1. :;!:.* FENMENOS DE TRANSPORTE

2. -- - -, r --~- -- --,: :: ;,. j J:; 3. R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIdTFOOT+,;- D_epartam:- ento de,) . Ingeniera Qumica,,de la Universidad de Wiscon$p,:.$ ,: -1. o,t,v~sclt~jttselen, que representanel primer intento que conocemos acerca de la enseanza de fenmenos de transportea estudiantes de ingeniera. Uno de nosotros (R. B. Bird) ha tenido el placer depasar un semestre en el laboratorio del Profesor Kramers como Fulbright Lecturery Guggenheim Fellow, durante el cual se ha beneficiado mucho de las discusionessobre la enseanza de los fenmenos de transporte.La seorita Jeanne 0. Lippert merece nuestro mejor agradecimiento por habermecanografiado la mayor parte del manuscrito y algunas de sus partes varias veces.Tambin estamos en deuda con Mr. Stuart E. Schreiber por su incansable esfuerzoen la copia y disposicin del conjunto original de notas. Finalmente, deseamos agra-decera la seorita Ellen Gunderson la asistencia que nos ha prestado en la prepa-racindel manuscrito.K. B. B.W. E. S.E. N. L. 11. fNDICE GENERALPRIMERA PARTE. TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOcaptulo 1.*g1.1.*51.2.*g1.3.51.4.g1.5.Captulo 2.$2.1.* 52.2.* 82.3.* 42.4..$2.5.* $2.6.Viscosidad y mecanismo del transporte de cantidad de movimiento.. . .Ley de Newton de la viscosidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 1 .l- 1. Clculo de la densidad de flujo de cantidad de movimiento,1-7Fluidos no-newtonianos . . . . . . . . . . ..*...*...................*......Influencia de la presih y la temperatura sobre la viscosidad.. . . . . . . . . . .*Ejemplo 1.3-1. Estimacin de la vkcosidad a partir de Is propiedadescrticas, 1 - 19*Ejemplo 1.3-2. Efecto de la presin sobre la viscosidad de los gases, 1-19Teora de la viscosidad de los gases a baja densidad. . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 1.4-1. Clculo de la viscosidad de un gas a baja densidad, 1-25Ejemplo 1.4-2. Prediccin de la viscosidad de una mezclagaseosa a bajadensidad, 1-26Teora de la viscosidad de los lquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 1.5-1. Estimacin de la viscosidad de un liquido puro, 1-30Distribuciones de velocidad en flujo laminar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Balances envolventes de cantidad de movimiento: condiciones limite..Flujo de una pelcula descendente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 2.2-1. Cdlculo de la velocidad de pelicula, 2-8Ejemplo 2.2-2. Pelicula descendente con viscosidad variable, 2-9Flujo, a travks de un tubo circular.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . .*Ejemplo 2.3-1. Determinacin de la viscosidad a partir de datos de flujoen un capilar, 2-15Ejemplo 2.3-2. Flujo de Bingham en un tubo capilar, 2-16Flujo a travks de una seccin de corona circular.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Flujo reptante alrededor de una esfera slida. . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*EjempI 2.6-1. Determinacin de la viscosidad a partir de la velocidadjinal de caida de una esfera, 2-28Captulo 3. Las ewaciones de variacih para sistemas sotrmicos.. . . . . . . . . . . . . . . .*93.1. La ecuacin de continuidad.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*$3.2. La ecuacin de movimiento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93.3. La ecuacih de energa mecnica.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .* $3.4. Las ecuaciones de variacin en coordenadas curvilneas.. . . . . . . . . . . . .1-31-3I1-101-161-201-272-12-22-42-102-182-222-253-1::53-123-13 12. XII iNDICE GENERAL*3.5. Utilizacin de las ecuaciones de variacin para el planteamiento de pro-blemasde flujo estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-23*Ejemplo 3.5-1. Flujo tangericial de un jluido newtoniano en tubos con-chtricos,3-25*Ejemplo 3.5-2. Forma de la superficie de un lquido que gira, 3-28Ejemplo 3.5-3. Relaciones del par y distribucin de velocidad en el viscos-metrode plato y cono, 3-3083.6. Las ecuaciones de variacin para flujo no-newtoniano incompresible . . 3-33Ejemplo 3.6-1. Flujo tangencial de un plstico de Bingham en rubos con-cntricos,3-35Ejemplo 3.6-2. Componentes del tensor de densidad de,j?njo de cantirlodde movimiento, para el flujo radial no-newtoniano entre! dos discos para-lelos,3-38*83.7. Anlisis dimensional de las ecuaciones de variacin.. . . . . . . . . . . . . . . . . 3-38*Ejemplo 3.7-1. Prediccidn de la profundidod del vdrtice en un tanqueagitado, 3-40Captulo 4. Distrbucionea de velocidad coa m6s de mu variable indepemlieate . . . . . . . . 4-1*#4.1. Flujo viscoso no estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1*Ejemplo 4.1-1. Flujo en las proximidades de una pared que se pone sbita-menteen movimiento, 4-2Ejemplo 4.1-2. Flujo laminar no estacionario, en un tubo circular, 4-4$4.2. Flujo viscoso estacionario con dos componentes de la velocidad que nodesaparecen: la funcin de corriente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-8Ejemplo 4.2-1. Flujo reptante alrededor de una edfera, 4- 10$54.3. Flujo potencial bidimensional en estado estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . 4-12Ejemplo 4.3-1. Flujo alrededor de un cilindro, 4-14Ejemplo 4.3-2. Flujo en un canal rectangular, 4-16$4.4. Teora de la capa lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-19Ejemplo 4.4-1. Flujo en las proximidades de una pared que se pone brus-camenteen movimiento, 4-19Ejemplo 4.4-2. Flujo en las inmediaciones del borde dc ataque de unaldmina plana, 4-21Caphdo 5. Distribucih de velocidad ea flujo turbulento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-1*#Ll. Fluctuaciones y magnitudes de tiempo ajustado.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2*05.2. Ajuste de tiempo de las ecuaciones de variacin para un fluido incom:presible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*$5.3. Expresiones semfempricas para los esfuerzos de Reynolds.. . . . . . . . . . . ::*Ejemplo 5.3-1. Deduccidn de la ley de distribucin logaritmica para elflujo en un tubo (lejos de la pared), 5-10*Ejemplo 5.3-2. Distribucidn de velocidad para el flujo en un tubo (cercade la pared), S-II*Ejemplo 5.3-3. Valor relativo de la viscosidad molecular y la viscosidadde remolino, 5-13$5.4. El tensor de correlaci6n de segundo orden y su propagacin (la ecuacinde von Karmn-Howarth) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-14Ejemplo 5.4-1. Calda de turbulencia detrs de una rejilla, 5-2iCapitulo 6. Txansporte de interfase en sistemas isothdcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1*$6.1. Definicin de factores de friccin . . . . . . . . . . . . . . . . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2 13. *$6.2.96.3.$6.4.Captulo 7.*57.1.* $7.2.*57.3.*g7.4.*57.5.17.6.INDFCE GENERALFactores de fricci6n para el flujo en tubos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 6.2-1. Diferencia de presidn necesaria para una determinadavelocidad de flujo, 6-9*Ejemplo 6:2-2. Velocidad de flujo para una determinada diferencia depresin, 6-10Factores de fricci6n para el flujo alrededor de esferas.. . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 6.3-1. Determinacin del didmetro de una esfera descendente,6-16Factores de friccin para columnas de relleno.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Balances macrosc6picos en sistemas isot&nlicos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Balance macrosc6pico de miiteria.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Balance macroscbpico de cantidad de movimiento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Balance macrosc6pico de energa mecinica (ecuacin de Bernoulli). . . .Ejemplo 7.3-1. Deduccidn del balance de energa mecnica para flujo es-tacionarioincompresible, 7-6Estimacin de las prdidas por friccih.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 7.4-1. Potencia necesaria para el&o en urw conduccidn. 7-11Utilizacin de los balances macroscpicos para el planteamiento de pro-blemasde flujo estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 7.5-1. Aumento de presidn y perdidas por friccidn en un ensan-chamientobrusco, 7-12*Ejemplo 7.5-2. Eficacia de un eyector liquido-liquido, 7-14*Ejemplo 7.5-3. Fuerza que actua sobre la curvatura de una tuberta, 7-16Ejemplo 75-4. Flujo isotermico de un liquido a travis de un orificio, 7-18Ijtiliacih de los balances macro&picos para plantear problemas deflujo no estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 7.6-1. Tiempo de vertido para el flujo en un embudo, 7-20Ejemplo 7.6-2. Oscilaciones de un mamimetro amortiguado, 7-23SEGUNDA PARTE. TRANSPORTE DE ENERGfACaptulo 8. Conductividad calorfica y mecanhno del transporte de eae&. , . . . . . . . .*5811. Ley de Fourier de la conduccin del calor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 8.1-1. Medida de la conductividad calorijka. 8-8$8.2. Variacin de la conductividad calorfica de gases y lquidos con la tempe-raturay la presin . . . * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 8.2-1. @cto de la presion sobre la conductividad calorfica, 8-12$8.3. Teora de la conductividad cal6rifica de los gases a baja densidad. . . . . . .Ejemplo 8.3-1. Cdlculo de la conductividad ca!ori$ca de un gas mono-atomicoa baja densidad, 8-19Ejemplo 8.3-2. Estinwcidn de la conductivi&d calorifica de un gas poli-atomicoa baja densidad, 8-20Ejemplo 8.3-3. Prediccidn de la conductividad calorfica a?s una mezclagaseosa a baja densidad, 8-20$8.4. Teora de la conductividad calorfica de lquidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 8.4-1. Prediccidn de la conductividad calorifica de un lquido,8-23XIII6-36-116-177-17-27-37-47-77-127-208-38-38-108-148.2188.5. Conductividad calortica de slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-23 14. XIV tNbICE GENERALCaptulo 9.*gs.i.* 59.2.Distribuci6n de temperatura en slidos y en el flujo laminar. . . . . . . . . . . . . .Balance de energa aplicado a una envoltura: condiciones lmite.. . . . .Conduccin del calor con un manantial calorfico de origen elctrico..*Ejemplo 9.2-1. Voltuje necesario para producir un determinado aumentode temperatura en un alambre calentado por una corriente electrica, 9-7Ejemplo 9.2-2. Calentamiento electrice de un alambre en el que varianlas conductividades calorifca y elertrira con la temperatura, 9-8Conduccin del calor con un manantial calorfico de origen nuclear.. .Conduccin del calor con un manantial calorfico de origen viscoso.. . . .Conduccin del calor con manantial calorfico de origen qumico.. . . .Conduccin del calor a travh de paredes compuestas: suma de resistencias*I$emplo 9.6-1. Paredes cilindricas compuestas, 9-24Conduccin de calor en una aleta de enfriamiento.. . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 9.7-1. Error en la medida de un termopar, 9-29Conveccin foBada...............................................Conveccibn libre.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$9.3.* 59.4.$9.5.* 59.6.09.7.* $9.8.+g9.9.captulo 10.l 010.1.*g10.2.010.3.*910.4.l 910.5.*510.6.Captulo ll.*g11.1.