Bombal Gordon Fernando Paradojas y Rigor UCM

8/3/2019 Bombal Gordon Fernando Paradojas y Rigor UCM

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PARADOJAS Y RIGOR: LA HISTORIA

INTERMINABLE

Introduccin

Paradoxes are compact energy sources, talismans(The infinity and the mind,R. Rucker)

Sufficient unto the day is the rigor thereof(E. H. Moore)

La palabra paradoja procede del griego (para y doxos) y significa etimolgica-mente ms all de lo creble. Y sta es probablemente su mejor definicin. En gene-ral, una paradoja es una afirmacin o razonamiento que nos lleva a una contradiccin(real o aparente).

Las paradojas, en un sentido muy amplio, aparecen constantemente en nuestravida cotidiana, bien porque las descubrimos nosotros mismos en nuestro quehacer dia-rio, o bien porque nos las hacen ver (a veces por razones interesadas) en la forma re-

sulta paradjico que en nombre de [ponga aqu el lector la virtud que desee] se puedanjustificar tales actos o es sorprendente (paradjico?) que a pesar de tener la rentaper cpita ms elevada de la regin, el 80% de la poblacin viva por debajo de los um-brales de la pobreza. Otro argumento habitual toma la forma resulta llamativo (esdecir, paradjico) la contradiccin entre lo que dice tal [individuo, grupo, fabricante,etc..]y lo que hace, etc.

Por otro lado, estamos acostumbrados a descubrir resultados sorprendentes ymuchas veces paradjicos en las ciencias experimentales. Las dos grandes teoras fsicasdel siglo XX, la Teora de la Relatividad y la Mecnica Cuntica (que proporcionan unaexplicacin de la realidad y un nivel predictivo ms exacto que cualquier otra teora

anterior), estn plagadas de resultados paradjicos e incluso mutuamente incompatibles.El postulado de la constancia de la velocidad de la luz en el vaco para cualquier sistemainercial de referencia conduce a una serie de resultados paradjicos: la desaparicin delas nociones de espacio y tiempo absolutos, la contraccin del tiempo y de las longitu-des en la direccin del movimiento, el aumento de masa a velocidades relativistas; enfin, la concepcin de la realidad fsica como un continuo espacio temporal con estructu-ra de variedad riemaniana, no necesariamente eucldea (cfr. la deliciosa obrita de divul-gacin [Ei]). La Mecnica Cuntica, por su parte, niega de entrada el principio de causa-lidad (entendido como la posibilidad de predecir el estado futuro de un sistema fsicocon una probabilidad tan cercana a 1 como se quiera, mediante un anlisis suficiente-mente elaborado del fenmeno observado). La inevitable interaccin del observador con

el hecho observado lleva al Principio de Complementariedadde N. Bohr, que establecela imposibilidad de realizar una descripcin causal (en trminos de transferencia de


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energa o momento) de los fenmenos atmicos que sea a la vez una descripcin espa-cio temporal (en trminos de posicin), ya que ambas requieren disposiciones experi-mentales mutuamente excluyentes. Sin embargo, ambas descripciones, son necesariaspara la comprensin del fenmeno. La cuantificacin de este principio conduce al prin-cipio de incertidumbre, formulado por primera vez por W.Heisenberg en 1926, una de

cuyas consecuencias es la dualidad onda-partcula tan tpica del mundo microfsico: laspartculas subatmicas se nos aparecen a veces como diminutas balas tremendamenteveloces, y otras veces presentan fenmenos de difraccin e interferencia propios de lasondas, dependiendo de la disposicin experimental que empleemos. El comportamientode las cosas a escala microcsmica es, simplemente, distinto al que estamos habituado.Sin embargo, al menos podemos decir , con el premio Nobel R. P. Feynman, que to-das [las partculas] estn chifladas, pero exactamente de la misma manera ([Fe; Cap.6]).

Algunas interpretaciones son an ms extremas. As, P. Jordan sostena que lasobservaciones no slo alteran lo que se mide, sino que lo originan: por ejemplo, al me-dir la posicin de un electrn, ste es forzado a asumir una posicin definida; previa-mente no estaba en general all o aqu Si mediante otro experimento se mide la velo-cidad del electrn, se le obliga a decidirse por un valor exacto. En tal decisin, la to-mada anteriormente acerca de la posicin es completamente eliminada. De modo quenosotros mismos producimos los resultados de las mediciones.([Jo]).

As pues, la Fsica Moderna parece haberse instalado confortablemente en el con-vencionalismo: las teoras proporcionan descripciones y predicciones cada vez msexactas de los hechos observados, sin pretender encontrar una explicacin ltima de larealidad. A este respecto es quiz paradigmtica la reflexin que hace R. Feynman acuenta de la discusin del conocido experimento para detectar o bien la energa o bien laposicin de los electrones que pasan a travs de una pantalla con dos agujeros. Como es

bien sabido, en el primer caso los electrones se comportan como ondas, y en el segundocaso como partculas. Dice Feynman:

La cuestin es saber cmo funciona realmente. Qu mecanismo es el cau-sante de todo esto? Nadie sabe de ningn mecanismo. Nadie puede dar una ex-

plicacin del fenmeno ms profunda que la que yo he dado; o sea, una meradescripcin La formulacin matemtica puede hacerse ms precisa Pero elmisterio profundo es el que acabo de describir y, en la actualidad, nadie puedeir ms al fondo. [Fe: Cap. 6]

En el mismo sentido se pronuncia S. Hawking, quien, con ocasin del 25 ani-versario de los Premios Prncipe de Asturias, declaraba recientemente:

Una teora es tan slo un modelo matemtico para describir las observacio-nes, y no tiene derecho a identificarse con la realidad, sea lo que sea lo que estosignifique. Podra ser que dos modelos muy diferentes lograran describir lasmismas observaciones: ambas teoras seran igualmente vlidas, y no se podradecir que una de ellas fuera ms real que la otra. [El Pas, 13/04/2005; pg. 38].

Pero, qu tienen que ver el misterio y las paradojas con el reino del rigor yexactitud que se supone son las Matemticas? El captulo titulado Paradoja perdida y

paradoja recuperadadel clsico [KN] comienza as:

Quiz la mayor de todas las paradojas es que haya paradojas en la mate-

mtica. No nos sorprende descubrir inconsistencias en las ciencias experimenta-les Verdaderamente, el testamento de la ciencia est situado en un fluir tan


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continuo que la hereja de ayer es el evangelio de hoy y el fundamentalismo demaana. Sin embargo, como la matemtica se construye sobre lo viejo, perono lo descarta, como sus teoremas se deducen de postulados con los mtodos dela lgica, no sospechamos, a pesar de haber sufrido cambios revolucionarios,que sea una disciplina capaz de engendrar paradojas.

Como veremos en las pginas siguientes, lo cierto es que las paradojas han apa-recido con profusin en las Matemticas, y han jugado un papel decisivo en su desarro-llo. Los intentos de resolver o evitar una determinada paradoja han supuesto, cuantomenos, una mayor comprensin del problema estudiado. La confrontacin entre el re-sultado obtenido y lo que uno esperaba, produce siempre un efecto de sorpresa y es untoque de atencin que nos induce a reflexionar. Y es este efecto dinamizador de la crti-ca y la reflexin lo que hace tan importante el valor de las paradojas en el desarrollo dela Ciencia en general y de las Matemticas en particular.

Por otro lado, la idea de demostracin rigurosa depende, obviamente, del contextoy del entorno cultural. En los escritos matemticos ordinarios (incluso los de hoy en

da), slo se detallan los pasos no puramente mecnicos; aquellos que suponen una ideanueva, una construccin original o la introduccin de algn elemento nuevo. Pero elconsenso sobre lo que es o no un paso obvio o trivial, ha ido cambiando a lo largo de lahistoria. As, por ejemplo, el hecho de que una funcin (real de variable real) continua,definida en un intervalo cerrado y que toma valores de signo opuesto en los extremosdel intervalo, deba anularse en algn punto del interior del intervalo, era algo obvio paralos matemticos del siglo XVIII (y gran parte de los del siglo XIX); Actualmente estehecho es un Teorema no trivial que se demuestra en los primeros cursos de la Univer-sidad. Por supuesto, el problema es decodificar adecuadamente las palabras que apare-cen en el enunciado de la cuestin, especialmente las nociones defuncin, nmero realy continuidad. Pero incluso en los aparentemente slidos Elementos de Euclides se

pueden encontrar construcciones que no estn claramente justificadas con la sola asun-cin de los 5 Postulados fijados por el autor. Ya en la Proposicin I.1, en que se pruebaque sobre cualquier segmento AB se puede construir un tringulo equiltero, (se trazancircunferencias de centros en A y en B, de radio la longitud del segmento, y el punto decorte C es el otro vrtice del tringulo buscado) aparece una dificultad: Por qu las doscircunferencias se cortan? Nada en los postulados ni en las nociones comunes permiteasegurarlo. Hace falta un nuevo axioma de continuidad. Otro ejemplo: supongamoscuatro puntos sobre la recta, A, B, C, D; supongamos que B se halle entre A y C y queC est situado entre B y D. Parece razonable deducir que, necesariamente, B est ente Ay D, no?. Pues, sorprendentemente, no es posible demostrar este resultado a partir delos axiomas de Euclides (Este hecho fue detectado por M. Pasch nada menos que en1882). La revisin crtica deLos Elementos fue llevada a cabo por D. Hilbert, alrededorde 1900, quien tuvo que elevar la lista de los postulados hasta 20 para desarrollar co-rrectamente la Geometra Eucldea.

En la evolucin de la nocin de rigor a lo largo del tiempo, juega un papel decisivola paradoja, que rompe con los principios establecidos y obliga a crear un nuevo para-digma del rigor. A lo largo de las pginas que siguen tendremos ocasin de examinardistintos ejemplos de este proceso.


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1.- Algunos ejemplos de falacias y paradojas.

Una verdad sin inters puede ser eclipsada por una falsedad emocionante(A. Huxley)

Las falacias (afirmaciones absurdas y contradictorias que aparentan ser conse-cuencia lgica de un razonamiento correcto, pero que esconden un error en el mismo)son las paradojas ms inocuas y, probablemente, las ms divertidas. A veces se presen-tan en forma de acertijo o problema, una especie de reto al lector para que descubra

dnde se encuentra el error en el razonamiento. Su uso razonado puede ser muy til enla enseanza: la confusin e inseguridad que provocan en el estudiante pueden ser utili-zadas para despertar el espritu crtico y aumentar la capacidad de anlisis. Veamos al-gunas de ellas:

Las falacias aritmticas suelen ser muy fciles de desmontar. Muchas de ellas in-cluyen la divisin por 0, ms o menos camuflada, o surgen de ignorar que todo nmeropositivo posee dos races cuadradas. Otras veces, el truco consiste en envolver el pro-blema en un exceso coloquial, que disimula el error introducido. Es paradigmtico elejemplo de la bien conocida:

Falacia de la herencia: Con distintas variantes en las cantidades y la naturaleza

de la herencia, se trata de lo siguiente: un padre de 3 hijos, dueo de un rebao de 17ovejas, al morir dispone en su testamento que el rebao se divida entre sus hijos de lasiguiente forma: La mitad para el mayor, la tercera parte para el mediano y la novenaparte para el menor, con la condicin de no sacrificar ninguna res.

