Bonnet RuptureEtPlasticite 2008

Rupture et plasticit e

Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e


23 septembre 2008

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Objet du coursCours de Mcanique des milieux continus (MEC 431) : e Description du mouvement dun milieu continu (dformations, compatibilit) ; e e Description des eorts intrieurs : notion de contrainte (quilibre) ; e e Elasticit linaire (comportement) ; e e Elments de calcul des structures en matriau lastique linaire e e e e Et ensuite ? Dynamique et vibrations des structures (MEC 434, anne 2) ; e Modlisation des structures lances (MEC 553, anne 3) ; e e e e Mthodes numriques de rsolution (MEC 568, anne 3) ; e e e e Comportements irrversibles des matriaux et structures (MEC 551) e e


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Objet du cours :But : modliser le comportement des matriaux et des structures hors e e de leur domaine dlasticit (les processus de dformation ne sont plus e e e rversibles). e Prsenter deux sources dirrversibilit conditionnant le dimensionnement e e e des structures : rupture fragile ; plasticit e

Notion unitaire de force thermodynamique, permettant lanalyse des deux types dirrversibilit e e Concepts adapts au calcul des structures dans des conditions o` leur e u comportement est irrversible. e


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Plan du coursComportements non linaires des matriaux solides e e Rupture fragile Singularits de contrainte et tnacit des matriaux e e e e Analyse nergtique de la propagation dune ssure I e e Analyse nergtique de la propagation dune ssure II. e e Fissuration par fatigue Plasticit e Comportement lasto-plastique e Dissipation plastique Structures lasto-plastiques standards e Charges limites Amphi 5 Amphi 6 Amphi 7 Amphi 8 Amphi 2 Amphi 3 Amphi 4 Amphi 1


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Equipe enseignanteAmphis : Marc Bonnet, LMS Ecole Polytechnique [email protected] Petites classes : Stphane Andrieux, EDF R et D, Clamart e [email protected] Eric Lorentz, EDF R et D, Clamart [email protected] Renaud Masson, CEA, Cadarache, [email protected] Cours cr et initialement donn par Pierre Suquet, LMA (CNRS), Marseille. ee e


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Organisation pratique du coursDroulement du cours : e 8 amphis : 23/09, 30/09, 07/10, 14/10, 04/11, 18/11, 25/11, 02/12 (08h3010h00, Amphi Gay-Lussac sauf amphi 2, P. Faurre) 9 sances de PC : 23/09, 30/09, 07/10, 14/10, 04/11, 18/11, 25/11, e 02/12, 09/12 (10h1512h00 ou 13h1515h00, PC 37, 38 ou 40) Supports : Polycopi par P. Suquet ; e Page internet du cours, accessible ` partir de a www.lms.polytechnique.fr/users/bonnet/enseignement.html ou depuis le catalogue des cours (lien) : documents PDF Polycopi ; e Amphis ; Sujets de PC ; Contrles des annes antrieures o e e

Contrle des connaissances : o Devoir (Mcanique de la rupture), sujet distribu le 07/10, copie ` remettre e e a (scolarit) le 07/11, coecient 40% ; e Examen crit (Plasticit, analyse limite), le 16/12, coecient 60% e eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 6 / 53

Amphi 1 : Comportements non linaires des matriaux solides e e


1. Varit des comportements macroscopiques e e

2. Diversit des mcanismes microscopiques e e

3. Crit`res (transition dun rgime de comportement ` un autre) e e a Rappels sur les contraintes Crit`res bass sur le vecteur contrainte. e e Crit`res bass sur le tenseur de contrainte e e

4. Exemples de rupture en torsion


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Varit des comportements macroscopiques e e

Plan

1. Varit des comportements macroscopiques e e





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Essai de traction uniaxialeDans la zone utile de lprouvette : e = F , S = L . L0

F , L : relatifs ` la structure. a , : relatifs au matriau. e

Loi de comportement (matriau) e = relation entre et (et leurs drives en temps...) e e Equilibre de la structure : Puissance des eorts intrieurs + puissance des eorts extrieurs = 0 e e d = F L. V


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Rgime lastique (le plus souvent linaire), rversible e e e eFaibles valeurs de la dformation : e 0 103 Relation linaire entre contrainte et e dformation uniaxiales e = E . E : Module dYoung, tr`s variable selon le matriau considr : e e ee E = 2 MPa (caoutchouc) ... E = 30 000 MPa (bton) e E = 70 000 MPa (aluminium) E = 190 000 MPa (acier inox)E 0.001

(MPa)

E = 400 000 MPa (bres de carbone HM)


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Charge au-del` de la limite dlasticit a e e(a) Matriaux fragiles (cramiques, mtaux et polym`res ` basse temprature...), e e e e a e Matriaux endommageables (bton, certains composites...) e e

Compression

Traction

Verre (fragile brutal)

Bton (endommagement progressif) e

Fragilit : e Faible aptitude ` supporter des da e formations au-del` du rgime lastique. a e eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e

Endommagement : Dgradation des proprits (raideur E e ee notamment) au del` du rgime lastique. a e e23 septembre 2008 11 / 53



Charge au-del` de la limite dlasticit a e e(b) Matriaux ductiles (mtaux, certains polym`res...) e e e

(MPa) 0 domaine non linaire

(MPa)200

100 0.1 5

0.001 domaine de linarit

(%)

Acier inox

Acier doux

Ductilit : aptitude ` supporter des dformations leves (qq % ` qq dizaines de %) e a e e e a


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Charge-dcharge sur matriaux ductiles e ePlasticit : Aptitude ` la mise en forme e a (apr`s dformation et dcharge, il subsiste des dformations permanentes). e e e eA 0

A

Charge O A. Dcharge A B parall`le au trajet lastique. e e e Dformation rsiduelle P en B. e e

O

B

p

el

Charge B A A B. Limite lastique initiale (en partant de 0) : 0 e Limite lastique actuelle (en partant de B) : A . e

Dcomposition de la dformation : partie lastique el et partie plastique P e e e = el + P . Ecrouissage : la limite dlasticit dpend de la dformation plastique. e e e eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 13 / 53



Plasticit parfaite (absence dcrouissage) e e

(MPa)200

100 0.1 5

(%)

Mod`le parfaitement plastique e

Acier doux

Lacier doux est un acier ` plateau. La dformation plastique naecte quasiment a e pas la limite dlasticit. e e Approximation : Mod`le lastique parfaitement plastique o` la limite e e u dlasticit est constante (absence dcrouissage). e e eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 14 / 53



Comportement complexe de certains matriaux eExemple du composite Carbone + epoxy [0,90], compos de couches e dunidirectionnels identiques mais croises ` 00 et 900 : e a

Essai

Traction ` 00 : a Comportement fragile

Traction ` 450 : a Comportement plastique


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Rcapitulation. Premiers enseignements e

Il existe une grande varit de comportements. e e Extrmes : le comportement fragile et le comportement lasto-plastique e e Fragile : pas de dformation plastique avant rupture. e Ductile (ou plastique) : dformations plastiques substantielles avant rupture. e

La nature du comportement (fragile, ductile) nest pas intrins`que, mais e dpend de la temprature ou dautres facteurs (hygromtrie pour le bois...). e e e Dans tous les cas, il faut exprimer une transition entre un rgime de e comportement et un autre (limite dlasticit, seuil dendommagement). e e = mcanismes microscopiques, essais multiaxiaux. e


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Diversit des mcanismes microscopiques e e

Plan

1. Varit des comportements macroscopiques ee





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Diversit des mcanismes microscopiques e eLes mcanismes sont dirents : e e selon les comportements : fragile, ductile ; selon la microstructure des matriaux : mtaux (cristallins), verres e e (amorphes), polym`res, composites, cramiques... e e Mtal = Matriau polycristallin e e

Polycristal = Assemblage de grains lmentaires. eeDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 18 / 53



EchellesRotatione 3 e

2

e

1

(a)

