Belajar excel

1

3

t4r5

b,7

INCLINE.XLSChapter 4

lnclined Plane with Friction

l,,rlass

Ac c e I e raticil:oFg ravityCoefficient of static friction

kg

m/s2

degree

Force Down the Plane

10 1

11 2123134145156167178189

Normal Force

97.9850797.9403

97.8656997.7612897.6270897.4631597.2695297.0462796.79346

01.7103363.4201515.1289246.836'1348.54126310.24379

11.943213.63896

15.33058l,K r ) x\ttcru.(&Ettl*Et2l

69)

Nrnyurm

48.95

48.91

48.9:48.8f48.8'48.7:48.61

48.5:48.3!

Ilmuwan S.C. BTOCH

4

EXCEL untuk Insinyurdan Ilmuwan

Edisi Kedua

S. C. BLOCHUniversit-y of Soutlt Florida

.!tl.'{

t"

PENERBIT ERLANGGAJl. H. Baping Raya No. l0t)

Ciracas. Jakarta [37;10

http://www.erlangga.co.ide-mai l:editor@ erlangga.net

(Anggota IKAPI)

?9 '*1 /ItUZteMtI-lK

Bcdan Petilrr-('lai:a3rt

Prnoin:i 'zrva -[-itl tf

EXCEL untuk Insinrur dan IlmuxanS C B-.'.:

Juciul .\.1i: E\CEL for Engineers and ScientistsS C B]...:-

Originel ISB\ o-+- I :56361

Coplright e John \\iler s Sons. Inc.franslation copl-ri_uht e l0O- 6r Penerbit Erlangga.

All rights reserved. This translation of EXCEL tbr Engineer: and Scientists Second Edition is publishedby arangement *ith John \\ilcr & Sons, Inc.

Hak terjemahan dalam Bahasa Indone:il ptda Penerbit Erlanggaberdasarkan perjanjian resnri tangral l5 Oktober 2005

Alih Bahasa: Soni Astranto. S.Si.

Editor: Lemeda Simarmata. S.T.Taufan Prasetlo. S.Kom.

Buku ini diset dan dilayout oleh Basian ProdLrksi Penerbit Erlanggadengan Power Macintosh G5 tTimes l0 pt1

Setting oleh: Tim Setting Perti

Dicetak oleh: PT Gelora Aksara Pratama

1110090807 654321

Dilartrng keras mengutip, ntenjiplak. memfuokopi, atau memperbtutt'ak dalcun bentukapopun, baik sebugian utau keseluruhan isi bukLr irti, serta ntentperjuttlbelikunnya

tttnpa i:.in terttiis dari Penerbit Erlangga.

O HAK CIPTA DILINDUNGI OLEH UNDANG-UNDANG

Pendahuluan

lntisari dari ilmu pengetahuan adalah memilikinya, lalu mengaplikasikannyaConfucius (K'ung Futse, 551 SM - 479 SM)

EXCEL adalah lembar pengolah angka (spread.sheet) yang sangat populer untuk aplikasi-aplikr.rdi bidang sains, rekayasa, dan teknik karena fasilitas-fasilitasnya yang begitu kaya dan berlakusecara universal. EXCEL merupakan sebuah aplikasi pengolah angka yang lengkap yang marnpumempercepat serta memudahkan Anda menganalisis, mengatur, menginterpretasikan maupunmemaparkan data-data.

Aktivitas di bidang rekayasa dan sains membutuhkan kemampuan dalam berimajinasi. pe-

mahaman. nalar, dan perhitungan. Semuanya saling terkait satu sama lainnya, sehingga bila Andadapat memiliki salah satunya saja maka sebenarnya Anda telah memiliki lebih daripada 25 persen

keuntungan di tahap awal. Buku ini akan membantu Anda dari sisi yang paling mudah, yaituperhitungan. Tiga hal lainnya tergantung kepada diri Anda sendiri.

Tujuan buku iniBuku ini bertujuan untuk membantu Anda dalam melakukan perhitungan dan analisis terhadapdata-data. Perhitungan lebih mudah dilakukan daripada berimajinasi, memahami, dan bernalar.namun perhitungan tidak selalu mudah dilakukan dan kadang justru membosankan. Ini adalahbuku mengenai "Bagaimana harus berbuat" yang dimaksudkan untuk memberikan kemampuandalam memecahkan persoalan yang Anda butuhkan menyelesaikan pekerjaan. Di dalamnya akan

terdapat banyak topik lanjutan yang dapat Anda pelajari nanti.Buku ini didesain agar dapat masuk ke dalam tas punggung dan dapat digunakan secara

interaktif dengan notebook atau komputer desktop Anda. Hidupkan komputer Anda dan masukkanCD-nya. Jalankanlah EXCEL bersama dengan buku kerja di dalam CD sambil Anda membacabuku ini bab demi bab insatlah bahwa:- . Saya mendengar, saya lupa.

. Saya melihat, saya ingat.

. Saya melakukan, saya paham.

Siapa yang membutuhkan buku ini?Buku ini diperuntukkan bagi para insinyur dan ilmuwan, juga orang-orang yang ingin nren-1adr

insinyur atau ilmuwan, atau bagi siapa saja yang ingin mengetahui hal-hal spesifik dari sesuaruyang telah diketahuinya sebelumnya. Buku ini pada dasarnya diperuntukkan bagi para pentuil.para mahasiswa yang mungkin menghadapi kesulitan dalam mata kuliah kalkulus. kimia. fi6log:.fisika, dan baru mulai mempelajari ilmu-ilmu statika, dinamika, termodinamika. biologi molek:i.rangkaian arus bolak-balik, elektrodinamika, mekanika kuantum, dan berbagai disiplin :.- -lainnya.

Pendahuluan

lsi buku ini mencakup:. Ada 90 buah contoh buku kerja di dalam CD yang dikelompokkan berdasarkan bab.

' Penjelasan-penjelasannya dibuat dalam format teks maupun gambar, sederhana, dan langsungke pokok masalah. Seluruh gambar di dalam CD ditampilkan berupa buku kerja (tvorkbook)dan berwarna.

. Bagaimana cara membuat struktur data, melakukan efisiensi. mendokumentasikan komposisibuku kerja melalui sel-sel data masukan, merangkum hasil dan statistik sel, maupun memberikancatatan (comment) terhadap sel.

. Tips dan trik penggunaan EXCEL untuk keperluan aplikasi-aplikasi rekayasa dan sains.

. Strategi pengajaran untuk membantu para pemula.

. Titik berat pemaparan data secara grafis diberikan dalarn tbrmat yang standar.

. Disediakan web sire untuk mengupdate materi dan CD.

. Link ke Internet. Lampiran 2 dan Daftar Pustaka terdapat di dalam CD dalam format HTMLagar dapat diakses melalui w^eb brovser.

. Metode diferensiasi dan teknik integrasi sederhana dijabarkan dan diperbandingkan denganjelas.

. Penjabaran secara menyeluruh terhadap fasilitas-fasilitas di dalam Analvsis ToolPak menjadikanEXCEL berguna secara teknologi.

. Latihan-latihan untuk meningkatkan kemampuan diberikan di retiap hab.

. Aplikasi-aplikasi operasi matriks berformat EXCEL.

' Penggunaan EXCEL untuk mengimpor, menganaliri:. Jun 11.'lsgkspot- data ke aplikasi peng-olah kata (u,ord processor').

. Menyisipkan lembar kerja aktif ke dalam aplika.i penSolrh kltri.

. Memasukkan klip video maupun klip gambar ke drl.rnr lenrber kerja nlorls/reer).

' Penggunaan EXCEL untuk menarik data secara Lrtr)nrati. d;rn nrencontrol eksperimen baiklokal maupun jarak jauh.

. Penggunaan EXCEL bersama-sama dengan hardu are Jrn :trtiri are populer lainnya.

. Penarikan data eksperimen melalui port serial. atau p.rrelel tanpa bantuan perangkat tambahanlainnya.

. Pengunaan data eksperimen EXCEL melalui Trorr USB.

. Petunjuk penggunaan Fast Fourier Transform dengan brnruan EXCEL.

. Petunjuk penggunaan Fast Fourier Transform dalani apiiku:i-aplikasi rekayasa dan sains denganbantuan beberapa fungsi dan operasi di dalam E\CEL.

Yang baru di Edisi Kedua ini:. Kaya akan buku kerja yang mendemonstrasikan ta\iiira\-iasilitas di EXCEL.. Pertanyaan yang sertng diajukan (Frequentlr'-ri.rA't,r1 Qtrt,srirtr.s. FAQ) beserta jawabannya.

' Ditampilkannya lebih banyak contoh kasus dalam disiplin ilrnu rekayasa dan sains.. Penjelasan luas mengenai metode integrasi.. Kaya akan metode-metode matriks beserta contoh-contohnva.

' Menambahkan penekanan pada pendokumentasian lembar kerja melalui pemberian catatantambahan (commenr') di sel.

' Kaya akan contoh-contoh dan penjelasannva mengenai pemecahan masalah persamaandiferensial.

. Menggunakan fasilitas-fasilitas terbaru dari EXCEL 2002 (Microsofi OFFICE XP).

,endahululan

Para mahasiswa yang aktif di lab telah melakukan suatu evolusi di bidang pekertailnn\; r-.t-Jen-san mengubah penggunaan format kertas-panjang (read-the-tneter) menjadi penankin -.:-eksperimen dengan bantuan komputer. EXCEL ternyata ideal untuk mereka dan dapar dip,i'. -.eluruh tingkatan pekerjaan karena mudah digunakan dan sudah ada di banyak komputer. Beber;:.\ofiware untuk keperluan para mahasiswa pun mengekspor datanya ke lembar pen-uolah .in,ri,.-PASCO Scientific (Science Workshop), National Insftuments (LabVIEW and Measure)dan \e:-nier Software (Multi-Purpose Laboratory lnterface lbr Windows, Data Logger) memiliki sofrrr ar:analisis sendiri di dalamnya, namun mengekspor data-datanya ke Excel akan memberikan par"mahasiswa dan pembimbingnya suatu kekuatan yang lebih dalam melakukan analisis. EXCELtidak hanya mampu menarik data dan mengotomatiskan eksperimen, namun juga dapat nt.-nr-bangkitkan sinyal-sinyal dan mengontrol eksperimen-eksperimen tingkat lokal maupun dunia. bahkanbila diinginkan, bisa melalui Intemet.

Beberapa software yang disebutkan di atas memiliki Fast Fourier Translbrm (FFT) seba_s.n

bagian dari program mereka, namun mengimpor data mentah ke Excel memberikan para mahasisu rsuatu keleluasaan, ada perasaan ingin mengendalikan proses, dan banyak lagi apresiasi yang dapatdilakukan. Selain itu, grafik-grafik dan data-data dari lembar pengolah angka cukup mudah untukdisisipkan ke dalam laporan praktikum yang dibuat dengan software pengolah kata. Hal ini akanmeningkatkan kemampuan seseorang dalam berkomunikasi.

Koneksi InternetInternet merupakan suatu sumber daya yang besar bagi para insinyur dan ilmuwan. Isi Lampiran2 dan Daftar Pustaka memudahkan Anda untuk mengunjungi situs-situs yang berguna di Internet.Masukkan saja CD yang disertakan di dalam buku ini, bukalah salah satu file HTML-nya dankliklah situs-situs yang Anda minati.

EXCEL 2002 dibuat agar terhubung dengan Internet sehingga Anda dapat sangat mudahmelakukan impor data dari situs-situs di Internet. Anda dapat juga mengambil data-data darieksperimen jarak jauh, fasilitas-fasilitas manufakturing, dan bahkan dari pesawat luar angkasa danplanet-planet lain. JikaAnda ingin sering mengganti beberapa data agar tetap berada dalam kondisiterkini, maka fasilitas web terbaharui yang telah ada dalam EXCEL 2002 menjadikan tugas tersebutsemakin mudah untuk dilakukan.

Jika Anda terkoneksi ke Intemet, klik saja http://www.microsoft.com. Ini adalah situs doy'nloatlgratis dari Microsoft.

Bagaimana cara menggunakan buku ini

Versi EXCELVersi terakhir EXCEL (Microsoft OFFICE XP) sangat diperlukan agar Anda dapat melihat

secara utuh fasilitas-fasilitas buku kerja di dalam CD. Namun demikian, buku ini beserta buku-buku kerjanya dapat digunakan secara efektif melalui Excel versi-versi sebelumnya. Versi larnryang direkomendasikan untuk dipakai adalah Excel 97.

EXCEL 2002 dapat melakukan proses impor buku kerja yang dibuat dengan EXCEL rer.;sebelumnya maupun dari pengolah-pengolah angka lain seperti Lotus 1-2-3 dan Quattro.

Hidupkan komputer Anda dan masukkan CD yang diserlakan bersama dengan buku rniMulailah menjalankan EXCEL dan panggillah sebuah file yang Anda inginkan. Anda akan menen',;-kan cara efektif menggunakan buku ini pada saat Anda mengerjakannya di depan kompurer -.:mengikuti pembahasan-pembahasan melalui penjelajahan lembar-lembar kerja yan-u ntun.-'-. -layar sesuai dengan yang Anda baca di buku ini.

Buku ini dirancang untuk bahan belajar singkat atau sebagai materi tambahan di nt,:. ' - *-

Pendahuluan

yang sesungguhnya. Sebagian besar isinya diperuntukkan bagi para pemula dan tidak dapatmencakup keseluruhan fasilitas yang ada di EXCEL. Di dalamnya terdapat beberapa bab danlatihan, dua bab terakhir diperuntukkan bagi parii mahasiswa tingkat lanjutan: bab-bab itu ditandaidengan 0.

Bab I Memulai

Bab 2 Menjelajahi EXCEL

Bab 3 Grafik-grafik dalam EXCEL

Bab .1 Matematika Cepat

Keempat bab pertama ini adalah yang terpentins.

Bab 5 Dif'erensial dan Integral

Bagian 5.1-5.2 melingkupi dif'erensial dan integral dasar. Bagian-bagian yang tersisamelingkupi fasilitas khusus di EXCEL (\lorins .\rerage and Exponential Smoothing)beserta teknik-teknik filter lainnya.

Bab 6 Fungsi-fungsi Keteknikan (Engineering Functitrn. t dalam EXCEL

Bab ini merupakan sebuah survei terhadap \eluruh operasi dalam kategori EngineeringFunctions EXCEL berikut metode matriks.

Bab 7 Persamaan Diferensial

Bab ini boleh dihilangkan di perkuliahan singkrt. Di dalamnya tercakup dua buah bukukerja interaktif mengenai elemen-hingga untuk per\iinraan Laplace, di samping metode-metode untuk persamaan diferensial biasa.

Bab 8 Analisis ToolPak

Ini merupakan hasil survei terhadap beberapa ir.ilita: bantu yang sering dipakai diEXCEL.

Bab 9 Penggunaan EXCEL di lab

Bab ini membahas mengenai penggunaan EXCEL di laboriitorium komputer kampusdengan dua paket pendrikan data ilmiah ranr populer dan satu buah software add-inuntuk keperluan dunia industri dari National In:truntents.

Bab 10 Matematika Kompleks

Bab ini dapat dihilangkan untuk tingkat pen.rula. nanrun Bab I I dan 12 akan bergantungpada Bab l0 ini. Bab ini juga disediakan di dalanr CD.

Bab 1l Analysis ToolPak: Fast Fourier Transform ODi sini akan ditunjukkan cara penggunaan fasilrtl:-fr>ilita\ )'iing sangat berguna padaEXCEL, yaitu Fast Fourier Transform (FFTt. Beberapa paket software untuk keperluanlab memiliki fasilitas FFT, namun Anda dapat melakukan sesuatu yang lebih bermaknadan memperoleh hasil yang lebih baik dengan bantuan EXCEL. Di dalam CD ini disertakanpanduan FFI pembuatan jendela (.tuinclotr). pernberian alias. pemberian skala terhadapfrekuensi. dan kerapatan spektrum daya. Bab ini terdapat pula di dalam CD dalamformat Acrobat PDF. Software Acrobat Reader disenakan pula di dalam CD.

Bab 12 Analysis ToolPak: Aplikasi FFT OBab ini akan menampilkan beberapa aplikasi FFT, termasuk konvolusi, dekonvolusi,fungsi korelasi silang, identifikasi sistem, fungsi koheren dan fungsi SNR. Bab 12 initersedia di dalam CD dalam format Adobe Acrobat PDF. Versi terbaru Acrobat Readerdapat di-dottnlottcl secara gratis dari www.adobe.com.

,{

Pendahululan

Latihan-latihan lain untuk masing-masing bab disediakan di dalam folder-f,,iier CD r-'--.saat selesai membaca buku ini, Anda diharapkan dapat memiliki kemarnpuan talnhdhri. .j:--mungkin akan sangat berguna bagi pengembangan karirAnda, karena versi EXCEL nrenJr:i:--akan dibuat berdasarkan dasar-dasar ini.

Program-program matematika lanjutan juga dapat dikerjakan menggunakan EXCEL. Seb.,L,,

contoh, MAILAB (www.mathworks.com) memiliki linkke EXCEL dan EXCEL BUILDER untuk

membuat beberapa add-in berbasis MAILAB di EXCEL. MAIHEMAIICA (wwu'.uoltiam.c,rnrmemiliki MATHEMATICA LINK FOR EXCEL dan MATHCAD (www.mathsofi.conr) nrc'nrilik:

sebuah komponen l/O data untuk EXCEL. Waterloo MAPLE (www.maplesofi.com) purl nrr-nrilrkr

sebuah add-in untuk EXCEL.

Ucapan Terima KasihUcapan terima kasih disampaikan atas bantuan, arahan, dan kesabaran dari teman-teman di

John Wiley & Sons. Saya mengucapkan terima kasrh kepada Mary Beth Bohman, Monique Calelkr.

Jack Drucker, editor Joseph P. Hayton, Katherine Hepburn, Mary Mohan, Kenneth Santor. Erie

Shivak. dan Lisa Van Horn.Untuk Edisi Pertama, saya juga ingin mengucapkan terima kasih kepada Profesor Williani

Beckwith (Clemson University), Melanie Bengtson (North Dakota State University), Daniel A.Gulino (Ohio University) dan Georg F. Mauer (University of Nevada. Las Vegas) atas bantuann\ ir

dalam pemeriksaan naskah.

Untuk di Edisi Kedua. saya sampaikan terima kasih kepada Dr. Roy Fitzgerald L6pez Carrera.Prof'esor Dan'ell G. Fontane (Colorado State University), Dr. Calvin Johnson. Profesor Patrick J.

Jordan (University of Canterbury, New Zealand). Profesor J. C. Simonis (University of Texas-San

Antonio), Profesor Garry W. Waren (University of Alabama) dan di John Wiley & Sons. Simon

Durkin, Bonnie Kubat dan Angie Vennerstrom. Sekali lagi, terirna kasih kepada editor Joseph P.

Hayton.Saya sangat berterima kasih atas saran, komentar, dan dorongan dari Dr. Lawrence Edward

Bloch, Dr. Robert Dressler. Profesor Donald T. Haynie (Louisiana Tech University), Curt Lorencdan Janis Walters. Terima kasih juga saya sampaikan kepada Dr. Daniel H. Fylstra dari FrontlineSystems (www.solver.com) atas izinnya untuk menyertakan tutorial soflware Solver di dalam CD.National Instruments (wr,,,w.ni.com). PASCO Scientific (www.pasco.com) dan Vernier Softuare( www.vernier.com).

Kontak dan UpdateUntuk infbrmasi mengenai judul buku ini dan buku-buku lainnya yang juga berhubungan.

Anda dapat mengunjungi situs-situs:http://www.wiley.com/college/bloch dan http://www.wiley.comUntuk layanan teknis mengenai CD, silakan kunjungi situs:http://www.wiley.com/techsupport atau email ke techhelp @ wiley.comUntuk update dan download intb-info terbaru buku ini, silakan kunjungi situs:http ://sylvanbloch.hypermart. net/

ApabilaAnda memiliki saran atau menemukan hasil koreksi yang belum tercantunr. llrrh,,:'.

untuk mengirimkannya ke alamat email di bagian kontak setiap situs tersebut.

Selamat meng gtmakan E.r.cel !

Daftar lsi

1. Memulai 1

1.1 Sel, lembar kerja, buku kerja I1.2 Informasi sel 5

1.3 Rumus 6

1.4 Operasi copy 61.5 Referensi sel 1

1.6 Contoh workbook: lintasan baseball 8

1.1 Apakah Analysis ToolPak sudah rerinsral I I I

1.8 Tips panduan menggunakan Excel ll1 .9 Tombol-tombol Fungsi l31.10 Tombol kanan mouse 13

1.11 Penggunaan CONVERT 11

l.l2 Trik untuk merekam tampilan di layar 1+

1.13 Kustomisasi EXCEL 15

1.14 Tips untuk mengatur komposisi lembar kerja 15

1.15 Menggunakan OFFICE BINDER sebagai penjilid digital 16

1.16 Apa yang baru di EXCEL 2002 17

Apa selanjutnya? 18

Daftar Pustaka 19

Uji kemampuan Anda 19

2. Menjelajahi Excel 2'lMengenai apa isi bab ini 2l2.1 Office Assistant 21

2.2 Menu-menu File, Edit, dan View 23

2.3 Menu-menu Insert, Format, dan Tools 212.1 Menu-menu Data, Window, dan Help 25

2.5 Di manakah menu grafik (chart)? 262.6 Fungsi Paste 212.1 Referensi lembar kerja 3-D 28Apa selanjutnya? 29


Daftar lsi

3. Membuat Grafik di Excel 31

Mengenai aPa isi bab ini 31

3.1 Chart Wizard: membuat diagram xy sederhana 31

3.2 Dua sumbu-Y 38

3.3 Logaritma clan sumbu dB 39

3: .1 oiigram kolorn dan batang . -

42

i.s Dirigram radar dan Polar 45

3.6 Statistik diagram 47

3.'7 llmu Roket: persamaan Tsiolkovskii 49-Ooini

ilmiah melaltri paparan gral'ik -50

Apa selanjutnYa? 5l

Daftar Pustaka 5l

Uji kemamPuan Anda 51

4. Matematika Singkat 55


4.1 Dasai-dasar oPerator 55

;:; Fungsi-fungsi trigonometri 5J ^

1.3 Buku kerja nenienai bidang-mirinc 60

4:,.1 Buku kerja deret Fourier 62

+.S Fungsitlngsi hiPerboia 66

APa selanjutnYa? 61

Daftal Pustaka 6T

Uji kemamPuan Anda 68

5. Diferensial dan lntegral 70


5.1 Diferensial 70

5.2 lr)tegral 16

5.3 Moving Average 82

\.0 ExPonJntial smoothing 89

5.5 Fungsi-fungsi Savitsky-Golay .945.6 Menggunakan"f'"nOfin" unt;k data yang terganggu 96

5!7 Hal-hal Yang Perlu diingat 98

APa selanjumya'/ .l03

Daftar Pustaka 103

Uji kemarnPuan Anda l0,+

6. Fungsi-fungsi Engineering 107

Mengenai aPa isi bab ini 10'7

6.1 Fungsi-lungsi Matematika Khusus 107

6.2 Fungsi-tunisi kompleks .- 113

6.3 Fungsi-lunlsi konversi bilangan,- 113

6.4 Fungsi-tungsi lain yang bermant'aat 115

6.5 Fungsi rto*"t'i p*g'"'iutun' CONVERT 116

6.6 Aljabar matriks 118

6.1 Memecahkanpersamaan-persamaansimultan 121

6.8 Aplikasi *u"ik'' mesin Atwood 124

6.9 Rotasi koordinat 121

Daftar lsi

6.10 Fungsi lembar kerja INDEX 128

Apa selanjutnya? 130

Dattar Pustaka 130

Uji Kemampuan Anda 130

7. Persamaan Diferensial 133Mengenai apa isi bab ini 133

1.1 Operasi-operasi pendahuluan I 33

1.2 Contoh: variabel yang dapat dipisah ODE 1311.3 Metode numerik Euler 138

1.4 Vibrasi yang baik l'13

1.5 Metode Rurrge-Kutta 1,16

1.6 Metode elemen hingga: Laplace 111

1 .1 Pemisahan variabel-variabel PDE l-5-+

Apa selanjutnya? 159

Daftar Pustaka 159


8. Analysis ToolPak 164Mengenai apa isi bab ini l6-+

8.1 Korelasi 1668.2 Kovarian 170

8.3 Statistika Deskiptif 1108.4 Pemulusan Eksponensial (Exponential Snrtrr,tirinS r I 7i8.5 Analisis Fourier 173

U.6 Histogram 1738.7 Moving Average 176

8.8 Random number generation 177

8.9 Regresi 180

Apa selanjutnya? 182Dafiar Pustaka 184


9. Pemakaian Excel di Lab 187Mengenai apa isi bab ini 187

9.1 Mengimpor data 187

9.2 Membuat program makro urrtuk rnen-sotonratiskan tugas 190

9.3 Meng-sunakan Excel clengan PASCO Scienct-- \\'orkshc'rp 193

9.4 Menggunakan Excel dengan Intertirce Lab Vernier 198

Multifungsi 198

9.5 Menggunakan Excel dengan softr,''are I'IEASURE buatan National Instruments 2009.6 N4enggunakan Excel dengan TAL Technologies SOFTWAREWEDGE 205

9.7 Penarikan data port serial DATAQ 106

9.8 Penarikan dirta melalui poft paralel 201

9.9 Penarikan data melalui Universal Serial Bus (USB) 108

9.10 Merata-ratakan gabungan data eksperinlen 2109.11 Menyisipkan lembar kerja Excel ke dalam Microsoft Word 2169.12 Menempelkan klip lilm ke dalarn lembar kerja 216Apa seianjutnya? 219

I

Daftar lsi

Daftar Pustaka 219Uji kemampuan Anda 220

Lampiran 1. Buku Kerja 223

Lampiran 2. Link-link lnternet 227Lunpiran 2 jttga terdapot di dalam CD dalam fbrmat lile teks HTML, Ar:robat, dttn ASCII.

Gtmo-kan brow'ser Andu dengut.file HTML atau Acrobot untuk akses internet tang mudtth.

Lampiran 3. Persamaan Trendline 235

Lampiran 4. Wizard untuk Goal Seek, Solver, dan Lookup 240

Lampiran 5. PivotTable Wizard, lnternet Assistant Wizard 25'l

Daftar Pustaka 256Daftar pustaka jugcL tertlapat di dalom CD daLcnn .forntat HTML. Akseslah dengan

meng gltrrurkart bruyt se r Anda.

lndeks 259

Cutaton: Latihan tambahan terdapat di dalam CD.

XVI

llmu hitung sangat diperlukan hingga ke pencarian akar kuadrat dan akar pangkat tiga;aljabar diperlukan hingga ke persamaan kuadrat; dan penggunaan logaritma pun sering kali

begitu berharga bagi kasus-kasus biasa; tetapi di luar semua itu terdapat sebuah kenikmatan;kenikmatan yang begitu membangkitkan selera; namun janganlah menjadi terbuai karena

pengaruh seseorang yang hanya ingin menuruti hawa nafsunya saja.Thomas Jefferson

1743-1826

Matematika mungkin dapat disetarakan dengan pekerjaan seni yang akan menghasilkansesuafu yang indah, namun demikian, apa yang Anda hasilkan bergantung dari apa yang Anda

masukkan...Thomas Henry Huxley

1 869

... jika Anda dapat mengukur apa yang Anda ucapkan dan menyatakannya dengan angka,berarti Anda mengetahui sesuatu tentangnya; tetapi jika Anda tidak dapat mengukurnya, maka

Anda tidak dapat menyatakannya dalam angka, berafti pengetahuan Anda pun masih sedikitdan belum memuaskan...

Lord KelvinPengajar di lnstitution of Civil Engineers, 3 Mei 1883

Andai saja para insinyur mau membaca buku petunjuk, dunia akan menjadi tempat yang lebihbaik...

Andrew S. GroveCEO lntel Corporation, 1999

i

Bab 1

MemulaiSpredsheet berawal dari kotak-kotak hitung akuntan yang dikomputerisasikan, yang dirancang

untuk melakukan perhitungan matematika dan statistik, serta mengurut-urutkan data. Spreadsheet

berkembang dengan cepat menjadi program matematika yang ampuh, yang menarik perhatian

insinyur dan ilmuwan. Excrl, khususnya, menjadi perangkat favorit mereka. Selain untuk kalkulasi.spreadsheet berguna untuk membuat grafik secara cepat dan bagus, dan juga dapat melakukan

operasi database sederhana. Fitur grafik yang dimiliki ExcEl ini sangat berguna untuk mem-

visualisasikan hubungan di atas angka-angka data yang kita pelajari. Sangat mengagumkan

bagaimana sebuah grafik yang sederhana dapat membantu kita memahami hubungan yang ada di

antara data. Inilah kehebatan Excgr-.

Dalam bab ini kita akan mendiskusikan dasar-dasar Excnr-, sehingga Anda dapat segera bersiap

dan dapat segera berlari dengan cepat. Topik-topik yang lebih lanjut akan dibahas kemudian.

Anda memegang kendali atas spreadsheet Anda, dari angka-angka yang Anda input ke

dalamnya, sampai tampilan yang tampak di layar monitor. Untuk memahami spreadsheet, Anda

tidak perlu seorang ahli, Anda hanya perlu memahami sel dan formula.

1.1 Sel, lembar kerja, buku kerja

Sebuah lembar kerjo (worksheet) terdri dari sejumlah .re1. Yang dimaksud dengan sel adalah

pelpotongan antara baris dengan kolom. Sebagai contoh, sel yang menempati pelpotongan antara

kolom-C dan baris-2 disebut sel C2 (lihat Gambar l-1). C2 merupakan alamat sel. Alamat sel

berfungsi seperti kotak surat. Kelak Anda akan menemukan bahwa ada dua jenis alamat sel, yaitu

absolut dan relatif, tapi untuk sementara kita tidak akan membahasnya, lembar kerja Excer- yang

ditujukan dalam Gambar 1-1 adalah salah satu dari tiga lembar kerja dalam buku kerja ini. BLrku

kerjo (w-orkbook) adalah sekumpulan lembar kerja.

TipsMasukkan formula atau alamat sel alih-alih data numerik kapanpun Anda bisa, agar Ercrt.dapat segera meng-update perhitungannya setiap kali Anda merevisi data Anda dengan yang

terbaru.

Bukalah sebuah buku kerja baru dan jelajahilah toolbar di bagian atas lembar kerja. Sel Cl dalrrnr

kondisi terpilih pada Gambar 1-1. Perhatikan bahwa isi sel C7 terpampang di baris editor rei r,r..'berada di atas label kolom (label kolom adalah A, B, C, dan seterusnya).

Perhatikan tiga buah tab di sisi kiri bawah. Ketiganya merupakan lembar keria di Ju.:::sebuah buku kerja. Anda dapat menambah lembar kerja itu sebanyak 256 lembar. atau -\ndir ij:i:menghapusnya. Anda juga dapat meng-klik tab-tab tersebut untuk mengeanti namani r

Bab 1: Memulai

Eile 4dt

D6&Isial

ul:e hYl&&rx

Fgtm* lmle qda;tl(&&s;

18-B.fUi,!"1qllq

11J

winds Lblf

"::...,&?.:FE€E S %

p g,tr$ rsov..,€iF Fi Er - .&. S.'

Al zl2t Aa

c1

1

I

4

isi?t!011

1?

13

141S

16:l

Sheet 1 is thefirst worksheetin thisworkbook.

i, rl\stee$J sheet, lstueia I

The small dot in

the lower rightcorner is the fillhandle.

Use the fill handle to copy a cell.Put the cursor on the fill hanclle,press the left mouse button,drag the cell up or down, lefi or right.The cell contents will be copied to all cellsthat you have dragged over.

A workbook can have up to 256 worksheetsj..

Gambar 1-1. Tampilan EXCEL. Sel C7 dalam kondisi terpr rh narrun pointer mouse berada di sel C9. Pointermouse berbentuk tanda tambah. Tanda tambah ini akan berubah menjadi tanda + kecil pada saat Andamenempelkannya ke bingkai isian sel. Cobalah di komputer AnCa.

Slide bar yang terdapat di sisi kanan dan bauah nreniudahkan Anda untuk berpindah secaracepat ke bagian lain dari lembar kerja. Setiap lembar terdiri dari 256 kolom dan 65.536 baris.Tekanlah tombol Home untuk menuju kolom A: tekan Ctrl+Home untuk menuju sel Al, yaitu sisikiri atas dari lembar kerja. Menekan tombol Ctrl+Home artinya menekan keduanya secarabersamaan.

Pilihlah sel kosong di sembarang tempat di dalanr lembar kerja dan pergunakan klik kanandi tombol mouse. Cara ini akan mengaktifkan menu pop-up seperti ditunjukkan oleh GambarI -2. Menu pop-up memiliki sepuluh perintah operasi Lrmum vang dikelompokan untuk memudahkanpenggunaan. Anda harus mencoba operasi Cut. Copr. dan Paste karena operasi ini akan seringAnda gunakan. Cobalah meng-klik perintah-perintah operasi lainnya dan perhatikan apa yang akandikerjakannya. kita akan membahasnya nanti.

Gambar 1-3 memperlihatkan tampilan ErcnL- dan MyWoRreooK yang nantinya akan Andapakai. Aktifkan ExcEt- dan bukalah workbook baru. Tekanlah tombol EnterJ setelah Andamengetikkan informasi-infbrmasi berikut ini ke dalam setiap sel:

Ketik ltyworkbook di sel Al.Ketik Press Function Key F9 to recalculate di sel El. Tekan tombol Align

Right (rata kanan) yang terletak di bagian atas baris editor sel. Lihat Gambar 1-3.Ketik 2 di sel D2. Gunakan ikon Border dan lakukan pilihan di menu panahnya agar muncul

kotak yang akan mengelilingi sel D2.

your mouse0 explore the

tool bars.

1 1 Sel, lembar keria, buku kerja

Addition 5 3+$P535$ E5+F5Sdl, $UM(E*:E$)

&& Eopv

@ fa:te

ssund:

i:3 Insert {r&ment

S Earmal (ells.,,

Fir! Frpx Lisl.. ,

Gambar 1-2. Menu pop-up muncul pada saatAnda meng-klik tombol kanan mouse. Pointer mouse memilih Cir

apabila Anda meng-klik tombol kiri.

610 -l.---"-,-"- ",;d---.

HGUtr,

51u6,44

Roundin

lntegerRouncldownRoundup

Round

Addition 5 3*$S5259 E5+F564 SUMTES:E9)

n,{

angka yang lebih besar daripada atau sama dengan 0 dan lebih kecil daripada 1. Jrn,c":.rnenyertakan tanda kurung kosong ( ). Setiap angka baru yang acak akan dikemt.i...

MyWorkbook Press Function Key F$ to recaleulateChapter 1 Enter a nunrberl ZI

Loterry Winning Numbers:7g 85

2??2

Double-Click here for sound:

Gambar 1-3. Lembar kerja Anda yang lengkap akan berbentuk seperti ini, kecuali untuk suara.

Ketik Enter a number di sel C2. Tekan tombol Align Right yang terletak di bagi.rn . -baris editor sel. Pointer mouse adalah panah yang tertera pada Gambar l -3. (Di bab-bab :elan_'u:: .

kita akan membahas bagaimana cara menyisipkan suara, foto, dan video ke dalam lemh.r: \.: *

Ketik l,ottery Winning Numbers di sel ,A4.

Ketik = rNT(RAND O*46* $D$2) di sel ,A5. Mari kita pelajari ruurus ini.INT adalah sebuah fungsi di lembar kerja yang akan membulatkan angka ke baurh i: -':--terdekat. RAND( ) adalah sebuah lungsi di lembar kerja yang akan mengembalikan ni.,: ..

Bab 1: Memulai

lembar kerja melakukan perhitungan. Informasi lebih lanjut mengenai INT dan RAND( ) dapatdilihat di menu Help. $DS2 adalah suatu alamat sel absolut yang selalu mengacu ke sel D2,walaupun Anda mengopinya ke sel lain. Jangan menempatkan spasi di ontara simboL di dalamrutnus.

Letakkan pointer mouse Anda ke bingkai sel isian di sel A5 dan tarik (drag) ke sepanjangbaris 5. Berhentilah di sel F5. Ini akan mengkopi rumus di sel A5 ke sel-sel lain hingga berakhirdi sel F5. Anda dapat menyaksikan sesuatu seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1-3, namun

angka-angka di baris 5 akan berbeda. Tekan Tombol Fungsi F9 dan Anda akan menyaksikanangka-angka tersebut berubah.

Ketik Roundinq di sel A7 dan klik ikon Align Right. Ketik22.959 di sel 87.Sekarang mari kita lihat beberapa operasi lain yang cukup berguna. Carilah di menu Help

mengenai perbedaan antara fungsi pembulatan (rowtclirtg) ini dan bagaimana penggunaannya:

Ketik =rNT (22.959 ) di sel 88. (Nilainya akan dibulatkan ke bawah.)

Ketik =ROUNDDOi^IIJ (22.959,0) di sel 89. (Lihat keterangannya di menu Help.)Ketik =RoUNDUP(22.959,0 ) di sel B10. (0 berarti tidak ada angka desimal.)

Ketik =ROUND(22.959,0) di sel B1l. tLihat keterangannl,a di menu Help.)Sekarang kita akan menuliskan tiga rumus berikutnl a dan perhatikan bagaimana cara menambahkan

sekelompok (ran ge) angka.Ketik Addition di sel D8. Klik ikon Align Right.Ketik =3+$D$2 di sel 88. lni akan r.nenambahkan 3 beserta isi dari sel D2.Ketik =E5+F5 di sel E9. Ini akan menambahkan isi sel E5 dan F5.

Ketik =SUM(E8:E9) di sel El0. Ini akan menambahkan sebuah kelompok dari sel E8hingga E9 dan memasukkan nilai totalnl'a ke sel El0. Silakan lihat ke menu Help untuk penggunaan

SUM dan bagaimana SUM men-rperlakukan nilai yang bukan angka. Ini jauh lebih bermanfaat

dibandingkan cara penambahan i ang sederhana.

Ketik 3+glg2 di sel F8. Perhatikan bahwa ketikan ini akan muncul di sel F8 persis seperti

apa yang Anda ketikkan karena ini bukan rumus, tidak ada tanda = di depannya.

Ketik E5+F5 di sel F9.

Ketik suM (E8 : E9 ) di sel F10.Arahkan pointer mouse Anda ke tab bernama Sheet 1 di sisi kiri bawah dari lembar kerja

Anda. Tanda tambah akan berubah meniadi panah.

Klik kanan tombol mouse Anda dan menu pop-up berukuran kecil akan muncul. Ada enampilihan yang muncul di daiamnya. Klik kiri di pilihan Rename dan gunakan tombol Delete atau

Backspace untuk menghapus tulisan Sheet 1. Ketikkan kata Main dan klik di sembarang sel didalam lembar kerja. Klik tab tersebut lalu tariklah ke antara tab-tab lainnya.

Masuklah ke menu File dan klik Save As. Pilih sebuah lokasi dan nama untuk workbookAnda ini. Selamatl Anda baru saja membuat sebuah workbook yang interaktif.

Sekarang marilah kita beralih ke workbook yang lebih rumit yang selanjutnya akan kitapelajari secara detail. Bukalah lembar kerja bernama BASEBALL dan Anda bisa melihatnya diGambar l-4.

Anda dapat mengetikkan angka-angka, teks, maupun rumus di dalam sebuah sel. Memindahkankursor sel (yang menyerupai sebingkai kotak di dalam pengolah angka) dapat dilakukan dengancara menekan tombol-tombol panah atau dengan menggunakan mouse. Arahkan pointer (yang

menyerupai tanda tambah) ke dalam sebuah sel, kemudian klik tombol kiri mouse satu kali.Seluruh operasi dan fungsi Excrl dapat dilakukan dengan meng-klik ikon f yang biasa disebutPaste Function (lihat Bab 2, Bagian 2.6).

Apabila Anda ingin mengetahui di mana kursor Anda berada, lihatlah ke dalam sel referensidi bagian kiri atas, yaitu kira-kira di atas tempat bertemunya huruf kolom dan nomor baris (lihatGambar 1-4, bagian yang bertuliskan Bll). Perhatikan sebuah noktah hitam di pojok kanan bawahbingkai di sel Bll. Ini adalah.fill handle yang telah disinggung di bagian awal.

1.2 lnformasi sel

u rt v1nl#gilArial

] BASEBALL.XLS2 Chapter'13

5

6:

Ent*r r*f r*J con*))r'ons.

Tir"ns ixrrpma*l g t}.00:Initial velocity. m/E

lnitial ansle. desrees 3(

UEli, ln EJt rtllr$! Ip]l ?{* Silrdaw {3lp

6&iZ .*{bffid ":' &W'0..'.,.I a ry,*F€ffi,.s; -$E$E Clt5{$E$I"pl{l/lBfl}"A'l 1

x&. 8r{i &);* ;19. iF

S 4] racr* - tJt

i= n.&,A-

Projectile I'ilrtirn: Twu firnensirns, l'.lo Alr Hesislanrr

{See Halliday, Pesnick & \r,r-alker, Sirlh Editian, Chapter 4)

&ep,t lEfrffiTTX6IiEl lll0RE: Fg0rr

em10 rl r-l r-l

rl 0tr5l il 0?16511 0 012378bt0.t11 00433[1 0r]2451

0.r:r'1 E 0.r:16455;1 0.r:1383$X

tl 02 11.0866t13 0.[48040.0i.i5 [.1t]8213 ll.0l-sl4-10ll.0: 0.'t2!l!,04 [.07t]5y

0 rl35 0.15J55{ r1.ti8149fi

0.r:r4 [.'1732[5 0.t-]S21S

0 ll45 0 19{856 0 Jn2576[.0t 0.J16f;0x t].1r2rf,

0.055 [.23G151 0 1226760.tr6 tt.255,8t18 0.132:S

0.rl6t 0!8145X 0 |4r7$*11.07 0.:83109 fi.15fi98

[.075 0.:2476 fi.1!S9:8

13't3

14t3J61I1rIJ

30)1

)ittlta

B I ! I I til\ B?seUat! /,X *rC V-,{ rra:Eitory .r'P,eadr

Gambar 1-4. lni adalah sisi kiri atas dari sebuah workbook. Bukalah workbook ini di komputer Anda laluarahkan pointer mouse ke setiap ikon untuk mengetahui keperluan apa sajakah dari ikon-ikon tersebut. Perhatikanbahwa bingkai sel isian tengah berada di sel B1'l dan rumusnya tercantum di baris editor sel, di bawah toolbar.Pointer mouse tepat berada di grafik, di sana tertera nilai untuk x,y. Perhatikan tab-tab di bagian kiri bawah,seluruhnya menyatakan nama-nama lembar kerja di dalam workbook ini.

1.2 lnformasi sel

Anda dapat memasukkan tiga tipe dasar informasi ke dalam sel lembar pengolah angka:

Angkct-angka merupakan masukan yang utama di dalam sebuah lembar kerja. Anda dapat

mengatur jumlah digit yang akan ditampilkan, dalam bentuk desimal (seperti 3.14159) atau dalanr

tbrmat ilmiah (seperti 6.02823 atau 6.02x10^23). Angka tersebut setara dengan 6.02 x 10rr.

Rumus-rtrmtrs menghitung hasil berdasarkan angka-angka atau sel-sel yang direferensikanoleh rumus. Pada saat Anda memasukkan sebuah rumus, akan langsung ditampilkan hasilny'a. -\_rarEXCEL dapat mengenali sebuah rumus, maka penulisannya harus didahului dengan sebuah tand.,sama-dengan (seperti =2+3 atau =A3+87l10).

Infonnasi berupa teks dapat digunakan untuk mengidentifikasi data-data, catatan lantpir"r.dan informasi lainnya yang bersifat umum. Ini merupakan sebuah ide yang bagus. mengsun;lk;r-.catatan untuk mendokumentasikan apa yang Anda kerjakan dan mengapa Anda melakuklr::r.Sebuah workbook tanpa dokumentasi pendukung bagaikan sebuah misteri, bahkan bagi penuir.:.. -sekalipun. Catatan-catatan (comments) dapat ditambahkan ke dalam sebuah sel tlihat Glnrb,: l--dan 2-8). Bacalah tulisan karya K. R. Morison dan P. J. Jordan di Daftar Pustaka hal:n:.:. . -

d ^,i r.-

E -'H 0-1

;truE.or

0 0,5 1 1,5 2 2,5

X 0isplncefirefit. nr

10.6278684,0.25947

Ba*eball, x arr{l y co{trdiniries

Bab 1: Memulai

Masukkan teks, angka-angka, maupun rumus-rumus dengan meletakkan kursor ke sel yang Anda

inginkan, kemudian ketiklah informasinya. Anda akan melihat karakter-karakter masuk ke dalam

sel, namun sebenarnya Anda bekerja di baris editor sel yang berada di atas label kolom. Untuk

memasukkan informasi ke dalam sel, lakukan salah satu cara berikut: tekan tombol Enter J, tekan

tombol Tab, atau berpindah keluar dari sel dengan menekan salah satu tombol panah. Apabila

Anda membuat kesalahan ketik dan ingin kembali ke kondisi sebelumnya, pilihlah sel dimaksud,

tekan tombol fungsi F2, kemudian klik ikon "X" di baris editor sel. Cara ini akan membatalkan

perubahan yang dilakukan.

1.3 Rumus

Rumus merupakan persamaan matematika atau statistika yang dimasukkan ke dalam sel untuk

melakukan proses perhitungan. Operasi aljabar dasar di dalam rumus adalah:

2+2 {penambahant2-2 (pengurangan)

2*2 (perkalian)2/2 (pembagian)

2^2 (pemangkatan).

Penulisan rumus selalu diawali dengan trindl = dan terL'tak di dalant tanda kurung. Jika Anda lupa

menuliskan tanda =. rumus itu akan ditarnpilkan rebagai teks dan ErcEr- tidak akan menghitung

apa pun yang berada di dalam sel itu.

Pada saat Ancla menulis rumus. .\nda dapat menSgunakan angka-angka dan sel referensi.

Sebagai contoh, rut'nus untuk rnenghitung suatu perrenta:e adalah: suatu data sembarang dibagi

dengan jumlah total data, dikalikan dengan 100 Iik:r 89 adalah sembarang data dan B10 adalah

jumlah dari seluruh data, maka rurlusnva nleniadi = 39 810 ) *100.

EXCEL rnemiliki fungsi untuk menghitung \e.urtu \eperti rata-rata, nilai tengah, dan jumlah.

Untuk menggunakan fungsi ini, ketik tanda =. nama iLingsi dan, dalam tanda kurung, kelompok

sel yang dipisahkan oleh tanda titik clua. Contoh. untuk rnenghitung rata-rata dari data-data di

dalam sel 85 hingga 88. rumusnya ntenjadi =.r.-.-;:;-CE (B5: BB ).

1.4 Operasi copy

Operasi ini dapat menghemat waktu dan tenaga Anda untuk mengetik. Daripada mengetikkan

rumus ke dalam setiap sel, operasi COPY memun-gkinkan Anda untuk sekali saja mengetikkan

rumus, kemudian tinggal mengkopikannva ke seluruh sel yang Anda butuhkan.

1. Pilih sel berisi rumus yang akan Anda pindahkan atau kopikan.

I \rahkan pointer mouse ke bingkai sel tersebut.

r Untuk rnemindahkan sel, tarik pilihan itu ke arah kiri atas sel di dalam area paste.

EXCEL akan mengganti data lama yang terdapat di area paste itu.

Untuk mengkopi sel, tekan dan tahan tombol CTRL sambil Anda menarik rnouse Anda. Andajuga dapat mengkopi rumus ke sel terdekat dengan menggunakan fill handle yang telah dijelaskan

sebelumnya. (Fill handle adalah sebuah noktah hitam di pojok kiri bawah bingkai isian sel.) Pilih

sel yang memuat rumus, kemudian tarik noktah hitamnya menuju kelompok yang ingin Anda isi.

(Klik menu Help untuk informasi lebih lanjut mengenai operasi pengkopian yang khusus,

serta mengenai ref-erensi sel absolut dan relatif.)

'.5 Referensi sel

1.5 Referensi sel

Scbuah referensi mengidentifikasikan sebuah sel atau kelompok sel di dalam lentbar kc,r-tu c';.nremberitahukan kepada Excsr- di mana harus mencari data yang akan digunakan di dalant mn,u-Dengan referensi. Anda dapat menggunakan data pada Iembar kerja yang berbeda untuk dintasukkr:re dalam sebuah rumus atau menggunakan nilai dari sebuah sel untuk dipakai di banyak rulnu.\nda juga dapat mengacu ke sel-sel lain di dalam satu workbook, workbook lain, bahkan ke dar.'Ji program-program lain. Ret-erensi yang mengacu ke workbook lain merupakan ref'erensi ekstenut...Ref'erensi ke data-data di program lain adalah referensi remote.

ffi)0Kffi=

TipsPada saat Anda memindahkan rumus dengan metode Cut dan Paste, referensi sel di dalamnyaridak akan berubah.Pada saat Anda ntengkopl rumus. ref'erensi sel absolut tidak akan berubah.Pada saat Anda mengkrpi rumus, rel'erensi sel relatif akon berubah saat dikopi.

Pada kondisi standar, Excsl menggunakan lbrmat penulisan referensi A1, yang menamai kolon.tdengan huruf (A sampai IV, totalnya 256 kolom) dan menamai baris dengan angka ( I sampai6-5536). Untuk mengacu ke sebuah sel, masukkan huruf kolom diikuti dengan angka baris. Sebagaicontoh, C61 mengacu ke sel yang berpotongan dengan kolom C dan baris 61. Untuk mengacu kesekelompok sel, masukkan referensi sel di pojok kiri atas dari kelompok tersebut, sebuah tandatitik dua (:), dan kemudian referensi sel di pojok kanan bawah dari kelompok tersebut. Berikut iniadalah contoh-contoh ref'erensi.

Untuk mengacu ke:

Sel di kolom A dan baris 10

Kelompok sel di kolom A dan baris l0 hingga 20Kelompok sel di baris 15 dan kolom B hingga ESeluruh sel di baris 4Seluruh sel di baris 4 hingga 1 I

Seluruh sel di kolom CSeluruh sel di kolom D hingga K

Gunakan

Al0A10:A20B l5:E1,5

l:l4:11

C:CD:K

O Anda juga dapat menggunakan format penulisan lain dalam bentuk baris dan kolom lembaLkerja yang dinomori. Format RlCl digunakan untuk proses komputasi posisi baris dan kolom didalam program makro dan dapat digunakan untuk menunjukkan referensi sel. Di dalam formatRlCl ini, Excer- mengenali lokasi sebuah sel berdasarkan huruf "R" yang diikuti oleh nomor barirdan huruf "C" yang diikuti oleh nomor kolom. Untuk informasi lebih lanjut mengenai referensiRlCl, lihatlah menu Help online atau buku petunjuk Anda.

Anda juga dapat mengkombinasikan beberapa referensi. Sebagai contoh, $Cl2 akan :el.,l..nlengacu ke kolom C, tetapi nomor barisnya akan berubah bila Anda kopikan ke posisi :el l,: :Selain itu, C$12 akan selalu mengacu ke baris 12, tetapi kolomnya akan berubah bila dikcr:r *-ie posisi sel lain.

TipsBergantung pada tugas yang ingin Anda lakukan, Anda dapat menggunakan referensi selrelatifmatpun referensi sel absolto. Referensi sel relatif adalah referensi terhadap sel-sel yangrelatif mengacu ke sel t'ang berisi nunus. Sebagai contoh, C12 adalah sebuah referensi selrelatif. Apabila Anda melakukan Copy dan Paste terhadap sel ini ke posisi sel lain, makareferensinya berubah menjadi sel baru. Ret'erensi sel absolut akan selalu mengacu ke sel-seldi lokasi tertentu. Sebagai contoh. $C$ I 2 akan tetap sama bila Anda kopikan ke posisi sel lain.

Bab '1 : Memulai

Itulah yang perlu Anda ketahui pada saat akan bekerja dengan lembar pengolah angka. Andadapat membuat pengolah angka Anda menjadi sebesar atau serumit yang Anda inginkan. Nanti kitaakan lihat bagaimana penggunaan analisis statistik terbaik untuk menggali lebih banyak infbrmasi.

1.6 Gontoh workbook: lintasan baseball

Setiap mahasiswa teknik dan sains mengerjakan problem lintasan sebuah objek memakai percepatangravitasi yang konstan dan tanpa memperhitungkan hambatan angin. Problem pertama melibatkansebuah massa yang bergerak jatuh bebas. Berikutnya Anda akan menghadapi contoh dua dimensi,seperti gerakan baseball, bola kaki. atau peluru meriam (Gambar l-5).

Pada saat Anda memecahkan problern-problem tersebut dengan kalkulator, Anda hanya akanmendapatkan jawaban tunggal seperti lamanya waktu saat berada di udara, tinggi maksimummaupun jarak tempuhnya. Anda akan mendapatkan lebih banyak infbrmasi bila menggunakanbantuan pengolah angka. Contoh. Anda dapat men-uikuti lintasan gerak benda dalam bentukkomponen vertikal dan horizontal. berikut jarak dan u'aktunya. Suatu grafik sederhana di dalampengolah angka akan memberikan analisis atas kalkulasi Anda.

Sebelum mulai mengolah angka, Anda perlu men-getahui beberapa hal mengenai rumus. Padasaat menggunakan sebuah fungsi, pernyataan dari fun_srsi tersebut harus berada di dalam tandakurung. Contoh, logaritma natural dan 10 harus ditulis menjadi =1n(10).

Fungsi trigonometri menggunakan radiart di dalam pemyataannya, bukan derajat. Karenaterdapat 2nradian dalam 360 derajat, Anda dapat menskonversikan derajat menjadi radian denganmengalikan derajat dengan n/l80. Sebagai contoh. rumus untuk sinus 30 derajat dapat ditulis

Gambar 1-5. Bentuk lintasan tanpa hambatan udara. Kecepatan awal adalah vo dan sudut awalnya adalah 0o

dari titik pusat koordinat (0,

IS

G

k,

pi

kr

m

se

de

m(

Pe

me

de,

9r0). Perhatikan bahwa komponen horizontalvertikal.

rafl4' lf,onstan

Badan PerrrlstlklanP.r'n,nri 'tua i lm!tr

perubahan komponen

1.6 Contoh workbook: lintasan baseball

::-,enladi =sin (30*pf O /180). Huruf n selalu ditulis sebagai pI0. Jangan lupa untuk nt.n\3:i*\*.:.-nda kurung tanpa karakter apa-apa di tengahnya!

\{ari kita mempelajari problem fisika yang ditunjukkan oleh Gambar l-,5 dan ntenulr.i.:rrer\amaan untuk pergeseran horizontal dan vertikal sebagai fungsi waktu /, posisi aualnva ud;1,:-i dan t',,, kecepatan awalnya u,,, dan sudut awalnya 0,.

-t(1) - x,, + u,, cos(0o)r (l-l

Persamaan (l- l) menyatakan bahwa pergeseran horizontal pada sembarang waktu adalah pergeseranr\\al dari x = 0, ditambah dengan pergeseran yang disebabkan oleh komponen horizontal clarirecepotofl awal yang konstan, dikalikan dengan /.

.l'(/) = .r,,, 1 1,,, sin(0,)/ - 0,5 gtz (1-l)

Persamaan ( 1-2) menyatakan bahwa pergeseran vertikal adalah pergeseran awal dari i. - 0, clitarnbah,iengan pergeseran yang disebabkan oleh komponen vertikal dari kecepatan awal, dikalikan denganr. dikurangi pergeseran yang disebabkan oleh percepatan gravitasi, g m/s2.

Anda dapat memasukkan persamaan-persamaan tersebut langsung ke Excrr-. Waktu akannluncul sebagai parameter di dalam Persamaan (1-l) dan (l-2), selanjutnya Anda dapat n.reng-eliminasi waktu di antara kedua persamaan tersebut untuk memperoleh batasan R horizontal sebagaiiungsi kecepatan awal dan sudut peluncuran,

),,1R = ''" sint 0,, tcos( 9,, ).

IBatasan tersebut dapat dituliskan secara lebih sederhana dengan menggunakan persamaan

trigonometri untuk sudut ganda, sin(20) = 2sin(0) cos(0). Persamaan (l-3) menjadi:

sin(20.'1 ( 1-4)

Konstruksi Lembar KerjaSekarang marilah kita membuat lembar kerja berdasarkan informasi yang ada. Kita akan meng-

-eunakan referensi sel untuk memasukkan data awal. Ini sangat nyaman dilakukan dan menghematwaktu karena Anda dapat memasukkan data baru dan seluruh lembar kerja akan menghitungnyakembali. Anda tidak perlu memasukkan data baru di setiap sel serta melakukan pengkopian apapun.

Mengacu ke Gambar l-4 dan l-6. sel E5 memuat data time increment. Ini digunakan dikolom A dalam cara berikut ini: sel Al0 memiliki waktu awal, yaitu 0 menurut contoh. Sel Al I

memiliki rumus =A10+$n$5, seperti ditunjukkan oleh Gambar l-6. Sel Al I dikopikan ke kelompoksel yang diinginkan di kolom A.

Sel di kolom B memuat Persamaan (1-l), yaitu rumus untuk koordinat r pada ser.nbaranswaktu. Sebuah rumus yang khas, untuk sel B10, ditunjukkan oleh Gambar l-7.

Akhirnya kita sampai di kolom C yang memuat rumus untuk koordinat ,r, dan berhubunse;dengan Persamaan (1-2). Rumus di dalam sel C10 ditunjukkan oleh Gambar l-g. (pada saar.\nJ,,n.rengetikkan rumus, jangan menyisipkan spasi).

Lihat kembali Gambar l-4. Sel H4 merupakan report range yang berhubunean den..:-Persamaan (l-4). Pada saat membuat lembar kerja, Anda akan sering merasakan ntanflr: i-,:menemukan hasil atas sebuah hasil perhitungan komputer (seperti nilai tengah. nilai r"r"-:.:.deviasi standar, varian, dan sebagainya) di dalam area dengan posisi yang mencolok. G;n:-":9 menunjukkan bentuk detail dari report range.

(1-3r

t-R= lL

10 Bab 1: Memulai

Projectile Motion. Two

i$ee Halliday. Resnict

Enter initial canditionsTrrne increment, s tJ UU3

lnrtralvelocity m/s 5

nitial angle. degreee 30

818 rtr # =$[$6"t]t3${$E$7*F10i1 41il

;,fi;i,;.iti::."f'--.-.i;;"'S-. I .,-""f,,...--Pr*j*r'lile Moti*n Tv+o Dirn*nsin

{Se* Halliday. ft*snitk ,1\Valk*

fnfer rnrtrbJ candrfeons. ,QeP,:tl

Time rnrrernent, s [.005lnitial veletitx. rnJs 5

lnitial anqle, d*,Ir*es 30

Gambar 1-7. Rumus untuk koordinat x pada saat t = 0 diperlihatkan dalam sel B10. Perhatikan bahwa referensi

sel absolut digunakan untuk kecepatan awal dan sudut awal, dan referensi sel relatif untuk waktu di dalam sel

A10. perhatikin pula konversi sudut derajat menjadi radian yang dibutuhkan oleh operasi cosinus dalam Excel.

D

Gambar 1-6. Rumus yang khas untuk menentukan dasar waktu. Sel A11 menggunakan nilai awal di sel A10

dan penambahannya berada di sel E5. Di sini akan ada penggunaan referensi sel relatif dan absolut dalam satu

rumus.

\"/

!1!.-.-- "-_j"....----:'":"1"f'1g::I!{$E$r.pl0r1BBJ:{q:!i!3-.9:fl9:?-.

Projectile Motion: Two Dimensions. No Air

iSee Halliday. Resnick & Walker. Fifth EditBASEBALL,XLSChapter 1

1

1

3

4

5

o

7;os{0

Time

E nter i n ttia I condifions.

Time increment. s 0.005

lnitialvelocitv. mls

lnitial anqle. deorees 3{

+Gambar 1-8. Rumus untuk koordinat y pada waktu t = 0 ditunjukkan di dalam sel C10. Faktor 9.8 adalah g,

yaitu percepatan gravitasi dalam satuan m/s2. Rumus ini merupakan bentuk Persamaan (1-2) yang dituliskan

ke dalam bentuk rumus di pengolah angka, berlaku untuk kondisi di titik pusat koordinat (0, 0).

1.7 Apakah analysis toolpak sudah terinstal?

1

1,t

{

-i'::{$ESE^2,56)*5lNE-$E$l"Frr't,180J

BASEBALL.XLSChapter 1

oTEFGHProjectile Motion. Two Dimensions. No llr Resstan.e{See Halliday. Resnick & Walker. Fifth Edition. Chapter -i,

E nte r i n iti a ! condifiors.Tinre increment. s 0.0s5lnitial velocity, m/s 5

lnitialanole. deorees 30

Faporf,'

Gambar 1-9. Panah mouse menunjuk ke sel H4, yang merupakan report range yang mengacu ke Persamaan(1-4)

1.7 Apakah Analysis ToolPak sudah Terinsta!?

Sekarang adalah saat yang tepat untuk melihat apakah Analysis ToolPak sudah terinstal di ExcEl-.ToolPak sendiri bagaikan kunci pintu utama di sebuah tambang emas.

Klik menu Tools untuk mencari menu Data Analysis, seperti diperlihatkan di Gambar 1-10,kemudian klik menu tersebut sehingga muncul tampilan seperti di Gambar 1-11. Apabila DataAnalysis tidak muncul, silahkan mengikuti petunjuk di bawah Gambar l-12.

Fl riu rart ?iefl lr,ieri

n6w,&&gArial

BASEtsALL.XLSChapter 1

Time

Fp.lmit lo{ds [.:ta Sird*ur {elp

#" re liu gpelline.., 17

&uln,:orrsct,,

Trerk {ianges,:.:grrde.Iran

60e{ 5s.ek.,,

,rgnaritl5..,

Agdilirg

Sii:ro4,1&!ns.,,

lu5ton{ze.,,QFti*ns,.,

Wizard

Llp,Jatr Add-in Lir*"s,..

- tcvt

& e 4B rrrr% . t3a=t=-1L-A-

L-

FnlT;Iil

Ulu

w rr**lts^Y-r'uE

ZI

.0')t.,

l2a

4

5

6

7

Itt

Tmn lirnnrrsians, l',]u,{ir Resistancerk & Walker, Fiftl'r Editinn, ChaFter 4)

Brreball. x and y coordinate:

MT

3l

-.1

rl

Y'tn

Itl :

l1l1?,l-i r

'14

tl

i:t [05001

0 ll'15

0fit

2

1

n

{}

or)1t

(]

teGambar 1-10. Menu Tools dengan Data Analysis yang sudah"nemunculkan Analisis ToolPak.

Klik menu Data Analysis untux

Kotak pilihan Data Analysis ditunjukkan oleh Gambar 1-ll. Pergunakan scroll bar di .:.:kanan dallar isinya untuk melihat item-item selanjutnya.

Gambar 1-11 memperlihatkan hanya sebagian dari menu DataAnalysis. Bila Anda nren-rr..\..edikit waktu luang, pergunakanlah scroll bar untuk melihat-lihat tool ini. Sara pikir.\ni; "r,:menjadi bersemangat. Apabila Data Analysis tidak muncul di menu Tools Anda. klik .\iJ-l:- -:

nrenu Tools (lihat Gambar 1-10). Anda dapat memilih Add-Ins dari kotak dialos rerc::. r--:

Basehall.xandyr

tl.tt?5 0.0

fi1 [

Bab'1:Memulai

lnitisl velnrlrritial

&rglysis T(,ols

i Trr)o-Fact0r V,1ith REFlirali(n: luo-Fn,:tor V,lithout F.pF ication

1Z

6

irem

11tl 0 D II 11 I 0.005 n.[:1651 tr.tr]]ll$I 13 I 0 01 0 0433[1 0,02451

i 13 i tl.B15 0.n64S53 n.*:63S6

i u o 02 rl DEG603 tr Blao,r115, n.0?5 ll.ttl6353 u.[5943816 Etl3 012,],J04 007il591l: S.S35 n.151554 n.nn14ffi

Gambar 1-11. Kotak dialog Data Analysis untuk Analysis Tools, di dalamnya terdapat sejumlah fasilitas bantustatistik dan Fourier Analysis (lihat Bab 9 dan 11).

BA$T8&I-L,XL5*h r1

1

?

3

4

3l.1

7IJ

$

1r111

41

1I, 1rl

15.l ,:'

Tim*1l

|],iltls[.01

[.fi15s.02

[,il25tt ttl

rl.ff?1s5n.fi4330il |]&,{.s5

tr,fifififi0n,1fi*?s11 { ,1.3ftn

Gambar 1-'l2.Kolak dialog Add-ln. Selain Analysis ToolPak, Anda dapat menggunakan Analysis ToolPak-VBA..'BA mengacu ke Visual Basic forApplicationsAdd-ln; yang dibutuhkan untuk merekam program makro. Lihat

3a5 9)

:.-:riirkkan dalam Gambar l-12. Analysis ToolPak adalah salah satu bagian yang akan kita pelajan- : l:i1rm. Pilihan Measure Serial Add-In mungkin saja tidak muncul di menu Anda. Pilihan inir'_-:,,. ke :ebuah program bernama MEesunr yang berfungsi menarik data ke ExcEt-: lihat Bab

i- : .,:r', \lrrsrnn dibuat oleh National Instruments, http://www.ni.com.)

1,8 Tips panduan menggunakan Excel

1 ---. .;. :-: ':r.r.k "-arlr untuk berpindah-pindah dari satu sel ke sel lain dan melakukan berbagai':.--- - :,::-- j j-:.-::r E\r rr. Jika Anda telah begitu terbiasa menggunakan Excrl, maka Anda.--r:i. i-.:rj=rr-.r:rjr.;r-. i.'bie.:ran kerja tersebut melalui bantuan toolbar dan tombol-tombol cepat,: : ..,. -:11-r :-.3.:rir..:n proredur-prosedur yang sering Anda lakukan. Pada saat Anda telah

irinr:Ji .eurrn_i it:!.un.1 Er-:- tingkat atas. Anda dapat mengutak-atik sendiri rangkaian toolbarJan t.rmttri-t1'11p1,l .3.,1;i Jan!Jn keinginan Anda.

&dd-lns evsibbf*l

r-Anclysi* T*dFak

&nalysir T*olFak - !'$&&utcrSar.re

{*nditirnal 5um }trizardLurkuF',1/iaard14icr**of I Bnol,"shalf Integr.*li*nTemplate UtilitiesUpdat* Add-in tinks

1.9 Tomboltombol funqsi

Tekanlah tombol Home. Aktivitas ini akan membuat kursor Anda pindah ke kolcrnt \ ir :":..tempatAnda sekarang berada. Untuk menuju ke sel pertama yang ada isinya. tekan tontboi E^:kemudian tekan tombol panah ke kiri <-.

Tekanlah tombol Ctrl dan Home untuk kembali ke sel di pojok kiri atas. yaitu :el .\ i.Tekanlah tombol Home untuk menuju ke kolom paling kiri dari lembar kerja.Untuk menuju ke kolom terakhir yang diinput, tekan tombol End, kemudian tekan ronrht l

panah ke bawah J.Untuk menuju ke baris terakhir yang diinput, tekan tombol End, kemudian tekan tontbtrl

lanah ke kanan -+.Tekanlah tombol End kemudian tombol panah ke atas 'l untuk menuju ke input pertama di

:rgian atas kolom.

1.9 Tombol-tombol Fungsi

Setelah Anda mulai menggunakan pengolah angka, mungkin Anda akan menemukan bahwa tombol-iombol fungsi yang paling sering dipakai adalah F1 dan F2. Tombol Fungsi Fl akan memunculkanlampilan Help online dan Tombol Fungsi F2 memudahkan Anda untuk mengedit isi sebuah sel

melalui kursor di dalam bingkai editor sel. Tabel l-l memperlihatkan beberapa buah tombol.ingkat (shortcut), beberapa di antaranya tercantum di Help dalam kategori Tombol Fungsi (Func-tion Key). Keduabelas Tombol Fungsi memiliki tugas operasi sendiri-sendiri.