Ante la dificultad de cumplir con los deseos de su padre, los hermanos acuden aun to ganadero-matemtico que tenan, que resuelve el problema as: Primero, les dejauna oveja de su rebao. Del total de 18 ovejas, entrega la mitad (esto es, 9) al hermanomayor, la tercera parte (esto es, 6) al mediano y, finalmente, la novena parte (es decir, 2)al pequeo. As ha entregado 9+6+2 = 17 ovejas, con lo que le queda una, la suya, quevuelve a incorporar a su rebao. As que problema resuelto?

Obviamente, no. ste es un caso tpico en el que el narrador trata de confundir aloyente con una abundancia de informacin que oculta la principal, que es que los datosiniciales son errneos. El padre sera un buen ganadero, pero no saba sumar fraccio-nes, ya que

1 1 1 171

2 3 9 18+ + = !

Realmente, de hacer caso al testamento, el mayor de los hermanos debera recibir8 ovejas y media, el mediano 5 ovejas y 2/3, y el menor 1 oveja y 8/9 de oveja: en total16 ovejas y 1/18, esto es, los 17/18 partes del rebao de 17 ovejas. Quedaran, por tanto,17/18 de oveja sin repartir (1/18 del total). Lo que el astuto to hace, para evitarse los,

es repartir el rebao ampliado (17+1), de acuerdo con las condiciones del testamento.De esta manera reparte 17/18 del nuevo rebao (es decir, 17 ovejas), y al final le queda


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1/18 del mismo, es decir, su propia oveja. Pero obviamente no cumple lo dispuesto en eltestamento.

Falacia del montn de arena: Otras falacias se basan en el uso del sentido comnaplicado a situaciones que no estn bien definidas. Por ejemplo, consideremos las si-guientes propiedades evidentes de los montones de arena:

1. Dos o tres granos de arena no forman un montn.

2. Un milln de granos de arena forma un montn.

3. Si n granos de arena no forman un montn, tampoco lo forman n+1 gra-nos.

4. Si n granos de arena forman un montn, tambin lo forman n-1 granos.

Si usamos la afirmacin (1) y aplicamos sucesivamente la (3) a ella, obviamentecontradeciremos a la (2). Un argumento anlogo muestra que las afirmaciones (2) y (4)

juntas, contradicen a la (1). La paradoja surge precisamente porque la nocin de montnde arena no se define con precisin.

Hay multitud de falacias geomtricas, muchas de ellas basadas en razonamien-tos realizados sobre un dibujo concreto, que produce el resultado (falso) deseado. Porejemplo:

La falacia del crculo vaco: Todo punto P interior de un crculo, est sobre sucircunferencia:

Fig. 1 El crculo vaco

Sea Q el punto de OP a la derecha de P tal que OP.OQ = r2, tracemos la mediatrizdel segmento PQ, que cortar al crculo en dos puntos Uy V. Sea R el punto medio dePQ. Se tiene OP = OR-RP, OQ = OR + RQ = OR + RP (pues RQ = RP). Pero enton-ces

OR2 RP2 = (OR-RP)(OR+RP) = r2 = OR2 +UR2 (T. de Pitgoras),

es decir,

0 = UR2 + RP2 = UP2 (Pitgoras de nuevo!)

Por tanto, UP = 0, esto es, P=U!

(La solucin a la falacia es que R est siempre en el exterior del crculo, y lospuntos Uy V, por tanto, no existen.)


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Tambin resultan interesantes y tiles para clarificar conceptos en la enseanza, lasfalacias del clculo, derivadas de una manipulacin inadecuada del clculo diferencialo integral. He aqu algunas:

I.- La funcin 1( )f xx

= tiene derivada 21

'( )f xx

= < en todo su dominio de definicin.

Por tanto,fes una funcin decreciente en ese dominio (R\{0}). Pero, claramente, -1 b). La trascendencia de estehecho fue reconocida por Arqumedes, que enunci explcitamente como axioma deEudoxo la siguiente consecuencia:

Proposicin X.1 deLos Elementos: Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayorse substrae una magnitud mayor que su mitad, y del resto una magnitud mayor que sumitad, y as sucesivamente, quedar una magnitud que ser menor que la menor de lasmagnitudes dadas.

Utilizando este axioma, se puede demostrar rigurosamente la idea intuitiva de queun conjunto dadoA (p. ej., un crculo, una pirmide, una esfera, un cono de base circu-

3 Si se acepta la Teora de la Relatividad, puede resultar que Aquiles no alcance a la tortuga. Si, por

ejemplo, comienzan separados por un ao-luz y suponemos que Aquiles puede acelerar a 10 m/s2, al cabode unos 337 das alcanzar el 97% de la velocidad de la luz (y no habr alcanzado todava a la tortuga).La contraccin relativista del tiempo har que la tortuga vea para entonces a Aquiles prcticamente para-do. Vanse los detalles en [Bu; Cap. 8], donde se comentan tambin el resto de las paradojas de Zennque hemos mencionado.

4 Recomendamos tambin al lector una visita a la pgina web de S. Marc Cohen(http://faculty.was-hington.edu/smcohen/320/index.html)


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lar, etc.) se puede aproximartodo lo que se quiera por figuras inscritas ms sencillas (enlos casos mencionados anteriormente seran polgonos regulares, uniones finitas deprismas, poliedros formados por unin finita de pirmides de vrtice el centro de la es-fera, pirmides con el mismo vrtice que el cono, etc.). Este es el paso previo para de-mostrar la mayor parte de los teoremas que aparecen en los Elementos que establecen

una relacin entre las magnitudes de dos conjuntosA yB de la forma m(A) = km(B). Enefecto, el argumento consiste en construir dos sucesiones de figuras ms sencillas, demagnitudes computables (por ejemplo, lneas poligonales en caso de longitudes, polgo-nos en caso de reas, prismas en caso de volmenes, etc.), (Pn) contenidas en A y (Qn)conteniendo a B, tales que m(Qn) = km(Pn) para todo n. Por aplicacin del principio deEudoxo se consigue demostrar que, dado >0,

( ) ( ) y ( ) ( )n nm A m P m B m Q < <

para n suficientemente grande. En trminos modernos, la prueba estara completa, yaque

( ) lim ( ) lim ( ) ( )n nn nm B m Q k m P km A = = = Sin embargo, como hemos dicho, el concepto de lmite era extrao a los griegos,

por lo que utilizaban en su lugar una doble reduccin al absurdo: Si m(B) > km(A), es-cribamos = m(B)-km(A). Elijamos sendas figuras P, contenida en A, y Q en B talesque m(Q) = km(P) y m(Q) > m(B)- = km(A). Pero esto es una contradiccin, ya quePA y, portanto, m(P) m(A). Intercambiando los papeles de A yB se muestra que elsupuesto km(A) > m(B) conduce tambin a contradiccin, luego debemos concluir quem(B) = km(A).

El Mtodo de Exhauscin fue extendido y mejorado por Arqumedes al llamado

Mtodo de Compresin. La idea general es la siguiente: Para probar que dos magnitudesgeomtricasXyKson iguales, se construyen dos sucesiones de figuras, una montonacreciente (Ln) y la otra montona decreciente, (Un), que ,respectivamente, estn conte-nidas y contengan a X(lo que implica que m(Ln) < X< m(Un) para todo n) y tales quecumplan:

1. m(Ln) 0 existe unNtal que m(UN)-m(LN) < .

b) Para toda magnitud > 1 existe unNtal que m(UN)/m(LN) < .

Como en el mtodo de exhauscin directo, una doble reduccin al absurdo pruebaqueX = K.

Arqumedes utiliz magistralmente estos mtodos, obteniendo resultados especta-culares, como por ejemplo (vase [He1]):

1. El rea de un crculo es igual a la de un tringulo de base la longitud de lacircunferencia y altura el radio.

2. La superficie de una esfera es igual a la de cuatro crculos mximos.

3. El volumen de una esfera es igual al de un cono de base un crculo de rea

igual a la superficie de la esfera, y de altura el radio de la esfera.4. Cuadratura de la elipse.


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5. Volmenes de slidos de revolucin.

6. Cuadratura de segmentos de la parbola y la espiral logartmica.

Notemos que el mtodo de comprensin slo puede aplicarse si se conoce de an-temano el candidato K, lo que significa que debe ser complementado con algn otro

mtodo que sugiera cul debe ser el resultado. Pero, cul es ese mtodo? La sorpren-dente respuesta no se supo hasta 1906, cuando fue descubierta en Constantinopla, vir-tualmente por accidente, una obra de Arqumedes titulada El Mtodo (incluida en laedicin de Dover de [He1]), que se consideraba perdida y de la que slo se conocanalgunas referencias. En esta obra, Arqumedes cuenta con detalle los mtodos de razo-namiento por l empleados para descubrir algunos de sus ms importantes resultados,antes de obtener una demostracin rigurosa de los mismos (por el mtodo de exhauscino compresin). Esencialmente el mtodo empleado por Arqumedes es el que los mate-mticos europeos del Renacimiento designaran como el de los indivisibles combinadocon una ingeniosa utilizacin de la ley de la palanca, manejado con una seguridad yatrevimiento que deja en mantillas los razonamientos de Cavalieri o Kepler (vase la

seccin 3.2.1). Arqumedes considera, por ejemplo, las figuras planas como formadaspor lminas de densidad unidad, constituidas por un nmero indefinidamente grande(pero finito) de elementos (por ejemplo, bandas paralelas de anchura muy pequea oinfinitesimal, en el lenguaje de casi 2.000 aos ms tarde). Para comparar las reas dedos figuras (una de ellas de rea conocida), establece una correspondencia entre los ele-mentos infinitesimales de cada una, de modo que los elementos correspondientes seequilibren en una balanza imaginaria. Utilizando las leyes de la palanca que l mismohaba estudiado y aplicado en su obra Sobre el equilibrio de planos ([He1]), se puedeestablecer entonces una relacin entre el rea de la figura conocida, T y la de la figuradesconocida, X. Del mismo modo se pueden comparar los volmenes de dos cuerpos enel espacio, considerndolos como slidos de densidad unidad y descomponindolos en

un nmero indefinidamente grande de elementosde volumen infinitesimales. El Mtodocontiene numerosos ejemplos de este mtodo mecnico, como lo llama Arqumedes,para descubrir nuevos resultados. Entre ellos, uno de sus favoritos: la frmula para elvolumen de la esfera (Proposicin 2), de la cual conjetur la de la superficie de la mis-ma, al considerar la esfera como un cono circular de altura el radio y de base un crculode rea el de la superficie esfrica. Ambas frmulas aparecen rigurosamente demostra-das por el mtodo de compresin en Sobre la Esfera y el Cilindro ([He1]), en lo queconstituye un verdadero ejercicio de virtuosismo y orfebrera matemtica.5

Arqumedes seala claramente que el argumento no es riguroso, pues una reginplana no est formada por una coleccin finita de segmentos, ni un volumen por un n-

mero finito de secciones planas, mientras que la ley de la palanca se aplica siempre auna coleccinfinita de masas. Sin embargo,

... el argumento proporciona una clara indicacin de cul es la conclusin co-rrecta. (El Mtodo [He1]).

