Boletin 1 Chichero 2013

8/17/2019 Boletin 1 Chichero 2013

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TEORIA DE EXPONENTES

Defnición:Son un conjunto de propiedadesque permiten abreviaroperaciones. Son aplicablesgeneralmente a las operacionesde multiplicación, división,

potenciación y radicación.

Leyes principales:

POTENCIACIONEs una operación en la cual elexponente indica el número deveces que se va a multiplicar labase.

nb P

Ejm:

• ! !.!.! "=

• "#$%%%%%%

•&

&..veces

' '.'..........'( ""# " "

• ") # *=

%%%%%%

• "# = %%%%%%%

• ") #*=

%%%%%%

• "=

%%%%%%%

•

) '*=

%%%%%%

•#n

#n..veces

x.x.x............x.x x( " " # " "

•n..veces

a.a..........a ....( " # "

•

# # # #

#+..veces

)ab *)ab *)ab *.........)ab * .....

( " " " ""# " " " " "

•' ' '

+..veces

xy . xy .......... xy ....( " " " " # " " " "

• #" ....

•(+

& ....

• "&( ....

• #&#' ......

I) Producto de bases iguales:

INOR!ES " #erencia de Desarrollo Econo$ico %ocalTel&' (*+,

!ATRIC-%AS !unici.alidad Distrital de C/inc/eros 0 -ruba$baTel&' (*12


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nmnm aa.a =

Ejemplos:

• 12642642 xxxxx =

• m3mm2mm2 xxxx =

• " # 'a .a .a ....=

• # "m .m .m .... =

• #x x# ." .... =

• n # n! .! ..... =

•#+..veces (+..veces

#.#....#."."......." ....("# " ("# "

•)#x*veces )x* veces

-.-.-......-.#!.#!.#!......#! ....( " # " ( " ""# " " "

• #x ' .......=

• #x ( # #x . ...... =

II) Cocientes de bases iguales:

nm

n

m

aa

a

=

Ejemplos:

• 3252

5xx

x

x=

•

15105)10(510

5xxx

x

x=

•'

x....

x

=

•"

a.....

a

=

•!

#

a....

a

=

III) E3.onente cero: a $ ( 0a ≠

Ejemplos:•)#m* $ (

•/ " $ / (

•)/ "* $ (

• ++ ....

• +)+.#'* ....

• +) !* .....

• +' .....

• +& ....

•+

!....

"

=

÷

INOR!ES " #erencia de Desarrollo Econo$ico %ocalTel&' (*+,!ATRIC-%AS !unici.alidad Distrital de C/inc/eros 0 -ruba$baTel&' (*12


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Página 4

•+

....

# =

• +"

...- =

• +) " #* ........ =

• # #' ')x #y (* ....... =

• # # &) -* ...... =

• & #

) ( "* .....

=

NOTA 4ONISITO

• #+ ....=

• n+ .....

•+

......+ =

•+

.....0 =

•0

.....

+

=

I5) E3.onente negati6o:

mm

a

1a = 0a ≠

Ejemplos:

• 33

x

1x =

• 22 x

1x =−

• 44

xx

1=

−

•21

21

x

1x =

• #"x .....=

• #)a* .....=

• ") '* .... =

• "' ...... =

• (#( ....

=

• (#! ....

=

5) Potencia de un .roducto:

p.np.mpnm baba ⋅

Ejemplos:

•

15105x35x2532 yx yx yx ⋅

•

2222 m4m2m2 =

• # ')x * ....

• x n)a * ....




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Página 5

•'#

)a * ....=

•y

xn

mx ....=

÷

• # " ' '+)...)))x * * * ...* .......

• (' (" ( (" ('))....))x * * ....* * ...... =

5I) Potencia de un cociente:

p.n

p.mp

n

m

b

a

b

a=

Ejemplos:

•10

15

5x2

5x35

2

3

y

x

y

x

y

x=

•81

16

3

2

3

24

44

=

•#

#....

=

÷

÷

•#

a....

=

÷

÷

•n

x....

y

=

÷

•"

(...

"

=

÷

5II) Potencia negati6a de uncociente:

mm

a

b

b

a

=

Ejemplos:

2

3

3

2 1

=

4

9

2

3

3

2 22

=

=

6444

1 33

=

•#+

(.....

#

=

÷

•#

....

'

=

÷

•

'.....

#

=

÷

•#

+

#+# .....#

=

÷

÷

•## x

y

)a *....

)b *

=

÷

÷

5III) Potencia de .otencia:INOR!ES " #erencia de Desarrollo Econo$ico %ocalTel&' (*+,!ATRIC-%AS !unici.alidad Distrital de C/inc/eros 0 -ruba$baTel&' (*12


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pnmpnm aa ⋅=

Ejemplos:

•

1682 xx =

•

30)5)(3)(2(5

32 xxx =

•

533

mm.m.mmmm xxx =

•4 1

5 65 3(3 ) (2 ) E − −= +

•

2

12 31

2 B a

−

− = ÷

•

0123:

onenteexpdeExponente

m

PotenciadePotencia

pnmpn

aa ≠

IX) E3.onente &raccionario:n maa n

m

=

Ejemplos:

4 3 4xx 34

=

4

5 2

xx 52

=

4 23

xx3 =

4 47

xx4 7

=

P 5a ...

g 5

b ...

n !" ...

&+"+ - ...

1jito:mnn m aa

=

X) Ra78 de un .roducto:nnnn

cbacba ⋅

• & ....

• '" ....

• # ....

• " (#- ....

• "a .b ....

• (# ('a .x ....

XI) Ra78 de un cociente:




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Página 7

n

nn

b

a

b

a=

• #! .....& =

• " ( .....#'

=

• ' # ......(#'

=

XII) Ra78 de ra78:

pnmm n p aa =

• ' " a ......

• ' .....

•#

' (+ x .....

•

&' " "+

( .....

E9ERCICIOS DE AP%ICACION

PARTE I

1.-E6ectuar:

1 2

3

2 2

2

n n

n E

+ +

+

+=

a*"7 b* 7# c* 7" d* #7e* (

#.8 9allar

3 2

3 22 22 2

n n

n n E

+ +

− −+= +a*( b* # c* (7# d* (7"e* 0.3.

.alcular:1 1 1 1 1 14 2 3(16 ) (25 ) (64 ) E

− − − − − −− − −

= + +

a*& b* - c* (+ d* ((e* (#

".8alcular:1 1 1 12 3 2(16 8 4 ) E

− − − −− − −

= + +

a*7" b*"7 c* '7" d*"7'e*(7#

'.8E6ectuar:

1

2

2

4.2

n

n

n n

E

+

+=

a*( b*# c* d*(7"e*(7#

.8alcular:1 14

9 . 3

3 3

n n

n

n

+ +

−

a*#! b*- c* ( d* e* (7

!.8Simpli;car:53 5 24

20 19 13

.a b ab P

a b=



8/53

Página 8

a* a b* b c* ab d* a# e*b#

&.8simpli;car:

5 3 15 3

6 52 3

9 . 3. 9

3 . 3Q =a*( b* # c* d* " e*'

-.8


9/53

Página 9

21

6 322 3

31

4

x M x

x

=

a*x b*#x c*x d*xe*x#

#+.8 =allar el exponente de >x? alreducir:

2 2

2 2

4 33

2

1

n n

n

n nn

n

x x x

x x

x

++

++

a*+ b*( c*# d* e*nEC-ACIONES EXPONENCIA%ES

Defnición:Son ecuaciones que secaracteri@an porque la incógnitase puede encontrar como base ocomo exponente:

Pro.iedades:(. Para bases iguales:

nm aa = m $ n

#. Para exponentes iguales:mm xa = a $ x

. Para bases y exponentesiguales:

yx yx = x $ y

NI5E% 4ASICOS

(.8En cado caso =alle el valor de>x?

a) x ! ((b b=

b) #)x (* x (+a a =

c)x

(##a a

=

&) x ' x

#! &(

=

g) x # x "(#' #' =

/) x ! x (+( (#& =

a) 'x # x &a a =

b) ! "#x ( x #a a =

c) x # '" x (! a a

=

d) x ( x ( 'a a =

e* x (x ( =

6* #x & "#x & # =

g* x -x

#.8determine el valor de >x?.

a* x x ## # -

=

b* x # x! ! '+ =

c* x x ( #!+

=



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Página 10

d* x ( x # x "# # # &&

=

e* x " x x ( ('

=

6*2xx

99240

=

g* 2444 1xx =

=* 112222 3x2x1x =

i* 21633 2xx =

E9ERCICIOS DE AP%ICACIN

PARTE I

1. alcular el valor de >x? en:

21611

4

5

2

3

1x123

=

+

+

−−−

a* (7# b* 7# c* 7" d* (7e* #7'

2. La solución de la ecuación es:

3

2

27

8

4

9 1xx

=

a*(7" b*7# c*87# d*8" e*"

