材 料 力 学

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*第 13 章 塑性变形·极限分析

13.1 概 述

求解一个完整的材料力学问题，一般需同时考虑构件变形的几何关系、力与变形间的物

理关系和静力平衡关系 3 个方面。在前面章节中，力与变形间的物理关系服从虎克定律，应

力与应变间呈线性关系，即变形均限定在线弹性范围内。所以，前面各章节都属于材料力学

的弹性分析的内容。 当变形超过线弹性范围，进入塑性变形阶段时，材料力学问题同样需考虑几何、物理和

静力 3 方面的关系，只是因为所考虑的塑性变形不太大，其几何、静力关系仍旧不变，但物

理关系则有较大变化，其应力与应变间一般呈非线性关系，这种关系与材料的屈服条件、加

载历史及强化规律等复杂因素有关，故使材料力学问题的求解变得复杂。在工程实际中，通

常将这种关系作必要的简化处理，这样考虑材料塑性变形的部分问题就可在材料力学范畴内

得以解决。这就是本章的材料力学的极限分析或塑性分析的内容。

图 13.1 应力-应变图

由拉伸实验可知，典型的低碳钢在轴向拉伸时的应力-应变图如图 13.1（a），由于图

中材料的比例极限、弹性极限和屈服极限 3 点非常接近，可以认为应力在达到屈服极限

以前是弹性的，超过屈服极限材料进入塑性状态。同时，根据图 13.1（a）中曲线的水平

锯齿形屈服阶段的相对尺度可知，材料开始强化时的应变远大于它刚进入塑性时的应

变，在屈服阶段，材料的应变在不断增加，而应力基本保持常量。这样，在塑性变形不

太大的情况下，其应力-应变关系可简化为如图 13.1（b）所示的模型，称为理想弹塑性

模型（elastic perfectly plastic model），即假设材料在屈服前应力-应变关系是线弹性的，

屈服后是完全塑性的，可发生无限制塑性变形，并且材料在拉伸和压缩时有相同的弹

性模量和屈服极限，屈服后从曲线上任一点处卸载，其应力-应变关系曲线与初始加载

曲线平行。 本章所讨论的构件材料都属于这种理想弹塑性模型。利用它进行材料力学强度计算时，

*第 13 章 塑性变形·极限分析

·281·

有两种不同的设计方法： 1．材料在线弹性范围内的许用应力法（allowable stress method）或弹性载荷法（elastic load

method）。它不允许构件或结构中出现任何塑性变形，构件都必须在弹性范围内工作，把构

件危险载面上的危险点处的相当应力σ r 达到材料的极限应力σ u（脆性材料取σ b，塑性材料取

σ s），即危险点丧失承载能力，作为强度计算的标准。并将此时的载荷称为弹性极限载荷，

用 Fe 表示。即

[ ]rσ σ≤ （13.1）

式中，许用应力为 [ ] u

nσ

σ = ，n 为许用应力法的安全因数。采用许用应力法对结构进行分析

称为弹性分析（elastic analysis）。这就是前面章节使用的方法。 2．材料超过线弹性范围，进入塑性变形阶段的许用载荷法（allowable load method）或