(b)

(c)

(a) Echelle atomique (nanom`tre ou moins) : rseau priodique. e e e structure cristallographique (cubique centre, cubique faces centres, e e hexagonale...) (b) Echelle microscopique (1 ` quelques dizaines de microns) : monocristal. a orientation xe du rseau. e (c) Echelle msoscopique (centaine de microns) : polycristal. e (d) Echelle macroscopique, laboratoire (centim`tre) : prouvette. e e (e) Echelle macroscopique, ingnieur (du centim`tre au m`tre) : structures. e e eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 19 / 53



Mcanismes de rupture fragile : clivage e

Faci`s de rupture fragile ` lchelle du polycristal e a e

Clivage : surfaces lisses et planes. Dpendent de lorientation des grains. e


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Mcanisme de clivage ` lchelle atomique e a eClivage : sparation le long dun plan atomique. e

U

= U

Position dforme Position initiale a a0

a max a0

a

b

U potentiel interatomique : Minimiser U(a) a. Le clivage est activ par la contrainte normale aux plans atomiques faibles. e Mcanisme dominant dans les matriaux fragiles. e e


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Mcanismes de dformation plastique (mtaux) : glissement e e e

Traction sur monocristal de Zinc

Compression sur monocristal dAluminium


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Glissementx a0 b Position initiale Position dforme

U

b xmax

x

Le glissement est activ par la contrainte de cisaillement sur les plans e atomiques dont les liaisons sont les plus faibles. Dans les matriaux cubiques faces centres (CFC) ce sont les plans denses. e e Glissement = mcanisme dominant en Plasticit. e e Le glissement laisse le rseau globalement invariant, ce qui permet de e multiplier les glissements et daugmenter la dformation. eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 23 / 53



Glissement : exemple du cuivre (structure cubique faces centres) e

m m n

m

4 plans denses ; Le glissement respecte linvariance du rseau atomique : 3 directions e invariantes par plan = 12 syst`mes de glissement. eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 24 / 53



Le glissement en bloc est-il possible ?

Contrainte de cisaillement priodique : e x Position initiale Position dforme

max sin

x 2x , = . b a0

A lorigine : = = max 2a0 = max , b (a0 b). 2 6

a0 b

max xmax b x

Cette valeur thorique nest observe que e e dans les chantillons de tr`s petite taille : e e whiskers .

Valeurs communment observes : e e max /1000.

= Glissement en bloc impossible. Calcul et rsultat analogue pour le clivage. eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 25 / 53



Glissement progressif : dislocations.

Dislocation

Plan de glissement

Dfauts dans la structure atomique du rseau : O(1013 ) / cm3 e e Analogie : un pli dans un tapis est plus facile ` dplacer quun tapis en bloc ! a e

= Ordre de grandeur de la contrainte de cisaillement correct.Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 26 / 53



Enseignements ` tirer pour un polycristal aOrientation alatoire des grains. e Clivage : activ par la contrainte normale au plan sur lequel le clivage se e produit. Glissement : activ par la contrainte de cisaillement dans la direction dans e laquelle se produit le glissement. La prsence de dfauts est ncessaire pour expliquer les ordres de e e e grandeur des contraintes de clivage ou de glissement. Microssures, dislocations...


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Crit`res (transition dun rgime de comportement ` un autre) e e a

Plan






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Plan






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Notion de vecteur contrainteSert ` la description des eorts intrieurs. a e T (n) : densit surfacique deorts exercs par 1 sur 2 sur la facette de e e normale n.n T x

1

n n (n) (n)

T(n)

T (n) = T (n) : action-raction e = T .n = Ti ni : contrainte normale > 0 : traction ; < 0 : compression

2

T(n)

n n

(n) = T n : contrainte tangentielle, ou de cisaillement.


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Tenseur des contraintes de Cauchy.Ltat de contrainte (traction, compression, cisaillement) dpend de la facette n e e sur laquelle on consid`re T (n) : e R3 R3 : Proprits du tenseur des contraintes : ee est symtrique. e est diagonalisable : (e 1 , e 2 , e 3 ) : = 1 e 1 e 1 + 2 e 2 e 2 + 3 e 3 e 3 T (n) = .n.

Proprit caractristique : le cisaillement est nul sur les facettes principales e e e de contrainte.


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Quelques exemples (pour se rafra chir la mmoire) eTraction simple_ e2 _ e1

Cisaillement pur_ v + _ u

F

F

_ e2 _ e1

= e 1 e 1, = F /S.

= (e 1 e 2 + e 2 e 1 ), = u u v v.


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Plan






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Interfaces ` rsistance limite a e e

_ nI

2

Interface

1

Dcollement (Contrainte normale) : e

(nI ) c .

Cisaillement (Contraintes tangentielles) :| (nI )| c . c et c : caractristiques matriau de linterface. e e


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Monocristal : crit`re de clivage ePlans de clivage facile, de normale n(p) .

n

Sup (n(p) ) cp=1,...,P

Si

Sup (n(p) ) < c :p=1,...,P

pas de clivage ; Si p tel que (n(p) ) = c : clivage sur le(s) plan(s) p o` la contrainte u critique est atteinte.Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 35 / 53



Monocristal : crit`re de glissement eP plans de glissement, N syst`mes de glissement (n(k) , m(k) ). e

m m n

m

Cission rduite sur le syst`me k : e e Sup (k) ck=1,...,P

(k) = (.n(k) ).m(k) = m(k) ..n(k) . Si Sup (k) < c :k=1,...,P

pas de glissement ; Si k tel que (k) = c : glissement sur le(s) plan(s) de normale n(k) et dans la direction m(k) .Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 36 / 53



Polycristal isotrope : crit`re de clivage, crit`re de glissement. e e

Orientation alatoire des grains. e = Pas de plan privilgi. e e Matriau fragile : clivage. e Matriau ductile : glissement. e Clivage : Sup (n) 0|n|=1

Glissement : Sup | (n)| k|n|=1

Crit`re de la contrainte normale e maximale.

Crit`re du cisaillement maximal (Tresca) e


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Contrainte normale maximale.Dans la base principale 1 =0 0 de contrainte (1 2 3 ) : 0 0 n1 1 n1 2 0 , n = n2 , T (n) = 2 n2 0 3 n3 3 n32 2 2 (n1 + n2 + n3 = 1)

2 2 (n) = n.T (n) = 3 (3 1 )n1 (3 2 )n2 3 .

Maximum = 3

atteint pour n1 = n2 = 0, n3 = 1.

La contrainte normale maximale est gale ` la plus grande contrainte principale 3 . e a Elle est atteinte sur la facette principale de normale e 3 . Sup (n) = 3 0 .|n|=1

0 : contrainte limite en traction simple du matriau eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 38 / 53



Crit`re de Tresca (cisaillement maximal) : Sup | (n)| < k eDans la base principale 1 =0 0 de contrainte (1 2 3 ) : 1 n1 0 0 n1 2 0 , n = n2 , T (n) = 2 n2 n3 3 n3 0 32 2

2 2 2 2 2 2 |T (n)| = | (n)| + (n)2 = 1 n1 + 2 n2 + 3 n3 3 1 2 1 + 3 2 2 2 (n) (2 1 )(3 2 )n2 . | (n)| = 2 2 1 + 3 2 2 Maximum atteint pour n2 = 0, (n) = i.e. n1 = , n3 = . 2 2 2

Le cisaillement maximal est gal ` la moiti de la plus grande dirence entre e a e e contraintes principales. Il est atteint sur les facettes qui ont pour normale lune des bissectrices des directions e 1 et e 3 . 2 Sup | (n)| = 3 1 0 .|n|=1

o` 0 = 2k u

k : contrainte limite en cisailllement ; 0 : contrainte limite en traction simpleDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 39 / 53



Proprits du crit`re de Tresca e e eLe crit`re de Tresca (ou du cisaillement maximal) est insensible ` la e a pression : 1 = 1 p, = 2 p, = pi = 2 3 = 3 p De faon plus gnrale : c e e T (n) = T (n) pn, = (n) = (n) p, (n) = (n).