Tras la edad de oro de los siglos IV y III antes de Cristo, el desarrollo terico de lamatemtica griega comenz a declinar rpidamente. Arqumedes signific la cspidedel pensamiento matemtico de la antigedad y tuvieron que transcurrir ms de 18 si-glos para que la Matemtica llegara a su altura.

5 En [Ed, pg. 68 y sigs.] puede verse varios de los ejemplos de Arqumedes, en lenguaje actual.


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Existen tanto razones externas (cambio en la situacin poltica y social de Grecia,concentracin de profesionales en unos pocos centros, guerras, fin de la influencia hele-nstica, dominacin romana, etc.), como internas para explicar el declive de la matem-tica griega: Y entre estas ltimas, el descubrimientoparadjico de la existencia de mag-nitudes inconmensurables y las paradojas a que da lugar la introduccin de procesos

infinitos, jugaron un papel determinante. Por un lado, originaron la rgida separacinentre geometra y aritmtica (o lgebra), lo que hizo que los griegos trabajaran esen-cialmente con magnitudes geomtricas (longitudes, reas, volmenes), y el manejo delos valores numricos fuera exclusivamente retrico, en lugar de simblico. En conse-cuencia, los complejos y difciles rodeos retricos para realizar clculos simples impe-dan detectar las analogas entre las soluciones de problemas similares y, por tanto, elreconocimiento y codificacin de algoritmos generales de clculo. Es decir, el excesivonfasis geomtrico impidi el desarrollo de una tradicin algortmica.

Por otra parte, si bien las paradojas influyeron decisivamente en el desarrollo delmtodo axiomtico-deductivo, como contrapartida la exigencia griega en el rigor lgicoabsoluto les hizo rechazar todos los conceptos que no pudieran formular completa yprecisamente, y excluir cualquier traza del infinito en sus matemticas, (incluyendo elconcepto de lmite, que se sustituye por una doble reduccin al absurdo), lo que supusouna fuerte limitacin al crecimiento y desarrollo posterior de las mismas.

No obstante, hay que decir que durante ms de 2000 aos, la Geometra de los an-tiguos griegos, con Euclides y, sobre todo, Arqumedes como principales ejemplos, fueconsiderada como el modelo de rigor y exactitud en Matemticas.


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3.- Un paseo por la historia del infinito.

Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de losotros. No hablo del Mal, cuyo limitado imperio es la tica;hablo del Infinito.

(Avatares de la tortuga. J. L. Borges)

3.1.- El infinito fsico

Hay muchos aspectos de la realidad que parecen apuntar hacia la existencia real deinfinitos: por ejemplo, el tiempo parece prolongarse hacia atrs y adelante indefinida-mente; la percepcin del espacio que nos rodea parece indicarnos que ste es ilimitado;cualquier intervalo, espacial o temporal, parece poder dividirse indefinidamente

Aristteles se percat de estos hechos, pero su profunda conviccin en la inteligi-bilidad del mundo real le llev a rechazarla existencia del infinito en el mundo sensibley establecer su distincin entre el infinito actual o real y el infinitopotencial, en el sen-tido de magnitudes o procesos que se pueden prolongar tanto como se desee. Slo acep-ta Aristteles este ltimo tipo de infinito, ya que si algo est ms all de la comprensines que no pertenece al mundo real. En sus propias palabras: ser infinito es una priva-

cin, no una perfeccin (Fsica, III.7.208a).De hecho, Aristteles lo que hace es explicitar una idea ampliamente aceptada por

los griegos. La misma palabra utilizada para designar el infinito, apeiron, poda signifi-car tambin ilimitado, indefinido, totalmente desordenado, etc., y tena un sentido peyo-rativo.

Pero entonces, cmo explicar nuestra percepcin de que el tiempo y el espacio senos presentan en muchos aspectos como infinitos?

Respecto al tiempo, Aristteles sostena la teora, muy extendida en la antigedad,de los ciclos csmicos o tiempo circular: Al cabo de un gran nmero de aos (el Gran

Ao csmico), el Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos recobraran una cierta po-sicin original, y a partir de entonces volveran a repetirse los mismos acontecimientos.Por tanto, no habra una infinidad de acontecimientos ya que en cada recorrido del ciclocompleto o gran ao, volveran a repetirse los mismos. De hecho, ni siquiera hace faltahablar de una infinidad de ciclos: el mismo ciclo puede repetirse una y otra vez. La teo-ra del los ciclos csmicos reaparece con frecuencia a lo largo de la historia.

La aceptacin por parte de la Iglesia Catlica de que el Universo fue creado por ladivinidad en un momento dado, implica el abandono de la teora del tiempo circular yla introduccin de un tiempo lineal. Pero si hubo una Creacin en un momento especfi-co del tiempo, qu haba antes?, qu haca Dios antes de crear el Cielo y la Tierra? Sedice que San Agustn (354-430)dio la siguiente respuesta: Preparar el Infierno para

quienes hacen semejantes preguntas. Pero, realmente, la solucin dada por San Agus-tn al problema fue, como era de esperar de un hombre excepcional, tremendamente


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original: antes de la Creacin, simplemente el tiempo no exista. El tiempo y el Cosmosaparecieron conjuntamente. La eternidad de Dios no es un tipo de tiempo; al contrario,Dios subsiste eternamentefuera del tiempo. Por tanto, no tiene sentido preguntar lo quehaca Dios antes de la Creacin. Hay que hacer notar la semejanza de este argumentocon las teoras cosmolgicas recientes del Big Bang, confirmadas tericamente por el

teorema de Hawking-Penrose de 1970 sobre la existencia de una singularidad al co-mienzo del Universo, si la Teora de la Relatividad general es correcta (cfr. [Ha])

En cuanto al espacio, los astrnomos griegos (y Aristteles con ellos) sostenanque el Universo estaba formado por una serie de esferas en movimiento, con centro enla Tierra, que contenan los distintos objetos que se observaban en el Cielo: la Luna, elSol, los cinco Planetas y las Estrellas Fijas. Por tanto, nuestro universo es acotado yfinito. Respecto a la pregunta obvia de qu hay ms all de la ltima esfera, Aristtelesmantiene que lo que est limitado, no lo est en referencia a algo que lo rodee (Fsi-ca, III.8.208a). El primer argumento clsico contra la finitud del espacio aparece expl-citamente enDe Rerum Natura, del poeta Lucrecio (94-50a. de C.), y es el siguiente: siel espacio fuera limitado, supongamos que alguien llega hasta el mismo borde y lanzaun dardo; entonces, o bien el dardo atraviesa el borde (en cuyo caso no es realmente elborde del espacio) o se para, en cuyo caso se trata efectivamente de una frontera y hayalgo ms all del borde. Este argumento es similar al atribuido al pitagrico Arquitasde Tarento (430-360 a. de C.) para probar que el Cosmos visible (limitado) exista enun vaco infinito: si alguien se encuentra al borde del universo y extiende un brazo haciael exterior, lo tender al vaco; si ahora se coloca un poco ms afuera y lo vuelve a ten-der, y repite el proceso indefinidamente, resultar que el exterior del universo sera infi-nito (incidentalmente, para Aristteles este argumento slo probara que caso de existirel vaco sera potencialmente infinito.) El punto dbil de la teora de Aristteles es puesque si el Cosmos es una esfera finita, tiene un borde, y el argumento de Lucrecio se

puede aplicar. Ahora sabemos que se pueden concebir modelos cosmolgicos finitos ysin borde, como puede ser la superficie de una hiperesfera, lo que hara ms defendiblela idea de Aristteles.

Durante la Edad Media, el modelo cosmolgico griego (esencialmente formalizadopor Ptolomeo) fue asumido sin discusin, salvo ligeras modificaciones para adaptarlo alas nuevas observaciones realizadas. La revolucin astronmica llevada a cabo por N.Coprnico y J. Kepler en los siglos XVI y XVII, acab con este modelo y plante denuevo la posibilidad de un espacio infinito. Tras el precedente de Lucrecio, un ingls,Thomas Digges, public en 1576 una obra de divulgacin sobre la teora de Coprnicoy describi un Universo donde las estrellas eran otros soles, esparcidos por un espacioinfinito. Giordano Bruno defendi apasionadamente la idea de un Universo infinito,tanto en el espacio como en el tiempo; en l existiran infinitos mundos, muchos deellos habitados por otros seres humanos (Del infinito Universo y Mundos, 1584). Susteoras planteaban tremendos problemas teolgicos y contradicciones con muchas afir-maciones contenidas en la Biblia: la Creacin haba tenido lugar en un momento deter-minado del tiempo y el mundo no haba existido eternamente, como afirmaba Bruno.Slo hubo una Cada y una Redencin. Cmo podan participar de estos hechos loshabitantes de los otros mundos? Haba sido Cristo crucificado en todos los mundos, oexistan seres humanos sin pecado original? En 1591, Bruno fue detenido por la Inquisi-cin y, tras nueve aos de interrogatorios y torturas, fue quemado en la Plaza romana deCampo di Fiori en 1600.


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La rpida difusin y amplia popularidad de las teoras de Coprnico y Kepler, a pe-sar de la oposicin de la Iglesia, se debi en gran parte al trabajo del iniciador de laRevolucin Cientfica que iba a cambiar sustancialmente las ideas sobre la Naturaleza yel Universo: Galileo Galilei (1564-1642). Su descubrimiento del telescopio en 1609 ysus observaciones y teoras sobre la Naturaleza se difundieron rpidamente por toda

Europa. A ello contribuyeron sin duda sus libros, dirigidos a un pblico muy amplio yque tuvieron un enorme xito. Por ejemplo, su famoso Dilogo sobre los dos mximosSistema del Mundo (se refiere al Ptolomeico y al Copernicano), publicado en 1632,estaba escrito en italiano, en lugar de latn, que era la lengua cientfica por excelencia.

Si bien no contiene pruebas concluyentes del sistema copernicano (y alguna de lasteoras que propugna son completamente errneas, como el captulo dedicado a las ma-reas), El Dilogo contribuy decisivamente a demoler la cosmologa aristotlica y sea-l las pautas a seguir por la nueva Revolucin Cientfica en ciernes. Ya en su libro Ilsaggiatore (El Ensayista), dedicado al papa Urbano VIII en 1623, Galileo haba ex-puesto sus ideas sobre el mtodo cientfico:

La Filosofa est escrita en ese gran libro que es el Universo Pero no po-demos entender el libro si antes no aprendemos el lenguaje en el que est escrito

y su alfabeto.Ese lenguaje es el de las Matemticas,y sus caracteres son trin-gulos, crculos y otras figuras geomtricas, sin la cuales es humanamente imposi-ble entender una sola palabra de l

Estas ideas se desarrollan y concretan en El Dilogo: A travs de una serie de di-logos entre los principales personajes, Salvati y Simplicio, Galileo defiende que la Na-turaleza est regida por una serie de principios bsicos simples, que deben descubrirsepor la experimentacin y la induccin. Una vez descubiertos estos principios, debe en-

contrarse una descripcin o modelo matemtico del fenmeno estudiado, que permitapredecir hechos, comprobables de nuevo por la observacin y experimentacin. Estaltima parte y, sobre todo, la necesidad de matematizarla Naturaleza para su compren-sin, supona un cambio fundamental con el aristotelismo vigente.