Contoh:Untuk menampilkan Help, tekan tombol Fl.Untuk mengedit catatan (comment) sel, tekan dan tahan tombol Shift lalu tekan Tombol FungriFl.Untuk menyisipkan lembar kerja baru, tekan dan tahan tombol Alt dan Shift, kemudian tekanTornbol Fungsi Fl.

1.10 Tombol kanan mouse

Tabel 1-1. Tomboltombol singkat yang sering digunakan

Tombol Fungsi shift Alr Alt + Shift

trt Menampilkan Helpatau bantuanMicrosoft Office

Menjawabpertanyaan,What's this?

Menyisipkanlembar grafik baru

Menyisipkanlembar kerja baru

F2 Mengedit sel yangsedang aktif

Mengedit catatan(comment) sel

Perintah Save As Perintah Save

i1

t1

r

Jari telunjuk Anda akan mendapatkan banyak sekali pengalaman dalam menggunakan Excrr karen.tu-sasnya adalah mengontrol tombol kiri mouse yang sering kali digunakan. Namun. tombol krnr:nrouse pun memiliki fungsi yang tidak kalah menariknya, seperti ditunjukkan oleh Gambar 1-lTombol kanan mouse menyediakan akses cepat sebagai cara alternatif untuk melakukan pri:1-..:.

terhadap sebuah item, sebenarnya ini dapat juga dilakukan dari menu drop-dori'n arau bei't:-;-ikon yang tersedia di bagian atas ExcEL.

Mad kita lihat menu pop-up sedikit lebih detail (lihat Gambar 1-13). Anda telah nri:.i:'-:j-bagaimana penggunaan Cut, Copy, dan Paste. Kini perhatikanlah perintah Paste Spee i"." P=: - *"

14 Bab 1: Memulai

ini sangat bermanfaat namun agak panjang bila dibahas saat ini. Cobalah mengunjungi menu Help

untuk mendapatkan penjelasan mengenai penggunaan Paste Special untuk objek yang telah disisipkan(embedded) dan yang berupa link di Excpt-.

Perintah Insert dapat Anda gunakan untuk menyisipkan baris atau kolom, dan menggeser sel

ke kanan atau ke bawah. Perintah Delete dapat Anda gunakan untuk menghapus baris atau kolom,

dan menggeser sel ke kiri atau ke atas. Perintah Clear Contents digunakan untuk mengosongkan

isi sel-sel yang dipilih.

,}{ cutl* e*pr

ffi pe*e

Farte 3perial".,

Gambar 1-13. Menu pop-up muncul saat Anda meng-klik kanan tombol mouse.Perintah Insert Comment akan dibahas di Bagian 2.3; pada saat Anda menyisip-kan catatan (comment) maka akan muncul tiga perintah baru di dalam menupop-up. Klik juga perintah Format Cells dan cobalah fasilitas-fasilitas di dalamnya!Anda bahkan dapat mengatur sudut kemiringan tulisan di dalam sel.

(3 Inserf {*lynent

I f$rrril: {flls.,.Pirf, Fr*rn List. ..

1.11 Penggunaan CONVERT

Salah satu tugas menyebalkan y,ang dihadapi oleh para mahasisua adalah menyangkutperubahan

satuan pengukuran antara satuan-satuan di Sistem Internasional (SI) dan Sistem lnggris (British

Unit). Hal ini bisa menjadi hambatan dalam menvelesaikan suatu masalah secara benar bila hasil

perhitungan yang diperoleh ternyata salah karena masalah satuan pen-eukuran. ExcEl dapat membantu

memecahkan kendala ini karena di dalamnva memuat sebuah tungsi lembar kerja yang dinamakan

CONVERT. fasilitas ini dapat mengubah hampir semua angka dari satu sistem pengukuran ke

sistem pengukuran yang lain.Sebagai contoh, CONVERT dapat mengkonversikan sebuah table jarak yang menggunakan

satuan mil menjadi tabel yang menggunakan satuan kilometer, inci, atau ke hampir seluruh satuan

panjang yang ada. Fungsi ini juga sanggup mengkonversikan satuan massa, berat. waktu, daya.

volume benda cair, temperatur, energi, dan gara. Lihat Bagian 6.4 untuk penjelasan lebih rincibeserta contoh-contohnya.

Jika fungsi CONVERT ini belum tersedia. maka jalankan program Setup untuk melakukan

instalasi Analysis ToolPak (lihat Bagian 1.7t.

1.12 Trik untuk merekam tampilan di Iayar

Trik ini dapat dilakukan di semua aplikasi Windows dan memungkinkan Anda untuk mengkopiapa pun yang tampil di layar lalu meletakliannya ke dalam aplikasi Windows lainnya sebagai

sebuah gambar. Atau Anda dapat menyimpan terlebih dahulu tampilan tersebut ke dalam sebuah

file kemudian mengeditnya (memotong, memutar, mengganti warna. dan sebagainya).

Untuk menangkap tampilan di layar, tekan saja tombol Print Scrn. Cara ini akan memasukkan

tampilan tersebut ke dalam clipboard Windows. Untuk meletakkan hasil tangkapan itu ke dalam

sebuah aplikasi, bukalah aplikasi yang dimaksud (sebagai contoh, Microsofi Wor<o) kemudian klik

1.13 Kustomisasi ExceL

ikon Paste atau masuklah ke menu Edit lalu klik Paste. Hasil tangkapan (-{( /?r,/r \/i, ,.' r\ j:. r- , - - ,di dalam dokumen dan Anda dapat mengubah-ubah ukurannya rnenggunakan nr()u.e

Apabila Anda ingin menyimpan hasil tangkapan itu ke dalam sebuah tlle untuk JrL,:.,,--pada suatu saat nanti, klik IStart][Plograrns][Accessories][Paint] kemudian klik ikon Pa.te Sei.-:- -Anda dapat mengedit dan menyimpannya sebagai file dengan bantuan menu [Fite][Sar e .\.]. -I::-.,

saja Anda boleh rnenggunakan program pengolah gambar lainnya. seperti Corel atau \- -,Photoshop untuk mengedit dan menyimpannya.

1.13 Kustomisasi Excer-

Klik menu [Tools] di bagian atas menu bar. kemudian di bagian bawah menu drop-doun. klrk

ICustomize]. Proseclur ini memunculkan kotak dialog yang memr.rngkir.rkan Ar.rda untuk rti.'nq-kustomisasi Toolbars, Commands. dan Options.

Lakukanlah cara AndaBiasanya terdapat lebih daripada satu cara untuk menyelesaikan sebuah operasi di Exc'er-. Sebagricontoh, Anda dapat menggunakan mouse untuk mengklik pilihan nrenu atau perintah, Dremperguna-

kan Tombol Fungsi atau bahkan tombol singkat (keyboard sltortt'ut\. Semakin lama, seciua alamiahAncla akan dapat mengenrbangkan sendiri kebiasaan-kebiasaan dalam penggunaannya.

Pengguna dengan keterbatasan penglihatanKlik tab [Options] dan pilihlah Large Icons untuk toolbar. Gagasan lainnya. klik menu Helpkemtrdian pilih Contents and lndex. lalu ketikkan accessibilif, atau lision. Anda pun dapat

menemukan lebih banyak inforrnasi melalui Internet di http://www.microsoft.com/.

1.14 Tips untuk mengatur komposisi lembar kerja

Pada saat Anda mernulai Excpl dan rnelihat lembar kerja yang kosong, berpikirlah seperti layakn) a

seorang artis. Anda akan merancang sebuah mahakarya (.salult scttu dari sekian banyak nrahakarlubuatarr Anda) dan Anda ingin agar orang lain mengagumi dan memahami ciptaan Anda itu. Lalu.jika suatu saat nanti Anda kembali lagi ke ciptaan Anda itu, maka Anda akan tetap dapat rnemahanti

isinya. Marilah kita memperhatikan beberapa tips pengaturan lernbar kerja berikut; Anda dapat

melihatnya pada saat mernbuka lernbar kerja BASEtsALL. Gambar 1-4. Sebagaimana yang telah

dilakukan di beberapa bab selanjutnya. Anda akan rnenjunrpai lebih banyak ide.

. Pergunakanlah catatan sel agar Anda mudah mengingat apa yang telah Anda kerjakan. Catatan

sel ini dapat ditambahkan dengan nrengklik menu [nsert][Comment]. Cara seperti yang terterldi Gambar 1-13 pun dapat dipergunakan. Catatan sel yang telah dibuat akan disembunrikanhingga Anda menempelkan kursor ke sel tersebut atau Anda bisa juga membuatny,a agar

senantiasa muncul. (Lihat Gambar 2-'7 dan 2-8.) Menyembunyikan catatan sel dapat sedikitmengurangi kekisruhan di lernbar kerja. Ayo, mulailah mendeskripsikan pekerjaan Andal

. Di sel mana pun yang mungkin, masukkan referensi sel, bukannya nilai yang berupa anglr-angka. Ini akan rnemungkinkan Anda mengkopikan runtus sel ke dalam baris. kolonr. ittuu -e'

tunggal dan menjadikan lembar kerja melakukan perhitungan secara cepat. Selain::-.memudahkan Anda dalam memasukkan data (lihat tips berikutnya).

. Pergunakanlah ref-erensi sel absolut dan relatif dengan tepat untuk membuat operasi pensk,,i.,-berjalan efektif. Perhatikanlah bagaimana hal ini dapat dilakukan di dalam lc'nrh.ir i..--BASEBALL.

Bab 1: Memulai

Letakkanlah data n.rasukan, seperti ffrassa. temperatur awal. dan kecepatan awal ke dalam sel-

sel berbingkai di bagian atas lembar kerja. Kemudian pergunakanlah referensi sel absolut

untuk rnengikutsertakan data-data ini ke dalam rumus yang terdapat di dalam lembar kerja.Perhatikan kotak lnitial Corulitions di dalam lembar kerja BASEBALL.

Kumpulkan dan sarnpaikanlah hasil-hasil yang penting (seperti perbedaan inptrt, perbeclaan

output, nilai puncak, nilai rata-rata. waktu tunda) ke dalam sel-sel berbingkai di bagian atas

lembar kerja sehingga siapa pun mudah menemukannya. Pacla saat hasil-hasil perhitungan

telah muncul di lembar kerja. kopilah dengan menggunakan referensi sel absolut ke sel-sel

berbingkai di atas. Lrhar Rartge Report di dalam lembal kerja BASEBALL.

Sertakanlah judul-judul yang dapat menjelaskan isi baris dan kolom! Kehadiran judul akan

membantu rnenghilangkan ketidakjelasan dari lembar kerja.

Anda dapat menyeftakan grafik ke dalam Sheetl di lembar kerja, tetapi jangan sampai lembaran(sheet) tersebut menjadi kisruh karena jumlah grafik yang muncul terlalu banyirk. Selain itubisa menggunakan cara lain. yaitu simpanlah grafik ke lembaran-lembaran yang lain yang

masih satu lembar kerja. Untuk mengaksesnya Anda tinggal trengklik masing-masing Tab

lembaran yang berada di bagian bawah lembar kerja.

Berilah nama deskriptif untuk masing-masing Tab lembaran yang berbeda. Klik kanan disebuah Tab kemudian pilih Rename. Lihat Gambar l-4.

Hindarilah kekisruhan lembar kerja. Gunakanlah hitungan bantuan di lembaran yang lain dan

tukarkanlah data di antara lembaran-lembaran itu. Dengan kata lain. pergunakanlah workbook3-D. Lihat Bagian 2.7.

Lembar kerja dapat n.relakukan penghitungan kembali secara otonlatis nraupurr manual. Tekanlah

Tombol Fungsi F9 untuk mengaktifkan mode penghitungan kembali secara cepat. Untukmengetahui sedang berada di mode apakah Anda. ketik =rNFo("recaIc") lalu tekan

Enter +J. Untuk mengubah-ubah nrode tersebut. klik menu [Tools][Options][Calculationl.Aturlah lebar kolom agar diperoleh tampilan data yang optimum. Anda tidak akan dibatasidengan lebar kolorn yang harus sama seluruhnya. Mainkan pula ukuran huruf-hurufnya.

Berilah warna terhadap huruf-hurufdan sel-sel yang dianggap penting untuk diketahui. Grafikpun perlu diperjelas dengan rnemberinya wan'ta.

Koleksi tips untuk berbagai macam penggunaan EXCEL dapat dilihat di http://wwwj-walk.com/ss/excel/usertips/index.htm. Beberapa di antara tips ini adalah untuk tingkat mahir.

1.15 Menggunakan Ornce Brruoen sebagai penjilid digital

Bila Anda telah menginstal Excel sebagai bagian dari Microsoft OrptcE, maka Anda dapat meng-

gunakan OpprcE BrNosR sebagai perekat antar aplikasi atau penjilid dokumen (binder) untuk menjaga

agar sekumpulan dokurren tetap nlenyatu, sehingga Anda dapat mentberikan sentuhan profesionalatas dokumen yang akan Anda buat nantinya. (Ini merupakan Sepuluh Peringkat Teratas dari cara

untuk rnembuat dosen Anda terkesan.) Misalnya, Anda rnemiliki sebuah dokumen Microsoti Wono,

sebuah workbook Excel, dan sebuah slide PowenPorNr yang akan dibuat menjadi satu laporan.

nrasukkanlah ketiganya ke dalam sebuah penjilid dokumen yang akan menggabungkannya menjadisatu. Pada saat dokumen berupa file-file tersebut telah berada di dalam penjilid dokumen. makaAnda dapat:

r memeriksa ejaannya,o fireneropkan tampilan yang seragam,o menambahkan nomor halaman yang saling berurutan ke sepanjang gabungan tile tersebut

(Catatan: lile dinamakan section di dalam penjilid dokumen atau binder ini.),

' r 6 Apa yanglgMLEtlll 2002

. mencctak berbagai section,

. bekerja di section sccara terpisah.

. melihal aiau me.cctrk satu per satu secrion secar'a be.urutan. secrion lerpilih saja atau ,.1r.-.!ection sekaligus.

t mencetak seluruh section dengan catatan kepala dan caratan kaki yanS sama. arau men.e(-rcatalan keprla d{n catatan kakr yang berbeda untuk sctiap section.

Unluk memulai penjilidan dokumcn buu. masuklah ke OFFIr: BI\DER ]alu k]ik Ne$ Bindertrng terdapat di menu File aiau cukup dcngrtr membuka OtsFrcE BTNDER. Pada saat .\nda bel,crlJlr dalam iendela OlrrcE BNDER, pancl di scbehh kirinya akan memperlihatkan sejumlih secrion.3ng menlirdi hrgian dari binder )ang scdang Anda kerjakan dan panel di sebelah kaninn\xTenunjukkan scctnrn yang sedarg akti1. File filc yang akan Anda malukkan ke daiam binder drparierupa tile bffu. file kosong naupun lile yang sudah dihuat sebelumnya. Uniuk menambahkin tlie\ang sudah pcmah dibuat ke dalam binder, tarik (d/dg) file rehebur nelatui WNDows ETPLoRER

ie pancl kirijendela OFFTCE BTNDER. atau masukldh ke menu Section di OFflCtr BTNDER kcmudiannaluklah kc nrenu File dan klik Add.

Untuk memulai OFFTCE BrNDr,R. klik t(nnbol S1an wNDows, pilih kograms kcmudim klik\lrcR.rsoH B NDER. (Soli\rare ini memiliki ikon berbentuk periepir kerras.) Umuk mcnial.tnlrDOFFTCE BTNDTR di WNDows NT. lihadah pctunjuk di buku manualnya arau mel.ilui menu Help.\pablla pc.intah Microsoil Br\DrR atau ikon IlrNr)FR tidak tersedia. jalankan perinld Scrup Ollicc\ekati lagi untuk menginsral O .p B \DrR ini.

Parionyodn yorg sering riuncul

T Di ndMklh su)u d1ryt menerutkdn OfF(r BNDER pala OFFTCE XPI

J. Anda tid* akan nenernukanD",-a karcDa Or rr XP tidak menilikrnya. Nanrun de ikian.Andd J.,prl mencnrbahkrn lemb.'r lrrtJ E\, r r dan ilide PowERPoNr di dalirn dokunen WoRDuntuk mcndapatkan hasil yang \crupa. (Lihat Bab 9.)

'1.16 Apa yang baru di Excer- 2002

EX.EL 2002 dan Offr.L xP menillki bebelaplr thsiliras baru yrng rkan Andr rasakan nlama.untuk dipakai. mcliputi Ta\k l,ane.,{sk a Questlon. drn Relicshabl. Wch Qu.rl.

Task PaneTask pdne menyediakan scbuah lokasi tunggal untuk opensioperasi yang rmLrm. dengan demikru

'nenghemat waklu Anda dari dktivxas menggulung layal untuk membacr dafta. pilihln di nrenu

Pekerjaan mengkopi dan menempelkar, menambahkan grafik, nrcmbudt prelentali. mengaturtampilan dokumen dan b,nyak lagi tugas'tugas harian kini daprr dilakukan hanya dengan selalimengklik tombol mousc. Lihat Gambar 1-1'1. Kunjungilah pusar banruan Office untuk mernpelatJlebih lanjut:http://office.microsoil.com/assistance/20o2/articles/oTartPanes.aspx

Ask A Ouestionla'rl,rd' ba u rnr merupJkrn Jle-nJrit dJ.Jm penrrurd.,r rcnq Fref KerLlrh penan'.-r :kotak Ask A Queslion dan Anda *an mendapatkan ropil-ropLk Hclf yang reroei dengan FnM_r r

I I'cr r" '-

18

r.arBl!-dlqel

!... 1

,.'.1'I

Ft.. I

&.d. I

T @--.1

Menggunakan EXCEL 2002 di lnternetExcEL dapat digunakan untuk mcngumpulkan dara jarak jauh melalui lnterner. Halaman web

serirg memuat infomrasi r-ang mudrh diinalisis menggunakan ExcEL. Contohnya. Anda tupatmenggunakan Ex(H untut menganalisis harga-harga stok yang dikopikan dari halaman web dan

dara-data yang diiransmisikan dan perangkaCperangkal jarak jauh. Anda dapat memperbaharul

inlbrmasi itu agar senantiasa dalam kondisi terkini dcngan bantuan pJi"rrarle Web queries ynElcrsedia di ExcEL 2002.

Cara membuat refreshable Web query:

1. Di howserAnda, masuklah ke hrl|mrn wcb tcnpat Anda.tkan mengambil dara. Coltohnlar hlrp/moneycentral.msn.com,home.asp.

2. Kopikan dan temp€lkan data terlebut ke dahm lembar kcrjr ExcEL- Tombol Pastc Op

tions akxn mxncul teFt di bawah daia yang tel$ Anda rcmpelk.tn.

l. Klik tanda panah di bagian kdnan lombol Panc Optnrns lalu klik C.cate Ref.eshable

4. Di dalam koral dialog Nes web Quer). klik panah kuning di sebelah tabel data )angAnda inginkan di \\tb query.

5. Klik rombol lmport.

Unruk lips lainnya, kunjungilah: http://wws.microsoft.con oificc/using/tips/winncrs.htm.Kunjungilah httpr/www.ni.com untuk memperoleh informasi mcngcnai pcnggunun Excu- di

lmernet untuk mengendalikxn eksperimen-eksperimenjarak jauh, mengumpulkan data. dan belajarjarak jauh. National Indrumenls memiliki sebuah add-in untuk ExcEr, dinamakan MEASL,RE yang

memungkinkan EX.EL untuk menarik data dari berbagai macan perangkal. Lihar Bab 9.

Gambar 1-14. (,-rd.dn.o,dl CLslo- /e r..-t -algat trar rd t oa'6 di data EYCEL 2002

Apa selanjutnya?

Sekarang Anda ielah mengemhui beberapa cam penggunaan Excll-, kini saatnya untuk nenggalisedikit lebih dalarn. Kira akan menielaiah lebih banyak lagi fasilitas pengolah angka di Bab 2.

Ihis is tleTosk Pane

Fngenalan teknik teknik membuat grafik di Bab I danmarematika di Bab 4.

pengembanga, kemrmpuan mel--:

Robert K. Adair. The Pbsi$ of Basebdll, (Harpercollins, New York. l99l).Baft Giam.tti appointed Professor Adair to the coleted po( of Physicist io the National League.198? 1989.

Roben K. Adair, "The physics of haseb.tll," Pbsi.s To.]q 48 (5). 26-31 (1995).

1 R. Penner, 'The phlsics of EoIr', Ametica JounnL ol Pbsics 69 (10) 1073 l08l (2001). Golfhal.. Jre more cunplrcrred rhan )ou md) rma!rn<

D Halliday, R. Resnick, dan 1. W^lke\ F nllan ntalr o/ Pi)ri.r. Sixth Edition, (John Wllley &Sons, lnc.. New York, 2001), Chapler 4.

S P Hendee, R. M. Greenwald, dan J. J. Crisco. Static and dynamic propcrlies of variousbasebatts, "Jaumat oJ Apptiet Bione.lunics 14. 390-100 (1998).

Ken- R. Morison dan PaEick J. Jordan, Spreadsheet documcnlalion tbr students aDd engineers.'lnte ationaL Journnl ol Engineerinq Education 16, No. 6, 509-515 (2000)-

Kyle Forniash dan Raymond wisman, 'Simple Inteme! data collectjon fbr physics taboratories."Anvricnn JoumaL oJ Ph,"r,.r 70 (4), 45E-.161 (2002).

Daftar Pustaka

Uii kemampuan Anda

Catoto : Sebagio h.sat latihdn diberika lalan CD-

l. Gunatanlah ExctrL untut menrhilung nilai dari pemyataan berikut:=3+11 6

=(2+:1)/5 (t-ihatlah perbedaan EXCEL dalam mcl*ukan perhitunsan mergsunakan tand! /).

=22+,1/5 (Catatan: ini harus diinput meDj|di =2^2+,1/5)=(2r+.115=log(10) (Catatan: ini adalah log birsi. bcrbrsis 10.)

=ln(10) (lni adalah log natural. berbasis €.)

=ln(exp(11)) (Perhaiikan pengsunaan tanda kuruns).

=sin(2) (lni adalah tunCSi sinus. Sudut bialanya dinyalakm dalam radian).

=sinGadian(2)) (Gunakan metode ini untuk nemasukkan sudul scbagai derajat).

=sin(0.001)/0.m1=sin(0)/0 (Menjadi nilai apakah seharusnya ini? Lihat Bagian 4.2).

=sin(exp(0.2))

l. 0 Mohon perhatian kepada para .rtlet bungee jumping. Bungee jumping. yang merup,Lfkeunggulm optimisme atas iDtelegensix, adalah olah rrga yang populer di Great Falls. \Iontana. Seutas kawat statis dengan paDjang D dipxsangkan ke seulas kawar elasis denganpanjans awal a drn m€ngalami gaya konstan t. Krwat staris dipasangkan ke kalii peloniaryang akan rcriun dengan kepala terlebih dahulu drri ketinggian H diui permukaan beton- ,iur

atau tanah. Dapal sala leriadi kcsalahan yxng iatal dengan asumsi bahwa kawat slari! a]<

l.

reranrbahkan tanjang sebesar /) ke nxrl tenrmh{han prnlang kawat elaitis di bawalm,la.Lnruk seorang peloncar yang bennassr ar. energi kons.rlasi nremheriLln nilai parjangrnaLsnnum dari sisten bungee yan: multrr.

. =t It t )1,.^ I tt.lrI)engin s dallrh p.rccparan gr.rlilasi. Alunxika| I adahh 9.8 rnAr d.rn D sudah rernusuklinggi brdan si peloncal

Bulthh lembd kcrix unluk menehnurg \r^ bila,r = 70 kg. t = l0 N/n dan 1- = 10 m.

unruk D = 1.5 hingSr 10 nr dengan kehpatan 0.5 In. l-enrbd pengolah xngk! )'.tng Anda burtdapat nrenyehmltkm ntr$r ]\ndrl H.ll ini berkaimn dengat tor!.n'a\l .r./al Nrtion{lscience Education St.rnd.rd.

,\nggap Arda lrremilili hendr :00 kg ]ang rerlerak di bidang horizonral !ang licm. Pada saa!

Anda nEndoron gn) a dengrn gr)! honzonral J-ang konsran \ebesar I I .7 \. benda ilu mengalamipercetaran. Benda hergerrk dari keadaan diam di J = 0. Buatl,rh sebuah lembar ker.la untuk

renglrirung l)ercetxtin, kcccprtxn. da pe.geseran lrenda iru seb.rgai lungsi saktu, untuk0 < / < 30 detik. PetLmjuk: gunrka lrh Hukun Ne$tor lt 1'= ,r.r. Untuk percepatar ,!angkonsran.r=r,+a/danr=r,,+r/+0.5dr.AurlahdataAndakedalanrkolorn'ko]om.dergan llaktu hemd.t di kolom A. pcrceprh di kolom B, kecepatan di kolon C. dan jarak

pergeseran di kolom D. N4rsukkan massa d.rn gaya ke drlam sel-sel di bagian al.ts lernbxr

kerja dan referensikxn sel !el inikc drlam r!nrus rLrrnus,!angA da buit. (Pergunakrn /.,t!r"n,r.l.drolrr.) Dengln menggunrkan relerensi rbsolul terhadap sel-sel data. Arda dapat mengubah

massa nrautun g!!r tanpr pcrlu mengubah seluruh |ilai massa maLrpun gaya itu di seluflrhlenbar ke{a. Lrtihrn ini bcrhuhungan denga Natloral Science Edncation Standard mengerai

It)\isl dan pery aka h. tld d ?kt sruk nu su\o-

Kegiatan baseballdifhnel lain drn dibulanr Buadih salinan workbook B,A.SEBALL kenudian

Sandlah namxnr-i. Ubahlah lcnrbar kerianr-a xgar dapal mengikursenakan data a. ,t-aitu pe.cepatan grayitrsi. Bandingkrnhh lintasin b.rseball di buni dengan dl bulan maupun plirneG

planer lainnla. Catatin: s diukur di drcrih grrii khalulistiwlr masing-nnsing planet sepeflitercarnunr di tahel beriktrt.

Petcepatan gnvilast, n/e1,67

3,78

9,TA

8.60

3.72

229

9,05

11,00

0.50

Shinizu Construction Corporation lengah nempelajari rencana untuk membuat lapangan-lapangantenis dan golf di bulan, din Nishimatsu Construction Corporation ielah mengajukan usulan unlukmcmbangun tempat peristirahatan berupa gedung bertingtat di bulan. Kunjungilah hltp://www.shimz.co jp/engli\h/indcx.hhl.

Bab 2Menjelajahi Excer

Mengenai apa isi bab ini

E\.!L nr.ruprkan rplik{si }!ng trDgguh dan kaya akan beberapt lungsi miupun pilihan t.rnrtilln.\ndr bisr saia lidak nrcmcrlukin scluruh tasilitas tersebut. namuD bilaAnda tidal nempedulikannl!.brgrimanr muDgkm ADda r.thu brh\a Anda rnemang tidak mcmbutuhkannl-a? Klra ridak !k{nmempclald EX.LL. \ccrra nrcndahm di !nri. nai m akan membrhas mcDgcnai dasar-dasamya.! J

\xn-q mungkin dipedukan untuk nrul.li menggunakin ExcEL. Di bagian *hir, kita {ktn nenlpelajrribeberapa operasi yang lebih kompleks.

Di bagian atas lembar kerja E\( H. tcrdapat sembilan buah menu yang daptr diiabrrkan ketawah (prl/'ldrr): File. Edir. view. Inset. Format. Tools. Data. wirdow, dan Hclp. Jika Andarelah mengetahui seluruh sub menu d{n kolrk I'otak dialog -v'.ang tersedi{ tersebut. mxka Arda..benamla lelah memiliki kuilifikasi scbagxi penggura trngkat lanjut$. Nanrun And.t tidak perlut.rlalu khawrtir dengan penjabardn s.luruh sub-menu yang ada. begitu Anda membuka lembarterla yang kosong. Anda datat segefu menjelajahi Inenu-menunya lanrbil nrcmbac! bab ini.

2.1 Office Assistant

Peaanr| um& mril r kila lihal ke bagian Ot{ice Asi'trnt (banludn unnrk penllunJ n ,,1fi((r\3ngmerup an brgian umum yang terdapat dalam progranr MrcRosoFr OFFrcE. Klik ikon tanda mn)a(l) di sisi kanrn rlas nenu bar dan Arda akan menyrksikan sesosok makhluk yang lucn sedarg

benanya mengenai apakah )ang ingin Anda lakukan. Anda drpai mengganti ma$luk ini dengan

mengklik menu OptioDs. SalJr satunyi lang bernana Genius ditunjukkan oleh Gambar 2 1. PosLi

Genius digantikan oleh Merli. Sang Pesulap di E\CEL 2002 dan di progran-program MrcRosorlOFrcn lainnya.

1l{{ Ioov" ' gtt

Gambar 2r. Untlk menjalankan OIf@ Assls1a.lcukup dengan cara mengklk lomboi k r mouseAndaSlakan klik dibar yang lerlelak d bagian alas menLbantuan (drsisikir lombolE) untuk melhattamp arsepeni Gambar 2 2. D EXCEL 2002 se.ln me^aglnakan Ofiice Assislant, Anda dapat iuga -e_lglnakan Task Pane. Lihat haaman 18

k

22 Bab 2: Menielaiahi Excer

What would you like to do?

Type your question here, and tten dickSearch,l

9-,9P-lP!1r.. ) ctose

Gambar 2'2. Ketikkan pertanyaan Anda di dalam Kotak Dialog, kemudian klik Search. Bila Anda mengklikOptions, maka Anda akan melihat tampilan seperti di Gambar 2-3.

Gambar 2-3. Aturlah menu bantuan Anda melalui Kotak Dialog Options. Tombol Fungsi Fl merupakan tombolsingkat yang akan memunculkan menu Help. Untuk melihat tampilan seperti di Gambar 2-4, siiakan klik tabGallery. Anda dapat juga mengklik menu Help di bagian kanan atas bar menu.

!d

*'t Aptimt l

B#,a1t c.grbftal

V tldoffilfizr.ev w*v*tc

V tgttc*ainttpwstV CtgrVpt*sV jt*cgrt*

f Scr*r fsffirrrlcd.d,udrlqrr:frh?h l*lrn glrrylarrnirry

ShfftprSot*3 at*8fu*resnwcdfa** y7 U*n tl* tsst* nrr,e df ctrrvdy'

dsW6isEf Orgdtowffdr V'u;WliWT 3rro$r SrcTl'ot $cOry* *,rhr

CEL 2.2 Menu-menu file, edit, dan view 23

:lik

Eilery i gt-ts I

Yan ca sool6rur9h Ele ffietcr* aist{ts bry ui19 Ate €d ud ihxt> h-ttqs. v*lon yqrrc ffircd sclccthg lrrr 6$stut, d(ktE o|( h.ttm.

l-Elb. GettiE tEb h OffiCe b.elativevsirpb. }Jstgive ne a cltk.

hildrte: IhE G€rirsItE rnd oa *le c€rirs udl<s * ttp s€d of lt't.HriEss t*t po!iler of tluxlrt to sane ),o(,scf, titterdasgr.

4d. ll: rG)&> il

Gambar 2-4. Pilihlah menu bantuan (asslstanf) Anda di sini. Bantuan-bantuannya antara lain akan berwujudpenjepit kertas yang apik, robot, William Shakespeare, Power Pup, dan seekor kucing.

2.2 Menu-menu File, Edit, dan View

Gambar 2-5 memperlihatkan pilihan-pilihan atas menu-menu tersebut. Pergunakanlah mouse Anda

untuk menjelajahinya satu per satu.

Eb EC Ulrr

D w...E} g!..,..'

gh6r

sa+cl&dap*a...

P{!SG{fr...Ptrt&G.

& prrtprrur*

5a*... ctrt+s

ScndIo

Frtres

lE{tRopY? Eooro*s ud Sdrh$lY*,..\Fal-U

t famils urd SrttrGlY*...Fgl-leI Foos*s ad $rttresll$ ...Fgl{

Er*

[t6c* fgrn* Itak ]Cta E Ee Sqr tnst Fgtrr* focu!{ilcbl+o

Uiil h$rt Fgra* Ioob

E UuneE gacaaat Preilitr{

Ioobns )

, EpnnJ.Barv g*us8a

Uaadet{dF@t!t...

Ctr*om Uitirs...

El Uscr"-,lun...

Gambar 2-5. Menure ,- 'a-,;dijabarkan ke bana- - -*--perlihatkan operas Ct'r: "-r{;standar.

E

a

() AeoaatOose Cbl+Y

24 Bab 2: Menielaiahi Excer-

2.3 Menu-menu lnsert, Format, dan Tools

Operasi pembacaan catatan (Comment) di sebuah sel melalui menu View merupakan sesuatu yangpenting untuk dilakukan karena ini akan mengajak Anda untuk melihat-lihat catatan yang telahditambahkan ke dalam sel tersebut, sekaligus akan membantu mengingatkan Anda (dan juga oranglain) mengenai apa sebenarnya arti di balik isi sel tersebut. Catatan ini diselipkan ke dalam selmenggunakan menu Insert seperti ditunjukkan oleh Gambar 2-6. Iadllah orang yang baik hatidengan senantiasa memberikan catatan-catatan sel seperti ini; suatu saat nanti jika Anda membukakembali lembar kerja Anda itu, maka Anda akan dapat mensyukuri telah memberikan catatan-catatan yang berguna di dalamnya.

Salah satu contoh catatal sel ditunjukkan oleh Gambar 2-7. Perhatlkanlah kehadiran sebuahsegitiga kecil di pojok kanan atas sel tersebut. Anda dapat melihat catatan yang tersembunyidengan menggunakan menu View seperti yang nampak di Gambar 2-5. Untuk modifikasi tampilancatatan, dapat menggunakan menu [Tools] [Options] [View] [Comments].

lnsert Fgrfid Iods 0*acdk.,.

Sows

(okrnns

Wskheet

0 qu't...

Flfnat look Qeta Stdow

; Y 5pdns.,. n$.toCorrect...LmL up Refcrcnce.. .

' S[re Wod,bod*..

IfxkChilrqes

Protactm

r

PaSe Beak

ib courn*t

L nyp*fr*... Ctrl+(

Qpta Analfgs,..

LJpdatc Add-n lftto...

Gambar2-6. Menu lnsert, Format, dan Tools. Pada saatAnda menyisipkan catatan (comment), sebuah tandakecil muncul di pojok kanan atas sel yang akan diberi catatan itu; lihat Gambar 2-7. Pergunakanlah mouse Andauntuk menjelajahi pilihan-pilihan di dalam menu ini. Cobalah mengklik pilihan Picture untuk menyisipkan fotoatau gambar. Klik pilihan Object untuk memunculkan kotak dialog dengan sejumlah besar pilihan item penyisipan.Hyperlink akan kita bahas nanti. Data Analysis di menu Tools akan digunakan secara lebih luas di Bab 9, 11,dan 12.

Iools Q*a Urdow $lp

Click here tosee w-hat youcan do!

:L

1

iI

2.4 Menu-menu data, window, dan help

0.30103' + 0.30103is is Sre log

2.

Gambar 2-7. Kiri: Sel yang telah diberi catatan. Perhatikan tandanya. Kanan: Anda dapat melihat catatal .,.-:telah diberikan dengan menempatkan kursor Anda ke sel tersebut namun tidak perlu mengkliknya..

Gambar 2-8. Kotak Reviewing akan muncul pada saat Anda memilih Comments di menu View (lihat Gambar2-5).

Ada sembilan buah ikon di dalam kotak Reviewing sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 2-8.Ini merupakan kotak kecil yang sangat bermanfaat. Ikon-ikon tersebut berturut-turut dari kiri kekanan adalah untuk keperluan mengedit catatan, melihat catatan sebelumnya, melihat catatansetelahnya, menyembunyikan catatan, menyembunyikan seluruh catatan, menghapus catatan.membuat Microsoft Outlook Task, meng-Update File, dan mengirimkannya melalui Email.

Pergunakanlah mouse Anda untuk mendalami ikon-ikon ini lebih lanjut. Anda pun dapatmenggunakan kotak Reviewing ini untuk saling berkorespondensi dengan orang lain melalui intranermaupun Internet.

2.4 Menu-menu Data, Window, dan Help

Menu Help adalah untuk mencari sebuah penjelasan bagi keperluan diri Anda sendiri, namunmarilah kita fokuskan perhatian kita ke menu Window di Gambar 2-9.

lD

:I

I

I

iI

whdow LEhGambar 2-9. Pilihan-pilihan di menu Windo,,,dan Help. Tiga pilihan teratas di menu W ^-dow sudah jelas. Pilihan Split memungkrn<a^Anda untuk melihat bagian-bagian ler:a.kerja yang posisinya jauh untuk ditanrc <:-secara bersamaan di layar. Freeze Panesmemungkinkan Anda untuk menar: "a-sebuah bagian lembar kerja secara ::-_;.menerus sambil Anda melihallihat ke :al a-yang lainnya. lni adalah fasilitas pra< s . =-,:dapat digunakan untuk menami r..' :e..bagai informasi di dalam kolo- a=- :,=-r:yang letaknya jauh dari lemba. --=-":

[ew \{rnrdow

Ngrange...

Sde

freeze Panes

&!3raQ&:tae,m

Insert a commenthere to remindyou why yo.l didthis in this cell.

f,? urr*'sIt*rMfir:rosoft m the Heb

totus l-2-3 Heb,,,

v I Eookl

26 Bab 2: Menielaiahi ExcEr

g*. !*!idotr E+il:ot...

iltrFgrm...

e.Qrd*...YaHatin,,.

Tgxt to Colfint. ..

CaOsoldde...

go.pxtdOl*he

[El girotr"bb Rwrt...

Get Exterrd QEta

Gambar 2-10. Pilihan-pilihan di menu Data.

Menu Data di Gambar 2-10 memiliki fasilitas-fasilitas tingkat lanjutan yang akan disuguhkandi bab-bab selanjutnya. Jangan khawatir untuk saat ini. (Namun Anda tidak dilarang untuk men-jelajahinya.)

2.5 Di manakah menu grafik (chartl?

Menu Chart ini akan disembunyikan hingga Anda mengklik ikon Chart Wizard, kemudian akanmuncul panduan mengenai langkah-langkah pembuatan grafik itu. Setelah Anda selesai dengan

Chart Wizard, Anda akan melihat menu Chart yang terletak di dalam menu Data, di Tool Bar.Posisi Chart Wizard adalah di sisi kanan atas bar menu. Lihatlah Bab 3 untuk pendalaman mengenaipemakaian Wizard.

, o, +,0 .@ 5i Chart Wizart| ,o , .(X, +.0 tl -

E f* ,l ?t, q,t $ : tora ? @A-. $.

Gambar 2-11. Llenu Chart memuat beberapa sub-menu denganprlinan-prlrhan yang begitu bermanfaat. lni semua akan dibahassecara iebih detarl di Bab 3. Menu Chart hanya akan muncul diTool Bar pada saatAnda telah menyelesaikan pembuatan sebuahgrafik aLau dengan mengklik grafik yang sudah ada di lembarke4a.

2.6 Fungsi paste 27

2.6 Fungsi Paste

Sebuah ikon kecil untuk Fungsi Paste, El berada di bagian atas bar menu, lokasinya tiga ikondi sebelah kiri Chart Wizard. Ikon ini akan membuka seluruh fungsi di Excel dalam bentukbeberapa sub-menu dan kategori. Keberadaannya kira-kira mirip dengan kunci untuk membukapintu utama sebuah bank. Gambar 2-12 memperlihatkan posisi ikon tersebut, yang berada disebelah kanan ikon AutoSum,E-].

Bagian kanan Gambar 2-12 menampilkan kotak dialog Paste Function dengan pilihan beradapada Fungsi Engineering. Di bagian atas dari kategori-kategori ini, yaitu di atas kategori All.terdapat "Most Recently Used", namun tidak ditampilkan di Gambar 2-13. Bukalah lembarpengolah angka Anda dan jelajahilah kotak dialog ini. Suatu deskripsi singkat akan Anda temui.namun Anda dapat menemukan yang lebih lengkap lagi di bagian Help. Klik tombol OK untukmelihat tampilan seperti Gambar 2-14.

Gunakanlah mouse untuk mengklik setiap kategori Fungsi dan jelajahi Fungsi-fungsi itu. Kitaakan lebih memfokuskan diri untuk mempelajari Math & Trig, Statistical, dan Engineering, namunpilihan Logical pun memiliki beberapa fungsi yang cukup berguna untuk dipelajari. Janganlahmenjadikan fungsi-fungsi ini sebagai sesuatu yang akan memberatkan Anda. Pada saat Anda telahterbiasa menggunakannya nanti, Anda akan menemukan sesuatu yang akan banyak membantuAnda. Oleh karena itu, Anda perlu mengetahui fungsi-fungsi apa saja yang tersedia sehingga dapat.A,nda pakai pada saat dibutuhkan. Ingat pula bahwa menu Help bisa diperoleh hanya dengan satusentuhan mudah pada tombol mouse Anda.

L? Z

ffirs:z-f: ll '^[ ll,h -.0 .oo F

Pasta Fmdonl

FtrEtion gltceory: RrcUongrri

InoGrO(hntcr)Rctsns tfr basa-l0logarttrn of a car$cx rutcr.

\

f or I cu'cd i

Gambar 2-12. Kiri: Lakukan klik di ikon Paste Function dan Anda akan menemukan betapa menakjubkannyafungsi-fungsi di EXCEL. Kanan'.Kotak dialog Paste Function. Fungsi Engineering sedang dalam kondisi terpilihdengan nama Fungsi IMLOG10. Kategori ini berikut fungsinya akan dibahas di Bab 6 dan 10. Bab 4 akan lebihmenekankan ke kategori Math & Trig.

28 Bab 2: Menielaiahi Excer

+i'r :J X v; =lMLoGl0(BIt

1

2

3I5

67

Io

,n

ANumbet=

B

i10(81) Inurttr lBl lJ = e

\ = T.3olo2999s663sl"Retuns the bas"-l0loguittm of a cmpbx nunb*.

Immber is a conplex nrnkr for wt*ch ya.r war* the rm logarttm.

f- orr _l

cma I

Gambar 2-13. lni adalah tampilan yang akan Anda dapatkan pada saat Anda mengklik tombol OK untukKategori dan Fungsi yang ditunjukkan oleh Gambar 2-13. Ketikkan alamat sel untuk lnumber. (Perhatikan:Karena2 adalah bilangan riil, maka lMLOGl0 memberikan hasil yang sama dengan LOG10 di dalam KategoriMath & Trig). Sekarang klik tombol OK dan Anda akan melihat tampilan seperti Gambar 2-14.

2.7 Referensi lembar kerja 3-D

Sebuah lembar kerja memiliki 256 kolom dan 65536 baris. Anda mungkin menganggapnya sudahlumayan besar, namun sebenarnya masih bisa lebih besar lagi. Anda dapat menggunakan hingga256 lembar kerja di dalam sebuah buku kerja dan setiap sel di setiap lembar kerja dapat salingmembuat link ke sel lain di lembar kerja yang lain. Ini akan berupa sebuah array sel tiga-dimensiyang begitu besar; lihat Gambar 2-15. Apakah yang kira-kira dapat Anda lakukan dengan bukukerja tiga-dimensi? Gunakanlah kemampuan imajinasi Anda!

Sangatlah mudah melakukan referensi-silang terhadap sel-sel tiga-dimensi. Cobalah contohberikut ini di lembar pengolah angka Anda: Di sel D7 (atau sembarang sel yang Anda pilih) diSheet 1, ketikkan kata Hello. Di sel 89 (atau sembarang sel yang Anda pilih) di Sheet 2,ketikkan =Sheetl lD7 kemudian tekan Enter*j. (Yakinkan bahwa tanda I telah diikutsertakan).Anda akan melihat bahwa kata Hello akan muncul di sel 89 di Sheet 2. Sekarang, apa pun yangAnda isikan ke dalam sel D7 di Sheet I akan muncul pula di dalam sel 89 di Sheet 2. Carayangserupa dapat Anda lakukan untuk membuatkan referensi sebuah sel di sebuah lembar kerja dari selyang berada di lembar lain. Anda akan menerima sebuah peringatan referensi sirkular (circularreference) apabila Anda melakukan pereferensian terhadap sel itu sendiri. Biasanya hal ini terjadipada saat Anda membuat link ygng melibatkan beberapa lembar kerja.

Gambar 2-14. lni adalah hasil akhir dari penggunaan Paste Function untuk Kategori dan Fungsi di Gambar2-13. Sel 82 memuat logaritma basis-10 dari sel 81. Fungsi lMLOGl0 pun akan bekerja dengan bilangan-bilangan kompleks (lihat Bab 10). Untuk bilangan-bilangan riil, Anda dapat inenggunakan LOG10.

0 301029995663981

Apa selaniutnVa?

256

Gambar 2-15. Buku kerja merupakan sebuah array sel tiga-dimensi berukuran besar dan seluruhnya dapatsaling direferensikan silang. Anda memiliki 256 kolom, 256 lembar kerja, dan 65536 baris. Anda juga dapatmelakukan referensi silang ke buku kerja yang lain, sehingga Anda praktis hanya akan dibatasi oleh kapasitashard disk dan memori.

HyperlinkSebuah hyperlink adalah bagaikan sebuah referensi luar biasa terhadap lembar kerja. Anda dapatmenyertakan spbuah hyperlink menggunakan menu Insert (lihat Gambar 2-6, di pilihan palingbawah). Cara lainnya, Anda dapat mengklik ikon hyperlink yang terletak di sebelah kiri ikontoolbar Web di bagian atas menu. Sebuah hyperlink dapat mengakses ke file lain dalam bentuklembar pengolah angka, pengolah kata, maupun URL di Internet. Penggunaan hyperlink ditunjukkandi lembar kerja ENSEMBLE.

Apa selanjutnya?

Sekalipun Anda tidak tahu apa yang dapat Anda lakukan dengan menu-menu yang telah dibahas.sekarang Anda telah paham cara melakukan beberapa tugas yang berguna. Semakin Anda belajar,maka kemampuan Anda semakin bertambah. Di Bab 3 kita akan mempelajari dasar-dasar pembuatangrafik.

Mengapa kita perlu membahas grafik begitu awal? EXCEL memiliki fasilitas-fasilitas yangsangat memadai untuk melakukan visualisasi data dan fasilitas-fasilitas ini dapat membantu Andauntuk menampilkan array besar berisi angka-angka yang harus dipahami tanpa perlu banyakmengernyitkan dahi. Menampilkan grafik adalah suatu cara yang efektif untuk membuat suatukesimpulan atas data dan memadatkan informasinya. Selain itu, memeriksa grafik seringkali dapatmembantu Anda untuk mengecek kesalahan data. Setelah Anda mengenal teknik-teknik dasarpembuatan grafik, kita akan memasuki intisari matematika untuk lembar pengolah angka di dalantBab 4.

30 Bab 2: Menielaiahi Excel

Sebuah batu baterai adalah bagaikan sebuah rekening di bank yang dapat mengalami pemotongandana untuk keperluan membayar tagihan-tagihan yang Anda terima, namun Anda tidak pernahmenerima tambahan bunga ke rekening tersebut. Empat soal latihan pertama di ba*ah ini ber-hubungan dengan topik listrik dan magnet yang diberikan oleh National Science Education Stand-ard.

l. Baterai mobil. Anda menggunakan voltmeter hambatan-tinggi untuk mensukur teeangan dikutub baterai pada saat kabel-kabelnya dilepaskan. Voltmeter Anda membaca 11.0 rolt. Iniadalah nilai tegangan rangkaian terbuka Vr, atalu emfbaterai. Voltmeter FET memiliki hambatan

tinggi (sekitar 1012 Q) sehingga arus yang mengalir praktis nol. Sekarang hubun-ekan bateraiAnda ke sebuah resistor. Anda mendapatkan arusnya 1= 10 ampere dan tegangan kutub V7

turun menjadi 11 volt. Berapakah hambatan-dalam r baterai? (Petunjuk: Berdasarkan HukumKirchoff, jumlah aljabar tegangan di dalam rangkaian tertutup adalah nol. I' - \-r- 1r = 0.)Pergunakanlah lembar pengolah angka Anda untuk membuat tabel tegansan kutub sebagai

fungsi arus, dengan I yang berkisar dari 0 hingga 120 ampere dengan kenaiken setiap 2

ampere.

Berapakah daya-hilang yang dialami oleh hambatan-dalam unruk setiap nilar aru. l ang diberikandi pertanyaan nomor 1? (Petunjuk: Daya-hilang sama den,uan 1lrt.

Berapakah daya yang dibangkitkan oleh baterai untuk setiap kenaikan nilai :ru. r ang diberikandi pertanyaan nomor 1? (Petunjuk: Daya yan-u dibangkitkan sama densan l'-L.

Berapapersenkah efisiensi baterai untuk setiap nilai arus ran_s drbenkan dr p'ertanraan nomor1? (Petunjuk: Persentase efisiensi adalah 100 x rDara-hilansr,Dala rang dibanekitkan).

O Koefisien transmisi da1 a adalah perbandingan antara de1 :r lrensmr:i dengan dara sesaat.

Di bidang akustik. koefisien ini lebih tepat didet-rnisikan delam bentuk k.rr*teristik impedansiR yang diukur dalam satuan rar'1 {sebagai penghormatan-kepada Lrrrd Rerleiehr. Impedansiini adalah hasil perkalian antara kerapatan volume tk_e/m'rdengan kecepatan suara di dalamsebuah media (m/s). Di perbatasan antara dua buah media. koet-rsien ini menjadi lrltl+r)2,dengan r = Rt/Rz dan r ini merupakan perbandin_ean antara ka.rakeristik impredansi di perbatasan

dua media pada kondisi sesaat dengan kondisi pada saat transmisi. Buatlah lembar kerjauntuk menghitung koefisien transmisi daya untuk 0 < r < 5 dengan kenaikan setiap 0,1.

Latihan ini berhubungan dengan topik mengenai perpindahan enerqi rang diberikan olehNational Science Education Standard.

Di pertanyaan nomor 5, pada saat r sama dengan berapakah nilai koet'isien transmisi dayamencapai nilai maksimum? (Ini adalah dasar mengapa transformator pencan impedansi kerapkali digunakan di dalam rangkaian elektronika. Persneling mobil juga lermasuk transformator,telinga manusia maupun binatang adalah transformator akustik.)

Catenary. Sebuah rantai seragam sepanjang 30 m memiliki kerapatan linier 0.-i kg/m dan

berat total 15 x 9,8 N. (Gunakan 8 = 9,8 m/s2.) Rantai ini tergantung di dua buah titik vertikal.Sebuah bentuk khas yang melengkung akan tercipta terhadap rantai )an_s tergantung vertikalseperti ini dan bentuk ini dinamakan catenary, l(x)=a cosh(x/c). (Lihat Bagian -1.5 untukfungsi hiperbola seperti cosh.) Buatlah lembar kerja untuk menghitung tegangan rantai di 9titik yang berjarak sama, termasuk pula di ujung-ujungnya. Cobalah dengan jarak antara 15

sampai 25 m dengan kenaikan setiap 1 m.

2.

J.

4.

5.

6.

7.

Bab 3Membuat Grafik di Excel


\lulailah Excsl Anda dan gunakan sambil Anda membaca-baca bab ini. ExcBr- memiliki fasilitas-thsilitas pembuat grafik yang sangat kaya (ada 14 buah fasilitas untuk diagram standar dan 20 buah

untuk diagram bebas) yang memungkinkan Anda untuk menampilkan dan memaparkan data dalam

trentuk visual sehingga Anda maupun orang lain dapat lebih mudah memahaminya. Kita akan me-

mulai dengan mempelajari pembuatan grafik ini karena akan membantuAnda melihat apa sebenarnya

iang sedangAnda kerjakan. Sebuah grafik mampu memberikan penggambaran data secara cepat

l ang tidak akan Anda dapatkan hanya dengan melalui angka-angka di dalam lembar kerja.

Di Excnr- dan program-program Microsoft lainnya, grafik dinamakan diagram (chart) dan

_rrafik polar dinamakan diagram radar (radar chart). Di dalam bab ini Anda akan mempelajarikonstruksi dasar untuk:

. diagram xy (scatter), termasuk yang memiliki dua sumbu-y, log, dan dB,

. diagram kolom (column) danbatang (bar),

. diagram radar dan polar.

Beberapa tipe diagram di dalam Excnr- juga telah dimasukkan ke dalam analisis-analisis statistika

sederhana. Di dalam bab-bab terakhir Anda akan mempelajari beberapa teknik untuk memaparkan

Jata-data yang lebih rumit, namun ketiga tipe diagram di atas akan membawa Anda untuk memulai

dan memahami kebutuhan mendasarnya terlebih dahulu.

3.1 Chart Wizard: membuat diagram xy sederhana

Sebuah diagram begitu mudah untuk dibuat; Excer- memiliki Chart Wizard untuk membantu Anda.

Ikon Chart Wizard berada di sisi kanan atas tool bar ikon, letaknya di antara ikon Sort Descending

dan Map. Ikon Wizard ini menyerupai diagram kolom (Gambar 3-2).

Diagram ry (atau scatter) adalah tipe yang paling sering digunakan untuk keperluan presentasi

di bidang ilmu rekayasa dan sains karena menggunakan data yang saling berpasangan. Seperti

rnilah data biasanya direkam dari kejadian-kejadian sesungguhnya yang terjadi sehari-hari. Sebagai

r-ontoh, Anda ingin mengukur temperatur pada waktu-waktu tertentu yang interval waktunya tidak:ama. ExcEL memiliki lima diagram ry standar dan beberapa tipe diagram bebas untuk keperluan

rtu- Tipe-tipe Standar (Standard Types) ini hadir di tab sebelah kiri di dalam kotak dialog riiha:

32 Bab 3: Membuat Grafik di Excel

Gambar 3-3) segera setelah Anda memulai pembuatan grafik melalui ikon Chart Wizard. Tipe-tipeBebas (Custom Types) muncul pada saat Anda mengklik tabnya.

Diagram ry memiliki tampilan seperti diagram garls, namun diagram garis ternyata kuranghandal karena membutuhkan interval data yang harus sama. Diagram xy dapat bekerja dengan datapoirs.

Bukalah buku kerja bernama XY-EXAMPLE dan marilah kita membahasnya secara mendalam.Biasanya lebih mudah untuk mempelajari buku kerja dengan cara mengedit sebuah lembar kerjadaripada harus berhadapan dengan sebuah lembar kerja yang masih kosong. Anda dapat menampilkanGambar 3-1 di layarAnda. Lembar kerja ini memuat dua trik menyenangkan yang akan memudahkanAnda untuk menggonta-ganti kenaikan nilai x dengan segera tanpa perlu melalui menu [Edit][Fill](Bab 2).

Sel D3 memuat sebuah nilai untuk mengatur kenaikan nilai r. (Anda dapat mengisi kolom inimenggunakan menu [Edit][Fill]tseriesl, namun bila Anda ingin mengubah nilai kenaikannya di-persilakan untuk menggunakan cara ini kembali.) Lembar kerja ini menggunakan sel D3 denganrumus yang berada di kolom A untuk mengotomatiskannya. Sel ,4.6 memuat nilai au al untuk r dansel A7 berisi rumus =A6+$n$3, sebagaimana ditunjukkan di dalam kotak editor sel. Perhatikanlahpenggunaan alamat sel absolutnya, yang ditandai dengan tanda $, yang terkunci di kolom D baris3. Pada saat Anda menggunakan noktah di bingkai sel untuk mengkopi sel A.7 ke seluruh kolomA, seluruh sel akan mengacu ke nilai kenaikan di sel D3.

Sel 86 memuat rumus =2*A6 dan ini akan dikopikan ke sel-sel lain di kolom B. Proses inimembuat seluruh nilai data di 1'1 menjadi dua kali daripada nilai data di .r. Diagram pada Gambar3-1 memperlihatkan kumpulan data ini. Lalu rumus apakah yang ada di sel C6?

Letakkan kursor di sel A5 dan tahan tombol kiri mouse di sel tersebut. Geserlah kursor kekolom B kemudian dengan menuruni kedua buah kolom tersebut hingga berakhir di data terbawah.Hal ini dimaksudkan untuk menyeleksi data yang akan ditampilkan di erat-lk pertama. Sekarangsilakan klik Chat Wizard.

. =A6+3DB

CDEFGExamples of XY (scatter) Charts

0

I- , i""r"r"rtl 0a

x--T--Y!--T-rz--l02

0.4 2.442806

1

2

45

6

I9

10

11

13

14

15

XYSXAMPLE.XLS

Chapter 3

0 4 0.8 2.9836490 0 1.2 3.6442380.8 1.6 44510821 2 5.436564

12 12 24 6U02U1.4 2.8 811A41 6 3.2 9.9060651.8 3.6 12 099292 414.77811

2.2 4.4 18.05003

24 4.8 22.0/.6352.6 5.2 26.921482.8 5.6 32.889293 6 40.11107

IO

17

18

19

20

21

Gambar 3-1. Lembar utama dari XY-EXAMPLEnilai di sel D3 sebagai nilai kenaikan x.

l,l l,ll-Perhatikan rumus yang berada di sel A7 yang memanfaatkan

XY Example

25

2Ao

*rs-10

5

0

Ffil

3.'l Chart wizard: membuat diagram xy sederhana

Gambar 3-2. Klik ikon Chart Wizard untuk memulai operasi pembuatan grafik.

Kotak Dialog untuk (Step 1) ditunjukkan oleh Gambar 3-3 dengan pilihan yang tengah berada

di tipe .ry, bentuk diagram ry yang lebih khusus ditunjukkan oleh pointer mouse. Pilihan l ang

diambil adalah "scatter with data points connected by smooth lines without markers." Silahkanklik tombol yang terdapat di bagian bawah kotak dialog ini ("press and hold to see sample") untukmelihat bentuknya secara lebih jelas. Bila Anda cocok dengan bentuk ini silakan klik tombol Nertdan Anda akan melihat tampilan Garnbar 3-4.

TipsMenggambar grafik dari sekumpulan data pada kolom yang berdekatan adalah mudah, tetapimencobauntukmembuatnyadaridatayangletaknyaclipisahkanolehbarismaupunkolombisa saja menjengkelkan. Di sini ada dua trik yang akan membuatnya menjadi mudah. Biasanya

]

di dalam EXCEL selalu tersedia lebih daripada satu cara untuk melakukan sesuatu.

\Ietode pertama. Pergunakanlah tombol kiri mouse Anda untuk melakukan seleksi terhadap kelornpok

data pertamao Tekan dan tahan tombol Ctrl lalu pilihlah kelompok data kedua dengan menggunakan

tombol kiri mouse untuk mengklik dan menariknya (melakukan drag).\4etode kedua

o Melalui menu Edit, pilih Go To.o Di dalam kotak Referensi. ketikkan kedua kelompok data itu, pisahkan dengan tanda

. [:f;"-bol oK. (Lihat pula Gambar 3-5 untuk .u.u tulnnyu.;

*rd(dr1ecr I C,rt*ryp.r I

OEt tl.par Chdt e-6.b/p6l

8aa

liEPia

Area

DqrdntR.dr5qfe.erbblc

5t(k

Prq: ard tpU to tl* sneh I

Kl&

@] c"*d | -,,,,, l--rrotl-l r**' I

M

Gambar 3'3. Langkah 1 dari 4langkah di dalam Chart Wizard. Pilihannya mengarah ke sub-tipe XY S-:i-

J4 Bab 3: Membuat Grafik di Excel

Data R.n€c

Qata renge:

Series h: r Bpws

6 co-umns

Gambar 3-4. Langkah 2 di Chart Wizard, menunjukkan batasan sumber data.

Klik tab Series untuk melihat urutan datanya. Apabila pilihan datanya tidak sesuai, maka Andadapat menggantinya, seperti ditunjukkan oleh Gambar 3-5.

Gambar 3-5. Menambah, membuang, atau membuat perubahan terhadap urulurutan data dapat dilakukanmelalui salah satu bagian di Langkah 2 ini. Anda dapat mempergunakannya untuk kelompok data yang lokasikolom selnya tidak berdekatan. Anda dapat memasukkan atau membuang sekelompok data melalui kotakdialog ini. lni merupakan cara ketiga untuk membuat grafik pada sekumpulan data yang kolomnya tidak ber-dekatan. Lihat tips di halaman 33.

25

20

l5

t0

5

0

a0

st0

5

0

3.1 Chart wizard: membuat diaoram xy sederhana

_.i"g I :Ert . ll r'r*t, I .Ed*, I

Gambar 3-6. Langkah 3 di Chart Wizard. Judul dapat dimasukkan dengan menggunakan bantuan papan ketik(keyboard). Silakan klik keempat tab lainnya di bagian atas kotak dialog untuk melihat apa saja pilihan yangbisa dilakukannya.

Langkah 3 ditunjukkan oleh Gambar 3-6. Langkah ini memberi Anda kesungguhan dalammengontrol seluruh penampilan diagram. Sebagai contoh, Anda dapat mengklik tab Legend untukmenggeser lokasi legenda (legend) data atau mengubah posisinya.

Langkah 4 ditunjukkan oleh Gambar 3-7 .lni adalah langkah terakhir dalam pembuatan sebuah

diagram. Di sini Anda dapat meletakkan diagram di dalam lembar kerja baru atau menjadikannyasebagai sisipan di dalam lembar kerja yang sudah ada (lihat Gambar 3-l). Perhatikanlah pointermouse yang berada di tombol Question. Pada saat Anda mengklik tombol ini, Office Assistantakan hadir untuk membantu Anda. Fasilitas ini tersedia di seluruh Kotak Dialog dan di sisi kananatas Tool Bar ExcEr-.

Hxe chat:

mffi

E*

r- As rcvr tlraet: lclxtt

6 as gbicct n: lvt, vz :l< E€ck

Gambar 3-7. Langkah 4 di dalam proses pembuatan diagram. Setelah Anda memilih di mana diagrar :.a-- -akan diletakkan, klik tombol Finish. Lihat pula bahwa pointer mouse Anda sedang berada di tornco l=,:eAssistant.


Memodifikasi diagram buatan AndaSekarang Anda telah memiliki dasar diagram;ry, Anda dapat memodifikasinya dengan cara mengklikbagian diagram dan memilih sembarang objek. Sebagai contoh, pada Gambar 3-1 arsiran diagramnyatelah dibuang. Di dalam lembar kerja, letakkan kursor ke dalam bagian diagram (chart area)

namun di sisi luar diagramnya, kemudian klik tombol kanan mouse. Ini akan memunculkan menukontrol seperti tertera di Gambar 3-8. Pergunakanlah mouse Anda untuk menjelajahi menu-menu

ini.Lakukanlah kllk di plot area (area keberadaan diagram) dengan tombol kiri mouse, kernudian

klik kanan tombol mouse Anda. Anda akan melihat menu kontrol seperti tertera di Gambar 3-8.

Sekali lagi. cobalah untuk menjelajahi pilihan-pilihannya dengan mouse Anda. Menu-menu kontrolini akan membuat Anda semakin mahir, namun Anda tidak perlu memahami seluruh tungsinya saat

ini.Anda dapat dengan cepat mengubah tipe diagram dengan cara mengklik Chart Type. Anda

dapat melihat atau memodifikasi sumber datanya dengan mengklik Source Data. Silahkan Andacoba sendiri yang berikut ini: menambah, membuang, atau mengubah seluruh sumber data dan

batasan (range) datanya. Anda ingin mengubah judul? Silahkan klik Chart Options.Sekarang marilah kita lihat bagaimana mengubah-ubah tampilan diagram Anda. Klik kiri

tombol mouse Anda di sumbu-"r diagram dan Anda akan menerima Kotak Dialo-e seperti tertera

di Gambar 3-9. Kotak dialog ini akan mengajak Anda untuk mengubah-ubah lormat sumbu dia-gram dengan berbagai cara. Jelajahilah tab+ab yang ada dengan mouse Anda. Pada saat Andamengklik sumbu-,y, kotak dialog yang sama akan muncul.

Kotak dialog pada Gambar 3-10 muncul pada saat Anda mengklik tab Scale. Berlatihlahterhadap pilihan-pilihan yang ada, kemudian klik untuk tab-tab lainnya dan lihatlah apa yang dapat

Anda lakukan dengannya.

S rgf*d Chat Area.., E$ fgnrrat Ptot area...

. Chrt lvp,.,$gr.rre D*a,..

. Chart Qptims,..

Laati,m.,.

chstT9$ c+,Eb gopy

G er*"degr

*",rydclr

Gambar 3-8. Kiri: pilihan-pilihan di dalam Format ChartArea, muncul hanya dengan sekali klik di tombol kananmouse. Kanan: pilihan-pilihan di dalam Format Plot Area. Beberapa pilihan yang sama muncul di keduanya.

3.1 Chart wizard: membuat diaoram xy sederhana

il*gjp-ll s..b I Fo't I urt* | ag*e* |

Ar, [.aix ttkmaktpe6 **onr*ic r Nor12 .t Otgde- Mne N r Ift*rc r'Crosr

-ufr cu*dn s

$vrc: F::::= HT#***5on*Cdor: t,trffi rlnsile fcross

gud*, l:; !&m*klabelsr None a High

sdn* .- Lo,r, 6 Next to axis

f !- l-l c*rr I

Gambar 3-9. Kotak Dialog untuk mengubah format sumbu-x. Kotak yang sama dapat digunakan untuk mengubah'crmat sumbu-y.

.............'.,..'.... lPatterns i--ii-+i---ll r""t I ruu*uu, i at6nmer* |

V*.e (X) axis scale

Alxo

17 ui6mun: lo17 ualrnum; l"17 ms;or r.nit: ls

-17 tqrorwr*: Itl7 vdrre lvl axis

Erasr* *: lsI- logaitlunic s(6h Nf- Vafues in lever* S",l- value (v) axis crosser at ![aximr.m vd.re

t q.-] cancet I

3ambar 3-10. Tab ini sangat penting untuk Anda dalam mengatur skala. Lihatlah ke pilihan Logarithmic scale' = akan membahasnya di Bagian 3.3.

:{ Bab 3: Membuat Grafik di Excel

.2 Dua sumbu-y

i:Ja saat Anda memiliki dua kelompok data yang batasan nilai-nilainya sungguh berbeda, nampak-:1 a akan sangat berguna bila salah satunya dipetakan ke sumbu-y di sisi kiri diagram dan yang.:innya ke sumbu-y di sisi kanan.

Marilah kita lihat bagaimana cara melakukannya. Bukalah lembar kerja TWO-Y. Simpanlahtrle ini sebagai MyChart-1. Kita akan membuat diagram baru dan menambahkan sumbu-y lain kesisi sebelah kanan diagram untuk sekumpulan data Z, terakhir kita akan melakukan eksperimendengan memanfaatkan skala logaritma.

Tahan tombol kiri mouse Anda kemudian pilihlah data yang ditandai sebagai X, Y, dan Z dikolom A, B, dan C.

Klik ikon Chat Wizard lalu pilih -xy (scatter).

Lanjutkan Chart Wizard ini hingga selesai.

Pada saat diagram muncul, klik kanan di Z data series.Klik kiri di Format Data Series di dalam kotak dialog yang muncul.Klik kiri tab Patterns.

Di bawah kolom Line (di sebelah kiri), pilih Automatic and Smoothed Line.Di dalam kotak Format Data Series, klik kiri tab Axis.Pilihlah Secondary Axis di "Plot Series On".(Sekarang Anda dapat melihat tampilan grafiknya seperti yang ditunjukkan oleh Gambar3-12.)Klik kanan Value (x) Axis dan pilihlah Format Axis.Klik tab Scale. Masukkan -0.6 ke dalam kotak isian "Value (y) Axis Crosses At."(Langkah ini akan menggeser sumbu-y ke titik -0.6 atau titik data pertama yang lebih besardaripada -0.6.)