Le crit`re de Tresca ne dpend pas de la contrainte principale e e intermdiaire 2 : e 3 1 . Sup | (n)| = 2 n=1


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Plan






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Crit`res bass sur le tenseur de contrainte e eAccord du crit`re de Tresca avec lexprience pas toujours bon. e e Contraintes principales parfois lourdes ` calculer. a Crit`re non direntiable, source de dicults en calcul numrique e e e e On exprime souvent les crit`res en fonction du tenseur des contraintes : e f () 0. Fonction f permettant dexprimer une limitation du cisaillement ?


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Parties sphrique et dviatorique de e eDcomposition orthogonale de en partie sphrique et dviateur : e e e3 p iDeviateurs

= m i + s,m i

a

en utilisant la dcomposition orthogonale de e tout R3 s R3 :2

= m i + a, m = 1 tr(), tr(m i) = tr(), 3 = tr(a) = 0, = i : a = tr(a) = 0.

1


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Crit`re de von Mises eRappel : laddition dune pression ne change pas le cisaillement = pi = (n) = (n).

En particulier (avec p = m ) : et s ont mme vecteur cisaillement sur toutes les facettes. e Consquence : mesure du cisaillement par s e quivalente : e eq =3 2 2

= sij sij , ou par la contrainte1/2 1/2

s

i.e. eq =

3 s:s 2

=

3 sij sij 2

Crit`re de von Mises : e eq 0 .


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ExemplesTraction simple_ e2 _ e1 +

Cisaillement pur_ v _ u

F

F

_ e2 _ e1

= e 1 e 1, tr() = , 2 1 1 s = e1 e1 e2 e2 e3 e3 , 3 3 3 eq = .

= (e 1 e 2 + e 2 e 1 ), tr() = 0 s = , eq = 3 | | .

eq : scalaire permettant de comparer un tat de contrainte triaxial ` un e a tat de contrainte uniaxial quivalent (normes du cisaillement gales). e e e e Cest la raison dtre du facteur 3/2 dans la dnition de eq . eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 45 / 53



Proprits du crit`re de von Mises e e eLe crit`re de von Mises est insensible ` la pression : e a = pi = s = s, = eq = eq .

Le crit`re de von Mises dpend de la contrainte principale e e intermdiaire 2 : e ( eq )2 = 1 (1 3 )2 + (2 1 )2 + (3 2 )2 2

Il est donc dirent du crit`re de Tresca. e e 0 : limite en traction simple du matriau (pour le phnom`ne considr) ; e e e ee 0 / 3 : limite en cisaillement du matriau e


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Exemples de rupture en torsion

Plan






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Rupture en torsion dune craieM

Partant de la forme de la surface de rupture, peut-on trouver : le crit`re de rupture de la craie ? e le type de comportement de la craie ? Rupture en cisaillement ou rupture en traction ?45o


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Analyse des dformations et contraintes e_ ez z=h z

h

_ ez

_ e z=0

Dformation : glissement simple entre les directions e et e z : e = r (e e z + e z e ) , 2h

Contrainte : cisaillement simple (ou pur) entre les directions e et e z : = r (e e z + e z e ) . h


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Subtilits du cisaillement e

+ = (e 1 e 2 + e 2 e 1 ),

_ v

_ u

_ e2 _ e1

= u u v v.

La facette ` +450 de normale u est soumise ` une traction dintensit . a a e Le crit`re de rupture est donc un crit`re de contrainte normale maximale. e e La craie est donc de type fragile (surprise ?).


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Rupture dun matriau fragile e

Rupture par traction (torsion, os de dinde). instruct1.cit.cornell.edu/courses/virtual lab/intro.shtmlDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 51 / 53



Rupture dun matriau ductile e

Plastication et rupture par cisaillement (torsion, aluminium). instruct1.cit.cornell.edu/courses/virtual lab/intro.shtmlDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 23 septembre 2008 52 / 53


Conclusion

ConclusionPrsence ncessaire de dfauts microscopiques (microssures, e e e dislocations). Ncessit de traduire des transitions entre rgimes de comportement. e e e Matriaux fragiles sensibles au clivage. Crit`re de la contrainte normale e e maximale : Sup (n) 0 .n=1

Matriaux ductiles sensibles au cisaillement. e Crit`re de Tresca e Sup | (n)| k.n=1

Crit`re de von Mises e eq 0 .

Un tat de contrainte est subtil. Attention aux conclusions htives ! e a


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Rupture et plasticit : plan du cours eComportements non linaires des matriaux solides e e Rupture fragile Singularits de contrainte et tnacit des matriaux e e e e Analyse nergtique de la propagation dune ssure I e e Analyse nergtique de la propagation dune ssure II. e e Fissuration par fatigue Plasticit e Comportement lasto-plastique e Dissipation plastique Structures lasto-plastiques standards e Charges limites Amphi 5 Amphi 6 Amphi 7 Amphi 8 Amphi 2 Amphi 3 Amphi 4 Amphi 1

www.lms.polytechnique.fr/users/bonnet/enseignement.htmlDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 2 / 47

Principales conclusions de lamphi 1Ncessit de traduire des transitions entre rgimes de comportement. e e e Prsence ncessaire de dfauts microscopiques (microssures, dislocations) e e e Matriaux fragiles sensibles au clivage. Crit`re de la contrainte normale e e maximale : Sup (n) 0|n|=1

Matriaux ductiles sensibles au cisaillement. e


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Mcanique linaire de la Rupture (amphis 2, 3 et 4) e eObjectifs : en restant dans le cadre de llasticit linaire... e e e

...expliquer comment la prsence de .... dimensionner une structure en e e micro-dfauts fragilise un lment de prsence de ssures. e ee volume de matriau. e Tnacit dun matriau Taille critique des dfauts. (amphi 2) e e e e Comprendre la nature des forces permettant lavance des ssures (amphi 3) e Analyser des structures ` la rupture fragile ou par fatigue (amphi 4) aDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 4 / 47

Exemple : le de Havilland Comet

Premier vol : 1949 ; Service commercial : 1952 ; 2 crashes en 1954 (pas de survivants) ; Cause : clatement du fuselage en vol, par rupture en fatigue e (essais pressurisation / dpressurisation : 3000 cycles) e


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Singularits de contrainte en lasticit et tnacit des matriaux e e e e e e


1. Concentration de contrainte

2. Singularit de contrainte en fond dentaille e

3. Singularits de contrainte en pointe de ssure e

4. Tnacit des matriaux e e e

5. Exemple : rservoir sous pression e


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Cadre de travail : lasticit linaire en HPP e e eHypoth`se des petites perturbations : e Conguration actuelle = conguration initiale ; Tenseur des dformations linarises. e e e Evolution quasi-statique : Les termes dacclration sont ngligs. ee e e Matriau lastique linaire : e e e Homog`ne et isotrope. eTd _

Equations de compatibilit : e = 1 2 +T ,

Equations dquilibre : e div + F = 0, Equations de comportement : = C : , Conditions aux limites :

F _

T = .n = T d = d

sur ST ,

d _

sur S .


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Concentration de contrainte

Plan







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Essai de traction uniaxiale sur prouvette pleine ou troue e eEprouvette pleinez y x

Eprouvette troue eFz y x

F

max

yy

b a x

S

zone utile

= e y e y ,

= F /S

= xx e x e x + xy e x s e y + yy e y e y , ij (x, y , z). zone utile : non uniforme, multiaxial.

zone utile : uniforme, uniaxial.