极限载荷法（ultimate load method）。它允许构件或结构中存在塑性变形，并把结构的整体

垮塌（collapse），即完全丧失承载能力，作为强度计算的标准。把结构即将垮塌时所承受的

载荷，称作塑性极限载荷，简称极限载荷（ultimate 1oad），记作 Fu，与极限载荷相对应的

平衡状态称为塑性极限状态，简称极限状态。许用载荷法要求构件或结构的实际最大工作载

荷 FPmax 不能大于极限载荷 Fu 除以相应的安全因数 nu，即

[ ]Pmax uF F≤ （13.2）

式中， [ ] uu

u

FF

n= 为许用极限载荷。采用许用载荷法对结构进行分析称为极限分析（ultimate

analysis）或塑性分析（plastic analysis）。 实际上，对于由塑性材料制成的梁，其横截面上应力为非均匀分布，当其中危险点处的

应力达到σ s 时，其它点并未丧失承载能力。只有当横截面上全部点的应力都达到σ s 时，梁

才会失去对塑性变形的制约，进而变成几何可变的“运动机构”，即完全丧失承载能力。 可见，许用应力法是把构件内危险点处所承受的应力作为考虑的对象，而许用载荷法是

把结构整体所能承受的载荷作为考虑的对象。因许用载荷法放松了对塑性变形的限制，所以

能更充分地利用材料和减轻结构自重。 本章将讨论简单结构的极限分析，并与弹性分析结果进行比校。

13.2 杆系·拉压极限分析

对于静定桁架这样的杆系，各杆的轴力均可由静力平衡方程求出。若材料为理想弹塑性

材料，在继续增大载荷的情况下，应力最大的杆件将首先出现塑性变形，当杆系中有任一根

杆件发生无限制塑性变形时，桁架就成为几何可变的“运动机构”，丧失其承载能力，这时

的载荷也就是极限载荷。因此，对于静定桁架而言，其弹性分析与极限分析没有区别。 本节重点则是讨论超静定桁架杆系的极限载荷（包括弹性极限载荷 Fe、塑性极限载

荷 Fu），其问题将比较复杂。下面通过平面桁架杆系实例来说明弹性分析与极限分析间

的异同。

设 3 杆铰接的超静定桁架如图 13.2（a）所示，3 杆的材料相同，其材料为弹性-理想塑

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·282·

性如图 13.1（b）所示，弹性模量为 E = 200 GPa，屈服极限为σ s = 240 MPa。三杆的横截面面

积均为 A = 100 mm2，α = 45°，l3 = 120 mm。承受铅垂载荷 FP 作用。试对超静定桁架作弹性

分析和极限分析，分别求结构的弹性极限载荷 Fe 和塑性极限载荷 Fu。 1．对超静定桁架作弹性分析，求杆系结构的弹性极限载荷 Fe。 当载荷FP较小时，3杆的轴向应力都小于屈服极限σ s，杆件处于弹性状态，由变形的几

何关系，得各杆变形的协调关系为

1 2l lΔ = Δ ， 13 cos

ll

αΔ

Δ = （13.3）

再由物理关系和图 13.2（b）的静力平衡关系可解出杆件的轴力 2

PN1 N2 3

cos1 2cosFF F α

α= =

+， P

N3 31 2cosFF

α=

+ （13.4）

及节点 A 的垂直位移

( )N3 3 P 32

2 2Ay

F l F lEA EA

δ = =+

（13.5）

随着载荷增加，由于杆 3 轴力最大，其横截面上的应力首先达到屈服极限σ s，即

N3 sF Aσ=

此时，对应杆系上的最大弹性载荷即为弹性极限载荷 Fe，如图 13.2（b）所示，即

( )3e P N3 1 2cosF F F α= = + ( )3

s 1 2cosAσ α= + （13.6）

图 13.2 超静定桁架杆系的极限载荷

再将已知数据代入式（13.6），得 杆系弹性极限载荷 Fe = 40.97 kN

*第 13 章 塑性变形·极限分析

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N1 N2F F= = 12.00 kN， N3F = 24.00 kN

节点 A 的垂直位移 ( ) 6

e144 10 mAyδ −= ×

如图 13.2（c）所示。 采用材料力学弹性分析的许用应力法进行强度计算。

设安全系数 n = 2，则此超静定桁架的许可最大的工作载荷 ( )P max eF ，由式（13.1）得

( )( ) [ ]P maxN3 e u s

r 31 2cos

FFA n nA

σ σσ σ

α= = = =

+≤

( ) ( )3 eP max se

40.97 kN1 2cos / 20.49 kN2.0

FF A n

nσ α+ = = =≤

节点 A 的许可最大的垂直位移

( ) ( ) 66

,max144 10 72 10 m

2.0Ay e

Ay e n

δδ

−−×

= = = ×

2．对超静定桁架作极限分析，求杆系结构的塑性极限载荷 Fu。 若载荷达到弹性极限载荷Fe时，杆系并没有丧失承载能力，随着载荷继续增加，杆 3保

持轴力 e sF Aσ= 不变，两边杆受力逐渐增加，但仍处于弹性状态，其轴力由图 13.2（c）的平

衡条件可得，但图中的 Fe 应换成可变载荷 FP，于是

P s PN1 N2

24.0 kN2cos 2cos

F A FF Fσα α

− −= = =

直到两边杆件中的应力都达到屈服极限σ s 时，整个杆系才会因失去对塑性变形的约束而成

为几何可变“机构”，发生机构运动，即完全丧失承载能力。此时的载荷即为塑性极限载荷

Fu，并可由图 13.2（d）的平衡条件得到

u s s(1 2cos ) (1 2) 57.94 kNF A Aσ α σ= + = + =

而即将跨塌时，节点 A 的垂直位移为

( ) 6s 1 s 3u

22 2 288 10 mAy AC

Al ll

EA Eσ σ

δ −= Δ = = = ×

载荷与节点 A 的垂直位移的关系如图 13.2（e）所示。 采用材料力学极限分析的许用载荷法进行强度计算。 设安全系数 u 2n = ，则此超静定桁架的许可最大的工作载荷 ( )P max u