3. El valor de >x? en

1x2x 48 42

=

A es:

a* ( b* c* - d* /-

e* (7-

4. 9allar >x? en:4xx 93 273

=

a* ( b* c* ' d* ! e* -

5. 9allar >x? en:

1a.a.a 4 x323 1x21x

=

a*5

4 b*

5

4 c*

4

5 d*

4

5 e* (

6. Betermine >x?:161

1446 1x

2x2

=

a* ( b* # c* d* " e* '

!.8si b a a .b el valor de )ab*#

es:

a* b*- c*

d*#

e*

&.8=allar )ab*# si: #a bb. a #

a*( b*# c*" d*(7#e*(7"

-.8si aa a (

, calculara

a )a (*aC )a (* =

a*( b*#a c*a d*ae*#

(+.8si )x #*)x (* &( =

al resolver se

obtiene:

a*( b*# c* d*-

e*#! INOR!ES " #erencia de Desarrollo Econo$ico %ocalTel&' (*+,



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Página 11

((.89allar >n? si:

n (n +.(#'=

a*(7# b*(7 c*(7' d*(7"e*#

(#.89allar >x?: x "x +.'

a*(7# b*(7" c*(7& d*(7(e*'

(.89allar >a? en:

a # a

a* b*# c*- d*(#e*(

(".8 =allar >n? en:

n

!

!

!

(n

!

=

a*( b*(7! c*! d*e*(7

('.8resolver: #xx #

a* # b* " # c* # d* # #

e*0.3

(.89allar >n?: n n (n -=

a*( b*(7 c*(7# d*(7e*(7"

(!.8


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Página 12

.8=allar

∞+++

∞+++

+

∞−−−

∞+++

=

............222

.......121212

......222

......666 B

a* ( b* # c* d* "e* '

".8calcular

∞= ........2222 E a* ( b* # c* d* "e* '

'.8=alllar: ∞= ........... x x x x P para x$a* ( b* # c* d* "e* '

.8calcular

∞= ..............2323 E =allarE

a* b* (& c* - d* e* #

!.8=alle >x? en:

∞++++= ............... x x x x x

a* ( b* # c* x d* #xe* x#

&.8=allar 3FCF si:

∞−−−= .........202020 A

3 3 3 ..........666 ∞+++= B

4 4 4 .............*125*125*125 ∞=C a* ' b* ! c* d* (+e* ((

-.8e6ectue

4 4 4 ..........323232 ∞÷÷÷= E a* ( b* # c* d* "e* &

(+.8e6ectuar:3

3

3

16

16

16

∞

=

Q

a* ( b* # c* & d* " e*(

((.89allar >n? en:

2

....

=∞

nn

nn

a* ( b* # c* 2 d* 22

e* 0.3

(#.89allar >x? en:

3

...

=

∞

x x

x xa* " b* # c* (7# d* 3 3 e*

3

(.89allar:INOR!ES " #erencia de Desarrollo Econo$ico %ocal

Tel&' (*+, !ATRIC-%AS !unici.alidad Distrital de C/inc/eros 0 -ruba$ba

Tel&' (*12


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Página 13

∞

=

...777

77 7

7 7 E a* ( b*# c* ! d* 7 e*

(7!

(".8=allar:∞∞∞

∞

+++=

...

66

6

...

55

5

...

33

3

...

2

66

55

33

2

6532 B

a* # b* c* ' d* e* (

('.89allar >a? en:

3

....

=

∞

aaaaaaaaa* b* 3 3 c* 4 3 d* 3 33

e*0.3

(.89allar >x? en:

5

..

..

=

∞

xx xx xxa* 5 b* 3 5 c* 4 5 d* 5 5 e*

0.3

(!.89allar >x? en:

∞

+ =

∞

++

x x

x x

x x

x

....111

a* 8!7(' b* 8&7#! c* 8(+7-d* 8#7 e*87&

(&.8resolver:∞

∞

++

=+

4 54 5

...114 51

x

x x x

x x x

a* # b* 6 2 c* 5 4 d*

e* -

(-.8resolver: C ( ( ( ...


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Página 14

...

""

"

.

x

x 'x

=

n? si al

reducir la expresión

1 1 1 11 1 1 111 12 3 4

n n... x

+ + + + +

Se obtiene por exponente ;nal

de >x? a:2003

2004

a* #++( b* #++#c* #++d* #++" e* #++'

EXPRESIONES A%#E4RAICAS

Hna expresión algebraica es unacombinación de números yvariables en cantidades ;nitas, enel que intervienen lasoperaciones 6undamentales de:adición, sustracción,multiplicación, división,potenciación y radicación, sinvariables en los exponentes.

Ejemplo:# ' !

#

"yx y #x 'x y

@

EXPRESIONES A%#E4RAICAS

RACIONA%ES

Son aquellas expresiones

algebraicas, cuyas variables noestGn a6ectadas de radicales.Ejemplo:

" -

x yx y "x

# @

EXPRESIONES A%#E4RAICASRACIONA% ENTERA

Hna expresión algebraica, esracional entera, cuando susexponentes de sus variables sonnúmeros enteros mayores oiguales que cero o que lasvariables no estGn en eldenominador. Ejemplo:

' # ' (( (!x x y y @




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PO%INO!IOS

Defnición: Hn polinomio es unaexpresión algebraica racional

entera, con una o mGs variables.Ejemplos:

! (+P)x,y,@* "x y @ Es un

monomio de tres variables.

! (# P)x,y* x y y xy Es un

trinomio de dos variables.

#RADO DE -N PO%INO!IO

Defnición: El grado es unacaracterIstica en relación a losexponentes de las variables, elcual es un número entero mayoro igual que cero

C%ASES DE #RADOS

#RADO RE%ATI5O ;#'R)

En un Jonomio: El grado

relativo en un monomio, es

el mayor exponente de la

variable indicada. Ejemplo:

en el monomio' - (#

P)x,y,@* x y @

K


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Página 16

- oa :Se llama trmino

independiente delpolinomio.

- n n ( ( +a ,a , a , a

∈ N : Se

llaman coe;cientes.

0ota: Si na (, P)x* se llama

polinomio mónico.

Ejemplo:! "

P)x* #x x 'x x #

Es un polinomio de grado !, cuyo

coe;ciente principal es y el

trmino independiente es #.

Obser6aciones:(. P)x* + : Se llama polinomio

nulo, cuyo grado no estade;nido.

#. P)x* O, O∈ N Se llama

polinomio constante, cuyogrado es cero.

. P)x* ax bA a +A a,b ≠ ∈ N Se

llama polinomio lineal o deprimer grado.

Pro.iedades:

Si P)x* y 5)x* son polinomios degrado m y n respectivamentecon m n entonces:

(. P)x* 5)x* Es de grado m#. P)x*.5)x* Es de grado m+n

.P)x*

5)x*con 5)x* + Es de grado,

+m n

∈M siempre queP)x*

5)x*

sea un polinomio.

". [ ]

OP)x* Es de grado +m.O

∈M

'. O P)x* Es de grado +m

O

∈M

siempre queO

P)x* sea unpolinomio

Ejemplo: Bado#

P)x* )#x * y 5)x* x =

El grado de P)x* 5)x* es El grado de P)x*.5)x* es -.

El grado de Q5

(x) es ('.

E9ERCICIOS DE AP%ICACIONPARTE TEORICA

(.8Betermine el valor de verdadde las siguientes proposiciones:D* P)x*$' no es un polinomioDD* P)x*$+ es un polinomio de

grado ceroDDD* P)x*$# es un polinomio degrado cero.

D* # "P)x* ( x x x x ....

es un polinomio.a*QQ b*QQQ c*QQd*QQ e*QQQ#.8Bados los polinomios P)x*,5)x*,


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Página 17

#KradR)2)x** .)L)x** (a*QQ b*QQ c*QQd* e*Q.

.8Si P)x* es un polinomio degrado >m? y 5)x* es un polinomiode grado >n?, con mTn. en lassiguientes proposiciones indicarcon si es verdadero o con Q sies 6also.D* KradoRP)x*.5)x*$mFn

DD*

P)x* m

Krado 5)x* n

=

DDD*[ ]

OKrado P)x* Om, O

= ∈

M

D* KradoRP)x*F5)x*$m.La alternativa con la secuenciacorrecta, es:a*QQ b*QQ c*QQd*Q e*QQ

".8 Dndicar el valor de verdad delas siguientes proposiciones:

D.Si " #P)x* x "x #x Senx x ( ,

entonces P es un polinomio

DD.Si ' (7 5)x,y* x y x y &xy ' ,

entonces 5 es un polinomio

DDD.Si ! "


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Página 18

(.8Si el monomio: n 'E)x* "n x

=

tiene grado absoluto &, entonces=alle el valor de su coe;ciente.

a*(+ b*((c*(#& d*(#" e*(#(.