$11.2.Las ecuaciones de variacin para sistemas no sot&micos~ . . . . . . . . . . . . .Las ecuaciones de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .La ecuacin de energa en coordenadas curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Las ecuaciones de movimiento para conveccin forzada y conveccinlibte en el flujo no isotkrmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Resumen de las kuaciones de variacin.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Uso de las ecuaciones de variacibn en los problemas de transmisi6n decalor en estado estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 10.5-1. Flujo tangencial en tubos concntricos con generacinde calor de origen viscoso. 10-17*Ejemplo 10.5-2. Flujo estacionurio de una pelcula no isatrmica, 10-19*Ejemplo 10.5-3. Enfriamiento por transpiracion, 10-20Ejemplo 10.5-4. Transmisin de calor -por conveccidn libre desde unaldmina vertical, lo-23Ejemvlo IO.S-S. Fluio comvresible unidimensional: gradientes de velo-- cidad, temperatura-y preshk en una onda de choqueestacionaria, 10-26*Ejemplo 10.5-6. Procesos adiabdticos sin friccin para un gas ideal, lo-30ArkliSis dimensional de las ecuaciones d variackn.. . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 10.6-1. Transmisin de calor por conveccin forzada en un tan-queagitado, 10-32*Ejemplo 10.6-2. Temperatura de la superfcie de una espiral de calenta-mientoelctrico, lo-34Distribuciones de temperatura con mh de una variable independiente. . . .Conduccin no estacionaria del calor en slidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 1 I.i-i. Calentamiento de una lmina semiin$nita, ll-2*Ejemplo II. 1-2. Calentamiento de una lmina finita, ll-3 ~Ejemplo 11.1-3. Enfriamiento de una esfera qe est en contacto con unfluido fuertemente agitado, ll-7Conduccibn del calor en estado estacionario para el flujo laminar de unfluido viscoso........................................,.........Ejemplo 11.2-1. Flujo laminar en un tubo con densidad de flujo de calorconstante en la pared, 1 l-l 1Ejemplo 11.2-2. Flujo laminar en un tubo ron densidad de flujo de calorconstante en la pared: Solucidn asinttica para distanciaspequehas, ll-129 - 19-29-39-109-149-169-219-269-319-3610-110-210-910-9lo-1310-13lo-31ll-lll-lIll-10 15. $11.3811.4.captulo 12.*412.1.$12.2.*$12.3.$12.4.Captulo 13.1813.1.* $13.2.1913.3.813.4.*s13.5.513.6.captulo 14.*s14.1.*14.2.*14.3.; *14.4.14.5.fNDICE GENERALFlujo potencial bidimensional estacionario de calor en sblidos.. . . . . . . .Ejemplo 11.3-1. Distribucin de temperatura en la pared, 1 l-l 5Teora de la capa lmite.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 11.4-1. Transmisin de calor por conveccin forzaada en el flujolaminar a lo largo a!e una Idmina plana calentada, ll-16Distribuciones de temperatura en flujo turbulento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Fluctuaciones de temperatura y temperatura de tiempo ajustado.. . . . .Ajuste de tiempo de; la ecuacin de energa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Expresiones semiempuicas para la.densidad de flujo turbulento de energa,*EjempIo 12.3-1. Perfiles de temperatura para el flujo turbulento estacio-narioen tubos circulares lisos, 12-6La doble correlacibn de temperatura y su propagacin: ecuacin de Corr-sin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 12.4-1. Ecuacin de decaimiento para la doble correlacin detemperatura, 12-13Transporte de interfase en sistemas no isothicos , . . . . . . . . , . . . , . . . . . .Definicin del coeficiente de transmisin de calor.. . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 13.1-1. Cdlculo de coeficientes de transmisidn de calor a partirde datos experimentales, 13-6Coeficientes de transmisin de calor para conveccin forzada en tubos. .*Ejemplo 13.2-1. Diseo de un calentador tubular, 13-18Coeficiente de transmisin de calor oara convecci6nforzada alrededor de6bjetos sumergidos.. . . . . . . . . .: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Coeficientes de transmisin de calor para conveccin forzada a trav6s delechos de relteno...............................................Coeficientes de transmisin de calor para conveccibn libre.. . . . . . . . . . .*Ejemplo 13.5-1. Prdida de calor por conveccin libre desde una tuberahorizontal. 13-28Coeficientes de transmisibn de calor para condensacin de vapores purossobre superficies slidas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&j;;io li3jd;l. Condensacin de vapor de agua sobre una superficie ver-, -Transporte de eaergia por radiacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .El espectro de radiaci6n electromagnetica.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Absorcin y emisin en superficies slidas.. . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . .Eey de distribucibn de Planck. ley de desplazamiento de Wien, y la ley deStefan-Bohzmann.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*Ejemplo 14.3-1. Temperatura y emisin de energia radiante delSol, 14-12Radiacin directa entre cuerpos negros en el vaco que estan a diferentetemperatura...................................................*Ejemplo 14.4-1. Estimacin de la constante solar, 14-19*Ejemplo. 14.4-2. Transmisin de energa radiante entre discos, 14-19Radiacin entre cuerpos no negros que estn a distinta temperatura . .*Ejemplo 14.5-1. Escudos de radiacidn, 14-22*Ejemplo 14.5-2. Prdidas de calor por radiacin y conveccidn libre en unatuberia horizontal, 14-24Ejemplo 14.5-3. Conveccin y rudiacin combinudas, 14-24X Vll-14ll-1612-112-112-312-512-1113-11 3 - 213-813-2013-24.13-2513-2914-114-2,14414-814-1314-20 16. XVI INDICE GENERALTransporte de en&a iadiante en medios absorbentes.. . . . . . . . . _. . . _. lq-25 _Ejemplo 14.6-1. Absorcin de un rayo de radkxidn monocromdtica, 14-27$14.6.captulo 15.$15.1.*815.2.*&Y5.3.+g15.4.515.5.-ma~piclxeosistemasno- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ls-1El balance macroscbpico de ene&. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : 15-2El balance macrosc6pico de energa mechica (Ecuacin de Bernoulli).:5$Resumen de los balances macroscpicos para fluidos puros.. . . . . . . . . .Utilizacin de los balances macroschpicos para la resolucin de problanasde estado estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . 15-8*Ejemplo 15.4-1. Enfriamiento de un gas ideal, 15-8*Ejemplo 15.4-2. Cambhores de calor de corrientes parakhs y ea wn-tracorriente,15-11*Ejemplo 15.4-3. Potencia necesaria para bombear un parido wmpresibka travs & una tube& de gramfes dimensiones, 15-13Ejemplo 15.4-4. Mezclo de ah corrientes a gases ideales, 15-15*Ejemplo 15.4-5. Flujo tle jIuihs compresibles a travs I ori#icios, 15-17Utilizacin de los balancea macro.&picos para la resolucin de proble-masde estado no estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-19Ejemplo 15.5-1. Cakntamiento de un Ilquido en WI ta-nquc agItaa& 15-19Ejempb 15.5-2. Operacidn ak un sistema sencillo dc control & tempe-ratura,15-22Ejemplo 15.5-3. Expansidn libre de una carga de un pwdo wmpresib&,15-26TERCERA PARTE. TRANSPORTE DE MA-Captulo16. Difusividad y m-0s del transporte de matera.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-3*016.1. Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de ma-te r i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Ejemplo 16.1-1. Relaciones entre las ah~.~Iazas ak flujo mokues, 16-9*#16.2. Ley de Fick de la difusin.. . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-10*$16.3. Variacibn de la difusividad con la presih y la temperatura.. . . . . . . . . 16-13*Ejemplo 16.3-1. Estimacidn de ka difwividad a baja ahsidad, 16-15*Eiemolo 16.3-2. .&timaci&n de h difmividad a alta &nsi&d, 16-16$16.4. Te& de la difusin ordinaria en ghes a baja densidad.. . . . . . . . . . . . 1616Ejemplo 16.4-1. C&lculo de ha &fhsivi&d a baja &nshaad, 16-21016.5. Teora de la difusin ordinaria en lquidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-22Q;~wI~~I~~~~ Estimacidn de ( difusividad para YM mezcla liquida>Caphlo 17. DistriWw de eolK!m~cl&l en s6ldos y em lhljo lamlmr.. . . . . . . . . . 17-1*017.1. Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones lmite.. . . . . 17-3l $17.2. Difusibn a travs de una pelcula gaseosa estancada. . . . . . . . . . . . . . . . . 71-4*Ejemplo 17.2-1. Determinacidn ak In difusivihd, 17-8Ejemplo 17.2-2. Difmidn a travs a una pelkth esfrica no isotrmica,17-9*$17.3. Difusin con reaccin qumica heteroghea.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17-11l l$jemplo 17.3-1. Difusidn con reacci&n heteroghea hta, 17-13 17. ,iL017.4.*917.5.017.6.Captulo 18.*#18.1.+018.2.$18.3.018.4.$18.5.*018.6.captuIo 19.519.1.019.2.519-3.captulo 20.*g20.1.+ 020.2.020.3.cf 1DICE GENERALDifusibn con reaccin qumica homogkra.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*E&mplo 17.Cf. Absorcidn dc un gascon reaccih quimica en un tasqueagitado, 17-16.Difusi6n en una pelcula lquida descendente: transferencia de materia porconvecci&n forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . .*Ejemplo I7.H. Absorcidn ak barbujas ascendentes de un,gas, 17-24Difusi6n y reaccin quhnica en el interior de un catalizador poroso: Elfactor de eficacia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . .:. . . . . . . . . . .Las eeuaeones de varaebh para dstenkas de varIas eomponamee . . . . . . .Las ecuaciones de continuidad para una .mezcla binaria.. . . . . . >. . . . . .La ecuacin de continuidad de A en coordenadas curvilneas.. . . . . . . .Las ecuaciones de variacibn para sistemas de varios componentes en fun-cinde las densidades de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-.Las densidades de flujo para sistemas de varios componentes en funci6nde las propiedades de transporte................................Utilizacin de las ecuaciones de variacin para el planteamiento de pro-blemasde difusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4emplo 18.5-1. Transferencia simultdnea de calor y materia, 18-20Ejemplo 18.5-2. Difusidn thmica. 18-22Ejemplo. 18.5-3. Difusin dr presidn, 18-24EjempIo 18.54. Difudn /orza&, 18-25Ejemplo 18.5-5. Difruidn ordinaria en un sistema de tres componentescon reaccidn qumica heterognea, 18-27Analisis dimensional de las ecuaciones de variacibn para una mezcla iso-trmicade dos fluidos.. . . . . . . . . . . . . . . :. . . . . . .,. . . . . . . . . . . . . . , . . .