El xito de El Dilogo fue inmenso en toda Europa y atrajo la atencin de la In-quisicin, que prohibi su venta y llam a juicio a Galileo. En junio de 1633, reafir-mando el dictamen de la Inquisicin de 1616 sobre la teora copernicana, un tribunal de7 cardenales declar absurda, falsa en Filosofa y hertica la afirmacin de que el Solocupa el centro del Universo y que la Tierra no est inmvil en el centro del mundo. yoblig a Galileo, a rectractarse de sus creencias. Tras la abjuracin, fue condenado a

una especie de arresto domiciliario de por vida, muriendo en su hogar, cerca de Floren-cia, en 1642. A pesar de su reclusin y amargura, sigui trabajando incansablemente, yen 1638 apareci su Discorsi e dimostrazioni matematiche in torno a due nove scienzeattenanti alla mecanica i movimenty locali, en el que hace un estudio sistemtico y re-volucionario sobre el movimiento de los proyectiles, formula la ley de composicin demovimientos, la del movimiento uniformemente acelerado y aborda el estudio del pn-dulo.

La comprobacin por parte de los astrnomos de que al aumentar la potencia de sustelescopios se descubran ms y ms estrellas, cada vez ms lejanas, hizo que fueraarraigando con fuerza la idea de un Universo infinito. El mismo Galileo se inclinaba por

esta opcin, aunque nunca dio por zanjada la cuestin. La causa de estas dudas, quecontrastan con la facilidad con la que muchos de sus contemporneos aceptaron la idea


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de un Universo infinito, probablemente se debe a las propiedades paradjicas que lmismo haba descubierto del infinito matemtico (vase la Seccin siguiente.)

Pragmtico como era, en una carta que escribi en 1649 a Fortunio Liceti, un Pro-fesor de la Universidad de Padua, manifest que no poda concebir un universo finito ylimitado ni un universo infinito e ilimitado. El hecho de que lo infinito no pudiera sercomprendido por el intelecto finito del hombre, le induca a inclinarse por la segundaposibilidad: era mejor sentirse desconcertado ante lo incomprensible que verse incapazde comprender lo finito!

El hombre encargado de desarrollar el programa de Galileo, Isaac Newton (1642-1727), crea, como G. Bruno, que el espacio era infinito y estaba ocupado por un Diosomnipresente. Su primer argumento en apoyo de esta idea se encuentra en una cartaescrita al clrigo Richard Bentley en 1692: Si el universo fuera finito dice Newton- lagravedad determinara que toda la materia se concentrara finalmente en un punto. Por elcontrario, en un universo infinito cualquier astro experimentara fuerzas gravitatorias entodas direcciones.

El argumento de Newton se basa en su concepcin de un espacio infinito y estti-co. Hoy sabemos que esto no es as. Adems, el Universo visible tiene una estructuragrumosa, no homognea: las estrellas se distribuyen en galaxias, muy distantes unas deotras. Los efectos gravitacionales del resto de las galaxias son despreciables frente a losque originan las estrellas de la propia galaxia. Y sin embargo, las galaxias permanecenestables a lo largo de muchos millones de aos, ya que su rotacin impide el colapsoque predeca Newton. Claro est que Newton no saba de la existencia de otras galaxiasdistintas de nuestra propia Va Lctea, y las observaciones de los astrnomos contempo-rneos suyos parecan mostrar que las estrellas se hallaban uniformemente distribuidasen el espacio, lo que serva de apoyo a su argumento.

Aunque nadie haba encontrado un argumento concluyente que probara que el uni-verso es infinito, la mayora de los cientficos de la poca se inclinaban por esta idea.Sin embargo, el astrnomo real Edmon Halley (1656-1742) (que, por cierto, habafinanciado la primera edicin de los Principia de Newton), crey haber encontrado unargumento en contra de la infinitud del Universo: Si lo fuera argumentaba Halley-contendra infinitas estrellas, y no habra lugar en el cielo al que uno pudiera dirigir lamirada sin que la lnea de visin se encontrara con una estrella. Por tanto, el cielo en lanoche debera aparecer tan brillante como durante el da! En la actualidad este argumen-to se conoce como Paradoja de Olbers , por el astrnomo alemn H. Olbers, que laredescubri en 1826. El mismo Olbers crey haber encontrado una explicacin: la luz

de las estrellas lejanas podra ser absorbida por grandes masas de materia interestelarintermedias. Pero si esto sucediera, con el tiempo esta materia intermedia se calentara,hasta hacerse tan brillante como las mismas estrellas. Se puede argumentar que, inclusoen un universo infinito con infinitas estrellas, stas podran estar asimtricamente distri-buidas y existir algunos sectores (infinitos) del cielo sin estrellas. Pero esta hiptesisparece poco natural (y contradice las observaciones astronmicas.) La hiptesis delBig

Bang, ampliamente aceptada en la actualidad, permite explicar fcilmente la paradoja: sise admite que el Universo tuvo su origen en una gran explosin, hace unos 15.000 mi-llones de aos, aunque el espacio fuera infinito y con infinitas estrellas slo podramospercibir las que estuvieran situadas a menos de 15.000 millones de aos luz y, adems,la luz emitida por las ms lejanas habra sufrido un enorme desplazamiento hacia el rojo

(convirtindose de hecho en ondas de radio).


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En el momento actual, an no tenemos una respuesta definitiva a la pregunta de siel espacio es finito o infinito. A lo largo del siglo XX han ido apareciendo importantesdatos empricos que parecan inclinar la respuesta en una direccin, para despus corre-girla en sentido contrario. Si se acepta la Teora de la Relatividad, la respuesta depende-r de la curvatura del espacio: si sta es positiva, el Universo se cerrar sobre s mismo

y ser finito; si la curvatura es negativa o 0, el Universo ser infinito. Por otro lado, laidea de un Universo en el que tiempo y espacio deben ser finitos y sin frontera es defen-dida por muchos cosmlogos modernos, con S. Hawking a la cabeza (Cfr. [Ha; pg.182 y sgs.])

Una curiosa variacin de la hiptesis del tiempo circular, en versin espacial apa-rece en el relato de J. L. Borges La Biblioteca de Babel (cfr. [Bg2]), que comienza as:El Universo (que otros llaman Biblioteca), se compone de un nmero indefinido, y talvez infinito, de galeras hexagonales La biblioteca, que es eterna, contiene todo posi-ble libro de 410 pginas y cualquier combinacin concebible de letras aparece en algntomo. Contra los que declaran que el Universo (la Biblioteca) no es infinito, ya que elnmero posible de libros de 410 pginas, aunque muy grande, es finito, el narradorafirma que la biblioteca es infinita y peridica. Si un eterno viajero la atravesara encualquier direccin, comprobara la cabo de los siglos que los mismos volmenes serepiten

La interrelacin entre las dos principales teoras fsicas del siglo XX, la Teora dela Relatividad y la Mecnica Cuntica, ha producido una serie de fascinantes conse-cuencias que hace que muchos de los textos y artculos dedicados a estos temas parez-can verdaderas obras de ciencia-ficcin, plagados como estn de nombres como su-

percuerdas, agujeros de gusano, mundos paralelos, tiempo imaginario, viaje en eltiempo, etc. Como excelente botn de muestra pueden consultarse [Ga], [Yn] y lasobras de divulgacin [Ha], [Mo] y [Pe1]. En ellas se puede comprobar que en los dis-

tintos modelos matemticos empleados para describir la realidad son, a veces, incom-patibles entre s, y en todos aparecen con frecuencia cantidades infinitas: R. Penroseprob en 1970 que si la Teora de la Relatividad es cierta, en un agujero negro lasfuerzas gravitatorias se haran infinitas (la interpretacin lgica de este hecho es quedentro de un agujero negro, la Teora de la Relatividad no es cierta); la Electrodinmi-ca Cuntica trata de introducir los efectos relativistas en la descripcin cuntica de lasinteracciones entre partculas y, segn los expertos, es la teora probada experimen-talmente con mayor precisin de la Fsica. Pues bien, esta teora lleva a considerar quelos electrones son puntos sin dimensiones, dotados de una masa y una energa infini-tas. Las ecuaciones de la electrodinmica cuntica proporcionan muchas veces solu-ciones infinitas, que deben ser eliminadas mediante las tcnicas de renormalizacinintroducidas por J. Schwinger y R. Feynman, no muy ortodoxas matemticamentehablando, pero que proporcionan soluciones notablemente acordes con las observacio-nes En fin, en los textos reseados anteriormente pueden encontrarse muchos otrosejemplos que muestran claramente que los fsicos parecen haber aceptado plenamentela situacin.

Para finalizar, dediquemos algunas lneas al problema del continuo en la realidadfsica, es decir, son el tiempo y el espaciofsicos infinitamente divisibles?

Para Aristteles la respuesta es afirmativa, y lo pone claramente de manifiesto consu definicin de continuo: Lo que puede dividirse en partes que son infinitamente divi-

sibles (Fsica, VI. 232b). Probablemente, las aporas de Zenn tuvieron algo que ver condicha concepcin. Notemos, sin embargo, que esto no contradice su rechazo de magni-


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tudes infinitas reales, ya que si bien un cuerpo material o un intervalo de tiempo puedendividirse indefinidamente, como nadie puede realizar esas infinitas divisiones, no puededecirse que el conjunto de partculas del objeto o de instantes de tiempo sea infinitorealmente, sino slo en sentidopotencial.