#.8si el monomio:n m n m #n

3)x,y* (+ x y

=

es de grado

absoluto , ademGs el gradorelativo a >y? es (+, entoncescalcule >n8m?.a*# b* c*"+

d*"" e*'#

.8Bado el monomio:b #a b 'b a

J)x,y* "a x y

=

se tiene

que K.3.$(+A K.m?.a*" b*(" c*#"d*"" e*"




19/53

Página 19

((.8si el monomio:

#a bb a bP)x,y* & x .y x .y

, es de

grado absoluto " y los gradosrelativos de >x? e >y? soniguales, =allar !b8'a.a*! b*& c*d*# e*"

(#.8si el grado del monomio:

' " m mJ)x* x -x . x . #x

es &.

9allar el valor de m.a*# b*" c*&d*(# e*(

(.8En la siguiente adicion de

monomios:a a b #c c

x x bx #

= ,

calcular >aFbFc?.

a* b*' c*d*- e*(".

(".8si los trminos son

semejantes: m (-P)x* 'x

=

A

#5)x* " (-x , =alle el valor de

>m8"?.a*' b*( c*+

d* e*8-.('.8Si: a b &P)x,y* abx y

=

A

a b5)x,y* )a b*x .y

=

son

trminos semejantes, indicar elcoe;ciente de: P)x,y*F5)x,y*.a*(+ b*(( c*(#d*( e*(".

(.8si el grado de:n # &

P)x* )x (* )x x * es &.

9alle el valor de >n?.

a*(# b*(( c*(+d*& e*(

(!.8calcular el valor de >n? paraque el grado del polinomio:

n ( # n # #5)x* )x !* )'x (* )x !x #+(*

=

, sea igual a (&.a*# b* c*'d*(# e*"

(&.8alcule >m?en:m m ( m # #

Q)x* )x x (* )mx x * )x (-#*=

sabiendo que el coe;cienteprincipal del producto es igual altermino independiente delmismo.a*# b* c*'

d*(# e*".

(-.83l e6ectuar:n n ( n n ( n # n (

P)x* )x x (* )x x #*

=

se obtiene un polinomio de grado"(, calcular >n?.a*# b*( c*d*' e*"

#+.8Si el termino independiente yel coe;ciente principal delpolinomio:

n ( n # " #

n ( n

P)x* ),x #x n*)#x x n (*)x x

'*)(+x 'x (*

+

−

= − + + + + + +

− −

, son iguales el valor de >n? es:a*# b*" c*d* e*&



20/53

Página 20

#(.8Si el grado de >J? es ' y elgrado de >0? es . alcular el

grado de # J .0 .

a*'( b*(&+ c*#&d*+ e*'.

##.8El grado del polinomioP)x*.5)x* es (- el polinomio

[ ]

"P)x* tiene grado #&. 9allar el

grado de 5)x*.a*( b*# c*(#

d*" e*

#.8Sean los polinomios J)x* y0)x*. el grado de

[ ]

J)x*. 0)x* es (( y el grado de

[ ]

"J)x* es #+. 9allar el grado de

0)x*.a*# b* c*"

d* e*'

#".83sumiendo que: #P )x*.5 )x*

es de grado (#, ademGs:#

P )x* 5)x* es de grado (.

Beterminar el grado de: P)x* 5)x*

a*( b*# c*d*" e*'

#'.8si el grado de los polinomios Py 5 son y " respectivamente. Elvalor que debe asignarse a >n? en

la expresión:! ' #n

' " n

)P 5 *C

)P 5 *

=

para que sea de grado ", es:

a*( b*# c*d*" e*'

#.8alcular el grado de la

expresión: ' # ' ' "+ 'P)x,y* )x y* )x y * )x y * .....)x y *

a*&++ b*"+++ c*"++d*"(++ e*"""+#!.8el grado del polinomio:

(((( #### # ---- -P)x* )x y*)x y *)x y *.....)x y *

, esa*"&&&' b*"---'c*'---' d*&&&'e*"-&-'

#&.8El grado absoluto delpolinomio:

" &

#+ parentesis

P)x,y* )x y x* )x y x* )x y x* ..... ( " " " " " "# " " " " " "

a*(#'+ b*(#'#c*("'# d*('# e*(""+

#-.8=alle el grado absoluto delpolinomio siguiente:

# "

#+parentesis

C)x,y* )x y (*)x y *)x y '*.... ( " " " " "# " " " " "

a*""( b*(""+ c*""+d*(#+ e*""

+.8Encuentre el grado absolutodel polinomio que se muestra:

' " ! " - "

"+ parentesis

P)a,b* )a b (* )a b #* )a b * .... ( " " " " ""# " " " " " "

a*++ b*!#++c*"""+ d*''+e*&"++




21/53

Página 21

(.8El grado absoluto delpolinomio:

& ! (+ - (# ((

'# 6actores

P)x* )x y *)x y *)x y *.... ( " " " " ""# " " " " " "

a*+-& b*+&c*"'-& d*#--& e*#"&&

#.8En el polinomio:a ( b a " b a ( b #

5)x,y* #x y 'x y x y

=

, se cumple que: Ky? es (", calcular>m.n?.a*+ b*#" c*+d*!' e*&+

&.89allar >W? en:O O # O ' O O " O !

P)x,y* x y x y x y

=

, sabiendo que K.m#Fn#? sabiendo que sugrado absoluto es (! y el gradorelativo de >x? es .a*!( b*!# c*!d*!" e*!'



22/53

Página 22

"(.8Si el grado absoluto de:#a b ' a b # a b

P)x,y* x y x y x y

=

es

igual a la mitad de la suma de

exponentes de todas susvariables, =alle el grado relativode >y?.a*& b*! c*'d* e*"

"#.8alcular la suma decoe;cientes del polinomio:

a b # a # b ' a ( b '

P)x,y* #bx y !x y ax y

=Sabiendo que su grado absolutoes (' y su grado relativo a >y? es(#.a*(+ b*# c*d*" e*'".8si el polinomio:

#m n " m n # #m n P)x,y* 'x y x

=

tiene grado - y K.


23/53

Página 23

Si P)x,y *es un polinomio de dosvariables

(. Suma de coe;cientes

$P)(,(*#. 2ermino independiente

$P)+,+*

Ejemplos

(.8Si # P)x* )x (* )x #* x !

Suma de coe;cientes$P)(*$"

2ermino independiente$P)+*$8(

#.8 Si#

P)x,y* )xy #*)x y "* xy

Suma de coe;cientes$P)(,(*$8#+ 2ermino independiente$P)+,+*$8(#'

E9E!P%OS DE AP%ICACINPARTE I

(.8sabiendo que:(++ -&

P)x* x "x 'x #

calcular

E$P)+*FP)(*FP)#*

a*' b* c*! d*& e*-

#.8sabiendo que:P)x* x (

5)x* x # calcular 5)P)#**

a*# b* c*' d*!e*

.8si: P)x* #x

5)x* #x

9allar 5)P)#**.a*+ b*( c*8( d*# e*8#

".8si P)x * x '=

P)5)x** x " =allar 5)8*.a*+ b*( c*# d* e*"

'.8Si:P)x* "x calcular:

P)x (* P)x (*

a*"x8( b*"xF! c*&x8d*&xF e*&xF!

.8si6)x* g)x* !x =

6)x* g)x* x '=

alcular g)86)#**a*(( b*8(& c*(! d*#

e*#"

!.8si 6)x* x

g)x* x

alcular: R6)8*Fg)6)8(**a*( b*# c*(' d*(&e*#(

&.8si:

x

P)x* x (

=

alcular: P)P)P)P)#****a*( b*# c* d*"e*'

-.8 Si:x (

P)x*x (

=

alcular: P)P)P)P)#'****



24/53

Página 24

a* " b* c* # d* /( e* /'

(+.8 Si: 6)x / (* $ x F A 9allar: 6)xF !*

a* (( b* (+ c* xF((d* xF((( e* xF-

((.8 Si: #P)x (* x x (=

El valor numrico de P)(+* es:a* ((( b* ( c*!d* -( e* ((#

(#.8 Si:

P)xF#*$#)xF*Fx#F"xF"alcular: P)*a* + b*(! c*&

d* ' e*!+

(.8Bado el polinomio:

2P(x) = x - 4 x 2 9allar el valor de:

P(P(1)) P(P(P(0)))

a* #( b* #+ c* ( d* (- e* (!