*EJempI 18.6-1. Mezcla de j%ddos miscibles, HI-30Distrlbuclonea de eonumlrac6n con mis de una variable btdepmdkate..Difusin en eatado no estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo 19.1-1. Evaporacin en estado no estacionario, 19-3Ejemplo 19.1-2. Difwidn en estado no estacionario con yeaccin ak pri-meroran, 19-7Ejemplo 19.1-3. Absorcidn gaseosa con reaccidn qumica rdpti, 19-8,Teoria de la capa limite: m6todo aproximado de von KBrmkn. . . . . . .Ejemplo 19.2-1. Evaporacidn en estado no estacionario en el seno ak unamezcka dt varios componentes, 19-11&jemph 19.2-2. Difusidn y reaccidn qumica en el flujo laminar isoth-micoa lo kwgode una l&mitm phma soluble, 19-15Teorla de Ia capa lmite: soluciones exactas para transferencia simultaneade calor, materia y cantidad de movimiento.. . . . . . . . . . . . . . . . , . . . .I$et$ooJ9.3-1. Cdlculo de *k veloci&ad dc transferencia dc materia,Dm de ceneea- ea flujo twbuknto.. . . . $1 189. I~I.YlKIHlJCl~iN I)E Vt~l.OCll>.4I> E N t-Li:/0 lLHHUl.tNT 20 000 (excepto, por supuesto, cerca de lasparedes del tubo).Ejemplo 5.3-2. Distribucin de velocidad para el flujo en un tubo (cerca de la pared)Utilizar la frmula emprica de Deissler para calcular el perfil de velocidad en la sub-capalaminar y en la regin de transicin.Solucin. Sumando la ley de Newton de la viscosidad y la expresin de Deissler,se obtiene para la regin cercana a la pared T,, = $f) + i$:r:d,Trs = -p z - ~n~,(R - r)( 1 - exp (-n2,(R - rf/+) 2 (5.3-13)Substituyendo esta expresin en la Ec. 5.3 -7 y tomando 1 - (SIR) igual a 1, que es unabuena aproximacin junto a la pared, se llega a7. = +p 2 + pn2p( 1 - exp { -n,slv}) 2 (5.3-14)Integrando desde s = 0 hasta s, y expresando el resultado en funcin de variables adi-mensionales,se obtienes8+v+ Ia!sf(j 1 + A+s+(l - exp (-t?v+s+)) 0 < s+ < 26 (5.3-15)habindose encontrado empfrcamente que para tubos largos y lisos n vale 0,124. Parahaliar v+ en funcin de s+ hay que utilizar procedimientos iterativos; en la Fig. 5.3 - 1se indica grficamente el resultado. Para daalotes pequeos de sf, la Ec. 5.3-15 se re-duceav+ 1 s+ ogs+ 20 000. Para una compara-cindel trabajo de diversos experimentadores, vase Corcoran, Opfell, y Sage.8Se ha estudiado la influencia de la rugosidad sobre las distribuciones de velocidadpara el flujo en un tubo, pudiendo encontrarse en la obra de Schlichtings un cuidadosoresumen de este trabajo. En los ltimos captulos de este mismo libro se presentan tam-bienresmenes de estudios tericos sobre otros sistemas de flujo turbulento, tales comoflujo en eyectores, flujo entre cilindros que giran, flujo en las cercanas de discos que gi-rany flujo alrededor de cilindros estacionarios. La discusin de estas materias cae fueradel alcance de este libro.Ejemplo 5.3-3. Valor relativo de Ia viscosidad molecular y la viscosidad de remolinoDeterminar la relacin #)/p para s = R/2, en el caso de flujo estacionario de aguaen un largo tubo circular liso en las siguientes condiciones:R = radio del tubo = 8 cm.de = esfuerzo cortante de pared = 1,63 dina cm-2p = densidad = 0,9996 g cmv3Y = viscosidad cinemtica = 1,02 x 10m2 cm2 seg-1Sohcibn. La viscosidad de remolino esta definida pord,ir*=-p--p (0 d,dr dr(5.347)Despejando de esta relacin ,u(*)/p, y expresando el resultado en funcibn de las variablesadimensionales del ejemplo anterior, se obtiene:p- =1 -q-rs - 1P ,u dJdsE1 Q(-l --sI-R)-d,/ds 1Crs Un resumen crtico. de diversos resultados empricos puede verse en W. H. CORCORAN, J.B. OPFELL y B. H. SAOE, Momentum Transport in Fluids, Academics Press, Nueva York (1956),captulos III y IV.9 H. SCHLICHTING, op. cit., pp. 416-426. 192. 5-14 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOPara s = 812, el valor de s+ es&3s:w-= WV dt$ P I 5ooP CCMediante la Ec. 5.3 - 12 se calcula dv+/ds+ para este valor de s+ :g = (1/0,36) (1/500)(5.3-19)(5.3 -20)Substituyendo en la Ec. 5.3- 18 se obtienep/p = 1/2(0,36) (500) - 1 = 89 (5.3-21)Este resultado pone de manifiesto que, lejos de la pared del tubo, el transporte molecularde cantidad de movimiento es despreciable en comparacin del transporte de remolino.$5.4 EL TENSOR DE CORRELACIN DE SEGUNDO ORDEN Y SUPROPAGACIN (LA ECUACIN DE VON KRMAN-HOWARTH).**En 0 5.2 se ha visto que el ajuste de tiempo de la ecuacin de movimiento con-duceal tensor de esfuerzo de Reynolds, cuyos componentes son pvrlt)f>. Las magni-tudEliy vlj son las fluctuaciones de velocidad en las direcciones i y j en un punto,y uIuj es una medida de la correlacin entre las fluctuaciones.En las dos ltimas dcadas se ha trabajado intensamente para establecer lascorrelaciones entre las fluctuaciones en dos puntos. Estas magnitudes, que se puedenmedir, dan el tamao y la orientacin de los remolinos. En el estudio que siguese representan las fluctuaciones en el punto B mediante una sola comilla y las delpunto B por dos:pv, = el componente i de un vector que describe la correlacin de la fluc-tuacinde presin en B con la fluctuacin de velocidad en Ben la direccin i.UF 2 el componente ij de un tensor de segundo orden que describe lacorrelacin de las fluctuaciones de velocidad en B y B..-I ,- vi vj Vk = el componente ijk de un tensor de tercer orden que describe lacorrelacin de dos fluctuaciones de velocidad en B con una en B.Se ha estudiado ampliamente el comportamiento de estas correlaciones parala turbulencia isotrpica homognea en un fluido para el cual = 0; aqu se consi-derasolamente este caso, que es el ms sencillo de todos. Se define la turbulencia1 T. VON KRMN y L. HOWARTH, Proc. Roy. Soc. (London), A164, 192-215 (1938).*G. 1. TAYLOR, Proc. Roy. Soc. (Lmdon), A 151, 421-478 (1935). 193. DISTRIBVCIdN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO S-l.5isotrpiea como la condicin en virtud de la cual el valor de tiempo ajustado deuna funcion de los componentes de la velocidad y sus derivadas espaciales en undeterminado punto, definido con respecto a un cierto sistema de ejes, permaneceinvariable si los ejes se rotan o reflejan en un plano que pasa por el origen; con-cretamente,~12 =Q=y;;2 (0 sea, = v 2) y vtv2= ~2~s 5 zitvj = 0. La tur- - - -bulencia homognea se define como el estado para el cual las distintas magnitudesde tiempo ajustado. son independientes de la posicin; en particular, V@ = &.Se ha encontrado3 que se puede conseguir aproximadamente una turbulencia iso-trpicahomognea local con B - 0, en el flujo detrs de una rejilla uniforme, si seconsidera que el sistema coordenado se mueve con la velocidad de la corriente.A continuacin se definen correlaciones adimensionales para la turbulenciaisotrpica :Pr- PEJp;zX7vi "5 Ri, = -p(5.44)(5.4-2)Es preciso deducir una ecuacin de variacin para el tensor de correlacin de se-gundoorden Rii. Para ello, se utiliza el siguiente procedimiento:Fig. 5.4-1. B y B estn ambos so-breel eje q, siendo 6, = r, & = 6, =0Fig. 5.4-2. Localizacin arbitrariade B y B, siendo los componentesde r Et, E2, 8,.3 A. A. TOWNSEND, The Structure of Turbulenr Sheur Flow, Cambridge University Press (1956).p.p. 33 y SS. 194. 5-16 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOa . Para cada una de las tres correlaciones Pi, Rii y TiiR, (i) se hallan, mediantela condicin de isotropa, los componentes que no desaparecen, cuando tanto B'como B" estn sobre el eje xr (vase Fig. 5.4-1); (ii) se establece la forma generalde la correlacin que ha de garantizar que la correlacin est dotada de las adecuadaspropiedades de transformacin; (iiij se aplica la ecuacin de continuidad paraobtener relaciones entre los componentes que no desaparecen.b. Se utilizan despus las ecuaciones de Navier-Stokes para obtener la ecuacinde von Krmn-Howarth que describe la correlacin de segundo orden.En la deduccin se representa la localizacin de B' mediante las coordenadasxti y la de 8 por las coordenadas xi. La distancia de B' a B se designa medianteel vector r de componentes ti = xi - xi. (Vase Fig. 5.4-2.)La correlacin PiConsideremos primeramente el caso especial en el que tanto B como B" estnsobre el eje xt. Debido a la isotropa p11)81 ,pT = 0, puesto que estas magnitudescambian de signo cuando los ejes rotan 180 alrededor del eje XI. Los demas com-ponentes,debido a la isotropa, sern a lo sumo una funcin de r y t; por lo tanto,para las posiciones de B' y B" que se indican en la Fig. 5.4- 1, se puede escribir_ P TPl Jze# = eso / (5-4-4)Una expresin vectorial que simplifica la Ec. 5.4-4 para i = 1, esplvi p,==,J p3v';is(r, t) - (5.4-5)rlo cual da tambin P.J i P3 = 0. Puesto que esta expresin se transforma de igualforma que un vector, es la expresin general de Pi cuando B' y B" estn localizadosarbitrariamente.Utilizamos ahora la ecuacin de continuidad en el punto B", que es(5.44)Como p depende solamente de x y t, se .puede introducir p en la Ec. 5.4-6 paraobtener (despus del ajuste de tiempo)(5.4-7)o bien3;rLpv,=or=lati (5.4-8) 195. DISTRIBUCIN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-17Introduciendo despus la Ec. 5.4-5 en la Ec. 5.4-8 se llega a la siguiente ecuacindiferencial para s(r, t):$+2s -0r(5.4-9)cuya solucin es s = CIt-2. Como s(r) no se hace infinito cuando r = 0, la constantede integracin C tiene que ser cero. Por consiguiente, s(r) = 0, y se llega a la con-clusinde queP,=O 0 pv, = 0 para i = 1, 2, 3 (5.4- 10)No existe, pues, correlacin entre la fluctuacin de presin en un punto y la fluc-tuacinde velocidad en un punto contiguo.La correlacin RijConsideremos de nuevo el caso especial de que B y B estn ambos sobre eleje xt. Teniendo en cuenta la isotropa:v~v~ = vr~s = 0 ya que estas magnitudes cambiaran de signo al girar 180alrededor del eje xt.~~vs = vsvz = 0 puesto que cambiaran de signo al reflejarse en eI plano ~1x3.Los dems componentes no nulos son funciones de r y t. Por consiguiente, sepuede escribirRI1 I 9=f(r, t) (5.4-11)IRn= u-j vt = g(r, 2) j = 2, 30r21(5.4-12)Cuando B y B estn los dos sobre el eje XI, la matriz de R, ,. es de la forma siguiente :Esta matriz puede seoararse en dos partes:(5.4-13)IIRiill = (5.4-14) 196. 5-18 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE hlOVIMIENT0La expresin del tensor de segundo orden que se transforma en las Ecs. 5.4- 11,12 para R11, R22 y R33, y da tambin Rii = 0 para i # j, esRi, = g(r, 04, + Cfk, 0 - ge, Olf (5.NS)Puesto que esta expresin se transforma como un tensor de segundo orden, es laexpresin general de Rii cuando B y B estn localizados arbitrariamente.Utilizando la ecuacin de continuidad en B (Ec. 5.4-6), se puede escribir(despus de multiplicar por v~)&$ v,vi = 0 ( 5 . 4 - 1 6 )*Dividiendo por 3 y efectuando el ajuste de tiempo, se obtieneo bienI:3 -&=,fS1iYXifl,(5.447)(5.4-18)Substituyendo la Ec. 5.4-15 en esta ltima expresin se llega aque permite expresar la Ec. 5.4- 15 totalmente en funcin de f(r, t):Ri,= (f+;r;)dij+ (-;.r$)y (5.4-20)De esta forma, se han expresado todos los componentes R,, mediante la funcinescalar f(r, t),La correlacih TipConsideremos una vez ms el caso especial en el que B y B estn sobre el eje xt.Por razones de isotropia, anlogas a las utilizadas anteriormente, se puede demos-trartque existen en este caso siete componentes no nulos que pueden expresarsemediante tres funciones escalares: 197. DISTRIBUCldN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-1912 IT111 = 1cvt2;% = n(r, 1) (5.4-21)T122 = TIS = Tzla = T,, = m(r, t) (5.4-22)T221 = T221 = h(r, t)De forma que cuando B y B estn ambos sobre el eje xl, la matrizforma siguiente :de(5.4-23)Tiii es de la(5.4-24)Esta matriz puede dividirse en cuatro partes:(5.4-25)/n-h-2mTodos los cubos que no estn sealados son cero. Por lo tanto, una expresin ade-cuadadel tensor de tercer orden, que reproduce la Ec. 5.4-25, esTjk = hd,, 5 + mbjk - + mgi, ;9+(n-h-2m)!i$h (5.4-26)r rTeniendo en cuenta que esta expresin se transforma como un tensor de tercerorden, representa la expresin geneial de Tijk cuando B y B estn localizadosarbitrariamente.Aplicando la ecuacin de continuidad, de forma anloga que en los dos casosprecedentes, se llega a la conclusin de n = - 2h y m = - h - t r(dh/&), lo quepermite expresar la Ec. 5.4-26 totalmente en funcin de h: 198. 