�¼a între x si y: �

Teorema 1.2.16 (De densitate a lui R nQ în R) Dac¼a x; y 2 R si x < y; atunciexist¼a z 2 R nQ astfel încât x < z < y:

Demonstratie. Se stie c¼ap2 2 R n Q: Dar x �

p2 < y �

p2 si exist¼a, din teorema

precedent¼a, un num¼ar rational q cu

x�p2 < q < y �

p2:

Atunci q +p2 2 R nQ si x < q +

p2 < y. �

Modelul geometric intuitiv uzual pentru multimea numerelor reale este o dreapt¼a ori-entat¼a înzestrat¼a cu o origine (corespunz¼atoare lui 0) si o unitate de m¼asur¼a (i.e., 1) care


stabileste o bijectie între R si multimea punctelor dreptei. Astfel, vom desemna R si prinsintagma "dreapta real¼a", iar numerele reale prin "puncte".

Vom ad¼auga multimii R dou¼a noi elemente (deci care nu fac parte din R): �1 (minusin�nit) si +1 (plus in�nit). Ne reamintim c¼a am folosit deja aceste simboluri f¼ar¼a ale atribui o semni�catie precis¼a. Preciz¼arile de mai jos se aplic¼a si în cazul intervalelornem¼arginite de�nite mai sus. Noua multime obtinut¼a se noteaz¼a R = R [ f�1;+1g:Relatia de ordine de pe R se extinde pe R punând �1 < x si x < +1 pentru orice x 2 R.Avantajul utiliz¼arii lui R const¼a în faptul c¼a orice submultime nevid¼a a lui R (deci si alui R) admite supremum si in�mum în R: Astfel, dac¼a respectiva multime este majorat¼a(minorat¼a) înR, atunci existenta supremum-ului este asigurat¼a de Axioma completitudinii(iar a in�mumului de unul din rezultatele precedente). Contrar, consider¼am c¼a supremu-mul multimii este +1 (in�mumul este �1): Deci scrierea supA = +1 devine un mod dea nota faptul c¼a A nu este majorat¼a în R. În cazul marginii inferioare, au loc consideratiisimilare. Operatiile algebrice de pe R se extind partial pentru cele dou¼a noi elemente:

� x+ (�1) = (�1) + x = �1; 8 x 2 R;

� (�1) + (�1) = �1;

� x+ (+1) = (+1) + x = +1; 8 x 2 R;

� (+1) + (+1) = +1;

� x � (�1) = (�1) � x =�+1; dac¼a x 2 R; x < 0�1; dac¼a x 2 R; x > 0

� x � (+1) = (+1) � x =��1; dac¼a x 2 R; x < 0+1; dac¼a x 2 R; x > 0:

Asa cum se poate observa, nu se atribuie niciun sens expresiilor

+1+ (�1); 0 � (�1); (�1) � 0:

În R au sens intervalele de forma [a;+1] := fx 2 R j x � ag (a 2 R) si analoagelesale cu �1. Din nou, [�1;+1] = R: De multe ori, în loc de +1 vom scrie 1:

Capitolul 2

Siruri si serii

2.1 Siruri de numere reale

De�nitia 2.1.1 Se numeste sir de numere reale (sau sir numeric) o functie f : N! R:

Valoarea functiei f în n 2 N; f(n); se noteaz¼a cu xn sau yn; zn; s.a.m.d., iar sirul de�nitde f se noteaz¼a (xn) sau, respectiv, (yn); (zn): În acest capitol cuvântul "sir" desemneaz¼aun sir de numere reale în sensul de�nitiei de mai sus.

Exemplul 2.1.2 (i) Considerând functia f : N! R; f(n) = n; obtinem sirul numerelornaturale:

0; 1; 2; :::; n; n+ 1; :::

(ii) Functia f : N! R; f(n) = 2n reprezint¼a sirul numerelor naturale pare:

0; 2; 4; 6; : : : ; 2n; 2(n+ 1); : : :

(iii) Pentru a 2 R si ratia r 6= 0; progresia aritmetic¼a

a; a+ r; a+ 2r; a+ 3r; : : : ; a+ nr; a+ (n+ 1)r; : : :

este un alt exemplu de sir de numere reale.(iv) Progresia geometric¼a cu primul termen a 2 R� si ratia q 6= 0:

a; aq; aq2; aq3; : : : ; aqn; aqn+1; : : :

este, de asemenea, un sir numeric.

De�nitia 2.1.3 Un sir se numeste majorat (minorat, m¼arginit) dac¼a multimea terme-nilor s¼ai este majorat¼a (minorat¼a, m¼arginit¼a).

Exemplul 2.1.4 (i) Sirul an = 2n+13n+1

, cu n 2 N, este m¼arginit, deoarece

0 < an � 1; 8n 2 N:

14

2.1. Siruri de numere reale 15

(ii) Sirul an = n, cu n 2 N, este minorat de 0, dar nu este majorat; prin urmare, esteun sir nem¼arginit.(iii) Sirul an = �n, cu n 2 N, este majorat de 0, dar nu este minorat; prin urmare,

este un sir nem¼arginit.(iv) Sirul an = (�1)nn, cu n 2 N, este nem¼arginit (nu este nici minorat, nici majorat).

De�nitia 2.1.5 Un sir (xn) se numeste cresc¼ator (respectiv, strict cresc¼ator, descresc¼a-tor, strict descresc¼ator) dac¼a pentru orice n 2 N; xn+1 � xn (respectiv, xn+1 > xn;xn+1 � xn; xn+1 < xn). Un sir cresc¼ator sau descresc¼ator se numeste monoton, în timpce un sir strict cresc¼ator sau strict descresc¼ator se numeste strict monoton.

Observatia 2.1.6 În general, pentru studiul monotoniei unui sir numeric (xn)n2N seutilizeaz¼a una dintre urm¼atoarele metode:(i) compar¼am cu 0 diferenta xn+1 � xn a doi termeni consecutivi oarecare din sir;(ii) dac¼a xn > 0 pentru orice n 2 N, putem, echivalent, compara cu 1 raportul xn+1xn

adoi termeni consecutivi oarecare din sir.

Exemplul 2.1.7 (i) Sirul de termen general

xn =n� 1n+ 1

;8n 2 N;

este strict cresc¼ator, deoarece

xn+1 � xn =(n+ 1)� 1(n+ 1) + 1

� n� 1n+ 1

=n

n+ 2� n� 1n+ 1

=n(n+ 1)� (n� 1)(n+ 2)

(n+ 1)(n+ 2)=n2 + n� n2 � 2n+ n+ 2

(n+ 1)(n+ 2)

=2

(n+ 1)(n+ 2)> 0; 8n 2 N:

(ii) Sirul de termen general

xn =1 � 3 � 5 � : : : � (2n� 1)5 � 10 � 15 � : : : � (5n) > 0;8n 2 N�;

este strict descresc¼ator, deoarece

xn+1xn

=

1�3�5�:::�(2n�1)�(2n+1)5�10�15�:::�(5n)�[5(n+1)]

1�3�5�:::�(2n�1)5�10�15�:::�(5n)

=1 � 3 � 5 � : : : � (2n� 1) � (2n+ 1)5 � 10 � 15 � : : : � (5n) � (5n+ 5) �

5 � 10 � 15 � : : : � (5n)1 � 3 � 5 � : : : � (2n� 1)

=2n+ 1

5n+ 5< 1; 8n 2 N�:

16 Capitolul 2. Siruri si serii

(iii) Sirul de termen general

xn = (�1)n;8n 2 N;

nu este monoton, deoarece termenii s¼ai de rang par sunt strict pozitivi, iar termenii derang impar, strict negativi (x2n = 1 > �1 = x2n+1 < 1 = x2n+2, pentru orice n 2 N).

Observatia 2.1.8 Este clar c¼a dac¼a un sir este cresc¼ator, atunci este minorat de primuls¼au termen. Similar, un sir descresc¼ator este majorat de primul s¼au termen.

Introducem acum unul dintre conceptele esentiale ale Analizei Matematice, acela desir convergent, pentru care avem nevoie de notiunea de vecin¼atate a unui punct. De fapt,notiunea de vecin¼atate este un concept cheie pentru toate notiunile de Analiz¼a Matematic¼ape care le vom discuta în continuare.

De�nitia 2.1.9 Se numeste vecin¼atate a num¼arului real a o submultime a lui R carecontine un interval deschis centrat în a; i.e., un interval de forma (a � "; a + "); unde" > 0:

Multimea tuturor vecin¼at¼atilor lui x se noteaz¼a cu V(x):

De�nitia 2.1.10 Un sir (xn) este convergent dac¼a exist¼a x 2 R astfel încât

8V 2 V(x);9nV 2 N astfel încât 8n � nV ; xn 2 V:

Num¼arul x se numeste limita lui (xn):

Vom folosi notatiile xn ! x; limn!1

xn = x sau, mai simplu, limxn = x pentru a descrie

situatia din de�nitia precedent¼a. Are loc urm¼atorul rezultat de caracterizare.

Propozitia 2.1.11 Un sir (xn) este convergent la limita x 2 R dac¼a si numai dac¼a

8" > 0;9n" 2 N astfel încât 8n � n"; jxn � xj < ":

Demonstratie. Demonstr¼am implicatia direct¼a. Fie " > 0: Cum (x�"; x+") este vecin¼atatea lui x; exist¼a n" 2 N astfel încât pentru orice n � n"; xn 2 (x � "; x + "): Aceasta esteechivalent cu jxn � xj < ": Implicatia reciproc¼a este evident¼a. �

Observatia 2.1.12 Au loc urm¼atoarele echivalente ce vor �deseori folosite în continuare:

jxn � xj < ", �" < xn � x < ", x� " < xn < x+ ", xn 2 (x� "; x+ "):

Exemplul 2.1.13 Sirul xn = 1n; n 2 N� este convergent la 0: Într-adev¼ar, acest sir

satisface conditia din propozitia precedent¼a, conform propriet¼atii lui Arhimede.

Propozitia 2.1.14 Orice sir convergent este m¼arginit.


Demonstratie. Fie (xn) un sir cu limita x 2 R si �e " = 1: Aplic¼am propozitia precedent¼a sise obtine c¼a orice termen al sirului este mai mic sau egal decât

M := maxfjx0j ; jx1j ; :::; jxn1�1j ; jxj+ 1g:

Conchidem c¼a sirul este m¼arginit. �

Observatia 2.1.15 Reciproca acestei propozitii este fals¼a, asa cum se poate constata peexemplul sirului

xn = (�1)n;8n 2 N:

De�nim acum faptul c¼a un sir are limita +1 sau �1; motiv pentru care trebuie maiîntâi s¼a de�nim urm¼atoarele concepte.

De�nitia 2.1.16 Fie R := R [ f�1;+1g multimea extins¼a a numerelor reale.(i) Se numeste vecin¼atate a lui +1 o submultime a lui R care contine un interval de

forma (x;+1]; unde x 2 R.(ii) Se numeste vecin¼atate a lui �1 o submultime a lui R care contine un interval de

forma [�1; x); unde x 2 R.

Multimea tuturor vecin¼at¼atilor lui +1 (respectiv, �1) se noteaz¼a cu V(+1) (res-pectiv, V(�1)).

De�nitia 2.1.17 (i) Spunem c¼a sirul (xn) are limita +1 dac¼a

8V 2 V(+1);9nV 2 N astfel încât 8n � nV ; xn 2 V:

(ii) Spunem c¼a sirul (xn) are limita �1 dac¼a

8V 2 V(�1);9nV 2 N astfel încât 8n � nV ; xn 2 V:

În situatia de la (i) not¼am xn ! +1 sau limxn = +1; iar pentru (ii); not¼amxn ! �1 sau limxn = �1Rezultatele corespunz¼atoare de caracterizare sunt urm¼atoarele.

Propozitia 2.1.18 (i) Un sir (xn) are limita +1 dac¼a si numai dac¼a

8A > 0;9nA 2 N astfel încât 8n � nA; xn > A:

(ii) Un sir (xn) are limita �1 dac¼a si numai dac¼a

8A > 0;9nA 2 N astfel încât 8n � nA; xn < �A:

Demonstratie. Imediat¼a. �

Propozitia 2.1.19 Dac¼a exist¼a, limita unui sir este unic¼a.


Demonstratie. Utiliz¼am metoda reducerii la absurd. Fie (xn) un sir cu dou¼a limite diferite,x; y 2 R: Consider¼ammai întâi situatia x; y 2 R: Atunci y > x sau x > y: În prima situatie" := y�x

2este strict pozitiv. Conform Propozitiei 2.1.11, exist¼a un rang n1" 2 N astfel încât

pentru orice n � n1"; jxn � xj < " si un rang n2" 2 N astfel încât pentru orice n � n2";jxn � yj < ": Atunci, pentru n � max(n1"; n2"); putem scrie

y � x = jy � xj � jxn � xj+ jxn � yj < 2" = y � x;

si ajungem la o contradictie. Cazurile care au r¼amas se trateaz¼a similar. �

De�nitia 2.1.20 Un sir care nu este convergent se numeste divergent. În particular,dac¼a (xn) are limita +1 sau �1; atunci el este divergent.

Prezent¼am mai jos rezultate referitoare la operatii cu siruri care au limit¼a.

Propozitia 2.1.21 Fie (xn); (yn) siruri de numere reale, x; y; a 2 R.(i) dac¼a xn ! x; yn ! y; atunci xn + yn ! x+ y; xnyn ! xy;(ii) dac¼a xn ! x; atunci axn ! ax; pentru orice a real si jxnj ! jxj ;(iii) dac¼a xn ! x 6= 0; atunci sirul

�1xn

�este bine de�nit de la un rang încolo si are

limita 1x;

(iv) dac¼a xn !1 si (yn) este m¼arginit inferior; atunci xn + yn !1;(v) dac¼a xn ! �1 si (yn) este m¼arginit superior; atunci xn + yn ! �1;(vi) dac¼a xn ! �1 si yn ! y 2 Rnf0g; atunci xnyn ! �1 � sgn(y);(vii) dac¼a xn !1 si yn ! y; atunci sirul

�ynxn

�este bine de�nit de la un rang încolo

si are limita 0;(viii) dac¼a xn > 0 pentru orice n; xn ! 0 si yn ! y 2 Rnf0g; atunci yn

xn! +1�sgn(y):

Demonstratie. (i) Folosim inegalitatea

jxn + yn � x� yj � jxn � xj+ jyn � yj ;8n:

Fie " > 0: Exist¼a n1" 2 N astfel încât pentru orice n � n1"; jxn � xj < "2si n2" 2 N astfel

încât pentru orice n � n2"; jyn � yj < "2: Atunci, pentru n � max(n1"; n2"); din inegalitatea

de mai sus, jxn + yn � x� yj < "; i.e., xn + yn ! x+ y: În cazul produsului, inegalitatea

jxnyn � xyj � jxnyn � xnyj+ jxny � xyj = jxnj jyn � yj+ jyj jxn � xj ;8n;

sugereaz¼a urm¼atorul rationament. Sirul (xn) �ind convergent, este m¼arginit, deci exist¼aM > 0 astfel încât jxnj � M pentru orice n: Fie acum " > 0: Exist¼a n1" 2 N astfel încâtpentru orice n � n1"; jyn � yj < "

2Msi n2" 2 N astfel încât

jxn � xj < "

2(jyj+ 1) ;8n � n2":

Deci, pentru n � max(n1"; n2");

jxnyn � xyj < M"

2M+

"

2(jyj+ 1) < ":


(ii) Cum jaxn � axj = jaj jxn � xj ; iar jjxnj � jxjj � jxn � xj ; pentru orice n; demon-stratiile sunt imediate.(iii) Fie situatia x > 0: Luând " := x

2obtinem c¼a de la un rang încolo (n0), xn > x

2> 0;

deci exist¼a x�1n : În plus, pentru n � n0;�� 1xn � 1

x

�� = jxn � xjjxnj jxj

< 2jxn � xjjxj2

:

Concluzia este imediat¼a.Celelalte implicatii sunt asem¼an¼atoare. �

Observatia 2.1.22 Facem observatia c¼a dac¼a jxnj ! x > 0 atunci, în general, nu rezult¼aconvergenta sirului (xn): Acest lucru se poate veri�ca pentru sirul xn = (�1)n; n 2 N:

Observatia 2.1.23 Urm¼atoarele sapte cazuri sunt nedetermin¼ari:

1�1;�1 � 0; 00;�1�1 ; 00;�10; 1�1:

Urm¼atoarea propozitie grupeaz¼a mai multe rezultate fundamentale.

Propozitia 2.1.24 (treceri la limit¼a) Fie (xn); (yn); (zn) siruri de numere reale,x; y 2 R si n0 2 N.(i) (Trecerea la limit¼a în inegalit¼ati) Dac¼a xn ! x; yn ! y si xn � yn; 8n � n0; atunci

x � y:(ii) (Criteriul major¼arii) Dac¼a jxn � xj � yn; 8n � n0 si yn ! 0; atunci xn ! x:(iii) Dac¼a xn � yn;8n � n0 si yn ! +1; atunci xn ! +1:(iv) Dac¼a xn � yn;8n � n0 si xn ! �1; atunci yn ! �1:(v) Dac¼a (xn) este m¼arginit si yn ! 0; atunci xnyn ! 0:(vi) (Teorema clestelui) Dac¼a xn � yn � zn; 8n � n0 si xn ! x; zn ! x; atunci

yn ! x;(vii) Au loc: xn ! 0, jxnj ! 0, x2n ! 0:

Demonstratie. (i) Demonstratia se poate face prin reducere la absurd: presupunem c¼ax > y: Luând " = x�y

2> 0; de la un rang încolo, xn > x � " = x+y

2si yn < y + " = x+y

2;

ceea ce reprezint¼a o contradictie.Punctele (ii), (iii), (iv), (v) se obtin imediat pe baza aplic¼arii de�nitiilor.(vi) Fie " > 0: Exist¼a un rang începând cu care

�" < xn � x � yn � x � zn � x < ";

de unde concluzia.Punctul (vii) este, de asemenea, imediat. �

Observatia 2.1.25 În Propozitia 2.1.24 (i), dac¼a între termenii a dou¼a siruri avem ine-galitate strict¼a, aceasta nu se transmite, în general, si la limite. De exemplu sirurilexn = 0 si yn = 1

n; n 2 N� satisfac inegalitatea strict¼a

xn < yn; 8n 2 N�;dar limxn = lim yn = 0:


De�nitia 2.1.26 Se numeste subsir al sirului (xn) un sir (yk) cu proprietatea c¼a pentruorice k 2 N; yk = xnk ; unde (nk) este un sir strict cresc¼ator de numere naturale.

Exemplul 2.1.27 Dac¼a (xn)n2N este un sir de numere reale, sirurile (x3k)k2N; (x3k+1)k2N;(x3k+2)k2N reprezint¼a subsiruri ale lui (xn):

De�nitia 2.1.28 Fie (xn) un sir de numere reale. Un element x 2 R se numeste punctlimit¼a al lui (xn) dac¼a exist¼a un subsir al lui (xn) cu limita x:

Exemplul 2.1.29 Punctele limit¼a ale sirului�sin n�

2

�sunt 0;�1;+1: Într-adev¼ar,

x2k = sin k� = 0; 8k 2 N

si decix2k ! 0:

De asemenea,

x4k+1 = sin�2k� +

�

2

�= 1; 8k 2 N

six4k+1 ! 1:

În sfârsit,

x4k+3 = sin

�2k� +

3�

2

�= �1; 8k 2 N

six4k+3 ! �1:

Cum cele trei subsiruri partitioneaz¼a multimea termenilor sirului initial, nu mai exist¼aalte puncte limit¼a.

Teorema 2.1.30 Un sir are limita x 2 R dac¼a si numai dac¼a orice subsir al s¼au esteconvergent la limita x: Altfel spus, un sir are limit¼a dac¼a si numai dac¼a multimea punctelorsale limit¼a este format¼a dintr-un singur element.

Demonstratie. Fie x 2 R: Presupunem c¼a xn ! x: Este clar c¼a orice subsir satisfacecaracterizarea cu " a faptului c¼a limita sa este x; deci orice subsir are limita x: Invers,presupunem c¼a toate subsirurile lui (xn) converg la x: Dac¼a (xn) nu ar converge la x;atunci ar exista " > 0 si un sir strict cresc¼ator (nk) de numere naturale astfel încât pentruorice k

jxnk � xj � ":

Este clar c¼a subsirul (xnk) astfel format nu converge la x, ceea ce reprezint¼a o contradictie.Cazurile x = +1 si x = �1 se trateaz¼a similar. �

Corolarul 2.1.31 Un sir care are dou¼a subsiruri cu limite diferite este divergent.


Exemplul 2.1.32 Sirurile xn = (�1)n; n 2 N si yn = cos n�2; n 2 N sunt divergente.

Într-adev¼ar, pentru (xn)

x2k = (�1)2k = 1k!1�! 1;

în vreme cex2k+1 = (�1)2k+1 = �1

k!1�! �1 6= 1:

Pentru (yn);

y4k = cos4k�

2= cos 2k� = cos 0 = 1

k!1�! 1;

în vreme ce

y4k+1 = cos(4k + 1)�

2= cos

�2k� +

�

2

�= cos

�

2= 0

k!1�! 0 6= 1:

Continu¼am cu rezultate fundamentale în teoria sirurilor de numere reale.

Teorema 2.1.33 (privind convergenta sirurilor monotone) Orice sir monoton arelimit¼a în R: Dac¼a, în plus, sirul este m¼arginit, atunci el este convergent dup¼a cum urmeaz¼a:dac¼a este cresc¼ator, atunci limita sa este marginea superioar¼a a multimii termenilor si-rului, iar dac¼a este descresc¼ator, atunci limita sa este marginea inferioar¼a a multimiitermenilor sirului. Dac¼a este nem¼arginit, atunci are limita +1 sau �1 dup¼a cum estecresc¼ator sau descresc¼ator.

Demonstratie. Consider¼am cazul în care sirul este monoton cresc¼ator si m¼arginit (superior,m¼arginirea inferioar¼a �ind automat¼a din monotonie). Fie M := sup

n2Nxn (exist¼a în R

deoarece sirul este majorat). Conform teoremei de caracterizare a marginii superioare,

8" > 0;9n" 2 N :M � " < xn".

Dar atunci, deoarece sirul (xn) este cresc¼ator, pentru orice n � n" avem:

M � " � xn" � xn �M < M + "

sau, echivalent,jxn �M j < ".

Acest lucru arat¼a c¼a limn!1

xn =M = supn2N

xn (ceea ce trebuia demonstrat). Celelalte situatii

se trateaz¼a similar. �

Observatia 2.1.34 S¼a observ¼am c¼a dac¼a (xn) este un sir monoton cresc¼ator, atunci pen-tru orice n are loc inegalitatea xn � limxn: Evident, pentru un sir monoton descresc¼ator,are loc inegalitatea invers¼a.

Teorema 2.1.35 (Weierstrass) Orice sir m¼arginit si monoton este convergent.

Demonstratie. Din teorema anterioar¼a. �


Observatia 2.1.36 Teorema lui Weierstrass ne permite s¼a demonstr¼am convergenta unuisir doar pe baza unor evalu¼ari privind termenii s¼ai, dar nu ne d¼a o indicatie precis¼a privindvaloarea limitei.

Observatia 2.1.37 Reciproca Teoremei lui Weierstrass este fals¼a. De exemplu sirul

xn =(�1)nn

; n 2 N�

are limita 0 (ca produs dintre un sir m¼arginit si un sir cu limita 0) dar nu este monotonpentru c¼a termenii de rang par sunt strict pozitivi, iar cei de rang impar sunt strictnegativi.

Teorema 2.1.38 (Cantor) Fie un sir de intervale închise în R; ([an; bn])n2N astfel încât[an+1; bn+1] � [an; bn] pentru orice n si bn� an ! 0: Atunci exist¼a un unic element comuntuturor intervalelor.

Demonstratie. Demonstr¼am pentru început existenta. Deoarece [an; bn] � [an+1; bn+1]pentru orice n 2 N, rezult¼a c¼a

an � an+1 � bn+1 � bn pentru orice n 2 N; (2.1)

adic¼a sirul (an) este cresc¼ator, iar sirul (bn) este descresc¼ator. Mai mult, (an) este majoratde b0 iar (bn) este minorat de a0 si putem aplica teorema anterioar¼a pentru a concluzionac¼a sirurile (an) si (bn) sunt convergente. Având în vedere c¼a lim

n!1(bn � an) = 0 (din

ipotez¼a), rezult¼a c¼a limn!1

an = limn!1

bn si not¼am valoarea comun¼a cu x.

Din monotonia celor dou¼a siruri, deducem c¼a num¼arul real x se a�¼a în �ecare interval[an; bn]. Deci,

x 2\n2N

[an; bn].

Demonstr¼am acum unicitatea. Fie y un punct al intersectiei. Atunci, an � y � bnpentru orice n 2 N si trecând din nou la limit¼a în aceast¼a inegalitate, rezult¼a

limn!1

an � y � limn!1

bn;

adic¼a x � y � x, ceea ce este spune c¼a x = y. În concluzie, punctul x este unic si teoremaeste complet demonstrat¼a. �

Teorema 2.1.39 (Cesàro) Orice sir m¼arginit are un subsir convergent.

Demonstratie. Fie (xn) un sir m¼arginit de numere reale. Atunci exist¼a un interval, pecare-l vom nota [a0; b0]; care contine toti termenii sirului. Alegem un termen oarecare,

xn0 2 [a0; b0]. Cel putin unul din intervaleleha0;

a0+b02

isau

�a0+b02; b0�contine o in�nitate

de termeni ai sirului. Not¼am intervalul respectiv cu [a1; b1] si alegem un termen oarecarexn1 2 [a1; b1] � [a0; b0] astfel încât n1 > n0 (exist¼a un astfel de indice, tocmai pentru c¼a


avem o in�nitate de termeni ai sirului în [a1; b1]). Observ¼am c¼a lungimea lui [a1; b1] esteb0�a02: Procedând în acelasi mod, obtinem un interval

[a2; b2] � [a1; b1] � [a0; b0]

si un element xn2 2 [a2; b2], cu n2 > n1 iar lungimea intervalului [a2; b2] este b1�a12.

Inductiv, obtinem un sir de intervale [ak; bk], k 2 N, �ecare continând o in�nitate determeni ai sirului (xn), din care am �xat un termen, xnk 2 [ak; bk]; astfel încât (nk) � Neste strict cresc¼ator. În plus, aceste intervale satisfac conditiile Teoremei lui Cantor:

[ak+1; bk+1] � [ak; bk]; 8k 2 N;

iar

bk � ak =bk�1 � ak�1

2=bk�2 � ak�2

22= ::: =

b0 � a02k

,

de unde rezult¼a c¼a limk!1

(bk � ak) = 0. Fie x punctul a c¼arui existent¼a este asigurat¼a de

Teorema lui Cantor:fxg =

\k2N

[ak; bk].

Atunci x 2 [ak; bk] pentru orice k 2 N. Cum si xnk 2 [ak; bk] pentru orice k 2 N rezult¼a c¼a

jxnk � xj � bk � ak =1

2k(b0 � a0)! 0.

Conform Criteriului major¼arii, subsirul (xnk) este convergent si are limita x; iar teoremaeste demonstrat¼a. �

De�nitia 2.1.40 Sirul (xn) se numeste sir Cauchy sau sir fundamental dac¼a

8" > 0;9n" 2 N astfel încât 8n;m � n"; jxn � xmj < ":

De�nitia de mai sus poate � reformulat¼a astfel: (xn) este sir Cauchy dac¼a

8" > 0;9n" 2 N astfel încât 8n � n";8p 2 N�; jxn+p � xnj < ":

Teorema 2.1.41 (Cauchy) Un sir este convergent dac¼a si numai dac¼a este fundamen-tal.

Demonstratie. S¼a consider¼am, pentru început, un sir (xn) convergent, adic¼a

limn!1

xn = x 2 R;

si �e " > 0. Atunci,9n" 2 N;8n � n" : jxn � xj < "

2.

Pentru orice n;m � n" avem jxn � xmj � jxn � xj+ jx� xmj < ". Am ar¼atat astfel c¼a unsir convergent este sir Cauchy.


Reciproc, �e (xn) un sir fundamental. Demonstr¼am c¼a (xn) este m¼arginit. Luând" = 1 în de�nitia sirului Cauchy, rezult¼a c¼a exist¼a un rang n1 2 N astfel încât

8n;m � n1; avem jxn � xmj < 1:

În particular, pentru m = n1 si pentru orice n � n1, avem jxn � xn1j < 1, de unde rezult¼ac¼a

jxnj � jxn � xn1j+ jxn1 j < 1 + jxn1j .Considerând

M = max fjx0j ; jx1j ; :::; jxn1�1j ; 1 + jxn1jg ;vom avea jxnj �M pentru orice n 2 N, adic¼a sirul (xn) este m¼arginit.Conform Teoremei lui Cesàro, (xn) are un subsir convergent, pe care îl vom nota cu

(xnk)k2N : Fie limk!1xnk = x 2 R si " > 0: Avem:

(xn) sir Cauchy) 9n" 2 N;8n;m � n" : jxn � xmj <"

2

limk!1

xnk = x) 9k" 2 N;8k � k" : jxnk � xj < "

2:

Pentru k � maxfn"; k"g avem nk � k � n" si jxk � xnk j <"

2din conditia de sir Cauchy,

decijxk � xj � jxk � xnk j+ jxnk � xj < "

2+"

2= ":

În concluzie, sirul (xn) este convergent si are limita x. �

Observatia 2.1.42 Conform acestei teoreme, putem proba convergenta unui sir demon-strând o relatie între termenii s¼ai (deci, în particular, f¼ar¼a a-i g¼asi efectiv limita).

Exemplul 2.1.43 1. Pentru sirul

xn =sin x

2+sin 2x

22+ :::+

sinnx

2n; n 2 N�;

unde x este un num¼ar real �xat, avem:

jxn+p � xnj =��sin(n+ 1)x2n+1

+ :::+sin(n+ p)x

2n+p

�� jsin(n+ 1)xj

2n+1+ :::+

jsin(n+ p)xj2n+p

�

� 1

2n+1+ :::+

1

2n+p=1

2n

�1� 1

2p

�<1

2n:

Cum1

2n! 0; rezult¼a c¼a sirul este Cauchy, deci convergent.

2. Consider¼am sirul

xn = 1 +1

2+ :::+

1

n; n 2 N�


Acest sir nu este sir fundamental, deci nu este convergent. Într-adev¼ar, observ¼am c¼a

jxn+p � xnj =1

n+ 1+ :::+

1

n+ p� 1

n+ p+ :::+

1

n+ p=

p

n+ p; 8n; p 2 N�:

Atunci, pentru p = n obtinem jx2n � xnj �n

2n=1

2. Deci sirul dat nu îndeplineste

conditia de sir Cauchy. Cum (xn) este strict cresc¼ator, deducem c¼a limita sa este +1:

Finaliz¼am aceast¼a sectiune cu câteva criterii utile de convergent¼a.

Propozitia 2.1.44 Fie (xn) un sir de numere reale strict pozitive astfel încât exist¼alim xn+1

xn= x: Dac¼a x < 1; atunci xn ! 0; iar dac¼a x > 1; atunci xn ! +1:

Demonstratie. Consider¼am cazul x < 1: Atunci exist¼a " > 0 astfel încât x + " < 1 si unrang n" începând cu care

xn+1xn

< x+ ":

Prin înmultirea acestor relatii scrise pentru n"; n" + 1; :::; n� 1 deducemxnxn"

< (x+ ")n�n" ;

adic¼axn < xn"(x+ ")n�n" :

Pentru n!1; cum x+ " < 1 obtinem c¼a xn ! 0.Cazul x > 1 se trateaz¼a analog. �

Observatia 2.1.45 Dac¼a x = 1, nu putem preciza natura sirului. De exemplu, sirulxn =

1n, n 2 N� este convergent la 0 si

limn!1

xn+1xn

= limn!1

1n+11n

= limn!1

n

n+ 1= 1;

iar sirul yn = n, n 2 N este divergent, cu limita +1, si

limn!1

yn+1yn

= limn!1

n+ 1

n= 1:

Acest exemplu arat¼a si c¼a reciprocele a�rmatiilor din rezultatul precedent nu sunt ade-v¼arate.

Exemplul 2.1.46 Studiem cu ajutorul Propozitiei 2.1.44 convergenta sirurilor de maijos.(i) an =

�23

�n, n 2 N:

Deoarece

limn!1

an+1an

= limn!1

�23

�n+1�23

�n = limn!1

2n+1

3n+1� 3

n

2n= lim

n!1

2

3=2

3< 1;


rezult¼a c¼a limn!1

�2

3

�n= 0.

(ii) an =�54

�n, n 2 N. Deoarece

limn!1

an+1an

= limn!1

�54

�n+1�54

�n = limn!1

5n+1

4n+1� 4

n

5n= lim

n!1

5

4=5

4> 1;


�5

4

�n= +1.

(iii) an =2n

n!, n 2 N. Deoarece

limn!1

an+1an

= limn!1

2n+1

(n+1)!

2n

n!

= limn!1

2n+1

(n+ 1)!� n!2n= lim

n!1

2

n+ 1= 0;


2n

n!= 0.

(iv) an =nn

n!, n 2 N. Deoarece

limn!1

an+1an

= limn!1

(n+1)n+1

(n+1)!

nn

n!

= limn!1

(n+ 1)n

n!� n!nn= lim

n!1

�n+ 1

n

�n= lim

n!1

�1 +

1

n

�n= e �= 2; 71 > 1;

(a se vedea Anexa 6:5) rezult¼a c¼a limn!1

nn

n!= +1.

(v) an =1 � 4 � 7 � : : : � (3n+ 1)1 � 5 � 9 � : : : � (4n+ 1) , n 2 N. Deoarece

limn!1

an+1an

= limn!1

1�4�7�:::�(3n+1)�[3(n+1)+1]1�5�9�:::�(4n+1)�[4(n+1)+1]

1�4�7�:::�(3n+1)1�5�9�:::�(4n+1)

= limn!1

1 � 4 � 7 � : : : � (3n+ 1) � (3n+ 4)1 � 5 � 9 � : : : � (4n+ 1) � (4n+ 5) �

1 � 5 � 9 � : : : � (4n+ 1)1 � 4 � 7 � : : : � (3n+ 1)

= limn!1

3n+ 4

4n+ 5=3

4< 1;


1 � 4 � 7 � : : : � (3n+ 1)1 � 5 � 9 � : : : � (4n+ 1) = 0.

Un alt criteriu important este dat de rezultatul de mai jos.

Propozitia 2.1.47 Fie (xn) un sir de numere reale strict pozitive astfel încât exist¼alim xn+1

xn= x 2 R: Atunci exist¼a lim n

pxn = x:


Demonstratie. Este evident c¼a x � 0: Demostr¼am cazul x 2 (0;1): Fie " > 0 astfel încâtx� " > 0. Din de�nitia limitei, exist¼a n" 2 N astfel încât pentru n � n";

xn+1xn

> x� ".

Atunci, având în vedere c¼a

xn =xnxn�1

� xn�1xn�2

� ::: � xn"+1xn"

� xn" ;

obtinemxn > (x� ")n�n" � xn"

pentru orice n � n". Notând cu M := (x� ")�n" � xn", avem

xn > (x� ")n �M; 8n � n"

sau, echivalent,npxn > (x� ") �M 1

n ; 8n � n"

Analog, exist¼a m" astfel încât pentru n � m";

xn+1xn

< x+ "

si rationând ca mai sus, obtinem

xn < (x+ ")n�m" � xm"

pentru orice n � m". Notând cu K := (x+ ")�m" � xm", avem

xn < (x+ ")n �K; 8n � m"

sau, echivalent,npxn < (x+ ") �K 1

n ; 8n � m":

Asadar, pentru n � maxfn";m"g;

(x� ") �M 1n < n

pxn < (x+ ") �K 1

n :

Aceast¼a relatie conduce la concluzie.Cazurile r¼amase se demonstreaz¼a modi�când corespunz¼ator argumentele de mai sus.

�

Exemplul 2.1.48 (i) Este usor de dedus din rezultatul precedent faptul c¼a

limn!1

npn = 1 si lim

n!1npa = 1; 8a > 0:

(ii) Fie sirul an = nn

n!; pentru n 2 N�: Deoarece

an+1an

=(n+ 1)n+1

(n+ 1)!� n!nn=(n+ 1)n

nn=

�n+ 1

n

�n=

�1 +

1

n

�nn!1�! e;


nnpn!= lim

n!1npan = e.


Observatia 2.1.49 A�rmatia reciproc¼a a propozitiei anterioare nu este adev¼arat¼a: exist¼asiruri (xn) cu lim

n!1npxn 2 R pentru care lim

n!1

xn+1xn

nu exist¼a. Astfel, pentru

xn :=

( 1

n; n par

n; n impar,

avem limn!1

npxn = 1 dar

�xn+1xn

�are dou¼a subsiruri cu limite diferite.

Propozitia 2.1.50 (Stolz-Cesàro) Fie (xn) si (yn) siruri de numere reale astfel încât(yn) este strict cresc¼ator si cu limita +1: Dac¼a exist¼a lim xn+1�xn

yn+1�yn = x 2 R; atunci exist¼alim xn

ynsi este egal¼a cu x.

Demonstratie. Demonstr¼am cazul x 2 R; celelalte situatii folosind argumente similare.Scriem caracterizarea cu " a limitei date: pentru orice " > 0 exist¼a n" natural astfel încâtpentru orice n � n";

x� " <xn+1 � xnyn+1 � yn

< x+ ":

Cum yn+1 � yn > 0 pentru orice n;

(x� ") (yn+1 � yn) < xn+1 � xn < (x+ ") (yn+1 � yn) ; 8n � n":

Sum¼am aceste relatii de la n" la n� 1 si deducem

(x� ") (yn � yn") < xn � xn" < (x+ ") (yn � yn") ; 8n > n":

Evident, yn este pozitiv de la un rang încolo (putem s¼a presupunem c¼a acest rang e totn") si avem, prin împ¼artire cu yn,

(x� ")

�1� yn"

yn

�<xnyn� xn"

yn< (x+ ")

�1� yn"

yn

�; 8n > n":

Este clar c¼ayn"yn! 0;

xn"yn

! 0;

deci de la un rang su�cient de mare încolo

x� 2" < (x� ")

�1� yn"

yn

�+xn"yn

(x+ ")

�1� yn"

yn

�+xn"yn

< x+ 2":

Prin urmare, de la un rang încolo

x� 2" < xnyn

< x+ 2";

ceea ce ne conduce la concluzie. �


Exemplul 2.1.51 Determin¼am urm¼atoarele limite:

(i) limn!1

1 + 12+ � � �+ 1

n

lnn;

(ii) limn!1

1 + 12+ � � �+ 1

npn

;

(iii) limn!1

12 + 22 + 33 + � � �+ nn

nn:

Folosim Criteriul Stolz-Cesàro în �ecare caz în parte.(i) Pentru n 2 N�, not¼am an = 1+

12+ � � �+ 1

nsi bn = lnn. Avem de calculat lim

n!1

anbn.

Pentru aceasta observ¼am c¼a sirul (bn) este strict cresc¼ator si limn!1

bn = +1, iar

an+1 � anbn+1 � bn

=1n+1

ln(n+ 1)� lnn =1n+1

ln n+1n

=1

(n+ 1) ln n+1n

=1

ln�1 + 1

n

�n+1 ;8n � 1:Dar lim

n!1

�1 +

1

n

�n+1= e, de unde

limn!1


=1

ln e= 1:

Conform Teoremei Stolz-Cesàro, rezult¼a c¼a si limn!1

anbn= 1.

(ii) Pentru n 2 N�, not¼am an = 1 +12+ � � � + 1

nsi bn =

pn. Din nou, ne intereseaz¼a

limn!1

anbn. Sirul (bn) este strict cresc¼ator si lim

n!1bn = +1, iar


=1n+1p

n+ 1�pn=

1n+1

(n+1)�npn+1+

pn

=

pn+ 1 +

pn

n+ 1

=

pn�q

1 + 1n+ 1�

n(1 + 1n)

=

q1 + 1

n+ 1

pn(1 + 1

n)

n!1�! 0:

Din Teorema Stolz-Cesàro obtinem c¼a si limn!1

anbn= 0.

(iii) Fie an = 11+22+33+� � �+nn si bn = nn, pentru n 2 N�. Pentru a calcula limn!1

anbn,

observ¼am c¼a sirul (bn) este strict cresc¼ator (bn+1 = (n + 1)n+1 > (n + 1)n > nn; pentruorice n 2 N�), lim

n!1bn = +1 si


=(n+ 1)n+1

(n+ 1)n+1 � nn=

�n�1 + 1

n

��n+1�n�1 + 1

n

��n+1 � nn

=nn+1

�1 + 1

n

�n+1nn+1

h�1 + 1

n

�n+1 � 1n

i = �1 + 1

n

�n+1�1 + 1

n

�n+1 � 1n

n!1�! e

e� 0 = 1:


Conform Teoremei Stolz-Cesàro, rezult¼a c¼a si limn!1

anbn= 1.

Prezent¼am unele consecinte ale Teoremei Stolz-Cesàro.

Corolarul 2.1.52 (i) Dac¼a limn!1

an = a 2 R, atunci limn!1

a1 + a2 + � � �+ ann

= a (altfel

spus, dac¼a un sir are limit¼a, atunci sirul mediilor aritmetice ale primilor n termeni aiacestui sir are aceeasi limit¼a). Dac¼a, în plus, an 6= 0, pentru orice n 2 N� si a 6= 0, atunciavem si lim

n!1

n1a1+ 1

a2+ � � �+ 1

an

= a (sirul mediilor armonice ale primilor n termeni ai

sirului are aceeasi limit¼a).(ii) Dac¼a an > 0; pentru orice n 2 N� si lim

n!1an = a, atunci lim

n!1npa1a2 � : : : � an = a

(dac¼a un sir are limit¼a, atunci sirul mediilor geometrice ale primilor n termeni ai acestuisir are aceeasi limit¼a).

Demonstratie. (i) Fie, pentru n 2 N�, An = a1 + a2 + � � �+ an si Bn = n. Sirul (Bn) estestrict cresc¼ator si lim

n!1Bn = +1. Cum exist¼a

limn!1

An+1 � AnBn+1 �Bn

= limn!1

an+1(n+ 1)� n

= limn!1

an+1 = a;

din Teorema Stolz-Cesàro rezult¼a c¼a exist¼a limn!1

AnBn

= a.

Acum, �e ~An = 1a1+ 1

a2+ � � �+ 1

an, n 2 N�. Cum exist¼a

limn!1

~An+1 � ~AnBn+1 �Bn

= limn!1

1an+1

(n+ 1)� n= lim

n!1

1

an+1=1

a;

Teorema 2.1.50 spune c¼a exist¼a limn!1

~AnBn

=1

a. Atunci exist¼a si

limn!1

Bn~An= lim

n!1

1~AnBn

= a:

(ii) Concluzia rezult¼a din inegalitatea mediilor, din punctul anterior si din Teorema cles-telui. �

Exemplul 2.1.53 Folosind aceste rezultate, deducem urm¼atoarele:

limn!1

1p1+ 1p

2+ � � �+ 1p

n

n= lim

n!1

1pn= 0;

limn!1

1 + 12+ � � �+ 1

n

n= limn!1

1

n= 0;

limn!1

n

rsin

�

2sin

�

3� : : : � sin �

n+ 1= lim

n!1sin

�

n+ 1= sin 0 = 0;

limn!1

1 +p2 + 3

p3 + � � �+ n

pn

n= lim

n!1npn = 1:

2.2. Serii de numere reale 31

Observatia 2.1.54 Pentru o trecere în revist¼a a limitelor fundamentale, a se vedea Anexa6:5.

2.2 Serii de numere reale

În liceu au fost studiate si dou¼a tipuri de siruri cu propriet¼ati deosebite: progresiilearitmetice si geometrice:

(xn) este o progresie aritmetic¼a de ratie r dac¼a xn+1 = xn + r; 8n;(xn) este o progresie geometric¼a de ratie q dac¼a xn+1 = q � xn, 8n.

Acestor siruri li s-a atasat suma primilor n termeni, sn. Se arat¼a usor c¼a

pentru progresii aritmetice: sn = x1 + x2 + :::+ xn =

�x1 +

(n� 1) r2

�� n;

pentru progresii geometrice: sn = x1 + x2 + :::+ xn =

�x1 � q

n�1q�1 ; dac¼a q 6= 1;

nx1; dac¼a q = 1:

Observ¼am c¼a în cazul progresiilor aritmetice sirul (sn) este divergent cu exceptia unuisingur caz: x1 = r = 0 în vreme ce pentru progresiile geometrice sirul (sn) este convergent

�e dac¼a q 2 (�1; 1) ; �e dac¼a x1 = 0. Mai mult, pentru q 2 (�1; 1) ; limn!1

sn =x11� q

.

În continuare, vom generaliza si vom încerca s¼a r¼aspundem la întrebarea urm¼atoare:dat un sir oarecare (xn) ; ce se poate spune despre sirul (sn), al sumei primilor n termenidin sir? Astfel, vom atribui un sens sumei tuturor termenilor unui sir numeric (care are,prin de�nitie, o in�nitate de termeni).

De�nitia 2.2.1 Fie (an)n2N un sir de numere reale si (sn)n2N; sirul de�nit prin:

sn = a0 + a1 + � � �+ an;

pentru orice n 2 N: Se numeste serie de numere reale (sau serie numeric¼a) perecheaf(an)n; (sn)ng format¼a din sirurile (an)n si (sn)n; an se numeste termenul general al seriei,iar (sn)n se numeste sirul sumelor partiale asociat sirului (an)n.

Vom nota seria prin:1Pn=0

an;Pn�0

an sau a0+a1+a2+ :::+an+ ::: Uneori, vom întâlni scrierea1P

n=n0

an; ceea ce

înseamn¼a c¼a sirul (an) este de�nit doar începând cu rangul n0: Modi�c¼arile asupra siruluisumelor partiale sunt evidente.

De�nitia 2.2.2 Fie1Pn=0

an o serie numeric¼a si (sn) sirul sumelor partiale asociat.

(i) Seria1Pn=0

an se numeste convergent¼a (spunem c¼a seria1Pn=0

an converge) dac¼a sirul

(sn) este convergent. În acest caz, limita sirului (sn) se numeste suma seriei si se noteaz¼a

prin1Pn=0

an.


(ii) Seria1Pn=0

an se numeste divergent¼a (spunem c¼a seria1Pn=0

an diverge) dac¼a nu este

convergent¼a, deci dac¼a sirul (sn) este divergent. Dac¼a limita sirului (sn) este +1 sau

�1, atunci spunem c¼a suma seriei este +1 sau �1 si se noteaz¼a1Pn=0

an = +1 sau1Pn=0

an = �1.