(".8 Si: 6 x ax b , ademGs:

6 ( #= , 6 # . 9allar:

6 6

a*"

b*"

#

c* 8# d* & e* -

('.8 Si: 6 x ( x = . 9allar:

6 x -a* (( b* x (( c* x (+

d* #x e* x

(.8Si 6)xF'*$xF', =allar elvalor numrico de: 6)(+*.

a*(+ b*(' c*#+ d*#'e*+

(!.8Si 6)xF#*$xF, 9allar 6)xF*

a*xF b*xF' c*xF!d*xF- e*xF((

(&.8Si 6) x (* #x '= , =allar el

valor numrico de: 6)*.a*#" b*#' c*# d*#!e*#&

(-.8Si: #=)x* x a x y 6)x*$x8,

=alle el valor de >a? si =)6)#**$#.a*8" b*+ c*( d*#e*

#+.8Si P)x*$axFb, ademGs: P)8(*$#, P)#*$8, 9allar P)*FP)*.a*& b*- c*8# d*8"7 e*8"7#

#(.8Si P)xF(*$xF# 5)x8(*$#xF. 9alle P)x*F5)8x*.a*xF( b*x8# c*xFd*xF" e*+.

##.8Si #6)x #* x !x '= , calcule

el coe;ciente de termino lineal de

6)x*.a*! b*' c* d*(e*8

#.89allar la suma de coe;cientesdel siguiente polinomio:

(+( nP)x * )x !* )x * x (=

a*! b*- c*8- d*(+e*((




25/53

Página 25

#".8Bado el polinomio:n n

P)x #* )!x ((* x ( = , su

termino independiente serG:a* b*' c*! d*-e*&.

#'.8En el polinomio:n

P)x* )"x (* )x (*)x * (+ A

alcular >n? sabiendo que lasuma de sus coe;cientes es --.a*# b*" c* d*

e*'

#.8Bado el polinomio:n n

P)x (* )#x (* x (= A =alle el

valor de >nF?, sabiendo que lasuma de coe;cientes y el terminoindependiente del polinomiosuman #"-.

a*! b* c*& d*'e*#!.8Bado el polinomio ordenado ycompleto:P)x* )x (*)x #*)x n*)x * sutermino independiente es #",calcular la suma de coe;cientesde P)x*.a*(&+ b*#( c*(#'

d*(#+ e*#++

#&.8Si al desarrollar: "P)x* )nx n*

se obtiene que el producto de sutermino independiente por lasuma de sus coe;cientes es

n (n

, =allar el valor de >n?.

a*' b*! c*(( d*&e*(

#-.8Si el polinomio P)x* es tal que:#P)x8(*FP)#x8(*$xFP)xF(*FP)x8#*, ademGs su termino

independiente es (&, =alle lasuma de los coe;cientes.a*(# b*(+ c*( d*&e*("

+.8Si'

P)x* )x #* )x * )x #*)x * ,

=allar el termino independiente

de P)x*.a*' b*(+ c*(' d*#+e*#'

(.8alcular la suma decoe;cientes de:

#+ ! P)x* )x (* )x #* x '

a*' b*(+ c*(' d*#+e*#'

#.8Si el termino independiente yel coe;ciente principal delpolinomio:

n ( n #

" # n ( n

P)x* )x #x n*)#x x n (*

)x x '*)(+x 'x (*

=

, son iguales el valor de >n?es:a*# b*" c* d*

e*&

.8Si en el polinomio:# #

a a (

P)x* )#x x #*)x #x a*

)#x a #*)&x -x #*

=

El coe;ciente principal y eltermino independiente soniguales, =alle el grado de P)x*.

a* b*! c*' d*-INOR!ES " #erencia de Desarrollo Econo$ico %ocalTel&' (*+,!ATRIC-%AS !unici.alidad Distrital de C/inc/eros 0 -ruba$baTel&' (*12


26/53

Página 26

e*&

".8Bado el polinomio con >n?impar:

n nP)x (* )#x (* )x #* (#&)#x *=

=alle el valor de >nF#?, sabiendoque la suma de coe;cientes y eltermino independiente sumanuno.a* b*' c*! d*-e*((

'.8La suma de coe;cientes del

polinomio: n

6)x* )nx #n* &x '!x excede

en & al termino independiente ,entonces el valor de >n? es:a* b*" c*' d*e*!.

.8Sea el polinomio: P)x* "x ! ,

ademGs ( # (+a a a .... a '' =

,calcular:

( # (+C P)a * P)a * P)a * .... P)a *

a*(+ b*++ c*#-+d*#&+ e*#!+

!.8Si P)x*$xF#A PRg)x*$xF',calcular el valor de g)#*.a*# b* c*" d*'

e*

&.8Se de;ne: P)x8*$"xF! yP)6)x**$'#x8'', calcular 6)*.a* b*+ c*!# d*!+e*'&

-.8Sabiendo que: P)xF'*$#x8(AP)5)x*F(*$"xF, calcular

5)P)!**.a*(( b*(# c*( d*("e*('

"+.8Si P)xF*$'xF!, ademGs:PRJ)x*8$('xF#, calcularPRJ)(*.a*( b*# c* d*"e*'

"(.8Siendo P)#xF'*$x8('APR#6)x*F(!$#(x8(', =allar

[ ]

6)#+*...

6)*6)#*6)(*E x6)#* x6) #*

a*(#x b*+ c*(# d*8(#xe*8&

"#.8Sabiendo que: P)xF'*$!xFy ademGs PRQ)x*$'xF#+,calcular Q)('*.a*(#' b*(# c*(+

d*('+ e*(-

".8Badox

P x ('

=

÷

, ademGs

xP 5 ! #+x (

-

=

÷

, calcule el

valor de(

E 5

=

÷

.

a*# b*8 c*( d*e*'

"".8Si se cumple que:)x (* 'x #φ = A) )x* (* "x #φ ψ = , calcular )x*ψ .

a*(#x b*x7" c*x8(d*x8# e*(#x7'




27/53

Página 27

"'.8Si:' "

P)x #* x (##x (#x x (#+= ,

=allar P)(#(*.

a*+ b*( c* d*(#e*(#(.

".8Si se de;ne:P)"xF(*Fx$ !FQ)xF*, ademGs:

#Q)'x (* ( x P)#x ((* = , =alle

el valor de: J QRP)(*

a*" b*' c*& d*#

e*(

"!.8Bada la expresión: P)x*, talque:P)x*$P)x8(*FP)x8#*, ademGsP)(*$A P)#*$", calcularP)P)P)+***.a*! b*- c*' d*e*&

"&.8Si P)xF(*$P)xF'*8"P)x8#*,ademGs P)(*$('A P)+*$,determine P)!*.a*#! b*- c*' d*"(e*"-

"-.8Si se cumple que:

#+(# #++!x (Q x #"x '

x (

=

÷

,

calcular el valor de:[ ]

Q) (*C Q)#*

=

a*(#' b*#' c*(#'d*( e*#'

'+.8Si 6)x*$#g)x*FAg)xF*$#xF'A calcular 6)!*.a*8(" b*+ c*(# d*#-

e*+

'(.8Be un polinomio P)x* desegundo grado se sabe que:P)(*$"A P)+*$'A P)8#*FP)#*$#,

entonces el valor de P)* viene aser.a*(+ b*(( c*(# d*(e*("

PROD-CTOS NOTA4%ES

DEINICINSon resultados de ciertas

multiplicaciones indicadas quetienen una 6orma determinada,las cuales se pueden recordar6Gcilmente sin necesidad dee6ectuar la operación.


28/53

Página 28

•

# # # #a b a b # a b ≡

•

# #a b a b "ab ≡

II'DIERENCIA DEC-ADRADOS:•

# #a b a b a b ≡

•

#n #n n n n nx y x y x y≡

III' DESARRO%%O DE -N4INO!IO A% C-4O:

•

# # a b a a b ab b≡

>Qorma Besarrollada?

•

a b a b ab a b=

>Qorma 3breviada?

•

# # a b a a b ab b≡

>Qorma Besarrollada?

•

a b a b ab a b=

>Qorma 3breviada.?

I5'S-!A " DIERENCIA DEC-4OS:

•

# #a b a b a ab b≡

•

# #a b a b a ab b≡

5' DESARRO%%O DE -N

TRINO!IO A% C-ADRADO:•

# # # #a b c a b c #ab #ac #bc ≡

>Qorma Besarrollada?•

# # # #a b c a b c # ab ac bc

=

>Qorma 3breviada?

5I' PROD-CTOS DE4INO!IOS CON -NT' Si: # # #a b c ab ac bc =

Donde: a, b, c∈ N

Entonces: a b c=




29/53

Página 29

E9ERCICIOS DE AP%ICACINPARTE I

(.8 Besarrollar los siguientes

enunciados según sea el caso:

a* )mF*#$%%%%%%%%%%b* )aFb*#$%%%%%%%%%..c* )(Fx#*#$%%%%%%%%%.d* )a#xFby#*#$%%%%%%%%.e* )amFan*#$%%%%%%%%%.