5-20 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO(5.4-27)Vamos a deducir ahora una ecuacin para R,,, a partir de la ecuacion de Navier-Stokes, para el caso de que 6 = 0. En el punto B el componente i de la ecuacinde movimiento es(5.4-28)Al multiplicar esta ecuacin por vR y proceder al ajuste de tiempo (utilizando elhecho de que p,zlkll = 0), se obtiene,=Y~j-t)at2lvnnahj (5.4-29)En este caso se ha utilizado la ecuacin de continuidad Z$vj/axj = 0.Una multiplicacin anloga por v~ del componente k de la ecuacion de movi-mientoen B y el ajuste de tiempo, conduce aqT LF_, a a2at-*y~j-~j K u vk Oi at, (5.4-30)Sumando estos dos resultados se obtieneatv;zRik - (V,)%Z:, $ (qjk + TkjJ = 2lV;xj 5R, (5.4-31) Esta ecuacin de Rik contiene tambin la correlacin de tercer orden Tiik. De igualforma, una ecuacin de Tjik slo puede expresarse en funcin de una correlacinde cuarto orden, y as sucesivamente.Es decir, que resulta toda una jerarqua de ecuaciones para las funcionesde correlacin, y, por consguiente, no es posible resolver con exactitud parahallar Iii,.Se efecta ahora la operacin de contraccin en la Ec. 5.4-31 (tomandoi = k y sumando sobre i):& (pxiRii) - z(V;e)%I;j $ZiK;:li = 2yPI;j $XiRi< (5.4-32)j 9 199. DISTRIBUCtdN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-21De acuerdo con las Ecs. 5.4-20 y 21, las expresiones ZiRii y ZiT,.ji son,(5.4-33)(5.4-34)Estas expresiones se substituyen en la Ek. 5.4-32, [en la que Ci 8/aZi2 se ha re-emplazadopor su equivalente en coordenadas esfricas: P/W + (2/r) /&-] conlo que, despus de efectuar algunas simplificaciones, se obtiene:.(3+r~)~Pf+2~P))~ e+a;)h-2t+$+;;)f] =O. (5.4-35)r-Fig. 5.4-3. Descripcin grhfica de la forma de las funciones f. g. h. La microescala de Taylorde turbulencia es la interseccibn sobre el eje r de una parabola que ajusta la curva g(r) para valorespequeos de r.La integracin de esta ecuacin indica que la expresin que esta entre corcheteses igual a C/r3, siendo C una constante de integracin. Como [ 1, no se hace infinitocuando r + 0, C tiene que ser cero, y por lo tanto, se obtiene finalmente(5.436) 200. 5-22 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOque es la ecuacin de von Kdrmn-Howarth para la funcin de correlacin de se-gundoorden f (r, t). Las medidas de f, h y v2, realizadas con un anemmetro dealambre caliente, indican que esta ecuacin se cumple dentro de los errores expeli-mentales.4 Basndose en esta concordancia entre la teora y las medidas experimen-tales,algunos autoress justifican la utilizacin ,de la ecuacin de Navier-Stokescomo punto de partida para la descripcin del flujo turbulento. En la Fig. 5.4-3se indican las formas generales de las funciones f, g y h. La integral bajo la curvaf(r),es decir,oh9 dr, es una medida del tamao de remolino, que se conoce con elInombre de escala de turbulencia. Se ha dedicado una considerable atencin al estudiode la Ec. 5.4-36 o su transformador de Fourie+* habindose obtenido variassoluciones lmite que han contribuido al mejor conocimiento de la estructura de laturbulencia. Para una ms amplia informacin, el lector debe acudir a los trabajosoriginales, as como a diversos libros dedicados al estudio de la turbulencia. 3*7*8*9Ejemplo 5.4-1. Cada de tuMlen& detr%s de uoa rejillaTmese r = 0 en la ecuacin de von Krmn-Howarth y hllese una ecuacin parala variacin dea con el tiempo (es decir, la cada de la intensidad de turbulencia).Utilcese la expresin de Taylor para la microescala de turbulenciaa, con el fin de realizaruna integracin de la ecuacih de cada.Solucin. Cuando r = 0, se tiene que f = 1 y h = 0. Puesto que f(r, t) es una funcinde prden par de r,Y(5.4-38)Por lo tanto, para r = 0, la Ec. 5.4-36 se haced p- P = lovfo~;? s -1op - dt P (5.4-39)en la que se ha introducido la longitud 1, que se denomina microescala de turbulenciade Taylor y cuyo significado geomtrico se indica en la Fig. 5.4-3.4R. W. STEWART, Proc. Camb. Phil. Soc., 47, 146-157 (1951).5 A. A. TOWNSEND, op. cit., p. 35.6T. VON KRMN y C. C. LIN, Advanced Appfied Mechanics, Academic Press, vol. II (1951).7 G. K. BATCHEU>R, The Theory of Homogeneous Turbulence, Cambridge University Press(1953).*J. 0. WNZE, Turbulence, McGraw-Hill, Nueva York (1959).9 L. LANDAU y JZ. M. LIFSHITZ, Fluid Mechanics, Addison-Wesley, Reading (1960), captulo 3. 201. DISTRIBUCIN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-23Mediante la aplicacin del anAlisis dimensional al estudio de los datos de la cada deturbulencia, Taylor* propuso &e A est relacionada con la separacin M de las mallasde la red que produce la turbulencia, segn la siguiente ecuacin:1J*M=A a (5.4-40)en la que A es una constante. Substituyendo esta expresin eh la Ec. 5.4-39 y reempla-zandod/dt por V(d/dx), donde V es la velocidad (uniforme) de tiempo ajustado del flui-do,~se obtieneLa integracin de esta ecuacin conduce aCVd = MA5s z + constante(5.641)(5.4-42)Este comportamiento se ha observado experimentalmente para la cada de la intensidadde turbulencia con la distancia, detrs de una rejilla, habi6ndose encontrado que A tieneun valor de 1,95 a 2,20. La idoneidad de la Ec. 5.4-42 lleva a la conclusi6n qe la pro-puestade Taylor de la Ec. 5.4-40 proporciona una til informacin acerca de la rela-cinexistente entre el tamao del remolino y el espaciado de malla.CUESTIONJXS PARA DISCUTIR1. Por que no puede utilizarse la Ec. 5.1-3 para hallar la fuerm resistente que actsla sobrela pared el tubo, evaluando el gradiente de velocidad en la pared?2. Definir la presin instantnea, la presin de tiemp ajustado y la fluctuacic)n de presi6n.3. Disctase el significado kico de las curvas de la Fig. 5.1-5 en funcin de los tkrminos[v - W] y [v - W)J de la Ec. 5.2-8.4. i Qu6 relacin existe entre el tensor Rij de 5 5.4 y los esfuerzos de Reynolds de $3 5.2?5. La transicin de movimiento laminar-turbulento tiene siempre lugar para el valor delnmero de Reynolds Re = 2,l x 103?6. Comparar el flujo laminar y turbulento en un tubo por lo que respecta a (a) el perftl de ve-locidad,(b) la reiacin de velocidad media a veIocidad mxima. (c) variacin de velocidad deflujo con la caida de presin.7. Resumir todas las suposiciones que conducen a la EL 5.3 - 12 (corrientemente denomina-daperfil universal de velocidad).8. Deducir la Ec. 5.3-16 por los dos mtodos que se sugieren en el libro.9. ~Por qu es de esperar que la funcin J de von KdnnAn-Howarth sea cero para valoresgrandes de r?10. La turbulencia para el flujo en un tubo, ies homog&a o isotr6pica?(Utilcense las Figs. 5.1-4 y 5, y las definiciones de $ 5.4.)ll. Resumir las suposiciones inherentes a la ecuacan de von Knnbn-Howarth.12. Explicar c6mo ha desaparecido el signo del valor absoluto al pasar de la Ec. 5.3-2 a laEc. 5.3-5. 202. 5-24 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOPROBLEMAS5.Al Caida de presin necmaria para la transici611 de flujo hunhuu II turbnlentoUn fluido de viscosidad 18,3 cp y densidad 1.32 g cm-3 circula por un tubo horizontal de ll mmde dimetro. iPara que gradiente de presin (expresado en atm/m) comenzati el flujo a ser tur-bulento?Respuesta: 414 atm/m.5.BI Distribucb5n de velocidad para el Bnjo tnrbakto en mm tabesfaPor una tubera larga, recta, horizontal y lisa, de 15 cm de dkknetro interno, circula agua. a20 C. El gradiente de presin a lo largo de la tubera es 0,040 atm/km.a. Hallar el esfuerzo cortante de pared ao, expresado en atm.. b. Suponiendo que el flujo es turbulento, determinar las distancias radiales medidas desdela pared de la tubera, para las cuales /Gmax = 0,O. OJ, 0,2, 0,4, 0,7, 0,85 y 1,O. Utilizar laFig. 5.3-1 para los cAlculos.c. Representar el perfil completo de velocidad, Yfimex frente a s = R - r.d. -iEsta justificada la suposici6n de flujo turbulento?e. iCuAl es la velocidad volum&rica de flujo?5.C2 Velocidad media de jhjo para el flujo turbuhto en un tuboPara el flujo turbulento en un tubo circular liso resulta a veces conveniente emplear la funcinajustada mediante una curva:1(w-l)siendo los valores de n, para ntkneros de Reynolds del orden que se mdican, los siguientes:Re = 4 x 103, n = 6; Re = 1,l x 105, n = 7; y Re = 3,2 x 106, n = 10. Demostrar que la re=lacin de la velocidad media a la nnixima esm 2nVr.,,X = (n + 1K2n + 1)(Sc-2)y comprobar el resultado de la Ec. 5.1-4.6. Obtener la relacin de la velocidad media a la m&xima mediante la integracin de laEc. 5.3 - 12 extendida a toda la seccin del tubo (es decir, que se desprecia el error que se cometepor no tener en cuenta la subcapa laminar). LEn que se diferencia la forma de este resultado delobtenido en el apartado (a)?5.4 Distribucih de velocidad ea no canal rWUn fluido circula en la direccin z por un canal rectangular de semiespesor h (en la direcci6ny) con flujo turbulento totalmente desarrollado. Se supone que el canal es muy ancho en la di-reccinx, de forma que , = 8. (r).1 H. SCHLICHTINO, Grensschichttheorie, Braun, Karlsruhe (1951), pp. 364-366. 203. DISTRIBUCION DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-25a. Demostrar que la ecuacin que describe el ncleo turbulento de acuerdo con la hiptesisde semejanza de von Krman, esTV-Y = pK@d*&Y-hmwY3O= eJ - lk + 21*,mh z(ll + lX(n - l)(E + ll(SE-13)(5.E-14)Las constantes n y l con funciones del nmero de Reynolds. Pai encontr que E = 0,0161 yn = 33 para un nmero de Reynolds ic,,,,& Rp/,u = 25 000 e indic que se obtiene un buen ajustede los datos experimentales aun cerca de la pared.5.F3 Distribucin turbulenta de velocidad en un anillo3Las medidas experimentales de perfile&s sugieren que A (vease Fig. 5.F) para el flujo turbulento(por lo menos a elevados nmeros de Reynolds) vale aproximadamente lo mismo que para elflujo laminar. Se admite, por consiguiente, que para flujo turbulento1= JI-K 2 In (l/u)(5.F-1)3 D. M. METER y R. B. BIRD, A. 1. Ck E. Journal, 7, 41-45 (196 1).4 J. G. KNUDSEN y D. L. KATZ, Fluid Dynanlics and Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York(1958).5 R. R. ROTHFUS, tesis doctoral, Crnegie Institute of Technology (1948); J. E. WALKER, tesisdocroraf, Carnegie Institute of Technology (1957); G. A. WHAN, tesisdoctoral, Carnegie Instituteof Technology (1956). 205. DISTRIBUCIN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-27(Vase Ec. 2.4-11.) Demostrar, siguiendo la deduccin del ejemplo 5.3-1, que la distribucinde velocidad en el anillo, para el mismo grado de aproximacin, es,- - 1 ; A - Ic=J JIn ( - K)Rv.,mex - v. - K, - - - rR(S.F-2)(S.F-3)siendo ro = App(R/2~), (Ap = cada de presin, L = longitud del anillo).Superficie de densidadde Rujo de cantidadde movimiento ceroVerdadero perfilPerfil que predice lalongitud de mezclaroui? r=XR r=RFig. 5.F. Perfil turbulento de velocidad en un anillo.5.G3 Otra deduccih de la ecuacin de decaimiento de TaylorOriginalmente Taylore dedujo la Ec. 5.4-39 por un camino distinto del expuesto en el ejemplo5.4-1. Aqu se presenta otra version de la deduccin de Taylor, debida a von Krman y Howarth:a. Demostrar primeramente que6. Derivar esta expresibn con respecto a xj para obtener-av,# -av, -L -a -av, 0; I mV-*-a=RI,ax: az; ax; axi a, a,c. Demostrar, a partir de (b), que cuando J3 y B coinciden-av,'-aIv, -vT* -a'&laxi' ax, ( ah atf1 E,-~,-E,,-~(S.G-1)(5.G-2)(5.G-3)6Ci. 1. TAYLOR, Proc. Roy Soc. (London), AM, 421-512 (1935). 