Bernard LEGRAND - inis.iaea.org

FR8Soo 6 SO,

CEA-R-5283

| COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE

B.22

INFLUENCE DE LA STRUCTURE ELECTRONIQUE SUR LA FACILITÉ

RELATIVE DES GLISSEMENTS DANS LES MÉTAUX DE STRUCTURE

HEXAGONALE COMPACTE

par

Bernard LEGRAND

INSTITUT DE RECHERCHE TECHNOLOGIQUE ET DE DEVELOPPEMENT INDUSTRIEL

DIVISION DE METALLURGIE ET D'ETUDE DES COMBUSTIBLES NUCLEAIRES

Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay

Rapport CEA-R-5283

1934 SERVICE DE DOCUMENTATION • • B i H M ^ B ^ ^ H M H a C.E.N.-SACLAY 91191 GIFsur-YVETTE Cedex FRANCE

PLAN DE CLASSIFICATION DES RAPPORTS ET BIBLIOGRAPHIES CEA

(Classification du système international de documentation nucléaire SIDON/INIS)

A 11 Physique.théorique -A 12 Physique atomique et moléculaire A 13 Physique de l'état condensé A 14 Physique des plasmas et réactions thermonucléaires A 15 Astrophysique, cosmologie et rayonnements cosmiques A 16 Conversion directe d'énergie A 17 Physique des basses températures A 20 Physique des hautes énergies A 30 Physique neutronique et physique nucléaire

B 11 Analyse chimique et isotopique B 12 Chimie minérale, chimie organique et physico-chimie B 13 RadiochJmie et chimie nucléaire B 14 Chimie sous rayonnement B 15 Corrosion B 16 Traitement du combustible B 21 Métaux et alliages (production et fabrication) B 22 Métaux et alliages (structure et propriétés physiques) B 23 Céramiques et cermets B 24 Matières plastiques et autres matériaux B 25 Effets des rayonnements sur les propriétés physiques

des matériaux B 30 Sciences de la terre

C 10 Action de l'irradiation externe en biologie C 20 Action des radioisotopes et leur cinétique

C 30 Utdisation des traceurs dans les sciences de la vie C 40' Sciences de la vie . autres études C 50 Radioprotection et environnement

D 10 Isotopes et sources de rayonnements D 20 Applications des isotopes et des rayonnements

Thermodyna *que et.mécanique des fluides Cryogénie Installations pilotes et laboratoires Explosions nucléaires Installations pour manipulation de matériaux radioactifs Accélérateurs Essais des matériaux Réacteurs nucléaire ; * (en général) Réacteurs nucléaires '(types) Instrumentation Effluents et déchets ;idioactifs

Economie Législation nucléaire Documentation nucléaire Sauvegarde et contrôle Méthodes mathématiques et codes de calcul Divers

E 11

E 12

E 13

E 14

E 15

E 16

E 17

E 20

E 30

E 40

E 50

F 10

F 20

F 30

F 40

F 50

F 60

Rapport CEA-R-5 283

Cote-matière de ce rapport : B.22

DESCRIPTION-MATIERE (mots clefs extraits du

en français

TERBIUM

DYSPROSIUM

ERBIUM

RESEAUX HEXAGONAUX COMPACTS

MONOCRISTAUX

GLISSEMENT

STRUCTURE ELECTRONIQUE

TITANE

DISLOCATIONS VIS

DEFORMATION

PLASTICITE

DEFAUTS D'EMPILEMENT

ANISOTROPIE

thesaurusSIDON/INISj

en anglais

TERBIUM

DYSPROSIUM

ERBIUM

HCP LATTICES

MONOCRYSTALS

SLIP

ELECTRONIC STRUCTURE

TITANIUM

SCREW DISLOCATIONS

DEFORMATION

PLASTICITY

STACKING FAULTS

ANISOTROPY

RAPPORT CEA-R-5283 - Bernard LEGRAND

INFLUENCE DE LA STRUCTURE ELECTRONIQUE SUR LA FACILITE RELATIVE DES GLISSEMENT5 DANS LES METAUX DE STRUCTURE HEXAGONALE COMPACTE.

Soamaire. - Nous avons é tud ié les modes de g l i s sement de monocristaux de t ro i s métaux hexagonaux compacts (H.C.) de t e r r e s r a r e s (Tb, Dy e t Er) . Le gl issement p r i n c i p a l y e s t l e g l i ssement p r i smat ique , comme c ' e s t l e cas dans p lus de la moitié des métaux H.C. . Nous montrons aloTS que l e choix du système de glissement p r i n c i p a l dans les métaux H.C. dépend e s s e n t i e l l e m e n t de la s t r u c t u r e é l e c t r o n i q u e de ces métaux, En u t i l i s a n t l a t h é o r i e des pseudopotent ie l s pour l e s métaux "normaux" e t un modèle de l i a i s o n s for tes pour l e s métaux de t r a n s i t i o n , nous obtenons une t r è s bonne c o r r é l a t i o n e n t r e l e r a p p o r t des énergies de faute basale e t pr i smat ique et le mode de g l i s sement observé. Nous avons de plus simulé l e coeur des d i s loca t ions v i s 1 <1120> dans l e t i t ane . La s t r u c t u r e de coeur non p l ana i r e obtenue expl ique bien les

RAPPORT CEA-R-5283 - Bernard LEGRAND

ROLE OF THE ELECTRONIC STRUCTURE IN THE RELATIVE EASINESS OF THE GLIDE SYSTEMS IN HEXAGONAL CLOSE-PACKED METALS.

Summary. We have s t u d i e d exper imental ly the s l i p systems of hexagonal close-packed (H.C.P.) r a r e ea r th s s i n g l e c r y s t a l s (Tb, Dy and E r ) . In these metals the main g l i d e system (M.G.S.) i s the p r i sma t i c one, as in more than h a l f of the H.C.P. meta ls . We show t h a t the e l ec t ron i c s t r u c ture of the matr ix p lays a d i r e c t role in the choice of the g l ide sys tem in H.C,P. m e t a l s . We have ca l cu l a t ed the basa l and the pr i smat ic s tacking f au l t energy with pseudopotent ia l s for d i v a l e n t simple metals and a t i g h t - b i n d i n g model for t r a n s i t i o n me ta l s . We have shown tha t there i s an e x c e l l e n t agreement between the r a t i o s (basal S . F . E . / p r i s matic S.F.B.) and the main g l ide systems observed. We have then s imula ted the core s t r u c t u r e of the screw d i s loca t ion

t r a i t s c a r a c t é r i s t i q u e s du g l i s sement pr ismat ique de ce mëtal : f a i b l e m o b i l i t é des d i s loca t ions v i s e t non r e spec t de la l a i de Schmid,

Commissariat à l 'Energ ie Atomique - France .

1 <1120> with the t i gh t -b ind ing model for Titanium. We obta in a non-p l ana r core s t r uc tu r e which exp la ins well the most important c h a r a c t e r i s t i c s of the pr i smat ic g l ide in t h i s metal : the low mobi l i ty of the screw d i s l o c a t i o n and the breakdown of the Schmid law for the c r i t i c a l r e so lved shear s t r e s s .

179 p.

Commissariat â l 'Energ ie Atomique - France .

T H E S E

PRESENTEE

A L'UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE

PARIS G

POUR OBTENIR

LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES PHYSIQUES

par

Bernard LEGRAND

INFLUENCE DE LA STRUCTURE ELECTRONIQUE SUR LA FACILITE RELATIVE DES GLISSEMENTS

DANS LES METAUX DE STRUCTURE HEXAGONALE COMPACTE

Soutenue le 24 avril 1984, devant le Jury composé de :

MM. J. FRIEDEL Président

Y. ADDA F. DUCASTELLE L.P. KUBIN Examinateurs R. LE HAZIF J.F. PETROFF J.P. POIRIER

- Rapport CEA-R-5283 -

Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay Institut de Recherche Technologique et de Développement Industriel

Division de Métallurgie et d'Etude des Combustibles Nucléaires Département de Technologie

Section de Recherches de Métallurgie Physique

INFLUENCE DE LA STRUCTURE ELECTRONIQUE SUR LA FACILITE RELATIVE DES GLISSEMENTS

DANS LES METAUX DE STRUCTURE HEXAGONALE COMPACTE

par

Bernard LEGRAND

-Novembre 1984-

A ma femme

\- A mes parents F

REMERCIEMENTS

Que le l e c t eu r me pardonne les lourdeurs de s ty le dues à la

répétition du nom de François Ducastelle dans ce texte. Ceci ne fait que

refléter tout ce que ce travail lui doit. L'amitié et l'hospitalité qu'il

m'a offertes dans son laboratoire, en compagnie de Patrice Turchi et

Guy Tréglia, ont beaucoup enrichi cette thèse. Je les en remercie tous

trois chaleureusement.

Monsieur le Professeur J . Friedel a suivi régulièrement cette

recherche, me faisant profiter de ses conseils, tant sur les dislocations

que sur la structure électronique. Qu'il trouve ici l'expression de ma

reconnaissance et de mes remerciements pour avoir accepté de présider

mon jury.

Je remercie également Monsieur le Professeur J.F. Petroff pour

l'Intérêt qu'il a porté à cette étude.

Jean-Paul Poirier a guidé mes premiers pas dans la recherche. Ses

multiples questions et ses conseils ont avivé ma curiosité pour le domaine

des matériaux. Je l u i serai longtemps redevable de son enseignement.

Roger Le Hazif m'a proposé le sujet de cette thèse. Avec une

grande patience, il m'a initié aux techniques expérimentales, m'apprenant

qu'opiniâtreté et bonne humeur peuvent aller de pair . Je l u i adresse ici

mes remerciements amicaux.

Je suis extrêmement reconnaissant a Ladislas Pierre Kubin de

l'attention qu'il a manifestéepour ce travail, et du temps qu'il m'a

consacré.

Que Monsieur Y. Adda, qui m'a accueilli dans sa Section de Recherches

de Métallurgie Physique au Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, trouve ici

l'expression de mes remerciements pour le soutien qu'il m'a accordé tout

au long de cette étude. J'ai pu apprécier durant ces années de thèse

l'atmosphère cordiale de son laboratoire, et en particulier, la présence de

Vassilis Pontikis et Michel Guillopé, qui m'ont offert une aide précieuse.

En outre, les nombreuses discussions que j'ai eues avec

Shigehisa Naka à l'O.N.E.R.A. ont été.aussi fructueuses qu'agréables.

Je n'oublie pas Michel Bibolé et Mademoiselle J. Mathie dont

les conseils et le dévouement m'ont été très utiles.

C'est à Madame L. Bureau gu ' i ron t mes derniers remerciements,

mais non les moindres, pour la gentillesse et le soin avec lesquels elle

a dactylographié ce t ex t e .

à »

OOOOQ —

!

TABLE DES MATIÈRES

Pages

INTRODUCTION 1

CHAPITRE I : RAPPEL SUR LE GLISSEMENT DANS LES METAUX

DE STRUCTURE HEXAGONALE COMPACTE 4

I J : OBSERVATION PES MOPES PE GLISSEMENT DANS LES METAUX PE STRUCTURE H.C. 4

1.2 : RAPPEL PES PRINCIPALES APPROCHES THEORIQUES CONCERNANT LA FACILITE RELATIl/E PES MOPES PE GLISSEMENT 7

1.2 . / : GénéMxtUu 7 1.2 .2 : Fotee. de Pe-iytXi-NaooWio 7 1.2.3 : Vlaoaiation du dlilocati am 10

1.3 : RESULTATS EXPERIMENTAUX RECENTS 17

1.4 : BILAN PE CES RAPPELS IB 1.4.1 : StabiZUi eX mobiUXé. 18 1.4.2 : Bilan de. eu tappeli 20

CHAPITRE I I : ETUDE EXPERIMENTALE SUR DES MONOCRISTAUX

DE METAUX DE TERRES RARES 21

I I . / : OBJECTIFS PE L'ETUDE 21

11.2 : CONDITIONS EXPERIMENTALES 23 11 .2 .1 : Lu monouUitaux 23

11 .2 .2 ! Lu êpfiowjvUu de. tomptuilon 23 11 .2 .3 s Montage, de. aompKUilon 24 11.2 .4 : Ob&eMailont nicJiogw.phJ.qau 27 11 .2 .5 : Vipoultiement du couAbu contA<U.nte.-dé.io>um.tLon 27

11.3 : RESULTATS EXPERIMENTAUX 28 11 .3 .1 • Uodu de. dî&onmation ob&enuu 28

11 .3 .2 : Aipeat mLcHogKaphiqae. du lignu de gtinement et du maeZu 30

11.4 .• PI.SCUSSION 33

http://nicJiogw.phJ.qau

I I . 5 : CONCLUSIONS SUR L'ETUDE EXPERIMENTALE 38

CHAPITRE I I I : ANALOGIE AVEC LES METAUX DE STRUCTURE

CUBIQUE CENTREE, ET DIFFERENCE ENTRE LES

METAUX "NORMAUX", ET LES METAUX DE

TRANSITION 41

I I I . ! : RAPPELS SUR LES METAUX DE STRUCTURE CUBIQUE CENTREE 41

1 1 1 . 2 : ANALOGIE ENTRE METAUX H.C. ET METAUX C.C. 43

1 1 1 . 3 : DIFFERENCE ENTRE LES METAUX "NORMAUX", ET LES METAUX

DE TRANSITION 44

CHAPITRE IV : CALCUL DES ENERGIES DE FAUTE ET STRUCTURE

DE COEUR DES DISLOCATIONS DANS LES METAUX

"NORMAUX" 45

II/. I : RAPPELS SUR LES INTERACTIONS DE PAIRES 45

II / .2 : FAUTE D'EMPILEMENT BASALE 47

I I / . 3 : FAUTE D'EMPILEMENT PRISMATIQUE 50

ÏV.4 : COMPARAISON DE LA FAUTE BASALE ET DE LA FAUTE PRISMATIQUE 55

II/. 5 : SIMULATION DU COEUR DES DISLOCATIONS -j <1120> 57

CHAPITRE V : CALCUL DES ENERGIES DE FAUTE DANS LES METAUX

DE TRANSITION 61

l / . l : RAPPELS THEORIQUES 61

l/.l.J : GininaJUtii 61

I/. Z.2 : VicompoiitLon de V&nviQle. de cahHlon 62

l/. 7.3 : HodUz de tltbUotli {ohttÂ 64

1/. 1.4 : Mêi/iode de. Kîcu/uion 66

I / . J . 5 : VaAtmÇ.t)ieA du. calcul 67

1/.2 .• CALCUL DE L'ENERGIE DE FAUTE BASALE 68

1/.2.1 : KtiuliaZl, anttnleuu 69

I/.2.2 : RUwUatA 72

I/.2.3 : ViiouAiion 82

I/. 3 : CALCUL PE L'ENERGIE PE FAUTE PRISMATIQUE 83

V,3.1 : ïn&ioduation 83 I/.3.2 ! App«»u,matûm du moment d'o/idte. deux. 83 1/.3.3 ! Modèle ani&o&wpe 88

M : COMPARAISON PES ENERGIES PE FAUTE BASALE ET PRISMATIQUE 91

CHAPITRE VI : SIMULATION DU COEUR DES DISLOCATIONS VIS

i < 1 1 2 0 > DANS LE TITANE 99

l / I . Ï : INTROPUCTION 99

1/1.2 : MOPALITES PU CALCUL 100

VI.2.1 : C/ti&tal et potentiel inteAatomique. 100 1/1.2.2 : Condition!, aux limite* loi (/I.2.3 : Méthode, de minimisation de, l'&neAgie. 102 1/1.2.4 : Con&iguAation initiale. 103

1/1.3 : RESULTATS 104 1/1.3./ : ClÂAtallite Aani dislocation 104 1/1.3.2 : Dislocation non dib&ociée. 110 1/1.3.3 : P-ci-Cocn-tion d.t44oiiiée dani £e pian de baie 113 1/1.3.4 : Dislocation étalée dam le. plan puibmatique. 114 1/1.3.5 : PXiiocation d-iiiociée 4tu.van£ le. ichêma de Naka 118

1/1.4 : PISCUSSI0N 118

CONCLUSION 123

ANNEXES 126

BIBLIOGRAPHIE

-1 -

INTRODUCTION

Une vingtaine de métaux possède la structure hexagonale compacte (H.C.),

tableau I . Leur plast ic i té est contrôlée par une grande variété de processus

de déformation : glissement sur différents plans, maclage sur de nombreux

systèmes, pliage en genou, et même montée pure de dislocations.

Les modes de déformation par glissement ont été largement étudiés. La

connaissance de leurs mécanismes est essentielle pour comprendre la p last ic i té

des métaux de structure hexagonale compacte. Outre l'emploi bien connu de métaux

H.C. tels que le magnésium et le zinc, certaines industries de pointe sont de

grosses ut i l isat r ices de métaux H.C, comme le t i tane dans l ' industr ie

aéronautique et spatiale, et le zirconium dans l ' indust r ie nucléaire.

L'analyse des différents résultats expérimentaux obtenus sur les modes

de glissement montre clairement que chaque métal de structure hexagonale

compacte glisse sur un système principal faci le (système primaire), et sur

divers systèmes secondaires plus d i f f i c i l e s . Suivant le métal, le plan de

glissement principal est so i t basai, soit prismatique.

Le problème fondamental est de comprendre pourquoi chaque métal

"chois i t " de glisser facilement sur un type de plan plutôt que sur un autre.

L'objet de notre étude est de caractériser la raison physique qui est

â l 'o r ig ine du "choix" du système de glissement principal pour un métal donné.

Ce sujet est rendu complexe par le nombre de propriétés qui

d i f fèrent d'un métal à l 'au t re . Toutes ces propriétés découlent de la structure

électronique de ces métaux. Certaines sont cependant strictement géométriques

(rapport des paramètres c r i s ta l l i ns c/a), alors que d'autres sont fortement

liées à des considérations énergétiques (transformation de phase, constantes

élastiques).

Plusieurs études, rappelées dans le chapitre I , ont tenté de corréler

le "choix" du système de glissement principal â certaines des propriétés

évoquées ci-dessus.

La première approche, fondée sur une modélisation très simplifiée de

la structure atomique de la matière, conduit à une relat ion entre propriété

géométrique (rapport c/a) et système de glissement principal (modèle de Peierls-

Nabarro). Des exceptions â cette relation montrent toutefois qu'un cr i tère

purement géométrique n'est pas suffisant pour résoudre le problème.

-2-

Une autre approche (Régnier et Dupouy, 1970) s'appuie sur une étude

plus fine des dislocations responsables du glissement. L'importance du facteur

énergétique y est mise en évidence. La corrélation semi-empirique, proposée

par les auteurs, qui relie l'existence d'une transformation de phase :

hexagonale compacte •+• cubique centrée à la prépondérance du glissement

prismatique, conduit néanmoins à de nombreuses exceptions.

Il nous a semblé que la recherche d'un critère rendant compte de la

facilité relative de glissement dans les métaux hexagonaux compacts passait

par la connaissance expérimentale des modes de glissement principal de

l'ensemble des métaux de cette structure. Nous avons donc étudié les propriétés

relatives à la plasticité des métaux hexagonaux compacts de la série des terres

rares (chapitre II), peu connues jusqu'à présent.

Les résultats obtenus ont confirmé que la nature du glissement

principal est une propriété isoélectronique. L'importance de la structure

électronique, ainsi mise en évidence, nous a conduit à considérer, de manière

bien distincte, les métaux H.C. divalents et les métaux de transition (chapitre

III).

Dans un premier temps, nous nous sommes intéressés à 1'anisotropie des

énergies de faute d'empilement dans le plan de base et dans le plan prismatique.

Nous avons montré qu'elle est très différente dans les métaux divalents

(chapitre IV), et dans les métaux de transition (chapitre V).

Nous obtenons une excellente corrélation entre le rapport des énergies

de faute basale et prismatique, et le système de glissement principal observé

expérimentalement. Cette corrélation montre bien que l'origine physique du

"choix" d'un système de glissement se trouve dans la nature même de la structure

électronique.

L'origine physique du problème ainsi déterminée, nous avons tenté de

comprendre l'apparition du glissement prismatique facile au niveau de la

description atomique des dislocations.

Prenant en compte la structure réelle de la bande d des métaux de

transition, essentielle pour expliquer le phénomène, nous avons calculé, par

simulation numérique, la structure du coeur des dislocations vis i < H 2 0 > dans

le titane (chapitre VI). Une étude expérimentale récente (Naka, 1983) a en

effet montré que ce sont ces dislocations qui contrôlent le glissement

prismatique à basse température dans ce métal.

-3'

La configuration obtenue permet d'expliquer un certain nombre de

propriétés du glissement prismatique, dues principalement à la structure non

planaire du coeur des dislocations vis.

Le résultat de cette simulation just i f ie , de plus, a l'échelle atomique le critère issu du calcul des énergies de faute d'empilement basale et prismatique.

TABLEAU I : Métaux de s t r u c t u r e hexagonale compacte dans la c l a s s i f i c a t i o n

pér iod ique des elements.

C H A P I T R E I

RAPPELS SUR LE GLISSEMENT DANS LES MÉTAUX

DE STRUCTURE H.C,

I.1 - OBSERVATION DES MODES DE GLISSEMENT DANS LES METAUX

DE STRUCTURE H.C.

On recense cinq modes de glissement dans les métaux de structure H.C.

En u t i l i sant la notation de Miller-Bravais, ce sont (tableau I I ) :

- le glissement basai (0001) <1120> (Fig. 1.1);

- le glissement prismatique UOlO) <1120> (Fig. 1.2);

- le glissement pyramidal de première espèce, suivant a : {1011} <1120>

(Fig. 1.3);

- le glissement pyramidal de première espèce, suivant c+a : {10Ï1} <1123>

(Fig. 1.4); - le glissement pyramidal de deuxième espèce : {1152} <1123> (Fig. 1.5).

Les t ro is premiers systèmes ont la même direction de glissement <1120>.'>

Seuls les deux derniers possèdent une composante de glissement hors du plan de

base. Ceci explique l ' i n t é r ê t de leur étude (Price, 1960, 1961; Damiano et a l . ,

1969; Paton et Backhofen, 1970; Stohr et Poi r ier , 1972; Akhtar, 1973, 1976;

Minonishi et a l . , 1982) pour mieux comprendre la duc t i l i té tridimensionnelle

de ces métaux.

Contrairement aux métaux de structure C.F.C. ou C.C., l 'étude

expérimentale de la déformation plastique des métaux de structure H.C. est loin

d'être complète. Néanmoins, i l apparaît d'après les résultats déjà connus que

chaque métal possède un mode de glissement nettement plus faci le à déclencher

que les autres, appelé mode de glissement pr inc ipa l . Celui-ci est toujours

so i t basai, soi t prismatique, les glissements pyramidaux n'étant que des modes

de glissement secondaires (Poirier et Le Hazif, 1976).

Plans de glissement Directions de glissement vecteurs de Burgers des dislocations

Nom Indice Indice Symbole

basai (OOOI) — <1120> a

prismatique (îoio) - | r <112û> a

pyramidal de~l5i espèce

{îoïil — <1120> a

pyramidal de r "espèce

lion) — <1123> ~c + ~a

pyramidal de 2* espèce

~ (1122! — r < 1 1 2 3 > ~c* + T

TABLEAU I I I

FIGURE 1.1 FIGURE 1.2

100011

Le glIssement basai Le glissement prismatique

-6-

F1GURE ÏÏ3

Le glissement pyramidal de première espèce

FIGURE 1.4 FIGURE 1.5

\

111221

Le glissement pyramidal Le glissement pyramidal de première espèce de seconde espèce

-7-

Nous rapportons dans le tableau III les modes de déformation observés

dans les métaux H.C. en mentionnant le mode de glissement principal et les

modes secondaires.

1.2 - RAPPEL DES PRINCIPALES APPROCHES THEORIQUES CONCERNANT LA

FACILITE RELATIVE DES MODES DE GLI5SEMENT

I . 2 . Ï . - GENERALITES

Depuis la naissance de la théorie des dislocations, la f a c i l i t é

re lat ive des systèmes de glissement a suscité différentes approches théoriques.

Nous rappellerons i c i les principales idées émises pour tenter de répondre

à cette question. "

Le glissement macroscopique dans un c r i s ta l s'explique par le

mouvement de dislocations dont le vecteur de Burgers est parallèle à la

direction du glissement macroscopique. Frank et Nicholas (1953) ont montré que

les seules dislocations parfaites stables sont celles de vecteur de Burgers

a", c et c+a. Ce sont effectivement les seules dislocations parfaites observées

en microscopie électronique.

Si les directions de glissement sont bien prédites par ce cr i tè re

énergétique, le problème du choix du plan de glissement est plus complexe. Alors

que les dislocations coin ont leur plan de glissement déterminé par la direction

de la ligne et celle du vecteur de Burgers, tous les plans en zone avec une

dislocation vis parfaite sont des plans de glissement possibles.

Deux idées maîtresses ont guidé les recherches dans ce domaine :

- l'existence d'une force de f r i c t ion due au réseau, variable suivant le

plan de glissement (force de Peierls-Nabarro);

- la possibi l i té de dissociation dans un plan, imposant celui-ci comme

plan de glissement.

1 . 2 . 2 - WRÇE_PE_PEIERLS:WABARRO

Peierls (1940) fu t le premier à suggérer que la structure discrète

du réseau c r i s t a l l i n pouvait donner l ieu S une force de f r i c t ion s'opposant

au mouvement des dislocations.

Nous schématisons (Fig. 1.6) une ligne de dislocation coin, parallèle

à une direction compacte, et donc perpendiculaire au plan de la f igure, dans une

structure cubique simple.

:-&?..

m-w- m a b c

FIGURE 1.6 : Glissement d'une dislocation coin dans une structure cubique simple

(d'après Frîedel, 1964)

TABLEAU 11 I

Mode principal Modes secondaires c/a V T f C 44 C66

Cd B (1) TTj, ITg, P 1,886 0,54

Zn B (2) TT 2 , P 1,856 0,6

Mg B (3) TTj, P 1,624 0,98

Co B (4) TT2 1,624 (0,39) 1,06

Re B, P (5) 1,615 0,94

Tl P. B (6) 1,598 0,88 2,44

Zr P (7) TTj, B , 1T 2 1,593 0,53 0,91

Gd P (8) 1,590 0,97 1,02

Ti P 0) t<\t B , TT2 1,588 0,60 1,33

Ru P (10) 1,582 0,96

Tb P* B* 1,581 0,97 0,98

Hf P ( H ) B, n 2 1,581 0,88 1,07

Dy P* B* 1,573 0,98 0,99

•' "" Er P* • ; - . : : " - " B * • " : - 1,570 1,01 :-'

Y P (12) B • 1,571 0,96 0,98

Be B (13) P. ir 2 1,568 0,98 1,22

B : basal P : prismatique TT, : pyramidal de 1ère espèce

TTJ, : pyramidal de 2è espèce Ti.,T, : temperature de transformation et de fusion

(1) Price P.B. (1961); (2) Price P.B. (I960;; (3) Hlrsch P.B. et Lally J.S. (1965);

(4) Holt R.T. (1972); (5) Kopetskly Ch. V. et al. (1975); (6) Tyson W.R. (1969);

(7) Akhtar A. et Teghtsoonlan E. (1971); (8) Westlake D.G. (1967); (9) Akhtar A.,

Teghtsoor.ian E. (1975); (10) Snow D.B. et Breedis J.F. (1974); (11) Das G. et

Mitchell T.E. (1973); (12) Carnahan T. et Scott T.E. (1973); (13) Antolln J.

et al. (1965).

* Le Hazlf R. et Legrand B. (1982); Legrand B. et Le Hazif R. (1982).

Pour glisser de la position a à la posit ion équivalente c, Ta ligne

de dislocation passe par des positions intermédiaires tel les que b.

Toutes ces positions ne confèrent pas"la même énergie à la dislocation.

Celle-ci doit donc franchir des cols d'énergie lors de son mouvement. Pour

fournir ce supplément d'énergie, i l est nécessaire d'appliquer une certaine

force sur la dislocation.

La connaissance de cette force dépend naturellement de la nature de

la l ia ison atomique, e t des positions exactes des atomes autour de la

dislocation.

Pour déterminer cette force, Nabarro (1947) t ra i ta le c r is ta l comme

un milieu élastique continu, avec une fonction sinusoïdale pour les interactions

atomiques à travers le plan de glissement. La contrainte a, nécessaire au

glissement,varie alors exponentiellement selon la distance interrët icul aire

des plans de glissement, d ,

2u „ „ „ / 2 ir d. 0 " ~t e x P <" -TTB-)

avec K = 1 ou (1-v) selon le caractère vis ou coin de la dislocation

\> est le coeff ic ient de Poisson, u le module de cisaillement et b le

vecteur de Burgers de la dislocation.

Dans le cas du réseau hexagonal, en considérant les plans prismatiques

comme rugueux, on obtient les règles suivantes :

- ïa f ac i l i t é de glissement se joue toujours entre plan basai et plan

prismatique; les autres plans ayant des espacements plus petits et donc des

contraintes de Peierls plus élevées.

- Pour c/a > /8/3," valeur obtenue pour l'empilement compact, la distance

entre plans de base est plus grande que celle entre plans prismatiques. Le

glissement basai doit être plus fac i le .

-Pour c/a <V8/3; les plans prismatiques sont plus espacés que les plans

de base. Le glissement prismatique doit être observé comme système de glissement

pr incipal .

Ce cr i tère simple souffre malheureusement trop d'exceptions (tableau I I I )

I l est en effet d i f f i c i l e d'admettre qu'une très faible différence du rapport

c/a (inférieure à 0,5%) explique un comportement aussi dissemblable entre le

magnésium (glissement basai fac i le ; c/a = 1.623) et le rhénium (glissements basai

et prismatique aussi fac i l es ; c/a = 1.615).

-10-

De plus, le béryll ium, qui possède le plus pet i t rapport c/a (1.568),

glisse principalement sur le plan de base, alors que le cri tère ci-dessus

prévoit un glissement prismatique beaucoup plus fac i l e .

Ce modèle, qui ne prend pas en compte la nature de la l ia ison atomique

et en part icul ier la possib i l i té de cel le-ci d'être directionnelle, est trop

simple pour expliquer la f a c i l i t é relative des systèmes de glissement.

Remarquons enfin que l'emploi de l ' é l a s t i c i t é anisotrope (Yoo et

Wei, 1967) ne permet pas de lever les exceptions précédentes.

1.2.3 - WSS0Ç-IATI0N_ÇES_ÇISI.0ÇATI0NS

Si une dislocation vis nondissociée peut théoriquement gl isser sur

tous les plans en zone avec sa direct ion, une dislocation dissociée ne glissera

que dans son plan de dissociation. Une composante de glissement en dehors de ce

plan provoquerait la montée de la faute d'empilement, qui ne peut pas se

produire à basse température. On peut dès lors espérer prédire le mode de

glissement principal d'après le mode de dissociation.

La théorie élastique des dislocations prévoit qu'une dislocation

peut se dissocier en dislocations par t ie l les, si la répulsion entre cel les-ci

est suffisamment grande, et si l'énergie du ruban de faute n'est pas trop

élevée.

Dans le cas des métaux H.C., les dislocations vis de vecteur de

Burgers a, qui appartiennent au plan de base et à un plan prismatique, peuvent

se dissocier :

- dans le plan de base, selon le schéma classique :

y [1120] + y [1ÔÏ0] + 1 [01Ï0]

cette dissociation on deux part iel les de Shockley crée un ruban de faute de

structure cubique à faces centrées. L'empilement ARABAB... devient ABACBC...

La faute basale a pu être observée en microscopie électronique dans Mg

(Smallman et Dobson, 1970), Zn (Harris et Masters, 1966), Cd (Smallman et

Dobson, 1970) et Co (Ericsson, 1966; Korner et Karnthaler, 1983). Notons

cependant que, à l 'exception du cobalt, ces fautes sont bordées par des

dislocations de Frank et non de Shockley-

- dans le plan prismatique, selon différents schémas. La (ou les) faute(s)

prismatique(s) n'ayant jamais été observée(s) en microscopie électronique,

-11-

Vexpêrience ne permet pas de trancher entre les différentes dissociations

proposées.

En prenant un modèle de sphère dure Tyson a suggéré le schéma

suivant :

\ [1120] + j g [2^63] + ^ C4263]

L'évaluation de l'énergie de cette faute qui ne respecte pas la compacité de l'empilement parfait ne peut se faire sans le recours â des calculs atomistiques.

Plus récemment, Régnier et Dupouy (1970) ont remarqué que la faute de vecteur a/3 crée un ruban de faute analogue à un empilement de plans {112} dans la structure cubique centrée. Remarquons néanmoins que 1!espacement des plans du ruban de faute est légèrement différent de celui de la structure parfaite. Un déplacement perpendiculaire à la direction <1120>, d'amplitude (!-¥- - ^ a , doit être ajouté pour respecter le modèle de sphère dure (Naka, 1983). A 1'aide de cette similitude, Régnier et Dupouy ont proposé le schéma suivant pour la dissociation sur le plan prismatique :

\ [1120] + I [1120] + | [1120]

L'évaluation de l'énergie de la faute ainsi créée nécessiterait des calculs atomistiques. En l'absence de tels calculs, Régnier (1969) a suggéré que l'existence d'une transformation de phase H.C. -»• C.C. pourrait être liée â une faibVî valeur de l'énergie de faute prismatique. Cette valeur serait d'autant plus faible que la transformation se fait à basse température. Ainsi cet auteur propose le rapport :

Tf/Tf T t : température de transformation allotropique 1 H.C. + c;c.

ou H.C. -v C.F.C.

comme critère rendant compte de la facilité relative des glissements.

Ceci est satisfaisant pour le cas de Cd, Zn, Co et Mg ainsi que pour

Ti, Zr et Hf. Cependant le comportement du ruthénium reste inexpliqué, car ce

métal glisse très facilement sur le plan prismatique, sans présenter de

transformation HÉC. •+ C.C. (Snow et Breedis, 1974). De plus le béryllium et

1'yttrium qui ont tous deux un point de transformation H.C. + C.C. vers 0,98 T f

ont des propriétés plastiques très différentes : 1'yttrium possède un glissement

prismatique facile (Carnahan et Scott, 1977; Pikalov et al., 1981), alors que

le béryllium a le glissement basai prépondérant (Antolin et al., 1965).

-12-

Si le cr i tère ainsi défini souffre manifestement trop d'exceptions,

l ' idée de la possib i l i té de la dissociation prismatique est néanmoins séduisante.

Rappelons que le rapport T t / T - éta i t proposé en l'absence d'évaluation des

énergies de faute basalc s t prismatique.

Corréler fortement les énergies de faute à 0 K et l 'existence d'une

transformation allotropique entre 0,5 T f et T. rovient à sous-estiraer l'importance

du terme entropique. Celui-ci est pourtant essentiel pour la compréhension

de la s tab i l i té de la phase cubique centrée â haute température (Fr iedel, 1974).

Nous retiendrons du travail de Régnier (1969) la possibi l i té d'une

dissociation dans le plan prismatique suivant le schéma b/3 + 2b/3, et

1'importance: du ; rapport ;:

énergie de faute basale énergie de faute prismatique

Citons t ro is autres modèles de dissociation prismatique :

- celui de Aldihger et Jonsson (1977)

1 [1120] ->• 1 [ lo ïo] + -g- [1230]

ce modèle s' inspire également de la similitude avec un empilement cubique centré.