Y.|dYz

o2a68r'2x

Gambar 3-11. Kelompok data Y1 (tidak ditandai dengan noktah) dipetakan ke sumbu kiri dan kelompok dataY2 (ditandai dengan noktah) dipetakan ke sumbu kanan. Sumbu-x adalah sumbu milik kedua kelompok tersebut.

3.3 Logaritma dan sumbu dB j-

3.3 Logaritma dan sumbu dB

Di dalam aplikasi-aplikasi ilmu rekayasa dan sains, kita sering dihadapkan dengan data rrr.:cakupannya begitu besar, jutaan, miliaran, bahkan lebih, sehingga terlalu besar bila dipetak"r.menggunakan skala linier di kertas berukuran normal. Apabila Anda menggunakan skala iiniertersebut, maka Anda akan kesulitan untuk melihat nilai-nilai kecil yang muncul di antara sekianbanyak nilai yang besar. Kendala ini dapat diselesaikan dengan menggunakan skala grafik logaritma.atau mengkonversikan datanya menjadi format desibel (dB). Perhatian: nilai negatif tidak dapatdipetakan ke dalam skala log! Anda akan menerima peringatan keras apabila Anda tetap mencobanr a-

atau ketika Anda memasukkan nilai negatif ke dalam log.Alam telah mengajarkan kepada kita tentang bagaimana bertahan hidup. Manusia sebenarnl a

telah mengembangkan kemampuan untuk mendengarkan berdasarkan skala logaritma (lihat materitentang Desibel di bawah) sehingga mereka dapat mendengar suara harimau yang tengah mengendap-endap untuk menerkamnya saat berlangsung angin ribut maupun guntur yang bersahut-sahutan.Manusia yang tidak memiliki kemampuan ini akan menjadi santapan lezat dan membuat sansharimau mampu mempertahankan hidupnya.

Persyaratan paling umum yang melibatkan pembuatan sebuah diagram adalah kemampuanny'auntuk mewakili suatu besaran dan fase respon dari sebuah sistem. Besaran dan frekuensi cakupandata dapat berukuran sangat besar, hingga mencapai puluhan tahun, sedangkan ukuran fase hanyalahberkisar antara 0 sampai 360 derajat. Cara baku untuk menggrafikkan data seperti ini adalahmelalui pemetaan Bode (ditemukan oleh Hendrik Bode untuk keperluan di bidang elektronika)yang memiliki skala logaritma untuk frekuensi di sumbu-x, sebuah logaritma atau skala dB untuksuatu besaran di sumbu-y sebelah kiri dan skala linier untuk fase di sumbu-y sebelah kanan. (KataBode dilafalkan menjadi Bo-dee.) Tipe diagram seperti ini sering dipergunakan di bidang teknikelektronika maupun mesin untuk melihat karakteristik respon frekuensi di dalam sistem.

Desibel dan skala dBMengapa kita menggunakan skala desibel? Seperti halnya skala log, skala dB berguna untukmemadatkan data yang memiliki batas cakupan begitu besar, namun skala dB ini akan terlihatseperti skala linier sehingga lebih mudah diinterpretasi. Namun demikian, skala dB sendiri merupakansebuah logaritma sederhana.

Desibel banyak digunakan untuk data-data audio karena manusia tidak dapat merasakanperubahan intensitas suara sebagai Ir - Iz. Suara dapat dideteksi dengan pendekatan log(11) -log(12). Dengan menggunakan kaidah logaritma, dapat ditulis menjadi,

(3-1)

Persamaan (3-l) merupakan definisi dari Bel, namun jarang dipergunakan karena orang masihdapat mendeteksi perubahan sebesar 1/10 dari sebuah Bel. Jadi, desibel didefinisikan sebagai.

1, )i)log

10,"'(+)

Mengingat intensitas berhubungan dengan daya, kita sering mengukur desibel sebagai.

,rr"r[+)

(_1-l

Bab 3: Membuat Grafik di Excel

{}..r.::r\r. da1 a berhubungan dengan kuadrat tegangan atau amplitudo, sehingga

u),r) (3-4)

ierena menurut kaidah logaritma, log (l) = n log(x).Biasanya tidak ada masalah dalam melakukan pengukuran daya, namun berhati-hatilah pada

\aal menggunakan tegangan. Tegangan harus dalam bentuk tegangan r.m.s. (root-mean-square,

akar kuadrat tegangan rata-rata). Selain itu, kedua tegangan tersebut harus diukur dalam impedansi\ ang sama. Sebagai contoh, jika V2 merupakan input atau re.ferensi dan Vr adalah output, maka

Persamaan (3-4) akan menghasilkan keuntungan alal.Keterbatasan penggunaan skala log dan dB adalah bahu'a Anda tidak dapat menggunakannya

untuk membuat grafik nilai-nilai negatif. Jangan pernah mencoba untuk mencari log dari sebuah

nilai negatif!Apakah arti dB nol? Secara sederhana, dB nol mengandun-e arti bahwa nilai output (nilai yang

diukur) adalah setara dengan nilai referensi, karena log(1) = 0.

Apakah arti dB negatif? Sebuah desibel yang negatif mengandung arti bahwa nilai output(nilai yang diukur) lebih kecil daripada nilai referensi, karena log dari sebuah angka vang lebihkecil daripada 1 adalah negatif.

Beberapa orang mengatakan bahwa desibel dipakai jika Anda tidak tahu apa yang sedang

Anda ukur. Walaupun itu bukanlah pernyataan yang benar, namun sebagian darinya memangbenar. Oleh karena desibel merupakan sebuah perbandingan, maka satuan pengukurannya dapatdiabaikan. Tidak ada pembedaan mengenai satuan apa yang Anda pakai. selama Anda konsistenmenggunakan satuan yang sama.

NeperDesibel didefinisikan dalam bentuk log yang umum (1og berbasis l0). namun loe natural (1og

berbasis e) kerup muncul di dalam proses-proses ilmu alam. Nampaknra sudah menjadi suatu

kebiasaan untuk mendefinisikan beberapa satuan menjadi berbasis lo-e natural. seperti desibel. dan

inilah yang telah dilakukan selama ini. Neper digunakan oleh beberapa nesara di Eropa sebagai

satuan transmisi telekomunikasi dan didefinikan sebagai,

N, = 0'5 =ln (3-s)

dengan Po dan P, masing-masing adalah daya output dan daya ret-erensi. dan I,, dan V,. adalahtegangan output dan tegangan referensi (diukur melalui impedansi vans sama).

Untuk mengkonversikan dB menjadi neper, kalikanlah dB dengan 0. 1 l5l. Untuk mengkonversi-kan neper menjadi dB, kalikanlah neper dengan 8,686. Satuan-satuan pen-uukuran ini kerap digunakanuntuk mendeskripsikan peredaman (attenuation) per satuan panjang kabel koaksial, kabel fiberoptik, dan pandu gelombang (waveguide) sebagaimana yang dilakukan terhadap material bulk.Sebagai contoh, fiber optik silikon memiliki peredaman sekitar 0.1 dB/km. tetapi fiber optikplastik memiliki peredaman dalam batasan 15 dB/km hingga 100 dB4im. Fiber optik yang disisipiErbium dapat digunakan sebagai penguat distribusi dan akan memiliki nilai peredaman negatif(atau mencapai positif) bila bekerja sebagaimana mestinya.

ContohBila referensi yang diberikan adalah I mV dan outputnya 50 mV (atau 0,050 V), tentukanlah dB-nya.

ro losl]! l'= 2o los"\v, )

(v,)[,a .]

r, f&llP, )

3.3 Logaritma dan sumbu dB

20 r"c(+) = 2o (1,30r) = 26,02 dB

Daya output adalah setengah daripada daya input. Tentukanlah dB-nya.

lo Ioefo;s) = -3.0r dB-\r/Dengan kata lain, nilai daya-setengah adalah -3 dB.

Bukalah lembar kerja TWO-X letakkan pointer mouse Anda di salah satu se1 di kolom B. klikkiri di menu Insert kemudian klik Columns. Di sel 84, ketikkan dB. Di sel 85 ketikkan=20x log (C5 ) kemudian tekan EnterJ. Sekarang, gunakanlah mouse untuk menarik (drag) noktahdi bingkai sel 85 dan mengopikannya ke sel-sel 86:825.

Gunakanlah pointer mouse untuk menyeleksi sel-sel A4:825, yaitu kolom A dan B mulai darisel 4 hingga ke sel 25. Selanjutnya, klik Chart Wizard dan buatlah sebuah diagram xy dengan skaladB berdasarkan data-data yang Anda miliki. Hasil akhir diagram Anda haruslah seperti Gambar3-12.

Gambar 3-12. Sumbu di sisi kiri menggunakan skala logaritma. Anda dapat melihat nilai-nilai kecilnya secararinci seperti halnya melihat nilai-nilai besai yang muncul di kurva polos (tanpa noktah). Sumbu di iisi kananmemuat skala untuk kurva bernoktah. Data-data yang diikutsertakan di sumbu kanan ini memiliki nilai-nilaipositif dan negatif dalam batasan data yang relatif kecil.

Lembar kerja TWO-XY memiliki dua buah diagram yang akan memperlihatkan kegunaan skalalogaritma. Gambar 3-13 adalah diagram berjudul Lin-Lin di dalam lembar kerja ini; keduasumbunya nampak linier. Gambar 3-14 memperlihatkan sebuah grafik bernama dB-Log. Dataantara kedua diagram tersebut adalah sama, namun penggunaan skala log lebih meninggikankerapatan datanya.


EA

&r$&ry

Gambar 3-13. Data-data di dalam diagram ini diberikan hingga frekuensi 100, namun batasan data untuk dayabegitu besar sehingga nilai-nilai kecilnya untuk frekuensi tinggi tidak bisa dilihat.

5

Bo-t

-t0

-13

-10

Gambar 3-14. Diagram ini menggunakanini datanya berformat dB-Log (pemetaan

,l

Freq:ency.

data yang sama dengan diagram di Gambar 3-13, namun diagramBode) sehingga pemahaman atas grafik akan menjadi lebih baik.

3.4 Diagram kolom dan batang

Diagr:m kolom nenikal) dan batang (horizontal) cocok digunakan untuk kumpulan-kumpulandata r ang berurutan. sebagaimana Anda ketahui bahwa tidak ada satu data pun darinya yang nilai-nilainla berada di antara kumpulan-kumpulan data lain di dalam lembar ker1a. Sebagai contoh,suatu data bulanan atau tahunan yang memuat urutan waktu dipaparkan dengan baik .melalui

3.4 Diagram kolom dan batang

diagram kolom. Diagram kolom juga sangat baik digunakan untuk membandingkan beber.rp"variabel yang saling berdampingan di dalam satu kurun waktu yang sama.

Hidupkan komputer Anda. Pilihlah diagram kolom melalui Langkah I di dalam Chart \\-izarc(lihat Gambar 3-3). EXCEL menyediakan beberapa variasi untuk jenis diagram ini.

Tipe kolom standarKolom berjajar (clustered column): membandingkan nilai-nilai yang berpotongan di bagian kate-son(sumbu-r).Kolom bertumpuk (stacked column): membandingkan kontribusi setiap nilai terhadap total nilaiyang berpotongan di bagian kategori.Kolom bertumpuk 100%: membandingkan persentase dari setiap kontribusi nilai terhadap totalnyayang berpotongan di bagian kategori.Kolom berjajar dengan tampilan efek 3-D.Kolom bertumpuk dengan tampilan efek 3-D.Kolom bertumpuk 1007o dengan tampilan efek 3-D.Kolom 3-D: membandingkan nilai-nilai yang berpotongan dengan bagian kategori maupun denganbagian serial.

Tipe kolom bebasEXCEL memiliki 20 pilihan diagram bebas (lihat Chart Wizard) yang dapat digunakan untuk lebihmemuaskan keinginan Anda. Diagram-diagram yang telah tersedia mampu menghasilkan ide-idesehingga Anda dapat mengolahnya sendiri sesuai dengan keperluan. (Lihatlah buku kerja THIN-LENS.)

Hindarilah diagram yang bersifat fantasi; jagalah bentuk pemaparan data Anda agar tetapsederhana sehingga siapa pun dapat memahaminya dengan mudah. Kita hanya akan menggunakantiga bentuk diagram bebas yang paling banyak digunakan.Blok Area: berupa diagram area 3-D yang kaya warna (atau memiliki arsiran abu-abu), bergunauntuk membandingkan data serial.Kolom-garis (line-column): data serial untuk garis dan kolom dipetakan ke sumbu yang sama.Kolom-garis di 2 sumbu: diagram kombinasi. Kolom dipetakan ke sumbu utama (sumbu kiri) dangaris dipetakan ke sumbu kedua (sumbu kanan).

Sekarang marilah kita membuat sebuah diagram kolom dengan sebuah tabel data yang tersedia,yaitu dengan menggunakan data dB di Gambar 3-12. Sebelumnya, seleksilah data untuk cakupanA4:825 kemudian klik Chart Wizard. Agar sedikit lebih menarik, klik di tab Custom kemudianpilihlah B&W Column. Ini adalah diagram kolom 3-D dengan arsiran abu-abu di tabel data.Hasilnya ditunjukkan oleh Gambar 3-15. Diagram kolom ini mensyaratkan bahwa data-datanyaharus diperoleh dari nilai-nilai yang berurutan, untuk contoh kasusnya adalah data urutan frekuensiyang dihasilkan oleh resonator frekuensi. Pada saat menggunakan Excrr-, Anda dapat mengkajinilai-nilai -r,y dengan menggunakan mouse, namun ketika Anda mencetak diagramnya, data-datatersebut haruslah telah dipetakan ke dalam grafik. Cukup menyenangkan untuk menyelesaikansebuah tabel data beserta dengan diagramnya bila ukuran data tersebut masih wajar.

Di bagian atas bar menu, klik [Chafi]l3D-View] untuk memunculkan kotak dialog seperti yan-u

ditunjukkan oleh Gambar 3-16. Kotak ini memberikan kendali penuh kepadaAnda untuk mengutak-atik tampilan diagram 3-D. Anda dapat memutar diagram sepanjang sumbu vertikal maupun hori-zontal, menggeser diagram ke atas maupun ke bawah dan mengatur skala maupun sudut kemiringansumbunya.

.1

Bab 3: Membuat Grafik di Excel

5.rs '&'valrr 19.6593321

Gambar 3-15. Sebuah diagram kolom menitikberatkan urutan data alamiah yang diperoleh dari data kurvaresonansi. lni adalah data yang sama dengan yang tertera di Gambar 3-12, sumbu-y kiri.

Gambar 3'16. Kotak dialog 3-D View. Pointer mouse sedang berada di tombol yang berfungsi untuk mengatursosok diagram terhadap diri Anda, di sepanjang sumbu horizontal.

{>l.={]=}l

Elevation: u

ffi| | l7 Auto sctJing

.t l -lrj r'*h*ffi&'

3.5 Diagram radar dan polar .:

3.5 Diagram radar dan polar

Diagram radar dan polar memberikan Anda cara pandang baru terhadap data. Anda akan memperolehtambahan wawasan melalui pemaparan data yang lebih daripada satu macam cara. (Di Bab l1 kiraakan lihat bagaimana cara memunculkan spektrum data, tentu saja data yang berada di dalamcakupan frekuensi tertentu.) Salah satu tipe diagram standar di EXCEL adalah diagram radar yangterdiri dari tiga sub-tipe. yaitu:

o Diagram radar yang menampilkan perubahan nilai data relatif terhadap titik pusat.r Diagram radar dengan noktah di setiap titik data.o Radar dengan arsiran (filled radar), dengan area data yang diberi arsiran berupa warna.

Tipe-tipe diagram tersebut dapat dilihat di buku kerja POLAR dan tampilannya dapat dilihat diGambar 3-17. Diagram radar merupakan salah satu jenis diagram polar, namun tidak murni berupadiagram polar karena Anda tidak dapat memillh r 0 sebagai pasangan data yang saling tidakbergantung. Namun Anda masih dapat membuat diagram polar murni dengan bantuan diagram r-r(scatter).

Membuat sendiri diagram polarDiagram polar adalah metode alternatif yang sangat baik untuk menampilkan nilai sebuah besarandan fasenya, dengan nilai besaran berupa radius dan fasenya berupa koordinat sudut. Radius dapatdijadikan skala logaritma atau yang biasa dinyatakan dalam dB.

Inilah cara membuat diagram polar yang sesungguhnya. (Bukalah buku kerja bernamaPOLAR untuk mengikuti instruksi-instruksi dalam contoh di bawah ini).

Contoh: Data asli berada dalam format x, y.Cukup mudah membuatnya. Gunakan saja mouse Anda untuk menyeleksi data x dan y. Data xharus terletak di kolom sebelah kiri data y. Klik Chart Wizard, kemudian pilih XY (Scatter) didalam Standard Types, lalu lakukan langkah-langkah seperti biasa. Lihat Gambar 3-17 untukhasilnya.

Bukalah lembar kerja baru dan gunakan [Edit][Fill][Series][Column] untuk membuat sebuahsumbu satuan waktu di kolom A yang nilainya dari 0 hingga 100 dengan kelipatan l. Ini dinamakansumbu waktu.

Gambar 3-17. Tiga bentuk standar diagram radar di dalam Chart Wizard EXCEL. Kiri: diagram radar. Tengan.

MILIKBedan Per-,,rsr1rta.iPrr Fiaci

diagram radar dengan noktah. Kanan: diagram radar dengan arsiran

,A Bab 3: Membuat Grafik di Excel

Di sel B1 masukkan rumus =COS(Al/3)*exp(-0.02*A1) lalu kopikan ke:illah .r(r).

Di sel C1 masukkan rumus =SIN(Al/3)*exp(-0.02*Al) lalu kopikan ke

"dalah r'(t).Pergunakan mouse Anda untuk memilih sel A1:C100, lalu klik Chart Wizard. Pilih XY

rScauer) dan selesaikanlah pembuatannya. Anda akan melihat sesuatu seperti yang ditunjukkant.rleh Gambar 3-18. Selanjutnya, buatlah grafik r(t) terhadap x(r) dan Anda akan melihat tampilannya.epeni di Gambar 3-19.

Contoh: data asli berada dalam format r, 0.

Data dalam format r, 0, seperti nilai besaran dan fase, tidak dapat digambarkan langsung ke

diagram scatter (hamburan), namun, begitu mudah untuk mengkonversikannya menjadi format.\, '\' menggunakan transformasi polar ke segiempat standar:

x=rcos0 r'=rsin0. (3-6)

Jika Anda memiliki data r 9di dalam kolom. buatlah dua kolom lagi untuk.r dan.r'lalu tuliskankedua rumus di atas pada masing-masing kolom itu. Ingat, Anda harus konsisten dalam penggunaan

radian dan derajatlDi Bab 10 kita akan melihat lebih banyak aplikasi diagram polar. Lalu di Bab ll kita akan

membahas bagaimana menggunakan diagram polar bersama-sama dengan spektrum bentuk

-uelombang yang menggunakan Fast Fourier Transform (FFT) di Excsl.

Tlme

Gambar 3-18. lni adalah diagram xy yang menunjukkan fungsi waktu. Bentuk gelombangnya berupa sinuse<s3c'e.sar !ang makin melemah (gelombang bernoktah) dan cosinus eksponensial yang makrn melemahge c-Da^g :a1oa loktah). Di Gambar 3-19 kita akan menggunakan bentuk gelombang cosinus sebagai fungsi-

x dan bentuk gelombang sinus sebagai fungsi-y, kemudian memetakan y terhadap x untuk mendapatkandragrarn poiar lDiagram ini terdapat di dalam buku kerla POLAR).

sel B2:B100. Ini

sel C2:C100. Ini

02o

oE

3.6 Statistik diaqram

Gambar 3-19. lni adalah diagram polar yang terdiri dari dua buah bentuk gelombang eksponensial melemahyang telah ditunjukkan di Gambar 3-18. Anda dapat membayangkan ini sebagai sebuah pandangan dari sisikiri Gambar 3-18, teruslah menuju ke sumbu waktu. Dari perspektif ini, kedua bentuk gelombang tersebut dapatdibayangkan sebagai komponen-komponen sebuah vektor yang berputar melawan arah jarum jam.

I :.0_ gtrti"tik dirgr"r,Excel menyediakan sebuah fasilitas yang sesuai untuk melakukan penerapan analisis statistikdasar terhadap data Anda. Bukalah buku kerja bernama OLYMPIC dan klik di tab-nya untukmemunculkan sebuah diagram ke layarAnda. Klik kanan kurva yang berada di dalam diagram danAnda akan melihat menu pop-up seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3-20. Sekarang klikpilihan Add Trendline untuk menghasilkan tampilan seperti di Gambar 3-21 . Di dalam kotakdialog, klik tab Options hingga muncul tampilan seperti di Gambar 3-22.

Di dalam Gambar 3-22 Anda dapat melihat sebuah kotak isian bernama "Set intercept" yangdapat digunakan untuk mematok kecondongan garis ke sebuah nilai di sumbu-y. Fasilitas iniberguna terhadap data-data yang "terganggu", yaitu dengan cara memperbaiki kecondongan garisnyaagar tampilannya menjadi lebih layak. Sebagai contoh, bila Anda tahu bahwa data dimulai dari 0,0sedangkan pengukuran data pertama tidak menunjuk ke nol, maka paksalah dengan set intercept

= 0. Lakukanlah percobaan terhadap fasilitas ini untuk nilai-nilai intercept yang berbeda danperhatikanlah bagaimana pengaruhnya terhadap nilai R2 (kelayakan condong garis yang bergantungpada least square). Tekan Tombol Fungsi F9 berulang kali dan perhatikan perubahan pada nilai Rr.Lihatlah Lampiran 3 untuk informasi lebih lanjut.

o

6 fgnr,*O*aseriL=...

ChdtB/pe...

59.:ceD*a...

lddlqen*re...

Oear

Gambar 3-20. Menu pop-up untuk sebuah diagram. Anda juga daca:mengakses Add Trendline melalui menu Chart di bagian atas tool 3a.Lihat Lampiran 3 untuk persamaan-persamaan kecondongan ga's(trendline) beserta pilihannya.

ln-phase


ilBdyrumiaa

Or&n

F--5.h

f- oK I cncd I

Gambar 3-21. Pilih tipe Trend/Regression di sini. Untuk membuat tampilan polinomialnya menjadi lebih pantas,

Anda dapat menentukan orde polinomialnya. Untuk perpindahan nilai rata-rata (moving average), Anda dapat

memilih periodenya fiumlah titik data yang akan dirata-ratakan). Cobalah beberapa kali untuk mendapatkan

tampilan yang lebih baik.

Type o6l:rts I

Trerilnc nane(3 Autm*ic: pdy. (Sederz)

f Eufto.n:

Fs?cast

for*ard:

Ead<nard:

l6--J unnt'

l6'--Q u*'

I* Spt lr*ercept = lo

-17 rxdevqratlmmchart17 ffi E-:rsitfdiji{r8. fr':if'4 i .*"h

I o( -l curcet I

Gambar 3-22. Pilihan-pilihan di dalam kotak dialog Add Trendline. Memberi tanda cek di pilihan "Display

equation on chart- dan "Display R-square value on chart" akan menghasilkan tampilan seperti Gambar 3-23.

3.7 llmu roket: persamaan tsiolkovskii

Y = -58-05;g3 +0.3788x2 - 54s.Ev +s16il3H'= U.U54l

100 rrreler Fle*-style Olynrpir G$lrl I{idal Switntnilg Recortls

{!r s60 134n 1 9E(

Y*"u

Gambar 3-23. Garis tipis dengan nokfah: kelompok wanita. Garls trpis: kecondongan garis Polinomial. Garlstebal: kelompok pria. Persamaan untuk kecondongan garis kelompok wanita ditunjukkan dengan nilai P, yang

merupakan tolok ukur seberapa baik kecondongan garis tersebut pada kesesuaian data (lihat Help dan Lampiran3). Data-data rekaman kelompok pria dimulai pada 1896; dan kelompok wanita pada 1912.

3.7 llmu Roket: persamaan Tsiolkovskii

Konstantin Tsiolkovskii (kadang ditulis Tsiolkovskiy) adalah seorang guru di sebuah kota kecil di

Rusia. Beliau telah selangkah lebih maju dan pada tahun 1895 ia mempublikasikan sebuah karya

ilmiah mengenai peluncuran satelit dalam mengelilingi bumi. Sebelumnya, Sir Isaac Newton telah

melakukan penghitungan untuk beberapa orbit satelit bumi berdasarkan hukum gravitasi universal

yang pernah dilontarkannya. Tsiolkovskii telah memperoleh hak paten atas mesin roket yang

berbahan bakar oksigen dan hidrogen cair, dan ia juga menerapkan hukum-hukum Newton tentang

gerak pada pesawat roket.Karya yang begitu terkenal dari Tsiolkovskii adalah dasar-dasar roket banyak-tingkat, yang

lebih efisien daripada roket satu tingkat berdasarkan jumlah penggunaan bahan bakar. "Ley de

Tsiokovskii" ditunjukkan dalam prangko seperti ditunjukkan di Gambar 3-24. "Hukum" iniditunjukkan dalam notasi yang lebih jelas di Persamaan (3-7), dengan ry adalah kecepatan akhirroket, u; adalah kecepatan awal roket, u,n7 adalah kecepatan motor pemancar gas roket reloti.t

terhadap roket, m1 adalah massa awal roket, dan mi adalah massa akhir roket. Persamaan iniditerapkan berurutan ke setiap tingkat roket.

151fi

y.r - I'i = 1,., ln

Perhatikan bahwa "hukum" ini benar-benar dapat berlakuhukum gerak Newton. Dahulu kala, orang berpikir bahwa

t-1-- ,

secara menyeluruh karena mengikut:roket bekerja dengan cara mendrlr.,.:

(*,)l*' )


*#,q

,\wrkiI\"d{

"4-slFq.#{}UFqq|q'€

ffi#*sffi&s

In**m***

x4;s

ts$ E*ffi*$,,ffieTIffi fftrffiH*ffifi $ rni ffi $ $}f;ftR*

Gambar 3-24. Hukum Tsiolkovskii (Ley de Tsiolkovskii) merupakan satu dari sepuluh rumusan yang mampumengubah pandangan terhadap dunia.

udara, tetapi hal itu hanya akan bekerja dengan baik di ruang hampa yang tidak terdapat udara didalamnya.

Percepatan sesaat roket juga merupakan bagian yang menarik. Ini pun menul'uti hukurn kedua

Newton yang diaplikasikan ke sistem yang terdiri dari roket dan motor penggeraknya:

Ma = Byrot, (3-8)

Di Persamaan (3-8), M adalah massa sesaat roket (kg), a adalah percepatan (m/s2) roket relatifterhadap sebuah kerangka referensi inersianya (misalnya bintang-bintang), B adalah laju pembakaran

bahan bakar (kg/s) dan u,r1 adalah kecepatan pancaran gas relatif terhadap roket, seperti telahdisebutkan di atas.

Persamaan-persamaan ini akan lebih dapat dipahami bila Anda melihatnya dalam bentuksrafik dan Anda dapat mengganti besaran-besarannya. Gambar 3-25 menunjukkan tampilan utamaJeri buku kerja ROCKET SCIENCE.

Persamaan (3-7) dapat diaplikasikan secara berurutan ke setiap tingkat roket. Internet memilikitrrnr lk situs yang disediakan untuk informasi mengenai roket. Berikut ini adalah di antaranya:

Per:anraan roket tingkat satu

h ttp : 1/u u u . execpc.com./-culp/rockets/rckt_eqn.htm1Per\rnraan roket tingkat-banyakhtrp: rr \\ \\.e\ecpc.com/-culp/rockets/multistg.html

Opini ilmiah melalui paparan grafik

Dalanr bukunla )ans terkenal. The Visual Displn of Quontitcrtit(, Ittlitnrrutiori. Ediiard R. Tuftemenulis. "Dalanr kondisi terbaik. srafik adalah perangkat yan-u dapat nrenielaskan infbrmasi secarakuantitatif." Gratrk-gralrk l ang baik akan menampilkan pola data. atau batasan-batasan data, dalambentuk hasil statistik secara ielas.

Apa selaniutnva?

1

2

J

4

6

;I10

11

13

t41516

17,

l819

RocketScience.XLS Tsiolkovskii'sEquationChapter 3

6:s :,) E .$C$9*SC$6.Ll.l{A15iS""--- A -"" "' B 1"""-"c

Enter data:

Rocket final nrrrr *,1- - --iOOO

Xq*-- =d*r,Gas relative velocity v,*,1

Rocket initial velocityl- _- 0lnr/s

"#*JtJ.*frvFry*d-*TII\#Fffi*

KRocket

lnitial mass

2000021 000a lnnn2300024000

6697.S

6800.366S8.1

6991.7

nr/s

l,ffi $ ffiffi*$ ffir[H*tHffi tr$f fffi*trsr* ts

Note: Escape speed from Eadh is I I 100 mlsscape sp s moqn ts

lr21 26000 7167 8r . ) l\MdNJ(hirL l*,e/t2 /

Gambar 3-25. Tampilan utama buku kerja ROCKET SCIENCE untuk tingkat 1 (y = 0)

Untuk para insinyur dan ilmuwan, grafik merupakan sesuatu yang begitu penting untukmewakili dan mengkomunikasikan ide-ide yang rumit. Melalui kombinasi garis, titik, simbol,sistem koordinat, arsiran, dan warna, grafik dapat menyampaikan cerita yang ada di balik sekumpulandata rumit. Grafik dapat menuntun mata kita untuk membandingkan, membedakan, maupunmemadatkan informasi yang datang dari satu atau lebih sumber data.

Apa selanjutnya?

Sekarang Anda telah mengetahui bagaimana menampilkan data dalam beberapa bentuk, mari kitaberanjak ke Bab 4 untuk mempelajari bagaimana memanipulasi data dengan bantuan operasimatematika sederhana. Di Bagian 7.6 kita akan menggunakan diagram 3-D untuk data dua dimensi.

Daftar Pustaka

E. R. Tufte, The Visual Displa,v of Quantitative Information, (Graphics Press, Cheshire, CT, 1983 t

W. S. Cleveland, The Element.s of'Graphing Data, (Wadsworth, Monterey, CA, 1985).Bila Anda membutuhkan grafik yang khusus, cobalah software ORIGIN yang akan bekerja secaralangsung di EXCEL. Silakan men-download versi demonya secara gratis dari http:/iwww. microcal.com.

Uji kemampuan Anda

t. Buatlah grafik fungsi -r'(x) = " f_- untuk -0,5 < x < + 0,5. Pergunakan kenaikan seii.rp

;r2 + 0.05'0,05 untuk x dan skala linier untuk kedua sumbunya.

il11

ilt,

?2 Bab 3: Membuat Grafik di Excel

Di sumbu kanan pada diagram Latihan 1, gambarkan fungsi -y(x) = , .- untuk -0.5

< .r < + 0.5^ Pergunakan kenaikan yang sama untuk .,r dan skala ltrtJ; J 3.Hu, ,r-ourrr.

Buatlah diagram semi-log (log-lin). Dengan menggunakan diagranr yang Anda buat pada

Latihan 2, ubahlah sumbu-y kirinya menjadi skala log.

Dengan menggunakan diagram log-log. buatkanlah grafik r.rntuk tungsi r t r) = -l , dengant +t

0,01 < x < 1000. Gunakanlah skala log di kedua sumbunya. (Ini n-rerupakan kurva respon

tiekuensi untuk l'ilter tiekuensi rendah berkutub tunggal. Ini digunakan untuk meredanr

harmonika dan gangguan pada tiekuensi tinggi.l

Diagram desibel. Buatlah gratik fungsi yang sama pada Latihan 4, namun konversikanlahnilai -r, menjadi dB. Gambarkan dB ke dalam skala linier dan .r dalam skala log. (Titik -3dB dinamakan.frekuensi pe,fl,r/r/.r (cut-oll) atau frekuensi separuh-daya dari trlter. Daya keluarar.r

turun rnenjadi setengah daripada nilai maksimumnya pada tiekuensi pemutus.)

Amati kelinieran responnya untuk nilai di atas frekuensi pemutus (yaitu tiekuensi yang

berhubungan dengan titik -3 dB di dalam pemetaan Boc'le). Hitunglah graclien (dB/waktu)

pada frekuensi tinggi di atas frekuensi pemutus.

Hasil lomba renang. Pergunakanlah data Olimpiade berikut untuk membuat diagram XY dan

terapkanlah tipe condong garis Polinomial untuk setiap kelompok data. Gunakan tiga orde

vang berbeda dari polinomial. Pada diagram lainnya yang menggunakan data ini. terapkanlah

condong garis Eksponensial. Dengan diagram lain, cobalah dengan tipe Power. Bandingkan

nilai Rr untuk masing-masing tipe condong garis (trencllil?e) tersebut. Lakukanlah percobaan

dengan Moving Average (kita akan menrpelajarinya lebih lanjut di Bab 5).

Catatan Waktu Lomba Renang (dalam detik)Perebutan Medali Emas - Gaya Bebas 100 meter

Tahun Putra Putri

896 82.2

904 62.8

906 73.4

908 65.6

912 63.4 82.2

920 61 .4 73.6

924 590 72.4

928 58.6 71.0

932 58.2 66.8

936 57.6 65.9

948 57.3 66.3

1952 57.4 66.8

1 956 55.4 62.0

1 960 55.2 61 .2

1 964 53.4 59.5

1 968 522 60.0

att Al 11 58.59

976 49.99 55.65

50.4 54.79498 55.92

48.63 54.93

t.

-1.

-1.

5.

Uii kemamouan anda

1992 49.02 54.64

1 996 48.74 54.50

2000 48.30 53.83

2004

2008

(Kunjungi http://www.usswim.org/history/index.html untuk mendapatkan data terbartt ,

Dengan mengacu ke Bagian 3.3 Gunakanlah lembar pengolah angka Anda untuk tuen,ci.r

tabel berikut:

Tabel 3-1. Daya, dB, dan Neper

Rasio Daya Rasio Tegangan dB Neper

0.01 0.1

1.0233 1.0116

1 2589 1.1220

1.9953 1 4142

10 3 16228

100 10 20 (contoh) 2.30 (contoh)

1 000 31 .6228

1 0000 100

1. Mengacu ke Pertanyaan no. I dan 2 di Bab 2, buatlah gralik antara tegangan kutub dan da1'a-

hilang sebagai lungsi arus.

8. Mengacu ke Pertanyaan no. 3 dan 4 di Bab 2, buatlah grafik antara daya yang dibangkitkan

dan efisiensi sebagai tungsi arus.

9. Mengacu ke Pertanyaan no. 3 dan 4 di Bab 2, buatlah grafik efisiensi sebagai fungsi daiayang tlibangkitkan.

10. Dengan menggunakan diagram "radar" EXCEL. gambarkanlah r = log(.r) untuk 1 < ,r < 1(X)

dengan kenaikan setiap 5 angka.

11. Buatlah grafik fungsi .r'(r) = a L, untuk 0,01 ( r S 1000. Pergunakanlah skala log untukl+,r'

sumbu-r (frekuensi) dan dB untuk sumbu-r'. (Ini adalah kurva fiekuensi untuk filter fiekuen.itinggi dan digunakan untuk meredam daya liekuensi rendah di dalam sistem.)

12. Permainan baseball dalam sebuah "merry-go-round" ("gaya" Conolis). Pelempar bola (prtr /it ,.

beracla di tengah dan pemukul bola (butter) berada di titik 0 lingkaran. Pergunakanlah Er,-, .

untuk membuat sebuah diagrarn polar dan diagram "radar" untuk lintasan boia lang dilih.:oleh pelernpar bola.

:'

Pelempar terhadap bola

',Va ktu Batasan nilai Sudut

0 0 00

1 2 90

2 4 180

3 6 270

4 B 360

q 10 90

6 12 180

7 14 270

8 '16 360

Bab 3 Membuat Grafik di Excel

&

- --,s --

"i€': --':j-i,i,' -|*- *,', 'cl*.

tl * B

rrofj I ,X i

'., * t ;-*,t.os

.45

't!:i':i : i*u

i

i\')o-

?ag \\.1:.F

1&0

,f,]^,1

i

13. Kompresi dan ekspansi isotermal. Suatu gas ideal dideskripsikan den-qan persamaan PV =nRZ, dengan P adalah tekanan (N/m2), 7 adalah volume (-3), , adalah bilangan mol, R adalah

konstanta gas universal (8,31 J/mol K) dan f adalah temperatur mutlak (K). Buatlah diagramekspansi dan kompresi suatu gas ideal pada saat temperatur konstan. Pergunakanlah bilanganmol, volume awal, kenaikan volume dan temperatur sebagai data masukan. Nilai-nilainyadiberikansebagaiberikut:n=0,l,Vawal=0,05,kenaikanV=0.00,5.7=2l3.Letakkandata masukan tersebut ke dalam sel-sel masukan dan pergunakanlah ref'erensi sel absolutuntuk meletakkan data menurut hukum gas ideal. Petakan nilai tekanan sebagai fungsi vo-lume, sedikitnya untuk 20 nilai volume yang berbeda.

Kenaikan volume dapat bernilai positif maupunnegatif. Kompresi dan ekspansi isotermal adalahseparuh dari siklus Carnot untuk mesin panas ideal.Petunjuk: bentuk grafik Anda haruslah seperti gambzrberikut. Perhatikan pula file data PV-GAS di dalamCD. (Latihan ini berhubungan dengan topik mengenaipanas dan perpindahan energi yang diberikan olehNational Science Education Standard.)

Bab 4Matematika Singkat


Di dalam bab ini kita akan mengulas kembali mengenai beberapa operasi dasar matematika.

seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, maupun fungsi-fungsi

trigonometri ilan logaritma. Nampaknya begitu mudah, namun ada perbedaan antara operasi yan-e

tertulis dengan operasi yang harus dilakukan. Kita akan menyuguhi Anda apa saja yang dapat

Anda lakukan dengan bantuan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, maupun pembagiun

yang pada awalnya terlihat rumit, namun pada kenyataannya sangat mudah. Kita juga akan mencoba

menclemonstrasikan beberapa fungsi trigonometri EXCEL. Di dalam Bab 5 Anda akan mempelajari

beberapa teknik pengolahan angka berdasarkan operasi-operasi sederhana tersebut untuk menangani

data-data sesungguhnya. Di dalam bab ini akan diperkenalkan:

. operasi-operasi EXCEL dan urutan prioritasnya,

. bagaimana menggunakan operasi-operasi kalkulasi dan komparasi (pembandingan) EXCEL

di dalam rumus.. bagaimana menggunakan operasi-operasi teks dan referensi EXCEL di dalam rumus,

r fungsi-fungsi sepuluh trigonometri EXCEL.

Kita akan memasuki bagian yang lebih rinci melalui dua buah aplikasi sederhana yang meng-

gunakan fungsi-fungsi trigonometri, yaitu:

o bidang miring yang kasar,. persamaan-persamaan Fourier.

Operator mencerminkan tipe kalkulasi yang akan Anda lakukan pada sebuah rumus. EXCEL

menyertakan empat tipe operator kalkulasi yang berbeda, yaitu: aritmetika, komparasi. reAr. dan

re.ferensi. EXCEL melakukan operasi-operasi di dalam rumus melalui suatu urutan tertentu. Bilr

Anda mengkombinasikan beberapa operator ke dalam sebuah rumus, proses operasinra ak:r

dilakukan sesuai urut-urutan yang tercantum di dalam Tabel 4-1.

Apabila sebuah rumus memuat operator-operator dengan urutan prioritas yang sltll& (:eb:i:contoh, bila rumus memuat operator perkalian dan pembagian), maka EXCEL akan menger;1u;':

operator-operator tersebut dari kiri ke kanan (Tabel 4-l). Untuk mengubah urutan evaluasi. tut*: -bagian rumus yang ingin dihitung pertama kali dengan tanda kurung. Untuk inlormasi lebih l.-- -:mengenai operator-operator hitung ini, pergunakanlah menu Help.

Bab 4: Matematilla Singkat

Operator-operator aritmetika,T.^;.1 -l-1. -l-.1. dan 4-4.

Ikomparasi, teks, dan referensi dijelaskan secara rinci di dalam

Tabel 4-1. Urutan Prioritas Operator-operator

Operator Deskripsi

(titik dua) , (koma) (spasi tunggal) Operator-operator referensi

Negasi (seperti -1)

Persen

Perpangkatan

*dan/ Perkalian dan pembagian

+dan- Penjumlahan dan pengurangan

& Menghubungkan dua buah teks strrng(perangkaian kata)

Komparasi

Operator-operator aritmetika (kalkulasi) melakukan operasi-operasi matematika dasar seperti

penambahan, pengurangan, atau perkalian; pengkombinasian bilangan; dan membuat hasil per-

hitungan numeriknya.

Tabel 4-2. Operator-operator Kalkulasi di dalam Rumus

Operator aritmetika Arti Contoh

+ (tanda tambah) Penambahan 22+63

- (tanda kurang) Pengurangan(Negasi)

36-22-11

(tanda bintang/asterisk) Perkalian

/ (garis miring) Pembagian 314

% (tanda persen) Persen aao/

^ (tanda pangkat) Perpangkatan (eksponensiasi) 3^4 (berarti 3-3-3.3)

Operator-operator komparasl

nilai logika BENAR (TRUE)(lihat Tabel 4-3) membandingkan

atau SALAH (FALSE). (Ini akan

dua bilangan lalu menghasilkanberguna di dalam fungsi IF).

Tabel 4-3. Operator-operator Komparasi dalam Rumus

Operator komparasi Arti Contoh

= {tanda sama dengan) Sama dengan 41=81

> tanda lebih besar daripada) Lebih besar daripada A1 >81

< tanda lebih kecil daripada) Lebih kecil daripada A1 <81

>= (tanda iebrh besar daripadaatau sama denganl

Lebih besar daripadaatau sama dengan

A1 >=81

<= (tanda lebih kecil daripadaatau sama dengan)

Lebih kecil daripadaatau sama dengan

A1 <=B1

o (tanda tidak sama dengan) Tidak sama dengan A1 <>81

4.2 Funosi-funosi trioonometri

Operator teks "&" (Tabel 4-4) mengkombinasikan satu atau lebih nilai teks untuk n-ienlh;-..r.-teks tunggal.

Operator-operator referensi (Tabel 4-5) mengkombinasikan batasan sel-sel untuk keperluan kalkula:i

Tabel 4-4. Operator Teks dalam Rumus

Operator Teks Atli Contoh

& (tanda dan) Menghubungkan ataumerangkaikan dua nilai untukmenghasilkan sebuah nilai teksyang menyambung

"North" & "wind"menghasilkan "Northwind'

Tabel 4-5. Operator-operator Referensi dalam Rumus

Operator referensi Afti Contoh

(tanda titik dua) Operator pembatas, yangmenghasilkan sebuah referensiterhadap seluruh sel yang '

berada di antara dua referensi,termasuk kedua referensitersebut

C5:C22

(tanda koma) Operator penggabung, yangmengkombinasikan beberapareferensi menjadi sebuahreferensi

SUM(85:815,D5:D15)

(spasi tunggal) Operator perantara, yangmenghasilkan sebuah referensiterhadap sel-sel milik duareferensi lain

SUM(83:B22 A3:D11)Contoh: sel 87 adalahmilik kedua buah batasantersebut. (Cobalah).

4.2 Fungsi-fungsi trigonometri

EXCEL memiliki koleksi 10 fungsi sirkularditunjukkan oleh Tabel 4-6. Fungsi tersebutfungsi hiperbola akan diperlihatkan di Tabel

trigonometri yang sangat bermanfaat, sebagainlanr,

akan dijelaskan secara rinci di bawah ini. Fung.i-4-1.

Tabel 4-6. Fungsi-fungsi Trigonometri Dasar

ACOS ASIN ATAN ATAN2 cosDEGREES Pt0 RADIANS stN TAN

ACOS(bilangan)cosinusnya berupa(nol) hingga z.SyntaxACOS(bilangan)

menghasilkan arccosinus dari suatu bilangan.bilangan. Sudut yang dihasilkan adalah dalam

Arccosinus adalah :udut ,. 'bentuk radian dengan h;t;--:

Bab 4: Matematika Sinqkat

rr.;ijrn rersebur adalah cosinus sudut yang Anda inginkan dan harus bernilai antara -1 hingga l.J.r" \n.ia in-ein mengkonversi suatu hasil dari radian menjadi derajat (degrees). kalikan bilangan

:.i..lnll dengan 180/PI0.Contoh:rCOSr-0.5) sama dengan 2,094395 (ini adalah 2r/3 radian)

\COS(-0.5)x180/PI0 sama dengan 120 (derajat)

ASIN(bilangan) menghasilkan arcsinus dari suatu bilangan. Arcsinus adalah sudut yang sinusnya

berupa bilangan. Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan batasan -rl2 hingga

trl).Syntax.\SIN(bilangan)bilangan tersebut adalah sinus sudut yang Anda inginkan dan harus bernilai antara -1 hingga 1.

Untuk menuliskan arcsinus dalam derajat, kalikan bilangan hasilnya dengan 180/PI0.

Contoh:ASIN(-0,5) sama dengan -0,5236 (ini adalah -nl6 tadian)

ASIN(-0,5)*180/PI0 sama dengan -3,0 (derajat)

ATAN(bilangan) menghasilkan arctangen dari suatu bilangan. Arctangen adalah sudut yang tangen-

nya berupa bilangan. Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan balasan -nl2hingga nl2. Dengan kata lain, ini merupakan arctangen kuadran-dua.

SyntaxATAN(bilangan)bilangan'tersebut adalah tangen sudut yang Anda inginkan.

Untuk menuliskan arctangen dalam derajat, kalikan bilangan hasilnya dengan 180/PI0.

Contoh:ATAN(1) sama dengan 0,785398 (ini adalah rl4 tadian)

ATAN(l)*180/PI0 sama dengan 45 (derajat)

ATAN2(bilangan) menghasilkan arctangen untuk koordinat-koordinat tertentu r dan ,).'. Arctangen

aclalah sudut dari sumbu-x terhadap garis yang mengandung pusat koordinat (0. 0) dan sebuah titikdengan koordinat (x_num, y_num). Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan

batasan -n hingga 7[, namun -n tidak termasuk di dalamnya. (Ini merupakan arctangen kuadran-

enlpat. Bandingkan dengan ATAN).SyntaxATAN2(x-num, y-num)X_num adalah koordinat-x titik tersebut.

\'_num adalah koordinat-y titik tersebut.

Suatu hasil yang positif menggambarkan sebuah sudut yang berlawanan dengan arah jarum jam

dari sumbu-x; hasil yang negatif menggambarkan sudut yang searah dengan jarum jam.

.\TA\l(a. ll) sama dengan ATAN(&/a), pengecualiannya adalah a boleh bernilai 0 di ATAN2.

.\pabila \-num dan y-num adalah 0, ATAN2 menghasilkan nilai salah #DM0!.L'nruk menuliskan arctangen dalam derajat, kalikan bilangan hasilnya dengan I 80/PI0.

Contoh:.\TA\1, l. I r \arna dengan 0,785398 (ini adalah nl4 radian)

.\TA\lr-1. -1 r sama dengan -2,35619 (ini adalah -3nl4 radian)

.\TA\1-1. -1r"l80,PItt sama dengan -135 (derajat)

COS(bilangan) menghasilkan cosinus untuk sebuah sudut.

Syntax

4.2 Funqsi-funqsi triqonometri

COS(bilangan)bilangan tersebut adalah sudut dalam radian yang ingin Anda cosinuskan. Jika sudutnl a Lhn\ ri ,\j1dalam derajat, kalikan dengan PI(y180 untuk mengkonversinya menjadi radian.Contoh:COS(1,047) sama dengan 0,500171COS(60*PI0/180) sama dengan 0,5, yaitu cosinus 60 derajat

DEGREES(sudut) mengkonversi radian menjadi derajat (degrees).

SyntaxDEGREES(sudut)sudut adalah sudut yang dinyatakan dalam radian yang akan Anda konversikan.Contoh:DEGREES(PI0) sama dengan 180

PlQ bernilai 3,14159265358979 dan merupakan sebuah konstanta matematika r, tepat l5 digit.SyntaxPI0Contoh:PI0/2 sama dengan 1,51079...SIN(PI(y2) sama dengan 1

Jika jari-jari sebuah lingkaran disimpan di dalam sel bemama Radius, rumus berikut akan menghitung

luas lingkaran tersebut: Pl0*(Radius^2).

RADIANS(sudut) mengkonversi derajat menj adi radian.SyntaxRADIANS(sudut)sudut adalah sebuah sudut dalam derajat yang akan Anda konversikan.Contoh:RADIANS(270) sama dengan 4,712389 (ini adalah 3n/2 radian).

SIN(bilangan) menghasilkan sinus untuk sebuah sudut.

SyntaxSIN(bilangan)bilangan adalah sudut dalam radian yang akan Anda sinuskan. Bila pernyataan Anda adalah dalam

derajat, kalikan dengan PI(yl80 untuk mengkonversikannya menjadi radian.

Contoh:SIN(PI0) sama dengan 1.22F-16, nilainya mendekati nol. Sinus n adalah nol.SIN(PI(y2) sama dengan ISIN(30"PI(y180) sama dengan 0,5, yaitu sinus 30 derajat.

TAN(bilangan) menghasilkan tangen untuk sebuah sudut.

SyntaxTAN(bilangan)bilangan adalah sudut dalam radian yang ingin Anda tangenkan. Bila pernyataan Anda adalah

dalam derajat, kalikan dengan PI(y180 untuk mengkonversikannya menjadi radian.Contoh:TAN(0,785) sama dengan 0,99920TAN(45*P()/180) sama dengan 1


Penggunaan arctangen di EXCEL

B:r:rr-hatilah dalam penggunaan fungsi arctangen. Fungsi ini berasal dari dua sumber seperti

::13:.: Jr atas. ),aitu ATAN dan ATAN2. Keduanya menghasilkan nilai sebuah sudut dalam radian,

r.:r'.Lro tungsi AIAN menggunakan bilangan tunggal sebagai masukan. dan ATAN2 menggunakan

:*; brlan_san sebagai masukan. Gambar 4-l menunjukkan beberapa contoh dari dua fungsi arctangen':r

- - :T i-r:l- ! "-- H**l-i-,1 ATAH & ATAI'IZ.XLS2 ff.r'-13 :ATAN2S2,6X) =.aI.qlG{-fi},63} =ATAN2F3.-&?} =,4TA1112(-6?,-63}

4 [,7*53Sfi :.:35S1S4 -tr.7fi54 -?.35613

5

? =ATAhr6:iE2) =ATAri(.62rri2) =ArAN$j2l.62) =ATArrJi-621.62)E 0 785398 -0 7854 -fi 7854 0 7S5398

.sGambar 4-1. Perbandingan antara fungsi ATAN dan ATAN2.

Suatu hasil yang positif mencerminkan sebuah sudut yang berlawanan dengan arah jarum jamdari sumbu--r; hasil negatif mencerminkan sebuah sudut yang searah dengan jarum jam. (Gambarlah

sketsanya untuk melihat mengapa seperti itu).ATAN2(a,D) sama dengan ATAN(b/a) ketika a dan b bernilai positif. Nilai a mendapatkan

pengecualian, yaitu boleh bernilai 0 di dalam ATAN2. Apabila -r_num dan r'_num adalah 0, maka

ATAN2 akan menghasilkan nilai salah #DIV/O!.Radian menjadi clerajat'. Anda dapat menggunakan DEGREES(ATAN2(.r-num,r'_num)) atau

DEGREES(ATAN(n)). Anda bisa juga mengalikan hasil radian dengan 180/PI().

TIPS

Fungsi (sin r)/-r adalah sesuatu yang para insinyur dan ilmuwan serin-e jumpai karena ber-

hubungan dengan pulsa kotak yang dibangkitkan oleh transfbrmasi Fourier (lihat Bab 1l).Bentuk ini begitu umum sehingga bentuk yang telah sedikit dimodiflkasi diberikan nama

khusus, yaitu fungsi srnc yang sama dengan (sin zt)/(zr). Fungsi sinc kerap disebut sebagai

titrt,e,.si interpolasi dan memiliki beberapa sifat menarik. Anda diharap berhati-hati untuk nilai.r = 0 karena lembar pengolah angka tidak akan menghasilkan nilai yang tepat untuknya. Dariilmu kalkulus. Anda mengetahui bahwa (sin 0)/0 = l, namun lembar pengolah angka akan

nrenrberikan pesan yang cukup menyedihkan, yaitu: #DIV/0!. Anda dapat menghindari kesalahan

ini Jc'ncan memberikan tambahan nilai kecil ke x, misalnya -r + l0-16.

4,3 Buku kerja mengenai bidang miring

-\lunlrh kir., hrr.rn_ilk untuk menjelajahi fungsi-fungsi trigonometri di dalam aplikasi tertentu.Bukalah buku kerli, I\CLI\E. Buku kerja ini merupakan sebuah contoh penggunaan fungsi-fungsitri_sononrerri dan di.igranr-diaqrarn.r'r dalam kaitannya dengan kasus yang sering dihadapi oleh

4.3 Buku keria menoenai bidano mirinq

seluruh mahasiswa baru untuk bidang ilmu rekayasa dan sains. Buku kerja ini ntenganali.r. :;:-.*benda yang berada di bidang miring kasar, seperti ditunjukkan oleh Gambar 4-2.

Gambar 4-2. Kri: Sebuah koin berada di atas buku yang tergeletak secara miring. Kanan: Berat dan gaya

gesek diproyeksikan ke dalam komponen-komponen tegak lurus dan sejajar terhadap bidang miring. Gayagesek statik selalu berlawanan dengan arah gerak benda. (Sumber CD Physics, Version 3.0, Wiley).

Sebuah bidang miring berhubungan dengan metode yang mungkin digunakan oleh Bangsa

Mesir Kuno untuk membangun piramid, karena ini ef'ektif untuk meredam gaya gravitasi. Dengan

menggunakan bidang miring, Anda dapat mengirimkan sebuah benda ke tempat yang lebih tinggi

dengan menggunakan gaya yang lebih sedikit dibandingkan dengan mengangkatnya langsung ke

arah vertikal, namun jarak yang harus ditempuhnya menjadi lebih jauh dibandingkan bila diangkat

langsung ke arah vertikal.Cara yang biasa (dan mudah) digunakan dalam melakukan analisis bidang miring adalah

dengan memproyeksikan berat dan gaya gesek yang dialaminya ke dalam komponen paralel dan

bidang tegak lurus. Kita akan membuat lembar kerja yang menghasilkan gaya-gaya ini sebagai

fungsi sudut. Pada saat komponen berat yang menyentuh bidang miring lebih besar daripada ga1'a

gesek maksimumnya, maka benda akan mulai bergerak.Berat dapat diproyeksikan menjadi gaya W sin 0 yang sejajar dengan bidang miring dan 11'

cos 0 yang tegak lurus terhadap bidang miring. Penentuan ini masuk akal mengingat gaya yans

sejajar dengan bidang miring akan menjadi nol apabila sudut kemiringannya juga nol dan gara

tegak lurusnya sama dengan berat benda pada saat sudut kemiringan sama dengan nol.

Koefisien gesek maksimum adalah pN, di mana p adalah koeflsien gesek statik dan N adalah

gaya normal. Komponen dari gaya gesek maksimum ke atas bidang adalah pl{ cos 0. Gerak akrn

terjadi pada saat gaya meluncur ke bawah setara dengan gaya gesek statik maksimum, W sin e =ptW cos 0.

Sistem seperti ini mudah dianalisis di dalam lembar pengolah angka. Seperti biasa, kita akirr

mengikutsertakan beberapa fasilitas yang dibutuhkan di EXCEL. Sel D3:D6 memuat data maruk:rn

yang digunakan oleh rumus di kolom A, C, E, dan H. (Mengikutsertakan percepatan grar iti.:sebagai data masukan akan membuat lembar kerja menjadi lebih berlaku umum; lembar kerta r:.

dapat digunakan terhadap planet-planet lain maupun terhadap bulan-bulan yang mengorbitn'.-

Lembar kerja utama ditunjukkan oleh Gambar 4-3. Pelajarilah sel-sel di baris 9.

Sel A9 memuat bilangan 0, digunakan untuk memulai sudut sumbu di titik 0. Sel .\ lll n'.::'--rumus =A9+gDg6 yang akan menaikkan nilai sudut sumbu dengan menan.rbahkan nilai :.:- '.A6 ke dalam nilai sel sebelumnya. Rumus ini dikopikan hingga ke akhir cakupan sel l ans i:r:: -.-

al

Sel C9 memuar rumus = gDg 3 * gDg 4 *CoS (RADIANS (.A9 ) ) yang merupakan versi penulisanrumus m8 cos 0 di lembat pengolah angka untuk sebuah gaya normal t;erhadip bidang ftfmponenb'erat adalah tegak Iurus bidang). Perhatikan penggunaan RADIANS unruk mengkonversi ieraiatmenjadi radian.

Sel E9 memuat rumus =$D$3*gDg4*SrN(RADIANS (A9) ) yang merupakan versi rumus"is sin 0 atau W sin 0 di lembar pengolah angka untuk komponen berat ke barvah bidang.

Sel H9 memuat rumus =$D$5*C9 yang merupakan gaya gesek ntaksimum di sudut ini,jelasnya ini adalah perkalian antara koefisien gesek statik dengan gaya normal.

Diagram di Gambar 4-4 menunjukkan hasilnya. Perhatikan di mana grafik gay.a vang menurunibidang (force down the plane) berpotongan dengan gaya friksi maksimum. Benda mulai bergerakpada saat gaya menuruni bidang mencapai nilai yang setara dengan ga),a gesek statik. Setelahuerak terjadi, grafik ini tidak berlaku lagi karena koefisien gesek statik berubah menjadi koefisien,eesek kinetik (biasanya lebih kecil). Dari pengalaman kita mengetahui bahua lebih sulit untukmulai menggerakkan benda ketimbang mempertahankannya agar tetap bergerak.

_ {11 ",,, ** __:;_1r_F_t:.j$.r^81-!!${HAnlAhis{At0}}*l---4 .-f-3 :*U*ql E*:---?-1

2:l

4

56vI ANQ,LE {d*greerJ Nrmal F*rc*

lHtltlNE.XL S ln*[]ned FIam*

ku

my'sr :

Frrte Oown tti* Ptan* Friction Fcrrce

Bab 4: Matematika Si

90i1l : t', 12 3

.13 4

,14 5t3b

,18 717fr1ES19 1[?0 11)t 1-)

)) 1il

23 t4

Gambar 4-3. Tampilan

:5fiI 97 S85tr7lh

s7.a{n3sr.sbrss,sr :6t:fi87.627nfi3/ 4Al t:1

9r.2S9539I.[4$:796.19346

. S6.5t I l696.1 9946

:*E.rraaa,

ss.,{raiis5.fi8frgS

utama buku kerja

4946 9?25d4A ?70154A 33265.16 8806.1

4A 8r35.{.lE ,/ I t1/46 5_1476

4U 5l:i14{E.JYtj/ J48 2555848 [997]47 92923J7 ?

' I

' 11t t11t)

l? tirro{r J{9*J

ditampilkan di kotak editor sel

0

1.11[:363 420151

5 1:8924|i.43613,1

s.54126310 ?4379

r 1 9432r3 63891ir 5 13[58ti .u llhl18 69928ir:.iisir

7? 045:23 70815

INCLINE. Rumus di dalam sel C10

>:.:niutnva. mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan dengan han1,a menambahkan sinus dan- ':n1.. Pada saat mempelajari perpindahan panas, Count Jean Baptiste Joseph Fourier menemukanr::- 't.; hlnlpir setiap fungsi periodik dapat diwakili oleh deret sinus dan cosinus. Deret Fourier dan

:.i Fourier merupakan penemuan penting pada abad kesembilan belas. penemuan ini'';:::, .:Jerhena namun luar biasa. yaitu membuka sebuah medan yang luas di bidang mate-rr:l i.: ::: 'tplikasi-aplikasi ilmu rekayasa dan sains. dan tetap menjadi subjek penelitiani:ll-i ::l-a.ii.

4.4 Buku keria deret Fourier

Bidang Miring

26o -*-

Gaya formalGaya menuruniBidang Miring

Gambar 4-4. Gaya pada sistem bidang miring sebagai fungsi sudut. Benda akan mulai bergerak pada saat

gaya menuruni bidang miring menyamai nilai gaya friksi statik maksimumnya.

Sejumlah besar aplikasi yang tidak biasa dilakukan akhirnya bermunculan setelah pengembang-

an komputer digital dan algoritma Fast Fourier Transform (FFT) pada abad kesembilan belas.

(EXCEL memiliki FFT di dalamAnalysis ToolPak, lihat Bab 11.) Fourier menuliskan ke dalam

catatan hariannya, "Kemarin adalah hari ulang tahun keduapuluh satu saya, pada usia itu Newton

dan Pascal telah memperoleh beberapa hukum kekekalan." Fourier pun mencapainya dan naman) a

akan senantiasa diingat atas karyanya dalam deret dan transformasi.

Menambahkan komponen-komponen Fourier (atatt harmonika-harmonika) untuk membuat

fungsi periodik dinamakan sintesis Fourier; membedah suatu fungsi ke dalam komponen-komponen-

nya dinamakan analisis Fourier. Bentuk yang biasa dipakai untuk deret tersebut diberikan sebagai.

ro = !. i[o, *'(T). u,,,*(T)) (4-l )

di mana /(r) adalah fungsi yang ingin Anda anggap sebagai deret,

Ao adalah konstanta, nilainya dapat berharga nol (ini adalah nilai "dc" dari fungsi),

A, adalah koefisien Fourier untuk bagian genap dari deret (cosinus),

B, adalah koefisien Fourier untuk bagian ganjil dari deret (sinus),

T adalah periode dari fungsi periodik /(r).

Deret begitu mudah diimplementasikan ke dalam lembar kerja. Untuk membuatn\a tetrpmudah, kita hanya akan melakukannya terhadap sebuah contoh sintesis Fourier. Bukalah t'ui.kerja FOURIER dan Anda akan melihat sembilan koefisien Fourier yang digunakan untuk melaliuk":rsintesis terhadap sebuah pendekatan gelombang kotak (lihat Gambar 4-5). Makin banl'ak koetlrre:yang digunakan maka pendekatannya akan semakin baik. Hitunglah redaman di gelombang kirt*.ada lima buah di sana, ditandai dengan lima buah harmonika bukan nol yang muncul. L.;.::-'.

mudahnya, perlambahan periode dan waktu dimasukkan ke sel F6 dan G6. Cobalah Je:....-mengganti-ganti pertambahan periode dan waktunya.


(zn -l ci:St$7-CtSB-Pl0-1'{;A20l$F$6]+$t1$7"tllr(2'Pl0-i'$A2rl/$F$6]-A ffiF 6 s.--r J k L

Fi)u8lEB.xL$ fl*uri*r s*rie*i.haptir,l

FfisriBr IoericiBnl dala in aolurrns C and L

[ 0.0,]|l[n

:j

,t

5

6i

I1n

1l

1l

l415ib17

ISr021

33 0 5 B 0.32$S67

tt {dc}1

23{

67

3

r)

B

0t)

0f)

0ll11

1.[t[]il08.0c008

B 0c1J00

B 3I0t:lB 0[&]il0.14:86Lr.Blnairi:JllJll

1l

0 r6ll5E50

ll 1.,186^I 0 rl.1 1118.!2 l"J 7J6561

Ir 0:a1,J,13 C C198Bl4 I n1n2n68 [ 001]9:E D?l63Ci

Gambar4-5. Tampilan utama buku kerja deret Fourier. Koefisien C6:D15 digunakan untuk melakukan sintesisgelombang kotak untuk sembilan komponen, empat dr antaranya adalah nol. Pemilihan koefisien-koefisien ini

menghasilkan gelombang kotak yang mulai naik di perpotongan titik nol dan tidak memiliki komponen dc. (Tentu

saja gelombang kotak nampak simetris sepanjang sumbu waktu). Perhatikan bahwa amplitudo gelombang

kotak dengan koefisien-koefisien ini adalah rl4, bukan 1. Amplitudo frekuensi fundamental adalah 1.

Gerakkan mouse Anda sepanjang lembar kerja dan amatilah isi sel-selnl a. Anda akan melihat

bahwa kolom-kolomnya akan mendapat tambahan hingga sembilan ba-uian dalam deret di Persamaan

(4-l). Deret Fourier untuk gelombang kotak seperti nampak di Gambar -1-5 diberikan sebagai,

rr 0 131895

/2zxlr\ t.(2rx3r\ | ()tr,1tsrnl l+- Stnl l- srnl l+

\e,37sl 3 \e,375i s \q..17.5 l

1

If(i)

dan seluruh harmonika ganjil yang lebih tinggi, mewakili sebuah gelon.rbang kotak (scluure

rlrlle) dengan amplitudo sebesar 7Tl4.

Deret Fourier tidak hanya dibatasi untuk fungsi-fungsi yang kontinu: deret ini juga rnemilikikemampuan luar biasa untuk merepresentasikan fungsi periodik y'ang diskontintt. Di titik-titikdiskontinuitas, deret akan bertemu dengan nilai rata-rata titik-titik tersebut sebelum dan sesudah

redaman. Deret Fourier merupakan suatu bentuk representasi deret yan-: optimum. dalam arti tidakada deret lain yang memiliki tingkat kesalahan lectst-ntenn-squore vans be-situ kecil dalam

merepresentasikan fungsi periodik yang diberikan.Gambar 4-6 menunjukkan komponen-komponen Fourier untuk -selombang kotak, dan Gambar

1-7 menunjukkan spektrum dari gelombang kotak, sudah jelas bahri a itu adalah amplitudo darikontponen Fourier. Sebuah gelombang kotak biasa digunakan sebagai sinl al qi coba secara umum.

Perhatikan bahwa gelombang kotak murni tidak memiliki sedikit pun harmonika. Jadi, apabila

.\nda rnenggunakan gelombang kotak sebagai sinyal uji coba terhadap sebuah sistem dan mendapati

beherapa harmonika muncul di dalamnya, maka dapat Anda simpulkan bahwa sistem tersebut

nren,calami distorsi harmoniko. (Ini biasa terjadi di dalam amplifier dengan keluaran yang tinggi).Bilt perbandingan amplitudo harmonika keluaran tidak sama dengan masukannya, maka Anda.l.rprr menyimpulkan bahwa telah terjadi distorsi frekuensi. Sebuah -telombang kotak periode

:Jn.jring dapat memperkirakan suatu/angsl langkah (step func'tion). yang dapat digunakan untuknr;ndapatkan respon frekuensi secara lengkap (berupa amplitudo dan fase) dari sebuah sistem

lrnier rlihat Bab 11).

4.4 Buku keria deret Fourier

n5

Gambar 4-6. Komponen-komponen gelombangtampilan berwarna di layar Anda. (Diagram ini

Foi.r'rBr Seile: 5 {Df c84erti Lr'.i'jqrSrF r'i.t

a!

kotak di Gambar 4-4. Diagram ini akan mudah dicerna denganterdapat di dalam buku kerja FOURIER).

$pectrum (nrr DC torfiprlnent)

u 0.$1]{r)B

35 it5r1ftl0

E-' o lo,:rug

t.{riooit

,1.s0[f0

B.StUt'0

0.7nrlrfi

r,r.rl0B0i1

i].f{i0{0

i.1i]rt0

n.n088,1

r

Frequer'l'r'd

Gambar 4-7. Spektrum gelombang kotak di Gambar 4-5. Perhatikan bahwa hanya harmonika ganjil (1, 3 5

) yang muncul, dengan indikator satu untuk gelombang kotak yang murni.

Cobalah latihan-latihan yang terdapat di dalam buku kerja FOURIER di bagian akhir h.rl' r::

Anda akan melihat bagaimana melakukan sintesis terhadap bentuk-bentuk gelonlbang pcnr\i r

yang umum. Lakukanlah untuk beberapa harmonika dan koefisien yang berbeda. (Ini akan lllen u:1, -' -

kan bagaimana music synthesizer bekerja).