206. .,5-28 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOd. Demostrar que, igualando la disminucin de energia cintica detrs de una rejilla con laprdida de energa mecnica por disipacin viscosa, para turbulencia isotrpica homognea,se obtiene(5.G-4)e. Utilizar el. resultado del apartado (c) y la expresin de Rkr en funcin de f para evaluar Iasderivadas del apartado (d) y obtener la Ec. 5.4-39.5.H3 Distribucin de velocidad en un chorro turbulento planoEl flujo turbulento sin existencia de una superficie que lo limita se denomina turbulencialibre. Uno de los problemas ms sencillos de flujo de cizalla en turbulencia libre es el del flujoen un chorro plano. (Vase Fig. 5.H.)Fig. 5.H. Chorro turbulento plano.La primera descripcin de este sistema se basa en la teora de longitud de mezcla de Prandtl,7 enla que Z se considera proporcional a x. En este problema se emplea una teora algo ms sencilla,basada en la utilizacin de la viscosidad de remolino.s.9a. Demostrar que la siguiente forma de los componentes de la velocidad est de acuerdo conla ecuacin de continuidad:z,/ v = x - IF(r)) (S.H-1)/ v = [ - tx - w=(q) + qx - AF(q)]a-l (S.H-2)7 W. TOLI.MII~X, 2. aMngnetwh.. Mech., 6,468-478 ( 1 9 2 6 ) .8 H. GORTLER, Z.rrfrMgeuwth. . Mech., 22, 244-254 (1942).9 H . SCHI.ICIITIS~, B~urd:rr.v Luyer Theory, McGraw-HiH, Nueva York (1955), capitulo 23, 5 5 . 207. DISTRIBUCIN DE VELOCIDAD EN FLUJO TURBULENTO 5-29en la que q .= a(y/x), siendo u una constante arbitraria y V una velocidad caracter$ica, todavano especificada.b. Demostrar que la Ec. 5.H-1 lleva a la conclusin de que la velocidad de flujo de la canti-dadde movimiento x a travks de un plano (tal como l o 2) no vara con x.c. Demostrar que la ecuacin de movimiento de tiempo ajustado, tomando v(l) = p@)/pproporcional a x/a (es decir, Y (6 = kxlr), es(5.H-3)d. Demostrar que, de acuerdo con el apartado (o), la Ec. 5.H-3 resulta+(Fj + )FFI + kaF* = 0 (5.H-4)Puesto que intervienen en un producto dos constantes arbitrarias k y u, se puede tomar arbitraria-ka2mente que 7sea igual a ), de forma que la Ec. S.H-4 se reduce a;-$FF)+;-$F)-o (S.H-5)e. Demostrar que esta ecuaci6n puede integrarse tres veces para obtenerjl Si J se define como (5.Hd)(S.H-7)demostrar ques -_ 4;- Ja-+ (1 - tanhs q) (S.H-8)2 J -Si se toma para a el valor 7,67, este resultado conduce a un ajuste de datos bastante bueno paravalores de r7 hasta aproximadamente 1,5. Por encima de fl = 1.5 los valores de & que se obtienenson demasiado altos. 208. CAPITULO 6TRANSPORTE DE INTERFASE ENSISTEMAS ISOTRMICOSEn, los captulos precedentes se ha visto cmo se pueden plantear y, resolver pro-blemasdk flujo laminar, y se ha indicado qbe, la solucin de problemas de flujoturbulento depende de la utilizacin de relaciones empricas entre la densidad deflujo de cahtidad de movimiento y los gradientes de veloci@,,de tiempo a;lustado,Hasta aqu .se hap considerado siempre sikemas de geometra relativamente sen-cilla,ya que los problemas geomktricamente complejos requieren un tral$jo con-siderablepara su solucin, siendo preciso generalmente utilizar mquinas calcula-dorasde gran rapidez. De todas formas, la detertiinacin rigurosa de perfiles develocidad para una columna de relleno por procedimientos analticos o numrico:cae completamente fuera del tema.Muchos problemas ingenieriles de flujo pertenecen a uno de estos dos grandesgrupos: flujo en conductos y flujo alrededor de objetos sumergidos. Ejemplos defluj& en conductos soti el bombeo de pe.tr&w por tuberas, flujo de agua en canalesabiertos, extrusin de plsticos y flujo de un fluido a travs de un filtro. Ejemplosde flujo alrededor de objetos sumergidos son el movimiento de aire alrededor delas alas de un avin, movimiento de fluidos alrededor de partlculas en sedimentaciny flujo a travs de una bancada de tubos en un cambiador de calor.En los problemas de flujo en conducciones se trata generalmente de obtener larelacin existente entre la cada de presin y la velocidad volumtrica de flujo. Enlos problemas de flujo alrededor de objetos sumergidos, lo que frecu?ntemente sedesea conocer es la relacin entre la velocidad de aproximacin del fluido y la fuerzaresistente. En los captulos precedentes se ha visto que si se conocen las distribu-cionesde velocidad y presicn en el sistema, se pueden hallar las relaciones que sedesean en ambos casos. (Como ejemplo de los dos grupos que se consideran aqul,vanse las discusiones de $6 2.3 y 2.6.)Debido a que para muchos sistemas que presentan gran inters en ingenierano es posible calcular los perfiles de velocidad y presin, hay que recurrir a otros mC-todospara hallar la cada de presin en funcin del caudal y la fuerza resistente enfuncin de la velkidad. Para ello, se utilizan algunos datos experimentales de estasvariables Con el fin de construir grficas o correlaciones que permiten estimar elcomportamiento de flujo de sistemas geomdtricamente semejantes. Para el esta- 209. 6-2 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOblecimiento de estas correlaciones resulta h5gico y conveniente emplear variablesadimensionales y tener en cuenta la discusin que se ha presentado en 9 3.7.Este captulo est dedicado a la obtencin y uso de las gtificas del factor defriccidn. La discusin que sigue deber de considerarse como una introduccinal tema, pudiendo encontrar, si se desea, mucha ms informacidn en los manualesde ingeniera qumica, mecWca y civil. Las grficas del factor de friccin se ,utilizanpara resolver muchos problemas de gran importancia pr&tica, y es muy conve;niente que $I,estudiante aprenda bien esta cuestidn.8 6.1 DEFINICI6N DE FACTORES DE FRICCIt)N r ,+Vamos a considerar el flujo estacionario de un fluido de p constante en cada unode estos dos sistemas: (a) el Auido circula por una c&.tdcci& recta de secci&n uni-forme;(b) el fluido circula alrededor de un objeto sumergido-qu tiene un eje o unplano de simetra paralel a la velocidad de aprkimacidn del fluido. Rl fluido ejer-cersobre las superfiti~?s6lidas una fuerk F, que puede, desdoblarse endos: F,, lafuerza que ejercera el ,kido aunque entuviese en reposo, y .Fk, 18 fuerza adicionalrelacionada con el comportamiento cinetico del fluido (paira una mas, amplia dis-cusinde esta notacin, vase $2:6). En los sistemas de,tipo (a), Fk tiene la mismadirecci6n que la velocidad media {o) en la conduccin, y en los sistemas de tipo (b),Fk es de la misma direccin que la velocidad de aproximacidn ti,.El valor de la fuerza Fk puede expresarse arbitrariamente para ambos sistemas,como el producto de un rea caracterstica A, una energa $n&ca caractersticapor unidad de volumen K y un nmero adimensional f, denominado factor de fric-cidn:6F, = AKf (6.1-1)Observese que la Ec. 6.1- 1 no es una ley de mecnica de fluidos sino una defi-nicindefi es evidente, que para un determinado sistema de flujo f no est definidomientras no se especifiquen A y K. Esta definicin resulta til porque el nmeroadimensional .f .puede expresarse mediante una funcin relativamente sencilla delnmero de Reynolds y la forma del sistema. Antes de presentar estas correlacionesadimensionales de f, vamos a dar algunas relaciones para ver cmo puede obtenerse f,para dos sistemas especficos, a partir de datos experimentales.Para elfluio en conducciones, generalmente se toma para A la superficie mo-jaday para K la magnitud 4 p Q$. Para tubos circulares de radio R y longitud L,f est definido porFk = (2+4Xip(&f (6.1-2)Generalmente, la magnitud que se mide no es F& sino la cada de presin po - py la diferencia de altura he - h,. Aplicando un balance de fuerza al fluido entreOy L en la direccin de flujo, cuando este est totalmente desarrollado, se obtiene 210. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTRMICOS 6-3Eliminando FA entre las Ecs. 6.1-2 y 6.1-3 (para D = 2 R), se obtiene(6.1-3)(6.1-4)Esta ecuacin muestra explcitamente cmo se calculafa partir de datos experimen-tales.El factor f se denomina a veces factor de friccin de I;anning.lPara el pujo alrededor de objetos sumergidos, se toma generalmente, como reacaracterstica A, el rea que se obtiene al proyectar el slkl en un plano perpen-diculara lavelocidad de aproximacin del fluido; y K se toma como 4 pvw2, siendov, la velocidad con que se aproxima el fluido al objeto, medida a una gran distanciade este. Por ejemplo, para el flujo alrededor de esferas de radio R, f se define porFk = (~R2)(B~~,2U (6.14)Generalmente, la magnitud que se mide no es FA, sino la velocidad lmite del objetocuando cae en el fluido (esta velocidad lmite es por lo tanto v,). Para la cada enestado estacionario de una esfera en el seno de un fluido, la fuerza Fk se equilibraexactamente mediante la fuerza de gravitacin que acta sobre la esfera menos lafuerza de flotacin (cf. Ec. 2.6-11):Fk = +mR3p erf g - +rR3pgEliminando Fk entre las Ecs. 6.1-5 y 6.1-6, se obtiene(6.1-6)(6.1-7)Esta expresin puede utilizarse para calcular f a partir de datos experimentales develocidad lmite. El coeficiente de friccin definido en las Ecs. 6.1-5 y 7 se deno-minaa veces coeficiente de resistencia y se representa por el smbolo cc. Vemos quelos coeficientes de resistencia para objetos sumergidos, y los factores de friccinpara el flujo en conducciones, se definen de la misma forma; por lo tanto, es pre-feribleutilizar un solo smbolo y un solo nombre para designar ambos.$- 6.2 FACTORES DE FRICCI6N PARA EL FLUJO EN TUBOSVamos a combinar ahora la definicin de f de la Ec. 6.1-2 con el anlisis di-mensionalde 0 3.7, con el fin de ver de qu variables depende f. Consideramos1 La definicin de f vara de unos libros a otros y por consiguiente hay que tener mucho cui-dadoal utilizar f6rmulas y tablas en las que intervengan factores de fricc6n. 211. 6-4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOcomo sistema una longitud L de tubera lisa horizontal, tal como se indica en laFig. 6.2- 1. La discusin se limita al flujo estacionario1 de un fluido de p y ,u cons-tantes,que circula con una velocidad media CV>. Se supone que se conoce la presinFig. 6.2-1. Seccin de una tubera para el tratatiiento de anlisis dimensional.~1 5p. para r = 0 y z = 0, as como tambin la distribucin de velocidad en el planoz = 0. Para z < 0, es evidente que la dstribucin de velocidad depende de la natu-ralezadel sistema de flujo. Si esta parte de la tubera es muy larga, v, para z = 0,corresponder al perfil de velocidad totalmente desarrollado y ser independientede z para z > 0. Si la porcin de tubera correspondiente a z < 0 es muy corta,o no existe, v, depender de z para z > 0.La fuerza del fluido sobre la pared interna de la tubera, tanto para flujo laminarcomo turbulento, viene dada por(6.2-1)Igualando las Ecs. 6.2-1 y 6.1-2 se obtiene la siguiente expresin para el factorde friccin :(6.2-2)Se introducen ahora las magnitudes adimensionales de la seccin $3.7: v,* = v~/,1 En el tratamiento que sigue se considera que la presin y la velocidad son de tiempo ajus-tado.Para abreviar se han suprimido los trazos colocados sobre,las variables (vtkse 45.1). 212. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTRMICOS 6-sr* = r/D, p* = (p - pg)/p&. Por tanto, la Ec. 6.2-2 puedeescribirse(6.2-3).Esta relacin es vlida para flujo laminar o turbulento en tubos circulares. Resulta,por tanto, que para sistemas de flujo en los que la resistencia depende exclusiva-mentede fuerzas viscosas (sin resistencia &e forma) el producto fRe es esencial-menteun gradiente adimensional de veloci&ad promediado sobre la superficie.Recordemos ahora que en principio (dz;~/c%*) puede calcularse a partir de lasEcs. 3.7-12 y 13 juntamente con las condiciones lmitepara r* = 1/2 v* = 0 ( 6 . 2 - 4 )para z* = 0 v* = una funcin conocida de r* y 8 ( 6 . 2 - 5 )para z* = 0 & 0., e , (6.216)Si se resolviesen las Ecs. 3.7-12 y i3, con estas condiciones lmite, para obtenerp* y v*, las soluciones seran necesariamente de la forma2V* = v*(r*, 8, 9; Re) (6.2-7)P * = p*(r*, 8, z*; Re) ,(6.2-8)0 sea que la dependencia funcional incluir todas las variables reducidas y el ni-cogrupo adimensional que aparece en las ecuaciones diferenciales. No se introduceningn grupo adimensional debido a las anteriores condiciones lmite. En conse-cuencia,dv*/dr* depender solamente de r *, 6, z*, y Re. Cuando se evala el gra-dientepara +* = 1/2 y se integra sobre z* y 8, el resultado depende solamente deRe y L/D (que aparece en el lmite superior al integrar sobre z*). Por consiguiente, sellega a la conclusin de quef=f(% LIDI (6.2-9)Es decir, que el factor de friccin depende solamente del nmero de Reynolds y dela relacin longitud a dimetro.3Si en el plano z = 0 el perfil de velocidad est totalmente desarrollado, dv*/dr*es independiente de z*. Efectuando la integracin sobre z* en la Ec. 6.2-3 se obtiene2 Como en esta discusin ie considera el flujo de un.fluido de p constante en una tubera total-mentellena (es decir, sin superficie libre), la gravedad no influye sobre la distribucih de velocidadadimensional. Por consiguiente, en este caso no es preciso tener en cuenta el nmero de Froude, Fr.3 Se puede obtener el mismo resultado sin utilizar ninguna ecuacin diferencial, con tal de con-sideraruna serie de variables que sean suficientes para especificar la situacih fsica. De acuerdocon el teorema de pi, de Buckingham, la relacidn funcional existente entre q magnitudes, cuyas 213. 6-6 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOLID; este factor se elimina con el factor D/L que aparece delante de la integral. Porconsiguiente, en este caso, f es independiente de LID, yf=f (Re) (6.2-10)Si el perfil de velocidad no est totalmente desarrollado en el plano z = 0, pero lalongitud de entrada es muy pequea con relacin a L, la integral sobre z* ser muyaproximadamente igual a LID; y la Ec. 6.2-10 constituye una buena aproximacin.Se llega por lo tanto a la conclusin de que la Ec. 6.2-10 es vlida cuando (a) elperfil de velocidad est totalmente desarrollado o cuando (b) LID > 1.Las Ecs. 6.2-9 y 10 son resultados tiles que sirven de gua para la presentacinsistemtica de datos de velocidad volumtrica de flujo frente a la cada de presin,para el flujo laminar y turbulento en tubos circulares. Es decir, que para tubos largosslo es preciso representar una. nica curva de f frente a la combinacin D de la Rc. 2.3-18. De esta forma, se obtienepara el flujo laminar en tubos largosRe < 2,l x 103 estableRe > 2,l x lo3 generalmente inestable(6.2-11)unidades pueden expresarse en funcidn de u unidades fundamentales, viene dada en funcin deq - u grupos adimensionales (los grupos n). Si se desea obtener la forma funcional que relacionap. - pL, p, , CL, D, y L, tendremosp. - pL [=] ml-lt-a (Ll) [=] Ir-1 D[=]lp[=]ml-3 p [=] ml-9-1 L[=]lPor lo tanto, 4 = 6 y u = 3. Como grupos adimensionales independientes se pueden elegir lostres siguientesDWp llI, = -PLa eleccin de estos grupos es arbitraria. Cualquiera de ellos puede substituirse por el producto 214. Turb+antoI I-Y--S,-----__ ---I-------.--mAID- 3: O e-o,- - - - - -0,002 -%Q I024/s 0,001. , 1102 103 10 105 106 10Nmero de Raynoldr Re = Dp/~Pi. 6.2-2. Factores de fricci6n para el flujo en tubos (vbase la delnicibn de f en las Ees. 6.1-2 y 6.1-3). [Curvas de L. F.Moody, Trans. ASME, 66,671 (1944) presentadas por W. L. McCabe. y J. G. Smith, en Unit Opemtions of hmical Engi-neering,McGraw-Hill, Nueva York (1956)]. 215. 6-8 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOsiendo Re = Dp/p; esta ecuacin corresponde exactamente a la lnea laminarde la Fig. 6.2-2.La curva anloga para flujo turbulento de la grfica del factor de friccin, seha obtenido a partir de datos experihentales. Tambin se puede calcular la curvade f frente a Re a partir de alguna de las distribuciones de velocidad en flujo tur-bulentoque se han dado en el Captulo 5; este tema ha sido tratado ampliamentepor Schlichting.4 Aqu consideraremos solamente la distribucin turbulenta develocidad ms sencilla, es dekir, la ley de la potencia (1/7):(6.2-12)enlaque~*=~/te/p=r/(p~-pt)R/2Lpys= R - r. El lector puede comprobarque la velocidad media es2 = (0,817)(8,56)~~~ (6.2-13)Forzando la Ec. 6.2-13 a que adquiera la forma de la Ec. 6.1-4, se obtiene parael flujo turbulento en un tuboo bienf = 2($ = ((8 56);,817J(+p)-X (6.2-14)>f _ w791Re2,1 x 103 < Re < lo5Esta ecuacin, conocida como frmula de Blasius, es satisfactoria para valores delnmero de Reynolds hasta 10s y resulta til para estimaciones. Utilizando expre-sionesms exactas para la distribucin de velocidad pueden obtenerse relacionesalgo ms exactas entre f y Re. (Vase problema 6. J.) Para la mayor parte de losclculos ingenieriles en los que interviene flujo turbulento deber de utilizarse sim-plementela grfica de la Fig. 6.2-2, puesto que en ella se resumen los datos expe-rimentalesen tubos.Si los tubos circulares son rugosos, se necesita en la regin turbulenta una cada dede uno de ellos (elevado a una potencia cualquiera) por cualquiera de los otros elevado a cualquierpotencia. dl teorema de n nos indica que la relacin general debe ser de la formamL~*, w = 0 0 K = GW,, IuEl teorema de pi tiene el inconveniente de que no selecciona las variables ni determina su impor-tanciarelativa; por esta razn, es preferible utilizar la tcnica que se sigue en este libro. Para unamayor informacin sobre el teorema de pi, vtase W. H. MCADAMS, Heat Transmission, McGraw-Hill, Nueva York (1954), tercera edicin, captulo 5.4 H. SCHLICHTING, Boundary Layer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1953, captulo XX. 216. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOT&RMICOS 6-9presin ms,elevada, para una determinada velocidad de flujo, que la que indica lalnea de trazo continuo de la Fig. 6.2-2. Si se representa por k la altura de las pro-tuberancias,es de esperar que en la correlacin intervenga la rugosidad relativak/D. Las lneas de puntos corresponden a las curvas de f frente al Re para distintosvalores de k/D. Obsrvese que la rugosidad tiende a hacerse aproximadamenteconstante a elevados nmeros de Reynolds. El parmetro k/D no es suficiente paradefinir la forma y distribucin de la rugosidad.Si los tubos no son circulares se puede utilizar un radio hidrulico medioemprico, definido porRh = SlZ (6.2-16)siendo S la seccin de la corriente y Z el permetro mojado. Para eljI@ turbulento,puede utilizarse como aproximacin la Ec. 6.1-4 y la Fig. 6.2-2, substituyendoel dimetro D del tubo circular por 4R,. Es decir, que se calcula la prdida de pre-sinmediante la frmula(6.2-17)y se obtiene f a partir de la Fig. 6.2-2, utilizando el nmero de Reynolds definidoporRe,, = ~-&,WP (6.2-18)PEste empirismo no es recomendable para el flujo laminar. (Vase problema 6.L.)Ejemplo 6.2-1. Diferencia de presih necesaria para mm deternhada velocidad de flujo Qu gradiente de presin se requiere para lograr que laN,N-dietilanilina(C,HsN(C2H,)~circule por un tubo circutar, horizontal, liso, de 3 cm dimetro interno, con una veloci-dadvolumtrica Q = 1,l litros/seg a 20 C? A esta temperatura la densidad de la dieti-lanilinaes p =0,935 g cm-s y su viscosidad p = 1,95 cp (o 1,95 x IOT2 g cm-t seg-*).Solucin. Se calcula en primer lugar el nmero de Reynolds para el flujoReDW=P --DQ-p ~QPp ~(3 cm)(1,95 x lO-g cm-se&)p 2 24x 1.(6.249)En la Fig. 6.2-2 se encuentra que para este nmero de Reynolds el valor de f para tuboslisos es 0,0063. Por consiguiente, el gradiente de presin necesario para mantener el flujo,de acuerdo con la Fc. 6.1-4, es 217. 6-10 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOPo -PLL=4-.- 1 4QsD 2 (x9)f_ WQsfGD5(32)(0,935)(1100)*(0,0063)=4(3,OP= 95 (dinas cm-*)/cm= 0,071 (mm Hg)]cm (6.2-20)Ejemplo 6.2-2. Velocidad de flujo paca una determinada diferencia de preshhDeterminar la velocidad de flujo, en kg por hora, de agua a 20 C, a travs de unatubera horizontal de acero, schedule 40, de 8 pulgadas (dimetro interno 20.27 cm) y305 m de longitud, bajo una diferencia de presin de 0,21 kg cme2. Utilcese la Fig 6.2-2,y supngase que k/D = 2,3 x 10e4.Solucin. Puesto que se conoce p0 - pL, se puede utilizar la Ec. 6.1-4 y la Fig.6.2-2 para hallar . Sin embargo, la variable interviene de forma explcita en elprimer miembro de la ecuacin e implcitamente en el segundo en f (que depende de Re == Dp/,u). Es evidente que la solucin ha de hallarse por tanteo. No obstante, si liay quecalcular varios valores de , es preferible utilizar un mtodo mas sistemtico. Aqu sesugieren dos metodos. Como los datos experimentales se presentan con frecuencia enforma grfica, es conveniente que el estudiante de ingeniera se acostumbre a desarrollarmtodos especiales, tales como los que se desdiben aqu.Mtodo A. Puede utilizarse la Fig. 6.2-2 para construir una representacin gr-ficasde Re frente al nmero Re r/f que no contiene XV>:(6.2-21)El trmino de Re vyse puede calcular, y el nmero de Reynolds se puede leer en el gr-ficode Re frente a Re v?. La velocidad media y la velocidad de flujo pueden calcularsea partir del valor de Re.Mtodo B. Puede utilizarse directamente la Fig. 6.2-2 sin ninguna otra representa-cin,mediante un procedimiento que es equivalente a la resolucin grfica de dos ecua-cionessimultneas. Las dos ecuaciones sonf=f(Re, k/D) curva representada en la Fig. 6.2-2 (6.2-22)/= (Re Vj>Re2una linea recta de pendiente -2 en una representacin log-log (6.2-23)s Una representacin gr&fica anrloga ha sido propuesta por T. VON KARMN, Nachr. Ges.Wiss. Gttingen, Fachgruppen, I,5, 58-76 (1930); vease por ejemplo, W. L. MCCABE y J. C. SMITH,Utdt Operations of Chemical Engineering, McGraw-Hill, Nueva York (1956), p. 72. 218. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTRMICOS 6-11El procedimiento consiste en calcular Re r/r mediante la Ec. 6.2-21 (para lo cual no espreciso conocer w>) y representar la Ec. 6.2-23 en la grfica de log f frente a log Re dela Fig. 6.2-2. El punto de interseccin nos da el nmero de Reynolds del flujo, a partirdel cual se puede calcular .Para el problema que estamos considerando, tendremosp. - pL = 0,21 (kg, cmm2) 9,81(kg, m kg-l sege2)1@ cm2 mm2= 2,06.104 (kg,, m-l seg-2)D = 0,2027 mL = 305 mp = 998 kg,n m-3p = 1,03 (cp) = 1,03.10-3 (kg,,, m-* seg- l)Segn las Ec. 6.2-21ReJf=% (PO -PL)D = (0,2027)(998) (2,06.104)(0,2027)2LP (1,03.10-3) 2(305)(998)= 1,63. 