Le déplacement perpendiculaire à [1120] est expl ic i té dans le schéma, ce qui

conduit à des vecteurs de Burgers des part iel les non contenus dans le plan

prismatique. En projection sur Taxe a, la dissociation donne a/4 + 3a/4 au

l ieu de a/3 + 2a/3 dans le modèle de Régnier;

- celui de Sob, Kratochvil etKroupa (1975), proposé pour les métaux du

groupe IV.A (T, Zr, Hf) :

t + § + ( | + H") + (§ - H")

avec a = •= [1120] et ft" une petite composante coin (H ' - 0,06a). La première

par t ie l le se trouve dans le plan prismatique, la dernière dans le plan

pyramidal de première espèce, et la seconde à l ' intersect ion de ces deux plans

(Fig. 1.7). Cette configuration est sessile, car non planaire. Les auteurs

suggèrent que la déformation à f roid dans ces métaux du groupe IV.A se f a i t

par la recombinaison des deux dernières part ie l les sur le plan prismatique, qui

donne une configuration g l i ss i l e sur ce plan. Celle-ci est d 'ai l leurs celle

proposée par Régnier et Dupouy (1970).

-13-

- Celui de Naka et LasaTmonie: (1983), assez proche de celui de Sob et a l .

(1975), propose dans le cas du titane : + + + +

t -* a + a + a + a

La première par t ie l le est dans le plan prismatique, les deux suivantes sont

chacune dans un plan pyramidal de première espèce et la dernière est à

l ' intersect ion de ces t ro is plans (Fig. 1.8). Cette configuration est également

non planaire, donc sessi le. Par recombinaison d'une par t ie l le 1/6, on retombe

sur la configuration de Sob et a l . , à la peti te composante coin près. Par

recombinaison des deux part ie l les 1/6, on obtient la configuration g l i ss i l e

de Régnier et Dupouy (1970).

Après le rappel de ces modèles élastiques de dissociation, mentionnons

les quelques études de simulation du coeur des dislocations par ordinateur.

Bacon.et Martin (1981 a et b) ont simulé les dislocations vis et

coin i [1120]. I l s ont adopté un potentiel empirique de Lennard-Jones (6-12)

qui stabil ise la structure hexagonale compacte pour certains rayons de coupure

au delà desquels l ' in terac t ion atomique est nu l le . I l faut mentionner que l'énergie

de faute basale dépend fortement du rayon de coupure. Elle varie d'un facteur

4, lorsqu'on passe d'une coupure après les cinquièmes voisins (potentiel LJ5) à

une coupure après les sixièmes voisins (potentiel LJ6).

Les conditions aux limites sont celles fixées par la solution

élastique isotrope, et la relaxation est effectuée par la méthode des gradients

C O n j U g U ë S . - : • : . - : : : : . . : :

Sans contrainte appliquée, ces auteurs trouvent que la dislocation

vis i [1120] se dissocie dans le plan basai suivant le schéma classique

(Fig. 1.9 et 1.10)

•1 [1120] •* •!• [ïQÎO] + y [01Ï0]

Aucun étalement n'est observé dans le plan prismatique (Fig. I.11).

Bacon et Martin (1981) obtiennent pour la dislocation coin i [1120]

de ligne parallèle à l 'axe c (dislocation cu.n dans le plan prismatique) un

élargissement du coeur d'un facteur 2 par rapport à la solution élastique.

I l s ne constatent cependant aucune des dissociations proposées précédemment

,'Fig. 1.12 et 1.13).

-14-

FIGURE 1.7 : Modèle de Sob e t a l . (1975)

riFodj

V>i* °J

ffîJOI

a) Modèle de dissociation en trois partielles* Cette dissociation est sessile.

b) Dissociation glissile sur le plan prismatique D2 = a/2 B& = t/S + H"

Ds = a/e - B" H" : composante coin (H" - n,06a)

iD,

FIGURE I.8 : Modèle de Naka et Lasalmonle (1983)

N *>•« • (itiïOI

I») (»)

Recombinaison des trois partielles bj, bg et b3 de la figure (a) donnant une configuration glissile (b) qui correspond au modèle de Régnier et Dupoui t, = (l/3)aS t . = (l/3)a; t . = (2/B)a

P (S/3)â

-15-

FIGURE 1.9 : Dissociation de la dislocation VîS •=• < 1120> (Bacon et Martin, 19B1).

Projection des positions atomiques sur (2110). Les déplacements

relatifs parallèles à b entre deux atomes sont représentés par des

flèches joignant ces deux atomes. La longueur de la flèche est

proportionnelle au déplacement relatif et est normalisée à + Xtl-^.

+ + + + + + + + «- :+ + + + + +

+ +

• • •

•- + +

• • •

r + + i

i + +

+ + + + + + + + + + I+ + + + + *

(0001] •

+ î + +

• • •

+ + + + 1+ + +

*-ioi loi

FIGURE 1.10 : Variation des déplacements relatifs Au~ et Au,,, et des densités

de vecteur de Burgers p_ et p„, suivant x (le long du plan de base)

FIGURE 1.11 : Variation des déplacements relatifs A u z suivant y (le long du

plan prismatique)

Au 2 . 04

af\ 1)5

y/o

-16-

FIGURE 1.12 : Etalement de la dislocation coin prismatique <1120>

(Bacon et Martin, 1981), Projection des positions atomiques

sur (0001). Les déplacements relatifs parallèles à Ï entre

deux atomes sont représentés par des flèches joignant ces deux

atomes. La longueur de la flèche est proportionnelle au déplace

ment relatif et est normalisée à + b/_.

+ + + • + + + % • + * + % • + + + • + • . • • + V • + % • + • + + + • + • + v • + • + + • + . • + . • . + . • + • + * + • + t + t + . t + ; t . ^

+•••+•+ + + * + % * + • + • + % • + > + • • • + • + * +

> n u

î • + % • • + • • + • • - + + + • + •

+ + •I2ÏÏ0I

+ + +

FIGURE 1.13 : Variation des déplacements relatifs Au x et de la densité de

vecteur de Burgers p x suivant x (le long du plan prismatique)

AuJ

1.0 •

0.8 US EiOStlC **-£*&&&** •

x 0 " 6 ff^Reloxed 0.*

0.2 _ ^ ; 0.0 ,

-4 •* ° x / a 2 *

6

u.au

0.40

: -j<A Bostie

0.30 : -/ \ 0.20

0.10

0.00 efiS «/"Sal. 0.20

0.10

0.00

-4 - 2 ° x/a 2 * 6

-17-

Ces auteurs ont également f a i t l 'étude des contraintes crit iques de

glissement. Suivant le rayon de coupure u t i l i s é , le rapport des contraintes

nécessaires pour déclencher le glissement prismatique et le glissement basai,

a p r i s / a bas - e s t d e 3 ' 5 â 6 -

Ce travai l ne permet donc de comprendre que l 'apparit ion d'un

glissement basai fac i l e . Bien que le potentiel u t i l i s é reproduise globalement

les constantes élastiques de tous les métaux hexagonaux compacts moyennant un

facteur d'échelle, nous pensons que le résultat obtenu (glissement basai

prépondérant) dépend fortement du type d' interact ion atomique pris en compte.

Nous verrons par ]a suite qu^f] potentiel de paire, non direct ionnel,

conduit vraisemblablement à un glissement.basai f ac i l e .

Citons également l'étude de Basinski, Duesbery et Taylor (1970-1971)

portant sur la simulation du coeur des dislocations vis i [1120] dans le

sodium hexagonal compact, à l 'a ide d'un pseudopotentiel. L'énergie de la • • 9

faute basale étant très f a i b le , (3,5 erg/cm ), ces auteurs trouvent une large

dissociation sur le plan de base.

Nous reviendrons plus en détail sur ces deux travaux de simulation

(Chapitre IV), mais notons dès à présent qu ' i l s ne permettent de comprendre

que le glissement basai f ac i l e . Le problème de l 'appari t ion d'un glissement

prismatique faci le reste donc entier !

1.3- RESULTATS EXPERIMENTAUX RECENTS

Le f a i t que le glissement prismatique fac i le apparaît daps des métaux

à haut intérêt technologique (T i , Zr) a relancé tout récemment Tes études sur la

p las t ic i té due à ce glissement (Naka et Lasalmonie, 1982-1983).

L'étude très détai l lée de ces auteurs, menée en microscopie électronique

classique, in s i tu et à haute résolution, a permis de considérer comme acquis

les résultats suivants, dans le t i tane, à basse température (Naka, 1983) :

1) La faible mobil i té des dislocation v is . Celles-ci restent de plus

recti l ignes durant leur mouvement.

2) La forte dépendance en température de la l imi te élastique.

3) La dépendance en orientation de la cission crit ique du glissèrent

prismatique.

-18-

4) L'extension des dislocations c o i n i < l l 2 0 > prismatiques (à vecteur de

l igne parallèle à l 'axe ~c), dans le plan prismatique. L'image obtenue en

microscopie électronique à haute résolution (De Crecy, Bourret, Naka et

Lasalmonie, 1983) montre un élargissement d'environ 3 à 4 distances

interatomiques. Cette pet i te largeur ne permet pas de trancher entre les

différents modèles atomiques proposés.

Les points 1 ) , 2) et 3) ont été attribués par les auteurs à une

structure non planaire des dislocations vis 4 [1120]. Nâka et Lasalmonie (1983)

proposent ainsi le schéma montré dans le paragraphe précédent (1.2), et

expliquent le point 2) par un mécanisme thermiquement activé. Celui-ci réside

dans le franchissement du co l , séparant la position sessile de moindre énergie

et la position g l i ss i l e mêtastable.

Le mauvais accord quant i tat i f avec le modèle d'Escaig (1968) est

attr ibué â la modélisation de la structure du coeur en faute d'empilement, et

en part iel les interagissant élastiquement. Les énergies de faute mises en jeu

étant élevées (100 à 200 erg/cm ), les distances de séparation entre part ie l les

sont très faibles (2 à 5 distances interatomiques), et l ' é las t i c i té n'est plus

réellement valable pour décrire ce type de configuration.

Les conclusions de cette étude fa i te sur le titane peuvent probablement

être étendues au cas du zirconium et de Vhafnium (métaux isoëlectroniques au

comportement plastique très semblable).

1.4 - BILAN DE CES RAPPELS

L'étude précédemment citée met en évidence un point fondamental pour

la suite de ce t r a v a i l . I l s 'agi t des relations entre les notions de s tab i l i t é

et de mobilité des dislocations v is.

Nous décrivons dans le paragraphe suivant t rois cas de f igure

possible, expl ici tant les rôles de la s tab i l i t é et de la mobil i té.

1.4.1 - STABILITE_ET_M03ÏLÏT§

a) Comme nous l'avons précisé au début de ce chapitre (1.2.1), une

dislocation v is , dont la configuration de moindre énergie (stable) est non

dissociée, peut gl isser sur tous les plans en zone avec sa direct ion.

Les mécanismes contrôlant sa mobil ité sont à rechercher parmi ceux

proposés habituellement : interaction avec la forêt (Seeger, 1957; Fr iedel , 1957),

ef fet d'impureté, blocage par interaction mutuelle entre dislocations gl issi les

-19>

(Hirsch et LaTly, 1965), force de Péiërls dans son sens or ig inal .

Ces mécanismes ne font pas explicitement appel à la structure de

coeur de la dislocation. Dans ce cas, la s tab i l i t é de la configuration non

dissociée ne fourni t de renseignements, ni sur les mécanismes contrôlant

la mobilité de la dis locat ion, ni sur le "choix" du système de glissement

pr inc ipa l .

b) Le deuxième cas, que nous allons considérer, est celui des métaux C.F.C.

à fa ib le faute d'empilement, ainsi que du cobalt H.C..

Les dislocations vis y sont dissociées, ou largement étalées, dans

un seul plan, qui devient de ce f a i t le plan de glissement pr incipal .

Le choix duplan de glissement est donc f i x é , i c i , par la s tab i l i t é

de la configuration dissociée.

La mobilité de ces dislocations dissociées dans le plan de glissement

principal n'est pas gouvernée par un éventuel changement de configuration, mais,

de nouveau par les mécanismes déjà évoqués dans le cas d'une dislocation vis

non dissociée (arbres de la fo rê t , impureté, e t c . ) .

La mobilité de ces dislocations dans les plans de glissement

secondaires sera contrôlée, par contre, par des mécanismes de déviation

(Escaig, 1968), faisant intervenir la configuration stable dans le plan de

glissement pr incipal , et les éventuelles positions métastables dans les plans

de glissement secondaires.

c) L'étude du t i tane ou des métaux cubiques centrés montre qu'un troisième

cas peut se rencontrer. La forme stable de la dislocation vis i <1120> dans

le t i tane est une configuration sessile composée d'un étalement pr inc ipa l ; et

d'étalements secondaires non «planaires (Naka, 1983).

Le mouvement de la dislocation nécessite la transformation de la

l igne ou d'un segment de l igne en configuration g l i s s i l e étalée uniquement sur

un plan.

Le mécanisme, qui contrôle alors la mobi l i té, est étroitement l i é

à la s tab i l i té de la configuration sessile. Ce mécanisme est le franchissement

du col d'énergie entre la posit ion sessile et l a posit ion g l i s s i l e , par

constrict ion des étalements secondaires. Lorsque les étalements non coplanaires

de la configuration sessile sont d'égale importance (cas des métaux de structure

cubique centrée), l 'o r ienta t ion de la contrainte est déterminante quand au choix

du plan de glissement. Le mécanisme, qui contrôle la mobil i té, reste cependant

le passage de la position sessile stable à la position g l iss i le métastable.

-20-

Tant dans le titane que dans les métaux cubiques centrés, les

énergies de faute sont probablement élevées. Ceci est suggéré par le fait

que ces fautes n'ont jamais été vues en microscopie électronique.

La simulation numérique du cceur est alors le seul moyen de

visualiser les configurations stables et le rôle de la contrainte dans la

c.nnstriction ^.s étalements.

T.4.2 - BmN_VE_CBS_UPPELS

Si le problème de la f a c i l i t é re lat ive des glissements dans les

métaux de structure hexagonale compacte a suscité de nombreux travaux, la

recherche d'un cr i tère simple n'a pas débouché jusqu'à présent.

Contrairement à 1'étude de la p las t ic i té â f ro id des métaux C.F.C. et

C.C. qui est bien avancée, celle des métaux H.C. est lo in d'être complète.

Environ un t ie rs des métaux H.C. n'a pas encore été étudié quant à

son comportement plastique (terres rares lourdes, osmium et technetium). Les

observations en microscopie ëlectroniqj» sont encore inexistantes dans la

moitié de ces métaux.

Dans les métaux C.C, les travaux de simulation (ar t ic le de revue de

Vitek et Yamaguchi, 1980) ont permis d'éclairer le problème du plan de

glissement et dll pcarn'sme contrôlant la déformation à basse température.

L'échec flagrant de ces simulations dans le cas des métaux H.C. montre qu'un

"ingrédient" physique essentiel a été omis.

Nous nous attacherons, dans la suite de cette étude, à répondre aux

-.questions suivantes . :::3^ ----.-:-• r.v:

- Quels sont les plans de glissement des métaux de structure H.C, non

encore étudiés-?

- Comment expliquer l'échec des travaux de simulation fa i ts jusqu'à présent?

- Comment fa i re une synthèse de tous les résultats connus, et les classer

à l 'a ide d'un cr i tère satisfaisant ?

- Que peut-on dire des mécanismes contrôlant le glissement des métaux H.C.

â basse température ?

-21-

C H A P I T R E I I

ÉTUDE EXPÉRIMENTALE SUR DES MONOCRISTAUX

DE MÉTAUX DE TERRES RARES

I l .1 - OBJECTIFS DE L'ETUDE

Comme i l a été noté dans le chapitre précédent, les propriétés plastiques

de plus d'un t iers des métaux hexagonaux compacts n'ont pas été étudiées.

C'est le cas de l'osmium, du technetium (produit de synthèse) et de sept métaux

de la série des terres rares : gadolinium, terbium, dysprosium, holmium, erbium,

thulium et lutetium. L'ytterbium est la seule terre rare lourde à avoir la

structure cubique à faces centrées.

Quelques informations existent sur les systèmes de glissement observés

dans certains de ces métaux (Tchupyatova et a l . , 1974; Liebermann et Graham,

1977), mais les données sont trop fragmentaires pour dresser un tableau

s ign i f i ca t i f des modes de déformation des métaux de structure H.C. de la série

des terres rares.

Pour posséder des informations sur la quasi- total i té des métaux H.C.

e t rechercher ainsi un cr i tè re s ign i f i ca t i f de la f a c i l i t é relat ive des modes

de glissement, nous avons estimé nécessaire d'étudier le comportement des

métaux H.C. de la série des terres rares. S'agissant de métaux appartenant à une

même série, et par là-même, différant peu pour de nombreuses propriétés

(rapport c/a, température de fusion T-, structure électronique), (tableau IV),

nous nous sommes l imités â l'étude de trois d'entre eux : le dysprosium, Terbium

et le terbium.

Pourquoi avoir choisi précisément ces t ro is métaux ?

Le dysprosium et Terbium différent essentiellement par l'existence

d'un point de transformation allotropique H.C. S c.C. à 0,98 T. dans le

dysprosium (Spedding et a l . , 1973), alors que Terbium reste hexagonal compact

jusqu'à son point de fusion (Spedding et a l . , 1973).

-22-

TABLEAU IV : Propriétés physiques des métaux H.C. des terres rares

c/a T f (°K) T + (°K> C44 / C66

Gd 1,590 1585 1535 1,02

Tb 1.581 1630 1565 0,98

Dy 1,573 1683 1654 0,99

Ho 1,570 1740 1700 1,00

Er 1,570 1802 - 1,01

Tm 1,570 1820 - 1,00

Lu 1,585 1905 -" ' • "

-23-

L'étude comparative de ces deux métaux permet de tester l ' inf luence

d'un te l point de transformation sur la f a c i l i t é relat ive des glissements,

influence suggérée par Régnier et Dupouy (1970).

Les informations déjà publiées sur le terbium (Tchupyatova et a l . , 1971)

d i f férant notablement de celles obtenues sur le dysprosium et Terbium, nous

avons été amenés à étudier, dans les mêmes conditions expérimentales que pour

ces deux métaux, le comportement tiu terbium.

Nous présentons i c i les résultats obtenus sur des monocristaux de

dysprosium, d'erbium et de terbium déformés en compression entre 77 K et 900 K.

I I . 2 - CONDITIONS EXPERIMENTALES

I I . 2 . 1 - ^.MONOCRISTAUX

Les monocristaux de dysprosium, d 1 erbium et de terbium ont été fournis

par Cambridge Instrument Company, sous forme de barreaux monocristal!ins de 5 mm

de diamètre et 15 mm de long. La pureté garantie est supérieure à 3N.

L'analyse par spectromëtrie de masse par étincelle pour ces t ro is

métaux est donnée en annexe I .

Une analyse spécifique pour la teneur en hydrogène et en oxygène y

est également reportée. Si la pureté effective est d'environ 3N (en poids)

pour le dysprosium et 1'erbium, la teneur en oxygène dans les monocristaux de

terbium est nettement plus élevée : environ 2%. Nous verrons les conséquences

de cette présence d'oxygène, non désirée init ialement !

I I . 2. 2 - LESjreOUI/ETTES_PE_COMPRESSION

Les échanti l lons, de forme parallel épipèdique, ont été découpés

par êlectroërosion. Leur dimension est d'environ 2 x ?. x 4 mm. Cette t a i l l e est

f ixée par le diamètre du barreau i n i t i a l (5 mm) e tTo r i en ta t i on de l 'échant i l lon

à par t i r du barreau. La pet i te dimension des échantillons de compression pose

naturellement le problème de la f i ab i l i t é des résultats obtenus. Nous nous

sommes cependant assurés que le glissement n 'é ta i t pas bloqué par les plateaux

de la machine de compression.

Le polissage des terres rares n'est pas un problême simple, comme le

montre la thèse de Picard (1977) sur la dissolution anodique du gadolinium, ainsi

que les travaux de Love (1961), Roman (1965) et Hopkins, Peterson et Baker (1965).

-24-

Nous avons adopté la procédure suivante : chaque échantillon est poli au papier

600, puis electrolytiquement à 198 K dans un bain de composition suivante :

- methanol : 92,5 %

- acide perchlorique : 7,5%

La tension est de 15 volts en c i rcu i t fermé, avec une vitesse de montée en

tension de 2,5 volts/mn. L'échantillon est ensuite rincé dans du Methanol à

198 K, et les faces de compression sont finalement aplanies au papier 600.

Les orientations avant et après découpe ont été effectuées par la

méthode de Laiie. Les figures I I . 1 , I I .2 et I I . 3 montrent des clichés obtenus

sur le terbium, le dysprosium et Terbium. Ce dernier cliché possède beaucoup

moins de taches de sous-structure. Cela est probablement dû à l'absence de

transformation allotropique H.C. •+ C.C. dans l 'erbium.

Nous avons reporté figure I I . 4 , I I . 5 et I I . 6 des courbes montrant la

var ia t ion, selon l ' o r ien ta t ion , des facteurs de Schmid (facteur de projection de

la contrainte suivant le plan et la direction de glissement) pour les glissements

basai, prismatique et pyramidaux. Trois domaines d'orientation (Fig. I I .7 ) ont

été choisis pour l'étude des modes de déformation :

- Dans le domaine I , où l'axe de compression f a i t un angle proche de 90°

avec l'axe c, le glissement prismatique est favorisé.

- Dans le domaine I I , où l'axe de compression f a i t un angle compris entre

30° et 50° avec Taxe c, le glissement basai est favorisé.

- Dans le domaine I I I , enf in, où Taxe de compression est proche de Taxe

c, le glissement pyramidal de deuxième espèce possède l 'or ientat ion la plus

favorable.

Nous nous sommes efforcés d'éviter les orientations, [T2Tn] et [TlOn],

où deux plans prismatiques sont également s o l l i c i t é s , ainsi que deux directions

de glissement dans le plan de base. On doit s'attendre dans ce cas à une

consolidation beaucoup plus forte que dans les autres orientations.

I I . 2 .3 - MÛWTAGE_PE_C0MPRESSI0W

La compression uniaxiale se f a i t sur une machine INSTRON avec une

vitesse constante de déplacement de la poutre de 5 iim/mn, donnant des vitesses

de déformation d'environ 10" / s .

Les essais à 0,3 T. et 0,5 T, ont été .effectués sous vide secondaire -4 T T

(10 Pa), pour éviter autant que possible, l 'oxydation des surfaces de

l 'échant i l lon. Nous avons placé des lames de mica entre l 'échanti l lon et les

-25-

Clîchés de Laiie de Dy, Tb, Er

"Figure I I.1 : Dy

Figure I1.2 : Tb

Figure 11.3 : Er

-26-

Varîatïon des facteurs de Schmid (F.S.), selon l'orientation de l'axe de

compression, pour le glissement basai (-•-), le glissement prismatique (-•—)

et le glissement pyramidal de première espèce ( ).

-27-

plateaux de compression lors des essais à 0,5 T.. En leur absence, on note une

réaction importante de l 'échant i l lon avec l 'ac ier des plateaux.

I I . Z .4 - ÇBSERS/ATI0NS_MIÇR06RAPHigUES

Les lignes de glissement ont été observées au microscope optique,

muni d'un disposi t i f à contraste interfêrentiel de Nomarski (Nomarski et We i l l ,

1955).

Les plans de glissement et de maclage sont déterminés par l'analyse des

traces sur deux surfaces.

Les courbes contrainte-déformation sont obtenues à part i r des

enregistrements force-temps et allongement-temps de la machine de compression.

En cas de glissement simple, on obtient la contrainte projetée et le

cisaillement résolu par les formules classiques :

a = r - cos i|) cos $ s o sin (*o - <(>)

Y " cos * s in ij>

où ( à , i|)Q, $, t|j) ont leur s igni f icat ion habituelle (Fig. I I . 8 ) .

Figure 11.8 Définition àtx anglei

-28-

I I .3 - RESULTATS EXPERIMENTAUX

I I . 3 . 1 - MOPES_ÇE_pEFORMATION_OBSERl/ES

I I . 3 . 1 . a - Eubiwm (Legiand et Le Ha.zi&, 19S2)

La température de fusion T f de ce métal est de 1802 K (Spedding et

a l . , 1973). Rappelons que Terbium ne possède pas de point de transformation

allotropique avant le point de fusion.

Les températures d'essai ont été de 293 K (0,16 T f ) , 633 K (0,35 T f )

et 883 K (0,5 T f ) . Les résultats sont exposés par domaine d'orientation

(cf . Fig. I I . 7 , p. 26).

- Domaine I (favorable au glissement prismatique) : Seul, le glissement

prismatique a été observé aux trois températures d'essai.

- Domaine I I (favorable au glissement basal) : A 0,16 T f et 0,35 T f , les

échantillons se sont déformés uniquement par maclage. Le plan de macle déterminé

est (1121), ce qui s'accorde au [raclage connu suivant le système (1121) [1126].

A 0,5 T f on observe les macles déjà citées ( l lS l ) [1126] , ainsi que

du glissement basai et prismatique. L'observation des lignes de glissement

montre que le glissement basai, dans ces conditions expérimentales, est

prépondérant. Remarquons i c i que les cissions crit iques projetées (C.C.P.) sur

les systèmes basai et prismatique sont très voisines (tableau V), à cette

température. On observe une grande quantité de glissement dévié basai-

prismatique, le plan prismatique activé étant effectivement celui contenant

la direction de glissementla plus favorable au glissement basai.

- Domaine I I I (favorable au glissement pyramidal de deuxième espèce) :

A 0,35 T. et 0,5 T. l 'échant i l lon a été comprimé jusqu'à la rupture sans

déformation plastique apparente. En par t icu l ier , aucune trace de glissement

sur les systèmes pyramidaux n'a été observée. Les contraintes projetées sur les

systèmes basais et prismatiques étaient trop faibles pour déclencher ces

glissements, en raison de l 'or ientat ion de l'axe de compression, qui se trouve

â 2° de Taxe c. Nous n'avons pas f a i t l 'essai à 0,16 T., car i l est peu

probable que le glissement prismatique et le glissement basai puissent

apparaître dans cette orientation et à cette température, alors qu ' i l s ne sont

pas observés à plus haute température. I l faut cependant se garder de conclure

que le glissement pyrami ial de seconde espèce n'apparait pas dans Terbium,

car i l peut disparaître au delà d'une certaine température. Citons cinsi le

cas du magnésium, où la disparit ion vers 0,5 T f du glissement pyramidal de

-Z9-

seconde espèce, ac t i f à plus basse température, est attribuée à la décomposition

des dislocations c+î en dislocations c et a (Stohr, 1972; Stohr et Poir ier, 1972).

11.3.1.6 - PtfApt.o4.tum (Legiand zt Le. Hazii, 19821

La température de fusion est de 1683 K (Spedding et a l . , 1973).

Contrairement â Terbium, le dysprosium possède un point de transformation

allotropique H.C. * C.C. à 1554 K (0,98 T f ) (Habermann et Daane, 1964). Les

températures d'essai ont été de 293 K (0,17 T f ) , 603 K (0,35 T f ) et 813 K (0,5 T f ) .

- Domaine I : A 0,17 T f , on observe du glissement prismatique, ainsi que des

macles sur les plans (1121) et de façon moindre sur (10Î2). Ces plans s'accordent

avec les systèmes de meclage connus ( l l 2 l ) [1126] et (10Ï2) [loTT] (Rosenbaum,

1964).

A 0,35 T f et 0,5 T f , on observe le glissement prismatique.

- Domaine I I : A toutes les températures d'essai, les échantillons

commencent toujours par se déformer par maclage sur les plans ( l l 2 l ) .

A 0,17 T du glissement basai a été observé à une contrainte projetée

supérieure à 70 MPa. Toutefois, cette valeur n'est probablement pas représentative

de la contrainte d'écoulement du glissement basai, l 'échant i l lon ayant

préalablement maclé sur le système ( l l 2 l ) [1126].

A 0,35 T., l 'échant i l lon se déformant par maclage, l'essai a été

arrêté, alors que la contrainte projetée sur le plan basai é ta i t de 40 MPa.

A cette contrainte, le glissement basai n'a pas été observé.

A 0,5 T., comme précédemment, l 'échanti l lon se déforme par maclage.

La consolidation étant nu l le , l 'essai fu t arrêté, alors que l 'échanti l lon

présentait un pliage prononcé. Aucune évidence de glissement basai, prismatique

ou pyramidal, n'a été constatée.

- Domaine I I I : Les essais ont été effectués à 0,17 T f et 0,35 T f , Taxe

de compression se trouvant â 10° de Taxe c. Seul, le glissement basai a été

observé, sans trace de maclage. Bien que l 'or ientat ion so i t favorable au

glissement pyramidal, celui-ci n'a pas été décelé.

ÏÏ.3.1.C - TeAbùim (Le Hazi& Vt Lzg/uwd, 79S2)

La température de fusion de ce métal est de 1630 K, e t , comme

le dysprosium, i l possède un point de transformation allotropique H.C. î c.C.

â haute température (0,96 T . ) , (Spedding et a l . , 1973).

Au vu des résultats obtenus sur le dysprosium et Terbium, nous avons

modifié la plage de température de l 'étude. Nous avons en ef fet observé, que,

http://PtfApt.o4.tum

-30-

pour les deux métaux étudiés précédemment, les contraintes crit iques projetées

sont voisines pour les glissements basai et prismatique à 0,5 T , , alors qu'elles

sont notablement différentes à plus basse température. Aussi nous nous sommes

appliqués â déterminer les modes de déformation du terbium à des températures

plus basses, entre 77 K (0,05 T f ) et 573 K (0,35 T f ) .

- Domaine I : A 77 K, seul le maclage sur les plans {1151} est apparu.

Entre 77 K et 293 K (0,18 T f ) , on observe simultanément du glissement

prismatique et des macles sur les plans {1121} et {10Ï2}.

Au-delà de 293 K, seul le glissement prismatique est observé.

- Domaine I I : Le maclage n'apparaît pas sur tous les échantil lons.

Lorsqu'i l est. observé, seul le svstème ( l l 2 l ) [1126] est présent.

A 77 K, le glissement basai n'a pas été observé, alors que la

contrainte projetée sur ce plan éta i t de 265 MPa. Cet essai n'a pas donné l ieu

à l 'apparit ion de macles.

Au-dessus de cette température, le glissement basai est observé, avec

des macles (1121) [1126] à 293 K (0,18 T f ) .

Le glissement pyramidal de deuxième espèce n'étant pas l ' ob je t de

notre étude, nous n'avons pas f a i t d'essai dans le domaine I I I . Nos travaux

sur Terbium et le dysprosium nous ont en ef fet montré que cette orientation de

l 'axe de compression (proche de l'axe t) n'est guère u t i le pour l'analyse

comparative du glissement prismatique et du glissement basai.

Malgré le vide secondaire, sous lequel ces expériences ont été fa i tes ,

1'état de surface à 0,35 T- et 0,5 T. ne permet pas de faire des observations

dans de bonnes conditions.

Néanmoins les figures I I . 9 et 11.10 montrent que les lignes de

glissement, tant du système prismatique que du système basai, deviennent

sinueuses lorsqu'on dépasse la température ambiante.

Naka (1983) a obtenu des résultats très semblables pour le glissement

prismatique dans le t i tane . De plus, i l a déterminé en microscopie électronique

le plan de déviation, qui se trouve être, dans le cas du t i tane, le plan

pyramidal de première espèce.

=ob it» i j isma"i que - i-voiUTion avec :l a temperature

Er, 293 K

(x 720)

Tb, 573 K

(x 720)

Dy, 813 K

(x 720)

Er, 913 K

(x 270)

-32-

Figure 11.10 : Lignes de gIIssement basal - Evolution avec la température

Tb 573 K (x 720)

Tb, 293 K (x 720)

Er, 913 K (x 720)

-33-

Dans notre cas, après quelques tentatives infructueuses de préparation

de lames minces par polissage électrolytique et par amincissement ionique,

nous avons renoncé à la microscopie électronique. Néanmoins, comme nous l'avons

signalé pour Terbium à haute température, nous observons des déviations

plan basai •+ plan prismatique, lorsque l 'or ientat ion est favorable au glissement

basai. Lorsque l 'or ientat ion favorise le glissement prismatique, nous n'avons

pas pu trancher sur la nature du plan de déviation : plan basai ou plan

pyramidal ?

Les nombreuses observations de maclesnous ont permis de constater que

les macles { l l S l } <IÏ26> et {10Î2} <Ï011> ont une forme et une largeur bien

d is t inctes, qui les rendent aisément ident i f iables. Les macles {1012} <Î011>

sont larges et lent icu la i res, alors que les macles {1121} <Il26> sont fines

(Fig. 11.11 et 11.12). Cette observation avait déjà été fa i te dans le cas de

1'yttr ium (Carnahan et Scott, 1972), du rhénium (Jeffery et Smith, 1966) et

du cobalt (Davis et Teghtsoonian, 1962). Cette différence de forme est en bon

accord avec l'argument de Cahn (1954) qui prévoit une épaisseur de macle

inversement proportionnelle au cisaillement :

h 2o U ""sU

où h e t L sont la hauteur e t l a longueur de la macle, s le cisaillement de la

macle et a la contrainte à l 'équi l ibre dans la macle.

La macle d'éléments ^ = {1121}, n x = <ÏTZ6>, K2 = (0002), n 2 = <H20>

a un cisaillement théorique égal à a/c ^ 0,6. La valeur expérimentale est en

bon accord avec cel le-c i (Carnahan et Scott dans Y (1972), Oeffery et Smith dans

Re (1966), Read-Hill, Slippy et Buteau dans Zr (1963), Fujishiro et Edington

dans Ti (1970)).

La macle d'éléments K, = {10Î2}, n, = <Toil>, K2 = {1015} et n z = <loTl>

a un cisaillement théorique égal à 0,2, en excellent accord avec le cisaillement

expérimental obtenu dans 1'yttrium (Carnahan et Scott, 1972). Cette différence

de cisaillement entre les 2 macles explique bien la différence de forme ooservée.

La présence de maclage dans la plupart de nos essais nous empêche de

t i r e r des informations intrinsèques au glissement â par t i r des taux de

consolidation observés.

I I .4 - DISCUSSION

Rappelons que l ' ob jec t i f fondamental de ce travai l expérimental éta i t

de déterminer le mode principal de déformation des métaux de terres rares

-34-

Fîgure 11.11 : Macles {10Î2}, Tb, 293 K ( x 270)

Figure 11.12 : Macles {1121}, Tb, 293 K (x 720)

-35-

êtudiés, et de voir l ' in f luence éventuelle d'un point de transformation H.C. + C.C.

(présent dans Dy et non dans Er) sur le comportement plastique.

Pour analyser les résultats concernant les t ro is métaux étudiés, nous

comparerons les valeurs réduites définies ainsi : :: C C P

a : rapport ' ' • ', où C.C.P. est la contrainte cr i t ique projetée et v le

module élastique approprié ( C 4 4 pour le glissement basai et C 6 6 pour le

glissement prismatique). T" = T/T- où T- est la température absolue de fusion du métal considéré.

Sur la f igure 11.13 et le tableau V sont portées les valeurs de a" en

fonction de T" pour les t ro is métaux.

Le point fondamental, qui ressort de cette étude, est que le glissement

principal dans les t ro is métaux étudiés est le glissement prismatique {10Ï0}<1120>.