Como sabemos, la mayora de las teoras sobre la naturaleza de la materia que sehan desarrollado a lo largo de la historia, se inclinan hacia la existencia de elementos opartculas bsicas e indivisibles que compondran, por agregacin, todo lo existente:primero, los cuatro elementos clsicos de la Antigedad griega (Aire, Tierra, Fuego yAgua), que al mezclarse en diversas proporciones, originaran todas las dems sustan-cias. Despus, los Alquimistas agregaron al sistema nuevas sustancias elementales,como ciertas sales, esencias, etc.. Los primeros qumicos encontraron una nueva unidadfundamental de cada sustancia: la molcula. Posteriormente, se comprob que las mol-culas podan a su vez descomponerse en unidades ms simples, llamadas tomos, de losque se pens que existan menos de un centenar diferentes (cantidad que ha ido aumen-tando paulatinamente). Cuando se dispuso de energas mayores, se descubri que eltomo no era una unidad tan simple, sino que poda romperse en diversas partculas:electrones, protones, neutronesA lo largo de los ltimos 50 aos, utilizando acelera-dores cada vez ms energticos, se han ido encontrando ms y ms partculas elemen-tales que, actualmente, parecen estar todas ellas constituidas por distintas variedadesde quarks (cuyo nmero va creciendo con el uso de mayores energas) Citando a S.Hawking, Podramos, en verdad, esperar encontrar varios niveles de estructura msbsicos que los quarks y electrones que ahora consideramos como partculas ele-mentales. ([Ha, pg. 215]). La verdad es que el proceso parece repetir el viejo argu-mento de Aristteles de la divisibilidad infinita del espacio. Sin embargo, el mismoHawking seala que

la gravedad puede poner un lmite a esta sucesin de cajas dentro de ca-

jas. Si hubiese una partcula con una energa por encima de lo que se cono-ce como energa de Planck (109 GeV), su masa estara tan concentrada quese amputara ella misma del resto del universo y formara un pequeo aguje-ro negro. [ibidem]

Otros cientficos prefieren interpretar la realidad como un continuo espacio tem-poral, en el que los distintos objetos que percibimos surgen como variaciones o pertur-baciones en la geometra del mismo. En esta interpretacin, la pregunta sera si el conti-nuo espacio temporal tiene una estructura granular (lo que significara la existencia departculas o granos indivisibles) o no.

Y quiz, las nociones de espacio y tiempo son abstracciones que puedenaplicarse al nivel de nuestra experiencia sensible, pero que carecen de sentido ms allde la trigsima cifra decimal. Qu habra entonces all? Nuestro viejo amigo el apei-ron ([Ru, pg. 29]).

En todo caso, en el momento actual, parece que no existe una respuesta definitivaa la cuestin de si la materia es finita o infinitamente divisible.

Salvo algunos pensadores medievales (entre ellos, San Isidoro de Sevilla) quecrean que el tiempo est formado por instantes indivisibles, llegando a cuantificar queuna hora contena exactamente 22.560 instantes (cfr. [B1, pg. 66]), no parece que hayahabido muchos defensores de la idea de un tiempo discreto. En este aspecto, la concep-cin generalizada, pues, es la misma que la de Aristteles: El tiempo es un continuoinfinitamente divisible.


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3.2.- El infinito en Matemticas

Para algunos autores la historia de la fundamentacin de las Matemticas puedeverse como un enriquecimiento progresivo del universo matemtico para incluir ms y

ms infinitos ([Ru]). Pero, por otro lado, la introduccin de conjuntos o procesos infini-tos es la causa principal de la aparicin de paradojas en Matemticas. Ya hemos vistoque los matemticos griegos fueron plenamente conscientes de este fenmeno, lo queles llev a una autolimitacin en el uso del infinito.

Tambin hemos visto cmo Aristteles rechazaba la existencia del infinito actual oreal en el mundo sensible, admitiendo slo la existencia de infinitos potenciales. Encuanto al uso del infinito en Matemticas, Aristteles dice:

El negar la existencia actual del infinito no priva a los matemticos de sus es-peculaciones. De hecho ellos [los matemticos] no necesitan este infinito y nohacen uso de l. Slo postulan [por ejemplo] de una lnea finita que puede pro-

longarse tanto como se desee[Fsica, III, 207b.]El enunciado de la famosa demostracin de la infinitud de los primos que aparece

como proposicin 20 del libro IX de Los Elementos (cfr. [He2]) es paradigmtico deesta limitacin en el uso de conjuntos infinitamente grandes: No se afirma que el con-

junto de los nmeros primos sea infinito, sino que hay ms nmeros primos que cual-quier coleccin de primos que consideremos, es decir, dada cualquier coleccin finitade primos, siempre existe otro primo que no pertenece a ella (y, de hecho, es mayorquecualquier primo de la coleccin). Los procesos infinitos se eliminan, al exigir que laconclusin o demostracin se obtenga tras un nmero finito de etapas. Tambin hemosvisto cmo, de manera sutil, en los propios Elementos se proscriben las magnitudes in-finitas y las infinitamente pequeas: La definicin 4 del libro V (que, recordemos, esta-blece que dos magnitudes forman razn cuando cada una de ellas admite un mltiploque excede a la otra), prohbe de hecho la existencia de magnitudes infinitamente pe-queas o infinitamente grandes y evita que se puedan comparar (formar razn) longitu-des con reas o reas con volmenes. Como veremos, sto es precisamente lo que hicie-ron los iniciadores de los mtodos infinitesimales de los siglos XVI y XVII.

La autoridad e influencia del pensamiento de Aristteles hizo que el rechazo a laexistencia del infinito actual perviviera durante ms de 2.000 aos. Slo al final del si-glo XIX los matemticos se atrevieron (no sin profundas controversias) a dejar de ladoestas ideas.

Con el establecimiento del Imperio Romano en el Mediterrneo, la cultura Griegacomienza un lento declive, refugindose principalmente en Alejandra, hasta su conquis-ta por los rabes en el ao 641 d. de C. Por otro lado, el colapso del Imperio Romanode Occidente en el siglo V de nuestra Era llev a Europa a un largo perodo de oscuri-dad en el aspecto cultural y cientfico. La herencia cultural griega fue conservada enparte y finalmente transmitida a Europa a travs del Imperio Bizantino primero y, sobretodo, de los rabes, quienes la enriquecieron con la incorporacin de las ideas sobrearitmtica y lgebra de las civilizaciones orientales, especialmente con la notacin posi-cional y la introduccin del 0. El nuevo sistema de numeracin se fue extendiendo len-tamente, pero puede decirse que a partir del siglo XIII se generaliza su empleo. Uno delos centros fundamentales de transmisin de cultura fue precisamente la Escuela de Tra-

ductores de Toledo, con Gerardo de Cremona a la cabeza. La asimilacin y aceptacinde la cultura griega y en particular del pensamiento aristotlico por parte de la Iglesia


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Catlica a partir del siglo XIII, sent las bases para el renacimiento intelectual en lacultura Occidental.

Las especulaciones sobre la naturaleza del infinito y el continuo durante la EdadMedia fueron de carcter esencialmente filosfico, ms que cientfico. En lneas genera-les, se aceptaron las ideas de Aristteles al respecto (con la obvia modificacin de laexistencia real de Dios como un infinito absoluto). Sin embargo, a comienzos del sigloXIV algunos filsofos (la mayora pertenecientes al Merton College de Oxford), inicia-ron el estudio cuantitativo del movimiento, lo que implicaba cuantificar la variacin demagnitudes continuas, algo completamente extrao al pensamiento griego, que sloconsideraba movimientos uniformes. Los filsofos del crculo de Merton, entre los quedestacan Richard Suiseth (o Swineshead), conocido como El Calculador, y ThomasBradwardine, que fue Arzobispo de Canterbury, comenzaron a estudiar el movimientouniformemente acelerado, en el que la velocidad vara proporcionalmente al tiempotranscurrido. Por supuesto, la idea de velocidad instantnea se utilizaba de forma intui-tiva y poco precisa, pero permiti obtener resultados correctos. Los argumentos sonsiempre tediosos y retricos, a falta de un simbolismo adecuado, y con frecuentes lla-madas a la intuicin. En cualquier caso, pueden considerarse como los primeros antece-dentes de la nocin de derivada de una cantidad variable. Incluso las palabras fluxus y

fluens, tan utilizadas por Newton tres siglos ms tarde, aparecen ya en los trabajos deCalculador. Estos trabajos conducen con frecuencia, de manera natural, al problema desumacin de una serie infinita. Por ejemplo, Suiseth plante el siguiente problema: Cal-cular la velocidad media de un mvil que durante la primera mitad del tiempo total desu movimiento, lo hace con velocidad constante; el siguiente cuarto lo hace a velocidaddoble de la inicial; el siguiente octavo del tiempo total lo hace al triple de la velocidadinicial, y as ad infinitum. Si se consideran tanto el intervalo de tiempo como la veloci-dad inicial la unidad, el problema es equivalente a calcular la suma

1 2 32 4 8 2n

n+ + + + +L L

Calculadorobtuvo el resultado correcto (=2) mediante un largo y farragoso argu-mento verbal. sta parece ser el primer ejemplo de sumacin de una serie infinita queno es una serie geomtrica. Pero adems, Calculadorparece aceptar la idea de la sumade la serie infinita como un proceso ilimitado, a diferencia de los argumentos utilizadospor Arqumedes para obtener la suma de algunas progresiones geomtricas, esto es:obtener una expresin para la suma de un nmerofinito de trminos y comprobar (utili-zando el axioma de Eudoxo) que esta suma difiere tanto como se desee de un candidatopreviamente encontrado.

Los estudios del crculo de Merton se extendieron a Francia e Italia a lo largo delsiglo XIV. El parisino N. Oresme (1323-1382) introdujo el uso de representacionesgrficas y diagramas geomtricos para dar demostraciones ms sencillas y convincentesque las de Calculador. Su idea fue representar una cantidad variable (temperatura, velo-cidad, densidad, etc.) por medio de un segmento vertical cuya longitud en cada instanteera el valor de la cantidad. Esta representacin anticipaba claramente la idea de sistemade coordenadas, as como la de dependencia funcional. Por ejemplo, representa la velo-cidad de un mvil uniformemente acelerado durante un intervalo de tiempo [0,T], pormedio de un trapecio construido sobre el intervalo, de modo que el lado vertical en 0tiene como longitud la velocidad inicial v0 del mvil, y en T su velocidad final vf .

Oresme no explicita claramente que el rea del trapecio representa la distancia recorridapor el mvil, pero por las consecuencias que infiere, sta parece haber sido su interpre-


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tacin. Por ejemplo, deduce que el espacio recorrido es s = (v0 + vf)T(esto es, el rea

del trapecio), resultado equivalente a la conocida regla de Merton para el clculo de lavelocidad media en un movimiento uniformemente acelerado. En todo caso, esta ideafue ms o menos aceptada implcitamente por los Escolsticos de los siglos XIV a XVI,y explicitada claramente en el famosoDiscurso de Galileo de 1638, del que ya hemoshablado.

Oresme introduce mtodos geomtricos para la sumacin de algunas series infini-tas, que sustituyen con ventaja a los mtodos retricos de la escuela de Merton, aunqueseguan siendo tediosos y construidos ad hoc. Tambin a Oresme se debe la primerademostracin de la divergencia de la serie armnica.

El estudio de las series infinitas continu a lo largo de los siglos XVI y XVII sinavances prcticos significativos, aunque contribuy decisivamente en la aceptacin delos procesos infinitos en Matemticas, preparando as el camino para el desarrollo delos mtodos infinitesimales.

3.2.1Los indivisibles y los mtodos infinitesimales.