#.8Besarrolle a simple inspección

a* 2 22 x xy y+ + $%%%%%%%b* 2 2 1 x x− + $%%%%%%%%c* 2 10 25a a− + $%%%%%%%d* 2 6 9m m+ + $%%%%%%%..e* 4 21 2 y y+ + $%%%%%%%..6* 3 61 2a a− + $%%%%%%%%g* 2 24 12 9 x xy y− + $%%%%%=* 2 2 49 30 25b a b a− + $%%%%%

i*2

2

4

aab b− + $%%%%%%%%.

j*

4 21 25

25 36 3

x x

+ − $%%%%%%..

O*4

6 3 216 216

y x x y− + $%%%%%

l* 2 22 ( ) ( )a a a b a b+ + + + $%%%ll* 2 2( ) 2( )( ) ( )a x a x x y x y+ − + + + +

m* 2 2 2 29( ) 12( ) 4( ) x y x y x y− + − + +

.8desarrolle por simpleinspeccion

d* 425 36 x− $%%%%%%%.

e*2 6

100 x y− $%%%%%%%.6* 10 1249a b− $%%%%%%%.

g*21 9

4a− $%%%%%%%%.

=*21 4

16 49

x− $%%%%%%%%

i*2 1

4 9

n

x − $%%%%%%%%%

j*12

104981

x

n ba − $%%%%%%..

O* 2 2( ) x y a+ − $%%%%%%..l* 2 2( 2 ) 4 x a x+ − $%%%%%..m* 2 2( ) ( )a b c d − − − $%%%.

".8Besarrolle los siguientesenunciados

a* ( )( ) x y x y+ − $%%%%%%b* 2 2 2 2( )( ) x a x a+ − $%%%%.c* (2 1)(1 2 )a a− + $%%%%%..d* (1 3 )(3 1)ax ax− + $%%%%%

e* 2 2 2 2(6 )(6 ) x m x x m x− + $%%.6* ( )( )a x x a− + $%%%%%%%g* ( )( )m n m na b a b+ − $%%%%.=* 1 1 1 1( 2 )(2 ) x x x xa b b a+ − − +− + $%%.i* ( )( ) x y z x y z + + + −$%%%%%.



30/53


31/53

Página 31

((.8Si se cumple que:(

x x= ,

=allar

##(x

x

a*" b*(& c*-d*#+ e*((

(#.8Si se cumple que:(

x x= ,

calcular:

(x

x

a*" b* c*(d*+ e*(&

(.8siendo(

x "x= , =alle el

valor de:(

xx

a* # b* (" c*

d*# e*(#

(".8Si se veri;ca que:# #

x y #x "y '=

, encuentre el

valor de: xFy.a* b*" c*'d* e*&.

('.89allar el valor de:

# " &&3 &) (*) (*) (* (

a*( b*- c*#!d*&( e*!#-

(.8Si: x # (

, calcule el valor

de:

# ""C #)x (*)x (*)x (* )x #*

a*( # b* # # c*

# d* # # e* # #

(!.8Si aFbFc$+, =alle:# # #

a)b c* b)a c* c)a b*

abc

a*( b*# c*d*8 e*'

(&.8Siendo: &a b b c &= =

,calcular el valor numrico de:

& & &)a b* )b c* )a c*

E#'&

=

a*! b*& c*-d*(+ e*((

(-.8sabiendo que:

#)a b c d* ")a b*)c d* =

,9alle:

a c b cE

d b d a

=

a*( b*# c*d*" e*'

#+.8Sabiendo que: #x "x (= ,

=allar:

(x

x .

a*'# b*" c*(#d*& e*"&

#(.8El numero >m? que veri;ca:



32/53

Página 32

(m m # # =

, determinar:

" "m m

.

a* # b* c* 'd*+ e*

##.8Sean aAb números queveri;can

a b ('=

y ab$-. alcular

el valor de: #)a b*a*"' b*- c*&(d*((# e*#(.

#.8Siendo: m n p (+ = y# # #

m n p -+ =

, obtener el valor

de:# # #

L )m n* )m p* )n p*

a*(!+ b*(&+c*#++ d*#(+ e*(-+

#".8Si: #x ( #x=

, calcular:& #

!

#')x x *)x x *E

"x

=

a*# b*(+ c*(d*" e*'.

#'.8Si a b c ' =

y# # #

a b c (( =

, calcular

E$abFacFbc.a* b*& c*-d*(+ e*!

#.8Si: x # # #x= , calcular:

&

x #5

#x

=

a*" b*' c* '

d* & # e*(

#!.8Si se cumple que:(

x x # =

=allar

"

#

x (C

x

=

a* b*' c*

d*( e* #

#&.8Si aFb$,


33/53

Página 33

#.82res números reales x, y, @veri;can la igualdad :

# # #

x y @ (" #)x #y @* =

conesto, evaluar la expresión:# # #

x y @C

xy

=

a*8# b*# c*(d*8 e*8(

.8Si se cumple que: x # (

A y # (

calcule el valor de:

# #

#

x )y (* y )x (*

( x ( y

a*# b*(7# c*d*8( e*'".8Bados: xy)x y* (= ,

x y "=

calcular:

x yC

xy

=

,a*( b*# c*d*8( e*8#

'.8


34/53

Página 34

a*( b*! c*d*" e*'

"#.8Si: # #)a b* )a b* a b = .

alcular:

# #

a a b# a b

b b

÷

÷

÷

a*# b*" c*d*a8b e*a7b.

".8Si se cumple que:

# # # # #)a b c x* ")a b c x * =

9allar: # # #)a b c x*)a b c x*

a b c

a*" b*8" c*#d*8# e*(

"".8Siendo: a,b,c númerospitagóricos tales que:

c b a>

. Beterminar el valor de:" " "

# # # # # #

c a b

)a b * )a b *

a*( b*8( c*#d*8# e*(7#

"'.8Si xy$#A # #x y '=

, =allar

el valor de:

##

# #yx #y x

a*'7# b*#'7"c*'7" d*(7# e*(

".8considere la siguientein6ormación :

"a "

a = , =alle el valor de:

(#

-

a -

'a

a*7& b*-7'c*!7- d*&7' e*'7&

"!.8Si: # # #"a "b "c)a b* #c=

,

=alle:# #

#

(#b (#a

c

.

a*( b*# c*

d*" e*'

"&.8Jostrar el equivalente de:

# # # #C )x (* )x #x (* )x (* )x #x (*

a*( b*#x c*xd*# e*x

"-.89alle el valor de:

(" ("

! !

)a b *Aa b +

#)a b *

∧ ≠ si:

# #a b

)a b*b a

=

a*( b*# c*d*8# e*8

'+.8Siendo:Xx,y,@Y

⊂

N, talesque:

# # #x #y @ #y)x @*

=

, indicar el

valor de:

x y @ xy@C

)x y @*)xy y@ @x*

=

.

a*-7" b*7# c*#7d*"7- e*'




35/53

Página 35

'(.8Siendo: # # #m n p (+

m n p -+

=

=

1btener el valor de:# # #

J )m n* )m p* )n p*

a*(!+ b*(&+c*#++ d*#(+ e*(-+

'#.8Si sabemos que:

"

"

(x ",x (

x = > , entonces =alle

el valor de:(xx

.

a* b* c*-d*" e*#.

'.8Si x a " , entonces

determinar el valor de:x x x x #x #x

#x #x x

)a a *)a a *)a ( a *.

)a ( a * a

a*- b*(& c*#!d* e*&(

''.8calcule el valor numrico de:# # # # " # # "

)x y*)x y *)x y *)x xy y *)x x y y * !#-

para x #A y =

.

a*# b*" c*d*& e*-

'.8Si se cumple la igualdad:

#x # 'x ( +

=

=alle:

"

"

(x .

x

a* b* ' c*

' ( d* ' # e* ' (

'!.8dadas las condiciones:#

x a #bc

, #y b #ac

,

#@ c #ab

,

3demGs: x # (, y ( #A =

@ # # "

, determine el

valor de: #)a b c*

a* b*" c*!d*( e*8#

'&.8Si:# #

ab '

'a b=

A determine

el valor de:& &

a bE

b a

=

÷ ÷

a*"" b*"'

c*" d*"! e*"&

'-.8Si: a,b y c son números quesatis6acen las condiciones:

a b c

a b c +

abc "

=

=

=

Entonces el valor de ( ( (Ea b c

es:a*(7" b*(7# c*(7'd*(7 e*(7

+.89alle el equivalente de:



36/53

Página 36

" "

# # # # # # # #

ab )a b* )a b*A ab +

)a b * )a b * )a b *

≠

a*( b*# c*"d* e*(7#

DI5ISION DE PO%INO!IOS

A%#ORIT!O DE %A DI5ISIONBados dos polinomios reales P)x*de gradom ( y B)x* de gradon ( , con m n (≥ A existen dospolinomios únicos 5)x* y


37/53

Página 37

coe;cientes y el esquemasiguiente:

DI5ISION DE PO%INO!IOS!ETODO DE ORNER

(.8 Bividir e indicar su cociente yresto:

' " #

#

x 'x "x &x x "