On note de plus que :

- pour le glissement prismatique : à l 'exception de la portion de courbe

inférieure à 0,35 T- re lat ive au terbium, on peut raisonnablement porter les

points a" = f (T") sur une courbe moyenne pour les t ro is métaux. Ceci rend

compte d'un comportement global identique. L'écart à la courbe moyenne observé

dans le terbium pourrait être l i é à la présence d'une grande quantité d'oxygène

dans nos échantillons (= 2%). Ceci est à rapprocher de l 'évolution de la

contrainte crit ique du glissement prismatique dans le t i tane, suivant sa teneur

en oxygène (Naka, 1983).

- Pour le glissement basai, les quelques points expérimentaux disponibles

pour Dy et Er se placent bien sur la courbe a" = f (T") tracée pour le terbium

(Fig. 11.14). La bosse, ou du moins le palier observé entre 0,15 T- et 0,3 T,

pour le terbium, peut être due à un effet d'impuretés comme dans le cas du

glissement prismatique, ou bien à un effet intrinsèque, te l qu'un blocage

thermiquement activé des dislocations vis selon un mécanisme déjà proposé par

Régnier et Dupouy (1970) dans le cas du béryll ium. L'absence de points

expérimentaux (en raison du maclage) dans ce domaine de température pour Er et

Dy ne permet pas de savoir si cette bosse est caractéristique du terbium, moins

pur que nos échantillons de dysprosium ou d'erbium, ou plus générale.

Rappelons i c i les résultats obtenus par Tchupyatova et a l . (1974) sur

des monocristaux de terbium de plus haute pureté (99,99? en poids). Les essais

ont eu l ieu en tension, à température ambiante. Ces auteurs trouvent, selon

l 'or ientat ion de l'axe de tension, du maclage suivant le plan {10Ï2} pour un

axe proche de la direct ion c, du glissement basai et du glissement prismatique.

-36-

tfw

Figure 11.13 : a* « f (T* ) pour Oy, Er, Tb

Figura I I .14 : a = f (T )

pour Tb

t

- 1 ERBIUM

\

l\\ i \ .1 .

• fUmtMBt pdimMIqua

\

l\\ i \ .1 .

\

l\\ i \ .1 .

««mm

\

l\\ i \ .1 .

• BCM« 1 min .< min l

^ ~ ^

125 I » 315 500

TABLEAU V : Valeurs normalisées en o/u des C.C.P. des glissements dans Tb, Dy et Er

\ 3

T / T f Tb

0,16

Dy Er Tb

0.35

Dy Er Tb

0,50

Dy Er

°P 2.1 0,7 0,8 0,6 0.5 0,5 - 0,45 0,6 °P 2.1 0,7 0,8 0,6 0.5 0,5 - 0,45

°B 2,4 3 >2,6* 1.4 1,7 >2 ,3* - - 0,6

°TT2 - >13* >2,6 - >4,3* >7* - >1,3* >4*

Une limite inférieure de la C.C.P. est donnée quand le glissement n'a pas été observé.

-37-

Aucune valeur des contraintes crit iques n'est reportée, mais les courbes C-E

semblent montrer que le glissement prismatique se déclenche à des contraintes

plus basses que le glissement basai. I l est â noter que le durcissement dans

le cas du glissement prismatique, est heaucoup plus élevé (15 à 20 kgf/mm)

que dans le cas du glissement basai, où les auteurs ne mentionnent aucun

durcissement notable.

Ces résultats, assez incomplets, ne permettaient pas de trancher sur

la nature du système de glissement primaire dans le terbium (Poirier et

Le Hazif, 1976). En f a i t , si on note que la température ambiante (précisément

cel le des essais de Tchupyatova et a l . ) est, dans le domaine inférieur à 0,3 T , ,

cel le où le glissement prismatique et le glissement basai apparaissent aux

contraintes les plus proches, on conçoit qu ' i l y a i t ambiguitë sur la

détermination du système de glissement primaire à pa r t i r de ce seul a r t i c l e .

L'ambiguité é ta i t accentuée par le f a i t que le glissement basai présentait un

moindre durcissement que le glissement prismatique. Cependant, les mesures de

durcissement, tant dans l 'étude de Tchupyatova et a l . que dans la nôtre, sont

fortement influencées par l 'appari t ion du maclage. Si l ' in teract ion glissement-

maclage est encore lo in d 'être comprise, malgré des études en microscopie

électronique (Coujou, 1981; Mori et Fuj i ta, 1980; Mahajan, Brasen et Wakiyama,

1978), i l est probable qu 'e l le contribue à durcir le métal. Or, le glissement

prismatique, dans l'étude de Pchupyatova et a l . , est accompagné de maclage,

alors que le glissement basai est observé comme seul mode de déformation.

Ceci peut expliquer les différences de taux de consolidation, observées entre

les deux glissements.

L'apparition fréquente du maclage montre que c'est un mode de

déformation important. Nous avons observé que le système de maclage prédominant

est (1121) [TÏ26], avec un système secondaire (10Î2) [ T o n ] . Nous n'avons pas

mis en évidence de contrainte crit ique de maclage. L'apparition de ce mode de

déformation dépend fortement de l 'or ientat ion. Nous montrons dans l'annexe I I ,

q u ' i l existe des secteurs dans le triangle stérêographique, oû le maclage produit

une tension. Lorsque l 'axe de compression se trouve dans un de ces secteurs, le

maclage ne peut accomoder la déformation imposée. Nos résultats expérimentaux

montrent qu ' i l n'y a effectivement pas de maclage { l l 3 l } et {10Î2} pour les

orientations de Taxe de compression proches de l 'axe t- Ceci est en accord

avec les résultats obtenus par Churchman (1960), Geach, Jeffery et Smith (1962)

et Kopetskiy et a l . (1975) sur Re, ainsi que ceux de Carnahan et Scott (1973)

sur 1 'yt t r ium.

-38-

L'analyse de Jaswon et Dove (1957, 1959, 1960) prévoit que le

système de maclage, qui possède le cisaillement le plus fa ib le , est le système

dominant. Cette analyse ne s'applique cependant pas â des structures à motif

mult iple dans la maille comme la structure hexagonale. I l faut alors t j n i r

compte des réarrangements atomiques ("shuffle") dans le motif, qui seraient

particulièrement simples dans le cas de la macle (1121) (Bilby et Crocker, 1965;

Bevis et Crocker, 1968, 1969).

Les fac i l i tés relat ives de maclage, et leur rapport avec le glissement

primaire observé, restent cependant inexpliquées malgré une corrélation souvent

f a i t e entre glissement basai et macle {10Î2} et de même glissement prismatique

et macle {1121} (Carnahan et Scott, 1973).

L'apparition du maclage {1121} pourra peut-être trouver son explication

dans la structure du coeur des dislocations i <TÏ23> (Hinonishi et a l . , 1981, 1982) i J

En simulant le coeur des dislocations coin -j<1123> {1122} avec un potentiel de

Lennard-Jones, ces auteurs ont trouvé qu ' i l est constitué de deux motifs de macle,

l 'un sur (1122), l 'autre sur (1121) (Fig. I I . 15 ) . Cette structure ne se retrouve

pas pour la dislocation vis •*• <ÏÏ23>. Celle-ci possède des configurations,

d'énergies très voisines, étalées sur les plans {1122}, {1011} ou une

combinaison des deux. En faisant une étude sous contrainte, les auteurs ont

obtenu les résultats exposés tableau VI , où un sens négatif (pos i t i f ) de la

contrainte s igni f ie un sens de cisaillement suivant {1122} ou {1011}, qui met

Taxe c en compression (tension).

La relation entre le maclage suivant les plans {112n} et les

dislocations -j <ÏT23> avait déjà été suggérée par Rosenbaum (1964) et

Mendelson (1969-1970).

La forte dépendance des structures de coeur obtenues selon les

conditions techniques de la simulation (configuration i n i t i a l e , conditions aux

l imites) montre que la compréhension du maclage dans les métaux hexagonaux est

encore un problème ouvert (Minonishi, Ishioka, Koiwa et Morozumi, 1982).

I I . 5 - CONCLUSION DE L'ETUDE EXPERIMENTALE

Pour conclure cette étude expérimentale, nous retiendrons les

observations suivantes :

a) Les t ro is métaux de terres rares étudiés ont un comportement comparable.

Alors que le cr i tère de Régnier et Dupouy (1970) suggère que l'absence de

-39-

Fîgure 11.15 : Structure de coeur des dislocations coin - <ÏÏ23> {1122}

(Minonishi et al., 1981)

[ÏÏ23] ( 1 Ï 0 0 )

TABLEAU VI : Comportement des d is loca t ions •? <TÏ23> sous con t ra in te

(Minonishi e t a l . , 1982)

^ v Sens de la ^s^ontrainte

Caractère de la > v

dislocation > v

Négatif Positif

Coin iï i22} glissement sur {1122} mac 1 age sur {1121} o u glissement sur {1122}

Vis gl Issement sur {1122} glissement sur {10*1}

-40-

transformation H.C. •* C.C. dans Terbium la issera i t prévoir un glissement .

prismatique d i f f i c i l e dans ce métal, la simil i tude du comportement de Terbium

et du dysprosium infirme cette corrélation. Rappelons que le ruthénium é t a i t

déjà un cas fo r t gênant pour ce cr i tère.

b) A la vue des résultats expérimentaux obtenus sur t ro is métaux de terres

rares, on peut raisonnablement penser que le glissement prismatique fac i le est

une propriété de tous les métaux H.C. de cette sér ie. Si on considère que ces

métaux ont un remplissage de la bande d situé entre celui de Tyt t r ium et celui

du t i t an» , du zirconium et de Thafnium, on s'aperçoit que le glissement prismati

que fac i le est une propriété commune à tous les métaux H.C. ayant entre 1,5 et

3 électrons d.

c) Bien que l'importance du maclage et des impuretés soit grande, i l ne

semble pas qu'elle puisse inverser les fac i l i t és relatives des glissements

basai et prismatique.

d) Constatant qu'aucun des critères rappelés en 1.2 ne résiste à la

confrontation de l'ensemble des résultats expérimentaux, nous allons nous

appuyer sur deux idées simples, pour dir iger notre recherche d'une explication

satisfaisante pour l'ensemble des métaux H.C. :

1) La f a c i l i t é de glissement sur un système est une propriété

isoélectronique : tous les métaux H.C. divalents glissent sans exception sur le

plan de base : Be, Mg, Zn, Cd. Le glissement prismatique faci le n'est observé

que dans les métaux de t ransi t ion et les métaux de terres rares, et seulement

pour certains remplissage de la bande d :

- pour 1,5 < Z. < 3 : Y, T i , Zr, Hf et les métaux de terres rares

- pour Z . = 7 : Ru

2) La complexité du choix du système de glissement inci te â un

rapprochement avec les métaux de structure cubique centrée, où la détermination

du plan de glissement a longtemps été un sujet controversé. Nous allons analyser

dans le chapitre suivant les richesses et les l imites de cette analogie, et

l'importance de la remarque précédente sur le comportement isoêlectronique des

métaux H.C.

-41-

C H A P I T R E I I I

ANALOGIE AVEC LES MÉTAUX CUBIQUES CENTRÉS

ET DIFFÉRENCE ENTRE LES MÉTAUX "NORMAUX"

ET LES MÉTAUX DE TRANSITION

I I I .1 - RAPPELS 5UR LES METAUX DE STRUCTURE C.C.

La déformation plastique des métaux C.C. présente un certain nombre

de caractéristiques, qui ont été rattachées à des modèles non planaires du

coeur des dislocations vis i < l l 1 > . Rappelons ces caractéristiques :

- forte dépendance de la contrainte d'écoulement envers la température

et 1'orientation;

- variation de la géométrie même du glissement suivant l 'or ientat ion et

le sens de la contrainte appliquée (Christian, 1970).

La microscopie électronique in-s i tu a révélé que la déformation à

basse température dans les métaux C.C. est contrôlée par le mouvement des

dislocations vis • j < H l > > qui restent recti l ignes durant leur déplacement

(Lou:het, 1976). Ce f a i t montre clairement que c'est la résistance intrinsèque

du réseau sur les dislocations v i s , qui contrôle la déformation.

Hirsch (1960) a été, à notre connaissance, le premier à proposer

une structure non planaire du coeur des dislocations v i s , dissociées sur

3 plans (112). D'autres schémas de dissociation ont été suggérés :

- sur deux plans (112) : Sleeswyck (1963)

- sur t rois plans (110) : Kroupa (1963)

TDUÏ ces modèles s'appuient sur le f a i t que la direct ion < n i > de la dislocation

vis 2 < l l l > est un axe de symétrie ternaire. La dissociation sur plusieurs

plans, propre aux dislocations v is , permet d'expliquer le glissement comme

une succession de passages : position sessile dissociée + position g l i ss i l e

recombinée; ce passage est thermiquement activé et dépend de l 'or ientat ion

(Escaig, 1968; Kubin, 1971).

-42-

Cependant, Vitek (1968) et Basinski, Duesbery et Taylor (1970) ont

obtenu que, pour tous les potentiels interatomiques ut i l isés dans leur étude,

i l n'existe pas de faute unicouche stable sur les plans (110) et (112).

Les simulations du coeur des dislocations vis - < l l l > ont montré,

que le concept de dissociation n'est pas valide dans ce cas, mais qu ' i l est

plus opportun de parler d'étalement du coeur sur t ro is plans (110); (pour

une revue, voir les ar t ic les de Vitek (1974), Puis (1980), Takeuchi (1980)).

Cette configuration peut se modèliser par des distributions continues

de vecteurs de Burgers sur les plans d'étalement. Suivant le potentiel u t i l i s é ,

on obtient une configuration de coeur dégénérée (Vitek et a l . , 1970; Basinski

et a l . , 1970) ou non dégénérée (Takeuchi, 1979; Sato et Masuda, 1979). Quel

que soi t le cas, la configuration obtenue est sessi le. Le mécanisme qui

contrôle la déformation est toujours la transformation d'une configuration

sessile stable en une configuration g l iss i le mëtastable.

Ce mécanisme est dénommé mécanisme de Peierls, du f a i t que c'est une

force intrinsèque au réseau, qui s'oppose au mouvement des dislocation v i s .

Cette appellation est cependant abusive, car, dans le modèle original de

Peierls (1940), les cols d'énergies sont dus aux différences d'énergie de la

dislocation suivant la posit ion de ce l le -c i . Dans le modèle de la t rans i t ion

sessile •* g l i ss i l e , les cols sont dus aux différences d'énergie entre deux

configurations de coeur pour une même position de la dislocation.

Pour conclure ce rappel sur les métaux de structure cubique centrée,

insistons sur le f a i t que la structure non planaire du coeur des dislocations

v i s ' 2 < l l l > a une origine essentiellement géométrique. La symétrie ternaire

de la ligne de dislocation permet de prévoir un étalement sur t ro is plans

symétriques. Cette origine géométrique permet de comprendre pourquoi les

différences entre les potentiels interatomiques choisis par divers

auteurs (Vitek et a l . , 1970; Duesbery et a l . , 1973; Basinski et a l . , 1970;

Chang, 1967; Diener et a l . , 1971; Rabier, 1971; Suzuki, 1968, Minami et a l . , 1972)

ne modifient que faiblement les propriétés de coeur. De même, la non-stabi l i té

des fautes unicouches sur les plans (110) et (112) ne semble pas dépendre des

potentiels ut i l isés (Vitek, 1968; Papon, 1979).

-43-

III.2 - ANALOGIE ENTRE METAUX H.C. ET METAUX C.C.

La déformation des métaux H.C. à glissement basai facile a souvent

été comparée à celle des métaux C.F.C. (Poirier et Le Hazif, 1976). On y

retrouve les mêmes stades de consolidation, et les mêmes configurations de

dislocation. Ceci est principalement dû à la similitude géométrique des plans

de glissement (0001) dans la structure H.C. et {111} dans la structure C.F.C.

En ce qui concerne le glissement prismatique facile, certains auteurs

ont noté une grande.similitude entre ses propriétés et celles du glissement

dans les métaux C.C. (Reed-Hill, 1972; Sob, 1974; Bacon et Martin, 1976;

Naka, 1983) :

- forte dépendance de la contrainte d'écoulement envers la température;

- écart à la loi de Schmid (Sakai et Fine, 1974 dans Ti-Al; Naka, 1983

dans Ti);

- glissement contrôlé par le mouvement des dislocations vis, qui restent

rectilignes (Naka, 1983 dans Ti).

On peut aisément expliquer le passage d'une similitude à l'autre (C.F.C. •* C.C.)

en considérant que :

- dans le premier cas, les dislocations vis (et coin) sont étalées ou

dissociées de manière planaire dans le plan de base;

- dans le second cas, les dislocations vis ont une structure de coeur

non planaire avec un étalement prépondérant dans le plan prismatique (Sob,

1974; Naka, 1983). La limite de l'analogie avec les C.C. apparaît clairement :

alors que la direction <ni> des dislocations vis est un axe de symétrie

ternaire dans les C.C, il n'en est pas de même dans les métaux H.C. Nous

avons rappelé en III.l que les modèles d'étalement non planaire dans les C.C.

se fondent sur cet argument de symétrie. Dans les métaux H.C, il ne peut y

avoir étalement non planaire que sur des plans cristallographiquement différents.

Cette compétition entre différents plans, tant pour expliquer le

choix entre le glissement basai et le glissement prismatique, que pour

justifier une éventuelle structure de coeur non planaire dans le cas du

glissement prismatique facile, sera certainement sensible à la nature de la

liaison atomique. Ainsi les simulations du coeur des dislocations dans les

métaux H.C. seront très dépendantes du type de potentiels interatomiques

utilisés, contrairement au cas des métaux C.C.

-44-

III.3 - DIFFERENCE ENTRE LES METAUX "NORMAUX" ET LES METAUX DE

TRANSITION

Rappelons i c i la constatation que nous avons fa i te sur la nature

isoëlectronique du glissement dans les métaux hexagonaux compacts : tous

les métaux "normaux" glissent sur le plan de base, alors que les métaux de

transi t ion H.C. ont un comportement qui dépend du remplissage de la bande d.

Dans la suite de ce t rava i l , nous allons essayer de montrer que

c'est cette différence de nature de la structure électronique qui va jouer

sur la f ac i l i t é re lat ive de l'étalement du coeur des dislocations suivant les

plans basai et prismatique.

Avant de déboucher sur Tes structures de coeur possibles, nous

admettrons que le rapport des énergies de faute basale et prismatique est un

bon guide pour juger de l'importance de l'étalement dans chaque plan. La

remarque précédente montre qu ' i l est essentiel de prendre en compte la

structure électronique dans ces calculs d'énergie de faute.

Ainsi , nous allons séparer, dans deux chapitres bien dist incts :

- le calcul , dans les métaux "normaux", des énergies de faute basale

e t prismatique à 0 K, en u t i l i san t des pseudopotentiels adaptés à ces métaux

(Chapitre IV);

- le calcul dans les métaux de transi t ion des mêmes quantités, avec un

modèle de l iaison forte qui décrit correctement les propriétés de cohésion de

ces métaux (Friedel, 1969; Ducastelle, 1970) : Chapitre V. Ce modèle nous

permettra de décrire la structure du coeur des dislocations vis - J < 1 1 2 0 > dans

î le t i tane, qui est un métal â glissement prismatique faci le : Chapitre V I .

-45-

C H A P I T R E IV

CALCUL DES ÉNERGIES DE FAUTE ET STRUCTURE

DE COEUR DANS LES MÉTAUX "NORMAUX"

IV.1 - RAPPELS SUR LES INTERACTIONS DE PAIRE

L'énergie totale du cr is ta l peut se mettre sous la forme du

développement suivant, pour les métaux "normaux" :

E = E +E E. + S W (R. ) + . . . . i i < j J

(Harrison, 1953; Pick et Sarma, 1964; Blandin, Friedel et Saada, 1966). Tous

ces termes varient avec le volume moyen par atome. A volume constant, E est

une constante et E-, qui ne dépend que de la nature du i e m e atome, est

constant dans un métal pur. Dans ce cas, E s'exprime comme une somme d'énergie

d' interact ion de paires W(R- - ) , tenant compte de l'ensemble des interactions

( ion- ion, ion-électron et électron-électron).

La formule ci-dessus est obtenue en u t i l i san t la méthode des ondes

planes orthogonalisées, et des pseudopotentiels au deuxième ordre en perturbation.

Les termes suivants du développement, qui font intervenir des

interactions à plus de deux atomes, peuvent être négligés lorsque le pouvoir

diffusant des atomes est fa ib le (Pick et Blandin, 1964).

Cette expression de l'énergie totale sera spécialement valable

pour calculer des énergies de défaut, où le volume reste constant (cas des

fautes d'empilement non relaxées obtenues par cisai l lement). Lorsqu'il y a

des variations de volume (dues par exemple â la relaxation) les valeurs obtenues

sont certainement moins bonnes.

Outre ce type d' interact ion de paires j u s t i f i é par la théorie des

pseudopotentiels, les simulations numériques ont popularisé l'emploi de

-46-

potentiels de paires empiriques ou semi-empiriques. Parmi ces derniers, citons

les potentiels de Lennard-Jones, de la forme :

H 1 2 ^ 6

V(r) = e [(£) - 2(£) ]

Cette expression jest justifiée dans le cas des gaz rares, où l'interaction de

Van der Waals est le terme essentiel de la partie attractive. Son emploi pour

les métaux à couche non saturée relève par contre ds l'empirisme. Nous le

mentionnons néanmoins, car il a été utilisé pour les simulations de coeur des

dislocations i <1120> et i <TÎ23> dans les métaux H.C. (Bacon et Martin, 1981;

Minonishi et al., 1981).

La popularité de ces potentiels empiriques est due aux difficultés

d'employer en simulation les pseudopotentiels, dont les oscillations sont à

longue portée. Evitant le délicat problême du rayon de coupure du potentiel,

Blandin, Friedel et Saada (1966) ont regroupé les interactions atomiques sous

forme d'interaction de plans. Ceci permet de faire des sommes exactes de ces

interactions dans le cas des fautes non relaxées obtenues par cisaillement

(faute 17, 2V, 3V dans la structure H . C ) . De même Suzuki (1967) et Rabier (1971)

ont utilisé des interactions de rangées pour étudier le coeur des dislocations

dans les structures C.F.C. et C.C..

Cependant, pour permettre une relaxation atome par atome dans les

trois directions, on ne peut pas utiliser ces regroupements d'interactions,

qui nécessitent une périodicité suivant une ou deux directions.

Nous avons adopté dans les calculs qui suivent lajiëthode de sommation

des énergies d'interaction entre atomes individuels. Les résultats obtenus

dépendent fortement du rayon de coupure du potentiel. Celui-ci a été pris égal

à 3,5a, mais nous avons vérifié en étudiant la variation des énergies de faute

en fonction de ce rayon de coupure que les valeurs des énergies calculées ne

diffèrent au plus que de 30 % par rapport aux valeurs asymptotiques prévues pour

r c infini (annexe III).

Les pseudopotfntiels utilisés dans cette étude sont présentés en

annexe III, ainsi que les potentiels de Lennard-Jones (Bacon et Martin, 1981)

repris dans ce travail.

-47-

I V . 2 - FAUTE BA5ALE

Nous avons u t i l i sé la méthode des "surfaces-y", présentée par Vitek

(1968) dans les métaux C.F.C. et C.C.. Celle-ci consiste à calculer toutes les

fautes d'empilement intrinsèques sur le plan considéré.

Le plan est déf ini par deux vecteurs a\ et a 2 - La faute est obtenue

en coupant le cr istal suivant ce plan, et en déplaçant la partie supérieure

par rapport â la partie inférieure d'un vecteur :

f" = x a, t y a . 0 < x < l 0 < y < l

Le vecteur ? parcourt donc l'ensemble de la section basale de la cel lule de

Wigner Seitz (Fig. IV.1). Dans ce calcul nous autorisons une relaxation

perpendiculaire au plan de faute, de manière r igide : i l s 'agi t d'une relaxation

plan sur plan, et non atome par atome.

L'énergie de faute :

Y = E - E ' o

où E est l'énergie du c r is ta l avec défaut et E l 'énergie du cr is ta l pa r fa i t ,

est calculée pour des (x,y) variant entre 0 et 1. En portant la valeur de

l 'énergie de faute Y(XJV) en fonction de x et y , on obtient une surface appelée

"surface-y".

Nous avons u t i l i sé les pseudopotentiels présentés dans l'annexe I I I ,

qui sont respectivement adaptés â Be (Duesbery et Taylor, 1979), Mg (Dagens,

Rasolt et Taylor, 1975), Zn et Cd (Animalu et Heine, 1965), ainsi que les

potentiels de Lennard-Oones, LJ5 et LJ6, employés par Bacon et Martin (1981).

La figure IV.2 montre les surfaces-y obtenues pour Mg (a), et

avec le potentiel LJ6 (b) .

La forme de la surface-y évolue peu, selon le potentiel u t i l i sé : on

observe toujours un minimum bien marqué pour la faute de Shock!ey (faute

intrinsèque 27 d'après la notation de Frank et Nicholas, 1953). L'al lure de cette

surface est semblable à cel le trouvée par Vitek (1968, 1975) pour les plans (111)

des métaux C.F.C. Cette simi l i tude est due â la structure compacte identique

de ces deux plans et peut être prévue par un simple modèle de sphères dures.

-48 -

Figure IV.1 : Sect ion du plan basal parcourue

par le vecteur de fau te .

ï ^ t i i s a i

!«-3nElB]

Figure V I .2 : Surfaces-y basales re laxées.

(a) Mo

(b) LJ6

rii/a'l

•A'* ^* ms.

1 *

~j\)H/ '

•-*r H ï^gr"

-49-

Les différences d'amplitudecentre-notre carte, obtenue avec le

potentiel L.06, et celle de Bacon et Liang (1980) viennent de la possibi l i té dans

notre calcul d'une relaxation perpendiculaire au plan de faute, alors que Bacon

et Liang montrent une carte non relaxée.

Comme un modèle de sphères dures permet de le prévoir, la relaxation

n'est f o r te , que lorsque l 'énergie de faute est élevée. La faute 2V, par contre,

est toujours obtenue avec une relaxation nulle. Rappelons que les relaxations

entraînent une variation de volume, ce qui compromet la val id i té de

l 'évaluation de l'énergie de faute avec des pseudopotentiels, valable â

volume constant. Néanmoins, cette l imitat ion n ' interv ient que pour des fautes

à for te relaxation, et hautement énergétiques, donc sans grande s igni f icat ion

physique.

Les valeurs obtenues pour la faute 2? (Tableau VII) sont en bon

accord avec celles calculées par d'autres auteurs (Beissner, 1973; Devlin, 1974;

Simon, 1979, Cousins, 1980; Bacon et Liang, 1980). Les valeurs plus élevées

obtenues par Blandin et a l . (1966) sont principalement dues à l'emploi d'une

charge ionique égale â la valence, alors que les autres calculs u t i l i sent des

pseudopotentiels plus raff inés (Friedel, 1983).

2

TABLEAU VII : Valeur en erg/cm des fautes basales ( F . B . ) , des fautes

prismatiques (F .P . ) e t du rapport R = (C_, x F.B.) /CC, 4 x F.P.)

dans les métaux "normaux" e t avec les p o t e n t i e l s LJ5 e t LJ6.

Be Mg Zn Cd LJ5 LJB

F.B. 390 30 35 15

F.P. 620 125 210 150

HMb/F.B. 100 195 350 445 125 435

CE6«b/F.P. SB 45 65 B5 50 50

R .S .25 .25 .2 .4 . 1

-50-

IV.3 - FAUTE PRISMATIQUE

Les surfaces y sont obtenues par la même méthode, et avec les mêmes

potentiels, le vecteur de faute parcourant cette fois-ci la section prismatique

de la cellule de Wigner-Seitz (Fig. IV.3).

Les empilements des plans prismatiques {1010} étant de la forme

ABCDABCD... (Fig. IV.4), il y a deux plans de coupure non équivalents :

- entre A et B (ou entre C et D), la distance interplanaire est ai/376;

- entre B et C (ou entre D et A), la distance interplanaire est a/373.

Comme un modèle de sphères dures le laisse prévoir, les énergies de faute, dans

le premier cas, sont beaucoup plus importantes, de même que les relaxations

perpendiculaires au plan de faute.

La figure IV.5 montre les surfaces-y obtenues :

a) avec le potentiel LJ5, le plan de coupure étant entre A et B;

b) avec le même potentiel, le plan de coupure étant entre B et C.

Les résultats suivants sont relatifs à des plans de coupure se situant

entre B et C.

La forme des surfaces-y varie très peu avec le potentiel utilisé

(Fig. IV.6 à comparer â la figure IV.5b). Ces surfaces présentent une grande

analogie avec la surface y des plans (112) des métaux cubiques centrés (Vitek,

1968; Beauchamp, 1978), qui ont une maille rectangulaire comparable. On n'observe

cependant pas d'asymétrie suivant le signe du déplacement dans la direction

<1120>, analogue â celle obtenue dans les plans (112) suivant la direction <llï>

(Vitek, 1968; Basinski et al., 1970). Beauchamp et Grilhé (1977) ont montré,

sur ce point, que cette asymétrie ne peut pas apparaître lorsqu'on utilise des

potentiels de paires, sans autoriser une relaxation perpendiculaire au plan de

faute. Ces auteurs en concluent qu'il est peu probable que cette asymétrie, due

uniquement à la relaxation perpendiculaire, soit reliée à l'asymétrie classique :

sens du maclage - sens opposé au maclage.

Le point remarquable des surfaces-y sur le plan prismatique est

l'absence de minimum, caractéristique d'une faute stable, telle que celle obtenue

sur le plan basai.

-51-

Figure IV.3 : Section du plan prismatique, parcourue par le vecteur de faute.

) X-

caean o +

O A + B XC • D

-X à-

1^3C1120]

Figura IV.4 : Empilement des plans prismatiques ABCOABCD.

a<T

a » Q • o « a «"QCII91 Q

d • m » g n g w-o

+ (i K o « on p m i

à < a * g M o

M a w o y O y o

* * -o ? ?

1 1 1

o O o (1 o o

< ( ( o (1 o

( < < <> o o

c 1 d 0 A 8 CO A 3

O A X c • o

- I . .

-52-

Figure IV.5 : Surface-y prismatique relaxée.

a) Avec le potentiel LJ5 faute entre A et B.

b) Avec le potentiel LJ5 faute entre 3 et C.

Figure IV.6 : Surface-y prismatique relaxée avec le potentiel LJ6 faute entre B et C.

-53-

Les relaxations perpendiculaires au plan de faute sont très

importantes (quelques dixièmes de distance interatomique) pour les fautes à

énergie élevée. De plus, les valeurs obtenues dans ce cas sont fortement

entachées d' incertitude par la var iat ion de volume induite par la relaxation.

Le deuxième point important est le suivant : lorsque le plan de

coupure est entre B et C, les fautes de vecteurs^- <I120>, colinëairesà la

direct ion compacte <112D>, sont de basse énergie, et ne nécessitent qu'une

fa ib le relaxation (quelques centièmes de distance interatomique, voir tableau VI I I ,

Ceci inc i te â introduire la notion de dissociation généralisée dans le plan

prismatique, notion originalement présentée par Peierls (1940) et reprise par

Fontaine (1968) dans les solides ioniques, puis par Vitek (1969) dans les

métaux C.C..

TABLEAU VII I : Valeur des relaxations pour les fautes prismatiques.

^_^ Vecteur de ^"""-^faute

Potent i e l^^*-~»^^ 0,1b 0,2b 0,3b 0,4b 0,5b

3e 0,00b 0,01b 0,04b 0,06b 0,03b

Mg 0,01b 0,04b 0,08b 0,09b 0,11b

LJ5 0,01b 0,04b 0,07b ., 0,09b 0,10b

LJ6 0,02b 0,05b 0,07b 0,09b 0,10b

Le vecteur de Burgers È = i < m o > se dissocie en une distr ibut ion continue

de vecteurs de Burgers XD" avec 0 < x < 1 , de densité. e(x) te l le que :

/ e ( x ) (xb) dx = b

L'étalement de cette d ist r ibut ion dépend étroitement de la d is t r ibut ion

des énergies de faute : y (xb). Pour caractériser ce l l e - c i , nous adopterons,

comme énergie de la "faute prismatique", la valeur à mi-hauteur :

-54-

| [ Y (0,2 b) + Y (0,3 b)]

Remarquons que cette énergie est très proche de cel le, issue du modèle

de Régnier : y (0,33 b) .

Nous portons, dans le tableau IX, la valeur I mi-hauteur définie

ci-dessus, et les valeurs des modèles de Régnier et de Tyson (voir 1.2.3). Ces

deux modèles conduisent â des énergies comparables, et à une même absence de

s tab i l i t é de la faute !

TABLEAU IX : Valeur des énergies de faute prismatique.

^*~"--^^ Faute

Potentiel"^— Mi-hauteur Modèle de Régnier Modèle de .yson

Be (erg/cm") 620 905 900

2 Mg (erg/cm ) 125 165 160

LJ5 (E /a 2) 0

0,34 1,10 1,10

Uô (e /a2) 0

0,32 1,05 1 ' T

Toutes ces valeurs sont obtenues lorsque le plan de coupure est entre

B et C. Dans le tableau X, nous mentionnons les valeurs des énergies et des

relaxations calculées avec le potentiel LJ5, lorsque la coupure se situe entre

A et B, et entre B et C. Les énergies et les relaxations sont environ deux

fo is plus fortes dans le premier cas; pour cette raison, nous ne l'avons pus

envisagé dans les calculs f a i t s avec les autres potentiels.

-55 -

TABLEAU X : Energie de faute et valeur des relaxations, pour la faute

prismatique avec le potentiel LJ5 : a) cisaillement entre A et B

b) cisaillement entre B et C.

A : B B : C

Energie (E /a ) 0

1,93 0,54

Relaxation pour

t = 0,2b 0,10b 0,C4b

Relaxation pour

? = 0,3b 0,15b o,:?b

I V . 4 - COMPARAISON DE LA FAUTE BA5ALE ET DE LA FAUTE PRISMATIQUE

Nous reportons dans le tableau VII, p. 49, les valeurs des énergies

de faute basale, prismatique et les quantités sans dimension : —, où u est

le module de cisaillement dans le plan considéré et dans la direction du

vecteur de Burgers.

y = C-. pour la faute basai

y = C 6 6 pour la faute prismatique

Nous donnons enfin la valeur du rapport R = rbasal °66 "^prismatique 44

Le facteur d'anisotropic A = C 4 4 / C g 6 étant proche de 1, sauf pour Zn et Cd

(Tableau III), la correction du rapport des énergies de faute par ce facteur

n'est pas essentielle, et ne modifie pas la conclusion suivante :

Dans tous les métaux divalents, l'énergie de faute basale est

largement inférieure à l'énergie de la faute prismatique (i.e. R < 1).

-56-

La distance d'équilibre d entre deux dislocations partielles de

vecteurs de Burgers b, et b~, séparées par un ruban de faute d'énergie y,

est donnée en élasticité par :

i i a " 2 il y -K

où u est le module élastique approprié et K = 1 ou 1-v suivant le caractère vis

ou coin de la dislocation.