Exemplul 2.2.3 (i) Seria1Pn=1

1n(n+1)

este convergent¼a si are suma 1. Acest lucru se deduce

din calculul sumelor partiale:

sn =1

1 � 2 +1

2 � 3 + � � �+1

n(n+ 1)=2� 11 � 2 +

3� 22 � 3 + � � �+

(n+ 1)� n

n(n+ 1)

=

�1

1� 12

�+

�1

2� 13

�+ � � �+

�1

n� 1

n+ 1

�= 1� 1

n+ 1;8n � 1:

Deoarece limn!1

sn = 1 2 R, rezult¼a c¼a seria este convergent¼a, cu suma 1.

(ii) Seria1Pn=0

1pn+1+

pneste divergent¼a, cu suma

1Pn=1

1pn+1+

pn= +1; pentru c¼a

sn =1p

1 +p0+

1p2 +

p1+ :::+

1pn+ 1 +

pn

=

p1�

p0

1� 0 +

p2�

p1

2� 1 + :::+

pn+ 1�

pn

(n+ 1)� n

=�p1�

p0�+�p2�

p1�+ :::+

�pn+ 1�

pn�

=pn+ 1! +1:

Exemplele anterioare pot � subsumate urm¼atoarei de�nitii si observatiei de mai jos:

o serie1Pn=0

an, în care termenul general poate � scris sub forma an = xn+1 � xn, unde

(xn)n2N � N este un alt sir, se numeste serie telescopic¼a. Se observ¼a usor c¼a termenulgeneral pentru sirul sumelor partiale asociat unei serii telescopice este dat de

sn = (x1 � x0) + (x2 � x1) + :::+ (xn+1 � xn) = xn+1 � x0; 8n 2 N;

deci seria1Pn=0

an este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a sirul (xn)n2N este convergent.

Un alt exemplu de acest tip este seria1Pn=1

14n2�1 pentru care

an =1

4n2 � 1 =1

(2n� 1)(2n+ 1) =1

2� (2n+ 1)� (2n� 1)(2n� 1)(2n+ 1)

=1

2

�1

2n� 1 �1

2n+ 1

�; n 2 N�:


Atunci termenul general al sirului sumelor partiale

sn =1

2

�1

1� 13

�+1

2

�1

3� 15

�+ � � �+ 1

2

�1

2n� 1 �1

2n+ 1

�=1

2

�1

1� 13+1

3� 15+ � � �+ 1

2n� 3 �1

2n� 1 +1

2n� 1 �1

2n+ 1

�=1

2

�1� 1

2n+ 1

�;8n � 1:

Deoarece limn!1

sn =122 R, rezult¼a c¼a seria este convergent¼a, cu suma

1Pn=1

14n2�1 =

12.

Observatia 2.2.4 Fie seria1P

n=n0

an (n0 2 N). Dac¼a din sirul (an) se elimin¼a sau la sirul

(an) se adaug¼a un num¼ar �nit de termeni, atunci natura seriei nu se schimb¼a (dar, încaz de convergent¼a, suma seriei se modi�c¼a). Astfel, vom face conventia de a nota o serieprin

Pan atunci când ne va interesa doar natura seriei (nu si suma seriei).

Teorema 2.2.5 (Conditia necesar¼a de convergent¼a) Dac¼a seria1Pn=0

an este conver-

gent¼a, atunci lim an = 0.

Demonstratie. Seria �ind convergent¼a, exist¼a lim sn = s 2 R: Cum an = sn� sn�1 pentruorice n � 1, prin trecere la limit¼a avem lim an = 0: �

Obtinem urm¼atoarea consecint¼a.

Corolarul 2.2.6 Dac¼a (an) nu converge la 0; atunci seria1P

n=n0

an este divergent¼a.


(�1)n este divergent¼a pentru c¼a sirul (an) are dou¼a subsiruritinzând la limite diferite.

(ii) Seria armonic¼a1Pn=1

1neste divergent¼a întrucât sirul sumelor partiale nu este funda-

mental, deci nu este convergent.

(iii) Seria armonic¼a1Pn=1

1n2este convergent¼a întrucât sirul sumelor partiale este funda-

mental.

(iv) Seria1Pn=1

n+1neste divergent¼a pentru c¼a termenul general nu are limita 0:

(v) Seria1Pn=1

n

q12este divergent¼a, deoarece

limn!1

n

r1

2= lim

n!1

�1

2

� 1n

=

�1

2

�0= 1 6= 0:


Exemplul 2.2.8 Consider¼am seria geometric¼a de ratie q:1Pn=0

qn, q 2 R n f0g. Dac¼a

q 2 (�1;�1], atunci seria este divergent¼a pentru c¼a termenul general nu tinde la 0.Dac¼a q 2 (�1; 1)nf0g, atunci seria este convergent¼a si are suma

1Pn=0

qn = 11�q , iar dac¼a

q � 1, atunci seria este divergent¼a si are suma1Pn=0

qn = +1 (a se vedea observatia de la

începutul sectiunii).

De�nitia 2.2.9 Spunem c¼a dou¼a serii1Pn=0

an si1Pn=0

bn au aceeasi natur¼a dac¼a sunt în

acelasi timp convergente sau divergente; vom nota aceast¼a situatie prin1Pn=0

an �1Pn=0

bn:

Propozitia 2.2.10 (Produs cu un scalar) Fie seria1Pn=0

an si � 2 R. Dac¼a � 6= 0,

atunciP(�an) �

Pan si, în caz de convergent¼a, avem

Pn�0(�an) = �

Pn�0

an.

Demonstratie. Concluziile rezult¼a imediat din manipularea sirurilor sumelor partiale. �

Propozitia 2.2.11 (Suma a dou¼a serii) Fie seriilePn�0

an siPn�0

bn.

(i) Dac¼a ambele serii sunt convergente, atunci si seriaP(an+ bn) este convergent¼a siP

n�0(an + bn) =

Pn�0

an +Pn�0

bn.

(ii) Dac¼a una dintre seriilePan sau

Pbn converge si cealalt¼a diverge, atunci seriaP

(an + bn) diverge.

Demonstratie. Evident¼a. �

Observatia 2.2.12 Dac¼a sum¼am dou¼a serii divergente, atunci rezultatul poate � o serie

divergent¼a sau o serie convergent¼a. Exemple:1Pn=0

1 si1Pn=0

1 (suma este o serie divergent¼a),

respectiv1Pn=0

(�1)n+1 si1Pn=0

(�1)n (suma este o serie convergent¼a).

Teorema 2.2.13 (Teorema lui Cauchy de caracterizare) O serie1Pn=0

an este con-

vergent¼a dac¼a si numai dac¼a

8" > 0;9n" 2 N; astfel încât 8n � n";8p 2 N�; jan+1 + an+2 + :::+ an+pj < ":

Demonstratie. Seria este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a sirul sumelor partiale este fun-damental. Aplic¼am caracterizarea de tip Cauchy din cazul sirurilor si obtinem concluzia.�


2.2.1 Serii cu termeni pozitivi

Dac¼a seria1P

n=n0

an (n0 2 N) are proprietatea c¼a an � 0 pentru orice n � n0, atunci se

spune c¼a seria este cu termeni pozitivi.

Observatia 2.2.14 Proprietatea fundamental¼a a seriilor cu termeni pozitivi este aceeac¼a sirul sumelor partiale este monoton cresc¼ator, deci convergenta seriei depinde, conformTeoremei lui Weierstrass, doar de m¼arginirea acestui sir.

Teorema 2.2.15 FiePan o serie cu termeni pozitivi si �e (sn) sirul sumelor sale

partiale. Atunci seriaPan este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a (sn) este majorat.

Demonstratie. Dac¼a seria este convergent¼a, atunci (sn) este convergent, deci m¼arginit.Dac¼a (sn) este majorat, atunci este monoton si m¼arginit, deci convergent. �

Observatia 2.2.16 O serie cu termeni pozitivi1P

n=n0

an (n0 2 N) este divergent¼a dac¼a si

numai dac¼a (sn) este nemajorat, ceea ce este echivalent cu faptul c¼a lim sn = +1, deci oserie cu termeni pozitivi are întotdeauna sum¼a în [0;+1].

Teorema 2.2.17 (Criteriul de comparatie I) Fie1Pn=0

an si1Pn=0

bn dou¼a serii cu ter-

meni pozitivi si n0 2 N astfel încât an � bn; pentru orice n � n0.(i) Dac¼a seria

Pbn converge, atunci seria

Pan converge.

(ii) Dac¼a seriaPan diverge, atunci seria

Pbn diverge.

Demonstratie. F¼ar¼a a restrânge generalitatea, putem presupune c¼a an � bn pentru oricen 2 N (în caz contrar, îndep¼art¼am din ambele serii un num¼ar �nit de termeni, deci naturaseriilor nu se schimb¼a). Concluziile rezult¼a prin compararea sirurilor sumelor partiale. �

Teorema 2.2.18 (Criteriul de comparatie II) Fie seriile1Pn=0

an si1Pn=0

bn si n0 2 N

astfel încât an > 0; bn > 0 sian+1an

� bn+1bn

pentru orice n � n0.(i) Dac¼a seria

Pbn este convergent¼a, atunci seria

Pan este convergent¼a.

(ii) Dac¼a seriaPan este divergent¼a, atunci seria

Pbn este divergent¼a.

Demonstratie. Din nou putem presupune c¼a inegalit¼atile au loc pentru orice n: Avem

a1a0� b1b0;a2a1� b2b1; :::;

anan�1

� bnbn�1

:

Prin înmultirea acestor relatii obtinem

an �a0b0bn;8n 2 N:

În continuare aplic¼am criteriul precedent. �


Teorema 2.2.19 (Criteriul de comparatie cu limit¼a) FiePan si

Pbn serii cu ter-

meni pozitivi astfel încât bn > 0 pentru orice n 2 N si exist¼a limita

limanbn= � 2 [0;+1]:

(i) Dac¼a � 2 (0;+1), atunciPan �

Pbn.

(ii) Pentru � = 0, dac¼a seriaPbn converge, atunci seria

Pan converge, iar dac¼a

seriaPan diverge, atunci seria

Pbn diverge.

(iii) Pentru � = +1, dac¼a seriaPan converge, atunci seria

Pbn converge, iar dac¼a

seriaPbn diverge, atunci seria

Pan diverge.

Demonstratie. Fie lim anbn= � 2 [0;1): Atunci pentru orice " > 0 exist¼a n" 2 N astfel

încât pentru n � n"�� " <

anbn

< �+ ":

Dac¼a � > 0; luând " = �2obtinem c¼a pentru n � n" avem

�

2<anbn

<3�

2:

În continuare aplic¼am criteriul precedent.Dac¼a � = 0 pentru " = 1 si n � n" avem

an < bn:

Din nou se aplic¼a criteriile precedente. Cazul � = +1 se poate reduce la cazul precedentschimbând rolurile sirurilor (an) si (bn): �


sin 1neste divergent¼a pentru c¼a este comparabil¼a cu seria

divergent¼a1Pn=1

1n; întrucât

limsin 1

n1n

= 1 2 (0;+1):

(a se vedea Anexa 6:5).

(ii) Pe acelasi argument, seria1Pn=1

sin 1n2este convergent¼a, �ind comparabil¼a cu seria

convergent¼a1Pn=1

1n2.

(iii) De asemenea, seria1Pn=1

12n2+7n+1

este comparabil¼a cu seria convergent¼a1Pn=1

1n2pen-

tru c¼a

lim1

2n2+7n+11n2

=1

22 (0;+1):

Deci seria dat¼a este convergent¼a.


Teorema 2.2.21 (Criteriul lui Cauchy, de condensare) FiePan o serie cu ter-

meni pozitivi astfel încât sirul (an) este descresc¼ator. AtunciPan �

P2na2n.

Demonstratie. Not¼am cu (Tn) sirul sumelor partiale pentru seria1Pn=1

2nx2n. Fiecare num¼ar

natural nenul se a�¼a între dou¼a puteri consecutive ale lui 2:

8n 2 N�;9k 2 N : 2k � n < 2k+1 � 1:

Atunci,

Sn = x1 + (x2 + x3) + (x4 + x5 + x6 + x7) + :::+ (x2k + :::+ xn)

� x1 + (x2 + x3) + (x4 + x5 + x6 + x7) + :::+ (x2k + :::+ x2k+1�1)

� x1 + 2x2 + 22x4 + :::+ 2kx2k = Tk:

Similar, avem

Sn = x1 + x2 + :::+ xn � x1 + x2 + :::+ x2k

� x1 + x2 + (x3 + x4) + (x5 + x6 + x7 + x8) + :::+ (x2k�1+1 + :::+ x2k)

� x1 + x2 + 2x22 + 22x23 + :::+ 2k�1x2k �

1

2Tk:

Împreun¼a cu relatia obtinut¼a anterior, avem:

1

2Tk � Sn � Tk,

de unde rezult¼a imediat a�rmatia teoremei. �

Exemplul 2.2.22 Cu acest criteriu putem stabili natura seriei armonice generalizate:

1Xn=1

1

n�; � 2 R:

În primul rând, dac¼a � � 0; seria este divergent¼a deoarece termenul general nu tinde la 0.Pentru � > 0,

�1

n�

�este un sir descresc¼ator si din criteriul condens¼arii rezult¼a c¼a seria

initial¼a are aceeasi natur¼a cu seria1Pn=0

2n � 12n�

=1Pn=0

2n(1��). Dar ultima serie este una

geometric¼a de ratie q = 21��. Am v¼azut c¼a o serie geometric¼a este convergent¼a dac¼a sinumai dac¼a jqj < 1: În cazul nostru,

21�� < 1 dac¼a si numai dac¼a 1� � < 0;

adic¼a � > 1:

Observatia 2.2.23 În concluzie, seria armonic¼a generalizat¼a1Pn=1

1

n�este convergent¼a

dac¼a � > 1 si este divergent¼a dac¼a � � 1.



n2+1n4+2

este convergent¼a, deoarece o putem compara cu seria1Pn=1

n2

n4=

1Pn=1

1n2, care este seria armonic¼a generalizat¼a cu � = 2 > 1 si e convergent¼a. Avem

limn!1

n2+1n4+21n2

= limn!1

n4 + n2

n4 + 2= 1 2 (0;+1):

(ii) Seria1Pn=0

pn+33n+2

este divergent¼a, deoarece o putem compara cu seria1Pn=1

pnn=

1Pn=1

1pn,

care este seria armonic¼a generalizat¼a cu � = 12< 1 si e divergent¼a. Observ¼am c¼a

limn!1

pn+33n+21pn

= limn!1

n+ 3pn

3n+ 2=1

32 (0;+1):

Teorema 2.2.25 (Criteriul r¼ad¼acinii cu limit¼a) Fie seriaPan cu termeni pozitivi

astfel încât exist¼a limitalim n

pan = a:

(i) Dac¼a a < 1, atunci seriaPan converge.

(ii) Dac¼a a > 1, atunci seriaPan diverge.

Demonstratie. (i) Fie " > 0 astfel încât a+" < 1: Atunci exist¼a n" 2 N astfel încât pentruorice n � n"; n

pan < a+ "; i.e.,

an < (a+ ")n:

Concluzia rezult¼a din Criteriul de comparatie I, întrucât seria de termen generalP(a+")n

este convergent¼a (serie geometric¼a cu ratie pozitiv¼a subunitar¼a).(ii) Consider¼am " > 0 astfel încât a � " > 1: Ca mai sus, exist¼a n" 2 N astfel încât

pentru orice n � n"; a� " < npan; i.e.,

(a� ")n < an:

Din nou, din Criteriu de comparatie de specia I, întrucât seria de termen generalP(a�")n

este divergent¼a (serie geometric¼a cu ratie supraunitar¼a). �

Exemplul 2.2.26 (i) SeriaP(pn+ 1�

pn� 1)n este convergent¼a deoarece

limn!1

n

r�pn+ 1�

pn� 1

�n= lim

n!1

�pn+ 1�

pn� 1

�= lim

n!1

(n+ 1)� (n� 1)pn+ 1 +

pn� 1

= limn!1

2pn+ 1 +

pn� 1

= 0 < 1:

(ii) Seria1Pn=0

n � 4n este divergent¼a deoarece limn!1

npn � 4n = lim

n!14 npn = 4 > 1:

(iii) Seria1Pn=0

�n+1n2+1

�neste convergent¼a deoarece

limn!1

n

s�n+ 1

n2 + 1

�n= lim

n!1

n+ 1

n2 + 1= 0 < 1:


Exemplul 2.2.27 Dac¼a a = 1, atunci nu putem preciza prin acest criteriu natura serieiPan (caz de dubiu). De exemplu, seria armonic¼a

1Pn=1

1neste divergent¼a si seria

1Pn=1

1n2(seria

armonic¼a generalizat¼a cu � = 2 > 1) este convergent¼a. Totusi, limn!1

n

q1n= lim

n!11npn = 1

si limn!1

n

q1n2= lim

n!11

( npn)

2 = 1. Deci criteriul r¼ad¼acinii nu poate � folosit pentru studiul

convergentei seriilor cu limn!1

npan = 1.

Teorema 2.2.28 (Criteriul raportului cu limit¼a) FiePn�0

an; o serie cu an > 0 pen-

tru orice n � n0 (n0 2 N); astfel încât exist¼a limita

liman+1an

= a:

(i) Dac¼a a < 1, atunci seriaPan este convergent¼a.

(ii) Dac¼a a > 1, atunci seriaPan este divergent¼a.

Demonstratie. Demonstratia este similar¼a celei de la Criteriul r¼ad¼acinii.(i) Fie " > 0 astfel încât a�" < 1: Atunci, din ipotez¼a, exist¼a n" 2 N astfel încât pentru

orice n � n";an+1an

< a + ": Înmultind aceste relatii scrise pentru rangurile n"; :::; n � 1,avem

anan"

< (a+ ")n�n" ;

decian < an"(a+ ")�n"(a+ ")n:

Din nou, concluzia rezult¼a din Criteriul de comparatie I, întrucât seria de termen generalP(a+ ")n este convergent¼a.(ii) Se consider¼a " > 0 astfel încât a� " > 1 si se rationeaz¼a ca mai sus. �

Observatia 2.2.29 Se poate usor observa c¼a în Criteriul raportului si în Criteriul r¼ad¼a-cinii, în cazul a > 1; de fapt, an ! +1:


1�6�11�:::�(5n+1)1�3�5�:::�(2n+1) este divergent¼a deoarece

limn!1

an+1an

= limn!1

1�6�11�:::�(5n+1)�[5(n+1)+1]1�3�5�:::�(2n+1)�[2(n+1)+1]

1�6�11�:::�(5n+1)1�3�5�:::�(2n+1)

= limn!1

1 � 6 � 11 � : : : � (5n+ 1) � (5n+ 6)1 � 3 � 5 � : : : � (2n+ 1) � (2n+ 3) �

1 � 3 � 5 � : : : � (2n+ 1)1 � 6 � 11 � : : : � (5n+ 1)

= limn!1

5n+ 6

2n+ 3=5

2> 1:


(ii) Seria1Xn=1

3�5�:::(2n+1)2�5�:::�(3n�1) converge pentru c¼a

limn!1

an+1an

=2

3< 1:

(iii) Seria1Pn=0

n3

n!este convergent¼a deoarece

limn!1

an+1an

= limn!1

(n+ 1)3

(n+ 1)!� n!n3= lim

n!1

(n+ 1)2

n3= 0 < 1:

Observatia 2.2.31 Dac¼a a = 1, atunci nu putem preciza prin acest criteriu natura serieiPan (caz de dubiu). Pentru a exempli�ca lu¼am acelasi dou¼a serii,

1Pn=1

1nsi

1Pn=1

1n2, prima

divergent¼a si a doua convergent¼a. Totusi,

limn!1

1n+11n

= limn!1

n

n+ 1= 1

si

limn!1

1(n+1)2

1n2

= limn!1

n2

n2 + 2n+ 1= 1:

Teorema 2.2.32 (Criteriul lui Raabe - Duhamel) FiePn�n0

an (n0 2 N) o serie cu

an > 0 pentru orice n � n0 astfel încât exist¼a limita

limn

�anan+1

� 1�= b:

(i) Dac¼a b > 1, atunci seriaPan converge;

(ii) Dac¼a b < 1, atunci seriaPan diverge.

Demonstratie. (i) Dac¼a b > 1, atunci exist¼a M > 1 astfel încât de la un rang încolo toti

termenii sirului n�

xnxn+1

� 1�sunt mai mari decâtM . Putem presupune, f¼ar¼a a restrânge

generalitatea, c¼a

n

�xnxn+1

� 1�> M > 1 pentru orice n 2 N:

Aceasta revine laMxn+1 < nxn � nxn+1 pentru orice n 2 N.

Adunând relatiile de acest tip de la 1 la n� 1, obtinem

M (x2 + x3 + :::+ xn)

< x1 � x2 + 2x2 � 2x3 + 3x3 � 3x4 + :::+ (n� 1)xn�1 � (n� 1)xn;


adic¼aM (x2 + x3 + :::+ xn) < x1 + x2 + x3 + :::+ xn�1 � (n� 1)xn.

Dar x1 + x2 + x3 + :::+ xn = sn, sirul sumelor partiale al seriei1Pn=1

xn. Atunci,

MSn �Mx1 < sn � nxn < sn pentru orice n 2 N:

Rezult¼a de aici c¼a

sn <Mx1M � 1 ;

adic¼a sirul sumelor partiale este m¼arginit. Astfel, seria este convergent¼a.(ii) Facem un rationament similar: dac¼a b < 1, atunci exist¼a m < 1 astfel încât (f¼ar¼a

a restrânge generalitatea) toti termenii sirului n�

xnxn+1

� 1�sunt cel mult egali cu m:

n

�xnxn+1

� 1�� m.

Mai departe, pentru c¼a m < 1; avem

nxn � nxn+1 � mxn+1 � xn+1.

Echivalent,nxn � (n+ 1) xn+1,

de undexn+1xn

�1n+11n

.

Deoarece1Pn=1

1

neste divergent¼a, conform Criteriului de comparatie II rezult¼a c¼a

1Pn=1

xn este

divergent¼a. �

Exemplul 2.2.33 (i) Pentru seria1Pn=1

(2n)!(n!)24n

nu functioneaz¼a criteriul raportului, �indc¼a

limn!1

an+1an

= limn!1

[2(n+1)]![(n+1)!]24n+1

(2n)!(n!)24n

= limn!1

(2n+ 2)!

[(n+ 1)!]24n+1� (n!)

24n

(2n)!

= limn!1

(2n+ 1)(2n+ 2)

4(n+ 1)2= lim

n!1

(2n+ 1)

2(n+ 1)= 1:

Aplic¼am atunci Criteriul Raabe-Duhamel si constat¼am c¼a

limn!1

n

�anan+1

� 1�= lim

n!1n

�2n+ 2

2n+ 1� 1�= lim

n!1

n

2n+ 1=1

2< 1;

adic¼a seria studiat¼a este divergent¼a.


(ii) Pentru seria1Pn=1

2�7�12�:::�(5n�3)9�14�19�:::�(5n+4) nu functioneaz¼a criteriul raportului, deoarece

limn!1

an+1an

= limn!1

2�7�12�:::�(5n�3)�[5(n+1)�3]9�14�19�:::�(5n+4)�[5(n+1)+4]

2�7�12�:::�(5n�3)9�14�19�:::�(5n+4)

= limn!1

2 � 7 � 12 � : : : � (5n� 3) � (5n+ 2)9 � 14 � 19 � : : : � (5n+ 4) � (5n+ 9) �

9 � 14 � 19 � : : : � (5n+ 4)2 � 7 � 12 � : : : � (5n� 3)

= limn!1

5n+ 2

5n+ 9= 1:

Aplic¼am Criteriul Raabe-Duhamel si constat¼am c¼a

limn!1

n

�anan+1

� 1�= lim

n!1n

�5n+ 9

5n+ 2� 1�= lim

n!1

7n

5n+ 2=7

5> 1;

adic¼a seria studiat¼a este convergent¼a.

2.2.2 Serii cu termeni oarecare

Pentru serii care nu au termeni pozitivi nu mai putem aplica criteriile din sectiuneaprecedent¼a. Începem studiul cu un rezultat util în cele ce urmeaz¼a.

Teorema 2.2.34 Fie (an) si (bn) dou¼a siruri de numere reale, n � 1 si sn =nPk=1

ak:

Atunci pentru orice num¼ar natural n are locnXk=1

akbk = snbn+1 �nXk=1

sk (bk+1 � bk) :

Demonstratie. Not¼am s0 = 0. Cum sk� sk�1 = ak, pentru orice k � 1; avem pentru oricen � 1:

nXk=1

akbk =nXk=1

(sk � sk�1) bk

= b1 (s1 � s0) + b2 (s2 � s1) + :::+ bn (sn � sn�1)

= s1 (b1 � b2) + :::+ sn�1 (bn�1 � bn) + sn (bn � bn+1) + snbn+1

= �nXk=1

sk (bk+1 � bk) + snbn+1;

adic¼a relatia de demonstrat. �

Lema 2.2.35 (Abel) Dac¼a (an) este un sir de numere reale cu sirul sumelor partialem¼arginit de numerele reale m si M (adic¼a m � sn �M pentru orice n 2 N), iar (bn) esteun sir descresc¼ator de numere pozitive, atunci

mb1 �nXk=1

akbk �Mb1, pentru orice n 2 N.


Demonstratie. Din teorema anterioar¼a avem:

nXk=1

akbk = snbn+1 �nXk=1

sk (bk+1 � bk) .

Deoarece (bn) este un sir descresc¼ator, rezult¼a c¼a bk � bk+1 � 0, pentru orice k 2 N.Atunci,

nXk=1

akbk � �MnXk=1

(bk+1 � bk) +Mbn+1 =Mb1.

În acelasi mod se obtine si prima inegalitate. �

Teorema 2.2.36 (Criteriul lui Dirichlet) Fie seria1Pn=1

xn având sirul (sn) al sumelor

partiale m¼arginit. Dac¼a (yn) este un sir descresc¼ator si convergent la 0, atunci seria1Pn=1

xnyn este convergent¼a.

Demonstratie. Fie M > 0 astfel încât jsnj � M pentru orice n 2 N si �e n0 2 N �xat.Pentru orice n � n0 si pentru orice p 2 N� aplic¼am Lema 2.2.35 pentru (xk) si (yk),k = n+ 1; :::; n+ p si obtinem:

jxn+1yn+1 + :::+ xn+kyn+kj � 2Myn+1 � 2Myn0

Dar yn ! 0 si atunci pentru orice " > 0 exist¼a n0 2 N su�cient de mare astfel încât

jyn0j <"

2M.

Astfel,

jxn+1yn+1 + :::+ xn+kyn+kj <"

2M� 2M = ";

deci este veri�cat¼a conditia Cauchy si prin urmare seria1Pn=1

xnyn este convergent¼a. �

Exemplul 2.2.37 Fie seria1Pn=1

sinnx

n; unde x 2 R. Este cunoscut c¼a pentru x 6= 2k�

(k 2 Z) putem deduce prin ampli�care si simpli�care cu 2 sin x2c¼a:

sn = sinx+ sin 2x+ � � �+ sinnx =2 sin x sin x

2+ 2 sin 2x sin x

2+ � � �+ 2 sinnx sin x

2

2 sin x2

=cos x

2� cos 3x

2+ cos 3x

2� cos 5x

2+ � � �+ cos (2n�1)x

2� cos (2n+1)x

2

2 sin x2

=cos x

2� cos (2n+1)x

2

2 sin x2

;8n � 1:


Deci,

jsin x+ sin 2x+ :::+ sinnxj � 2

2��sin x

2

�� = 1��sin x2

�� ;8n � 1;8x 6= 2k� (k 2 Z):Pentru x = 2k� (k 2 Z) suma este, evident, nul¼a. Astfel, seria

1Pn=1

sinnx are sirul sumelor

partiale m¼arginit.

Pe de alt¼a parte, sirul (yn) =�1

n

�este descresc¼ator la 0. Astfel, sunt îndeplinite

conditiile criteriului lui Dirichlet si deci seria

1Xn=1

sinnx

n

este convergent¼a.

Exemplul 2.2.38 Fie seria1Pn=1

cosnx

n; unde x 2 R. Acum, pentru x 6= 2k� (k 2 Z);

similar, avem

Sn = cos x+ cos 2x+ � � �+ cosnx =2 sin x

2cosx+ 2 sin x

2cos 2x+ � � �+ 2 sin x

2cosnx

2 sin x2

=sin 3x

2� sin x

2+ sin 5x

2� sin 3x

2+ � � �+ sin (2n+1)x

2� sin (2n�1)x

2

2 sin x2

=sin (2n+1)x

2� sin x

2

2 sin x2

;8n � 1;

deci

jcosx+ cos 2x+ :::+ cosnxj �

��sin (2n+1)x2� sin x

2

��2��sin x

2

�� 1��sin x2

�� ;8n � 1;8x 6= 2k� (k 2 Z):Deci seria

1Xn=1

cosnx

n

este convergent¼a pentru x 6= 2k� (k 2 Z): Pentru x = 2k� (k 2 Z) suma precedent¼a esteegal¼a cu n; în timp ce seria devine

1Xn=1

1

n;

deci este divergent¼a.


De�nitia 2.2.39 O serie numeric¼a1Xn=0

an se numeste serie alternat¼a dac¼a

an � an+1 < 0; 8n � 0:

În acest caz, an se mai scrie în forma an = (�1)nbn pentru orice n � 0 sau an = (�1)n+1bnpentru orice n � 0, unde bn > 0 pentru orice n � 0 (se observ¼a c¼a bn = janj pentru oricen � n0).

Teorema 2.2.40 (Criteriul lui Leibniz) Fie1Xn=0

(�1)nbn o serie alternat¼a (bn > 0;

pentru orice n � 0) astfel încât sirul (bn) este descresc¼ator si convergent la 0. Atunci

seriile1Xn=0

(�1)nbn si1Xn=0

(�1)n+1bn sunt convergente.

Demonstratie. Caz particular al criteriului lui Dirichlet. �

Teorema 2.2.41 (Criteriul lui Abel) Dac¼a seria1Pn=1

xn este convergent¼a iar (yn) este

un sir monoton si m¼arginit, atunci1Pn=1

xnyn este o serie convergent¼a.

Demonstratie. F¼ar¼a a restrânge generalitatea, putem presupune c¼a sirul (yn) este des-cresc¼ator, întrucât în caz contrar putem înlocui sirul (yn) cu sirul (�yn). Fiind monotonsi m¼arginit, (yn) este convergent. Fie y = lim

n!1yn: Rezult¼a c¼a lim

n!1(yn � y) = 0: Cum

1Pn=1

xn este convergent¼a, rezult¼a c¼a are sirul sumelor partiale m¼arginit. Aplicând criteriul

lui Dirichlet, rezult¼a c¼a seria1Xn=1

xn (yn � y)

este convergent¼a. Dar seriile1Pn=1

xn si1Pn=1

yxn au aceeasi natur¼a, deci1Pn=1

yxn este conver-

gent¼a si urmeaz¼a c¼a seria

1Xn=1

xnyn =

1Xn=1

xn (yn � y) +

1Xn=1

yxn

este convergent¼a, �ind suma a dou¼a serii convergente. �

Exemplul 2.2.42 Conform Criteriului lui Leibniz, seria1Pn=1

(�1)n

neste o serie conver-

gent¼a, întrucât1Pn=1

(�1)n are sirul sumelor partiale m¼arginit, iar�1

n

�este un sir des-

cresc¼ator la 0. Atunci, conform Criteriului lui Abel, pentru orice sir monoton si m¼arginit


(yn), seria1Pn=1

(�1)n

nyn este o serie convergent¼a. În particular,

1Xn=1

(�1)n

n

�1 +

1

n

�n;

1Xn=1

(�1)n lnnn2

;1Xn=1

(�1)n

n1+1n

sunt convergente.

De�nitia 2.2.43 O seriePan se numeste absolut convergent¼a dac¼a seria

Pjanj este

convergent¼a.

Teorema 2.2.44 Dac¼a o seriePan este absolut convergent¼a, atunci seria

Pan este

convergent¼a.

Demonstratie. Rezult¼a din criteriul de convergent¼a al lui Cauchy si din inegalitatea evi-dent¼a

jan+1 + :::+ an+pj � jan+1j+ :::+ jan+pj ;8p 2 N�;8n:

Observatia 2.2.45 Reciproca teoremei precedente nu este adev¼arat¼a. Contraexemplu:

seria1Xn=1

(�1)nn:

Observatia 2.2.46 Cum seria modulelor are termeni pozitivi, uneori este mai usor dear¼atat absoluta convergent¼a a unei serii. Din absoluta convergent¼a, pe baza teoremeianterioare, rezult¼a convergenta seriei.

Observatia 2.2.47 Dac¼a se aplic¼a criteriul raportului sau cel al r¼ad¼acinii pentru seriaPjanj si aceasta este divergent¼a, atunci si seria

Pan este divergent¼a (pentru c¼a în acest

caz (an) nu are limita 0 : a se vedea demonstratiile acestor criterii si Observatia 2.2.29).

De�nitia 2.2.48 O serie care este convergent¼a, dar nu este absolut convergent¼a se nu-meste semiconvergent¼a.

Exemplul 2.2.49 Seria1Pn=0

2n2+13n3+1

xn este absolut convergent¼a pentru x 2 (�1; 1); semi-

convergent¼a pentru x = �1 si divergent¼a în rest. Într-adev¼ar, not¼am an =2n2+13n3+1

xn; pentrun � 0 si consider¼am seria modulelor,

1Xn=0

janj =1Xn=0

��2n2 + 13n3 + 1xn�� = 1X

n=0

2n2 + 1

3n3 + 1jxjn:

Aplic¼am acestei serii criteriul raportului:

jan+1jjanj

=[2(n+ 1)2 + 1] jxjn+1

3(n+ 1)3 + 1� 3n3 + 1

(2n2 + 1)jxjn =[2(n+ 1)2 + 1] (3n3 + 1)

[3(n+ 1)3 + 1] (2n2 + 1)� jxj n!1�! jxj:

si desprindem urm¼atoarele concluzii:


(i) dac¼a jxj < 1, atunci seriaPjanj este convergent¼a, asadar seria

Pan este absolut

convergent¼a, deci convergent¼a;(ii) dac¼a jxj > 1, atunci seria

Pjanj este divergent¼a, asadar, conform Observatiei

2.2.47, seriaPan este divergent¼a;

(iii) dac¼a jxj = 1, atunci suntem în cazul de dubiu pentru criteriul raportului. Dis-tingem subcazurile:

(a) dac¼a x = 1, atunci seria din enunt este seria cu termeni pozitivi1Pn=0

2n2+13n3+1

. Îi

aplic¼am criteriul de comparatie cu limit¼a. Deoarece

2n2+13n3+11n

=(2n2 + 1)n

3n3 + 1

n!1�! 2

32 (0;1);

rezult¼a c¼a seria în discutie are aceeasi natur¼a cu seria armonic¼a1Pn=1

1n, care e divergent¼a;

(b) dac¼a x = �1, atunci seria din enunt este seria alternat¼a1Pn=0

(�1)n 2n2+13n3+1

. Aceasta nu

este absolut convergent¼a, întrucât seria modulelor este seria studiat¼a în subcazul x = 1.Pentru a-i studia convergenta aplic¼am Criteriul lui Leibniz. Sirul bn = 2n2+1

3n3+1; n � 0 este

(strict) descresc¼ator, deoarece

bn+1 � bn =2(n+ 1)2 + 1

3(n+ 1)3 + 1� 2n

2 + 1

3n3 + 1

=(2n2 + 4n+ 3)(3n3 + 1)� (3n3 + 9n2 + 9n+ 4)(2n2 + 1)

[3(n+ 1)3 + 1] (3n3 + 1)

= �6n4 + 12n3 + 15n2 + 5n+ 1

[3(n+ 1)3 + 1] (3n3 + 1)< 0; 8n � 0:

În plus, limn!1

bn = limn!1

2n2+13n3+1

= 0: Asadar, din Criteriul lui Leibniz, seria dat¼a este con-

vergent¼a pentru x = �1, dar nu este absolut convergent¼a, adic¼a este semiconvergent¼a.În concluzie, seria considerat¼a este absolut convergent¼a pentru x 2 (�1; 1), semicon-vergent¼a pentru x = �1 (deci convergent¼a pentru x 2 [�1; 1)) si divergent¼a pentrux 2 (�1;�1) [ [1;1):

2.2.3 Produsul a dou¼a serii

De�nitia 2.2.50 (Produsul Cauchy al dou¼a serii) Fie seriile1Pn=1

xn,1Pn=1

yn si �e si-

rul (zn) de�nit prin:z1 = x1y1,z2 = x1y2 + x2y1,z3 = x1y3 + x2y2 + x3y1,::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::,

zn = x1yn + x1yn�1 + :::+ xny1 =nXk=1

xkyn�k+1, 8n 2 N.


Atunci seria1Pn=1

zn se numeste produs (în sens Cauchy) al seriilor1Pn=1

xn si1Pn=1

yn.

În general, produsul a dou¼a serii convergente nu este o serie convergent¼a.

Exemplul 2.2.51 Fie xn = yn =(�1)np

n; n 2 N�. Cele dou¼a serii sunt convergente,

conform criteriului lui Leibniz. Avem atunci:

zn =

nXk=1

xkyn�k+1 =nXk=1

(�1)n+1pkpn� k + 1

;

de unde

jznj =nXk=1

1pkpn� k + 1

�nXk=1

1

n= 1:

Deci, termenul general nu tinde la 0 si astfel seria nu este convergent¼a.

Vom vedea în continuare c¼a dac¼a cel putin una din cele dou¼a serii este absolut conver-gent¼a, atunci produsul dup¼a Cauchy este o serie convergent¼a.

Teorema 2.2.52 (Mertens) Fie1Pn=1

xn si1Pn=1

yn serii convergente. Dac¼a cel putin una

dintre serii este absolut convergent¼a, atunci seria produs Cauchy,1Pn=1

zn este convergent¼a si

1Pn=1

zn =

� 1Pn=1

xn

�� 1Pn=1

yn

�:

Demonstratie. Fie S =1Pn=1

xn si T =1Pn=1

yn; cu Sn :=nPk=1

xk si Tn :=nPk=1

yk, pentru 8n 2 N�;

astfel încât seria1Pn=1

jxnj <1. Vom exclude cazul trivial în care toti termenii seriei1Pn=1

yn

sunt 0 de la un rang încolo. Din absoluta convergent¼a a seriei1Pn=1

xn rezult¼a c¼a exist¼a

M > 0 astfel încâtnPk=1

jxkj � M pentru orice n 2 N�. Fie " > 0: Din convergenta seriei1Pn=1

yn rezult¼a c¼a

9n1 2 N astfel încât 8n � n1 s¼a avem jTn � T j < "

2M:

Mai departe, deoarece în particular xn ! 0; exist¼a un rang n2 astfel încât pentru n � n2s¼a aib¼a loc:

jxnj <"

2 (jT1 � T j+ jT2 � T j+ :::+ jTn1 � T j) :

2.3. Siruri de functii 49

S¼a remarc¼am în continuare c¼a pentru sirul sumelor partiale al seriei produs dup¼a Cauchyavem:

Un = z1 + z2 + :::+ zn = x1y1 + (x1y2 + x2y1) + :::+ (x1yn + :::+ xny1)

= x1 (y1 + :::+ yn) + x2 (y1 + :::+ yn�1) + :::+ xny1

= x1Tn + x2Tn�1 + :::+ xnT1

= x1 (Tn � T ) + x2 (Tn�1 � T ) + :::+ xn (T1 � T ) + T (x1 + :::+ xn)

= x1 (Tn � T ) + x2 (Tn�1 � T ) + :::+ xn (T1 � T ) + TSn;8n � 1:

Dar atunci, pentru n � n1 + n2 + 1, avem

jUn � TSnj = jx1 (Tn � T ) + x2 (Tn�1 � T ) + :::+ xn (T1 � T )j �� jx1 (Tn � T ) + x2 (Tn�1 � T ) + :::+ xn�n1 (Tn1+1 � T )j++ jxn�n1+1 (Tn1 � T ) + :::+ xn (T1 � T )j

� "

2M(jx1j+ :::+ jxn�n1j) +

" (jT1 � T j+ jT2 � T j+ :::+ jTn1 � T j)2 (jT1 � T j+ jT2 � T j+ :::+ jTn1 � T j)

<"

2+"

2= ":

Deci, limn!1

Un = ST: �

Teorema 2.2.53 (Cauchy) Produsul dup¼a Cauchy al dou¼a serii absolut convergente esteo serie absolut convergent¼a, cu suma egal¼a cu produsul sumelor celor dou¼a serii.

Demonstratie. Fie S =1Pn=1

xn si T =1Pn=1

yn dou¼a serii absolut convergente. Conform Teo-

remei lui Mertens, seria produs dup¼a Cauchy este convergent¼a si are suma ST . Aplicând

Teorema lui Mertens pentru seriile (cu termeni pozitivi)1Pn=1

jxnj si1Pn=1

jynj ; rezult¼a c¼a

seria produs dup¼a Cauchy1Pn=1

~zn, unde

~zn = jx1j jynj+ :::+ jxnj jy1j ;8n � 1

este convergent¼a. Dar,

jznj = jx1yn + :::+ xny1j � jx1j jynj+ :::+ jxnj jy1j = ~zn;8n � 1;

ceea ce antreneaz¼a c¼a seria1Pn=1

zn este absolut convergent¼a. �

2.3 Siruri de functii

De�nitia 2.3.1 Fie D � R si fn : D ! R; n 2 N�; un sir de functii. Spunem c¼a punctulx 2 D este punct de convergent¼a pentru sirul de functii (fn)n2N� dac¼a sirul numeric


(fn(x))n2N� ; este convergent. Multimea punctelor de convergent¼a ale sirului (fn)n2N� seva numi multime de convergent¼a si va � notat¼a cu C: Fiec¼arui x 2 C � D putem s¼a-iasociem num¼arul real notat f(x) = lim

n!1fn(x): Aceast¼a asociere este o functie f : C ! R;

pe care o vom numi limita punctual¼a a sirului de functii (fn):

Asadar, vom spune c¼a sirul de functii (fn) converge punctual la functia f pe multimeaC, dac¼a pentru orice x 2 C; sirul numeric (fn(x))n2N� este convergent la f(x); sau, într-oscriere explicit¼a, dac¼a pentru orice x 2 C si pentru orice " > 0; exist¼a un rang n";x 2 N;astfel încât pentru orice n � n";x; s¼a avem jfn(x) � f(x)j < ": În acest caz, vom scriefn

p!Cf .

Exemplul 2.3.2 Sirul fn : [0; 1]! R; fn(x) = xn converge punctual pe [0; 1] la

f(x) =

�0; pentru x 2 [0; 1)1; pentru x = 1:

În particular, dac¼a x 2 (0; 1) observ¼am c¼a rangul n";x 2 N; astfel încât pentru oricen � n";x; s¼a avem jfn(x)� f(x)j < " poate � luat ca �ind

�ln "lnx

�+ 1; valoare care pentru

x apropiat de 1; devine "oricât de mare".

Asadar, nu putem indica un astfel de rang n" comun pentru toate valorile x 2 [0; 1]:Acest lucru face ca, din punct de vedere tehnic, în general, convergenta punctual¼a s¼a �e onotiune prea slab¼a în raport cu nevoia de a transmite anumite caracteristici ale functiilorsirului la functia sum¼a.Acest neajuns este compensat de de�nitia urm¼atoare.

De�nitia 2.3.3 Fie D � R; f : D ! R si fn : D ! R; n 2 N�; un sir de functii.Spunem c¼a sirul de functii (fn) este uniform convergent pe multimea A � D la functia fdac¼a pentru orice " > 0; exist¼a n" 2 N�; astfel încât pentru orice n � n" si pentru oricex 2 A, s¼a avem

jfn(x)� f(x)j < ":

În acest caz vom scrie fnu!Af .

Deci sirul (fn) converge uniform la f pe A dac¼a si numai dac¼a, pentru orice " > 0;exist¼a n" 2 N�; astfel încât pentru orice n � n", gra�cul functiilor fn este situat în bandadeterminat¼a de gra�cele functiilor f � " si f + ":

Exemplul 2.3.4 Sirul fn : [0; 1=2] ! R; fn(x) = xn converge punctual pe [0; 1=2] la

f : [0; 1=2] ! R; f(x) = 0: Putem veri�ca c¼a în acest caz, rangulh

ln "ln(1=2)

i+ 1 este

convenabil pentru toate valorile lui x 2 [0; 1=2]: Deci, în acest caz, convergenta esteuniform¼a. În schimb, conform comentariului de la Exemplul 2.3.2, acelasi sir de functiide�nit pe [0; 1] nu converge uniform pe acest interval.

Observatia 2.3.5 1. Dac¼a fnp!Cf si C1 � C; atunci, în mod evident, rezult¼a c¼a fn

p!C1f .

2. Dac¼a fnu!Af si A1 � A; atunci, fn

u!A1f .

2.3. Siruri de functii 51

Propozitia 2.3.6 Fie A � D � R , f : D ! R si fn : D ! R; n 2 N�; un sir de functiiconvergent uniform la f pe A: Atunci (fn) converge punctual la f pe A:

Demonstratie. Evident, din scrierile de mai sus. �

Observatia 2.3.7 Folosind din nou Exemplul 2.3.2, deducem c¼a reciproca acestei propo-zitii este fals¼a.

De�nitia 2.3.8 Fie A � D � R si fn : D ! R; n 2 N�; un sir de functii. Spunemc¼a sirul de functii (fn) este sir uniform Cauchy pe multimea A; dac¼a pentru orice " > 0;exist¼a un rang n" 2 N�; astfel încât pentru orice m;n � n" si pentru orice x 2 A, avemjfm(x)� fn(x)j < ":

Teorema 2.3.9 (Criteriul lui Cauchy de convergent¼a uniform¼a) Fie D � R sifn : D ! R; n 2 N� un sir de functii. Sirul de functii (fn) este uniform convergentpe multimea A � D dac¼a si numai dac¼a (fn) este sir uniform Cauchy pe multimea A:

Demonstratie. Presupunem c¼a fnu!Df; unde f : D ! R: Atunci pentru orice " > 0;

exist¼a n" 2 N astfel încât pentru n � n" si x 2 D;

jfn(x)� f(x)j < "=2:

Deci, pentru n;m � n" si x 2 D putem scrie

jfm(x)� fn(x)j � jfm(x)� f(x)j+ jfn(x)� f(x)j < "=2 + "=2 = ";

ceea ce dovedeste c¼a sirul este uniform Cauchy.Reciproc, presupunem conditia uniform¼a Cauchy. Aceasta asigur¼a c¼a pentru �ecare

x 2 D sirul numeric (fn(x)) este fundamental, deci convergent. Not¼am cu f(x) limita sa.F¼acând m!1 în conditia Cauchy obtinem c¼a fn

u!Df: �

Teorema 2.3.10 (de caracterizare a uniformei convergente) Fie A � D � R;f : D ! R si fn : D ! R; n 2 N�; un sir de functii. Atunci sirul (fn) convergeuniform la f pe A dac¼a si numai dac¼a

limn!1

(supx2Ajfn(x)� f(x)j) = 0:

Demonstratie. Dac¼a fnu!Af; atunci pentru orice " > 0; exist¼a n" 2 N�; astfel încât pentru

orice n � n" si pentru orice x 2 A s¼a avem jfn(x)� f(x)j < "=2: Aceasta implic¼a faptulc¼a pentru orice n � n";

supx2A

jfn(x)� f(x)j � "=2 < ";

decilimn!1

(supx2Ajfn(x)� f(x)j) = 0:


Folosind de�nitia limitei si caracterizarea marginii superioare, implicatia invers¼a esteevident¼a. �

Pentru a putea aplica teorema anterioar¼a, trebuie, în primul rând, determinat¼a functiaf; limita punctual¼a a sirului de functii (fn); f(x) = lim

n!1fn(x); x 2 C (C multimea de

convergent¼a punctual¼a a sirului (fn)):

Teorema 2.3.11 (Criteriul major¼arii) Fie A � D � R; f : D ! R si fn : D ! R;n 2 N�; un sir de functii. Dac¼a exist¼a un sir (�n) � R; convergent la 0; astfel încât,pentru orice n 2 N� si pentru orice x 2 A; avem jfn(x) � f(x)j � �n; atunci sirul (fn)converge uniform la f , pe A:

Demonstratie. Rezultatul este evident, pe baza teoremei precedente si a Criteriului ma-jor¼arii de la siruri (Propozitia 2.1.24 (ii)). �.