F ，由式（13.2）得

[ ] uPmax u

u

FF F

n=≤

( ) uP max u

u

57.94 kN 28.97 kN2.0

FF

n= =≤

在此载荷下，节点 A 许可最大的垂直位移为

( ) ( ) 66u

,max uu

288 10 m 144 10 m2

AyAy n

δδ

−−×

= = = × 。

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3．用叠加法分析残余应力 载荷达到塑性极限载荷 Fu 后即卸载，卸载过程中各杆的应力-应变关系均为线弹性，弹

性模量与加载时相同，只是由于两边杆的应力刚达到屈服极限，还没有塑性变形。但就杆 3

而言，它已产生了不可恢复的残余变形 ( )3 rlΔ ，即

( ) ( ) ( )3 r u eAy Ayl δ δΔ = − （13.7）

( ) 6 6 63 r

288 10 m-144 10 m 144 10 ml − − −Δ = × × = ×

在逐渐卸载过程中，两边杆试图恢复原长的企图将受到杆 3 的阻止，当载荷卸至零

时，杆 3 内还将存在一定的压应力，而两边杆内同样存在一定的拉应力。这些在完全卸载

后尚存的应力称为残余应力（residual stress），这类似于第二章中因加工误差而引起装配应

力。对于静定桁架，杆件若发生塑性变形后卸载，虽存在残余应变，但由于没有多余约

束，所以不会出现残余应力。对于超静定桁架，若某些杆件发生塑性变形后卸载，也将引

起残余应力。 残余应力采用叠加法进行分析，通过杆系在两种受力状态下各杆内力的叠加而求得。 第一种受力状态是杆系受塑性极限载荷 Fu 作用，所有的杆件都已屈服，如图 13.2（d）

所示，即各杆内力

( ) ( ) ( )N1 N2 N3 su u u24 kNF F F Aσ= = = =

第二种受力状态是设想杆系受反向的塑性极限载荷 Fu，并且认为在整个加载过程中杆

系是弹性的，杆 3 与两边杆的内力按比例增长，最终可由图 13.2（c）按载荷比例求得

( ) ( )N1 N2u u

57.9412 kN 16.97 kN40.97

F F− −

−⎛ ⎞= = × = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )N3 u

57.9424 kN 33.94 kN40.97

F−

−⎛ ⎞= × = −⎜ ⎟⎝ ⎠

叠加以上两种受力状态下各杆的内力，得各杆的残余内力

( ) ( ) ( )Ni Ni Nir u uF F F

−= + （13.8）

( ) ( ) ( )N1 N2r r24.00 16.97 kN 7.03 kNF F= = − = ( ) ( )N3 r

24.00 33.94 kN 9.94 kNF = − = −

则各杆的残余应力分别为

( ) ( )N rr

ii

i

FA

σ = （13.9）

( ) ( ) N11 2r r

70.3 MPaFA

σ σ= = = ( ) N33 r

99.4 MPaFA

σ = = −

平面桁架杆系实例说明了弹性分析与极限分析间的异同，并分析了杆系加载到塑性极限

载荷 Fu 后，再卸载到零时，杆系中各杆内均留有残余应力及其分析方法。 综上所述，考虑塑性的强度计算时，若取安全因数相同，用许用载荷法所得许可最大工

作载荷比用许用应力法所得要大（本例为 41%，即杆系结构承载能力可提高 41%），若杆系

为静定结构，则二者没有区别；若为超静定结构，超静定次数越高，这两种方法所得结果的

差别一般越大。另外，由于卸载后存有残余应力，因此极限分析对交变载荷不适用。

*第 13 章 塑性变形·极限分析

·285·

13.3 圆轴·扭转极限分析

由第 3 章已知，在材料为线弹性的情况下，直径为 d 的圆轴扭转时横截面上任一点的切

应力和截面边缘最大切应力公式为

P

TIρρτ = max 3

P

16π

T TW d

τ = = （13.10）

1．弹性极限扭矩分析 对于理想弹塑性材料，其切应力τ 和切应变γ 的关系如图 13.3 所示。 随着扭矩 T 的逐渐增加，当 eT T= 时，截面边缘的最大切应力 maxτ 首先达到剪切屈服强