Nous portons dans le tableau XI la "largeur" d'une dislocation vis dans

le plan de base et dans le plan prismatique, en adoptant dans ce dernier cas :

b. = o"/4 et b- = 3b/4, valeurs qui reflètent la valeur à mi-hauteur de la

surface-r dans le plan prismatique.

TABLEAU XI : "Largeur" d'une dislocation vis dans le plan de base et dans le

plan prismatique.

^^""--^Plan de dissociation

Pote nt i el'~*"~~-»^.

Largeur dans le plan de base

Largeur dans le plan prismatique

Be 3,5b 1,50b

Mg 6,9b 1,45b

Zn 12,3b 2,65b

Cd 15,7b 2,65b

LJ5 4,4b 1,50b

LJ5 17,5b l,5Cb

Ce calcul, certes très schématique, montre bien que dans tous les

métaux divalents, les dislocations vis de vecteur de Burgers •? <I120> sont

dissociées ou largement étalées sur le plan basai. Ceci est en excellent accord

avec le glissement basai primaire observé dans tous ces métaux.

-57-

Avant d'analyser dans le paragraphe suivant les résultats obtenus

par Bacon et Martin (1981) dans leur étude du coeur des dislocations vis et

coin i <1120>, mentionnons ceci : leur simulation a été effectuée avec un

potentiel empirique d' interaction de paires.Ce potentiel de Lennard-Jones,

nommé LJ5 ou LJ6 suivant le rayon de coupure, conduit respectivement aux rapports

p - Faute basaie 66 . ^ R " Faute prismatique" 7 ^ s u i v a n t s

R = 0,4 pour LJ5

R = 0,1 pour LJ6 (Tableau VII)

Ces rapports sont très voisins de ceux obtenus avec les pseudopotentiels

pour les métaux divalents (Tableau V I I ) . I ls doivent raisonnablement conduire à

un glissement basai fac i le .

L 'object i f de Bacon et Martin, qui é ta i t de comprendre, à l 'aide d'une

description atomique, l 'appari t ion du glissement prismatique comme glissement

primaire, ne pouvait donc être a t te in t avec ce type de potent ie l .

Nous concluerons ce paragraphe sur la remarque suivante : i l semble

peu probable, que Ton puisse obtenir une faute prismatique d'énergie inférieure

à la faute basale, avec un potentiel d'interaction de paires sans dépendance

angulaire. La faute basale ne présente en effet aucune distorsion au niveau

des premiers voisins et respecte la compacité du réseau. Ceci n'est pas le

cas de la faute prismatique.

I l est donc raisonnable de penser qu'un modèle énergétique non

anisotrope conduira à un rapport R inférieur à 1, et donc à un glissement basai

fac i le .

IV.5 - SIMULATION DU COEUR DES DISLOCATIONS -j <1120>

Nous reportons i c i les résultats essentiels obtenus par Basinski

et a l . (1970) et par Bacon et Martin (1981). Ces deux études ont été faites avec

des potent i i ls d' interaction de paire :

- Basinski et a l . ont employé un pseudopotentiel adapté au sodium;

- Bacon et Martin ont u t i l i s é les potentiels de Lennard-Oones déjà

mentionnés ci-dessus.

Dans les deux cas, la structure hexagonale est stable vis-à-vis d'un

champ de déplacement inf ini tésimal arb i t ra i re . Cependant, le pseudopotentiel

concernant le sodium confère une énergie plus basse â la structure C.C. qu'à

-58-

la structure H.C., elle-même plus stable que la structure C.F.C., l 'énergie de

faute basale étant d'environ 3,5 erg/cm. La transformation H.C. •+ C.C. ne se

produisant pas spontanément durant la simulation, les auteurs admettent que ce

potentiel représente de manière satisfaisante un c r i s ta l de sodium hexagonal

stable.

Les figures 1.9 et IV.7 montrent les; structures de coeur obtenues par

Bacon et Martin, et par Basinski et a l . , pour les dislocations vis i <1120>.

Dans les deux cas, la dislocation vis parfai te initialement introduite

se dissocie:spontanément en deux dislocations de Shoçkley dans le plan de base.

La largeur-de dissociation est^én général plus-peti te que celle prédite par

l ' é l a s t i c i t é . Ceci est a t t r ibué, soi t à l'élargissement des part iel les (Bacon

et Mart in), soi t â la réduction des forces entre ce l l es -c i , due à leur fa ib le

séparation (Basinski e t a l . ) . Ces deux arguments ne sont pas incompatibles,

comme l 'on t montré Cockayne et Vitek (1974).

Dans les deux cas, la structure de coeur obtenue est proche de cel le

trouvée dans les métaux C.F.C., et montre que seul le glissement basai peut

être le glissement primaire. Le glissement prismatique ne peut apparaître que

par constrict ion des part ie l les et déviation.

Les simulations sous contrainte ne font que confirmer ces résultats :

Dans l'étude de Basinski e t a l . (1971), où une contrainte de cisaillement est

appliquée dans le plan de base, le mouvement de la dislocation vis est confiné

dans le plan de glissement (0001).

-4 La contrainte de Peierls est très fa ib le , environ 4.10 C»., et 25 fois

plus pet i te que celle obtenue dans la structure C.C. avec le même potent ie l .

Dans l'étude de Bacon et Martin (1981), où des contraintes de

cisaillement ont été appliquées tant dans le plan de base que dans le plan

prismatique, le rapport des contraintes crit iques projetées varie dans le même

sens que celui des énergies de faute (Tableau X I I ) .

-59-

TABLEAU XII : Rapport des contraintes crit iques projetées sur le plan de base

o B , et sur le plan prismatique o p , et rapport R obtenu avec

les potentiels LJ5 et LJ6.

LJ5 LJ6

° B / a P 0,28 0,17

C t c x FB r, . 6°

44 0,40 0,10

Compte-tenu de ces travaux, nous n'avons pas jugé u t i le de fa i re des

simulations de coeur avec les pseudopotentiels adaptés aux métaux divalents et

u t i l i sés dans le calcul des énergies de faute des paragraphes IV.2 et IV.3.

Nous pensons que ces simulations conduisent très probablement à des

coeurs étendus dans le plan de base, avec une dissociation plus ou moins grande

en deux part iel les de Shockley (Tableau XI). Le comportement prévisible de

tous ces métaux est donc un glissement basai primaire, avec possibi l i té de

déviation dans le plan prismatique.

L'étalement métastable dans le plan prismatique peut donner l ieu â

un glissement secondaire dans ce plan, avec un mécanisme de blocage thermiguement

activé des dislocations vis dans le plan de base (thèse de Régnier (1969) sur

le béryl l ium).

On remarque que, parmi tous les métaux divalents, le béryllium possède

1 e ™Wort R • Faute E r o t i q u e * W C 4 4 l e P l u s P r o c h e d e l- C e d e v r a i t ê t r e

ce lu i , où le phénomène de déviation est le plus aisé. L'étude expérimentale

du glissement prismatique dans les métaux divalents n'est cependant pas assez

développée pour confirmer ce point.

La simulation de Bacon et Martin (1981) montre que les contraintes c r i

tiques projetées (C.C.P.) dans le plan de base sont très proches pour les

dislocations vis et coin :

C.C.P. vis , , CTCTFT coin "

-60-

Dans tous ces métaux, la force de Peierls est probablement assez

fa ib le (Basinski et a l . , 1971), et ne peut être invoquée comme mëcanisra

contrôlant la déformation à basse température.

Tetelman (1962) a proposé pour celui-c i un piëgeage mutuel de

dislocations de signe opposé glissant sur des plans (0001) voisins. Ce

mécanisme a été observé in s i t u dans le béryllium (Antolin et a l . , 1965), et

également dans le magnésium (Hirsch et Lal ly , 1965).

Après avoir conclu à un comportement assez voisin de tous les métaux

H.C. divalents, i .e . glissement basai faci le dû à une dissociation ou à un

étalement planaire sur le plan de base, nous allons étudier les métaux H.C. de

t rans i t ion qui possèdent des propriétés tout à f a i t différentes.

Figure IV.7 : S t ruc tu re ds coeur de la d i s l o c a t i o n v i s — <1123> obtenus par

Basinski e t a l . (1970).

> > t 1 1 1 1

• • > I 1 I 1 1 i I

• • • • l i a . . .

' i i i I L . . . - > * I 1 i x. i i . ,

• i i i i i PQOll

I 1 t 1 »

1 1 I 1 I I

•tiiooi

i I i t

Le champ des déplacements additionnels, dus à la relaxation s i parallèles au

vecteur ds Burgers — <1120>, est symbolisé par les trai~o verticaux, l-.c

déplacements sont multipliés par 5 et représentés suivant [0001].

-61-

C H A P I T R E V

CALCULS DES ÉNERGIES DE FAUTE

DANS LES MÉTAUX DE TRANSITION

V . l - RAPPELS THEORIQUES

l / . I . I - GENERALITES

Dans les métaux de t rans i t ion , i l a été montré que les électrons d

ont une influence prédominante sur les propriétés de cohésion (Friedel, 1969).

Ces électrons, plus localisés autour de leur ion d'origine que les

électrons s, sont bien décrits par le modèle des l iaisons fortes.

Deux méthodes (méthode des moments : Cyrot-Lackmann, 1968 et

méthode de recursion : Haydock, Heine et Kelly, 1972) permettent de

reconstruire la densité d'états électroniques de la bande d, en se plaçant

dans l'espace direct et sans hypothèse de pér iodic i té.

Ceci a été u t i l i sé pour calculer l 'énergie de défaut sans variat ion

de distance interatomique, t e l l e l'énergie des fautes d'empilement dans les struc

tures compactes (Ducastelle et Cyrot-Lackmann, 1971; Papon et a l . , 1979a). La mé

thode des moments a également été employée pour les énergies de macle et de faute

d'empilement dans les métaux de transit ion C.C. (Papon et a l . , 1979b).

Dans ce cas, les variations des distances interatomiques entraînent

des variations mal connues des paramètres de calcul .

Toutefois des études, où la densité d'état est décrite par une

d is t r ibut ion gaussienne ajustée sur les deux premiers moments, ont été fai tes

dans le cas des constantes élastiques (Ducastelle, 1970), des spectres de phonons

(Lagersie et Allan, 1977), des dislocations vis dans les métaux C.C. (Sato et

Masuda, 1981) et des relaxations de surface (Allan et Lannoo, 1976, Desjonquères,

1979, Gupta, 1981).

- 6 2 -

Tous ces cas nécess i ten t aussi des v a r i a t i o n s des paramètres de

ca l cu l en fonc t ion des v a r i a t i o n s de d is tance, a i n s i qu'une répuls ion i o n - i o n

nécessaire à l ' é q u i l i b r e . Les r é r . - l t a t s s a t i s f a i s a n t s obtenus dans toutes ces

études j u s t i f i e n t a p o s t e r i o r i l ' emplo i des so lu t i ons empiriques adoptées

pour l e po ten t i e l r é p u l s i f e t l es l o i s de v a r i a t i o n des paramètres.

Nous nous proposons, après l e rappel d'une décomposition de l ' é n e r g i e

de cohésion due à Fr iedel (1969) e t Ge la t t e t a l . (1977) , de décr i re les

hypothèses du modèle de l i a i s o n s fo r tes e t l a méthode de recursion u t i l i s é e pour

r e c o n s t r u i r e les densi tés d ' é t a t l oca les . Nous terminerons ces rappels

théor iques par une analyse des paramètres employés dans ce modèle.

V.1.Z - ?EC0MPOSITIONJ}E_L^ENERGIE PE COHESION

Nous reprenons l a décomposition de l ' é n e r g i e de cohésion, E c , suggérée

par F r iede l (1969) e t e x p l i c i t é e par Gelat t e t a l . (1977) (F ig . V.1) :

E c = E prep + E r e n + £ sp + £ d + £ sd

E p es t l ' éne rg ie de "p répa ra t i on " requise pour passer de l ' é t a t de l 'atome

i s o l é d S à l ' é t a t , généralement admis, de l 'a tome dans l e métal d n + 1 S 1 (Snow

e t Waber, 1969). E r e n t r a d u i t l e changement des pos i t i ons des bandes d e t de

conduct ion sp dans l e modèle de l 'atome renormal isë (Hodges, Watson et

Ehrenre ich , 1972). Ces deux termes sont r é p u l s i f s .

Figure V . I : Décomposition de l ' énerg ie de cohésion dss métaux de r r s p s i t i o n

des deux premières sér ies (Ge l3 t t e t a l . , 1977).

-0 6

-O 7

-0 8

-0 9

V Çr V r C e Ç = l' \e Vo Te p u a» P, aq

û K , p c l L R w o r m a , , l o T U , o n

U „ JT d Band Q s-dHyhfid-

-onduction' •Cotcmated Bond (•Expérimental

-o i

•0 2

0 3

- 0 4

0 5

- 0 6

•or

-63-

E s p , E et Es sont les energies de bandes sp, d et d'hybridation

entre ces bandes. A l ' équ i l i b re , ces termes sont a t t r a c t i f s .

Nous allons analyser l'importance de ces termes et leur expression

analytique dans le cas de l 'énergie d'un défaut (faute d'empilement ou dislocation)

a) Termes at t ract i fs

Le terme de bande d , qui est responsable d'un grand nombre de

propriétés le long d'une série de transit ion (énergie de cohésion, modules

élastiques), s 'écr i t sur un s i te i :

£à. = / F E n i (E) dE

où Ep est le niveau de Fermi, et n.(E) la densité d'états électroniques locale

(D.E.L.) sur le s i te i .

Ceci est obtenu pour une origine des énergies prise au niveau de l'atome iso lé .

La densité électronique locale est reconstruite à par t i r du modèle de l iaisons

fortes et de la méthode de recursion, rappelés en V.1.3 et V.1.4.

Ce formalisme, qui n 'u t i l i se pas le théorème de Bloch, permet de

reconstruire la D.E.L. sur un s i te i , qui peut en par t icu l ier être dans un

environnement c r i s t a l l i n non parfa i t (dislocation, faute d'empilement, sur face. . ) .

Allan (1970) et Desjonquères (1976) ont montré que, même dans le cas des surfaces

où i l y a des liaisons coupées, le transfert de charge entre atomes est très

fa ib le dans les métaux de t ransi t ion (inférieur à 10" électron). Nous

supposerons ainsi que le t ransfer t est nul dans le cas des fautes d'empilement.

La contribution AE- sera traitée de manière non auto-cohérente :

AE? = / f (E - E f ) ôn^E) dE

avec 614(E) = n^E) - n y(E)

n.j(E) : D.E.L. sur un site i près du défaut

n (E) : D.E.L. sur un site du cristal parfait

Cette approximation a déjà été utilisée par Papon (1979). Sato et Masuda (1981)

ont vérifié sa validité pour les dislocation vis dans les métaux de transition

cubiques centrés.

Si E SP a une valeur négative à l'équilibre, la variation de ce terme

suit une loi répulsive (Gelatt et al., 1977; Papon, 1979) et sera assimilée à

celle des termes répulsifs.

-64-

La contribution de E i u a été t ra i tée par Cyrot-Lackmann et a l . (1970).

Le calcul est cependant extrêmement laborieux lorsqu'on s'intéresse à des

moments élevés (d'ordre supérieur ou égal à 4) de la densité d'états. Nous

négligerons ce terme, nous appuyant sur le f a i t que Papon (1979) a obtenu des

changements négligeables dans les énergies de faute des métaux de transi t ion C.C

en le prenant en compte, de manière certes très schématique.

b) Ternes répulsifs

E p r e p sera supposé invariant, lors de la création d'un défaut.

Les variations de E r e et E s p suivant la distance interatomique sont

rapides. Nous adopterons le terme empirique proposé par Ducastelle (1970), qui

a regroupé ces termes dans une interaction de paires .E?, de type Born-Mayer :

Ej = I A exp (- p R-â)

ft et p sont des paramètres à ajuster sur des valeurs expérimentales (voir

annexe IV). Ducastelle (1970) a montré la courte portée de cette interact ion;

nous prendrons le même rayon de coupure que celui concernant les intégrales

de recouvrement issues du modèle de liaisons fortes (voir ci-dessous).

V. 1.3 - M0PELE_PE_aAIS0NS_F0RTES

Le modèle énergétique u t i l i sé pour reconstruire la densité d'états

locale est le modèle classique de liaisons for tes.

On part de Vhamiltonien à un électron :

H = T + Z V, j J

où T est le terme d'énergie cinétique, et V. le potentiel centré sur l'atome j .

En se plaçant dans la base des orbitales atomiques |jX>, avec j :

indice de si te et X : indice de dégénérescence de la bande d (1 $ A < 5),

l'approximation des l iaisons fortes consiste â l im i te r le nombre d'intégrales

intervenant dans le calcul des valeurs propres :

a) les orbitales atomiques sont supposées former une base orthonormée

complète :

<iA|jp> = 6. . 6.

-65-

b) On ne ret ient que les intégrales de saut B?j" à deux centres proches

voisins i et j

BÎJ = 

On étudiera, dans le calcul des énergies de faute, l ' inf luence du "rayon de

coupure" de ces intégrales, qui sera pris successivement après les premiers

voisins, les seconds voisins e t même les troisièmes voisins.

c) On f a i t l'hypothèse généralement admise que les intégrales de dérive :

sont so i t négligeables, so i t invariantes sur le défaut.

Les seules variables intervenant dans ce modèle de l iaisons fortes sont

donc les intégrales de saut B } J . Ce sont des matrices (5x5). Slater et Koster(1954) AU

ont montré qu'elles pouvaient s'exprimer, pour une distance donnée, en fonction :

- de t ro is paramètres dda0,ddirQ,ddô collectivement nommés ddgQ

- des cosinus directeurs de la direction (ÏÏ7 - TU).

D'autre part, leur variation suivant la distance interatomique sera prise en

compte par une lo i adoptée par de nombreux auteurs :

ddS = ddeQ exp [-q (R - RQ)]

où R est la distance entre premiers voisins.

Ducastelle (1970) a montré que qR est compris dans l ' i n te rva l le : 3 ^ qR ^ 5,

les intégrales décroissant plus rapidement pour les métaux de f i n de série

(Ni , Pd, Pt) .

Le paramètre q est ajusté sur des valeurs expérimentales (annexe IV).

Faisons i c i la remarque suivante : La l o i de variation est déterminée

à l ' équ i l i b re , pour des distances proches de R . I l est donc délicat de

l 'extrapoler pour des variations de distance importantes, et en part icul ier

pour déduire les intégrales de saut entre seconds voisins à part i r de celles

entre premiers voisins.

Faute de connaissance plus précise, c'est pourtant ce que nous ferons,

en étant conscientsque les résultats obtenus ne peuvent être que semi-quantitatifs.

-66-

Nous nous attacherons donc plus aux tendances issues du modèle, qu'aux

valeurs numériques obtenues.

V.1.4 - METHODEÇEREÇURSIONUTILISEEPOURR^

LOCALE, n^(E)

La densité d'états locale est donnée par :

ME) = -ilimIm U G 5 5 (E + ie))

Oû G(ç) = -~n est la résolvante du système, d'éléments de matrice ç-n G^j(ç) = <ix|G(ç)| ju>. G(ç) est développé en fraction continue sous la forme

GK) =

«-•.-*»;

î - a - b ,

l-K~*

«-»..

La méthode de recursion (Haydock et a l . , 1972 ; Haydock, 1980) consiste à

construire à part i r de la base des orbitales atomiques une nouvelle base

orthogonale qui tr idiagonalise 1'hamiltonien.

Dans cette nouvelle base, H a la forme suivante :

a, b, o - - -

*», S , b a ° O ° b , a 3 b 3 ° V

x N. \ \ S

' O N ' N b\<> | W

S \ N n - 1 \

o b. ,a„ b N I V n ' I

I

-67-

Les (a , bj") sont alors les coefficients du développement de G(ç) en fract ion

continue. 2

Les coefficients (a , b~) tendent rapidement, pour une bande continue,

vers des valeurs asymptotiques uniques, reliées au mil ieu et à la largeur de

la bande d :

a » " (£sup + E i n f > ' Z

b - " <EsuP " E i n f ) 2 / 1 6

où E. . et E sont les extrémités inférieures et supérieures de la bande d.

Ceci permet de terminer la f ract ion continue de la manière usuelle suivante :

n °° pour n > n„

bd = b' ° n »

Notons que cette méthode est équivalente à celle des moments (voir annexe V).

La connaissance de n couples de coefficients exacts revient à celle des

(2n + 1) premiers moments de la densité d'états.

V.7.5 - PARAMETRES_ÇU CALCUL

Pour évaluer les tendances le long d'une série de t ransi t ion, nous

avons adopté des valeurs canoniques pour les paramètres ddB (Ducastelle, 1972;

Turchi, Trêglia et Ducastelle, 1983) :

dda(RQ) = - 2

ddir(R0) = 1

dd«(R0) = 0

Pour un élément par t icu l ier , l ' un i té d'énergie est choisie pour reproduire la

largeur rée l le , W, de la bande d à par t i r de la relat ion :

relat ion établie de manière exacte par Desjonquëres (1976) dans les métaux C.F.C,

en prenant des intégrales de dérive nul le. L'emploi de cetta relation pour les

métaux H.C. ne constitue certainement pas une approximation sévère (Pet t i for , 1969;

Papon, 1979).

-68-

Ces valeurs canoniques permettent de suivre, pour un défaut, la

variat ion du terme de bande d tout au long d'une série de t ransi t ion, en faisant

varier continuement le nombre d'électrons d de 0 à 10.

Les paramètres employés dans cette étude seront donc les suivants :

a) Cas d'un défaut n'induisant pas de variation de distance parmi les

proches voisins (ex.: faute basale) :

x Pour un corps part icul ier :

- le nombre d'électrons d

- la largeur de bande de l'élément considéré

x D'une manière générale :

- les valeurs canoniques ddg, dont les petites variations n' inf luent que

très peu sur les différences d'énergie d (Papon, 1970)

- le "rayon de coupure" des intégrales de recouvrement, et lorsqu ' i l est

pris au delà des premiers voisins, le paramètre de décroissance, q, de ces

intégrales.

b) Cas d'un défaut induisant une variation Je distance parmi les proches

voisins :

- les mêmes que ci-dessus, auxquels i l envient de rajouter les paramètres

A et p du terme répulsi f . L'obtention des pa amètres (A, p, q) est t ra i tée dans

l'annexe IV.

V . 2 - CALCUL DE L'ENERGIE DE FAUTE BA5ALE

La faute 2V, que nous allonsé .udier, ne modifie pas la compacité

du réseau. Les distances entre premier? et deuxièmes voisins ne sont pas

modifiées si on admet que la relaxation est nulle pour cette faute (cf.

Chapitre précédent). Ceci a deux conséquences importantes, lorsqu'on l imi te

la portée des intégrales de saut aux premiers ou aux seconds voisins :

a) L'énergie de faute n'est due qu'à la variat ion du terme de bande d,

si on adopte le même rayon de coupure pour le terme répulsi f et pour les

intégrales de saut. L'énergie de faute, r, s 'écr i t dans ce cas :

S étant la surface de la mail le élémentaire du plan basai (S = a *T/2), et N

le nombre de plans, où la densité électronique locale est affectée par le défaut.

-69-

b) Il n'y a pas de variation des paramètres ddg due au défaut.

Néanmoins, lorsqu'on considère une portée de ces intégrales au delà des premiers

voisins, il faut fixer une valeur du paramètre de décroissance, q, de ces

intégrales suivant la distance.

Nous avons adopté les deux Valeurs suivantes :

qR o = 2,9 et qR Q = 4

La première valeur est représentative de la moyenne obtenue sur tous les métaux

étudiés (voir annexe IV). La seconde a été ut i l i sée pour étudier l ' inf luence

d'une décroissance plus rapide des intégrales de t ransfer t .

Ces deux conséquences montrent que les seules modifications dues à

la faute sont d'ordre configurationnel, et ne sont décelables que grâce à

1 'anisotropic des intégrales de saut. I l est donc essentiel de faire un calcul

en bande d réel le, i .ê . dégénérée.

1/.2.I - RESULTATS_AMrERIEyRS

Les résultats antérieurs (Papon, 1979) ont montré que l'énergie de

faute 2V est fortement corrëlée â la différence d'énergie entre les phases

hexagonale compacte et cubique â faces centrées. Nous allons analyser les

résultats re la t i fs à cette grandeur, qui détermine le domaine de s tab i l i t é des

deux phases.

Nous reportons f-^ure V.Z les résultats de Ducastelle et Cyrot-Lackmann

(1971) obtenus avec quatre moments de la densité d'étatsexacts (équivalent â

deux couples de coefficients issus de la recursion), ainsi que ceux de

Desjonquères, publiés par Papon (1979), issus d'un calcul avec 20 moments

exacts (équivalent à 10 couples de coeff icients). Dans les deux cas, seul es les

intégrales de saut entre premiers voisins ont été retenues.

Pett i for (1977) a obtenu des résultats assez semblables à ceux de

Desjonquères, en t ra i tant la bande sp en électrons presque l ib res , et la bande d

en l iaisons fortes. La courbe de la différence d'énergie r entre les phases

C.F.C. et H.C. est tracée f igure V.3 pour deux valeurs du paramètre d'hybridation

B des bandes sp et d.

a) B = 1 correspond à une bande d étroi te avec des intégrales de saut

semblables à celles ut i l isées dans le calcul de Desjonquères (portée réduite

aux premiers voisins), et une hybridation relativement for te .

-70-

r fMT'Ryd/at]

Stable f.cc.

Stable h.c.

Z 1°

Figure V.2 : Di f férences d 'énerg ies de l i a i son d en t re les phases C F . C . 37 H.C. ;

(a) en p o i n t i l l é s , les résu l t a t s de Ducaste l le e t Cyrot-LaCK.T.5nn

(1971) avec quat re moments, (b) en t r a i t p l e i n , ceux de Sesjonquèrss

(Papon, 1970) avec v ing t moments. Seules les in tégra les ca saut en-rrt

premiers v o i s i n s sont pr ises en compte.

[lO-'Ryd/at]

Stable l.c.c.

Stable h.c.

Figure V.3 : Différences d'énergies de liaison d entre les phases C.F.C. et H.C.

d'après Pettifor (1977) pour deux valeurs du paramètre B : (a) en

po i nt i11 es 0 = 1, (b) en tra i t plein B = 0,5.

-71-

b) 6 = 0,5 correspond à une bande d plus large, avec des intégrales de

saut à plus longue portée (jusqu'aux troisièmes voisins dans la structure C.F.C),

et une hybridation moins importante.

Ces résultats appellent les remarques suivantes :

a) Les différences entre les résultats de Ducastelle et Cyrot-Lackmann (1971)

et ceux de Desjonquères montrent qu ' i l est nécessaire de reconstruire la densité

d'état au delà de ses quatre permiers moments. Le problème de la convergence

en fonction du nombre de coefficients de recursion (ou du nombre de moments)

sera t ra i t é dans le paragraphe suivant.

b) Les courbes obtenues par Desjonquères et par Pet t i for dans le cas B = 1

(Fig. V.3a) sont très similaires. Une hybridation plus f a i b le , ainsi que des

intégrales de saut à plus longue portée (Fig. V.3b) ont les conséquences

suivantes :

x Le domaine de s tab i l i té de la phase hexagonale compacte est repoussé entre

Z = 0,5 et Z = 2,5 et s 'é larg i t entre 5,5 et 8.

x La s tab i l i t é relative de la phase H.C. augmente sensiblement dans ce dernier

domaine (5,5 < Z < 8).

x Les changements pour la partie de courbe délimitée par Z < 2 < 5 n'ont pas de

s igni f icat ion physique, puisque la structure cubique centrée est stable pour

ces remplissages.

Avec la même méthode que cel le ut i l isée par Desjonquères pour le

calcul de la différence d'énergie entre les phases H.C. et C.F.C, Papon (1979)

a calculé les énergies de faute d'empilement dans les plans compacts pour les

deux phases. Les résultats obtenus montrent que les valeurs des énergies de

faute varient très peu, lorsqu'on modifie les paramètres dda, ddir, dd<5 autour

de leurs valeurs canoniques dda = - 2, ddu = 1 , ddfi = 0.

Nous reportons figure V.4 la variation de l 'énergie de faute 2V,

obtenue par P,ipon (1979), en fonction du nombre d'électrons d, Z. Ce calcul a

été effectué avec des intégrales de saut limitées aux premiers voisins, et des

paramètres ut i l isés par . ; i fo r pour le cobalt :

dda/ddir = - 2,22

dd6/ddïï = - 0,12

Cette courbe montre que l'énergie de faute 27 est très fortement corrëlëe aux

différences d'énergie des phases hexagonale compacte et cubique à faces centrées.

-72-

Figure V.4 : Energie de la faute 2V dans la phase H.C. en fonction du nombre

d'électrons d (Papon, 1979).

r [lO _ 1Ryd/at]

12-

8

4.

0-

. 4 .

-8

0 5 ' " 10

I/.2.2 - RESULTATS

a) D i f fé renca d 'énergie en t re les phases H.C. e t C.F.C. e t énergie de le fa-jTe

2V

Nous nous sommes proposés de connaître l 'évolut ion de l'énergie de

la faute ZV, lorsque nous augmentons la portée des intégrales de saut. En

e f f e t , comme le montre la f igure V.3b obtenue par Pet t i fo r , une augmentation

du "rayon de coupure" de ces intégrales semble accroître l'énergie de faute

pour les remplissages compris entre 6 et 8 électrons.

Or la valeur obtenue par Papon pour Z = 7, remplissage du ruthénium,

devrait conduire â l 'observation de cette faute en microscopie électronique.

Le rapport ^«b/yon sera i t , d'après le calcul de Papon, d'environ 375; ceci

conduit à des dissociations des dislocations coin de l 'ordre de 13b. Ce

résul tat n'est guère compatible avec le f a i t que Snow et Breedis (1974) n'ont

pas observé de dislocations dissociées dans le plan de base, dans leurs travaux

de microscopie électronique sur le ruthénium. De plus, avec une te l le largeur

de dissociat ion, le glissement basai devrait être prépondérant, alors que l 'on

observe en réa l i té , le glissement prismatique comme système principal.

t/Vj

-73-

Nous reportons, f igure V.5, la différence d'énergie entre les

phases H.C. et C.F.C., pour différentes portées des intégrales de t ransfert ,

et pour différentes valeurs du paramètre q, régissant leur décroissance

suivant la distance. Ces courbes ont été obtenues en calculant dix couples

de coefficients de recursion.

Le point marquant est l'augmentation de la s tab i l i t é relat ive de la

structure H.C, due à l ' inf luence des intégrales de saut entre seconds voisins,

pour des remplissages compris entre 6 et 8 électrons. Les courbes évoluent de

manière moins importante lorsqu'on considère également les intégrales de

saut jusqu'aux quatrièmes voisins. Ce f a i t est d'autant plus marqué que le

paramètre de décroissance de ces intégrales est élevé, ce qui est relativement

i n t u i t i f '•

Ces courbes sont assez semblables à celle obtenue par Pett i for

(Fig. V.3b), dans le cas d'intégrales de saut à plus longue portée (al lant

jusqu'aux troisièmes voisins dans la structure C.F.C., ou jusqu'aux quatrièmes

voisins dans la structure H.C.) et une hybridation moins importante que dans

la f igure V.3a.

Nous avons calculé l 'énergie de la faute 2V, en faisant varier les

mêmes paramètres que précédemment (rayon de coupure des intégrales de saut, et

paramètre de décroissance de ces intégrales). Leur influence est la même que

pour la différence d'énergie des phases H.C. et C.F.C.. Nous reportons

figure V.6 les résultats obtenus avec des intégrales de saut étendues aux

seconds voisins et qR = 2,9. La valeur nettement plus élevée que celle trouvée

par Papon (1979) pour Z = 7 s'accorde bien avec l'observation des dislocations

non dissociées dans le ruthénium (Snow et Breedis, 1974). On obtient en ef fet

un rapport C..b/Y ?„ de 60, qui conduit à un étalement des dislocations coin

ae l 'ordre de 2b, non décelable en microscopie électronique classique.

b) Convergence de l ' énerg ie de la faute 27

Nous reportons f igure V.7 les courbes obtenues en faisant varier le

nombre de coefficients u t i l i sés pour reconstruire la densité d'états.

Ces courbes sont relatives à l'énergie de faute sur le plan le plus

proche du défaut (plan A l , voir Fig. V.8), avec des intégrales de saut étendues

aux seconds voisin?, et qR = 2,9.

-74-

Fïgure V.5 : Différences d'énergies de liaison d entre les phases C.F.C. et H.C.

Premiers voisins :

Seconds voisins :

Quatrièmes voisins :

(a) qR = 2,9

C.r.C. attbla

(b) qR = 4 Premiers voisins :

Seconds voisins :

Quatrièmes voisins

75-

Figure V.6 : Energie de la faute 2V dans la phase H.C. - qR = 2,9

Deuxièmes voisins

tlB"1 Ryd/.O

Si la première courbe, présentant des différences d'énergie non nulles, apparaît avec la prise en compte du moment d'ordre 4 :

H S r n(E) dE bande

i l faut néanmoins calculer le moment d'ordre 6 pour obtenir une courbe

n'évoluant plus avec le nombre de moments d'ordre supérieur retenusdans la

reconstruction de la densité d'ëtate.

L'obligation d'aller jusqu'au moment d'ordre quatre pour obtenir des différences entre le cristal parfait et le cristal fauté a des raisons géométriques évidentes (Ducastelle, 1972).

En effet, le moment d'ordre n est relié à la configuration des

chemins de même ordre. La figure V.8 montre qu'il faut au moins des chemins

fermés d'ordre 4, pour parcourir trois plans rêticulalres et différencier

ainsi les empilements ABA/BAB et ABA/CBC. Ceci n'est cependant plus exact,

quand les intégrales de saut ont une portée atteignant les troisièmes voisins.

La prépondérance de l 'e f fet du moment d'ordre six n'a pas reçu pour

l'instant d'explications satisfaisantes. Une étude détaillée de la configuration

des chemins mis en jeu est en cours (Ducastelle et Turchi, 1983), pour déterminer

les chemins responsables de l'évolution de la courbe de la figure V.7.

-76-

F igure V.7 : Convergence de l ' énerg ie de fau te sur le s i t e AI suivant le

nombre de c o e f f i c i e n t s de recurs ion (ou de moments) : a 3 Cu 5) b 3 ( V b1Q ^ O 5

1 tlB"' Ryd/.tJ

tr^\

,:/T\ FA 1 "'

i . . .

v 10

Figure V.3 : Faute 27 e t chemins d'or:! ordre 4 modi f iés par !a f=LTO.

C

B

C

B

C

A i

B ,

A 2

Fz A

• o • o • o •

o • o • o • o

• c • o • o •

o • o • p • o

• o • (S \ o •

o • o i» o •

« o • o • o

o • o J» o •

• o ^ V • ° o • o » o •

-77-

Le nombre de zéros des courbes d'énergie de faute et-des différences

d'énergie entre les phases H.C. et C.F.C. est compatible avec l'importance

du moment d'ordre 6. En e f fe t , Ducastelle (1972) a montré que, si nj(E) et

n2(E) ont les mêmes n premiers moments y , P j , — p n - l ' a ^ o r s

6n(E) = n 1(E) - n2(E) a au moins n zéros et 6E = / E F (E p - E^n^E) - nz(E))dE

a au moins (n-2) zéros en dehors des bornes; SE étant considéré comme fonction

de Ep ou de Z.