Exemplul 2.3.12 Fie fn : R ! R; fn(x) = x1+n2x2

: Acest sir este convergent uniform peR la 0 pentru c¼a pentru orice x si n 2 N�;�� x

1 + n2x2

�� 1

2n! 0:

Teorema 2.3.13 (Transfer de m¼arginire) Fie D � R; f : D ! R si fn : D ! R;n 2 N�; un sir de functii m¼arginite. Dac¼a (fn) converge uniform la f pe D; atunci f estem¼arginit¼a.

Demonstratie. Din convergenta uniform¼a, deducem c¼a

limn!1

(supx2Djfn(x)� f(x)j) = 0:

Pentru " := 1; exist¼a n1 2 N astfel încât pentru orice n � n1 si orice x 2 D;

supx2Djfn(x)� f(x)j � 1;

decijf(x)j � jfn1(x)� f(x)j+ jfn1(x)j � 1 +M1;8x 2 D;

unde M1 este constanta de m¼arginire a lui fn1 : �

Exemplul 2.3.14 Convergenta punctual¼a nu trasnfer¼a proprietatea de m¼arginire. Fie,pentru �ecare num¼ar natural nenul n; functia fn : (0; 1]! R;

fn(x) =

�0; pentru x 2 (0; n�1]x�1; pentru x 2 (n�1; 1]:

Se veri�c¼a usor c¼a aceste functii sunt m¼arginite dar functia limit¼a punctual¼a f(x) = x�1

pentru orice x 2 (0; 1] nu este m¼arginit¼a. De asemenea, se veri�c¼a faptul c¼a nu are locconvergenta uniform¼a, lucru care se poate deduce si direct din teorema anterioar¼a.

2.4. Serii de functii 53

2.4 Serii de functii

De�nitia 2.4.1 Fie D � R si fn : D ! R; n 2 N� un sir de functii. Spunem c¼a

seria1Xn=1

fn este convergent¼a simplu sau convergent¼a punctual pe multimea D dac¼a sirul

sumelor partiale Sn =nXn=1

fk este convergent punctual pe multimea D: Dac¼a f este limita

sirului (Sn) ; atunci f se va numi suma seriei de functii1Xn=1

fn si vom nota aceasta prin

1Xn=1

fn = f:

De�nitia 2.4.2 Fie D � R; fn : D ! R; n 2 N� un sir de functii si A � D: Spunem c¼a

seria de functii1Xn=1

fn este uniform convergent¼a pe multimea A dac¼a sirul sumelor partiale

(Sn) este uniform convergent pe A:

Teorema 2.4.3 (Criteriul lui Cauchy de convergent¼a uniform¼a a seriilor de

functii) Fie D � R si fn : D ! R; n 2 N�: Seria1Xn=1

fn este uniform convergent¼a pe

multimea A � D dac¼a si numai dac¼a pentru orice " > 0 exist¼a n" 2 N� astfel încât pentruorice n � n", orice p 2 N� si orice x 2 A are loc

jfn+1(x) + fn+2(x) + :::+ fn+p(x)j < ":

Demonstratie. Rezult¼a pe baza criteriului corespunz¼ator privitor la siruri de functii. �

Teorema 2.4.4 (Criteriul lui Weierstrass) Fie fn : A � R ! R ; n 2 N� un sir de

functii. Dac¼a exist¼a o serie numeric¼a convergent¼a cu termeni pozitivi1Xn=1

an astfel încât

pentru orice n 2 N� si orice x 2 A are loc

jfn(x)j � an;

atunci seria de functii1Xn=1

fn este uniform convergent¼a pe A: De asemenea, pentru orice

x 2 A; seria numeric¼a1Xn=1

fn(x) este absolut convergent¼a.

Demonstratie. Au loc urm¼atoarele inegalit¼ati:

jfn+1(x) + :::+ fn+p(x)j � jfn+1(x)j+ :::+ jfn+p(x)j� an+1 + :::+ an+p;8n; p 2 N�;8x 2 A:

Concluziile rezult¼a prin aplicarea Criteriilor de tip Cauchy. �


Exemplul 2.4.5 Seria1Xn=1

sinnxn2+x2

este uniform si absolut convergent¼a pe R pentru c¼a

�� sinnxn2 + x2

�� 1

n2; 8n 2 N�;8x 2 R;

iar seriaP

1n2este convergent¼a si deci se poate aplica Criteriul lui Weierstrass.

Teorema 2.4.6 (Criteriul lui Abel) Fie A � R; fn; gn : A ! R; n 2 N� siruri de

functii. Dac¼a seria1Xn=1

fn este uniform convergent¼a pe A; iar sirul (gn) este uniform

m¼arginit si monoton pentru �ecare x 2 A; atunci seria1Xn=1

fngn este uniform convergent¼a

pe A:

Demonstratie. F¼ar¼a a restrânge generalitatea, presupunem c¼a (gn) este descresc¼ator. Dinipoteza de m¼arginire, exist¼a M > 0 astfel încât pentru orice n 2 N� si orice x 2 A;

jgn(x)j � M . Convergenta uniform¼a a seriei1Xn=1

fn asigur¼a validitatea concluziei, din

Criteriul Cauchy: pentru orice " > 0 exist¼a n" 2 N� astfel încât pentru orice n � n", oricep 2 N� si orice x 2 A are loc

jfn+1(x) + fn+2(x) + :::+ fn+p(x)j <"

3M:

Din Lema lui Abel 2.2.35 deducem c¼a pentru orice n � n"; orice p 2 N� si orice x 2 A areloc

pXk=1

fn+k(x)gn+k(x) �"

3Mjgn+1(x)j < ":

Obtinem concluzia. �

Teorema 2.4.7 (Criteriul lui Dirichlet) Fie A � R; fn; gn : A! R; n 2 N� siruri de


fn are sirul sumelor partiale uniform m¼arginit pe A; iar sirul (gn)

este descresc¼ator (punctual pe A) si convergent uniform la 0 pe A; atunci seria1Xn=1

fngn

este uniform convergent¼a pe A:

Demonstratie. Demonstratia este similar¼a celei de la Criteriul lui Abel, folosind noileipoteze. �

Exemplul 2.4.8 Seria1Xn=1

sinnxn

de�nit¼a pentru x 2 ["; 2� � "]; unde " 2 (0; �) este

uniform convergent¼a pe multimea de de�nitie întrucât se poate aplica criteriul de mai suscu fn(x) = sinnx si gn(x) = 1

n:

2.5. Serii de puteri 55

Teorema 2.4.9 (Criteriul lui Leibniz) Dac¼a sirul de functii fn : A � R! R; n 2 N�

este descresc¼ator (punctual pe A) si uniform convergent la 0 pe A; atunci seria1Xn=1

(�1)nfn

este uniform convergent¼a pe A:

Demonstratie. În mod evident, ipotezele reprezint¼a un caz particular al celor de la Cri-teriul lui Dirichlet, deci concluzia rezult¼a pe baza acestuia. �

Propozitia 2.4.10 (Transfer de m¼arginire) Fie fn : A � R ! R; n 2 N� un sir de


fn este uniform convergent¼a pe A la f si fn sunt functii m¼arginite

pe A, atunci f este m¼arginit¼a pe A:

Demonstratie. Concluzia se obtine aplicând Teorema de transfer de m¼arginire de la siruride functii sirului sumelor partiale. �

2.5 Serii de puteri

De�nitia 2.5.1 Fie (an) un sir de numere reale si x0 2 R: O serie de functii de forma1Xn=0

an(x� x0)n = a0 + a1(x� x0) + a2(x� x0)

2 + :::+ an(x� x0)n + : : :

se numeste serie Taylor. În cazul în care x0 = 0; seria devine

1Xn=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + :::+ anxn + :::

si se numeste serie de puteri. Num¼arul an se numeste coe�cientul termenului de rang n:

Teorema 2.5.2 (a razei de convergent¼a) Fie1Pn=0

anxn o serie de puteri. Atunci are

loc una dintre urm¼atoarele situatii: (i) seria este convergent¼a doar pentru x = 0;(ii) exist¼a si este unic determinat un num¼ar real R 2 (0;+1) astfel încât seria este

absolut convergent¼a pe intervalul (�R;R) si divergent¼a pe (�1;�R)[(R;+1); mai mult,în aceast¼a situatie, seria este uniform convergent¼a pe orice interval închis si m¼arginit[�; �] � (�R;R); �; � 2 R;(iii) seria este absolut convergent¼a pentru orice x 2 R si uniform convergent¼a pe orice

interval închis si m¼arginit [�; �] � R; �; � 2 R:

Demonstratie. Not¼am cuAmultimea punctelor de convergent¼a pentru seria dat¼a. Datorit¼afaptului c¼a 0 2 A; deducem c¼a A 6= ;: Dac¼a A = f0g; atunci este clar c¼a seria convergedoar pentru x = 0 si suntem în situatia de la (i): Presupunem deci c¼a

R = supfjxj j x 2 Ag 2 (0;1]:


Dac¼a R < +1 ar¼at¼am c¼a are loc situatia de la (ii): Consider¼am un interval închis sim¼arginit [�; �] � (�R;R); (unde �; � 2 R): Atunci exist¼a r 2 (maxfj�j ; j�jg; R) \ A sipentru orice x 2 [�; �];

janxnj =��anrnxnrn

�� = janrnj� jxjr�n� janrnj

�maxfj�j ; j�jg

r

�n:

Cum seriaPanr

n este convergent¼a, sirul (anrn) este m¼arginit (de fapt, convergent la 0).

Fiindc¼a seriaP�

maxfj�j;j�jgr

�neste o serie geometric¼a de ratie subunitar¼a, deducem, pe

baza Criteriului lui Weierstrass, convergentele de la (ii): Dac¼a x 2 R n [�R;R]; evidentx =2 A deci seria

Panx

n este divergent¼a.Analog se arat¼a c¼a situatia R = +1 corespunde cazului (iii): �

În cazul de la (ii) din teorema precedent¼a, num¼arul R se numeste raza de convergent¼aa seriei, iar (�R;R); intervalul de convergent¼a al seriei. Teorema precedent¼a nu precizeaz¼animic în ce priveste convergenta în extremit¼atile intervalului de convergent¼a; studiul înaceast¼a situatie se face de la caz la caz. Pentru cazul (i) vom considera R = 0, iar pentrucazul (iii); R = +1:Pentru determinarea razei de convergent¼a avem urm¼atoarele rezultate.

Teorema 2.5.3 (Cauchy-Hadamard) Fie1Pn=0

anxn o serie de puteri. Presupunem c¼a

exist¼a l := limn!1

npjanj. Atunci raza de convergent¼a a seriei este R = 0; dac¼a l = 1;

R = 1l; dac¼a l 2 (0;1) si R =1; dac¼a l = 0:

Demonstratie. Aplic¼am criteriul r¼ad¼acinii pentru seria modulelor si deducem c¼a

lim npjanxnj = lim

n!1npjanj jxj :

Dac¼a l = 0; seria este absolut convergent¼a pentru orice x; deci R = +1: Dac¼a l = 1atunci seria este convergent¼a doar pentru x = 0; deci R = 0: În sfârsit, dac¼a l 2 (0;1);seria este absolut convergent¼a pentru jxj < l�1 si divergent¼a pentru jxj > l�1: DeciR = l�1: �

Teorema 2.5.4 Fie1Pn=0

anxn o serie de puteri. Presupunem c¼a exist¼a un indice n0 2 N

astfel încât an 6= 0; pentru orice n � n0: Dac¼a exist¼a limn!1

jan+1jjanj 2 R; atunci raza de

convergent¼a a seriei este R = 1

limn!1

jan+1jjanj

; cu conventia 1=1 = 0 si 1=0 =1:

Demonstratie. Se aplic¼a criteriul raportului pentru seria modulelor si se rationeaz¼a c¼a maisus. �

Exemplul 2.5.5 Seria de puteriP1

n=12n2+13n3+1

xn are raza de convergent¼a R = 1 si esteconvergent¼a pentru x 2 [�1; 1) si divergent¼a în rest.

2.5. Serii de puteri 57

Exemplul 2.5.6 Un exemplu remarcabil de serie de puteri este dat de seria binomial¼adescris¼a mai jos. Fie � 2 R. Consider¼am seria de puteri:

1 +�

1!x+

�(�� 1)2!

x2 + � � �+ �(�� 1) � � � (�� n+ 1)

n!xn + � � �; (2.2)

numit¼a seria binomial¼a. Remarc¼am c¼a pentru � = 0; 1; 2::: se obtine un polinom de grad�, deci seria este absolut convergent¼a pentru orice x 2 R.Presupunem c¼a � =2 N. Determin¼am, pentru început, raza de convergent¼a a seriei

(2.2). Se observ¼a c¼a:

limn!1

��an+1an

�� = limn!1

��(��1):::(��n+1)(��n)

(n+1)!

�(��1):::(��n+1)n!

�� = limn!1

�� n

n+ 1

�� = 1:Prin urmare, raza de convergent¼a a seriei binomiale este R = 1: Deci seria este absolutconvergent¼a pe (�1; 1) si divergent¼a pe R n [�1; 1]: S¼a examin¼am acum problema conver-gentei seriei binomiale în x = 1 si x = �1: S¼a lu¼am jxj = 1. Atunci��an+1an

�� = �� n

n+ 1

�� ;iar cum � este constant, pentru n su�cient de mare,��an+1an

�� = n� �

n+ 1:

Încerc¼am s¼a folosim criteriul Raabe-Duhamel, de unde obtinem:

n

�janjjan+1j

� 1�= n

�n+ 1

n� �� 1�=n(�+ 1)

n� �! �+ 1:

Deci, dac¼a � > 0, seria este absolut convergent¼a. Cazul � = 0, a fost discutat la început.R¼amâne cazul � < 0 în care seria modulelor este divergent¼a. În aceast¼a situatie not¼am� = �� > 0 si seria devine

1 +1Xn=1

(�1)n�(� + 1) � � � (n+ � � 1)n!

xn:

Dac¼a x = �1, atunci avem seria

1 +

1Xn=1

�(� + 1) � � � (n+ � � 1)n!

;

care este cu termeni pozitivi. Aplicându-i, ca mai sus, Criteriul lui Raabe-Duhamel,obtinem divergenta acestei serii. Deci, în cazul � < 0; x = �1, seria este divergent¼a.S¼a lu¼am acum cazul x = 1 si seria devine

1 +1Xn=1

(�1)n�(� + 1) � � � (n+ � � 1)n!

:


Fiind o serie alternat¼a încerc¼am s¼a aplic¼am Criteriul lui Leibniz. Fie

cn =�(� + 1) � � � (n+ � � 1)

n!:

Studiem monotonia lui (cn):cn+1cn

=n+ �

n+ 1:

Deci, dac¼a � � 1, sirul (cn) este cresc¼ator, si cum este un sir de numere pozitive, nu poateavea limita 0. În consecint¼a nici ((�1)ncn) nu are limita 0, deci seria este divergent¼a.Asadar, dac¼a x = 1 si � � �1, seria este divergent¼a. Mai r¼amâne cazul � 2 (0; 1). Înacest caz (cn) este descresc¼ator. R¼amâne de stabilit limita acestui sir (care exist¼a conformteoremei de convergent¼a a sirurilor monotone). Pentru aceasta, logaritm¼am sirul si folosiminegalitatea lnx � x� 1 pentru orice x > 0:

ln cn � (� � 1) +� � 12

+ � � �+ � � 1n

= (� � 1)�1 +

1

2+ � � �+ 1

n

�:

Cum 1 + 12+ � � � + 1

n! 1 si � � 1 < 0; limita membrului drept este �1. Deducem c¼a

ln cn ! �1, deci lim cn = lim eln cn = 0. Putem aplica Criteriul lui Leibniz si obtinem c¼aseria este convergent¼a dac¼a x = �1 si � 2 (�1; 0). Astfel, toate cazurile sunt rezolvate siputem rezuma discutia de mai sus astfel: seria binomial¼a are multimea de convergent¼a

A =

8>><>>:R; dac¼a � 2 N;[�1; 1] ; dac¼a � 2 (0;1) n N;(�1; 1]; dac¼a � 2 (�1; 0);(�1; 1); dac¼a � 2 (�1;�1]:

Vom reveni asupra acestei serii în Capitolul 5.

Capitolul 3

Limite de functii si continuitate

3.1 Notiuni de topologie pe dreapta real¼a

Reamintim c¼a se numeste vecin¼atate a num¼arului real a o submultime a lui R care contineun interval deschis centrat în a; i.e., un interval de forma (a�"; a+") unde " > 0: Evident,orice vecin¼atate a lui a contine pe a:De asemenea, reamintim c¼a se numeste vecin¼atate a lui +1 o submultime a lui R care

contine un interval de forma (x;+1]; unde x 2 R, iar vecin¼at¼atile pentru �1 se de�nescanalog.Prezent¼am acum o serie de concepte care apartin sferei mai largi a unei ramuri mate-

matice numite Topologie.

� O submultime a lui R se numeste deschis¼a dac¼a este multimea vid¼a sau dac¼a estevecin¼atate pentru orice punct al s¼au.

� O submultime a lui R se numeste închis¼a dac¼a multimea sa complementar¼a estedeschis¼a.

� Un punct a 2 R se numeste punct interior multimii A � R dac¼a A este vecin¼atatea lui a: Not¼am cu

�A sau intA interiorul lui A (i.e., multimea tuturor punctelor

interioare lui A).

� Un punct a 2 R se numeste punct de acumulare pentru multimea A � R dac¼aorice vecin¼atate a lui a are în comun cu multimea A cel putin un punct diferit dea: Not¼am multimea tuturor punctelor de acumulare ale lui A cu A0 si o numimmultimea derivat¼a a lui A. Un punct a 2 A n A0 se numeste punct izolat al lui A:

� Un punct a 2 R se numeste punct aderent pentru multimea A � R dac¼a oricevecin¼atate a lui a are în comun cu multimea A cel putin un punct. Not¼am multimeatuturor punctelor aderente lui A cu A si o numim aderenta a lui A.

� O submultime a lui R se numeste compact¼a dac¼a este m¼arginit¼a si închis¼a.

59

60 Capitolul 3. Limite de functii si continuitate

Exemple: (1; 2) este deschis¼a si nu este închis¼a; [1; 2] este închis¼a si nu este deschis¼a;(1; 2] nu este nici închis¼a, nici deschis¼a; [1; 2] este compact¼a; [1;1) nu este compact¼a înR:

Propozitia 3.1.1 (i) O submultime a lui R este deschis¼a dac¼a si numai dac¼a este egal¼acu interiorul s¼au;(ii) O submultime a lui R este închis¼a dac¼a si numai dac¼a este egal¼a cu aderenta sa.

Demonstratie. (i) Fie A � R. Evident�A � A: Presupunem c¼a A este deschis¼a. Conside-

r¼am x 2 A: Conform de�nitiei multimii deschise, A este vecin¼atate pentru x, deci x 2�A:

Invers, dac¼a presupunem�A = A si lu¼am x 2 A; deducem c¼a x 2

�A; i.e., A este vecin¼atate

pentru x:(ii) Evident, pentru orice A � R are loc incluziunea A � A: Fie A închis¼a si x 2 A.

Conform de�nitiei, cA = R n A este deschis¼a. Dac¼a x =2 A; atunci R n A 2 V(x); dar(R n A) \ A = ;; ceea ce reprezint¼a 0 contradictie. Invers, presupunem c¼a A = A: Fiey 2 cA; i.e. y 2 cA: Obtinem existenta unei vecin¼at¼ati V a lui y astfel încât V \ A = ;;ceea ce este echivalent cu V � cA: Deci cA este vecin¼atate pentru y; i.e., cA este deschis¼a.�

Propozitia 3.1.2 (caracterizarea punctelor aderente cu ajutorul sirurilor) FieA o submultime a lui R. Un punct x 2 R este aderent multimii A dac¼a si numai dac¼aexist¼a un sir (xn) de puncte din A astfel încât xn ! x:

Demonstratie. Fie x 2 A: Atunci pentru orice n 2 N�; intervalul (x� 1n; x+ 1

n) are puncte

comune cu A: Alegem xn 2 A \ (x � 1n; x + 1

n) si obtinem un sir de puncte din A astfel

încât jxn � xj < 1n. Prin urmare, xn ! x: Invers, �e un sir de puncte din A; xn ! x si �e

V 2 V(x): Conform de�nitiei convergentei, de la un loc încolo, toti termenii sirului (xn)sunt în V; de unde deducem c¼a x 2 A: �

Observatia 3.1.3 Conform acestui rezultat, limita oric¼arui sir convergent de puncte dinA apartine lui A:

Propozitia 3.1.4 Multimea A � R este închis¼a dac¼a si numai dac¼a limita oric¼arui sirconvergent de puncte din A apartine lui A:

Demonstratie. Presupunem c¼a A este închis¼a si �e (xn) un sir convergent de puncte dinA: Dac¼a limita lui (xn) este x; atunci, conform propozitiei precedente, x 2 A: Dar A = A;deci x 2 A: Invers, presupunem c¼a are loc proprietatea din enunt si lu¼am un elementx 2 A: Folosind propozitia precedent¼a si ipoteza, obtinem c¼a x 2 A: Prin urmare, A = A;deci A este închis¼a. �

Un rezultat ce va � folosit des este urm¼atorul.

Propozitia 3.1.5 Fie A � R o multime nevid¼a si m¼arginit¼a. Atunci inf A si supA suntpuncte aderente ale lui A:

3.1. Notiuni de topologie pe dreapta real¼a 61

Demonstratie. Din teorema de caracterizare a marginii inferioare, deducem c¼a pentru oricen 2 N� exist¼a an 2 A astfel încât

an � n�1 < inf A � an < an + n�1:

Deci sirul (an) � A astfel obtinut este convergent la inf A: Conform propozitiei de carac-terizare cu siruri a punctelor aderente, inf A 2 A: Analog, supA 2 A: �

Propozitia 3.1.6 (caracterizarea punctelor de acumulare cu ajutorul sirurilor)Fie A � R. Un punct x 2 R este punct de acumulare pentru multimea A dac¼a si numaidac¼a exist¼a un sir (xn) de puncte din A n fxg astfel încât xn ! x:

Demonstratie. Demonstratia se face ca în cazul punctelor aderente, cu modi�c¼arile evi-dente. �

Propozitia 3.1.7 Multimea A � R este compact¼a dac¼a si numai dac¼a din orice sir deelemente din A se poate extrage un subsir convergent la un punct din A:

Demonstratie. Presupunem c¼a A este compact¼a si �e (xn) un sir de puncte din A: CumA este m¼arginit¼a, deducem c¼a (xn) este un sir m¼arginit, deci (conform lemei lui Cesàro)admite un subsir (xnk) convergent la un punct x 2 R: Dar, cum A este închis¼a, avem c¼ax 2 A:Invers, presupunem c¼a A are proprietatea din enunt. Presupunem, prin reducere la

absurd, c¼a A nu este m¼arginit¼a superior. Atunci pentru orice n 2 N exist¼a an 2 Aastfel încât an > n: Cum sirul (an) este din A; el va avea un subsir (ank) convergent

la un punct din A: Cum îns¼a ank > nk pentru orice k 2 N si nkk!1! 1 (ca sir strict

cresc¼ator de numere naturale) obtinem c¼a sirul (ank) este divergent, ceea ce reprezint¼a ocontradictie. Asadar, multimea A este m¼arginit¼a superior. Similar, se arat¼a c¼a A estem¼arginit¼a inferior si concluzion¼am c¼a A este m¼arginit¼a. Fie acum x 2 A: Exist¼a un sir deelemente din A cu limita x: Conform ipotezei, x 2 A; deci A = A; adic¼a A este închis¼a.�

Exemplul 3.1.8 Fie A := [�1; 5) \Q: Atunci A = [�1; 5];�A = ;:

Încheiem aceast¼a sectiune cu un alt concept foarte important, si anume acela de den-sitate.

De�nitia 3.1.9 Fie A;B � R astfel încât A � B si B este închis¼a. Spunem c¼a A estedens¼a în B dac¼a pentru orice element din b 2 B exist¼a un sir de elemene (an) din A astfelîncât an ! b (sau, cu notatiile ulterioare, clA = B).

Exemplul 3.1.10 Q si R nQ sunt dense în R:

Propozitia 3.1.11 Fie A;B � R astfel încât A � B si B este interval închis. Atunci Aeste dens¼a în B dac¼a si numai dac¼a pentru orice b1; b2 2 B; cu b1 < b2; exist¼a a 2 A cub1 < a < b2:


Demonstratie. Presupunem c¼a clA = B si lu¼am b1; b2 2 B cu b1 < b2: Fie b 2 (b1; b2).Cum B este interval, b 2 B = clA: Exist¼a un sir (an) � A cu an ! b. De la un loc încolo,toti termenii sirului (an) sunt în (b1; b2):Invers, presupunem c¼a pentru orice b1; b2 2 B cu b1 < b2; exist¼a a 2 A cu b1 < a < b2:

Fie b 2 B: Atunci exist¼a b0 2 B cu b < b0 sau b0 < b: Presupunem, f¼ar¼a a restrângegeneralitatea, c¼a b0 > b: Not¼am x = b0 � b: Pentru orice n 2 N�; între b si b + n�1x 2 B;exist¼a an 2 A: Deci pentru orice n 2 N; jan � bj � n�1x; deci an ! b: Prin urmare,b 2 clA. �

Urm¼atorul rezultat se bazeaz¼a pe axioma Cantor-Dedekind de completitudine.

Teorema 3.1.12 Dac¼a (G;+) este subgrup al lui (R;+); atunci �e exist¼a un cel mai micelement strict pozitiv al lui G; caz în care G este grupul generat de acel element, �e, încaz contrar, G este multime dens¼a în R:

Demonstratie. Dac¼a G = f0g; atunci suntem în prima situatie. Presupunem c¼a G 6= f0g:Multimea (0;1) \ G este nevid¼a si m¼arginit¼a inferior, deci exist¼a a := inf [(0;1) \G] :Distingem dou¼a situatii: a > 0 si a = 0:Presupunem prima dat¼a c¼a a > 0 si ar¼at¼am c¼a G = fna j n 2 Zg (adic¼a G este

generat de a). Pentru început s¼a observ¼am c¼a a 2 G pentru c¼a, în caz contrar, dinteorema de caracterizare a marginii inferioare, exist¼a x; y 2 G cu a < x < y < 3a

2: Dar

y�x 2 G\(0;1) si y�x < a; ceea ce este imposibil. Deci a 2 G: Fie acum x 2 G\(0;1):Din Proprietatea lui Arhimede, exist¼a n 2 N astfel încât x < (n+1)a: Fie cel mai mic n cuaceast¼a proprietate. Atunci na � x < (n+1)a: Dac¼a x 6= na; atunci x� na 2 G\ (0;1)si x � na < a; ceea ce este imposibil. Deci x se scrie sub forma na; cu n 2 N: Dac¼ax 2 G \ (�1; 0); atunci �x 2 G si exist¼a n 2 N astfel încât �x = na; deci x = �na:Cazul acesta este complet demonstrat.Presupunem acum c¼a a = 0: Ar¼at¼am c¼a între orice dou¼a numere reale se g¼aseste un

element al lui G: Fie 0 < x < y: Alegem � 2 (0; y � x): Cum inf [(0;1) \G] = 0; exist¼az 2 G cu 0 < z < �: Folosind din nou Proprietatea lui Arhimede, alegem cel mai micnum¼ar natural n care satisface relatia nz � y: Atunci b := (n� 1)z 2 G si y > b: Dar

b = (n� 1)z = nz � z > y � � � y � y + x = x;

deci b 2 G \ (x; y): Asadar, G este dens¼a în R: �

Teorema 3.1.13 (i) Q este dens¼a în R:(ii) (Kronecker) Fie � 2 R nQ: Multimea M := fm+ n� j m;n 2 Zg este dens¼a în

R:

Demonstratie. (i) (Q;+) este grup care nu este generat de un singur element. Într-adev¼ar,dac¼a ar exista a = p

q2 Q; (p; q) = 1 care genereaz¼a pe Q; atunci pentru orice num¼ar prim

t; exist¼a n 2 N astfel încât n � pq =1t; ceea ce implic¼a t j q; ceea ce este imposibil. Prin

urmare, conform Teoremei 3.1.12, Q este dens¼a în R:(ii) Este usor de ar¼atat c¼a (M;+) este un grup. Pe de alt¼a parte, M este generat de

dou¼a elemente: 1 2 Q si � 2 R nQ: Deci, din nou, suntem în a doua situatie din Teorema3.1.12, asadar M este dens¼a în R: �

3.2. Limite de functii 63

3.2 Limite de functii

De�nitia 3.2.1 Fie A � R, f : A! R si a 2 R punct de acumulare pentru A. Spunemc¼a elementul l 2 R este limita functiei f în punctul a; dac¼a pentru orice V 2 V(l); exist¼aU 2 V(a) astfel încât dac¼a x 2 U \ A; x 6= a; are loc f(x) 2 V: În acest caz vom scrielimx!a

f(x) = l:

Teorema 3.2.2 Fie A � R, f : A ! R; l 2 R si a 2 R punct de acumulare pentru A.Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:(i) lim

x!af(x) = l;

(ii) pentru orice " > 0; exist¼a �" > 0 astfel încât dac¼a jx � aj < �"; x 2 A; x 6= a areloc jf(x)� lj < " (caracterizarea "� �);(iii) pentru orice (xn) � A n fag; xn ! a implic¼a f(xn)! l (caracterizarea cu siruri).

Demonstratie. (i) ) (ii) Fie " > 0 si V := (l � "; l + ") 2 V(l): Conform (i); exist¼aU 2 V(a) astfel încât pentru x 2 U \ A; x 6= a; f(x) 2 (l � "; l + "): Cum U 2 V(a)exist¼a � > 0 (depinzând de ") astfel încât (a � �; a + �) � U: Atunci, pentru oricex 2 (a� �; a+ �) \ A n fag; f(x) 2 (l � "; l + "); i.e., jf(x)� lj < ":(ii) ) (iii) Fie (xn) � A n fag; xn ! a si �e " > 0: Conform (ii); exist¼a �" > 0,

astfel încât dac¼a jx � aj < �"; x 2 A; x 6= a are loc jf(x) � lj < ". Cum xn ! a; exist¼an�" 2 N astfel încât pentru n � n�" ; jxn � aj < �": Concluzion¼am c¼a pentru n � n�" avemjf(xn)� lj < ": Deci f(xn)! l:(iii) ) (i) Ration¼am prin reducere la absurd. Presupunem c¼a exist¼a o vecin¼atate V

a lui l astfel încât pentru orice U 2 V(a) exist¼a xU 2 U \ A n fag astfel încât f(xU) =2 V:Fie n 2 N� si U := (a� 1=n; a+ 1=n): Obtinem un sir (xn) � A n fag astfel încât pentruorice n; jxn � aj < 1=n si f(xn) =2 V: Deducem c¼a xn ! a si, conform (iii); f(xn) ! l:Prin urmare, toti termenii sirului (f(xn)) se a�¼a, de la un loc încolo, în V; ceea ce este încontradictie cu etapa precedent¼a a rationamentului. �

Teorema 3.2.3 Fie A � R, f : A ! R; l 2 R si a punct de acumulare pentru A. Dac¼afunctia f are limita l în punctul a; atunci aceast¼a limit¼a este unic¼a.

Demonstratie. Rezult¼a din teorema precedent¼a si din unicitatea limitei unui sir de numerereale. �

Observatia 3.2.4 Dac¼a a 2 A0 si exist¼a dou¼a siruri (x0n); (x00n) � Anfag; x0n ! a; x00n ! aastfel încât f(x0n)! l0; f(x00n)! l00 si l0 6= l00; atunci functia f nu are limit¼a în a:

Exemplul 3.2.5 Functia f : Rnf0g ! R, f(x) = sin 1xnu are limit¼a în 0 deoarece exist¼a

sirurile

(x0n)n2N� � R; x0n =1

2n�

n!1�! 0;

si

(x00n)n2N� � R; x00n =1

2n� + �2

n!1�! 0;


astfel încâtf(x0n) = sin 2n� = sin 0 = 0

n!1�! 0;

f(x00n) = sin�2n� +

�

2

�= sin

�

2= 1

n!1�! 1 6= 0:

De�nitia 3.2.6 Pentru a 2 R si A � R not¼am As = A \ (�1; a] si Ad = A \ [a;1).Punctul a se numeste punct de acumulare la stânga (respectiv, la dreapta) pentru A;dac¼a este punct de acumulare pentru multimea As (respectiv, Ad). Vom nota multimeapunctelor de acumulare la stânga (respectiv, la dreapta) ale lui A cu A0s (respectiv, A

0d).

De�nitia 3.2.7 Fie A � R, f : A ! R si a punct de acumulare la stânga (respectiv, ladreapta) pentru A. Spunem c¼a elementul l 2 R este limita la stânga (respectiv, la dreapta)a functiei f în punctul a dac¼a pentru orice vecin¼atate V 2 V(l) exist¼a U 2 V(a), astfelîncât dac¼a x 2 U \ As (respectiv x 2 U \ Ad); x 6= a; are loc f(x) 2 V: În acest caz vomscrie lim

x!ax<a

f(x) = l (respectiv limx!ax>a

f(x) = l):

Vom mai nota uneori limx!ax<a

f(x) = ls si limx!ax>a

f(x) = ld. De asemenea, vom folosi si

notatiile

limx%a

f(x) (pentru limita la stânga) si limx&a

f(x) (pentru limita la dreapta).

Teorema 3.2.8 Fie A � R, f : A ! R; a punct de acumulare la stânga si la dreaptapentru A si l 2 R: Atunci exist¼a lim

x!af(x) = l dac¼a si numai dac¼a exist¼a limitele laterale

(la stânga si la dreapta) ale lui f în a si sunt egale. În acest caz toate cele trei limite suntegale: lim

x!ax<a

f(x) = limx!ax>a

f(x) = l:

Demonstratie. Dac¼a exist¼a limx!a

f(x) = l; atunci luând pe rând punctele x pentru care

x < a si apoi pentru care x > a în de�nitia lui l obtinem c¼a l = limx!ax<a

f(x) si l = limx!ax>a

f(x):

Invers, tinem seama de caracterizarea " � � a limitelor laterale (care se formuleaz¼a cutotul analog cu aceea din cazul limitelor) si deducem c¼a exist¼a limita functiei în punctula si este egal¼a cu valoarea comun¼a a limitelor laterale. �

Observatia 3.2.9 Un caz important în care a este punct de acumulare la stânga si ladreapta pentru A este acela în care A este interval si a este punct interior acestuia.

Teorema 3.2.10 (Criteriul major¼arii) Fie A � R, f : A ! R, g : A ! R si a 2 A0:Dac¼a exist¼a l 2 R si U 2 V(a) astfel încât jf(x) � lj � g(x) pentru orice x 2 U \ A;x 6= a si lim

x!ag(x) = 0; atunci exist¼a lim

x!af(x) = l:

Demonstratie. Concluzia rezult¼a usor prin utilizarea caracteriz¼arii limitei cu ajutorulsirurilor, precum si a Criteriului major¼arii de la siruri (Propozitia 2.1.24 (ii)). �


Propozitia 3.2.11 (proprietatea de inertie a semnului) Fie A � R; f : A ! R sia 2 A0: Dac¼a exist¼a lim

x!af(x) = l; l > 0 (respectiv, l < 0); atunci exist¼a U 2 V(a) astfel

încât pentru orice x 2 U \ A; x 6= a; are loc f(x) > 0 (respectiv, f(x) < 0):

Demonstratie. Fie l > 0 si " := l=2: Pentru V := (l � "; l + ") 2 V(l) exist¼a U 2 V(a)astfel încât x 2 U \ A; x 6= a are loc

l � " < f(x) < l + ":

Cum l � " = l=2; obtinem concluzia. Cazul l < 0 se demonstreaz¼a analog. �

Propozitia 3.2.12 (trecerea la limit¼a în inegalit¼ati) (i) Fie A � R; f; g : A ! R,a 2 A0 astfel încât exist¼a lim

x!af(x) = l1 si lim

x!ag(x) = l2; unde l1; l2 2 R. Dac¼a exist¼a

U 2 V(a) astfel încât oricare ar � x 2 U \ A; x 6= a; f(x) � g(x) (sau f(x) < g(x))atunci l1 � l2:(ii) Fie A � R, f : A ! R, a 2 A0 astfel încât exist¼a lim

x!af(x) = l 2 R. Dac¼a exist¼a

U 2 V(a) astfel încât oricare ar � x 2 U \ A; x 6= a; � � f(x) � � (sau � < f(x) < �);atunci � � l � �:(iii) (criteriul clestelui)Fie A � R; f; g; h : A ! R, a 2 A0 astfel încât exist¼a

limx!a

f(x) = limx!a

h(x) = l; unde l 2 R. Dac¼a exist¼a U 2 V(a) astfel încât oricare ar �x 2 U \ A; x 6= a; f(x) � g(x) � h(x), atunci g are limit¼a în a si lim

x!ag(x) = l:

Demonstratie. Din nou se foloseste caracterizarea limitei cu ajutorul sirurilor si Propozitia2.1.24 (i). �

Propozitia 3.2.13 (Operatii cu limite de functii) Fie A � R. Consider¼am functiilef; g : A! R cu limit¼a �nit¼a în punctul a 2 A0 si � 2 R: Atunci functiile f + g; �f; fg aulimit¼a în a si au loc relatiile:(i) lim

x!a(f(x) + g(x)) = lim

x!af(x) + lim

x!ag(x);

(ii) limx!a(�f(x)) = �lim

x!af(x);

(iii) limx!a(f(x)g(x)) = lim

x!af(x)lim

x!ag(x):

(iv) dac¼a, în plus, limx!a

g(x) 6= 0; atunci exist¼a U 2 V(a) astfel încât oricare ar �x 2 U \ A; x 6= a; avem g(x) 6= 0, iar functia f

gare limita în a si

limx!a

f(x)

g(x)=limx!a

f(x)

limx!a

g(x):

Demonstratie. Se foloseste caracterizarea limitei cu ajutorul sirurilor. �

Propozitia 3.2.14 Fie A � R; f : A ! R si a 2 A0: Dac¼a exist¼a limx!a

f(x) = l 2 R;atunci exist¼a U 2 V(a) astfel încât f este m¼arginit¼a pe U \ A (adic¼a exist¼a M > 0 astfelîncât pentru orice x 2 U \ A; are loc jf(x)j �M).


Demonstratie. Pentru V := (l � 1; l + 1) 2 V(l) exist¼a U 2 V(a) astfel încât x 2 U \ A;x 6= a are loc

jf(x)� lj < 1:

Atuncijf(x)j � jf(x)� lj+ jlj < 1 + jlj ; 8x 2 U \ A n fag:

Functia f este m¼arginit¼a pe U \ A n fag de jlj + 1: Dac¼a a =2 A; aceasta este constantade m¼arginire, iar în caz contrar consider¼am constanta maxfjlj+ 1; f(a)g care m¼arginestefunctia pe U \ A. �

Teorema 3.2.15 Fie A � R; f; g : A ! R si a 2 A0: Dac¼a limx!a

f(x) = 0 si exist¼a

U 2 V(a) astfel încât g este m¼arginit¼a pe U \ A, atunci exist¼a limx!a

f(x)g(x) = 0:

Demonstratie. Se foloseste caracterizarea limitei cu ajutorul sirurilor. �

Exemplul 3.2.16 Pe baza teoremei precedente deducem c¼a limx!0

x sin 1x= 0:

De�nitia 3.2.17 Fie f : A ! R; A � R si a 2 A0: Spunem c¼a functia f are limita +1(respectiv, �1) în punctul a; dac¼a pentru orice V 2 V(+1) (respectiv, V 2 V(�1));exist¼a U 2 V(a) astfel încât pentru orice x 2 U \A; x 6= a; are loc f(x) 2 V: În acest cazvom scrie lim

x!af(x) = +1 (respectiv, lim

x!af(x) = �1):

Teorema 3.2.18 Fie f : A ! R; A � R si a 2 A0: Atunci exist¼a limx!a

f(x) = +1(respectiv, lim

x!af(x) = �1); dac¼a si numai dac¼a oricare ar � " > 0; exist¼a �" > 0, astfel

încât dac¼a jx� aj < �"; x 2 A; x 6= a are loc f(x) > " (respectiv, f(x) < �"):

De�nitia 3.2.19 Spunem c¼a +1 este punct de acumulare pentru A � R dac¼a exist¼aun sir de elemente din A cu limita +1; ceea ce este echivalent cu a spune c¼a A estenem¼arginit¼a superior. Analog, spunem c¼a �1 este punct de acumulare pentru A � Rdac¼a exist¼a un sir de elemente din A cu limita �1; ceea ce este echivalent cu a spune c¼aA este nem¼arginit¼a inferior.

De�nitia 3.2.20 Fie f : A! R; A � R; astfel încât +1 (respectiv, �1) este punct deacumulare pentru A: Spunem c¼a elementul l 2 R este limita functiei f la +1 (respectiv,�1); dac¼a pentru orice V 2 V(l); exist¼a U 2 V(1) (respectiv, U 2 V(�1)) astfel încâtpentru orice x 2 U \ A; are loc f(x) 2 V: În acest caz vom scrie lim

x!1f(x) = l (respectiv,

limx!�1

f(x) = l):

Teorema 3.2.21 Fie l 2 R, f : A ! R; A � R; astfel încât +1 (respectiv, �1) estepunct de acumulare pentru A: Atunci exist¼a lim

x!+1f(x) = l (respectiv, lim

x!�1f(x) = l)

dac¼a si numai dac¼a oricare ar � " > 0; exist¼a �" > 0, astfel încât dac¼a x > �" (respectiv,x < ��"); x 2 A are loc

jf(x)� lj < ":


De�nitia 3.2.22 Fie f : A ! R; A � R; astfel încât +1 (respectiv, �1) este punctde acumulare pentru A: Spunem c¼a limita functiei f la +1 (respectiv, �1) este +1;dac¼a pentru orice V 2 V (+1) ; exist¼a U 2 V (+1) (respectiv, U 2 V (�1)) astfel încâtpentru orice x 2 U \ A; are loc f (x) 2 V: În acest caz vom scrie lim

x!+1f (x) = +1

(respectiv, limx!�1

f (x) = +1).

Pe baza caracteriz¼arilor cu siruri si a rezultatelor corespunz¼atoare de la siruri se obtincu usurint¼a rezultatele de mai jos.

Teorema 3.2.23 Fie f : A ! R; A � R; astfel încât +1 (respectiv, �1) este punctde acumulare pentru A: Atunci exist¼a lim

x!+1f (x) = +1 (respectiv lim

x!�1f (x) = +1)

dac¼a si numai dac¼a oricare ar � " > 0; exist¼a �" > 0, astfel încât dac¼a x > �" (respectiv,x < ��"); x 2 A are loc f (x) > ":

De�nitii si rezultate similare, usor de reprodus, au loc pentru situatiile

limx!+1

f (x) = �1 si limx!�1

f (x) = �1:

Propozitia 3.2.24 Fie f; g : A! R; A � R, a 2 A0 si exist¼a limx!a

f(x) = +1 (respectiv,

limx!a

g(x) = �1). Dac¼a exist¼a U 2 V(a) astfel încât oricare ar � x 2 U \ A; x 6= a;

f(x) � g(x); atunci exist¼a limx!a

g(x) = +1 (respectiv, limx!a

f(x) = �1).

De�nitia 3.2.25 Fie f : A ! R; A � R astfel încât +1 (respectiv, �1) este punct deacumulare pentru A. Fie l 2 R: Spunem c¼a dreapta y = l este asimptot¼a orizontal¼a la +1(respectiv, �1) pentru functia f dac¼a exist¼a lim

x!+1f(x) = l (respectiv, lim

x!�1f(x) = l).

De�nitia 3.2.26 Fie f : A ! R; A � R astfel încât +1 (respectiv, �1) este punct deacumulare pentru A. Fie m;n 2 R; m 6= 0: Spunem c¼a dreapta y = mx+n este asimptot¼aoblic¼a la +1 (respectiv, �1) pentru functia f , dac¼a exist¼a lim

x!+1jf(x) � mx � nj = 0

(respectiv, limx!�1

jf(x)�mx� nj = 0).

Teorema 3.2.27 Fie f : A ! R; A � R astfel încât +1 (respectiv, �1) este punct deacumulare pentru A. Fie m;n 2 R; m 6= 0: Dreapta y = mx + n este asimptota oblic¼ala +1 (respectiv, �1) pentru functia f dac¼a si numai dac¼a exist¼a lim

x!+1f(x)x= m si

limx!+1

(f(x)�mx) = n (respectiv, limx!�1

f(x)x= m si lim

x!�1(f(x)�mx) = n):

Demonstratie. Manipul¼ari simple ale expresiilor din enunt conduc la concluzie. �

De�nitia 3.2.28 Fie f : A! R; A � R:(i) Dac¼a a 2 A0s (respectiv, a 2 A0d), spunem c¼a dreapta x = a este asimptot¼a vertical¼a

la stânga (respectiv, la dreapta) pentru functia f dac¼a exist¼a limx!ax<a

f(x) = +1 sau �1

(respectiv, limx!ax>a

f(x) = +1 sau �1).