#x x (

5)*$ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ


38/53

Página 38

" ##x x "x 'x

#x (

a* b* & c* (+ d* ('e* #+

-.8[uGnto se le debe restar aldividendo de manera que ladivisión sea exactaU

" #

#

x x 'x ('x #

x #x

a*xF" b* x8" c* #xF&d* #x8& e* #xF"

(+.8calcule 3FC si la división:"

#

x #x 'x 3x C

x x #

tiene

por resto )xF("*a*' b* ! c* & d* -e* ((

((.89allar a7b si la división:

" #

#

#x x x ax b

x #x

es exacta .

a*( b* 8( c* # d* 8# e*8(7-

(#.8Dndicar el resto en:" #

#x 'x "x x (

x

a*( b* # c* d* " e*8#

(.89allar el resto en:" # #

x #x m x mx m

x m (

a*8( b* ( c* + d* # e*8#

(".8Dndique el cociente de ladivisión:

" #

#

#x !x (x (#x '

#x x (

a* #x #x # b*#

x x #

c* #x #x d*#

x x "

e* #x #x ( ('.8[uGl es el cociente en:

" #

#

"x (x (x &x '

"x x #

a*#

x x #

b*#

x #x

c* #x x ( d*#

x x "

e* #x #x "

(.8=allar >n? si la división:+ #-

(#x (x -x n

x "

es exacta

a* b* & c* (+ d* (#

e* ((!.89allarel resto en:

&+ !!x &x #x '

x #

a*8# b*8( c* + d* (e* #(&.8Dndique el resto en:

" #x #x x x #

x # (

a*8# b*+ c* 8( d* #e* ((-.8[uGl es el resto en:

#! #x #"x x "

x

a*8# b* 8( c* + d* (e*#




39/53

Página 39

#+.8[5u valor debe asumir >m?para que la suma de coe;cientesdel cociente de la división:

" ##x 'x x x m

x #

sea igual

que el restoUa*8# b* 8( c* ( d* # e*+

#(.8Si la división:' #

x 3x Cx #:

x "x #

, sea exacta,

entonces calcular: 3FCF.a*& b*8(c*(# d*8+ e*#"

##.8Si la siguiente división:" #

#

mx nx x x

x x #

es exacta,

=allar )m#Fn#*.a*(' b*(c*(+ d*- e*&

#.89allar >m8n? si la división:" #

#

mx nx ##x (x ('

x "x '

es

exacta.

a*8#+ b*8#' c*8+d*8## e*8'

#".8alcular )3FJ8\*A si lasiguiente división:

' " #

3x Jx \x #!x (-x '

"x x (

,

es exacta.

a*"( b*#( c*((d*(+ e*"+

#'.83l dividir:' #

#

&x "x ax bx c

#x x

, se

obtiene de residuo:#


40/53

Página 40

" #

#

(#x (#x (x ax b

#x x '

, deja

como resto xF&.a*(+ b*#+ c*+d*"+ e*'+

+.89allar )aFb*, si la división:" #

#

x "x x )a #*x b

x #x (

,

deja por resto m? para que elresiduo de dividir:

# #x mx mx m

x m #

A sea 'mF((.

a*( b*# c*d*" e*'

&.8Encuentre el residuo dedividir:

# # nx )n (*x )n n*x '

nx (

, si la

coe6.5)x* = .




41/53

Página 41

a*" b*' c*d*! e*&.-.8Si el cociente de:

#

x ax bx #x

A es #x #x (

,

=allar >aFb?.a*(& b*#+ c*#(d*# e*#".

"+.8Be la división:n

x #x

x (

,

calcule >n? si la suma de

coe;cientes del cociente mas elresiduo es &.a*#( b*## c*#'d*+ e*'.

"(.8La suma de los coe;cientesdel cociente de dividir:

" #P)x* #x x "x ((x #

,

entre 5)x* #x ( , es:

a*(" b*(# c*(+d* e*#+

"#.89alle el resto de la división: #

x ) # m*x )# m ('*x (' m

x m

a*# b*8# c*+d* e*8

".Si:" # # #nx ) n n*x )'n *x &nx &n

x n (

9alle la suma de coe;cientes delcociente, sabiendo que el restode la división es ".a*'+ b*(+ c*#d*+ e*'.

"".8Bada la división algebraica:" #

# #x "x #x #x #

x #

,

calcule la suma de coe;cientesdel cociente.a*8# b*8( c*

" # d* # e* #

"'.8Si al dividir:' " #

x x mx x x !

x #

. el

coe;ciente del termino cuadrGticodel cociente es , calcule el valorde >m?.a*( b* c*' d*!e*-

".8Si el resto de la división:" # #

#x !x ('x nx

x #

, es <

)x*$", calcule el valor de >n?.a*' b*! c*- d*(+e*"

TEORE!A DE% RESTO

(.8 alcular el resto de dividir

(+ ' (x x #x (

entre "x (a* x ( b* #x ( c* "x d*#x ( e* x

#.8 9allar el resto de la división: #" # " #

" #

('x -x ( ('x -x (( (

('x -x (+

a* "+ b* "( c* "# d* #&INOR!ES " #erencia de Desarrollo Econo$ico %ocalTel&' (*+,!ATRIC-%AS !unici.alidad Distrital de C/inc/eros 0 -ruba$baTel&' (*12


42/53

Página 42

e* ""

.8 9allar el resto en la división

" x ( x # x x "

x x ' '

a* & b* ( c* (' d* (& e*#'

".8 9allar el resto en:"#' "#"

#!x &(x 'x (-

x

a* 8# b* 8" c* " d* # e* "(

'.8 alcular el resto de dividir:

"( ("(

#

x x # x (

x #x (

a* (#- b* '( c* #'! d* #'' e*(#&

.8 El resto de dividir

& ''

#

# x ( x x # "

x #x (

A es:

a*" b*' c*" d*e*+

!.8 9allar m n , si la división esexacta:

m #nm

x x a #' a xx #a

a* 8& b* - c* & d* ( e* +

&.8 '(.8el resto de dividir(+ ( '

x #x x ( entre"

x (, es:

-.8al dividir el polinomio' "

x #x x #x m

entre x8# se

obtiene como resto ". El valor de mesU

(+.8El resto de dividir el polinomio

" #P)x* x 'x !x (+x (&

entre

5)x* x #

((.8El resto de dividir el polinomio" #

P)x* x 'x "x ('x ! entre

5)x* x , es:

(#.8 el resto de dividir el polinomio" #&"+ " ((

"

P)x* )x x * )x x "*

#)x x !*

=

Entre "5)x* x x ' , es:

(.8El resto de dividir el polinomio:- " "' - " !"'

- "

P)x* )!x 'x !* )!x 'x -*

')!x 'x ((*

=

entre - "5)x* !x 'x & , es:

(".8El resto de dividir

[ ]

#! )x !*)x (*)x #*)x "*

x)x * #!

, es:

('.8El resto de dividir#'! #'! (

x )x #* )x (*

entre#

x #x ( , es:

(.8El resto de dividir' #& (!

)x (* !)x (* )x (* )x (*

entre #x #x # , es:




43/53

Página 43

(!.8 el resto de dividir(+( '+ #(

')x #* ")x #* )x #* ")x #* #+

entre #x "x ' es:

ACTORIBACION I

DEINICINEn la multiplicación algebraica, elpropósito es lograr una expresiónresultante llamada producto a

partir de los otros denominados6actores. 3l proceso contrario, esdecir, a la trans6ormación de unaexpresión desarrollada osemidesarrollada en el productoindicado de 6actores no de6actores cualesquiera, sinoprimos* se le denominaFACTORIZACIÓN. 2odo lo

mencionado se puede resumir enel siguiente esquema:

La 6actori@ación o descomposiciónen 6actores de una expresión sereali@a sólo para polinomios:

PO%INO!IO SO4RE -NCON9-NTO N-!


44/53

Página 44

En cualquiera de los dos casosanteriores nos es posibletrans6ormarlos a unamultiplicación de polinomios no

constantes, por lo tanto, J x y

0 xAy son primos en ] , N ó ^

POST-%ADO 2odo polinomio lineal de la 6orma

ax b es irreductible encualquier conjunto numrico.eamos a=ora los siguientescasos:

→

#6 x x -

0o es primo en ^ , ya que: 6 x x x

∈

=

^( " " # " "

→

#g x x !

Es primo en ^ , pero no en N , ya

que: g x x ! x !

∈

=

N( " ""# " " "

ACTOR A%#E4RAICO ODI5ISOR A%#E4RAICOHn polinomio no constante, es6actor algebraico de otropolinomio, cuando lo divide

exactamente, es decir si 6 x esun 6actor de g x , entonces g x

es divisible por 6 x .

Por e=e$.lo:

→

m # A es 6actor de

#m m # , ya que:

#m m #

m (

m #

=

es exacta.