Si on considère que c'est le moment d'ordre 6, u 6 , qui pi lote l ' e f f e t ,

on peut s'attendre en première approximation à avoir quatre zéros en dehors

des bornes sur les courbes de la figure V.7. Cet argument sera plus détai l lé

par un traitement en perturbation dû à Ducastelle et Turchi '( 1984).

c) Extension spatiale de l'énergie de faute

» La fiqure V.9 montre les contributions à l 'énergie de faute y?v des

atomes sur des plans de plus en plus éloignés de la faute. Les calculs sont

menés dans les mêmes conditions que précédemment :

- intégrales de saut jusqu'aux deuxièmes voisins

" 1 Ro = 2 ' 9

- lu étages de coefficients (équivalents à 20 moments).

La plus grande partie de l 'énergie de faute est apportée par les plans adjacents

à la faute. Au delà du deuxième plan (A2, B2, A3, . . . (F ig. V.8)), les

contributions sont négligeables.

Cette faible extension spatiale avait déjà été notée par Papon et

al.. (1979 a)? : '•.:.-••-

Tous nos résultats d'énergie de faute 2V ont été obtenus en sommant

les contributions des quatre premiers plans, de part et d'autre de la faute.

Le calcul peut se faire en ne considérant que les contributions des plans se

trouvant d'un même côté de la faute, par raison de symétrie.

Nous reportons f igure V.iO les densités d 'état obtenues dans les

mêmes conditions de calcul pour les atomes des plans A l , B l , A2, B2 (Fig. V.8),

ainsi que pour un atome de volume. Les faibles différences observées montrent

que la précision du calcul doi t être soigneusement contrôlée. Ainsi le

remplissage de la bande d est normalisé à mieux que 1 0 , et les transferts de

charge, dus au traitement non autocohérent, sont de l 'ordre de quelques

centièmes d'électron par atome.

-78-

Figure V.9 : Contribution à l'énergie de faute 2y des atomes situés de plus en plus loin de la faute : Al ; Bl ; A2 . Seconds voisins.

; qR 0 - 2.9 -

C10' Ryd/«t]

Figure V.10 : Densité d'états sur des atomes proches du pl=i de taure : '• et en volume (....) - qR = 2,9 - Seconds voisins, o

B1

A2 B2

-79-

La figure V..11. montre, à titre de comparaison, la densité d'états

obtenue pour un atome du plan Al, avec une portée des intégrales de saut

réduite aux premiers voisins.

Figure V.11 : Densité d'états sur un site Al ( ) et en volums (...) -

Premiers voisins.

N(E)

0, 1

-5 0 5 E

d) Influence du rapport c/a et des paramètres ddg, ddir, ddiS

Les calculs précédents ont été effectués avec un rapport c/a = 78/3',

caractérisant l'empilement compact " idéa l " , et les valeurs canoniques des

paramètres (dda, ddir, ddS).

Or tous les métaux de transi t ion H.C, possèdent des rapports c/a

infér ieurs à la valeur idéale : 1,633 (Tableau X I I I ) . Ducastelle (1972) avait

montré, par des arguments fondés sur le moment d'ordre quatre, que, lorsque

la phase H.C. est stable, le c/a devait effectivement être inférieur â 1,633.

- 8 0 -

TABLEAU X I I I : Valeur du rappor t c/a pour les métaux de t r a n s i t i o n .

Meta 1 c/a à 300 K (1,63 - c/a) c/a e n "

Y 1,571 3,8

Ti 1,587 2,8

Zr 1,593 2,5

Hf 1,581 3,2

Te 1,60 2,0

Re 1,615 1,1

Ru 1,582 3,2

Os 1,579 3,3

Co 1,623 0,5

Turchi et Ducastelle (1983), en reconstruisant la densité d'étate

delà du moment d'ordre quatre, obtiennent cependant des conclusions différentes

- une diminution du rapport c/a est ënergétiquement favorable pour les

remplissages 6 et 7 (Te, Re, Ru et Os), mais ne 1'est pas pour les remplissages

voisins de 2 (T i , Zr, Hf) .

Ce désaccord avec les données expérimentales n'est pas encore

élucidé.

Pour i l l u s t r e r la variat ion de l'énergie de faute en fonction du

rapport c/a, nous portons f igure V.12 les courbes relatives à l'énergie de la

faute Y27» P ° u r d e s rapports c/a » 1,59 et c/a = 1,633 ( /8/3), toujours avec

les mêmes paramètres :

- dda = - 2ddïï

- dd5 = 0

- intégrales de saut étendues aux seconds voisins avecqR = 2,9.

-31-

Fîgure V.12 : Energie de la faute 2V - a) en trait plein, c/a = 1,59

b) en pointillés, c/a = 1,633

[IB Ryd'itJ

- 2

r A

A / \ V f \ V / \ \v / \ v / V

\ \ / — - s / ' \ \ j

îa

F i v j r e V.13 : Energie de la f au te 27 - 3) en t r a i t p l e i n , parsT^treb Js .e ls :

dda/ddir - - 2 , ddS = 0 ; b) en p o i n t i l l é s , par3rr,è+res de = = * t ; - c r

dda/ddir = - 2 ,22 , ddâ/ddir = - 0,12

C10 R y d / a t ]

-32-

Les différences entre les deux courbes sont très fa ib les, et sont en

accord avec les prévisions de Turchi et Ducastelle (H83) :

- Tën^-gie de faute y 2 y augmente légèrement pour les remplissages 6 et

7, ce qui n'est pas le cas pour la première zone de s tab i l i t é de la phase

hexagonale compacte (1,5 < Z < 2,5).

La même conclusion se retrouve lorsqu'on ne considère que les

intégrales de saut entre premiers voisins.

Pour tester l ' inf luence des paramètres ddB, nous avons calculé

l 'énergie de faute yon avec les paramètres de Pett i for (1969) :

- ddo = - 2,22 ddn

- dd« = - 0,12 ddir

- intégrales de saut étendues aux seconds voisins avecqR = 2,9.

La figure V.13 montre que les résultats sont assez psu sensibles à

la valeur des paramètres ddB, comme cela avait déjà été observé par Papon et

a l . (1979 a) .

1/.2.3 - ÇISÇUSSÎOW

Cette étude ne permet pas de donner des valeurs précises de l 'énergie

de faute Y ou P o u r d e s corps par t icu l ie rs . Celles-ci sont en effet trop dépendantes,

du rayon de coupure des intégrales de saut et du paramètre de décroissance de

ce l les -c i .

Néanmoins, l ' a l l u re générale de la courbe de l 'énergie de faute en

fonction du remplissage reste stable, en ce qui concerne le nombre de zéros et

les domaines où l'énergie de faute est positive (domaine de s tab i l i té de la

phase H.C.).

Le manque de connaissance des valeurs relatives des intégrales de

saut entre seconds voisins ne permet pas de trancher sur la va l id i té de la

prise en compte de ces Intégrales. Notre travai l montre cependant la tendance

de l ' inf luence de ces intégrales, et permet d'expliquer des valeurs plus

élevées de l'énergie de faute basale dans la deuxième, zone de s tab i l i té de la

structure hexagonale compacte (6 < Z < B; Re, Te, Ru, Os).

-33-

V . 3 - CALCUL DE L'ENERGIE DE FAUTE PRISMATIQUE

1/.3.I - INTRODUCTION

Contrairement à la faute basale, qui ne nécessite ni relaxation, ni

variat ion de distance entre premiers et seconds vois ins, la "faute prismatique"

définie en IV.3 provoque des variations de distance dès les premiers voisins,

auxquelles i l convient de rajouter celles dues â la relaxation plan sur plan.

Ces variations de distance doivent être prises en compte dans le

terme répulsi f (V. l .Z.b) , ainsi que dans le terme a t t r a c t i f . Celui-ci sera

donc sensible â la fois aux modifications angulaires et radiales.

Pour pouvoir déterminer les surfaces y et l a grandeur des

relaxations, nous avons adopté, dans un premier temps, un modèle simpl i f ié où

la densité d'étatsest reproduite par une dist r ibut ion gaussienne ajustée au

moment d'ordre deux (V.3.2). Dans ce modèle, seule la contribution radiale

est prise en compte, d'une façon qui ne se réduit pas néanmoins à une

interaction de paires (Ducastelle, 1970).

Nous avons ensuite étudié l ' influence de Vanisotropie des orbitales

d en reconstruisant la densité d'états locale par la méthode de recursion, avec

dix couples de coefficients exacts (V.3.3).

l/.3.2 - ENERGIE_OE_FAUTJ_PRISMATIQWE^

Nous util iserons le modèle autocohérent proposé par Allan et Lannoo (1976).

Dans ce modèle, la densité électronique locale sur un s i te i , est

approximëe par une d is t r ibut ion gaussienne ajustée sur les premiers moments

(E - v\)

v], v], v\

avec:

n,(E) = J 5 _ exp 1 /2^u i ^ 1

. 2 v\ = Uj + (v\)

Si on prend le niveau atomique comme origine des énergies, on a

"1 - V i

y-_ i

T, P 2 . i ,i=i i j

-84-

où V. est l'élément de matrice intra-atomique du potentiel autocohérent dû aux oscillations de charge près du défaut, et &^. les intégrales de saut entre un atome i et ses NJ voisins.

L'énergie de bande d s 'écr i t , dans le cr istal parfait 2

E Q = / F En(E) dE = - 10 VÎjjL exp (- •£

où E F est le niveau de Fermi, et y le second moment dans le cristal parfait.

Les V- sont déterminés par la règle de somme de Friedel (1958)

AN (E F, V f ) = 0

où AN (E-, V.) est la variation du nombre d'états en-dessous du niveau de

Fermi.

Ceci conduit à :

VEF(1-V|)

L'énergie de défaut, sur un site i, s'écrit alors :

AE? = / F En.j(E) dE - / F En(E) dE - Nrf V.

Les paramètres (A, p, q),dont la détermination est traitée dans

l'annexe- IV, sont rassemblés tableau XIV.

Les valeurs du paramètre q sont plus faibles que celle prévue par Heine (1967), mais sont très comparables â celles obtenues par Ducastelle (1970) et Papon (1979).

Contrairement 4 ce que nous avons constaté pour la faute basaie, la prise en compte des intégrales entre seconds voisins a une influence négligeable sur les énergies de faute, pour des paramètres q tels que

ou encore :

2,5 < qR0 < 4 ,5

-35-

TABLEAU XIV : Paramètres CA, p, q) déterminés dans l'approximation du moment d'ordre deux.

Y T l Zr Hf Tc Re Ru 0s Co

z 1 . 5 2 . 5 2 . B 2 . 5 E . 0 G . 0 7 . 0 7 . 0 9 . 4

W ( R y d ) . 4 9 . 4 5 . 6 2 . 7 1 . 7 0 . 3 2 . S 3 . 7 6 3S

EdgCRyd) - . 2 8 - . 3 4 - . 5 0 - . 5 3 - . B 3 - . 7 6 - . 5 1 - . 6 4 - . 2 0

fl(Ryd) 9 7 3 3 35B M B 3 7 2 1973 4BB9 1 2 2 3 0 2 160B5 1 2 8 5 5

P ( b - ' ) 1 5 . 5 2 1 0 . B3 9 . 4 7 1 0 . 7 0 1 1 . 9 3 1 2 . 7 2 1 7 . 0 5 1 4 . 19 1 4 . E S

Q t b " 1 ) 1 . 4 6 3 . 0 1 2 . 8 1 2 . 3 1 3 . IB 3 . 0 8 2 . 3 4 3 . 5 2 4 . VS.

Les résultats exposés dans la suite de ce paragraphe, sont obtenus en prenant un rayon.de coupure des intégrales de saut égal à 1,6a ( i .e . entre les seconds et troisièmes voisins); ceci pour pouvoir comparer les énergies de faute basale et prismatique calculées dans les mêmes conditions.

Nous n'avons considéré que les fautes entre deux plans pris-atiques

espacés de zfT/3, pour les mêmes raisons que celles évoquées en IV.3.

Les surfaces y (Fig. V.14) sont très semblables d'un métal à l 'autre, et ont la même forme que celles obtenues avec des potentiels de paire dans le chapitre précédent.

On note la même absence de faute stable et les fautes de vecteurs -<1120> sont encore des fautes de basse énergie, ne nécessitant qu'une faible relaxation.

Nous reprenons, comme définit ion de l'énergie de faute prismatique :

YpHsm. °\ fY (0,2 b) + Y (0,3 b)l

Les énergies de faute rassemblées tableau XV n'ont pu être mesurées expérimenta

lement jusqu'à présent en raison de leurs valeurs élevées.

http://rayon.de

- 3 6 -

Figure V.14 : Surfaces-y déterminées dans l 'approximation du moment d'ordre deux.

a) Titane

b) Ruthénium

- 6 7 -

TABLEAU XV : Energie de la faute prismatique en erg/cm^ dans l'approximation

du moment d 'ordre deux.

Y Ti Zr Hf Te Re Ru Os Co

60 160 180 200 i j 5 610 525 580 230

La seule es t imat ion , obtenue récemment en microscopie électronique

à haute résolut ion â p a r t i r de l 'étalement des d is locat ions coin dans le

t i t a n e (De Crécy e t a l . , 1983) est en bon accord avec l a valeur calculée :

Y e x p = 150 erg/cm"

Calculé " 1 6 ° e r 9 / c n , Z

Les re laxat ions perpendiculaires au plan de faute sont très s im i la i res

à celles obtenues avec les po ten t ie ls de pa i rs (Chap . IV .3 ) . Nous avons

rassemblé dans le tableau XVI , les valeurs de ces relaxat ions pour les

fautes de vecteurs 0,2 B e t 0,3 b\

-08-

TABLEAU XVI : Valeur des re laxat ions pour les fautes prismatiques dans

l 'approximation du moment d'ordre deux (en unité 10 b ) .

" \ Meta 1

Vecteur de faute -v


0,2 b 2 2 2 2 2 2 2 4 2

0,3 b 2 6 6 2 6 8 6 6 6

1 / . 3 . 3 - ENERGIE PE FAUTE DANS LE MODELE AN7S0TK0PE

La con t r ibu t ion de la bande d â l ' énerg ie de faute est maintenant

évaluée en reconstruisant l a densité d 'états à l ' a i d e des dix crémiers couples

de coe f f i c ien ts issus de l a recurs ion, les in tégra les de saut ayant la même

portée que dans l e modèle précédent.

Le calcul a été mené uniquement pour les fautes de vecteurs « l i n é a i r e

à l a d i rec t i on compacte <1120>, avec les re laxat ions obtenues dans le

paragraphe ci-dessus (approximation du moment d 'ordre deux). Comme nous l 'avons

déjà noté, ces re laxat ions sont en e f f e t semblables à cel les obtenues avec des

po ten t ie ls de pa i res;cec i indique qu 'e l les sont probablement déterminées plus

par des raisons géométriques, que par des par t i cuTar i tés du modèle énergétique

c h o i s i .

Nous avons ca lcu lé la cont r ibut ion de la bande d à l 'énergie de faute

l e long d'une sér ie de t r a n s i t i o n , pour un paramètre moyen de décroissance des

in tégra les de saut :

qR = 2,9

-89-

Celu i -c i est par t icu l ièrement bien adapté pour T i , Te et Re. Les

valeurs des paramètres A e t p, obtenues pour cet te valeur de q (Annexe IV) ,

sont rassemblées dans l e tableau XVI I .

TABLEAU XVII : Paramètres (A, p) déterminés dans le modèle anisotrope avec

qRo - 2,9

Y TI Zr Hf Te Re Ru Os Co

Ed(Ryd) -.29 -.37 -.55 -.5B -.72 -.83 -.55 -.67 -.21

fl(Ryd) 800 252 128 311 971 2863 26152 1307B 7056

P(b"*) 1 1 .91 10.39 9. 19 10.22 l l. 11 12. 18 15.05 11.08 11.67

SK'K 32--: 0X ?•'. 20î: -Z-y. -IX IB>. -10X -20X

Les var ia t ions d'énergie sur des s i tes appartenant jusqu'au quatrième

plan vo i s i n du plan de faute ont été prises en compte. Nous avons d'autre

par t v é r i f i é que l a con t r i bu t i on des deux plans suivants (cinquième et

sixième plan vo is in du plan de faute) est négl igeable.

La var ia t ion du terme de bande d est montrée f igure V.15. El le est

typique d'une va r i a t i on dominée par l ' i n f l uence du moment d'ordre deux : i l

n 'y a pas de zéro bien marqué en dehors des bornes.

La légère i r r é g u l a r i t é au niveau des remplissages 2,5 < Z < 5

prov ien t probablement de la ressemblance de la faute avec un empilement des

plans (112) de la s t ruc tu re cubique centrée, s table pour ces remplissages.

De même, les valeurs négatives obtenues pour Z > 9 sont à rapprocher

de l 'observa t ion suivante : l a s t ructure C.C. est tou jours prédite stable en

f i n de sér ie de t r a n s i t i o n , que ce so i t par l e modèle de l ia isons fortes

(Ducastel le et Cyrot Lackmann, 1971; P e t t i f o r , 1970, 1977) ou par des calculs

plus sophistiqués (Andersen e t a l . , 1977; Mac Kintosh e t Andersen, 1980).

90-

Flgure V.15 : Contribution du terme de bande d è l'énergie de faute

prismatique en fonction du nombre d'électrons d.

Figure V.16 : Densité d'états sur un site premier voisin du plan de fauTe ( )

et en vo I urne ( ).

N(E)

B.l

-5 0 S E

Pour ce remplissage, la phase stable est cependant C.F.C.! Ce désaccord entre s tabi l i té prédite (C.C.) et s tab i l i té observée (C.F.C.) est généralement attribué à des problèmes d'autocohérence (Turchi et a l . , 1983), sans être toutefois encore bien compris.

Contrairement aux résultats obtenus par Papon et a l . (1979 b) pour les macles (112) dans les métaux de transition C.C, i l apparaît que l'approximation du moment d'ordre deux se révèle satisfaisante dans le cas de la faute prismatique. Cela revient à dire que, dans ce type de faute, la contribution radiale du terme de bande d 1'emporte assez largement sur la contribution angulaire. I l est à remarquer que pour la faute basale le rapport des contributions radiale et angulaire est inversé.

Nous avons vér i f ié que les variations du rapport c/a et des paramètres ddB ne modifient que de manière minime la courbe de la figure V.15.

Sur la figure V.16 sont portées les densités d'étals locales sur un site premier voisin du plan de faute et sur un site de volume. Ces densités sont obtenues dans les conditions habituelles de calcul :

qR0 = 2,9 portée des intégrales jusqu'aux seconds v ° i s i n s î d C 0 U D U r e - 1 > 6 R

0

Les changements sont plus importants que ceux notés dans le cas de la faute basale. Les transferts de charge, dus au traitement non autocohérent, restent cependant faibles, atteignant au maximum un dixième d'électron par atome.

V.<t - COMPARAISON DES ENERGIES DE FAUTE BASALE ET PRISMATIQUE

Nous avons porté figure V.17 les variations des énergies de faute basale et prismatique le long d'une série de transit io/ i , en interpolant le terme répulsif d'après les valeurs obtenues pour les remplissages des métaux de structure hexagonale compacte.

Bien que cette interpolation soit empirique, la figure V.17

montre bien les tendances le long des séries de transi t ion.

Notons dès à présent le point capital suivant : Le rapport R des énergies de faute basale et prismatique dépend du remplissage électronique. De plus, pour certains remplissages, i l devient supérieur â 1, alors que, dans tous les métaux divalents, 11 est largement inférieur à 1 (plus précisément i l est compris entre 0,2 et 0,6 suivant le métal divalent considéré).

-92-

Flgure V. 17 : Energie de faute basale ( ) et prismatique (— — — — j en

fonction dunombre d'électrons d.

r 2

1

0

-1

0 5 z 10

Lorsqu'on analyse ce rapport suivant le remplissage, i l apparaît

trois cas :

- R > 1 pour les remplissages compris entre 1,5 e t 2,5 (Y, T i , Zr , Hf,

ainsi que pour ceux proches de Z = 7 (Ru, Os). Tous ces métaux ont un glissement

prismatique fac i le .

- R = 1 pour les remplissages proches de Z = 6 (Re, Te) . Expérimentalement,

on observe un glissement basai et un glissement prismatique de même f a c i l i t é .

- R < 1 pour Z = B,5 (Co paramagnêtlque). Co, ferromagnétique dans la

phase H.C., glisse très facilement sur le plan de base.

Ces résultats montrent que : le rapport des énergies de faute basale

et prismatique est très bien corrélê au mode de glissement principal observé

expérimentalement. Rappelons toutefois que ces courbes subissent des

modifications notables, quand on change la portée des Intégrales de saut.

Ainsi, lorsqu'on arrête cette portée aux premiers voisins, l 'énergie

de faute oasale augmente pour les remplissages compris entre 1,5 et 3. Ceci

j u s t i f i e encore miei'x le glissement prismatique fac i le pour les éléments H.C.

des colonnes I I I .A et IV.A. Par contre, l'énergie de la faute basale reste toujours nettement inférieure à celle de la faute prismatique pour les remplissages compris entre 6 et 8, ce qui ne s'accorde pas avec le comportement du rhénium et du ruthénium.

Toutefois le nombre de zéro de ces courbes n'évolue pas suivant la portte des intégrales de saut.

En l'absence de connaissances plus approfondies sur la variation

de ces intégrales suivant la distance interatomique, nous pensons que la

tendance montrée sur la figure V.17 est suffisante pour attribuer la possibil ité

d'un glissement prismatique faci le à 1'anisotropie des orbitales d.

Rappelons en ef fet , que pour tous les potentiels d'interaction de pairesuti l isës, l'énergie de faute prismatique est toujours largement supérieure à l'énergie de faute basale.

Nous portons dans le tableau XVIII les énergies de faute basale et prismatique obtenues pour les métaux de transition dans le calcul anisotrope avec :

- dix coefficients de recursion - des intégrales étendues aux. seconds voisins, avec comme paramètre de

décroissance qR = 2,9

- les valeurs canoniques des paramètres dde, l 'uni té d'énergie étant fixée pour chaque élément de manière â reproduire la largeur de bande réelle.

Compte tenu du rétrécissement du premier domaine de stabi l i té de la phase H.C., produit par les intégrales entre seconds voisins, nous avons pris des valeurs de remplissage électronique plus proches du minimum de la cuvette de s tab i l i té pour 1 (Z = 1,8) et T i , Zr, Hf (Z = 2,3), que celles habituellement utilisées : Z = 1,5 pour Y et Z = 2,5 pour T i , Zr, Hf (Jepsen, 1975; Oepsen et a l . , 1975).

Vu l'importance de la portée des intégrales de saut, ces valeurs doivent être considérées, au mieux, comme des résultats semi-quantitatifs.

Le cas du cobalt montre à quel point i l est délicat de jus t i f ie r le comportement d'un élément part icul ier, en ut i l isant comme seul paramètre, le nombre d'électrons d.

Nous avons obtenu dans le calcul précédent (avec des intégrales de saut étendues aux seconds voisins, et qRo = 2,9) la s tab i l i té de la phase hexagonale compacte pou" le remplissage du cobalt paramagnëtique (Z = 8,4). Or les métaux isoélectroniques (Rh, I r ) sont C.F.C..

TABLEAU XVIII : Valeur en erg cm" des fautes basales (PB),des fautes

prismatiques (FP) et du rapport R = (C 5 6 x FB)/(C44 x FP)

dans les métaux de transition.


F.B. 210 290 340 390 470 540 B75 1050 45

F.P. 60 1 10 150 IBS 440 600 520 G00 230

cnib'r.B. 50 SB 40 50 90 60 445

C66»b/F.P. 1B5 125 90 100 80 100 90

R 3.5 2.6 £.3 2.1 1.0 .9 1.7 1.8 .2

TABLEAU XIX : Classification des métaux H.C. suivant le rapport R, et

système de glissement primaire (SGP) observé.

Cd Co M9 Zn Be R» Te Ru Os Hf Zr Tl Y

R .S .2 .25 .25 .6 .9 1 1.7 l.B 2.1 2.3 2.6 3.5

S.G.P. B B B B B B/P - P - , P P P P

-95-

Remarquons que le calcul effectué en tenant compte uniquement des intégrales entre premiers voisins conduit à la stabi l i té de la structure C.F.C. pour le remplissage Z = 8,4. Ceci signif ie que la position précise du zéro, qui sépare le domaine de s tab i l i té de la phase H.C. de celui de la phase C.F.C, dépend de la portée des intégrales de recouvrement ainsi que de leur paramétre de décroissance. Le cobalt se trouvant près de ce zéro, le calcul f a i t avec des paramètres moyens est trop imprécis pour être s ign i f ica t i f .

Cependant la s tabi l i té de la phase H.C. du cobalt peut être expliquée de manière satisfaisante par le caractère ferromagnétique de ce métal. En ef fet , le cobalt, qui est un ferromagnétique fo r t , possède une demi-bande pleine, alorr que l'autre demi-bande contient 3,44 électrons :

Z î =5 Z | = 3,44 (Ishida, 1972)

Cette situation (3,44 électrons sur 5 états) est très comparable à celle du

ruthénium et de l'osmium (7 électrons sur 10 états). Elle explique bien la

s tab i l i té de la phase H.C. pour le cobalt ferromagnétique, et la stabi l i té de

la phase C.F.C. pour les métaux isoëlectroniques (Rh, I r ) non magnétiques.

Le calcul des énergies de faute basale et prismatique pour le cobalt ferromagnétique pose de nouveau le problème de la portée des intégrales de recouvrement.

- Pour une portée réduite aux premiers voisins, on obtient des énergies de faute comparables à celles calculées précédemment (dans le cas du cobalt paramagnétique et avec des intégrales étendues jusqu'aux seconds voisins).

L'énergie de faute basale obtenue y = 45 erg/cm est en bon accord avec les valeurs expérimentales de Korner et Kamthaler (1983) : Y = 27 î 4 erg/cm et d'EHcsson (1966) : y = 31 - 5 erg/cm . Ces deux mesures ont été faites â température ambiante. Si on adopte la lo i de vnriation de l'énergie de faute en fonction de la température, observée par Ericsson (1966) :

Y(T) = 15 - 0,03 (T - 723) ,

on obtient les valeurs expérimentales extrapolées à 0 K :

Korner et Karnthaler : Y e x p = 49 erg/cm2

Ericsson : Y e., p = 53 erg/cm2

Le rapport R = 0,2 rend bien compte du glissement basai fac i le .

-96-

- Pour une portée étendue aux seconds voisins, on obtient une énergie de

faute basale beaucoup plus élevée [y = 240 erg/cm), et un rapport R

comparable à celui du ruthénium et de l'osmium. Ceci n'est compatible ni avec

les mesures expérimentales de l'énergie de faute, ni avec l'observation du

glissement basai faci le.

I l semble probable que le calcul effectue avec des intégrales de saut étendues aux seconds voisins et un paramètre moyen qR = 2,9 ne soit pas adapté au cobalt. Ducastelle (1972) a en effet montré que ces intégrales décroissent plus rapidement en f i n de série de transit ion. Le paramètre de décroissance que nous obtenons pour le cobalt, qR = 4,2, est nettement plus élevé que le paramètre moyen qR = 2,9. Ceci peut indiquer qu ' i l est préférable de ne prendre en compte.dans ce cas que les intégrales de saut entre premiers voisins.

Pour conclure ces deux chapitres concernant les énergies de faute

à 0 K, nous pouvons résumer les résultats obtenus de la manière suivante :

Alors que dans les métaux H.C. diva lents, la faute basale est d'énergie toujours nettement inférieure à celle de la faute prismatique, i l y a compétition dans les métaux de transit ion entre :

- une faute basale stable

- une faute prismatique, qui ne présente pas de s tab i l i té au sens d'un

minimum dans les surfaces-y, mais qui peut être d'énergie inférieure â la

faute basale pour certains remplissages.

Le tableau XIX montre qu ' i l existe une très bonne corrélation entre le rapport des énergies de faute basale et prismatique, et le système de glissement primaire, observé expérimentalement (avec les réserves exprimées ci-dessus concernant les valeurs numériques de ce rapport).

Nous n'avons pas f a i t de calculs explicites pour les métaux H.C. des terres rares. Ceux-ci sont caractérisés par des électrons f très localisés ne participant que très faiblement à la cohésion, et par un remplissage de la bande ci rnmpris entre 1,5 et 2,5 électrons (Johansson et Rosengren, 1975; Duthie et Pett i for, 1977).

La séquence des structures cristall ines (H.C. -*• type samarium •*

double H.C. •+ C.F.C.) observée de droite à gauche dans les éléments trivalents

des terres rares est attribuée à une augmentation progressive du nombre

d 'é lec t rons d , passant de 1,5 à 2,5 (Duthie e t P é t t i f o r , 1977). Cette même

séquence de structures est observée dans les métaux dès terres rares lourdes,

sous pression (McWhan et Stevens, 1965, 1967; Oayaraman e t Sherwood, 1964).

Ces t rans i t i ons ont également été vues dans l ' y t t r i u m sous pression

(Vohra e t a l . , 1981) e t sont dues, là auss i , à une augmentation du nombre

d 'é lect rons d, par des t r ans fe r t s électrons s -» électrons d. Ceci montre que

les propr iétés de cohésion des terres rares sont principalement dues à la

bande d.

On peut dès l o rs prévoir un comportement t rès vo is in des métaux H.C.

des te r res rares lourdes e t de l ' y t t r i u m , qui ont un même remplissage de la

bande d (Z = 1,5). Notre étude expérimentale (Chapitre I I ) a montré que c 'es t

ef fect ivement le cas : l e glissement prismatique apparaît dans tous ces métaux,

comme glissement p r i n c i p a l .

I l se ra i t in téressant de f a i r e des études de déformation plastique

sur des a l l iages de métaux de ter res rares, t e l s que Pr-Gd. Le gadolinium

d o i t t rès probablement posséder un glissement prismatique pr incipal {par

analogie avec le comportement de Tb, Dy et Er ) . En in t rodu isant du praséodyTe,

l e nombre d'électrons d e f f e c t i f augmente e t l ' énerg ie de faute basais d o i t

progressivement diminuer ( F i g . V.18). On peut prévoir une évolution d'un

glissement prismatique pr imaire vers un glissement aussi fac i l e sur le plan de

base que sur le plan pr ismat ique. Une t e l l e évolut ion do i t également sa

produire sous pression pour l a même raison ( i . e . une augmentation progressive

du nombre d'électrons d ) .

Figura V.15 : D i f fé ren ts d 'énergie de l i a i son , par rapport à 13 siruzT.r? ^ .F.C.

des s t ruc tures H.C. ( ), D.H.C. ( ) e t de +yps sarsr iun (—.—.)

en fonct ion du nombre d'électrons d (Duthie et Pé t t i f o r , 1977).

•0! /

^ U ' A 1 N, 2 /•' 1 / ; ,

Kl ^ U '

y . ' ' • ' . / /

—c \s

"/''

•-1 CP - -

-98-

Le rôle de l'anisotropie des orbitales d dans l'apparition du glissement prismatique faci le ayant été mis en évidence dans ce chapitre, i l nous a paru intéressant d'étudier le coeur des dislocations vis dans le cas d'un métal de transit ion, où la faute prismatique a une énergie inférieure â celle de la faute basale. Ceci a surtout pour but de comprendre, au niveau de la description atomique des dislocations vis, comment le glissement prismatiqi peut être le glissement primaire. De plus, cette simulation doit apporter d'ut i les renseignements sur le caractère planaire ou non planaire du coeur de ces dislocations vis, inaccessible jusqu'à présent aux observations expérimentales.

-99-

C H A P I T R E VI

SIMULATION DU COEUR DES DISLOCATIONS VIS 1 <1120> DANS LE TITANE, MÉTAL DE TYPE : Y p / Y f i < 1

VI.1 - INTRODUCTION

Rappelons que la situation où la faute prismatique a une énergie inférieure à celle de la faute basale (Y P/YD < 1) n'est observée que dans les métaux de transition, en tenant compte de Tanisotropie des orbitales d, et seulement pour certains remplissages électroniques.

Dans le chapitre précédent, nous nous sommes surtout intéressés aux tendances, qui apparaissent le long d'une série de transition. Pour simuler le coeur d'une dislocation vis, il nous faut fixer les paramètres (A, p) du terme répulsif ainsi que le nombre d'électrons, intervenant dans le terme attractif.

Nous allons donc particulariser un métal, qui rentre dans la

catégorie Yp/Y B < 1.

Il existe trois possibilités :

- choisir un métal de remplissage compris entre 1,5 et 3,5 avec intégrales de saut limitées aux premiers voisins (voir calcul de Papon; Fig. V.4);

- choisir un métal de remplissage compris entre 1,5 et 2,5 avec des

intégrales de saut, de portée étendue aux seconds voisins (Fig. V.17);

- c.ioisir un métal de remplissage voisin de 7, avec des intégrales de saut également étendues aux seconds voisins (Fig. V.17).

-100-

Comme nous allons le voir par la suite, cette simulation de coeur

nécessite un temps de calcul important. Nous avons donc choisi la première

possibi l i té, où la réduction du nombre d'intégrales de saut prises en compte

diminue sensiblement la durée du calcul.

Parmi les quatre métaux de transition H.C. de remplissage compris entre 1,5 et 3,5 (Y, T i , Zr, Hf), nous avons opté pour le t itane. En ef fet , la bonne étude menée par Naka (1983) sur ce métal, tant en microscopie électronique in s i t u , qu'en microscopie électronique à haute résolution, permet de confronter nos résultats avec certaines observations expérimentales.

Nous exposerons tout d'abord les modalités du calcul, ses hypothèses et les problèmes rencontrés (VI.2). Les résultats obtenus seront décrits en VI.3, et nous concluerons sur leurs conséquences et leur extension possible (VI.4).

V I . 2 - MODALITES DU CALCUL

La simulation d'un coeur de dislocation nécessite les étapes suivantes :

- la construction du cr istal - le choix d'un potentiel interatomique - le choix des conditions aux limites

- une méthode de relaxation ( i . e . de minimisation de l'énergie) - une configuration i n i t i a l e de la dislocation

Précisons tout d'abord que les options choisies pour mener ce travail ont souvent été déterminées par le souci de rendre possible la simulation, en réduisant le temps de calcul.

I/I.2.I - CRISTAL.ET_POrENT|EL_IWT;ERATÛMigUE

Nous avons montré, dans le chapitre précédent, qu'un modèle de liaisonsfortes,avec prise en compte de l'anisotropie des orbitales d, est indispensable pour obtenir un rapport Yp/Yg inférieur â 1. Le choix du remplissage et de la portée des intégrales de saut a été explicité ci-dessus.

Plus précisément, les intégrales de saut sont prises en compte pour

des distances interatomiques inférieures à 1,27 a, où a est la distance entre

plus proches voisins dans le plan de base. (La distance des seconds voisins est

/ T a dans un cristal parfait possédant un rapport c/a idéal égal à JÏÏ/3).

-101-

Ce rayon de coupure des intégrales de saut a été choisi pour obtenir, même près de la dislocation, des densités d'ëtatsdont le moment d'ordre deux reste proche de celui obtenu en volume, en ne considérant que les intégrales entre premiers voisins. Ce cri tère concernant le rayon de coupure a déjà été employé par Turchi et a l . (1983) pour comparer la s tab i l i té relative de différentes phases, n'ayant pas la même compacité.

l/I.Z.2 - ÇÛNDITIÇNS_AUX_aHITES

Dans les simulations de dislocation, on distingue habituellement une région intérieure ( I ) , où les atomes sont autorisés à se relaxer, bordée d'une région extérieure. Celle-ci est :

- soit maintenue fixe dans les positions de la solution élastique du

champ de déplacement de la dislocation (conditions aux limites f ixes);

- soit modifiée, en réponse aux relaxations obtenues dans la région I

(conditions aux limites f lex ib les) .