Champ de contrainte perturb par la prsence du trou (condition de bord libre). e eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 9 / 47



Trou elliptique (cas antiplan, plus simple)Dformations anti-planes : ey

(x, y ) = z e z . z xz (x, y ) = 2xz (x, y ) = x z yz (x, y ) = 2yz (x, y ) = y

e z _ 8 x _ ez 8

Equations dquilibre (forces de volume nulles) : e xz yz + = 0 (selon e z ) , x y Matriau homog`ne ( = constante) : e e z (x, y ) = 0. i.e. la fonction z est harmonique. 0 = 0 (selon e x , e y ).


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Trou elliptique (cas antiplan, plus simple)x = a ch u cos v y = a sh u sin v z = 2 1 2 + 2 z g u 2 vx=a u=u 0 x=+a u=cste y v=cste

x

g = a2 [ch 2u cos 2v ]/2 Surface du trou : u = u0 . Axes : A = a ch u0 , B = a sh u0 . Solution, tous calculs faits (condition .n = 0 ` la surface du trou) : a z = u0 ae ch(u u0 ) sin v xz = z , x yz = z y

Contrainte circonfrentielle ` la surface du trou : e a nt = (.n).t = xz tx + yz tyDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e

i.e.

nt = a

e u0 cos v g (u0 , v )

(0 v 2)30 septembre 2008 11 / 47



Trou elliptique (cas antiplan) : concentration de contrainteContrainte circonfrentielle ` la surface du trou : e a e u0 cos v (0 v 2) nt (v ) = a g (u0 , v ) Concentration de contrainte (rappel : axes du trou A = a ch u0 , B = a sh u0 ) : R = max nt (v )/ = nt (0)/ ,0v 212 10 8

soit

R = 1 + A/BA/B=1 (cercle) A/B=4 A/B=10

y

6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 0 45

v=90oo v=180

x=a

x=+a

v=0o

x

tz(v) /


8

v (degres)

90

135

180

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Trou elliptique (dformation plane) : concentration de contrainte ez y x

F

max

yy

b a x

xx = xy 0

xy yy 0

0 0 0

ij (x, y , z) Contrainte normale maximale : sup sup n..n = yy (a, 0) = R .xpartie utile |n|=1

Facteur de concentration de contrainte (plaque innie, homog`ne isotrope) : e R = 1 + 2A/B (dformation plane) e En r`gle gnrale, R inversement proportionnel au rayon de courbure du dfaut ; e e e e Lorsque le trou devient une ssure (courbure ) : B/A 0, R +.Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 13 / 47



Autres exemples de concentration de contrainteTrou circulaire, chargement uniaxial (antiplan) : R=2 Trou circulaire, chargement uniaxial (contrainte plane) : R=3 Cavit sphrique, chargement uniaxial (3D) : e e 13 5 R =1+ 7 5 Inclusion rigide circulaire, chargement uniaxial (contrainte plane) : R= 5+ (3 )(1 + )30 septembre 2008 14 / 47

y

_ ey x

e y _ 8


8



Trou elliptique tr`s aplati : cas-limite de la ssure eRetour sur lexemple antiplan : Limite u0 0 : ssure Excentricit e B/A = sh u0 / ch u0 0. On tablit (cf. infra) que e z = 2ar sin + O(r ) 2 _ ez a a 8

y e z _ 8

r

x

Comportement du dplacement en r au voisinage de la pointe de ssure. e = contraintes singuli`res en pointe de ssure ePreuve : Comportement au voisinage de lextrmit droite : e e p ( ( u = 2r /a cos(/2) x = a ch u cos v x = a + r cos + o(r ) et = p y = a sh u sin v y = r sin + o(r ) v = 2r /a sin(/2) z =Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e

u0 ae ch(u u0 ) sin v 30 septembre 2008 15 / 47



Un V est plus dangerereux quun U


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Nonlinarit de lamorage et de la propagation dune ssure e e c

3 3

A conguration donne, le e probl`me dlasticit est e e e linaire, e , ,

Lamorage de la ssuration (puis la c propagation), bas sur le crit`re (non e e symtrique) de la contrainte normale maximale, e rend le probl`me non linaire. e e


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Singularit de contrainte en fond dentaille e

Plan







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Singularit de contrainte en fond dentaille eMatriau lastique linaire, homog`ne, isotrope. e e e e r O

Gomtrie plane. Dformations planes ou anti-planes. e e e Localement, entaille douverture 2( ). Rappel : pour une entaille mousse e e Sup (n) = R , R courbure du dfaut. e Si courbure , contraintes singuli`res en fond e dentaille.

Quel que soit le corps considr et le chargement appliqu, le champ de contrainte ee e solution du probl`me dlasticit plane, linaire, isotrope, pos sur un corps contee e e e e nant une entaille (` surface libre) dangle /2 est singulier en fond dentaille : areg ij = r fij () + ij (r , ) avec < 0, r 0 reg lim ij (r , ) < .

Lexposant < 0 ne dpend que de la gomtrie dentaille (). Il est e e e indpendant de la gomtrie du corps, du chargement et des modules e e e lastiques (isotropes). e Les fonctions fij dpendent de la gomtrie du corps et du chargement e e e appliqu. eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 19 / 47



Visualisation dune singularit de contrainte ePhotolasticimtrie : visualisation des dirences entre contraintes principales. e e e

c J. Salenon. cDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 20 / 47



Concentration vs. singularit de contrainte eLorsquil y a concentration de contrainte, la contrainte sl`ve mais reste nie. ee Lorsquil y a singularit de contrainte, la e contrainte devient (asymptotiquement) innie. Impossible dutiliser le crit`re de la e contrainte normale maximale (rupture d`s e application dune charge innitsimale). e La signication physique dune contrainte innie peut tre mise en doute (OK en e dehors dun tout petit volume). Traduit une tr`s grande concentration de contrainte e locale. Pour arrter la propagation de certaines e ssures : percer un trou !


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Dmonstration (limite au cas antiplan, plus simple) 1/3 e e(Cas des dformations planes, un peu plus technique, trait dans le poly.) e e u = z (r , ) avec z = 0 Rappel : xz , yz = 0 r O

Chercher une expression asymptotique de z pour r 0 : z (r , ) = r +1 g () au voisinage de O. Laplacien en coordonnes polaires : e = 2 z 1 z 1 2 z + + 2 r 2 r r r 2 = r 1 [( + 1)2 g () + g ()] = 0.

Solution : g () = A cos[( + 1)] + B sin[( + 1)] Comportement asymptotique des contraintes : rz = z = ( + 1)r g , r z = 1 z = r g . r 30 septembre 2008 22 / 47




Dmonstration (cas antiplan) 2/3 eSolution : g () = A cos[( + 1)] + B sin[( + 1).]

Conditions aux limites T = 0, = , (z seule composante = 0 de T ) : z = r g (), z = 0 pour = = g () = 0 .

Syst`me ` rsoudre pour dterminer A, B : e a e e cos[( + 1)] sin[( + 1)] cos[( + 1)] sin[( + 1)] A B = 0 0

Une solution non nulle existe si et seulement si le dterminant du syst`me e e est nul : cos[( + 1)] sin[( + 1)] = 0, = k + 1 2 ou bien = k 1. 30 septembre 2008 23 / 47




Dmonstration (cas antiplan) 3/3 eSolutions conduisant ` des contraintes singuli`res ? a e r F () singulier si < 0.

Solutions conduisant ` une nergie lastique nie : a e e

1 : S : d < = 2

r 2 rdr < = > 1.

Solutions singuli`res dnergie nie si 1 < < 0 . e e La seule solution dans cet intervalle est : k = 0, = 1 , 2 (rappel > /2 donc < 0).

On a montr que certaines solutions singuli`res peuvent exister. e e On peut montrer (plus dicile) que toutes les solutions sont de la forme : = r F () + reg ,Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e

reg < +.30 septembre 2008 24 / 47



Entaille (contrainte plane) [Williams, 1952]0.25

0

r O

libre-libre encastre-encastre encastre-libre

-0.25

-0.5

-0.75

-1

0

30

60

(degres)

90

120

150

180

reg ij = r fij () + ij (r , ) avec < 0,

r 0

reg lim ij (r , ) < .