(ii) Dac¼a a 2 A0; spunem c¼a dreapta x = a este asimptot¼a vertical¼a pentru functia fdac¼a este asimptot¼a verticala la stânga sau asimptot¼a vertical¼a la dreapta pentru f:

Observatia 3.2.29 Ca si în cazul limitelor de siruri, urm¼atoarele cazuri sunt nedeter-min¼ari:

1�1;�1 � 0; 00;�1�1 ; 00;�10; 1�1:

Eliminarea nedetermin¼arilor se face, de obicei, astfel:(i) Cazurile 0

0; �1�1 se elimin¼a �e folosind limitele fundamentale, �e cu regula lui

L�Hôpital (a se vedea capitolul dedicat calculului diferential).(ii) Cazurile 0 �1; 0 � (�1) se reduc la cazurile 0

0; �1�1 astfel: �e f; g : A! R; a 2 A0;

astfel încât exist¼a limx!a

f(x) = 0; limx!a

g(x) = 1(�1) si exist¼a U 2 V(a) astfel încât,f(x) 6= 0; g(x) 6= 0; 8x 2 U n fag; putem scrie f(x)g(x) = f(x)

1g(x)

si astfel nedeterminarea

dat¼a se reduce la o nedeterminare 00sau f(x)g(x) = g(x)

1f(x)

si vom obtine o nedeterminare11 :(iii) Cazul 1 � 1 se reduce, de obicei, la cazul 0 � 1 astfel: �e f; g : A ! R;

a 2 A0; astfel încât exist¼a limx!a

f(x) = 1; limx!a

g(x) = 1 si exist¼a U 2 V(a) astfel încât

f(x) 6= 0;8x 2 U n fag; putem scrie (f(x)� g(x)) = f(x)�1� g(x)

f(x)

�: Dac¼a lim

x!ag(x)f(x)

= 1,

atunci nedeterminarea dat¼a se reduce la o nedeterminare 0 � 1; dac¼a limx!a

g(x)f(x)

> 1 (< 1),

atunci limx!a(f(x)� g(x)) = �1(+1):

(iv) Cazurile 00;10 se reduc la cazul 0 � 1 astfel: �e f; g : A ! R; a 2 A0; astfelîncât exist¼a lim

x!af(x) = 0 (+1), lim

x!ag(x) = 0 si exist¼a U 2 V(a) astfel încât f(x) > 0;

8x 2 U \ A n fag: Putem scrie f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) si limita de la exponent este onedeterminare 0 � (�1) (respectiv, 0 � 1).(v) Cazul 11 se reduce tot la cazul 0 � 1 �e prin metoda de la punctul iv), �e astfel:

dac¼a f; g : A ! R; a 2 A0; astfel încât exist¼a limx!a

f(x) = 1, limx!a

g(x) = 1 si exist¼a

U 2 V (a) astfel încât ; f(x) 6= 1; 8x 2 U n fag; atunci vom scrie

f(x)g(x) = f[1 + (f(x)� 1)]1

f(x)�1gg(x)(f(x)�1):

Avemlimx!a[1 + (f(x)� 1)]

1f(x)�1 = e;

iar limx!a

g(x)(f(x)� 1) este o nedeterminare 0 � 1:

Observatia 3.2.30 Pentru o trecere în revist¼a a limitelor fundamentale, a se vedea Anexa6:5.

3.3 Functii continue

De�nitia 3.3.1 Fie f : A ! R; A � R si a 2 A. Spunem c¼a functia f este continu¼aîn punctul a dac¼a oricare ar � V 2 V(f(a)); exist¼a U 2 V(a) astfel încât pentru orice

3.3. Functii continue 69

x 2 U \ A; are loc f(x) 2 V:

Dac¼a f nu este continu¼a în a, vom spune c¼a f este discontinu¼a în a sau c¼a a este punctde discontinuitate al functiei f .Comparând aceast¼a de�nitie cu cea a limitei unei functii într-un punct se obtine ime-

diat rezultatul urm¼ator.

Teorema 3.3.2 Fie f : A! R; A � R si a 2 A: Dac¼a a 2 A0; atunci f este continu¼a îna dac¼a si numai dac¼a exist¼a lim

x!af(x) = f(a):

Observatia 3.3.3 Dac¼a a este un punct izolat al lui A; atunci De�nitia 3.3.1 este au-tomat satisf¼acut¼a, deci f este continu¼a în a:

Transfer¼am acum unele rezultate de la limite de functii la cazul functiilor continue.

Teorema 3.3.4 (de caracterizare a continuit¼atii într-un punct) Fie f : A ! R;A � R si a 2 A. Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:(i) f este continu¼a în a;(ii) pentru orice " > 0; exist¼a � > 0, astfel încât dac¼a jx � aj < �; x 2 A; are loc

jf(x)� f(a)j < " (caracterizarea "� �);(iii) pentru orice (xn) � A; xn ! a implic¼a f(xn)! f(a) (caracterizarea cu siruri).

Demonstratie. Rezult¼a din de�nitia continuit¼atii si din teorema corespunz¼atoare din cazullimitelor de functii. �

De�nitia 3.3.5 Fie f : A ! R; A � R si a 2 A. Spunem c¼a functia f este continu¼a lastânga (respectiv, la dreapta) în punctul a; dac¼a oricare ar �V 2 V(f(a)); exist¼a U 2 V(a)astfel încât dac¼a x 2 U \ As (respectiv, x 2 U \ Ad) are loc f(x) 2 V:

Propozitia 3.3.6 Fie A � R si a 2 A; punct de acumulare la stânga (respectiv, ladreapta) pentru A: Functia f : A ! R; este continu¼a la stânga (respectiv, la dreapta) îna; dac¼a si numai dac¼a exist¼a lim

x!ax<a

f(x) = f(a) (respectiv, limx!ax>a

f(x) = f(a)).


Teorema 3.3.7 Fie f : I ! R; I � R; I interval deschis si a 2 I: Atunci f este continu¼aîn a dac¼a si numai dac¼a f este continu¼a la stânga si la dreapta în a.


Propozitia 3.3.8 Fie f : A! R si a 2 A: Dac¼a f este continu¼a în a si f(a) 6= 0; atunciexist¼a o vecin¼atate U a lui a astfel încât pentru orice x 2 U \ A; f(x) are acelasi semncu f(a):

Demonstratie. Rezult¼a din de�nitia continuit¼atii si din rezultatul corespunz¼ator din cazullimitelor de functii (Propozitia 3.2.11). �


De�nitia 3.3.9 Spunem c¼a functia f : A! R; A � R este continu¼a (pe A), dac¼a f estecontinu¼a în orice punct a 2 A:

Exemplul 3.3.10 Functiile logaritmice, exponentiale, polinomiale, sin; cos; arcsin; arccossunt continue pe întreg domeniul de de�nitie (a se vedea si Anexa 6.3).

De�nitia 3.3.11 Fie I � R un interval si �e f : I ! R: Un punct de discontinuitatea 2 I se numeste punct de discontinuitate de specia I pentru f dac¼a exist¼a limitele lateraleale lui f în a si sunt �nite. În caz contrar, vom spune c¼a a este punct de discontinuitatede specia a II-a pentru f .

Exemplul 3.3.12 Studiem continuitatea functiei f : R! R,

f(x) =

8>>>><>>>>:x� 1; dac¼a x � �1;sin 1

x; dac¼a x 2 (�1; 0);

1x�1 ; dac¼a x 2 [0; 1);x; dac¼a x 2 [1; 2);x2 � x; dac¼a x � 2:

Pentru x 2 (�1;�1), f(x) = x� 1 si este continu¼a (�ind functie polinomial¼a). Pentru astudia continuitatea functiei f în punctul x = �1 trebuie s¼a calcul¼am limitele laterale:

fs(�1) = limx%�1

f(x) = limx%�1

(x� 1) = �2;

fd(�1) = limx&�1

f(x) = limx&�1

sin1

x= sin(�1) 2 (�1; 1):

În plus, f(�1) = (x�1)jx=�1 = �2. Deoarece cele dou¼a limite laterale iau valori distincte,reale, f nu este continu¼a în punctul x = �1, iar x = �1 este punct de discontinuitate despecia I pentru f ; totusi, fs(�1) = f(�1), deci f este continu¼a la stânga în x = �1.Pentru x 2 (�1; 0), f(x) = sin 1

xsi este continu¼a (prin compunere de functii ele-

mentare).Pentru a studia continuitatea functiei f în punctul x = 0 analiz¼am limitele laterale:

limita la stânga nu exist¼a, prin urmare x = 0 este punct de discontinuitate de specia aII-a pentru f ; în schimb,

fd(0) = limx&0

f(x) = limx&0

1

x� 1 = �1

si f(0) = 1x�1 jx=0 = �1 = fd(0), deci f este continu¼a la dreapta în punctul x = 0.

Pentru x 2 (0; 1), f(x) = 1x�1 si este continu¼a (�ind functie rational¼a).

Pentru a studia continuitatea functiei f în punctul x = 1 trebuie s¼a-i calcul¼am limitelelaterale:

fs(1) = limx%1

f(x) = limx%1

1

x� 1 = �1;

fd(1) = limx&1

f(x) = limx&1

x = 1:


În plus, f(1) = xjx=1 = 1. Deoarece limita la stânga este in�nit¼a, f nu este continu¼a înpunctul x = 1, iar x = 1 este punct de discontinuitate de specia a II-a pentru f ; totusi,fd(1) = f(1), deci f este continu¼a la dreapta în x = 1.Pentru x 2 (1; 2), f(x) = x si este continu¼a (ca functie polinomial¼a).Pentru a studia continuitatea functiei f în punctul x = 2 îi calcul¼am limitele laterale:

fs(2) = limx%2

f(x) = limx%2

x = 2;

fd(2) = limx&2

f(x) = limx&2(x2 � x) = 2:

În plus, f(2) = (x2 � x)jx=2 = 2. Cum fs(2) = fd(2) = f(2), functia f este continu¼a înx = 2.Pentru x 2 (2;1), f(x) = x2 � x si este continu¼a (�ind functie polinomial¼a). În

concluzie, f este continu¼a pe multimea R n f�1; 0; 1g.

Teorema 3.3.13 (de caracterizare a continuit¼atii globale) Fie f : R ! R. Urm¼a-toarele a�rmatii sunt echivalente:(i) f este continu¼a pe R;(ii) pentru orice multime deschis¼a D � R; f�1(D) este multime deschis¼a;(iii) pentru orice multime închis¼a F � R; f�1(F ) este multime închis¼a.

Demonstratie. (i) ) (ii) Fie D � R deschis¼a si x 2 f�1(D): Avem f(x) 2 D si deciD 2 V(f(x)): Cum f este continu¼a în x; exist¼a o vecin¼atate U a lui x astfel încât f(y) 2 Dpentru orice y 2 U: Obtinem c¼a y 2 f�1(D); deci U � f�1(D): Deducem c¼a

f�1(D) 2 V(x);

deci f�1(D) este deschis¼a.(ii)) (i) Fie a 2 R si V o vecin¼atate a lui f(a): Exist¼a " > 0 astfel încât

(f(a)� "; f(a) + ") � V:

Cum (f(a)� "; f(a) + ") este deschis¼a, U := f�1 ((f(a)� "; f(a) + ")) este, de asemenea,deschis¼a si, evident, contine pe a; deci este vecin¼atate pentru a: Fie x 2 U: Atunci f(x) 2(f(a)� "; f(a) + ") � V; deci f este continu¼a în a:(ii) , (iii) Fie A � R: Cum R n f�1(A) = f�1(R n A); obtinem concluzia si demon-

stratia este încheiat¼a. �

Observatia 3.3.14 Fie f : R! R continu¼a si �e �; � 2 R. Consider¼am multimile:

A = fx 2 R j f(x) < �g;B = fx 2 R j f(x) > �g;C = fx 2 R j f(x) � �g;D = fx 2 R j f(x) � �g;E = fx 2 R j � < f(x) < �g;F = fx 2 R j � � f(x) � �g;G = fx 2 R j f(x) = �g:


În virtutea teoemei anterioare, multimile A;B;E sunt deschise (�ind contraimaginea unormultimi deschise din R), iar multimile C;D; F;G sunt închise (�ind contraimaginea unormultimi închise din R). Într-adev¼ar,

A = f�1 ((�1; �)) ;

B = f�1 ((�;+1)) ;C = f�1 ((�1; �]) ;

D = f�1 ([�;+1)) ;E = f�1 ((�; �)) ;

F = f�1 ([�; �]) ;

G = f�1 (f�g) :

Observatia 3.3.15 Imaginea unei multimi deschise printr-o functie continu¼a nu este înmod necesar o multime deschis¼a. De exemplu, imaginea unui interval deschis printr-ofunctie constant¼a este o multime format¼a dintr-un singur punct.De asemenea, imaginea unei multimi închise printr-o functie continu¼a nu este în mod

necesar o multime închis¼a. De exemplu, functia f(x) = ex duce multimea R în (0;1):

Propozitia 3.3.16 (operatii algebrice cu functii continue) Dac¼a f; g : A! R suntfunctii continue pe multimea A � R si � 2 R; atunci:(i) f � g; �f sunt functii continue pe A;(ii) f � g este continu¼a pe A;(iii) f

geste continu¼a pe multimea A n fx 2 A j g(x) = 0g;

(iv) jf j;min(f; g);max(f; g) sunt functii continue pe A:

Demonstratie. Rezult¼a din de�nitia continuit¼atii, din rezultatul corespunz¼ator din cazullimitelor de functii si caracteriz¼arile cu siruri. �

Propozitia 3.3.17 (compunerea functiilor continue) Fie A;B � R si f : A ! B;g : B ! R:(i) Dac¼a f este continu¼a în a 2 A, iar g este continu¼a în f(a); atunci g � f este

continu¼a în a.(ii) Dac¼a f este continu¼a pe A, iar g este continu¼a pe B; atunci g � f este continu¼a

pe A.

Demonstratie. Se foloseste punctul (iii) al Teoremei de caracterizare a continuit¼atii înpunct. �

Teorema 3.3.18 Fie A � R; a 2 A0 si f : A n fag ! R: Dac¼a exist¼a limx!a

f(x) = l 2 R;

atunci functia ef : A! R;

ef(x) = (f(x); x 2 A n fagl; x = a

este continu¼a în a ( ef se numeste prelungirea prin continuitate a functiei f):


Demonstratie. Evident. �

Exemplul 3.3.19 Functia f : R n f0g ! R; f(x) = sinxxse poate prelungi prin continui-

tate în 0 astfel: ef : R! R;

ef(x) = ( sinxx; x 2 R n f0g;

1; x = 0:

Teorema 3.3.20 (discontinuit¼atile functiilor monotone) Fie I � R un interval des-chis. Dac¼a f : I ! R; este o functie monoton¼a pe I; atunci punctele sale de discontinuitatesunt de specia I.

Demonstratie. Presupunem, f¼ar¼a a restrânge generalitatea c¼a f este cresc¼atoare si �ea 2 I. Atunci, ar¼at¼am c¼a exist¼a limitele laterale ale lui f în a si c¼a acestea sunt �nite. Defapt, vom demonstra c¼a

limx!ax<a

f(x) = supff(u) j u 2 I; u < ag � f(a)

silimx!ax>a

f(x) = infff(u) j u 2 I; a < ug � f(a);

ceea ce conduce la concluzie. Spre exemplu, pentru a demonstra prima egalitate de maisus, consider¼am " > 0: Atunci exist¼a x 2 I; x < a astfel încât

supff(u) j u 2 I; u < ag � f(x) < ":

Fie � := a� x: Pentru orice x 2 (a� �; a) = (x; a); din monotonie,

0 � supff(u) j u 2 I; u < ag � f(x) � supff(u) j u 2 I; u < ag � f(x) < ";

ceea ce probeaz¼a c¼a limx!ax<a

f(x) = supff(u) j u 2 I; u < ag: �

Propozitia 3.3.21 Dac¼a A � R este o multime compact¼a si f : A ! R este continu¼a,atunci f(A) este compact¼a.

Demonstratie. Pentru a dovedi c¼a f(A) este compact¼a, ar¼at¼am c¼a orice sir (yn) din f(A)contine un subsir convergent la un element din f(A). Deoarece (yn) � f(A), exist¼a(xn) � A astfel încât yn = f(xn) pentru orice n 2 N. Cum (xn) � A si A este compact¼a,exist¼a (xnk)k � A; xnk ! a 2 A. Este clar c¼a (f(xnk))k este un subsir al sirului (f(xn)).În plus, deoarece f este continu¼a pe A, f(xnk) ! f(a) 2 f(A). Asadar, (ynk) este unsubsir al sirului (yn) si este convergent la un element din f(A). Deci f(A) este compact¼a.�Reamintim c¼a dac¼a avem o multime m¼arginit¼a A � R; atunci exist¼a marginile sale

superioar¼a si inferioar¼a în R si, în plus, exist¼a un sir (xn) � A astfel încât xn ! supA siun sir (yn) � A astfel încât yn ! inf A:


Teorema 3.3.22 (Weierstrass) Dac¼a f : K � R ! R este continu¼a si K este omultime compact¼a, atunci f este m¼arginit¼a pe K (i.e., f(K) este o multime m¼arginit¼a) siîsi atinge marginile, adic¼a exist¼a a; b 2 K; astfel încât

supx2K

f(x) = f(a) si infx2K

f(x) = f(b):

Demonstratie. Conform propozitiei precedente, f(K) este compact¼a, deci m¼arginit¼a. Prinurmare, functia f este m¼arginit¼a pe K: Fie � = sup f(K). Din teorema de caracterizarea marginii superioare, exist¼a un sir (yn) � f(K) astfel încât yn ! �. Cum f(K) esteînchis¼a, � 2 f(K); deci exist¼a a 2 K astfel încât f(a) = �: Pentru marginea inferioar¼a seprocedeaz¼a analog. �

De�nitia 3.3.23 Fie A � R: O functie f : A ! R se numeste uniform continu¼a pemultimea B � A dac¼a pentru orice " > 0; exist¼a � > 0 astfel încât

8x; y 2 B cu jx� yj < �; are loc jf(x)� f(y)j < ":

Observatia 3.3.24 S¼a vedem mai întâi ce ar însemna faptul c¼a o functie nu este uniformcontinu¼a pe multimea A: Negând de�nitia de mai sus, avem c¼a f nu este uniform continu¼ape A dac¼a si numai dac¼a exist¼a " > 0 si (xn); (yn) � A astfel încât xn � yn ! 0 sijf(xn)� f(yn)j � " pentru orice n:

Exemplul 3.3.25 Functia f(x) = x�1 este continu¼a pe (0; 1); dar nu este uniform con-tinu¼a pe aceast¼a multime. Prima a�rmatie este evident¼a, iar pentru a o dovedi pe a doua,lu¼am sirurile xn = 1=(n+ 1) si yn = 1=(n+ 2) cu n 2 N si " = 1 si veri�c¼am cu usurint¼aconditia de negare a uniformei continuit¼ati din observatia anterioar¼a.

Observatia 3.3.26 Fie A � R si f : A ! R o functie uniform continu¼a pe A: FieB � A. Atunci:(i) f este continu¼a pe A;(ii) f este uniform continu¼a si pe multimea B.

Teorema 3.3.27 (Cantor) Dac¼a f : A � R ! R este continu¼a, iar A este compact¼a,atunci f este uniform continu¼a pe A.

Demonstratie. Ration¼am prin reducere la absurd. Presupunem c¼a f nu este uniformcontinu¼a pe A. Prin urmare, exist¼a "0 > 0 si (xn) � A; (yn) � A astfel încât xn � yn ! 0si pentru orice n; jf(xn) � f(yn)j � "0. Deoarece A este compact¼a, sirul (xn) contineun subsir (xnk)k convergent la x 2 A. Atunci xnk � ynk ! 0; deci (ynk)k ! x. Cumf este continu¼a în x; f(xnk) ! f(x) si f(ynk) ! f(x), deci f(xnk) � f(ynk) ! 0: Cumjf(xnk) � f(ynk)j � "0 pentru orice k 2 N; trecând la limit¼a, ajungem la contradictia0 � "0. �

De�nitia 3.3.28 O functie f : A � R ! R se numeste Lipschitz (sau lipschitzian¼a) peA dac¼a exist¼a L > 0 astfel încât:

jf(x)� f(y)j � Ljx� yj;

pentru orice x; y 2 A (L se numeste constanta Lipschitz a functiei f).


Propozitia 3.3.29 Dac¼a f : A � R ! R este lipschitzian¼a, atunci f este uniformcontinu¼a pe A, deci, în particular, continu¼a pe A:

Demonstratie. Pentru orice " > 0 exist¼a � := "=L astfel încât dac¼a jx � yj < � avemjf(x)� f(y)j < L� = ": �

Exemplul 3.3.30 Observ¼am c¼a reciproca acestei propozitii nu este adev¼arat¼a. Conside-r¼am functia f : [0; 1] ! R dat¼a prin f(x) =

px: Aceast¼a functie nu e Lipschitz pe [0; 1]:

Într-adev¼ar, dac¼a ar exista L > 0 astfel încât pentru orice x; y 2 [0; 1]��px�py�� L jx� yj ;

atunci aceasta ar � adev¼arat¼a si pentru xn = n�2 si yn = (n+ 1)�2 (n 2 N�). Atunci,pentru orice n nenul,

1

n(n+ 1)� L

2n+ 1

n2(n+ 1)2;

adic¼an(n+ 1)

2n+ 1� L;

ceea ce este imposibil din cauza faptului c¼a lim n(n+1)2n+1

= +1:Totusi functia este uniform continu¼a pe [0; 1]; lucru pe care îl prob¼am folosind de�nitia.

Fie " > 0: Alegem � = "2. Fie x; y 2 [0; 1] cu jx� yj < �: Atunci

jf(x)� f(y)j2 =�p

x�py�2 � ��px�py�� px+py� = jx� yj < "2;

decijf(x)� f(y)j < ":

Teorema 3.3.31 Fie A � R m¼arginit¼a si f : A ! R continu¼a pe A. Functia f esteuniform continu¼a pe A dac¼a si numai dac¼a f se poate prelungi prin continuitate la A:

Demonstratie. Dac¼a f se poate prelungi prin continuitate la multimea compact¼a A; atunciprelungirea sa este uniform continu¼a pe A; deci f este uniform continu¼a pe A: Invers,presupunem c¼a functia f este uniform continu¼a pe A: Fie x 2 A si (xn) � A; xn ! x:Cum (xn) este un sir fundamental, rezult¼a, aplicând proprietatea de uniform¼a continuitate,c¼a (f(xn))n este sir Cauchy, deci are ca limit¼a un num¼ar real. Prin urmare, pentru oricesir din A convergent la x exist¼a limita în R a sirului imaginilor. Presupunem c¼a pentrudou¼a astfel de siruri (xn) si (yn) limitele sirurilor (f(xn))n si (f(yn))n sunt diferite. Atunciconsider¼am sirul x1; y1; x2; y2::: care tinde în A la x: Pe de o parte, sirul imaginilor trebuies¼a �e convergent, iar pe de alt¼a parte, are dou¼a subsiruri cu limite diferite. Deci nu sepoate ca limitele pentru (f(xn))n si (f(yn))n s¼a �e diferite. Aceasta înseamn¼a c¼a exist¼alimx!x f(x) 2 R; deci f se poate prelungi prin continuitate la A: �

Propozitia 3.3.32 Fie I � R; I interval. Dac¼a functia f : I ! R este continu¼a sia; b 2 I; a < b, astfel încât f(a)f(b) < 0; atunci exist¼a c 2 (a; b) astfel încât f(c) = 0:


Demonstratie. S¼a presupunem, f¼ar¼a a restrânge generalitatea, c¼a f(a) < 0 si f(b) > 0 si�e A = fx 2 [a; b] j f(x) < 0g. Multimea A este nevid¼a (contine pe a), este m¼arginit¼a(este inclus¼a în [a; b]) si deci exist¼a supA 2 R. Ar¼at¼am c¼a supA este num¼arul c c¼autat.Exist¼a un sir (an) � A astfel încât an ! supA: Deci f(an) < 0 pentru orice n si tinândcont de continuitatea lui f; deducem f(supA) � 0: Presupunem, prin reducere la absurd,c¼a f(supA) < 0: Cum f este continu¼a, exist¼a o vecin¼atate U a lui supA astfel încâtpentru orice u 2 U; f(u) < 0: Cum supA 6= b; în U g¼asim numere strict mai mari decâtsupA si mai mici decât b; deci ajungem la o contradictie. Asadar, f(supA) = 0; adic¼aconcluzia. �

Exemplul 3.3.33 Ecuatia x3 � 4x + 1 = 0 are cel putin o solutie în intervalul (0; 1).Într-adev¼ar, functia f : [0; 1] ! R, f(x) = x3 � 4x + 1 este continu¼a pe intervalul [0; 1](este functie polinomial¼a) si f(0) = 1 > 0, iar f(1) = 1 � 4 + 1 = �2 < 0, de undef(0)f(1) < 0. Din propozitia anterioar¼a rezult¼a atunci c¼a exist¼a m¼acar un c 2 (0; 1) astfelîncât f(c) = 0. Acest num¼ar c este solutia c¼autat¼a a ecuatiei.

De�nitia 3.3.34 Fie I � R; un interval. Spunem c¼a o functie f : I ! R; are propri-etatea lui Darboux dac¼a pentru orice a; b 2 I; a < b si orice � între f(a) si f(b); exist¼ac� 2 (a; b) astfel încât f(c�) = �:

Teorema 3.3.35 Fie I � R; un interval. Functia f : I ! R are proprietatea lui Darbouxdac¼a si numai dac¼a pentru orice interval J � I, f (J) este interval.

Demonstratie. Concluzia rezult¼a din de�nitia propriet¼atii lui Darboux si din caracterizareaintervalelor: o multime A � R este interval dac¼a si numai dac¼a pentru orice a; b 2 A;a < b; orice c 2 (a; b) este în A: �

Teorema 3.3.36 Fie I � R; I interval. Dac¼a f : I ! R este continu¼a, atunci f areproprietatea lui Darboux.

Demonstratie. Fie x1; x2 2 I; x1 < x2 si �e � între f(x1) si f(x2): Fie functia g : I ! Rdat¼a prin g(x) = f(x) � �: Evident, g este continu¼a si g(x1)g(x2) < 0: Din Propozitia3.3.32 deducem c¼a exist¼a c 2 (x1; x2) astfel încât g(c) = 0; adic¼a f(c) = �; ceea ce conducela concluzie. �

Propozitia 3.3.37 Fie I � R; I interval. dac¼a f : I ! R este continu¼a, atunci f(I)este interval.

Demonstratie. A�rmatia din concluzie este o consecint¼a a rezultatelor anterioare. �

Observatia 3.3.38 (i) Din cele de mai sus, urm¼atoarea asertiune este evident¼a. Fie uninterval I � R. Dac¼a functia f : I ! R este continu¼a si a; b 2 I; a < b, astfel încâtf(a)f(b) � 0; atunci exist¼a c 2 [a; b] astfel încât f(c) = 0:(ii) Fie a; b 2 R; a < b: Dac¼a f : [a; b] ! [a; b] este continu¼a, atunci exist¼a x 2 [a; b]

astfel încât f(x) = x (adic¼a f admite punct �x). Într-adev¼ar, considerând functia continu¼ag : [a; b]! R; g(x) = f(x)�x; observ¼am c¼a g(a) �g(b) � 0; deci g se anuleaz¼a [a; b]; adic¼aexact concluzia.


Exemplul 3.3.39 Proprietatea lui Darboux nu implic¼a proprietatea de continuitate. Deexemplu, functia f : R! R;

f(x) =

�sin 1

x; dac¼a x 6= 0

0; dac¼a x = 0

nu este continu¼a în x = 0; dar are proprietatea lui Darboux pentru c¼a transform¼a oriceinterval într-un interval: dac¼a I � R este un interval cu 0 =2 I atunci f este continu¼a peI; deci f(I) este interval, iar dac¼a 0 2 I atunci f(I) = [�1; 1]:Mai mult, functia f : R! R,

f(x) =

�sin 1

x; dac¼a x 6= 0

�; dac¼a x = 0

(unde � 2 R) nu este continu¼a pe R, deoarece nu este continu¼a în 0 (0 este punct deacumulare pentru R si am demonstrat c¼a sin 1

xnu are limit¼a în 0).

Totusi, pentru � 2 [�1; 1], f are proprietatea lui Darboux. De fapt, vom demonstrac¼a f are proprietatea lui Darboux dac¼a si numai dac¼a � 2 [�1; 1]. Într-adev¼ar, s¼a pre-supunem c¼a f are proprietatea lui Darboux. Atunci, f transform¼a intervale în intervale; înparticular, f(R) este un interval. Dar f(R) = f(R�) [ f�g, iar f(R�) = [�1; 1], deoarece

8y 2 [�1; 1]; 9x 2 R�; x =

8><>:1

arcsin y; dac¼a y 2 [�1; 1] n f0g

1

�; dac¼a x = 0;

astfel încâtf(x) = sin

1

x= y:

Prin urmare, f(R) = [�1; 1] [ f�g si este interval dac¼a si numai dac¼a � 2 [�1; 1].Reciproc, presupunem c¼a � 2 [�1; 1] si demonstr¼am c¼a f are proprietatea lui Darboux.

Conform Teoremei de caracterizare 3.3.35, este su�cient s¼a demonstr¼am c¼a f transform¼aorice interval J � R într-un interval. Fie, asadar, un interval oarecare J � R. Dac¼a0 62 J , atunci f(x) = sin 1

xpentru orice x 2 J si, deoarece f este continu¼a pe J (prin

compuneri de functii elementare), rezult¼a c¼a f(J) este un interval. Dac¼a 0 2 J , vom ar¼atac¼a f(J) = [�1; 1]. În acest scop, s¼a observ¼am c¼a sin

��2; �2

��= [�1; 1] si c¼a, sin �ind

periodic¼a de perioad¼a 2�, sin��2k� � �

2; 2k� + �

2

��= [�1; 1], pentru orice k 2 Z.

Dac¼a 0 nu este cap¼atul din dreapta al intervalului J , atunci exist¼a un b > 0 astfel încât(0; b) � J . Demonstr¼am c¼a (0; b) contine un interval a c¼arui imagine prin f este [�1; 1].Într-adev¼ar, �e n 2 N�. Este clar c¼a f(x) = sin 1

x; pentru orice x 2 (0; b). Atunci

0 < 2n� � �

2� 1

x� 2n� + �

2, 1

2n� + �2

� x � 1

2n� � �2

:

Dar sirurile an = 12n�+�

2, cu n 2 N� si bn = 1

2n��2, cu n 2 N� sunt convergente la 0, deci,

din de�nitia sirului convergent,

9n1 2 N� astfel încât 8n � n1, are loc an 2 (0; b);


9n2 2 N� astfel încât 8n � n2, are loc bn 2 (0; b)(am luat în de�nitie V = (�b; b) 2 V(0), dar, deoarece an; bn > 0; pentru orice n 2 N�,elementele sirurilor se acumuleaz¼a, de fapt, în zona pozitiv¼a a vecin¼at¼atii). Prin urmare,�xând un n0 2 N�; n0 � maxfn1; n2g, avem

an0 =1

2n0� +�2

; bn0 =1

2n0� � �2

2 (0; b);

de unde rezult¼a c¼a �1

2n0� +�2

;1

2n0� � �2

�� (0; b):

În consecint¼a,

[�1; 1] = f

��1

2n0� +�2

;1

2n0� � �2

�� f((0; b)) � f(J):

Dar f(J) � [�1; 1] pentru c¼a functia sin ia valori doar în [�1; 1], iar � 2 [�1; 1]. Amobtinut astfel, prin dubl¼a incluziune, c¼a f(J) = [�1; 1].Dac¼a 0 este cap¼atul din dreapta al intervalului J , atunci exist¼a un a > 0 astfel încât

(�a; 0) 2 J . Rationând ca mai sus, obtinem c¼a, pentru un n00 2 N� su�cient de mare,�1

�2n00� + �2

;1

�2n00� � �2

�� (�a; 0);

de unde rezult¼a analog c¼a f(J) = [�1; 1]. Cu aceasta, demonstratia este încheiat¼a.

Urm¼atorul rezultat pune în evident¼a o conditie care face diferenta dintre continuitatesi proprietatea lui Darboux.

Teorema 3.3.40 (Rowe) Fie f : R! R: Functia f este continu¼a dac¼a si numai dac¼aare proprietatea lui Darboux si pentru orice y 2 R; f�1(y) este multime închis¼a.

Demonstratie. Evident, din rezultatele anterioare, continuitatea implic¼a atât proprietatealui Darboux, cât si închiderea contraimaginilor de multimi închise. Demonstr¼am recip-roca. Fie a 2 R si " > 0: Dac¼a f nu ar � continu¼a în a; pentru orice � > 0 ar existax� 2 (a� �; a+ �) astfel încât f(x�) =2 (f(a)� "; f(a)+ "): Deci exist¼a un sir xn ! a astfelîncât f(xn) =2 (f(a)� "; f(a)+ ") pentru orice n: Pentru o in�nitate de termeni vom avea�e f(xn) � f(a) + "; �e f(xn) � f(a) � ": F¼ar¼a a restrânge generalitatea presupunemprima situatie. Cum f(a) + " 2 (f(a); f(xn)]; din proprietatea lui Darboux, pentru oricen; exist¼a yn între a si xn astfel încât f(a) + " = f(yn): Deci (yn) � f�1(f(a) + ") sicum xn ! a; deducem c¼a yn ! a: Din ipoteza de închidere a contraimaginilor punctelor,deducem c¼a a 2 f�1(f(a) + "); ceea ce reprezint¼a o contradictie. �

Propozitia 3.3.41 (discontinuit¼atile unei functii cu proprietatea lui Darboux)Fie un interval I � R. Dac¼a f : I ! R are proprietatea lui Darboux, atunci f poate aveadoar discontinuit¼ati de specia a II-a.


Demonstratie. Presupunem c¼a f are o discontinuitate de specia I într-un punct x alintervalului. Sunt mai multe situatii care trebuie analizate, dup¼a cum difer¼a cele treivalori numere reale f(x � 0); f(x + 0); f(x): Vom trata unul dintre cazuri, pentru toatecelelalte rationamentul �ind asem¼an¼ator. Presupunem c¼a f(x� 0) < f(x+ 0): Fie � > 0astfel încât f(x + 0) � f(x � 0) � � > 0. Lu¼am " := f(x + 0) � f(x � 0) � �: Atunciexis¼a � > 0 astfel încât pentru orice x 2 (x� �; x); jf(x)� f(x� 0)j < "=2 si pentru oricex 2 (x; x+ �); jf(x)� f(x+ 0)j < "=2: Deci pentru orice x 2 (x� �; x+ �)nfxg; avem �e

f(x) < f(x� 0) + "=2 = f(x� 0) + f(x+ 0)2

� �

2;

�ef(x� 0) + f(x+ 0)

2+�

2= f(x+ 0)� "=2 < f(x):

Asadar, în imaginea prin f a intervalului (x� �; x+ �) exist¼a valori mai mici si mai maridecât f(x�0)+f(x+0)

2; dar niciuna dintre valorile din multimea�

f(x� 0) + f(x+ 0)2

� �

2;f(x� 0) + f(x+ 0)

2+�

2

�nff(x)g

nu este atins¼a. Deci exist¼a o vecin¼atate a lui x care nu este transformat¼a prin f într-uninterval, ceea ce contrazice caracterizarea propriet¼atii lui Darboux dat¼a în Teorema 3.3.35.�

Teorema 3.3.42 Fie I � R un interval. Dac¼a f : I ! R are proprietatea lui Darboux sif este monoton¼a, atunci f este continu¼a.

Demonstratie. Conform rezultatelor de mai sus, o functie monoton¼a nu poate avea dis-continuit¼ati de specia a II�a, în timp ce o functie cu proprietatea lui Darboux nu poateavea discontinuit¼ati de specia I. Rezult¼a concluzia. �

Propozitia 3.3.43 Fie I � R un interval. Dac¼a f : I ! R este injectiv¼a si are propri-etatea lui Darboux, atunci f este strict monoton¼a pe I si continu¼a.

Demonstratie. Fie a; b 2 I; a < b: Cum f este injectiv¼a, f(a) 6= f(b): Presupunem c¼af(a) < f(b) si ar¼at¼am c¼a în acest caz f este strict cresc¼atoare. Vom considera mai multesituatii.

� Fie x 2 (a; b): Dac¼a f(x) < f(a) atunci valoarea 2�1(f(a) + f(x)) se a�¼a atâtîn intervalul (f(x); f(a)) cât si în intervalul (f(x); f(b)): Din faptul c¼a f are pro-prietatea lui Darboux, aceast¼a valoare se atinge atât într-un punct al intervalului(a; x); cât si într-un punct al intervalului (x; b); ceea ce contrazice injectivitatea lui f:Dac¼a f(b) < f(x) atunci se obtine o contradictie rationând similar pentru valoarea2�1(f(b)+ f(x)): Deci singura posibilitate este f(x) 2 (f(a); f(b)): Aceasta demon-streaz¼a c¼a f este strict cresc¼atoare pe [a; b]; pentru c¼a pentru orice dou¼a punctex1; x2 2 [a; b]; x1 < x2 avem f(x2) 2 (f(a); f(b)] si aplicând rationamentul anteriorpentru x1 2 (a; x2); f(x1) 2 (f(a); f(x2)); deci, în particular, f(x1) < f(x2):


� Fie x 2 I; x > b: Dac¼a f(x) < f(a) se obtine o contradictie ca mai sus pentruvaloarea 2�1(f(a) + f(b)) iar dac¼a f(x) 2 (f(a); f(b)) se rationeaz¼a la fel pentru2�1(f(b)+f(x)): Deci f(b) < f(x): Împreun¼a cu cazul precedent, aceasta ne asigur¼afaptul c¼a f este strict cresc¼atoare pe fx 2 I j a � xg:

� Fie x 2 I; x < a: Ca mai sus, se constat¼a c¼a singura posibilitate este f(x) < f(a):Deducem c¼a f este strict cresc¼atoare pe I:

Dac¼a f(b) < f(a); atunci se arat¼a analog c¼a f este strict descresc¼atoare pe I.Prin urmare, f este strict monoton¼a. Din rezultatul anterior deducem c¼a f este o

functie continu¼a. �

Corolarul 3.3.44 Fie I � R; I interval. Dac¼a f : I ! R este injectiv¼a si continu¼a,atunci f este strict monoton¼a pe I.

Teorema 3.3.45 (de continuitate a functiei inverse) Fie un interval I � R sif : I ! J continu¼a, unde J := f(I): Atunci f este bijectiv¼a dac¼a si numai dac¼a estestrict monoton¼a. În acest caz f�1 : J ! I este continu¼a.

Demonstratie. Dac¼a f este bijectiv¼a, rezult¼a c¼a este injectiv¼a deci, conform propozitieiprecedente, strict monoton¼a. Invers, dac¼a f este strict monoton¼a, rezult¼a c¼a f esteinjectiv¼a si, cum f este surjectiv¼a (pentru c¼a f(I) = J); deducem c¼a f este bijectiv¼a.S¼a ar¼at¼am c¼a f�1 este continu¼a. Presupunem, f¼ar¼a a restrânge generalitatea, c¼a f estestrict cresc¼atoare. Fie y0 2 J si x0 = f�1(y0) 2 I: Demonstr¼am continuitatea later-al¼a. Presupunem c¼a y0 nu este extremitatea stâng¼a a lui J (caz în care, din monotonie,x0 nu este extremitatea stâng¼a a lui I) si demonstr¼am c¼a f�1 este continu¼a la stângaîn y0: Fie " > 0 astfel încât x0 � " 2 I si � := y0 � f(x0 � ") > 0: Fie y 2 J astfelîncât y 2 (y0 � �; y0) = (f(x0 � "); f(x0)): Cum f are proprietatea lui Darboux, exist¼ax 2 (x0 � "; x0) astfel încât f(x) = y: Deducem c¼a

f�1(y) = x 2 (x0 � "; x0) = (f�1(y0)� "; f�1(y0)):

Obtinem continuitatea la stânga a lui f�1 în y0. Analog se obtine continuitatea la dreapta.Asadar, are loc concluzia. �

3.4 Transfer de continuitate

Fie A � R o multime nevid¼a si �e (fn)n2N : A ! R un sir de functii. Fie a un punct deacumulare pentruA: Ne intereseaz¼a în ce m¼asur¼a proprietatea functiilor fn de a avea limit¼a�nit¼a în a se transfer¼a la functia limit¼a f : A ! R de�nit¼a prin f(x) = limn!1 fn(x),în ipoteza c¼a f exist¼a. Vom vedea c¼a proprietatea de convergent¼a uniform¼a a sirului defunctii (fn) asigur¼a transferul dorit.

3.4. Transfer de continuitate 81

Teorema 3.4.1 Fie fnu!Af si a 2 A0: Presupunem c¼a pentru orice n 2 N exist¼a si este

�nit¼a limita limx!a fn(x) = ln: Atunci exist¼a si sunt �nite limn!1 ln si limx!a f(x) siacestea sunt egale, adic¼a,

limx!a

limn!1

fn(x) = limn!1

limx!a

fn(x):

Demonstratie. Fie (xk) � Anfag; xk ! a: Dorim s¼a ar¼at¼am c¼a exist¼a limk!1 f(xk): Fie" > 0: Din conditia de convergent¼a uniform¼a, exist¼a n" 2 N astfel încât pentru oricen � n" si orice x 2 A;

jfn(x)� f(x)j < "=3:

Stim c¼a, pentru �ecare n; exist¼a limk!1 fn(xk) = ln: Vom ar¼ata c¼a sirul (f(xk))k estefundamental. Stim c¼a pentru orice n sirul (fn(xk))k este Cauchy, deci, în particular, sirul(fn"(xk))k este Cauchy. Exist¼a, asadar, k" 2 N astfel încât pentru orice k; p > k" are locrelatia jfn"(xk)� fn"(xp)j < "=3: Avem pentru k; p > k"

jf(xk)� f(xp)j � jf(xk)� fn"(xk)j+ jfn"(xk)� fn"(xp)j+ jfn"(xp)� f(xp)j< "=3 + "=3 + "=3 = ";

de unde deducem c¼a (f(xk))k este fundamental. Prin urmare, exist¼a si este �nit¼a limitalimk!1 f(xk): Luând un alt sir (yk) � A; yk ! a; yk 6= a; analog va exista limk!1 f(yk):Dac¼a limk!1 f(xk) si limk!1 f(yk) nu ar � egale, atunci considerând sirul

x1; y1; x2; y2; :::; xn; yn; :::

ajungem la o contradictie. Prin urmare, pentru orice sir (xk) � A; xk ! a; xk 6= a sirul(f(xk))k are aceeasi limit¼a. Deci exist¼a si este �nit¼a limx!a f(x): Trecând la limit¼a pentrux! a în relatia de convergent¼a uniform¼a avem��lim

x!afn(x)� lim

x!af(x)

�� "=3 < "

pentru orice n � n": Deducem c¼a

limn!1

ln = limx!a

f(x);

ceea ce încheie demonstratia. �

Teorema 3.4.2 (Transfer de continuitate la siruri de functii) Fie A � R si un sirfn : A ! R (n 2 N�) de functii continue în a 2 A. Dac¼a fn

u!Af atunci f este continu¼a

în a.

Demonstratie. Avem limx!a fn(x) = fn(a) pentru orice n 2 N. Aplicând teorema prece-dent¼a,

limx!a

f(x) = limx!a

limn!1

fn(x) = limn!1

limx!a

fn(x) = limn!1

fn(a) = f(a): �

Exemplul 3.4.3 Pe baza rezultatului anterior, se poate constata, înc¼a o dat¼a, faptul c¼asirul de functii fn : [0; 1]! R; fn(x) = xn (n 2 N�) nu converge uniform pe [0; 1]:


Teoremele precedente pentru siruri de functii se extind usor la serii de functii.

Teorema 3.4.4 (Transfer de limit¼a la serii de functii) Fie fn : A ! R (n 2 N�)

si a 2 A0: Presupunem c¼a seria de functii1Xn=1

fn este uniform convergent¼a pe A si pen-

tru orice n 2 N� exist¼a si este �nit¼a limx!a

fn(x): Atunci seria numeric¼a1Xn=1

limx!a

fn(x) este

convergent¼a si exist¼a si este �nit¼a limx!a

1Xn=1

fn(x). În plus,

1Xn=1

limx!a

fn(x) = limx!a

1Xn=1

fn(x):

Demonstratie. Se aplic¼a rezultatul corespunz¼ator de la siruri de functii sirului sumelorpartiale. �

Teorema 3.4.5 (Transfer de continuitate la serii de functii) Fie fn : A ! R cu

n 2 N� si a 2 A: Presupunem c¼a seria de functii1Xn=1

fn este uniform convergent¼a pe A si

pentru orice n 2 N� functia fn este continu¼a în a: Atunci functia f : A! R de�nit¼a prin

f(x) =1Xn=1

fn(x) este continu¼a în a:

Demonstratie. Se aplic¼a rezultatul corespunz¼ator de la siruri de functii sirului sumelorpartiale. �

Exemplul 3.4.6 Functia f : R! R dat¼a prin

f(x) =1Xn=1

x2

1 + n4x4

este bine de�nit¼a si continu¼a. Într-adev¼ar, inegalitatea

x2

1 + n4x4� 1

2n2;8n 2 N�;8x 2 R

si faptul c¼a seria numeric¼aP

12n2

este convergent¼a ne permit s¼a aplic¼am Criteriul luiWeierstrass pentru a concluziona c¼a pentru �ecare x 2 R suma dat¼a este �nit¼a (decif este bine de�nit¼a) si c¼a seria de functii

P1n=1

x2

1+n4x4este uniform convergent¼a pe R:

Cum toate functiile termen sunt continue, pe baza teoremei anterioare, deducem c¼a feste continu¼a.

Capitolul 4

Calcul diferential

4.1 Derivabilitate

De�nitia 4.1.1 Fie A � R; f : A ! R si a 2 A0 \ A: Spunem c¼a f are derivat¼a înpunctul a dac¼a exist¼a limita

limx!a

f(x)� f(a)

x� a2 R:

Vom nota aceast¼a limit¼a cu f 0(a). Dac¼a limita de mai sus este �nit¼a, atunci spunem c¼af este derivabil¼a în a:

De�nitia 4.1.2 Fie A � R: Spunem c¼a functia f : A ! R este derivabil¼a pe multimeaD � A; dac¼a f este derivabil¼a în �ecare punct din D.Functia notat¼a prin f 0; f 0 : D ! R; care asociaz¼a �ec¼arui punct x 2 D valoarea f 0(x)

se numeste derivata functiei f pe multimea D:

Observatia 4.1.3 (interpretarea geometric¼a a derivatei) Pentru o functie deriva-bil¼a într-un punct a, valoarea f 0(a) reprezint¼a panta tangentei la gra�cul lui f în punctul(a; f(a)): Astfel, tangenta respectiv¼a are urm¼atoarea ecuatie (a se vedea Figura 4.1):

y � f(a) = f 0(a)(x� a):

Figura 4.1: Tangenta într-un punct la gra�c

83

84 Capitolul 4. Calcul diferential

Exemplul 4.1.4 Fie n 2 N�: Functia f : R! R; f(x) = xn este derivabil¼a în orice puncta 2 R pentru c¼a

limx!a

f(x)� f(a)

x� a= lim

x!a

xn � an

x� a

= limx!a

(x� a)(xn�1 + xn�2a+ :::+ xan�2 + an�1)

x� a

= nan�1:

Deci (xn)0 = nxn�1 pentru orice x 2 R:

Exemplul 4.1.5 Functia f : (0;1)! R; f(x) = ln x este derivabil¼a în orice puncta 2 (0;1) pentru c¼a

limx!a

f(x)� f(a)

x� a= lim

x!a

lnx� ln ax� a

= limx!a

ln�1 + x

a� 1�

a�xa� 1�

=1

a:

Deci (ln)0(x) = 1xpentru orice x 2 (0;1):

Exemplul 4.1.6 Functia f : R![�1; 1]; f(x) = sinx este derivabil¼a în orice puncta 2 R pentru c¼a

limx!a

f(x)� f(a)

x� a= lim

x!a

sin x� sin ax� a

= limx!a

2 sin x�a2cos x+a

2

2x�a2

= cos a:

Deci (sin)0 (x) = cosx pentru orice x 2 R:

Observatia 4.1.7 Functiile elementare sunt, în majoritatea cazurilor, derivabile pe do-meniile lor de de�nitie, dar exist¼a si exceptii. De exemplu, functia f(x) =

px nu este

derivabil¼a în a = 0 pentru c¼a

limx&0

px

x= lim

x&0

1px= +1:

A se vedea tabelul cu derivatele principalelor functii din Anexa 6.6.