I l est admis que l'emploi des conditions flexibles permet de diminuer la t a i l l e de la région intérieure, et donc d'abaisser le temps de calcul. (Des art icles de revue ont été écrits sur ce sujet par Perrin (1974) et Puis (1980)).

Nous n'avons adopté aucune de ces conditions aux limites usuelles.

En effet , notre c r i s ta l l i t e étant de ta i l l e restreinte (cylindre de 100 atomes autour de la dislocation), nous avons constaté que le f a i t de t ravai l ler avec des conditions aux limites fixées par le champ élastique des déplacements de la dislocation empêchait une relaxation complète du coeur de la dislocation.

D'autre part, u t i l i ser des conditions flexibles augmente considérable

ment le temps de calcul pour les atomes bordant la région I .

Nous avons donc opté pour des surfaces l ibres, choix qui présente cependant deux inconvénients :

a) Les forces images d'une surface sur une dislocation peuvent modifier la relaxation.

Nous avons vér i f ié sur ce point que le f a i t de rapprocher la

dislocation d'une des surfaces ne modifie pas la forme f inale du coeur,

obtenue après relaxation. Ce résultat n'est pas général et dépend probablement

de la force de f r i c t ion , que le réseau exerce sur la dislocation. Si cette force

est importante, elle empêchera la dislocation de part i r vers la surface. Par

-102-

contre, si la force de f r i c t ion est fa ible, i l est possible que la

dislocation sorte du c r i s t a l l i t e sous l 'e f fe t des seules forces de surface.

b) Les surfaces sont des défauts d'énergie nettement plus élevée que

la dislocation. Les perturbations du réseau sont plus sévères (liaisons coupées),

que les simples distorsions dues à la dislocation. La nécessité d'un calcul

autocohérent concernant la neutralité électrique des atomes de surface est dès

lors une question importante (Allan et Lannoo, 1976; Desjonquères et

Cyrot-Lackmann, 1975).

Nous avons constaté qu'une approche, non autocohérente, et donc moins

prohibitive en temps de calcul , était suffisante pour obtenir une relaxation

de surface correcte (en direction et en importance).

Le bon comportement des surfaces nous a donné une certaine garantie,

quant au traitement non autocohérent pour une dislocation vis, où les problèmes

de transfert de charges sont moins aigus (Sato et Masuda, 1981).

Pour séparer au mieux les relaxations de surface de celles du coeur

de la dislocation, nous avons adopté la procédure suivante :

- dans un premier temps, le c r is ta l l i te sans dislocation est relaxé, ce

qui permet d'observer le comportement des surfaces;

- ensuite, la dislocation vis est introduite dans le c r is ta l l i te relaxé,

et sonénergie est minimisée par l'emploi de la dynamique moléculaire discuté

ci-dessous.

vi . z. 3 - METHOPEJE_MINIMISATIONJE_L;EWERGIEJRELAWTION)

On distingue principalement deux types de méthode :

a) Les méthodes statiques, où l'énergie considérée comme une fonction des

positions atomiques, est minimisée par la technique de gradients conjugués

(Fletcher et Reeves, 1964; art icles de revue de Puis ,1980 ,et Lldiard et

Norgett, 1972 ).

b) Les méthodes dynamiques qui reviennent â intégrer les équations du

mouvement. Outre une plus grande rapidité, la dynamique moléculaire permet de

faire des simulations à température non nulle, en imposant une distribution

i n i t i a l e des vitesses, caractéristique d'une température T ^ O K .

-103-

Nous avons adopté ce procédé de relaxation, en nous restreignant

cependant â l'étude à 0 K. L'annexe VI décrit plus en détail cette méthode, et

les problèmes posés par le calcul numérique de la force, qui nécessite un

emploi i t é ra t i f de la recursion.

Mentionnons seulement que les temps de calcul importants, que demande cette simulation, sont dus à la nécessité de reconstruire les densités d'états, pour chaque atome et à chaque pas de l ' i té ra t ion, avec au moins trois couples de coefficients issus de la recursion (V.2.2.b); ceci afin de reproduire correctement les énergies de faute basale et prismatique.

Cette contrainte est spécifique aux métaux H.C.. Ainsi Masuda et Sato (1978) ont pu effectuer une simulation du coeur des dislocation vis 7<1U> dans les métaux de transit ion C.C., en n'employant que l'approximation du moment d'ordre deux concernant la densité d'états (V.3.Z).

Un calcul analytique de la force peut alors être f a i t , et le temps de calcul est environ cent fois moins important. I l serait cependant ut i le dans ce cas de véri f ier que les résultats n'évoluent pas, lorsque la densité d'états est reconstruite au delà de l'approximation du moment d'ordre deux.

VI.2.4 - IMPûRTAWCE_ÇE_iA_COWFIGURAnOW_IWITIAI.E

Après construction et relaxation du c r i s ta l l i t e sans défaut, la dislocation est introduite par le champ de déplacement élastique de la solution isotrope ou anisotrope. Le c r i s ta l l i t e est rendu in f in i le long de la ligne de dislocation, par des règles de périodicité.

Dans le cas des métaux, i l n'y a pas d'exemple de simulation, où l'emploi de l 'é last ic i té anisotrope dans la configuration in i t ia le a i t apporté des modifications notables à la configuration relaxée, obtenue â partir de la solution isotrope.

L'importance de la position et de la configuration init iales

(dissociée suivant différents schémas ou non dissociée) dépend de l'amplitude des

forces de f r ic t ion dues au réseau. Si celles-ci sont importantes elles peuvent

bloquer l'élargissement ou la constriction du ruban de faute, â une distance, qui

n'est pas celle d'équilibre. Pour prévenir cet inconvénient, différentes configu

rations ini t ia les ont été introduites. La position i n i t i a l e de la dislocation a

été choisie comme une droite contenant des centres d'inversion du c r i s ta l l i t e .

-104-

Lorsque la dislocation est introduite non dissociée, ou lorsque la dissociation admet également ces points comme centre d'inversion, on vér i f ie que cette propriété de symétrie est conservée tout au long de la simulation.

Pour éviter que la relaxation soit piégée par des états métastables, on peut simuler des recuits et trempes successifs (en jouant sur les distributions de vitesses), ce qui augmente la probabilité d'atteindre l 'é tat le plus stable (minimum minimorum). Nous avons préféré part i r de plusieurs configurations in i t ia les , afin de mieux apprécier les niveaux relat i fs des énergies des différentes configurations. I l serait cependant satisfaisant de vér i f ie r , à l'aide de la simulation de 1'activation thermique décrite c i -dessus, que l 'état le plus stable obtenu est réellement l 'é tat minimisant l'énergie de la dislocation, et non un état mëtastable profond. Cette étude devrait être fai te prochainement.

V I . 3 - RESULTATS

Nous présentons tout d'abord la relaxation du c r is ta l l i te parfai t , sans dislocation (VI.3.1). Nous décrirons ensuite les résultats obtenus à part i r d'une dislocation vis -j<1120> non dissociée (VI.3.2), puis dissociée dans le plan de base (VI.3.3), dans le plan prismatique (VI.3.4), et enfin dissociée suivant le schéma proposé par Naka (1983) (VI.3.5).

1/1.3.7 - R§L I W_PU_ÇRIS7;ALLÏTEJAWS_OISL0ÇATIÛW

Le c r is ta l l i te cylindrique, contenant 100 atomes est rendu in f in i dans la direction <1120> par une règle de périodicité. Le motif périodique le long de cette direction est constitué de deux plans (Fig. VI.1).

Une première simulation a été fai te â part i r d'une configuration i n i t i a l e , où le rapport des paramètres cr istal l ins éta i t f ixé à sa valeur expérimentale : c/a = 1,587. Les paramètres (A, p, q ) , tableau XX, sont déterminés en tenant compte de la valeur du rapport c/a (Annexe IV).

Après relaxation, on observe une dilatation suivant Oy (direction

parallèle à l'axe c), et une contraction suivant Ox (direction parallèle à

[ lûTo]). Cette évolution, qui maintient le volume constant, conduit à une

augmentation du rapport c/a d'environ 3,3%. La valeur de ce rapport, à la f i n

de la relaxation, devient, en ef fet , égale â 1,64, ce qui est très proche de

la valeur assurant la compacité idéale [&7T).

-105-

Figure V I .1 : a) Motif périodique du c r i s t a l I î t e e t plans prismatiques "rugueux"

m + m +

* * • * • • • « • #

+ m + H

» + m

" t :Z = 0 * : Z = b / 2

» + » + R + «

[0001] yi

+ « •

• • * m + *

b° (1120)

[1100]

b) plans "rugueux" prismatiques.

-106-

TABLEAU XX : Valeur des paramètres (A, p, q) du t i t a n e pour c/a = 1,587 e t

c/a = 1,64

Titane A P ( R

0"'> .« ( Ro">

c/a = 1,587 356 10,S3 3,01

C/a = 1,64 351 10,67 2,97

Nous avons déjà mentionné (V.2.2.d) que le modèle u t i l i sé , avec

une reconstruction de la densité d'états à l'aide des trois premiers couples

de coefficients issus de la recursion, ne permet pas d'obtenir des rapports

c/a inférieurs à /B/3'pour des remplissages proches de celui du titane (Z =2,5) .

La prise en compte des intégrales de saut entre seconds voisins ne modifie pas ce résultat. Parmi les causes possibles.de ce désaccord avec les valeurs expérimentales, i l est possible d'évoquer un effet d'hybridation s-d; pour de faibles remplissages de la bande d, la prépondérance de cette bande sur les propriétés de cohésion n'est pas assurée.

Si le problême de la valeur du. rapport c/a reste non résolu, i l a le

mérite de decoupler le cr i tère géométrique (valeur de c/a) du critère

énergétique (valeur de YD/Y P ) pour l'apparition du. glissement prismatique

fac i le .

- 1 0 7 -

En e f f e t , l e c r i s t a l que nous simulons, a :

- un rapport c/a égal à 1,64 qui devrai t conduire, d'après l 'expression

de la con t ra in te de Pe ie r l s , S UÛ glissement basai plus f a c i l e que le

glissement pr ismat ique;

- un rapport Yg/Yp > 1 , qui d o i t mener à des d is locat ions plus étendues

sur l e p lan prismatique que sur l e plan basai e t donc â un glissement

prismatique f a c i l e .

Nous avons r e f a i t une s imu la t ion , avec un rapport c/a de la

con f igura t ion i n i t i a l e égal à 1,64. Les paramètres (A, p, q ) , recalculés pour

cet te va leur de c / a , sont rassemblés tableau XX.

Aucune modi f icat ion des paramètres c r i s t a l l i n s n 'est apparue cette

fo i s c i . Le f a i t le plus notable es t la relaxat ion das surfaces et des coins

( F i g . V I . 2 ) .

Figure V I .2 : C r i s ta l l i t e p a r f a i t re laxé .

l l *â - -«»

^ = - n

-:08-

Gupta (1981) a montré, que les potentiels de paires non oscillants conduisent nécessairement à une augmentation de la distance entre la première couche de surface et la suivante (expansion de surface); les distances interplanaires suivantes n'étant pas modifiées par la surface.

Par contre, en employant un modèle de liaisons fortes avec

reconstruction de la densité d'états dans l'approximation du moment d'ordre

deux, Gupta (1981) et Masuda (1982) ont montré que la relaxation de surface

conduit à une contraction de la première couche.

Cette contraction a 'également été obtenue par Allan et Lannoo (1973, 1976), Desjonquëres (1979) et Tarakura et a l . (1981) sur les surfaces (100) de Mo et W, et Tréglia (1983) sur les surfaces (100) du tungstène et du tantale.

Dans notre calcul non autocohérent, avec reconstitution de la densité d'états â l'aide des trois prerui-îrs couples de coefficients issus de la recursion, nous obtenons une faible contraction de la première couche de la surface dense (0001).

sur (0001) : ^ = - 1%

d étant la distance entre les plans (0001).

La contraction du premier plan de la surface {10Î0} est plus importante:

sur {1010} : ^ ^ - 43!

On observe une très légère expansion de la deuxième couche, pour la

surface {10Ï0}, de l'ordre de + 0,5%.

La relaxation plus importante de la surface {10Ï0} est en bon accord

avec les résultats obtenus par Gupta (1981) sur les surfaces (100), (110) et

(111) des métaux de transit ion C.F.C.. Plus le nombre de liaisons coupées est

grand (3 pour la surface (0001), 4 pour la surface {10l0}), plus la

contraction de la première couche est importante.

Nous avons obtenu des relaxations similaires en ut i l isant l'approximation du moment d'ordre deiu pour la densité d'états. L'introduction d'un potentiel de surface, calculé de manière autocohêrente pour obtenir la neutralité électrique sur chaque atome, ne modifie pas sensiblement la relaxation. Ce résultat nous a permis de nous affranchir de minière raisonnable du traitement autocohérent dans les calculs concernant le coeur de la dislocation.

Nous montrons figure VI.3 les densités d'états obtenues avant et après

relaxation sur les deux premières couches des surfaces (0001) et {10Ï0}.

-109-

Flgure VI.5

N(E)

De-s.iti d'états sur le première

cc.:he se \î surface CX'. )

relaxée

non relaie

— . . — s- vrij-e

(a)

NIE!

! i

/

i

V: -->'' \

S E

lb) le)

De-EifÉ d'i-=*5 SJ r la pre-ière I b) e-* la de.»iè".e cojche ( c) d= !E E.--=:e

{IOTO}

rela«ée

n c * relaxée

—.,—,, en vol une

-110-

Les trois couples de coefficients pris en compte pour reconstruire la densité

d'états sont insuffisants pour analyser de manière détaillée ces densités. I l

serait intéressant de les reconstruire avec un nombre plus élevé de coefficients.

Les énergies de surface non relaxée et relaxée sont les suivantes :

(0001) {IOTO}

non relaxée 795 790

relaxée 750 735

Energie de surface en erg/cm dans le t i t a n e .

1/1.3.2 - ?ISL0ÇATI0N_|/IS-j <1120>_W0N_ÇISS0ÇIEE

Nous avons introduit , dans le cr is ta l l i te précédemment relaxé, une

dislocation vis -j <1120> en imposant initialement aux atomes les déplacements

issus du champ élastique isotrope de la dislocation.

La solution élastique i n i t i a l e est représentée figure VI.4 à l'aide

de la notation des déplacements re la t i fs (Vitek et a l . , 1970). Les atomes sont

figurés par des croix, et la composante parallèle à <1120> (direction du vecteur

de Burgers, orthogonale au plan de représentation) des déplacements relatifs

des premiers voisins d'un atome est représentée par un t r a i t entre les atomes

correspondants. Le t ra i t est centré sur le milieu du vecteur joignant les deux

atomes. La longueur du t ra i t est proportionnelle à la grandeur du déplacement

re la t i f ramenée entre - b/2 et b/2, et normalisée de manière â ce qu'un t ra i t

joignant deux atomes représente un déplacement relat i . ' oe (b/2|.

-Ill-

Figure VI.4 : Configuration élastique d'une dislocation vis non dissociés.

[0001]

b°

* - + • • - • - + - + - + - * - +

• - +

• •

+ • +

. J . I . « \ • \ . \

- + - • - + — + - • - •

• • + - + — * + - • •

- • w \ / \ / \ 1 \

* \ ' \ • \ / * / ^ t + - + - • - + — + - + -

\ • \ . \ . \ 1 . r •

* •

• +

• * • - • *

- +

t •

+ • + - + . + •. + - + . + . + • •* - +

[1100] (1120)

Nous avons placé la d is loca t ion au centre du c r i s t M l i t e , entre deux

plans de base e t deux plans prismatiques considérés comme rugueux ( i . a . dans

l'espacement maximal entre deux plans prismatiques, f igure V I . 2 ) .

La s imulat ion est arrêtée au bout de 25 pas d ' i t é r a t i o n , alors que _3

la d iminut ion d'énergie entre chaque pas est i n f é r i eu re à 10 eV/b.

A T i ssue de ce t te r e l a x a t i o n , l ' énerg ie de la d is locat ion (pour les

cent rangées atomiques) a fortement diminuée :

Mnon relaxée = 1 0 3 e y / b

yrelaxëe _ 0 ^ B e V / b

La conf igura t ion f i n a l e , exposée f igure V I . 5 , met en évidence les points

suivants :

a) Une légère ex tens ion , principalement sur l e plan de base, mais égalemen

sur l e plan pr ismat ique.

-112-

Fîgure VI.5 : Configuration relaxée d'une dislocation vis non dissociée.

• - • • •

• • + - * - + - * - • - • - • * + • •

« . . + - + - • - 4 . — * - + - • . + . +

. , > , . / , / > / » • >

' > ' \ / \ / \ / \ / \ / N / \ ' \ / \ A y \ / N « . i . » / » / 1 /

* - + - • — • - • -

[0001] y*

- o b [ft oo]

(1120)

b) Des étalements "secondaires" ( i .e . de moindre importance) sur les plans de base adjacents à celui contenant la ligne de dislocation. Le plan {1010} n'étant pas un plan de symétrie, les étalements secondaires ne possèdent, comme symétrie, que celle du centre d'inversion, situé sur la ligne de dislocation et déjà mentionné en VI.2.4. Ces étalements secondaires avaient déjà été obtenus par Basinski et a l . (1970, f i g . 8 i i ) , dans le cas d'une dislocation vis i<1120> dissociée dans le plan basai dans Na (qui possède une phase H.C. •S très basse température). Ces auteurs n'en font cependant pas mention, sans doute du fa i t que ces étalements, parallèles au plan de base, ne constituent pas des obstacles au glissement basai facile observé dans leur étude.

Malgré le faible nombre de simulations faites sur les dislocations

dans les métaux de structure H.C, i l est probable que l'asymétrie de ces

étalements provient de la géométrie du réseau, et non du modèle énergétique

choisi. En effet , cette asymétrie est déjà observable dans la solution

élastique (Fig. VI.4), et n'est qu'accentuée par la relaxation.

-113-

1/1.3.3 - ÇI5LÛÇATI0NI/IS ^ <IlIS?_?I-??5Çï§§-ÇA^-t§-?tAW_Ç§_BASE

I l est â noter que les simulations du coeur des dis locat ions vis

i <112D> f a i t e s jusqu'à présent (Basinski e t a l . , 1970, 1971; Bacon e t Mar t in ,

1981), ont toujours conduit à une d issoc iat ion spontanée en deux dis locat ions

p a r t i e l l e s de Shockley dans le plan de base. Rappelons que ces simulations ont

été f a i t e s avec des potent ie ls de paires qui conduisent à des rapports YD/YD < 1

(nous ne l 'avons cependant pas v é r i f i é pour l e potent ie l employé par Basinsk i ) .

L'étude du paragraphe précédent n'a pas conduit â cet te d issociat ion

dans le plan de base. Ceci n 'es t dû, ni aux condit ions aux l i m i t e s , ni au mode

de re l axa t i on .

En e f f e t , en ef fectuant une simulation avec l 'approximat ion du moment

d'ordre deux concernant la densité d ' é t a t s , qui conduit à une faute basale

d'énergie n u l l e , e t une faute prismatique d'énergie vois ine de ce l le obtenue dans

le modèle anisotrope.on obt ien t une d issociat ion spontanée en'deux pa r t i e l l es de

Shockley, qui traversent tou t le c r i s t a l l i t e (F ig . V I . 6 ) . Les forces présentes

dans ce cas sont la répulsion entre les pa r t i e l l es e t l ' a t t r a c t i o n des surfaces

sur les p a r t i e l l e s . L'énergie de faute basale étant n u l l e , aucune force n'empêche

les p a r t i e l l e s de s o r t i r du c r i s t a l l i t e .

Figure VI.6 : Configuration obtenue à pa r t i r d'une d i s loca t ion vis non dissociée

dans l 'approximation du moment d'ordre deux.

• • + • +

AAVWvVW

toooi] y

. . + . + . + . + •

+ . + . + ' + • •

z

b [fioo] (1120)

-114-

Pour véri f ier s ' i l existe une configuration stable ou métastable, dans

le plan de base avec le modèle anisotrope, nous avons introduit une dislocation faiblement dissociée dans le plan de base. La distance de dissociation (a/?)

est te l l e qu'elle minimise l'énergie élastique de la dislocation non relaxée.

Rappelons que l'énergie de faute basale, dans le modèle anisotrope, avec des 2

intégrales restreintes aux premiers voisins, s'élève â 370 erg/cm .

Nous montrons figure VI.7 la configuration élastique in i t i a le , et la

configuration relaxée obtenue après 25 pas.

Le point fondamental est le suivant : la configuration dissociée sur

le plan de base est d'énergie nettement plus élevée (+ 27%) que la configuration

non dissociée obtenue précéderrment.

En ef fet , alors que les énergies des configurations issues de la

solution élastique sont égales :

..élastique _ p last ique _ , 0 3 v / b

"(config. basale) " "(config. non dissociée) " 1 , U J e ï / D

les énergies des configurations relaxées montrent que la configuration basale

n'est qu'un état métastable :

C o a s s o c i é e " ° ' 6 6 e V ' b

Se - ° ' 8 4 e V / b

Le f a i t de ne pas revenir au cours de la relaxation â la configuration plus stable, obtenue à part ir de la configuration non dissociée montre qu ' i l y a un certain col d'énergie à franchir pour passer d'une configuration à une autre. I l serait intéressant de voir s i , par une simulation de "recuits" et de "trempes" successifs, la configuration basale évolue vers la configuration non dissociée.

VI.Î.4 - VlSLOCmONJlS ^ <1120>.ETALEEJANS_!:E_P!:AW_PRISMATigUE

Les surfaces-y sur les plans prismatiques (V.3.2) suggèrent la possibi l i té d'un étalement continu du coeur des dislocations vis i<H20> sur ces plans prismatiques.

Pour étudier l'existence et la stabi l i té d'un te l étalement, nous

avons introduit initialement des configurations formées de 200 dislocations vis

de vecteur de Burgers b/200, placées régulièrement dans le plan prismatique sur

une largeur variant de c à 4c.

-115-

Figure V I .7 : Conf igurat ion é las t ique (a) et relaxée (b) d'une disloc^Ticn v is dissociée dans le plan basai.

[ 0 0 0 1 ] Y*

b°

» . , . • . • - • - • . • - » • • • •

« . « . • . • - » - + - • - • • * • •

• . « . » - » - • - • - • - * • • • • , , . , , / , , . , . > \ • I . . . •

.Y .Y, Y /\7\7\ / ^"- * : • * . • . • - « . _ « . - • - • - * - • - +

• - • . • . • - » - • - • - » • * • •

» . • . • - » - • - • - • - • - » - *

* . * . » . » . • - * - + - • • • • •

——x (1120)

• . • . • - • - + - • - • - • • • • •

» . , . * . • - • - • - • - • • • • •

« . • . » . • - + - • - • - • - • • •

, . \ . \ . \ - » < « i

4 . . • - • - • - • - • - » • • • • • •

, , . / . / . / • / • ' • • • • • ' • • . • . » . . _ * - / - • - • • • • •

> W \ / \ / \ / \ / \ ' \ / N ' » ' + . • . . . . » - Y - V - • - • • • • •

. . , . , . . » . / • / > / • » • « •

. . • . • . « - • - • - • - • • • • • . % . » . v . ^ • \ • v

• - » . • . • - • - • - • • • • • • •

• . • . « . • - • - • - * • • • • • •

. . . « . » • % • » • . » . * . » - • - • - • • • • • • •

(a)

(b)

-116-

La configuration relaxée de moindre énergie est celle obtenue â

part i r d'un étalement i n i t i a l de largeur égale à 2c. On désignera par la

suite cette configuration par s e l a s t et s 1 ^ 1 3 " 6 6 , suivant qu ' i l s'agit de

la configuration élastique in i t i a le ou de la configuration relaxée.

Quand on introduit un étalement de plus faible largeur (égale à c) , la relaxation provoque un élargissement de l'étalement sans toutefois

a largeu* ..relaxée

atteindre la largeur de s r e l a x e e . L'énergie de la configuration est supérieure

à celle de S r

Un étalement i n i t i a l de 3c conduit, après relaxation,à s a x e e . Lorsque la configuration i n i t i a l e a une largeur de 4c, on constate une diminution de l'étalement après relaxation, sans cependant atteindre S r e a x e e . L'énergie de la configuration obtenue est alors supérieure à celle de S1^ a x e e .

|r*p1 a VPP

Toutes ces simulations montrent que S est une configuration stable.

Le résultat essentiel est que la configuration étalée sur le plan

prismatique, s P e U ' x e e

i esf d'énergie inférieure à la configuration obtenue

à partir de la dislocation non dissociée.

Notons que ce résultat est conservé, lorsqu'on considère les

énergies respectives des configurations ini t ia les élastiques :

M ( S e 1 a s t ) = 0,96 eV/b

W ( s r e l a x é e ) = 0,60 eV/b

Rappelons que la configuration non dissociée donne :

W é l a s = 1,03 eV/b

W r e l a x = 0,66 eV/b

Ceci est supérieur d'environ 102 aux énergies de la configuration prismatique.

La figure VI.8 montre les configurations s e 1 a s t et s r d l a x e e . t *a l a y a p

S se caractérise par un étalement prismatique prépondérant. On remarque de nouveau des étalements secondaires asymétriques sur les plans de base. Ces étalements sont déjà présents dans la configuration êlastiqua, mais sont accentués par la relaxation.

-117-

Figure VI.8 : Configuration élastique (a) et relaxée (b) d'une disloca-ion vis étalée dans le plan prismatique.

[0001] y i

b°

• • • - • - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 * + - •

4 • * • 4 - + - 4 — 4 - 4 - 4

4 - 4

* 4 •

4 * *

4. - 4

• 4 •

V • + •

• 4 .

4 • 4 •

4 - 4 - 4 — 4 - 4 - 4 * \ / \ / \ / \ * \ * y

• . • - . 4 -

» \ / \ / \ / \ l s ' 4 . 4 . + \ - 4 . 4 . « ' » ' \ / \ / » / « 4 - + - 4 — 4 - 4 - 4

4 . - + - 4 — 4 - * - + -

4 - 4

* 4 •

4 * *

4. - 4

(a)

(1120)

[1100]

4 - 4 • + - + - + . * - + - * - - • • +

• . 4

4 • 4 -

• • 4

4 • 4 •

4 • •

- + - + - + _ + _ + - +

• • * * • \ ' N ' x * + - + - 1 . — . + - + - +

* / \ / \ / S i \ * x - 4 . + . *_ ¥ . 4 . ^

«. . 4 • i -> . • . * \ • \ ê \ / \ / \ , x

. • . + - • — • - + . <

• * ' • + • 4 * » * t . 4 .

\ 1 » 1 • 4 - 4

(b)

-118-

Nous avons également introduit la dislocation vis sous la forme

dissociée, proposée par Régnier (1969)

b •+ b/3 + 2b/3

La configuration élastique in i t ia le (Fia. VI .9) , où les partielles sont

séparées de 2c, conduit après relaxation, â la configuration S r e a x e e . Ceci

confirme la stabi l i té de s r e ' a x e u , ainsi que l ' i ns tab i l i t é de la configuration

proposée par Régnier, déjà prévisible à part ir de la forme des surfaces-y.

VI.3.5 - PISLÛÇATI0N J/IS y <U2^_m^îîl^Â,ll^¥..\:^A^?^-'^Ml^:Alïill :

Cette dissociation, proposée par Naka par analogie avec la structure

de coeur non planaire des dislocations vis • y < 1 l 1 > des métaux C.C., conduit

à la configuration élastique montrée figure VI.10,

Cette dissociation se compose d'un étalement sur le plan prismatique

et de deux étalements symétriques sur les plans pyramidaux de première espèce.

L'énergie de la configuration non relaxée est largement supérieure à celle de la configuration s e 1 a s t 1 9 u e .

Mal a ypp

relaxation conduit à la configuration S , avec la constriction des

Ceci confirme de nouveau la stabi l i té de S , et infirme celle

Tout comme dans le cas de la dissociation proposée par Régnier, la Mal a ypp

n conduit à la configuration S , avec la partielles î/6, qui se trouvaient sur le plan pyramidal

Ceci coi

du modèle de Naka.

VI A - DISCUSSION

Les simulations du coeur des dislocations vis »<1120> précédemment

décrites ont été menées pour un remplissage de la bande d de 2,5 électrons, et

des paramètres (A, p, q) adaptés au titane.

Les résultats essentiels, obtenus dans cette étude, sont les suivants

a) La configuration de moindre énergie des dislocations vis -j <1120> est

étendue principalement dans le plan prismatique, sur une largeur de 2c - 9 A,

sans qu ' i l y a i t une faute d'empilement bien définie. Cette configuration est

probablement rendue sessile par des étalements secondaires sur les plans basais

(Fig. VI.8).

-119-

Fîgure VI .9 : Conf igurat ion é last ique obtenue d'après le modèle de Sâ'jniar.

[ 0 0 0 1 ] y i

b°

+ - + • • • • - • » • - + - • - • • • - •

+ . * • • - + - + — • -

- * \ f\/ \ l * • • + • + •

+ . + . + - r_ t . + . + • +

'A' ' / : A /

2b/3

+ - • • + • • • + — + • • •

o ' \ ' • • • * - + - + - + - + — + - + -

b/3

[1100] (1120)

Figure V I . 10 : Conf igurat ion é las t ique obtenue d'epr-is le - c r i i e -e

[ 0 0 0 1 ] y i

b°

+ • • • • — + . + — + . •

/ • • \ /\

• • • • + • + • < r - * — • • . t • t • • • •

v • • • • + . • • + — — • . + • + . + . t

* - . . . • . + - + . * * . . + . + . * . +

( / > , . ,

[1100]

(1120)

-120-

b) Cette configuration stable est entourée de configurations mëtastables,

également étendues dans le plan prismatique, mais avec des largeurs d'étalement

supérieures ou inférieures à 2c.

c) I l existe une position raétastable d'énergie plus élevée (+ 10%), très

faiblement étalée sur le plan de base et sur le plan prismatique (Fig. VI.5).

d) Enfin, alors que toutes les simulations antérieures menées avec des

potentiels de paires conduisaient â une dissociation sur le plan de base, nous

trouvons que la configuration métastable dissociée sur le plan basal (Fig. VI.7),

possède une énergie nettement supérieure (+ 40Ï) à celle de la configuration

stable étalée sur le plan prismatique.

Nous pensons que cette étude, effectuée avec des paramètres (A, p, q) adaptés au t i tane, peut s'étendre aux éléments iso-électroniques : zirconium, hafnium, ainsi qu'à 1'yttrium, de remplissage électronique voisin et possédant un rapport Yg/Yp assez proche de celui du titane. Son extension au ruthénium et â l'osmium (Z = 7) doit être possible, avec cependant la réserve suivante : le rapport YR/YDI pour ce remplissage, est voisin de celui du titane, à condition de prendre en compte les intégrales de saut entre seconds voisins. I l ne faut pas exclure la possibilité d'une modification du coeur des dislocations vis due à ces intégrales.

I l est cependant probable que la prépondérance de l'étalement prisma

tique ou basai est régie par la valeur du rapport YR/Y D> indépendamment des

intégrales prises en compte pour l 'obtenir.

I l faut noter une différence très importante entre l'étalement prismatique et l'étalement basai, quant â ses conséquences sur la mobilité des dislocations vis.

a) Lorsque la dislocation est dissociée sur le plan de base, i l n'y a pas d'étalement prismatique secondaire. On observe des étalements secondaires dans les plans de base, adjacents au plan de dissociation, qui ne constituent pas

des obstacles pour la propagation de la dislocation. Celle-ci a une configuration g l i ss i le .

b) Lorsque l'étalement prismatique est prédominant, on observe encore ces

étalements secondaires sur le plan de base. La dislocation est sinon sessile,

du moins soumise â une forte force de f r ic t ion due à ces étalements secondaires

non parallèles au plan d'étalement principal.

- 1 2 1 -

Unesimulation sous contrainte serait nécessaire, pour mieux

comprendre la propagation des dislocations vis dans ce cas. Y a- t - i l en effet

constriction des étalements secondaires pour permettre le glissement sur le

plan prismatique, ou la dislocation peut-elle glisser dans sa forme d'équilibre

(Fig. VI.8), mais avec une "montée" des étalements secondaires ?

Dans la présente étude,il ressort déjà que,le coeur des dislocations vis 4 <H20> n'étant pas planaire, la contrainte nécessaire pour déclencher le glissement de ces dislocations est certainement élevée, et la mobilité des dislocations vis et des dislocations coin doit être différente. Ceci est effectivement observé dans le t i tane, où Naka (1983) a obtenu un rapport entre les vitesses de propagation des dislocations non vis et vis supérieur à 3 à 373 K. Notons qu' i l est possible que les dislocations coin -j<l l20> de ligne parallèle à c" (dislocation coin dans le plan prismatique) possèdent des étalements secondaires sur les plans de base, sans doute moins importants que ceux d'une dislocation vis. Ceci expliquerait que le rapport des mobilités relatives soit inférieur à ceux obtenus dans Us métaux de structure C.C. (Louchet, 1976) où les dislocations coin ont une configuration de coeur planaire (Yamaguchi et Vitek, 1973; De Hosson et Sleeswyk, 1975; Adams et a l . , 1977). Une simulation du coeur des dislocations coin serait intéressante pour éclairer ce point.

Nous ne ferons que rappeler les propriétés liées à une structure non

planaire des dislocations vis. Ces propriétés ne dépendent pas de la structure

exacte du coeur, mais ne sont dues qu'à son caractère non planaire. Elles ont

été observées et analysées par Naka (1983), à l'aide de son modèle de

dissociation dont notre simulation montre l ' i ns tab i l i té . Cependant, l'analyse y p l a y p p

n'est pas modifiée si on adopte la configuration s =, plutôt que celle proposée par Naka.

Ces propriétés, observées également dans les métaux de structure

cubique centrée, sont les suivantes :

- le non respect de la lo i de Schmidj

- une forte dépendance, dans le domaine des basses températures, de la l imite élastique envers la température.

I l est â noter également qu'une structure non planaire du coeur des

dislocations vis peut modifier assez fortement l ' interaction dislocation-

défaut ponctuel décrite par l ' é las t i c i té . Ainsi Sob et a l . (1975) et Naka (1983)

ont tenté d'expliquer l 'e f fe t de durcissement des in ters t i t ie ls à basse

température dans le titane par une forte interaction entre la structure de

coeur et les in ters t i t ie ls .

-Î22-

Nous terminerons ce chapitre, en remarquant que la largeur 1 de l'étalement prismatique obtenue pour la dislocation vis - j dans le t i tane

.simulé, „ ; 'vis = 2c ^ 9 A

est en bon accord avec celle observée en mitroscopie électronique à haute résolution (De Crécy et a l . , 1983) pour la dislocation coin - j, également dans le titane :

^ s e r v é ^ o coin

Cette valeur expérimentale conduit à une largeur des dislocations vis égale à :

v : coefficient de Poisson,

si on admet que le changement de la structure du coeur entre dislocations vis et coin ne modifie pas la largeur de l'étalement principal.