El Renacimiento cientfico y cultural de los siglos XV y XVI se asocia a menudo ala rpida difusin de los clsicos griegos provocada por la invencin de la imprenta. Porotro lado, la aparicin de una nueva clase de artesanos libres despert el inters en labsqueda de nuevos materiales y, en general, por el desarrollo de la tecnologa. Las ex-ploraciones geogrficas a travs de miles de kilmetros de mar abierto demandabannuevos y ms precisos mtodos para determinar la posicin; el incremento del comercioexiga nuevos y ms rpidos mecanismos de clculo; la introduccin de la plvora signi-fic la aparicin de nuevos problemas militares, como el movimiento y trayectoria de

los proyectiles. Al mismo tiempo, el conocimiento de extraas civilizaciones provocun sentimiento de apertura en la cultura europea y la imprenta permiti la diseminacindel conocimiento, hasta entonces controlado frreamente por la Iglesia. Todo, en fin,contribuy a que la idea de la bsqueda del conocimiento y el desarrollo cientfico paradominar la Naturaleza se convirtiera en un rasgo dominante de la civilizacin Europeamoderna, preparando el terreno a la revolucin cientfica que tuvo lugar a partir del si-glo XVII.

En las Matemticas, el Renacimiento se plasm en el rpido progreso en el lgebray, sobre todo, el desarrollo de un simbolismo adecuado, que permiti obtener mtodosde clculo cada vez ms eficaces: A lo largo del siglo XVI, la escuela de algebristas

italianos (Tartaglia, Cardano, Bombelli, etc.) haba conseguido obtener las frmulaspara resolver las ecuaciones algebraicas de grados 3 y 4 por radicales. En esta tarea, sefue desarrollando tambin un simbolismo algebraico adecuado, que result esencial parael desarrollo del lgebra y, a fin de cuentas, de toda la Matemtica.

De hecho, los signos + y - comienzan a emplearse a partir de 1481; el smbolo para el producto fue introducido por Oughtred algo ms tarde, y el signo = lo introdujoR. Recorde, autor del primer tratado ingls de lgebra, en 1557. Los smbolos > y +

Hasta entonces se tena la conviccin, basada en la experiencia fsica, de que todacurva continua posea una tangente definida, salvo a lo ms en ciertos puntos aislados.El ejemplo de Weierstrass supuso una nueva conmocin para la comunidad matemtica.Como sucede siempre, conocido el primer ejemplo, empezaron a surgir muchos otros.Ms an, el conjunto de funciones reales continuas en un intervalo compacto que tienenderivada a la derecha al menos en un punto, es de primera categora (en el sentido deBaire) en el espacio mtrico completo de todas las funciones continuas en el intervalocon la mtrica de la convergencia uniforme, con lo que su complementario es extrema-damente grande (en sentido de la categora de Baire). Este resultado fue probado por S.

Mazurkiewicz .([Maz]) y extendido despus por Banach ([Ba2]). Por otro lado, las fun-ciones continuas no derivables en ningn punto son hoy un lugar comn en muchas ra-mas del anlisis, como el movimiento Browniano, los fractales, las ondculas, etc. conlo que, una vez ms, podemos constatar la cita de [KN] recogida en la introduccin:tambin en matemticas la hereja de ayer es el Evangelio de hoy

Resulta igualmente paradjico que, tras probar la existencia de funciones tan pato-lgicas como la anterior, Weierstrass demostrara en 1875 (cuando tena 70 aos!) que

20 Parece que Weierstrass haba dado ya un ejemplo de una tal funcin en su Seminario en 1861.El ejemplo que damos es el que aparece en el Volumen 2 de suMahematische Werke.


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cualquierfuncin continua en un intervalo compacto se puede aproximar uniformemen-te por polinomios ([We])21, es decir, aunque haya funciones continuas muy irregulares,se pueden aproximar uniformemente por funciones extremadamente regulares. Este teo-rema, considerado uno de los resultados fundamentales de la teora de aproximacin fueextendido sustancialmente por M. H. Stone (1903-1989) en 1937 (cfr. [Sto]).

Entre la plyade de funciones y curvas patolgicas que surgieron a finales del sigloXIX, queremos destacar, finalmente, dos ejemplos significativos (ambos, tambin, cur-vas sin tangente en ningn punto). El primero de ellos se debe originariamente a G.Peano (1858-1932), quien en 1890 construy una curva continua que pasa por todos lospuntos del cuadrado unidad I =[0.1][0,1] ([Pea]). La construccin de Peano es esen-cialmente analtica, utilizando la representacin decimal en base 3. El ao siguiente,Hilbert construy otra curva del mismo tipo por medio de un algoritmo geomtrico msfcil de describir, a saber: Dibujemos un cuadrado de lado unidad. Lo dividimos en cua-tro partes iguales. Unimos los centros de los cuatro cuadrados como muestra la figurainferior (Figura 7). Volvemos a dividir cada cuadrado en cuatro cuadrados idnticos y

unimos de nuevo los centros de todos los cuadrados mediante una sola curva siguiendoel patrn mostrado en el segundo paso de la figurada inferior (orden 2). Repitiendo elproceso (en la figura se muestra la tercera iteracin), y con una parametrizacin adecua-da obtenemos una sucesin de funciones continuas (fn) de modo que la distancia |fn+1(t)-

fn(t)| en cada punto tno excede la longitud de la diagonal del cuadrado obtenido en la n-sima iteracin, es decir, 2.2-n. Por tanto, estas funciones convergen uniformemente auna funcin continua fde [0,1] en I. La imagen de f (imposible de dibujar) es la curvade Hilbert ([Hi1]). .

Figura 7

Puede probarse fcilmente que f([0,1]) = I, es decir, la curva de Hilbert llena elcuadrado I. Este ejemplo supuso un nuevo golpe a la idea intuitiva de dimensin. , tras lademostracin de Cantor en 1877 de que exista una biyeccin entre I y el intervalo [0,1].

Afortunadamente, L. Brouwer (1881-1966) demostr en 1911 que no puede existir unabiyeccin continua entre I y [0,1], obteniendo de paso una nocin de dimensin queresulta ser un invariante topolgico. Notemos tambin que las curvas descritas por lasfunciones fn tienen longitudes crecientes, que superan a cualquier cantidad fijada to-mando n suficientemente grande, lo que implica que la curva de Hilbert tiene longitudinfinita.

Pese a su carcter paradjico, varios matemticos se percataron enseguida de quelas curvas de Peano y Hilbert podan ser ,muy tiles para extender resultados conocidosde la recta real a espacios de dos o ms dimensiones. Por ejemplo, H. Lebesgue demues-

21 En 1886 apareci una traduccin al francs: Sur la possibilit dune reprsentation analytique

des fonctions dites arbitraires dune variable relle, en el J. Math. Pure et App. (Journal de Liouville).


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tra el teorema de Heine Borel en dos dimensiones por este mtodo en sus Leons surlintgration ([Le2; p. 117]). Ms adelante, el mismo Lebesgue confes que en un pri-mer momento haba intentado usar este mtodo para extender su teora de integracin alcaso de funciones de varias variables. Posteriormente, F. Riesz (1880-1956), en su tra-bajo sobre el problema de los momentos y sus variantes, introduce los espacios Lp

(1


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do en 197522y traducido a ms de 15 idiomas, puso de manifiesto la utilidad de estosobjetos (cuyo nombre acu) en la modelizacin de muchos procesos de la Naturaleza.Al mismo tiempo, el rpido desarrollo de los ordenadores personales hizo posible elacces a imgenes grficas de gran belleza, obtenidas por procesos iterativos utilizadospara la descripcin de objetos fractales, lo que contribuy no poco a la popularizacin

de los mismos.

4.2.- Paradojas de la Teora de Conjuntos.

A pesar de las reticencias iniciales, poco a poco se fue consolidando la idea de quela Teora de Conjuntos poda ser la base sobre la cual construir toda la Matemtica. Aspues, una slida fundamentacin de la Teora de Conjuntos, proporcionara la ansiadabase firme sobre la que asentar toda la Matemtica.

Pero, como sabemos, la nocin de conjunto no es tan simple como parece. En efec-

to, ya en 1895 Cantor haba encontrado una dificultad importante en el desarrollo de suteora. Es muy fcil ver que si A es un conjunto con n elementos, hay exactamente 2nsubconjuntos de A (incluyendo el vaco y el total). En particular, el nmero de elemen-tos del conjunto de partes de A (es decir, su cardinal) es estrictamente mayor que el deA. Cantor demostr la validez de este hecho para cualquier conjunto A: el cardinal delconjunto formado por todos los subconjuntos de A es estrictamente mayor que el de A.Pero, si consideramos el conjunto U de todos los conjuntos, cada uno de sus subconjun-tos es un elemento de U, luego el conjunto de sus partes es un subconjunto de U y, portanto, su cardinal no puede ser mayor que el de U!

Por la misma fecha, Cantor encontr tambin otra paradoja en su teora de nme-

ros ordinales: Puesto que, como l mismo haba probado, cualquier conjunto de ordina-les est bien ordenado (y, por tanto, tiene un nmero ordinal), si consideramos el con-junto de todos los ordinales, ste tendr un ordinal estrictamente mayor que cualquierotro, en particular estrictamente mayor que s mismo!. Cantor no dio difusin a estasparadojas (aunque las coment con Dedekind y Hilbert, al menos). C. Burali-Forti(1861-1931) public en 1897 ([Bur]) una versin esencialmente equivalente a la parado-

ja de los ordinales, por lo que sta se conoce actualmente como paradoja de Burali-Forti.

Pero lo peor estaba an por venir. En 1901 B. Russell (1872-1970) descubri laparadoja que lleva su nombre, que puso en cuestin los intentos de fundamentar slida-

mente las Matemticas en la Teora de Conjuntos. La paradoja de Russell apunta preci-samente contra la nocin misma de conjunto: una entidad de la que se sabe en todomomento si un objeto cualquiera pertenece o no a ella. Con ms precisin: el llamadoaxioma de comprehensin, introducido por Cantor, establece que cualquier predicadoP(x) con una variable librex, determina un conjunto cuyos elementos son precisamentelos objetos que satisfacen P(x). El axioma lo que hace es formalizar la idea intuitiva deque un conjunto queda determinado al dar una propiedad que caracteriza a sus elemen-tos. Pues bien, Russell consider como P(x) la propiedad x es un conjunto que no es unelemento de x. Consideremos entonces el conjunto (axioma de comprehensin) U for-mado por los conjuntos que cumplen P(x). Hay muchos elementos en U: por ejemplo, el

22 Hay versin espaola: Los objetos fractales: forma, azar y dimensin. Tusquets, 1987. Vasetambin [GMMR]


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conjunto de todas las capitales de provincia de Espaa no es una capital de provincia.Tambin hay conjuntos que no pertenecen a U, como por ejemplo el conjunto formadopor los conjuntos con ms de un elemento, o el conjunto de los objetos que no son pecesPero el conjunto U tiene la contradictoria propiedad de que pertenece a U si y slo sino pertenece a U!23

El efecto de la paradoja de Russell fue devastador para muchos matemticos, comofue el caso del alemn F. L. G. Frege (1848-1925), considerado uno de los fundadoresde la moderna lgica simblica. En 1879 Frege haba construido y publicado uno de losprimeros sistemas lgicos rigurosos (un clculo de predicados de segundo orden), con elobjetivo, declarado en el Prlogo, de probar las verdades bsicas de la aritmtica pormedio de la lgica pura (lo que hace de Frege uno de los primeros logicistas). En 1893apareci el primero de los volmenes de su monumentalDie Grundgesetze der Arithme-tik(Las Leyes bsicas de la Aritmtica), en el que presentaba un sistema formal conms reglas de inferencia que el construido en 1879. El segundo volumen estaba en pren-sa cuando Frege recibi el 16 de Junio de 1902 una carta de Russell en la que, con grandelicadeza, ste le haca ver que su paradoja permita demostrar que sus sistema formalera inconsistente. Tras una amplia correspondencia con Russell, Frege modific uno desus axiomas, explicando en un apndice que lo haca para restaurar la consistencia delsistema. Pero esta modificacin afectaba a muchos de los resultados del Volumen 1, quequedaban as en entredicho. Desgraciadamente, incluso con esta modificacin, el siste-ma segua siendo inconsistente, aunque probablemente Frege nunca lo supo24. De todasformas, Frege qued muy afectado y lo cierto es que nunca public el Volumen 3 de suobra magna (de hecho, no public nada entre 1904 y 1917, fecha de su jubilacin; des-pus escribi algunos brillantes artculos de contenido filosfico, y en 1923 lleg a laconclusin de que su intento de fundamentar la aritmtica en la lgica estaba equivoca-do).