La ssure correspond au cas libre-libre avec = 1800 , soit = 1/2 .Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 25 / 47



Singularits de contraintes dans les composites eMme pour des bords tr`s rguliers ! e e eF

1 2 3 4

Bord libre

yy

Couches de raideurs direntes. e Bord libre. Etat de contrainte triaxial. Singularit de contrainte selon Oy e au voisinage du point triple.

y z x

Dpend de la squence dempilement. e e30 septembre 2008 26 / 47



Singularits de contrainte en pointe de ssure e

Plan







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Entaille : = 3/4. Fissure : = . En dformations anti-planes : e = 1 = 1/2. 2 Mme singularit trouve en e e e dformations planes et en 3D. e Le champ de contrainte prsente une singularit en r 1/2 en pointe de ssure : e e fij () ij r au voisinage de r = 0, (i gi r ).

o` les fonctions fij dpendent de la gomtrie du corps considr et du chargement u e e e ee appliqu. eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 28 / 47



Mode antiplan de rupture (appel mode III) eMode III de rupture : cas limite ( = ) de lentaille sous chargement antiplan. (exemple : dchirement dune feuille de papier) : e KIII rz 2ry

sin

2 2

,

z

Discontinuit de dplacement : e e [[]] = (r , +) (r , ) = Mode III : mode de cisaillement anti-plan.Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 29 / 47

Mode IIIdf e

x

KIII z 2r z 2KIII

cos

, 2

r sin 2

.

Autres ij et i nuls.

4KIII

r e . 2 z



Modes plans de rupture (appels modes I et II) er KI 4 KI 4 r 2 r 2 3 (5 8) cos cos 2 2 + KII 4 r 2 r 2 3 , (5 + 8) sin + 3 sin 2 2

3 KII + (7 + 8) sin + sin 2 2 4

3 . (7 + 8) cos + 3 cos 2 2

o` KI et KII dpendent de la gomtrie du corps et du chargement appliqu. u e e e e Discontinuit de dplacement : e e [[]] = (r , +) (r , ) 4(1 )KI 4(1 )KII r e + 2 y r e . 2 x

Superposition de 2 modes :y x

Mode I pur (KII = 0) : mode douverture. Mode II pur : (KI = 0) : mode de cisaillement plan.30 septembre 2008 30 / 47


z



Singularit de contrainte pour les modes I et II e ijy r

x

r

rr r

K I 4 2r K I 4 2r K I 4 2r

3 5 cos cos 2 2 3 3 cos + cos 2 2 3 sin + sin 2 2

+

K II 4 2r K II 4 2r K II 4 2r

3 5 sin + 3 sin , 2 2 3 3 sin 3 sin , 2 2 3 cos + 3 cos . 2 230 septembre 2008 31 / 47

+

+




Facteurs dintensit des contraintes KI , KII , KIII . eComment mesurer lintensit dune contrainte innie ? e Lexposant r 1/2 est universel : identique pour toutes les ssures, quelle que soit leur forme. Lintensit de la singularit peut tre mesure par les facteurs dintensit e e e e e des contraintes KI , KII , KIII qui dpendent du chargement et de la e gomtrie de lprouvette. e e e Analyse dimensionnelle : K / r = K se mesure en MPa m. En gnral K est reli ` une contrainte lies aux eorts appliqus et ` une e e ea e e a longueur lie ` la taille de la ssure : e a K = f ( , gomtrie structure). e e Il faut savoir mesurer (pas facile de mesurer une singularit) ou calculer ces e facteurs pour chaque gomtrie et type de chargement : analytiquement e e (rarement), numriquement (souvent). e Il existe des catalogues Handbooks of stress intensity factors regroupant les cas connus.Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 32 / 47



Exemples courantsFissure de longueur

dans un milieu inni. = e y e y .

n _ 0

m _

Vecteur contrainte qui agirait sur le plan de la ssure en labsence de ssure : T = cos2 n + cos sin m. Facteurs dintensit de contrainte (rsultat exact) : e e KI = cos2 /2, KII = cos sin /2.

Fissure semicirculaire dbouchante peu profonde dans e une plaque innie : en fond de ssure, on a KI = 1.2 (approch). e

2


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Exemples courants (suite)Barreau en exion pure : Pour L > 4 KI = f h , = 3M , 2bh2

2h

M

2h

2L

f (m) = 1.122 1.4m + 7.33m2 . . . (approch). e

P e

Eprouvette normalise CT (Compact Tensile) : e Donnes gomtriques : e e eh

c

=d =

b b , e = , h = 1, 2b, c = 0, 275b. 4 2 P KI = f be

d b

Pour 0, 3 < f (m)

b

< 0, 7

b

,

29, 6 185, 5m + 655, 7m2 1017m3 + 638, 9m430 septembre 2008 34 / 47



Tnacit des matriaux e e e

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Comment prdire la propagation des ssures ? la thorie dIrwin e eApplication du crit`re de la contrainte normale maximale impossible en prsence e e de ssures. Thorie dIrwin (1957). Hypoth`ses : e e H1 : Le mode I (ouverture) est le plus dangereux dans les matriaux fragiles. e H2 : Il existe une valeur critique de KI , appele tnacit et note KIc , telle e e e e que : KI < KIc = = 0 : ssure xe, KI = KIc = > 0 : avance de la ssure. e H3 : Cette tnacit KIc est une caractristique du matriau indpendante e e e e e de la gomtrie de lprouvette. e e e Il sagit (une fois encore) dune loi ` seuil. Elle porte sur le facteur dintensit a e des contraintes en mode I et non plus sur les contraintes.Alliage daluminium KIc Alliage de titane KIc Acier tremp e KIcDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e

30 MPa m 100 MPa m 120 MPa m

Polym`re KIc e Bois KIc Bton KIc e

3 MPa m 2 MPa m 1 MPa m30 septembre 2008 36 / 47



Application du crit`re au dimensionnement eSoit une structure dont on sait quelle contient une ssure de gomtrie donne, e e e ou dont on craint quelle contienne une certaine forme de ssure. Etape 1 : Dterminer le KI de la ssure (avec fonction du chargement e appliqu) : e KI = f ( , gomtrie structure), e e Etape 2 : Appliquer le crit`re du KIc . Deux types de probl`mes se posent : e e1er type de probl`me : A longueur de ssure donne, dterminer le e e e chargement maximal admissible, pour respecter la tenue aux dfauts : e KIc KI < KIc = < c = . f( ) Tout chargement au-dessus de c met la structure en danger de rupture par propagation de la ssure.

2e type de probl`me : A chargement donn (charge de service), dterminer e e e la longueur maximale des ssures acceptables : 2 1 KIc f ( ) < KIc = c , avec c f 2 ( c ) = . e e e e c : taille critique de dfaut (de gomtrie donne) admissible dans la structure.Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 37 / 47



Taille critique des dfauts eA chargement donn (charge de service), dterminer la longueur maximale des e e ssures acceptables : 2 1 KIc . f ( ) < KIc = c , avec c f 2 ( c ) = e e e e c : taille critique de dfaut (de gomtrie donne) admissible dans la structure. Autre interprtation de la tnacit : mesure la tolrance aux dfauts. e e e e e Une structure contenant des dfauts de taille suprieure ` la taille critique est e e a potentiellement dangereuse. Tr`s grande importance des moyens de contrle non destructif : Si on e o ne sait pas dtecter (` temps) les dfauts de taille critique, la structure est e a e dangereuse.Exemple : Taille critique des dfauts sous charge de service : 5mm ; e ssures dtectables : 1cm. e La structure est dangereuse : une ssure de 7mm pourra conduire ` une rupture a brutale et naura pas t dtecte avant la mise sous charge. ee e eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 38 / 47


Exemple : rservoir sous pression e

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Exemple : rservoir sous pression eObjectif : dimensionner un rservoir. e

Longue srie daccidents sur rservoir ` poudre de la NASA apr`s la guerre. e e a e Remarquer la ssure parall`le ` laxe du rservoir. e a e


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Le probl`me ` rsoudre e a ePression interne pmax = 50 MPa. Choix entre plusieurs nuances dacier caractrises par leur contrainte ultime u et leur e e tnacit. e eR H pression p Contrainte ultime : contrainte maximale supportable par le matriau sans dfaut : e e eq u . Tnacit : caractrise la tolrance aux dfauts de e e e e e lacier.