度 sτ ，如图 13.4（b）所示。这时相应的扭矩 eT 称为弹性极限扭矩（elastic ultimate），由式

（13.10）可得

emax s

p

TW

τ τ= =

图 13.3 理想弹塑性材料τ -γ 关系 图 13.4 圆轴截面弹性极限扭矩应力分布

从而得到弹性极限扭矩

e s pT Wτ= i （13.11） 3

e sπ16dT τ= （13.12）

2．塑性极限扭矩分析 扭矩继续增大，当 e uT T T＜ ＜ 时，横截面靠近边缘部分应力先后达到 sτ ，并相继屈服而

形成塑性区，如图 13.4（c）所示呈现出弹塑性状态。扭矩再继续增大，当 uT T= 时，横截面

上所有点的切应力全部达到 sτ 时，构件丧失抵抗扭转变形的能力，发生机构运动。呈现出

图 13.4（d）所示塑性极限状态，扭矩 uT 称为塑性极限扭矩（plastic ultimate），为 3/ 2 2

u s s s0

πd 2π d12

d

A

dT Aρτ τ ρ ρ τ= = =∫ ∫ （13.13）

比较式（13.12）和式（13.13），得

u

e

43

TT

= （13.14）

再次应证了考虑塑性的强度计算时，若取安全因数相同，用许用载荷法所得塑性极限扭矩

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比用许用应力法所得弹性极限扭矩大（本例大 33.3%，即圆轴承载能力可提高 33.3%）。 3．残余应力分析 若圆轴加载至塑性极限外扭矩后卸载，在卸载过程中，应力-应变关系为线性弹性关

系，如图 13.5 所示，因此卸载过程中产生的应力可由（13.10）式中的 ρτ 和 maxτ 求得。 当卸载至零时最大应力 maxτ 为

umax s3

16 4π 3

Td

τ τ= = （13.15）

其方向与加载时产生切应力的方向相反，加载过程中产生的切应力与卸载过程产生的切应力

叠加，即为完全卸载后圆轴内的残余应力，叠加过程如图13.5所示，圆轴中心处残余应力为

r1 sτ τ= （13.16）

图 13.5 圆轴中心处残余应力

横截面外缘处的残余应力为

r2 max s s13

τ τ τ τ= − = （13.17）

若改为外径为 D，内径为 d，且 / 0.8d D α= = 的空心圆轴，材料剪切屈服强度为τ s，有

兴趣的读者可分析其弹性极限扭矩和塑性极限扭矩，并与实心圆轴进行比较。

13.4 直梁·弯曲极限分析

无论材料是线弹性的还是塑性的，平面假设均成立。因此，在讨论直梁塑性弯曲时，可

利用梁横截面上沿不同高度的线应变呈直线分布的几何关

系、理想弹塑模型如图 13.6 所示的物理关系以及静力平衡

关系，对梁进行极限分析。 1．弹性极限弯矩分析 在线弹性范围内，梁弯曲时，危险截面上的正应力呈

线性分布，如图 13.7（a）所示。由第 6 章可知，设中性轴为

对称轴，则距中性轴最远的上、下边缘处的最大正应力为

maxz

MW

σ = （13.8）

对于横截高度为 h、宽度为 b 的矩形截面梁，其弹性抗弯截面系数2

6zbhW = 。若是横力

弯曲，因其截面上由剪力引起的切应力相对于正应力非常小而被忽略。在弯矩 M 随载荷增

图 13.6 理想弹塑模型σ - ε 关系

*第 13 章 塑性变形·极限分析

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加而增大的过程中，当最大正应力σ max 达到屈服极限σ s 时，如图 13.7（c），对应的最大弹

性弯矩称为弹性极限弯矩（elastic ultimate moment），简称屈服弯矩（yield moment），记作

Me，有

e szM W σ= i （13.19）

2．塑性极限弯矩分析 随着载荷继续增加，横截面上正应力达到屈服极限σ s 的塑性区域逐渐由上、下边缘向

中性轴扩展，（设弹塑性区的边界到中性轴的距离用 ys 表示，如图 13.7（d）），直至横截

面上所有点的正应力均达到σ s 时，如图 13.7（d），则整个截面完全屈服，对应的弯矩称为

塑性极限弯矩（plastic ultimate moment），简称极限弯矩，记作 Mu。则有

( )2

u s s s s u sd2 4 2 4 4A

h h h h bhM y A b b Wσ σ σ σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ i i i i （13.20）