1 r/e19rne!!!?lr!sle1

TIPS

Seluruh fungsi matematika di EXCEL dapat

Ikon ini dinamakan ikon Paste Function dan

Sum (I) dan ikon Sort Ascending.

dengan mengklik ikon f.bar menu. di antara Auto

diakses secara cepatterdapat di baris atas

4.5 Fungsi-fungsi hiperbola

Fungsi-fungsi hiperbola meliputi eksponensial riil. Seluruhnya merupakan solusi cepat untukbeberapa permasalahan. (Lihat Latihan 1. Bab 2).

Tabel 4-6. Fungsi-fungsi hiperbola di EXCEL

ACOSH ASINH ATANH

COSH SINH TANH

ACOSH menghasilkan kebalikan cosinus hiperbola dari suatu bilangan.Bilangan tersebut harus lebih besar daripada atau sama dengan l. Kebalikan cosinus hiperbolaadalah nilai yang cosinus hiperbolanya berupa bilangan. sehingga ACOSH(COSH(bilangan)) samadengan bilangan.SyntaxACOSH(bilangan)Bilangan adalah sembarang bilangan riil yang sama dengan atau lebih besar daripada 1.

Contoh:ACOSH(l) sama dengan 0ACOSH(10) sama dengan 2,993223

ASINH menghasilkan kebalikan sinus hiperbola dari suatu bilangan. Kebalikan sinus hiperbolaadalah nilai yang sinus hiperbolanya berupa bilangan, sehingga ASINH(SlNH(bilangan)) samadengan bilangan.SyntaxASINH(bilangan)bilangan adalah sembarang bilangan riil.Contoh:.\SI\H(-2,5) sama dengan -1,64723ASI\H(10) sama dengan 2,998223

COSH nrenghasilkanSyntaxCOSHT bilangan r

Rumus untuk co:inus

Contoh:

cosinus hiperbola dari suatu bilangan.

COSH(+) sama densan 17.30823COSH(EXPI l)) sama dengan 7.61012-5. dengan EXP(1) adalah e, basis dari logaritma natural

hiperbola adalah: cosh(z) =+

Aoa selaniutnva?

SINH menghasilkan sinus hiperbola dari suatu

Syntaxbilangan.

SINH(bilangan)bilangan adalah sembarang bilangan riil.

Rumus untuk sinus hiperbola adalah: sinh(z)

Contoh:SINH(1) sama dengan 1,115201194

SINH(-I) sama dengan -1,175201194

Anda dapat menggunakan fungsi sinus hiperbola untuk melakukan pendekatan terhadap distribu't

probabilitas kumulatif. Anggap nilai hasil uji coba di lab berada di antara 0 dan l0 detik. Sebuah

analisis empirik terhadap rekaman data yang dikumpulkan dari eksperimen menunjukkan bahu a

probabilitas hasil yang diperoleh, yaitu r, yang nilainya lebih kecil daripada 1 detik adalah hasil

pendekatan dari rumus berikut:

P(x < 0 = 2,868 * SINH(0,0342 * t),dengan 0 < t < l0

Untuk menghitung probabilitas hasil yang lebih kecil daripada 1,03 detik, masukkan nilai 1,03 ke

dalam t:

2,868*SINH(0,0342* 1,03) sama dengan 0,101049063

Anda dapat memperkirakan hasil ini akan muncul sebanyak kira-kira 101 kali untuk setiap 1000

percobaan.

TANH menghasilkan tangen hiperbola dari suatu bilangan.

SyntaxTANH(bilangan)Bilangan adalah sembarang bilangan riil.

Rumus untuk tangen hiperbola adalah: tanh(z)

Contoh:TANH(-2) sama dengan -0,96403TANH(0) sama dengan 0TANH(0,5) sama dengan 0,462117

Apa selaniutnya?

Di dalam Bab 5 kita akan menjelajahi beberapa teknik dif'erensial dan integral numerik. Inte-urul

merupakan bagian penuntun di dalam tasilitas Moving Average dan Exponential Smoothing di

EXCEL. Kita akan lihat pula bagaimana mudahnya mengimplementasikan beberapa operasi integr:r'i

yang berguna dengan bantuan aritmetika sederhana. Integrasi akan membantu pada saat dlt-1

mengalami gangguan atau Anda ingin mengambil informasi dari data yang rusak.

Daftar Pustaka

N. Momison, Intodltction to Fourier Analysls (John Wiley & Sons, Inc., New York. 199-l t. Dr

ditunjukkan bagaimana cara menghitung koefisien-koefisien Fourier untuk sebuah deret

memang berada di luar cakupan bab ini.

_ sinh(z)

cosh(z)

:. C \\il:trn. Forlrrer Series and Optical Transform Techniques in Contentporan Optic:s (.John..i

' :r .t Sons. Inc.. New York, 1995).

S C Bloch. "Fourier Perspective," Chapter 6 in Introtluction to Clas.sical and Quontum Harmonic' r":llutot's (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997). Di dalamnya memuat contoh-contoh:ringenai bagaimana cara menghitung koefisien-koefisien Fourier untuk gelombang kotak dan

_iik)mbang segitiga.

Uji kemampuan Anda

Per_cunakanlah lembar pgngolah angka Anda untuk perhitungan-perhitungan berikut:

l. =ATAN2(15,30)l. =ATAN2(15,-30)3. =ATAN2(-15,30)+. =ATAN2(-15,-30).5. =DEGREES(ATAN2(36,36))

6. =DEGREES(ATAN2(_36,36))

1. =ATAN(30/15)8. =ATAN(-3OI15)

9. =ATAN(30/-15)10. =ATAN(-30/-15)I l. Buatlah satu lembar kerja untuk sebuah benda yang didorong ke atas di sebuah bidang miring

kasar. Peristiwanya kira-kira seperti yang tertera di Gambar .1-2 dan -1-3. tetapi sekarang gayagesek dan komponen berat ke arah bawah bidang memiliki arah yang sama karena gerak yangterjadi adalah ke atas. Gaya yang diberikan untuk mendorong benda agar bergerak ke atasharus lebih besar daripada jumlah gaya yang menuju ke bawah bidang. Berapakah gayaminimum, sebagai fungsi sudut, yang diperlukan untuk menggerakkan benda tersebut?Tunjukkanlah data-datanya dengan diagram XY. (Soal latihan ini berhubungan dengan topikmengenai posisi dan gerak benda - gerak dan gaya yang diberikan oleh National ScienceEducation Standard).

12. Sebuah batu bata tengah berada di atas sebidang papan ka1,u. Pada saat papan tersebut di-miringkan dengan sudut kemiringan 60 derajat, batu bata rnulai bergerak turun. Berapakahkoefisien gesek statiknya'? (Ini merupakan metode standar untuk rnengukur koefisien gesekstatik antara dua buah permukaan, seperti karet ban dengan aspal. Perhatikan bahwa koefisienitu bergantung pada berat dan luas permukaan kontak).

13 Tunjukkanlah amplitudo-amplitudo komponen harmonika 3. 5. 7. dan 9 dari sebuah gelombangkotak dalam satuan dB, relatif terhadap harmonika I (frekuensi fundamental).

- Pr-rgunakanlah buku kerja FOURIER untuk melakukan sintesis terhadap gelombang gigi,:r'r!.r.ti. Seluruh harmonika akan muncul. Amplitudo-amplitudo harrnonikanya adalah: l/1,. l. i 1. l/1. 1/5. 1/6 dan seterusnya. Anda sering melihat aplikasi gelombang gigi gergaji ini,.,:.... ';it\lk digunakan sebagai bujur horizontal di monitor komputer. osiloskop, dan layar-.;,.r iel:', i.i.

,: L;s'jr;r:rh .inte.is deret Fourier untuk gelombang segitiga. Pergunakan buku kerja FOURIERinlik ir.'1:rkuk.rnn\ a. Di dalarn kasus ini, seluruh harmonika genap bernilai nol. Amplitudo-urnpiirujrr h.rrnt.,nik.i ranjilnva adalah: ll12J.32, 1/52, 1/1). 1192, dan seterusnya.

16.

Uji kemampuan Anda _

A-,f,3 Kemiringan jalan raya yang berbentuk kurva. Di Bagian 4.3 kita telah nrenrbahr- ::.'::: ,bidang miring yang kasar. Pada saat sebuah kendaraan melintasi sebuah jalan rara le::r.'-:-.kurva, Anda tidak dapat memperkirakan apakah gesekan akan mampu rnelindunsin... .-.,-

tergelincir karena adanya genangan air maupun oli di atas jalan, sehingga ini men-i-^.:-kondisi permukaan jalan. Jalan raya akan dimiringkan di bagian yang berupa belokan h;t:::--menyerupai kurva untuk menghindari kendaraan tergelincir. Ini ada pelmasalahan l ang din.,r:r.inamun dapat dijadikan statik sehingga menjadi serupa dengan bidang miring biasa. Kit., .'k.rmencoba memiringkan jalan raya untuk mendapatkan gaya normal terhadap pusat lengkuncdnjalan yang akan menghasilkan sebuah gaya sentripetal. Tidak ada percepatan yang tegak luru-jalan sehingga N, = N cos 0 = W = rrrg. Dalam arah radialnya, komponen N adalah:

N. = N ,ir1 = n'!'

R

dengan R adalah jari-jari kurva dan l adalah kecepatan kendaraan. Bagilah N,. dengan .\.untuk mendapatkan tangen sudut kemiringan, tang = v2lkR).Perhatikan bahwa sudut ke-

miringan tidak tergantung pada massa kendaraan. Ini adalah hal yang penting, karena kurr a

jalan yang miring akan menghasilkan ef'ek yang sama terhadap setiap jenis kendaraan y'ang

melintas dengan kecepatan yang sama. Buatlah lembar kerja yang akan menghitung sudutyang dibutuhkan untuk kecepatan maksimum 20, 30, 40, dan 50 m/s dan R sama dengan -50.

75, 100, dan 125 m. (Soal latihan ini berhubungan dengan topik mengenai posisi dan gerok

benda - gerak clan gdl'd yang diberikan oleh National Science Education Standard).

Mernbahas mengenai kolektor vektor. Buku kerja bernama VECTORS menunjukkan bagaimana

cara menambah, mengurangi, dan mengalikan vektor. Perkalian vektor menghasilkan dua

bentuk, yaitu skalar (titik) dan vektor (silang). Jelajahilah rumus-rumus di dalam sel-selnf ii

untuk melihat betapa mudahnya melakukan perhitungan tersebut. Diberikan A = 3i + 4j - 5kdan B = 2i + llj - 3k. Masukkan keduanya ke dalam lembar kerja untuk mencari A + B.

A- B, lA + Bl, lA- Bl, lAl, lBl, A x B, B x A, A. B dan sudut terkecil di antara A dan

B. Cocokkan jawaban itu dengan hasil perhitungan tangan. Berapakah A x A? Berapakah

A . A? Mengapa?

t].

Bab 5Diferensial dan lntegral


Operasi-operasi kalkulus dasar untuk diferensial dan integral dapat diukur dalam bentuk numerikmelalui Excsr-. Kita akan menjelajahi beberapa metode untuk keilua operasi tersebut, dan amatimasing-masing kelebihan dan kekurangannya. Integral berhubungan dengan upaya menghaluskangaris kurva dan kita akan lihat bagaimana penggunaan dua buah fasiiitas bantu di Excrr- lMovingAverage dan Exponential Smoothing) untuk mengerjakan inte-sral bertipe khusus.

Kita akan menunjukkan cara penggunaan fungsi-fun-esi Sar itskr -Golay, yang mengkombinasi-kan diferensial dan integral untuk melakukan estimasi leasr-mean-square terhadap daia yang ter-ganggu. Fungsi-fungsi ini pada awalnya berlaku di bidan-e kimia. namun kini berguna pula untukbidang ilmu lainnya dan Anda pun layak untuk mengetahuinr a. Pada akhirnya Anda dapat melihatbagaimana penggunaan fasilitas Trendline di ExcEr- untuk data-dara \ ang terganggu dan Anda pundapat menghitung sebuah pusat massa beserta momen inersian_ra.

Integrator telah tersedia di Internet. Anda dapat menuliskannva ke cialam sebuah tungsi danmendapatkan hasil integralnya dengan segera melalui lllrruerr.urca. Kunjungilah situs http://integrals. wolfram.com/index.en.cgi. Lihat contohnya di Gantbar,5 - g.

Kapan Anda membutuhkan diferensial dan integral numerik l Dara-data eksperimen sering-kali tidak mengikutsertakan fungsi yang diketahui, sehinsga merode-metode numerik menjadipenting.

Mengambil turunan suatu fungsi merupakan sebuah keahlian analitis menclasar yang Ancla pelajaridi kalkulus. Turunan membantu menjawab pertanyaan. bagaimanakah nilai perubahan suatufungsi? Turunan dapat mengurangi perubahan-perubahan di dalam suatu fungsi atau sekumpulandata. Hal ini berlawanan dengan integral, yang membolehkan perubahan (untuk tujuan memulus-kan kurva).

Kita sering tertarik untuk mengamati angka perubahan waktu, namun turunan tidak akandibatasi oleh waktu. Sebagai contoh, kita mungkin in-ein mengetahui nilai perubahan di sebuahruang, seperti sebuah gradien, bila kita bekerja dengan temperatur, tekanan, atau potensial listrik.Interpretasi geometri untuk turunan pefiama adalah kecontlongan (slope) clari sebuah fungsi di titiktertentu. Turunan keduanya merupakan angka perubahan kecondongan. Turunan kedua ini munculdalam hukum Newton mengenai gerak dan identifikasinya terhadap nilai maksimum danminimum.

5.1 Diferensial

Interpretasi seperti ini baik dilakukan untuk fungsi-fi.rngsi kontinu dan nilar pcrluli,r;.-.:i...-yang tidak terbatas, narnun untuk data yang menyebar kita harus memperhatikan interr "i .: ... -titik-titik datanya. Miserlnya, kecepatan rata-rata diberikan sebagai,

A^s

Lt

Dengan As adalah interval jarak yang berhubungan dengan interval waktu At. Garis yanu terdrip,ldi atas u menunjukkan "nilai rata-rata" sepanjang interval waktu tertentu. Kita perlu memutu.krnapa yang akan kita lakukan pada akhir pertambahan ruang dan waktu. Ini semua akan rlenia.|jelas pada saat Anda menggunakan buku kerja DERIVAIIVE. Ada tiga cara untuk mengoluhpertambahan-pertambahan ini terhadap data-data berurutan yang berbeda:

. turunan maju (forward derivative),

. turunan mundur (bach,.'ad derivcttive'),

. turunan tengah (central derivative).

Marilah kita lihat ke titik dengan koordinat .r0, )0. Koordinat titik sebelumnya adalah x ,, r' , dankoordinat sesudah,r;,.r'o adalah.r+1,J,+r. (Gambarkanlah sebuah kurva pada selernbar kertas dan

tandailah ketiga titik tersebut. Saya bisa saja menunjukkan gambarnya tetapi Anda akan dapat

belajar lebih banyak bila melakukannya sendiri). Di dalarn mata kuliah kalkulus, Anda telahmempelajari bahwa turunan pefiama sebuah fungsi diberikan sebagai,

Iz-)rh

t 5-1i

dengan limit I mendekati nol, iz adalah pertambahan .r. Sebelum i mendekati nol, terjadi sebuahkesalahan estimasi dalam menghitung turunan untuk /2, yaitu biasa disingkat dengan O(/r).

Jadi, muncullah sebuah pefiambahan kecil yang diinginkan, namun kita juga perlu mempelajariefek dari pembulatan nilai-nilai yang salah dan pemilahan data akurat dari sebaran data sehinggaperlu kehati-hatian dalam mernbuat pernyataan umumnya. Thbel 5-1 berisi ringkasan ketiga tipeturunan pefiama di titik xo, )0.

Tabel 5- I muncul untuk menyatakan bahwa Anda perlu sesering mungkin menggunakanturunan tengah, namun turunan ini membutuhkan jumlah titik data yang sama untuk kedua sisi titikyang ditanyakan. Di bagian akhir sebuah urutan data, Anda dapat nrenggunakan turunan rnaju atau

mundur untuk menghindari kesalahan yang serius. Selain itu, turunan Maju dan Mundur memberikan

ri- I

dy_dx

Tabel 5-1. Estimasi Turunan Pertama untuk Sebaran Data

Tipe turunan Rumus Orde kesalahan

Maju (Fot'vvard).(Lihat lembar kerjauntuk rumusnya).

AJ'- -]'*r -)krAr h

h

Mundur (Backwardl(Lihat lembar kerjauntuk rumusnya).

Al' _Ar

)o - ,)'-r

h

h

Tengah (Central).(Lihat Gambar 5-2,sel F105 untuk rumusnya).

A],

Ar

-)'-r - )' r

2h

hz

Bab 5: Dlfe-rensial dan lntegral

- -. i.ing terbaik terhadap data yang memiliki banyak perubahan. Pergunakanlah turunan mundur

-:-r.',nt melakukan sebuah perubahan besar dan turunan maju untuk kondisi sesudahnya.

Karena turunan pertama adalah analog terhadap kelajuan (atau kecepatan, jika itu merupakan

,..:.,rr. maka turunan keduanya analog terhadap percepatan. Dengan kata lain, turunan kedua

-*,ilh turunan dari turunan pertama. Tabel 5-2 menunjukkan rumus dan orde-orde yang salah dari

.:re turunan kedua.

Tentu saja, untuk mendapatkan turunan yang lebih tinggi Anda dapat menggunakan pengulangan

aplikasi-aplikasi turunan pertama" selain menggunakan rumus khusus.

Marilah kita mengimplementasikan turunan-turunan ini ke dalam buku kerja kemudian

membandingkan hasilnya dengan fungsi kontinu .1,(1) = 6t2 yang dapat kita turunkan secara analitis

nrenjadi bentuk dy,lclt = l2r. [Pada tahun 1676, Leibniz membuktikan ./(,\'') = rrl'-rdrl. Bukalah

buku kerja bernama DERIVATIVE dan lihatlah Gambar 5-1 dan 5-2.

Dengirn pertambahan sebesar l, turunan pertama Maju dan Mundur nlasing-masing akan

menghasilkan konstanta kesalahan +6 dan -6. Jelasnya, pertambahan sebesar I terlalu besar untuk

memberikan hasil yang dapat diterima terhadap nilai dari perubahan sekumpulan data ini.

Selanjutnya, mari kita coba menguranginya dari I menjadi 0, 1. Gambar 5-3 dan 5-'1 menunjuk-

kan pengurangan konstanta kesalahan untuk turunan pertama Maju dan Mundur seba-eai penurunan

pertambahan. Namun demikian, kesalahan-kesalahan di bagian akhir selalu saja nluncul.

Amatilah kesalahan-kesalahan yang terjadi terhadap turunan-turunan \'Iaju. \ltrndur. dan Tengah

di ujung-ujung data. Sekarang Anda dapat memahami mengapa hal ini begitu sering dibutuhkan

untuk berpinclah dari turunan Maju. ke Tengah, ke Mundur, sehingga Anda dapat nrengikutsertakan

seluruh titik data, walaupun di bagian akhir data masih mengalami kesalahan dibandingkan dengan

keseluruhan data.

Walaupun turunan numerik tidaklah sempurna, namun Anda tetap dapat n.renghasilkan sesuatu

\ ang ridak dapat dilakukan dengan kalkulus analitis. Data dari eksperirnen-eksperimen yang se-

\unsguhnya selalu memiliki gangguan acak dan hampir tidak mun-ukin untuk merepresentasikan

rlaranr,a ke dalam bentuk fungsi yang diketahui. Di dalam kondisi yang sesungguhnya, kita mem-

butuhkan operasi-operasi numerik.Gambar 5-2 dan 5-4 memiliki tampilan lembar kerja yang dikunci secara vertikal sehingga

.\ndl dapat melihat judul kolom (baris 5 dan 6) setiap saat. Untuk melakukan penguncian tersebut,

pilihlah :ebuah sel, kemudian masuklah ke menu Window dan klik Freeze Panes. Gambar 5--5

ntenuniukkan sebuah contoh turunan maju yang diterapkan terhadap suatu fungsi yang terdiri dari

:ebuah pulsa (7rrrl.ie) dan segmen sinus.

Tabel 5-2. Estimasi Turunan Kedua untuk Sebaran Data

Tipe turunan Rumus Orde kesalahan

Maju.(Lihat lembar keria untukrumusnya).

ArlAr2 lt

h

Mundur.(Lihat lembar kerjauntuk rumusnya).

A2-y-)'o-2.,-r+l: h

Tengah.(Lihat Gambar 5-1, sel J12untuk rumusnya).

A2-r'-,yr -2.rn+l-,Ar2 - h2

h2

5.'l Diferensial

113 ":"i ={S1 3-2"81!+fi 1 1 y$D$3^2

--A ,. . B, ,---- C

IEKIVATI\IE,XLSunalller t

D ltE F:SFir*t and S*rond }erivalivs

I

:l'lL

f,*l

4

lncrement I I

( Analrltical Fr:nrr'ard B*ck',rr,art Centrxl &.nalvticsl F*nnrard Sarkvrarc Cer::;6 Time YIJl dvr'dl AvJAt Ay/&t &v/&l d:y/,it: .$v181? &2y,'al2 iil.ri,. i'

&l-.-t.9 .,lnl

i11

tiilli' 15

llrF,;

54 I

sEi

2'r6i:s4

i

:{j4 i

lltt243fJU

4860

fi4vb

Itlan

b4

6B

Itr5rl

1ra1

6tol

4Z)

5jl

bb

9tl

11

?43S4fisil7)Ei

ss

41

1i

{1t1

tt

01

'j

J

4

567tl

D I *&/,ALlJEl i *tv'ALLIEI 12 i ti,lALUE! #./,11 _r=!

l::#{All,lEl i-12t 17 1:{a 41 1-t! tl r-tl trt

12, 12[-:j1!, l"t, 12t1: r-t: tatt ll: t:,t1 11: 1l

Gambar 5-1. Tampilan utama buku kerja DERIVATIVE. Perhatikan bahwa turunan Mundur dan Tengah mengalamikesalahan di bagian awal data, tetapi turunan Majunya trdak mengalami kesalahan. Di titik-titik lain, turunanTengah sesuai dengan Analytical. Turunan pertama Maju memiliki konstanta kesalahan +6. Turunan pertamaMundur memiliki konstanta kesalahan -6. Perhatikan titik-titik lain untuk turunan kedua.

__-- It-lu5 ? I

AEC1 CIERIVATIVE,XLS2,Chaptrr534

s, =tBj il6.S1fi.1y€'$0$3JD

*f,Jr *_*t_l-" G

First antl Sec**d &*rivalive

lncrenrent I 1

s &.rialvtic*l F,:ruVard Eackvgsrr Central Anelvtirs Ftr*v*rd B*ckward tlentral

E Time"1{r1

drrldl AulAt &v1At &v/Ar d'v/dt: ,{2rr/&tl &!ti&t? lf-rj1al-Ifi2irle1fi41

lsslrlQ6i1' r1*A

5415t1Edlqfi58454eirzr5fifi06t--__bUUUU

1 1:41 146{ iEoI IJU

1 17U

1 1fi2

1 1S4

t)[

3b

$7

9839

1[[

1 1iln 1 1461 152 1 15S

1 16d, 1 '170

'1176 r 1fi3118-fl 1'l$il12il0 -6tl[[D

I't .dfi

' tat

1 184

r:re!I I Ll'f

-:s4tl3

12 12'I"] {"l41 {ata t4

12 11

1: -61 194

12 BtlDfffi

12 1:12 12

1'l ri12 1:12 1-1I ,6119i

Gambar 5-2. Di bagian akhir urutan data, untuk pertambahan yang diberikan, turunan Maju dan Tenga-memiliki angka kesalahan yang besar namun turunan Mundur mungkin kesalahannya masih dapat diterirnaBandingkan dengan Gambar5-1. Kecuali di bagian akhir, turunan Tengah sesuai denganAnalytical. (Lemra-kerja ini menggunakan pilihan Freeze Panes di menu Window).

Bab 5 Ditqlgrylgl dan lntegral

DERIVATIVE.XLSi- irapter 5

7 rl ..- 0I [ 1 t].08

s 0.: n.zq1o D i [.4411 tt 4 rl.9B

_gl ns_ rs13 D.B 1.161.{, rr.i i.g4

BERIVATIVE.XL$Chapter 5

lncrenr*nt I 0.1

": .l,,'.-j- A*- B*-*T :-,:lRg3:g:ll:gxl{.llp:?D ,*-t*-N*'-F****"" G

First arrd $*c*nrl Serivalive

I(t) = 6t?

0.6 rs,lALUEl #,,1ALUE l

t a-"" - "nL: - 1i

J lo t.44 2 ... 3.. 3.85,4-. . 4!. - .l'1S6.6. .5a..-. "". 6l'd tlb / I;^ .,;Y i t-J Dr+

'"*fl _I--*

1: #'/AL1-IE! .fi.1}LlJEl12 #'lALUEt 12

1! 12 12

12 1: ti12 12 12r:f-1iI e

-l

rl 11 la

12 12 12

t_l

tti.4

3.64,*

6

?)i:r 4

!:1)t1

12

12

r'J

1ltf

Gambar 5-3. Data yang sama untuk fungsi y(l) pada Gambar 5-'1 dan 5-2 diturunkan dengan pertambahansebesar 0,1. Turunan Tengah begitu sesuai dengan turunan Analytical, kecuali di bagian akhirnya. Turunanpertama Maju dan Mundur memiliki kesalahan masing-masing sebesar +0,6 dan -0.6. Menurut perkiraan,kesalahan ini sepuluh kali lebih kecil daripada pertambahan yang besarnya 1.

1

2

3,:1

First and Seconrl Oetiv.rlive

lncrement I 0.1 v(t) = bt'

(nalvtrc al Forr,vard Eatkrnrart tlenlral A.nalvtrca Fonnard Back'ryard {lentral

6 Time Yit) dv/dt Av/Al ,lv,r&t &rrlAt dx',rjdt2 A3'i/'itr &3v/At?

5 {nalvtical F*m,'ard B*ckw*rt Centrsl An*lvtira F'rruvard B*ckward **ntral6 iTirn* rrftl dv,'dt &v1Al A,r*/Al Av/At cl2v./dt2 A2vlAl? &rurl1.tI &!v/&t?

100

1tl1

r03tn:rnr

tu3lub1 r-l-

!:-,C

9.3 51S 94!.4 53[.1&!,.5 541 5s.6 552 9697 50454

'., E 578.'14,r:t 3 5fi8.061rl Btl0

111 6III U

r:-:r;!I l:).1I15.4

, 117 6t tu t)

-tstr:r.:

11 1')

12 12{a tal! lz1'l r -]tL ri

12 12'1: 12

12 -61194

12 Etltlm

ti 41t! tz

1: ldr

17 12It 1't

12 1:12 12

12 12

1: .6',11S4

1r 1,8

I lt.8

114

115,t118..1

11i.6t to qI {U.U

fin

{il aI tz i

11:4I14.61 15.8

117

11S.2't1s 4.stltill

111

11:.:113 d

114.6

1is.B117

11821'13.4

Gambar 5-4. lni adalah tampilan bagian bawah buku kerja DERIVATIVE yang menunjukkan kesalahan-kesalahantur-ucdi cr Dagran tersebut. Bandingkan dengan Gambar 5-2. (Penguncian sel dapat mempertahankan baris1-6 aEar letap nuncu di layar).

5.1 Diferensial

Gambar 5-5. Turunan pertama maju terhadap pulsa kotak dan segmen sinus. Fungsi asli y(t) diidentifikasikandengan noktah di tiaptiap titik data. Turunan dari pulsa (tanpa noktah) mengutamakan kondisi pada saat pulsamulai dan berakhir (seperti sebuah pendeteksi ujung-ujung). Turunan pertama dari sinus adalah cosinus, sepertiyang Anda harapkan. Perhatikan turunan di bagian akhir segmen sinus yang tibatiba terjal.

Pertonyoon yorg sering murcd

T: Apakah ado penjela,san )'ang sederhana mengenai turunan dan integral?

J: Ya. Pikirkanlah grafik sebuah fungsi. Pada saat turunan pertama dievaluasi di suatu titik,maka turunan pertama akan mendapatkan nilai kemiringan garis. Itulah yang dinamakan tangenkurva fungsi di suatu titik. Apabila turunan pertama sama dengan nol, ini mengindikasikanbahwa sebuah fungsi adalah konstan atau turunannya dievaluasi pada saat kondisi maksimumatau minimum.

Turunan kedua adalah "kemiringan dari sebuah kemiringan," atau angka perubahan darisebuah kemiringan. Pada saat turunan kedua bernilai positif, grafik fungsinya berbentuk pa-

rabola terbuka ke atas. Turunan kedua yang negatif mengindikasikan bahwa fungsinya akan

berupa parabola terbuka ke bawah. Jadi, sebuah turunan pertama bernilai nol dengan turunankedua yang bernilai positif mengidentifikasikan sebuah fungsi minimum. Turunan pertamabernilai nol dengan turunan kedua yang bernilai negatif mengidentifikasikan sebuah fun-qsi

maksimum. Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut dapat memiliki lebih daripada satu nilaimaksimum atau minimum.

Interpretasi geometri terhadap sebuah integral adalah area di bawah kurvanya. Sebuahintegral dapat diinterpretasikan sebagai limit dari jumlah total bagian area-areanva. Inimemungkinkan kita untuk membuat perkiraan integral numerik dengan sejumlah bentuk r an_t

berhingga. Ilmuwan dan matematikawan besar Archimedes (287-212 SM) memiliki beber.rp;ide dasar kalkulus, namun beliau tidak memiliki pengembangan konsep yang utuh untuk dere:tak berhingga dengan nilai yang berhingga.

Bab 5: Diferensiql dan lntegral

Pcrtonyoot YatE/ sering muncul

ttntttk keperluan opakoh tttrLtnon tingkat tinggi?

J: Seringkali Anda sekalian membutuhkan turunan pertama dan kedua. Di dalam bidang

rlekanika. turunan ketiga terhadap waktu adalah angka perubahan percepatan. Turunan ketiga

rr,rhadap waktu ini juga muncul di dalam reaksi radiasi. Turunan keempat terhadap ruang

tlibutuhkan untuk melakukan analisis pembelokan sinar secara mekanik. Turunan tingkat yang

lebih tinggi <ligunakan di dalam deret Taylor untuk mencapai pendekatan yang lebih baik

terhadap fungsi-tungsi.

5.2 lntegral

Kalkulus modern {itemukan oleh Sir Isaac Ne\\ ton ( l6-12- 1727) pada saat beliau memerlukannya

untuk mengembangkan mekanika. Pada waktu t'ang harnpir bersamaan, kalkulus ditemukan pula

oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). seorang pel.Igacara dan matematikawan. Hingga

hari ini kita masih menggunakan buah karya Leibniz tersebut. Dari hasil pemikiran mereka, kalkulus

tneletakkan dasar yang kuat untuk memacu para materltatikauan. Gambar 5-7 rnenunjukkan sebuah

perangko Perancis sebagai penghormatan atas sumbangan Augustin Cauchy. Grafik di sisi kiri bawah

p..ungto itu menunjukkan pendekatan integral parabola r'(.t) -,rl derlgan deretan lajur persegi

panjang vertikal. Belakangan Riemann mengukuhkan metode tersebut sebagai integral Riemann'

Melakukan evaluasi secara analitik terhadap integral merupakan suatu keterampilan yang

Anda dapatkan dari kalkulus, namun data-data eksperimen jarang berada dalam bentuk fungsi dan

integral yang diketahui. Integral numerik dikenal sebagai solusi atas ruasalah ini dan beberapa

metode analog dari integral telah diken-rbangkan sebelunt komputer di-sital tersedia. Contoh, inte-

grator-integrator cakram-bola (batl-clist:) digunakan secara Iuas di dalanl komptrter-komputer ana-

log dengan sistem mekanik. Planimeter mekanik dan elektronik digunakan untuk integrasi grafis.

planimeter mekanik ditemukan oleh Jacob Amsler ( I 835- 19 I ? ). Komputer digital elektronik pertama

dibuat dengan tabung vakum pada tahun 1940-an, diberi nama E\I,\C tElectronic Numerical

Integrator and ComPuter).

+gr*$ffiSke,{

,6l

sji

"-*?

"{IJ#[iIYr]r,#d{i#F{x/,,,r}ffS*rdrf '."

S* 6,.f --.-:r&;' '

ffi,ffiffi

Gambar 5-7. Lajur persegi panjang vertikal melakukan pendekatan terhadap area di bawah kurva y = v'

5.2 lnteqral

Gambar 5-8. lntegralkan fungsi Anda melalui http://integrals.wolfram.com/index.en.cgi

Metode pisau cukurUntuk mendapatkan cara memilih metode integral praktis yang cocok, bayangkanlah permasalahan

yang dihadapi oleh para insinyur yang merancang mesin uap terdahulu. Mereka ingin memaksimal-

kan etisiensi mesin mereka, sehingga mereka perlu menghitung masukan energi dan keluaran

kerjanya. Para insinyur ini menemukan bahwa mereka harus melakukannya dengan grafik tekanan

P terhadap volume V, karena perkalian PV menghasilkan kerja. Kita ulas kembali bahwa tekanan

dinyatakan dalam N/m2 dan volume dalam m3, sehingga tekanan dikalikan dengan volume adalah

N/m2 x m3 = N.m atau Joule, satuan pengukuran untuk kerja dan energi.

Dengan memasangkan sebuah pena ke alat ukur tekanan di silinder mesin dan ke lengan

pistonnya, pena tersebut akan mengalami gerakan ke dua arah yang berlawanan dan akan meng-

hasilkan kurva PV bila gerakannya itu ditorehkan ke atas sehelai kertas. Namun demikian, hal

yang perlu dilakukan adalah menentukan area yang dilingkupi oleh kurva sebagai mesin yang

sedang bekerja di dalam siklusnya.Area ini dapat didekati dengan menghitung luasannya di atas kertas. namun ini kurang akurat.

Luas area ini dapat diperoleh secara lebih akurat dengan menggunakan pisau cukur untuk memotong-

motong, kemudian mengukur kertas yang berada di bagian bawah kurva diagram PV (rnasukan

energi). Selanjutnya, kertas yang berada di dalam siklus (keluaran kerja) dapat dipotong dan

diukur. Gambar -5-9 menunjukkan sebuah contoh khusus. Perbandingan antara keluaran kerjrdengan masukan energi adalah efisiensi.

Marilah kita meninggalkan pisau cukur dan rnelihat ke beberapa rnetode standar untuk inte -

gral numerik. Kita asumsikan bahwa seluruh data berada dalam bentuk sebaran. Dengan kata lain.

walaupun data aslinya berupa data kontinu, kita akan memperlakukannya sebagai contoh d.ttrContoh data yang dihasilkan melalui urut-urutan data sebaran. Bukalah buku kerja bemant"

INTEGRATED-101 dan pelajarilah rumus-rumus yang Anda baca di dalamnya.

78 Ee!-! prferyns

p:.1:-..;l::rltq,

ffQ{1,,, ,,',)l

S'r.il::': :r: : ;)r

::::,,\'.,,,\

Gambar 5-9. Diagram PV dari sebuah siklus mesin. Kerja yang dikeluarkan (Work Out) + Panas yang dikeluarkan(Heat Out) = Masukan Energi (Energy /npuf) berdasarkan hukum pertama termodinamika. Efisiensi adalah[Kerja yang dikeluarkan]/[Masukan Energi]. Area di bawah kurva dapat ditentukan dengan metode integralnumerik atau analog.

Metode persegi panjang

Cara mudah untuk mengestimasi integral ^1 sebagai penjumlahan dari area-area lajur persegi panjangl Ar seperti di Gambar 5-7 adalah,

)';Ar,t1

r=>

Bila perubahan Ar adalah konstan, maka perubahan tersebutpenjumlahan aljabar (sum). Contoh sederhana yang menggunakan

t1 = 0,lI :-i = 0,1(0,22 + 0,36 + 0,46 + 0.65 * 0.66).

r5-1r

dapat difaktorkan keluar darisebuah penjumlahan 0, I adalah,

(s-4)

Bila urutan data memiliki perubahan yang cepat maka Anda dapat menggunakan Ar yang lebihkecil. Pada saat perubahannya lamban. Anda dapat men-ugunakan Ar l ang besar. Ini dinamakanuktrran loncutut yang adaptif. Tentu saja. jika Ar bervariasi sehingga tidak clapat difaktorkanke luar dari penjumlahan maka Anda harus menggunakan Persamaan (5-3 ). Pada saat data eksperimendikumpulkan dengan interval yang biasa, Anda dapat menurunkan ukuran loncatan dengan melaku-kan interpolasi di antara titik-titik data.

Gambar 5-10 menunjukkan tampilan utama buku kerja INTEGRAIION-101. Buku kerja inimemuat tiga metode integrasi numerik dan membandingkan ketiganya dengan hasil eksak darikrlkulasi analitik.

Seperti vang Anda duga, keakuratan membaik sesuai dengan kenaikan n dan penurunan Ar,ietripi perse-li panjang yang berhingga tidak dapat mencocokkan kurva begitu dekat kecuali lebarnya..-t rh kecil diiripada perubahan yang berhubungan dengan kurva. Lihat Gambar 5-12 dan 5-13.

Buku kerja ini juga memperlihatkan masalah yang timbul atas metode persegi panjang. Anda:!'::J ltt.mutu:kan apakah akan memilih lajur persegi panjang sisi kiri atau sisi kanan. LihatGr:l.r.:i -<- 1 I Jan 5- 12.

Metode trapesium\tetode :erlerhana dari intesral numerik biasanya lebih akurat daripada metode persegi panjangtetapi kurang akurlt dibandingkan kaidah Simpson.

5.2 lnteqral

., . .:r1 ,, - -,-* ,. :i-:l!!-{.r"1,8:FlLIF,17t.qraic,DrirGI i iltrrttari*u-igt.fis ,-lrs,.irr:,:nIfiliiliiili"i'i',: ri*,:ilrrer.ririr| 2 Lhapter 5 , Rectarrqylar .rrrrl Tr;lpezoirlal Metllorls

Trau*z'5ee E,luotion i5-S)4

567

{1

Itnl!1f,

t31,{

I:1

16

iilljlfi

fi10.1 il.s044:78.2 i_t.Er8731

fi.3 t1.i4ctfi18

U ,l tt 5IB3;fi.5 fi.8fi65:10.6 il.fi48P,1:n.I 11.{36586

0 * fi 44Bt2S0.9 [ 4l]657

1 [.36lfir*

tll fi$.SSU4S3; i].*rfl'1837fi.rfi1er3t r:,srt8zlt[.n74[616 n.nI4i]Sl8

U Ut},'U.]J

B.D6t*531e ffi.{s*:130.fl4965S5U.1.14S339

r1.1140657

0

u iih4l53Ju.0321206

rl.rl!0{8:7

r r:ia*nrn0 867432 B.B6tr3:

u.{sii6s:1 t] i1E0$531

n 0f;4i:812 [.1]54fi*12l:l r{srffii 0 n{i}64*5n.044932*' 0.tl{49t29[ il40651 D n,lffi5l

0.t13678r9 0 rl1*3!4

0.su1nd13 0.6:2647:n 63?12t16 0.53t1:fS

il

. ] L::1"} l, li 5l.lfill1gil j1 S166n1 n nnlltgdLefi Rect Ri{lht Rect tr}t)*x

Gambar 5-10. lntegral numerik untuk persegi panjang kiri dan kanan, serta trapesium.

exp(-x), Left Rectangular

o.7

Gambar 5-11. lntegral persegi panjang kiri melakukan estimasi yang berlebih terhadap nilai integral untukfungsi ini. Amatilah bahwa penurunan kesalahannya berupa penurunan kemiringan kurva.

Metode trapesium mengestimasi integral / sebagai jumlah area lajur trapesium. Dengan katalain, lajur-lajur vertikal terbentuk dengan menghubungkan nilai .-vi yang berdekatan dengan gari.lurus. Kaidah trapesium dapat dinyatakan sebagd,

I rr I

/= -:.(-\,+.\',,r)( .rr,r --\'r) r-<-i2; '',

dengan besar pertambahan adalah rr*l - r, = Axi. Jika titik-titik data senantiasa memiliki i"r-.".maka pertambahannya konstan, dan ini dapat dikeluarkan dari penjumlahan. seperti sehelu:-,: . -

0.90.80

_ Bab 5: Diferensial dan lntegral

exp(-x), Right Rectangular

0 0 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Gambar 5-12. lntegral persegi panjang kanan melakukan estimasi di bawah nilai integral untuk fungsi eksponensialyang menurun. Perhatikan pula parabola di Gambar 5-7.

Amatilah bagaimana Persamaan (5-5) dapat cliimplementasikan ke dalam buku kerja INTEGRA-TION-101. di Gambar 5-10.

Perhatikan bahwa penyederhanaan ),ans utanra dalam metode trapesium adalah untuk data-

data yang senantiasa berjarak. Dengan meng-uunakan data lang sama dengan yang kita gunakan

pada metode persegi panjang, kita sekarang memiliki.

I

I = ; r 0.1[(0,22 + 0,36) + (0,36 + 0.-{6) + 10.-16 + 0.65) + (0,65 - 0,66)].

Ini akan disederhanakan rnenjadi,

Mungkin mengejutkan bahwa metode trapesium itu seperti metode persegi panjang, kecuali bilaAnda hanya menggunakan sebagian titik data pertama dan data teraikhir untuk metode trapesium.

\{odiflkasi sederhana ini sering menghasilkan suatu pertambahan besar di sisi keakuratannya.

Bandingkanlah sei-sel di baris 18 pada Gambar 5-10.

Dalarn contoh eksponensial yang menurun, Anda dapat nielihat bahwa persegi panjang kirinrelakukan estimasi yang berlebih dan persegi panjang kanan rnelakukan estirnasi di bawah nilaiintegralnl'a. Bagaimana cara mendapatkan estimasi yang terbaik'l

.\pabila salah satu metode begitu berlebihan dan metode lainnya kekurangan, Anda dapat

nrencrrba nrengambil nilai rata-ratanya. Lihatlah ke baris l7 dan l8 di Gambar 5-10. Anda akan

nrenemukan bahu,a nilai rata-rata antal'a persegi panjang kiri dan kanan akan menghasilkan rnetode

rrrperiunr. Jika Anda memikirkannya sejenak, Anda akan menemukan bahwa inilah yang Anda

inginkan Be_sinilah cara kerja rnetode trapesiuml

Kaidah 1/3 Simpson

Kaidah Sinrpson beeitu sederhana dan cukup akurat. Kaidah l/3 menggunakan polinomial orde-

r = o,r[]ro,z2; + 0,36 + 0,46 + 0.65 - l,u.uu,l

0

5.2 lnteqral

kedua (kuadrat atau parabola) melalui tiga titik yang berdekatan, dengan jarak .rni.:. :: f. ..---sama. Integral 1 dapat didekati sebagai,

1ltI = 1 It l, * 4)i.r + )i,2 )Ar. a -

J r=1.-1.5.

Pada saat Ar bernilai konstan, maka Ar dapat dikeluarkan dari penjumlahan dan digunakafl .itr;_r:.pengali tunggal setelah operasi penjumlahan, sebagaimana telah dijelaskan sebelumnva. Juir:.,,.-

lajur adalah genap dengan index I merupakan bilangan bulat ganjil. Persamaan (5-6) dapat dituli.k;rmenjadi bentuk yang lebih baik untuk keperluan penggunaan di lembar pengolah angka. ,\rnatilr:bagaimana persamaan ini diimplementasikan di dalam buku kerja INTEGRAIION.

b-n,= , ,r'o +41', + 2y,+4yr-t2y-,*...*4y,,_, *y,). ( 5-6r,

Di dalam Persamaan (5-6a), konstanta a dan b masing-masing adalah limit awal dan akhir, dan nadalah jumlah lajur vertikalnya.

Kaidah 3/8 SimpsonKaidah 3/8 Simpson memiliki kemampuan untuk memberikan hasil yang lebih baik, narnun dibeberapa kasus justru tidak lebih baik, atau bahkan lebih buruk daripada kaidah l/3. Anda mungkindapat melakukan yang lebih baik dengan menggunakan pertambahan yang kecil di kaidah l/3.

Kaidah 3/8 menggunakan polinomial orde-tiga (kubik) melalui empat titik yang berdekatandengan jarak antara titik yang sama. Jika jumlah titik data adalah n, maka integral 1 dapat dibuatsebagai,

1 ri3

6 i=t,+.r. .

=ii:-lr il-ll:;'el

(5-l t

tHTt6FATrCr|t.XtS

IJ :I:JKComparison of Rectangular. Trapeaair{al. and $ilnps*n'* 1J3 Rule

n $ugi b* ar ev*n pis{rYe trlElal

6Ig

1G

i11

:21t

i616

!Il6

B.1,1,

?2,23

14.,)\?6.

2$

299i:)

B t$ J.BCDt$l 0.rr)m(BDt ln n.904637 o{]gndffi7(.:{ Il Blgi?31 0 ffi18731{lB 07?tliEjg BtgrlFlBnrn t.rro:z: n*:lo.::co.rtr: B.ro6g::t o m(l;itr

0lB 0.4s05s5 B fidffisB5crm' o,td93x orlig:lzgo ss' c anoeril [ [rmaru't c,r:, 0 :eitru rj tr:elstt1 l(r C.r332rl1 0033:B7r'r.i0 rJ3urlF! Ll03{:11194

1 3l 0 27ii552 D CA725::r dB c.:d6597 BD:i0557'r F'i] C?2313:r fl.0?:t1301.61 0.201657 rl Ctnl!a97

l:r[ c]i82684 0 Dl61$8,1'r.Hl il.1E5is9 0R]652951.5r1 D 149i69 D0id9$192 D0 $ 135115

*8167?1 , rl.B545!q21

ft7dil81B, t] Rg67lf,8$6:t11.]:ft.0446ffit-lonorE:t ,n tr8lfi7r:aB5cB612 (l B3658r.{oasm6-g ru.E66it l;r:]4n5r]?!: D 829!55:t,rool:o' o aelzmltgrg:q rr [ias:e:

il.,133211 ,0.0.{43628c{13.11194 0ll3l0tgri0.02725-?n {-r 138:76il.r:46597 0.0tE4SAfi .. J7:3] -.rn {.1 mFi50 7

0.cr2t1$s/ 0.813dt9$0.81 63t84 , 0.tr241578t alss:w: o ut tnlole.trld?569 0.01rJ9425

o.BM7}i6s'o.og{r1r""

3 m0€3rt.c61*731iJ.074tB1t

I_mr$20n ffij16531

I D54SB1?

1.0499535, 0,14!3293 0406570i Ds7Bl8

I Bi01 t941.D2"t1112

,.02465S1i 0.:r3 r 30

I Dxl1Bg;

'l0rB:69,,i nlEsTqq

t.*ta*as,0D51-15

EXPI-Xl

1.:80

1.i:D!l

^ 0.880jL il t8tl

!.tt0

0.2{:0

B.il00r.l 'r861d,1 14t21t 1't t- t65]15: 0 a546rri2

: . " 0i64iE4t JE6,tt64? 13646tdi0.s6466.1iI'i l'iliJ.'lrT r; .i;'..1r. f ; l l,r ; jl i, -:.i-i'..,I1 :1'jr.iiijil,l_--_--ffi

|. r l ..............*..l.._..........J

Gambar 5-13. Buku kerja ini menghitung integral eksponensial menurun dengan bantuan empa: -:::,::kemudian membandingkan hasilnya dengan kalkulasi analitis eksak.

Bab 5: Diferensial dan lnteqral

a1!l

28

29

30

31

*t fffirurlt f,. ft*r?r*,rs -4 *1fiS*ufi "*, '",'*, *t *l i ,*, l

il Ilr)..t.j1,./9!L!'till ;

LrtReutantular

Iightft**tanqular

1r*t:ezoi,JalSim*x*n

Gambar 5-14. Perbandingan hasil empat metode integral numerik dengan hasil yang eksak. Perhatikan peng-

gunaan catatan sel (Comment) di sel "EXACT" dan sel "Simpson".

Merode ini tidak ditunjukkan di dalam buku kerja INTEGRATION dan memang sengaja tidak

diberikan sehingga Anda bisa lebih menikmati menyelesaikan sebuah permasalahan sendiri. Anda

dapat belajar lebih banyak dengan mengerjakannya di buku kerja, sama seperti ketika Anda

mempelajari sebuah bahasan mengenai mesin mobil.

Contoh analitisMarilah kita menghitung sebuah integral untuk mengingatkan kembali mengenai hubungan antara

metode pendekatan numerik dengan metode analitis di kalkulus. Di dalam buku kerla INTEGRA-TION-101, Anda dapat melihat tampilan Gambar -5-lzl yang mernperlihatkan perbandingan dari

tiga hasil numerik dan hasil eksak. Nilai eksak dari integral adalah.

r=fexp(-x)dr (s-8)

Persamaan tersebut merupakan sebuah integral tertentu tingkat dasar dan dapat dievaluasi sebagai,

n.silB$ls4, l].*?:'rsl$tl 8646047 8.fi6,16647

, = :exp(-r)lf = I [.*nf-r) - exp(o)].

7 = ]1{.*n{-l) - 1l = 1 - exp(-l) = 0,6321206...

il ns53fi5: il fi6{685:0.86466.{7 0.fifi4$647

(s-e)

(s- 10)

Nilai yang diberikan di Persamaan (5-10) digunakan di baris 17 dari buku kerja INTEGRATION-10i. Ini pun ditunjukkan di Gambar 5-10.

Untuk baris 28 di Gambar 5-13 (buku kerja INTEGRATION). kita hanya perlu mengubah

limit integralnya untuk mendapatkan hasil terhadap x = 0 hingga ,r = 2:

I = +exp(-x) ;fr = _+ [exp(-2) - exp(O)] = 0,8646641.. (s- 1 1)

Hasil-hasil analitis ini digunakan di dalam Gambar -5-10, 5-13. dan 5-1,1 untuk nilai yang "eksak".

Bu.is dari logaritma natural e adalah bilangan yang transenden (bilangan yang tidak begitu jelas)

.ehingga kita tidak bisa mendapatkan hasil eksak yang sempuma bahkan ketika kita menggunakan

x.ilkulus. Pada tahun 2002, nilai e dihitung untuk lebih daripada t010 digit desimal. Ini biasanya.iJ:h cukup kecuali untuk mereka-mereka yang meminta lebih.

Bll;rngan rransenden favorit kita, r, memiliki daya tarik mistik bagi orang-orang selama

:b-,n iahun dan bilangan ini telah mengalami perhitungan jumlah desimal yang lebih banyak

r.:inrtr.ins t,. Film tlksi ilmiah pemenang penghargaan, Pr, yang ditulis dan disutradarai oleh

D;:ren \r,rntri.kr. tersedia di www.Amazon.com.

5.3 Movino averaoe

5.3 Moving Average

Apakah Moving Average itu?Moving average adalah suatu bentuk integral sekumpulan data atas sebagian dari kumpulan tr'i-r'r -..biasanya dalam waktu yang singkat. Bentuk standar integral ini memiliki satu buah nilai ren"-.hasil akhir, namun moving average menghasilkan kumpulan data baru sebagai hasil akhirnr,

Apa yang dilakukan Moving Average?Moving average memodifikasi kumpulan data asli, bertindak seperti filter elektronika lrekucn.rrendah, karena menghilangkan frekuensi tinggi dari data as1i. Dengan kata lain, moving o\ertlr'merupakan sebuah proses pemulusan yang membantu meminimalkan perubahan cepat. Sisi buruknr.'adalah Anda mungkin akan kehilangan sesuatu yang penting demi mendapatkan hasil yang mulus

Termasuk pula jeda waktu keluaran atau perubahan fase pada saat memroses data periodik. Hal-hal seperti ini akan menjadi jelas pada saat Anda menggunakan buku kerja.

Moving average di dalam EXCEL merupakan sebuah tipe khusus yang mencoba memperkirakannilai dari titik{itik data berdasarkan nilai rata-rata di beberapa titik data awal yang sama sebelumnl a.

(Berhati-hatilah dengan segala sesuatu yang berkenaan dengan memperkirakan masa yang akart

datang). Di bagian akhir, kita akan membahas mengenai moving average yang biasa dipakai untukmemuluskan dengan cara mengaturnya tanpa membuat perkiraan.

Siapa yang membutuhkan Moving Average?Mungkin Anda menyadari bahwa dunia itu sesungguhnya penuh dengan gangguan, merupakantempat yang berantakan, dan mengeluarkan data-data yang penuh gangguan dan berantakan (noisr').

Cobalah membayangkan data yang mengganggu itu sebagai sebuah ilmu dan seni. Seluruh insinyurdan ilmuwan membutuhkan bantuan untuk mengambil informasi dari data yang mengganggu tersebut.

Orang lain juga menggunakan moving average. Di Internet Anda dapat melihat movingaverage dalam bentuk diagram harga saham, harga kopi, dan banyak lagi.

Fasilitas analisis moving average di EXCEL berada di dalam Analysis ToolPak. Movingaverage adalah contoh yang baik untuk pemakaian sederhana aritmetika dasar di EXCEL. Kliklah

[Tools][Data Analysis] dan Anda akan melihat kotak dialog Data Analysis seperti di Gambar 5-15.

Sangatlah mudah membuat tool moving average untuk keperluan Anda sendiri, namun EXCELmengikutsertakan beberapa fasilitas lainnya yang lebih mudah digunakan.

Seperti telah dikatakan sebelumnya, moving average muncul berdasarkan nilai rata-rata data

di titik-titik tertentu di bagian awal data. Moving average menyediakan informasi mengenai ke-

cenderungan atas suatu nilai rata-rata sederhana dari seluruh rekaman data yang akan "disapu".

karena nilai rata-rata sederhana ini berupa sebuah bilangan tunggal.Anda dapat menggunakan moving average untuk memperkecil gangguan dalam data, ntent-

perkirakan penjualan, inventori, maupun bentuk-bentuk kecenderungan yang lain. Lihatlah ke

Bagian 8.8 untuk rumus yang digunakannya. Klik Moving Average di dalam kotak dialog Data

Analysis dan Anda akan melihat sesuatu seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 5-16.

Kotak dialog Moving Average

lnput RangeMasukkan referensi sel untuk range data yang ingin Anda analisis. Range harus terdiri i"::

kolom tunggal yang memuat empat atau lebih sel data.

Labels in First RowPilihlah jika baris pertama input range Anda memuat label. Hilangkan tartrlti ,, i.r.':

:, Bab 5: Diferensial dan lntegral

Gambar 5-15. Kotak dialog Data Analysis di dalam menu [Tools][Data Analysis]. Klik OK untuk memilih MovingAverage dan melihat tampilan di Gambar 5-16.

inpul'"''

lnFxt fton$*r

il Lab*ls in First R.or,'{

Inleru*l:

Oulput oF'tions -

&utput Rang*r I$c$rr$c$es

Click here tochangerange

l3

htra

JV gns* sutput

Gambar 5-16. Kotak dialog Moving Average dengan Chart Output dan Standard Errors dalam kondisi terpilih.Masukkan range der,gan mengetikkannya di dalam kotak atau dengan mengklik lokasi munculnya.

Do.r) bila input range Anda tidak memiliki label; EXCEL rnenyediakan label data yang cocok

untuk clutput tabel.

lnterval\Ia:ukkan juntlah bilangan yang akarr Anda ikutsertakan ke dalarn moving average. Nilai

inrerral aualnva adalah 3.

Output Range\lu.ukkan ref'erensi untuk sel di bagian kiri atas tabel hasil. Bila Anda rnemberi tanda cek

unruk Srendrrrd Errors. maka EXCEL akan menghadirkan tabel hasil dua-kolom dengan nilai

&nalysis Tack

Rankand Fercentil*

5amplingl-T*st: Pair*d Ttrrr $ampl* inr" l{**nsb-lestr Two-Sanrpl*,0,ssuming fqual Varianrest-Tesh Trvr-5ampl* *ssuming Unequal V*riarrces?-T*str Trr* Sampl* L:r lvlrans

5.3 Moving average

standard error di kolom kanan. Bila terdapat rekaman data yang ticlak mencukupi untuk rn3l..-. --peramalan atau perhitungan kesalahan standar, EXCEL memunculkan nilai salah +\i.\.

Output range harus berada di dalam lembar yang sama dengan data yang digunakan di i.:.:.:input range, sehingga pilihan New Worksheet Ply dan New Workbook tidak tersedia.

Chart OutputPilihlah ini untuk menghasilkan sebuah histogram yang menyatu dengan tabei hasil.

Standard ErrorsPilihlah ini jika Anda ingin menyertakan sebuah kolom yang memuat nilai standar eror kr.

dalam tabel hasil. Buanglah tanda ceknya bila Anda menginginkan kolom tunggal untuk tabel hasiltanpa nilai standar error.

Untuk informasi lebih lanjut mengenai pilihan-pilihan di kotak dialog Moving Average.kunjungilah menu Help.

Mari kita terapkan moving average di EXCEL untuk sebuah sinyal yang terdiri dari pulsasegitiga dan kotak. Pulsa segitiga berubah secara cepat (memiliki bandwidth yang lebih keciltketimbang pulsa kotak. Hasilnya ditunjukkan oleh Gambar 5-17 untuk proses 2 titik dan 3 titik.Perhatikan bahwa distorsinya bertambah pada saat dimuluskan.

Selanjutnya, mari kita menerapkannya terhadap sebuah segmen di gelombang sinus, sepertiditunjukkan oleh Gambar 5-18. Segmen sinus ini merupakan sinyal yang relatif sempit ukuranpitanya. Perhatikan fase selanjutnya dari data prakiraan yang relatifterhadap data asli. akan nampakamplitudonya berkurang.

;* . =A\?FP4'iF'H

I,HHt

.....i .i.. S.' { l o1

'dOVE.AVG.XLS? I )rtntar 6

3

2,Poinr ldoving Aver*ga

4.

56

r1

2

3

4

56

76

g

10

11

12't3

14

15

16

17

t01S

30

7

iBt!,':11

.jr:,' tt

i 14.

!

i l!6- l

.19::!,,r\

.

ttr33,

2a

tr:U.J

ff.5

0 #!1A #{IA0 n #\liArlfi0rl 851 n1fi5534ta2 l: 15 0s3 2.5 05I ia'I '15

tl B5

i<?o 1r '1S 21

0U

0U

D

ll

0 r1.3515534

fintl5 0.5s35534

1 0.3535534101n

il 5 0.3535534u u J5555i4tl 0

0atn Poirlt

}-Poilrt H*\rirl( &\is{ aU$

0nta Paint

n00

fiU

0

Gambar 5-17. Moving average menggunakan interval 2 titik dan 3 titik dengan menggunakan fas :asEXCEL. (lni adalah proses prakiraan). Perhatikan Tabel Error di kolom D.

Bab 5: Diferensial dan lntegral

$Point Moving Awrage

Data Point

Gambar 5-18. Fasilitas moving average EXCEL diterapkan ke sinyal uji coba sinus yang mengalami gangguan.

Perubahan fase dan distorsi amplitudo karena pemulusan terlihat dengan jelas.

3-Point Maving Awrage

Gambar 5-19. Diagram ini menggunakan data yang sama dengan Gambar 5-18, namun gangguan acak

ditambahkan di sini. Amatilah upaya pemulusan yang dilakukan oleh moving average, disertai dengan perubahan

fase yang tidak dapat dihindari dan distorsi amplitudo.

Sekarang marilah kita lihat bagaimana tampilan moving average untuk segmen gelombang

..rr--. \itng santa. namun dengan tambahan gangguan yang acak. Gambar 5-19 menunjukkan--,t::ti,:r'i.1 rntrrins average berkurang secara acak dengan mengurangi frekuensi-frekuensi tinggi.

D: Ci:rthrr 5-19. -sangguan acak ditambahkan dengan menggunakan RAND0-0.5. Ini akan

::::._lr.;.:.k.Ln konJi:i acak antara -0,5 dan +0,5. Pada saat Anda melihat lembar kerja dengan

j:r.!i-*r ri.rk di dalantnva. tekanlah Tombol Fungsi F9. Ini akan mengkalkulasi ulang lembar

r;i'; j:i.::tr:h.r.ilkan rekLrntpulan gangguan acak baru. Tekanlah F9 berulang kali kemudian

()3(ou

7 g 11\ \3 15 1?r/19 21 23

Data Point

5.3 Movinq averaqe

amatilah aksi yang dilakukan oleh moving average. Lihatlah Bagian 8.9 untuk mense:;:.-. :--.-dalam mengenai fungsi lembar kerja RANDQ.

O Weighted averagingMoving average di dalam EXCEL merupakan sebuah kasus istimewa clari proses w.eighretl .1i r ri. -'r(merata-ratakan bobot), dengan kondisi bobot data yang setara. Untuk bobot yang setara. nttrrr;t,javerage kadang-kadang dinamakan pulajendela geserkarena kondisinya analog dengan memandlnS.sebagian kecil urutan data melalui penggeseran jendela. Bobot yang setara mengasumsikan bahs.rseluruh titik data memiliki validitas yang sebanding, namun yang seringkali teiadi adalah bagian-bagian penting dari data di awal mengecil pada saat Anda melihatnya kembali, atau berada jriuhdari data yang akan diamati dalam data dua atau tiga dimensi.

Weighted average ditujukan untuk menjawab kenyataan seperti itu dan mengatur nilai bobotsehingga titik data terkait dapat lebih berpengaruh daripada data yang letaknya begitu jauh.Bagaimana agar bobot dapat diatur? Banyak orang bekerja untuk itu dan nama mereka (sepeniBarlett dan Parzen) disertakan ke dalam kumpulan bobot yang mereka temukan. Weighted averagemerupakan sebuah tipe dari filter data yang disebut sebagai respon irnpuls terhingga, karenasebuah bilangan terhingga dari titik-titik data digunakan untuk menghitung titik data yang cliamati.(Kita akan lihat lebih jauh mengenai resput intpul.s di Bab l2). Bentuk umum weighted averagediberikan sebagai,

\'/, = lyl.rl + tt2,r, + l[],r.r +... (s- 12)

dengan,r',, adalah output hasil average yang kontemporer (contemporary), ru, adalah faktor bobot(weight) dan x,, adalah sampel n terakhir dari data.

Marilah kita melihat beberapa contoh sederhana dari Persamaan (5-12) untuk dua titik clanlima titik average di dalam buku kerja SMOOTH-2. Tampilan utama buku kerja ini ditunjukkanoleh Gambar 5-20. Di titik data yang kedua, moving average untuk dua titik yang memiliki bobotsetara adalah,

-lr=0,5r,+0,5-r,Sebuah contoh untuk dua titik weighted average, yang memberikan nilai awal l/3 dari nilaikontemporer yang penting, diberikan sebagai,

-r'r=0,25xr +0,75x,

Lima buah titik moving average yang setara di kelima datanya adalah.

.)-, = 0,2r, + 0,2rr+ 0,2"r., + 0,2,r* + 0,2x-r.

Total penjumlahan dari seluruh bobot harus sama dengan 1, untuk menghindari perubahan-perubahanterhadap sesuatu yang dianggap sebagai "penguatan" (amplifikasi). Dalam bentuk lain, total pen-jumlahan kuadrat-kuadratnya tidak perlu sama dengan 1. Total penjumlahan kuadratnya ini ber-hubungan dengan vorian.

Varian adalah ukuran kemulusan sebuah deret data. Varian biasanya didefinisikan sebagaikuadrat dari standar deviasi (lihat menu Help Excel).

Perbandingan varian VR(ru) adalah ukuran kemulusan yang dihasilkan oleh weight avera-ge.

VR(n'1= (-5-lIrnI ,,'

Perbandingan varian sering pula dinyatakan dalam desibel,

VR,,u@) = l0 logrolVR(n)l , -<- 1l

Eeb s.Q{elg4tql len llt l

c ={$E$3*Dl /+$E$4*016+9E95"01S]/SUM($E$3 $E,5)

" ..c. .."j p- . .

S,ata $moothi: SMOOTH.?.XLS

- :- hapler h3I

3

6

7

nfl wlttl ulfsl ed Avera(IersU\Ieiuht* ll*is* ifuise Arnplitud*

0 0?3su5 u.5

:t011

t1

13

1{15

-4al

-1

tr

IB

-1il18,1S.?0.11 :

2?,IJ

?425:

1 CI [.tr18fi42 t].01884:2 [ 0193578 01935783 fi 0.233:83 0?3338S4 0 il.2'r4$58 11.:14958

5 D fi206113 CI21161i3

E 0 -D.162P, -0 16*'fi

I 0 0.2?6437 0.:26497Lq 0 0.0:ssB2 0.[2sBs:

0 il.183376 t1.1fi3378

rl -n 01476 -CI.03478

0 [,156693 0 158693

n n r:**rt fi.124s710 "0"05s -0.058 I oo75z:rl oor4B5E

-l

t,.028538 fl 0419090.0514t17 0 r:r875/1

0.148536 0 10:5150.213575 0.12tt513[.]18153 0 173338

0 08809 0 13/t148

, 0.0s9s37 [.143631, [ 031 l3 0 102fi3:

t;;- t-^- I

^ )'r-f r( btr- / /

0 [?853S -0.0fiS11

CI.r15't407 n.tl!48310.141q53l] n.1689710 213975 0.:34155ll 218153 8.25245)0 0fi608s 8.117856

t|083937 0 [483't9cr.ll311?9 0.fi2$6930 155:i58 0.1fi8i3

l{lGambar 5-20. Tampilan utama buku kerja SMOOTH-2. Lembar kerja ini memuat beberapa fasilitas bergunayang dideskripsikan melalui teks. Perhatikan varian di baris 9. Perhatikan pula sel-sel yang diberi catatan(Comment), yang ditandai dengan segitiga kecil di pojok kanan atasnya. Letakkan pointer Anda di sepanjangsel yang ditandai untuk membaca keterangannya.

atilu.

V\r(n) = (5- I 4a)

\Iarilah kita melitrat sebuah contoh sederhana dari perbandingan varian untuk dua titik movinga\erage. Untuk moving average dua titik yang rnemiliki bobot setara, perbandingan variannyaadalah.

VR(2) = 0,52 + 0,5r = 0,5

.rilu dalam desibel,YRdu(2) = l0 log,o(0,5) = -3,01 dB.

Sepeni telah dikatakan sebelumnya, kelemahan dari penggunaan moving average adalah data.\jit nrenqalarri distorsi, namun ini adalah harga yan_e harus Anda bayar untuk n.rengurangi gangguan

:,:r. i.io intertelensi sinyal oleh metode ini. Kondisi ini bagaikan seorang dokter yang mengobati

t;.t3in\-r. Tuluun utarnanya adalah mengobati penyakit tanpa membunuh si pasien. Pada saat

.\;rir :n.nrrLrrer data. ingatlah pernyataan yang dikeluarkan oleh Hippocrates (460-377 SM):"Perirrrr. .lrnSan meninrbulkan kerugian."

'o r"s,,[i,,i]

VARIANCE 0.1fi353: n.18466,1 fi 160?08

5"

h,.1

Itlormfilieation is

ar.Jtsmati(. 5ee f orrn{iain cellEl?

a.166632fFress F9) Signal +

Nr:ise

3-Faintrlulnrrinn.&v

avittklLrlai S

,5avilsky-

Salav 7Tirne $irxal Floise-5 CI CI.044437 0044417-n n t"t 1fr?17fi n 1*1?7t;

5.4 Exponential soothinq

Sebelum kita mendalami bukuuntuk mengulas kembali empat tipe

kerja tersebut, marilah kita mengalihkan perhatiilrl re-r3i;

fungsi lembar kerja yang berbeda.

TIPSExcnl menghitung empat tipe varians: VAR, VARA, VARP, dan VARPA

Fungsi lembar kerja VAR. VAR memperkirakan besarnya varians berdasarkan suatu sampel-

Syntax: VAR(bilangan1,bilangan2,...)bilangan1,bilangan2,... adalah I hingga 30 buah pernyataan yang berhubungan dengan suatu

sampel dari sebuah populasi.