-123-

CONCLUSION

Ce travail avait pour but de comprendre les raisons de l'apparition du glissement basai ou du glissement prismatique comme système de glissement primaire dans les métaux de structure hexagonale compacte.

Les explications proposées jusqu'à présent étaient largement

empiriques et n'expliquaient pas l'ensemble des résultats expérimentaux connus.

De plus, ceux-ci étaient for t incomplets. En effet, le comportement des métaux

H.C. de la série des terres rares, qui représentent plus d'un t iers des métaux

H.C, éta i t pratiquement inconnu.

Notre travail expérimental, portant sur trois métaux des terres rares (Er, Dy et Tb), montre que le glissement prismatique est le système de glissemc-vit principal dans ces métaux. Ce résultat peut probablement s'étendre à l'ensemble des métaux H.C. de la série des terres rares. Dès lors, le glissement prismatique facile est loin d'être une part iculari té de quelques métaux isolés (T i , Zr, Hf), comme i l étai t parfois'perçu jusqu'à présent. Ce glissement apparaît au contraire comme le système de glissement principal pour plus de la moitié des métaux de structure H.C.

L'analyse de l'ensemble des résultats expérimentaux concernant les métaux H.C. montre clairement que le "choix" du système de glissement principal est une propriété isoëlectronique : tous les métaux divalents ont un glissement basai fac i le , et les métaux de transit ion ont un comportement qui évolue avec le remplissage de la bande d. Notre travail théorique s'appuie principalement sur cette observation.

La nature de la liaison interatomique peut intervenir soit dans les modes de dissociation des dislocations responsables du glissement, soit plus généralement sur les propriétés du coeur de ces dislocations.

Nous avons donc en premier l ieu calculé les énergies de faute sur le plan basai et sur le plan prismatique pour les métaux divalents et les métaux de transit ion.

La théorie des pseudopotentiels est bien adaptée pour évaluer ces

énergies dans les métaux divalents, alors que le modèle des liaisons fortes,

prenant en compte la nature plus localisée des électrons d, permet de trai ter

le cas des métaux de transit ion.

Les résultats obtenus montrent que l'énergie de faute basale est toujours inférieure à l'énergie de faute prismatique dans les métaux divalents.

-124-

Ceci n'est pas le cas dans les métaux de transition où, pour certains

remplissages, l'énergie de faute prismatique devient inférieure à l'énergie

de faute basaie.

Si on considère le rapport R des énergies de faute corrigées par les

modules élastiques intervenant dans les propriétés de dissociat ion, on obtient

une excellente corrélation entre ce rapport et le système de glissement

principal :

- R < 1 : glissement basai principal (Be, Mg, In, Cd, Co)

- R - 1 : glissements basai et prismatique de même facilité (Re et probablement Ta)

- R > 1 : glissement prismatique principal Cî, Ti, Zr, Hf, Ru, terres rares et probablement Os)

n „ _ énergie de faute basale x 66

~ énergie de faute prismatique C.4

Le succès de cette corrélation confirme qu' i l est essentiel de tenir compte de Vanisotropie des orbitales d pour expliquer l'apparition du glissement prismatique faci le.

Toutefois, la fac i l i té de dissociation dans les plans basai et

prismatique n'est reliée à la valeur des énergies de faute dans ces plans de

façon signif icative que dans la mesure ou celles-ci ne sont pas trop importantes.

Ainsi , les valeurs peu élevées de l'énergie de faute basale obtenues dans les métaux divalents conduisent à une dissociation ou du moins à un large étalement des dislocations vis i<1120> dans le plan de base, qui permet d'expliquer la prépondérance du glissement basai.

Par contre, les valeurs importantes des énergies de faute obtenues dans les métaux de transition (à l'exception du cobalt) rendent impropre la description en terme de dislocations dissociées et de faute d'empilement. I l est dès lors nécessaire d'étudier dans ce cas la structure de coeur des dislocations vis i <1120>, d'autant plus que certains résultats expérimentaux (Naka, 1983) suggèrent une structure non planaire du coeur de ces dislocations.

Nous avons obtenu, en employant conjointement le modèle de liaisons

fortes e t un algorithme dynamique de relaxation, la structure de coeur de ces

dislocations dans le t i tane . Celle-ci consiste en un étalement principal dans

le plan prismatique et des étalements secondaires dans les plans basais, qui

rendent la configuration sessile. \1

-125-

A l ' i ssue de notre t r a v a i l , nous pouvons proposer une expl icat ion

sa t i s fa i san te aux analogies su ivantes, souvent suggérées :

- analogie entre l e glissement basai f ac i l e et l e glissement dans les

métaux de s t ructure C.F.C.

- analogie entre le glissement prismatique f a c i l e e t l e glissement dans

les métaux de structure C.C.

Dans le premier cas, les dis locat ions sont dissociées ou largement

étalées de manière p lana i re , donc g l i s s i l e , sur le plan dt glissement

(basai dans les H.C., (111) dans les C.F.C.).

Dans le second cas, les d is locat ions vis ont une conf igurat ion

d ' é q u i l i b r e sess i le .

Cependant, le caractère sessi le des d is locat ions v is •*• <111> des C.C.

peut ê t re prévu â p a r t i r de considérat ions géométriques, a lors que la s t ruc ture

complexe du coeur des d is locat ions v is i < l i 2 0 > dans l e cas du glissement

prismatique f a c i l e est intimement l i é e à 1'anisotropie des o rb i ta les d

intervenant dans la l i a i son atomique.

Si notre étude s 'es t r es t re i n te aux métaux de s t ruc tu re H.C., les

techniques employées e t la démarche u t i l i s é e ont un champ d 'app l ica t ion plus

étendu.

Quant â la technique, nous pensons que l 'emploi conjugué de la

dynamique moléculaire e t du modèle de l ia isons for tes peut se révéler fructueux

dans l 'é tude de certains phénomènes. Nous pensons en p a r t i c u l i e r â ceux qui

dépendent à la fo is de la température et de la nature de l a l i a i son interatomique

des métaux de t r a n s i t i o n . A i n s i , l 'é tude des reconstruct ions de surface dans

ces métaux pour ra i t être envisagée malgré des temps de ca lcu l encore importants.

Quant à la démarche que nous avons adoptée pour l 'é tude des métaux

H.C. e l l e do i t pouvoir s 'étendre au cas des a l l iages ordonnés de st ructure

L l 2 ou Bg. Les modes de glissement dans ces a l l iages dépendent en e f f e t des

valeurs re la t i ves des d i f fé ren tes fautes d'empilement e t des parois d'antiphase.

Les calcu ls des énergies de fautes sont possibles dans les a l l iages de métaux

de t r a n s i t i o n et devraient conduire pour ceux-ci à des ré- .u l tats intéressants.

-126 -

ANNEXE I

Analyse semi-quantitative des échantillons de dysprosium, d'erbium

et de terbium par spectrométrie de masse par étincelle (en ppm poids), et

dosage en hydrogène et oxygène.

TABLEAU I : Dysprosium

Ag Al Ba Ca Cd Ce Cl Co Cr Fe Gd Ho K

5 160 0,2 3 0,6 3,5 2 5 15 30 2 60 4

La Lu Mg Mn Na Nd Ni Pb Pr Si Sm Ti Tm

110 3 0,7 1,5 5 1,5 10 10 2 2,5 1,5 0,5 4

0 2 : 350 ±35 H2 : 55 - 5

Autres éléments : < 0,1

TABLEAU I I : Erbium

Ag Al Ba Ca Cd Ce Co Cr Fe Gd Ho K La

<0,1 60 0,2 20 <0,2 9 0,5 15 35 20 240 6 40

Lu Mg Mn Nd Ni Pb Pr Si Sm Ti Tb Y Zn oy

60 2 2,5 10 40 6 300 1,5 <0,3 <0,1 7 <0,1 2 60

Tb Y Zn

< 3 14 1

0 2 : 1230 î 120 H 2 : 120 - 10

-127-

TABLEAU III : Terbium

AT Ba Ca Cd Ce Cl Co Cr Cu oy Er Fe Gd

17 0,1 0,9 0,1 1 1 0,3 4 3 140 7 13 1,6

Ho K La Mn Na Nd Ni Pb Pr S Se Se Si

1 0,9 9 0,6 0,7 0,6 2,7 0,2 6 0,7 5 0,4 2

Sm Ti Tm Y Yb

0,3 0,1 2 20 0,5

I 0 2 (en %) : 2,1 - 0,2 H g (en ppm) : 95 t 10

-128-

ANNEXE II

DÉTERMINATION DES ZONES EN TENSION

ET EN COMPRESSION AU COURS DU MACLAGE

Lorsqu'on analyse la déformation que subit un cr ista l au cours du

maclage, on doit envisager deux plans de référence importants (Fig. A I I . 1 ) .

I l s 'ag i t des plans tels qu'un cercle tracé â leur surface ne se déforme pas

au cours du maclage. L'un deux, K., est le plan de macle et contient la

direction de glissement n,; l ' au t re , Ko, avant le maclage devient K, après

déformation. I l f a i t avec le premier un angle déterminé par l'importance du

cisaillement.

Figure A.11.1 : Cisail lement homogène au cours du maclage. Le plan non

déformé K. (plan de macle) et le plan K sont normaux.au plan de f igure

Leur in tersect ion est normale à la d i rec t ion de c isa i l l ement .

Le cisaillement est défini par la distance s dont se déplace un

point situé à une distance unitaire de K.. Si 2$ est l 'angle entre les plans

tient :

tg 2$ = 2/s

Kj et Kg, on obtient

http://normaux.au

-129-

Les plans K. et K? divisent en quatre domaines la sphère de

référence sur laquelle on peut porter l'orientation des axes du cristal. Un

échantillon dont l'axe de compression se trouve dans l'une des deux régions

délimitées par l'angle aigu séparant K, de Ko, est raccourci par la formation

d'une macle, alors qu'un échantillon dont Taxe est situé dans l'angle obtus

est allongé.

Les figures Ail.2 et AU.3 montrent les domaines se trouvant en

tension ou en compression lors du maclage {1012} et {112D.

Ces figures montrent bien qu'il n'existe qu'un domaine très restreint,

proche de l'axe c, où ces deux systèmes de macles ne peuvent pas apparaître en

compression. Malheureusement, ce domaine n'est pas favorable à l'étude des

glissements basai et prismatique, car le facteur de Schmid pour ces glissements

y est très faible !

Figure A.II.2 : Les macles {1012}

produisent :

I : une compression

IV : une extension

II, 111 : les deux

(c/a = 1,5=)

(000!) 0110)

(0001

(1120)

Figure A.II.3 : Les macles {1121} produisent

1 : une compression

IV : une extension

II, III : les deux

(c/a = 1,58)

(0110)

-130-

ANNEXE I I I

PSEUDOPOTENTIELS ET POTENTIELS DE LENNARD-JONES UTILISÉS DANS LE

CHAPITRE IV

Nous présentons f igure A . I I I . l les pseudopotentiels ut i l isés pour le calcul des fautes basales et prismatiques.

Figure A . I I I . l

(a) Be

(Duesbery et Taylor, 1979) (b) Mg (Dagens et a l . , 157J)

.9 I 1.1 I C.I tit

(c) Zn

(Animalu et Heine, 1965)

UV1

(d) Cd

(Animalu et Heine, 19r5)

131-

La critique justifiée que l'on peut faire â la méthode de sommation

des interactions entre atomes dans l'espace direct, est sa dépendance envers

le rayon de coupure. La figure A.III.2 montre la variation de l'énergie de

faute basale et prismatique selon le rayon de coupure pour le Magnésium. Les

calculs présentés dans le texte sont effectués en prenant ce rayon de coupure

égal à 3,5 a cù a est la distance entre premiers voisins dans le plan de base.

Nous avons vérifié que les valeurs asymptotiques des énergies de faute et du

rapport R ne-différent pas de plus de 30 % des valeurs obtenues pour r = 3,5 a.

ri 12 . 6 Le potentiel de Lennard-Jones : V(r) = E Q [(£) - (7) 1 présente la

particularité de stabiliser la phase hexagonale compacte ou la phase cubique

à faces centrées suivant le rayon de coupure.

Nous reportons figuré A;III.3 les résultats obtenus par Hinonishi

et al. (1981), concernant l'énergie potentielle par atome dans les différentes

structures suivant le rayon de coupure. La structure H.C. se trouve stabilisée

pour des rayons de coupure situés au moins au delà de la distance entre

cinquièmes voisins.

Position des voisins

Rayon de coupure (r/c)

Figure A.Il 1.3 : Energie potentielle

par atome pour les différentes

structures cristallines, H.C. ( o ) ,

C.F.C. ( D ) et C.C. ( A ) en fonction

du rayon de coupure du potentiel de

Lennard-Jones : V(r) . E O [(£)'2 - <£> 6].

r<t>!/cm'l

Figure A.111.2 ! Variation de l'énergie

de faute basale r B et prismatique f p

selon de rayon de coupure r pour le

Magnésium.

-132-

ANNEXE IV

DÉTERMINATION DES PARAMÈTRES (A .P .O

INTERVENANT DANS LE MODÈLE DE LIAISONS FORTES

Ces paramètres sont déduits des valeurs expérimentales (Gschneider,

1964) du paramètre de réseau R (par l'intermédiaire de l'équation d'équil ibre),

du module de compressibilité K et du module élastique C... On obtient le

système (S) suivant (Ducastelle, 1970) :

.r cohésion rf D

( - 4 | | = qEd + pER = 0 (AIV.l)

(S) , 9K = (qRQ)Z Ed + (pRJ 2 ER (AIV.Z)

^ C44 - \ l f 1 - ^ ( P R

0 ) 2 " E R ( A I V - 3 '

La valeur expérimentale de l'énergie de cohésion est reproduite avec un écart d'environ 20» pour les métaux de début et de f in de série * (Tableau I ) , cela est dû au terme d'hybridation E négligé dans ce calcul. Notons, de plus, que le terme de corrélation électronique a été également négligé.

TABLEAU I : Energie de cohésion par atome (en 10 Ryd/at)

Y Tl Zr Hf Te Re Ru Os Co

- 31 - 36 - 47 - 47 - 49 - 60 - 49 - 60 - 32 Valeur expérimentale

- 25 - 25 - 35 - 42 - 46 - 58 - 44 - 48 - 23 Valeur calculée

-133-

Les paramètres obtenus pour E déterminé dans l'approximation du

moment d'ordre deux de la densité d'états sont rassemblés tableau XIV dans le

texte (page 85).

Pour suivre l'évolution des énergies de faute le long d'une série

de transition, nous avons pris également un paramètre moyen, qR. = 2,9, et H

calculé A et p par les équations (AIV.l) et (AIV.3). E est alors déterminé

à l'aide d'une densité d'états reconstruite par la méthode de recursion et

nous avons vérifié que sa valeur est indépendante de celle de q pour qR

compris entre 2,9 et 4. Les valeurs obtenues pour A et p, et l'écart avec la

valeur expérimentale de K sont donnés tableau XVII du texte (page 89).

-134-

ANNEXE V

EQUIVALENCE DE LA MÉTHODE DES MOMENTS ET DE LA MÉTHODE DE RECURSION POUR LE CALCUL

DES DENSITÉS D'ÉTATS LOCALES

Rappelons que la densité d'états locale est donnée par :

n (E) = - f lin, In (S G " (E + 1E))

ou G(ç) = ^4- f f

est la résolvante du système, d'éléments de matrice

(AV.l)

eïf(c) - <ix|G(c)|d n>

1°) La méthode de recursion, rappelée dans le texte, consiste à construire

une nouvelle base dans laquelle l'hamiltonien est tridiagonal.

Appelons |0} = |ix> le premier vecteur de la base de recursion. Dans

cette base, on peut écrire

C - H

et donc :

{o i-^-i o) = <n |G(?)| n> = -nri n

(AV.2)

-135-

4„ " IC - «I (AV.3)

et :

V l

r-a, b. o - — —o i

b, i-a, b, o • \ \ \ \ I

o \ \ \ v I

I \ \ N b„., o |° \ \ \ O o b <-a n b

(AV.4)

" n - 1

a l ' b l V z V i

S - a,

ï - a? h V_3 \ - 2

(AV.5)

On obtient ainsi le développement en fraction continue de <iX L _ J iX> à partir des coefficients issus de la recursion.

S") La méthode des moments oonsiete â calculer la densité d'états locale par

l'intermédiaire de ses moments.

Le moment d'ordre p de n.(E) étant défini par :

jij = /*°EPn.(É) dE v -at

i l es t faci le de voir que ul es t donné par l'équation :

u l = \ l <i* |HP| ix>

(AV.6)

(AV.7)

-136-

Le calcul des moments se ramène alors à un problème d'énumération des chemins fermés que l'on peut tracer sur le réseau (Cyrot-Lackmann, 1968). En e f fe t , en développant Hp dans la base des orbitales atomiques, on obtient

y"1 = ï. <jy jH...> ..<k\> |H| iX> (AV.8) p j , . . . k

A,u..v p termes

A chaque pas, on associe une matrice 5 x 5 et la contribution d'un

chemin dépend de sa forme.

Si on est capable de calculer tous les moments \il, on peut définir

une fonction caractéristique :

FV) - S ( " J X ) P VÎ (AV.9) p=o v' v

F n '(x).

La densité d'états locale est alors la transformée de Fourier de

n i < E > = 7 ? / e 1 X E p i ( x ^ d x t A V - 1 0 '

Cependant, dans le cas que nous étudions, il n'est possible de

calculer qu'un nombre fini de moments. Le problème de la reconstruction de la

densité d'états à partir de ceux-ci se pose alors.

En ce cas la méthode la plus utilisée est celle du développement en

fraction continue (Gaspard, 1975; Gaspard et Cyrot-Lackmann, 1973).

La transformée de Hilbert de la densité d'états :

1 *»n.(E)

HO 'I F^T d E < A V- U) -CD '

peut itre décomposée en puissance de 1/ç avec les moments comme coefficients

f 1 U ) = ï - ^ n - (AV.12) p=o v

On peut alors écrire cette série sous la forme d'un développement

en fraction continue infinie :

-137-

f 1 ( ç ) - — ? (AV.13) ç - a i - h

2 ç - a 2 - b 2

En ident i f iant (AV.12) et (AV.13), on obtient :

a n = a n ( ^o ^ n - l ' 2 2 (AV.14)

b n = b n < ^ o "2n>

Les formules explicites font intervenir des déterminants construits

à partir des moments (Gaspard, 1975). Le développement en série d'une fonction

analytique étant unique, les coefficients a et b ainsi obtenus sont les

mêmes que ceux issus de la recursion.

La densité d'états locale est alors donnée par :

ni( E) = — T i m Im (f1 (ç + ie)), 1 5ir r-w, E-t-0

et on obtient la même expression que celle issue de la méthode de recursion.

-138-

ANNEXE VI

PROCÉDÉ DE RELAXATION DYNAMIQUE

COUPLÉ A L'EMPLOI D'UN MODÈLE DE LIAISONS FORTES

Le procëdéde relaxation employé consiste à suivre, au cours du

temps, l 'évolution d-un ensemble d'atomes de masse m, soumis à leurs

interactions mutuelles.

L'intégration des équations du mouvement conduit à l'algorithme

de Ver!et (1967) :

D'où

^ . ( t + At) = r.j(t) + v ^ t ) At + | ï i { t ) A t 2 + 0(At 3)

r ^ t - A t ) = r . ( t ) - v . ( t ) At + i ï i ( t ) A t 2 - 0(At 3)

r.(t + At) = 2r.(t) -r.(t-At) + iii At 2 + 0(ût 4) 1 i ' m

r.(t + At) - r.(t-At) , v.(t) = -! 1 + 0'(AtJ)

1 2At

(AVI.l)

(AVI.2)

La connaissance des positions à l'instant t-At et t, ainsi que des forces à l'instant t, conduit â l'obtention des positions à t + At.

La valeur de At doit être choisie avec soin, mais reste toujours de l'ordre de 10" 1 4s (Hansen et al., 1976).

La recherche de la structure d'énergie potentielle minimale (à OK) s'effectue en utilisant une procédure de "trempe". Celle-ci consiste à annuler la vitesse des atomes, lorsque le produit F.V est négatif. On retire ainsi progressivement l'énergie cinétique du système pour obtenir une configuration d'énergie minimum â OK.

La difficulté majeure de cet algorithme provient du calcul de la force sur chaque atome et à chaque pas d'itération sur le temps, dans le cadre du modèle de liaisons fortes.

-139-

La nécessité de reconstruire les densités d'états locales à l'aide

des trois premiers couples de coefficients de recursion (pour obtenir une

énergie de faute basale correcte) ne permet pas le calcul d'une expression

analytique de la force sur chaque atome.

Nous avons donc estimé cette force de manière numérique, en calculant

les variations d'énergie totale induites par des petits déplacements E „ , E , E -6 x y z

(=10 R ) de chaque atome.

Deux approximations ont été essentiellement utilisées pour réduire

un temps de calcul, qui se révélait a priori prohibitif.

1°) Pour éviter la reconstruction des densités d'états locales, puis

l'intégration pour obtenir l'énergie, nous avons utilisé une méthode de linéa

risation de la fonction de Green développée par Ducastelle et Turchi (Turchi,

1984).

Nous ne ferons qu'évoquer les principaux points de cette méthode.

Considérons la variation de la densité d'états locale sur un site i engendré

par un petit déplacement E . Avant déplacement,

n(e) = - i lim Im (G„(e+in.) ) (AVI.3) 17 n-*>

où l'indice 1 est associé au premier site de la chaine de recursion (on fait

abstraction de l'indice d'orbitales pour simplifier les notations).

Après déplacement,

l * •n*( E) = -- lim Im (G . (e+iti) ) (AVI.4)

ff rv+n A A

Im ( n-*o

oû G*(z) est définie sur la même base de recursion |n} par des coefficients

On obtient alors

6n(E) = -- lim Im [G* (c+in) - G* (e+in)] TT n^(, 11 11

(AVI.5) = - - lim Im («G-nte+in) )

TT n+o 1 1

-140-

Associons aux variations Sa., = a? - a- et 5b. = b? - b. un potentiel SV

défini dans la base de recursion par

{n|SV|n} = Sa (AVI.6)

{n|6V|n+l} = 6b n

L'équation de Dyson permet de relier G à G de la manière suivante

G* = G + G6 VG + GSVGS VG + . . . (AVI.7)

si 6V peut être traité en perturbation, un développement de G au premier

ordre donne :

SG = GS VG

ou encore S G n = {1|G 6VG |1} (AVI.8)

Du fe.it de (AVI.6), on peut écrire

6 G 1 1 " l < 4 6 a n + H Gln Gln +1 6 b n < A V I- 9>

On obtient alors, pour les différences d'énergie, l'expression suivante :

6E(E) = t i3n(E) 6a n + 2E* n(E) Sb n (AVI.10)

avec 0 (E) = - - lim Im /dt(t-e) G? (t+in) (AVI.11) ïï n->o

* n ( E ) = - f lim Im/dt(t-E) G l n(t+in) G l n + 1 ( t + i n ) (AVI.12)

Les G. (z) se calculent par la relation : J ln

G l n (2) = bj b 2 . . . b n - 1 G ^ z ) G ^ z ) . . . G^tz) (AVI. 13)

avec eL n(z) l- =- (AVI. 14) z - a - bf

http://fe.it

-141-

Pratiquement, les fonctions (0n>"l'n) sont calculées une fois pour toute au début du calcul pour le cr is ta l parfait. Ceci conduit donc à remplacer la reconstruction de la densité d'états locale et l ' intégration de l'énergie pour chaque pet i t déplacement e, par une simple multiplication !

2°) La deuxième approximation a été uti l isée pour résoudre le problème suivant. L'interaction atomique ne se mettant pas sous forme d'interaction de paires, i l faudrait en toute rigueur calculer pour chaque petit déplacement de chaque atome et à chaque pas les variations d'énergie sur le site déplacé, mais aussi sur tous les atomes de l'amas nécessaire à l'obtention des trois couples de coefficients de recursion. Ceci conduirait à des temps de calcul d'environ 25 heures sur un ordinateur tel que le NAS 9080.

Cette d i f f icu l té vient du f a i t qu ' i l n'existe pas un facteur constant

entre la variation d'énergie sur un site i et la variation de l'énergie totale,

comme c'est le cas pour un potentiel de paires, où on a la relation :

fiEi = i s E to ta le 2

Nous pensons cependant que les écarts à cette relation sont principalement

donnés par des arguments de second moment sur le site i et sur les sites

premiers voisins. Ainsi, nous avons appliqué l'approximation suivante : 3

SE t 0 t =(?! 6aj + 2 6b1 ) + £ ( 1 ^ Sa* + 2 fibj) + 2 £ (0p SaJ + Z^-fibJ)

atomes k lers voisins de i

Le cas le plus critique pour cette approximation est certainement

celui des surfaces. Toutefois, la relaxation satisfaisante observée même sur

celles-ci est une vérification a posteriori de cette approximation. En effet ,

si le calcul de la force était trop imprécis, le système n'arr iverait pas à

diminuer son énergie potentielle.

Nous donnons une l is te du programme de simulation du coeur des dislocations vis 4 <1120> dans le t i tane qui contient les séquences suivantes :

- in i t ia l isat ion des variables,

- construction du cristal et numérotation intrinsèque des atomes,

- introduction des déplacements dus à la relaxation Ju cristal

parfait effectuée auparavant,

-142-

- introduction du champ de déplacement élastique de la dislocation,

- règle de périodicité sur les positions et les déplacements des atomes le long de la ligne de dislocation,

- recherche des voisins de chaque atome,

- calcul de la force sur chaque atome,

- obtention des nouvelles positions à l ' instant t + ût et calcul de la température,

- poursuite ou arrêt de la relaxation.

Les sous-programmes AMAT et BHAT permettent respectivement le calcul des matrices de couplage (5x5) pour l'ensemble du cr istal à l ' instant t , et pour l'atome déplacé en vue du calcul de la force agissant sur cet atome.

Le sous-programme C0M0CO réunit les cinq jeux de coefficients issus

de la recursion (1 par orbitale) en un seul jeu donnant la densité d'états

locale.

-143-

C C U C U L SE L» C S N F I G U » » T I 0 N ?U C5EU» D'UNE DISLOCATION VIS O120> ILLICIT P.E>.i.«6(»-M,0-Z> IM»LlIIT iNTEGE» ( I - S ) CC<ir3N/»1/ X ( - 3 0 0 : 1 5 0 0 ) ,Y ( -500:1 500) , Z C - 3 0 0 : 1 5 0 0 ) ,

1 u ( - 3 Î O : 1 5 0 C ) , V ( - 3 0 0 : 1 5 0 0 ) , « 1 - 3 0 0 : 1 5 0 0 ) C0»P3N>»2/1 V O I S ( - 3 0 0 : 1 5 0 0 , 1 4 ) , N v ( - 1 0 0 : 1 5 0 0 ) C 0 " " 0 N / » 3 / I D ( - 3 0 0 : 1 5 0 5 ) CCSON/FO/Fx ( 5 0 0 : 7 0 0 ) , F Y ( 5 0 0 : 7 0 0 ) , FZ(500:700> 01"ENS I ON O X ( 5 0 0 : 7 0 a > , D ï ( 5 0 : : 7 0 0 > , D Z ( 5 0 0 : 7 0 0 ) TK=»Ex=(-5.D0) C=1.i33D0 PI = 3 . U 1 5 9 2 & 5 3 6 5 0 XC=(35.D0/6.D0>«DSa!(T(3.D0> Z0=8.0C'C/2.D0 NP»S=0 60 15 I = - 3 0 0 , 1 5 0 0 X U ) = 0 .03 Y C ) = 0 . D 3 Z O - C . D O

urn-;.» V(I)=C'.0C K I > = 0.D0 k t i ! ) = ;

10 CONTINUE 05 11 1=500,700 CXC)=0.CC DT(I)=C.30 DZU)=0.D0 FX(I)=3.S0 •r(l)«;.co FIIII'S.IO

11 CONTINUE c C CONSTRUCTION OU ta!ST»L c

00 60 J-5,6 K=I:>J FJ = :CI.0AT(J) DO 60 1=3,7 FI = 0 ' L : A M I ) CO «0 K=i,13 F<=0 cL0»T(O JK2=(J»lC)/2 J2=J>2 KJ=«/2 IF(((2*JK2).NE.(J*K)).tN0.((2>K2).NE,K)) If (((2'J<2).NE.(J»K)).»N0.((2"J2).«IE.J)) IMCOil.NE.j) SO TO tO B=-1.D0 CO T3 50

20 FJ = !.D0 CO TO 50

30 5=2.DO GO TO 50

*c e=c.oo 5C CONTINUE

GC TO 20 SO TO 30

-144-

X(N) = (FI-l.D0)OS3«T(î.t>0)«B"DS3»T(Î.D0>/6.t>0 T(N)=(FJ-1.D0)/2.D0 ZCN)sC«<2.00»FK-1.D0)/«.D0 NBAXSN N«N»1

6C CONTINUE K!1AX2=NKAX»JDO c

C POSITIONS BELAXEES t

DO 61 N=EOO,N«AX IFCZIN).EO.O.OO) CO TO 62 BEAD102.5) II#U(N),VCN>,WCN>

62 CONTINUE 61 CONTINUE

C C CHApP DE DEPLACEMENT ELASTI3UE DE L» DISLOCATION C

DO 99 S=505/N1«X IF(ZCN> .ES.3. DC) GO TO 60 Xx=jUN)»U(N)-XO 22 = ZtM"»(N)-IO IF(C2.L'r.0.D0).»ND.CXX.5T.D.D0)) V(N) = CD»T»!((XX/22)*PI)/

1(2.3:»PI)*W(N) IF!C2.LT.O.DO).AND.CIX.LT.O.DC)1 V(N)=CO»T»N(XX/I2)-PIl/

1 (2.5>PIÎ»VCN) 1FCZZ.3T.G.DD) VIM = D»T»N(XX/22)/(2.DO«PI)*VtN)

8C CONTINUE 9C CONTINUE

C C PEBIOOICITE DES POSITIONS ET DES DEPLACEMENTS DES ATOPES C VOISINAGE DES ATOPES C

91 CALL PSMSSCHMAXJ DO 110 I=5C3,\»ix IF(ZCI).E:.0.D9) GO TO 100 CALL V0ISINU,N'(Ax2>

IOC CONTINUE 11C CONTINUE

CALL P E B I O V C N i A X ) C C CALCUL DES FORCES C

N P A S = N » A S * 1 « » I T i ( 4 # 1 5 > N » A 5 CALL F 5 » C E ( N " A X , E C 0 E U 1 - E C 0 E U 2 )

C C CHA«"> DE OEPLACE'ENT RELAXE ET CALCUL DE LA TE«PESATUBE C

T2»=.15DD CFJ0L = 6.34D-06 N = 0 ECINET«C.DC 00 110 1=S00.N«"AX I K Z C D . E Q . O . O O ) GO TO 120 N«N*1 VX=D«(I> VT=DT(!) VZ=DZ(I) IF((3X(I)»FX(I)).LT.0.D0) OX(I)»O.DC IF((ay(I)«FY(I)).LT.0.6C) »T(I)»O.BC IF<(02(I)«FZ(I>).LT.0.DC> 0! (D=0.DO DXII)=T2»»FX(I>»DX(I> DT(I)=T?P«FT(I)»DTtl) D2lI>"Ti«»F2(I)-D2(I) VX*(VX*DXU)>/2.DG

-145-

VY=(VY*t>Y(I>)/2.D0 V Z = ( V Z * 5 Z t I > W 2 . D C U(1)=U(1)»DXU> V ( I ) » V ( I ) * D Y ( I > k U > = « ( I > * D Z ( I ) ECINET=ECINET»(VX*VX»VY.VY'»VZ'VZ)/T2" IF(N=AS.SQ.25) d » I T £ ( 6 - ; ) I , U ( I ) / V ( I ) » W ( I > kR!TE(C1r5> I , U ( 1 ) , V ( I ) » U ( I )

12C CONTINUE 13 : CONTINUE

T E 1 P = E C I N E T / ( 3 . D O » N ' C 3 : L )

ITERATION OU ASSET OS LA RELAXATION

ECOEJ1=ECOEu1«l3.600 EC;EJ2=ECOEU2«13.65C k»IT-C6.«> TE1P/ECOEU1/ECCEU2 IF(N=AS.NE.25> 50 TO 91

5 FGSI<«T(2X,13,3015.8) 15 F0°l'«T(2X/1Ci»NC,lE'SE DE P»S : .12)

STOP E M

SUÎOjTINE V0ISIS(IV/N"AX2V) IMPLICIT BEAL«;tA-M/0-2) ILLICIT INTESE5 (I-N) CC".«0N/A1/ XV (-300:15SC),YV(-30C:15C0)»ZV (-300:1 SCO),

1UV(-30?: 1 500). VV(-330:1500),«V(-30C: 1500) CC*M0N/A2/IVO:S<(-3OB:150:/U).NVW (-300:1500) J = 1 00 23 «=1CC,NM«X2V IF(2vC).EC.O.D0> SO TO 10 IFlfl.E5.IV) GO TC 10 22=CKI')+JV(")-:V(IV)-NV(:V))*(ZV(I')*WV(")-2V(IV)-1(V(IV)) I F C Z . Ô T . 1 . 5 D C ) SO TO 10 xx=(xve!)*uveo-xv(iv)-uV(iv>>«[xv(io«uv(n>-xv(lv>-uv(iV)) IF(XX.ST.1.550) <iZ TC 10 YT = (YV(P)*VV(H)-YV(IV)-VV(IV))«(YV(P.)«VV(1)-YV(IV)-VV(IV)) IF.(YY.GT.1.5D0) GO TO 10 OIST3=XX«YY«Z2 If(DIST2.GT.1.55Î) 5C TO 10 IV0ISV(IV>J>-1 J=J»1


NVV(IV)=J-1 «ETU3I, EN5

SU3S0UTINS PEMSOtNt»»»» IHPLICIT REAL«S(»-H,0-2> IMPLICIT INTEGER (I-N) COMMON/»1/ XP(-300:150C),Y°(-305:15COÎ/2»(-300:1500)/

1UP(-300:1500>,VP(-300:1500)«UP(-300:1500) COtfON/A3/IRP(-3CO:1500) 00 10 J=1»t FjeOFLOATU) 00 10 N=500»N»AXP »P(N-£::«J)=XP(N) UPtN-23C«J)=UP(N> YP(N-J03«J)'YP(S>-FJ VP(N-2C0»J)=VP(N) 2P(N-23C«J)«:'(«r) bP(N-200«J'=W»(N) XP(N*200'J)=X?(N) UP(N»2CC«J>»UP(N)

http://IFlfl.E5.IV

-146-

Y P ( H « 2 0 C " J > = Y P ( N ) « F J VP(N»2D0«J>«VP( I» ) Z P ( W O O * J ) * Z P ( N )

yPCH»2B0«J>=MP(N> I » P ( N ) = N I B P ( N - J 0 0 > J > « - « J R P C ( » 2 0 0 « J ) = I 9 P ( M

1C CO\TIHUE BETuSN END

5U?»3JT1NE P E R l : v ( K » i l P ) i n ' L U I T « ! » L « S ( » - H , o - Z I I M P L I C I T INTEGE9 C I - N )

t 0 » P 3 K / » ! / I V C : S P ( - 3 3 : : 1 5 C O / H ) , ' i V P ( - 3 0 O : 1 5 C 0 ) CO 13 J = 1 , 4 C3 13 S = 5 0 0 » ' ( , U X " ' K W » ( V - J 0 0 - J ) = N V P ( N ) NWPC.»JCO«J) = ' < V P ( N ) CO 13 L = 1 / N V P ( M ) I V O I 5 P ( N - 2 0 a - J , L ) = 3 V C : 5 P ( N » L ) - 2 2 C > J I h : i S P C > b * 2 - : 3 > J > L > « I v C J S P C S r L > ' ' s 3 f « J