Como consecuencia de sta y otras paradojas (algunas de las cuales las describi-remos en la siguiente seccin), aumentaron las crticas hacia los que intentaban susten-tar las matemticas en la Teora de Conjuntos. En el cuarto Congreso Internacional deMatemticas, celebrado en Roma en 1908, el famoso matemtico H. Poincar (1854-1912) calific a la Teora de Conjuntos como un interesante caso patolgico y predi-

jo que las generaciones posteriores considerarn la teora cantoriana como una en-fermedad que se ha superado. En el mismo sentido, H. Weyl (1885-1955) se refiri alos alephs cantorianos como una niebla dentro de una niebla.

Los dos ltimos matemticos que hemos citado forman parte de un distinguidogrupo, en el que, con mayor o menor nfasis, se pueden incluir tambin, entre otros, a

Borel, Hadamard, Lebesgue y, sobre todo, L. E. J. Brouwer (1881-1966), que reci-ben el nombre genrico de intuicionistas. Aunque las posturas varan de uno a otro (ytendremos ocasin de ver otras opiniones de Poincar y Weyl ms adelante), en generalcoinciden en rechazar el cantorismo y el infinito actual. Slo los objetos y conceptosque pueden definirse en un nmero finito de etapas, es decir, que pueden construirse,son aceptables. Para Brouwer, las ideas matemticas forman parte a priori de la mente

23 Una versin semntica de esta paradoja es la conocida paradoja del barbero: En un pueblo, elbarbero afeita a todos los hombres que no se afeitan a s mismos, y slo a ellos. Quin afeita al barbero?La solucin obvia es que un barbero como el descrito no puede existir! Ntese la analoga con la solu-

cin a la paradoja de Russell dada por la teora de tipos (vase Seccin 4.4.)24Lesniewski demostr la inconsistencia del sistema de Frege poco despus de su muerte.


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humana, con independencia de la experiencia. Slo a partir de lo intuitivamente dado ypor un proceso constructivo, se pueden obtener nuevos desarrollos. En su argumento,Brouwer llega a rechazar el principio del tercio excluso, empleado en todas las demos-traciones por reduccin al absurdo25

A pesar de todo, poco a poco las teoras de Cantor fueron ganando adeptos en lacomunidad matemtica. Pronto se vio su utilidad en otras ramas de la Matemtica, comoen la teora de la medida, la topologa y la teora de funciones. El gran defensor y pro-pagador de las ideas de Cantor en Alemania fueD. Hilbert, quien en 1926 proclam:Nadie podr expulsarnos del paraso que Cantor cre para nosotros ([Hi4]).

4.3.- Paradojas lgicas y semnticas.

La ms antigua de todas las paradojas es la llamada paradoja del mentiroso, for-mulada por Eublides en el siglo IV A. de C.26., y que en su expresin ms simple estri-ba en decidir si cuando alguien dice estoy mintiendo miente o no. Pues si miente, en-tonces est diciendo la verdad; y si dice la verdad, est mintiendo. As que no hay mane-ra de evitar la contradiccin.

Esta paradoja ha sido discutida por filsofos y lgicos a lo largo de miles de aos,y se han descubierto multitud de variantes. Entre ellas, no puedo menos que citar, eneste ao post-cervantino, la que aparece en el Captulo 51 de la segunda parte de ElQuijote: La farsa montada por los Duques conduce a Sancho a conseguir su mayordeseo y obtener el gobierno de la nsula Barataria, donde es sometido a continuas prue-bas para diversin de sus anfitriones. Durante una de las audiencias, un forastero lepresenta a Sancho un caso peliagudo:

Seor, un caudaloso ro divida dos trminos de un mismo seoro [...] Sobreeste ro estaba una puente, y al cabo della, una horca y una como casa de audien-cia en la cual de ordinario haba cuatro jueces, que juzgaban la ley que puso eldueo [..]del seoro, que era en esta forma: Si alguno pasare por esta puente deuna parte a otra, ha de jurar primero adnde y a qu va; y si jurare verdad, djenle

pasar; y si dijere mentira, muera por ello ahorcado[...] Sucedi, pues, que toman-do juramento a un hombre, jur y dijo que iba a morir en la horca que all estaba.

Repararon los jueces en el juramento y dijeron: Si a este hombre le dejamos pasarlibremente, minti en su juramento y, conforme a la ley, debe morir; y si le ahor-camos, [...] habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre.Pdese a vue-

sa merced, seor gobernador, qu harn los jueces... ([Ce; Tomo IV, Cap. LI])La respuesta de Sancho es ejemplar: puesto que hay razones para condenar y para

dejar pasar libremente al viajero, decide que los jueces le dejen libre al, pues siemprees alabado ms el hacer el bien que el mal y recuerda un consejo que Don Quijote le

25 Vase el captulo y de [DH], donde se presenta con gran claridad el famoso contraejemplo

de Brouwer a la ley de tricotoma de los nmeros reales.26 A veces se llama paradoja del mentiroso a la conocida comoparadoja de Epimnides, un creten-

se del siglo VI A. de C. Se cree que a l se refiere San Pablo en su Epstola a Tito, cuando dice: Todoslos cretenses son mentirosos, glotones perezosos,..., ha dicho uno sus propios profetas. Lo paradjico esque si Epimnides dice la verdad, entonces miente!. Sin embargo, si Epimnides miente, no se obtieneninguna contradiccin. Es irnico que San Pablo aada que el testimonio aportado es cierto.


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haba dado antes de partir, que fue que cuando la justicia estuviese en duda, me de-cantase a la misericordia. Solucin, pues, de sentido comn, ante una situacin total-mente irreal.

En su bien conocido tratado de lgebra, R. Godement atribuye a Cervantes unacuriosa variacin de la paradoja (vase [God; 0, Ex. 8 ])

Hay muchas otras variantes de estas paradojas, que involucran, tanto el elusivotrmino de verdad como el fenmeno de la autorreferencia. Pueden verse ejemplos en[Bu], [Sm1], [Sm2], etc.

A comienzos del siglo XX surgieron versiones mucho ms elaboradas y profun-das de paradojas semnticas, en las que se eliminaba el recurso a la nocin de verdado falsedad. Comencemos con la versin semntica de la paradoja de Russell, conoci-da como paradoja de Grelling, enunciada por K. Grelling (1886-1941) y L. Nelson(1882-1927) en 1908: En cualquier idioma, como por ejemplo el espaol, hay adjetivosque se describen a s mismo (como polisilbico, que es una palabra polisilbica) yotros no (como verde o redondo). Llamemos autolgicos a los primeros y hetero-lgicos a los segundos. Qu clase de adjetivo es heterolgico? Si no se describe a smismo, entonces es heterolgico, luego se describe a s mismo; si se describe a s mis-mo, sera autolgico, asi que no se describe a s mismo.

Las dos ltimas paradojas que vamos a considerar representan variaciones sobreel problema de dar un nombre a un determinado objeto. La ms sencilla de ellas fueformulada por un desconocido bibliotecario, G. G. Berry, que se la cont a B. Russel,quien la public en 1906. Se conoce comoparadoja de Berry y dice as: Todo nmeronatural se puede describir en un determinado idioma (por ejemplo, el espaol) por unnmero finito de palabras (aunque no de manera nica; por ejemplo, 5 puede describir-se como cinco, el segundo nmero primo impar, el nico primo que divide a 25,

etc.) El conjunto de los nmeros naturales que pueden describirse con 100 letras o me-nos en castellano es claramente finito (hay 35100 expresiones que se pueden formar conlas 28 letras del alfabeto, las cinco vocales acentuadas, la , ms un espacio en blanco).Su complementario, por tanto, no es vaco. Sea u0 el menor de los elementos de esteconjunto. u0 es pues el menor nmero natural que no puede describirse con cien o me-nos letras en castellano. Pero acabamos de dar una descripcin de u0 con menos de100 letras (85, contando los espacios en blanco)! Notemos que podemos usar un proce-so mecnico para escribir las 35100 expresiones y examinarlas una por una. Aunquepuede ser que algunas expresiones no sepamos si definen o no un nmero natural, lafrase anterior de 85 letras est seguro en la lista.

La ltima de las paradojas semnticas que vamos a considerar es la llamadapara-doja de Richard, formulada por el francs J. Richard (1862-1956)en una carta a L.Olivier, publicada en 1905 en laRevue Genrale des Sciences . En esencia, consiste enlo siguiente: Como en la paradoja de Berry, los nmeros reales pueden describirse conun nmero finito de palabras en un determinado lenguaje, por ejemplo el espaol (Ri-chard, por supuesto, utiliz el francs). Como antes, distintas frases pueden originar elmismo nmero real (como pi o la razn de la longitud de una circunferencia a sudimetro, etc. Se supone tambin que describir un nmero real significa que, aunqueno conozcamos su desarrollo decimal completo, tenemos un procedimiento para encon-trar, para cada n, la n-sima cifra de su desarrollo decimal; Tambin utilizaremos laconvencin usual de considerar, en caso de dos representaciones decimales posibles, la

que tiene infinitos 9.) Ordenemos las frases que describen nmeros reales en espaolsegn el nmero de letras que contienen (contando los espacios en blanco) y las frases


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que tengan el mismo nmero de letras, las ordenamos alfabticamente. Es claro que,dada una descripcin finita de un nmero real en espaol, si aadimos a continuacindividido por dos tenemos otra frase que describe un nmero real, y que serposteriora la primera, en la ordenacin considerada. As pues, hemos dado un procedimiento queasigna a cada nmero natural n el nmero real R(n) descrito por la frase que ocupa el

lugar n en nuestra ordenacin. Podemos suponer adems, por comodidad, que R(n) per-tenece a [0,1] (basta restar la parte entera del real original.) Como el conjunto de losreales en [0,1] es no numerable, existen infinitos de estos nmeros que no podemosnombrar (en el sentido descrito anteriormente) en espaol. Consideremos ahora el si-guiente nmero real en [0,1]: aquel cuya n-sima cifra decimal es o bien uno, si la n -sima cifra decimal deR(n) es cero; o bien la n-sima cifra decimal deR(n) disminuda enuna unidad. De esta manera, hemos descrito con un nmero finito de palabras un n-mero real que, por su propia definicin, no coincide con ninguno de losR(n)!