VAR mengasumsikan bahwa pernyataan-pemyataannya adalah sebuah sampel dari populasi. Apahila

data Anda mewakili seluruh populasi, maka hitunglah variansnya dengan VARP. Nilai-nilai logika

seperri TRUE (BENAR) dan FALSE (SALAH), dan teks akan diabaikan. Apabila nilai-nilai logika

dan teks tidak ingin diabaikan, pergunakanlah fungsi lembar kerja VARA.VAR menggunakan rumus,

(5- 15 t

n(n - 11

Fungsi lembar kerja VARP. Berbasiskan seluruh populasi, VARP menggunakan rumus,

(- )-nlr; - lI,, I

; \i /--;-

Jacli, VARP dan VAR memberikan hasil yang hampir sama untuk n>>1.

Fungsi lembar kerja VARPA. Fungsi ini mengkombinasikan keistimewaan VARP dan VARA.

VARPA mewakili seluruh populasi. Dengan VARA, nilai-nilai logika TRUE dan FALSE dan teks

akan diikutsertakan.

5.4 Exponential smoothing

Excpr memiliki fasilitas untuk pemulusan eksponen sial (exponential smoothing) di dalam Analysrs

ToolPak. Penggunaan exponential smoothing berbeda dengan penggunaan weighted average (yang

menggunakan sejumlah titik data yang berhingga) karena exponential smoothing menggunakan

seluruh data awal, dengan suatu waktu peluruhan eksponensial yang dapat diubah-ubah. Exponen-

tial smoothing merupakan kasus istimewa untuk kategori respon impttls tak berhingga. Fasilitl.bantu untuk memuluskan eksponensial memerlukan waktu yang singkat untuk bekerja den-san

baik, sehingga proses ini memiliki lebih banyak "waktu untuk belajar". Hal ini ;kan menjadi jela.

pacla saat Anda menggunakan buku kerja EXP-SMOOTH. Fasilitas exponential smoothing di

Excel menggunakan rumus yang terdapat di menu Help Excel.

,,).t,i - (?r,)'

(5-16)

4., = fi, a,-,., l-1- l

Bab 5: Diferelsiai dan lntegral

i;rj;n F,-, adalah nilai prediksi mendatang dan A, adalah nilai prediksi sekarang. Perhatikan

:.:'.'..r lasilitas ini memprediksikan nilai di titik yang akan datang t + l.Di dalam lembar pengolah angka, rumusnya diimplementasikan sebagai,

F,*t = F, + a(A,- F,) (s- r 8)

.ir.nran n adalah faktor kelembaman, A, adalah nilai sekarang yang aktual dan { adalah nilai

pretliksi sekarang. Besaran a menentukan seberapa cepat respon perrosesan data untuk perubahan

plda data utama.Nilai 0,2 hingga 0,3 untuk a merupakan faktor kelembaman (damping) yang dapat diterima.

r\ilai awalnya adalah 0,3). Nilai-nilai ini mengindikasikan bahwa titik data prediksi akan diatur

ketepatannya sekitar 20 hingga 30 persen untuk kesalahan di dalam aliran data utama. Sebuah

konstanta terkecil menghasilkan respon yang cepat, namun ini dapat memunculkan prediksi yang

rak menentu. Sebuah konstanta terbesar dapat memberi hasil dalam waktu respon yang tertinggal

begitu lama dan detail yang melebur.

Exponential smoothing merupakan faktor kelembaman yang sangat sensitif. Anda dapat mem-

yariasikan parametemya dengan sekumpulan data dan mengamati efeknya. Seperti di Moving

,\r,erage, Exponential Smoothing dapat menghasilkan diagram secara otomatis.

Klik [Tools][Data Analysisl[Exponential Smoothing] dan Anda akan melihat kotak dialog

seperti di Gambar 5-21. Gambar 5-22 aclalah tampilan utama buku kerja EXP-SMOOTH; Tabel

5-3 menunjukkan struktur buku kerja ini.pergunakan lembar kerja Anda untuk melakukan eksperimen dengan nilai-nilai faktor

kelembaman yang berbeda, seperti yang telah dipilih di Kotak Dialog pada Gambar 5-21. Alat

bantu Exponential Smoothing secara otomatis akan menulis rumus, menghitung error standar, dan

memetakannya ke diagram. Marilah kita mengikuti bagaimana Excnl mengimplementasikan ex-

ponential smoothing ini. Sel E10 memuat rumus!

=0. B*B9+0 .2*89

Input -'-". '- -- "'

lnput R*ng*:

[pr*pin* fact*r:

l-* Lsbelt

*ulrrul *Ftion$

#,uQuL B*ng*: tr$r$n'$r$r::

l$o$*'*o$

Ir:t',kf

II

lS 5l*nd*rd frr*rs

Gambar $21. (::a< i,a'og Exponential Smoothing dengan tanda cek di pilihan Chart Output dan Standard

Er:r.s I s - -:-: Ra-ge-nya berupa data yang terganggu (lihat Gambar 5-14). Klik ikon di lnput Range dan

O,ltpJt Ra-ge -.'ik renve eksi range baru. Cara lainnya, ketikkan range alamat-alamat sel di kotak-kotak

yang tersec,a ramJn angan lupa untuk membubuhi tanda $.

5.4 Exponential soothinq

;----*-'---- ;"-'l-., *-:::H { t !tY. Y

'.-1

L

3i

Expon*nfial $nro*tiring *ata Analyris Tooltn-t$e-f o.Tl

r Frnr:tir:n Ne F3 to chan

; .$..l7;stt)

,-lg-li1'1 r

i 12

, 13,

i14i15

,lIt/

EXP-ShrOOTH.XrSL.ha0ler il

VARIAI',.ICE

5 Data Foint

0ffB

U

0n0LI

fi.2,{f4040 47?i125

n.6816390 E.{rdI1

f-{--rffi'H'?I

n n4g&tr4

0 104316 *tJ/An.1 1fit129

0 2812$7

-0.ff616fi 0

r.t,lrs: 0

0 431329 r1.197923

a9?1579 0.4231258.613284 t] 6t9936

0U

*{,1/Afr'iJA*vil,*{'l/A

0tl00rl

0. t42833n.?1 6371tr.262857

u t3JJ3

*sJ.,,A *{'l1A #{,'A :t; -D #'J,'A 0 l[,1216 rD' j -0 s{.,A 0.10596 #'j -n *ryug 0.134552 s'j -B 0 0.169'lll L"l 0i;ii-:0 ll 0 01918,3 r] 1s5:5,:0 0 CI06926 0138::-[ 0 t] 0w438 n 212,11 1

0 il -0 ff133 0 l2EEliia074221 il 14?839 rl CI33262 u'i5J-liitr 195782 ll ?741114 0 r525SZ 01496:l0 341539 {,}S21StJ B 3863161 ir.5125rl';

0.314119 0.1s161t

rl1

1

:4

5frIB

IIU11

0.1 0421 6rl.1 1 002?n.?01?6r'

0.24995

.U, I JD6/-[t 06188

-0 1ff55-[ (tdB1

0.2j13$4I-l:t??81'

Gambar 5-22. Tampilan utama buku kerja EXP-SMOOTH. Tampilan ini memuat data tanpa gangguan di kolomB, data terganggu di kolom C dan data + gangguan (nolse) di kolom D. Dua buah faktor kelembaman digunakanterhadap data tanpa gangguan dan data terganggu. Perhatikan varians di baris 4 dan rumus untuk gangguanacak di sel C10. Menekan Tombol Fungsi F9 akan menghasilkan sekumpulan gangguan baru. Rumus yangmembangkitkan gangguan dengan menggunakan fungsi RANDQ ditunjukkan di kotak editor rumus. Rumus$E$2"(RANDQ*'1-0.5) membangkitkan urut-urutan gangguan dengan amplitudo 0,5 dan nilai tengah yang nollngatlah untuk mengikutsertakan tanda kurung kosong pada saat menggunakan fungsi RAND0.

yang mengambil 80% data tanpa gangguan di sel 89 dan menambahkannya hingga ll)', ' *

prakiraan awal data di sel B9. Ini merupakan prakiraan untuk sel E,10.

Fasilitas Exponential Smoothing di ExcEr- secara otomatis rnenghasilkan suatu ke.,,.:--(enor) yang diperkirakan berada di dalam sebuah kolom yang berdekatan (kolom F. H. :.: . -Garnbar 5-14). Sebagai contoh, di dalam sel FlO Anda akan menjumpai runru\.

Tabel 5-3. Struktur buku kerja EXP-SMOOTH.

Se/ /sl se/ lnformasi sel

E2 Amplitudo gangguan Bilangan. Tipikal: 1

B6 Data tanpa gangguan Data dimasukkan olehpengguna

C6 Gangguan acak bernilai tengah nol =$E$2.(RANo0.1-0.5)

D6 Data + gangguan =B6+C6

E4 Data tanpa gangguan yang telah dimuluskan, a = 0.2 Data dimasukkan melaluikolom B

Kolom F Errorstandar, a=0.2 Dibangkitkan secara otomatis

Kolom G Data tanpa gangguan yang telah dimuluskan, a = 0.7 Data dimasukkan melaiuikolom B

Kolom H Errorstandar, a=0.7 Dibangkitkan secara otomatrs

Kolom I Data terganggu yang telah dimuluskan, a = 0.7 Data dimasukkan melaluikolom D

Kolom J Errorstandar, a=0.7 Dibangkitkan secara otomat s

92 Bab 5 Diferensial dan lntegral

Exprnential$mrnthing, a : [.7

-[.5

-1

Gambar 5-23. Sifat integral dari sebuah upaya memuluskan penurunan amplitudo dan perubahan fase gelombangsinus. Perhatikan buntut akhir Forecast setelah gelombang sinus aktual berhenti. Pemulus gelombang mem-butuhkan waktu untuk "mempelajari" dan "melupakan". Pulsa mengalamr kenaikan dan penurunan secaraeksponensial, yang kemudian menjadi semakin buruk dengan tampilan pulsa pendek-pendek. Pulsa terakhiradalah titik tunggal, sebuah "fungsi delta". Fasilitas Exponentral Smoothing melakukan sesuatu seperti menyaringfrekuensi rendah, kecuali untuk sifat Forecast ini.

=SQRT ( SLMXMY2 (87 : B9 ,81 :89 ) / 3 )

yang akan menghitung kesalahan dari prakiraan (sel El0) dengan nilai aktual (sel Bl0). Perhatikan:SUMXMY2(B2:B5,F2:F5) adalah fungsi lembar kerja yang mengembalikan hasil penjumlahandari perbedaan kuadrat nilai-nilai yang berhubungan di dalam dua buah arrar- (lihat menu Helpuntuk fungsi ini). Akar kuadrat dari perbedaan kuadrat, rata-ratanya sebany'ak 3, menghasilkankesalahan di kuadrat tengah.

Gambar 5-23 menunjukkan sebuah contoh data tanpa gangguan yang sudah dimuluskan, a =0.7. Sinyal aslinya akan mengalami distorsi. Distorsi-distorsi ini berupa amplitudo tersendiri dan

fase eror yang dihasilkan dari filter frekuensi rendah. Gambar 5-2,1 menunjukkan sinyal tanpa

Sangguan dan sinyal serupa yang mendapatkan gangguan. Gambar 5-2-5 menunjukkan pemulusantr'rhrrdap sinyal yang terganggu. Perhatikan reduksi varian yang diakibatkan oleh pemulusan ini di.1-rl.rm lembar kerja Anda.

O Tipe-tipe integrator khusus.\o, i'eberlpa penggunaan integrator di dalam software maupun hardware. Contoh, beberapapirl-ltri1lr,,1 .i:Iem menssunakan integral masukan atau keluaran sebagai pengontrol sinyal. Tidak.eper: :"'iirtr. prediksi exponential smoothing di Excrr-, sekarang akan ditunjukkan bagaimana

r1 v* 85 32 39 106 113 1?n 1

nata F0int

5.4 Exoonential soothino

6rta aild Ncire

Saln Ptillr

Gambar 5-24. Gambar inr menggunakan segmen gelombang sinus dan kumpulan pulsa yang sama denganGambar 5-23, namun ditambahkan gangguan ke dalamnya. Data terganggu itu diletakkan di atas data tanpagangguan. Tidak ada proses pemulusan yang dilakukan. Tekan Tombol Fungsi F9 untuk mendapatkan gangguanbaru. Buku kerja EXP-SMOOTH menunjukkan data dan gangguan yang sama pada Gambar 5-23 dan 5-24dengan exponential smoothing, a = 0,7. Baris 4 buku kerja ini memperlihatkan beberapa varians.

membuat sebuah filter untuk menghasilkan keluaran )', yang sewaktu (bukan sebagai prediktor)

berbasis rata-rata eksponensial dari masukan terkini.r, dan keluaran sebelumnya -)',_1. Di sini. A-=

l/a (a adalah faktor kelembaman untuk pemulusan eksponensial prediktif di Excol).

4 q.5

(-5-l9r

Pada saat k bernilai kecil, perata-rata eksponensial dapat melacak perubahan sinyal lebih cepltdaripada algoritma rata-rata persegi panjang. Setelah perata-rata eksponensial bekerja, untuk sejumlah

sampel ,? yang iauh lebih besar daripada k, perbandingan variannya diberikan sebagai,

yR(k) untuk n >> k. ( 5-l( |

Ini merupakan filter kecil yang menarik karena lebih sederhana untuk diimplementasikan di drh::rlembar pengolah angka daripada perata-rata bobot dan lantaran telah rnemiliki rr'nAtrr ltt'it;...'sebelum beroperasi secara efektif. Perata-rata eksponensial di Gambar (5-19) iuga S&ng0t sederh;i:untuk diimplementasikan ke hardware karena membutuhkan hanya satu penampungan.

Gambar -5-25 menunjukkan hasil penerapan perata-rata eksponensial untuk /r = ,5. Ini rtlil.ii:r. .-

filter yang baik, artinya tidak akan ada keluaran sebelum masukan diberikan. namun kelu"-r.:.: .. -tetap ada setelah masukan dihentikan. Kita akan mernpelajari filter-filter dari perspektrr FF-i -Bab 12.

r,=1-r,-(,-i)r'.

I

2k-l

Bab 5: Diferensial dan lnteoral

llR Exponentlal Averager, k e 5

Gambar 5-25. Perata-rata eksponensial diterapkan terhadap sebuah pulsa yang terganggu, untuk k = 5. Garlsputus-putus: pulsa yang terganggu. Garis bernoktah: pulsa terganggu yang telah dimuluskan. Garls biasa: pulsatanpa gangguan.

Fun-gsi-tlnosi Savitsky-Golay diturunkan untuk memberikan prose<lur error terhadap least-mean-'',lurre (LMS) dalam menganalisis spektrum, namun fungsi-fungsi tersebut dapat digunakan untuk:3::lrk.rian umum. Walaupun fungsi-fungsi ini dulunya hanya digunakan cli bidang kimia, ternyata':'l:ni dicunakan pula di dalam software analisis data-data komersial dan sering disertakan kej;.;:r: cerunSkat-perangkat elektronika. Tabel 5-4 memperbandingkan 5-titik dan 7-titik untukiurs.r-;un,g.r hobot-setara (equal-weight) dan Savitsky-Golay (bobot-bobot adalah berkisar hinggai cnSr: Jeiintal r. Gambar 5-26 dan 5-27 menunjukkan hasilnya.

q fifiE -"

.:E<l]4

Data Fr}int

Tabel 5-4. Stitik dan Ttitik untuk fungsi-fungsi equal-weight dan Savitsky-Golay

Equal-weight5-titik

Savitsky-Golay5-titik

Equal-weight7-titik

Savitsky-Golay7-titik

0.2 -0.0857 0.1429 -0.095202 o.3429 0.1429 0.1429

o2 0.4856 0.1429 0.2857

0.2 0.3429 0.1429 0.3332

o2 -0.0857 0.1429 0.2857

o.1429 0.1429

0.1429 -0.0952

5.5 Fungsi-fungsi Savitsky-Golay

5.5 Funosi-funqsi savitskv-qolav

Savitsky-Golay 5 Polnt

-i'l )i3i

Time

Gambar 5-26. Fungsi Savitsky-Golay Stitik memuluskan pulsa terganggu. Perhatikan bentuk paku yang berada

dekat ujung-ujung pulsa. Bentuk paku rni bagaikan artifak dari fungsi yang mulus. Pulsa asli yang tanpa

gangguan juga dipedihatkan.

savitsky.Golay 5 Psint

Time

Gambar 5-27. Fungsi Stitik Savitsky Golay diterapkan ke pulsa tanpa gangguan. Amatilah paku-par- :--:-

lonjakan-lonjakan di ujung-ujung pulsa, hal itu terjadi karena proses pendiferensialan sifat fungsi rn ::- :negatif di ujung-ujungnya). Oleh karena itu, fungsi{ungsi ini menyediakan estimasi least-mean'sc-.'. ----'sinyal yang terganggu.

{r.l

1:f]r0R

96 EeqlQil,eErcreLle! !!!esre!

TIPS''t. t.^ilterr" nterupakan bagian dari kumpulan data yang berada jauh dari kondisi normal dani.:.idns oleh kebanyakan operasi pemulusan. Berhati-hatilah pada saat memuluskan clata-data:i.perinten. Bisa saja Anda gagal menerima hadiah Nobel karenanya. Terlalu banyak melakukanpcmulusan juga berisiko karena akan mengabaikan outliers. Outliers mungkin saja memuatintornrasi yang penting.

Pada tahun 1974 sebuah komunitas dari Stanfbrd LinearAccelerator Center and LawrenceBerkeley Laboratory (SLAC-LBL) memimpin sebuah studi rutin terhadap pemusnahan positron-elektron sebagai fungsi energi. Energi total ditambahkan secara bertahap sebesar 200 MeV danpenampangnya diukur untuk setiap pertambahan itu. Penampang tersebut sesungguhnya bernilaikonstan kecuali untuk suatu outlier yang mendekati 3,1 GeV yang memiliki lebih daripada duastandar deviasi terhadap nilai tengahnya.

Probabilitas untuk menemukan sesuatu yang memiliki lebih daripada dua standar deviasi atasnilai tengahnya adalah kurang daripada 5 persen. Beberapa orang, dan di banyak proses memuluskandata. akan mengabaikan atau menghapus titik data yang seperti itu. Komunitas di SLAC-LBLtidak mengabaikan hal semacam ini. Pengukuran yang hati-hati memperlihatkan bahwa merekaberhasil menemukan partikel baru yang saat ini diketahui beracia pada kondisi antara quark danantiquark. Pada tahun 1976 hadiah Nobel fisika diberikan kepada Burton Richter dan Samuel ChaoChung Ting atas upayanya ini.

5.6 Menggunakan Trendline untuk data yang terganggu

Analisis terhadap data yang terganggu adalah tugas umum yang dihadapi sehari-hari oleh parainsinyur, ilmuwan maupun orang lain. Ada sejumlah besar ilmu pengetahuan yang membahasn.rengenai ekstraksi informasi dari data yang terganggu dan mayoritas memuat matematika tingkatlanjutan. Jika Anda memiliki sekumpulan data terganggu yang dipercayai muncul dari sebuahproses tertentu, maka Anda dapat mencoba menggunakan pilihan Trendline EXCEL di dalamChart Wizard untuk melakukan estimasi terhadap beberapa informasi. Hal ini terasa cepat, muclahdan begitu produktif. Silakan klik menu Chart kemudian klik di bagian Add Trendline.

Marilah kita memperagakan penggunaan Trendline. Anggaplah Anda memiliki sekumpulandata terganggu yang tunggal dan Anda percaya bahwa ada satu proses tertentu yang menghasilkangangguan. Marilah kita coba memahaminya berdasarkan sesuatu yang sederhana, seperti sistemnrekanik atau elektrik yang kembali ke kondisi kesetimbangan setelah terjadinya gangguan. Inihi.a dicontohkan sebagai sebuah peredam kejut pada mobil atau sebuah ran-gkaian elektronikaJenSan peluruhan karakteristiknya yang eksponensial.

L'nttrk proses peluruhan karakteristik secara eksponensial, kita akan menentukan waktu sebuah'1'r!'n] Irekallik untuk turun menjadi lle dari pergeseran awalnya atau tegangan yang melewati13'r'trrr di dalam rangkaian RC untuk turun menjadi lle dari nilai aualnva. Di sini, e adalah basisddn logirritnla natural, 2,1 1828... Waktu karakteristik ini dinamakan konstontct waktu t (sebuahhurui \.unlni rang dibaca tau). Pada saat gangguan muncul. cukup sulit untuk mengukur konstantari;ltu atrLt rtlenentuk:rn sebuah nilai yang dapat berguna untuk menentukan batasan suatu integraldi barr,h kurr anr l. \lensambit nilai diferensialnya hanya memperburuk keadaan karena difereniialjustru mensha:ilkan oansguan. Moving average. exponential smoothing. maupun proses-prosessejenis lainnre tidak begitu membantu karena terjadi pertukaran fase dan distorsi amplitudo yangtidak dapat dipirahkan.

5.6 Menggunakan trendltne untuk data vanq terqanqqu

t t': -s --, a.-i ^.

4 tnitiatvatue[-----Tl5 Time Constantl 0-5]6 ' Noise AmplituO.l l?

I Chapter 5

T'ME

, 014..756147 -0.38948s 3 4.52418V -0.621060 3 4.30354 0.980216

, a.4 4.0s3654 -0.77450.5 3.894004 0.0691770 6 3.704091 -0 18%7a.7 3.53344 -0.33429

r I \r'rain { cturtr I c},arr: / sneerS /

Press Function Key FB to change nois* sequenceManual calculation is {tl'.j

7

-qI10

11.t .)

t314

15

ibrl li

5:89:14762

4.366671 1

3.S031 25S5.28376623.3191549

3.9631813.51462393.1 891 541

lrl

Gambar 5-28. Tampilan utama buku kerja TREND-INTEGRAL. Lihatlah Bagian 8.9 untuk informasi mengenaifungsi lembar kerja RAND$.

Trendline with Noisy Data

y = $9-0'6361x

R2 = 0.8336

\-..--,li

nt t.t

TimB {61

Gambar 5-29. Garis bernoktah: data terganggu. Gars tprs: data asli yang tanpa gangguan. Garis tebaestimasi trendline. Persamaan untuk trendline pun ditunjukkan, bersama dengan nilai R2 (layak digunakanTekan Tombol Fungsi F9 untuk membangkitkan gangguan baru, trendline baru berikut persamaannya. Perguna-kanlah persamaan trendline ini untuk melakukan estimasi integral dan turunan melalui kalkulus analitis.

E4

!o.>j

ts -l =i=tiAl,l00'$t$6-0.'${]$ri

i.ABrc,DE.rGi t 'ineuutqtrennl.

uiing riinotine iJ rniasitte ru*isy Data


Di dalam Bab 3 Anda telah mempelajari fasilitas Trendline EXCEL yang memungkinkan\rdu untuk mendapatkan bentuk terbaik atas sebuah kumpulan data melalui beberapa modelrroie!. l aitu linier, eksponensial, polinomial hingga orde keenam. dan hukum power. Programnrrtematika tingkat lanjutan memiliki beberapa model bentuk kurva. Bukalah buku kerja TREND-I\TEGRAL dan marilah kita lihat bagaimana menggunakannya. Gambar -5-28 rnemperlihatkanran.rpilan utamanya dan Gambar 5-29 memperlihatkan hasilnya.

Buku kerja ini menghasilkan sebuah model peluruhan eksponensial data tanpa gangguan

dengan konstanta waktu yang dapat dipilih-pilih. Gangguan ditambahkan menggunakan fungsiRAND0 EXCEL. Fungsi RAND0 menghasilkan bilangan acak antara 0 dan l. lni sesungguhnyarrerupakan pembangkit bilangatr acak-palsu (untuk memuaskan para matematikawan belaka). JikaAnda dapat menemukan sebuah pembangkit bilangan acak yang sempurna maka Anda akan menjadi

orang yang kaya dan terkenal, namun pembangkit tersebut harus dapat digunakan dengan mudah

dan cepat untuk mengeliminasi seluruh masalah kemiskinan dan penyakit menular di dunia.

5.7 Hal-hal yang perlu diingat

Di dalam Sartor Resartus 111, Thomas Carlyle (1795-1881) menulis, "Sebuah kenyataan matematisbahwa melemparkan batu kerikil dari tanganku akan mengubah pusat gravitasi bumi." Kutipantersebut dapat dijumpai dalam situs web Universitas St. Andrew, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/

-history/Quotations/Carlyle. html.Pernyataan Carlyle adalah salah. Pusat gravitasi (sesungguhnya adalah pusat massa) tidak

akan berubah, tetapi distribusi massanya yang berubah. Dengan mengacu ke hukum Newtontentang gerak, hanva gaya eksternal yang dapat memindahkan pusat massa sebuah sistem. Diantara Carlyle dan batu kerikil, hanya ada gaya internal. Hal ini serupa dengan sebuah roketdengan gaya luarnya (lihat Bagian 3.7).

T: Mengapa kita ingin menghitung pusat massa?

J: Lokasi pusat massa begitu penting untuk kinematika dan dinamika karena akan memudahkanpendeskripsian dan analisis. Contoh, kombinasi antara translasi dan rotasi dapat dipisahkannrenjadi dua bagian: translasi pusat massa dan rotasi pusat massa. Selain itu, tabel momenirte rsitt untuk benda-benda umum seperti I-beams dihitung untuk sumbu-sumbu yang melaluil'.r\irt rnassa. Dengan menggunakan teorema tran.sfer sumbu paralel, cukup mudah untuk::::nentukan momen inersia beberapa jenis lain sumbu paralel. Suatu momen inersia bernilai.-.::rr-r!rrr pada saat direferensikan ke sumbu-sumbu yang melalui pusat massa. Pusat massa

i:-. rir'.rt luaran dari suatu area sangat berguna untuk menghitung luas, volume, dan massa-ir-:i.r f.enJu padat vang berputar dengan bantuan teorema Pappus dari Alexandria (lihat:::::::..i l:temet tii basian akhir bab ini).

Pertonyoon yong sering muncul

Tz Apakah vang dimaksttd dengan puscrt ntassci)

J: Pusat massa mewakili lokasi sebuah partikel titik 1'ang massanya sama dengan distribusimassa di seluruh bagian yang berjarak tertentu dari pusat massa. Untuk kondisi kesetimbangandan gerak translasi, pusat massa berlaku seolah-olah seiuruh massa sistem terkonsentrasi dititik tersebut. Pusat massa merupakan gabungan ntotnen pertama distribusi massa. PerhatikanPersamaan (5-26). Pusat massa sebuah objek setara dengan konsep georretri pusat luasan daisuatu area atau volume (lihat ref'erensi Inten.ret di bagian akhir bab ini).


T: Apakah perbedaan antara pusat massa dengan pusat gravitasi'!J: Beberapa orang menggunakan kedua hal yang dapat saling dipertukarkan ini. nuntun :-,:-.dasarnya keduanya berbeda. Pusat ma.ssa tidak bergantung pada rneclan grarirasi tuLitit, ). .

namun lokasi pusat gravitasinya bergantung pada keseragaman medan gravitasi krkal D.dalam medan gravitasi yang seragam kedua pusat itu berada di titik yang sama. Hal ini ak.,nmenjadi jelas pada saat Anda mempelajari torsi dan kesetimbangan statis. Stabilitas gradir'ngravitasi sering digunakan untuk satelit-satelit bumi.

Distribusi dan momenTotal massa M adalah jumlah aljabar seluruh N massa individual m di dalam distribusi,

NM=Zmi.

i=l

Momen distribusi dapat dituliskan dalam bentuk yang seragamsebagai tnomen nol dari distribusi,

N

Mxo =Z*, *,1.i=l

Setiap momen dapat ditulis sebagai:

Mx" = Z*, *i.

Z*, *,(= N '

2*,

(5-l I t

Pertama, massa total dapat ditulis

(5-22 )

r5-71r

(s-24)

t 5-r5 r

Momen yang perlu diingatMomen pertdma dari distribusi massa satu-dimensi akan menentukan pusat massa yang mengacuke sistem koordinat sembarans:

M i =\m, x,.

Momen pertama merupakan nilai rata-rata sederhana dari seluruh massa dikalikan dengan per-geserannya dari sumbu sembarang. Dengan kata lain,

Persamaan (5-25) berlaku untuk seluruh massa M yang terletak di pusat massa t, dan ini setarrdengan jumlah aljabar dari seluruh hasil perkalian antara massa ,7?- dengan pergeseran x-. Persantaanini seringkali berguna untuk menentukan sumbu-sumbu di sepanjang pusat massa. Untuk distrihu.imassa tiga-dimensi, letak pusat massa diberikan sebagai,

2*,r,..- i=l

M

2*,v,I --"M

2*,r,-_i-l.,M

110 Bab 5: Diferensial dan lntegral

c

x(m)

Gambar 5-30. Kiri: elemen massa berbentuk persegi panjang dari sebuah segitiga ditunjukkan dengan koordinatkoordinatnya. Kanan: sebuah elemen massa berbentuk lajur vertikal digunakan untuk menghitung x. Gambar

ini dibuat dengan EXCEL, menggunakan Drawing Tool.

ContohGambar 5-31 menunjukkan dua pilihan elemen-elemen area di dalam sebuah bidang segitiga dan

jarak elemen tersebut dari sumbu koordinat. Sifat-sifat mekanik tigur dasarnya telah diinvestigasi

ribuan tahun lalu untuk alasan-alasan praktis. Contoh. Archimedes membangun peralatan-peralatan

militer besar sebagai pertahanan terhadap kapal-kapa1 Roruaui dan peralatan tersebut begitu stabil

dalam menghadapi angin kencang.

Di Gambar 5-30 kita dapat menggunakan kalkulus analitis karena persamaan segitiganya

relah cliketahui, y(x) = -x + 1. Persamaan ini seringkali dipakai untuk mentransformasikan integral

nrassa ke dalam integral ruang. Kerapatan massa sebuah area adalah pkglmz. BerdaszLrkan keterangan

:ebelumnya, maka kerapatan massa area adalah P = dnrltlA.

Sekarang kita dapat menuliskan massa total (momen nol) sebagai,

(s-21)

,Jengan 77 =r- dx adalah luas lajur vertikal. Untuk koordinat-.r dari pusat massa, kita sekarang

nrcmiliki.

ru = Jao, = lr ro = lo t'o,

lr p ydrv=''

IP 'ur'(s-28)

lr1.::l,h kita lihat kasus sederhana yang menunjukkan kerapatan yang konstan. Setelah itu kerapatanj:r:. Jirr.ludrkan dari Persamaan (5-28) dan dihapuskan. Untuk area segitiga di Gambar 5-30, kita.r'r-:l:ii nlemiliki.

0


Di dalam segitiga simetris, kita lihat bahwa I = 113 juga. Nilai y untuk bentuk nonsimerri: J;;;rdihitung menggunakan lajur horizontal. Koordinat-koordinat polar, silinder, dan bola dapar rr,:-nyederhanakan proses perhitungan untuk benda-benda yang cocok dengan pola-pola kesimerrir;nini.

TIPSPusat massa dari sebuah benda berbentuk sembarang dengan kerapatan yang bervariasi dapatditentukan melalui eksperimen, yaitu dengan menggantungkan sebuah bandul ke benda terseburdari satu titik kemudian dari titik yang lain. Tali bandul akan berpotongan di pusat massanva.Hal ini sudah diketahui sejak dulu, namun pusat massa secara umum diketahui sebagai pusatgravitasi karena tidak ada perbedaan antara massa dan berat.

Gambar 5-30 dapat pula digunakan untuk menghitung momen inersia untuk momen kedua:

1'l

Jnx(-r + l) dx Ial 1

It-r+ltrlx rJO

I.-, = Z*,

Dengan menggunakan lajur vertikal, momen

1r.,. = J*2,1,n = lrt p dA = I;*' p y clx

1., = fr2 p(-x + l)dx

Iu =\m, y?.

inersia terhadap sumbu--r adalah,

*l dan (5-30 )

(s-3 I )

t5-l1r

Menghitung momen inersia terhadap sumbu-x 1,., agak menyulitkan Anda. Secara simetri. 1.,seharusnya sama dengan 1.,. namun Anda harus membuktikannya dengan menghitung integraln-r a

menggunakan lajur horizontal. Setelah itu Anda perlu bersiap-siap menghitungnya kembali untukbentuk yang tidak simetris. Momen inersia sedikit lebih rumit daripada yang sudah diperlihatkan.Sesungguhnya ini merupakan ten.sor yang dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks 3 x -l(lihat Bagian 6.6). Momen inersia yang kita hitung adalah salah satu dari komponen riga diagonalsebuah tensor, namun jangan khawatir mengenai hal ini.

Pertonyoon yqng sering muncul

T: Mengapa kita membutuhkan momen. kedua?

J: Momen kedua muncul secara alami pada saat kita menganalisis energi kinetik rota:i.momentum anguler, torsi, dan laju perubahan momentum anguler. Momen kedua juga merupakar:dasar yang penting dalam analisis pembelokan berkas sinar. "Kesetimbangan dinamis" rt,.l.mobil meliputi pengaturan momen kedua hingga mencapai goyangan yang nrinimunr.

102 _ Bab 5: Diferensial dan lntegral

TIPS\lonten inersia benda-benda umum biasanya ditabulasikan terhadap sistem koordinat disepanjarrg pusat massa. Anda dapat menggunakan teorema transfer sunrbu parctlel (.teoretna

Steinei) untuk menentukan momen inersia untuk sumbu-sumbu paralel lainnl'a. Teorema tersebutnrenyatakan bahwa I = 1,,, + M(P dengan 1,,, adalah momen inersia terhadap sumbu pusatnlassa, M adalah massa benda dan d adalah jarak sumbu baru ke sumbu pusat massa. Daripernyataan ini jelas bahwa momen inersia selalu bernilai minimurn bila rnengacu ke pusatmassa.

Sekarang nrarilah kita lihat ke buku kerja MOMENTS untuk mencoba mengestimasi momenpertama dan kedua dengan bantuan integral numerik. Gambar 5-3 i menunjukkan tampilan utamanya.

Di kolom C buku kerja MOMENTS, luas segitiga diestimasi menggunakan integral numerikmelalui metode trapesium. Di kolom D, rnassa adalah hasil kali dari luas X ketebalan X kerapatanmassa. Metode trapesium memberikan hasil yang eksak karena kita melakukan integral terhadapsebuah garis lurus.

Di dalam Gambar 5-3 1, momen inersia 1." dihitung berdasarkan deflnisi pada Persarnaan (5-30). menggunukan Iajur vertikal.

Sebuah alternatif perhitungan dapat dikerjakan untuk 1,,, yaitu mengeunakan lajur horizontal.namun selain itu kita telah meng-cunakan teorema transf-er sumbu paralei dengan lajur vertikalyang sama untuk 1,,.. lni dapat dipahami - dan Anda dapat menunjukkannva - bahwa momeninersia sebuah silincler tipis di pusat massanya adalah Mtl12. Apabila kita geser sun.rbunya sejauh

L/2, maka momen inersia di bagian ujung silinder tersebut adalah ,tllll3. Seba-raimana ditunjukkanoleh Gambar 5-32. rumus di sel Gl1 adalah =D!!*BLl^2 i3.

.-:i:....-.--. ;--. . -:--." :.:! 1.. 1;1i-... .- -..

imOfUeNf'5,Xlb Zer*, Fire( .!irii $ri.oil!1 Llrnrcnt; ,.f .t F,liss Di$tribUtii,nChapter 5

Mass 22.5ikg

J

4 Entermassd.nsity, [ ],15@kgr*'5 Thickness:l _!!1],6:

8s10

00.01

r 0.005 0.?25 0

13 0.02 0.98 0.0098 0A4114 0.03 B.S? 0.0097 0 436515 0.04 0.96 0.0096 0.43316 0.05 0.s5 0.0095 a.4?751i 005 09.1 0.0094 0423' 3 0 07 0.93 0.0093 0.4185' 3 0 08 a 92 0.0092 a.414:i I09 8.91 0.0091 0.4095:: ,J 1 0.9 0.00S 0.405

-': I1! 0.89 0.0089 0.,1.005..)r k /. -r,.rrrf Tttygy;q,i, 1

Center of mass 0.3333im)1.. 3.7496251k9 rn'

r i rTrorzslks,r'

\rfl'

17 0.9s 0.009s 04455 0.00446 4.5E-050.00882 0.00018 0.141 17880.0131 0.00039 0.136901

0.01738 0.00069 0.13271040.021n8 0.00107 0.12860630.02538 0.00152 0.12459760.0293 0.00305 0.1306536

0.03312 0.00265 0.11680320.036s6 0.00333 0.11303570.0405 0.00405 0.10s35

0.04406 0.00485 0.1057454Iri

x (m)

ffiffi,'

Gambar $31. l.!s1e6s trapesium digunakan untuk mengestimasi sebuah area. Teorema transfer sumbu paralelcr!,:3qs- --:-( -engestimasi /", menggunakan lajur vertikal elemen massa (lihat catatan sel). Pusat massaberlokasr a (oordnat x = 1/3 dan y = 113

Apa selaniutnya?

Gambar 5-32. "Hukum Archimedes" adalah sebuah rumusyang mengubah wajah dunia. Persamaan ini adalah kondisr-kedua untuk kesetimbangan statis: penjumlahan aljabarseluruh torsi di sebuah titik adalah sama dengan nol. Torsiadalah sebuah vektor yang berupa momen pertama gaya.Gambar perangko di sisi kiri ini menunjukkan bagaimanaArchimedes menggunakan kondisi-kedua kesetimbanganstatis untuk mengukur kerapatan volume sebuah benda yangtenggelam. Dikatakan bahwa ia menggunakan metode lnr

untuk menentukan apakah mahkota raja itu terbuat dari emasmurni.(Kondisi-pertama kesetimbangan adalah IF- 0. Jumtanaljabar gaya di titik mana saja adalah nol).

Momen pertama beberapa benda telah dipelajari ribuan tahun lalu karena orang peduli terhadap

keseimbangan benda dan struktumya. Archimedes menemukan bahwa pusat gravitasi sebuah segitigrsama sisi akan berhubungan dengan titik perpotongan tengahnya. Gambar 5-32 menunjuklan"Hukum Archimedes" flrrl = F,r, dengan { adalah gaya (berat) di posisi r,.

Apa selanjutnya?

EXCEL memiliki sejumlah besar koleksi operator dan fungsi yang dinamakan Engineerirtg f-ur;,-

rion. Fungsi-fungsi ini jauh lebih umum daripada namanya. Kita akan menjelajahi fun-esi-iunt..ini di dalam Bab 6. Di dalam Bab 12 Anda dapat melihat integrator RC dari sudut pand.lirrtransformasi Fourier dalam cakupan suatu frekuensi.

Daftar Pustaka

Galactic Industries Corporation memiliki topik-topik diskusi mengenai bab ini di situ. r-,ir:,-http ://www. galactic.com,/galactic/Science/smooth.htm

Bab 5: Diferensial dan lntegral

the convolution (Savitsky-P \ Gorr1. "General least-squares smoothing and differentiation bvG,,lar r \lethod. "Analytical Chemistry, 62, 510-513 (1990).

J. Steiner. Y. Termonia. dan J. Deltour. "Comments on smoothing and ditterentiation of data bysinrplitied least square procedure," Analytical Chemistry 44, No. ll. i906-1909 (.1912).

-\. Savitsky dan M. J. E. Golay, "Smoothing and diferentiation of data bv sinrplitied least squaresprocedures." Analytical Chemistry 36, 1621-1639 (1964).

B. Porat, A Ctrurse in Digirol Signal Processing (John Wiley & Sons. Inc.. \eu York. 1997).

S. K. Mitra dan J. F. Kaiser, editors, Handbook.fbr Digital Sigrtal Pxtce.ssrrrg {John Wiley & Sons,

Inc., New York, 1993).

W. H. Press dan S. A. Teukolsky, "Savitsky-Golay smoothing filters." Corrtltuters in Plq,sics 4,

689-672 (1990).

H. W. Schussler dan P. Steffen, Bab 8 dalam Advanced Topics in Sigttol Ptote.i.iing, diedit olehJ. S. t.im dan A. V. Oppenheim (Prentice Hall, Errglewood Cliffs. NJ. 1988).

Integrator mekanika. Planimeter merupakan sebuah perangkat yang digunakan untuk menentukanluas daerah di sebuah benda dengan nrelakukan penelusuran di sepanjang batas pinggirnya. Plani-meter modern ditemukan oleh Jacob Amsler (1835-1911). Anda dapat menemukan lebih banyakplanimeter dan komputer-komputer antik di N'[useum Konlputer. Universitas Amsterdam, Belanda.Silakan kunjungi: http://www.wins.r-rva.nl/faculteiVmuseum/planimeter/plani.html.

Pusat luasan segitiga:http://mathworld. wcllfiam.con.r/CentroidTri angle. htm l

Pusat luasan dan teorema Pappus dari Alerandriu:http://mathworld.wolfrarn.con/PappussCentroidTheorc ni. htnr I

Uji kemampuan Anda

l. Integral persegi panjang. Integralkan l/"r- dari I hingsl I menggr.rnakan l0 interval. Setiappersegi panjang memiliki lebar 0. l. Mulailah dari r = l. hingga pendekatan numeriknyamenjadi sepcrti 1 = 0.1(l/l + 1/1.1 + 111.2 + ... + l/1.9t. Berapakah persentase kesalahanberdasarkan nilai eksak dari integral itr"r'? Petunjuk: gunakan integral

)

/: i:dl. J, .,

Kerjakan Soal 1 untuk 20 interval. Perhatikan perbaikan untuk pertambahan yang lebih kecilini. Berapakiih persentase kesalahannya'?

Soal l dan 2 rnelakukan estimasi berlebih terhadap nilai sesungguhnya dari integral karenakeduanya menggur.rakan sisi luar persegi paniang. Ulangi Soal I untukx = 1,1 hinggaAndaberhenti di; = 2. Dengan kata lain, gunakanlah pendekatan numerik 1= 0, 1(1/1,1 + lll,2 +l/1.3 + ... + l/2l. Bandingkan dengan hasil di Soal l. Hal ini memberikan estimasi yangktrrang daripada nilai sesungguhnya dari integral tersebut karena menggunakan sisi dalam

5.

6.

Uii kemamouan Anda tqS

persegi panjang. Buatlah gambar untuk menunjukkannya. Hitunglah persentase kesalahan

berdasarkan nilai sesungguhnya dari integral.

Hitunglah nilai rata-rata dari hasil yang diperoleh dari Soal 1 dan 3. Bagaimanakah nilai rata-

rata untuk estimasi yang berlebih dan estimasi yang kurang bila dibandingkan dengan nilai

sesungguhnya? Hitunglah persentase kesalahannya. Catatan: menggunakan nilai rata-rata adalah

setara dengan menggunakan metode trapesium.

Aturan trapesium. Bukalah buku kerja TRAPEZOID. Di dalamnya memuat contoh-contoh

sebaran dari fungsi kontinu exp(-r). Hitunglah integral fungsi ini untuk 0 < r < I dengan 25

interval. Ulangilah untuk 50 interval. Berapakah kesalahannya untuk setiap kasus dibandingkan

dengan nilai integral yang sesungguhnya?

Hitunglah akar kuadrat dari mean square sin(nx) di dalam range 0 hingga 1. Ini adalah

bilangan yang penting; dinamakan nilai root-mean-square atau r.m.s. dari data. Ini sama saja

dengan bertanya "Berapakah tegangan konstan yang dapat menghasilkan efek panas yang

sama dengan tegangan yang divariasikan terhadap waktu?" Konfirmasikan bahwa hasil Anda

di Soal 5 adalah area persegi panjang dengan tinggi 0.5 '. 2 dan lebar 1. Dengan kata lain,

nilai r.m.s. dari gelombang sinus mendekati 0,707 106781. Nilai r.m.s. tegangan listrik di

rumah adalah 120 V. Berapakah nilai maksimum tegangan tersebut?

'l . Aturan l/3Simpson.UlangiSoal 5denganaturanintegral iniuntuk50interval.(Ingat,aturanini membutuhkan interval bilangan genap). Bagaimana perbandingannya dengan aturan

trapesium?

8. Moving average. Tabel 5-5 memuat catatan mengenai

pengamatan bercak-bercak matahari. Hitunglah movingaverage untuk data-data ini menggunakan periode 2 dan

4 bulan. Planet bumi lebih kecil daripada jenis bercak

ini.

9. Exponential smoothing. Pergunakanlah fasilitas expo-

nential Smoothing di data bercak matahari dengan faktor

kelembaman 0,2, 0,3, dan 0,5.

10. Exponential smoothing. Unit step function adalah penguji sinyal umum untuk mekanik, listrik.

dan sisrem elektronika. Sinyal uji ini ditandai sebagai u(r) dengan u(t) = g untuk / < 0 dan

u(r1 = l untuk 1 > 0. Anda dapat memulai r.r(r) pada setiap waktu ro dengan menggunakan a(l

- /r). Buatlah lembar kerja clengan pertambahan waktu sebesar 0,1 (mulailah dari / = -1) di

koiom A, pertambahan unit di kolom B, dan exponential smoothing dengan faktor kelembaman

0,2. 0,4, dan 0,6 di kolom c, D dan E. Uji coba ini menunjukkan bagaimana pemulusan

melakukan distorsi terhadap data asli.

ll. Gunakanlah Moving Average dengan periode 2,4, dan 6 sebagai unit step.

12. Ujilah fungsi equal weight dan Savitsky-Golay di Tabel 5-4 dengan fungsi step unit a(t) = I

untuk r > 0; kebalikan u(t) = Q.

13. Pakailah fungsi Savitsky-Golay 5-titik dan 7-titik terhadap data bercak matahari di Tabel <

5. Bandingkan hasilnya dengan jawaban Soal 9 dan 10.

Lihatlah pula ke buku karya M. Waldmeir, The Sunspot Activitf in the Years 1610'19r,' .

(Schulthess, Zlurich, I 96 I ). Angka-angka bercak matahari-relatif dikoreksi untuk memudahkr::

pengelompokan dan menampilkan kondisi dari beberapa pengamat yang memberikan kontnL'u':

data; inilah mengapa angka-angka tersebut bukan merupakan bilangan bulat.


Tabel 5-5. Observasi atas jumlah bercak matahari relatif (lihat buku kerja SUNSpOTS)

Brian 1954 1 955 1 956 1957 1 958 '1959 1 960 1 961 1962 1 963ia 23.1 73.6 '165 202.5 217.4 143.6 57.9 387 19.8

I 0.5 20.8 124 130.2 164.9 143.1 106 46.1 50.3 24.4

3 10.9 4.9 118.4 157.4 190 7 185.7 102.2 53 45.6 17 1

4 '1.8 11.3 110.7 175.2 196 163.3 122 61 4 46.6 29.3

5 0.8 28.9 136.6 164.6 175.5 172 119.6 JI 43.7 43

b 0.2 31 .7 116 6 200.7 171 q 168.7 110.2 77.4 42 35.9

7 4.8 26.7 129.1 187.2 191 .4 149.6 tlt 7 70.2 21 .B 19.6

B 8.4 40.7 '169.6 158 200.2 199.6 134.1 558 21 8 33.2

o 1.5 42.7 173.2 235 8 201 .2 145.2 127.2 63.6 c t.J 38.8'10 70 58.5 155.3 aEa o 181 5 111 4 82.2 37 7 39.5 2E 2

11 9.2 89.2 201 .3 210.9 152.3 124 89.6 32.6 26.9 23.4

12 7.6 76.9 192 1 239.4 187.6 125 85.6 39.9 14.9

Tahun

Untuk data terbaru, silakan mengunjungi situs Roral Observatorr of Belgium, WorldData Center-Cl untuk indeks bercak marahari:http ://www.oma.be/KSB -ORB/SIDC/inde x.htn.rlSelain itu, lihat pula ke situs National Solar Obserrator\'(Sacrarnenro Peak and Kitt Peak):http ://www. nso.noao.edu/index. htmlUntuk informasi lebih lanjut mengenai siklus matahari. silakan kunjunei:http :i/www.dxlc.com/solar/cyc1 I _20. html

14. 0 InEgral Monte Carlo. Download-lah buku kerja MONTE-CARLO dari situs buku ini danjelajahilah sel-selnya untuk mempelajari bagaimana pendekatan intesral dapat dijelaskan meng-gunakan bilangan-bilangan acak untuk membangkitkan vektor-r'ekror acak. Buku kerja inimenghitung sebuah nilai pendekatan ft dengan menggunakan r ektor-r'ektor random yangmengarah dari titik pusatnya untuk mencari area lingkaran berjari-jari I yang dituliskandalam sebuah kuadrat area 4. Perbandingan antarajumlah vektor di dalam lingkaran terhadapjumlah seluruh vektor adalah z/4. Sehingga, menghitung vektor mernberikan suatu estimasiterhadap area lingkaran dan sebuah estimasi terhadap z/-1. Lembar pen-solah angka untukfungsi IF digunakan untuk menghitung vektor-vektor. Berapakah jumlah rektor yang dibutuhkanuntuk menghitung a hingga 6 angka desimal?

Untuk informasi lebih lanjut, lihatlah buku karya S. C. Bloch dan R. Dresslel "statis-tical estimation of z using random vectors," American Jountol rlf Pltrsics 67 (4) 298-303(1999). Karya ilmiah ini memuat di antaranya informasi ran-s detail. latar belakang, danref'erensi untuk metode integral numerik Monte Carlo. Untuk intbnnasi yang lengkap mengenai.rr. silakan kunjungi situs http://www.users.globalnet.co.uk/-nickjh/Pi.htm. Selain itu, carilahn.relalui mesin pencari di Internet untuk kata kunci "Monte Carlo integration".

/'tta akan diarahkan menuju ke sebuah titik di mana kita akan mendapatkan nilai-nitai

"rerik. suatu keistimewaan yang diperlukan atas berbagai macam metode, dan bukannyare.dalatkan perubahan bentuk formal yang sia-sia belaka.

Jean Baptiste Joseph FourierDalam Th1orie Analytique de la Chaleur (1522)

Bab 6Fungsi-fungsi Engineering

Excer memiliki suatu koleksi fasilitas bermant'aat yang bernama fungsi-fungsi engineerirtg

(engineeringfuncrions).Ini adalah nama yang dikenal di dalam menu Help, namun fungsi-fun-r'i

ini penggunaannya lebih umum dibandingkan dengan namanya. Di dalam bab ini kita akan mert't-

pelajari fungsi-fungsinya yang paling umum digunakan. Fungsi-fungsi tersebut terdiri dari empat

kategori:

' fungsi-fungsi matematika dan statistika,. fungsi-fungsi untuk bekerja dengan bilangan kompleks,. fungsi-fungsi untuk mengkonversi nilai-nilai di antara sistem bilangan yang berbeda-

seperti desimal, heksadesimal, oktal, dan sistem biner,. fungsi-fungsi untuk mengkonversi nilai-nilai di antara sistem pengukuran yang berbeda.

Ancla akan menemukan fungsi-fungsi engineering di dalam Analysis ToolPak. Apabila fungsi

tersebut tidak tersedia, jalankan program Setup untuk menginstalasi Analysis ToolPak. Setelah

instalasi Analysis ToolPak, Anda harus mengaktifkannya menggunakan perintah Add-Ins di menu

Tools. Untuk informasi lebih lanjut mengenai bagaimana melakukan instalasi Analysis ToolPak

ini, lihatlah ke menu Help atau tekan Tombol Fungsi Fl di Ercpr-. Kita juga akan mempelajuri

operasi-operasi dan aplikasi-aplikasi matriks di Erccl'

6.1 Fungsi-fungsi Matematika Khusus

Deskripsi ringkas mengenai fungsi-fungsi matematika khusus di Excnr- tercantum di dalam Tabel

6-1. Fungsi-fungsi ini dijabarkan secara detail setelah tabel tersebut.

ExceL memuat empat tipe fungsi Bessel. Beberapa mahasiswa beryikir bahwa fungsi-funs'r

ini diciptakan unruk membuat hidup menjadi sulit. Anda mungkin tidak membutuhkan fung.i-

fungsi Bessel sampai Anda melakukan sebuah pekerjaan tingkat lanjutan yang melibatkan nilri-nilai batas lingkaran atau silinder, namun pada akhirnya Anda akan dikejutkan den-uan be5rtu

seringnya fungsi-tungsi ini muncul cli dalam ilmu-ilmu listrik dan mekanik, fisika, kimia. Seofi'1x--

dan astronomi untuk menjelaskan sekelumit teori di dalamnya. Mayoritas buku untuk ilnlu-ll::r-

tersebut menuliskan tentang fungsi Bessel. Anda perlu berhati-hati karena di dalamnra ltl':r-sesuatu yang dinamakanJilngsi Bessel sferls (bola); ini dapat dijumpai di dalarn program-Fr,'::--'

seperti MetHsnrartc.t dan Merlee.

Tabel 6-1. Fungsi-fungsi Matematika Khusus di EXCEL

3ESSELI menghasilkan fungsi Bessel termodifikasi, yang setara dengan fungsi Bessel yangdievaluasi untuk argumen imajiner murni

BESSELJ menghasilkan fungsi Bessel

BESSELK modifikasi orde ke-n fungsi Bessel

BESSELY menghasilkan fungsi Bessel, kadang dinamakan juga sebagai fungsi Weber ataufungsi Neumann

DELTA menguji apakah dua buah bilangan itu sama; fungsi delta Kronecker

ERF fungsi error, yang diintegralkan antara dua buah Iimit

EFRC menghasilkan komplemen fungsi ERF yang diintegralkan antara x dan nilai takberhingga

GESTEP menghasilkan 1 jika bilangannya > step; menghasilkan 0 (nol) jika sebaliknyaPergunakanlah fungsi ini untuk memfilter sekumpulan nilai. Contoh, denganmenjumlahkan fungsiJungsi GESTEP, Anda menghitung nilai yang dicapaidi ambang batas.

Bab 6: Fungsi-fungsi Engineering

BESSELIMenghasilkan fungsi Bessel termodifikasi 1,,(r), yang setara den-can lunqsi Bessel "r,,(x) hasil

evaluasi argumen imetjiner murni. (lihat BESSELJ. Selain itu, lihat pula Bab l0 untuk informasitebih lanjut mengenai bilangan-bilangan imajiner).

SyntaxBESSELI(x,n)x adalah nilai untuk mengevaluasi fungsi.n adalah orde tungsi Bessel. Jika n bukan bilangan bulat. fungsi ini akan terpancung.

CatatanJika x bukan numerik, BESSELI menghasilkan nilai error #\ALUE:.Jika n bukan numerik, BESSELI menghasilkan nilai error #\.\LUE:.Jika n < 0, BESSELI menghasilkan nilai error #NU\{1.Moditikasi orde ke-n lungsi Bessel dari variabel r adalah:

GontohBESSELI(1,5, l) sama dengan 0,981666 (Perhatikan bahua 1.5 adalah imajiner dan n = 1).

Definisi1,,(r) = (i)-" "I,,(l.r) (6-l)

BESSELJ\lenghasilkan fungsi Bessel. (Ini adalah tipe 1'an-e akan sering kali Anda pergunakan).

SyntaxBESSELJT r.n I

r uJ.rlah nilai untuk mengevaluasi fungsi.I :Jrl-rh trrde lLrnssi Bessel. Jika n bukan bilangan bulat. fungsi ini akan terpancung.

6.1 Fungsi-fungsi Matematika khusus

CatatanJika x bukan numerik, BESSELJ menghasilkan nilai error #VALUE!.Jika n bukan numerik, BESSELJ menghasilkan nilai error #VALUEI.Jika n < 0, BESSELJ menghasilkan nilai error #NUM!.

Definisi (Tidakkah Anda senang memiliki lembar pengolah angka untuk mengerjakan ini?rOrde ke-n fungsi Bessel dari variabel x adalah:

109

J,,tx) =Io,r,,r** ,,[j )"

t'

dengan l(n + k + l) = [*e-'x"+kd.r adalah fungsi Gamma

(6-2t

ContohBESSELJ(1,9, 2) sama dengan 0,329926

Pergunakanlah buku kerja BESSEL untuk menjelajahi keempat fungsi Bessel untuk nilai n yangberbeda-beda. Fungsi Bessel -/y(.r) atau BESSELJ(x,l) ditunjukkan oleh Gambar 6-1. Gambar6-2 menampilkan "/11(,r) untuk range yang sama.

BESSELKMenghasilkan fungsi Bessei termodifikasi, yang setara dengan fungsi Bessel yang dievaluasi

untuk argumen imajiner murni.

SyntaxBESSELK(x,n)x adalah nilai untuk mengevaluasi fungsi.n adalah orde fungsi Bessel. Jika n bukan bilangan bulat, fungsi ini akan terpancung.

X

Gambar 6-1. Fungsi BESSELJ(x,1) untuk 0 < x < 25. lni nampaknya seperti gelombang sinus yang le..r:-namun nyatanya tidak demikian. Lihatlah definisi di Persamaan (6-2).

E

- nlI,JJaauJm -0.1

: __ Bab 6: Fungsi-fungsl

- tl3j

&ue t]1

lffi*., I S*M$*|**d*t$ded+t, :lS{*r :#*:

x

Gambar 6-2. Fungsi BESSELJ(x,11) untuk 0 < x <25. Graflk di dalam perangko menunjukkan bagian riil danimajiner dari transformasi Fourier untuk gelombang kotak yang beranjak dari waktu sama dengan 0 (lihat Bab11 di dalam CD).

\\

\,u&

CatatanJika x bukan numerik, BESSELK menghasilkan nilai error #\,,{LUE!.Jika n bukan numerik, BESSELK menghasilkan nilai error #V.{LUEI.Jika n < 0, BESSELK menghasilkan nilai error #NUNIl.Modifikasi orde ke-n flngsi Bessel dari variabel x adalah:

K,,( x) = !i"*1 lJ,,{ir) + r)j, (r.r )l

dengan J, dan I, masing-masing adalah fungsi Bessel "/ dan I.lJ,,(ir) + iY,,(.ix)) sering disebut sebagai fungsi Hankel benruk pertama. Argumen

ini dapat berbentuk riil maupun imajiner. Fungsi Hankel bentuk kedua adalah ["i,,(zx)

ContohBESSELK(1,5. l) sama dengan 0,211388

(6-3)

dari fungsi

- iY,,(i.v)1.

BESSELY

Menghasilkan fungsi BesselY kadang dinamakan juga sebagai fungsi Weber atau fungsiNeumann.

SyntaxBESSELY(x,n)x adalah nilai untuk mengevaluasi fungsi.n adalah orde fungsi Bessel. Jika n bukan bilangan bulat, fungsi ini akan terpancung

6. 1 Fungsijungsi Matematika khusus

CatatanJika x bukan numerik, BESSELY menghasilkan nilai error #VALUEI.Jika n bLrkan numerik. BESSELY rnenghasilkan nilai enor #VALUEI.Jika n < 0, BESSELY menghasilkan nilai error #NUM!.

DefinisiOrde ke-n firngsi Bessel )',,(-r) adalah:

)i,(-t) = lim4i!-(Yzr)- "r-''('r)'' i.+, Srn(uZ)

ContohBESSELY(2,5, l.; sama dengan 0,1,15918

__ 111

t6--1 r

TIPSSeperti haln,va sinus dan cosinus. lungsi Bessel adaluhlirrrg-ii ortog,onal. Fungsi ini bermanfaat

untuk merepresentasikan deret, seperti deret Irourier (lihat Bagian 4.4). Anda akan menemukan

fungsi Bessel digunakan secara luas di bidang akustik, mekanik, elektron.ragnetik. dan mekanika

kuantum yang melibatkan nilai-nilai batas berupa lingkaran atau silinder.

Fungsi Bessel ke-nol begitu penting karena dapat menentukan fiekuensi natural sebuah

sistenr, seperti nilai sinus dan cosinus yang nol untuk nienentukan ft'ekuensi natural sistern

koordinat kotak. Pada saat Anda bermain tenis, baseball, sepak bola, atau bola basket sebenamya

Anda telah menggunakan fungsi-fungsi Bessel, baik inr Anda sadari maupun tidak.

DELTA

DEUIA nrenguji apakah dua buah nilai itu sama. Ini menghasilkan I jika bilangan I = biianganldan menghasilkan 0 jika tidak sama. Pergunakanlah fungsi ini untuk memfilter sekurnpulan nilai.

Sebagai contoh. dengan meniumlahkan beberapa fungsi DELIA. Anda melakukan perhitungan

untuk jumlah pasangan yang saura. Fungsi ini dikenal sebagai fungsi Delta Kronecker.

SyntaxDEUIA(bilangan l,bilangan2)bilanganl adalah angka pertama.

bilangan2 adalah angka kedua. Bila dihilangkan, maka bilangan2 diasumsikan sama dengan

nol.

CatatanJika bilanganl bukan numerik, DEUIA rnenghasilkan nilai error #VALUE!.Jika bilangan2 bukan numerik, DELTA menghasilkan nilai error #VALUEI.

ContohDELIA(5, 4) sama dengan 0DELIA(5. 5) sirma de'ngan I

DELIA(0,5, 0) sama dengan 0

ERFERF menghasilkan fungsi error yang diintegralkan antara limit_bau'ah dan liniit_ri"-

112 Bab 6: Funqsi-funqsi Enqineerino

SyntaxE RF( limit_bawah,limit_atas)limit_bawah adalah batas bawah integral ERF.lirnit-atas adalah batas atas integral ERF. Bila dihilangkan, maka integral ERF akan berkisar

antara nol dan limit_bawah.

CatatanJika limit-bawah bukan numerik, ERF menghasilkan nilai emor #vALUEr.Jika limit_bawah adalah negatif, ERF menghasilkan nilai error #NUMI.Jika limit_atas bukan numerik, ERF menghasilkan nilai eror #VALUE!.Jika limit_atas adalah negatif. ERF menghasilkan nilai enor #NUM!.

Definisi

ERF(z) = J- S'- ,-'' r, (6-5)rJodan

ERFltt. n, = 4ll. r-,' ,jt = ERF(b) - ERF(a) (6_6)t lf Jtt

ContohERF(0,74500) sama dengan 0,10193ERF(I) sama dengan 0,84270

ERFC

ERFC menghasilkan komplemen fungsi ERF yang diintegralkan antara x dan nilai takberhingga.

SyntaxERFC(x)x adalah batas bawah integral ERF.

CatatanJika x bukan numerik, ERFC menghasilkan nilai eror #VALUEI.Jika x negatif, ERFC menghasilkan nilai eror #NUM:.

Definisi

ERflCl.rr = ;J, ,' '- ctt = I - ERF(_I) 6_7)

ContohERFC(1) sama dengan 0.1573

GESTEP

GESTEP menghasilkan I jika bilangannya > step; menghasilkan 0 (nol) bila sebaliknya.Pergunakanlah fungsi ini untuk memfilter sekumpulan nilai. Sebagai contoh, dengan menjumlahkanfun-usi-fungsi GESTEP, Anda dapat menghitung nilai bilangan yang dicapai di ambang batas.

SyntaxGESTEP(bilangan,srep)

6.3 Funqsi-funqsi konversi bilanqan 113

Bilangan adalah sebuah nilai yang akan diuji terhadap step.

Step adalah nilai ambang (threshold). Jika Anda menghilangkan nilai step, GESTEP akan

menggunakan nol.

CatatanJika setiap argumen adalah bukan numerik, GESTEP menghasilkan nilai error #VALUE!.

ContohGESTEP(5, 4) sama dengan 1

GESTEP(5, 5) sama dengan 1

GESTEP(-4, -5) sama dengan 1

GESTEP(-I, 0) sama dengan 0

6.2 Fungsi-fu I

ExcEr- memiliki l8 buah fungsi yang dapat membuat matematika kompleks menjadi mudah dan

nyaman dikerjakan. Ini membutuhkan banyak penjelasan dan contoh, kita akan melakukannya di

Bab 10. Contoh-contoh merupakan cara yang terbaik untuk memahami fungsi-fungsi ini. Jika

Anda tidak bersedia menunggu, silakan buka Bab l0 sekarang.

6.3 Fungsi-fungsi konversi bilangan

Excrl memiliki 12 buah fungsi yang akan membantu Anda mengkonversikan nilai-nilai ke dalam

sistem bilangan yang berbeda. Kita akan melihat secara detail men-senai tungsi-fungsi biner ke

desimal. biner ke heksadesimal, dan biner ke oktal; lihatlah menu Help untuk fungsi lainnya.

Keduabelas fungsi tersebut adalah:

BIN2DECBIN2HEXBIN2OCTDEC28INDEC2HEXDEC2OCTHEX2BINHEX2DECHEX2OCTOCT2BINOCT2DECOCT2HEX

BIN2DEGBIN2DEC mengkonversikan sebuah bilangan biner menjadi bilangan desimal'

SyntaxBIN2DEC(bilangan)Bilangan adalah bilangan biner yang ingin Anda konversikan. bilangan tidak boleh memuat

lebih daripada 10 karakter (10 bit). Bit-bilanganyang paling berbeda adalah bit untuk tanda. Sisa

9 bit larnnya adalah untuk besaran. Bilangan negatifdiwakili dengan penggunaan dua notasi tambahan

Bab 6: Funqsi-funqsi Enoineerinq

CatatanJika bilangannya bukanlah bilangan biner yang valid atau bilangan itu memuar lebih daripada

. r karakter (10 bit), maka BIN2DEC menghasilkan nilai error #NUM!.

ContohBIN2DEC(1100100) sama dengan 100.BIN2DEC(1111111111) sama dengan -l (Tanda ini adalah bit yang paling berbeda).

BIN2HEXBIN2HEX mengkonversikan sebuah bilangan biner menjadi bilangan heksadesimal.

SyntaxB IN2HEX(bilangan,bagi an )Bilangan adalah bilangan biner yang ingin Anda konversikan. Bilangan tidak boleh memuat

lebih daripada 10 karakter (10 bi|. Bit-bilangan yang paling berbeda adalah bir untuk randa. Sisa9 bit lainnya adalah untuk besaran. Bilangan negatif diwakili dengan penggunaan dua notasitambahan.

Bagian adalah jumlah karakter yang digunakan. Jika bagian ini dihilangkan, BIN2HEX meng-gunakan jumlah karakter minimum vang dibutuhkan. Bagian berguna untuk menambahkan nilaihasil dengan angka nol di depannl'a.

CatatanJika bilangannya bukanlah bilangan biner yan-v valid atau bilangan iru memuat lebih daripada

10 karakter (10 bi|, maka BIN2HEX menghasilkan nilai enor #\U\{1.Jika bilangannya adalah negatif, BIN2HEX mengabaikan bagian dan menghasilkan 10 karakrer

bilangan heksadesimal.Jika BIN2HEX membutuhkan lebih banyak karakter daripada van-q rercantum di bagian, ini

akan menghasilkan nilai error #NUM!.Jika bagian bukan merupakan bilangan bulat, ini akan terpancung (truncated').Jika bagian bukan berupa numerik, BIN2HEX akan menghasilkan nilai enor #VALUEI.Jika bagian merupakan bilangan negatif, BIN2HEX akan menghasilkan nilai enor #NUM!.

ContohBIN2HEX(1 I 1 I 1011,4) sama dengan 00FBBIN2HEX(11l0) sama dengan EBIN2HEX( 1 I I I 11111 1) sama dengan FFFFFFFFFF

BIN2OCTBIN2OCT mengkonversikan sebuah bilangan biner menjadi bilangan oktal.

SyntaxBIN2OCT(bilangan,bagi an)Bilangan adalah bilangan biner yang ingin Anda konversikan. Bilangan tidak boleh memuat

lebih daripada l0 karakter (10 bit). Bit-bilangan yang paling berbeda adalah bit untuk tancla. Sisa9 bit lainnya adalah untuk besaran. Bilangan negatif diwakili dengan penggunaan dua notasitambahan.