Donnes : e nuance A : u = 1250 MPa, KIc = 90 MPa m. nuance B : u = 900 MPa, KIc = 120 MPa m. nuance C : u = 650 MPa, KIc = 190 MPa m.


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Sensibilit aux dfauts e ezz

Dfauts dangereux (car dicilement visibles) : e ssures dbouchant sur la face interne. e Le syst`me de contrle non destructif ne dtecte que e o e les ssures dun diam`tre suprieur ` 1cm. e e a R e : on peut assimiler le cylindre ` une a plaque innie : KI = 1.1 ( : contrainte normale douverture de la ssure).

Question pose : Quelle est la nuance dacier qui supporte la contrainte applique, e e qui tol`re les dfauts dune taille infrieure ` la limite de dtection et qui conduit e e e a e ` lpaisseur minimale du rservoir. a e e


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Estimation des contraintes dans le rservoir e

Directions principales de contrainte : e r , e , e z .

Equilibre de la moiti suprieure du rservoir : coupe horizontale : e e e Rsultante eorts pression sur 1/2 rservoir = 2Rezz e z . = zz pR/2e. e e Equilibre de la moiti droite du rservoir : coupe verticale : e e = pR/e. Par ailleurs rr p. Donc, si e R : pR pR e e + e ez . > zz rr , e 2e z Les ssures parall`les ` laxe du rservoir sont les plus dangereuses (cf photo intro). e a eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 30 septembre 2008 43 / 47



Dimensionnement vis-`-vis des dfauts a eCas le plus dfavorable : ssure verticale de rayon e :

pR KI = 1.1 = 1.1 , e e e e o` = . Lpaisseur e doit tre telle quen appliquant le crit`re du KIc les u ssures de longueur < 0.5cm ne se propagent pas : 1.1 e eR = pR . KIc nuance A : e = 15, 3 cm, nuance B : e = 11, 5 cm, nuance C : e = 7, 3 cm.


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Dimensionnement vis-`-vis de la contrainte ultime apR pR e er + e e, 2e r 2e 1/2 3 2 3 pR 2 2 eq = (srr + s + szz ) . = 2 2 e Lpaisseur minimale eu trouve en imposant eq u : e e 3 e eu = pR . 2u = s= Pour la pression de service impose, les paisseurs ncessaires sont alors : e e e nuance A : e = 6, 9 cm, nuance B : e = 9, 6 cm, nuance C : e = 13, 3 cm. pR pR e e + e ez , e 2e z


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Rcapitulation eKIc (MPa A B C 90 120 190 m) u (MPa) eR (cm) eu (cm) 1250 900 650 15.3 11.5 7.3 6.9 9.6 13.3

= Le meilleur choix est la nuance B avec paisseur 11.5cm. e


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Conclusion

ConclusionConcentration de contrainte sur des dfauts de faible rayon de courbure. e Singularit de contrainte en pointe dentaille ou de ssure. e Nouvelle proprit matriau : tnacit. Crit`re de propagation des dfauts e e e e e e e de type loi ` seuil . a Taille critique de dfauts. e Thorie ecace qui permet eectivement le dimensionnement des e structures. Cependant cette thorie est base sur le caract`re inni des contraintes en e e e pointe de ssure. HPP ?


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Devoir (Mcanique de la rupture) ePrincipe du devoir adopt en 2005 suite ` souhaits (travail personnel, e a contrle continu) exprims par promos prcdentes ; o e e e Sujet distribu le 07/10 (aujourdhui), copie ` remettre (scola) le 07/11, e a coecient 40% ; Th`me : propagation de ssures contenant un uide ; e R`gles du jeu : e Autoris : bibliographie (BCX, Internet...) ; e discussion entre l`ves ou avec enseignants des concepts et mthodes. ee e Non autoris : change de solutions dtailles e e e e


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www.lms.polytechnique.fr/users/bonnet/enseignement.htmlDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e 7 octobre 2008 3 / 40

Principales conclusions de lamphi 2Singularit de contrainte en pointe dentaille ou de ssure. e K F (). r Nouvelle proprit matriau : tnacit. Crit`re de propagation des dfauts e e e e e e e de type loi ` seuil portant sur le facteur dintensit des contraintes en a e mode I KI . Thorie ecace qui permet eectivement le dimensionnement des e structures. Cependant cette thorie est base sur le caract`re inni des contraintes en e e e pointe de ssure. HPP ?


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Mcanique linaire de la Rupture (amphis 2, 3 et 4) e eObjectifs : en restant dans le cadre de llasticit linaire... e e e

...expliquer comment la prsence de .... dimensionner une structure en e e micro-dfauts fragilise un lment de prsence de ssures. e ee volume de matriau. e Tnacit dun matriau Taille critique des dfauts (amphi 2) e e e e Comprendre la nature des forces permettant lavance des ssures e (amphi 3) Analyser des structures ` la rupture fragile ou par fatigue (amphi 4) aDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e 7 octobre 2008 5 / 40

Analyse nergtique de la propagation dune ssure I e e


1. Energie potentielle dune structure lastique ssure e e

2. Analyse nergtique de Grith. e e

3. Analyse thermodynamique simplie e

4. Taux de restitution de lnergie et singularits de contrainte e e

5. Exemple : test de pelage (arrachement dun ruban adhsif) e


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Energie potentielle dune structure lastique ssure e e

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Energie potentielleLes structures considres ici poss`dent une nergie potentielle totale P. ee e e Nous nous limiterons aux nergies de type mcanique : e e P =W L , o` : u W est lnergie de dformation de la structure ; e e L est lnergie potentielle des eorts extrieurs appliqus ` la structure. e e e a


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ExempleRessort (raideur k) soumis ` un poids Q ` une extrmit et x ` lautre extrmit. a a e e ea e e Dplacement repr par z. e ee Energie de dformation du ressort : e W (z) =z0 z O A Q = mg e z _ _

1 k(z z0 )2 . 2

Potentiel des eorts extrieurs : e L(z) = ST

T d (x) (x) da = mg (zz0 ).

Energie potentielle totale : P(z) = W (z) L(z) = 1 k(z z0 )2 + Q(z z0 ) , 2 Q = mg .

Proprit variationnelle : quilibre minimum de P e e e z = arg min P(z ) = k(z z0 ) + Q = 0 z Q 1 Q2 1 = z = z0 , P = = k(z z0 )2 . k 2 k 2Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e 7 octobre 2008 9 / 40



Energie potentielle dun solide lastique linaire (cf. MEC431) e eChamps cinmatiquement admissibles : e C(S , d ) = { tels que Energie de dformation du corps : e W ( ) =

= d

sur S }.

(x)w (x, ( )) d. 1 :C : 2

Elasticit linaire : e e

(x)w (x, ) =

Potentiel des eorts extrieurs imposs L : e e L( ) =ST

T d (x) (x) da.