De�nitia 4.1.8 Fie A � R: Spunem c¼a functia f : A ! R are derivat¼a la stânga înpunctul a 2 A0s \ A dac¼a exist¼a în R limita lim

x!ax<a

f(x)�f(a)x�a : Vom nota aceast¼a limit¼a cu

f 0s(a): Dac¼a f0s(a) 2 R; vom spune c¼a f este derivabil¼a la stânga în a. Analog se de�nesc

notiunile de derivat¼a la dreapta în a si functie derivabil¼a la dreapta în a.

4.1. Derivabilitate 85

Teorema 4.1.9 Fie A � R: Functia f : A! R este derivabil¼a în punctul a 2 A0s\A0d\Adac¼a si numai dac¼a f este derivabil¼a la stânga si la dreapta în a si f 0s(a) = f 0d(a): În acestcaz derivatele laterale sunt egale si cu f 0(a):

Demonstratie. Se aplic¼a rezultatul corespunz¼ator privitor la limite de functii. �

Propozitia 4.1.10 Fie A � R: Dac¼a functia f : A ! R este derivabil¼a în punctula 2 A0 \ A; atunci f este continu¼a în a:

Demonstratie. Pentru x 2 A; x 6= a are loc egalitatea

f(x) = f(a) +f(x)� f(a)

x� a(x� a):

Trecând la limit¼a cu x ! a si tinând cont de operatiile cu limite de functii obtinemexistenta limitei lim

x!af(x) si, în plus,

limx!a

f(x) = f(a) + f 0(a) � 0 = f(a):

Deducem deci c¼a f este continu¼a în a: �

Observatia 4.1.11 Reciproca propozitiei anterioare nu este adev¼arat¼a. Astfel, functiaf : R ! R; f(x) = jxj este continu¼a în punctul x = 0, dar nu este derivabil¼a în acestpunct pentru c¼a f 0s(0) = �1 si f 0d(0) = 1:

Propozitia 4.1.12 Fie f; g : A! R; � 2 R si a 2 A\A0: Dac¼a f si g sunt derivabile îna; atunci functiile f + g; �f; f � g sunt derivabile în a si

(f + g)0(a) = f 0(a) + g0(a);

(�f)0(a) = �f 0(a);

(f � g)0(a) = f 0(a)g(a) + f(a)g0(a):

Dac¼a, în plus, g(a) 6= 0; atunci functia fgeste derivabil¼a în a si�

f

g

�0(a) =

f 0(a)g(a)� f(a)g0(a)

g2(a):

Demonstratie. Se aplic¼a de�nitia derivatei si se utilizeaz¼a operatiile cu limite de functii.(i) Avem:

limx!a

(f + g) (x)� (f + g) (a)

x� a= lim

x!a

f(x)� f(a) + g(x)� g(a)

x� a

= limx!a

f(x)� f(a)

x� a+ limx!a

g(x)� g(a)

x� a

= f 0(a) + g0(a):

(ii) Se procedeaz¼a ca la (i) si calculul este imediat.


(iii) Putem scrie:

limx!a

(f � g) (x)� (f � g) (a)x� a

= limx!a

f(x)g(x)� f(a)g(a)

x� a

= limx!a

f(x)g(x)� f(x)g(a) + f(x)g(a)� f(a)g(a)

x� a

= limx!a

�f(x)

g(x)� g(a)

x� a+ g(a)

f(x)� f(a)

x� a

�:

Cum f este derivabil¼a în a; este continu¼a în a asa încât exist¼a si sunt �nite limitele în aale ambelor expresii care sunt sumate mai sus. Asadar,

limx!a

(f � g) (x)� (f � g) (a)x� a

= limx!a

f(x)g(x)� g(a)

x� a+ limx!a

g(a)f(x)� f(a)

x� a

= f(a)g0(a) + g(a)f 0(a):

(iv) Proced¼am asem¼an¼ator, observând mai întâi c¼a, datorit¼a faptului c¼a g(a) 6= 0; acontinuit¼atii lui g în a si a propriet¼atii de inertie a semnului, exist¼a o întreag¼a vecin¼atatea lui a pentru care g nu se anuleaz¼a. Avem:

limx!a

�fg

�(x)�

�fg

�(a)

x� a= lim

x!a

f(x)g(a)� f(a)g(x)

(x� a)g(x)g(a)

=1

g2(a)limx!a

f(x)g(a)� f(a)g(a) + f(a)g(a)� f(a)g(x)

x� a

=1

g2(a)limx!a

�g(a)

f(x)� f(a)

x� a+ f(a)

g(a)� g(x)

x� a

�=f 0(a)g(a)� f(a)g0(a)

g2(a);

deci formula anuntat¼a are loc. �

Propozitia 4.1.13 (Derivabilitatea functiilor compuse) Fie I; J � R intervale.Dac¼a functia f : I ! J este derivabil¼a în a 2 I; iar functia g : J ! R este deri-vabil¼a în punctul b := f(a) 2 J; atunci compunerea lor, g � f; este derivabil¼a în a si(g � f)0(a) = g0(f(a))f 0(a):

Demonstratie. Fie functia h : J ! R; de�nit¼a prin

h(y) =

� g(y)�g(b)y�b ; y 2 J n fbg

g0(b); y = b:

Cum g este derivabil¼a în b; exist¼a limy!b

h(y) = g0(b) = h(b): Prin urmare, h este continu¼a în

b: Este clar c¼a pentru orice y 2 J;

g(y)� g(b) = h(y) � (y � b);

4.1. Derivabilitate 87

de unde,g(f(x))� g(f(a)) = h(f(x)) � (f(x)� f(a));

pentru orice x 2 I: Pentru x 2 I n fag putem scrie

g(f(x))� g(f(a))

x� a= h(f(x))

(f(x)� f(a))

x� a:

Deoarece compunerea h�f este continu¼a în a (din teorema de continuitate a compunerii),prin trecere la limit¼a cu x! a obtinem c¼a exist¼a

(g � f)0(a) = h(f(a))f 0(a) = g0(f(a))f 0(a);

adic¼a concluzia. �

Exemplul 4.1.14 Folosind Exemplele 4.1.4 si 4.1.6 precum si rezultatul de mai sus,deducem c¼a derivata functiei sin (xn) este nxn�1 cos (xn) :

Teorema 4.1.15 (Derivabilitatea functiei inverse) Fie I; J � R; I; J intervale sifunctia f : I ! J; continu¼a si bijectiv¼a. Dac¼a f este derivabil¼a în a 2 I si f 0(a) 6= 0;atunci functia invers¼a, f�1; este derivabil¼a în b = f(a) 2 J si (f�1)0(b) = 1

f 0(a) :

Demonstratie. Deoarece f este continu¼a si bijectiv¼a, rezult¼a c¼a este strict monoton¼a, iarg = f�1 este strict monoton¼a si continu¼a. Pentru y 2 J nfbg lu¼am x 2 I nfag astfel încâtf(x) = y: Avem

f�1(y)� f�1(b)

y � b=f�1(f(x))� f�1(f(a))

f(x)� f(a)=

x� a

f(x)� f(a)=

1f(x)�f(a)x�a

:

Pentru y ! b; din continuitatea lui f�1; avem f�1(y) ! f�1(b); deci x ! a: Printrecere la limit¼a în egalitatea de mai sus obtinem (f�1)

0(b) = 1

f 0(a) : �

Exemplul 4.1.16 Fie f : [��2; �2] ! [�1; 1]; f(x) = sinx: Aceast¼a functie (sin restricti-

onat¼a la intervalul [��2; �2]) este continu¼a si bijectiv¼a, iar inversa sa este

g : [�1; 1]!h��2;�

2

i; g(x) = arcsinx:

Conform rezultatului de mai sus, g este derivabil¼a peste tot, mai putin punctele y = sinxîn care (sin)0(x) = 0; adic¼a punctele y = sin �2 = 1 si y = sin

��2

�= �1. Asadar, g este

derivabil¼a în punctele y = sinx 2 (�1; 1) si

g0(y) =1

(sin)0(x)=

1

cosx=

1p1� sin2 x

=1p1� y2

:


4.2 Rezultate fundamentale

De�nitia 4.2.1 Fie A � R si f : A ! R. Spunem c¼a a 2 A este punct de minim(respectiv, maxim) local pentru f dac¼a exist¼a o vecin¼atate V a punctului a astfel încâtf(a) � f(x) (respectiv, f(a) � f(x)); pentru orice x 2 A \ V: Punctele de maxim sau deminim local pentru f se numesc puncte de extrem local ale lui f .

Dac¼a f(a) � f(x) (respectiv, f(a) � f(x)) pentru orice x 2 A, se mai spune c¼a a estepunct de minim (respectiv, maxim) absolut (sau global) pemtru f pe A:

Teorema 4.2.2 (Fermat) Fie I � R un interval si a 2 int I. Dac¼a f : I ! R estederivabil¼a în a; iar a este punct de extrem local pentru f; atunci f 0(a) = 0:

Demonstratie. S¼a presupunem c¼a a este punct de minim local. Exist¼a o vecin¼atate Va lui a astfel încât pentru orice x 2 V \ A are loc f(a) � f(x): Cum a 2 int I; putempresupune c¼a V � A: Deci dac¼a x 2 V; x < a; fractia f(x)�f(a)

x�a este negativ¼a, iar dac¼ax 2 V; x > a, fractia este pozitiv¼a. Prin trecere la limit¼a în �ecare caz în parte obtinemf 0s(a) � 0 si f 0d(a) � 0: Cum f este derivabil¼a în a; cele dou¼a derivate laterale sunt egale,deci egale cu 0: �

Observatia 4.2.3 (i) Reciproca teoremei lui Fermat nu este adev¼arat¼a: de exemplu de-rivata functiei f : R! R; f(x) = x3 se anuleaz¼a în 0 f¼ar¼a ca acest punct s¼a �e punct deextrem.(ii) Conditia ca a s¼a �e interior intervalului I este esential¼a, adic¼a în lipsa acestei

ipoteze concluzia nu se mai p¼astreaz¼a: de exemplu f : [0; 1]! [0; 1]; f(x) = x are în a = 0un punct de minim în care derivata nu se anuleaz¼a.(iii) Teorema lui Fermat precizeaz¼a conditii necesare pentru c¼a un punct s¼a �e de

extrem local. Asa cum am v¼azut mai sus, aceste conditii nu sunt si su�ciente. Deci,în aplicatii, rezolvând ecuatia f 0(x) = 0 obtinem asa-numitele puncte critice, care suntcandidatii pentru punctele de extrem. Pentru a decide dac¼a un punct critic este si punctde extrem trebuie studiat¼a variatia functiei în jurul respectivului punct (a se vedea con-secintele Teoremei lui Lagrange de mai jos).

Observatia 4.2.4 În baza Observatiei 4.1.3, Teorema lui Fermat a�rm¼a c¼a în punctele deextrem local interioare intervalului de de�nitie al unei functii derivabile, gra�cul functieiare tangent¼a paralel¼a (sau coincident¼a) cu axa absciselor (a se vedea Figura 4.2).

Teorema 4.2.5 (Rolle) Fie a; b 2 R; a < b si f : [a; b]! R o functie continu¼a pe [a; b];derivabil¼a pe (a; b), astfel încât f(a) = f(b). Atunci exist¼a c 2 (a; b) astfel încât f 0(c) = 0:

Demonstratie. Dac¼a f este constant¼a pe [a; b], atunci f 0(c) = 0 pentru orice c 2 (a; b); deciare loc concluzia. Presupunem c¼a f nu este constant¼a. Cum f este continu¼a pe multimeacompact¼a [a; b]; deducem c¼a este m¼arginit¼a si îsi atinge marginile. Fie �; � 2 [a; b] astfelîncât

f(�) = infff(x) j x 2 [a; b]g

4.2. Rezultate fundamentale 89

Figura 4.2: x = �1 este punct de maxim, iar x = 1 este punct de minim

sif(�) = supff(x) j x 2 [a; b]g:

Este clar c¼a f(�) < f(�) si deci c¼a nu putem avea f�; �g = fa; bg pentru c¼a, prinipotez¼a, f(a) = f(b). Exist¼a asadar un punct de extrem local (chiar global) în interiorulintervalului [a; b] si f este derivabil¼a în acel punct. Utilizând teorema lui Fermat, rezult¼aconcluzia. �

Observatia 4.2.6 Interpretarea geometric¼a a Teoremei lui Rolle este urm¼atoarea: dac¼agra�cul unei functii continue pe un interval admite tangent¼a în �ecare punct interiorintervalului si dac¼a dreapta care uneste capetele gra�cului este paralel¼a cu axa absciselor,atunci exist¼a cel putin un punct al gra�cului, diferit de extremit¼ati, în care tangenta esteparalel¼a (sau coincide) cu axa absciselor.

Teorema 4.2.7 (Lagrange) Fie a; b 2 R; a < b si f : [a; b] ! R o functie continu¼a pe[a; b] si derivabil¼a pe (a; b): Atunci exist¼a c 2 (a; b) astfel încât f(b)� f(a) = f 0(c)(b� a):

Demonstratie. Consider¼am functia auxiliar¼a g : [a; b]! R de forma

g(x) = f(x) +f(a)� f(b)

b� ax:

Functia g satisface ipotezele teoremei lui Rolle si deci exist¼a c 2 (a; b) astfel încât g0(c) = 0:Obtinem

f 0(c) +f(a)� f(b)

b� a= 0;

de unde concluzia. �

Observatia 4.2.8 Teorema lui Lagrange a�rm¼a c¼a dac¼a gra�cul unei functii continue peun interval [a; b] admite tangent¼a în �ecare punct interior intervalului, atunci exist¼a celputin un punct al gra�cului, diferit de capete, în care tangenta este paralel¼a (sau coincide)


Figura 4.3: Teorema lui Lagrange

cu dreapta care uneste extremit¼atile (a; f(a)) si (b; f(b)) ale gra�cului (a se vedea Figura4.3).

Teorema 4.2.9 (Cauchy, de medie) Fie a; b 2 R; a < b si f; g : [a; b]! R dou¼a functiicontinue pe [a; b]; derivabile pe (a; b) astfel încât g0(x) 6= 0; pentru orice x 2 (a; b): Atuncig(b)� g(a) 6= 0 si exist¼a c 2 (a; b) astfel încât

f(b)� f(a)

g(b)� g(a)=f 0(c)

g0(c):

Demonstratie. Dac¼a g(b) = g(a); din Teorema lui Rolle obtinem c¼a g0 se anuleaz¼a într-unpunct din (a; b); în contradictie cu ipoteza, deci g(a) 6= g(b). În continuare proced¼am c¼aîn cazul teoremei lui Lagrange, considerând functia auxiliar¼a h : [a; b]! R de forma

h(x) = f(x) +f(a)� f(b)

g(b)� g(a)� g(x):

Functia h satisface ipotezele teoremei lui Rolle si deci exist¼a c 2 (a; b) astfel încât h0(c) = 0:Obtinem

f 0(c) +f(a)� f(b)

g(b)� g(a)� g0(c) = 0;


Observatia 4.2.10 Teorema lui Lagrange se poate obtine din Teorema lui Cauchy pentrug(x) = x.

Propozitia 4.2.11 (consecinte ale Teoremei lui Lagrange privind monotonia)Fie I � R un interval si f : I ! R derivabil¼a pe I:(i) Dac¼a f 0(x) = 0 pentru orice x 2 I; atunci f este constant¼a pe I:(ii) Dac¼a f 0(x) > 0 (respectiv, f 0(x) � 0) pentru orice x 2 I; atunci f este strict

cresc¼atoare (respectiv, cresc¼atoare) pe I.


(iii) Dac¼a f 0(x) < 0 (respectiv, f 0(x) � 0), pentru orice x 2 I; atunci f este strictdescresc¼atoare (respectiv, descresc¼atoare) pe I:

Demonstratie. (i) Fix¼am a 2 I si lu¼am x 2 I arbitrar. Din Teorema lui Lagrange peintervalul de capete a si x; exist¼a c astfel încât

f(x)� f(a) = f 0(c)(x� a):

Cum f 0(c) = 0; deducem c¼a f(x) = f(a) si deci f este constant¼a pe I:(ii) Fie x1; x2 2 I; cu x1 < x2: Conform Teoremei lui Lagrange, exist¼a c 2 (x1; x2)

astfel încâtf(x2)� f(x1) = f 0(c)(x2 � x1):

Cum f 0(c) > 0 si x2 > x1; deducem f(x2) > f(x1):Celelalte cazuri se demonstreaz¼a similar. �

Observatia 4.2.12 Evident, reciproca a�rmatiei de la (i) este adev¼arat¼a. În celelaltecazuri sunt adev¼arate reciprocele doar pentru monotonie nestrict¼a (si inegalit¼ati nestricte).Stricta monotonie nu implic¼a, în general, stricta pozitivitate a derivatei din cauza faptuluic¼a prin trecere la limit¼a inegalit¼atile stricte nu se p¼astreaz¼a între limite. De exemplu,functia f : R! R; f(x) = x3 este strict cresc¼atoare pe R; dar derivata sa se anuleaz¼a în0:

Exemplul 4.2.13 Are loc egalitatea

arctg x+ arctg1� x

1 + x=

��3�

4; x 2 (�1;�1)

�4; x 2 (�1;1):

Într-adev¼ar, considerând functia f : (�1;�1) [ (�1;1)! R,

f(x) = arctg x+ arctg1� x

1 + x;

aceasta este derivabil¼a pe reuniunea de intervale (�1;�1) [ (�1;1) si

f 0(x) =1

x2 + 1+

1�1�x1+x

�2+ 1

��1� x

1 + x

�0=

1

x2 + 1+

(1 + x)2

(1� x)2 + (1 + x)2� �(1 + x)� (1� x)

(1 + x)2

=1

x2 + 1� 2

(x2 � 2x+ 1) + (x2 + 2x+ 1)

=1

x2 + 1� 1

x2 + 1= 0; 8x 2 (�1;�1) [ (�1;1):

Cum f 0(x) = 0; pentru orice x 2 (�1;1) rezult¼a, conform subpunctului (i) al teoremei


precedente, c¼a exist¼a o constant¼a C1 2 R astfel încât f(x) = C1, pentru orice x 2 (�1;1).Pentru a a�a C1, d¼am lui x o valoare particular¼a convenabil¼a: x = 0 2 (�1;1). Obtinem

C1 = f(0) = arctg 0 + arctg 1 = 0 +�

4=�

4;

adic¼af(x) =

�

4;8x 2 (�1;1):

Pentru c¼a f 0(x) = 0; pentru orice x 2 (�1;�1) rezult¼a, pe baza aceluiasi rezultat, c¼aexist¼a o constant¼a C2 2 R astfel încât f(x) = C2, pentru orice x 2 (�1;�1). Pentru aa�a C2 este mai di�cil s¼a identi�c¼am o valoare x 2 (�1;�1) pentru care s¼a determin¼amf(x): Totusi, functia �ind constant¼a, satisface

limx!�1

f(x) = C2:

Dar, pe de alt¼a parte,

limx!�1

f(x) = ��2� �

4= �3�

4;

decif(x) = �3�

4;8x 2 (�1;�1):

Exemplul 4.2.14 Fie functia f : [�4; 2]! R; f(x) = 2x3+3x2�12x+4: Punctele �4 si1 sunt de minim, iar �2 si 2 sunt de maxim, ceea ce se poate demonstra folosind Teoremalui Fermat si studiind monotonia functiei. Minimul absolut (global) este atins în �4; iarmaximul absolut este atins în �2: Aceste a�rmatii pot � dovedite studiind variatia lui f:Astfel, functia f este derivabil¼a pe [�4; 2] (e functie polinomial¼a) si

f 0(x) = 6x2 + 6x� 12 = 6(x2 + x� 2) = 6(x� 1)(x+ 2); 8x 2 [�4; 2]:

Se observ¼a c¼a f 0(�2) = f 0(1) = 0. Mai mult, f 0(x) < 0 pentru x 2 (�2; 1) si f 0(x) > 0pentru x 2 [�4;�2) [ (1; 2]. Obtinem tabelul de variatie:

x �4 �2 1 2f 0(x) + + 0 � � 0 + +f(x) �28 % 24 & �3 % 8

min max min max

Asadar, f este strict cresc¼atoare pe [�4;�2), strict descresc¼atoare pe (�2; 1) si strictcresc¼atoare pe (1; 2]. Prin urmare, punctul x = �4 este punct de minim global (în el fatinge cea mai mic¼a valoare pe intervalul [�4; 2]), punctul x = �2 este punct de maximglobal (în el f atinge cea mai mare valoare pe intervalul [�4; 2]), punctul x = 1 este punctde minim local (deoarece f(�4) < f(1)) si punctul x = 2 este punct de maxim local(deoarece f(�2) > f(2)). Observ¼am si c¼a imaginea functiei f este intervalul [�28; 24]:

Exemplul 4.2.15 (refractia luminii) În unele cazuri este mai util¼a informatia ce poate� dedus¼a pe baza ecuatiei f 0(x) = 0 decât rezolvarea sa efectiv¼a. Ilustr¼am aceasta prin


deducerea legii �zice a refractiei luminii, ce se obtine din Teorema lui Fermat, aplicat¼aîn virtutea principiului lui Fermat: într-un mediu neomogen, lumina parcurge distantadintre dou¼a puncte astfel încât timpul de parcurs este minim.Astfel se obtine faptul c¼a atunci când trece dintr-un mediu în altul, directia luminii sa-

tisface relatia sin�1v1

= sin�2v2

; unde �1; �2 sunt unghiurile dintre directiile luminii si normalala suprafata care separ¼a cele dou¼a medii, iar v1; v2 sunt vitezele luminii în cele dou¼a medii.S¼a demonstr¼am aceast¼a lege. Presupunem, pentru usurinta calculelor, c¼a suprafata

care separ¼a cele dou¼a medii este axa Ox si c¼a raza de lumin¼a str¼abate drumul dintrepunctul (0; a) (a > 0) a�at în primul mediu si punctul (b; c); (b > 0; c < 0) din cel de-aldoilea.Not¼am cu (x; 0) punctul în care raza trece dintr-un mediu în altul, unde x trebuie

determinat conform Principiului lui Fermat. Timpii de parcurs în cele dou¼a medii sunt,respectiv,

t1 =

pa2 + x2

v1

t2 =

p(b� x)2 + c2

v2;

deci timpul total care trebuie minimizat estepa2+x2

v1+

p(b�x)2+c2v2

: Consider¼am functiaf : R! R;

f(x) =

pa2 + x2

v1+

p(b� x)2 + c2

v2;

pe care trebuie s¼a o minimiz¼am pe R: Derivata lui f este

f 0(x) =x

v1pa2 + x2

+x� b

v2p(x� b)2 + c2

:

Cum f 0(0) = �bv2pb2+c2

< 0, f 0(b) = bv1pa2+b2

> 0 si

(f 0)0(x) =

1

v1� a2

(a2 + x2)32

+1

v2� c2

((x� b)2 + c2)32

> 0; 8x 2 R;

f 0 este strict cresc¼atoare pe R; deci exist¼a un singur punct critic pentru f; situat înintervalul [0; b]: Not¼am acest punct cu x. Variatia lui f arat¼a c¼a x este punct de minim.Atunci

x

v1pa2 + x2

=b� x

v2p(x� b)2 + c2

:

Dar,xp

a2 + x2= sin�1

sib� xp

(x� b)2 + c2= sin�2;


decisin�1v1

=sin�2v2

;

adic¼a legea refractiei luminii.

Exemplul 4.2.16 Ar¼at¼am c¼a

ln(1 + x2) � x; 8x � 0:

Pentru aceasta, consider¼am functia f : [0;1)! R,

f(x) = ln(1 + x2)� x:

Constat¼am c¼a a demonstra inegalitatea cerut¼a este echivalent cu a demonstra c¼a

f(x) � 0; 8x � 0:

Functia f este derivabil¼a pe [0;1) (prin compuneri si operatii cu functii elementare) si

f 0(x) =2x

1 + x2� 1 = �(x� 1)

2

1 + x2; 8x 2 [0;1):

Se observ¼a c¼a f 0(1) = 0 si f 0(x) < 0; 8x 2 [0;1) n f1g (p¼atratul unui num¼ar real nenuleste strict pozitiv). Obtinem tabelul de variatie:

x 0 1 +1f 0(x) � � 0 � �f(x) 0 & ln 2� 1 &Asadar, f este strict descresc¼atoare pe [0; 1) si pe (1;+1). Cum cea mai mare valoare

a functiei corespunde celui mai mic x, adic¼a este f(0) = 0, rezult¼a c¼a functia este negativ¼ape [0;+1), ceea ce încheie demonstratia.

Propozitia 4.2.17 (consecinta Teoremei lui Lagrange privitoare la existentaderivatei într-un punct) Fie I � R un interval, a 2 I si f : I ! R o functie continu¼a.Dac¼a f este derivabil¼a pe I n fag si exist¼a lim

x!af 0(x) (�nit¼a sau in�nit¼a), atunci exist¼a

derivata functiei f în a si f 0(a) = limx!a

f 0(x):

Demonstratie. Fie x 2 I; x > a: Aplic¼am Teorema lui Lagrange pe intervalul [a; x]: Exist¼acx 2 (a; x) astfel încât

f(x)� f(a)

x� a= f 0(cx):

F¼acând x & a; avem cx & a si din ipotez¼a deducem existenta derivatei lui f la dreaptaîn a care este egal¼a cu lim

x!af 0(x) (de fapt, un rationament folosind caracterizarea cu siruri

a limitelor de functii este subînteles): Analog, derivata la stânga exist¼a si este egal¼a culimx!a

f 0(x): Propozitia este demonstrat¼a. �


Observatia 4.2.18 Se poate cu usurint¼a observa c¼a un rezultat asem¼an¼ator are loc sipentru situatia derivatelor laterale.

Acest rezultat ne permite în unele cazuri s¼a calcul¼am mai usor derivatele laterale aleunei functii într-un punct si s¼a a�¼am dac¼a functia are derivat¼a în acel punct.

Exemplul 4.2.19 Studiem derivabilitatea functiei f : R! R;

f(x) =

�x2; x < 0x3; x � 0:

Veri�c¼am dac¼a suntem în ipotezele propozitiei.Studiem continuitatea lui f : pentru x 2 (�1; 0), f(x) = x2 si este continu¼a (ca functie

polinomial¼a); pentru x 2 (0;1), f(x) = x3 si este continu¼a (ca functie polinomial¼a);pentru x = 0 avem

fs(0) = limx%0

f(x) = limx%0

x2 = 0;

fd(0) = limx&0

f(x) = limx&0

x3 = 0;

f(0) = x3jx=0 = 0;

adic¼a fs(0) = fd(0) = f(0), ceea ce demonstreaz¼a continuitatea lui f în 0. Asadar, f estecontinu¼a pe R.Studiem derivabilitatea lui f . Functia este derivabil¼a pe R� si

f 0(x) =

�2x; dac¼a x < 03x2; dac¼a x > 0:

În plus,

limx%0

f 0(x) = limx%0

2x = 0;

limx&0

f(x) = limx&0

3x2 = 0

si atunci exist¼a limx!0

f 0(x) = 0 2 R. Rezult¼a c¼a f este derivabil¼a în 0 si f 0(0) = 0. În

concluzie, f este derivabil¼a pe R si

f 0(x) =

8<:2x; dac¼a x < 00; dac¼a x = 03x2; dac¼a x > 0:

Observatia 4.2.20 Conform rezultatului precedent, dac¼a exist¼a si este �nit¼a limx!a

f 0(x);

atunci f este derivabil¼a în a si functia derivat¼a este continu¼a în a:

Observatia 4.2.21 Propozitia de mai sus precizeaz¼a conditii su�ciente, dar nu si nece-sare pentru existenta derivatei în a: De exemplu, functia f : R! R;

f(x) =

�x2 sin 1

x; x 6= 0;

0; x = 0


este derivabil¼a, conform de�nitiei, în x = 0 dar nu i se poate aplica rezultatul de mai suspentru a deduce acest fapt. Într-adev¼ar, din de�nitia derivabilit¼atii

limx!0

f(x)� f(0)

x� 0 = limx!0

x2 sin 1x

x= lim

x!0x sin

1

x= 0;

deci f este derivabil¼a în 0 cu f 0(0) = 0:Pentru aplicarea rezultatului anterior, observ¼am c¼a ipotezele de derivabilitate si conti-

nuitate sunt îndeplinite. Pentru x 6= 0;

f 0(x) = 2x sin1

x� cos 1

x;

functie care nu are limit¼a în 0: Neexistând aceast¼a limit¼a, rezultatul nu este aplicabil.

Propozitia 4.2.22 (consecinta Teoremei lui Lagrange privitoare la proprietateaLipschitz) Fie I � R un interval si f : I ! R o functie derivabil¼a. Functia f este lip-schitzian¼a pe I dac¼a si numai dac¼a f 0 este m¼arginit¼a pe I (caz în care constanta Lipschitzcoincide cu constanta de m¼arginire a lui jf 0j).

Demonstratie. Presupunem mai întâi c¼a f 0 este m¼arginit¼a: exist¼a M > 0 astfel încâtjf 0(x)j � M pentru orice x 2 I: Fie x1; x2 2 I; x1 6= x2. Aplic¼am Teorema lui Lagrangefunctiei f pe intervalul de capete x1; x2 si deducem c¼a exist¼a c astfel încât

jf(x1)� f(x2)j = jf 0(c)j � jx1 � x2j ;

decijf(x1)� f(x2)j �M � jx1 � x2j :

Deducem c¼a f este o functie Lipschitz pe I; iar constanta Lipschitz este constanta dem¼arginire a lui jf 0j :Invers, presupunem c¼a f este Lipschitz; atunci exist¼a L > 0 astfel încât pentru orice

x1; x2 2 I;jf(x1)� f(x2)j � L � jx1 � x2j :

Fie a 2 I: Atunci pentru orice x 2 Infag;��f(x)� f(a)

x� a

�� L:

Trecem la limit¼a cu x! a si avem

jf 0(a)j � L;

de unde deducem concluzia. �

Exemplul 4.2.23 Functia f : R! R; f(x) = sin x este Lipschitz de constant¼a L = 1pentru c¼a modulul derivatei sale este m¼arginit de valoarea 1: Pe de alt¼a parte, functiag : R! R; g(x) = sin x2 nu este Lipschitz pentru c¼a g0(x) = 2x cosx2 nu este m¼arginit¼a(de exemplu, g0(

p2�n) = 2

p2�n!1).


Teorema 4.2.24 (Darboux) Fie I � R un interval. Dac¼a f : I ! R este o functiederivabil¼a pe I, atunci derivata sa are proprietatea lui Darboux.

Demonstratie. Fie a; b 2 I; cu a < b: Presupunem c¼a f 0(a) < f 0(b) si alegem � dinintervalul (f 0(a); f 0(b)): Ar¼at¼am c¼a exist¼a c 2 (a; b) astfel încât f 0(c) = �: Fie functiag : I ! R; g(x) = f(x) � �x: Functia g este continu¼a pe [a; b]; deci este m¼arginit¼a siîsi atinge marginile. Fie c 2 [a; b] punctul de minim al lui g pe [a; b]: Ar¼at¼am c¼a c 6= a:Evident, g0(a) < 0; deci exist¼a " > 0 astfel încât pentru orice x 2 (a; a+ "),

g(x)� g(a)

x� a< 0;

de unde obtinem g(x) < g(a) pentru orice x 2 (a; a + "): Prin urmare, a nu este punctde minim pentru g, deci c 6= a: Analog se arat¼a c¼a c 6= b: Prin urmare, c 2 (a; b) si dinTeorema lui Fermat aplicat¼a functiei g obtinem g0(c) = 0; adic¼a f 0(c) = �: �

Observatia 4.2.25 În general, derivata unei functii derivabile nu este continu¼a. Deexemplu, functia f : R! R;

f(x) =

�x2 sin 1

x; x 6= 0;

0; x = 0

este derivabil¼a pe R; dar

f 0(x) =

�2x sin 1

x� cos 1

x; x 6= 0;

0; x = 0

nu este continu¼a în 0:

Propozitia 4.2.26 (sirul lui Rolle) Fie I � R un interval si f : I ! R o functiederivabil¼a. Dac¼a x1; x2 2 I; x1 < x2 sunt r¼ad¼acini consecutive ale derivatei f 0 (adic¼af 0(x1) = 0; f

0(x2) = 0 si, pentru orice x 2 (x1; x2); f 0(x) 6= 0), atunci:(i) dac¼a f(x1)f(x2) < 0; atunci ecuatia f(x) = 0 are exact o r¼ad¼acin¼a în inter-

valul (x1; x2);(ii) dac¼a f(x1)f(x2) > 0; atunci ecuatia f(x) = 0 nu are nicio r¼ad¼acin¼a în inter-

valul (x1; x2):

Demonstratie. (i) Cum f este continu¼a, inegalitatea f(x1)f(x2) < 0 asigur¼a existentam¼acar a unei r¼ad¼acini în intervalul (x1; x2): Dac¼a ar mai exist¼a una, din Teorema lui Rollederivata ar avea o r¼ad¼acin¼a în intervalul (x1; x2); ceea ce reprezint¼a o contradictie.(ii) Presupunem c¼a f(x1) > 0 si f(x2) > 0: Dac¼a ar exista x 2 (x1; x2) cu f(x) = 0;

atunci, cum f(x1) si f(x2) au acelasi semn, valoarea minff(x1); f(x2)g=2 se atinge decel putin dou¼a ori (o dat¼a pe (x1; x) si o dat¼a pe (x; x2)). Aplicând Teorema lui Rolle,ajungem la o contradictie. �

Teorema 4.2.27 (Cauchy, de eliminare a unor nedetermin¼ari) Fie I � R un in-terval si f; g : I ! R, a 2 I, care veri�c¼a conditiile:


(i) f(a) = g(a) = 0;(ii) f; g sunt derivabile în a;(iii) g0(a) 6= 0.

Atunci exist¼a V 2 V(a) astfel încât g(x) 6= 0; pentru orice x 2 (V \ I) n fag si

limx!a

f(x)

g(x)=f 0(a)

g0(a):

Demonstratie. Cum g0(a) 6= 0; exist¼a o vecin¼atate V a lui a astfel încât pentru oricex 2 (V \ I) n fag;

g(x)� g(a)

x� a6= 0;

de unde g(x) 6= g(a) = 0 pentru orice x 2 (V \ I) n fag: Fie x 2 (V \ I) n fag. Atunci

f(x)

g(x)=f(x)� f(a)

g(x)� g(a)=f(x)� f(a)

x� a

�g(x)� g(a)

x� a

��1:

În ipotezele noastre deducem c¼a exist¼a

limx!a

f(x)

g(x)=f 0(a)

g0(a);


Teorema 4.2.28 (Regula lui L�Hôpital) Fie f; g : (a; b) ! R; cu �1 � a < b � 1:Dac¼a:(i) f; g sunt derivabile pe (a; b); cu g0 6= 0 pe (a; b);(ii) exist¼a lim

x!ax>a

f 0(x)g0(x) = L 2 R;

(iii) limx!ax>a

f(x) = limx!ax>a

g(x) = 0 sau

(iii)� limx!ax>a

g(x) =1;

atunci exist¼a limx!ax>a

f(x)g(x)

= L:

Demonstratie. Este clar c¼a urm¼atoarele dou¼a a�rmatii sunt su�ciente pentru a obtineconcluzia:

� dac¼a L 2 [�1;1) si L1 > L; atunci exist¼a a1 > a astfel încât

f(x)

g(x)< L1;8x 2 (a; a1);

� dac¼a L 2 (�1;1] si L > L2; atunci exist¼a a2 > a astfel încât

f(x)

g(x)> L2;8x 2 (a; a2):


Vom demontra prima dintre aceste a�rmatii, cealalt¼a �ind similar¼a. Consider¼am decic¼a L 2 [�1;1) si alegem o valoare L1 > L: Fie si ` 2 (L;L1): Din a doua ipotez¼a, exist¼ab > a astfel încât pentru orice x 2 (a; b);

f 0(x)

g0(x)< `:

Fie x 2 (a; b) si y 2 (x; b): Aplic¼am, pe intervalul [x; y] Teorema de medie a lui Cauchypentru a deduce existenta unui punct cx;y 2 (x; y) astfel încât

f(y)� f(x)

g(y)� g(x)=f 0(cx;y)

g0(cx;y)< `: (4.1)

Dac¼a are loc ipoteza (iii), pentru x! a în relatia anterioar¼a obtinem

limx!ax>a

f(y)� f(x)

g(y)� g(x)=f(y)

g(y)� ` < L1;

deci are loc inegalitatea dorit¼a.Dac¼a are loc ipoteza (iii)0; exist¼a c 2 (a; b) astfel încât pentru orice x 2 (a; c) si orice

y 2 (c; b) � (x; b); g(x) > 0 si g(x) > g(y): Dar, din relatia (4.1), obtinem

f(x)� f(y)

g(x)� g(y)� g(x)� g(y)

g(x)< ` � g(x)� g(y)

g(x);

adic¼af(x)

g(x)� f(y)

g(x)< `� ` � g(y)

g(x);

ceaa ce înseamn¼af(x)

g(x)< `+

f(y)� `g(y)

g(x):

Pentru x! a; în ipoteza (iii)0;

limx!ax>a

f(y)� `g(y)

g(x)= 0;

deci pentru x su�cient de apropiat de a;

f(x)

g(x)< L1;

si deci inegalitatea anuntat¼a are loc si în acest caz. �

Observatia 4.2.29 Este esential s¼a se veri�ce c¼a ne a�¼am în una dintre ipotezele (iii)sau (iii0) înainte de a aplica regula lui Hôpital; în absenta acestei conditii utilizarea teo-remei poate conduce la rezultate eronate. De exemplu,

limx!1

2x3 � 2x+ 1

=2 � 1� 21 + 1

= 0,


în vreme ce

limx!1

(2x3 � 2)0(x+ 1)0

= limx!1

6x2

1= 6 6= 0:

De�nitia 4.2.30 Fie I � R un interval deschis. Spunem c¼a functia f : I ! R estederivabil¼a de dou¼a ori în punctul a 2 I; dac¼a f este derivabil¼a într-o vecin¼atate a punctuluia si functia derivat¼a f 0 este derivabil¼a în a: În acest caz, derivata lui f 0 în a se numestederivata a doua a lui f în a si se noteaz¼a f 00(a): În general, spunem c¼a f este de n oriderivabil¼a în a 2 I (n 2 N; n � 2) dac¼a f este derivabil¼a de (n� 1) ori într-o vecin¼atatea punctului a si functia f (n�1) este derivabil¼a în a: În acest caz, derivata lui f

(n�1)în a se

numeste derivata de ordin n a lui f în a si se noteaz¼a f (n)(a):

Exemplul 4.2.31 Functia f : R! R;

f(x) =

�sinxx; x 6= 0;

1; x = 0

este de dou¼a ori derivabil¼a pe R: Demonstr¼am aceast¼a a�rmatie. Evident, f este derivabil¼ape R n f0g si pentru orice x 6= 0;

f 0(x) =x cosx� sin x

x2:

Folosim de�nitia pentru studiul derivabilit¼atii în 0 si Regula lui L�Hôpital:

limx!0

f(x)� f(0)

x� 0 = limx!0

sinxx� 1x

= limx!0

sin x� x

x2= lim

x!0

cosx� 12x

= limx!0

� sin x2

= 0:

Deci f este derivabil¼a în 0 si f 0(0) = 0: Avem

f 0(x) =

�x cosx�sinx

x2; x 6= 0;

0; x = 0:

Din nou, aceast¼a functie este derivabil¼a pe R n f0g: Pentru x = 0 proced¼am ca mai sus:

limx!0

f 0(x)� f 0(0)

x� 0 = limx!0

x cosx�sinxx2

x= lim

x!0

x cosx� sin xx3

= limx!0

cosx� x sin x� cosx3x2

= limx!0

�sin x3x

= �13:

Asadar, f este de dou¼a ori derivabil¼a si în 0, iar f 00(0) = �13:

Observatia 4.2.32 Toate faptele descrise pân¼a acum în acest capitol permit gra�c¼a afunctiilor cu propriet¼ati bune de derivabilitate. Pentru o descriere am¼anuntit¼a a etapelorce trebuie parcurse pentru reprezentarea gra�c¼a a functiilor, a se vedea Anexa 6:7:


De�nitia 4.2.33 Fie I � R un interval deschis si f : I ! R: Spunem c¼a f este de clas¼aCn pe I (n 2 N�) dac¼a f este de n ori derivabil¼a pe I; iar derivata de ordin n, f (n); estecontinu¼a pe I: Not¼am, pentru n 2 N�;

Cn(I) = ff : I ! R j f este de clas¼a Cn pe Ig;

si, prin conventie,C0(I) = ff : I ! R j f continu¼a pe Ig:

De�nitia 4.2.34 Fie I � R un interval deschis si f : I ! R: Spunem c¼a f este de clas¼aC1 pe I dac¼a f este derivabil¼a de orice ordin pe I: Vom nota

C1(I) = ff : I ! R j f este de clas¼a C1 pe Ig:

Observatia 4.2.35 Observ¼am c¼a

C1(I) =\n2N

Cn(I):

Are loc urm¼atoarea form¼a generalizat¼a a teoremei lui Cauchy de mai sus.

Teorema 4.2.36 (Cauchy, generalizare) Fie n 2 N; n � 2; I � R un interval des-chis, a 2 I si f; g : I ! R care veri�c¼a conditiile:(i) f(a) = g(a) = 0;(ii) f; g sunt derivabile de n ori în a;(iii) f (k)(a) = g(k)(a) = 0 pentru orice k = 1; 2; :::; n� 1:(iv) g(n)(a) 6= 0.

Atunci exist¼a V 2 V(a) astfel încât g(x) 6= 0; pentru orice x 2 (V \ I) n fag si

limx!a

f(x)

g(x)=f (n)(a)

g(n)(a):

Demonstratie. Cum f si g sunt de n ori derivabile, exist¼a U 2 V(a) astfel încât f si gsunt de (n � 1) ori derivabile pe U: Aplicând functiei g(n�1) prima concluzie a Teoremei4.2.27, deducem existenta unei vecin¼at¼ati W a lui a pe care g(n�1) nu se anuleaz¼a decâtîn a: Presupunem acum c¼a prima parte a concluziei teoremei de fat¼a nu este adev¼arat¼a.Atunci exist¼a un sir de elemente din I; (xp) ! a astfel încât xp 6= a si g(xp) = 0 pentruorice p: Aplicând Teorema lui Rolle g¼asim un sir (x1p) astfel încât pentru orice p, x

1p se

a�¼a între xp si a (deci, conform criteriului clestelui x1p ! a) si g0�x1p�= 0: Aplic¼am în

mod repetat acelasi rationament si determin¼am un sir (xn�1p ) astfel încât, pentru orice p,xn�1p se a�¼a între xp si a (deci xn�1p ! a) si g(n�1)

�xn�1p

�= 0; ceea ce contrazice faptul

c¼a g(n�1) nu se anuleaz¼a pe W decât în a: Prin urmare, presupunerea f¼acut¼a este fals¼asi deci exist¼a V 2 V(a) astfel încât g(x) 6= 0; pentru orice x 2 (V \ I) n fag: Mai mult,se observ¼a c¼a, de fapt, argumentele de mai sus permit s¼a presupunem, f¼ar¼a a restrângegeneralitatea, c¼a �ecare derivat¼a g(k); k = 1; 2; :::; n� 1 este nenul¼a pe (V \ I) n fag:Abord¼am acum a doua parte a concluziei si demonstr¼am existenta si determin¼am

valoarea limitei folosind caracterizarea cu siruri. Fie deci xp ! a un sir de elemente din


(V \ I) n fag astfel încât xp 6= a pentru orice p: Folosind Teorema de medie a lui Cauchy,pentru �ecare p exist¼a x1p între xp si a astfel încât

f(xp)

g(xp)=f(xp)� f(a)

g(xp)� g(a)=f 0(x1p)

g0(x1p):

În particular, sirul�x1p�este în (V \ I) n fag si converge la a: Repet¼am acelasi argument

si determin¼am un sir xn�1p ! a din (V \ I) n fag astfel încât

f(xp)

g(xp)=f (n�1)

�xn�1p

�g(n�1)

�xn�1p

� = f (n�1)�xn�1p

�� f (n�1)(a)

g(n�1)�xn�1p

�� g(n�1)(a)

p!1! f (n)(a)

g(n)(a):

Deducem asadar si a doua concluzie. �

De�nitia 4.2.37 (i) Fie I � R interval deschis si f : I ! R. Spunem c¼a f estediferentiabil¼a în a 2 I dac¼a exist¼a c 2 R si � : I ! R continu¼a în a, cu lim

x!a�(x) = 0;

astfel încâtf(x) = f(a) + c(x� a) + �(x)(x� a);

pentru orice x 2 I:(ii) Spunem c¼a f este diferentiabil¼a pe I dac¼a f este diferentiabil¼a în orice punct a 2 I.

Teorema 4.2.38 Dac¼a I � R este interval deschis, atunci f : I ! R este diferentiabil¼aîn a 2 I dac¼a si numai dac¼a f este derivabil¼a în a. În acest caz, c = f 0(a) (c 2 R �indconstanta din de�nitia de mai sus).