Bagian adalah jumlah karakter yang digunakan. Jika bagian ini dihilangkan, BIN2OCTmenggunakan jumlah karakter minimum yang dibutuhkan. Bagian berguna untuk menambahkannilai hasil dengan angka nol di depannya.

6.4 Funqsi{unqsi lain vanq bermanfaat 115

CatatanJika bilangannya bukanlah bilangan biner yang valid atau bilangan itu memuat lebih daripada

l0 karakter (10 bi|, maka BIN2OCT menghasilkan nilai error #NUM!.Jika bilangannya adalah negatif. BIN2OCT mengabaikan bagian dan menghasilkan l0 karakter

bilangan heksadesimal.Jika BIN2OCT membutuhkan lebih banyak karakter daripada yang tercantum di bagian, ini

akan menghasilkan nilai error #NUMI.Jika bagian bukan merupakan bilangan bulat, ini akan terpancung.

Jika bagian bukan berupa numerik, BIN2OCT akan menghasilkan nilai error #VALUEI.Jika bagian merupakan bilangan negatif, BIN2OCT akan menghasilkan riilai error #NUM!.

ContohBIN2OCT(1001,3) sama dengan 011

BIN2OCT(01100100) sama dengan 144

BIN2OCT(l111ll I 1 1 1) sama dengan 1111777177

6.4 Fungsi-fungsi lain yang bermanfaat

untuk ilmu rekayasa, sains

engineering EXCEL (lihat

ini akan dijelaskan di bab-

Wizard. Di sini. kita akan

B*rsell$855rtIBass*ll$r55tllBes:elK

E55TLY

CBin2l'{ex

Excel memiliki banyak fungsi lain dan fasilitas-fasilitas yang penting

dan teknologi walaupun tidak termasuk di dalam kategori fungsi-fungsi

Gambar 6.3).Beberapa dari fungsi-fungsi dan fasilitas-fasilitas .vang bermanfaat

bab lain. Lihatlah Lampiran 4 untuk Goal Seek. Solver, dan Lookup

mendiskusikan fungsi CONVERT dan aljabar matriks.

SE5$fLKtx,nI

R*turns thc rnndifi*d 8*r**lfunttisn Xn{x},

gJ

Gambar 6-3. Tampilan daftar seluruhPaste Function. Pergunakanlah scroll

fungsi untuk kategori Engineering dapatbar untuk melihat daftar seutuhnya.

Funrtinn qats{eryr

& TimeS, TriU

aL,ase

Fu*cli*n niim*:

dilihat dengan mengklik (:-

. Bab 6: Funqsi_funqsi Enqineerino

6.5 Fungsi konversi pengukuran, CONVERT

Di Bagian I . I I kita telah diperkenalkan dengan suatu fungsi lembar kerja, CONVERT. Sekarangniarilah kita menuju ke penggunaan fungsi praktis ini secara mendetail.

CONVERTFun-ssi ini mengkonversikan suatu bilangan dari satu sistem pengukuran ke sistem lain. Contoh,CONVERT dapat menerjemahkan sebuah tabel jarak dalam mil menjadi tabel jarak dalam kilometer.

SyntaxCONVERI(bilangan,satuan_asal,satuan_tuj uan)Bilangan adalah suatu nilai satuan_asal yang akan dikonversikan.Satuan_asal adalah satuan untuk bilangan.Satuan-tujuan adalah satuan untuk hasil. CONVERT dapat menerima nilai-nilai teks berikut iniuntuk satuan_asal dan satuan_tujuan.

Berat dan massa Satuan

Gram "C"Slug "sg"Massa pon (avoirdupois)U (satuan massa atom)Massa ons (avoirdupois)

_asal atau satuan_tujuan

"lbm"

"ozm"

JarakMeter

Satuan asal

Mil menurut hukumMil untuk pelajaranInciKaki (foot)YardAngstromPica (1172 in).

WaktuTahun (year)

Hari (day)

Jam (hour)\lenit (minute)Detik (second)

atau satuan_tujuanm

"mi"(Nautical) "Nmi""in""ff'"yd"ang

"Pica"

Satuan_asal atau satuan_tujuanyr

"day""hr""mn"

sec

Tekanan Satuan_asal atau satuan_tujuanP.rrcal "Pa"\t rttr-r:ter

.r-rr .1tr ftrksa "mmHg"

(iar a\:...

C -.-

Sltuan_asal atau satuan_tujuan"N"(l\'n

'rnr'

6.5 Funqsi konversr oenoukuran. CONVERT 117

EnergiJouleErg

Satuan_asal atau satuan_tujuan"J""e"

Kalori termodinamikaKalori IT "cal"Elektron volt "eV"Tenaga kuda-jam "HPh"Watt-jam "Wh"Kaki-pon "flb"BTU "BTU"

Daya Satuan_asalatausatuan_tujuanTenaga kuda "HP"Waft "W"

Magnet Satuan_asal atau \atuan_lujuanTesla "T"Gauss "ga"

Temperatur Satuan_asal atau satuan_tujuanDerajat Celcius "C"Derajat Fahrenheit "F"Derajat Kelvin "K"

Volume cairan Satuan_asal atau satuan_tujuanSendok teh (teaspoon) "tsp"Sendok makan (tablespoon) "tbs"Ons cairCangkir "cup"Pint "pf'Quart "qf 'Galon "gal"I-iter "l''

Awalan-awalanBeberapa singkatan untuk awalan satuan pengukuran berikut dapat digunakan sebagai awalan

terhadap beberapa pengukuran satuan_asal maupun satuan-tujuan.

Awalaneksa

peta

teragigamegakilohektodekadesisentimili

PengalilE+18lE+15lE+121E+091E+061E+03

1E+021E+01

rE-01I E-02I E-03

Singkatan"E""P",.T,,

"G".,M,,

"k""h"

"d"C

"m"

_ Bab 6: Funqsijunqsi Enqineerinq

r..\ro 1E-06r-:o0 lE-09rrko lE-12 "p"re nlto lE- 15 "f '

rro 1E-18

CatatanJika tipe data yang dimasukkan tidak tepat, CONVERT akan menghasilkan nilai enor #VALUEI.Jika satuan tidak tercantum, CONVERT akan menghasilkan nilai error #N/A.Jika satuan tidak bisa mengadaptasi suatu singkatan awalan, CONVERT akan menghasilkan nilaierror #N/A.Jika satuan berasal dari grup yang berbeda, CONVERT akan menghasilkan nilai er:ror #N/A.Penulisan nama satuan dan awalan harus memperhatikan huruf besar atau kecil.

GontohCONVERT(1.0,"1bm","kg") sama dengan 0,453592CONVERT(68,"F","C") sama dengan 20CONVERT(2.5,"ft","sec") sama dengan #N/A

Jangan lupa mencantumkan tanda kutip (" ").

6.6 Aljabar matriks

O Rplitasi-aplikasi aljabar matriks menyertakan pemecahan untuk sistem persamaan aljabar liniersimultan dengan beberapa variabel dan sistem koordinat rotasi. Operasi aljabar matriks yangtersedia di dalam EXCEL begitu terbatas, namun cukup mampu untuk mengerjakan beberapa halyang bermanfaat. Apabila Anda membutuhkan operasi-operasi tingkat lanjut, Anda dapat meng-gunakan program-program seperti MAIHCAD, MAILAB atau MATHEMAIICA. Sebuah marriks2x2 (terdiri dari 2 baris dan 2 kolom) berbentuk seperti:

Determinan matriks 2x2 tersebut berbentuk seperti:

(6-8)

Sebagai contoh,

(6-9)

Rumus array dan bagaimana memasukkannyaSr'ruah rumus array dapat melakukan beberapa proses kalkulasi dan akan memberikan satu ataur;rt"rk hasil. Run.rus-rumus array berlaku untuk dua atau lebih kumpulan nilai yang dikenal.3r:!.ri urgumen array. Setiap argumen array harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.P.:.burtln rumus alray memiliki cara yang sama dengan pembuatan bentuk dasarnya, yaitu rumus1:.i: :Lnigrl. Runtus-rumus array dimasukkan dengan cara tertentu:

(o,, ",,')[,,r: ,t:: )

0,, a.,)

ln',', ur'.1= otg22 - at2Ltal

,1',:- | =tz)(5)-(7)(-3)= to+21 =31.15

6.6 Aliabar matriks

> Pilihlah satu atau beberapa sel yang akan diberi rumus, buatlah rumus kemudian tek;ir ir,:r-.-

tombol CTRL+SHIFT+ENTER untuk memasukkan rumus tersebut.

MDETERMFungsi ini menghasilkan determinan matriks sebuah array.

SyntaxMDETERM(anay)Array adalah sebuah array numerik dengan jumlah baris dan kolom yang sama.

Array dapat berupa sebuah range sel; contoh: A1:C3, sebagai sebuah array yang konstan; sepenr

{1 ,2,3;1,5,6;7,8,9} atau sebagai nama dari keduanya.Jika beberapa sel di dalam array dalam keadaan kosong atau memuat teks, maka MDETERM akan

menghasilkan nilai error #VALUE!.MDETERM juga akan menghasilkan #VALUE! jika aray tidak memiliki jumlah baris dan kolonryang sama.

CatatanDeterminan matriks adalah suatu jumlah yang diperoleh dari nilai-nilai di dalam array. Untuk anartiga baris dan tiga kolom, A1:C3, determinannya didefinisikan sebagai:

MDETERM(AI :C3) sama dengan

Al *(B2*C3-B3,'C2)+A2x(B3r'C I -B I *C3)+A3+(B l'+C2-82*Cl)Determinan matriks umumnya digunakan untuk pemecahan sistem persamaan matematika yang

memuat beberapa variabel.MDETERM dihitung dengan keakuratan mendekati l6 digit, yang dapat menghasilkan kesalahan

numerik yang kecil pada saat perhitungannya tidak lengkap. Contoh, determinan matrik tunggaldapat berbeda antara nol dan 1E-16.

ContohMDETERM({ 1,3,8,5;1,3,6,1 ;1,1,1,0;7,3,10,2}) sama dengan 88

MDETERM({3,6,1 ;1,1,0;3,10,2}) sama dengan 1

MDETERM({3,6;1.1}) sama dengan -3

MDETERM({ 1,3,8,5;1,3,6,1}) sama dengan #VALUE! karena array tersebut tidak memiliki jumlah

baris dan kolom yang sama.

TIPS

Pergunakan mouse Anda untuk menyeleksiuntuk memasukkan bilangan-bilangan. Inikesalahan ketik. Lihat Gambar 6-4.

range di dalam lembar kerja sebagai cara

akan lebih cepat dan Anda akan terhindar

Bukalah lembar kerja MATRIX dan jelajahilah sambil kita membahas operasi-operasi matrik: inr

MINVERSEFungsi ini menghasilkan matriks invers untuk matriks yang tersimpan di dalam arrar.

SyntaxMINVERSE(array)

4 -------A---l TlhrvERSE -l:H F:r#-#

120 Ba@

G.- t'l , ,l

1 iMATRIX.XLS

i'id#piei6 i -?

Matrix Operations

I Transoose of C If-r- 661

f---r81-:-71tt:t

.tltt

.-..-,,-.,-,.,,.,,.,,,,,],,.,,,,,,,,,.,,.,,.,,'i'l

A times A INVERSE

1 Irl 1

AB=C21 1

otl

vpe-r-e"sl,L.o-Lplf IffiGambar 6-4. Sel H16 memuat determinan matriks C. Perhatikan rumus di dalam kotak editor sel,=MDETERM(G12:H13). Di sini AB = C.

array adalah sebuah aray numerik dengan jumlah baris dan kolom yang sama.array dapat berupa sebuah range sel; contoh: A1:C3, sebagai sebuah array yang konstan; seperti

11,2,3;4,5,6;1,8,9) atau sebagai nama dari keduanya.Jika beberapa sel di dalam array dalam keadaan kosong atau memuat teks, maka MINVERSE akanmenghasilkan nilai error #VALUE!.MINVERSE juga akan menghasilkan #VALUE! jika array tidak memiliki jumlah baris dan kolomyang sama.

CatatanRumus-rumus yang menghasilkan array harus dimasukkan sebagai rumus-rumus array.

Anda dapat menggunakan matriks-matriks invers. seperti halnya determinan, untuk memecah-kan sistem persamaan matematika yang memuat beberapa variabel. Hasil perkalian sebuah matriksdengan inversnya akan menghasilkan matriks identitas. yaitu sebuah array bujursangkar dengannilai diagonalnya adalah I dan nilai lainn1,a adalah nol. Matriks identitas 2x2 berbentuk seperti:

n0\ilo r,

Marilah kita lihat contoh bagaimana sebuah matriks dua baris, dua kolom, dihitung. Anggaplahrange Al:B2 berisi huruf-huruf a, b, c dan d yang meuakili empat buah bilangan. Tabel berikutini menunjukkan matriks invers Al:B2.

MINVERSE adalah fungsi lembar pengolah angka yang sangat hemat, walaupun matriks 2x2membutuhkan beberapa tindakan analisis. Untuk matriks 2x2 yang berbentuk,

-8-.

sr!11

IZa1

1i15

Tabel 6-2. Matriks lnvers 2x2

Kolom A Kolom B

Baris '1 d/(a.d - b.c) b/(b.c - a.d)

Baris 2 c/(b"c - a-d) a/(a.d - b-c)

6.6 Aliabar matriks 121

(a b\A=l I

[c d)

matriks inversnya diberikan sebagai,

, l(d -h) t (d -b)A'= | l=- | I.

lAl[-, il) ud-bc\-t'o)

Menghitung matriks invers 3x3 memerlukan banyak pekerjaan. Untungnya pekerjaan yang

merepotkan tersebut dapat dikerjakan dengan komputer saat ini juga. Fungsi MINVERSE me-

lakukan perhitungan dengan keakuratan mendekati 16 digit, walaupun kadang menghasilkan ke-

salahan numerik yang sangat kecil. Beberapa matriks bujursangkar tidak dapat diinverskan dan

akan menghasilkan nilai error #NUM melalui MINVERSE. Determinan yang noninvers adalah 0.

ContohMINVERSE({a,-1;2,0}) sama dengan {0,0.5;-1,2}MINVERSE({1,2,1;3,,1,-1;0,2,0}) sama dengan {0.25,0.25,-0.75;0,0,0.5;0.15,-0.25,-0.25}Gambar 6-5 menunjukkan penggunaan MINVERSE di dalam lembar kerja MATRIX.

MMULTFungsi ini menghasilkan perkalian matriks dua array. Hasilnya adalah sebuah array yang memilikijumlah baris sama dengan arrayl dan jumlah kolom sama dengan arcay2.

SyntaxMMULT(aray1,anay2)(anayl, array2 adalah dua buah array yang akan Anda kalikan)'

Jumlah kolom cli ar:rayl harus sama dengan jumlah baris di arcay2 dan kedua array tersebut

harus berisi bilangan saja. arrayl dan array2 dapat berupa range sel-sel, affay konstanta atau

referensi.Jika beberapa sel ternyata kosong atau memuat teks, atau jumlah kolom di arrayl tidak sama

dengan jumlah baris di array2, maka MMULT akan menghasilkan nilai er:ror #VALUE!.

CatatanAnay a yang merupakan hasil perkalian matrik dari dua artay b dan c adalah:

a4 = \b*cqt=l

dengan i adalah nomor baris dan 7 adalah nomor kolom

TIPS

Pergunakanlah tungsi INDEX untuk mengakses ke elemen-elemen individu di dalam matriks

yang sangat besar. Ini merupakan fungsi yang kompleks. sehingga jika ukuran matriksnya

kecil akan sangat mudah untuk mengkaji array-n)a secara visual.

(6- 10 t

.Ban 0: fungsi-fung

-;,TMtNVERSE(II8611

F *-1*

GG**]-**;i-.."..".."""^""^^^..."^*-*-lli

-'.-,.,,.,,.''-,.,,.,,' 1,,,,''

A times A INVERSE

1 00 1

D

?3

*Q,!tep$l"9*

4 A5 5 0b 0 B

Gambar 6-5. Penggunaan MINVERSE di lembar kerja MATRIX. Rumus di kotak editor sel {=1411t1y=*aE(A5:86)}berlaku untuk seluruh sel di dalam range D5:E6. Anda perlu memilih sel-sel ini dan memasukkan rumus arraymenggunakan Ctrl+Shift+Enter.

Marilah kita melihat ke contoh khusus yang menggunakan Persamaan (6-10):

u,)73)

?')

e)

7+-l*9\ t_7 +5*9)

3)16 7) 12*6+3*8 2+ll l=ls)[8 e) \+*o+s*8 4'k

(2B=l

\4

3\

5)

{6C=l

(8

l2A=BC=l

(4(ru[64

Rumus-rumus yang menghasilkan array harus dimasukkan berupa rumus-rumus array.

> Pilihlah satu atau beberapa sel yang akan diberi rumus, buatlah rumus kemudian tekantombol-tombol CTRL+SHIFT+ENTER untuk memasukkan rumus tersebut.

ContohMMULI({ 1,3;1,2},12,0;0.2}) sama dengan {2,6:la.a}MMUUI({3.0;2,0},{2,0;0,2}) sama dengan {6,0;a,0}MMUUI({1,3,0'.7,2,0',1,0,0},{2,0;0,2}) sama dengan #VALUEI. karena array pertama memuattiga kolom dan aray kedua hanya memiliki dua baris.Garnbar 6-6 menunjukkan penggurlaan MMULT di dalam lembar kerja MATRIX. Bukalah lembarkerja itu dan jelajahilah rumus-rumusnya. Ubahlah nilai elemen matriks dan arnati hasilnya. Cobalahl

TRANSPOSE

Fungsi ini menghasilkan range sel vertikal sebagai range horizontal, atau sebaliknya. TRANS-POSE tidak akan menghasilkan transpose dari keseluruhan matriks hanya dalam satu kali men-

.illankan operasi. (Anda harus melakukan transpose satu kolom atau satu baris dalam satu waktu).TRANSPOSE harus dimasukkan sebagai rumus array (CTRL+SHIFT+ENTER) di dalam

.:L'urrh range yang masing-masing rlemiliki jurnlah baris dan kolom yang sama seperti kolom dan-.::i. .1rrr). Pergunakanlah TRANSPOSE untuk mengubah orientasi vertikal dan horizontal sebuah.r;' Ji Jalam lembar kerja. Contoh, beberapa fungsi, seperti LINEST, menghasilkan aray-array

:.r',li;l LI),iEST menghasilkan array horizontal untuk kemiringan garis dan perpotongan-Y

-: -r. !:i-i.. Rumus berikut menghasilkan array vertikal untuk kerniringan garis dan perpotongan-\ -::-.. LI\EST:- t i\ SP.)SE, LI\EST( nilaiY.nilaiX))

Matrix Operations

6.6 Aliabar matriks I t-1

1 * B c tt' D E

t ,rartRtx.xls h4*trix *p*rati*nsf l^heator fiJ

'------.---;-'r------i-'iijiEEEE-l{ ------------S-----_] | ----I-llli}illi!-----J5 5l ol I B2l ol6 __ 0l 8l I Bl 01251

7

Isl0iU-::#::I f:*F=fii- 4T-- - f--- 6T----l111 41 5l I bl :lI 1^{

it5i !0

Anggap Al:Cl memuat berturut-turut 1,

ke dalam sel A3:A5:TRANSPOSE($A$1 :$C$1) sama dengan

* 6**-1

A limer A. INVERSE'I

/,8. D

)l 1{

E6

u-qrFSHst!.[-*-***-gl.

2. 3. Pada saat rumus berikut dimasukkan sebagai amay

urut-urutan nilai di A3:A5.

t<

l3

3il5*a

xs{n

ir11

Gambar 6-6. Penggunaan operasi perkalian matriks MMULT. Rumus di dalam kotak editor sel {=MMULT-(A12:L-13,D12:f tai) nertaku untuk seluruh sel di dalam range G12:H13. lngat: Anda harus memasukkan seluruh

iumus array menggunakan Ctrl+Shift+Enter. Pilihlah range sel-selnya sebelum mengetikkan rumus Jika Anda

hanya melihat satu buah masukan, berarti Anda belum memilih sel-selnya atau Anda hanya menggunakan

tombol Enter.

SyntaxTRANSPOSE(array)Array adalah affay atau range sel-sel di dalam lembar kerja yang akan Anda transpose. Transpose

sebuah array dibuat dengan menjadikan baris pertama affay sebagai kolom pertama amay baru.

baris kedua array sebagai kolom kedua array baru, dan seterusnya.

Gambar 6-7 menunjukkan penggunaan TRANSPOSE di dalam buku kerja MAIRIX.

Contoh

:ilMATRIX.XLSChapter 6

A lrres A I|'IVEPSE1

ll 1

A-B=D?1 1

6E 57

Gambar 6-7. Penggunaan TRANSPOSE di dalam buku kerja MATRIX. Anda harus menggunakan dJa':TRANSPOSE untuk men{ranspose matriks 2x2. Rumusnya ditunjukkan dalam range J13:K13.

Matrix Operations

I A lt'l!'ERSE I

f---6:r----81I ol I tr'51

r-----r---l#

,,, 3 - ._:;J--*^;l=rI4NSPosEiHir:Hi 3)i

.A I Ctt 0 E

Bab 6 : F1 ngg5[q ngelEngineeri4g

-

.\l.1abar matriks memudahkan pemecahan masalah persamaan simultan. Pertama. marilah kitapecahkan sistem yang paling sederhana yang dapat Anda lakukan cukup den-uan tangalt atau didalam kepala. Pikirkan pasangan persamaan aljabar linier yang simultan berikut,

x+2Y=!3x+y-5.

Solusi analitis untuk kedrra persamaan simultan tersebut mudah didapatkan, yaitu x = 1,2 dan

) = 1,4. Sekarang marilah kita pecahkan persamaan-persamaan tersebut menggunakan metodematriks, (Ini bagaikan membuka kulit kacang dengan bantuan martil, namun ini hanya berupasebuah ilustrasi sederhana). Kita dapat menuliskan kedua persamaan di atas ke dalam bentukmatriks.

(l

[,/ t\lal

Ir](6-ll)

atau dengan simbol AB = C. Dikalikan di sebelah kirinva dengan invers A,

A-rAB = A-rC sehingga B = A-rC. (6-12)

Carilah A-l menggunakan lembar pengolah angka Anda, sehingga persamaan matriks kita menjadi,

0.4) 14)-0.2/ \s/

:)(''rr,l [r ]

-

(6- l3)

Hitunglah perkaliannya dan Anda akan mendapatkan,

(6- 14)

Hasil ini sesuai dengan perhitungan analitisnya, x = 1,2 dan r,- 1,4. Kekuatan metode matriksrrenjadi jelas pada saat Anda perlu mencari solusi untuk persamaan linier simultan berukuranbesar dengan jumlah variabel yang banyak. Operasi matriks mengurangi tenaga untuk melakukanopcrasi-operasi rutin semacam ini.

Setelah memeriksa hasil yang Anda dapatkan, jangan lupa untuk mengembalikan hasilnya kepersamaan aslinya untuk memastikan bahwa tidak ada kesalahan yang terjadi. Kesalahan yangsangat kecil bisa saja terjadi karena lenrbar pengolah angka urenghitung invers matriks denganketepatan yang tidak lebih daripada 16 angka desimal. Ini dapat menrbuat nilai 0 muncul sebagailx1016.

6.8 Aplikasi matriks: mesin Atwood

P.rJ.r tahun 1784, George Atwood dari Universitas Carnbridge menemukan mesin sederhana untuk:ll:ntpelajari hukum Newton tentang gerak untuk kecepatan rendah. Mesin Atwood mungkin satul: illirra sekian banyak perangkat mekanik yang populer di Internet; ada sejumlah situs yang..::.,jrturnkan tbto dan deskripsi untuk beberapa variasi mesin ini.

\l:r,ganalisis gerak rnesin menrbutuhkan pemecahan sistem persamaau aljabar linier sirnultan.\1'::..: <:ti ntelakukan pemodelan terhadap mesin ini dengan dua cara. pertama dengan model

/x\ ( -O.2I t_t

[r,) - [ o,o

(r) _ (1.2)(y/ - [t,+,/'

6.8 Aplikasi matriks: mesin Atwood 125

sederhana tanpa massa dan puli tanpa gesekan; ini membutuhkan matriks 2x2. (Perhatikan bahwa

benda tanpa massa dan komponen mekanik tanpa friksi hanya ada secara teori.) Kedua, lebih

realistis, model yang memerlukan matriks 3x3. Mesin Atwood dengan puli pejal terdapat di soal

no. 10 di bagian akhir bab ini.Seperti biasa, untuk mulai menganalisis, gambarlah diagram benda bebas untuk setiap objek

di atas, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6-8. Untuk benda tanpa massa dan puli tanpa gesekan,

hanya dua buah diagram benda bebas yang dibutuhkan. Setiap massa memiliki gaya tegangan 7ke atas dan gaya berat Mg ke bawah. Berdasarkan hukum kedua Newton, jumlah aljabar gaya-gaya

ekstemal sama dengan massa dikalikan dengan percepatannya. Oleh karena itu, persamaan untuk

geraknya menjadi,

7-Mtg=*Mfi7'Mzg=-Mza.

Kita perlu mencari tegangan I dan percepatafl a. Jangan khawatir Anda akan salah menerka arah

percepatannya. Jika Anda memilih tanda yang salah untuk percepatannya, jawabannya hanya akan

menghasilkan tanda yang berlawanan. Kita dapat memecahkan kedua sistem persamaan simultan

sederhana ini secara langsung namun kita akan mencobanya dengan metode matriks. Mari kita

tulis ulang persamaan-persamaan gerak untuk puli tanpa massa dengan jumlah yang tidak diketahui

di sisi kiri dan jumlah yang diketahui di sebelah kanan,

T-Mp-MBT+M2a=M28.

Sekarang kita siap menuliskan ulang persamaan-persamaan tersebut ke dalam format matriks,

Invers matriks 2x2 didapatkan ntelalui Tabel 6-2 dan contoh di dalam pembahasan mengenal

MINVERSE halaman 121.

t1 -M,\/r\ (M,\'l t:tIt +u. )\t ) [ v, )'

t (M, M,)

-l-1.

M) + Mt\ -l 1)

T1 T2

tLlu,l lv,l-f+

YJMrg M:!

Gambar 6-8. Dua buah massa digantungkan dengan kawat antimulur melewati sebuah puli tanpa gesekarDiagram benda-bebas menunjukkan tegangan f dan berat Mg. Tegangantegangan adalah sama untuk p.r

tanpa massa. Puli dengan massa M digunakan di Soal 10.

Bab 6: Fungsi-fungsi Engineering

r.':..1i :isi kiri kedua persafitaan matriks tersebut dengan invers matriks 2x2 dan masalah ini:rir;ahkan dengan,

Mr+M,

D::sln kata lain.

1.M rM,T = "'"t IM.+M,"Ll ._Ml

d=-?.M, + M,'

Dengan sebuah contoh numerik, anggap Mt = 1 kg dan Mz = 2 kg, kemudian I = 4gl3 N dana - g/3ms2. Percepatannya lebih kecil daripada percepatan massa yang jatuh bebas. begitulahan-sgapannya. Massa puli dapat diikutsertakan den-qan sedikit kerja tambahan; lihat Soal 10. Gambar6-9 menunjukkan versi mesin Atwood tersebut.

Apa yang terjadi pada saat dua buah massa berada dalam kondisi icientik'l Yang terjadi adalahtegangannya sama dengan Mg dan percepatann)'a sama dengan nol. Dengan kata lain, sistemberada dalam kesetirnbangan statik.

Puli bermassa yang tanpa gesekan

Kita dapat rnengikutkan massa puli sebagai bagian dari rnomen inersia terhadap sumbu rotasi.(Lihat Soal 10. Untuk informasi lebih lanjut mengenai nr(rnren iriersia. silakan lihat Bagian 5.7.)Gambar 6-8 dan 6-9 dibuat menggunakan Drawing Tool Ercrr rang be-ritu bermanfaat namuntidak rnampu menandingi software gambar untuk keperluan engineering.

Gambar 6-9. Mesin Atwood menyertakan puli bermassa. Momen inersia pult di sepan.jang sumbu rotasi adalah/". Gambar ini dibuat menggunakan Drawing Tool EXCEL.

(r\ _( 2M"Ml \(,J \prr-u,)

6.9 Rotasi koordinal 127

6.9 Rotasi koordinat

Mengapa Anda perlu merotasi koordinat? Ada sebuah alasan, yaitu tidak tertutupnya kemungkinan

untuk menemukan suatu metode pemecahan sederhana dengan cara memutar sumbu. Contoh-

sebuah benda yang meluncur di atas sebuah bidang miring lebih mudah dianalisis dengan sistem

koordinat yang menempatkan salah satu sumbunya paralel terhadap bidang miring dan sumbu

Iainnya regak lurus terhadap bidang miring (lihat Bagian 4-3). Untuk bidang miring, Anda hanya

perlu memutar sebuah sumbu untuk mentransformasikan problem gerak ke dalam problem gerak

satu dimensi. Lihat Gambar 6-10 dan 4-2.

Aljabar matriks disukai oleh banyak orang untuk merotasi sumbu koordinat karena dapat

dilakukan sebagai operasi rutin, bahkan untuk rotasi tiga buah sumbu ruang. (Di dalam relativitas,

Anda membutuhkan matriks 4x4 untuk melakukan rotasi empat sumbu ruang-waktu. Ini dinamakan

transformasi Lorentz, namun Anda tidak perlu memikirkannya saat ini).Persamaan (6-15) menunjukkan persamaan matriks untuk rotasi satu sumbu; dalam hal ini

sumbu-2, seperti nampak di Gambar 6-10. Rotasi seperti ini tidak akan mempengaruhi vektor

komponen-2. Perhatikan bahwa matriks rotasi dapat dianggap sebagai sebuah operator yang men-

transformasikan vektor biasa menladi vektor prima.

sin 0

cos 0

0

(6-ts)

Mengingat kita tidak mengubah komponen-2, maka kita dapat membahas hanya komponen.r

dan y dan ini mengurangi materi diskusi kita menjadi hanya dua dimensi. Dengan kata lain.

seluruh perubahan komponen berada di bidang xy. Bentuk sederhana Persamaan (6-15) menjadi

Gambar 6-10. Sebuah rotasi sistem koordinat membuat sudut 0 yang berlawanan arah jarum 1am. R::':nampak dilakukan atas sumbu-z positif terhadap pusat koordinat. Vektor P adalah konstan namun pro.'.'s - . :pada sumbu menjadi berbeda.

?ltilt.,;Icos0I -sin 6

Io

sin 0\ /r \ltt.o. e] [ ''.J

- (6- 16)

Sebagai contoh, anggaplah terdapat sebuah vektor berukuran l0 sepanjang sumbu-x positif.Sebuah rotasi sistem koordinat sebesar 45 derajat melawan arah jarum jam yang diterapkan menjadi.ebuah sistem koordinat baru dapat diwakili oleh,

( l0 cos 4.s) f 7.071068)l-to ,in +sl - [-z.ozroos/

I cos0

(-sin I

cos 45 sin 4-5\ I l0\l t--sin 215 cos a5/ [ 0 ]

[,;)

(6-t7)

Perhatikan bahwa vektor berada di kuadran keempat dari sistem koorclinat terotasi. Perhatikan pulabahwa besarnya vektor adalah tetap, yaitu 10. (Kita ulas kembali, besarnya vektor adalah akarkuadrat dari jumlah aljabar kuadrat komponen-komponennya). Pada saat Anda menerapkan rotasiini untuk lebih daripada satu vektor, maka Anda akan menemukan bahwa sudut relatif antaraseluruh vektor tidak berubah dan seluruh besarnya pun tidak berubah.

Sebuah transformasi yang membiarkan besar vektor dan sudut relatifnya ti<lak berubah di-namakan transfbrmasi ortogctnal. Anda dapat mengenali transformasi ortogonal berdasarkandeterminan matriksnya yang sama dengan +1. Ini memperjelas kondisi matriks yang digunakan disini karena cos20 + sin20 = +1.

Ada beberapa soal di bagian akhir bab ini yang akan membantu Anda untuk meningkatkankemampuan dalam operasi-operasi matriks di dalam lembar pengolah angka.

6.10 Fungsi lembar k INDEX

0 Fungsi ini berguna pada saat Anda bekerja dengan sebuah matriks berukuran besar karena iniakan menghasilkan suatu nilai, atau referensi nilai, dalam sebuah tabel atau range. Berhati-hatilah:ada dua bentttk fungsi INDEX: yaitu aray dan ref-erensi. Bentuk array selalu menghasilkan sebuahnilai atau sebuah array nilai; sedangkan bentuk ref'erensi selalu menghasilkan sebuah referensi.Meskipun nampaknya begitu sederhana, namun INDEX cukup rumit untuk digunakan.

INDEX(array, nomor-baris,nomor-kolom) menghasilkan nilai dari sel tertentu atau array sel dalamarray.

INDEX(referensi,nomor-baris,nomor-kolom,nomor_area) menghasilkan sebuah referensi terhadapsel tertentu atau sel-sel dalam referensi.Pengulangan:Dua bentuk INDEXFun-ssi INDEX memiliki dua bentuk: array dan referensi. Ini akan menghasilkan nilai sebuahelemen di dalam sebuah array atau tabel, ditandai oleh nomor indeks baris dan kolom. Untukmatriks. silakan menggunakan bentuk array.Syntax 1 (array)Bentuk array selalu menghasilkan sebuah nilai atau array nilai; pergunakanlah bentuk array jikarrgunren pertama terhadap INDEX adalah sebuah array yang konstan.Syntax 2 (referensi)Bentuk reterensi selalu menghasilkan sebuah referensi.

Syntax 1 rbentuk anay)I \DE \ rrrt\.nomor_baris.nomor_kolom).\::.rr :i;luh :ebuah range sel atau sebuah array yang konstan.

6.'10 Funosi lembar keria INDEX

Nilai-nilai yang tidak berubah di dalam rumus alray:Dasarnya, rumus nilai-tunggal mengeluarkan sebuah hasil tunggal dari satu atau lebih orgtltllr'tl

atau nilai; Anda dapat memasukkan referensi sel yang memuat nilai maupun memasukkan nilui itu

sendiri. Di dalam sebuah rumus alray, yaitu rumus yang biasanya menggunakan ret-erensi terhadup

range sel, Anda dapat juga mengetikkan array dari nilai-nilai yang terdapat di dalam sel-sel. .\n'lrdari nilai-nilai yang Anda ketikkan dinamakan konstanta array dan digunakan secara umum pa,1.,

saatAnda ticlak ingin memasukkan setiap nilai ke dalam sel yang terpisah di dalam lembar keriu

Untuk membuat sebuah konstanta array, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut:

Masukkan nilai-nilai secara langsung ke dalam rumus, tutuplah dengan kurung kurawal ({ } t

Pisahkan nilai-nilai dari kolom yang berbeda dengan tanda koma (,).

Pisahkan nilai-nilai dari baris yang berbeda dengan tanda titik koma (;).

Contoh, Anda dapat memasukkan {10,20,30,40} ke dalam rumus array selain memasuk}ian

10,20,30,40 ke dalam empat buah sel yang sebaris. Konstanta array ini dikenal sebagai arral

1-per-4 dan setara dengan ref'erensi 1-baris-per-4-kolom. Untuk mewakili nilai 10,20,30,40 di

dalam sebuah baris dan 50, 60, 70, 80 di satu baris di bawahnya, Anda dapat memasukkan

konstanta aray 2-per-4: { 10,20,30,40;50,60,70,80}.

Isi konstanta arrayKonstanta ar-ray dapat memuat bilangan, teks, nilai logika seperti TRUE atau FALSE maupun nilai

error seperti #N/A.Bilangan di dalam konstanta array dapat berupa bilangan bulat, desimal, maupun format

ilmiah (scientific).Teks harus dituliskan di dalam tanda kutip, contoh "Selasa".

Anda dapat menggunakan tipe-tipe nilai yang berbeda di dalam satu konstanta array, contoh

{ 1,3,4;TRUE.FALSE,TRUE }.Nilai-nilai di dalam konstanta aray harus berupa nilai yang konstan, bukan rumus.

Konstanta array tidak dapat memuat tanda $. tanda kurung. atau tanda %.

Konstanta array tidak dapat memuat ref-erensi sel.

Konstanta array tidak dapat memuat kolom atau baris yang panjangnya tidak sama.

Nomor_baris menyeleksi baris di dalam array asal untuk menghasilkan suatu nilai. Jika nomor-barir

dihilangkan, nomor-kolom-lah yang diperlukan.Nomor_kolom menyeleksi kolom di dalam array asal untuk menghasilkan suatu nilai. Jika

nomor-kolom dihilangkan, nomor-baris-lah yang diperlukan.Jika argumen-argumen nomor_baris dan nomor-kolom digunakan, INDEX akan menghasilkan

nilai di dalam sel di antara perpotongan nomor-baris dan nomor-kolom.Jika array hanya memuat satu baris atau satu kolom, hubungan argumen nomor-baris atau

nomor_kolom akan merupakan pilihan.Jika anay memiliki lebih claripada satu baris dan lebih daripada satu kolom, dan hanra

nomor_baris atau nomor_kolom yang digunakan, maka INDEX akan menghasilkan sebuah arrar

untuk seluruh baris atau kolom di dalam array.

Jika Anda mengeset nomor_baris atau nomor-kolom ke 0 (nol), INDEX akan menghasilkrn

array nilai untuk seluruh kolom atau baris. Untuk menggunakan nilai-nilai yang dihasilkan seblg.rt

array, masukkan fungsi INDEX sebagai sebuah rumus array di dalam range sel horizontal. Untuimemasukkan rumus array, tekan CTRL+SHIFT+ENTER.CatatanNomor_baris dan nomor_kolom harus menunjuk ke sel dalam anay, jika tidak demikiaD llur-INDEX akan menghasilkan nilai error berupa #REF!.ContohINDEX({ 1,2;3,4},2,2) sama dengan 4

Jika dimasukkan sebagai sebuah rumus arra,r, maka:

INDEX({ 1,2:3,4},0,2') sama dengan {2;4}

ll:

Bab 6 : ELmgll:lqlgliEngDeellg

Apa selanjutnya?

K.:- rk.rn melaju dengan cepat. Bab 7 akan membahas mengenai persamaan-persamaan diferensial::enggunakan EXCEL.

Daftar Pustaka

D. Frenkel, L. Golebiowski dan R. Portugal, "Computer algebra takes on the vibrating-membraneproblem," CompLtting in Science and Engineering I (2),88-93 (1999). Karya ilmiah ini merupakancontoh yang bagus mengenai penggunaan fungsi-fungsi Bessel. Di dalamnya memuat grafik-grafikevolusi waktu dari bermacam-macam model vibrasi membran berbentuk bundar untuk stimulanlang berbeda-beda.

T. Lawson, Linear Algebra, (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996). Ini merupakan perlakuanyang seksama terhadap aljabar matriks dengan bantuan keterampilan komputasi dan teori. Andamembutuhkan kalkulus dan pendahuluan persamaan diferensial untuk mempelajari buku ini.

MAILAB (www.mathworks.com) memiliki Excpr- LrNr dan Marssunrlce(www.wolfram.com)memiliki Marucr,tlttca LlNr ron ExcEI-. Merncao 8 (www.mathsoft.com) memiliki komponen dataI/O dengan Excpl.

Uji kemampuan Anda

l. Gunakan CONVERT untuk menuliskan skala 37 derajat Celcius menjadi Fahrenheit.

2. Gunakan CONVERT untuk mengubah tekanan 5000 Pa menjadi tekanan dalam atm.

3. Fungsi RAND0. Bukalah buku kerja RANDOM dan jelajahilah untuk mengetahui bagaimanafungsi RAND0 digunakan di lembar kerja. (Buku kerja ini terdapat di folder Bab 8 di dalamCD. Lihat pula Bagian 8.8 dan 9.10).

4. Matriks invers. Pergunakan lembar pengolah angka Anda untuk menghitung matriks invers,

5. Kalikan matriks di Soal 4 dengan inversnya untuk mendapatkan matriks identitas,

(t o\tll0 l/(Ini akan menjadi konfirmasi bahwa matriks invers yang Anda hitung di Soal 4 adalah benar-benar invers dari matriks yang diberikan).

6. Kalikanlah matriks-matriks di bawah ini. Perhatikan bahwa hasil perkalian matriks bergantungpada urutan perkaliannya. Dengan kata lain, perkalian matriks tidak komutatif.

l5 f,\

[, 8.J

(t 2 3\(e 8 7) (e 8 7\/t 2 3\

lo s ollo s ol=, lu s +ll+ s ul=,lz a s,/[: z t) [: : r,J[z B s)

1.

Uji kemampuan Anda

8.

Rotasi koordinat. Buatlah gambar sistem koordinat dua dimensi. Di sumbu-.r. ganrb*:.-:-sebuah vektor sepanjang 3 cm. Sekarang gambarkan sebuah sumbu baru yang diput": ^derajat berlawanan dengan putaran jarum jam, dengan pusat koordinat yang tetap. (lni ir'.:-rupakan rotasi terhadap sumbu-2.) Berapakah panjang komponen-komponen vektor di drl.:::sistem koordinat yang baru? Ukurlah di dalam gambar dan hitunglah menggunakan lenrL';:pengolah angka Anda.

Rotasi koordinat, Bagian 6.9. Buatlah sebuah lembar kerja menggunakan perkalian matrik.untuk menghitung komponen-komponen vektor di Soal 7 untuk beberapa sudut. (Petunjukmasukkan sudut rotasi ke dalam sebuah sel di bagian atas lembar kerja dan pergunakanlahsebagai alamat sel absolut untuk sinus dan cosinus. Ingatlah untuk mengubah derajat menjadiradianl Uji cobalah lembar kerja Anda dengan sudut yang positif dan negatif).

Determinan matriks. Tunjukkan bahwa determinan rotasi matriks di soal no.8 adalah +1.

Pergunakan lungsi MDETERM dalam lembar kerja Anda dan tunjukkan pula secara analitik.Nilai +l menunjukkan bahwa ini adalah transformasi ortogonal.

0 Mesin Atwoorl. Dua buah benda terhubung dengan seutas kawat yang massanya diabaikan.Benda pertama bermassa 50 kg dan benda kedua 110 kg. Kawat bergerak di bibir puli tanpagesekan bermassa M = 2 kg dan jari-jari R = 0,3 m. Lihat Gambar 6-9. Momen inersia pulidi sumbu rotasinya adalah 1= 0,09 kg m2 llihat Bab 5). Benda-benda tersebut lalu dilepaskandari keadaan diamnya. Kawat tidak tergelincir dari puli. Berdasarkan diagram benda bebasnya.persamaan geraknya menjadi,

Tr-M8=*MraTz-Mzg=-M2aT2R-T1R=(llR)a.

Pergunakan metode matriks untuk menentukan tegangan kawat danpercepatan gerak yang terjadi. (Pakailah g = 9.8 m/sl sebagai percepatangravitasi). Bandingkan jawaban dari lembar kerja dengan jawabananalitiknya.

Berikut ini adalah problem 1'ang lebih menantang: Gambar disamping kanan ini adalah mesin Atrvood ganda. Untuk mudahnyaanggaplah kedua puli tersebut tidak bermassa dan tanpa gesekan. MassaM1 adalah 50 kg, M2 adalah 1-50 kg dan M: adalah 100 kg. Sistembergerak dari keadaan diamnya. Tentukanlah percepatan setiap massa

dan tegangan setiap kawatnya. Mesin ini akan lebih mudah dianalisisdengan menggunakan metode dinamika lanjutan (persamaan Lagrange)selain menggunakan hukum Newton tentang gerak. Drawing ToolExcnl digunakan untuk membuat gambar ini.

or6'

M.J

M1

M2

9.

r0.

ll. I Entropi dan fungsi lembar kerja COMBIN. Beberapa mahasiswa beranggapan bahwaentropi ditemukan untuk membingungkan mereka. Beberapa orang berkata bahwa entropididiskusikan oleh para filosof, digunakan oleh para insinyur dan dipahami oleh para ilmuwan.Setelah mengerjakan soal ini, Anda harus mampu mendiskusikannya, menggunakannya, danmemahaminya. Entropi dikenal selama bertahun-tahun sebagai fungsi termodinamika sebelumdikenal sebagai pengukuran dari suatu ketidakpastian. Contoh, sebuah sistem yang teraturmemiliki entropi rendah dan sistem yang tidak teratur memiliki entropi yang tinggi. Reaksi-reaksi kimia terjadi, orang menjadi tua, bintang-bintang terbakar dan polusi meningkat: inradalah aspek-aspek kenaikan entropi karena setiap sistem yang terisolasi akan mengalamikenaikan entropi. Entropi lazimnya diukur dengan satuan J/K, yaitu Joule/Kelvin. Suatu keadcttu:

' :2 Bab 6: Funosi-funqsi Enqineerinq

nnkro mengacu pada gambaran kasar mengenai sistem. Contoh, gas dapat dideskripsikandengan tekanan, temperatur dan volumenya. Keadaan mikronya adalah susunan khusus partikelgas tersebut. Jelasnya, bisa saja terdapat banyak keadaan mikro yang menghasilkan keadaanmakro yang sama di dalam gas. Semakin banyak keadaan mikronya, maka semakin tinggipula kemungkinan terjadinya keadaan makro. Untuk sebuah model sederhana, bayangkanempat buah koin. Di sini, I buah keadaan mikro berhubungan dengan 4 buah bagian depankoin dan 1 buah keadaan mikro berhubungan dengan 4 buah bagian belakang koin. A<ta 4keadaan mikro dengan 1 buah bagian belakang dan 3 bagian depan, dan 4 keadaan mikrodengan I bagian depan dan 3 bagian belakang. Selanjutnya, terdapat 6 keadaan mikro yangberhubungan dengan 2 bagian depan dan 2 bagian belakang. Inilah keadaan makro yangpaling mungkin dengan urutan paling sedikit, yang paling acak. Bukalah buku kerja EN-TROPY dan Anda akan melihat bagaimana penggunaan fungsi COMBIN untuk menghitungkombinasi yang mungkin untuk sejumlah besar partikel. Carilah ke dalam menu Help untukmengetahui lebih jauh mengenai COMBIN. Amatilah bahwa keadaan yang paling mungkinadalahjauh lebih mungkin untuk muncul dibandingkan dengan keadaan lain. Anda dapat sajanyaris tidak mempedulikan keadaan lain yang mencapai 100 buah, khususnya ketika Andamemiliki bilangan yang besar seperti 6,02 x 1023 lbilangan Avogadro). Modifikasilah bukukerja Anda untuk memeriksa benda n = 10,50 dan 1000.

Catatan: jumlah cara untuk membuat pilihan sebanyak k dari benda sebanyak n adalah

kl(n - k)l

dengan nl ada "n faktorial", Entropi S diberikan sebagai,

s = t.38 x ro-r' ,r(*10,,)rr*.

Konstanta Boltzmann adalah 1,38 x 10-13. Gambar di bawah ini berasal dari buku kerjaENTROPY-2. Untuk informasi lebih lanjut, silakan lihat ke buku karya D. Halliday, R.Resnick, dan J. Walker, Fundamentals of Phltsics, Sixth Edition (John Wiley & Sons, Inc.,New York, 2001) halaman 483-504. Soal latihan ini berhubungan dengan topik mengenaikonservasi energi dan kenaikan ketidakteraturon yang diberikan oleh National Science Edu-cation Standard.

0.2

0

0.00

Probability of Heads of Tails

Entropi maksimum berhubungan dengan ketidakpastianmaksimum.

nt.

1.00

Entropy of a Binary System (Coin Toss)

Bab 7Persamaan Diferensial


Persamaan diferensial begitu penting di dalam ilmu rekayasa dan sains karena digunakan untukmenjelaskan bagaimana perubahan suatu sistem. Di dalam bab ini kita akan mendiskusikan duametode numerik dari solusi persamaan diferensial linier biasa kemudian membandingkannya satu

sama lain. Kita akan menggunakan contoh-contoh sederhana sehingga nantinya dapat menghasil-kan suatu solusi analitis yang eksak dan dapat dipakai untuk membandingkan kesalahan terhadappenggunaan metode numerik.

Kita juga akan melakukan sesuatu yang sederhana berupa contoh-contoh interaktif metodeelemen hingga untuk memecahkan persamaan Laplace maupun persamaan diferensial parsial yangdipakai di seluruh bidang teknologi dan sains. Metode ini akan menunjukkan bagaimana dankapan referensi sirkuler digunakan di Excpr-, yang merupakan sesuatu yang biasanya Anda hindari.Hasilnya akan ditunjukkan dalam diagram 3-D.

Di dalam bab ini kita akan mendiskusikan dua kategori umum:

. Nilai awal.Contoh: r(t1 = 22 dan drldt = 6, pada saat / = 0.

. Nilai batas.

Contoh: t'(r) = 0, untuk x = 0 dan x = ll.

7.', Operasi-operasi pendahuluan

Sebelum menggunakan metode numerik untuk mencari solusi, Anda perlu mencoba mencarinladengan solusi analitis. Persamaan diferensial telah dipelajari selama beratus-ratus tahun, sehinggaAnda dapat menemukan suatu solusi yang telah diketahui terhadap hampir seluruh problem dasar

- atau bahkan problem tingkat lanjutan - yang mungkin Anda hadapi.Langkah pertama adalah mencoba untuk mengidentifikasi persamaan dif'erensial sebagai suatu

bentuk persamaan yang telah diketahui. Jika bentuk tersebut tidak diketahui, langkah kedua adalah

mencoba mentransformasikan persamaan tersebut ke dalam bentuk yang diketahui dengan mengubah

variabelnya. Langkah ini serupa dengan mengubah suatu integral yang tidak diketahui menjadiintegral yang diketahui, contohnya dengan substitusi trigonometri. Biasanya, untuk dapat nre-

lakukannya membutuhkan pengalaman. Jika Anda dapat menemukan solusi analitis, maka .\nc.dapat menggunakan lembar pengolah angka Anda untuk menghasilkan tabel sepanjarg r&flle r u:.idiamati untuk nilai-nilai yang berbeda dan konstan.

Bab 7: Persamaan Diferensial

Per.amaan-persamaan diferensial biasa yang berorde lebih tinggi dapat ditransfbrmasikan ke

j:.;nt ii:t€fil persamaan-persamaan orde pertama, seperti yang akan kita lihat nanti. Cara ini dapat

.l.ering ntungkin dipakai walaupun untuk persamaan diferensial parsial. Contoh, di dalam ilmu

iinantika lanjutan, transformasi Legendre digunakan untuk mengubah persamaan-persamaan

Lagrange (persamaan diferensial parsial orde-kedua iz) ke dalam persamaan-persamaan Hamilton,per\amaan diferensial parsial orde-pertama 2n). Cara lainnya yang juga bermanfaat adalah dengan

ltt,rrtisclrun variabel, yang memungkinkan Anda untuk mentransformasikan persamaan diferensial

parsial ke dalam sistem persamaan diferensial biasa. Ini adalah cara umum untuk solusi masalah

nilai batas.

Tabel tambahan untuk transformasi Laplace juga tersedia, sehingga Anda dapat menyederhana-

kan persamaan diferensial biasa menjadi persamaan-persamaan aljabar. Tentu saja, metode-metode

analitis membutuhkan kemampuan pemahaman yang cukup, namun ini memang diperlukan untuk

menggunakan metode numerik secara ef'ektif.

Program matematika lanjutan (Menr-r, MerHCao, MarsEra,qrtca, Merr-ae, dan sebagainya)

begitu unggul dibandingkan EXCEL untuk memecahkan persamaan diferensial. Meskipun begitu,

semuanya membutuhkan waktu untuk mempelajarinya, harganya pun mahal dan Anda tidak dapat

melihat tahapan-tahapan apa yang dikerjakan oleh program-program tersebut.

7.2 Contoh: variabel yang dapat dipisah ODE

Variabel _vang dapat dipisah adalah salah satu bentuk termudah dari persamaan diferensial biasa

(ODE). Jika Anda dapat memisahkan variabel-variabel - dengan meletakkan seluruh variabel

fungsi yang saling bergantung di sisi kiri dan seluruh variabel fungsi yang tidak saling bergantung

di sisi kanan - maka solusinya telah disederhanakan untuk keperluan perhitungan beberapa

integralnya. Tabel integral memang disediakan untuk mengakomodasikan seluruh kebutuhan Anda.

Ada sebuah integrator yang tersedia di Internet yang memungkinkan Anda untuk mengetikkan

fun-esi integralnya dan mendapatkan hasilnya (lihat Bab 5, Gambar 5-8). Jika Anda tidak dapat

nrengintegralkan secara analitis, Anda dapat menggunakan metode di Bab 5 untuk mendapatkan

pendekatan integral secara numerik.Di dalam contoh ini kita akan memecahkan persamaan diferensial biasa orde kedua dengan

i-1renrrenstbmtasikannya menjadi dua buah persamaan diferensial biasa orde pertama. Setelah men-j.rr:iken rolusi untuk kedua persamaan diferensial biasa orde pertama ini, kita akan menggunakan

E\CEL untuk membuat tabel nilai-nilai solusinya.

Sei;rlng ntarilah kita memecahkan sebuah persamaan dif'erensial. Anggaplah Anda memiliki.3rLr;rl ren.ia bermassa nr vang bergerak di dalam sebuah media cair yang kental dengan gaya

Pertonyaon yong sering muncul

T: Mengapa pengerjaan dengan sebuah solusi analitis begitu memakon waktu ketika saya

membutuhkan sebuah tabel berisi niLcti-nilai? Mengapa tidok langsung saja menuju ke solusi

numerik?

J: Solusi numerik memberikan hasil di sepanjang range nilai yang berhingga. Di sisi lain,

solusi analitis memberikannya di sepanjang range variabel sehingga Anda dapat menghindari

hal-hal yang tidak diinginkan. Contoh, sebuah solusi numerik Anda, namun ini mungkin

menjadi tidak stabil untuk range nilai yang lain. Aliran zat cair mungkin akan mulus dan

lancar untuk beberapa nilai, namun alirannya dapat tiba-tiba berputar-putar untuk sebuah

perubahan kecil dari variabel yang independen atau konstan. Anda dapat mengamati gumpalan

asap yang membumbung di udara diam.

;rr .eb.rnding dengan kecepatan -R drldt, dengan R adalah gaya hambatan konstan.

7.2 Contoh: variabel vanq dapat dipisah ODE 135

(7-1)

(7 -2)

(7-3)

(1 -4)

(7-,5)

(1-6t

Ini merupakan persoalan satu dimensi sehingga kita tidak perlu menggunakan vektor. LihatlahGambar 7-1. Dengan menggunakan hukum kedua Newton tentang gerak, hasil perkalian antara

massa dan percepatan adalah sama dengan jumlah aljabar gaya-gaya luarnya, ma = ZF. Modelpersamaan kita pun menjadi,

Kita dapat menuliskan kecepatan sebagai v = dxldt dan percepatan sebagai a = dvldt. Sekaran-s

gunakanlah substitusi di dalam Persamaan (7-l) untuk mendapatkan persamaan diferensial biasa

orde pertama,

,r4' = -pr.dt

Ini merupakan sebuah persamaan yang mungkin, dan mudah, untuk memisahkan variabel-variabelMari kita meletakkan v di sisi kiri dan r di sisi kanan untuk mendapatkan,

*+ = -Rd*.dr' dt

dvR; = -;o'

Sekarang kita dapat mengintegralkan kedua sisi tersebut dan memperoleh,

ff=-fiJ o'*'

ln(v)= -!t+C

v = exp(ln r) = ".p(-*/ + c).

dengan C merupakan konstanta integral yang ditentukan dari kecepatan awal.

Sekarang eksponensialkan kedua sisi tersebut dan pergunakanlah aturan logaritma exp(ln.r)

= x. Gambar 7-2 menunjukkan aturan ini sebagai "Hukum Napier" exp(ln Af = N. Hasilnya adalah.

#T#m*ff1+ ffi$$rri}#ffifB-iW

*e{rrffiHfirq*

Gambar 7-1.Gaya hambatan (-Rv) terjadi atas benda bermassa myang bergerak dengan kecepata' , 3z,zhambatan selalu berlawanan dengan kecepatan.

rsl -3''u \*d c

"#'ftdrq\.d idf ',

NF*.tdL,Jlm{

ffiffis!0

7qTVg&FrY*v*s

ffiffiKffi ffirffisTIf*$ fitifi ffiffiffi0il 1$ f*I s[ tf; Yrtffir


Gambar 7-2. "Hukum Napier" (Ley de Napier), sebuah rumus matematika yang mengubah wajah dunia (Las10 Formulas Matematicas que Cambiaron laFazde la Tierra). Rumus ini menyediakan kalkulasi numerik dannavigasi angkasa, dilambangkan dengan sekstan kelautan dan gugusan bintang Big Dipper di dalam perangko.Navigasi angkasa menghasilkan peta akurat pertama untuk eksplorasi dan perdagangan internasional. Hasilkerja John Napier, dipublikasikan pada tahun 1614, dipuji 200 tahun kemudian oleh Pierre-Simon Laplace, "...dengan mengurangi tenaga kerja, menggandakan jiwa para astronom".

Sekarang pergunakanlah aturan logaritma exp(A + B) = exp(A)exp(B).

(7 -1)

Sekarang marilah kita lihat ke kondisi awalnya, y = 1'o pada saat 1 = 0. Hasil akhimya menjadi,

(7_8)

sehingga kita mendapatkan kecepatan awal 1,0 = exp(C). Persamaan (7-8) menjabarkan sebuahpeluruhan eksponensial sederhana dalam kondisi sistem yang stabil setiap saat. Konstanta w*aktlt

untuk proses eksponensial ini adalah r = m/R detik. Ini adalah waktu kecepatan untuk turunrnenjadi lle atau sekitar 0,367879 dari nilai awalnya. Untuk menentukan posisi sebagai fungsiuaktu. tuliskan ulang Persamaan (7-8) menjadi,

(7 -e)

Kit.r dapat menemukan pergeseran r(r) dengan mengintegralkan Persamaan (7-9)

_ ( R\y = exp(c )exp[__rr.

, = ,',, .*p(- 4 r)

dr /R\,lr = t'o exp[- rr.

'=Jvdtl' :.-:.nr" C ditentukan oleh nilai awal .r pada saat / = 0, yang kita sebut xr. Hasil..'j-: i;

(7-10)

akhirnya

7.2 Contoh: variabel vanq daDat dioisah ODE 137

(1 -11)

Akhirnya, kita mendapatkan solusi untuk persamaan diferensial biasa (ODEt orJe r:----Persamaan (7-t), dengan memecahkan persamaan diferensial biasa orde pertamo. Sc'i.::: -masukkanlah solusi ini ke dalam buku kerja.

Bukalah buku kerja bernama Drag-Force- I dan Anda akan melihat tampilan utaman\ a .efe:.di Gambar 7-3. Di gambar ini, data dimasukkan ke dalam sel C6:C9. Sel-sel ini diref-eren.ik,,:oleh rumus di sel-sel B12 dan Cl2 menggunakan alamat sel absolut. Sumbu waktu beradr;kolom A dan dibuat menggunakan lEditl[FilllISeriesl[Column]. Rumus di dalam sel B12 adal.,r-

Persamaan (7-8) yang dituliskan menjadi,

=$,cs8+ExP (- ($c$7 / $cs6 ) *A12 ) .

Rumus di sel Bl2 dikopikan ke sel-sel B13:Bl12. Seperti biasa, operasi kopi dilakukir,menggunakan bantuan noktah di sel.Rumus di dalam sel C12 adalah Persamaan (7-ll)yang dituliskan meniadi

=$C$9+ ( ($C$8*$C$6) /$c$7) * (1-ExP(- ($c$7/$C$6) *A12) ) .

Rumus ini dikopikan ke sel-sel Cl3:Cll2. Anda dapat melihat mmus ini di dalam kotakeditor rumus untuk sel Cl2 di Gambar 7-3.

Hasil perhitungan kecepatan dan posisi terdapat di sel G7 dan G8. Sel-sel ini secara sederhana

mengacu ke kecepatan dan posisi pada saat / = 10 detik. Rumus di sel G7 adalah =8112 dan

rumus di sel G8 adalah =CLL2.Kolom A, B, dan C digunakan untuk membuat grafik XI scatter untuk menampilkan hasil

melalui cara yang berbeda.

Drag-Farce-1.XLSChapter 7

*l:j*ct lvitlr ffi*sistiv* firnq F*r**,

-. n ('-1_l

- - -t\dt

r =.\o . '#[' - '*o(-#')]

H

inlst?l(

mlstn

1

2

3,

45,

6vII

101,1

1213

Ag

N s/mmlsm

1415

1617

0 100 0

0.1 e4.176451 sffi1-{0.2 8*.69204 18,846590.3 83.52702 27.4549S0.4 78.66379 35.562020.5 74.08182 43,19696

Gambar 7-3. Tampilan utama buku kerja Drag-Force-1. Buku kerja ini menghasilkan tabel nilai menggunaka-solusi analitis persamaan diferensial biasa orde kedua. Anda dapat memasukkan data baru di sel-sel C6 C3dan mengamati hasil-hasil barunya.

t,7L-

Dl\Ent*r Sxtx;

Mass m 2

Force Constant R 1.2lnitial veloc {s0lnitial position 0

Velocity at 10 sPosition at 10 s

Time constant tauVelocity at tauPosition at tau

0.2478r5{ss.35351.66S6S736.78794.{{}s.3s34


Gratrk-gratiknya berupa Kecepatan, Log Kecepatan (grafik semi-log), Posisi, Posisi dan(e:epatan tmenggunakan sumbu--y kiri dan kanan dengan satu buah sumbu--r untuk menampilkani:t: rec-itra terpisah), dan Kecepatan terhadap Posisi. Empat grafik pertama menampilkan kecepatan

*::1 pr'rrisi sebagai fungsi waktu, menggunakan kolom A untuk waktu. Perhatikan bahwa grafik.rnri-log tidak dapat menampilkan nilai-nilai negatif.

Peltonyaan ycng sering muncul

T; Contoh buku kerja Drag-Force-l mengingatkan saya akan pengosongan muutott resi.stor-

kapasitor Apakah analogi ini cocok?

J: Tidak, karena massa di dalam sistem mekanika adalah analog terhadap induktansi di dalam

sistem elektronika. Lihat Tabel 7-l untuk elemen-elemen yang analog. Contoh buku kerjaDrag-Force-1 adalah analog terhadap pengosongan muatan resistor-induktor.

Persamaan (7-8) dan (7-11) merupakan persantaan parametrlk, dengan r sebagai parameter.

Gratik Kecepatan terhadap Posisi memperlihatkan suatu keistimewaan Excrl yang penting, yaitusangat mudah mengeliminasi parameter dengan menggambarkan u sebagai fungsi .r.

Data-data posisi digunakan sebagai sumbu-x dan data-data kecepatan dipetakan ke sumbu--v

sehingga Anda dapat menggambarkan grafik sebuah.flrrgsi dari fungsi lainnya untuk menentukan

kecepatan di setiap posisi dan pada setiap saat. Eliminasi parameter dapat juga dilakukan secara

analitis tetapi di dalam kasus ini sangatlah mudah untuk mengerjakannya dengan ExcEr-. Gambar

7-.1 menunjukkan perubahan waktu untuk kecepatan dan posisi.

7.3 Metode numerik Euler

Sekaran-e marilah kita pecahkan sebuah persamaan diferensial biasa (ODE) dengan murnirnenggunakan metode numerik. Metode Euler adalah cara yang langsung dan sederhana namunJ.rprt dengan mudah diperbaiki, seperti yang akan lihat nanti.

Letrnhard Euler (1707-1783), salah satu matematikawan besar dunia, hidup di Swiss. Beliau:r-..:r-.5J\\rr sc-buah ide baru ke dalam kalkulus, geometri, aljabar, teori bilangan dan probabilitas.Ilj.i:r :rJtenratika terapan, beliau melakukan perhitungan untuk akustik, optik, mekanika, astronomi,.::..::.. 1;r iguri. statistik. dan finansial. Marilah kita lihat bagaimana metode Euler bekerja untuk-:.-:r tndl rans niemiliki percepatan konstan. Ini adalah ciri-ciri sebuah benda yang bergerak':t-r !,il;. Ji Jrlent rnedan gravitasi yang konstan dan tidak ada hambatan udara. Para astronot

Tabel 7-1. Elemen-elemen yang analog di dalam Sistem Mekanika dan Listrik

Mekanika Listrik

Gaya F Gaya elektromotif, tegangan V

Pergeseran x Muatan listrik q

Kecepatan v Arus listrik /

Percepatan a Laju perubahan arus dlldt

Massa m lnduktansi L

Konstanta gaya pemulihan k Kebalikan kapasitansi 1/C

Konstanta gaya hambatan R Resistansi listrik R

7.3 Metode numerik Euler 139

Velocity and Position with Drag Force

E100;.o

80ErI

o 2 4 6 8 10 12

Time (s)

Gambar 7-4. Sumbu klri: Kecepatan (tanpa noktah) . Sumbu kanan: Posisi (bernoktah). Perubahan waktu untuksistem massa yang tergantung ini dihitung berdasarkan data yang tertera di Gambar 7-3.

melakukan eksperimen ini di bulan menggunakan bulu ayam dan koin. Secara alami, keduanyajatuh dengan kelajuan yang sama. Dalam hal ini Galileo benar dan Aristoteles salah.

Jika kita mengetahui gaya F atas sebuah benda bermassa m, maka kita dapat menentukan

percepatannya berdasarkan hukum kedua Newton, a = Flm. Selanjutnya, pertambahan kecepatan

dv dan pertambahan pergeseran dr mengikuti definisi dari persamaan-persamaan berikut,

180

160

140

12080

E

iooo6

60

40

20

0

dv=adtdx=rdt.

Untuk interval waktu yang berhingga, persamaan-persamaan ini menjadi,

Lv=aLt

Av=vAr.

(7 -t21

(7- 13 )

Di dalam Persamaan (7- 14) dan (7- I 5), tanda garis di atas percepatan dan kecepatan menggambarkan

nilai rata-rata dari besaran-besaran ini selama interval waktu At.

Dalam bentuk yang diskret (yaitu untuk data diskret), kecepatan dan pergeseran dapat

dinyatakan sebagai,r' =1'+aLtil+l 11 n

,r =,r +vAt.,+t il n

Setelah waktu berlalu, berlaku hal-hal yang fundamental. Pertambahan waktu mengacu pada.

t,= to+ n\t. (7-11r

Walaupun metode ini nampak sebagai tambahan yang nyata di dalam kalkulus, namun terdapat

suatu kesulitan karena kalkulus memuat pertambahan percepatan dan kecepatan yang tak berhinggu

dan nilai-nilainya yang seketika. Pertambahan yang berhingga dapat memunculkan kesalahan hi..pertambahannya begitu besar karena nilai rata-rata percepatan dan kecepatan ada di Persan',;;:(7-14) dan (7-15). Hal ini akan menjadi jelas di dalam lembar kerja. Metode 1'ang lebih:k*:-:.

(1-14)

(7- l5 )

(7- 16 )

(7 -11 t

140 Bab 7: Persamaan Diferensial

it,i;il rnodi.tikrz.st atau perbaikan metode Euler, jnga dikalkulasi <li dalam buku kerja. Solusi analitisy an_r eksak dihitung untuk membuat perbandingan.

Contoh untuk percepatan konstan berikut ini dipilih guna memudahkan dalam melihat bagai-m.lna cara mengimplementasikan kedua metode tersebut, namun ini akan memberikan gambaranI rng menakjubkan mengenai perbaikan yang telah dilakukan melalui hasil modifikasi (atau per-b'likan ) metode Euler. Anda dapat mengurangi kesalahan-kesalahan dengan menggunakan perubahanrrlktu yang sangat kecil. Perubahan waktu yang besar digunakan di Gambar 7--5 untuk menekankesalahan-kesalahan di dalam metode Euler dan Euler termodifikasi.