→

a ' A no es 6actor de a (! A

ya que: no es exacta

eamos:

"6 x x #'

→ Qactori@ación en el conjunto ^ :

## # # #

Pr imos en

6 x x ' x ' x ' =

^( " ""# " " "

Existen # 6actores primos en ̂

→ Qactori@ando en el conjunto N ,tendremos:

## # # #6 x x ' x ' x ' x ' =

# # #

Primos en

6 x x ' x ' x ' x ' x '+ − = + + −

N( " "" # " " "

∴

Existen 6actores primos en N

→ Qactori@ando en ] , tendremos:

## #

6 x x ' x ' x ' x ' i x ' x '

= + + − = − + −

Pr imos en

6 x x 'i x 'i x ' x '

]( " " ""# " " ""

∴

Existen " 6actores primos en ]

O4SER5ACIONES1' Keneralmente el conjunto en

el que se =a de trabajar es el

de los RACIONA%ES ^ salvoque indique lo contrario.

>' El número de 6actores primos,como lo =emos visto




45/53

Página 45

anteriormente depende delconjunto numrico en el quese trabaje. En el conjuntonumrico de los racionales, el

número de 6actores primos secalcula contando los 6actoresbasales )que ;guran comobases y que contengan a lasvariables, denominadastambin 6actores algebraicos.

3sI por ejemplo:

" #

6 x x # x 2iene # 6actores primos.

" 'g = = = " = =

2iene " 6actores primos.

"# #P xAy x y x #y x 'y

2iene " 6actores primos.

('Si se cambia de signo a un par

de 6actores, la expresión no sealtera. Sea: Q x x " # x x ! x

Si se cambia de signo al 6actor: # x y ! x , se tendrG:

Q x x " x # x x !

+'Sea: a b cα β γ × ×Bonde a, b y c son 6actoresmónicos primos entre sI:

_ Qactores ( ( (α β γ

E=e$.lo:Beterminar el número de 6actores

de: > # #x y ?

Besagregando a la expresión encada uno de sus 6actores, setendrG

omo se observa existen -6actores, los cuales se obtendrGndirectamente, a travs de larelación anteriormente mostrada.

_ Qactores # ( # ( - =

Be donde se debe tener en

cuenta que: _ Qactores algebraicos ( ( ( (α β γ

\a se descarta al ( porque es unpolinomio de grado E


46/53

Página 46

E9ERCICIOS DE AP%ICACINPARTE I

(.8 Qactori@ar:x#y# F x#y F xy# F xy

El número de 6actores primos es:a* # b* c*" d*' e*#.8 Qactori@ar:

32234 xy yx yxx

a* x)x# F (*)y# F (*b*x)x# F y*)y# F x*c* y)x# F y*)y# F x*d* y)x F y*)x# F y*

e* x)x F y*)x#

F y#

*. Qactori@ar: x3x4x 23

a* )1x)(3x(x ++

b* )1x)(3x( 2 ++

c* )1x)(x3x( 22 ++

d* )2x)(3x2( 2 ++

e* )2x)(x3x2( 22 ++

". Qactori@ar:324234 yx2xy yx2 yx

SeVale uno de los 6actoresprimos:a* x# / xy F y# b* x# / xy Fyc* x F xy F y# d* x# F xy Fy#

e* x / y

'. Qactori@ar:)xF*)xF#*)xF(*F)xF#*)xF(*F)xF(*

SeVale el n`mero de 6actoresprimos:a* # b* c* " d* ' e*

.8 Los 6actores primos de:)x/* )x/#* )x/(* / )x/(* )#/x*Asuman:a* x/' b* xF'c* #x/

d* x/ e* #xF

!.8 9allar un 6actor de: a" / b"

a* a b* b c* a#Fb# d* aF( e*aF#

&.8 uGl no es un 6actor de:

22 xmmx1

a* ( F m b* ( F x c* ( /

md* ( / x e* m F x

-.8 Qactori@ar: Q)x* $ x / x# / &x /(A indicar un 6actor:a* x / " b* x / #xF "c* x# F #x / " d* x / x / "

e* x / x F "

(+.8 uando se 6actori@a xx9

=asta donde sea posible enPolinomios y Jonomios concoe;cientes enteros el _ de6actores primos es:a* # b* c* " d* ' e* 8'

((.8 Hno de los 6actores de:& )m F (* / (#' es:a* 'm# F b* m / #




47/53

Página 47

c* 'm F #d* "m / #' e* "m# F (&m F -

(#.8 Qactori@ar: ")mFn* F (#' e

indicar la suma de loscoe;cientes del 6actor de mayorgrado:a*"+ b* /"+ c* "- d*-" e* '

(.8 Luego de Qactori@ar:6)x* $ x# / "x / ('Proporcione el producto de sus

trminos independientes:a* x# b*x c*(' d* /('e*-x

(".8 Qactori@ar: #'x" 8 (+-x# F A seVale el número de 6actoresprimos:a* # b* c* " d* ' e*

('.8 Qactori@ar: (m&

/ (!m"

n"

Fn&

seVale el numero de 6actoresprimos:a* # b* " c* ' d* e* !

(.8 Qactori@ar y dar comorespuesta la suma de los 6actoresde:

222

2 yx4 yx12 yx9

a* 'x/y b* 'x F y c*(+x / #yd* (+x F #y e* (+x F #+y

(!.8 Qactori@ar:)x / #y / '*# / #)x / #y* F ' A

e indicar el cociente de lostrminos independientes de los

6actores primos que se obtienen:

a* (+ b* ' c* " d* & e*(#

(&.8 9allar la suma de

coe;cientes de uno de sus6actores :#x# F !xy F y# F ((x F &y F 'a* # b* c* d* ! e* -

(-.8 9allar el trminoindependiente de uno de sus6actores .

x# 8 (xy 8 'y# 8 (x F !y F

a* b* ( c* /( d* 8e* 8#

#+.8 Proporcione un 6actor de:x# F (+xy F &y# F ("x F ##y F

('a* x / #y F b* x F "y /'c* x / "y F ' d* x / #y /

e* x F #y F

#(.8 Qactori@ar:"x# 8 &xy F y# F (+x 8 (y F "

a* #x8yF" b* #x8y8( c* #xFy8"d* #x8y8" e* #x8yF"

##.8 Qactori@ar:

#&xy / ""y# F 'x / #y F "+ AseVale el trmino independientede uno de sus 6actores:a* & b* ' c* 8& d* 8' e* !

#.8 3l 6actori@ar la siguienteexpresión:

#x# 8 xy 8 y# / x F "y 8



48/53

Página 48

a* #xFyF( b* xFy8( c* #x8y8d* x8y8 e* x8yF(

#".8 Qactori@ar : x

8 ((x#

F (x /#(SeVale uno de sus trminosindependientesa* " b* c* ! d* & e* -

#'.8 Qactori@ando el Polinomio

18x15x4x)x(P 23 A indicar la

suma de sus 6actores primos

lineales.a* "x/& b* x/" c*xF"d* xF' e* "xF(+

#.8 Qactori@ar: Q)x* $ x /#x# /'x F SeVale la suma de 6actoresprimos.

a* x/( b* x c* x/#d* xF( e* xF#

#!.8 Qactori@ar: Q)x* $ #x F 'x# /x / Dndicar un 6actor primo:a* #xF( b* #xFc* #x/(

d* #x/ e* #x

#&.8 Qactori@ar:Q)x* $ x F x# F#x / Bar como respuesta el valornumrico de un 6actor para x $ &.a* (& b* ! c* (# d* (e* #+

#-.8 La expresión: 6xx3 seanula cuando x $ # por lo tanto

)x / #* es un 6actorA el otro 6actores:a* x# / x / b* x# F x F

c* x # F #x

F d* x#

/ #x F e* x# F #x F (

+.8 Bar un 6actor de:

3bbb2 23

a* 1bb2 b* 3b2 c* 3b2

d* 3b2b2 e* 1bb2

(.8 Qactori@ar: Q)x* $ x"

F #x#

F-A seValar el trminoindependiente de uno de los6actores primos.a* / b* c* ( d* - e* /-

#.8 Qactori@ar: Q)x* $ "x" F !x# F(A seValar el coe;ciente

cuadrGtico de un 6actor primo:a* ( b* # c* d* " e* '

.8 Qactori@ar: 25x31x16 24

A

seVale el producto de lostrminos de un 6actor.a* +x b* "+x c* /+x

d* +x e* /#+x

".8 Hno de los 6actores de:

9x2x 24 A es:

a* x# / b* x# / #x F c* x F (d* x# F e* x# / #x /

'.8 Qactori@ar:




49/53

Página 49

Q)x* $ )xF(* )xF#* )xF* )xF"* F(9allar el coe;ciente lineal de un6actor primo.

a* ( b* # c* d* " e* '