Notemos la semejanza en la construccin del nmero paradjico con la demostra-cin de Cantor de la no numerabilidad de los reales de [0,1]. Tambin merece destacar-se que se puede sustituir en el argumento la descripcin de nmeros reales en un idiomadeterminado por cualquier procedimientoM(un programa de ordenador, un ser extrate-rrestre, etc.) que asigne a ciertas cadenas finitas de smbolos (de longitud arbitraria) unnmero real. La conclusin es la misma: existe siempre un nmero real describible enun nmero finito de smbolos que el procesoMno puede nombrar27.

El mismo Richard se dio cuenta de la debilidad de la paradoja: no se puede des-cribir el nmero paradjico diagonal hasta que no se conozca la lista completa de losnmerosR(n), que es un conjunto infinito y no puede describirse con un nmero finitode palabras.

Las dos ltimas paradojas plantean la cuestin de si el hecho de tener un nombre

implica ya alguna clase de existencia, as como algunas interesantes cuestiones sobrenuestras capacidades para describir racionalmente el Universo, y la realidad misma.Quiz la moraleja que debamos extraer es que ningn esquema finito puede capturarla esencia de cmo conectamos lo real con lo ideal, la realidad fsica y la mental, ellenguaje y el pensamiento. ([Ru; Cap. 3])

4.4.- La bsqueda de soluciones.

Todas las paradojas que hemos expuesto en las dos ltimas secciones tienen su

origen en la utilizacin, en una u otra forma, de un proceso recursivo o auto-referente

28

.Este hecho ya fue reconocido por Russell, al sealar que la razn de su paradoja estribaen definir un objeto en trminos de una clase que contiene al objeto definido. Poincaracu el trmino impredicativo para referirse a este tipo de procesos autorreferentes,

27 Otra manera de ver la paradoja, especialmente conveniente si entendemos Mcomo un programade ordenador que tiene como output nmeros reales, es que la instruccin genere el nmero real obte-nido por el proceso de diagonalizacin de todos los reales con M-nombre (es decir, el descrito ms arri-ba), hace que el programa no se detenga jams, y por tanto no produzca ningn output.

28 O bucles extraos, como expresivamente los llama D. R. Hofstadter en su muy recomendable[Ho], donde se exploran hbilmente las conexiones de estos fenmenos con los dibujos de Escher o algu-nas composiciones de Bach (especialmente, la Musikalisches Opfer). Y todo ello, para proporcionar unade las ms completas (y entretenidas) exposiciones en torno al Teorema de Gdel y sus consecuencias.


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que segn l deban excluirse de la matemtica para evitar paradojas. El problema esque hay una gran cantidad de resultados bsicos en matemticas que se apoyan en obje-tos o definiciones impredicativas, como, por ejemplo, los conceptos de extremo superioro inferior de un conjunto, la definicin de la funcin max{x,y} en el plano, o la demos-tracin de Cantor de la no numerabilidad del conjunto de nmeros reales. As pues, eli-

minar todas las definiciones y procesos impredicativos de las matemticas tendra uncoste muy alto. De hecho, el famoso matemtico Hermann Weyl, uno de los mejoresrepresentantes de la escuela intuicionista, hizo un intento serio en este sentido, pero tuvoque abandonarlo por irrealizable. Por otro lado, la proscripcin total de la autorreferen-cia en el lenguaje ordinario llevara a situaciones absurdas: frases como este libro estescrito en espaol deberan prohibirse o, al menos, no asignarles un valor de verdaddefinido. Ms an, frases que en s mismas no son autorreferentes, al combinarse pro-ducen el efecto de la paradoja del mentiroso29:

La siguiente afirmacin, es falsa

La afirmacin precedente es verdadera

B. Russell seal otro problema con la misma nocin de propiedadimpredicativa(es decir, que se aplica a s misma): la propiedad de no ser impredicativa es impredica-tiva o no? (de hecho, sta es otra formulacin de la paradoja de Grelling.)

B. Russell y A. Whitehead propusieron otro mtodo para eliminar las paradojasoriginadas por el uso de la autorreferencia en su monumental obra Principia Mathema-tica ([RW]): la teora de tipos. Su idea, como antes haba defendido Frege, era derivartoda la Matemtica de la lgica. Por tanto, primero deba desarrollarse un sistema lgicoque evitara las paradojas. Para ello, establecen primero con precisin un sistema axio-mtico, a partir de un lenguaje objeto, que contiene las constantes, variables y los co-nectivos lgicos usuales, as como las reglas de inferencia. A continuacin, desarrollan

la teora de clases, entendiendo por tal el conjunto de objetos que satisfacen una ciertafuncin proposicional. Introducen cuidadosamente la nocin de correspondencia biyec-tiva entre clases, que permite establecer la nocin de nmero cardinal, y a partir de ahse supone que continuara el desarrollo de la aritmtica y el resto de la matemtica. Peropara evitar las paradojas producidas por la autorreferencia, Russel y Whitehead estable-cen una jerarqua estricta entre las proposiciones y los conjuntos que definen. As, losconjuntos de tipo 0 no pueden tener entre sus miembros otros conjuntos; las funcionesproposicionales que se aplican exclusivamente a conjuntos de tipo 0, seran a su vez detipo 0. Los conjuntos de tipo 1 son o bien de tipo 0 o bien conjuntos cuyos elementosson de tipo 0, mientras que las funciones proposicionales de tipo 1 sera aquellas cuyasvariables son funciones proposicionales de tipo 0. En general, los conjuntos de un tipodado o bien son conjuntos de un tipo ms bajo o sus elementos son conjuntos de un tipoinferior. Del mismo modo, una funcin proposicional cuyas variables son de tipo menoro igual que n, es de tipo n+1. Las proposiciones y conjuntos admisibles son los quepertenecen a algn tipo finito. As, clases como el conjunto de todos los conjuntosquedan excluidas de la categora de conjunto, pues no pertenece a ningn tipo finito.Tambin resulta que ningn conjunto puede contenerse a s mismo como elemento, yaque entonces debera pertenecer a un tipo ms alto que su propio tipo.

29 Variacin de la llamada paradoja de la tarjeta de Jourdain, propuesta por P. E. B. Jourdain en1913. Se trata de una tarjeta que en un lado tiene escrito la frase del otro lado es verdadera, mientrasque en el otro se lee la frase del otro lado es falsa.


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Del mismo modo, la primera de las dos frases escritas ms arriba (equivalentes a laparadoja del mentiroso), al referirse a la segunda, debera ser de tipo mayor que sta.Pero, por otro lado, la segunda oracin debera ser de tipo mayor que la primera, puestambin hace referencia a ella. Como consecuencia, en la teora de tipos ambas oracio-nes careceran de sentido.

La teora de tipos eliminara, pues, los bucles extraos en la teora de conjuntos yen la lgica, pero su aplicacin para el desarrollo de las matemticas usuales provocaenormes dificultades. Por ejemplo, una demostracin sobre una propiedad de los nme-ros enteros no podra utilizar, en principio, nmeros reales o complejos (que pertenecena conjuntos de tipo mayor que los nmeros enteros); habra que plantearla, pues, en untipo mayor que el natural. La nocin de igualdad de objetos (conjuntos, proposiciones,etc.) debe establecerse para cada tipo, con lo que existen infinitas relaciones de igual-dad. Por otro lado, a lo largo de la demostracin hay que ser extremadamente cuidadosopara no utilizar proposiciones o conjuntos de tipo superior un verdadero engorro. Pe-ro, adems, ninguna afirmacin sobre la misma teora de tipos tendra acomodo en unnivel de tipo finito!, con lo que carecera de sentido.

Por otro lado, al deducir de la lgica todas las matemticas, stas quedan vacas decontenido y se reducen a mera especulacin formal. La interrelacin con la realidadfsica y su modelizacin, no tiene ninguna explicacin. De ah la famosa frase de Russelde que en matemticas nunca sabemos de lo que estamos hablando ni si lo que deci-mos es cierto. Y finalmente, la cuestin fundamental: el sistema desarrollado en losPrincipia es consistente? (es decir, a salvo de contradicciones).

Por supuesto, al aplicar un esquema jerarquizado como el que hemos sugerido allenguaje cotidiano, apareceran como carentes de sentido muchas construcciones perfec-tamente vlidas.

As pues, estos intentos para resolver las paradojas, o involucraban a su vez nocio-nes paradjicas (como la de definicinimpredicativa) o eran formalismos tan artificialesque resultaban intiles para la mayora de los matemticos.

Otro intento para resolver las antinomias de la teora de conjuntos y poder edificarsobre ella slidamente el resto del edificio matemtico, fue tratar de restringir la nocinde conjunto y establecer cuidadosamente sus reglas de uso, es decir, axiomatizarla teo-ra. El mismo Cantor era consciente, como ya hemos dicho, de los problemas que pod-an surgir en la teora, y en 1899, en una carta a Dedekind, intenta una clasificacin delas multiplicidades en dos clases: las consistentes, (que no causan problemas) y las in-consistentes, entre las que estaran la clase de todos los conjuntos o la de todos los ordi-

nales. Pero el primero en abordar seriamente el problema fue E. Zermelo, de quien yahemos hablado. En 1908 public su sistema axiomtico ([Ze]) (que inclua el Axioma deEleccin), desarrollado y mejorado posteriormente por A. Fraenkel (1891-1965), dandoorigen a lo que se conoce como Axiomtica de Zermelo-Fraenkel oZF, que es la que seutiliza habitualmente en la actualidad (con o sin el axioma de eleccin). El sistema ZFevita las paradojas al restringir los tipos de conjuntos admisibles, aunque incluye entreellos los suficientes para el desarrollo de las matemticas usuales. Posteriormente, J.Von Neumann propuso algunas variaciones, haciendo distincin entre clases y conjun-tos (que son clases que, a su vez, son miembros de otra clase). Como seal von Neu-mann, la contradiccin puede aparecer no por la introduccin de las clases, sino porconsiderarlas miembros de otras clases.

La axiomtica ZF, como hemos dicho, resulta adecuada para el desarrollo de lasmatemticas usuales y evita las paradojas conocidas. Por otro lado, la axiomtica presu-


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pone la lgica subyacente (con las dificultades a que podra dar origen un desarrollosistemtico de la misma) e incluye un axioma de existencia de conjuntos infinitos, loque provoc en su momento ciertas reacciones en contra. Adems, su consistencia no hasido demostrada. Como observ agudamente Poincar, hemos puesto una cerca para

proteger al rebao de los lobos, pero no sabemos si hemos dejado algunos lobos dentro

de la cerca. Es decir, nadie

Bombal Gordon Fernando Paradojas y Rigor UCM

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