104, adimensional (6.2-24)La lnea de la Ec. 6.2 -23 para este valor de Re 47 pasa por f = 1,0 para Re = 1,63 x 104y por f = 0,Ol para Re = 1,63 x lOs. La interseccin de la lnea recta que pasa por estosdos puntos con la curva de la Ec. 6.2-22 para k/D = 0,00023 corresponde a la solucinde las dos ecuaciones simultneas:Re =D(v)p- = 2,4 x 106PLa velocidad de flujo de masa para tubos circulares es p CV> z D2/4; por lo tanto, laEc. 6.2-25 queda asRe =2mDP= 2p x 105 (6.2-26)Despejando w se obtienew= iDAaRe= 0,7854 x 0,2027 x 1,03 x 1O-3 x 3600 x 2,4 x lOs= 1,42 x lo5 kg,, hr-* (6.2-27)$ 6.3 FACTORES DE FRICCIN PARA EL FLUJO ALREDEDOR DEESFERASEn esta seccin se utiliza la definicin de f de la Ec. 6.1-5, juntamente con elanlisis dimensional de $ 3.7, con el fin de determinar la dependencia de f. Nueva-mentese limita el estudio a fluidos de p constante; el sistema coordenado que seutiliza es el mismo de 4 2.6. 219. 6-12 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOLa contribucin de Fk a la fuerza que acta sobre una esfera en un fluido quecircula en la direccin + z, es la fuerza total F = F,, + Ft menos la fuerza F,:= Fresistencia f Fresistcnciade forma((6.fl)siendo21 .F, =SoSo {-PIFB cos 6}R2 sen 8 de d+2s Io o {-(p, - pgz)IrzR cos B}Rsen 8 df.9 d#F, =S S(6.3-2)(6.3-3)Aqu p,, es la presin en el plano z = 0, que pasa por el ecuador de la esfera.Si se desdobla ahora f en dos contribuciones anlogas a Frrsistencia de fOr,,,a yFnsistencia de friccin> Y se utiliza la definicin de f de la Ec. 6.1-5, tendremosf =f forma+ f friccinf(6.3-5)(6.3-6)f friccibn = ,4t&Jo(-[r*~(~)+f~]]l,.-~en2edBdQ ( 6 . 3 - 7 )El factor de friccin se ha expresado as en funcin de variables adimensionales:8* = p-po+Pgz. ,*=-. t)*s2* r*z:P&02 uy c v* R(6.3-8,9,10,11)y el nmero de Reynolds se ha definido comoReDV=,P -=~Rv-,PP P(6.342)Es evidente que para evaluar f hay que conocer 8*, v,* y vg* como funciones der*, 8 y #. En $5 2.6 y 4.2 se ha visto como puede deducirse la expresin de la leyde Stokes para la condicin de flujo reptante, es decir, flujo muy lento con Reynoldsinferior aproximadamente a 0,l.Para Re > 0.1, se sabe muy poco desde el punto de vista cuantitativo acercade las distribuciones de presin y velocidad reducidas; sabemos, sin embargo, quepara el flujo incompresible estas distribuciones pueden en principio obtenerse a 220. TRANSPORTE DE MTERFASE EN SISTEMAS ISOTERMICOS Cl3partir de lay Ecs. 3.7-12 y 3.7-13.1 stas han de resolverse con las siguientescondiciones lmite :para r* = 1 v*, =* V6 = 0 (6.3-13)para r* = 00 v*, = 1 (6.3- 14)para r* = 00 8*=0 (6.3-15)Puesto que no intervienen nuevos grupos adimensionales debido a las condicioneslmite, tendremos queY queP = 9*(z*, y*, z*; Re) (6.216)1+ = B*(z*, y*, z*; Re) (6.3-17)f =fUW (6.3-18)utilizando argumeitos anlogos a los de $6.2. Por consiguiente, mediante el anlisisdimensional de las ecuaciones diferenciales que describen el flujo, y la definicindel factor de friccin, se llega al resultado de que f puede correlacionarse como unafuncin exclusiva del Re.Se han determinado muchos datos experimentales para el flujo alrededor deesferas, de forma que se dispone de una grfica de f frente a Re para esferas lisas.(Vase Fig. 6.3- 1.) Para este sistema no existe una brusca transicin entre unacurva de flujo laminar inestable y una curva de flujo turbulento estable, tal comose ha indicado en la Fig. 6.2-2 para el caso de tubos para Re t 2,l x 103. Al au-mentarla velocidad de flujo en este sistema, aumenta la formacin de remolinosdetrs de la esfera.La cada de la curva alrededor de Re = 2 x 105 est relacionada con la trasla-cinde la zona de separacin de la capa lmite desde enfrente hasta detrs delecuador de la esfera.2Hemos elegido intencionadamente la discusin de la esfera inmediatamentedespus de la del tubo, con el fin de resaltar el hecho de que los distintos sistemasde flujo pueden comportarse de forma muy diferente. Las principales diferenciasentre los dos sistemas son:1 Para el sistema que estamos considerando, la Ec. 3.7-13 puede escribirse asiDGD+= -v+gm + r c1 D-P v*v (6.3-12a)Como se ve, el nmero de Froude no aparece en las ecuaciones diferenciales ni en las condicioneslmite.2 Vase H. SCHLICHTING, Boumhry Luyer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1955), pp. 34-35. 221. 5210s521 0521524110-3 2 5 10-2 2 5 1012 5 1 2 5 10 2 5 102 2 5 10s 2 5 104 2 5 10s 2 5 10sNmero de Reynolds Re = Dv, p/pFig. 6.3-1. Factor de friccin (o coeficiente de resistencia) para esferas que se mueven con una velocidad relativa a un fluido,veo. Vase la definicibn de f en la Ec. 6.1-5. [Curva tomada de C. E. Apple, Dust and Mist Collection, en Chemical EngineersHundbook (ed. por J. H. Perry) McGraw-Hill, Nueva York (1950), tercera edicin, p. 1018.1 222. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTERMICOS 6-15Para tubos .existe una transicin laminar- Para esferas, la curva de f no presentaturbulenta bastante bien definida para una transicin laminar-turbulenta bienRe * 2 x 103. deinida.Para tubos lisos la nica contribucin a Para esferas existen contribuciones a ff es la resistencia de friccin. debidas a la resistencia de friccin y a laresistencia de forma.Para tubos no hay separacion de capa Para esferas existe un viraje de la curva flmite. que est relacionado con un cambiode la zona de separacin.Es conveniente recordar bien la forma general de las curvas de las Figs. 6.2-2 y6.3-1.Se ha visto ya anteriormente que para la regidn de flujo reptante la fuerza deresistencia viene dada por la leY de Stokes, que resulta de una resolucin analticade las ecuaciones de continuidad y movimiento (omitiendo el termino pDv/Dt de laecuacin de movimiento correspondiente a la Ec. 3.2-20). Poniendo la ley de Stokes(Ec. 2.6-14) en la forma de la Ec. 6.1-5 se obtiene(6.3-19)Por lo tanto, para @jo reptante alrededor de una esfera,f=2-4ReRe < 0,l (6.3-20)Esta ecuacin corresponde a la porcion de recta de la curva log f frente a log Re.Para valores ms altos del numero de Reynolds es muy difcil hacer clculos pu-ramentetericos. Algunos investigadores se las han ingeniado para estimar f hastaRe = 10, lo que requiere un gran trabajo. Por lo tanto, la curva de f para Re > 0.1se ha obtenido a partir de datos experimentales. Algunas veces resulta convenientedisponer de expresiones analticas sencillas para las regiones de nmeros de Rey-noldsms elevados. Para la regidn.inrermedia se puede tomar de forma aproximadaf2& 2 < Re < 5 x lo2lo que indica una menor dependencia del Re que en la ley de Stokes. Esta expresines menos exacta que la ley de Stdkes para Re < 2.Para valores de Re ms elevados se observa que el factor de friccin es, aproxi-madamente,constante. sta es la regin de la ley de Newton, para la cualf~0,44 5 x lo2 < Re < 2 x 106 (6.3-22) 223. 6-16 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOEn esta regin la fuerza de resistencia que acta sobre la esfera es, aproximadamente,proporcional al cuadrado de la velocidad del fluido que circula lejos de la esfera.La Ec. 6.3-22 es una aproximacin til para estimaciones rpidas. (No debe deconfundirse la ley de Newton para la fuerza de resistencia sobre una esfera, conla ley de Newton de la viscosidad o las leyes de Newton del movimiento.)Se han realizado muchas modificaciones de la Fig. 6.3- 1, pero un estudiosistemtico se sale fuera del objeto de este libro. Entre las distintas cuestiones quese han investigado, indicaremos los efectos de pared (vase problema 6.0), cadade gotitas con circulacin interna,3 cada de partculas en fluidos no-newtonianos,4sedimentacin impedida (es decir, cada de grupos de partculas que se interfierenentre s),5 flujo no estacionario,6 y partculas no esfricas.T,sEjemplo 6.3- 1. Determinacin del dimetro de una esfera descendenteEn un estudio experimental de tiempos de reaccin se dejan caer esferas de vidrio dedensidad pesr = 2,62 g cmd3, a travs de teatracloruro de carbono (p = 1,59 g cms y,U = 9,58 milipoises) a 20 C, y se mide el tiempo con un cronmetro. iCul ha de serel dimetro de las esferas para que la velocidad lmite sea aproximadamente 65 cm seg-l?Solucin. Para hallar el dimetro de la esfera hay que despejar D de la Ec. 6.1-7.Pero como hay que conocer D para hallarf, que viene dado por la curva de tramo continuode la Fig. 6.3 - 1, puede utilizarse un procedimiento de tanteo, tomando f = 0,44 comoprimera aproximacin.Otro procedimiento consiste en despejar f de la Ec. 6.1-7, teniendo en cuenta que eltrmino f/Re es independiente de D:El segundo miembro de esta ecuacin puede calcularse con los datos del enunciado, yllamaremos a su valor C. Por lo tanto, tenemos dos ecuaciones simultneas para resolver:f = C R e (de la Ec. 6.3-23) (6.3 -24)f =f(W (dada en la Fig. 6.3-1) (6.3 -25)3 H. LAMB, Hydrodynamics, Dover (1945), sexta edicin, pp. 600-601; S. Hu y R. C. KINTNER,A. Z. Ch. E. Journaf, 1, 42-48 (1955).4 J. C. SLATTERY, tesis docroral, Universidad de Wisconsin (1959).5 H. H. STEINOUR, Znd. Eng. Chem. 36, 618-624, 840-847, 900-901 (1947); vase tambinC. E. LAPPLE, Fluid undPurticfe Dynamics, University of Delaware Press, Newark (1951), captulo 13.6 R. R. HUGHES y E. R. GILLILAND, Chem. fig. Prog., 48, 497-504 (1952).7 E. S. PETTYJOHN y E. B. CHRISTIANSEN, Chem. Eng. Prog., 44, 157 (1948).s H. A. BECKER, Can. J. Chem. Eng. 85-91 (1959). 224. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOT~RMICOS 6-1740o,at 04,65f 08403v41a Re de la Fig. 6.3-110 2 i 3 4 56 8 lOs2,4 x 10Re-Fig. 6.3-2. Procedimiento grAfico utilizado en el ejemplo 6.3-1.La Ec. 6.3-24 es una lnea recta de pendiente unidad en la representacin grficade log f frente a log Re.Para el problema que estamos considerando,C = ~(980~~~(~)~,(2y621~~~s9) = 1,86 x 10-5 (6.3-26)Por consiguiente, de acuerdo con la Ec. 6.3-24, para Re = lOs, f = 1,86. En la Fig..6.3-2 se representa la lnea de pendiente 1 que pasa por f = 1,86 para Re = 10s. Di-chalnea corta a la curva de la Ec. 6.3 -25 (o sea, la curva de la Fig. 6.3 - 1) para Re =Dv,p/p = 2,4 x 104. De esta forma se encuentra que el dimetro de la esfera esRepDC-=(2,4 x 104)(9,58 x RY3) = 2 2 cmPC0 (1,W(W >5 6.4 FACTORES DE FRICCIN PARA COLUMNAS DE RELLENOEn las dos secciones precedentes se ha discutido con alguna amplitud la corre-lacinde dos sistemas de flujo muy sencillos, que son muy importantes en los clculosingenieriles. Se dispone de grficas del factor de friccin para diversos tipos de mo- 225. 6-18 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOvimiento de fluidos, tales como flujo en las proximidades de un disco que gira,flujo exterior a un cilindro, flujo exterior a una serie de tubos cilndricos y flujoalrededor de placas deflectoras. En el Chemical Engineers Handbookl se discutensistemas que tienen inters en ingeniera qumica y Schlichtingz trata otros sistemasimportantes para los estudios bsicos de mecnica de fluidos y aerodinmica. Unsistema muy importante en ingeniera qumica es la columna de relleno, por sugran aplicacin en las operaciones de transferencia de materia.En trminos generales, existen dos grandes mtodos teoricos para el estudio dela prdida de presin a travts de lechos porosos. En uno de ellos se considera lacolumna de relleno como un manojo de tubos enmaraados de seccin caprichosa,y la teora se desarrolla aplicando los resultados anteriores, para tubos rectos, alconjunto de tubos tortuosos. En el segundo mtodo se representa la torre de rellenocomo un conjunto de objetos sumergidos, y se calcula la perdida de presin sumandolas resistencias de las partculas sumergidas. 