.8 Qactori@ar:Q)x* $ )x/#* )xF* )xF#* )x/(* F SeValar la suma de loscoe;cientes de uno de los6actores primos.a* " b* /# c* / d* /"

e*

!.8 Qactori@ar:Q)x*$)xF(* )x/#* )xF* )x/"* F #"SeValar la suma de los 6actoresprimos lineales.a* x/ b* x/# c* #x/(d* #xF' e* #x/'

&.8Qactori@ar:

Q)x* $ )x/#*#

)x#

/"xF* / ('SeValar la suma de los trminosindependientes de los 6actoresprimos.a* ! b* & c* - d* (+e* ((

-.8 Qactori@ar:( F x )x F (*)x F #*)x F *a* )x# F #x F #*# b* )x# F x F

(*)x*c* )x F (*# )x / (* d* )x# F x F(*#

e* )x 8 (*# )x F (*

ACTOR CO!-N

(.83l 6actori@ar:#

P)x,y* ax ab bx b xy by

,

se obtiene: P)x,y* )x '*)y #* .9allar >a?.a*! b*" c* d*'e*(

#.8Luego de 6actori@ar:J)a,b* ab 'b #)a (*

,indique la suma de coe;cientesde un 6actor primo.a* b*' c*- d*((e*(".83l 6actori@ar:

abcFabFacFbcFaFbFcF(, unode los 6actores es:a*)aFb* b*)bFc* c*)aF(*d*)aFc* e*)abcF(*

".8Qactori@ar:)x *)x #*)x (* )x #*)x (* )x (*

, seVale el numero de 6actoresprimos:

a*# b* c*" d*'e*

IDENTIDADES

'.8Luego de 6actori@ar:

P)x* )x #* " , seVale el 6actor

primo de mayor grado.

a*#

x b*#

x & c*#x (+ d*

#x (#

e* #x (#

.8Bar uno de los 6actores al6actori@ar:

# #P)x,y,@* xy)xy #* )( @ *)@ (*



50/53

Página 50

a* #xy ( @ b* xy (

c* #@ ( d*#

xy ( @

e*mas de una es correcta

!.8la suma de coe;cientes de unode los 6actores primos en:

# # #m "p "mn "n , es:

a*# b* c*" d*'e*+

&.89allar la suma de los 6actoresprimos de:

# # # #)a b*)a c * )a c*)a b *

a*#)a8c* b*#)aFc* c*#)a8b* d*#)aFb* e*+

-.89allar la suma de los 6actoresprimos de:

# # # #b c a d #ad #bc

a*#)aFb* b*#)aFc*

c*#)bFc* d*#)cFd* e*+

(+.8Qactori@ar:# # #

P)x* )x m* (#x ' (#m

,

indique un 6actor primo.

a* #x m #

b* #x m

c* #x m ! d* #x m -

e*#

x m (

((.86actori@ar:# # # #

P)x* )x * !x)x * (+x

indique la suma de sus 6actoresprimos lineales.a*#xF( b*#xF#c*#xF d*#xF"e*#xF'

(#.8Qactori@ar: " ##'x (+-x

,

seVale el numero de 6actoresprimos:

a*# b* c*" d*'e*

(.8El numero de 6actores primosque posee:

" ' # !x y #'x y "x y

a* b*" c*' d*e*!

ASPA DO4%E

1+'La suma de los coe;cientesde uno de los 6actores primos de:

# #-x ((xy #y #x 'y

a* b*! c*& d*-e*(+

('.8Qactori@e:# #

P)x,y* #x y 'xy (y -x "

e indique la di6erencia de sus6actores primos.a*xF#y8 b*#xFyF(c*xFy d*xFy8#e*xFyF(

(.8Qactorice:# # #P)x,y,@* x xy #y "x@ !y@ @

, e indique el 6actor primo demayor suma de coe;cientes.a*xF#yF@ b*xFyF#@c*xF#yF@ d*xFyF@e*xF#yF#@.




51/53

Página 51

(!.8SeValar uno de los 6actoresde:

# # #x #+y ("@ !xy &y@ (!x@

a*xF#yF@ b*x8"yF#@c*#xF'yF!@ d*xFyF#@e*#x8yF@

(&.8Qactori@ar:# #

P)x,y* x #xy x #"y &y (

e indique un 6actor primo.a*xF!y8 b*#xF#y8c*#xF#yF d*xF"yFe*x8"yF

(-.89allar la suma de coe;cientesde un 6actor primo de:

# # #P)x,y,@* @ @ x x y #xy y

a*' b*" c*# d*e*(

ASPA DO4%E ESPECIA%

#+.8Qactori@ar:" #

t)x* x 'x (x (!x (#

, e

indicar un 6actor primo.

a* #x x "

b* #x #x #

c* #x #x " d*#

x x "

e* #x x

#(.8Qactori@ar:" #

J)x* #x 'x x 'x #

,

seVale un 6actor primo:a*#xF( b*xF# c*x8(d*x#8xF( e*x#8x8(

##.83l 6actori@ar:" #

6)x* #x x x !x , se

obtiene un 6actor de la 6orma

#ax bx c

, calcular >aFbFc?.a*# b* c*" d*'e*

#.83l 6actori@ar:" " #

P)x* x x 'x "#x "+

,

indicar que 6actor no pertenece.a*x8# b*xF" c*xF#

d*xF' e*x8(

#".8alcular la suma de lostrminos lineales de los 6actoresprimos del polinomio:

" #5)x* x x (-x ##x (+

a*#x b*x c*"x d*-xe*(+x

#'.89allar la suma de coe;cientesdel 6actor primo cuadrGtico delpolinomio:

" #C)x* #x x #x x

a*( b*# c* d*"e*&

DI5ISORES 4INO!ICOS

#.8SeValar uno de los 6actoresde:

#x x "x (#

a*x8 b*xF" c*x8#d*xF' e*xF&

#!.89allar la suma de sus 6actoresprimos de:



52/53

Página 52

#)x* #x x (&x - a*"x8 b*"x8( c*"xF#d*"xF e*"xF'

#&.83l 6actori@ar el polinomio #

x "x ('x (& , indicar la

suma de sus 6actores primoslineales:a*xF" b*x8" c*#xF(d*#x8( e*"xF

#-.8Bado: #

P)x* x ((x x #

, si al6actori@ar se expresa como:

#P)x* )ax bx c*)mx n*

, calcule

>abc

mn?.

a*( b*(7# c*8(7# d*#e*8#

+.8alcule abc)aFbFc* de laidentidad:

# b a#+x (x x ( a)bx a* )cx a*

≡

a*'+ b*&+ c*!' d*"e*(""

ARTIICIOS DI5ERSOS

(.8Qactori@ar el polinomio:P)x* )x (*)x *)x "*)x * "&

indique su numero de 6actoresprimos:a*' b* c*# d*"e*

#.8La suma de sus 6actoresprimos de:

# #W)a,b* )a b* )a b* (+ )a b '* )a b #*

#)a b #*

= + − + − + + − + +

− + +

viene a ser:a*)aFb*8! b*!)aFb*8c*)aFb*8! d*)a8b*F!e*!)aFb*8!

.8SeValar un 6actor de:)x (*)x #*)x *)x "* ('

a* #x 'x - b*#

x 'x ( c* #x 'x -

d* #x 'x '

e*#

x 'x (

".8Qactori@ar:( x)x (*)x #*)x *

a* # #)x x (*

b*

# #)x x (*

c* # #)x x (*

d* # #)x #x (*

e*# #

)x #x (*

'.8Luego de 6actori@ar:' "

P)x* x x (

, indique uno de

sus 6actores primos.

a* #x x (

b*x8(

c* x x (

d* #x x (

e*#

x x (

.8La suma de los 6actoresprimos que se obtienen al

6actori@ar: " #"x #-x #'

a*xF( b*x c*xF'd*x8( e*x8'

!.8Dndique un 6actor de:




53/53

#)x #* )x (*)x * 'x)x "* #!

a* #x "x

b* #x "x

c* #

x 'x (

d* #

x x ' e*x !

&.8Dndicar el 6actor primocuadrGtico de mayor suma decoe;cientes, despus de6actori@ar:

" #J)x* x "x (

a* #x x #

b* #x #x "

c*#

x x &

d*#

x & e*#

x #x "

-.8Dndicar el numero de 6actoresprimos de:

(# & "x x x

a*(+ b*- c* d*'e*"

"+.89allar el numero de 6actores

irreductibles en: " # # "x x y y

.

a*' b*" c* d*#e*(

4AC' IN#' #ONBA%O4ONIACIO A"!IT-!A

EN EL SIGUIENTE BOLETIN

ACADEMICO VIENE:

1-RADICALES

3.-ECUACIONES DE 1RO GRADO

Y 2DO GRADO.

4.-INECUACIONES

5.-VALOR ABSOLUTO Y

INECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO

6.-FUNCIONES DE VARIABLE

REAL, Y FUNCIONES

ESPECIALES

Boletin 1 Chichero 2013

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