Demonstratie. Presupunem c¼a f este diferentiabil¼a în punctul a 2 I: Atunci exist¼a c 2 R si� : I ! R cu lim

x!a�(x) = 0; astfel încât

f(x) = f(a) + c(x� a) + �(x)(x� a);

pentru orice x 2 I: Luând x 2 I n fag si împ¼artind prin x� a avem

f(x)� f(a)

x� a= c+ �(x):

Obtinem existenta limitei

limx!a

f(x)� f(a)

x� a= c;

adic¼a f este derivabil¼a în a si f 0(a) = c:

Invers, s¼a presupunem c¼a f este derivabil¼a în a; deci exist¼a limx!a

f(x)�f(a)x�a = f 0(a) 2 R:

Fie functia

�(x) =

�f(x)�f(a)x�a � f 0(a); x 2 I n fag

0; x = a:

4.3. Formula lui Taylor 103

Observ¼am c¼a limx!a

�(x) = 0 = �(a); deci � este continu¼a în a si din de�nitia lui � avem

pentru x 2 I n fag;

f(x) = f(a) + f 0(a)(x� a) + �(x)(x� a):

Evident, egalitatea de mai sus are loc si pentru x = a; ceea ce înseamn¼a c¼a f estediferentiabil¼a în a si c = f 0(a). �

De�nitia 4.2.39 Fie I � R un interval deschis, f : I ! R derivabil¼a în a 2 I. Functianotat¼a df(a); df(a) : R ! R, df(a)(h) = f 0(a)h se numeste diferentiala functiei f înpunctul a.

4.3 Formula lui Taylor

Fie P (x) = a0 + a1x + ::: + anxn un polinom de grad n cu coe�cienti reali (ai 2 R; unde

i = 0; 1; 2; ::; n si an 6= 0). Dorim pentru început s¼a ar¼at¼am c¼a putem scrie polinomul demai sus în mod unic în forma

P (x) = A0 + A1(x� a) + :::+ An(x� a)n;

pentru un a 2 R �xat. Un mod de a ar¼ata acest lucru este descris în continuare. Esteclar c¼a termenul liber, A0; este egal cu P (a). Mai departe, prin derivare, obtinem

P 0(x) = A1 + 2A2(x� a) + :::+ nAn(x� a)n�1;

de unde A1 = P 0(a): În mod analog, derivând în continuare, obtinem Ak =1k!P (k)(a);

pentru k = 1; 2; :::; n: Asadar,

P (x) = P (a) +1

1!P 0(a)(x� a) + :::+

1

n!P (n)(a)(x� a)n; 8x 2 R:

Dorim acum s¼a extindem formula precedent¼a la situatia mai general¼a când în loc depolinomul P avem o functie f : I ! R; unde I � R; este un interval deschis. Presupunemc¼a f este de n ori derivabil¼a într-un punct a 2 I: Vom numi polinomul

T nf;a(x) = f(a) +f 0(a)

1!(x� a) +

f 00(a)

2!(x� a)2 + : : :+

f (n)(a)

n!(x� a)n

polinomul Taylor de ordin n asociat functiei f în punctul a: Problema care se pune esteîn ce m¼asur¼a acest polinom aproximeaz¼a functia f: Am v¼azut c¼a în cazul în care f esteun polinom T = f: S¼a not¼am cu Rn(x) = f(x) � T nf;a(x)) pentru orice x 2 I: Tocmaicomportarea lui Rn m¼asoar¼a gradul de aproximare al functiei f prin polinomul Taylor înjurul lui a:

Teorema 4.3.1 (Formula lui Taylor cu restul lui Peano) Fie I � R un intervaldeschis si n 2 N�. Dac¼a f : I ! R este o functie de n ori derivabil¼a în a 2 I; atunci


exist¼a o functie � : I ! R cu proprietatea limx!a

�(x) = �(a) = 0; astfel încât pentru orice

x 2 I;

f(x) = f(a) +f 0(a)

1!(x� a) +

f 00(a)

2!(x� a)2 + :::

+f (n)(a)

n!(x� a)n + �(x)

(x� a)n

n!:

Demonstratie. Fie T nf;a(x) polinomul Taylor de ordin n asociat functiei f în punctul a:De�nim functia � : I ! R,

� (x) =

(n!f(x)�Tnf;a(x)(x�a)n ; pentru x 2 I n fag

0; pentru x = a:

Evident, pentru orice x 2 I; f(x) = T nf;a(x) + �(x) (x�a)n

n!: Este su�cient s¼a ar¼at¼am conti-

nuitatea lui � în 0: Fie functiile de�nite pe I; F (x) = f(x)� T nf;a(x) si G(x) = (x� a)n:

Este clar c¼a F si G sunt de n ori derivabile în a si pentru k = 1; 2; :::; n; avem F (k)(a) = 0iar pentru k = 1; 2; :::; n � 1; G(k)(a) = 0: în plus, G(n)(a) = n! Aplicând Teorema luiCauchy (forma generalizat¼a) obtinem c¼a exist¼a lim

x!a�(x) = n! 0

n!= 0: Rezult¼a concluzia.�

O aplicatie a acestui rezultat este dat¼a în teorema urm¼atoare.

Teorema 4.3.2 (puncte de extrem) Fie I � R un interval deschis, f : I ! R ofunctie de n ori derivabil¼a în a 2 I (n 2 N; n � 2); astfel încât

f 0(a) = 0; f 00(a) = 0; :::; f (n�1)(a) = 0; f (n)(a) 6= 0:

Au loc urm¼atoarele implicatii:(i) dac¼a n este par, atunci a este punct de extrem, mai exact: punct de maxim local

dac¼a f (n)(a) < 0 si punct de minim local dac¼a f (n)(a) > 0.(ii) dac¼a n este impar, atunci a nu este punct de extrem.

Demonstratie. Cum f este de n ori derivabil¼a în a; putem scrie formula lui Taylor curestul lui Peano, adic¼a, pentru orice x 2 I;

f(x) = f(a) +f 0(a)

1!(x� a) +

f 00(a)

2!(x� a)2 + :::

+f (n)(a)

n!(x� a)n + �(x)

(x� a)n

n!;

unde � : I ! R; limx!a

�(x) = �(a) = 0: Din ipotez¼a obtinem

f(x)� f(a) =(x� a)n

n![f (n)(a) + �(x)] 8x 2 I:

Darlimx!a[f (n)(a) + �(x)] = f (n)(a):

4.3. Formula lui Taylor 105

Dac¼a f (n)(a) > 0; exist¼a o vecin¼atate V a lui a astfel încât f (n)(a)+�(x) > 0 pentru oricex 2 V; iar dac¼a f (n)(a) < 0; exist¼a o vecin¼atate V a lui a astfel încât f (n)(a) + �(x) < 0pentru orice x 2 V: Concluzia urmeaz¼a din analizarea celor dou¼a situatii: n par sau impar.�

Exemplul 4.3.3 Punctul x = 0 este punct de maxim, iar x = � este punct de minimpentru f : R! R;

f(x) = 2 cos x� 12cos 2x:

Aceste a�rmatii rezult¼a din teorema anterioar¼a si calculele de mai jos:

f 0(x) = �2 sin x+ sin 2x; f 0(0) = 0; f 0(�) = 0;f 00(x) = �2 cos x+ 2 cos 2x; f 00(0) = 0; f 00(�) = 4 > 0f 000(x) = 2 sin x� 4 sin 2x; f 000(0) = 0;f (iv)(x) = 2 cosx� 8 cos 2x; f (iv)(0) = �6 < 0:

Teorema 4.3.4 (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange) Fie I � R un inter-val deschis, a 2 I si n 2 N. Dac¼a f : I ! R este o functie de (n+ 1) ori derivabil¼a pe I;atunci pentru orice x 2 I; x 6= a exist¼a c 2 (x; a) sau c 2 (a; x) astfel încât

f(x) = f(a) +f 0(a)

1!(x� a) +

f 00(a)

2!(x� a)2 + :::

+f (n)(a)

n!(x� a)n +

f (n+1)(c)

(n+ 1)!� (x� a)n+1:

Demonstratie. Fie x 2 Infag: S¼a c¼autam restul de forma Rn(x) = A(x�a)n+1: Fie functia' : I ! R dat¼a prin

'(t) = f(t) +f 0(t)

1!(x� t) +

f 00(t)

2!(x� t)2 + :::+

f (n)(t)

n!(x� t)n + A � (x� t)n+1:

Functia ' este derivabil¼a pe I si '(x) = f(x); iar '(a) = f(x): Suntem în conditiileTeoremei lui Rolle pe [a; x] sau [x; a] si deci exist¼a c 2 (a; x) sau c 2 (x; a) astfel încât'0(c) = 0: Dar

'0(t) =f (n+1)(t)

n!� (x� t)n � A(n+ 1)(x� t)n;

pentru orice t 2 I: Cum c 6= x; obtinem

A =f (n+1)(c)

(n+ 1)!

de unde rezult¼a concluzia. �

Particularizând a = 0 se obtine formula lui MacLaurin.


Propozitia 4.3.5 (Formula lui MacLaurin) Fie I � R un interval deschis, 0 2 I sin 2 N. Dac¼a f : I ! R este o functie de (n + 1) ori derivabil¼a pe I; atunci pentru oricex 2 I; x 6= 0 exist¼a c 2 (x; 0) sau c 2 (0; x) astfel încât

f(x) = f(0) +f 0(0)

1!x+

f 00(0)

2!x2 + :::

+f (n)(0)

n!xn +

f (n+1)(c)

(n+ 1)!� xn+1:

În formula lui MacLaurin, cum c 2 (x; 0) sau c 2 (0; x) putem s¼a lu¼am c de formac = �x; unde � 2 (0; 1): Astfel, se obtin dezvolt¼arile de mai jos.

Exemplul 4.3.6 1. Fie f : R ! R; f(x) = ex: Aceast¼a functie este de clas¼a C1 siscriind formula lui MacLaurin cu restul de ordin n obtinem c¼a pentru orice x 2 R exist¼a� 2 (0; 1) astfel încât

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ :::+

xn

n!+

xn+1

(n+ 1)!e�x:

2. Fie f : R! R; f(x) = sinx: Aceast¼a functie este de clas¼a C1 si pentru orice n 2 Nare loc

f (n)(x) = sin�x+

n�

2

�:

Scriind formula MacLaurin de ordin 2n� 1 g¼asim pentru orice x 2 R un � 2 (0; 1) astfelîncât

sin x =x

1!� x3

3!+ :::+

(�1)n�1x2n�1(2n� 1)! + (�1)n x2n

(2n)!sin �x:

3. Analog, pentru f(x) = cosx obtinem pentru orice x 2 R un � 2 (0; 1) astfel încât

cosx = 1� x2

2!+x4

4!+ :::+

(�1)nx2n(2n)!

+ (�1)n+1 x2n+1

(2n+ 1)!sin �x:

4. Fie f : (�1;1)! R; f(x) = ln(x+ 1): Are loc dezvoltarea

ln(x+ 1) =x

1� x2

2+x3

3� x4

4+ :::+ (�1)n�1x

n

n+ (�1)n x

n+1

n+ 1

1

(1 + �x)n+1

pentru orice x 2 (�1;1) unde � 2 (0; 1).

În prima dezvoltare de mai sus, pentru orice x 2 R �xat, folosind Criteriul raportuluide la siruri (sau o limit¼a fundamental¼a)

xn+1

(n+ 1)!e�x

n!1! 0;

4.4. Transfer de derivabilitate 107

deci ex este suma seriei1Xn=0

xn

n!; adic¼a putem scrie

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ :::+

xn

n!+ :::

Analog, pentru orice x 2 R

sin x =x

1!� x3

3!+ :::+

(�1)n�1x2n�1(2n� 1)! + :::

cosx = 1� x2

2!+x4

4!+ :::+

(�1)nx2n(2n)!

+ :::

si pentru orice x 2 (�1; 1)

ln(x+ 1) =x

1� x2

2+x3

3� x4

4+ :::+ (�1)n�1x

n

n+ :::

Exemplul 4.3.7 În calculul aproximativ

e � 1 + 1

1!+ :::+

1

7!

eroarea (în modul) este �� 18!e�� < 3

8!<

1

10000:

Exemplul 4.3.8 Formulele de mai sus pot � folosite pentru determinarea unor limite.Exempli�c¼am cu urm¼atorul exercitiu: pentru ce valori ale lui n 2 N exist¼a, este �nit¼a sinenul¼a limita

limx!0

6 sin x3 + x3(x6 � 6)xn

?

Conform teoriei de mai sus pentru orice x 2 R exist¼a �x 2 (0; 1) astfel încât

sin x3 = x3 � x9

6+x15

120� x18

720sin��x3�:

Înlocuind în limita de mai sus obtinem n = 15 si valoarea limitei 120:

4.4 Transfer de derivabilitate

Teorema 4.4.1 (transfer de derivabilitate pentru siruri de functii) Fie I � Run interval m¼arginit si fn : I ! R un sir de functii derivabile pe I: Dac¼a exist¼a unpunct a 2 I astfel încât sirul (fn(a))n s¼a �e convergent si exist¼a o functie g : I ! R astfelîncât f 0n

u!Ig atunci:

(i) exist¼a o functie f : I ! R astfel încât fnu!If si

(ii) f este derivabil¼a pe I; iar derivata sa este g; adic¼a�limn!1

fn

�0= lim

n!1f 0n:


Demonstratie. Consider¼am sirul de functii 'n : I n fag ! R;

'n(x) =fn(x)� fn(a)

x� a:

Prima dat¼a ar¼at¼am c¼a acest sir este uniform Cauchy pe I n fag (deci este uniform con-vergent). Aceasta rezult¼a prin aplicarea Teoremei lui Lagrange functiei h := fm � fn peorice interval de capete a si x; cu x 2 I n fag; si a conditiei de uniform¼a convergent¼a asirului derivatelor. Deci exist¼a c între a si x astfel încât

j'm(x)� 'n(x)j = jh0(c)j = jf 0m(c)� f 0n(c)j < ";

iar inegalitatea are loc de la un rang încolo pentru orice x 2 I n fag:Apoi, observ¼am c¼a sirul (fn) este uniform convergent pe I folosind scrierea evident¼a

fn(x)� fn(a) = (x� a)'n(x) si observatia anterioar¼a.Faptul c¼a f este derivabil¼a decurge �xând y 2 I si utilizând proprietatea de transfer

al limitei pentru sirul de functii uniform convergent pe I n fyg;

n(x) =fn(x)� fn(y)

x� y:

Cum

limx!y

fn(x)� fn(y)

x� y= f 0n(y);

din rezultatul mentionat deducem c¼a exist¼a

limx!y

f(x)� f(y)

x� y= lim

nf 0n(y):

Deci, pentru orice y 2 I, (limn fn)0 = limn f

0n: �

Din rezultatul de mai sus se obtine urm¼atoarea teorem¼a.

Teorema 4.4.2 (derivarea termen cu termen a seriilor de functii) Fie I � R uninterval m¼arginit si fn : I ! R (n 2 N�)un sir de functii derivabile pe I: Presupunem c¼a

seria de functii1Xn=1

f 0n este uniform convergent¼a pe I la o functie g si exist¼a a 2 I astfel

încât seria1Xn=1

fn(a) este convergent¼a. Atunci seria1Xn=1

fn este uniform convergent¼a la o

functie f derivabil¼a pe I si f 0 = g; adic¼a 1Xn=1

fn

!0=

1Xn=1

f 0n:

Ilustr¼am prin câteva exemple natura ipotezelor în teoremele de mai sus.

4.4. Transfer de derivabilitate 109

Exemplul 4.4.3 Sirul fn : R! R de�nit prin

fn(x) =1

narctg xn; n 2 N�

este uniform convergent pe R; la functia constant¼a 0; lucru ce se poate constata dininegalitatea �� 1n arctg xn � 0

��

2n; 8n 2 N�;

pe baza Teoremei 2.3.11. Dar

lim f 0n(1) = lim1n�1

1 + 12n=1

26= 0 = (lim fn)0(1):

Acest lucru se întâmpl¼a din cauza faptului c¼a sirul derivatelor nu este uniform conver-gent (nu este satisf¼acut¼a o ipotez¼a din Teorema 4.4.1). Pentru a dovedi aceast¼a ultim¼aa�rmatie, observ¼am c¼a sirul derivatelor este

f 0n(x) =xn�1

1 + x2n; 8n 2 N�;

care are ca limit¼a punctual¼a functia g : R n f�1g ! R;

g(x) =

8<:0; x > 112; x = 10; x 2 (�1; 1) n f�1g:

Cum functiile f 0n sunt continue, dac¼a convergenta ar � uniform¼a, limita ar � continu¼a,ceea ce nu este cazul.

Exemplul 4.4.4 Functia

f(x) =1Xn=1

sinnx

n3

este de�nit¼a pe R si este de clas¼a C1 pe R: Faptul c¼a f este bine de�nit¼a si continu¼arezult¼a ca în Exemplul 3.4.6. Pentru a dovedi c¼a f este derivabil¼a si f 0 este continu¼astudiem asem¼an¼ator convergenta uniform¼a a seriei derivatelor

1Xn=1

cosnx

n2:

Capitolul 5

Calcul integral

5.1 Integrala Riemann

Fie a; b 2 R; a < b:

De�nitia 5.1.1 (i) Se numeste diviziune a intervalului [a; b] o multime �nit¼a de numerereale fx0; x1; :::; xng (n 2 N n f0g); notat¼a �; cu proprietatea c¼a

a = x0 < x1 < ::: < xn�1 < xn = b:

Multimea diviziunilor lui [a; b] se noteaz¼a cu D([a; b]):(ii) Se numeste norma diviziunii � valoarea k�k := maxfxi � xi�1 j i 2 1; ng:(iii) Se numeste sistem de puncte intermediare asociat diviziunii � o multime de

puncte � := f�i j i 2 1; ng cu proprietatea �i 2 [xi�1; xi] pentru orice i 2 1; n:(iv) Fie o functie f : [a; b] ! R: Cu notatiile anterioare, se numeste sum¼a Riemann

corespunz¼atoare unei diviziuni � a intervalului [a; b] si unui sistem asociat de puncteintermediare � valoarea

S(f;�;�) :=nXi=1

f(�i)(xi � xi�1):

De�nitia 5.1.2 Fie o functie f : [a; b] ! R: Spunem c¼a f este integrabil¼a Riemannpe intervalul [a; b] dac¼a exist¼a I 2 R astfel încât pentru orice " > 0 exist¼a � > 0 cuproprietatea c¼a pentru orice diviziune � a intervalului [a; b] cu k�k < � si pentru oricesistem de puncte intermediare � asociat diviziunii � are loc inegalitatea

jS(f;�;�)� Ij < ":

Uneori vom mai scrielim

k�k!0S(f;�;�) = I;

întelegând c¼a limita este "uniform¼a" în � (aceeasi pentru orice �).

110

5.1. Integrala Riemann 111

Num¼arul real I din de�nitia precedent¼a este unic (fapt care se constat¼a din observatiasimilar¼a legat¼a de limita unui sir), se numeste integrala lui f pe [a; b] si se noteaz¼a cuZ b

a

f(x)dx:

Convenim ca Z a

b

f(x)dx = �Z b

a

f(x)dx iarZ a

a

f(x)dx = 0:

Not¼am clasa functiilor integrabile Riemann pe [a; b] prin R([a; b]):

O prim¼a proprietate a functiilor integrabile Riemann este dat¼a în rezultatul urm¼ator.

Teorema 5.1.3 Orice functie integrabil¼a Riemann pe [a; b] este m¼arginit¼a pe [a; b]:

Demonstratie. Conditia de integrabilitate se scrie astfel: exist¼a I 2 R astfel încât pentruorice " > 0 exist¼a � > 0 cu proprietatea c¼a pentru orice diviziune � cu k�k < � si oricesistem de puncte intermediare � asociat diviziunii � are loc inegalitatea

jS(f;�;�)� Ij < ":

În particular

I � " <nXi=1

f(�i)(xi � xi�1) < I + ":

Fix¼am diviziunea si observ¼am c¼a putem varia arbitrar punctele intermediare. Prin ur-mare, putem s¼a �x¼am toate punctele intermediare cu exceptia unuia care va acoperi totintervalul corespunz¼ator si deducem c¼a f este m¼arginit¼a pe �ecare interval al diviziunii.Cum num¼arul de intervale este �nit, concluzion¼am c¼a f este m¼arginit¼a pe [a; b]. �

Corolarul 5.1.4 Dac¼a f : [a; b]! R este nem¼arginit¼a, atunci nu este integrabil¼a pe [a; b]:

Înainte de a studia mai aprofundat integrabilitatea Riemann, vom vorbi, pe scurt,despre notiunea de primitiv¼a.

De�nitia 5.1.5 Fie o functie f : I ! R; unde I este un interval. Spunem c¼a o functieF : I ! R este primitiv¼a a functiei f pe I dac¼a F este derivabil¼a pe I si F 0(x) = f(x)pentru orice x 2 I:

Evident, dac¼a o functie admite o primitiv¼a, atunci admite o in�nitate de primitive, iardiferenta dintre orice dou¼a primitive este o functie constant¼a (consecint¼a a Teoremei luiLagrange). Vom reveni asupra primitivelor mai târziu, când vom ar¼ata c¼a orice functiecontinu¼a admite primitive. Vom nota o primitiv¼a a lui f si prinZ

f(x)dx:

112 Capitolul 5. Calcul integral

Observ¼am c¼a o functie care are primitive are în mod necesar proprietatea lui Darboux(conform Teoremei lui Darboux). Deci, o functie care nu are proprietatea lui Darboux nuare primitive.

Revenind la integrala Riemann, are loc teorema fundamental¼a a calculului integral.

Teorema 5.1.6 (Leibniz-Newton) Dac¼a f : [a; b] ! R este integrabil¼a Riemann peintervalul [a; b] si admite o primitiv¼a F pe [a; b]; atunciZ b

a

f(x)dx = F (b)� F (a):

Demonstratie. Pentru orice diviziune � = fx0; x1; :::; xng a intervalului [a; b] putem scrie

F (b)� F (a) = F (x1)� F (a) + F (x2)� F (x1) + :::+ F (b)� F (xn�1):

Pe �ecare interval de tipul [xi�1; xi] functia F satisface conditiile Teoremei lui Lagrange,deci exist¼a, pentru �ecare astfel de interval, un element �i 2 (xi�1; xi) cu

F (xi)� F (xi�1) = f(�i)(xi � xi�1):

Prin urmare,

F (b)� F (a) =nXi=1

f(�i)(xi � xi�1): (5.1)

Dar f 2 R([a; b]); deci pentru orice " > 0 exist¼a � > 0 cu proprietatea c¼a pentru oricediviziune � a intervalului [a; b] cu k�k < � si pentru orice sistem de puncte intermediare� asociat diviziunii � are loc inegalitatea��S(f;�;�)� Z b

a

f(x)dx

�� < ":

Cum în al doilea membru din relatia (5:1) avem o sum¼a Riemann, rezult¼a c¼a��F (b)� F (a)�Z b

a

f(x)dx

�� < ":

F¼acând "! 0; deducem c¼a

F (b)� F (a) =

Z b

a

f(x)dx;


Observatia 5.1.7 Cele dou¼a ipoteze din Teorema Leibniz-Newton sunt independente. Deexemplu o functie monoton¼a discontinu¼a într-un punct este integrabil¼a (vom ar¼ata ulte-rior) dar nu are proprietatea lui Darboux, deci nu poate avea primitive. Invers, functiaf : [0; 1]! R;

f(x) =

�2x cos 1

x2+ 2

xsin 1

x2; dac¼a x 6= 0

0; dac¼a x = 0

5.1. Integrala Riemann 113

nu este integrabil¼a pentru c¼a este nem¼arginit¼a. Dar functia F : [0; 1]! R;

F (x) =

�x2 cos 1

x2; dac¼a x 6= 0

0; dac¼a x = 0

este o primitiv¼a pentru f:

Vom ar¼ata mai târziu c¼a o functie continu¼a îndeplineste ambele conditii ale TeoremeiLeibniz-Newton. Avem asadar urm¼atoarea consecint¼a.

Corolarul 5.1.8 Dac¼a f : [a; b] ! R este continu¼a pe intervalul [a; b] atunci este inte-grabil¼a si admite primitive si Z b

a

f(x)dx = F (b)� F (a);

unde F este o primitiv¼a a sa.

Exemplul 5.1.9 Avem Z �2

0

sin xdx = � cos��2

�+ cos 0 = 1:

M¼arginirea functiilor integrabile permite de�nirea unor noi sume care vor �aproxim¼ariale integralei: sumele Darboux. Fie deci f : [a; b] ! R o functie m¼arginit¼a si �e � odiviziune a intervalului [a; b]: Suma Darboux inferioar¼a corespunz¼atoare se de�neste prin

s(f;�) :=nXi=1

mi(xi � xi�1);

unde mi := infx2[xi�1;xi] f(x); iar suma Darboux superioar¼a este

S(f;�) :=

nXi=1

Mi(xi � xi�1);

unde Mi := supx2[xi�1;xi] f(x): Este usor de observat c¼a pentru orice sistem de puncteintermediare � asociat lui � avem

s(f;�) � S(f;�;�) � S(f;�):

Fie �1 si �2 dou¼a diviziuni ale intervalului [a; b]: Spunem c¼a �2 este mai �n¼a decât �1

dac¼a�1 � �2 (ca multimi de numere reale), adic¼a�2 contine ca puncte de diviziune toatepunctele lui �1 (si eventual puncte suplimentare). O constatare relativ imediat¼a bazat¼ape comportarea marginilor inferioare si superioare pentru submultimi (i.e., A � B implic¼ainf A � inf B si supA � supB) conduce la observatia urm¼atoare: dac¼a �1 � �2; atuncis(f;�1) � s(f;�2) si S(f;�1) � S(f;�2): În particular, pentru orice dou¼a diviziuni �1


si �2; are loc s(f;�1) � S(f;�2); ceea ce se poate constata considerând ra�narea comun¼a�1 [�2 si aplicând faptele de mai sus. Prin urmare, dac¼a not¼am cu D([a; b]) multimeadiviziunilor lui [a; b]; atunci multimea fs(f;�) j � 2 D([a; b])g este majorat¼a, în timp cemultimea fS(f;�) j � 2 D([a; b])g este minorat¼a. Not¼am cu

Iinf = supfs(f;�) j � 2 D([a; b])g

si cuIsup = inffS(f;�) j � 2 D([a; b])g:

Evident, în general Iinf � Isup:Are loc urm¼atorul criteriu de integrabilitate datorat lui Riemann.

Teorema 5.1.10 (Riemann) O functie f este integrabil¼a Riemann pe [a; b] dac¼a si nu-mai dac¼a este m¼arginit¼a si

limk�k!0

(S(f;�)� s(f;�)) = 0:

Demonstratie. Presupunemmai întâi c¼a f este integrabil¼a. Conform unui rezultat anterior,f este m¼arginit¼a. Din conditia de integrabilitate stim c¼a exist¼a I 2 R astfel încât pentruorice " > 0 exist¼a � > 0 cu proprietatea c¼a pentru orice diviziune � cu k�k < � si oricesistem de puncte intermediare � asociat diviziunii � are loc inegalitatea

I � " � S(f;�;�) < I + ":

Pentru �ecare interval al lui � de forma [xi�1; xi] putem alege un sir de puncte interme-diare (�ki )k cu proprietatea c¼a limk!1 f(�

ki ) = mi: Atunci

limkS(f;�; (�ki )) = s(f;�);

deci prin trecere la limit¼a în conditia de integrabilitate obtinem

I � " � s(f;�):

Procedând analog pentru sumele Darboux superioare, deducem c¼a

S(f;�) � I + ";

ambele inegalit¼ati având loc pentru orice diviziune � cu k�k < �: Deci

S(f;�)� s(f;�) � 2"

pentru orice astfel de diviziune, de unde rezult¼a concluzia.Demonstr¼am acum su�cienta. Conditia limk�k!0 (S(f;�)� s(f;�)) = 0 asigur¼a fap-

tul c¼a Iinf = Isup: Într-adev¼ar, în caz contrar am avea Iinf < Isup, deci " = Isup � Iinf > 0.Din conditia din ipotez¼a, exist¼a � > 0 astfel încât pentru orice � 2 D([a; b]); cu k�k < �;

S(f;�)� s(f;�) < "=2;

5.2. Clase de functii integrabile si propriet¼ati ale integralei 115

deci, pe baza propriet¼atilor sumelor Darboux,

" = Isup � Iinf � S(f;�)� s(f;�) < "=2;

ceea ce reprezint¼a o contradictie. Deci, Iinf = Isup; valoare pe care o not¼am cu I: Din nou,conditia din ipotez¼a si inegalitatea

s(f;�) � S(f;�;�) � S(f;�);

valabil¼a pentru orice � 2 D([a; b]) si orice sistem de puncte intermediare �, asigur¼a faptulc¼a

limk�k!0

S(f;�;�) = I;

uniform pentru toate sistemele de puncte intemediare, adic¼a integrabilitatea Riemann.�

Exemplul 5.1.11 Functia lui Dirichlet f : [0; 1]! R; dat¼a prin

f(x) =

�0, dac¼a x 2 [0; 1] \Q1; dac¼a x 2 [0; 1] nQ

nu este integrabil¼a: este su�cient s¼a observ¼am c¼a, pe baza densit¼atii lui Q si a lui R n Qîn R; pentru orice diviziune � 2 D([0; 1]); S(f;�) = 1 si s(f;�) = 0; deci nu se veri�c¼acriteriul lui Riemann.

Cum, în fond, conditia de integrabilitate contine o trecere la limit¼a, este de asteptatc¼a si aceast¼a conditie s¼a poat¼a � exprimat¼a printr-o conditie de tip Cauchy.

Teorema 5.1.12 (Cauchy) O functie f este integrabil¼a pe [a; b] dac¼a si numai dac¼asatisface urm¼atoarea conditie Cauchy: pentru orice " > 0 exist¼a � > 0 astfel încât pentruorice � 2 D([a; b]) cu k�k � � si orice sisteme de puncte intermediare �0; �00; are loc

jS(f;�;�0)� S(f;�;�00)j < ":

Demonstratie. Demonstratia faptului c¼a integrabilitatea implic¼a conditia Cauchy este ime-diat¼a. Pentru a demonstra su�cienta, demonstr¼am c¼a f este m¼arginit¼a si apoi c¼a satisfaceconditia su�cient¼a de integrabilitate din teorema precedent¼a. M¼arginirea este, din nou,usor de dedus (�x¼am sistemul �00 si l¼as¼am variabil sistemul �0). Pentru a doua parte, înconditia Cauchy, trecem la limit¼a, cu o diviziune �xat¼a, cu siruri de puncte intermediare(�ki )

0k si (�

ki )00k cu proprietatea c¼a limk!1 f(�

ki )0 = mi si limk!1 f(�

ki )00 =Mi: �

5.2 Clase de functii integrabile si propriet¼ati ale in-tegralei

Prima clas¼a de functii integrabile Riemann ce trebuie mentionat¼a este clasa functiilorcontinue.


Teorema 5.2.1 Dac¼a f : [a; b] ! R este continu¼a pe [a; b]; atunci f este integrabil¼aRiemann pe [a; b].

Demonstratie. Ingredientul principal al demonstratiei nu este simpla continuitate, ci conti-nuitatea uniform¼a, proprietate pe care functia o are în virtutea Teoremei lui Cantor. Ast-fel, pentru orice " > 0; exist¼a � > 0 astfel încât pentru orice x0; x00 2 [a; b] cu jx0 � x00j � �;

jf(x0)� f(x00)j � "=(b� a):

Folosind Teorema lui Weierstrass, se constat¼a c¼a sumele Darboux nu sunt decât cazuriparticulare ale sumelor Riemann pentru c¼a marginile functiei sunt atinse pe �ecare intervalal diviziunii. Astfel, dac¼a lu¼am � 2 D([a; b]) cu k�k � �; atunci

S(f;�)� s(f;�) =nXi=1

(f(x00i )� f(x0i))(xi � xi�1);

unde x00i si x0i sunt puncte de maxim, respectiv de minim pentru f pe [xi�1; xi]: Deci

S(f;�)� s(f;�) � "

b� a(b� a) = ";

adic¼a este îndeplinit¼a conditia de integrabilitate din Teorema lui Riemann. �

O alt¼a clas¼a cu totul remarcabil¼a este clasa functiilor monotone.

Teorema 5.2.2 Dac¼a f : [a; b] ! R este monoton¼a pe [a; b]; atunci f este integrabil¼aRiemann pe [a; b].

Demonstratie. F¼ar¼a a restrânge generalitatea, presupunem c¼a f este cresc¼atoare. Atunci,cu notatiile standard,

S(f;�)� s(f;�) =nXi=1

(f(xi)� f(xi�1))(xi � xi�1) � (f(b)� f(a)) k�k

si este din nou îndeplinit¼a conditia de integrabilitate din Teorema lui Riemann. �

Studiem acum unele propriet¼ati ale functiilor integrabile si ale integralei Riemann.

Teorema 5.2.3 (i) Dac¼a f; g : [a; b]! R sunt integrabile Riemann pe [a; b] si �; � 2 R;atunci �f + �g este integrabil¼a Riemann pe [a; b] siZ b

a

(�f(x) + �g(x))dx = �

Z b

a

f(x)dx+ �

Z b

a

g(x)dx:

(ii) Dac¼a f : [a; b] ! R este integrabil¼a Riemann pe [a; b] si m � f(x) � M pentruorice x 2 [a; b] (m;M 2 R) atunci

m(b� a) �Z b

a

f(x)dx �M(b� a):


În particular, dac¼a f(x) � 0 pentru orice x 2 [a; b]; atunciZ b

a

f(x)dx � 0;

iar dac¼a f; g : [a; b]! R sunt integrabile si f(x) � g(x) pentru orice x 2 [a; b]; atunciZ b

a

f(x)dx �Z b

a

g(x)dx:

(iii) Dac¼a f : [a; b] ! R este integrabil¼a Riemann pe [a; b] atunci jf j este integrabil¼aRiemann pe [a; b] si ��Z b

a

f(x)dx

�� Z b

a

jf(x)j dx:

(iv) Dac¼a f; g : [a; b]! R sunt integrabile pe [a; b]; atunci f �g este integrabil¼a pe [a; b]:(v) Dac¼a f este integrabil¼a Riemann pe [a; b] si exist¼a c > 0 astfel încât f(x) � c

pentru orice x 2 [a; b]; atunci 1feste integrabil¼a Riemann pe [a; b]:

Demonstratie. (i) Nu este di�cil de observat c¼a pentru orice divizare � 2 D([a; b]) si � � 0avem

s(f;�) + s(g;�) � s(f + g;�) � S(f + g;�) � S(f;�) + S(g;�);

s(�f;�) = �s(f;�); S(�f;�) = �S(f;�); s(�f;�) = �S(f;�);

relatii care împreun¼a cu criteriul lui Riemann demonstreaz¼a a�rmatiile privind integra-bilitatea. Comportarea sumelor Riemann asigur¼a egalitatea anuntat¼a.(ii) Prima a�rmatie rezult¼a imediat din de�nitie, a doua este o consecint¼a a primeia,

iar pentru ultima folosim inclusiv punctul precedent.(iii) Cu notatiile de mai sus, consider¼am � 2 D([a; b]) si reamintim c¼a

Mi = supx2[xi�1;xi]

f(x):

Folosim si notatiaM 0i = sup

x2[xi�1;xi]jf(x)j

si corespunz¼ator pentru inf : Cum M 0i = maxfMi;�mig si m0

i � 0; avem

M 0i �m0

i �Mi �mi;

ceea ce implic¼a, din nou pe baza criteriului lui Riemann, c¼a jf j este integrabil¼a. În plus,� jf j � f � jf j ; deci

�Z b

a

jf(x)j dx �Z b

a

f(x)dx �Z b

a

jf(x)j dx;

de unde se deduce relatia dorit¼a.


(iv) Cum

f � g = 1

4

�(f + g)2 � (f � g)2

�;

este su�cient s¼a demonstr¼am c¼a dac¼a f 2 R([a; b]) atunci f 2 2 R([a; b]): Având în vederepunctul precedent, este su�cient s¼a consider¼am cazul în care f este o functie pozitiv¼a.Atunci M 0

i = supx2[xi�1;xi] f2(x) =M2

i si m0i = infx2[xi�1;xi] f

2(x) = m2i ; deci

M 0i �m0

i =M2i �m2

i = (Mi +mi)(Mi �mi) � 2M(Mi �mi);

unde M este constanta de m¼arginire pentru f (care, �ind integrabil¼a, este m¼arginit¼a).Din nou, pe baza acestei inegalit¼ati, rezult¼a concluzia.(v) Ca mai sus, not¼amM 0

i = supx2[xi�1;xi]1

f(x)= 1

misi m0

i = infx2[xi�1;xi]1

f(x)= 1

Mi; deci

M 0i �m0

i =1

mi

� 1

Mi

=Mi �mi

Mimi

� 1

c2(Mi �mi);

iar concluzia este acum clar¼a. �

Observatia 5.2.4 Reciproca punctului (iii) este fals¼a. De exemplu functia f : [0; 1]! R;dat¼a prin

f(x) =

��1, dac¼a x 2 [0; 1] \Q1; dac¼a x 2 [0; 1] nQ;

nu este integrabil¼a Riemann, dar jf j este functia constant¼a 1; deci este integrabil¼a.

Corolarul 5.2.5 (Teorema de medie) Dac¼a f : [a; b]! R este continu¼a, atunci exist¼ac 2 [a; b] astfel încât Z b

a

f(x)dx = f(c)(b� a):

Demonstratie. Din punctul (ii) al rezultatului precedent, valoarea

(b� a)�1Z b

a

f(x)dx

se a�¼a între valorile minim¼a si maxim¼a ale lui f pe [a; b]: Cum f are proprietatea luiDarboux, deducem concluzia. �

Un rezultat de acelasi tip este urm¼atorul.

Propozitia 5.2.6 (Teorema de medie cu pondere) Fie f; g : [a; b] ! R continue.Presupunem c¼a g(x) > 0 pentru orice x 2 [a; b]: Atunci exist¼a c 2 [a; b] astfel încâtZ b

a

f(x)g(x)dx = f(c)

Z b

a

g(x)dx:


Demonstratie. Remarc¼am mai întâi faptul c¼a g(x) > 0 pentru orice x 2 [a; b] si faptul c¼ag este continu¼a înseamn¼a c¼a exist¼a � > 0 astfel încât g(x) � � pentru orice x 2 [a; b](Teorema lui Weierstrass). Deci,Z b

a

g(x)dx � �(b� a) > 0:

Fie acum m si M valorile minim¼a si maxim¼a ale lui f pe [a; b]: Atunci

m

Z b

a

g(x)dx �Z b

a

f(x)g(x)dx �M

Z b

a

g(x)dx

si concluzia rezult¼a din faptul c¼a f are proprietatea lui Darboux. �

Teorema 5.2.7 (aditivitate în raport cu intervalul) (i) Dac¼a f : [a; b] ! R esteintegrabil¼a Riemann pe [a; b]; atunci f este integrabil¼a Riemann pe orice subinterval al lui[a; b]:(ii) Dac¼a c 2 (a; b) si f este integrabil¼a pe [a; c] si [c; b]; atunci f este integrabil¼a pe

[a; b] si Z b

a

f(x)dx =

Z c

a

f(x)dx+

Z b

c

f(x)dx:

Demonstratie. (i) Fie [c; d] � [a; b]: Utiliz¼am, o dat¼a în plus, Teorema lui Riemann. Fie� 2 D([c; d]): Extindem aceast¼a diviziune la o diviziune �� 2 D([a; b]); p¼astrând normadiviziunii, adic¼a k�k =

�� : AtunciS(f;�)� s(f;�) � S(f; ��)� s(f; ��);

de unde rezult¼a concluzia.(ii) Utiliz¼am direct de�nitia integralei. Fie � 2 D([a; b]) si � un sistem de puncte

intermediare asociat. Dac¼a punctul c este punct al diviziunii �; atunci � se compunedin dou¼a diviziuni, �1 2 D([a; c]) si �2 2 D([c; b]); si similar pentru sistemul de puncteintermediare, deci

S(f;�;�) = S(f;�1;�1) + S(f;�2;�2):

Cum k�k = maxfk�1k ; k�2kg; k�k ! 0 dac¼a si numai dac¼a k�1k ! 0 si k�2k ! 0:Deducem ambele concluzii.Consider¼am acum cazul în care c nu este punct al diviziunii �; i.e., exist¼a i 2 1; n

cu c 2 (xi�1; xi): Not¼am �� = � [ fcg si modi�c¼am sistemul de puncte intermediare �eliminând punctul �i si ad¼augând punctul c în ambele subintervale create (c 2 (xi�1; c];c 2 [c; xi)). Not¼am noul sistem, corespunz¼ator lui ��; cu ��: Atât �� cât si �� pot �descompuse ca în cazul precedent. Cum

f(�i)(xi � xi�1) = f(c)(xi � xi�1) + (f(�i)� f(c))(xi � xi�1)

= f(c)(c� xi�1) + f(c)(xi � c) + (f(�i)� f(c))(xi � xi�1);


deducem

S(f;�;�) = S(f; ��; ��) + (f(�i)� f(c))(xi � xi�1)

= S(f;�1;�1) + S(f;�2;�2) + (f(�i)� f(c))(xi � xi�1):

Termenul suplimentar care apare, (f(�i) � f(c))(xi � xi�1); poate � f¼acut oricât de micpe baza normei diviziunii, pentru c¼a f este majorat¼a. Acum un rationament simplu neconduce la validarea ambelor concluzii. �

Teorema 5.2.8 (a functiei modi�cate) Fie f : [a; b] ! R si f � : [a; b] ! R o functiecare coincide cu f pe [a; b] cu exceptia unui num¼ar �nit de puncte. Dac¼a f � este integrabil¼aRiemann pe [a; b]; atunci f este integrabil¼a Riemann pe [a; b] siZ b

a

f(x)dx =

Z b

a

f �(x)dx:

Demonstratie. Facem din nou apel la de�nitie si ar¼at¼am c¼a, pentru diviziuni de norm¼aoricât de mic¼a, diferenta dintre S(f;�;�) si S(f �;�;�) poate �f¼acut¼a de asemenea oricâtde mic¼a. Avem

jS(f;�;�)� S(f �;�;�)j =��nXi=1

(f(�i)� f �(�i)) (xi � xi�1)

�� :Fie (cj)j21;p punctele în care f a fost modi�cat¼a. Din suma de mai sus r¼amân doartermenii care corespund acelor �i care coincid cu puncte (cj)j21;p: Vom nota suma aceasta

cu!Psi presupunem c¼a are q � p termeni. Cum f � este m¼arginit¼a, deducem c¼a si f este

m¼arginit¼a. Not¼am cu M > 0 un majorant comun pentru jf j si jf �j : Atunci

jS(f;�;�)� S(f �;�;�)j =��!X(f(�i)� f �(�i)) (xi � xi�1)

��

!Xjf(�i)� f �(�i)j (xi � xi�1)

�!X(jf(�i)j+ jf �(�i)j)(xi � xi�1) � 2Mq k�k :

Cum limk�k!0 S(f�;�;�) =

R baf �(x)dx; rezult¼a c¼a exist¼a

limk�k!0

S(f;�;�) = limk�k!0

S(f �;�;�) =

Z b

a

f �(x)dx

si din unicitatea integralei, g¼asimZ b

a

f(x)dx =

Z b

a

f �(x)dx;

adic¼a concluzia �nal¼a. �


Exemplul 5.2.9 Fie f : [0; 2]! R;

f(x) =

8<:x; dac¼a x 2 [0; 1]2x; dac¼a x 2 (1; 2)�3; dac¼a x = 2:

Aplicând, pe rând, teorema de aditivitate în raport cu intervalul, teorema functieimodi�cate si teorema Leibniz-Newton, deducem c¼a f 2 R([0; 2]) siZ 2

0

f(x)dx =

Z 1

0

xdx+

Z 2

1

2xdx =x2

2

��10

+ x2��21=1

2+ 4� 1 = 7

2:

Observatia 5.2.10 Teorema functiei modi�cate nu r¼amâne adev¼arat¼a dac¼a modi�carease face într-un num¼ar in�nit de puncte: a se vedea functia lui Dirichlet care difer¼a defunctia constant¼a 1 pe [0; 1] \Q:

Unele rezultate fundamentale legate de integrala Riemann se refer¼a la dependenta delimitele de integrare.

Fie f 2 R([a; b]): Cum pentru orice x 2 [a; b]; f este integrabil¼a pe [a; x]; putem de�niF : [a; b]! R;

F (x) =

Z x

a

f(t)dt:

Teorema 5.2.11 Fie f 2 R([a; b]): Atunci F : [a; b]! R;

F (x) =

Z x

a

f(t)dt;

este o functie Lipschitz pe [a; b], deci, în particular, uniform continu¼a pe [a; b]:

Demonstratie. Cum f 2 R([a; b]), exist¼a M > 0 astfel încât jf(x)j � M pentru oricex 2 [a; b]: Fie x; y 2 [a; b]: Atunci

jF (x)� F (y)j =��Z x

a

f(t)dt�Z y

a

f(t)dt

�� = ��Z x

y

f(t)dt

�� M jx� yj ;


Teorema 5.2.12 (existenta primitivelor functiilor continue) Fie f o functie con-tinu¼a. Atunci F : [a; b]! R;

F (x) =

Z x

a

f(t)dt;

este o functie derivabil¼a pe [a; b], iar F 0 = f: Deci, în particular, orice functie continu¼aadmite primitive.


Demonstratie. Veri�c¼am de�nitia derivabilit¼atii pentru F: Avem, pentru orice x 2 [a; b] sih 6= 0 cu x+ h 2 [a; b];

F (x+ h)� F (x)

h� f(x) =

1

h

Z x+h

x

f(t)dt� f(x):

Din Teorema de medie, exist¼a ch între x si x+ h (inclusiv) astfel încât

1

h

Z x+h

x

f(t)dt = f(ch):

Din continuitatea lui f; deducem c¼a

limh!0

1

h

Z x+h

x

f(t)dt = f(x);

deci exist¼a

limh!0

F (x+ h)� F (x)

h= f(x):

Concluzia este validat¼a. �

Teorema 5.2.13 (dependenta de capetele de integrare) Fie a; b; c; d 2 R cu a < b;c < d. Fie f 2 R([a; b]) si �; � : [c; d]! [a; b] functii continue. Atunci G : [c; d]! R;

G(x) =

Z �(x)

�(x)

f(t)dt

este continu¼a pe [c; d]:Dac¼a, în plus, f este continu¼a si �; � sunt derivabile, atunci G este derivabil¼a si

G0(x) = f(�(x))�0(x)� f(�(x))�0(x):

Demonstratie. Evident, considerând din nou functia F : [a; b]! R;

F (x) =

Z x

a

f(t)dt;

putem scrie G(x) = F (�(x))� F (�(x)) si aplic¼am teorema de continuitate a compunerii.Pe acelasi considerent, din teorema de derivare a compunerii, rezult¼a a doua concluzie.�

Exemplul 5.2.14 Fie u : R! R;

u(x) =

Z x3

x2et2

dt:

Conform rezultatului anterior, u este o functie derivabil¼a si

u0(x) = 3x2ex6 � 2xex4 8x 2 R:


Teorema 5.2.15 (Formula lui Taylor cu rest integral) Fie I � R un interval des-chis, a 2 I si f : I ! R o functie de clas¼a Cn+1 (n 2 N) pe I: Atunci, pentru orice x 2 Iare loc formula

f(x) = f(a) +f 0(a)

1!(x� a) + :::+

f (n)(a)

n!(x� a)n +

1

n!

