8/2/2019 c5 6 Optimizacion de Redes

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MODELOS DE

OPTIMIZACION DE REDES Introduccin

Terminologa. Representacin general Problema del rbol de expansin mnima

Problema del flujo de costo mnimo

Problema de la ruta mas corta Problema del flujo mximo

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INTRODUCCION

Una red es una coleccin de nodos y arcos

Una red podra representar innumerables aplicaciones,

por ejemplo, sistemas de inventarios, sistemas fluviales,sistemas de distribucin, precedencia y orden de

eventos, flowcharts, etc..

Muchas aplicaciones tienen caractersticas de flujo, por

ello se llaman Modelos de flujo en redes

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Representacin del modelos de flujo en redes

[bi] : Produccin del nodo i [bi]= (suma de flujos que salen del nodo i

suma de flujos que entran al nodo i)

(Lk,Ck): Lk es la capacidad mxima de flujo en el arco k. Lij o Uij Ck es el costo unitario del flujo en el arco k. Cij fk es el flujo que pasa por el arco k:fk

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Problema del rbol de expansin mnimo

Se tienen como datos las longitudes de los arcos potenciales. Se desea disear una red, seleccionando los arcos adecuados, de

tal forma que haya un camino entre cada par de nodos. El objetivo es lograr lo anterior minimizando la longitud total de los

arcos elegidos.

Ejemplos de aplicacin:

Diseo de redes de telecomunicacin (fibra ptica). Diseo de redes de transporte, minimizando el costo Diseo de una red de tubera entre varias localidades Diseo de una red de cableado elctrico

EL ALGORITMO: Seleccionar cuaquier nodo y conectarlo al mas cercano Se identifica el nodo no conectado mas cercano a un nodo

conectado y conectarlo. Repetir el paso anterior hasta unir todos los nodos. Si hay

empate, romperlo en forma arbitraria.

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1

2

5

4

3

5

3

2

1

4

4

Ejemplo del rbol de expansin mnimo

Longitud total = 10

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Problema de Flujo a costo mnimo Red dirigida

Al menos uno de los nodos es un nodo fuente ([bi]> 0) Al menos uno de los nodos es un nodo demanda ([bi]< 0) El resto de los nodos son nodos de transbordo ([bi]= 0) Los flujos solo pasan en direccin de las flechas Se busca minimizar el costo total de enviar, a travs de la

red, el suministro disponible para satifacer la demanda.

Aplicacin Nodo fuente Nodo transbordo Nodo demanda

Distribucion de

productos

Plantas de

produccin

Almacenes Consumidores

Deshechosslidos

Fuentes dedeshechos

Tratamientos Rellenos

Programacinde vuelos

Lugares departida

Escalas Lugares de llegada

Ejemplos de aplicaciones

F

LU

J

O

S

?

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Problema de Flujo a costo mnimo Clase general de problema, que comprende, como casos

especiales, a los problemas de transporte, de transbordo, deasignacin, de ruta mas corta y de flujo mximo.

En este problema se define: Xij = nmero de unidades de flujo enviadas del nodo i al

nodo j, a travs del arco ij.

Lij = cota superior del flujo en el arco ij Min Z = ijCij*Xij

s.a.:

j Xij - k Xki = bi una restriccin para cada nodo iflujos que salen de i -flujos que entran a i = produccin del nodo i

Xij =0

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Formulacin del Problema de Flujo a costo mnimo

Min Z = 5X12 + X13 + 4X23 X24 + 3X34

s.a.: X12+X13 = 3

X24+X23-X12 = 0

X34-X13-X23 = 2

-X24-X34 = -5

X12

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Problema de la ruta mas corta Se tienen como datos las longitudes de los arcos. Hay dos nodos especiales, el origen y el destino.

El objetivo es encontrar el camino mas corto del origen al destino.

Ejemplos de aplicacin: Minimizar la distancia total recorrida entre dos ciudades. Minimizar el tiempo total de una secuencia de actividades.

Minimizar el costo total de una secuencia de actividades.

LA FORMULACION: Se puede formular como un problema de flujo de costo mnimo:

El origen tendra una produccin de bi=1

El destino tendra una produccin de bi = -1

Si la red es no dirigida, se reemplaza cada arco no dirigido pordos arcos dirigidos.

No hay que considerar los arcos que llegan al origen, ni los quesalen del destino.

Las distancias entre los nodos ij se convertirn en unidades de

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Ejemplo del problema de la ruta mas corta

1

2

5

4

3

7

2

2

1

4

5

Encontrar la ruta mas

corta desde el nodo 1

al nodo 5

1

2

5

4

3

7

2

2

1

4

5

[1 ]

[ -1 ]

Como

problema de

Flujo de costomnimo

quedara:

Cij

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Problema del Flujo Mximo El flujo se origina en un solo nodo (nodo fuente), y termina en otro

nodo (nodo destino). Los nodos restantes son nodos de transbordo. Los flujos solo pasan en direccin de las flechas Se busca maximizar la cantidad total de flujo desde la fuente al

destino. Ejemplos de aplicacin:

Maximizar la distribucin de productos a los clientes Maximizar el flujo de petrleo a travs de tuberas. Maximizar el flujo de vehculos por una red de transporte.

LA FORMULACION:

Se puede formular como un problema de flujo de costo mnimo: El origen tendra una produccin de bi=V, donde V es una constante,

una cota superior segura para el flujo total.

El destino tendra una produccin de bi = -V

Se crea un arco ficticio que va desde el nodo inicial al nodo final.

El costo del arco ficticio es M, una cantidad constante y grande, elcosto de los dems arcos es 0.

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Problema del Transporte

El flujo se origina en mas de un nodo (nodos ofertas, [bi]>0), y

termina en mas de un nodo (nodos demanda, bi