Energie potentielle totale du corps dans le champ de dplacement virtuel : e P( ) = W ( ) L( ). La solution du probl`me rend minimum lnergie potentielle totale : e e = arg min P( ). C(S , d )Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e 7 octobre 2008 10 / 40



Cadre de travail : solides ssurs en lasticit linaire HPP e e e ee Probl`me plan, ssure rectiligne se propageant en Equations de compatibilit : e ligne droite (longueur ), libre de contrainte. 1 = +T , 2 0 ( )

Equations dquilibre : e ( (t)) div = 0, Equations de comportement : = C : ,

F( )

Hypoth`se des petites perturbations ` chaque e a instant, dans la conguration actuelle ( (t)) Congur. actuelle = congur. initiale ; Tenseur des dformations linarises. e e e Evolution quasi-statique : acclration nglige. ee e e Matriau lastique linaire (homog`ne isotrope). e e e e Forces de volume nullesDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e

Conditions aux limites (ssure) : T = 0 sur F( ). Conditions aux limites (bord) : T = .n = T d =d

sur ST ,

sur S .7 octobre 2008 11 / 40



Energie potentielle totale pour un corps ssur eProprit variationnelle : e e P(, ) = arg min C(S , d ) ( )

(x)w (x, ( )) d ST

T d (x) (x) da.

Lnergie potentielle dpend de la gomtrie du corps (0 xe et F( ) e e e e variable) et du chargement : P = P( , C),Q q

o` C dsigne le chargement. u e : continus dans ( ) : C(S , d , ) C(S , d , + d ),+d

P( , C) est une fonction dcroissante de eQ q

Donc, linmum pour + d est plus petit que pour .Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e

Massif fixe

Massif fixe

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Analyse nergtique de Grith. e e

Plan







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Analyse nergtique de Grith e eQuestion : quand une ssure de longueur avance-t-elle dune longueur d ?

Hypoth`se de Grith (1920) : la ssure avance lorsque cela lui permet de minie miser son nergie totale : e Energie totale = Energie mcanique + nergie de surface. e e Energies mises en jeu : Energie potentielle mcanique P( ) ; e Energie surfacique, proportionnelle ` la surface libre cre par lavance a ee e de la ssure W s = 2 . densit surfacique dnergie ; e e facteur 2 : la ssure a deux l`vres ; e Energie constante (non prise en compte) si la ssure est xe.

Origine microscopique de lnergie de e surface : r-arrangement du rseau e e cristallin pour satisfaire la condition de surface libre.


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Analyse nergtique de Grith e eCrit`re de Grith : Energie totale = P( , C) + 2 . e Comparer les nergies avant et apr`s propagation sous le mme chargement : e e e Avant Apr`s eQ qq Q

+d

P( , C) + 2

P( + d , C) + 2( + d )

Si P( , C) + 2 < P( + d , C) + 2( + d ) , la ssure nvolue pas et e conserve sa longueur . Si P( , C) + 2 P( + d , C) + 2( + d ) , le corps a intrt ` ee a accro tre la longueur de la ssure de d pour minimiser son nergie. eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e 7 octobre 2008 15 / 40

Massif fixe

Massif fixe



Taux de restitution de lnergie ePropagation conditionne par le signe de e P( , C) P( + d , C) 2 = G 2, d Loi ` seuil : a G < 2 : non propagation, G est le taux de restitution de lnergie : e drive de lnergie potentielle mcanique par rapport ` la longueur de e e e e a ssure (` chargement constant) change de signe. a e Consquence de la proprit de minimum de lnergie potentielle : e ee e P( + d , C) P( , C) En 3D : W s = 2S, G = P (S, C). S (cf. amphi 4)7 octobre 2008 16 / 40

avec

G =

P ( , C).

G 2 : propagation.

=

G 0.




Critique de lapproche de GrithLanalyse de Grith a deux dfauts : e Elle fait un bilan dnergie sans introduire de notion dirrversibilit. e e e En relchant les eorts la ssure va se refermer et la mati`re se reformer. a e Ordres de grandeur des nergies de surface dduites de la physique e e du solide tr`s faibles par rapport ` ce qui est observ pour la propagation e a e dune ssure. Il sagit dune nergie dadhsion rversible. e e e = Approche thermodynamique introduisant la notion dirrversibilit. e e


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Analyse thermodynamique simplie e

Plan







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Analyse de la puissance dissipe par propagation : principe eUne analyse thermodynamique prliminaire (exploitation des 1er et 2e principes) e conduit au rsultat : e Propagation de la ssure = phnom`ne irrversible. e e e La puissance mcanique fournie par lextrieur du syst`me est utilise en partie e e e e pour modier son nergie de dformation, le reste tant dissip en chaleur : e e e e Pe = W + D, D 0. Principe de la dmarche : formulation et analyse de la puissance dissipe D ; e e Mthode : sparation des eets de changement de chargement et de e e gomtrie. e e


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Analyse de la puissance dissipe par propagation e Pe = W + D, D 0.

Analyse par sparation des eets de changement de chargement et de gomtrie. e e e La solution lastique dpend de la gomtrie du corps et du chargement : e e e e = (x ; C, ) Pour une volution e C, (t) on a : C, (t + dt) = C, (t) + dC, d

d = (x ; C + dC, + d ) (x ; C, ) = = = C+ C =cste

+

C=cste

Lnergie de dformation dpend de la gomtrie du corps et du chargement : e e e e e 1 W = : C : d = W (C, ) 2 W W C+ = W = = W =cste +W C=cste C Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e 7 octobre 2008 20 / 40



Analyse de la puissance dissipe par propagation (suite) ePuissance des eorts extrieurs : dpend linairement de la vitesse e e e Pe () = Pe =cste + Pe C=cste Pe = Pe =cste +Pe C=cste Variation dnergie de dformation lastique : e e e W W W = W =cste +W C=cste = C+ C [] : C : W =cste = d C = C PPV pour la vitesse =cste : W C = Pe =cste C

[] : C : [

=cste

] d

= W

=cste

= Pe

=cste

Expression de la puissance dissipe par ssuration : e D = Pe W = D = PeC=cste

W

C=cste

(D 0)

On peut calculer la puissance dissipe en supposant le chargement constant eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e 7 octobre 2008 21 / 40



Analyse de la puissance dissipe par propagation (n) eD = Pe On remarque que : PeC=cste C=cste

W

C=cste

(D 0)

=

T (x)

C=cste

da da (car T = 0 sur F et = 0 sur S )

=ST

T d (x)

C=cste

d L() dt Par consquent : e D = Pe W =C=cste

C=cste

C=cste

=

d L()W () dt

C=cste

= D =

d P() dt

C=cste

Enn, puisque P = P(C, ) : d P P() C=cste = G avec G = dt La puissance dissipe est D = G (G : taux de restitution de lnergie) e eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e 7 octobre 2008 22 / 40



Analyse de la dissipationAvance dune ssure : e D=G

F

Puissance = Force vitesse. Analogie avec le frottement : D = F x x G est la force thermodynamique qui cause lavance de la ssure. e Crit`re de propagation de la ssure : loi ` seuil e a Lois ` seuil pour mcanisme irrversible quelconque : a e e (a) tant que la force est infrieure au seuil, vitesse (du mcanisme irrversible) e e e nulle ; (b) d`s que la force atteint le seuil, vitesse non nulle (module indtermin) et du e e e signe de la force. Loi ` seuil pour dcrire lavance de la ssure : a e e si G < Gc alors = 0, si G = Gc alors 0. Gc : nergie de rupture (a priori de la structure mais en fait (on le verra) e param`tre matriau). Mme forme que la loi de Grith, mais contenu e e e thermodynamique tr`s dirent. e eDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e 7 octobre 2008 23 / 40



Fissure dbouchante vs. ssure interne eFissure dbouchante : e Fissure interne :

l

l1

l2

P = P(C, ) = D = P =G

P = P(C,

1, 2)

= D =

P P 1 2 = G1 1 + G2 2 1 2


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Param`tres gnraliss de chargement e e e eQ q

Cas frquent : les eorts et les dplacements imposs e e e dpendent dun ou quelques param`tres Q (eorts e e gnraliss) ou q (dplacements gnraliss), tels que e e e e e e e Pe = Q.q.