10 C C T L I U E PETU3N EN3

SUS POUTINE FORCE(K«»XC/ECOEU1,ECOEl2) I H P L I C Z T P E A L « ! C » - H , C - Z ) I M P L I C I T INTE3ER ( ! - * > IMTE3E» C A h ( - 5 3 ; : 1 7 C 0 ) , C O U ( 5 ) C I"ENS!0« i I t » N ( 4 0 C ) . = r t : ( 3 ) / ° S I ( 3 ) SI " E N S ! 3 * A G ( 5 / " . > , A 5 X ( 5 / 4 > , » C T ( 5 » i ) , « S Z ( 5 / « ) O I ' E I S i a N S G ( S < 4 ) , s ; X ( 5 » ' ) . 5 G Y ( S # 4 > , 3 G Z ( 5 . 4 ) C I ' ê N S I D U T » t 9 0 ; ) , T » x ( 9 C 0 ) , T » Y t 9 a C ) » ^ » 7 t » 0 C ) S I « E M 5 : C M T B C 9 0 : > » T a x ( « C C ) / T B Y { ? ; c > » T 3 Z C O 3 C ) c : * E V S I 3 S T C t 9 3 5 > » T C « C » S : ) » T C » t 9 3 0 ) » T C Z ( » 0 C > C I"EN 5 ION A G P ( 4 ) , A G 3 C 4 > , » 3 0 X ( 4 ) , » G 0 r U ) , l S C Z ( 4 > DIMENSION 9 G » ( 4 ) , 5 G : ( 4 > , S G C X ( 4 > , 5 G C J < 4 ) , 5 G C Z ( 4 > C 0 * P 3 N / A l / XC ( - 3 0 0 : I S O O / Y C ( - 3 - 3 : : 1 5 0 0 ) . ZC ( - 3 0 0 : 1 5 0 0 ) ,

1 U'C ( - 3 3 3 : 1 5 B 0 ) / V t ( - 3 3 0 : 1 5 3 0 ) /KC ( - 3 0 0 : 1 5 0 0 ) C G " » 3 K / » 2 / ! V 0 : S ; ( - 3 3 : : 1 5 3 3 , 1 4 ) , S V C ( - 3 3 0 : 1 5 C 0 ) C ! • • 3 \ / A 3 / : « ( - 3 3 0 : 1 5 0 0 ) ( C » : > i / « 4 / S C O S ( 5 0 0 : 7 3 C ) C O - ^ K / â l / ' . < 5 , 5 . - l L ' 0 , 1 4 > , U O » e T ( 5 0 3 : 7 0 3 > C : « « 3 N / 3 2 / C S ( j , 5 / 1 4 , 3 ) C 0 » » : r , / a ! / D I F E P / 3 I ' E » X » S ] F E » Y , 0 I t £ P Z C 0 ' » 3 S / F 0 / F X F ( 5 0 0 : ' 0 0 ) / F Y F ( 5 3 C : ? : 0 ) . F Z F ( 5 0 0 : 7 0 0 ) P 5 I ( 1 ) = - 1 6 . 4 « 5 2 D - 0 2 P S 1 ( ; > = - J . 1 C 3 - 3 3 « 2 . D 0 P S I ( 3 ) = 1 . 2 0 3 J 0 - 0 2 « 2 . D O O H I ( 1 ) » 9 . 1 1 2 3 D - 3 2 « 2 . 3 0 P H I ( 2 ) » - 3 . O 4 5 0 D - C 2 « 2 . [ > 0 P H I ( 3 ) « 1 . 1 2 E 3 3 - C 2 ^ 2 . 0 0 » G P ( 1 ) = C . D 0 » G P ( ? ) « - . 7 1 5 7 4 7 5 9 » G ° ( 3 > » - 1 . 7 5 4 0 6 3 0 » G P ( i ) » - 1 . 6 9 9 4 B 3 C S G P ( 1 ) ' 0 . D C 5 G P ( 2 ) = 3 . 7 9 4 ' 1 , ' 3 0 B G » ( 3 ) = 3 . 4 0 9 6 2 9 o C 5 G ° ( 4 ) = 3 . 7 0 0 4 3 5 3 0 D 0 O I = . 3 2 ! 3 0 E C O E U I P O . D O

E C I . E J 2 P C . 9 C

«H=3 »«1c»B»1

http://ECI.EJ2pC.9C

-147-

N0«3 = 5 IGLG==1 P»5=1D-D6 50 T 1 = 5 0 0 . 7 Î 0 FXFU>=0.D0 FTF(I>=C.D0 FZF(1)=C.D0 CONTINUE CULL »«tT(NM»»C> DO 2»0 <iO=50S/N"»XC IF( I : (NC).EQ.O.PC> GO TO 25 C»LL B1»T(N0,(iri»C)

NU"£»0T»TI3N C«S ET IC«N. - T«BLE«U COU »OUR L'«TO"E NO

DO ID ICCU=1.1"1 i c cout:c:u)=e

0 0 2D I = - 5 C D < 1 7 3 0 2 : c » s c i J = C

DO 3D 1=1,100 30 IC»N(I>=3

I»= = l 1*3 = 1 IC*N(1)=N0 C0Ut1>=1 C»NCN3>=1 NN = 1 CO cD IT = a,"l»1 co 5D : N = I » P , : 4 : K=IC»N(IN) CO SD l=1,NVCC\) «=IK0:SC(N/L! IFCC»NtH).NE.D> GO TO (.3 K^=SS*1 C«Nt«)=NN IC»N(NN)=M

<-Z CONTINUE 5: CONTINUE

C:U(IT)=NN :j»=»m :»Î=NN

o: CCNTINJE N» = NN NG=5«N»

C»LCJL DES COEFFICIENTS

DO 213 JCR9=1.5 00 73 1=1,900 1»(1)=0.D0 T»I( I)=O.DO T»T(I>=O.DD T«J(I)=0.DO TCt I )= : .D3 T C X I I ' S . D O TCT(!)=3,D0 TC2(I)=0.D0

7C CONTINUE »E»D 5 ! C , 1 5 , I ;

sac F O 5 H K 2 I I ) T»t I5 )=1 .C0 T»KI5)«1 .DC

-148-

TAY(I5)=1.50 T«Z(I5)=1.D0 SG(I5,1>=8.90 BGX(I5,1>»0.D0 BGY<I5,1>»D.D0 3GZC5,1)=0.D0 NHrCOUd) NF=C0U<1) KN=C0U(2) DO 269 IJ = 1,«IM1 NN5=5«NH KN5=5»<N

C HECHSION «OBTENTION DE «G ET Sô

DO H d I=1»KN II=i:»N(I) IS:=IB(IÎ) U=I:O"PTCB:) NE=NVC(IBC) DO U O 12 = 1/5 s=:.2o SX=C.D: S»=C.D: S2=O.D: DO 110 J = 1.-NE

s=:v):5cc:irj> IF(c«N(N>.EO.O) GO TO 120 IRN=II-CN-Ia{N}) 1FC»C.EQ.N31 JEQ = J If(IRC.EO.NO) GO TO «3 J E S O IF(N.ES.NO) C»LL JES'JI(NO/I!,JEi) IFUIStNJ.Ea.NDJ.ANs.^.NE.f,?)) C

I J E 3 U I « N Û » I » N > J E S > 3C KA=5«(CAN(N>-1)

50 113 ,12=1,5 E = S«:(I2.j2/IA»J).T«(i(â»j2) If(J50.NE.C) gS TO 90 5«=S«»C<I2,J2/I»/J)»TAX(<«»J2) ST«S»»C(I2»J2/I»»J)«*«T(<»'»j!) S2=S2»C(I2,J2,IA,j)«TAZ(<»«j2) S3 '5 ICO

9C £«s3X«CS(I2.J2/JE6.1)- T**(««»J?) £T = 5T»CSC2,j2/jEÎ»2)«T»»(Kt»j2) S2=S!tc^(22,J2»JEO,3).TA:(<A»j2)

100 CONTINUE 11C CONTINUE 12C CONTINUE 1JC CONTINUE

NFF=5«(S-1)«!2 E C 0 » U » C > O . D 3 TS(N«r)«S«CCOI>(lBC)»TA(NFf> TB»<NFf>»S«»EC3»(I»Cl»*«»(NFF> TBY(Nff)«5T'EC0ll(I»C)«T»Y(NFf) T92(NFF)«S2»EC0S(2»C)'TA2(NFt)

U C CONTINJE IF(KN.SL.NX) 30 "0 160 «E»KN5»1 DO 150 I=KE#Ng TB(I>»0.»0 TBX(I)=C.DO TbY(I)=D.SO T32(I>=C.S0

-149-

1 5 0 C O N T U U ï 1oC 5 2 = 0 . 0 0

S 2 X O . 0 C S 2 T O . D 0 S 2 Z = 3 . D 0 S1=C.DC SU=O.:>G S1Y=0.DG sizo.oo S = 5 . 3 C Sx=Q.D3 S » » a . D 3 szss.s:

DO 170 I = 1 » N F 5 S = S » T a ( I ) « T A ( I ) S X « S « « - 3 X ( 1 > * T » X ; Y = 5 T » T 5 T ( I ) - T A T ( : )

S 2 = s ; - T 3 z m » T A : ( i > 17C CONTINUE

DO 130 I = 1 » N F 5 5 1 = 5 1 * T A t : ) « T A ( I ) S 1 X » S 1 « « T » X C T . ) . T i X ( I > S1Y = 3 1 Y - t T A Y < : ) - T » Y < l ) s i i = 5 i : » T A 2 t : i « T » : m

i e c C : N T I N U E

A G ( Î 5 / : J ) = S / S I

» G X ( I 5 » I J ) = 5 X / S 1 X

» G Ï ( I 5 » I J ) = S r / S 1 Y A G Z I I 5 . I J ) = SZ.'S1Z 1 F C I J . E S . 1 ) 30 T : 2 1 0 DC 1»3 I = 1 / N H 5 S 2 = S 2 » T C < : J * T C C I ) S 2 x = 5 2 x » T C X ( l ) . T C X < ! > S 2 Y = 3 2 Y . T C Y C I ) « T C Y ( I >

S2Z = 3 2 Z » T C : C ) * T C Z t I ) 15C CONTINUE

B G ( I J = S 1 Y / 5 2 Y 6 G Z C I 5 . I J ) = S 1 Z / S 2 Z

2 û : CONTINUE CD 21û I=1»KN5 50U=TC(1> 8 0 u x » T C x C ) S 0 u r » T ! Y C 5 BOUZ'TCZ « I J 9 A J = T A ( 1 ) 9AUX=TAX( I> EAUY=T»Y( !> E A U Z = T ' I ( I ) T t ( I ) = 3 A U T C « ( I ) = 9 « J X T C Y t t ) = e A U Y U Z U ) = B»Ul T A ( I ) » T B t I ) - » G ( 1 5 » I J ) » B A U - 9 G ( I 5 , : j ^ B S U T A X ( I ) = T 9 X t I ) - A G X ( I 5 < J J ) « 9 A u X - S G I l I 5 » I J ) ' * B C u X T A V ( I ) = T S Y ( Z ) - A S Y t I 5 . I J ) « 3 « U V - 9 G » ( I 5 » I J ) « B C U T T A Z ( I ) = T S Z ( l ) - » G : t I 5 - 2 J ) - a » u Z - B i Z t I 5 / l J ) » B O U Z

21C CONTINUE I K « V . E O . N » ! GO TO 2 3 0 DO 220 l ' K E / N G B A U = T A ( I ) BAuX=TAXt l> E A U Y * T » T I I > 6 A J Z = T I : H )

-150-

TC(I)=3AU TCK(I)=2«U< TC»(I)»3»UT TCZ(I)«3AUZ T«(I)x0.oo T»XCI)=O.D0 T A T U ) = 0.OC TAZ(I)=0.B0

220 CONTINUE «N=C3u(IJ*2>

23C IF(NF.SS.NX) 00 TO 240

f.F«C3u(2J»1> 210 IFCNM.ES.NX) 30 TO 250

IFIIJ.E0.1) GO TO 253 NN=C0UCIJ)


CALL CCKOCOCAG.aCAGO.SGO) C A L L c o « o c c ( A i « , e G X / « G C x < a o : * ) CALL C0"OCO(A5T,«GT,AGar,S5aT)

CALL C3l<0C0CA,iZ,°&Z,AGC2.3G:Z>

CALCUL HE LA VARIATION ÙE L'ENERGIE ATTRACTIVE EN NO

tiiFE5= BIFE3X BIFE3T H * E 3 Z DO 270 DIFE3= IFtI IFCI.N DJF53X BI'EOX B1FE3Y M ' E S T BIFE3Z BIFE3Z CONTIN BIFE3» BIFE3X 0IFE5T

DI'ESZ IF(NVC EC:EUI

0 0 Ml

3»">HI BIFE 5IFE

S3X + P 51>x»2 EBY*P E3»»2 EBZ»» EBZ*2

( I ) * C A f i O ( t » 1 ) - A G P ( I » 1 > ) / 2 . D C 3 = D I F £ 3 * £ . 3 O » S I < ! > * O ô 0 ( I » l ) - B G P 3 = B I F E B » P S I t I ) « [ 9 G 0 t I » 1 > - 2 5 P ( I » l > ) H I ( I ) « ( A G 0 x )

O O » P S ; ( I ) - O G O X ( I » I ) - S G : C I * 1 ) I K I ) * ( A G C Y ( I » 1 ) - » G 0 ( I » 1 ) )

S 0 ' P S I ( I ) » t = G 0 » ( ! » l ) - S 5 3 ( I « 1 ) ) H l ( I ) - ( A G 0 Z ( I * 1 ) - A G 0 ( I « 1 ) )

D C « P S K I ) « ( S G : I C I » I ) - B G 3 ( I * 1 ) )

F E B " 1 0 . B 0 » B B » I F S B X » 1 C . D 0 » B B » I F E D » » 1 : . B 0 « 0 S » X

I F E D 2 - 1 C . B 0 - B 3 P I 0 > . L T . 1 1 ) GO TO 271 C 0 E U 1 » B I F E 3 * B 1 F E «

CALCUL BE LA FORCE SUR l 'ATCNÉ NO

271 F X F ( N 0 ) = F X F ( N 3 ) - ( D I F E B X » 2 . B 0 « B I F E R X ) / P A S F r F ( N 0 ) = F Y F ( N 0 > - ( D I F E D Y « 2 . D C « B I F E R » > / P A S F Z F ( N 0 ) « F Z F ( N 0 ) - ( D I F E B Z ^ 2 . B C * B I F E « Z ) / P A S E C 0 E U 2 = E C 0 E u 2 » D l f £ 0 » B I F E » •EUINB S

28C CONTINUE 293 CONTINUE

RETURN ENB

SU9R0UTINE J E J U M N O J E . N J S . J E ) I K ' U C X T R E A L » 8 ( A - H , 0 - Z > I M P L I C I T INTEGER I F ( N I . E O . N J E ) SO TO 2 0

-151-

1C CONTINUE ZC JE'K

RETURN END

SUBROUTINE *X«T(NK>K>) IAPLICIT RE»L«! ( * -N /3 -Z ) IMPLICIT INTEGER CI-N) CO"l>3K/»1/ XA(-30C:15CO),YA(-3DD:15CO),ZA(-300:1500)/

1UAt-300:1500) /VA(-300:1530) /UA(-300:1 5001 CO**3N/A2/IVOISA(-30O:1500/14)/NVA(-300:15C0) C0MH:N/44/ECOR(SCO:700) CO«H , )N/91/»(5«5.100.14)»UOH'«I500:700) C3 = 0SO8T(3.Cl0) BDSC=-2.00 CDPDM.DO DDDC=0.D0 EF=-3.1660 U"U2=14.399B300 0=2.»7DG 1=1 co 3 i L=;o:»»cn»x» EcomLMa.so I F ( Z » ( L ) . E = . O . O J ) GO TC 20 UOP»A(L) = I NE = S'VA(L> DO 13 J=1/NE k=IVOISACL/J) R=(XAU)*UAU)-XACN)-UA(N>)»(XA(L)*UA(L)-XA(N1-U»CN)) R=(YA(L)»VA(l)-YA(V)-VA(N)).(rA(l)*VA(L)-»A(N)-YA(N>)«R 0=(2A(l)*«A(L>-2A(N>-tlA(N>)«(2A<Ll«bAU)-Z«(N>-tlA(N))»R P=DS1RT(R) ECDR(L)=EC08(L>»»EXP(-C«(R-1.DD>>*«2 0DS = ODSû«DEX'>(-a«(O-1.OC)) DDP=5D»:«DE»»l-e«(»-1.DC)) pDDO»90«DEX»{-a»(R-1.DG>l E=(XA(L)+uA(U-XA(N)-UA(N>Wl F=(Y«(L)»VA(L)-YA(N>-VA(N>>/R G=(ZA(L)*yA(l)-2A(N)-llA(N>)/R EE = E^E~ FF=F«F GG=G'G EEff1»SE»FF E£FF2=EE-F* A(1,1/I,j) = Î.DC"EE*F'«ÔCS«{EEFF1-4.D0«EE«F')«I)DP

1«(G0»EE«FF)«50D «(1/2/I/J)=3.3C-E« IF«G«DDS'E»G-(1.B0-4.0O«FF)«ODP

1«E«G*('F-1.00)«ODD At1/3/I/J> = 3.D0'EE«F«G«DSS«F«G*t1.»E-i.1>C*EE)«1>DP

1*r«G»<EE-1tPD)»B»B A(1,A,I,J)s1.5rO*E«F«ESFFJ.[>BS-2.DC>E«FoEEFF2*t>DP

1»0.550>E«F»EEFF2«DI)D A(1,5/I/J>=C3«E»F*(iG-0.5D0«SEFF1>«DDS

1-2.D0»C3'E«F*GG'DD»*0.500«C3*E«F« 1(1.03»55)«DBD »(2,2,I,J)=5.00'FF«GG"DD5*CFF+GG-t.DC«FF«GG)«D0P

1»(SE»FF«GG)«D3D «<2/3/I/J)«3.00«F«GG«E*CiDS«F«E«':i.t>0-4.l>O«<-G)«OO»

1«F«E»18S-1.»D)0»D â(2,4,I,J)»1.5O0»F.G*ËEFF2.DIlS-F«G«(1.O0»2.»O»6EFF2J

1«DBP*F«G«(l.50*0.5D0»EEFF2)OBD »(2/5/I«J)=C3«F«G«(5G-G.5D0«EE cFl)«DDS

1«C3«F.G»(EEFF1-GG)»DDP-0.5D0«C3 1«F«G«EEFF1«000 A(3/3/l/J)«3.D5»GG«EE«DliS*(Gô»EE-4.C'0«GG»EE)*00P

1«IFF»G3"EE>»DDD

-152-

« ( 3 , 4 , 1 , J ) « 1 . 5 5 O * G * E « E E F F 2 . 5 D 5 » 0 * E * n . D 0 - ; . O O ' 1 E E F F 2 ) « 0 P P - G * E » ( 1 . 5 C - O . 5 c û « E £ F F 2 ) . 0 0 D

â ( 3 , 5 , I , J ) * C 3 » E « G « ( G G - O . $ D O « E E F F 1 ) « D 0 S 1 » C 3 - S " G « ( e E F F l - G G ) « D D P - 0 . 5 0 0 « C 3 1>E«G*EEFF1«00S

» ( 4 , 4 , I , J ) = 0 . 7 5 D 0 « E E F F 2 « « 2 - » D 0 S » < E E F F 1 - E E F F 2 1 . . 2 ) « D O I " » C G C . ' * 3 . 2 5 t > 0 « S E F F 2 " 2 ) « D O O

» ( t , 5 , I , J > = D . 5 0 0 * C 3 « S E F F 2 . ( G G - D . 5 o : « 1EEFF1 )«5 t>S -C3»GG«EEFFJ»D»P«C.25D0 1 « C ! » ( 1 . 0 D * û ô 3 " E c F F 5 » D O O

A ' 5 » 5 , I , J ) = ( 3 S - 3 . 5 D 3 - S S F F 1 > « * 2 « D D 5 * 3 . 0 0 * G G * 1 E E F F 1 « D D P » 0 . 7 5 5 0 * E E F F 1 « « 2 " D 5 D

« ( 2 , 1 , I , J ) = A ( 1 , 2 , I , J ) » ( 3 , 1 , I , J ) = A ( I , 3 » I , J > A ( 3 , 2 , 1 , J ) = » ( 2 , 3 , I . J ) A ( 4 , 1 , I , J ) = . U 1 , 4 , I , . I ) A ( 4 , 2 , ! , J ) = A ( 2 , 4 , I , J ) » ( 4 , 3 » I , J ) * « ( 3 , 4 , I , J ) A ( 5 , 1 , I , J > = A ( 1 » 5 , I , J ) A ( 5 , 2 , I , J ) = A ( 2 , 5 , I , J ) » ( 5 . 3 , I , J ) = A ( 3 , 5 , I , J > A ( 5 , 4 , I , J ) = A ( 4 , 5 , I , J )

1C CONTINUE EC:R(L)=6.OD*ECO | >(L) /5 .BO E C 9 « ( L ) e E F * ( 1 . D 3 - D S 3 > T ( £ C O C ( L W U l , Y A ( - 3 0 0 : 1 5 0 0 ) , Z A ( - 3 0 D : 1 5 0 0 ) ,

1 U A < - 3 0 3 : 1 5 0 0 ) , V A ( - 3 0 0 : 1 5 0 0 > , W A ( - 3 0 0 : l 5 C C ) C 0 » » : N / A 2 / I V ; I S« ( - 3 3 0 : 1 5 0 0 / U ) # " . V A ( - 3 0 C : 1 5 C 0 ) C O 1 P 3 N / « 3 / I R ( - ; 0 0 : 1 5 D 0 ) C 0 " P 0 h / B 2 / 3 ( 5 » 5 » l 4 » 3 ) C O « l " 3 f . / p 3 / 0 I ' , 0 1 F X , D I F Y , 0 I F Z C O ' - O N / F O / F X ( 5 0 0 : 7 0 0 ) . F Y ( S C O : 7 0 0 ) , r l ( 5 0 0 : 7 0 0 ) D I » E M S I ! N E a ( 4 ) , S ( 4 ) C 3 = S S : = T ( 3 . 5 3 ) D D S 3 = - 2 . D 0 D D " 3 = 1 . D 0 C S 2 : = C.[10 C = 2 . ' 7 5 C M Ï 5 1 . 0 0 P = 1 0 . 6 7 3 5 7 5 0 E R C = . 0 9 7 4 3 0 0 P S I = - 2 . 0 C " 1 3 . 0 3 » . 0 2 8 0 0 * 1 6 . 4 6 5 2 0 - 0 2 O I F 0 X = 0 . D 0 OlFOYrO.BO 0 I F D Z = 0 . 3 0 00 13 « = 1 ,4 S ( K ) = 0 . 0 0

1C t . 1 ( * ) = 0 . 0 0 P A S = 1 0 - 0 6 NE=NVA(HO) PO 60 J=1 ,NE ri = IV0I5A(N0,J> NEE = NVACO 00 93 L=1,NEE DO 73 K = 1 ,4 M I V 3 I S A ( N / l ) 0U««U»(li)-U»(1>

-153-

DV«=VACN)-VACN) B*MWA(N)-W»(«) IFCM.NE.ND) GO TO iS IF(C.EO.l) GO TO BO IF(K.EO.I) BUA=BU»-PAS IFCK.ES.J) BV»=BVA-»»S IF(K.EQ.3> BWA=DW»-P»S

8C P=(»»(N)-*«('<>»DU»)«(»*(N)-Xâ('l)»DU») B=CYÂCN)-YAC<>«BVA1«CY»(H)-Y»(»)*BVA)»R

«=tz»eo-2»ii>*Dy«)«(2.»CN)-i»cio*:>y«m

R=DSJRT<«>

5(«) = S(lO»tDEXPl-B«[«-1.00))«*2)«6.tlO/5.DO 7C CONTINUE »C CONTINUE

o:[5«=(DSa»T(stii)-6SOBT[s(4)))«Ps:*oiFo» DIFBY = 1 3 S S » T I ; I 2 ) ) - B S O O T I S U > > ) « » S I » D I F D Y BIFDZ=CB55RT(SC3>)-3SORTCSC4)))«P5!»BIFBZ 5CD=0.DD S<2)=C.D3 SO)=D.BO 5(41=0.30

6C CONTINUE F X U } ) = - D 1 F B X / ° » S F Y ( N 3 ) = - 6 I F D Y / O A 5 F Z ( N 3 ) = - O : F D 2 / " > » 5 DO 4 ] K = 1»4 00 30 J = 1 . N E N=IV3ISiINC,J> BUA=JACNO)-UACN) D « » = V » ( N a ) - V « C N ) B . « = « A ( N C > - « A < N ) I F ( I S ( « i ) . E 0 . N 0 ) GO TO 2 0 I F K . E : . ' ) GO TO JO I F C K . E 5 . 1 ) D U A = O U A » P « S I F C C . E C . 2 ) 3 V A = B V » « P A S ; F ( K . E : . I ) C * A = B W A * S A 5

2 C B = { X « C N O ) » B U A - X A ( N ) ) ' C X A ( N O > ' > D U A - X » C N ) > » = ( Y A C N 0 ) » 3 \ / A - r 4 ( N ) ) « C Y A ( N : ) * C V A - Y I ( % ) ) • » » = ( Z A C N i ) ) * 0 W A - I » ( N ) ) ' C 2 A ( N O ) » B « A - I A ( S ) ) » » B = 3 S J B T ( » )

• E » ( K ) = E » { K > * A « 0 E » P t - ° * B ) I F U . E 3 . 4 ) GO To 21 D D 5 = 3 D 5 0 * D E X = ( - S « ( B - 1 . D O ) ) B 3 » O D » C « D S H » < - J « < R - 1 . D 0 > > t J 6 = 333C«DEX=>C-a»(B-1 . 0 0 ) E ° U » ( H C > O U l - X t < h ) W R F = ( » A ( N 0 ) « 5 W A - Y A ( N ) ) / R G = ( Z » t S C ) " 6 W A - Z A C N ) ) / R E i=E«E F F = F•F GG'S«G EEFF1=E£»FF EEFF2=EE-FF B C 1 , 1 , J , H > = 3 . O a « E E » F F . 0 D S » t E E F F 1 - 4 . B 0 « E E « F F > « D B P

1*<GG*EE«FF)«5DD B U / 3 » J < « ! ) = 3 . D t ) « E » F F » G * D C S - ' E « G « t 1 . t l C - 4 . e O « F F ) « O O P

1 « E « G « < F F - 1 . B 0 ) « D B O 6 ( l , 3 , J » I O = 3 . B O « E E " F « G « I > B S » F « 6 « n . D C - 4 . B C « E E > « » O P

1 * F * G < ( E : - 1 . D S ) » P » D 9 ( 1 , 4 / J , I C ) » 1 . 5 B 0 « E « F « E E F F 2 . 0 D 5 - 2 . B 0 « E ' F . E E F F J . B » P

1 * 0 . 5 B O " E » F " E E F t 2 - 0 0 0 S ( 1 ( 5 W . K ) = C 5 ' E « F . ( G G - C . 5 0 0 « E E F F 1 > . B 0 S

1 - 2 . B 3 - C 3 « E « F * G G » B 0 I > » D . 5 B 0 ' C 3 * E F » 1 < 1 . B 0 » G G ) « D 0 0

B ( 2 ( 3 / J » K ) « 3 . B 0 « F F « G G « D B S * ( F F * G G - 4 . B 0 * F F « G G > « B 6 P 1 » t E E » F F * G G ) * S S B

-154-

BC2.Î,J.K>«3.30»F«GG*E«BBS*F«E«C1.B0-*.B0«GG>«BBP 1«F«E«CG5-1.00>*BBD e(2,4,J.O«1.5D0*F*3'EEFFZ«BBS-F«5«Cl.D0*2.B0«EEFFJ)

1«BBP»F*G«(1.OO»0.5DO«£EFF2l«DBB EC2.5.J.«>«CJ*F.G«CGG-C.5oO«EEFF1)*DBS 1«C3«F«G«CEEFF1-GGJ«ODP-0.5BOCI 1"F.tt>EEFF1«DDD 5l3,3.J»IC)=3.DP"GG»EE«&BS»[GG»EE-4.B0«GG«EE>«O0P n*C'F»6G-EE)»B0B BC3.4,J»K>«1.50 0'G«E*EEFF2«DDS»G«E»C1.00-2.00«

lEEFFJJ'BBP-G'E'O.Oû-G.SOO'EEFFZl'OBO B(3.5,J,IC) = C3»E»G«CGG-0.5l>C'«EEtF1>«BBS

1«C3"E«G«(EEFF1-3G)«DDP-0.5BC>C3 1"E«G«EEFF1«BBD B(4«4,,1,10*0.75 00-EEFF2..2«B0S*(EEtFl-EEFF2

1"2)«DBP»(GGO.25B0*EEFF2»«2)"BBB B(4,5/J/<!=0.500"C3«EEFF2«(53-D.55t;« 1EEFF1)«305-CI»G5«E£Ff2.!l5P*3.2;D!) 1«C3«(1.D5»GG)«EEIF2.BDD S(5>5.J,O = (GG-C.5DC'EEFF1)««2«BDS«3.B0«GG«

1EEFF1»3J»»!î.750i]-£EFF1«.2.5D5 B(2,i,j,o=a(i,2»j#<> 3<I,1,J,O = 3(1,3,J»)0 8(3/3,J#lc)'B(2>3'J'K) B(4,1,J,0=9(1»4»J,IO 9(4,2,J,IO=3C2,4,J»IO

5C4,3,J,0«3(3,4*J»K> B(5,1,J.lt) = 3(1,5»J,0 B(5,?,J.O=aC2,5/J#lO B(5r3,J,0*at3>5<JrO SC5.4»J.K) = 3(4,5».I.K>

21 CONTINUE 3C CONTINUE 4C CONTINUE

t>lFx = E B ( 1 > - E » [ 4 ) D I F Y = E D ( 2 ) - Ï ' C 4 > 0 I [ Z = E ' ( 3 ) - E » ( 4 ) 0 I F » E R t * ) - E « 0 BETL3N END

SU393UT1NE C 0 1 0 C C ( â T C , 9 T C , « 3 C . e G » ) I M P L I C I T » E » L > 5 ( » - H , 0 - Z ) I"0LICIT INTE3ES (I-N) Bl'ENSION «TCe5.4),3TC(5,4).9BC5.4),D'.5.S).B0Ate) DI«CN5I:N «GC(4)/6GC(4),9GB(4)»K»AT(5/;),hUî/5),H2(5.5) BI'iNSION XNUC8)»XNU<8),»C(')#9CU) I*OD2=2 PH=4 NOBÉ=5 XMUL0fi=.2DO RHI'^H-I PH2=»K*1 NH0P=2"*»-1 DO 33 J=1-NOOa BO 10 «"1»«B gR(J#K)«tSCftT<BTC(J*K))

1C CONTINUE BO 23 (1«1»H>I1 K2«K1»1 STC(J,K1)« = TC(J,lt2)

2C 9R(J,K1)'9»(J,X2> BTC(J.1lO = 1.00 BRCJ.Aei«1.D0

3C CONTINUE BO 160 J1«1#N0R3 00 150 1»0»=2#N«0N IH0M=IP0I<-1 IH0«2=I*0«/2 NB»N3 = I N T ( ( O F L O » T ( I K O H ) » . 0 ' 3 1 D O ) / 2 . B O > » 1 KR«NG1=N»ANG-1 I F < H C - 2 « I M 0 1 2 > 9 3 . 5 0 . 9 0

-155-50 CONTINUE

DO oO L1=1»N«ANU CC û3 K1=1#N = A«I3

6Û HMATCK1,L1>=D.DO

IFCN'AVO.EO.2) OS TO 30 00 70 N=2,NRANG1 M = N-1 N2=N"1 HP.ATCN,N>=AT:CJ1,N) i " U T H , i i i ) » a « i j n i )

7C HHATCN,N2)= = S ( J 1 » M 8C «H»T(1#l)=»TC(J1r11

HN»TCN».ANG,N»ANS>=ATCC.I1,N»»NG>

HMATCN»AN3,N!UN3l>=ai!C.n,N'»NG1> 5D CONTINUE

Dû 130 L2 = 1,N=-JNG DO i:C <2 = 1,N!»ANG

IOC H(x2#l.:i=>"U''( <2,i.2)

DC 11- J«S"=1»I»5»1 CO 120 L3=1,NS«NG

DO 120 K 3 = 1,NS.»NG

H 2 ( < 3 , L 3 ) = S . D 3

DO 120 "*3 = 1,N»»NG

h2(x3/LÎ>=H2(i.3#L3)»«»AT(K3/ ,3)"l1(f3/L3) 12C CONTINUE

DO 13C L'=1>NS«NG CO 130 K4 = 1,N=.ANG

13C hl(Ki,L4)«M2CiC4#L.«)

u : CONTINU;

DtJl,;"0M=H1 Cl,1 ) 15C CONTINUE

CCJ1,1)=ATCCJ1,1> 1oC CONTINUE

00 130 L"0"=1 .NSDP! CO"(L«C")=:.OO DO 1*0 J2 = 1,"J0°3

17C 5:«tL":")=D0 ,i(L ,<o»)-otJ2.L«3")-x»uL0» 18C CONTINUE

* = NIO» DO 230 1=1,N13» Xl-UCI J = 5Î«<I)

23C CONTINUE CALCUL DES A ET S A »A=TIB DES »C<ENTS

DO 220 K=1/N«2 X h u O >=-x»u(1> DO 210 1 = 2,« XNUCI>=-X!tUC!> IW1=I-1

DO 210 J=1,I«1 IBJ=I-J

210 XNU(!)=<NUC:)-XNU(J)"X»U(I1J) AC(X)=-XNU!1> BCtK)=-ANU<2> M 1 - 2 IFC0.ES.O) GO TO 230 00 220 1=1/1

X«U(I)=-XNUCIP2)/aC(x)

22C CONTINUE

»GCC'l»£-1)=X»j(1) 230 CONTINUE

05 2iO 1=1,NM2 ( « C O ' A C O

2kC éGC(I) = D C U ) DC 25C 13=1,»11 JâeH^-IS'l j5i = J a-i

25C E G C ( J = ) = ; G C ( J 3 1 )

EGC(1)=0.60 00 240 :COEF=1,1" EGBtICCEF)=DSOBTCSGCtICOEFl>

2oC CONTINUE "ETU'N END

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Novembre 1984

DEPOT LEGAL

4ème trimestre 1984

iSSN 0429 - 3460

La diffusion des rapports et bibliographies du Commissariat à l'Energie Atomique est smtée par le Service de Documentation, CEN-Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, (France)

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I

Edité par le Service de Documentation Centre d'Etudes Nucléaires de Sxlay 91191 GIFsur-YVETTE Cedex (France)

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