Di dalam aplikasi-aplikasi yang melibatkan percepatan yang tidak konstan (seperri sistemr ibrasi atau osilator harmonik) dan gaya-gaya yang bergantung pada kecepatan, metode Runge-Kutta lebih baik untuk digunakan, walaupun membutuhkan lebih banyak tahapan kerja. Tiada hasilr ang dicapai tanpa usaha. Lihatlah Bagian 7.4.

Bukalah buku kerja EULER dan Anda dapat melihat tampilan utamanya seperti ditunjukkanoleh Gambar 7-5. Data-data masukan berada di sel-sel D5:D8. Dalam kasus ini, percepatan a(0)adalah konstan dan tersimpan di sel D6.

Kecepatan awal u(0) dan pergeseran x(0) berada di sel D7 dan D8. Pertambahan waktunyatermuat di dalam sel D5; keakuratannya begitu sensitif terhadap ukuran pertambahan.

Sumbu waktu:Sel A15 memuat judul sumbu Waktu (Time).Sel B15 memuat judul sumbu Kecepatan Euler (Euler Velocity).Sel Cl5 memuat judul sumbu Pergeseran Euler (Euler Displacement), dan seterusnya.

Kecepatan Euler:Sel Bl6 memuat keceparan awal gDg7.Sel Bl7 =B16+$D$6*$D$5Pergeseran Euler:Sel Cl6Sel C17

=<n<Q=c16+B16*SD$5

FGf ,1141'- f;lcfl.,rrl .lr,rl ir.,,.1 i'..*,J[1i--r'r l;i,

| --"'" "'"*:i '::i*:"H;

!1r..3i

Time irrrrarceleralio

lnrliellnili.il

mprffivnrnGGln,t 90[0n 0.801]08

i 92utl0l 0 44]flnlI 94rr00 0 7114[0

1 ."q6,ltt0 1 .0?9c10

0 $s88il 1 .176Biln.0rlllllrl 1 .:25[i]

Gambar 7'5. Tampilan utama buku kerja EULER sebagai perbandingan antara metode EULER dengan metode:--=i ::-:c rkasi dan hasil analitis eksak. Pertambahan waktu yang besar adalah untuk menekan-perbedaan^:S

#01Y,{il *flI\,','I!-11.1111 B-125800 "r 4161E^14"14.2857 2.15787E^14,16 E6E7 ^1.8861?E^14

"2il rlnN n

Di$plnif mer* {:on}p{r is+t

r 1.5

+

o/o errol ,\ errtrrrler k lmprr:ved X

d{m3

7.3 Metode numerik Euler

Kecepatan eksak:Sel Dl6 =$D$7Sel Dl7 =$n$7+SDS6*A16Pergeseran eksak:

SelEl6 =$D$8+$DS7*A16+0.5*SDS6*A16^2

Persentase eror, pergeseran Euler:Sel Gl6 =(E16-C16) *100/E16Persentase error, pergeseran perbaikan Euler:SelH16 =(E16-K16)*100/E16

Kecepatan perbaikan Euler:Set Jl6 =$Dg7Sel J17 =.116 + $D$ 6 * $D$ 5

Pergeseran perbaikan Euler:Sel Kl6 =$D$8Sel Kl7 =K16+0.5* (J16+J17) *gDg4

Perhatikan bahwa metode Euler menghitung pergeseran menggunakan nilai kecepatan darititik awal. Di dalam Soal 3, Anda akan mengubah metode Euler agar dapat menggunakan nilaikecepatan di titik yang sekarang, lalu membandingkan hasilnya dengan metode standar. Di dalanrbuku kerja EULER, metode Euler termodifikasi menggunakan nllai rata-rata keceparan di titiksebelumnya dan titik sekarang. Perubahan sederhana ini menghasilkan pertambahan keakuratanyang luar biasa.

Ubahlah kecepatan awal dan amati hasilnya. Gambar 7-6 menunjukkan perhitungan pergeserandengan data yang ditunjukkan di sel-sel D5:D8 di Gambar 1-4. Llhat Gambar 7-7 untuk kesalahandi metode eksak dan metode Euler termodifikasi.

Catatan: Rumus-rumus yang digunakan dalam perhitungan kecepatan dan pergeseran eksakadalah rumus kinematika standar yang diturunkan dengan kalkulus untuk percepatan yang konstan.

r(t)-lo+at

r(r)=1'o+Yot+O'5at2

Persamaan (7-19) berasal dari Persamaan (1-12),

(7 -19 t

(7-20 r

v{t1 = la, = to at = yo + (tt.

Dengan menggunakan Persamaan (7-13) dan (7-19), kita mendapatkan Persamaan (i-20).

+ U,5dr-

Selanjutnya, ubahlah kondisi awal di lembar kerja. Selain melemparkan bola ke atas (sepenrditunjukkan oleh Gambar 7-5 dengan kecepatan awal 4.9 dan posisi awal 0), marilah kira sek.id,rmenjatuhkannya dari posisi awal 4.9 dengan kecepatan awal 0. Ini merupakan contoh sederhrn,benda jatuh bebas, seperti yang pernah dilakukan oleh Galileo dari menara miring Pisa. Sebelur.Galileo, ahli filsafat Aristoteles menulis bahwa benda yang berat akan jatuh lebih cepar daripri.benda yang ringan. Galileo menunjukkan bahwa semua benda akan jatuh dengan keceparln -r.' -sama jika hambatan udara yang dialaminya adalah sama.

x1t1= [ax = lv dr = Jtr, * ctt) dt =.r0 + y0/

Ee! z.tereernee!-Qi&r9lq

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ,0 1,2

Time (s)

GambarT-6. Gerak.jatuh bebas dari ketinggian 4,9 m, dari keadaan diam. Hasil eksaknya mendekati hasil dariEuler termodifikasi. Benda tiba di permukaan tanah dalam waktu '1 detik. Metode Euler standar memilikikesalahan yang berlebih dan kesalahannya makin bertambah seiring waktu berjalan. Meskipun begitu, metodeEuler dapat memberikan hasil yang dapat diterima dengan memilih pertambahan yang sangat kecil.

Errors: lmproved Euler Method

c 4'0

CoEg 3,06o.9ox 2n

1 .6E-13

't .4E-13

12E-13

1E 11

8E-14

6E-14

4E-14

2E-'t4

coEoooo.9o.E

ouJ

co

oL

-2E-14

-4E-14

Time

Gambar 7-7. Kesalahan hasil metode Euler termodifikasi untuk parameter-parameter yang ditunjukkan olehGa-5ar 7-4. Bandingkan kesalahan-kesalahan metode Euler standar, kolom G di Gambar 7-4.

Drn!.rri tiadirnva hanrbatan udara, seluruh benda akan jirtuh dengan kelajuan yang salna.B-r- rjr-tu.\rrda akan menunjukkan sesuatu seperti yang tertera di Gambar 7-6. Kita tahu bahwa-:r j j-, "enti;.r lkan berpindah selauh 4.9 m dalam detik pertarna jatuh bebasnya, dengan mengabaikan

XDisplacement Comparison

7.4 Vibrasi yang baik 143

Lakukanlah eksperimen untuk posisi awal dan kecepatan awal yang lain. Contoh, janganlah

sekedar melepaskan bola. Jatuhkanlah dengan kecepatan awal yang searah dengan percepatannvii.

Anda mungkin perlu mengubah skala grafiknya atau mengesetnya menjadi otomatis.

7.4 Vibrasi yang baik

Sistem vibrasi ditemukan dalam berbagai bentuk di sepanjang cakupan ilmu rekayasa dan sains.

Desain mekanika mungkin akan mengalami kegagalan bila murni berada dalam kondisi statis dan

tidak mempertimbangkan kemungkinan vibrasi. Ribuan tahun yang lalu tentara-tentara Romau,i

telah diajari cara menyusun langkah dalam baris-berbaris. Mereka menemukan bahwa berdasarkanpengalaman, mereka harus menghentikan langkah dan berbaris sendiri-sendiri pada saat melintasijembatan untuk menghindari runtuhnya jembatan.

Pada 1 Juli 1940, Jembatan Tacoma Narows di Puget Sound, kota Washington selesai dibangun

dan dibuka untuk lalu lintas umum. Jembatan ini terletak di dekat kota Tacoma, Washington.

Jembatan tersebut mulai mengalami osilasi. Padal November 1940, kira-kira pukul I 1.00, suspensi

jembatan ini runtuh secara dramatis karena perancangnya tidak memperhitungkan ef'ek induksiangin yang menghasilkan vibrasi. Jembatan ini dibuka untuk umum hanya beberapa bulan.

Profesor F. B. Farquharson dari Universitas Washington memimpin serangkaian uji coba ata'sebuah model jembatan dan meyakinkan setiap orang akan kestabilannya. Sang profesor adalah

orang terakhir yang berada di atas jembatan itu. Bahkan ketika jembatan itu mengalami vibrl:ilebih daripada duapuluh delapan kaki ke atas dan ke bau'ah. beliau malah membuat perhitungan

teknis, tidak mengantisipasi keruntuhan jernbatan. Pada saat gerakan bertambah, beliau berhasil

mencari cara untuk mengamankan dirinya dengan mengikuti garis simpul di bagian tengah jalan.

Rekaman video vibrasi iengkap. cuplikan foto, jalan keluar Prof'esor Farquharson dan

keruntuhan jembatan tersedia di lnternet melalui situs:http ://www.enm.bris.ac. uk/nonl i near/tacoma/tacoma.html.

Prototipe sebuah sistem vibrasi adalah suatu massa dalam pegas. Kita akan mulai den-tan

model sederhana dari sebuah sistem satu dimensi tidak lembam (tidak ada energi yang hilang t

dengan gaya pulih linier -kr. Kita dapat menuliskan hukum kedua Newton tentang gerak rua = IFuntuk sistem model ini sebagai,

t-.- (1-21t

Mari kita tulis ulang menjadi,

cl2r k

,1t2 ntt7-alr

Pemecahan persamaan ini dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk yang ekuivalen dan seluruhnr rtelah kita kenal dengan baik sehingga tidak perlu kita buatkan turunannya. Marilah kita eeri

solusinyu berdasarkan intuisi.Perhatikanlah persamaan di atas, apa yang Anda lihat? Tentu Anda melihat turunan keduu J.rr;

sebuah fungsi yang berbanding lurus dengan fungsi negatif. Satu-satunyer tungsi yang kita ker:..berbentuk khusus seperti ini adalah sinus dan cosinus, atau representasi bentuk eksponen-i'.kompleksnya yang ekuivalen (lihat Bab 10). Jika kita mencoba sebuah solusi melalui bentuk ,

= A exp(iroot), dengan i = .,-1 dan 12 = -1, kita akan mendapatkan tl2xltli = -o,,1.\'. rehin:-::

,]axlll .=

dr'


,k-aiA exp(ia$t = -; A exp(ia;or). (7-23)

Per.amaan ini berlaku untuk seluruh A dan seluruh waktu sehingga kita mendapatkan,

tk@o=

mr'7 -)At

dengan rr,t. adalah frekuensi alarni sistem yang dinyatakan dalam rad/s. Perhatikan bagaimanatiekuensi alami sistem dipantau berdasarkan perbandingan pal'ameter-parametef simpanan energi:energi potensial yang sebanding dengan k dan energi kinetik yang sebanding dengan m. Di dalarnmodel sederhana ini tidak ada energi yang hilang.

Mengingat Persamaan (1 -22) adalah persamaan linier, maka jumlah aljabar kedua solusi itu

.juga merupakan sebuah solusi dan dapat kita tulis menjadi,

.r(r) =A cos(arol.) +B sin(a,rnt) (1-25)

dengan A dan B adalah konstanta yang ditentukan oleh kondisi awalnya. Per-geseran awal x(0)menentukan A dan kecepatan awal r'(0) menentukan B.

Sebuah model yang lebih runiit. tetapi lebih realistis, adalah sebuah sistem yang mengalamikehilangan energi dan pasokan energi luamya berasal dari sebuah -uaya. Kita dapat menuliskanrnodel persamaannya menjadi.

Sekarang terdapat tiga buah gaya terhadap benda rrr. Krtl gunakan gala pulih -kx di Persamaan(7-21), gaya hambatan yang digunakan di Persamaln t -- l r dan sekarang kita tambahkan pengaruhgaya luar umum F(r). Keempat jenis gaya luar bia:a.iigunakan terliadap uji coba dan pengukuransifat-sifat dinamika sebuah sistem: impuls (fungsi deltar. tunesi langkah (fungsi Heaviside), sinu-soidal, dan gangguan acak. Gaya sinusoidal mudah :ekali dihangkitkan melalui eksperimen di labdan mudah sekali digunakan dengan matematika dasar. \lari kita masukkan Persamaan (1-26)kedalam bentuk standar.

d: r' r1tm .-=-Lr*R *Fr1.dr- ,lt

,]!i *2K!: *ron.r=F,,,dt' dt

\7-26)

(1-21)

dengan K = Rl2m adalah kon.stonta kelemltarran. kebalikan dari konstanta waktu. Konstantakelembaman berh,rbungan dengan konstanta waktu r untuk sistem non-osilasi dengan t = l/2K.Kita mendapatkan waktu untuk sistem rnassa yang lembam di Bagian J .1 , t = nrlR. Sekali lagi kitalihat bahwa, semakin besar massa, maka semakin lanra pula waktu peluruhannya, dan semakinbesar faktor gaya hrlang, maka semakin singkat uaktu peluruhannya.

Alaminya, bentuk khusus fl(t) akan menentukan bentuk solusi untuk rnenjelaskan gerak sistem.

Jika F(r) adalah periodik, maka fungsi ini kerapkali bemrilnfaat untuk dapat menyatakannya sebagai

deret Fourier (Bagian 4.4) sehingga masalahnya dapat disederhanakan menjadi gaya sinusoidal.Mengingat sistern ini adalah linier, respon totalnya adalah jumlah aljabar respon-respon di setiapkomponen Fourier.

Solusi dari Persamaan (7-21) telah kita kenal dengan baik dan persamaan itu dapat dipilah-pilah menjadi tiga kategori yang bergantung pada parameter sistem:

. melebihi kelembaman (over-dampefi, or< K

7.4 Vibrasi vanq baik

kelembaman l<rrtis (critically damped), @r= K

di bawah kelembaman (under-dampefi, ar.,> K.

Sebuah sistem over-damped akan melentur menuju ke keadaan kesetimbangan secara relatif perlahr:..

seperti bandul di dalam oli. Sistem yang critically damped memiliki sifat yang selalu ingin kenrh.,r.

ke keadaan kesetimbangan secara cepat. Sistem yang under-damped mengalami osilasi seerr.,eksponensial. Pada saat kelembaman berukuran kecil, amplitudo sistem dapat menjadi sangat be:arhingga mendekati frekuensi resonansinya. Lihat kembali topik tentang keruntuhan jembatan Taconrr.,

Narrows.Marilah kita lihat solusi untuk sebuah kasus menarik mengenai sistem under-damped lanr

kembali ke keadaan setimbangnya setelah gaya luar dihilangkan. Sebuah cara bermanf'aat ) ang

dipakai untuk menyatakan solusinya adalah,

x(t) = s- xt

1*rcos( q,t)+ { (r,,,+ kx,,)/q, } si n(ot,,t)l (7-18 t

dengan @, = \r?, - X', yaitu frekuensi pada saat terjadi perubahan menurun karena pengarulr

kelembaman. Lantaran amplitudo mengalami perubahan, lebih akurat bila dikatakan bahwa osilatorunder-damped tidak memiliki fiekuensi tunggal: hal yang demikian bukanlah peristiwa pengulanganyang seragam. Persamaan (7-28) memiliki sebuah spektrum yang membentang akibat adanva

kelembaman. Semakin kuat kelembamannya. semakin besar pula bentangan spektrumnya (lihatBab ll).

Mbrasi sistem elektromekanik di dalam mikrochip yang menggunakan kristal kwarsa (quurt--)

dapat mendeteksi bakteri dan virus. Lihatlah intbrmasinya di dalam Scientific American 286 (3)

20-21 (Maret 2002).Gambar 7-8 memperlihatkan sistem under-damped yang kembali ke keadaan kesetimbangan.

Garis l/e menahan laju eksponensial untuk waktu yang konstan. Gambar 7-9 memperlihatkansistem pembuatan grafik cara sendiri yang dikendalikan oleh gaya impuls acak.

-x(t)---lle EXP[-(R/2m)t]

5.00 6.00

rlME (s)

Classical Under-Damped Simple Harmonic Oscillator

Gambar 7-8. Vibrasi under-damped dengan amplitudo yang tertahan dan garis'1/e


lrri:: lr:tt ,ii;hat

'rati u-i i,:rirjdj

Gambar 7-9. Menggambarkan sendiri massa di dalam pegas yang dikendalikan oleh gaya impuls acak. LihatPersamaan (7-27). Perhalikan bahwa tikustikus tersebut harus berlari mundur. (Courtesy of PASCO Scientific,Roseville, California. www.pasco.com).

7.5 Metode Runge-Kutta

\letode Runge-Kutta lebih akurat daripada metode Euler dan lebih rnemiliki kekuatan karenahekerja dengan gaya-gaya yang bergantung pada kecepatan seperti gaya magnet pada muatanlistrik yang bergerak. Metode ini membutuhkan komputasi yang lebih dalam, namun cukup sepadan.

Metode Runge-Kutta dirancang untuk mendekati deret Taylor, narnun Runge-Kutla memilikikeun-egulan yaitu tidak memerlukan evaluasi-evaluasi eksplisit dari turunan di deret Taylor. Selainnrenghitung turunan, metode Runge-Kutta terdiri dari beberapa nilai bantu; cletailnya diberikan didaltar pustaka di bagian akhir bab ini. Marilah kita n-rembayan.gkan metode Runge-Kutta ordekeempat dengan persamaan dif'erensial umumnya,

f (x, t) dengan -r(lr) = ru (1-29)drdr

Di :ini. l'(.r. t) adalah fungsitentukan /l sebagai ukuran

k.= h.t'i.r,,. t,,)

'- = /l/i.i,, + 0,-5/1. /,, +

.. - /r/i.r. + 0.5/1. r,, +

untuk -r dan r. lnilah yang dinamakan clengan masalah nilai uv:al. Ktlaloncatan. Sekarang kita harus menghitung gradien-gradien ft,

0,-5tr)

0.5fr,)

= ,.-r.1. + /r. t,, + 4.,)

7.6 Metode Runqe-Kutta 147

dan gradien-gradien tersebut digunakan untuk menghitung r pada pertambahan waktu berikutnya.

r(t,, + h)= -r, * j,r, * 2fr. + 2k., + k.,). (7-30)

Akhirnya, Anda melihat ini sernua seba-qai sesuatu i'ang lebih rumit daripada metode Euler.Dengan lembar pengolah angka. Anda dapat menggunakan pertambahan yang sangat kecil sehinggaAnda bisa mendapatkan hasil yang lebih baik rvalaupun men-ugunakan metode Euler dan bahkanmetode Euler termodifikasi pun nlampu menghasilkan yang terbaik. Sekedar mengingatkan kembali,Anda memiliki 65.536 sel. 2-56 kolom dan 2-56 lembar kerja! Dalam beberapa situasi, Anda tidakmemerlukun metode yang rumit.

Sir Isaac Newton rnemberikan saran, "Kebenaran seringkali dijumpai di dalam sebuah ke-sederhanaan dan bukan di dalam kerumitan maupun kebingungan akan sesuatu hal."

Profesor Albert Einstein (peraih hadiah Nobel pada tahun 192 l) mengatakan, "Sesuatu ituseharusnya dibuat sesederhana mungkin, namun tidak dengan ala kadarnya."

Runge-Kutta orde keempat adalah salah satu dari sekian banyak metode solusi numerik.namun ini pun seharusnya digunakan dengan memperhatikan:

"Untuk beberapa kalangan ilmiah, Runge-Kutta orde keempat bukan hanya merupakan katapertama dalam integral persamaan dif'erensial biasa, namun juga rneliputi kata terakhirnya. Padakenyataannya, Anda bisa mendapatkan hasil akhir yang cantik melalui kuda pacu yang sudah tuaini, khususnya jika Anda mengkombinasikannya dengan algoritma yang menggunakan ukuranloncatan sesuai. Pahamilah bahwa walaupun perjalanan terakhir yang ditempuh kuda pacu tua itubegitu jauh dan membawa Anda ke rumah miskin di daerah Bulirsch-Stoer atau metode prediktor-korektor, namun metode ini dapat menjadi sangat efisien untuk problem-problem yang memerlukankeakuratan tinggi. Metode-metode tersebut merupakan kuda-kuda balap berstamina tinggi. Runge-Kutta adalah untuk membajak sawah. Namun demikian. bahkan kuda pacu tua berlari lebih cepatdengan sepatu kuda yang baru..."

W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling dan B. P. Flannen.Ntunericul Recipes itt C: the Art of Scientific Computing. halaman 711.

(Cambridge UP, Cambridge, 1991t

Berikut ini beberapa situs sebagai panduan dalam penggunaan metode Runge-Kutta:http ://www. nac se. org/sc96/DIFFEQ/mydif2/i ndex. htm Ihttp ://c sep. acns. colostate. edu/csep/ODE/NODET.html

7.6 Metode elemen hingga: Laplace

Sekarang kita sampai ke materi pelajaran yang berbeda seluruhnya dari persamaan dif'erensial J.,:metode yang juga berbeda seluruhnya dari solusi numerik. Saat ini kita akan mempelajari r1e flSin,:referensi sirkular dan mematikan Automatic Calculation di ErcEr-.

Persamaan dif'erensial biasa, ordinan cli.fJbrenticrL eqLrcttions (ODE), menggunakan turLr'.,,turunan total untuk mendeskripsikan proses-proses di dalam ilmu rekayasa maupun sain.. .\: -..

tidak akan ragu-ragu untuk mengambil mata kuliah mengenai topik ini secara utuh dan .\nJ., ..,.-.

mempelajari metode-metode solusi khusus yang berhubungan dengan aplikasi-aplika:i Jr ::r-.-mata kuliah lainnya. Walaupun begitu, turunan total tidak akan cukup untuk ntende.k:::'..--proses yang melibatkan fungsi-tungsi beberapa variabel. Persamaan dif'erensial p&r:i;;. .

dffirential eqturtions (PDE), dibutuhkan untuk mendeskripsikan dinamika. ntekrn;i, :-- ,-termodinamika, transf'er panas, dan elektrodinamika lanjutan, sekedar untuk ntenani;. .---- --kecil.


P:rnr araan bahwa "jumlah aljabar turunan parsial kedua adalah nol" dikenal sebagai persamaan

- -:..-.- Persamaan ini muncul dalam begitu banyak bentuk yang penjumlahan aljabar turunan

:.:.r.r. ke.luanra ditan<lai dengan simbol khusus V2. Bentuk ini dinamakan operator Laplace dan

.:::-.c Ji:ebut "del-kuadrat". Operator ini dapat dioperasikan dalam fungsi-fungsi skalar dan vektor.

;l: Jalam koordinat Kartesius dengan fungsi skalar, persamaan Laplace nampak seperti,

t7 -31 1

.rtau di dalam sembarang sistem koordinat jrl, jr2, .r3,

Y2V1xr, -t, x,) = 0. (1-32)

Persamaan (7-3 l) dan (7-32) mendeskripsikan beberapa sistem secara fisik; contoh umumnya

ldalah temperatur kesetimbangan dalam benda padat atau medan elektrostatis di dalam sebuah

r olunre ruang yang tidak mengandung kerapatan muatan listrik. Solusi analitis persamaan Laplace

telah dipelajari sepenuhnya dalam kondisi batas dan sistem koordinat yang berbeda, selama beberapa

rahun. Deret Fourier, fungsi hiperbola, fungsi Bessel, polinomial dan seluruh bagian dari benda-

benda menakjubkan muncul dalam solusi-solusi ini. Kadang matematika memang sulit.Hal pertama yang perlu Anda perhatikan mengenai persamaan Laplace adalah jumlah aljabar

ketiga bagiannya adalah nol. Ini mengandung arti bahwa salah satu darinya harus memiliki tanda

vang berlawanan daripada kedua sisanya. Sesuatu yang tidak begitu jelas, tapi mudah untukdibuktikan, adalah bahwa persamaan Laplace menyiratkan suatu solusi di sebuah titik yang me-

rupakan nilai rata-rata solusi di sekitar titik itu. Ini adalah kunci dari aplikasi lembar pengolah

angka kita.Kita tidak akan mendiskusikan solusi analitis yang menantang secara matematika. Sebaliknya,

kita akan menggunakan Exctl untuk mengembangkan sebuah solusi numerik menggunakan kekuatan

luar biasa dari metode elemen hingga. finite elemettt tnethod (FEM). Dengan menggunakan metode

ini. Anda bisa mendapatkan solusi numerik yang kelihatannya tidak mungkin dilakukan secara

anaiitis karena kita tidak mengetahui seluruh fungsi yang ada di alam semesta.

Mari kita mulai menggunakan metode elemen hingga melalui contoh satu dimensi, sehingga

Anda dapat melihat kesederhanaan konsepnya. Kita akan mencari distribusi temperatur di sepanjang

sebuah batang konduktor panas. yang dibalut isolator panas, yang terbuat dari logam tipis. Salah

satu ujungnya berada di sebuah keadaan temperatur, katakanlah di uap bertemperatllr 100 C dan

Lrjung lainnya berada di keadaan temperatur yang lain, katakanlah di dalam es bertemperatur 0 C.

Gan.rbar 7-10 memperlihatkan model untuk eksperimen ini dengan sumber panas bertemperatur

konstan di kedua ujungnya dan lima buah sensor temperattlr terpasang di batangnya.

Bukalah buku kerja TEMPERAIUR dan Anda akan melihat tampilan Lrtamanya di Gambar

7- I I . Distribusi temperatur berada jauh dari keadaan tetap di gambar ini. Bayangkan bahwa sebuah

Gambar 7-10. Batang konduktor panas yang dibalut isolator penahan panas terletak di antara dua buah sumber:.'.. ..'..-ce.atur konstan. Sensor-sensor temperatur terletak di sepanjang batang dengan jarak yang sama.!.s::--:' ^ serupa dengan eksperimen klasik Angstrom pada tahun '1800. Gambar ini dibuat denganl'2.',': -:: : E,,=-

ErY(x. v.:t D2v(.r. v.:) E2Y(*, t,:)-rTa)T-Jr-.c)x" dt' d:'

7.6 Metode Runqe-Kutta 149

:1

!

i45

DiEiTEMPERATURE.XL$t-.:unarrter ii

,fffiilonltrr--j---p.-'ul*1

Til*sptrffi,&Tuffi ff tt{ A L#hiffi,,TidrFi, ft ff nPress Function Key F9 to RecalculateC(:ntlnile plessing F9 ilntil temperatures do nct change,N,lanual R€calcuation is iurned on

Fo;rt,c,i - |s 1,,*5 at j*g'ee; C

The roC rs enclosprl rn thermal nslrlat,cn

1 1ffff 0000811

2l 99 SSE117l

-t

3 S*.99?1754 SS S0i175l5 ?9,9S-?&81

s s'i.99$9417 1oo fioriooo

Finite alement rnethcd.:

When Ioimulas require a circular reference. .

you may need to modifu the number of iterati+nsTo fhange the number 0f rleralions, clirk ifFhom on the -lorls menx,

,

and tlren r|ch ti-re falc:ulatii:n lab Sele(t the iteratli:rr check h*x, an,J thentndrcdte ths rna<rrnurrr nr-r-nber of rteratrons arr,J arrrc,unt *f charrr;e ?cju ldant tr,lrrrosoft Lxcel to u$e

Gambar 7-11. Distribusi temperatur belum diam dalam kondisi tetap. Tekanlah Tombol Fungsi F9 berulang kalihingga temperatur berhenti berubah.

DEF.G;H:

YtrltdPfiffi &T[ itrF' ihl A I dX\iri Tl".iihlJ .iTEMPERATURE.xLS/ , |15ntar a

el4 ljor'tion Trpmperature-l5

?-

t

1 l Uil 0010002 83.33474631 66 66s?d6l

H4 50 0021 19

i 33,3349226 1d 6674617 0 u0{10r10

Pless Function Key F9 to RecalculateC0n!inue prersing FS untiltemperatr:re: do n*l change

tf i tt,)r. I r: irt+,1 ei l*'l: ++! iDoa rr(,r 7 ii i,{eil ai Jegreei {The rl{1 is enclo6ed in tirerm*l insuiation

TenpBrature Distrif,utionss

l01t124i

l5j1S

17 Finite element method.1E

19 V.iherr formu'as requtre a circular referer':.-e,tfl ryou may neetl to nrcciify tl"!e nunlb*r of itaratior.l52l- ;To change th* number 0f iieratianl: cl!c! rlptlr:n3 *n lhe T00h menu,

,

32,andthenclickthe{laliulati':rtak, Selecttheli*i*iii>ncherkbcx,andthen23 irndrcate thg r:a.,mur., nLrnr[rer of teratrons arrd enrount of ':harge yoLj (vant lvlirro:oii E{.pl tc uri

Gambar 7-12. Setelah Anda menekan Tombol Fungsi F9 beberapa kali, distribusi temperatur yatg ar.'-,.mencapai nilai-nilai pada kondisi tetapnya ditunjukkan di sini.

0:roooF

lBU

BN

6n

4n

20

0

345Position

718lsl101

11:12',1-3-,

14:is l

1.S.,

tl1S

191

TEmilEraturs ri$fi huti0n

l il8

c 100f lno

O IUUcE lOBoF 100

1ofi


---i;1S []e&rrl memiliki tujuh buah sensor temperatur yang letaknya saling berjarrk sama di sepanjang:-Ihnra. di ujung-ujungnya terdapat sumber panas bertemperatur konstan.

\letode elemen hingga (FEM) mungkin analog dengan bagaimana Alam bekerja. pada saat:lurtan-muatan listrik berada di dalam konduktor, muatan tersebut saling mendorong satu samai.rin hingga mencapai konfigurasi energi potensial minimum.

Pada saat Anda menggunakan buku kerja TrurenAruRE dan LAPLACE, Anda dapat mengamatinledan-medan skalarnya ketika mereka berubah hingga mencapai konfigurasi yang stabil-yangmerupakan solusi akhir-yaitu saat tidak ada perubahan lagi yang terjadi. Konclisi di alam lebih.epat daripada Excel; muatan-muatan di dalam konduktor yang baik mengatur diri mereka sendiridalarn waktu l0-la cletik atau kurang daripacla itu. Alam pun juga kadang lebih lambat daripadaErcel; muatan-muatan kadang membutuhkan waktu tahunan untuk mengatur diri mereka r"ndi.idi permukaan isolator yang baik, seperti kwarsa.

Buku kerja ini memiliki tiga keistimewaan baru, yairu:

' Pertama, biasanya Anda menghindari penggunaan referensi sirkulctr, yaitu sebuah rumus yangmengacu ke sel itu sendiri. Para perancang Excel mengetahui bahwa beberapa aplikasi clibidang ilmu rekayasa dan sains membutuhkan referensi^referensi sirkular dan mereka me-nvediakannya. (Lebih lanjut mengenai sirkular, silakan lihat menu Help).

' Keistimewaan kedua di buku kerja ini adalah kita akan mematikan fasilitas Automatic Cal-culation dan mengaktifkan Manual Calculation untuk menjalankan referensi sirkular ini.

' Keistimewaan ketiga adalah penggunaan diagram 3-D untuk melihat hasilnya.

Marilah kita lihat bagaimana menggunakan metode elemen hingga (FEM) digunakan untukmenentukan potensial listrik atau temperatur di dalam cakupan dua dimensi. Bukalah buku kerjaLAPLACE dan Anda akan rnelihat sketsa sebuah kotak (lihat Gambar 1-13). Kotak kosong inimemiliki tutup yang rapat di atasnya untuk mengisolasinya clari pengaruh luar kotak. Bagianatasnya berupa sebuah konduktor yang berada dalam beda potensial sebesar 100 volt terhadap sisi-sisi dan bagian bawahnya. [Jntuk temperatur, anggaplah kotak ini berisi sebuah koncluktor panasdan temperatur di bagian atasnya diberi perbedaan temperatur sebesar 100 derajat C terhadap sisi-sisi dan bagian bawahnya. Sebagai contoh, sisi-sisi clan bagian bawahnya ditempelkan ke es danbagian atasnya tetap menempel dengan sumber panas.

Langkah pertama metode elemen hingga adalah membagi-bagi area atau volume menjadikisi-kisi. Selanjutnya kita akan menggunakan kisi-kisi ini dalam dua dimensi, 5 kali 5. Semakinbanyak kisi yang Anda gunakan, semakin baik hasil yang akan Anda ilapatkan.

Pada saat Anda membuka buku kerja, mungkin Anda sudah berada pada kondisi akhir. Untukrnernulainya kembali, ubahlah salah satu nilai batasnya. Contoh, ubahlah salah satu nilai 100 voltInenjadi 0 kemudian tekan Tombol Fungsi F9. Ulangilah terus menekan F9 hingga solusi berhentiberubah. Anda mungkin perlu menekan F9 hingga limapuluh kali sebelum memperoleh solusiranc stabil. Keadaan akhirnya ditunjukkan oleh Gambar 7-13.

Sekaran-u ubahlah 0 kembali ke 100 dengan menekan Tombol Fungsi F9. Hasilnya akanrrrengalami penf impangan seperti nampak di Gambar 7- 14. Lanjutkan menekan F9 hingga tercapail',r11iiog1'11s' irang stabil. Mengingat akan kesimetrian konclisi batas, medan di dalam kotak akan::'i!'nuniukkan pola yang simetris pula.

Lebih jauh mengenai referensi sirkular:r: -- --:.-,1.t ruttlus cli scl D6 (Garnbar 7-13) dan sel D5 (Gambar 7-14). Rumus di sel D6 rnengacu': '; D-< i.,n lirrtrula di sel D-5 mengacLl ke sel D6. Ini adalah ref'erensi sirkular dan biasanyair -- :r.:r r e ndupatkan peringatan buruk dari Excu (lihat Gambar 7- 15) jika Anda tidak meng-:-- ,. -- \1.,'r:.,:l Rr.irilculation clan memberi tanda cek di pilihan Iteration.

7.6 Metode Runge-Kqtta 151

L

ili:la:J

ll6

v6

,lrl11

rjJ3

14J518

rs1B

!021

:221

rr

!.:1g

1m 1n0 1m Vohs or fiefererrre Temper<ture

LArLAT:E.xLs F!*it* El*ment Ssfl{I{i**l *$ Ls$}Eeee'$ ffiq**qi*fi is'r Yw* ffinmt*rlci*t'?sChilrler ,, Atler Lhrrlurn! t-rturrdary acrnd(,1}ii. Ieqp Freisrru F!] uritrl the rrurfb?ri 510p tiranqrnu

t1]l Vcrlts or Relerence Ternperatute

n

0rl

B2:dS 4f $fiE8g

74 5522a- !r.8lill3 41 $:5t-12 3r.6r07E1 24.5532f;13{E1[4 2] 115t8 2l :2 1153i1 13.4811,{i lrBE1E 12)2\21 11844:1 1t.1t121 I.1l6f;1r;.r lll3l3 5 rlnETlT 6 1:.{421 ! 34S737 3.'131313

0l-l

()

il0

X,

7Lr .{

.,,' m I '',*-*- \,' -'" I ' -!- ''

Finite El*ment $*luti*n CIf Lnplac*'$ Equfrtisn in Tw* Bim*nsionsAfrer chan6rng boundary conditi0nr, ieep prJii;ng Fg unlil the numbers rtop chengirig

1tB1l]n10il10rl

a2 v azto

-

* {i

ctx' d"v "

Ii;

EFE

.L

Gambar 7-13. Tampilan utama buku kerja LAPLACE. Rumus untuk sel C5 ditunjukkan di dalam kotak editorrumus. Perhatikan bahwa rumus ini adalah nilai rata-rata sel-sel di sekitar C5. Lembar kerja ini menunjukkankeadaan akhirnya, solusi metode elemen hingga.

Er =(05+C6+07+E6)i{

.1 A i

1 ILApLACE:XLSI Lnipler /a:

4j .

a

)A 55n5l 4 L2fl7rl l8 B0rt0: :16 70691 2d 16163

13.45154 2[.55280 2:i 8i'013 21 5.'945 1].217d

dEBEAT,S 373:2,1S E0ESl35 61.35Sr9: 46

7.178{16! 11.73[5, 13.45:5r: ]1.fr77\7 7

3131313' fi.24srl-18 6.111:3t1 5.355184 3.07

000fl

ItBn0x:

]F17

l6't$

)ln1il

ffi

-

I luu v0tl6 I

t,

za

Gambar 7-14. Nilai batas sel D4 mengalami perubahan menjadi 0 dan Tombol Fungsi F9 telah ditekan se:a- ' =.satu kali. Perhatikan pola distorsi medannya; bandingkan dengan Gambar 7-13. Tekanlah Tombol Furls =:berulang kali hingga angka-angkanya tidak berubah. Anda mungkin perlu menekannya sebanyak limapu -- ..:,

lD0

riA.i

tn-1r-1. il"!" j.t-3 ,

14

t3 l

a2Y D2v

--

fi

axl a.y2

ET

oLEoF.a

a


Pada saat suatu rumus mengacu ke sel itu sendiri, baik secara langsung maupun tidok langstrng,:,r dinamakan referensi sirkular. Untuk menghitung sebentuk rumus, Excel harus menghitung'r'tiap sel yang tercakup di dalam ref-erensi sirkular satu kali dengan menggunakan hasil iterasi'ebelumnya. Kecuali jika Anda mengubah nilai delault iterasinya, Excsl akan menghentikan per-hitungan setelah 100 iterasi atau setelah seluruh nilai di dalam referensi sirkular mengalami peru-bahan nilai yang kurang daripada 0,001 antara masing-masing iterasi, mana yang tercapai duluan.

ExcEr- tidak dapat memecahkan rumus-rumus referensi sirkular menggunakan perhitungannormal. Pada saat Anda mengetik referensi sirkular. sebuah pesan akan memperingatkan Andabahwa muncul referensi sirkular (Gambar 7-15).

Jika ref'erensi sirkular adalah suatu kebetulan, klik OK. Toolbar Circular Ref-erence akanmuncul dan panah pencari akan mengarah ke setiap sel yang diret'erensikan secara sirkular. Andadapat menggunakan toolbar Circular Reference untuk memindahkan setiap sel di clalam referensisehingga Anda bisa mendesain ulang rumus-rumus atau logika untuk menghentikan referensisirkular itu. Beberapa rumus sains dan ilmu rekayasa membutuhkan referensi sirkular. Metodeelemen hingga adalah salah satunya.

Sejak beberapa rumus membutuhkan ref-erensi sirkular, Anda perlu untuk mengubah jumlahiterasinya. Untuk mengubah jumlah iterasi, klik Option di menu Tool, kemudian klik tab Calcu-lation. Berilah tanda cek di bagian Iteration lalu berikan jumlah maksimum iterasi dan derajatperubahan yang ingin dipergunakan oleh Excn (lihat Gambar 7-16). Soal-soal di bagian akhir babini akan memberikan beberapa praktik mengatasi referensi sirkular.

Milrosofl Excel cnnnot calculate a tormula. Cell reierences in the formula retrr tc the formula's result, creating acirrular reference . lu'/ ane of thi follov{iftg:

. If you accidentall'1 ffe.3tsd the tir{ular r*ference, clich OK, To bring up the {ircular Relerrnce toolbar dck, ootB,$s on thE vie*, menu End choose Cirrular Referenre.

Gambar 7-15. lni adalah peringatan referensi sirkular. Di dalam lembar kerja LAPLACE, sengaja digunakanreferensi sirkular. Jika Anda tidak ingin menggunakan referensi sirkular, klik OK dan Excer akan menimpilkantoolbar Circular Reference untuk mengarahkan Anda dalam menelusuri referensi sirkular.

Trenvtis i Cu:tonrtr:ts .; Chr4vles --cakuktua

I Ee

Cakdlotrnn

l" {ul$'€ti. ti' UffilI' Aui6r-Bti( sy{spt lnb'g, l"- Reratrglsie hel*.e sart

;.iss) (qii,of,r: F0 rlarorsi thiogr:

wd lboo, optons

I cou' IIs€rd I

lor,or

1+ Updite Lewta r4iEefi.es lJ Si"e e\teBaltirkeahrJI

*errs,or, as dspia>zd r' ' iuept taoers rn lonrutas

' 190{ {ae systear

Gambar 7'16. (irk [ools][Options] dan Anda akan melihat kotak dialog seperti ini. Kotak lterasi nampak telah.ae' '-z'22 :e( can rterasi maksimumnya adalah 100.

7.6 Metode Runqe-Kutta

TIPS

Dimungkinkan untuk mentransfbrmasikan persamaan dif'erensial parsial ke dalrint ..-..'persamaan diferensial biasa menggunakan metode pemisahttn varial:tel. Contohnrt ri.rl-j..persamaan Laplace tigar dimensi, Anda dapat memecahkan tiga buah persamaan diferei:..,biasa orde kedua setelah variabel-variabelnya dipisahkan. Hal ini seringkali begittr IlLr.l,,

untuk memecahkan dua atau tiga buah persamaan diferensial biasa ketimbang satll bu.:

persamaan diferensial parsial. Lihat Bagian 7.7.

Nampaknya begitu sarat akan ilmu dan begitu berguna saat melihat tampilan diagralll drt.,

dua dimensi dalam wujud diagram tiga dimensi seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 7- l7 darr

7-18. Gambar-gambar ini berada di dalam lembar kerja.

Lihatlah kembali ke Gambar 3-16 di Bab 3. Ini merupakan kotak dialog 3-D )an! r.nr'-

mungkinkan Anda mengontrol sudut penampilan 3-D dan diagram permukaannya. KIik saja bagirtrl

dalam diagram dan pergunakanlah mouse untuk memutar diagram.

Gambar 7-17. Solusi metode elemen hingga untuk persamaan Laplace dalam dua dimensi. Anda dapat me - a:

tampilan diagram dengan mengklik tab 3-D di bagian bawah buku kerja LAPLACE. Perhatikan pengE--::-judul vertikal untuk "Volts or Temperature". Anda dapat mengontrol orientasi judul melalui pilthan Altgr-:-:Gambar ini dihasilkan hanya dengan kisi-kisi 5x5. Gambar akan nampak lebih mulus dengan lebih ba-,:'elemen.

L

H{,l.*

oij:


Gambar 7-18. Solusi metode elemen hingga untuk persamaan Laplace dalam dua dimensi, x dan y. Lihalahdiagram ini dengan mengklik tab Surface di lembar kerja Anda dapat melihatnya berwarna d-i monitor;perhatikanlah perbaikan berupa kejelasannya secara grafik.

7.7 Pemisahan variabel-variabel PDE

0 Marilah kita melihat sebuah contoh pemisahan tutrictbel untuk transfbrmasi persamaan diferensialparsial (PDE) menjadi sistem persamaan diferensial bia:a (ODE). persamaan Schrodinger merupakanpersamaan dif'erensial parsial yang memberikan kita transistor. laser, Silicon Valley, dan komputeryang sekarang Anda gunakan. Erwin Schrodinger nremenangkan hadiah Nobel pada tahun 1933untuk persamaannya, yang merupakan salah satu runrus dasar mekanika kuantum. PersamaanSchrddinger tidak akan membantu Anda untuk membansun jembatan atau mobil, tetapi membantuAnda untuk menghasilkan baja yang terbaik dan rnaterial-n.raterial lainnya yang akan digunakanuntuk merrbuat jembatan dan mobil. Kita akan menemukan model-model osilasi sebuah elektronyang akan mengingatkan Anda kembali mengenai r ibrasi 1,ang ditunjukkan di dalam film mengenaijembatan Tacoma Namows sebelum keruntuhannva.

Kita akan menggunakan persamaan dif-erensial parsial Schrddinger pada sebuah massa yangterletak di dalam sebuah sumur potensial persegi. Ini adalah model sederhana dari sebuah elektronyang terperangkap di dalam sumur kuantum di mikrochip, yang akan menghasilkan laser mini.Tidak seperti dioda laser, frekuensi sumur kuantum ditentukan oleh ukuran sumurnya. Metodeelemen hingga (FEM) sering digunakan untuk memecahkan masalah kuantum yang lebih rumit.

Persamaan Schrcidinger berbasis pada infonnasi dua bit. Max Planck (pemenang hadiah Nobel1918) menemukan secara eksperimen bahwa energi E terkuantisasi sebagai E = lta. dengan fi

;t

d)LJ

{vL$

EItlFsrt3a

7.7 Pemisahanvariabel-variabel PDE

adalah konstanta Planck dibagi dengan 2x, dan a,l adalah frekuensi radian (rad/s). Nilai ekspen-

men konstanta fisika dasar fi adalah 1,0-52 x l0-rl Joule-s. Dalam disertasi doktorainya. Prince

Louis Victor de Broglie (pemenang hadiah Nobel tahun 1929) menyarankan bahwa momentunlmekanika mv agar dihubungkan dengan panjarrg gelombang cle Broglie i ntelalui hubungan

sederhana )" = hlmv. Nilai h adalah 6.63 x 10 } Joule.s.

Rumus Prince de Broglie begitu cepat dikonfirmasikan dengan eksperimen di LaboratoliuruBell (sekarang Lucent Technologies) dan ini dipertimbangkan untuk menjardi salah satu dari sepuluh

rumus yang rnampu mengubah r.r,ajah dunia. Lihatlah Gambar 1-19. Ini juga merupakan clasar

mikrclskop elektron karena sebuah panjang gelombang elektron dapat menjadi jauh lebih pendek

daripada cahaya tampak clan zt dapat diatur dengan tegangan. Ernst Ruska memenangkan hadiah

Nobel pada tahun 1986 atas penemuan mikroskop elektronnya.Jika terdapat suatu panjang gelombang, bagaimana pcrsamaan gelombangnya? Schrddinger

rneletakkan intbrmasi dua bit dari Planck dan de Broglie secara bersaura-silura kemudian rrrembentuk

persamaan,

-*r'*+w=ih# (7-33 )

dengan Y adalah fungsi gelombang yang mendeskripsikan massa tn, i = , -l clan V aclalah fung:ienergi potensial, yang di sini digunakan sebagai operator di dalam Y. (Lihat Bab l0 untuk inforrnasilebih jauh mengenai i). Solusi Persamaan (7-33) adalah sangrt sensitif terhadap bentuk I/. Persamaan

(7-33) nampak sulit. tapi marilah kita menerapkannya ke dalam sistem sederhana kita berupa

sumur potensial kotak satu dirnensi. Di dalam sumur. V adalah nol, kecuali di dindingnya. Didinding sumur, V dapat diasumsikan bernilai sangat besar atau bahkan tak berhingga. Dengan

asumsi sederhana di dalam sumur ini. Persamaan (7--33) dapat disederhanakan rnenjadi,

h) olY-. Jtttt dx-

-*d#*-.T{

J@1iksd,d#srffi#L#rMn*yfl.r

ffi$$i ffif*ffiffiffiWffit&$ffiwfl&-ffffiffi

1*-

f,Hffit'${ffi

._aY= ll1: -

c)t( 7-3+ )

Gambar 7-19. Persamaan Prince Louis Victor de Broglie adalah sebuah rumus yang mengubah '$ae' :-- .Perangko ini menunjukkan aplikasi )" = hlmv untuk mikroskop elektron. Lingkaran-lingkaran mela-:a-1. =-difraksi dan interferensi elektron.


S:iirrans marilah kita lakukan pemisahan. Diberikan Y(x, r) = r{k)T(t). Dengan kata lain.r..:. :l.nSansgap bahwa fungsi yang terdiri dari dua buah variabel dapat dituliskan sebagai perkalian'].-; bulh fun-usi lainnya. Salah satu dari fungsi baru ini (r7r) bergantung hanya pada x dan fungsir"n lainnra (I) bergantung hanya pada r. Substitusikan perkalian Wx)T(t) ke dalam Persamaan---i-lr dan Anda akan mendapatkan,

Dari Persamaan (7-35) kita mendapatkan perubahan turunan parsial terhadap turunan totalkarena setiap fungsi di dalam perkalian adalah suatu fungsi yang hanya untuk satu variabel.Sekarang bagilah kedua sisi persamaan tersebut dengan V4x'lT(t),

h) ^ d2w(x) .. dTtn'- = tnv(xl2m dt' dt

_n2 fQ) ,t2VG) _ ih tt/\y) dTlr)2m ty(x)T(t) dxz tl/(.\tT(tl dr

dan buang beberapa fungsinya untuk mendapatkan,

f12 I d)ttt(x) .. I (tT(t)= ttt

2m V/(xt dx' T\t) dr

,l2v(r\ 2mE. = -- Ur(.l )dx' 11'

dT(t\ E= - T(r).dr itt

d2w(x) , )1 = -k- tt/(.t \

ox

dTtttdt

(7-3s)

(1-36)

(7 -31)

(7-38)

(7 -3e)

(7-40)

(1-41)

Sekarang di sisi kiri hanya merupakan sebuah fungsi x dan di sisi kanan hanya merupakan fungsir. Bagaimana sebuah fungsi yang terdiri dari sebuah variabel bisa sama dengan fungsi lain yangterdiri dari sebuah variabel lain? Ini dapat menjadi benar hanya jika kedua fungsi tersebut samadengan suatu konstanta. Inilah yang kita namakan konstanta pemisahan. Kita berikan konstantapemisahan sebagai E. Anda dapat memilih huruf apa saja yang Anda inginkan untuk konstanta ini,namun saat ini kita namakan E karena saya mengetahui tahapan selanjutnya dan pilihan ini akanmemudahkan nantinya. Kontanta pemisahan E akan dikeluarkan menjadi energi.

Sekarang kita telah menyelesaikan tugas utama kita. Selain sebuah persamaan diferensialparsial yang rumit, kita pun memiliki sebuah sistem dari dua buah persamaan diferensial biasayang kita lihat di bagian awal bab ini:

Untuk menghemat tinta printer, kita akan memisalkan 2mE/lt2 = k2 dan Elifl = -i ro. perhatikanbahwa Elitt = -ir.rr merupakan hukum Planck. Dengan perubahan ini marilah kita ulang penulisanpersamaan diferensial biasanya menjadi,

Persamaan (7-40) adalah persamaan untuk model osilator harmonik tua yang kita pelajari diBasian 7.-1. namun kini kita memiliki sebuah vibrasi di ruang r, bukan dalam waktu l. Selanjutnya,Persantaan (7-'11) akan nampak seperti model peluruhan eksponensial di Bagian 7.1, kecuali i.

7.7 Pemisahan variabel-variabel PDE

Marilah kita letakkan t/40) = 0 dan r7,(L) = 0 di kedua kondisi batasnya yang berbat;r.rrl

dengan sumur potensial di x = 0 dan memiliki lebar t. Untuk persamaan waktunya, kita tentukun

I(0) = 70.

Persamaan (7-4 I ) merupakan persamaan diferensial biasa dalam bentuk variabel yang terpi.,l:yang pernah kita lihat sebelumnya dan dapat kita tulis sebagai,

t3'

dr = -i.", ,lt.

Tdengan solusinya berupa,

Tltl = Tue i,',.

Sekarang marilah kita lihat apa yang dikatakan oleh persamaan osilator

Solusinya akan berupa,

\4x) =A cos(Lt) + B sin(kr).

Kondisi batas di x = 0 memerlukan A = 0 karena,

0=Acos(ft0)+Bsin([O).

Kondisi batas di x = L lebih menarik:

0 = B sin(kZ).

(7-ll '

(7--ll r

harmonik kepada kita.

(1-11t

(7-45 r

(1-16t

(7-.18 r

(7--lq ,

r -l'

Jika B = 0, kita tidak mempunyai solusi, sehingga Persamaan (7-46) hanya dapat berguna jika.

kL = ntt n = 0, 1, 2,3, "' (1 -11 \

Kita dapat mengabaikan rr = 0 karena, seperti kita lihat secara singkat, ini berhubungan dengan

kasus yang menyangkut probabilitas menemukan benda di dalam sumur adalah nol. Jadi kitrmendapatkan,

k,=T, n=t,2,3,.

Kita perlu memberikan subskrip n terhadap ft untuk mengidentifikasi k dengan nilai kumpulan rr.

Perhatikan bahwa ini merupakan sesuatu yang telah kita dapatkan untuk vibrasi jembatan Taconla

Narows atau sebuah dawai biola, kecuali bahwa /z tidak muncul di Persamaan (7-48).

Bilangan bulat n dinamakan bilangtnt kuantum. Begitu bermanfaat untuk memperhatikan

kemunculan bilangan kuantum ini ketika mencapai kondisi batas.

Diulangi kembali bahwa kita telah menggunakan 2mEl tt2= ft2 dan kita perlu menamai E

sehingga kita mendapatkan,

2mE.. ) ,r'1T=

h2 -"n- L2'

Akhirnya kita memperoleh tingkat-tingkat energi terkuantisasi:

,: r'rr'C-L), --." 2mL-

Marilah kita meringkas beberapa hal yang penting:. Tingkat-tingkat energi mengalami kuantisasi-hanya energi tertentu ,vang diperbolei..-. Tingkat-tingkat energi tidak berjarak; tingkat-tingkat energi bertambah sebe.ar , -

. Bilangan bulat (bilangan kuantum) muncul ketika kondisi batas tercapai. :ebr!:-*'.---tercantum di mekanika klasik.


Energi di setiap level bertambah secara cepat mengikuti penurunan L. Dengan kata lain,men-eikat elektron akan menghasilkan tingkat energi terkuantisasi <lan menekan suatuelektron akan menaikkan energinya!

Kita perlu untuk kembali dan menamai setiap frekuensi a,l dengan n untuk mengelompokkannya:erdararkan tingkat energinya, E, = lta),. Kini kita dapat menulis solusi lengkap untuk sebuahiingkat energi sebagai,

Y,,(x, /) = B,,sin(k,,x)7oexp(-i at,| = B,,sin(fr,,.r)e xp(-i a,,i) (7-s I )

den-qan konstanta Z0 telah diserap ke dalam konstanta 8,.Bagaimana kita menentukan nilai 8,,? Max Born (kakek Olivia Newton-John) memenangkan

hadiah Nobel pada tahun 19521 atas jawabannya terhadap pertanyaan tersebut. Prof'esor BornIr.renginterpretasikan Y sebagai probabilita.s antplitudo yang dimiliki oleh sebuah benda bermassattt. Hari ini hampir setiap orang percaya bahwa interpretasi statistik ini benar, karena nyatanyamemang bekerja dengan baik.

Probabilitas menemukan massa m seluruh sumur potensial adalah 1, sehingga kita dapatmenotmalkan fungsi gelombangnya menjadi l. Kita tidak dapat melihatnya secara detail di sini,namun bisa dikatakan bahwa kerapatan probabilitasnya adalah Y*Y dengan Y* adalah konjugasikompleks Y. (Lihat Bab l0 untuk mempelajari mengenai konjugasi kompleks. Di dalam Bab l0dan ll Anda akan melihat bahwa kerapatan spektnun clat'o dart sistem mekanika klasik memilikibentuk matematika yang analog). Kerapatan probabilitas adalah seperti bentuk-bentuk kerapatanlainnya - kerapatan massa contohnya. Anda dapat mengintegralkan kerapatan massa di dalamruang untuk menentukan berapa banyak massa yang ada. Serupa juga dengan probabilitas,

.I

t = J,, [4,sln(k,,x) exp(+ia,,/)] [4,sin(k,,.r) exp(-rar,,r)] d-t

sehingga kita mendapatkan,

(1-s2)

4= (7-s3)sin21k,,r1 d,r

Setelah kita melakukan integral terhadap Persamaan (7--53), kita akan rnemperoleh fungsi gelombanglengkap,

Y,(-', sin(k,,r) exp( - i to,,t ) (7 -54)

Bukalah buku kerja QUANTUM dan Anda akan melihat tampitan utamanya seperli di Gambar7-20. Perhatikan bahwa Persamaan (7-53) dimasukkan ke dalam sel B11. Di dalam buku kerja ini.{nda dapat memasukkan data dengan lebar sumur sebesar Z dan bilangan kuanturn n. Buku kerjaini dipersiapkan untuk sebuah massa elektron dan menghasilkan nilai tingkat energi serta frekuensicahava untuk transisi antara tingkat n dan n + l. Grafik fungsi gelombang dan kerapatanprobabilitasnya ditunjukkan pula.

Pertonyoon yong serirg muncul

BLi!ditndno sova dapat menghitung fiekuensi cahayo dari elektron di perbatusan?J: L ntuk radiasi dipol listrik, distribusi muatan elektron 4 harus berubah melalui beberapa'i.; rirn-\iilletris. seperti di antena radio dipol. Perhatikan bahwa hanya sejumlah integral:.:i::,,:r .erengrih qelombang yans diperbolehkan. Tingkat terendahnya adalah setengah

2

L[:

t2r) = ,\L

Daftar pustaka 159

Rl1 .l g =5!ElEj$a$i)"Str.ii$a$d.Ft0"A11t$f,$51

T*-- a -: B-*l c--,F-1 QUAHTUM.XLS? Chapter 7

&uantxr* S{iciare W*!!

{must be an integerinm

+

4b

6

7

I

Energy level nWell width L

10 0.0437016 0.0019115 0.064204 0.0041222D 0.08312s4 0.0069125 0.1 0 0't30 0.r 144123 0.0130935 0.1360074 0.01587840 0.1 344997 0 01 80945 0.1 396802 0.01 951 1

50 0.1414214 0 0:55 0.1 396802 0.01 951 1

)')\Mdr,i wa(p Ferbql! f Le\ei n / Le!!l,..1

Outpd Frequencyl

i tJ

1*lrnlreln,l|,Irsirelrnlztlrr1.'I *i l

1l{: { }

0.0831254a1M41230.1 3449570.1414?140.1 344997a i 1441230.0831?540.04370161 733E-17

-0 043701 6

! J,.nd&. LP ;ti,4

0.006s10.01 3090.0180s

nn10.018090.0130s0.006s10.001s1

J tr-J40.00191

Gambar 7-20. Tampilan utama buku kerja QUANTUM Fungsi gelombang untuk tingkat energi 1 dan 2 ditunjukkandi sana. Keluaran frekuensr diperlihatkan dalam wilayah gelombang mikro dari spektrum elektromagnetik.

gelombang, tingkat keduanya adalah gelombang penuh. (Ini adalah panjang gelombang de

Broglie, bukan panjang gelombang foton). Hasil akhirnya didapat pada saatAnda menghitungmomen dipol listrik qx yarrg menghubungkan tingkat energi berbeda, Anda temukan bahwa

transisi dipol dapat terjadi antara tingkat yang berdekatan karena transisi dipol memiliki simetriyang bolak-balik. Frekuensi cahaya sebanding dengan perbedaan energi-energinya. Contoh.

energi antara dua tingkat pertama liekuensi foton adalah oz- @r.Ini merupakan hasil matematis

ketika Anda tidak dapat melihat visualisasi argumen fisikanya. Hal ini merupakan sesuatu

yang sama dengan yang Niels Bohr (pemenang Hadiah Nobel 1922) temukan di bagian palin-s

awal teori semi-klasiknya mengenai atom hidrogefl, 8,,*l - E,,= tt(o),,*t - a,), dengan ri adalah

bilangan bulat. Lihat Gambar 1-21 . Lrhat pula sel-sel G4:G1 di Gambar 7-20.

Apa selanjutnya?

Di Bab 8 kita akan menjelajahi beberapa aplikasi di dalam Analysis ToolPak. ToolPak sudictersedia dengan beberapa lasilitas bermanfaat namun memerlukan begitu banyak bab untuk nt.-r:-

jelaskan seluruhnya. Akhirnya kita hanya mencoba sebagian kecil yang paling sering disunak".saja dan Anda akan mempelajari sebagian yang lainnya ketika - dan jika - Anda membutuhkannr ,

Daftar Pustaka

E{n)

Ein+11]detta E

o

10 :x

WaveFunction n

ProbabilityDensitv n

WaveFu,-rctior't r"1+ i

ProbabilityDpnsihl [+ :l

1!l0Lq!00012 5 0.022123? 0.0004A9 0.0437016 0.00191

ODE Architect, the Ultimate ODE Pov:er Tool.s, CD (John Wiley & Sons, Inc.. \err \bri. ---

Gambar 7-21. Energidalam Hz diwakili olehYunani y.


ilE'-rElrlmfilmEfE Fr .qir'f{pk"q

kuantum adalah hV dengan h adalah konstanta Planck dan frekuensi yang dinyatakanv, huruf Yunani yang dibaca nu. Huruf Romawi v (vi) tampak sama persis dengan huruf

J.A. Roberson dan C. T. Crowe, Engineering Fluitl MeclrLn rc'.i. Sirth Edition (John Wiley & Sons,Inc., New York, 1997). Persamaan Laplace hlm.660-661. metode dit'erens hingga hlm.612-619.

J. Jin, The Finite Element Method in Electromctgneti('s. (John Wile1, & Sons. Inc., New York,I 993).

M. Abramowitz dan I. A. Stegun, Hondbook of Motherrrutitri Furtttiorts vt'ith Formulas, Graph.s,and Mathematical Tables. (Dover Publications, New York. 197-1). Halaman 875-899 mengacu kemetode-metode di bab ini. Buku ini juga tersedia dalam bentuk hardcover dari U. S. GovernmentPrinting Office di situs http://www.gpo.gov. Stock Number: 003-003-00279-8.Ini adalah NationalBureau of Standards Applied Mathematics Series 55 )rang terkenal. Cetakan ke-10, 1972, dengankoreksi; dicetak ulang tahun 1984. Buku ini menyediakan ba-si para insinyur dan ilmuwan sebuahperbandingan maupun catatan rangkuman sendiri dari beberapa fungsi dan metode matematikayang dibutuhkan dalam problem-problem fisika dan ilmu rekayasa. (National Bureau of Standardssekarang bernama National Institute of Science and Technology, atau NIST. Situsnya adalah http://www.nist.gov. lni adalah situs yang bagus, Anda perlu rnengunjunginya).

C. Arfken, Mathemtfiic:al Methocls for Physicists,3rd Edition (Academic Press, Orlando, Florida.l9tt5) hlm. 492-493.

J. H. E. Cartwright dan O. Piro, "The Dynamics of Runge-Kutta Methods." Int. J. BifurcationsChaos 2. 421-419 (199D.

http ://formentor.uib.es/-j ulyan/TeX/rkpaper/roor/roor.html.

J. D. Lanrbert dan D. Lambert, Numerical Methods.for Ordinan Dffirential Sy,stems: The Initial\hlue Probleri. (John Wiley & Sons, Inc., New York, l99l). Bab 5.

Uii kemampuan Anda

W H. Press, B. P. Flannery, S.A.Teukolsky dan W. T. Vetterling. "Runse-K.ri:- \i,"Adaptive Step Size Control tor Runge-Kutta." Bagian 16. 1 dan 16.2 dalattt .\.ri,.'in C: The Art of Sc'ientific' Computing, second edition (Cambridge Unirersitr Pre'.. IEngland, 1992). hlm. 104-116.

Aplikasi-aplikasi algoritma Euler dan Feynman:

http://www.kw.igs. net/-j ackord/j 6.htmlhttp :///www.kw. igs.net/.-j ackord/bp/f I .html

Penggunaan Euler dan Runge-Kutta untuk memecahkan persamaan diferensial biasa ordl' perlrrt ..

dan kedua:http ://www.nac se. org/sc96/DIFFEQ/mydif 2/index.htmlhttp ://c sep. acns. col ostate.edu/c sep/ODE/NODE7.html.

http ://ww w. shu. ac. uk/schools/sciimaths/ssu ser /Jurnal Spreadsheet User.

http://www-math. mit.edu/-djk/ I 8_0 I 3a/chapte126/sections.htmlCatatan dalam analisis numerik persamaan diferensial biasa.

L. N. Long dan H. Weiss. "The Velocity Dependence of Aerodynamic Drag: A Primer lbr Math-

ematicians," American Mathematical Monthly, 106, 121-133 (Februari 1999). Lampirannya memuat

sebuah model untuk memasukkan kembali pesawat ruang angkasa ke dalam atmosfer Bumi, 1'ang

merupakan solusi yang mendekati bentuk sesungguhnya.

Uji kemampuan Anda

1. Metode Euler termodifikasi. Tunjukkan bahwa persamaan dif'erensial biasa

4=,_,d.r

memiliki solusi eksak _l'(x) = ls r + -r - 1, untuk kondisi awal .v = 1, r = 0. Pergunakan metode

Euler termodiflkasi untuk mendapatkan solusi r'(;r) untuk r = 1 sampai 5 dengan kenaikarr

sebesar 0. l. Hitung dan gambarkan perbandingan kesalahan terhadap solusi eksaknya.

2. Hitunglah Soal I dengan kenaikan sebesar 0,01. Hitung dan gambarkan kesalahan-kesalahan

antara Euler. Euler termodifikasi. dan solusi eksak.

3. Persamaan Laplace. Buatlah sebuah lembar kerja untuk mengerjakan solusi elemen hingga

satu dimensi dengan persamaan Laplace untuk distribusi temperatur di dalam kabel tipis atau

batang pejal yang kedua ujungnya dimasukkan ke dalam tabung es bertemperatur 0 C. Batang

ini memiliki isolator panas kecuali di kedua ujungnya. Bagian tengah batang tersebut dipanesi

dengan laser dan fiber optik. Manfaatkan ll buah titik sensor temperatur berjarak santa di

sepanjang batang untuk menghitung temperatumya. Pergunakan hingga 6 desimal untuk kolont

temperatur. Pada saat / = 0, laser dihidupkan dan temperatur di tengah batang (di sensor n.,

6) naik dengan cepat hingga I 00 C. Tentukan distribusi temperatur dan buatlah grafik datanl a

Petunjuk: aktifkan pilihan Manual recalculation. Lanjutkan dengan menekan Tombol Funt-.F9 hingga distribusi temperatur tidak berubah.

Eksperimen ini sebenarnya adalah metode pengukuran standar den-uan fil€Ilslur,rl;..laser atau pulsa arus yang melalui sebuah resistor untuk memberikan pulsa p&Di1r .r'.;-.

qeLz.lglsqMe! DiferensiaI

i:rr:j:! kabel atau batang tipis. Materi ini berhubungan dengan topik mengenai energi dan-. , ,,. )ang diberikan oleh National Science Education Standard.

- O Pr'r:iilttaur aliran panas. Persamaan aliran panas klasik yang dipelajari oleh Joseph Fourier-rn \rnq lainnya pada tahun 1800-an dapat ditulis sebagai,

f :H = pC dH , Atau dalam satu dimensi untuk kawat adalah. a', -

p, ylk & orr-k dr

densan H adalah aliran panas per satuan luas per satuan waktu, p adalah kerapatan massa,r adalah kapasitas panas spesifik, dan k adalah konduktivitas termal. Persamaan ini memilikibentuk yang sama dengan persamaan Schrcidinger kecuali i yang hilang. Dengan menggunakannretode pemisahan variabel di Bagian 7.7, carrlah solusi umum untuk eksperimen di soal 3.Kondisi awalnya adalah: kedua ujungnya ditahan pada temperatur 0 C, di tengahnya adalah100 C dan distribusi temperatumya memiliki bentuk seperti segitrga sama sisi. Pada saatr = 0, laser dimatikan. Buatlah lembar kerja untuk menghitung lima komponen Fourier pertamasebagai fungsi waktu. Gunakan grafik 3-D untuk menunjukkan distribusi temperatur saatterjadi perubahan menjadi distribusi yang seragam.