图 13.7 梁弯曲时危险截面上的正应力分布图

式中，Wu 称为塑性抗弯截面系数。 由式（13.19）和式（13.20）可知，截面上塑性极限弯矩 Mu 与弹性极限弯矩 Me 之比等

于 Wu 与 Wz 之比，即

u u

e z

M Wf

M W= = （13.21）

式中，f 定义为形状系数（shape factor）。 可知，从截面开始屈服到截面完全屈服，梁潜在的承载能力得到了进一步发挥，其承载

能力提高的百分比为

( ) u1 100% 1 100%z

Wf

W⎛ ⎞

− × = − ×⎜ ⎟⎝ ⎠

对于横截高度为 h、宽度为 b 的矩形截面梁 2

u2

/ 4 1.5/ 6z

W bhfW bh

= = =

即表明从截面开始屈服到截面完全屈服，矩形截面的承载能力可提高 1 50%f − = 。不同形

状的横截面有不同的形状系数，几种常用截面的形状系数列于表 13.1。

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表 13.1 几种常用截面的形状系数 f

截面形状 菱形 圆形 矩形 薄壁圆环 工字形

u / zf W W= 2.0 1.7 1.5 1.27 1．15～1.17

( )1 100%f − × 100% 70% 50% 27% 15%～17%

3．中性轴 在弹性阶段，无论中性轴是否是截面的对称轴，都必过截面形心，如图 13.8（a）所示；

但如果中性轴不是截面的对称轴，当截面开始屈服后（比如图 13.8（b）所示的 T 形截面），

弯曲正应力的分布不再是线性的，欲满足轴力为零的平衡方程，中性轴 z′必然逐渐向上平

移；当截面完全屈服（图 13.8（c）），欲满足轴力为零，中性轴 z′′将平分截面面积（即拉

与压区域面积应当相等）。

图 13.8 中性轴的变化情况

4．残余应力分析 在载荷作用下的构件，当其局部的应力超过屈服强度时，这些部位将出现塑性变

形。但构件的其余部分还是弹性的。如再将载荷卸除，已经发生塑性变形的部分不能

恢复其原来状态，必将阻碍弹性部分的变形恢复，从而引起内部相互作用的应力，这

种应力称为残余应力。残余应力不是载荷所致，而是弹性部分与塑性部分相互制约的

结果。且梁的残余应力σ r 等于按加载规律引起的应力和按卸载时线性规律引起的应力

的代数和。 以矩形截面梁受纯弯曲为例，分析矩形截面承受极限弯矩后再卸载到零时截面的残余应

力。假设加载使截面承受的弯矩达到极限弯矩而完全屈服后，再卸载到零。残余应力可由

完全屈服应力状态与反向加载到极限弯矩值（并设材料始终处于弹性）所得应力状态叠加

得到，图 13.9 表示其叠加过程。 对具有残余应力的梁，如再作用一个与第一次加载方向相同的弯矩时，新增加的应力沿

梁截面高度也是线性分布的。就最外层的纤维而言，直到新增加的应力与残余应力叠加的结

果等于σ s 时，才再次出现塑性变形。可见，只要第二次加载与第一次加载方向相同，则因

第一次加载出现的残余应力，提高了第二次加载的弹性范围。这就是工程上常用的自增强技

术的原理。

*第 13 章 塑性变形·极限分析

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图 13.9 残余应力σ r 分布

5．塑性铰 上面讨论了梁截面的屈服弯矩（弹性极限弯矩）Me 和极限弯矩（塑性极限弯矩）Mu，现

举例说明梁的极限载荷的求解方法。 考虑跨中受集中力的矩形截面简支梁，如图 13.10 所示，增加载荷，当跨中（x = 0）处

的弯矩达到极限弯矩 Mu 时，按图 13.10（b）中弯矩图的比例计算，距离跨中为 x 处截面上

的弯矩 M(x)为

u( ) l xM x Ml−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ （13.22a）

由式（13.20），有 2

s( )4

bh l xM xl

σ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

（13.22b）

设 ys 为截面上中性轴到弹塑性区边界的距离，如图 13.7（c）。当截面开始屈服时 s =2hy ，

当截面完全屈服时 ys = 0。那么根据截面上应力的分布，同样可计算出距离跨中为 x处截面上

的弯矩

图 13.10 矩形截面简支梁塑性铰

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22s s s

s s s s s2( ) 2

2 4 2 2 3 4 3y y yh h hM x b y b y bσ σ σ

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − + + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠i i （13.22c）