Z x

a

f (n+1)(t)(x� t)ndt:

Demonstratie. Fie x 2 I si g : I ! R;

g(t) = f(x)� f(t)�nXk=1

f (k)(t)

k!(x� t)k:

Avem g(x) = 0 si

g0(t) = �f(n+1)(t)(x� t)n

n!;

deci

g(x)� g(a) =

Z x

a

g0(t)dt = �Z x

a

f (n+1)(t)(x� t)n

n!dt;


Teorema 5.2.16 (transfer de integrabilitate) Fie (fn) un sir de functii integrabilepe intervalul [a; b]: Dac¼a exist¼a functia f; limita uniform¼a a sirului (fn) pe [a; b]; atunci feste integrabil¼a si

limn

Z b

a

fn(x)dx =

Z b

a

f(x)dx:

Demonstratie. Faptul c¼a fnu! f se scrie astfel: pentru orice " > 0 exist¼a n" 2 N astfel

încât pentru orice n � n" si orice x 2 [a; b];

jfn(x)� f(x)j < "

4(b� a):

În particular,

fn"(x)�"

4(b� a)< f(x) < fn"(x) +

"

4(b� a); 8x 2 [a; b]:

Integrabilitatea lui fn" ne permite s¼a a�rm¼am c¼a exist¼a � > 0 astfel încât pentru orice� 2 D([a; b]) cu k�k � �;

S(fn" ;�)� s(fn" ;�) < "=2:

Cum toate functiile (fn) sunt m¼arginite, deducem, în baza convergentei uniforme, c¼a feste la rândul s¼au m¼arginit¼a. Not¼am Mi;mi marginile sale pe intervalele diviziunii (camai sus) si similar pentru fn" : Trecând la inf, respectiv sup; în dubla inegalitate de maisus,

Mn"i � "

4(b� a)�Mi �Mn"

i +"

4(b� a)


simn"i �

"

4(b� a)� mi � mn"

i +"

4(b� a);

deci(Mi �mi)(xi � xi�1) � (Mn"

i �mn"i )(xi � xi�1) +

"

2(b� a)(xi � xi�1);

deci, prin sumare,

S(f;�)� s(f;�) � S(fn" ;�)� s(fn" ;�) +"

2(b� a)

nXi=1

(xi � xi�1)

= S(fn" ;�)� s(fn" ;�) +"

2< ":

Cum relatiile de mai sus se scriu pentru orice divizare cu norma mai mic¼a decât �; deducemc¼a f este integrabil¼a. De asemenea, pentru orice n � n";��Z b

a

fn(x)dx�Z b

a

f(x)dx

�� = ��Z b

a

(fn(x)� f(x))dx

��Z b

a

jfn(x)� f(x)j < "

4(b� a)(b� a) < ";

deci concluzia �nal¼a. �

Teorema 5.2.17 (integrare termen cu termen) Fie (fn)n�1 un sir de functii inte-

grabile pe intervalul [a; b]: Dac¼a seria1Pn=1

fn este convergent¼a uniform pe [a; b] la o functie

f; atunci f este integrabil¼a si

1Xn=1

Z b

a

fn(x)dx =

Z b

a

f(x)dx:

Discut¼am transferul de derivabilitate si integrabilitate în cazul special al seriilor deputeri.

Teorema 5.2.18 Dac¼a seria de puteri1Pn=0

anxn are raza de convergent¼a R > 0 si suma

f pe intervalul (�R;R) atunci:(i) f este derivabil¼a si pentru orice x 2 (�R;R)

f 0(x) = a1 + 2a2x+ :::+ nanxn�1 + :::;

(ii) f este C1 pe (�R;R) si pentru orice x 2 (�R;R) si orice k 2 N� :

f (k)(x) =1Xn=k

n(n� 1):::(n� k + 1)anxn�k;


(iii) f este integrabil¼a pe orice subinterval [a; b] � (�R;R) si pentru orice x 2 (�R;R)Z x

0

f(t)dt =1Xn=0

ann+ 1

xn+1:

Demonstratie. Fie x 2 (�R;R): Cum seria este uniform convergent¼a pe [x; 0] sau [0; x]iar seria derivatelor are aceeasi raz¼a de convergent¼a, rezultatele de obtin din teoremele detransfer. �

Exemplul 5.2.19 Fie seria de puteri

1Xn=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + :::+ xn + :::

Stim c¼a aceast¼a serie are raza de convergent¼a R = 1 si pentru orice x 2 (�1; 1); suma saeste

f(x) =1

1� x:

Aplic¼am rezultatul precedent si deducem c¼a functia f este derivabil¼a pe (�1; 1) si in-tegrabil¼a pe orice subinterval [a; b] � (�1; 1): Derivând si integrând termen cu termen,deducem c¼a pentru orice x 2 (�1; 1)

1

(1� x)2= 1 + 2x+ 3x2 + :::+ nxn�1 + ::: =

1Xn=1

nxn�1

ln(1� x) = �x� x2

2� x3

3� :::� xn+1

n+ 1� ::: = �

1Xn=0

xn+1

n+ 1:

În particular obtinem, de exemplu,

1Xn=1

n

2n�1= 4;

adic¼a 1Xn=1

n

2n= 2:

Similar,1Xn=0

1

n+ 1

1

2n+1=

1Xn=1

1

n

1

2n= ln 2:

Exemplul 5.2.20 Revenim acum la seria binomial¼a, discutat¼a în Exemplul 2.5.6, pentrua-i calcula suma si pentru a deduce unele dezvolt¼ari în serie. Reamintim c¼a pentru � 2 Rseria de puteri:

1 +�

1!x+

�(�� 1)2!

x2 + � � �+ �(�� 1) � � � (�� n+ 1)

n!xn + � � �


este numit¼a seria binomial¼a. Am v¼azut c¼a raza de convergent¼a a acestei serii este R = 1:Fie f suma seriei pe (�1; 1). Conform teoremei de transfer al derivabilit¼atii pentru

serii de puteri, f este derivabil¼a pe (�1; 1) si are loc formula

f 0(x) =�

1!+�(�� 1)1!

x+ � � �+ �(�� 1) � � � (�� n+ 1)

(n� 1)! xn�1 + � � � (5.2)

care înmultit¼a cu x ne conduce la:

xf 0(x) =�

1!x+

�(�� 1)1!

x2 + � � �+ �(�� 1) � � � (�� n+ 1)

(n� 1)! xn + � � � (5.3)

Prin urmare, din (5.2) si (5.3) obtinem

(1 + x)f 0(x) = �+

��(�� 1)1!

+ �

�x+

��(�� 1)(�� 2)

2!+�(�� 1)1!

�x2

+ � � �+��(�� 1) � � � (�� n)

n!+�(�� 1) � � � (�� n+ 1)

(n� 1)!

�xn + � � �; 8x 2 (�1; 1):

Tinând seama c¼a

�(�� 1) � � � (�� n)

n!+�(�� 1) � � � (�� n+ 1)

(n� 1)!

=�(�� 1) � � � (�� n+ 1)

(n� 1)!

�� n

n+ 1

�=�(�� 1) � � � (�� n+ 1)�

n!;8n 2 N�;

obtinem

(1 + x)f 0(x) = �

�1 +

�

1!x+

�(�� 1)2!

x2 + � � �+ �(�� 1) � � � (�� n+ 1)

n!xn + � � �

�= �f(x); 8x 2 (�1; 1):

Asadar,(1 + x)f 0(x) = �f(x);

pentru orice x 2 (�1; 1): De aici obtinem

f 0(x)

f(x)=

�

1 + x(5.4)

pentru orice x 2 (�1; 1): Se observ¼a c¼a f(x) 6= 0 pe (�1; 1), întrucât dac¼a ar exista unpunct x0 2 (�1; 1) cu f(x0) = 0; atunci ar rezulta c¼a si f (k)(x0) = 0 pentru orice k 2 N�,ceea ce ar conduce la f(x) = 0, pentru orice x 2 (�1; 1), evident imposibil pentru c¼af(0) = 1. Din (5.4), prin integrare, obtinem

ln jf(x)j = � ln(1 + x) + ln c;


unde c 2 R�+: Prin urmare avem

f(x) = d(1 + x)�;

pentru orice x 2 (�1; 1); unde d = �c: Cum f(0) = 1, obtinem d = 1. Deci

f(x) = (1 + x)�;

pentru orice x 2 (�1; 1): Deci pentru x 2 (�1; 1),

(1 + x)� = 1 +�

1!x+

�(�� 1)2!

x2 + � � �+ �(�� 1) � � � (�� n+ 1)

n!xn + � � �; (5.5)

formul¼a care generalizeaz¼a, evident, binecunoscuta formul¼a a binomului lui Newton, faptce justi�c¼a si denumirea acestei serii, de serie binomial¼a.S¼a parcurgem acum câteva cazuri particulare ce se pot obtine pe baza relatiei (5.5).

S¼a observ¼am mai întâi c¼a dac¼a x 2 (�1; 1), atunci �x 2 (�1; 1) si x2 2 [0; 1).Astfel, dac¼a � = �1, obtinem suma

1

1 + x= 1� x+ x2 � � � �+ (�1)nxn + � � �;8x 2 (�1; 1);

de unde, schimbând x în �x; avem suma progresiei geometrice

1

1� x= 1 + x+ x2 + � � �+ xn + � � �;8x 2 (�1; 1): (5.6)

Pentru � = 12avem

px+ 1 = 1+

1

2 � 1!x�1

22 � 2!x2+ � � �+(�1)n�11 � 3 � 5 � ::: � (2n� 3)

2n � n! xn+ � � �;8x 2 (�1; 1):

Pentru � = �12avem:

1px+ 1

= 1� 1

2 � 1!x+1 � 322 � 2!x

2 + � � �+ (�1)n1 � 3 � 5 � ::: � (2n� 1)2n � n! xn + � � �;8x 2 (�1; 1):

(5.7)În continuare, în (5.6) trecând x în x2 obtinem

1

1 + x2= 1� x2 + x4 � � � �+ (�1)nx2n + � � �;8x 2 (�1; 1);

de unde, prin integrare termen cu termen, deducem:

arctg x = x� x3

3+x5

5� x7

7+ � � �+ (�1)n x

2n+1

2n+ 1+ � � �;8x 2 (�1; 1):

De asemenea, f¼acând x! x2 si integrând în (5.7) deducem:

ln(x+px2 + 1) = x� x3

3 � 2 � 1! + � � �+ (�1)n (2n� 1)!!(2n+ 1)(2n)!!

x2n+1 + � � �;8x 2 (�1; 1):


Alte manipul¼ari asem¼an¼atoare ne conduc la:

1p1� x

= 1 +1

2 � 1!x+1 � 322 � 2!x

2 + � � �+ (2n� 1)!!(2n)!!

xn + � � �;8x 2 (�1; 1):

si1p1� x2

= 1 +1

2 � 1!x2 +

1 � 322 � 2!x

4 + � � �+ (2n� 1)!!(2n)!!

x2n + � � �;8x 2 (�1; 1):

Prin integrare, avem

arcsinx = x+1

3 � 2 � 1x3 +

1 � 35 � 22 � 2x

5 + � � �+ (2n� 1)!!(2n+ 1)(2n)!!

x2n+1 + � � �;8x 2 (�1; 1):

5.3 Metode de calcul al integralelor Riemann

Pentru a calcula efectiv în diverse situatii integralele Riemann se foloseste în specialTeorema Leibniz-Newton, care reduce calculul integralelor la calculul primitivelor. Listaprimitivelor unor functii importante se g¼aseste în Anexa 6:7.

Pentru a reduce anumite primitive mai complicate la primitivele de tipul celor funda-mentale avem urm¼atoarele rezultate.

Teorema 5.3.1 (integrare prin p¼arti) Dac¼a f; g : [a; b] ! R sunt functii de clas¼a C1pe [a; b]; atunci Z b

a

f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)��ba �

Z b

a

f 0(x)g(x)dx:

Demonstratie. Observ¼am c¼a f � g este o primitiv¼a pentru fg0 + f 0g si aplic¼am TeoremaLeibniz-Newton. DeciZ b

a

(f(x)g0(x) + f 0(x)g(x)) dx = f(x)g(x)��ba ;

ceea ce este echivalent cu concluzia. �

Teorema 5.3.2 (schimbare de variabil¼a) Fie f : [a; b] ! R continu¼a. Fie J � R uninterval si ' : J ! [a; b] o functie de clas¼a C1. Dac¼a a = '(c) si b = '(d); cu c; d 2 J;atunci Z b

a

f(x)dx =

Z d

c

f('(t))'0(t)dt:

Demonstratie. Cum f este continu¼a, exist¼a F o primitiv¼a a sa pe [a; b]: Din Teorema dederivare a functiei compuse,

F ('(t))0 = f('(t))'0(t);

5.3. Metode de calcul al integralelor Riemann 129

deci F ('(�)) este o primitiv¼a pentru f('(�))'0(�) pe [c; d]: Prin urmare,Z b

a

f(x)dx = F (b)� F (a)

si Z d

c

f('(t))'0(t)dt = F ('(d))� F ('(c)) = F (b)� F (a);

asadar are loc egalitatea. �

Observatia 5.3.3 Formula din teorema precedent¼a ne permite identi�carea formal¼a

dx = '0(t)dt

cu care vom opera în continuare.

Prezent¼am mai jos modalitatea de calcul a primitivelor (deci si a integralelor de�nitecorespunz¼atoare) pentru unele functii importante.

1. Calculul primitivelor functiilor rationaleFie

R(x) =P (x)

Q(x)

o functie rational¼a (cu ipotezele standard: P;Q sunt polinoame prime între ele, iar discutiase face pe intervale în care Q nu se anuleaz¼a). Pentru calculul primitivelor mai întâiobserv¼am c¼a dac¼a gradul lui P este mai mare decât cel al lui Q; atunci, prin împ¼artire,putem scrie

R(x) = P1(x) +P2(x)

Q(x);

unde P1; P2 sunt polinoame, iar gradP2 < gradQ. P1 admite o primitiv¼a tot polinom.Cum polinomul Q are o descompunere în factori ireductibili de gradul unu sau doi (even-

tual ridicati la putere), fractiaP2(x)

Q(x)(respectiv, fractia

P (x)

Q(x), dac¼a grad P < gradQ) se

scrie ca o sum¼a de termeni de forma

A

(x� a)m; A; a 2 R;m 2 N� si Bx+ C

(x2 + bx+ c)n; B; C; b; c 2 R; b2 � 4c < 0; n 2 N�:

În continuare,ZA

x� adx = A ln jx� aj+ C1;Z

A

(x� a)mdx = A

Z(x� a)�m dx = � A

(m� 1)(x� a)m�1+ C2, dac¼a m � 2:

Integralele de forma ZBx+ C

x2 + bx+ cdx =

B2(2x+ b) + C � bB

2

x2 + bx+ cdx


conduc la primitive de tipurile:Z2x+ b

x2 + bx+ cdx = ln(x2 + bx+ c) + C3

si Zdx

x2 + bx+ c=

Zdx

(x+ p)2 + q2=1

qarctg

x+ p

q+ C4,

unde

p =b

22 R; q =

rc� b2

4> 0:

Integralele de formaZ

Bx+ C

(x2 + bx+ c)ndx; n � 2 se reduc la primitive de formaZdx

(x2 + 1)n; n � 2;

care se calculeaz¼a prin formula de integrare prin p¼arti, deducându-se o relatie de recurent¼a.

Observatia 5.3.4 Multe primitive se reduc, prin schimb¼ari de variabil¼a, la primitive defunctii rationale.

2. Calculul primitivelor pentru functii de forma R(sinx; cosx), unde R esteo functie rational¼aPentru astfel de functii se poate utiliza întotdeauna schimbarea de variabil¼a t = tg

x

2,

pentru x 2 (��; �). Întrucât x = 2 arctg t, se obtine

dx =2

1 + t2dt; sin x =

2t

1 + t2; cosx =

1� t2

1 + t2

si primitiva se reduce la una rational¼a. Totusi, prin aceast¼a substitutie cresc (pân¼a ladublare) puterile functiilor rationale. De aceea în practic¼a se apeleaz¼a, când este posibil,si la urm¼atoarele schimb¼ari de variabil¼a (care nu cresc gradul polinoamelor):

� dac¼a R(� sin x; cosx) = �R(sinx; cosx) (R este impar¼a în sin x, sin contribuie înfunctia rational¼a cu puteri impare): cosx = u (de unde � sin x dx = du),

� dac¼a R(sinx;� cosx) = �R(sinx; cosx) (R este impar¼a în cosx, cos contribuie înfunctia rational¼a cu puteri impare): sin x = u (de unde cosx dx = du)

(în aceste dou¼a cazuri putem scoate factor comun sin (respectiv, cos) (care, împreun¼acu dx, formeaz¼a pe du), r¼amânând o functie cu puteri pare ale lui sin (respectiv,cos), dup¼a care folosim formula sin2 x+ cos2 x = 1);

� dac¼a R(� sin x;� cosx) = R(sinx; cosx) (R este par¼a în ansamblul sin x; cosx):tg x = u (sau, echivalent, x = arctg u); în acest caz R(�; �) contine în ansamblul celordou¼a variabile numai puteri pare, adic¼a e dat¼a printr-un cât de dou¼a polinoame însin2 x; cos2 x; sin x cosx, iar

sin2 x =u2

1 + u2; cos2 x =

1

1 + u2; sin x cosx =

u

1 + u2; dx =

1

1 + u2du:

5.4. Integrala Riemann-Stieltjes: introducere 131

3. Calculul primitivelor pentru functii de forma R(x;pax2 + bx+ c)

În acest caz se folosesc schimb¼arile de variabil¼a:

� dac¼a a > 0, putem facepax2 + bx+ c = t� x

pa;

� dac¼a c > 0, putem facepax2 + bx+ c = tx+

pc;

� dac¼a trinomul ax2 + bx + c are r¼ad¼acini distincte x1; x2, facempax2 + bx+ c =

t(x� x1).

4. Calculul integralelor binomeSe numesc integrale binome integralele de formaZ

xm(axn + b)pdx;

unde m;n; p 2 Q: Aceste functii au primitive elementare doar în cazurile urm¼atoare:

� dac¼a p 2 Z, atunci m+ 1n

=r

s, r 2 Z, s 2 N, (r; s) = 1 si facem xn = ys;

� dac¼a m+ 1n

2 Z, atunci reducerea la o functie rational¼a se realizeaz¼a prin schimbarea

de variabil¼a axn + b = ys, unde p =r

s, r 2 Z, s 2 N�, (r; s) = 1;

� dac¼a m+ 1

n+ p 2 Z, atunci reducerea la o functie rational¼a se realizeaz¼a prin

schimbarea de variabil¼a a+ bx�n = ys, unde p =r

s, r 2 Z, s 2 N�, (r; s) = 1.

5.4 Integrala Riemann-Stieltjes: introducere

Integrala Riemann-Stieltjes reprezint¼a o generalizare a integralei Riemann, în sensul c¼adiferentele de tip xi � xi�1 care apar în sumele Riemann se înlocuiesc cu diferente de tipg(xi)� g(xi�1), unde g este, la rândul s¼au, o functie, numit¼a functia de m¼asurare. Astfel,dac¼a avem f; g : [a; b]! R dou¼a functii, � 2 D([a; b]) o divizare si � un sistem de puncteintermediare asociat, construim suma Riemann-Stieltjes ca �ind

Sg(f;�;�) =nXi=1

f(�i) (g(xi)� g(xi�1)) :

Ca si în cazul integrabilit¼atii Riemann, dac¼a sumele de mai sus converg, pentru k�k ! 0(uniform în �) la un num¼ar real I spunem c¼a f este integrabil¼a Riemann-Stieltjes în raportcu g: În acest caz, vom scrie f 2 RSg([a; b]) iar num¼arul I se noteaz¼a cuZ b

a

f(x)dg(x):

Evident, integrala Riemann corespunde cazului particular în care g este identitatea.În unele cazuri integrala Riemann-Stieltjes se reduce la integrala Riemann.


Teorema 5.4.1 (de reducere) Dac¼a functia de m¼asurare g este derivabil¼a pe [a; b] sig0 2 R([a; b]); atunci orice functie f 2 R([a; b]) este integrabil¼a Riemann-Stieltjes înraport cu g si Z b

a

f(x)dg(x) =

Z b

a

f(x)g0(x)dx:

Demonstratie. Demonstr¼am c¼a sumele Sg(f;�;�) converg, pentru k�k ! 0 (uniform în�); la

R baf(x)g0(x)dx: Aplic¼am Teorema lui Lagrange pentru g pe �ecare din intervalele

[xi�1; xi] si determin¼am un sistem de puncte intermediare, notat �0; astfel încât

Sg(f;�;�) =nXi=1

f(�i)g0(�0i) (xi � xi�1) :

Compar¼am aceste sume cu sumele Riemann pentru f � g0; adic¼a

S(f � g0;�;�) =nXi=1

f(�i)g0(�i) (xi � xi�1) ;

despe care stim c¼a converg laR baf(x)g0(x)dx pentru k�k ! 0: Astfel, dac¼a not¼am cu M

constanta de m¼arginire a lui f;

jSg(f;�;�)� S(f � g0;�;�)j =��nXi=1

f(�i)(g0(�0i)� g0(�i)) (xi � xi�1)

��M

��X (g0(�0i)� g0(�i)) (xi � xi�1)�� :

Ultimul termen poate � f¼acut oricât de mic în baza Criteriului lui Cauchy pentru functiaintegrabil¼a Riemann g0: Acest argument încheie demonstratia. �

Exemplul 5.4.2 Conform rezultatului precedent,Z �2

0

xd sin x =

Z �2

0

x cosxdx;Z 2

0

x2d ln(x+ 1) =

Z 2

0

x2

1 + xdx:

Observatia 5.4.3 Este usor de constatat c¼a dac¼a f 2 RSg([a; b]) atunci are loc ur-m¼atoarea conditie Cauchy: pentru orice " > 0 exist¼a � > 0 astfel încât pentru orice� 2 D([a; b]) cu k�k � � si orice sisteme de puncte intermediare �0; �00; are loc

jSg(f;�;�0)� Sg(f;�;�00)j < ":

Teorema 5.4.4 (de continuitate a functiilor integrabile Riemann-Stieltjes) Da-c¼a f 2 RSg([a; b]) atunci f este continu¼a în toate punctele de discontinuitate ale lui g:


Demonstratie. În baza observatiei de mai sus, este su�cient s¼a ar¼at¼am c¼a dac¼a f si g auun punct comun de discontinuitate, atunci nu are loc conditia Cauchy. Fie deci x punctde discontinuitate atât pentru f; cât si pentru g: Atunci exist¼a " > 0 astfel încât pentrupuncte x oricât de apropriate de x si pentru puncte y oricât de apropriate de x;

jf(x)� f(x)j � " si jg(y)� g(x)j � ":

Presupunem c¼a f si g sunt ambele discontinue la dreapta în x: Atunci alegem o diviziunecu norm¼a oricât de mic¼a în care x si x cu jg(x)� g(x)j � " s¼a �e puncte ale diviziunii sialegem �0;�00 care s¼a difere doar prin punctele intermediare din [x; x]: pentru �0 lu¼am un� 2 (x; x) cu jf(�)� f(x)j � " iar pentru �00 lu¼am chiar punctul x: Atunci

jSg(f;�;�0)� Sg(f;�;�00)j = jf(�)� f(x)j jg(x)� g(x)j � "2;

deci conditia Cauchy nu are loc. Proced¼am similar dac¼a ambele functii sunt discontinuela stânga în x:În �nal, lu¼am cazul în care f e discontinu¼a doar la stânga în x; iar g discontinu¼a doar

la dreapta în x: Alegem o diviziune cu norm¼a oricât de mic¼a cu dou¼a puncte consecutivex0; x00 astfel încât x0 < x < x00 si jf(x0)� f(x)j � " si jg(x00)� g(x)j � ": Din continuitatealui g la dreapta lui x; putem selecta x0 cu jg(x0)� g(x)j � "=2, deci jg(x00)� g(x0)j � "=2:Acum cu alegere evident¼a sistemelor de puncte intermediare avem

jSg(f;�;�0)� Sg(f;�;�00)j = jf(x0)� f(x)j jg(x00)� g(x0)j � "2=2

si este din nou contrazis¼a conditia Cauchy. �

Dac¼a g este monoton¼a, atunci se poate demonstra un criteriu de tip Riemann. SumeleDarboux au, în cazul integralei Riemann-Stieltjes, forma celor din cazul integralei Rie-mann cu înlocuirea ce se opereaz¼a si în cazul sumelor Riemann-Stieltjes.

Teorema 5.4.5 (criteriul de integrabilitate de tip Riemann) Presupunem c¼a g emonoton¼a, iar f este m¼arginit¼a. Atunci f 2 RSg([a; b]) dac¼a si numai dac¼a

limk�k!0

(Sg(f;�)� sg(f;�)) = 0:

Demonstratie. Similar cu cazul integralei Riemann. �

Teorema 5.4.6 Dac¼a f este continu¼a si g este monoton¼a, atunci f 2 RSg([a; b]):

Demonstratie. Ca si în cazul demonstratiei integrabilit¼atii Riemann a functiilor continuese aplic¼a Teoremele lui Weierstrass si Cantor. �

Teorema 5.4.7 (de reversibilitate) Dac¼a f 2 RSg([a; b]) atunci g 2 RSf ([a; b]) siZ b

a

f(x)dg(x) = f(x)g(x)��ba �

Z b

a

g(x)df(x):


Demonstratie. Se arat¼a prin calcul direct c¼a dac¼a � 2 D([a; b]) si � este un sistem depuncte intermediare asociat, atunci

Sf (g;�;�) = f(b)g(b)� f(a)g(a)� f(b) (g(b)� g(�n))� f(a) (g(�1)� g(a))

�n�1Xi=1

f(xi) (g(�i+1)� g(�i))

= f(b)g(b)� f(a)g(a)� Sg(f;�0;�0);

unde�0 este diviziunea format¼a de fag[�[fbg cu punctele intermediare date de punctelediviziunii �: Atunci k�0k ! 0 pentru k�k ! 0 si deci exist¼a si este �nit¼a

limk�k!0

Sf (g;�;�) = f(b)g(b)� f(a)g(a)�Z b

a

f(x)dg(x);

ceea ce reprezint¼a exact concluzia. �

Exemplul 5.4.8 Fie f; g :�0; �

2

�! R; f(x) = x2 si

g(x) =

�sinxx; dac¼a x 2

�0; �

2

�1; dac¼a x = 0:

Dorim s¼a justi�c¼am existenta integraleiZ �2

0

f(x)dg(x)

si s¼a o calcul¼am în dou¼a moduri.Functia f este de clas¼a C1, iar g este continu¼a, deci exist¼a

R �2

0g(x)df(x) si, în acord

cu teorema anterior¼a, exist¼a si integrala de mai sus siZ �2

0

f(x)dg(x) = f(x)g(x)��20 � Z �

2

0

g(x)df(x)

=�

2� 2

Z �2

0

xg(x)dx =�

2� 2

Z �2

0

sin xdx

=�

2� 2:

Integrala se mai poate calcula si direct cu Teorema de reducere dac¼a se veri�c¼a ipotezeleasupra lui g. Se arat¼a c¼a g este derivabil¼a cu derivata continu¼a, deciZ �

2

0

f(x)dg(x) =

Z �2

0

x2x cosx� sin x

x2dx =

Z �2

0

(x cosx� sin x)dx = �

2� 2:

Teorema 5.4.9 (propriet¼ati ale integralei Riemann-Stieltjes) (i) Dac¼a functiilef1; f2 2 RSg([a; b]); atunci pentru orice �; � 2 R;

�f1 + �f2 2 RSg([a; b])


si Z b

a

(�f1(x) + �f2(x))dg(x) = �

Z b

a

f1(x)dg(x) + �

Z b

a

f2(x)dg(x);

(ii) dac¼a f 2 RSg1([a; b]) si f 2 RSg2([a; b]); atunci pentru orice �; � 2 R; f 2RS�g1+�g2([a; b]) siZ b

a

f(x)d (�g1(x) + �g2(x)) = �

Z b

a

f(x)dg1(x) + �

Z b

a

f(x)dg2(x);

(iii) �e c 2 (a; b): Dac¼a f 2 RSg([a; b]); atunci f 2 RSg([a; c]) si f 2 RSg([c; b]) siZ b

a

f(x)dg(x) =

Z c

a

f(x)dg(x) +

Z b

c

f(x)dg(x):

Demonstratie. Implicatiile sunt relativ simple si necesit¼a aplicarea direct¼a a de�nitiilorsau a criteriilor de integrabilitate, ca în cazul integralei Riemann. �

În cazul integralei Riemann-Stieltjes nu este valabil¼a proprietatea integrabilit¼atii peportiuni. De exemplu, functia f : [0; 2]! R;

f(x) =

�0; dac¼a x 2 [0; 1)1; dac¼a x 2 [1; 2];

nu este Riemann-Stieltjes integrabil¼a pe [0; 2] în raport cu g : [0; 2]! R;

g(x) =

�0; dac¼a x 2 [0; 1]1; dac¼a x 2 (1; 2];

pentru c¼a x = 1 este punct comun de discontinuitate. În schimb, f 2 RSg([0; 1]) (pentruc¼a f este integrabil¼a Riemann si g este constant¼a) si f 2 RSg([1; 2]) (pentru c¼a f estecontinu¼a si g este monoton¼a).Are loc rezultatul urm¼ator.

Teorema 5.4.10 Dac¼a c 2 (a; b), f 2 RSg([a; c]) si f 2 RSg([c; b]) iar c este punctde continuitate pentru una dintre functii si cealalt¼a este m¼arginit¼a pe o vecin¼atate a sa(în particular dac¼a c este punct comun de continuitate pentru cele dou¼a functii), atuncif 2 RSg([a; b]) si are loc formula de aditivitate a integralei în raport cu intevalul.

Demonstratie. Folosim argumente similare celor din demonstratia Teoremei 5.2.7 (ii). Fie� 2 D([a; b]) si � un sistem de puncte intermediare. Dac¼a punctul c este punct aldiviziunii �; atunci � se compune din dou¼a diviziuni �1 2 D([a; c]) si �2 2 D([c; b]) sisimilar pentru sistemul de puncte intermediare, deci

Sg(f;�;�) = Sg(f;�1;�1) + Sg(f;�2;�2):

Cum k�k = maxfk�1k ; k�2kg; k�k ! 0 dac¼a si numai dac¼a k�1k ! 0 si k�2k ! 0:Deducem ambele concluzii.


Consider¼am acum cazul în care c nu este punct al diviziunii �; i.e., exist¼a i 2 1; ncu c 2 (xi�1; xi): Not¼am �� = � [ fcg si modi�c¼am sistemul de puncte intermediare� eliminând punctul �i si ad¼augând punctul c în ambele subintervale create în acest fel(c 2 (xi�1; c]; c 2 [c; xi)). Not¼am noul sistem, corespunz¼ator lui �� cu ��: Atât �� cât si ��pot � descompuse ca în cazul precedent. Cum

f(�i)(g(xi)� g(xi�1)) = f(c)(g(xi)� g(xi�1)) + (f(�i)� f(c))(g(xi)� g(xi�1))

= f(c)(g(c)� g(xi�1)) + f(c)(g(xi)� g(c))

+ (f(�i)� f(c))(g(xi)� g(xi�1));

deducem

Sg(f;�;�) = Sg(f; ��; ��) + (f(�i)� f(c))(g(xi)� g(xi�1))

= Sg(f;�1;�1) + Sg(f;�2;�2) + (f(�i)� f(c))(g(xi)� g(xi�1)):

Termenul suplimentar care apare, (f(�i)� f(c))(g(xi)� g(xi�1)); poate � f¼acut oricât demic pe baza normei diviziunii si a ipotezelor ce asigur¼a c¼a una dintre functii este continu¼aîn c iar cealalt¼a este m¼arginit¼a pe o vecin¼atate a acestui punct. Obtinem astfel concluziile.�

Capitolul 6

Anexe

6.1 Elemente de logic¼a matematic¼a

În aceast¼a sectiune reamintim unele elemente fundamentale de logic¼a matematic¼a. Pentruînceput, recapitul¼am Legile lui de Morgan: dac¼a p si q sunt dou¼a propozitii, :p noteaz¼anegatia propozitiei p, iar "^" si "_" noteaz¼a conjunctia, respectiv disjunctia propozitiilor,atunci:

:(p ^ q) � (:p) _ (:q); :(p _ q) � (:p) ^ (:q)

(notatia � arat¼a c¼a dou¼a expresii propozitionale sunt echivalente logic).Dac¼a p si q sunt dou¼a propozitii, implicatia p! q este propozitia (:p)_ q. Implicatia

p ! q este fals¼a dac¼a si numai dac¼a p este adev¼arat¼a si q fals¼a. Propozitia p se numesteipotez¼a (premis¼a), iar propozitia q se numeste concluzie.Negatia implicatiei p! q este propozitia p ^ (:q).Propozitia p! q poate � citit¼a si astfel:

� dac¼a p, atunci q;

� în ipoteza p are loc q;

� p este o conditie su�cient¼a pentru q;

� q este o conditie necesar¼a pentru p.

Date dou¼a propozitii p si q, echivalenta p$ q este propozitia (p! q) ^ (q ! p).Propozitia p$ q poate � citit¼a si astfel:

� p dac¼a si numai dac¼a q;

� p este o conditie necesar¼a si su�cient¼a pentru q;

� o conditie necesar¼a si su�cient¼a pentru p este q.

137

138 Capitolul 6. Anexe

Reamintim c¼a 9 noteaz¼a cuanti�catorul existential, iar 8, cuanti�catorul universal.Dac¼a M este o multime, citim 9x 2 M astfel: "exist¼a un/m¼acar pentru un/cel putinpentru un x 2M"; citim 8x 2M astfel: "oricare ar �/pentru orice/pentru toti x 2M".Cuanti�catorul existential se neag¼a prin cel universal, iar cuanti�catorul universal,

prin cel existential. Cu alte cuvinte, regula de negatie pentru o propozitie existential¼aeste:

:((9x 2M)p(x)) � (8x 2M)(:p(x));iar regula de negatie pentru o propozitie universal¼a,

:((8x 2M)p(x)) � (9x 2M)(:p(x)):Cuanti�catorii de acelasi fel pot �permutati, dar nu putem permuta 9 si 8. De exemplu,propozitiile (9x 2 R)(8y 2 R)(x + y = 0) (exist¼a x 2 R astfel încât pentru orice y 2 Rare loc x+ y = 0) si (8y 2 R)(9x 2 R)(x+ y = 0) (pentru orice y 2 R exist¼a x 2 R astfelîncât are loc x+ y = 0) nu au aceeasi valoare de adev¼ar: prima este fals¼a (luând, pe rând,y = 0 si y = 1, obtinem x = 0 si x + 1 = 0, care nu pot avea loc simultan), iar a doua,adev¼arat¼a ((8y 2 R)(9x = �y 2 R)(x+ y = 0)).Putem distribui 8 peste ^, dar nu peste _; putem distribui 9 peste _, dar nu peste ^.

Fie p ! q o teorem¼a, adic¼a o propozitie adev¼arat¼a, care a fost dedus¼a din axiome(propozitii acceptate drept adev¼arate, f¼ar¼a demonstratie) si din alte teoreme. S¼a numimp ! q teorem¼a direct¼a. Propozitia q ! p se numeste reciproc¼a. Propozitia :p ! :q senumeste contrara directei. Propozitia :q ! :p se numeste contrara reciprocei. Se arat¼a(folosind tabele de adev¼ar) c¼a

p! q � :q ! :p (directa este logic echivalent¼a cu contrara reciprocei);

:p! :q � q ! p (contrara directei este logic echivalent¼a cu reciproca):

În general, directa nu implic¼a reciproca si reciproca nu implic¼a directa.O teorem¼a poate �demonstrat¼a direct (pornind de la ipotez¼a, obtinem concluzia) sau

indirect. Demonstratii indirecte sunt:

� demonstratia prin contrapozitie, bazat¼a pe echivalenta logic¼a p ! q � :q ! :p(în loc s¼a ar¼at¼am c¼a ipoteza implic¼a concluzia, demonstr¼am c¼a negatia concluzieiimplic¼a negatia ipotezei);

� demonstratia prin reducere la absurd, bazat¼a pe echivalenta logic¼a:(p! q) � p ^ :q:

În acest caz ar¼at¼am c¼a din ipoteza teoremei si negatia concluziei rezult¼a o con-tradictie (adic¼a o propozitie de forma r ^ (:r)); prin urmare, p ^ :q este fals¼a,echivalent, :(p! q) este fals¼a, deci p! q este adev¼arat¼a.

Observatia 6.1.1 Fie E si F expresii. Dac¼a expresia E ! F este adev¼arat¼a, indiferentde valorile de adev¼ar ale variabilelor propozitionale (o astfel de expresie se numeste tau-tologie), atunci scriem E ) F . Dac¼a expresia E $ F este o tautologie, atunci scriemE , F . Evident, E , F înseamn¼a E ) F si F ) E, motiv pentru care este bine s¼a�m atenti când folosim , si când folosim ).

6.2. Formule de calcul prescurtat 139

6.2 Formule de calcul prescurtat

Au loc urm¼atoarele formule de calcul, foarte utile în practic¼a:

� (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2; 8a; b 2 R;

� în particular, (a+ 1)2 = a2 + 2a+ 1; 8a 2 R;

� (a� b)2 = a2 � 2ab+ b2; 8a; b 2 R;

� în particular, (a+ 1)2 = a2 � 2a+ 1; 8a 2 R;

� (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3; 8a; b 2 R;

� în particular, (a+ 1)3 = a3 + 3a2 + 3a+ 1; 8a 2 R;

� (a� b)3 = a3 � 3a2b+ 3ab2 � b3; 8a; b 2 R;

� în particular, (a� 1)3 = a3 � 3a2 + 3a� 1; 8a 2 R;

� a2 � b2 = (a� b)(a+ b); 8a; b 2 R;

� a3 � b3 = (a� b)(a2 + ab+ b2); 8a; b 2 R;

� în particular, a3 � 1 = (a� 1)(a2 + a+ 1); 8a 2 R;

� a3 + b3 = (a+ b)(a2 � ab+ b2); 8a; b 2 R;

� în particular, a3 + 1 = (a+ 1)(a2 � a+ 1); 8a 2 R;

� an�bn = (a�b)(an�1+an�2b+an�3b2+� � �+abn�2+bn�1); 8n 2 N; n � 2; 8a; b 2 R;

� a2k+1+b2k+1 = (a+b)(a2k�a2k�1b+a2k�2b2�� ab2k�1+b2k); 8k 2 N�; 8a; b 2 R;

� 1 + 2 + � � �+ n =n(n+ 1)

2; 8n 2 N�;

� 12 + 22 + � � �+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6; 8n 2 N�;

� 13 + 23 + � � �+ n3 =

�n(n+ 1)

2

�2; 8n 2 N�:


6.3 Functii numerice �elemente de baz¼a

Având introdus¼a notiunea de functie, precum si constructia multimii numerelor reale,putem vorbi despre functii de�nite pe o submultime a lui R cu valori în R. Aceste functiivor �numite numerice. Trecem în revist¼a câteva clase de astfel de functii si câteva exempleimportante.

Functii pare, functii impareFie D � R o multime simetric¼a în raport cu originea (i.e., x 2 D , �x 2 D) si

f : D ! R.

� f se numeste par¼a dac¼a f(�x) = f(x) pentru orice x 2 D: Cum pentru o functiepar¼a (a; b) 2 gr f dac¼a si numai dac¼a (�a; b) 2 gr f deducem c¼a gra�cul unei functiipare este simetric fat¼a de axa Oy: Exempli�c¼am cu gra�cul functiei f : R! R,f(x) = x2 (Figura 6.1; unitatea de m¼asur¼a pe cele dou¼a axe este aceeasi, o conventiecare, din motive de vizualizare, va � de mai multe ori înc¼alcat¼a).

� f se numeste impar¼a dac¼a f(�x) = �f(x) pentru orice x 2 D: Cum pentru o functieimpar¼a (a; b) 2 gr f dac¼a si numai dac¼a (�a;�b) 2 gr f; deducem ca gra�cul uneifunctii impare este simetric fat¼a de originea O a sistemului de axe. Dac¼a 0 2 D;atunci f(0) = 0: Exempli�c¼am cu gra�cul functiei f : R! R, f(x) = x3 (Figura6.2).

Avem urm¼atoarele propriet¼ati de stabilitate a notiunilor de mai sus în raport cu ope-ratiile uzuale pentru functii având acelasi domeniu de de�nitie (veri�c¼arile sunt imediate):

� suma si produsul a dou¼a functii pare sunt functii pare;

� suma a dou¼a functii impare este o functie impar¼a;

� produsul a dou¼a functii impare este o functie par¼a;

� produsul dintre o functie par¼a si una impar¼a este o functie impar¼a.

Figura 6.1: f(x) = x2

6.3. Functii numerice �elemente de baz¼a 141

Figura 6.2: f(x) = x3

Dac¼a f; g : R! R; atunci compunerea f � g este o functie par¼a dac¼a ambele functiisunt pare sau ambele sunt impare si impar¼a dac¼a una dintre functii este par¼a si cealalt¼aimpar¼a.

Functii periodiceFie f : ; 6= D � R! R si T 6= 0: Functia f se numeste periodic¼a de perioad¼a T

dac¼a pentru orice x 2 D avem x � T 2 D si f(x + T ) = f(x): Se observ¼a usor c¼a dac¼aT este perioad¼a, atunci si nT este perioad¼a pentru orice n 2 Z�: Dac¼a exist¼a cea maimic¼a perioad¼a pozitiv¼a, atunci aceasta se numeste perioada principal¼a a functiei. Pentruo functie periodic¼a cu perioada principal¼a T este su�cient ca studiul s¼a se fac¼a pe uninterval de lungime T:

Functii monotoneFie f : ; 6= D � R! R. Functia f se numeste:

� monoton cresc¼atoare pe multimea D dac¼a pentru orice x1; x2 2 D; x1 � x2 are locf(x1) � f(x2);

� strict cresc¼atoare pe multimea D dac¼a pentru orice x1; x2 2 D; x1 < x2 are locf(x1) < f(x2);

� monoton descresc¼atoare pe multimea D dac¼a pentru orice x1; x2 2 D; x1 � x2 areloc f(x1) � f(x2);

� strict descresc¼atoare pe multimea D dac¼a pentru orice x1; x2 2 D; x1 � x2 are locf(x1) > f(x2);

� monoton¼a pe multimea D dac¼a este monoton cresc¼atoare sau monoton descresc¼a-toare;

� strict monoton¼a pe multimeaD dac¼a este strict cresc¼atoare sau strict descresc¼atoare.

Dac¼a f; g : R! R: atunci compunerea f � g este o functie (strict) cresc¼atoare dac¼acele dou¼a functii au aceeasi monotonie (strict¼a) si (strict) descresc¼atoare dac¼a cele dou¼afunctii au monotonii (stricte) diferite.


Functii m¼arginiteFie f : ; 6= D � R! R. Functia f se numeste:

� m¼arginit¼a superior dac¼a multimea f(D) este majorat¼a;

� m¼arginit¼a inferior dac¼a multimea f(D) este minorat¼a;

� m¼arginit¼a dac¼a multimea f(D) este atât majorat¼a, cât si minorat¼a.

Functii injective, surjective, bijectiveDe�nitiile sunt aceleasi din cazul general. Pentru o functie f : R! R avem urm¼a-

toarele interpret¼ari geometrice ale celor trei notiuni.

� f este injectiv¼a dac¼a si numai dac¼a orice paralel¼a la axa Ox intersecteaz¼a gra�cullui f cel mult într-un punct;

� f este surjectiv¼a dac¼a si numai dac¼a orice paralel¼a la axa Ox intersecteaz¼a gra�cullui f cel putin într-un punct;

� f este bijectiv¼a dac¼a si numai dac¼a orice paralel¼a la axa Ox intersecteaz¼a gra�cullui f exact într-un punct.

Dac¼a f : D � R!E � R este bijectiv¼a, atunci gra�cul inversei f�1 : E ! D estesimetricul gra�cului lui f fat¼a de prima bisectoare.

Functii uzuale (elementare)Trecem în revist¼a câteva functii numerice uzuale (si) prin prisma propriet¼atilor de mai

sus.

� Functii constante. Se numeste functie constant¼a o functie f : A � R! R de forma

f(x) = c;

unde c 2 R. Este evident c¼a o astfel de functie nu este injectiv¼a dac¼a A are celputin dou¼a elemente si nici surjectiv¼a. Gra�cul s¼au este situat pe dreapta paralel¼acu Ox dus¼a prin punctul (0; c). În plus, aceast¼a functie este atât cresc¼atoare, cât sidescresc¼atoare.

� Functii polinomiale. Se numeste functie polinomial¼a o functie f : R! R de forma

f(x) = anxn + an�1x

n�1 + :::+ a1x+ a0;

unde n 2 N�; a0; a1; :::; an 2 R si an 6= 0: Cazuri particulare remarcabile:


Figura 6.3: f(x) = 2x+ 1

1. functii de gradul I: f : R! R, f(x) = ax + b; unde a; b 2 R, a 6= 0: O astfelde functie este bijectiv¼a si, în plus, dac¼a a > 0 este strict cresc¼atoare, iar dac¼aa < 0 este strict descresc¼atoare. Gra�cul s¼au este o dreapt¼a, ca în exempluldin Figura 6.3.Avem, de asemenea:

sgn(ax+ b) =

8<:� sgn a; dac¼a x < � b

a

0; dac¼a x = � ba

sgn a; dac¼a x > � ba:

2. functii de gradul al II-lea: f : R! R, f(x) = ax2 + bx + c; unde a; b; c 2 R,a 6= 0: O astfel de functie nu este nici injectiv¼a, nici surjectiv¼a. Dac¼a a > 0;atunci f este strict descresc¼atoare pe intervalul

��1;� b

2a

�si strict cresc¼a-

toare pe�� b2a;1�: Dac¼a a < 0; atunci f este strict cresc¼atoare pe intervalul�

�1;� b2a

�si strict descresc¼atoare pe

�� b2a;1�: Gra�cul este o parabol¼a de

vârf�� b2a;��

4a

�cu ramurile orientate în sus dac¼a a > 0 (Figura 6.4) si în jos

dac¼a a < 0 (Figura 6.5); unde, ca de obicei, � := b2 � 4ac noteaz¼a discrimi-nantul ecuatiei algebrice asociate (i.e., ax2 + bx+ c = 0).Semnul functiei este:

Figura 6.4: f(x) = x2 � x� 2


Figura 6.5: f (x) = �x2 � x+ 6

� dac¼a � < 0; sgn(ax2 + bx+ c) = sgn(a) pentru orice x 2 R� dac¼a � = 0;

sgn(ax2 + bx+ c) =

�sgn(a); dac¼a x 2 R n f � b

2ag

0; dac¼a x = � b2a:

� dac¼a � > 0;

sgn(ax2 + bx+ c) =

8<:sgn(a); dac¼a x 2 (�1; x1) [ (x2;+1) ;0; dac¼a x 2 fx1; x2g� sgn(a); dac¼a x 2 (x1; x2);

unde x1; x2 sunt cele dou¼a r¼ad¼acini reale distincte, �b�p�

2a; ordonate cresc¼a-

tor, ale ecuatiei ax2 + bx+ c = 0:

� Functii rationale. Se numeste functie rational¼a o functie f : D � R! R de forma

f(x) =p(x)

q(x);

pentru orice x 2 D; unde p; q sunt functii polinomiale, iar D = fx 2 R j q(x) 6= 0g:

� Functia exponential¼a. Se numeste functie exponential¼a o functie f : R! (0;+1)de forma

f(x) = ax;

unde a > 0; a 6= 1:Gra�cul unei asemenea functii este diferit (ca orientare) dup¼a cum a este subunitarsau supraunitar. Pentru a > 1; gra�cul are dreapta y = 0 asimptot¼a orizontal¼a la�1; iar pentru a 2 (0; 1); gra�cul are dreapta y = 0 asimptot¼a orizontal¼a la +1:Exempli�c¼am (Figurile 6.6 si 6.7).