3~Las teoras del manojo de tubos han tenido algo ms xito y sern las que seestudiarn aqu.El material de relleno puede estar constituido por esferas, cilindros y diversostipos de rellenos comerciales para aparatos de contacto.s En la discusin que siguese supone que el relleno es uniforme en todas partes y que no hay formacin decanalillow (en la realidad se forman generalmente canalillps y no son vlidas lasfrmulas que se obtienen aqu). Se supone, adems, que el dimetro del rellenoes pequeo en comparacin del dimetro de la columna que lo contiene y que eldimetro de la columna es constante.De forma anloga a la Ec. 6.1-4, se define el factor de friccin para el lecho derelleno, mediante la expresinen la que Dp es el dimetro de la partcula (que se define ms adelante), v. es la ve-locidadsuperficial (la velocidad lineal media que tendra el fluido en la columnasi no existiese relleno), y L es la longitud de la columna de relleno. El factor defriccin lo estimaremos separadamente para flujo laminar y turbulento.En $ 2.3 se ha visto que paraflujo laminar en tubos circulares de radio R,1 T. B. DREW, H. H. DUNKLE, y R. P. GENERAIJX, Seccin 5 de Chemicul EngineersHandbook(J. H. Perry, ed.), McGraw-Hill, Nueva York (1950), tercera edicin.2 H. SCHLICH~G, Boundary Luyer Theory, McGraw-Hill, Nueva York (1955), pp. 75-80,439,445-447.3 H. C. BRINKMAN, Appl. Sci. Research, Al, 27-34, 81-86, 333-346 (1949).4 W. E. RANZ, Chem. Eng. Prog., 48, 247-253 (1952).5 Vease, por ejemplo MCCABE y SMITH, p. 630 (fig. 11.1); M. LEVA, Tower Packings and Pucked-Tower Design, U. S. Stoneware Co., Akron, Ohio (1953), captulos 1 y 2. 226. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS LYOTRMICOS 6-19Imaginemos ahora que un lecho de relleno es un tubo de seccin muy compli-cadacuyo radio hidrulico es R,. (Vase Ec. 6.2-16.) La velocidad media de flujoen la seccin disponible para el paso del fluido es por lo tanto(6.4-3)El radio hidrulico puede expresarse en funcin de la fraccin de huecos E y lasuperficie mojada a, por unidad de volumen de lecho, en la forma siguiente:Rh=(seccin disponible para el flujopermetro mojado >=(volumen disponible para el flujosuperficie mojada total >(volumen de huecos= volumen del lecho > superficie mojada = (6.4-4)volumen del lechoLa magnitud a est relacionada con la superficie especfica a, (la superficie totalde las partculas/volumen de las partculas), mediante. la expresina = a,(l - c) (6.4-5)La magnitud a, se utiliza a su vez para definir del dimetro medio de la partcula DpD, = 6/a, (6.4-6)Se elige esta definicin puesto que para esferas la EC. 6.4-6 da exactamente Dt, = di-metrode la esfera. Finalmente, obsrvese que el valor medio de la velocidad en losintersticios fw, no es de inters general para el ingeniero, pero, en cambio, s lo esla velocidad superficial uo; estas dos velocidades estn relacionadas por 110 = twr.Combinando estas dos definiciones con la frmula modificada de Hagen-Poi-seuillede la Fc. 6.4-3, se obtiene&~o - ~L)GEC(~O - &)E3= (Po- SL)2W 2pLa2 2@,2(1 - 6)0, finalmente= (90 - &)D,,= c32L(36,u) (1 - E)~, = cpo - 9~). c30s"L 2(36p) (1 - c)(6.4-7)(6.4-8) 227. x Burke y Plummer:65I i i i I4310:7654311 2 3 4 5 676910 -2 3 4 5 6769100 2 3 4 56769lm 2 3 4W-Jo.-1P l - cFig. 6.4-1. Representackk grGica del comportamiento general de la ecuacih de Ergun en una representacinlog-log. [S. Ergun, Chem. hg. Prog., 48, 93 (1952).] 228. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTRMICOS 6-21Para el .flujo laminar, la suposicion del radio hidrulico medio conduce general-mentea caudales demasiado grandes para un determinado gradiente de presin;por lo tanto, debido a esta suposicin, es de esperar que el segundo miembro de laEc. 6.4-8 debiera de ser algo ms pequeo. Una segunda suposicin que estimplcita en la anterior deduccin, es que la longitud del camino que recorre elfluido a travs del lecho es L; es decir, la misma longitud de la columna de relleno.En la realidad el lquido atraviesa un camino muy tortuoso cuya longitud puede serincluso doble de L. Segn esto, es de esperar que de nuevo deba disminuir el se-gundomiembro de la Ec. 6.4-8.Las medidas experimentales indican que la frmula terica se mejora si el 2 deldenominador del segundo miembro se substituye por un valor comprendido entre4 y 5. Mediante el anlisis de una gran cantidad de datos se ha obtenido el valor2516, que es el que se acepta aqu. Introduciendo este valor en la Ec. 6.4-8 se obtieneuo = tgll- 9L) 0, 2L ISO/, (1 -l )(6.4-9)que es la ecuacin de BIake-Koreny. Este resultado es, generalmente, satisfactoriopara fracciones de huecos inferiores a 05, y es vlida solamente para la reginlaminar que viene dada por (D,,G&) (1 - )-r < 10, siendo Ge = pve. Observeseque la ecuacin de Blake-Kozeny corresponde a un factor de friccin para el lecho def = (Q&g-$ (6.4-10)Este resultado se representa en la Fig. 6.4- 1.Puede repetirse exactamente el mismo tratamiento para el flujo altamente tur-bulentoen columnas de relleno. Partimos de nuevo de la definicin del factor defriccin para el flujo en un tubo circular. Sin embargo, se observa ahora que parael flujo altamente turbulento en tubos con una apreciable rugosidad, el factor defriccin es una funcin exclusiva de la rugosidad. Admitiendo que todos los lechosde relleno tienen una rugosidad caracterstica semejante, se puede utilizar un factorde friccin nico fa para el flujo turbulento. Seguimos ahora el mismo procedi-mientode 0 6.2 y se hacen las mismas substituciones: CU> = VO/C; D = 4R,; Rh == c/a; -a = a, (1 - l ), y, finalmente, Dp = 6/a,. Esto conduce a los siguientesresultados := fjfo . $ . ; p,a - -1E (6.4-11)P 2Los datos experimentales indican que 6fo = 3,50, con lo que se obtiene9-9L=,,, 11 2l-rL *jy-,Pop (6.4-12) 229. 6-22 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOque es la. ecuacin de Burke-Plummer, vlida para (D,Go/p) (1 -c)>-l > 1000. Esteresultado corresponde a un factor de friccin que viene dado porf = 0,875 9 (6.4-13)Obsrvese que la dependencia de E es diferente que para el flujo laminar.Sumando la ecuacin de Blake-Kozeny para el flujo laminar y la de Burke-Plummer para el turbulento, se obtienePo- pi2 _ 15OPUo (1 - eI2L+ 1,75pu,2(l - l )0, l D,,3 e3 --(6.4-14)Esta ecuacin puede expresarse en funcin de grupos adimensionales+(go ;Fp) (2) (&) = 150 ,;) + 1,75 (6.4-15)sta es la ecuacin de Ergun, que se ha utilizado con xito para gases, tomandopara la densidad del gas la media artimtica de los valores a las presiones extremas.Sin embargo, para grandes cadas de presin es ms lgico utilizar la Ec. 6.4-14con el gradiente de presin en forma diferencial. Obsrvese que Ge es una constantepara todo el lecho, mientras que para un fluido compresible va vara a travs dellecho. El dimetro que se utiliza en esta ecuacin es el que se ha definido en la Ec.6.4-6.Obsrvese que para elevadas velocidades de flujo el primer trmino del segundomiembro desaparece y la ecuacin se transforma en la de Burke-Plummer. A bajasvelocidades de flujo, el que desaparece, en cambio, es el segundo trmino, y se ob-tienela ecuacin de Blake-Kozeny. En la Fig. 6.4-1 se representa grficamenteel comportamiento general de estas ecuaciones. Indicaremos, sin embargo, que laecuacin de Ergun es una de las muchas que se han propuesto para describir lacada de presin a travs de columnas de relleno.CUESTIONES PARA DISCUTIR1. Cmo se definira el factor de friccin para el flujo a travbs de un anillo y para el flujotransversal alrededor de un cilindro?2. Utilizar la Ec. 6.1-7 con el fin de obtener expresiones para la velocidad lmite de cadade una esfera, para las tres regiones que se consideran en 5 6.3.3. Es preciso modificar la Ec. 6.1-7 para esferas que son ms ligeras que el fluido y por con-siguientepara ascenso en vez de cada? En caso afirmativo, jcul ser la modificacin?4. C&t6 precaucin hay que tomar al utilizar las frmulas con factores de friccin tomadosde libros de consulta o trabajos originales?5. iCmo est relacionada la ley de Hagen-Poiseuille con la Fig. 6.2-2?6 S. ERGUN, Chem. Eng. Progr., 48, 89-94 (1952). 230. TRANSPORTE DE INTERFASE EN SISTEMAS ISOTERMICOS 6-236. Comprobar las Ecs. 6.2-13 y 15 efectuando las operaciones que se omiten.7. Comparar los mtodos de calculo a seguir cuando se desea utilizar la Fig. 6.2-2 para hallar(a) la cada de presin, (b) la velocidad media, (c) el dimetro del tubo para una velocidad e Apdeterminadas, (d) el diametro del tubo para una velocidad volumetrica de flujo e Ap determina-das.Debe de evitarse el tanteo.8. Cmo se tienen en cuenta las condiciones lmite en las aplicaciones del andlisis dimensio-nalde las secciones 88 6.2 y 6.3?9. Contrastar las formas de las curvas de f frente a Re para tubos y esferas. Cual es la varia-cinaproximada de f con el Re en las distintas r;giones de estas grficas?10. Describir los argumentos fisicos que condl cen al establecimiento de la forma de la ecua-cinde Ergun (Ec. 6.4-15).ll. ~Por qu6 la curva de la Fig. 6.2-2, corrapondiente a la zona turbulenta, est situadapor encima y no por debajo de la prolongacin de la curva f = 16/Re?12. ~Que relacin existe entre la ecuacion de Blake-Kozeny (Ec. 6.4-9) y la ley de Darcy?(Wase problema 4.J).13. icmo se comportara el factor de friccin para el flujo no estacionario en un tubo? (Vea-seejemplo 4.1-2.) ~Serian aplicables las Ecs. 6.1-3 y 4?14. Discutir la utilidad de la relacin aproximada f =v24 24Re Re + 4.5 para el flujo alre- 1dedor de esferas.15. Demostrar, a partir de la Ec. 6.2-3, que f Re/2 puede interpretarse como el valor mediosuperficial del gradiente adimensional de velocidad en la pared de! t u b o .16. Estudiar el flujo de agua en una manguera de caucho de 1,2 cm de dimetro que esta cO-nectadaa un grifo cuya presin manometrica es de 5 atm.17. Comprobar que los segundos miembros de las Ecs. 6.1-4 y 6.1-7 son adimensionales.18. Un anuncio de baseball dice, Debido a la eleva& humedad del da de hoy, la pelota nopuede llegar tan lejos a trav6s del aire hmedo como lo hara con aire seco. Comentar crticamentela lgica de este anuncio.PROBLEMAS6.A, Diferencia de presin necesaria para obtener una determinada velocidad de flujo con accesoriosHallar la diferencia de presin necesaria para bombear agua a 20C a trav6s de una tuberade 25 cm de dimetro y 1234 m de longitud con una velocidad de 1,97 m3 seg-1. La tubera eshorizontal y contiene cuatro codos normales de 90 y dos codos de 45. (Un codo normal de 90 es aproximadamente equivalente a la resistencia que ofrece una tubera de 32 di&netros; el de45 equivale a 15 dimetros.)t Respuesta: 315 atm.6.B1 Diferencia de presin necesarh para ohtestes mm determinada velocidad de flujo con varia-cinde alturaPor una tubera normal de 3 pulgadas (dimetro interno 7,79 cm) y 29 m de longitud se bombaagua a 20 C hasta un deposito elevado, tal como se