由式（13.22b）及式（13.22c），得

s3

2h xy

l= （13.23）

上式表明沿梁的长度弹塑性区的边界线是 x 的二次抛物线，塑性区延伸到 / 3x l= ± 处，

整个塑性区由图 13.10（a）中阴影所示，此时梁已不能继续承担载荷，跨中截面两侧的梁在

极限弯矩 Mu 作用下相互转动已不受制约，相当于在跨中截面处形成了一个铰链，在铰链的

两侧作用有大小等于极限弯矩的力偶，力偶的转向与其所在部分的梁绕此铰转动的方向相

反，如图 13.10（c），这样的铰链称为塑性铰（plastic hinge）。显然，梁横力弯曲时，塑性

铰总是在最大弯矩截面处形成。 6．静定梁的极限载荷 对于静定梁，当出现塑性铰时，梁变成几何可变的“机构”，即处于整体垮塌前的极限

状态。产生塑性铰所需的载荷即为梁的（塑性）极限载荷，可根据简单的静力学原理计算求

出。 图 13.10 所示横截高度为 h、宽度为 b 的矩形截面静定简支梁的极限载荷可由

uu 2C B

FM M F l l= = =i i 和式（13.20），得

2u u s

u s2 2M W bhF

l l lσ

σ= = =

【例 13.1】 图 13.11（a）所示等截面静定简支梁，左半部

承受均布载荷 q 的作用，试求梁的极限载荷 qu。 【解】：作静定简支梁的弯矩图，见图 13.11（b）。最大

弯矩 maxM 发生在矩左端 3 /8l 处的 D 截面上，为

2max

9128DM M ql= =

当载荷q增加到使 maxM 达到截面的极限弯矩时，D截面处

出现塑性铰，梁处于极限状态，如图 13.11（c）所示，此时载

荷即为梁的极限载荷，即

2max u u

9128

M q l M= =

故 uu 2

1289

Mq

l=

7．超静定梁的极限载荷 对于超静定梁，情况则有所不同。对一次超静定梁，当出现第一个塑性铰时，并不会引

起梁的完全破坏，这是因为一方面塑性铰抵消了多余约束使超静定梁成为静定梁；另一方面

在塑性铰截面处仍可承担极限弯矩的作用。在继续加载的情况下，梁的弯矩将重新分配，塑

性铰截面处的弯矩保持极限弯矩不变，而其他截面的弯矩将增大，直到第二个塑性铰出现，

图 13.11 例 13.1 图

*第 13 章 塑性变形·极限分析

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梁才处于垮塌的极限状态。因此，产生第二个塑性铰时的载荷即为梁的极限载荷。对 n 次超

静定梁，同样可推出，当出现 n + 1 个塑性铰时，梁处于垮塌前的极限状态，相应的载荷即

为该梁的极限载荷。 【例 13.2】 试求图 13.12（a）所示一次超静定等截面梁最大弹性载荷与极限载荷的比值。 【解】：设想载荷 F 从零逐渐增加，当梁处于弹性阶段，弯矩图如图 13.12（b）所示，

最大弯矩 M1 产生于固定端 A 处。随着载荷增加，截面 A 上最大应力首先达到屈服极限，此

时截面 A 上的弯矩为最大弹性弯矩，梁的载荷为最大弹性载荷

ee

163M

Fl

= （13.24）

继续增大载荷 F，截面 A 处首先形成塑性铰，梁变为静定的简支梁，除原载荷 F 外，在

截面 A 处承受大小为极限弯矩 Mu 的力偶，如图 13.12（c）。再进一步增大载荷 F，直到截面

C 也形成塑性铰，梁成为几何可变的“机构”，处于垮塌的极限状态，如图 13.12（d）。

图 13.12 例 13.2 图

再研究梁处于极限状态时刻的平衡，可确定极限载荷的大小。

考虑整体，由 0AM =∑ ，得

uu 0

2 BF l

M F l− + = （13.25）

考虑 CB 部分，由 0CM =∑ ，得

u 02BF lM− + = （13.26）

由式（13.25）和式（13.26）可得

uu

6MF

l= （13.27）

根据式（13.24）和式（13.26）可得极限载荷与最大弹性载荷的比值

u u u

e e

9 9 98 8 8z

F M Wf

F M W= = =

材 料 力 学

·292·

明显地，在静定梁中 Fu 与 Fe 的比值即为截面形状系数 f。超静定梁中 Fu 与 Fe 比值的增

加是因为梁中一个截面被破坏（形成塑性铰），其他部分开始承受附加载荷，使弯矩重新分

配，从而增大了超静定梁的极限强度。 8．用虚位移原理求梁的极限载荷 极限载荷是根据梁处于极限状态时的平衡条件来确定的。这使得我们可以应用虚位移原

理（principl Of Virtual displacement）来求解极限载荷。虚位移原理指出：一刚体体系在一力

系作用下处于平衡，则在该体系产生微小虚位移的过程中，力系所作的功之和必定为零。在

极限状态下，可忽略梁各部分的弹性变形，将其可看成由塑性铰相连的刚性杆件， 用虚位移求【例 13.2】极限载荷。在图 13.12（d）中，设给定杆 AC 沿机构运动方向产