Orice functie exponential¼a este bijectiv¼a. Dac¼a a 2 (0; 1); functia este strict des-cresc¼atoare, iar dac¼a a 2 (1;1); functia este strict cresc¼atoare.


Figura 6.6: f(x) = 3x

Figura 6.7: f(x) =�13

�x� Functia logaritm. Se numeste functie logaritmic¼a o functie care este inversa uneifunctii exponentiale, deci o functie f : (0;+1)! R de forma

f(x) = loga x;

unde a 2 R�; a 6= 1: Din nou, reprezentarea gra�c¼a depinde de pozitia lui a fat¼a de1: Dreapta x = 0 este asimptot¼a vertical¼a la dreapta. A se vedea Figurile 6.8 si 6.9.

Orice functie logaritmic¼a este bijectiv¼a. Dac¼a a 2 (0; 1); functia este strict descres-c¼atoare, iar dac¼a a 2 (1;1); functia este strict cresc¼atoare.

� Functiile trigonometrice. Functiile trigonometrice cele mai importante sunt sinus,

Figura 6.8: f(x) = log3 x


Figura 6.9: f(x) = log 13x

cosinus, tangent¼a, cotangent¼a, arcsinus, arccosinus, arctangent¼a, arccotangent¼a.Functiile sin si cos sunt de�nite pe R si iau valori în intevalul [�1; 1]: Gra�celesunt mai jos (Figurile 6.10 si 6.11).

Figura 6.10: f(x) = sinx

Figura 6.11: f(x) = cosx

Este clar c¼a ambele functii sunt surjective (dac¼a consider¼am codomeniul ca �indintervalul [�1; 1]), dar niciuna nu este injectiv¼a. De altfel, ambele sunt functiiperiodice de perioad¼a principal¼a 2�:

Functia sin restrâns¼a la intervalul [��=2; �=2] si luând valori în intervalul [�1; 1]este o bijectie, iar inversa sa este functia arcsin : [�1; 1]! [��=2; �=2]; care este ofunctie bijectiv¼a, strict cresc¼atoare, având gra�cul din Figura 6.12.


Figura 6.12: f(x) = arcsinx

Functia cos restrâns¼a la intervalul [0; �] si luând valori în intervalul [�1; 1] esteo bijectie, iar inversa sa este functia arccos : [�1; 1] ! [0; �]; care este o functiebijectiv¼a, strict descresc¼atoare, având gra�cul din Figura 6.13.

Figura 6.13: f(x) = arccos x

Functia tangent¼a tg : D ! R unde D := R n f(2k + 1)�2j k 2 Zg este de�nit¼a prin

legea tg x = sinxcosx

: Dreptele de forma x = (2k + 1)�2, unde k 2 Z; sunt asimptote

verticale. Gra�cul s¼au este reprezentat in Figura 6.14.

Figura 6.14: f(x) = tg x

Functia tangent¼a este periodic¼a si perioada sa principal¼a este �:

Functia cotangent¼a ctg : D1 ! R unde D1 := R n fk� j k 2 Zg este de�nit¼a prin


legea ctg x = cosxsinx

: De fapt,

ctg x = tg��2� x�

pentru orice x 2 D1; deci si ctg este periodic¼a de perioad¼a principal¼a �: Dreptelede forma x = k�, unde k 2 Z; sunt asimptote verticale. Gra�cul s¼au este redat înFigura 6.15.

Figura 6.15: f(x) = ctg x

Functia tg restrâns¼a la intervalul (��=2; �=2) si luând valori în R este o bijectie, iarinversa sa este functia arctg : R! (��=2; �=2); care este o functie bijectiv¼a, strictcresc¼atoare, având dreapta y = �

2asimptot¼a orizontal¼a la +1 si dreapta y = ��

2

asimptot¼a orizontal¼a la �1. Gra�cul este reprezentat în Figura 6.16.Functia ctg restrâns¼a la intervalul (0; �) si luând valori în R este o bijectie, iar inversasa este functia arcctg : R! (0; �); care este o functie bijectiv¼a, strict descresc¼atoare.Dreapta y = 0 este asimptot¼a orizontal¼a la +1; iar y = � este asimptot¼a orizontal¼ala �1. Gra�cul este redat în Figura 6.17.

Figura 6.16: f(x) = arctg x Figura 6.17: f(x) = arcctg x

6.4. Formule trigonometrice 149

6.4 Formule trigonometrice

� sin2 x+ cos2 x = 1; 8x 2 R;

� tgx ctgx = 1; 8x 2 R n�k�

2; k 2 Z

�;

� sin(�x) = � sin x; cos(�x) = cosx; 8x 2 R;

� sin��2� x�= cos x, sin(� � x) = sinx, sin(� + x) = � sin x; 8x 2 R;

� cos��2� x�= sinx, cos

��2+ x�= � sin x, cos(� � x) = � cosx; 8x 2 R;

� tg��2� x�= ctg x, tg

��2+ x�= � ctg x; 8x 2 R n fk�; k 2 Zg;

� ctg��2� x�= tg x, ctg

��2+ x�= � tg x; 8x 2 R n

�(2k + 1)�

2; k 2 Z

�;

� sin(x+ y) = sinx cos y + sin y cosx; 8x; y 2 R;

� sin(x� y) = sinx cos y � sin y cosx; 8x; y 2 R;

� cos(x+ y) = cosx cos y � sin x sin y; 8x; y 2 R;

� cos(x� y) = cosx cos y + sinx sin y; 8x; y 2 R;

� tg(x+ y) =tg x+ tg y

1� tg x tg y ; 8x; y 2 R n�(2k + 1)�

2; k 2 Z

�,

cu x+ y 2 R n�(2k + 1)�

2; k 2 Z

�;

� tg(x� y) =tg x� tg y1 + tg x tg y

; 8x; y 2 R n�(2k + 1)�

2; k 2 Z

�,

cu x� y 2 R n�(2k + 1)�

2; k 2 Z

�;

� ctg(x+ y) = ctg x ctg y � 1ctg x+ ctg y

; 8x; y 2 R n fk�; k 2 Zg, cu x+ y 2 R n fk�; k 2 Zg;

� ctg(x� y) = ctg x ctg y + 1

ctg y � ctg x ; 8x; y 2 R n fk�; k 2 Zg, cu x� y 2 R n fk�; k 2 Zg;

� sin 2x = 2 sinx cosx; 8x 2 R;

� cos 2x = cos2 x� sin2 x = 2 cos2 x� 1 = 1� 2 sin2 x; 8x 2 R;

� cos2 x = 1 + cos 2x

2; sin2 x =

1� cos 2x2

; 8x 2 R;


� tg 2x = 2 tg x

1� tg2 x; 8x 2 R n�(2k + 1)�

2;(2k + 1)�

4; k 2 Z

�;

� ctg 2x = ctg2 x� 12 ctg x

; 8x 2 R n�k�

2; k 2 Z

�;

� tg2 x = 1� cos 2x1 + cos 2x

; 8x 2 R n�(2k + 1)�

2; k 2 Z

�;

� ctg2 x = 1 + cos 2x

1� cos 2x; 8x 2 R n fk�; k 2 Zg;

� tg x = sin 2x

1 + cos 2x=1� cos 2xsin 2x

; 8x 2 R n�k�

2; k 2 Z

�;

� ctg x = sin 2x

1� cos 2x =1 + cos 2x

sin 2x; 8x 2 R n

�k�

2; k 2 Z

�;

� sin 3x = 3 sinx� 4 sin3 x; 8x 2 R;

� cos 3x = 4 cos3 x� 3 cos x; 8x 2 R;

� sin x+ sin y = 2 sin x+ y

2cos

x� y

2; 8x; y 2 R;

� sin x� sin y = 2 sin x� y

2cos

x+ y

2; 8x; y 2 R;

� cosx+ cos y = 2 cos x+ y

2cos

x� y

2; 8x; y 2 R;

� cosx� cos y = 2 sin x+ y

2sin

y � x

2; 8x; y 2 R;

� tg x+ tg y = sin(x+ y)

cosx cos y; 8x; y 2 R n

�(2k + 1)�

2; k 2 Z

�;

� tg x� tg y = sin(x� y)

cosx cos y; 8x; y 2 R n

�(2k + 1)�

2; k 2 Z

�;

� ctg x+ ctg y = sin(x+ y)

sin x sin y; 8x; y 2 R n fk�; k 2 Zg;

� ctg x� ctg y = sin(y � x)

sin x sin y; 8x; y 2 R n fk�; k 2 Zg;

� sin x sin y = 1

2[cos(x� y)� cos(x+ y)]; 8x; y 2 R;

� cosx cos y = 1

2[cos(x� y) + cos(x+ y)]; 8x; y 2 R;

6.4. Formule trigonometrice 151

� sin x cos y = 1

2[sin(x+ y) + sin(x� y)]; 8x; y 2 R;

� arcsinx+ arccos x = �

2; 8x 2 [�1; 1];

� arctg x+ arcctg x =�

2; 8x 2 R;

� sin(arcsinx) = x; 8x 2 [�1; 1]; cos(arccos x) = x; 8x 2 [�1; 1];

� arcsin(sinx) = x; 8x 2h��2;�

2

i; arccos(cos x) = x; 8x 2 [0; �] ;

� tg(arctg x) = x; 8x 2 R; ctg(arcctg x) = x; 8x 2 R;

� arctg(tg x) = x; 8x 2��2;�

2

�; arcctg(ctg x) = x; 8x 2 (0; �) ;

� arcsinx = arccosp1� x2 = arctg

xp1� x2

= arcctg

p1� x2

x; 8x 2 (0; 1);

� arccos x = arcsinp1� x2 = arctg

p1� x2

x= arcctg

xp1� x2

; 8x 2 (0; 1);

� arctg x = arcsin xp1 + x2

= arccos1p1 + x2

= arcctg1

x; 8x 2 (0;1);

� arcctg x = arcsin 1p1 + x2

= arccosxp1 + x2

= arctg1

x; 8x 2 (0;1):

Ecuatii trigonometrice elementare:

sin x = a; jaj � 1 , x = (�1)k arcsin a+ k�; k 2 Z;cosx = a; jaj � 1 , x = � arccos a+ 2k�; k 2 Z;tg x = a; a 2 R , x = arctg a+ k�; k 2 Z;ctg x = a; a 2 R , x = arcctg a+ k�; k 2 Z;


6.5 Limite fundamentale de siruri si de functii

Reamintim unele limite fundamentale pentru siruri numerice a c¼aror demonstratie sebazeaz¼a tocmai pe rezultatele parcurse în Capitolul 2.

� Fie P (n) = apnp+ ap�1n

p�1+ :::+ a1n+ a0; Q(n) = bsns+ bs�1n

s�1+ :::+ b1n+ b0;unde p; s 2 N; ai; bj 2 R; 8i = 1; p; 8j = 1; s; ap 6= 0; bs 6= 0: Atunci

limP (n) =

�+1 � sgn(ap); dac¼a p 6= 0;a0; dac¼a p = 0:

si

limP (n)

Q(n)=

8<:0; dac¼a s > papbs; dac¼a s = p

+1 � sgn(apbs); dac¼a s < p:

� Fie a 2 R: Atunci

lim an =

8>><>>:0; dac¼a a 2 (�1; 1);1; dac¼a a = 1;+1; dac¼a a > 1;nu exist¼a, dac¼a a � �1:

Este de remarcat c¼a, totusi, dac¼a a < �1; lim 1an= 0:

� lim npa = 1 pentru orice a > 0;

� lim npn = 1;

� lim nk

an= 0 pentru orice a cu jaj > 1 si orice k 2 R;

� lim lnnnk= 0; 8k > 0;

� lim an

n!= 0; 8a > 0:

În plus, pentru functii, au loc urm¼atoarele limite fundamentale ce se demonstreaz¼a pebaza rezultatelor din Capitolul 3:

� limx!�1

�akx

k + ak�1xk�1 + � � �+ a1x+ a0

�= sgn (ak)� lim

x!�1xk, unde k 2 N�, ai 2 R,

pentru 0 � i � k si ak 6= 0;

� limx!�1

akxk+ak�1xk�1+��+a1x+a0

bpxp+bp�1xp�1+��+b1x+b0 =

8><>:0; dac¼a p > kakbk; dac¼a p = k

sgn�akbp

�� limx!�1

xk�p; dac¼a p < k;

unde k; p 2 N, ai; bj 2 R, pentru 0 � i � k, 0 � j � p si ak; bp 6= 0;

� limx!1

ax =

8>><>>:0; a 2 (�1; 1)1; a = 1+1; a > 1nu exist¼a, a � �1

;

6.5. Limite fundamentale de siruri si de functii 153

� limx!1

(1 + 1x)x = e;

� limx!0(1 + x)

1x = e;

� limx!0

ln(1+x)x

= 1;

� limx!0

ax�1x= ln a; a > 0;

� limx!0

sinxx= 1;

� limx!0

tg xx= 1;

� limx!0

arcsinxx

= 1;

� limx!0

arctg xx

= 1;

� limx!1

lnxx= 0;

� limx!1

xn

ax= 0; n 2 N; a > 1;

� limx!1

lnx = +1; limx&0

lnx = �1;

� limx!1

arctg x = �=2; limx!�1

arctg x = ��=2;

� limx!�=2;x<�=2

tg x = +1; limx!�=2;x>�=2

tg x = �1;

� dac¼a a > 1, atunci limx!1

loga x = +1, limx&0

loga x = �1;

� dac¼a a 2 (0; 1), atunci limx!1

loga x = �1, limx&0

loga x = +1;

� limx!1

lnxx= 0, lim

x!1lnxx�= 0 (� > 0);

� limx&0

x� lnx = 0 (� > 0);

� limx!1

xn

ax= 0 (n 2 N, a > 1).


6.6 Derivate

Tabela 6.1: Tabelul de derivare al functiilor elementare

f(x) f 0(x) Domeniul de derivabilitate

1. c; c 2 R constant¼a 0 R

2. xn; n 2 N� nxn�1 R

3. x�; cu � 2 R �x��1 cel putin (0;1)

4. ex ex R

5. ax; cu a 2 (0;1) n f1g ax ln a R

6. lnx1

x(0;1)

7. loga x, cu a 2 (0;1) n f1g1

x ln a(0;1)

8. sin x cosx R

9. cosx � sin x R

10. tgx1

cos2 xx 6= (2k + 1)�

2; k 2 Z

11. ctgx � 1

sin2 xx 6= k�; k 2 Z

6.6. Derivate 155

f(x) f 0(x) Domeniul de derivabilitate

12. arcsinx1p1� x2

(�1; 1)

13. arccos x � 1p1� x2

(�1; 1)

14. arctgx1

x2 + 1R

15. arcctgx � 1

x2 + 1R

Tabela 6.2: Tabelul de derivare al functiilor compuse(u = u(x) este o functie)

Functia compus¼a Derivata Conditii

1. un; n 2 N� nun�1u0

2. u�; cu � 2 R �u��1u0 u > 0

3. eu euu0

4. ax; cu a 2 (0;1) n f1g au ln a � u0

5. lnuu0

uu > 0


Functia compus¼a Derivata Conditii

6. loga u, cu a 2 (0;1) n f1gu0

u ln au > 0

7. sinu u0 cosu

8. cosu �u0 sinu

9. tguu0

cos2 ucosu 6= 0

10. ctgu � u0

sin2 usinu 6= 0

11. arcsinuu0p1� u2

u 2 (�1; 1)

12. arccos u � u0p1� u2

u 2 (�1; 1)

13. arctguu0

u2 + 1

14. arcctgu � u0

u2 + 1

Observatia 6.6.1 Derivarea unei expresii de tipul f g se face astfel:

(f g)0 =�eln f

g�0=�eg ln f

�0= eg ln f � (g ln f)0

= f g ��g0 ln f + g

f 0

f

�=�gf g�1

�f 0 + (f g ln f) g0:

Observatia 6.6.2 Regula lui Leibniz de derivare multipl¼a a produsului a dou¼a functii (cese demonstreaz¼a prin inductie) este urm¼atoarea: dac¼a m 2 N� si f; g sunt derivabile de

6.6. Derivate 157

m ori, atunci produsul f � g este o functie derivabil¼a de m ori si

(f � g)(m) =mXk=0

Ckmf(k)g(m�k) =

mXk=0

m!

k!(m� k)!f (k)g(m�k):


6.7 Reprezentarea gra�c¼a a functiilor

În aceast¼a anex¼a descriem etapele realiz¼arii gra�cului unei functii de�nite pe o submultimea lui R cu valori în R:I. Domeniul de studiu al functiei

I.1. Se a�¼a domeniul de studiu (sau domeniul maxim de de�nitie) D al functiei, dac¼aacesta nu este explicit precizat.I.2. Se stabileste dac¼a functia este par¼a/impar¼a sau periodic¼a.

Observatia 6.7.1 (i) Pentru o functie par¼a sau impar¼a studiem doar restrictia functieila D \ [0;1), deoarece dac¼a f este par¼a, atunci gra�cul ei este simetric fat¼a de axaordonatelor Oy, iar dac¼a f este impar¼a, atunci gra�cul ei este simetric fat¼a de origineaO.(ii) Dac¼a f este periodic¼a, de perioad¼a principal¼a T > 0, studiem doar restrictia lui

f la D \ [0; T ] (pentru c¼a gra�cul functiei se repet¼a pe �ecare interval [kT; (k + 1)T ], cuk 2 Z). Dac¼a functia este, în plus, par¼a sau impar¼a, studiem doar restrictia lui f laD \

�0; T

2

�.

I.3. Se a�¼a intersectiile gra�cului lui f cu axa Oy (punctul de coordonate (0; f(0))) si cuaxa xx0 (rezolvând ecuatia f(x) = 0);I.4. Se determin¼a asimptotele functiei (a se vedea Sectiunea "Limite de functii")

Observatia 6.7.2 (i) Candidate pentru asimptote verticale sunt dreptele x = a, undea 2 D0 sunt punctele în care f nu este de�nit¼a (si în vecin¼atatea c¼arora este nem¼arginit¼a)sau în care f are discontinuit¼ati de specia a doua.(ii) Dac¼a f are asimptot¼a orizontal¼a spre +1 (respectiv, �1), atunci nu are asimp-

tot¼a oblic¼a spre +1 (respectiv, �1).(iii) În caz c¼a f nu are asimptot¼a orizontal¼a spre +1 sau spre �1, c¼aut¼am eventuale

asimptote oblice.(iv) Pentru a pune problema existentei unor eventuale asimptote orizontale/oblice spre

+1 (respectiv, �1) ale lui f , trebuie ca domeniul de studiu al functiei f s¼a �e nem¼arginitsuperior (respectiv, nem¼arginit inferior). De exemplu, o functie periodic¼a nu are niciodat¼aasimptote orizontale sau oblice, pentru c¼a domeniul s¼au de studiu este m¼arginit.

II. Derivata întâiII.1. Se calculeaz¼a f 0 si se a�¼a domeniul ei maxim de de�nitie D1 � D.II.2. Se determin¼a eventualele puncte de întoarcere sau unghiulare de�nite mai jos.

De�nitia 6.7.3 (i) Punctul a 2 D este punct de întoarcere al gra�cului lui f dac¼a f estecontinu¼a în a si f 0d(a) = +1, iar f 0s(a) = �1 (sau invers).(ii) Punctul a 2 D este punct unghiular al gra�cului lui f dac¼a f este continu¼a în a si

exist¼a ambele derivate laterale ale lui f în a, cel putin una dintre ele �ind �nit¼a, dar f nueste derivabil¼a în a (semitangentele la stânga si la dreapta în a la gra�cul lui f formeaz¼aun unghi � 2 (0; �)).

6.7. Reprezentarea gra�c¼a a functiilor 159

Observatia 6.7.4 Evident, punctele de întoarcere sau unghiulare ale gra�cului lui f secaut¼a în D n D1 (multimea punctelor în care f este bine de�nit¼a, dar nu derivabil¼a).Asadar, dac¼a f este derivabil¼a pe tot domeniul de studiu, vom s¼ari aceast¼a etap¼a.

Exemplul 6.7.5 (i) Pentru f : R! R; f(x) = 3p(x� 1)2; punctul x = 1 este punct de

întoarcere pentru c¼a f 0s(1) = �1, iar f 0d(1) = +1 (Figura 6.18)(ii) Pentru f : R! R;

f(x) =

�1� x2; pentru x 2 (�1; 1]lnx; pentru x 2 (1;+1);

punctul x = 1 este punct unghiular pentru c¼a f 0s(1) = �2, iar f 0d(1) = 1 (Figura 6.19).

Figura 6.18: Punct de întoarcere

Figura 6.19: Punct unghiular

II.3. Se rezolv¼a ecuatia f 0(x) = 0, obtinându-se astfel intervalele de monotonie si punctelecritice ale functiei f (a se vedea consecintele Teoremei lui Lagrange si Teorema lui Fermat).Toate informatiile obtinute pân¼a în acest moment sunt trecute într-un tabel de variatie

de forma urm¼atoare:x

f(x)f 0(x)


Observatia 6.7.6 (i) Pentru a determina punctele de extrem, se studiaz¼a punctele cri-tice dar si punctele de discontinuitate ale functiei din interiorul domeniului de de�nitie,capetele de interval închis din domeniu.(ii) Punctele în care functia nu este derivabil¼a, dar are derivate laterale diferite (în

particular, punctele de întoarcere) sunt întotdeauna puncte de extrem local.

III. Derivata a douaAtunci când calculele o permit, pentru o reprezentare gra�c¼a mai �del¼a se studiaz¼a si

derivata a doua a functiei.III.1. Se calculeaz¼a functia f 00 pe domeniul ei maxim de de�nitie D2 � D1;III.2. Se rezolv¼a ecuatia f 00(x) = 0, ceea ce ne va furniza intervalele de convexitate a luif si eventualele puncte de in�exiune, conform de�nitiilor si rezultatelor de mai jos.

De�nitia 6.7.7 Fie I � R un interval. O functie f : I ! R se numeste:(i) convex¼a dac¼a

f(�x+ (1� �)y) � �f(x) + (1� �)f(y); 8x; y 2 I; 8� 2 [0; 1];

(ii) strict convex¼a dac¼a

f(�x+ (1� �)y) < �f(x) + (1� �)f(y); 8x; y 2 I; x 6= y; 8� 2 (0; 1);

(iii) concav¼a dac¼a functia �f este convex¼a;(iv) strict concav¼a dac¼a functia �f este strict convex¼a.

Propozitia 6.7.8 Dac¼a f 00 > 0 pe un interval, atunci f este strict convex¼a pe acel inter-val (gra�cul �tine apa�, ca în cazul functiei din Figura 6.4). Dac¼a f 00 < 0 pe un interval,atunci f este strict concav¼a pe acel interval (gra�cul �nu tine apa�, ca în cazul functieidin Figura 6.5).

De�nitia 6.7.9 Fie I � R un interval si f : I ! R. Punctul a 2 int I se numeste punctde in�exiune al functiei f dac¼a sunt îndeplinite urm¼atoarele conditii(a) f este continu¼a în a;(b) f are derivat¼a (�nit¼a sau in�nit¼a) în a;(c) f îsi schimb¼a convexitatea în a (adic¼a exist¼a r > 0 astfel încât [a� r; a+ r] � I si

f este convex¼a în unul din intervalele [a� r; a], [a; a+ r] si concav¼a în cel¼alalt).

Observatia 6.7.10 Într-un punct de in�exiune gra�cul functiei are tangent¼a (pentru c¼aexist¼a f 0(a)) si tangenta traverseaz¼a gra�cul.

Exemplul 6.7.11 Functia f : R! R dat¼a prin f(x) = x3 � 4x2 are în x = 43un punct

de in�exiune (Figura 6.20).

6.7. Reprezentarea gra�c¼a a functiilor 161

Figura 6.20: Punct de in�exiune

III.3. Se completeaz¼a tabelul de variatie cu informatiile obtinute mai sus:

xf 0(x)f(x)f 00(x)

IV. Reprezentarea gra�c¼a a functieiIV.1. Se deseneaz¼a un sistem cartezian xOy:IV.2. Se reprezint¼a punctele de intersectie cu axele.IV.3. Se reprezint¼a asimptotele si comportarea functiei fat¼a de ele.IV.4. Se reprezint¼a punctele remarcabile din tabelul de variatie.IV.5. Se traseaz¼a gra�cul unind aceste puncte si tinând cont de monotonia si convexitateafunctiei.


6.8 Primitive

Peste tot în cele ce urmeaz¼a J reprezint¼a un interval real, iar C 2 R .

Tabela 6.3: Tabel de integrale nede�nite

FunctiaZf(x)dx

1. f : R! R

f(x) = xn; n 2 N xn+1

n+ 1+ C

2. f : J � (0;1)! R

f(x) = x�; cu � 2 R n f�1g x�+1

�+ 1+ C

3. f : J � R� ! R

f(x) =1

xln jxj+ C

4. f : R! Rf(x) = ex ex + C

5. f : R! R

f(x) = ax; cu a 2 (0;1) n f1g ax

ln a+ C

6. f : J � R n f�a; ag ! R; unde a 2 R�

f(x) =1

x2 � a21

2aln

��x� a

x+ a

��+ C7. f : R! R

f(x) =1

x2 + a2; unde a 2 R� 1

aarctg

x

a+ C

6.8. Primitive 163

FunctiaZf(x)dx

8. f : R! Rf(x) = sinx � cosx+ C

9. f : R! Rf(x) = cosx sin x+ C

10. f : J � R n�(2k + 1)�

2; k 2 Z

�! R

f(x) =1

cos2 xtgx+ C

11. f : J � R n fk�; k 2 Zg ! R

f(x) =1

sin2 x�ctgx+ C

12. f : J � R n�(2k + 1)�

2; k 2 Z

�! R

f(x) = tgx � ln j cosxj+ C

13. f : J � R n fk�; k 2 Zg ! Rf(x) = ctgx ln j sin xj+ C

14. f : R! R

f(x) =1p

x2 + a2; cu a 2 R� ln(x+

px2 + a2) + C

15. f : J ! R, cu J � (�1;�a)sau J � (a;1), unde a > 0f(x) =

1px2 � a2

ln��x+px2 � a2

��+ C


FunctiaZf(x)dx

16. f : J � (�a; a)! R, cu a > 0

f(x) =1p

a2 � x2arcsin

x

a+ C

Fie un interval I � R si o functie ' : I ! R derivabil¼a, cu derivata continu¼a.

Tabela 6.4: Tabel de integrale nede�nite - schimb¼ari devariabil¼a

Primitiva Conditii

1.Z'n(x)'0(x)dx =

'n+1(x)

n+ 1+ C n 2 N

2.Z'�(x)'0(x)dx =

'�+1(x)

�+ 1+ C � 2 R n f�1g; '(I) � (0;1)

3.Z'0(x)

'(x)dx = ln j'(x)j+ C '(x) 6= 0; 8x 2 I

4.Ze'(x)'0(x)dx = e'(x) + C

5.Za'(x)'0(x)dx =

a'(x)

ln a+ C a 2 (0;1) n f1g

6.Z

'0(x)

'2(x)� a2dx =

1

2aln

��'(x)� a

'(x) + a

��+ C a 2 R�; '(x) 6= �a; 8x 2 I

6.8. Primitive 165

Primitiva Conditii

7.Z

'0(x)

'2(x) + a2dx =

1

aarctg

'(x)

a+ C a 2 R�

8.Z'0(x) sin'(x)dx = � cos'(x) + C

9.Z'0(x) cos'(x)dx = sin'(x) + C

10.Z

'0(x)

cos2 '(x)dx = tg'(x) + C '(x) 62

n(2k+1)�

2; k 2 Z

o; 8x 2 I

11.Z

'0(x)

sin2 '(x)dx = �ctg'(x) + C '(x) 62 fk�; k 2 Zg; 8x 2 I

12.Z'0(x) tg'(x)dx = � ln j cos'(x)j+ C '(x) 62

n(2k+1)�

2; k 2 Z

o; 8x 2 I

13.Z'0(x) ctg'(x)dx = ln j sin'(x)j+ C '(x) 62 fk�; k 2 Zg; 8x 2 I

14.Z

'0(x)p'2(x) + a2

dx = ln('(x) +p'2(x) + a2) + C a 2 R�

15.Z

'0(x)p'2(x)� a2

dx = ln��'(x) +p'2(x)� a2

��+ C a > 0; '(I) � (�1;�a)

sau '(I) � (a;1)

16.Z

'0(x)pa2 � '2(x)

dx = arcsin'(x)

a+ C a > 0; '(I) � (�a; a)

Bibliogra�e

[1] T.M. Apostol, Calculus, volumul I, John Wiley & Sons, New York, 1967.

[2] A.D.R. Choudary, C. Niculescu, Real Analysis on Intervals, Springer, New Delhi,2014.

[3] G.M. Fihtenholt, Curs de calcul diferential si integral, volumele I si II, EdituraTehnic¼a, 1963, 1964.

[4] St. Frunz¼a, Analiz¼a Matematic¼a, Partea a II-a, volumul I, curs litogra�at, Universi-tatea �Alexandru Ioan Cuza�din Iasi, 1987.

[5] V. Montesinos, P. Zizler, V. Zizler, An Introduction to Modern Analysis, Springer,Cham, 2015.

[6] M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Manual de Analiz¼a Matematic¼a, volumele Isi II, Editura Didactic¼a si Pedagogic¼a, Bucuresti, 1964.

[7] A. Precupanu, Bazele Analizei Matematice, Editura Universit¼atii �Alexandru IoanCuza�din Iasi, 1993.

[8] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill Inc.,1976.

[9] G. Strang, Calculus, Wellesley-Cambridge Press, 1991.

[10] R.S. Strichartz, The Way of Analysis, Jones and Bartlett, Boston, 2000.

166

Lista rezultatelor principale

Capitolul IMultimea numerelor reale

� Propozitia privind calculul cu numere reale (Propozitia 1.2.2, pag. 6)

� Propozitia privind propriet¼atile modulului (Propozitia 1.2.4, pag. 7)

� Teorema de caracterizare a marginii superioare (Teorema 1.2.5, pag. 8)

� Teorema de caracterizare a marginii inferioare (Teorema 1.2.6, pag. 9)

� Teorema de existent¼a a marginii inferioare (Teorema 1.2.8, pag. 9)

� Proprietatea lui Arhimede (Teorema 1.2.12, pag. 11)

� Propozitia privind unele consecinte ale propriet¼atii lui Arhimede (Propozitia 1.2.13,pag. 11)

� Teorema de existent¼a si unicitate a p¼artii întregi (Teorema 1.2.14, pag. 12)

� Teorema de densitate a lui Q în R (Teorema 1.2.15, pag. 12)

� Teorema de densitate a lui R nQ în R (Teorema 1.2.16, pag. 12)

Capitolul al II-leaSiruri de numere reale

� Propozitia de caracterizare cu " a limitei unui sir numeric (Propozitia 2.1.11, pag.16)

� Propozitia privind m¼arginirea sirurilor convergente (Propozitia 2.1.14, pag. 16)

� Propozitia de caracterizare a limitelor in�nite pentru siruri numerice (Propozitia2.1.18, pag. 17)

� Propozitia privind unicitatea limitei unui sir numeric (Propozitia 2.1.19, pag. 17)

� Propozitia privind operatii cu siruri care au limit¼a (Propozitia 2.1.21, pag. 18)

167

� Propozitia referitoare la treceri la limit¼a (Propozitia 2.1.24, pag. 19)

� Criteriul major¼arii (Propozitia 2.1.24 (ii), pag. 19)

� Teorema clestelui ((Propozitia 2.1.24 (vi), pag. 19))

� Teorema de caracterizare a limitei cu subsiruri (Teorema 2.1.30, pag. 20)

� Corolarul teoremei de caracterizare a limitei cu subsiruri (Corolarul 2.1.31, pag.2.1.31)

� Teorema privind convergenta sirurilor monotone (Teorema 2.1.33, pag. 21)

� Teorema lui Weierstrass de convergent¼a pentru siruri (Teorema 2.1.35, pag. 21)

� Teorema lui Cantor, de intersectie (Teorema 2.1.38, pag. 22)

� Teorema lui Cesàro (Teorema 2.1.39, pag. 22)

� Teorema lui Cauchy de caracterizare a convergentei sirurilor (Teorema 2.1.41, pag.23)

� Criteriul raportului pentru siruri (Propozitia 2.1.44, pag. 25)

� Criteriul privind limita r¼ad¼acinii de ordin n (Propozitia 2.1.47, pag. 26)

� Criteriul lui Stolz-Cesàro (Propozitia 2.1.50, pag. 28)

Serii de numere reale

� Conditia necesar¼a de convergent¼a pentru serii numerice (Teorema 2.2.5, pag. 33)

� Corolarul privind divergenta seriilor (Corolarul 2.2.6, pag. 33)

� Propozitia referitoare la produsul unei serii numerice cu un scalar (Propozitia 2.2.10,pag. 34)

� Propozitia referitoare la suma a dou¼a serii numerice (Propozitia 2.2.11, pag. 34)

� Teorema lui Cauchy de caracterizare a convergentei unei serii numerice (Teorema2.2.13, pag. 34)

� Criteriul de comparatie I (Teorema 2.2.17, pag. 35)

� Criteriul de comparatie II (Teorema 2.2.18, pag. 35)

� Criteriul de comparatie cu limit¼a (Teorema 2.2.19, pag. 36)

� Criteriul lui Cauchy, de condensare (Teorema 2.2.21, pag. 37)

� Criteriul r¼ad¼acinii cu limit¼a (Teorema 2.2.25, pag. 38)

168

� Criteriul raportului cu limit¼a (Teorema 2.2.28, pag. 39)

� Observatia privind divergenta seriilor prin criteriile raportului si al r¼ad¼acinii (Ob-servatia 2.2.29, pag. 39)

� Criteriul lui Raabe-Duhamel (Teorema 2.2.32, pag. 40)

� Criteriul lui Dirichlet pentru serii numerice (Teorema 2.2.36, pag. 43)

� Criteriul lui Leibniz pentru serii numerice (Teorema 2.2.40, pag. 45)

� Criteriul lui Abel pentru serii numerice (Teorema 2.2.41, pag. 45)

� Teorema referitoare la leg¼atura dintre absoluta convergent¼a si convergent¼a (Teorema2.2.44, pag. 46)

� Teorema lui Mertens (Teorema 2.2.52, pag. 48)

� Teorema lui Cauchy privind produsul a dou¼a serii (Teorema 2.2.53, pag. 49)

Siruri si serii de functii. Serii de puteri

� Criteriul lui Cauchy, de convergent¼a uniform¼a pentru siruri de functii (Teorema2.3.9, pag. 51)

� Teorema de caracterizare a uniformei convergente pentru siruri de functii (Teorema2.3.10, pag. 51)

� Criteriul major¼arii pentru siruri de functii (Teorema 2.3.11, pag. 52)

� Teorema de transfer al m¼arginirii pentru siruri de functii (Teorema 2.3.13, pag. 52)

� Criteriul lui Cauchy, de convergent¼a uniform¼a a seriilor de functii (Teorema 2.4.3,pag. 53)

� Criteriul lui Weierstrass (Teorema 2.4.4, pag. 53)

� Criteriul lui Abel pentru serii de functii (Teorema 2.4.6, pag. 54)

� Criteriul lui Dirichlet pentru serii de functii (Teorema 2.4.7, pag. 54)

� Criteriul lui Leibniz pentru serii de functii (Teorema 2.4.9, pag. 55)

� Propozitia de transfer al m¼arginirii pentru serii de functii (Teorema 2.4.10, pag. 55)

� Teorema razei de convergent¼a (Teorema 2.5.2, pag. 55)

� Teorema Cauchy-Hadamard (Teorema 2.5.3, pag. 56)

� Criteriul raportului pentru determinarea razei de convergent¼a (Teorema 2.5.4, pag.56)

169

Capitolul al III-leaNotiuni de topologie pe dreapta real¼a

� Propozitia de caracterizare a multimilor deschise si a multimilor închise (Propozitia3.1.1, pag. 60)

� Propozitia de caracterizare a punctelor aderente cu ajutorul sirurilor (Propozitia3.1.2, pag. 60)

� Propozitia de caracterizare a multimilor închise cu ajutorul sirurilor (Propozitia3.1.4, pag. 60)

� Propozitia de caracterizare a punctelor de acumulare cu ajutorul sirurilor (Propoz-itia 3.1.6, pag. 61)

� Propozitia de caracterizare a multimilor compacte cu ajutorul sirurilor (Propozitia3.1.7, pag. 61)

� Propozitia de caracterizare a multimilor dense (Propozitia 3.1.11, pag. 61)

� Teorema de structur¼a a subgrupurilor aditive ale lui R (Teorema 3.1.12, pag. 62)

� Teorema lui Kronecker (Teorema 3.1.13, pag. 62)

Limite de functii

� Teorema de caracterizare a limitei unei functii într-un punct (Teorema 3.2.2, pag.63)

� Teorema de unicitate a limitei unei functii într-un punct (Teorema 3.2.3, pag. 63)

� Teorema de caracterizare a limitei unei functii într-un punct cu limite laterale (Teo-rema 3.2.8, pag. 64)

� Criteriul major¼arii pentru limite de functii (Teorema 3.2.10, pag. 64)

� Proprietatea de inertie a semnului unei functii cu limit¼a nenul¼a într-un punct (Propoz-itia 3.2.11, pag. 65)

� Propozitia privind trecerea la limit¼a în inegalit¼ati, pentru functii (Propozitia 3.2.12,pag. 65)

� Criteriul clestelui pentru limite de functii (Propozitia 3.2.12 (iii), pag. 65)

� Propozitia privind operatii cu limite de functii (Propozitia 3.2.13, pag. 65)

� Teorema privind limita produsului dintre o functie m¼arginit¼a si una cu limita nul¼a(Teorema 3.2.15, pag. 66)

170

� Criteriul major¼arii în cazul limitelor in�nite (Propozitia 3.2.24, pag. 67)

� Teorema de caracterizare a asimptotelor oblice (Teorema 3.2.27, pag. 67)

� Observatia privind eliminarea nedetermin¼arilor în limite de functii (Observatia 3.2.29,pag. 68)

Continuitate

� Teorema de caracterizare a continuit¼atii cu ajutorul limitei (Teorema 3.3.2, pag. 69)

� Teorema de caracterizare a continuit¼atii într-un punct (Teorema 3.3.4, pag. 69)

� Teorema de caracterizare a continuit¼atii cu ajutorul continuit¼atii laterale (Teorema3.3.7, pag. 69)

� Proprietatea de inertie a semnului pentru functii continue (Propozitia 3.3.8, pag.69)

� Teorema de caracterizare a continuit¼atii globale (Teorema 3.3.13, pag. 71)

� Propozitia privind operatii cu functii continue (Propozitia 3.3.16, pag. 72)

� Propozitia privind compunerea functiilor continue (Propozitia 3.3.17, pag. 72)

� Teorema referitoare la discontinuit¼atile functiilor monotone (Teorema 3.3.20, pag.73)

� Propozitia privind transportul multimilor compacte prin functii continue (Propoz-itia 3.3.21, pag. 73)

� Teorema lui Weierstrass (Teorema 3.3.22, pag. 74)

� Teorema lui Cantor, de continuitate uniform¼a (Teorema 3.3.27, pag. 74)

� Propozitia privind continuitatea uniform¼a a functiilor Lipschitz (Propozitia 3.3.29,pag. 75)

� Teorema de uniform¼a continuitate a functiilor prelungibile prin continuitate (Teo-rema 3.3.31, pag. 75)

� Propozitia referitoare la anularea unei functii continue ce îsi schimb¼a semnul (Propoz-itia 3.3.32, pag. 75)

� Teorema de caracterizare a propriet¼atii lui Darboux (Teorema 3.3.35, pag. 76)

� Teorema referitoare la leg¼atura dintre continuitate si proprietatea lui Darboux (Teo-rema 3.3.36, pag. 76)

� Teorema lui Rowe (Teorema 3.3.40, pag. 78)

171

� Propozitia referitoare la discontinuit¼atile functiilor cu proprietatea lui Darboux(Propozitia 3.3.41, pag. 78)

� Propozitia referitoare la continuitatea si monotonia functiilor injective cu propri-etatea lui Darboux (Propozitia 3.3.43, pag. 79)

� Corolarul privind monotonia functiilor injective si continue (Corolarul 3.3.44, pag.80)

� Teorema de continuitate a functiei inverse (Teorema 3.3.45, pag. 80)

Transfer de limite si de continuitate

� Teorema de transfer al limitei pentru siruri de functii (Teorema 3.4.1, pag. 80)

� Teorema de transfer al continuit¼atii pentru siruri de functii (Teorema 3.4.2, pag.81)

� Teorema de transfer al limitei pentru serii de functii (Teorema 3.4.4, pag. 82)

� Teorema de transfer al continuit¼atii pentru serii de functii (Teorema 3.4.5, pag. 82)

Capitolul al IV-leaDerivabilitate

� Teorema de caracterizare a derivabilit¼atii cu ajutorul derivabilit¼atii laterale (Teo-rema 4.1.9, pag. 85)

� Propozitia privind continuitatea functiilor derivabile (Propozitia 4.1.10, pag. 85)

� Propozitia privind operatii cu functii derivabile într-un punct (Propozitia 4.1.12,pag. 85)

� Propozitia privind compunerea functiilor derivabile (Propozitia 4.1.13, pag. 86)

� Teorema de derivabilitate a functiei inverse (Teorema 4.1.15, pag. 87)

Rezultatele fundamentale ale calculului diferential

� Teorema lui Fermat (Teorema 4.2.2, pag. 88)

� Teorema lui Rolle (Teorema 4.2.5, pag. 88)

� Teorema lui Cauchy, de medie (Teorema 4.2.9, pag. 90)

� Consecinte ale Teoremei lui Lagrange privind monotonia (Propozitia 4.2.11, pag.90)

172

� Consecinta Teoremei lui Lagrange privitoare la existenta derivatei într-un punct(Propozitia 4.2.17, pag. 94)

� Consecinta Teoremei lui Lagrange privitoare la proprietatea Lipschitz (Propozitia4.2.22, pag. 96)

� Teorema lui Darboux (Teorema 4.2.24, pag. 97)

� Sirul lui Rolle (Propozitia 4.2.26, pag. 97)

� Teorema lui Cauchy, de eliminare a unor nedetermin¼ari (Teorema 4.2.27, pag. 97)

� Regula lui L�Hôpital (Teorema 4.2.28, pag. 98)

� Teorema lui Cauchy, de eliminare a unor nedetermin¼ari, forma generalizat¼a (Teo-rema 4.2.36, pag. 101)

� Teorema de caracterizare a derivabilit¼atii cu ajutorul diferentiabilit¼atii (Teorema4.2.38, pag. 102)

Formula lui Taylor. Transfer de derivabilitate

� Formula lui Taylor cu rest Peano (Teorema 4.3.1, pag. 103)

� Consecinta privitoare la stabilirea extremalit¼atii unui punct (Teorema 4.3.2, pag.104)

� Formula lui Taylor cu rest Lagrange (Teorema 4.3.4, pag. 105)

� Formula lui MacLaurin (Propozitia 4.3.5, pag. 106)

� Teorema de transfer al derivabilit¼atii pentru siruri de functii (Teorema 4.4.1, pag.107)

� Teorema de derivare termen cu termen a seriilor de functii (Teorema 4.4.2, pag.108)

Capitolul al V-leaIntegrala Riemann

� Teorema de m¼arginire a functiilor integrabile Riemann (Teorema 5.1.3, pag. 111)

� Corolarul privind neintegrabilitatea Riemann a functiilor nem¼arginite (Corolarul5.1.4, pag. 111)

� Teorema Leibniz-Newton (Teorema 5.1.6, pag. 112)

� Teorema lui Riemann (Teorema 5.1.10, pag. 114)

� Teorema de integrabilitate Riemann a functiilor continue (Teorema 5.2.1, pag. 116)

173

� Teorema de integrabilitate Riemann a functiilor monotone (Teorema 5.2.2, pag.116)

� Teorema referitoare la operatii cu functii integrabile (Teorema 5.2.3, pag. 116)

� Teorema de medie (Corolarul 5.2.5, pag. 118)

� Teorema de aditivitate a integralei Riemann în raport cu intervalul (Teorema 5.2.7,pag. 119)

� Teorema functiei modi�cate (Teorema 5.2.8, pag. 120)

� Teorema de existent¼a a primitivelor functiilor continue (Teorema 5.2.12, pag. 121)

� Teorema privitoare la dependenta de capetele de integrare (Teorema 5.2.13, pag.122)

� Teorema de integrare prin p¼arti (Teorema 5.3.1, pag. 128)

� Teorema schimb¼arii de variabil¼a (Teorema 5.3.2, pag. 128)

Formula lui Taylor. Transfer de integrabilitate

� Formula lui Taylor cu rest integral (Teorema 5.2.15, pag. 123)

� Teorema de transfer al integrabilit¼atii pentru siruri de functii (Teorema 5.2.16, pag.123)

� Teorema de integrare termen cu termen a seriilor de functii (Teorema 5.2.17, pag.124)

� Teorema de derivare si de integrare termen cu termen a seriilor de puteri (Teorema5.2.18, pag. 124)

Integrala Riemann-Stieltjes

� Teorema de reducere a integralei Riemann-Stieltjes la integrala Riemann (Teorema5.4.1, pag. 132)

� Teorema de continuitate a functiilor integrabile Riemann-Stieltjes (Teorema 5.4.4,pag. 132)

� Teorema de integrabilitate Riemann-Stieltjes a functiilor continue în raport cu functi-ile monotone (Teorema 5.4.6, pag. 133)

� Teorema de reversibilitate (Teorema 5.4.7, pag. 133)

� Teorema privitoare la propriet¼atile integralei Riemann-Stieltjes (Teorema 5.4.9, pag.134)

� Teorema de aditivitate a integralei Riemann-Stieltjes în raport cu intervalul (Teo-rema 5.4.10, pag. 135)

174

Calcul diferen‚tial ‚si integral pentru func‚tii de o...

Documents

Transcript of Calcul diferen‚tial ‚si integral pentru func‚tii de o...