Massif fixe


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Param`tres gnraliss de chargement (exemple 1) e e e eExemple 1 : Torsion dun arbre cylindriquez=h _ ez

Conditions aux limites : en z = 0 en z = h en r = R r = = 0, Tz = 0, r = 0, = r , Tz = 0, T = 0.

z h

z=0

|z=h = (e z r e r ), Pe =z=h

T . da = z=h

T .(e z r e r ) da = z=h

(x T ).e z da

Pe = Q q,

Q=

(x T ).e z da,

q=

(angle, couple)


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Param`tres gnraliss de chargement (exemple 2) e e e eExemple 2 : poinonnement cPoinon rigide Massif dformable S = V e_ z _

Poinon rigide se dplaant verticalement c e c = |S = V e z , Pe =S

.

T . da = VS

T .e z da. Q=S

=

q = V,

T .e z da.

Lessai peut tre contrl en force (Q impose), e oe e e e ou en dplacement (q impos)


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Param`tres gnraliss de chargement (dnition gnrale) e e e e e e ePlus gnralement, un chargement est dni par un nombre ni de e e e param`tres de chargement sil existe deux applications linaires : e e Q( ) RN , v q(v ) RN ,

telles que :

: (v ) d = Q( ).q(v ),

v C(S , d ), S(ST , T d ) = , div = 0 dans , .n = T d sur ST


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Param`tres gnraliss de chargement : application aux corps ssurs e e e e eQ q

A ssure xe : linarit des quations de e e e llasticit : (, ) fonctions linaires de q (ou de e e e faon quivalente de Q). Supposons q connue : c ee Q = fonction linaire de = fonction linaire de q e Q = R.q , ou inversement q = S.Q.


Massif fixe

Le mode de chargement tant x (permet de dnir e e e Q et q), la raideur structurale R ou inversement la souplesse structurale S sont des fonctions de la gomtrie du corps (et des modules dlasticit) : e e e e R( ), S( ).

La raideur structurale R( ) dcro avec , e t La souplesse structurale R( ) cro avec : t d R( ) 0, d d S( ) 0 d7 octobre 2008 29 / 40



Application ` la mesure de Gc aEnergie de dformation du corps : e W( ) = 1 2 : d =( )

1 2

T . da0

car T = 0 sur F.

Potentiel des eorts donns et nergie potentielle totale : e e L=T

T d . da,

P =W L=

1 2

T . d da S

1 2

T d . da.ST

Taux de restitution de lnergie : e G = 1 P ( , C) = 2 = 1 2 1 2 Td.ST

1 da 2

S

T d . da, da

0

T T. .

G=Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20072008 e e

Q

q Q q . 7 octobre 2008 30 / 40



Interprtation gomtrique e e eGd c

Aire hachure : e q 1 q + dq 2 Q + dQ Q = 1 (Qdq qdQ) = Gd . 2

Q q

Q Q+dQ

Q Q+dQ

q


Massif fixe

q

q+dq

Moyen de mesure de Gc par mesure de Q, q et .

Autres relations utiles :Q

Q( ) = R( )q( ) q( ) = S( )Q( )q q+dq

= =

G = G=

1 R ( )q 2 ( ). 2

1 S ( )Q 2 ( ). 2

G ne dpend que de Q( ) ou q( ) et non de e leurs drives par rapport ` . e e a7 octobre 2008 31 / 40



Stabilit de la propagation eFissure de longueur . On augmente le chargement. Lorsque G ( ) = Gc : dbut de e la propagation. Que se passe-t-il aux instants suivants ? Dpend de la position de G ( + d ) par rapport ` Gc . e a Si G est une fonction dcroissante de , G ( + d ) < Gc : arrt de la e e ssure. Si G est une fonction croissante de , G ( + d ) = Gc : poursuite de la propagation.G

dG ( )>0 d dG ( ) 0). e

= S : + N

=

= S ep : ,

o` S ep = S + u

N N . N :H :N + h

e Le tenseur de souplesse tangent S ep est anisotrope et dpend de (, X , p).Dpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 4 novembre 2008 37 / 38

Comportement lasto-plastique e

R`gle de normalit dans les matriaux crouissables e e e e

ConclusionsSurface seuil de plasticit xe (plasticit parfaite) ou variable (crouissage). e e e R`gle de normalit : la vitesse de dformation plastique est une normale e e e extrieure ` cette surface seuil. e a Multiplicateur plastique indtermin en plasticit parfaite, parfaitement e e e dtermin en plasticit avec crouissage positif. e e e e Ecriture de la r`gle de normalit dans le cas dun crit`re non e e e direntiable ? e


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www.lms.polytechnique.fr/users/bonnet/enseignement.htmlDpartement de Mcanique, Ecole Polytechnique, 20082009 e e 18 novembre 2008 2 / 34

ObjectifAu-del` de la limite dlasticit apparaissent des dformations plastiques... a e e e

...irrversibles e

...dissipant de lnergie e

Objectif de lamphi : dissipation dnergie dans un matriau lastoplastique e e e


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Cadre de travailHypoth`se des petites perturbations : e Conguration actuelle = conguration initiale. 1 v +T v . 2 Evolution quasi-statique : les termes dacclration sont ngligs. ee e e Tenseur des dformations linarises. e e e = d(v ) = Evolution isotherme : linuence des variations de temprature sur le e comportement sont ngliges. e e


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Dissipation plastique


1. Principe de la dissipation plastique maximale (PDPM) Cas de la fonction seuil drivable (ex. von Mises) e Cas du multi-crit`re (ex. Tresca) e

2. Irrversibilit et dissipation, forces thermodynamiques e e Forces thermodynamiques Equation de la chaleur et dissipation


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Principe de la dissipation plastique maximale (PDPM)

Plan




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Fonction seuil convexe et drivable (rappel amphi 5) eR`gle de normalit e e Le domaine de plasticit P est suppos convexe. e e Si f est drivable : e f (), 0. P =

_ f() < 0 _ f() = 0 _ f() > 0 _ .p _

P

_ *

_

. _ p

P

Proprit des ensembles convexes e e Tout domaine convexe est, en tout point de son bord, situ dun seul ct de son plan tangent, e oe dans le demi-espace form des vecteurs e ayant un produit scalaire ngatif avec la e normale extrieure ` P. e a


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Plan




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Principe de la dissipation plastique maximaleLa r`gle de normalit (f convexe, drivable) entra : e e e ne

( ) : P 0

P

_ *

_

. _ p

P

Principe de la dissipation plastique maximale : Parmi les tats de contrainte e plastiquement admissibles P, ltat de contrainte rel rend maximale la e e dissipation plastique : DP = max DP P

avec DP = : P ,

D P = : P .


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Principe de la dissipation plastique maximale : P = max : P . PoEB A

D : nergie dissipe ? Mod`le rhologique 1D : e e e ep

P

oA B

Bilan thermodynamique simpli : e + D, Pe = W : = : el + : P .

2 O C

1

En plasticit parfaite, la puissance e plastique DP = : P est dissipe. e


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Principe de la dissipation plastique maximale : la rciproque est vraie ePrincipe de la dissipation plastique maximale : : point intrieur ` P : e a_ * _Boule de rayon

P

P

=

Convexit de f e + R`gle de normalit. e e

( ) : P 0 = + ,P

P.

: 0 , = P = 0.

P

sur le bord de P :. _ p

.p _

_

_

P non convexe : PDPM viol e (cf annexe poly)

_

_

P

Normalit non e satisfaite : PDPM viol e18 novembre 2008 11 / 34


*



Dmonstration de lquivalence dans le cas f convexe et drivable e e eRappel sur les probl`mes doptimisation sous contrainte (cf. MAP431) : e I = infF (X )0

G (X ), 0 +

F,G

convexes.

sup F (X ) =0

si F (X ) 0, si F (X ) > 0.L

Recherche de linmum quivalent ` la recherche e a dun point-selle pour le Lagrangien :X

L(X , ) = G (X ) + F (X ).

Proprit dun point selle (admise) : ee I = inf sup G (X ) + F (X ) = sup inf L(X , ).X 0 0 X


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Principe de la dissip

Bonnet RuptureEtPlasticite 2008

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