生一微小虚位移δ θ ，则杆 BC 将转过相同的角度δ θ ，点 C 将垂直向下移动 / 2lδθ i 。在整

个虚位移过程中，截面 A 处的极限弯矩所作虚功为 uM δθ− ，截面 C 处的极限弯矩所作虚功

为 u2M δθ− （负号是因为 Mu 的转向与δ θ 转动方向相反）。极限载荷 Fu 所做的功为 u 2lF δθ i，

所以虚功方程为

u u u2 02

lF M Mδθ δθ δθ− − =i

消去定义的虚位移δ θ ，得

uu

6MF

l=

可见，所得结果与式（13.27）相同。 【例 13.3】 试用虚位移原理求解如图 13.13（a）所示的等截面超静定梁的极限载荷 Fu。 【解】：在前面的例子里，我们是根据梁在弹性范围内的弯矩图来确定极限状态时塑性铰

的位置的，这往往需要进行超静定分析。其实，极限分析只需找出所有可能的极限状态，并

计算其相应的极限载荷，最后加以比较，其中最小的极限载荷即为梁真正的极限载荷。 本题在截面C和D处施加两个集中载荷，梁中弯矩的峰值将发生于载荷或支座反力所作

用的截面 A、C 及 D 处，其中任意两个截面出现塑性铰，梁即处于极限状态，共有 3 种可能

性，其极限状态分别如图 13.13（b）、图 13.13（c）和图 13.13（d）所示。

图 13.13 例 13.3 图

*第 13 章 塑性变形·极限分析

·293·

对于图 13.13（b）所示极限状态，虚功方程为

u1 u2 u u 2 02 4

l lF F M Mθ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i i

因恒有 u1 u u2 u2F F F F= =， ，可得

uu

3MF

l=

同理，由虚位移原理，图 13.13（c）、图 13.13（d）所示极限状态的极限载荷分别为

uu

52M

Fl

=

uu

6MF

l=

比校这 3 个结果，其中最小的极限载荷即为本超静定梁真实的极限载荷，即 uumin

52M

Fl

= ，

所对应的极限状态为图 13.13（c）所示。 【例 13.4】 试求图 13.14（a）所示等截面超静定连续梁的极限载荷（设 EI 为常量）。 【解】：图 13.14（a）所示超静定梁，已知 /16AF ql= ， 17 /16BF ql= ， 3 /8DF ql= ，作

弯矩图如图 13.14（b）。可知，随载荷的增加截面 C 首先形成塑性铰，然后，当截面 B 形成

塑性铰时，梁处于极限状态（图 13.14（c））。

图 13.14 例 13.4 图

考虑 BD 段极限平衡状态，由 0BM =∑ ，有

u u 04 2Dl lM F F− + = （13.28）

考虑 CD 段极限平衡状态，由 0CM =∑ ，有

u 04DlM F− + = （13.29）

材 料 力 学

·294·

由式（13.28）与式（13.29），得

u s uu

12 12M WF

l lσ

= = （13.30）

对于超静定连续梁，通常垮塌仅出现在其中一跨。在解此题时，不同的载荷是按比例

（本例为 /F q l= ）增加的，若改变载荷比例（比如 / / 4F q l= ），则极限状态有可能改变，

此时另一种可能的极限状态由图 13.14（d）所示。本题也可用虚位移原理求解。

思 考 题

思 13.1 何谓许用应力法？何谓许用载荷法？构件的失效和结构的整体垮塌有什么不同？ 思 13.2 服从理想弹塑性模型的材料应满足什么条件？ 思 13.3 何谓弹性分析？何谓塑性分析或极限分析？

思 13.4 杆件、圆轴和梁的极限内力与极限载荷相同吗？ 思 13.5 什么是塑性铰？试比较塑性铰和普通铰的异同。 思 13.6 什么是残余应力？为什么说极限分析对交变载荷不适用？

分 类 习 题

☆【13.1 类】 计算题（拉压杆系·极限分析） 题 13.1.1 试求如图所示结构的极限载荷，已知每个杆件达到屈服时的受力为 24 kN。 题 13.1.2 一水平刚性杆 AC，A 端为固定铰链支承，在 B、C 处分别与两根长度 l、横

截面面积 A 和材料均相同的等直杆铰接，如图所示。两杆的材料可理想化为理想弹塑性模

型，其弹性模量为 E、屈服极限为σ s。若在刚性杆的 D 处承受集中载荷 F，试求结构的屈服

载荷 Fs 和极限载荷 Fu。

题 13.1.1 图 题 13.1.2 图

题 13.1.3 刚性梁 AB 由 4 根同一材料制成的等直杆 1、2、3、4 支承，在 D 点处承受铅 垂载荷 F，如图所示。4 杆的横截面面积均为 A，材料可视为理想塑弹性模型，其弹性模量

为 E、屈服极限为σ s。试求结构的极限载荷。

*第 13 章 塑性变形·极限分析

·295·

题 13.1.4 刚性杆 AB 支于 C 支座上，并由 3 根理想弹塑性材料制成的杆件拉住，B 端 承受载荷 F，如图所示，设拉杆的截面积均为 A，试求最大弹性载荷及极限载荷。

题 13.1.3 图 题 13.1.4 图

题 13.1.5 如图所示两端固定等截面杆 AC，截面积为 A，材料服从理想弹塑性模型， 屈服应力为σ s，弹性模量为 E，试求最大弹性载荷及极限载荷，并求出对应的 B 截面的位

移，设 1 2l l＞ 。

题 13.1.5 图

☆【13.2 类】 计算题（圆轴扭转·极限分析） 题 13.2.1 空心圆轴截面如图所示，材料为理想弹塑性材料，试求极限外扭矩 Tu 与最

大弹性外扭矩 Ts 之比。 题 13.2.2 空心圆轴外径为 120 mm，内径为 100 mm，由理想弹塑性材料制成，剪切屈

服应力τ s = 100 MPa，剪力模量 E = 200 GPa，试确定最大弹性外扭矩 Ts 及极限外扭矩 Tu，若

外扭矩在达到极限扭矩后完全卸去，试求残余切应力的分布。 题 13.2.3 等直圆轴的截面形状如图所示，实心圆轴的直径 d = 60 mm，空心圆轴的内、

外径分别为 d0 = 40 mm，D0 = 80 mm。材料可视为理想弹塑性材料，其剪切屈服极限

τ s = 160 MPa。试求两轴的极限扭矩。

题图 13.2.1 题 13.2.3 图

题 13.2.4 如图所示阶梯圆轴由理想弹塑性材料制成，粗轴直径为 d，细轴直径为

材 料 力 学

·296·

d/2，跨中承受集中外扭矩 T，若剪切屈服应力为σ s，试求最大弹性外扭矩 Ts 及极限外

扭矩 Tu。

题 13.2.4 图

☆【13.3 类】 计算题（梁的弯曲·极限分析） 题 13.3.1 试求图示受均布载荷矩形截面简支梁，在极限载荷时塑性区的形状及范围，

设 d 为截面上中性轴到弹塑性区边界的距离。 题 13.3.2 矩形截面 b × h 的直梁承受纯弯曲，梁材料可视为理想弹塑性，弹性模量为

E，屈服极限为σ s。当加载至塑性区达到 h/4 的深度（如图所示），梁处于弹性-塑性状态时，

卸除载荷。试求：（1）卸载后，梁的残余变形（残余曲率）；（2）为使梁轴回复到直线状

态，需施加的外力偶矩。

题 13.3.1 图 题 13.3.2 图

题 13.3.3 如图所示矩形截面简支梁长 l =1200 mm，跨中 C 截面承受集中载荷 FP，试 问当 C 截面处中性轴到弹塑性区边界的距离 d = 24 mm 时，载荷的大小及塑性区沿梁的长

度 a。

题 13.3.3 图

题 13.3.4 受均布载荷作用的简支梁如图所示。已知该梁的材料可视为理想弹塑性，屈 服极限σ s = 235 MPa。试求梁的极限载荷。

题 13.3.5 矩形截面简支梁受载如图所示。已知梁的截面尺寸为 b = 60 mm，h = 120 mm； 梁的材料可视为理想弹塑性，屈服极限σ s = 235 MPa。试求梁的极限载荷。

*第 13 章 塑性变形·极限分析

·297·

题 13.3.4 图（单位：mm） 题 13.3.5 图

题 13.3.6 试求图示梁的极限载荷及塑性铰的位置。

题 13.3.6 图

题 13.3.7 试求图示梁的极限载荷 Fu 及 qu。

题 13.3.7 图

题 13.3.8 如图所示等截面梁在 C 处受集中力 FP，在 D 处受集中力βFP，其中β 为一正 的系数，试求此梁的极限载荷 Fu，并求出使梁的总极限载荷取最大值时的β 。

题 13.3.9 试求图示两跨梁的极限载荷，假设系数β = 1 或β = 2/3。

题 13.3.8 图 题 13.3.9 图