-5. 0 Apakah Anda memiliki parasut'? Kondisinya adalah kita akan membuat perumpamaansebuah massa 200 kg yang jatuh di medium berhambatan dengan gaya hambatan konstansebesar 63 N s/m- Ini seperti parasut atau kucing yang jatuh. Sistem ini dapat diumpamakansebagai persamaan dilerensial biasa orde kedua yang menggunakan hukum kedua Newton,ma = LF.

zoo(-j = 2oog - 63r.dt-

Persamaan ini dapat ditransformasikan menjadi dua buah persamaan diferensial biasa orde

pertama dengun mensubsrirusltan 4l = r' sehingsu menjudi L = g- --u^1 , dan. renru sajadt 'tlr "200dtdr

Marilah kita beri kondisi awal .y = 0, ll = 0, untuk r = 0. Arah ke bawah adalah positif danke atas adalah negatif. (Lihat pula karya L. N. Long dan H. Weiss di bagian Daftar Pustaka).

(a) Kecepatan akhir dicapai ketika gaya hambatan -63v setara dengan berat 2009.Tunjukkan bahwa kecepatan akhirnya adalah 2009/63 n/s.

(b) Tunjukkan bahwa solusi eksak untuk kecepatan v diberikan dengan persamaan,

200p 63ut tr= -Ur1l | - expl -:11;.

Perhatikan bahwa kecepatan akhir dicapai setelah waktu yang lama, 1 ,, 200.

63(c) Tunjukkan bahwa solusi eksak untuk pergeseran 1 adalah

'rrr = 2oosl,

+ 2oo 63 l

63 t 63 lexPr- -

or) - l1i.

Persiimaan-persamaan ini memungkinkan Anda untuk mendesain sistem penclaratan di planetlain dengan menyisipkan nilai g yang berbeda. Sebagai contoh: untuk pendaratan di Mars, g= -1.7r n/sl. Bandingkan dengan Bumi, g = 9,8 m/s2. Gaya hambatan bergantung pada parasutilrn lltnlost-er.

' J r Buatlth lenrbar kerja untuk menghitung 1, dan y, untuk 5 detik pertama dengani:rrrrkrn retiap 0.2 detik. menggunakan metode Euler termodifikasi.

'e, Hitunelah persentase kesalahan relatif terhadap solusi eksak pada setiap kenaikan

Uji kemampuan Anda

waktu. Buatlah grafik persentase kesalahan untuk setiap kenaikan waktu.(f) Buatlah gratik yang menunjukkan solusi numerik untuk x dan r,, dan strlu.r :,...,

untuk perbandingan visualnya. Untuk menghindari kekacauan grafik, buatlah sebuah Jr.,,l:-:runtuk ,1' dan sebuah diagram untuk v.

Soal latihan ini berhubungan dengan topik mengenai posisi dan gerak bentla - gr,iiir -.'-.

gala yang diberikan oleh National Science Education Standard.

Kucing dapat mengalami cedera yang serius ketika jatuh dari ketinggian kurang daripadatujuh atau delapan lantai. Kemungkinan cedera akanberkurang apabila terjatuh dari ketinggianlebih daripada tujuh atau delapan lantai. Rekornya adalah untuk kucing yang jatuh dariketinggian 32 lantai dan terhindar dari cedera. Lihatlah tulisan W. O. Whitney dan C. J.

Mehlhaff, "High-rise syndrorne in cats." The Journol of the American Veterinory Associcttiott.l9l. 1399-1401 (1987). Untuk mengetahui lebih jauh mengenai parasut dan kucing yangjatuh, lihatlah ke buku karya D. Halliday. R. Resnick, dan J. Walker, Fundamentals ofPhtsit'.t.sixth edition, pages 104-105 (John Wiley & Sons, Inc.. New York,2001).

Ilmu mekanika, sebagai Hermodorus tercintaku, memiliki beberapa penggunaan yang pentin-s

dalam kehidupan praktis, digunakan oleh para ahli filsafat agar layak mendapatkan penghargaan

tertinggi dan didambakan untuk dipelajari oleh para matematikawan karena ilmu ini hampirmenempati urutan pertama dalam kaitannya dengan sifat alami unsur-unsur material dari alant

semesta. Melalui hubungan umumnya dengan stabilitas dan pergerakan benda di pusiit

gravitasinya, dan pergerakan dalam ruang, keingintahuan tidak hanya dibatasi oleh penyebab

gerakan yang alami, namun dengan setengah memaksa memindahkan benda lain dari tempatnva

melalui suatu gerakan yang bertentangan dengan gerak alaminya...

Pappus Alexandria (sekitar 290-350 t

Mekanika adalah surganya ilmu matematika. Ilmu mekanika adalah yang paling berguna

dan bermanfaat melebihi seluruh ilmu yang ada, karena semenjak itu seluruh benda yang bisa

digerakkan dapat melakukan semua operasi mereka.l,eonardo Da (1452-1519)

Bab BAnalysis ToolPak


Analysis ToolPak adalah salah satu dari 15 Add-ins yang diserlakan di dalam ExcBr-. ToolPaksendiri memiliki 19 fasilitas bantu (tctol) yang dapat membuat hidup Anda menjadi lebih muilah.Kita akan membuat daftamya sebagai ref'erensi yang siap pakai. Untuk mengakses Analysis ToolPak,klik ITools][Data Analysis].Berdasarkan urutan abjad, isi Analysis ToolPak adalah:

. Anova: Single Factor

. Anova: Two-Factor with Replication

. Anova: Two-Factor without Replication

. Cor-relation

. Covariance

. Descriptive Statistics

. Exponential Smoothing (Lihat Bagian 5.-1;

. F-Test Two-Sample for Variances

. Fourier Analysis (Lihat Bab 11)

. Histogram

. Moving Average (Lihat Bagian 5.3)

. Random Number Generation

. Rank and Percentile

. Regression

. Sampling

. t-Test: Paired Two Sample for Means

. t-Test: Two-Sample Assuming Equal Variances

. t-Test:: Two-Sample Assuming Unequal Variances

. z-Test: Two Sample for Means

Anda mungkin tidak akan pernah menggunakan beberapa dari fasilitas tersebut namun Andatetap perlu memperhatikannya karena salah satu darinya mungkin akan Anda perlukan untuk

8.1 Korelasi

memperoleh beberapa hasil perhitungan. Kita akan mendiskusikan beberapa ha.il le:r:--:-'secara detail mengingat fasilitas-fasilitas tersebut begitu penting dalam ihnu rekarlr; i;r. .: r.Seiain itu, Bab 1l dicurahkan sepenuhnya untuk Analisis Fourier karena petunluk fc-o!i--::-ExcEI- dan menu Help tidak banyak membantu analisis tersebut, yang sesungguhnra nier-:...--sesuatu yang luar biasa di Excel. Hal ini dapat dibuktikan bahwa Fast Fourier Transtbrnr FFIyang sesungguhnya mengenai apakah sebenarnya fungsi analisis Fourier di Excu itu. adalah .,-.'-peristiwa matematika yang penting selama ratusan tahun terakhir untuk kegunaan praktis. \\ alru:'.:pembuktian teorema terakhir Fermat difokuskan lebih banyak untuk keperluan pemberitaan di T\dan media cetak. (Teorema terakhir Fermat begitu penting untuk keperluan teoritis, namun \rrr ::.

tidak banyak yang tahu bahwa teorema tersebut memiliki aplikasi-aplikasi praktis).

TIPS

Anda dapat mengunjungi menu Help untuk rnendapatkan infomasi r.nengenai penempan fasilita.statistik, namun Anda perlu berhati-hati. Membuat hasil yang memiliki arti melalui metode

statistik memerlukan pengetahuan yang lebih claripada sekadar mencarinya di menu Help.Peringatan akan hal itu kerap muncul di menu Help. Ingatlah kata-kata bijak orang tua Anda."Statistik tidak akan berbohong, nalnun ahli statistik mungkin saja melakukannya."

Bagian 1.7 memiliki diskusi singkat mengenai Analysis ToolPak.Sekarang marilah kita melihat detailnya. Klik menu Tools danAnda akan melihat Gambar 8-1. Jika Data Analysis tidak munculdi jejeran menu ke bawahnya, Anda perlu menginstal ToolPak(lihatlah menu Help, Bagian 1.7 dan halaman selanjutnya).

!ral* Qatn Windar,v l[elpa6c. -r.,,, >Felffrrg... r,'

&utadnrrert.,.

. :oSlre&r*r11u*.,,S[are 'df*rktrak. .,

frack(hanges )

Gambar 8-1. Data Analysis akan muncul di jejeran menu ke bawah jikaAnalysis ToolPak telah terinstal.

Jika Anda tidak menjumpai Data Analysis, sangat mudah untuk menginstal ToolPak:Di rnenu Tools, klik Add-Ins.Jika Analysis ToolPak tidak terdaftar di kotak dialog Add-Ins, klik Brovu.se.

Tentukan lokasi drive, nama folder, dan namir file untuk add-in Analvsis TtrolPak

Bab B: Anal ToolPak

:3r.ebut mun-qkin bernama Analys32.xll. File ini biasanya terletak di tblderrrr Analrsis. Atau, jalankan program Setup jika fasilitas ini tidak terinstal.Pilih kotak cek Analysis ToolPak. Untuk lebih lanjut, bacalah di menu Help.

Catatan:Untuk menambah atau membuang komponen-komponen Microsoft OrrrcE atau ExcEL di

\\'indou's NT Workstation 3.51, jalankan Setup Excer- atau Setup OrncE dengan cara seperti saat

pertama kali Anda instal dulu. Ikutilah petunjuknya di layar monitor.Jika Anda menginstal Microsoft Orrrcp atau ExcEL dari CD-ROM dan Anda telah memetakan

,lrire CD Anda tersebut menjadi sebuah drive baru pada saat Anda menginstalnya dulu, maka.\nda harus menjalankan Setup lagi dari CD-ROM. Jika Anda menjalankan beberapa lile Orncpatau Excnr- dari CD-ROM, Anda harus membuang programnya terlebih dahulu kemudian menginstal

Orrrcr atau Excnr- baru sekali lagi dari CD-ROM.

Sekarang, ketika Anda mengklik Data Analysis, Anda akan melihat kotak dialog bagian atas

dari Gambar 8-2. Gulunglah kotak dialog tersebut ke bawah dan Anda akan melihat lanjutan isikotak dialog tersebut seperti tertera di Gambar 8-2 bawah.

8.1 Korelasi

Apakah korelasi (Correlation) itu?Ini adalah fasilitas statistika yang memungkinkan Anda untukurutan data. Contoh, jika Anda sedang berada di Las Vegas dan

meneliti hubungan antara urut-mencurigai bahwa roda roletnya

&nekEi: fsr;ls

nova: Two-Factsr With ReplirntionAnova: Two-Fa,:tsr 14/iihsul Replirotion

F- lest lVr,r'r:1-3tsmple for t/ArlArr(etFr:urier &naiysis

-{nalysi: Tral*

Hist*graml,loving &verageRandtm l,iurrtber 6eneratii:rrfr.ank and F*rrentilefr.egrarsi*n5arnpiingt-Tesl: Fair*d 1r;r 5ampl* lnr lr'leanst-Terll Tr,ls-Semple Arsurnirrp Egual ?eriancest-Te!l: T$rr-

3:-ga' B-2. )='.2'Analysrs Tools yang sesuai urutan abjad di dalam kotak dialog Data Analysis. Klik pilihan- -= ,' - --'.-- -:-.r"culkan tampilan seperti Gambar B-3.

\

8.1 Korelasi

direkatkan, maka Anda dapat mengumpulkan data untuk meiihat angka-lnsku :-.': . - : -

hubungan.Edwin Hubble bekerja di Observatorium MountWilson di California keliku rl-,r'i.--:r., - '-

data-data mengenai jarak antara bintang-bintang, galaksi-galaksi, dan perubahan Dt'rr.::-....Hubble menemukan bukti bahwa jagat raya secara diam-diam mengalarni pernekrrt.'ir'. ,..-r:-

perubahan Doppler (kecepatan relatifl berhubungan dengan jarak. Benda-benda kosnlik aJ: .-:.-'

jauh berbalik dengan begitu cepat. Padanannya adalah jika Anda menyaksikan pacuan kud.,. .\:.-.-

akan menemukan bahwa jarak antara seekor kuda dengan garis awal berhubungan dengan ke':p','.',:-

berlarinya.

Apakah yang dilakukan korelasi?Fasilitas korelasi menghasilkan bilangan yang menunjukkan bagaimana nilai-nilai dari sebtr-'i'.

kumpulan data dihubungkan dengan nilai-nilai dari kumpulan lainnya. Sebuah korelasi yang benril.,r

I menandakan bahwa mereka pasti berhubungan, dan jika nilai-nilai di salah satu kunlpulrn

mengalami kenaikan, maka nilai-nilai di kumpulan lainnya pun mengalami kenaikan. Ini adaleh

korelasi positif. Sebuah korelasi bernilai -1 menandakan bahwa mereka pun pasti berhubungan.

namlln jika salah satunya mengalarni kenaikan. maka yang lainnya mengalami penurunan. Ini

adalah korelasi negatif. Korelasi bernilai 0 menandakan bahwa tidak ada hubungan statistik .ii

sana. Di Bab l2 kita akan membahas mengenai fungsi korelasi, yang merupakan sebuah tirng.i

dan bukan bilangan tunggal. Fungsi korelasi seringkali berupa fungsi waktu atau ruang.

Klik di Correlation Analysis Tool dan akan muncul kotak dialog seperti tertera di Gttrtlhar

8-3. Korelasi akan dihitung dan diselipkan ke dalam lembar kerja. Bukalah buku kerja CORRF-

LATION dan Ancla akan melihat tampilan utamanya seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 8--1.

Di dalam sel-sel keluaran Correlation, perhatikan bahwa Kolom 1 benar-benar berhubungan

dengan dirinya sencliri dan kolom 2 pun berhubungan dengan dirinya sendiri. Kolom 2 memilikr

koefisien korelasi 0,83614 terhadap Kolom L

Mengenai kotak dialog Correlationlnput Range

Masukkan referensi sel untuk range data yang akan Anda analisis. Ref'erensi harus mernuirt

clua atau lebih range yang saling berdekatan di dalam sekumpulan data yang tersusun melalui

kolom-kolom dan baris-baris.

Klik disini untukmemilih range

Gambar 8-3. Kotak dialog Conelation. Klik ikon kecil di bagian kanan kotak pilihan range untuk mem ---range melalui mouse.

input

lnput Rangel

Grqupcd Syr

f--iri L8Bels rn Flrs( xots

tlutput *ption$

# *ulFutRanQ*r

r"" Flts$' Wark*hx*t tlyr

{"g*wr#,orl,$mh

Bab,8. Analysis ToolPak

:€ .]* : =3"A6+RAl.l00-$E$:-n.5"$E$3

"**__g_J { ,"* q "_J-_f -*-}- ***"c"-""" -H ---l *

r' r-f,rRRELATlofl.xLs f$rr&lCtinn AnfllySig TOOIr - hapl,rrfi Enler t'r*i** arnplirudel--**l$l{Pr*rsr Functicrrr Key F! lo chxng* ncri*x sample)i

i D,stan.eT* Sp*e*ed -lre

' 5 13.1CI15

1 a 18.0?10

:1 / 2lt 1!76ln g fn anano -,L, qlqu

11 $ 1,1 2878lz lu tD.,','Jr+I3 11 15 123S

14 12 J7 ,1665

15 E 27 009616 1{ 1935t9I I 15 J] 4vl/

, lfi 16 20.:l:fii 19 1v 3$.fi23$

,28 1A 4fi.2563

i :1 19 :3.15?S

I !t , 2A 4i-1.??{'t

i :: , 2'r 2r.1ff39

i ,, , ?? 5.6.irso

Slerg, Galarie's, ancl Rgre Hc,r*es

60irU

o --+JUr. --{, lU

n

,}

r) x

a. oo o

+t ,t.. '.1 {' o *,<,

[61r1]52[250islanre

Gambar 8-4. Tampilan utama buku kerja CORRELATION. Hasil dari proses Correlation rni dimunculkan secaraotomatis di sel-sel keluaran yang telah ditentukan. Perhatikan rumus yang digunakan untuk membangun modelini. Fungsi RAND 0 menghasilkan bilangan acak antara 0 dan 1, dan rumus tersebut mengubahnya melaluiamplitudo gangguan yang dipilih.

Grouped ByUntuk melihat apakah data di dalam range masukan tersusun dari baris-baris atau kolom-

kolom. klik Rows atau Columns.

Labels in First Row/Labels in First ColumnDi baris pertama dari range masukan yang berisi judul. berilah tanda cek di Labels in First

Row. Jika judul berada di kolom pertama dari range masukan Anda, berilah tanda cek di Labelsin First Column. Tanda cek ini harus dibuang jika range masukan Anda tidak memiliki judul;Erc'r.r- akan memberikan judul data yang sesuai untuk tabel keluaran.

Output RangeMasukkan referensi untuk sel di kiri atas tabel keluaran. Exclr- menghitung populasi hanya

untr,rk setengah tabel karena korelasi antara dua buah range data tidak bergantung pada urutannrrr\cs atas range. Sel-sel di tabel keluaran dengan koordinat baris dan kolom yang sepadanr:3ltuat nilai I karena setiap kumpulan data berkorelasi secara tepat dengan dirinya sendiri.

'r:,', rVorksheet PlyK::1.,h pilihan ini untuk menyelipkan lembar kerja baru di buku kerja yang sekarang dan

r-.1:-r.:r-r hr.ilnra mulai dari sel Al di lembar kerja baru. Untuk menamai lembar kerja baru ini,. :, :.r.:r. :r:iritnvil di kotak isian nama.

8.1 Korelasi 169

(8-l)

(8-3)

New WorkbookKliklah pilihan ini untuk membuat buku kerja baru dan paste-kan hasil lembar kerja baru ke

buku kerja baru ini.

0 Bagaimana analisis korelasi bekerja?Fasilitas analisis data beserta runrusnya ini mengukur hubungan antara dua buah kumpulan data

yang skala satuan pen-sukurannya dibuat tidak saling bergantung. Populasi perhitungan korelasi

menghasilkan kovarian atas dua buah kumpulan data dibagi dengan hasil perkalian standar deviasi-nya:

cov(x, Y)Px.r =

"_ ",dengan COV(X, I) adalah kovarian (lihat Bagian 8.3), kemudran:

"1 = !2r Y, - [tr))

2{x, - pt,)' (8-2)

adalah kuadrat standar deviasi di X, rt adalah jumlah titik data dan tr-t, adalah nilai rata-rata. Hal

serupa, untuk I kita dapatkan,

.lox = -

n

Anda dapat menggunakan fasilitas Correiation untuk menentukan apakah dua buah range data

berubah secara bersama-sama, yaitu apakah nilai-nilai besar di sebuah kumpulan data berhubungandengan nilai-nilai besar di kumpulan yang lain (korelasi positif), apakah nilai-nilai kecil di sebuah

kumpulan data berhubungan pula dengan nilai-nilai besar di kumpulan yang lain (korelasi negatif).atau nilai-nilai di kedua kelompok tersebut tidak saling berhubungan (korelasi mendekati nol).Untuk informasi lebih lanjut mengenai pilihan di kotak dialog Correlation, silakan lihat ke menu

He1p.

Catatan: Untuk menghasilkan koefisien korelasi dua buah range sel, Anda dapat pula menggunakan

fungsi lembar kerja CORREL.

O coRRelFungsi ini menghasilkan koefisien korelasi range sel amayl dan array2. Gunakanlah koeflsienkorelasi untuk menentukan hubungan antara dua buah sifat data. Contoh, Anda dapat mempela.juri

hubungan antara curah hujan rata-rata dan jumlah kasus malaria di suatu daerah.

SyntaxCORREL(array 1,arr ay 2)arrayl adalah range sel yang berisi nilai-nilai.array2 adalah range sel kedua yang berisi nilai-nilai.

CatatanPernyataan-pernyataan (argumen-argumen) harus berupa bilangan, nama. arraY rrtau re i:r::-

yang memuat bilangan.Jika suatu pemyataan array atau referensi memuat teks, nilai-nilai logika atau..l k,'-

maka nilai-nilai tersebut akan diabaikan; walaupun sel-sel dengan nilai nol diikutsen.ri"rJika arrayl dan array2 memiliki jumlah titik data yang berbeda, CORREL menghd.iiri -

Bab B: An?lysis ToolPak

-- : =\ .\.Jika alrar I maupun anay2 adalah kosong, atau jika s (deviasi standar) dari nilai-nilainya

.i ---.., llengan nol. maka CORREL akan menghasilkan nilai eror #DIV/01.Runrus untuk koeflsien korelasi diberikan di Persamaan (8-l).

ContohCORREL ( {3.2,4,5,6}.{9,1.12,15,17}) sama dengan 0p91054.

8.2 Kovarian

Apakah kovarian itu?Fungsi ini menghasilkan kovarian (t'ot,uriuuc'e), yaitu rata-rata hasil kali deviasi untuk setiappasangan titik data. Kovarian adalah bagaikan korelasi yang tidak normal. Ingat kembali, diPersamaan (8-1) korelasinya telah dinormalkan terhadap standar deviasi.

Apakah yang dilakukan kovarian?Anda dapat menggunakan kovarian untuk menentukan apakah terdapat sebuah relasi statistik diantara dua buah kumpulan data. Contoh, Anda dapat menentukan apakah tingkat ozon di atmosferberhubungan dengan kerapatan populasi (jumlah orang per kilometer persegi). Kovarian digunakandalam perhitungan korelasi.

Bagaimana kovarian bekerja?SyntaxCOVAR(anayl,may2)arrayl adalah range sel pertama yang berisi bilangan bulat.array2 adalah range sel kedua yang berisi bilangan bulat.

CatatanArgumen-argumen harus berbentuk bilangan atau nama, array, atau ref'erensi yang memuat bilangan.Jika suatu array atau referensi argumen memuat teks. nilai-nilai logika atau sel kosong, maka nilai-nilai tersebut akan diabaikan; walaupun sel-sel dengan nilai nol diikutsertakan.

Jika arayl dan anay2 memiliki jumlah titik data yang berbeda, maka COVAR akan menghasilkannilai error #N/A. Jika amayl dan array2 kosong, COVAR akan menghasilkan nilai enor #DIV/0!.

Rumus untuk kovarian adalah:

ICOV(X.Y:=- Ir., -p,)(.r'i -/-r,) (8-4)

ContohCO\,:{R(13.2,4,5, 6}, {9, 7,12,15, 17}) sama dengan 5,2.

8.3 Statistika Deskriptif

Apakah Statistika Deskriptif itu?.:-: -: ' ' D:.kriptil lDeskriptive Statistic) adalah sebuah fasilitas yang dapatAnda gunakan untuk*':--:r:ir.:l rnti.rmasi mengenai pusat kecenderungan dan variabilitas data Anda.

8.3 Statistika Deskriptif

Apakah yang dilakukan Statistika Deskriptif?Fasilitas ini memberikan sebuah laporan mengenai statistik tidak bervariasi untuk J-,range keluaran.

Mengenai kotak dialogGambar 8-5 menunjukkan kotak dialog Descriptive Statistic di dalam buku ker3a CORREL -.TION.

lnput RangeMasukkan referensi sel untuk range data yang ingin Anda analisis. Referensi harus tercliri dari u,..atau lebih range yang berdekatan untuk data-data yang tersusun dalam kolom atau baris.

Grouped ByUntuk menunjukkan apakah data di range masukan terdiri dari baris atau kolom. klik Ro.,i s arr,L.

Columns.

Labels in First Row/Labels in First ColumnJika baris peftama range masukan Anda memuat judul, berilah tanda cek di Labels in First Ro\\Jika judul berada di kolom pertama dari range masukan Anda, maka berilah tanda cek di Label.in First Column. Kotak cek ini dikosongkan jika range masukan Anda tidak memiliki judul: Ertiakan memberikan label atau judul data yang sesuai untuk tabel keluaran.

rb . = =:"a5+FrrNt,0.$E$20i-$E$:LA-**::.8"-I:J ;r;*Til-"=f'.*1;-*s

- -rr *- ..- --, coRRfLartrrX.rt-i Corrvlation Aaolyrir Tool

3 '. h;pler 8 ErllEr rrorse arnprrt'rdef--*-*Ttj](Frgs: Functror fiey F,:] t$ itt.inge ,.Brs€ sarrlttpli 3 Eralnple: Slaist galirt;i AnrJ race horse

]J

5 Dirtancp I ipeed I ',Iotumn I [*rbmn 2

EJ 4[-2I3GB! 6lum,1r 1 r---];ffii--l4.8:[S l,]lurnl2 [.8]614 1 i:.-'._i,

9 7 :8.910€ tr#lffiE Siard:r.J E f ri2grr,1-1rl B 6 9185 $-; l'1edrar, j0 l;arj11 3 :1.0171 E r..,rn".*. Ii;:;;;;----"---At I ':r I I [,lodp #,.].,,.r12 l0 7 114: T---I ..*.., I I 5rariila,d t,e..ratlo,, I 1 4iij1l l1 Jl 58'l I I f; 6o,p"oa$ i' Coluffirs : ..--.::.:'......,...,...: I Bgmpjr Varianca lJ1 215{14 12 lf.Afil! I f: i &ows Ueip i I t4ud0rt3 -il.:ibt;15 1i 18:8EE I fi 'Lobelsir,FrstFovr I !u*nr16is .[ !p _:

1l 1.1 31 :e.{2 I E I Ranse s-{ 48:1-1r. 15 ti:.:na+ | [ outputoprons I torinii,u,n i.ts7i,ro tD 23 !35j I *B ,i rrlrn,,r e:na" I*uta,c,c; q': I l.li'rnidm 4:l ia[i:13 17 d0i"135 I ;{, , :: -,"-;::-..", ;-:"i::------- l su* 54,: rr:3n 18 28. l:&[ I

- E {'Ers rf a'b{rxl rlli I I t,LntE I !,UUIIL

i] l:t :r 0SLIE I E tie\a!,n'l.boor | -,,g*:tttl 11 o:J:..1l', i9 1?

8.!'13 I E f, tumftaryrtakstics r I sn,rtt*rril1 I tt';:;1: 1l :!::?1 I fi " *o,o.n*.*'erro,irean, Fi* g; [:nrioenca L''j9Hi&-ffjr:.34 72 56.68[i353S

_!-i;

Gambar 8-5. Tampilan utama buku kerja CORRELATION dengan kotak dialog Descriptive Statistics. Ke -.-=-Descriptive Statistics ini berada di kolom K dan L. Gambar 8-6 menunjukkan tampilan kotak dialog yan: :: -besar.

Irpuf

LnFut Rsnw: F6i.s6n-. --5,iqLped Br'; 'i gslgm",:

i* &swe

I Lnhels ii, F{rl F.o8

C utplt opler,s

,i iutpurRonJe {$'i0,9"$i---*Ta ' l,te!$,,rff1'ih*i 0,r' T-i-' l,lerc lanri,.hrck

i, fumftrarv stabst(s

?,loltds,cetere{forllean: li5 o,it

{; Kthters.*r f-u (tt'5sattestr f-

Ee.!_9.a49lyCE ToglEe t(

l:^'dence Level for MeanP .:..ah ini .1ika Anda ingin memasukkan sebuah baris ke dalam tabel keluaran untuk confidence.;.r', trf the rnean. Di dalam kotak isian, masukkan confidence level yang akan Anda gunakan.(-.,nttrh. nilai sebesar 95 persen akan menghitung mean dengan tingkat signifikan 5 persen.

Kth LargestPilihlah ini jika Anda ingin menyertakan sebuah baris ke dalam tabel keluaran untuk nilai yang

terbesar ke-k di setiap range data. Di dalam kotak isian, masukkan angka yang akan digunakan..'bagai k. Jika Anda memasukkan 1, baris ini akan memuat kumpulan data maksimum.

Kth SmallestPilihlah ini jika Anda ingin menyertakan sebuah baris ke dalam tabel keluaran untuk nilai yang

terkecil ke-k di setiap range data. Di dalam kotak isian, masukkan angka yang akan digunakan:ebagai k. Jika Anda memasukkan l, baris ini akan memuat kumpulan data minimum.

Output Rangellasukkan referensi untuk sel di bagian kiri atas tabel keluaran. Fasilitas ini akan menghasilkandua buah kolom infbrmasi untuk setiap kumpulan data. Kolom kiri memuat judul statistik dan

kolom kanan memuat statistiknya. Excnt. menuliskan sebuah tabel yang terdiri dari dua kolomuntuk setiap kolom atau baris di dalam range input, tergantung pada pilihan Grouped By yangdipilih.

New Worksheet PlyKlik bagian ini untuk menyelipkan lembar kerja baru ke dalam buku kerja yang sekarang, kemudianpaste-kan hasilnya mulai dari sel A1 di lembar kerja yang baru. Untuk menamai lembar kerja baruini. ketikkan nama baru di kotak isiannva.

Gambar 8-6. (c:ak dialog Descriptive Statistics. Tanda-tanda cek akan menghasilkan keluaran seperti yang'.e-..'z = .: :- ( ian L di sisi kanan Gambar 8-5.

lnpul

lnput F"enqx:

6ror:prd 8y:

f-" labels irr Fir$t Rsyi

*utput oplirns

ll Or.ltput B*ngel

,: " l.,l*,rv Worksheet tlyl,: Nars tll({rrkhn*k

ir 3r;61661'y *latislirs

U cogf ider,re Level f*r fn{eanr lE- ""q'

:'v ithLgg*st: L

-r"e Hth irnatlesh ll

-

8.6 Histogram t/J

New WorkbookKlik pilihan ini untuk membuat buku kerja baru kemudian paste-kan hasil-hasil yang diperoleh dilembar kerja yang baru ke buku kerja yang baru.

Summary StatisticsBerilah tanda cek terhadap pilihan-pilihan di kotak dialog jika Anda ingin ExcEl menghasilkansebuah field untuk setiap statistik yang berlaku di tabel keluaran: Mean. Standard Error (terhadapMean), Median, Mode, Standard Deviation, Variance, Kurtosis, Skewness, Range, Minimum, Maxi-mum, Sum, Count, Largest (#), Smallest (#), dan Convidence Level. Semua itu ditunjukkan olehGambar 8-5.

8.4 Pemulusan Eksponensial (Exponential Smoothing)

Apakah pemulusan eksponensial itu?Pemulusan eksponensial merupakan suatu bentuk integral dari data terkini yang dihitung balikuntuk seluruh titik data sebelumnya. dengan suatu bobot eksponensial yang diberikan terha<lapdata-data tersebut. Dengan kata lain, pemulusan eksponensial memperbaiki data lama melaluipenurunan eksponensial yang pentin-e. Fasilitiis ini suclah dibahas sebelumnya di Bagian -5.,1

8.5 Analisis Fourier

Apakah Analisis Fourier itu?Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, fasilitas Analisis Fourier adalah fasilitas yang sangarluar biasa di ErcEr-. Ini sesungguhnya merupakan bentuk Fast Fourier Transform (FFT). Lihatlahke Bab 1l dan l2 (di dalam CD) untuk penjelasan rinci mengenai bagaimana menggunakanfasilitas ini di dalam domain frekuensi. Beberapa operasi penting dapat dilakukan dengan seclerhana.cepat dan mudah di dalant domain tiekuensi daripada di dalam domain clata aslinya.

8.6 Hi am

Apakah Histogram itu?Fungsi analisis ini menghitung frekuensi-fiekuensi individual dan kumulatif untuk sebuah ransesel data atau tampungan data.

Apa yang dilakukan Histogram?Fungsi ini menghasilkan data untuk sejumlah kemunculan nilai di dalam kumpulan data. Cont,,l.di sebuah kelas terdapat 163 siswa. Anda dapat menentukan distribusi nilai-nilai ujian deng.,:kategori berupa tingkatan-huruf. Tabel histogram memperlihatkan batas-batas tingkatan-hurut r.,:-jumlah nilai ujian di antara batas terbawah dengan batas yang sekarang. Nilai ujian runsgal r.,::sering muncul dinamakan modus (ntode) data. Lihatlah di menu Help untuk intbrmasi lebih 1.,n.-.:mengenai pilihan-pilihan di kotak dialog Histogram yang ditunjukkan oleh Gamba1E--. C,,::: -

keluaran histogram ditunjukkan oleh Gambar 8-8.

Mengenai kotak dialog Histogram

lnput RangeMasukkan ref'erensi untuk range clata yang ingin Anda analisis.

Bab B: Analysis&Sf+

Inlut

lnF'ut Ranuer

$!n Rarrge:

l- lruet:

Output optisfit

ii ourput Ranqe: l$c*r ,$cs r o 1l l',:' I'lew worksheet ply: f--- 'tr

r""' lilel'r Wsrf';booh

[7 Fareto {sorted histogram}

ilZ Cun.ulativa Pertent€ge :

l; .!jraii.-r?-utpuij

Gambar 8-7. Kotak dialog Histogram. Lakukanlah ekspertmen melalui pilihan-pilihannya.

Bin Range (pilihan)Masukkan ref'erensi sel ke dalam sebuah range )'&n-s rltemuat kumpr-rlan tambahan nilai batas

berupa range tampungan (Bin Range). Nilai-nilai ini harus berurutan secara mettetik. ErcEl ntencacal.t

jumlah titik-titik data antara jumlah tampungan van-e sekarang dan tarr.rprtngan terbesar yang

berclampingan, bila adn. Jumlahnya dicacah dalanr tar.rrpun-can lain jika hasilnya sama dengan atau

kurang daripada jumlah tampungan ke tampungan terakhirnya. Seluruh nilai di bawah nilairampungan pertanla dihitung secara bersamaan, seperti halnya nilai-nrlai di atas nilai tampungart

di atasnya.

Jika Ancla mengabaikan range tanlpungan, maka Exc r,l membuat sebuah kumpulan tampungan

l,ang terdistribusi merata di antara nilai mirrimum dan maksimum data.

LabelsPilihlah Labels jika baris atau kolom pertama range masukan Anda memuat label (udttl). Hilangkan

tancla cek cli pilihan ini jika range masukan Anda tidak merniliki label: Ercr.l Inen-rhasilkan label

data yang berbeda-beda untuk tabel keluaran.

Output Range\lastrkkan referensi untuk .sel di kiri ara.i tabel keluaran. ErcEI- secara otomirtis menentukan

ukuran alea keluaran dan rnenampilkan pesan jika tabel keluaran akan menggantikan data yang

sekarang.

New Worksheet PlyKiik pilihan ini untuk menvelipkan sebuah lembar kerja baru ke dalam buku kerja yang sekarang.

kernrrdran paste-lah hasilnya mulai dari sel A I di lernbar kerja baru. Untuk memberi nama terhadap

lenrber ker.ja baru ini, ketikkan namanya di kotak isiannya.

\e,rv WorkbookL i.::lrh.rrt ini untuk rnembuat bukLr kerja baru kemudian paste-kan hasilnya ke dalam lemb;rr-.:r'.: r.:r'',r Jr httku kc'rja baru.

Pare:c isorted histogram)Pr :..r ::r1 r:'riuk rnenarnpilkan data ke dalam tabel keluaran mengikuti urutan frekuensi yang

8.6 Histooram

menurun. Apabila tanda cek pada pilihan ini dihilangkan, maka Ercrl menampilkan data nrcn_i:\.

urutan membesar dan rnengabaikan tiga kolom paling kanan yang memuat data terpilah.

Cumulative PercentagePilihlah ini untuk rnenghasilkan kolom tabel keluaran persentase kumulatif dan untuk rle fl) e r.tli,-: '

garis persentase kumulatif ke dalam diagrarn histograrn. Hilangkan tanda ceknya untuk mengahuik.,:'persentase kumulatii ini.

Chart OutputPilihlah ini untuk menghasilkan tempelan (.enrbedclecl) diagrarn histrogram ke tabel output. {Dia-gram tempelan ini tidak sebaik diagram yang Anda buat melalui fasilitas Chart).

Histogram mengikuti intuisi kita untuk gelombang sinus. Jumlah titik yang berada di dekatpuncak lebih banyak daripada di dekat perpotongan dengan sumbu nol. Cobalah yang berikut ini

di lab atau visualisasikanlah. Ambillah sebuah generator pembangkit sinyal dan sebuah osiloskop.kemudian gunakan gelombang sinus sebagai masukan untuk eksperimen ini. Pada saat Andamelihat gelombang sinus, matikan penyapu horizontalnya dan kecilkan intensitas sinarnya. Garisvertikal dilayar lebih terang di bagian akhirnya ketimbang di bagian tengah karena sinar meng-

habiskan waktu lebih banyak di bagian akhir. ltulah yang dikatakan oleh Gambar 8-8 dan 8-9.

Untuk eksperimen lainnya, pergunakanlah kamera perekam untuk merekam gerakan bandul.Di setiap bingkai (frame) video, ukurlah pergeseran dari titik terendah dan petakanlah ke dalamhistogram. Hasilnya akan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 8-8 dan 8-9. Perhatikan bahwa

bentuk histogram begitu peka terhadarp ukuran tampungan.

! lHtStsriRA$.xllt2 rCkart*rB

4:$:E 0-g1 I rl in4 1u1l_-:J '1,..:,.Y..15,t*lB i 2 0.n245r1* : 3 11.035S87

J{ a a flaflc6s

.lj': g r mr::r12 6 C.S?3565

.!1, I 6.t6$?erlll,i 8 C.rf.fiQ1715 i I f:11t)1!)]Pt lrl *13341117: 11 R.1345S]1$ l 12 i1,14S73

:r9 i '13 0.158$$Sx)l 14 0r7fis6321 ) 15 0j*:384.rl 1n n loslv33 i 17 *.:Dilll24t, JS ff.2191t-11

W: W Q.242ffi2?: :1 fj.2548fse' ?7 tll$f.713is, z:l rl.:t&52s I 24 [.29r]:ffi3] i 25 0:3020ffi32:, ;S 0 1136$2fi a: I a1ra1

14 i 'fi O.X&Ffr

n r r')i'1Nan./ iistcew,i ,/

Gambar 8-8. Buku kerja untuk Histogram. Kolom E dan FDiagram histogram yang dihasilkan secara otomatis berada

Ir-l

memiliki data histogram yang sudah dihasdi kanan atas.

6n Frs+u*ntv.no1

rll 0? 16

n.4 0.^{ '11

[.8 B5 ]gtr.s t i 231153

Ii4 Sane Wrv., Periad = 5l?

13I

: Dg-E ..,..

E 8.44 r'1.3

0

67

&ftBlii{i,ie Hist0qram d 5inBwfi\E

r-{r

:*5{bE31

u - ri'l

{

Bab B: Analvsis ToolPak

Amplitude Distribution of a Sine Wave

Bin Number

Gambar 8-9. Histogram yang sudah disesuaikan dari data yang ditunjukkan di Gambar B-8. Bandingkandengan diagram histogram di Gambar B-8. Diagram seperti ini berikut tabel datanya adalah tipe standar ExcEr.

8.7 Moving Average

Apakah Moving Average itu?Lihatlah Bagian 5.3 untuk pembahasan lengkap mengenai fasilitas ini, kotak dialognya maupun

contoh-contoh aplikasinya terhadap data.

Apa yang dilakukan Moving Average?Fasilitas analisis ini dan nilai-nilai perumusan dalam periode ramalan didasarkan oleh nilai rata-

rata variabel di sepanjang bilangan-bilangan tertentu dari periode sebelumnya. Setiap nilai ramalan

didasarkan atas rumus,

,., = * io.,.,dengan,

N adalah jumlah periode utama yang diikutsertakan dalam moving average,

A, adalah nilai aktual pada saat waktu j,

{ adalah nilai ramalan pada waktu 7.

Nilai default N adalah 3, namun Anda dapat menggunakan lebih banyak atau lebih sedikit bergantungpada seberapa cepat data mengalami perubahan. Disarankan untuk mencoba moving average bebe-rapa kali dengan nilai N yang berbeda-beda. Lihatlah Soal-soal Latihan di bagian akhir bab ini.

(8-s)

8.8 Random number qeneration

8.8 Random number generation

Apakah random number generation itu?Fasilitas analisis ini melakukan apa yang dikatakan sebagai pembangkitan bilangan-bilan-ean ac-,^

dengan mengacu pada beberapa parameter pilihan. Sesungguhnya, hal ini membangkitkan bilangrn-

bilangan acak palsu karena suatu pembangkit bilangan acak (random number Senercrtiottl \tntsempurna belum pernah diciptakan atau ditemukan. Bahkan ketika sebuah generator pembangkit

bilangan acak yang sempurna telah ada, mungkin terlalu berharga untuk mempublikasikannr isecara terperinci karena generator-generator bilangan acak digunakan hanya untuk radar

berkemampuan rendah dan kriptografi. Untuk infbrmasi lebih lanjut, lihatlah Daftar Pustaka di

bagian akhir bab ini.

Apa yang dilakukan random number generation?

Fasilitas analisis ini mengisikan sebuah range dengan bilangan-bilangan acak yang independen

yang digambarkan oleh satu dari tujuh distribusi terpilih. Anda dapat mencirikan subjek-subjek di

<lalam suatu populasi clengan distribusi probabilitas. Contoh, Anda dapat menggunakan distribusi

normal untuk mencirikan populasi tinggi badan masing-masing orang atau Anda dapat menggunakan

distribusi Bernoulli atas kemungkinan dua keluaran untuk mencirikan populasi hasil putaran koin.

Kotak dialog Random Number Generation ditunjukkan oleh Gambar 8-10 dan hasilnya ditunjukkan

oleh Gambty 8-11 (distribusi seragam). Untuk informasi lebih lanjut mengenai pilihan-pilihan di

kotak <lialog ini, lihatlah ke menu Help. Excnr- memiliki dua fungsi lembar kerja yang berhubungan:

. Pergunakanlah tungsi lembar kerja RAND untuk menghasilkan sebuah bilangan acak

yang terclistribusi secara merata, yang lebih besar daripada atau sama dengan nol dan

kurang danpada I pada setiap saat lembar kerja dihitung.

l.lumber af Variables: I l" os" ,,tr

glfl-"iF,lumber uf Randam l$um[ersr [exr

gstribution; fUniforrn

P8r€a*BtBrslnlornral

FxrnoulliBinorrrial

Pnis$BnF,:tlerned0isrret* -i:

sgtwer.n 10 *

gmdrm 5*edr

*ulput fipti*nt

,e 0*tput [*nger

{* td*w $lcrks}reet fiy;*l*" f{aw Srrkboolq

It

l$,q$r,$n$asa :#

Gambar 8-10. Kotak dialog untuk fasilitas Random Number Generator.

178 Bab 8: Analvsis ToolPak

= 056358f,314{93!d

t.t

EPC t aa

:' 0_2

rl-{)qD0rF-soqGNr-of,mr\dnSF6-freE6=tu€

'*'*N&NItem irr Ser;t+nce

*--) I -. --;-,4".".-: ::e5tc!

- t1@a'!

i 358291

c 89562a n 01141

10 B 745605

, 11 B 1741ffi

,12 085Sr4:I 13 B./105U1

t4 [:tJ53I 15 n.3033$5r6 n.01d?fi517i n.n$r4mrB n.364{5219 8.1.47:13:n n rBsnss21 n.9m525x n.445fr92::, n r1*nm&;8804fiffi25 i n.[&r11

Gambar 8-11. Urutan bilangan acak 256 berdasarkan distribusi seragam. Pada Soal Latihan di akhir bab iniAnda dapat membuat histogram seperti ini.

Pergunakanlah fungsi lembar kerja RANDBETWEEN untuk menghasilkan sebuahbilangan acak di antara bilangan-bilangan yang Anda tentukan pada setiap saat lembarkerja dihitung.

Tentang kotak dialog Random Number Generation

Number of VariablesMasukkan jumlah kolom nilai yang Anda inginkan di tabel keluaran. Jika Anda tidak memasuk-kan jumlahnya, Excer- akan mengisinya ke seluruh kolom di dalam range keluaran yang Andatetapkan.

Number of Random NumbersMasukkan jumlah titik data yang ingin Anda lihat. Setiap titik data muncul di baris tabel keluaran.Jika Anda tidak memasukkan jumlahnya, ExcEL akan mengisinya ke seluruh baris di dalam rangekeluaran yang Anda tetapkan.

DistributionKlik metode distribusi yang akan Anda gunakan untuk menciptakan nilai-nilai acak.

UniformFungsi ini dicirikan dengan batas bawah dan atas. Variabel-variabel digambarkan dengan probabilitasvang setara dari seluruh nilai di dalam range. Suatu aplikasi umum menggunakan distribusi seragamdalam range 0...1.

NormalFungsi ini dicirikan dengan nilai tengah dan standar deviasi. Suatu aplikasi menggunakan nilai

8.8 Random number generation

tengah (mean) 0 dan standar deviasi I untuk distribusi normal standar. Hal ini juga dikenui .ilr::-distribus Gauss. Distribusi ini tersedia di Excel sebagai NORMDIST dan fungsi letnb.rr rr'-

NORMDIST (lihat Help).

BernoulliFungsi ini dicirikan dengan suatu probabilitas keberhasilan (nilai p) untuk uji coba yang dilakuk.,:r

Variabel-variabel acak Bernoulli memiliki nilai 0 atau 1. Contoh, Anda dapat menggambark.,rl

variabel acak yang seragam dalam range 0...1. Jika variabel tersebut kurang daripada &tou :.tltt.:

dengan probabilitas keberhasilan, maka variabel acak Bernoulli diberi nilai 1;dan jika sebaltknr.'

maka diberi nilai 0.

BinomialFungsi ini dicirikan dengan probabilitas keberhasilan (nilai p) untuk sejumlah percobaan. Contoh.

Anda dapat melakukan sejumlah percobaan untuk variabel-variabel acak Bernoulli, yang merupakan

jumlah aljabar variabel acak binomial.

PoissonFungsi ini dicirikan dengan suatu nilai ,t (lambda). yang sama dengan l/mean. Distribusi Poisson

sering digunakan untuk mencirikan jumlah peristiwa yang terjadi per satuan waktu. Distribusi inidapat mendeskripsikan perbedaan, frekuensi yang jarang (rare) matplun peristiwa-peristiwa fisikyang terjadi dalam satu interval waktu atau ruang. Pengukuran praktis untuk peristiwa yang jarang

terjadi adalah, setidaknya untuk 50 kali percobaan,jumlah percobaan dikalikan dengan probabilitlrterjadinya peristiwa kurang daripada 5. Contoh, laju rata-rata elektron tiba di kolektomya atau 1u.1tr

rata-rata yang dicacah oleh alat pencacah Geiger dapat dideskripsikan dengan distribusi Poisson.

Karakteristik distribusi Poisson adalah:

Probabilitas sebuah peristiwa tunggal berbanding lurus dengan ukuran intervalnya.

Probabilitas dari dua atau lebih peristiwa di dalam suatu interval adalah sangat kecil jikrintervalnya cukup kecil.

. Peristiwa-peristiwa adalah saling independen di dalam interval dan tidak saling turnpang

tindih.

Distribusi ini tersedia di Excrl sebagai fungsi lembar kerja POISSON.

PatternedFungsi ini dicirikan dengan batas bawah dan atas, lompatan (step),la1u pengulangan nilai, dan lljtlpengulangan urutan.

DiscreteFungsi ini dicirikan dengan sebuah nilai dan range

memuat dua kolom: kolom kiri memuat nilai-nilaiberhubungan dengan nilai di baris tersebut. Jumlah

probabilitas yang berhubungan. Range haru.dan kolom kanan memuat probabilitas \anjaljabar probabilitas harus sama dengan I

ParametersMasukkan satu atau lebih nilai untuk mencirikan pilihan distribusi.

Random SeedMasukkan suatu nilai optimal untuk menghasilkan bilangan acak. Anda dapat men-sgunakr: '-

nilai ini nanti untuk menghasilkan bilangan-bilangan acak yang sama.

Bab 8: Analvsis ToolPak

3;:put Range\1,-uklan reterensi untuk sel di kiri atas tabel keluaran. ExcEr- secara otomatis menentukan ukuran

":er keluaran dan menampilkan sebuah pesan jika tabel keluaran akan menggantikan data yang.e k rrang.

New Worksheet PlyKhk lungsi ini untuk menyisipkan sebuah lembar kerja baru ke dalam buku kerja yang sekarang,kentudian paste-lah hasilnya mulai dari sel Al dari lembar kerja baru. Ketikkan namanya di kotaki:ian. bila diperlukan.

New WorkbookKlik fungsi ini untuk membuat sebuah buku kerja baru, kemudian paste-lah hasilnya ke dalamlembar kerja baru di dalam buku kerja baru.

8.9 Regresi

Apakah regresi itu?Fungsi analisis ini melakukan analisis regresi (regression) linier dengan menggunakan metodeleast square untuk memantaskan garis terhadap sekumpulan hasil pengamatan. Selain itu, Iihatlahke menu Help untuk fungsi lembar kerja FORECAST, yang menghasilkan peramalan berdasarkanregresi iinier. Gambar 8-12 menunjukkan kotak dialognya.

Apakah yang dilakukan regresi?Anda dapat menganalisis bagaimana sebuah variabel tunggal yang independen dipengaruhi olehnilai-nilai dari satu atau lebih variabel independen lainnya. Contoh, Anda dapat meneliti bagaimana

Wffi'InFut---- - : f-----:::*-"I-loKIInp*trP"an{er ,ffiH, L*H

,": __

_l- : {anr*l IInpur &Range: l**$r,$a$r I :#

i

I* gabels il censta*t ir f*ro [elP I

f* ftn(ideny:-ld ry:::%*utput sptipns-

f....-.--.....:-r:i E'lrput f;.&nqr: l$o$t,$n$t t 1# Ur- New Worksheet Ely: f-- :i" t"l*w lt*rkbookftesiduals

il g**duols f* F.esi{url Flots i i

l* Stendardia*d Residr.rals i# L6x Fit Pl*tr :

N*rmal Frob*hility :

f- garm*lPrrbabfrflctr .. -.. ..

:

Gambar 8-12. (:tak dialog fungsi lembar kerja Regression.

8.9 Regresi 181

kinerja seorang perenang atau pelari dipengaruhi oleh usia, tinggi, dan berat badannya. Andadapat menggunakan secara bersama-sama ketiga faktor tersebut dalam mengukur kinerja untukmasing-masingnya. didasari oleh sekumpulan data kinerja kemudian menggunakan hasilnya untukmemprediksi kinerja dari seorang atlet baru yang belum diuji. (Cobalah hal yang sama untukkinerja IC (integrated circ'uit) dan untuk harga saham perusahaan dan data kinerja finansialnya.)Fungsi regresi bukan sulap; fungsi ini harus digunakan secara hati-hati setelah Anda mem-pelajari analisis statistik. Gambar 8-13 menunjukkan hasil regresi. Untuk infbrmasi lebih lanjutmengenai pilihan-pilihan di dalam kotak dialog Regression, lihatlah menu Help.

Mengenai kotak dialog Regression

lnput Y RangeMasukkan referensi untuk range data yang saling bergantung. Range ini harus memuat kolomtunggal untuk data.

lnput X RangeMasukkan referensi untuk ran-ee data yang tidak saling bergantung (independen). Excpl mengurutkanvariabel-variabel independen dari range ini dalam urutan yang membesar dari kiri ke kanan.

Jumlah maksimum variabel independen adalah 16.

LabelsPilihlah untuk baris atau kolom pertama range masukan Anda atau beberapa range yang memuatlabel. Buanglah tanda ceknya jika masukan Anda tidak memiliki label; ExcEl menghasilkan label

data yang berbeda-beda untuk tabel keluaran.

Confidence Level

Pilihlah untuk menyertakan tingkat tambahandence level yang ingin Anda terapkan selain

Constant is ZeroTentukanlah untuk memaksa

dalam rekapitulasi tabel keluaran. Masukkan confi-nilai delault yang berada di tingkat 95 persen.

gans regresi memotong sumbu koordinat.

Output RangeMasukkan referensi untuk sel kiri atas tabel keluaran. Diperbolehkan setidaknya tujuh kolomuntuk rekapitulasi tabel keluaran yang mengikutsertakan tabel inova, koefisien, error standar dari

estimasi y, nilai l, jumlah pengamatan, dan error standar untuk koefisien.

New Worksheet Ply

Kliklah untuk menyisipkan sebuah lembar kerja baru ke dalam buku kerja yang sekarang, kemudianpaste-kan hasilnya mulai dari sel A1 lembar kerja baru. Untuk menamai buku kerja baru, ketikkannamanya di kotak isian.

New WorkbookKliklah untuk membuat buku kerja baru kemudian paste-kan hasilnya ke dalam lembar kerja baru

di dalam buku kerja baru.

ResidualTentukanlah untuk menyertakan sisa (re.sidual) ke dalam tabel sisa (residuaLs output tablet.

Bab 8:Analysis ToolPak

S:a-:arorzed ResidualsI::..-runii,rh untuk menyertakan standardized residual ke dalam tabel sisa.

Lesrdual PlotsT:ntuknnlah untuk memunculkan diagram dari setiap variabel independen terhadap sisa (residual).

Lrne Fit PlotsTentukanlah untuk memunculkan diagram dari nilai-nilai prediksi terhadap nilai-nilai pengamatan.

Normal Probability PlotsTentukanlah untuk memunculkan diagram yang memetakan probabilitas normal.

Aplikasi analisis regresi terhadap data yang terganggu diperlihatkan oleh Gambar 8-13. Perhati-kan rumus yang digunakan di dalam model jarak galaksi-galaksi dari planet kita ini; kesalahanacak meningkat seiring dengan waktu. Diagram yang ditunjukkan di lembar utama dihasilkansecara otomatis bersama dengan penyusunan informasi ke dalam tabel. Gambar 8-14, 8-15, dan 8-l6 menunjukkan diagram-diagram yang disebutkan di tab di bagian bawah lembar kerja.

Apa selanjutnya?

Bab 9 akan memperlihatkan bagaimanagunakan Excer- dengan akuisisi data labware dan software. Paket software

mengimpor data ke dalam Ercel dan bagaimana meng-yang tertentu, kemudian melakukan analisis dengan hard-bernama MEASURE buatan National Instruments

88 :ll ,:=AE+RA.Nn0-AS^0.5',48

A q I C Dh EREGRESSI{JH.XLS f.{egrrdit,il Arralyrir l+olCharter tl

I Drstance I

- frme lrgtrr years;

F--"""*G"--*-"""i{" *--*1"*---- r "-*"-H-"

X Variabls 1 Residual Flrt

40

*roS -:n

-4ll

o+^ ai- -o'x ll ttY +5"

uo" , " . qo.

X Virtiabl* 1

)67

^iqlI1t]

11

1t

14'15

16

t{

19XJ

21

22

2l

=< a|

1 0.8fi6$332

: t.6s11058.:3.1S41143,a t Elcalcol

5 3 1ln0t396 7.3439U827 6 i;64!18

u s 873{:€I 13 rlftU*{

r0 13154Y8211 1nt2rr03tU t,t iiZr:m,rc 1n.767868

14 11 2tS689r; tn.a:taa16 fi.97S382s17 r4.7E534:)8 22.2F,7213

r9 18.885rJ98

:0 16.3*637:1 1: (;2fr356

..2 16 651388

SUMMARY OU}PUTSUMIdIAEY 0UTPUT '

fi tsf ia,J6,rrn $lal.,$lj{:,J

Mrltit,le P D 86nEmtrlI Squ,rre 8.7,{ilfi3:1Adjrsted R n.73S161 lStandard Er 1 1 .1 fn348O&ssrvslion 63

QesidralT*tel

61 1551.6332 1337156E2 39115.249

Al'lD\,'A

,=._d.SS:MS,FS,qnfibarigFR*greosir:n 1 31583.I15 2'156:.72: 174.188 1.5EEE^1,

" Cotftrhnr.rsrd,ldrrdElJtr -lSlqJ p-rrrfur,{-o!!er85%Upr)f,r95%raH.3:0%lrpFri!.lnrprreFr 12n34flfi5 3.304S60t 0414316 n60mg6 ,4AAAAZ2 Tnitaie +SnArr :rfir:x_\/_f.................riabre 1 1 uJ,r,jl.lir 0.q1I"WB1 i3 J,sq$ 1 s7q;:1e n.BE3,?*rE I 1T,l5iB,,,pBffi?qi,.,l ii1{

RESIDUAL *UTFUT PRrfEAElLtTy OUIpUT

ffi,rr' vairrf predfrim I gesUuai tr piuUaUitit 1 li I

Gambar 8-13. Tampilan utama yang menunjukkan hasil analisis regresi dengan pilihan-pilihan yang berasal dari3z-=a'3-'2 Gulunglah layar ke kanan dan ke bawah untuk melihat informasi lainnya.

8.9 Reqresi

!o.9!EI

Regression

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Observation

Gambar 8-14. Garis bernoktah'. prediksi analisis regresi. Garis tanpa noktah: data mentah

Regression

30

20

10

_0G

'6od -'10

-20

-40

o o ooo

oooooo oo

o

o oooooold o o"

2do 30o

o

oo

60

ooo o

Observation

Gambar 8-15. Sisa (residuaf dari analisis regresi untuk data yang ditunjukkan oleh Gambar 8-13.

:i Bab B: Analysis ToolPak

.,,i.; -tritnit.ct,mradalah khusus didesain untuk bekerja dengan Excel, mentranstormasikannya

.: t: ;lt in.trumen lab yang penggunaannya umum. Software ini dapat digunakan untuk menarik

i-:.. \3 Jllanr Ercel. membangkitkan sinyal, dan mengontrol eksperimen.

Daftar Pustaka

>;licrrn Graphics, Inc. memiliki situs (http://lavarand.sgi.com) dengan sekumpulan bilangan acak

arru \an-s dihasilkan setiap menit untuk kepentingan umum. Bilangan-bilangan acak ini tersedia

iultnt bentuk sistem oktal dan basis-10. Bilangan-bilangan acak ini dihasilkan oleh lampu-lampu

Lrr a Lite@. dikonversikan ke video digital kemudian diproses oleh Secure Hash Algorithm (SHS

-rraLr SHA-1) dari National Institute of Standards and Technology (http://www.nist.gov).

J. J. Collins. M. Fanciulli, R. G. Hohlfield, D. C. Finch, G. v. H. Sandri dan E. S. Shtatland, "Arurrdom number generator based on the logit transform of the logistic variable," Contputers itt

Pirr'.uc.s 6 (6) 630-632 (1992).

Sebuah situs web di University of Salsburg memuat uji coba untuk bilangan acak, pembangkit

bilangan acak, berita terbaru, dan perpustakaan bayangan untuk literatur yang berhubungan.

http ://random.mat. sbg. ac. atl.

S. C. Bloch dan R. Dressler, "statistical estimation of n using random vectors," American Jottnalof Pht sics 67 (4) 298-303 (1999). Buku ini memuat diskusi singkat mengenai pembangkit bilangan

acak, berbagai referensi, dan link Internet.

Uji kemampuan Anda

l. Pergunakanlah fungsi korelasi untuk data pada Tabel yang ditunjukkan di Soal 7 di Bab 3.

). Buku kerja bernama SWIM-RECORDS ditunjukkan di Gambar 8-16. Buku kerja ini berisidata rekor renang gaya bebas FINA-Masters Long Course Meters untuk putri. Buatlah dia-gram XY dari data di buku kerja yang sama. Tambahkan trendline ke dalam diagram.pergunakan Options of equation display dan zero intercept. Apa yang terjadi jika Anda tidakmemilih zero intercept? Apakah trendline linier adalah yang terbaik? (Petunjuk: lihatlah kenilai R2.) Pergunakanlah link Internet untuk men-download data terbaru. Apakah para perenang

menjadi makin cepat'? Bandingkan kecepatan gaya bebas dengan gaya lainnya.

5Vl/IM.RECORO.XLS

Dhapler *

W!}.liet-r'sI rgE *lYrr

Meibs llimb,s I5n f()

10fl ao 1a

llt 130 II,1rr0 34t:r.46

ilr-r 5{n 28

=-- lJiUb'r

httLl:lli4\,\e'/.dn* 0rglmagt€r'womenlDmcornplete hlml

Records as ofMay 1, 199SFINA-Ma$ter Wom*n's Long Course Met*r$http:/fuu$r.fina.orglmasterswldrecor l

http :lfuww.fina,arglnrasterswonren I cmcon-rp!ete.html

Gambar 8-16. Rekor renang Women's Long Course (gaya bebas)

4.

uu kemampuan Anda 185

5.

Pergunakan fungsi korelasi untuk data dalam SWIM-RECORDS. Berapakah koefisien

korelasinya') Apakah menakjubkan? Ingat, rekor diciptakan oleh perenang yang berbeda.

Pergunakanlah fungsi Regression untuk data dalam SWIM-RECORDS. Bandingkan fungsi

ini dengan pilihan trendline linier di Soal L

Terapkan fungsi Covarianve untuk data dalam SWIM-RECORDS. Berapakah kovarian untui

data tersebut'l

Terapkan Descriptive Statistics untuk data dalam SWIM-RECORDS.

Pergunakan fasilitas Random Number Generation dalam membangkitkan urutan acak untuk

256 bilangan dengan distribusi seragam. Buatlah grafik urutannya. Pergunakan fungsi histtr-

gram untuk mempelajari distribusi frekuensi dari urutan tersebut. Lakukanlah eksperimen

dengan ukuran tampungan yang berbeda. Tekanlah Tombol Fungsi F9 untuk mengubah-ubah

bilangan. mempertahankan statistik yang sama.

Pergunakan fasilitas Random Nuntber Generation untuk membangkitkan urutan acak untuk

256 bilangan dengan clistribusi normal. Buatlah gratik untuk hasilnya dan amati bagaimana

perbandingannya dengan distribusi seragam (Soal 7). Matikan Automatic Recalculation.

Sekarang nilai-nilainya tidak akan berubah hingga Anda menekan Tombol Fungsi F9.

Bukalah buku kerja bernama FREE-FALL di tolder workbook Bab 7. Buku kerja ini memuat

data kecepatan benda jatuh bebas di dekat permukaan bumi. Pergunakan diferensial numerik

untuk mendapatkan percepatan dan simpanlah di kolom D di samping kecepatan. Pergunakan

integral numerik untuk mendapatkan pergeseran benda dan simpanlah di kolom E di samping

percepatan. Buatlah grafik kecepatan, percepatan, dan pergeseran. Pergunakan analisis trendline

untuk menentukan garis terbaik dan Descriptive Statistics untuk menganalisis datanya.

Pergunakan hukum perpangkatan dan polinomial trendline untuk pergeseran. Manakah hasil

yang terbaik?

10. Bukalah buku kerja bernama EKGdi folder Workbooks. Buku kerja inimemuat data eksperimen dari pe-

rangkat elektrokardiogram. Perguna-

kan Moving Average dengan periode

2,3, dan 5. Pergunakanlah lasilitashistogram untuk membuat histogram

data mentah dan hasil Moving Av-erage. Ini adalah bentuk gelombang

periodik yang akan kita gunakan diBab ll dengan fungsi analisisFourier untuk menentukan spektrumelektrokardiogram dan kelengkapanfrekuensi yang berhubungan.

11. Bukalah buku kerja bernamaTITRATION di dalam folder workbook Bab 3. Buku k.:-.;. -

memuat hasil eksperimen larutan NaOH yang diteteskan ke dalam larutan HCl. ker:-,*: --dilakukan monitor terhadap pH. Buatlah diagram XY untuk data ini. Tambahkan lren,jl::- ,.grafik menggunakan analisis Moving Average dengan periode 2. Bandingkan hasil ini ;:: : -

-

hasil dari penggunaan fasilitas analisis Moving Average. Lakukanlah eksperimen untuk :'r: ",,.yang berbeda. Pergunakan diferensial numerik untuk menentukan slope makrintur-.:. -

6.

"1.

8.

9.

6e%

\,?

ar$CJE

$s

Bab B: Analvsis ToolPak

pHrersusVolune

tunfilffi vniunls{mL)

Bab IPemakaian Excrl di Lab


Excr,l adalah lembar pengolah angka yang dipilih oleh kebanyakan insinyur dan ilmuwan untukmenunjang eksperimen-eksperimen mereka di laboratorium. Excpt- bisa mendapatkan data dan

menganalisisnya; dengan menggunakan Visual Basic for Applications (VBA) Anda bisa menjadikan

Excel sebagai pengontrol eksperimen kemudian menjalankannya. VBA dapat diinstal mengunakan

[Tools][Add-ins] kemudian meng-klik [Analysis Toolpak-VBA]. Walaupun begitu, salah satu bab

tidak dapat membahas otomatisasi eksperimen dengan VBA secara menyeluruh; topik itu akan

mengisi keseluruhan buku. Bab ini membahas mengenai kemampuan olah data lab yang dibutuhkanoleh para pemula.

Di dalam bab ini Anda akan mempelajari bagaimana mengimpor data dari:

. file-file data yang dihasilkan oleh aplikasi-aplikasi lain,

. perangkat-perangkat di lab,

. perangkat penarik data.

Anda juga akan mempelajari bagaimana membuat program makro untuk melakukan tugas-tugas

secara otomatis, kemudian bagaimana meningkatkan kualitas data dari lab melalui perata-rataan

sinyal (dengan cara penyapuan tunggal atau multi). Kita akan membandingkan hasil perata-rataan

sinyal dengan metode filter lainnya.

9.1 Mengimpor data

Impor data secara otomatis dan langsung (realtime) adalah sesuatu yang nyaman dikerjakan pada

saat Anda memiliki hardware dan software yang tepat, namun impor data secara off-line kadang

kala juga dibutuhkan. Impor data off-line dapat dilakukan melalui metode berikut ini.

. Cara yang paling gamblang adalah dengan memasukkan data ke ExcEI- menggunakan

keyboard. Cara ini lambat dan memungkinkan untuk muncul kesalahan. Selain itu.

memasukkan data dengan cara ini berarti bahwa Anda mengambil data dengan beberap,

cara lain, seperti membaca panel instrumen atau hasil cetakannya.

. Anda dapat juga memasukkan data menggunakan software pengenal suara di Micrt - -Opptcs XP (atau Dragon Systems, IMSI, L&H Kurzweil, IBM ViaVoice dan ba:' '

_ Bab 9: Pemakaian Excel di Lab

l.rgi r. \Iemasukkan data melalui suara perlu memperhatikan cara yang benar dan mikrofonruns direkomendasikan oleh pembuat software pengenal suara ini.

Program pengenal karakter optikal (Optical character recognition OCR), sepertiTertbridge dan Caere, sering begitu berguna untuk memasukkan data cetakan. Contoh,Anda dapat menggunakan pengganda dokumen untuk Tabel data yang Anda dapatkandari buku, scan-lah tabel tersebut dengan program OCR Anda, simpanlah sebagai teksASCII kemudian impor ke ExcEl menggunakan metode yang akan dijelaskan di bawahini.

Text Import Wizard memudahkan proses impor file data dari aplikasi lain. Berikut ini adalah

langkah-langkah untuk mengimpor seluruh teks data ke dalam ExcEr-:

1. Klik ikon Open File i-l atau klik [Fi1e][Open].2. Di dalam kotak Look ln, tentukan drive, fblder, atau lokasi Internet yang memuat file

yang ingin Anda buka. (Lihat Gambar 9-l).3. Di dalam kotak Files oJ t,rpe, klik Text Files.4. Klik ganda file yang akan Anda impor.5. Ikutilah petunjuk di dalam Text Impor Wizard untuk menentukan bagaimana Anda ingin

membagi teks menjadi kolom.

Marilah kita mengikuti petunjuk tersebut untuk mengimpor file data bemama OZONE yang terdapatdi folder POLLUTION. Folder ini terdapat di dalam CD-ROM.

Gambar 9-1 menunjukkan file tersebut dengan Text Files dipilih di dalam kotak Flles o.f type.Perhatikanlah kotak Look In; folder yang dipilih adalah POLLUTION dan file OZONE munculdi dalam isinya. Klik Open dan Anda akan melihat Ganrbar 9-2 yang menampilkan Step I dariText Import Wizard.

Text Wizard secara otomatis mendeteksi file OZONE sebagai file teks delimited Windows(ANSI). Anda dapat memilih baris di file untuk memulai proses impor. Tarnpilan file tersebut

SehctthefoldBr here

$elect Filesof tlrpe:Text Files

Lo*br 1f,3 rottution :J H *lsfW ffimlr*$wl ml8P;n

t

!*d I

.Ml*,, I

Fhd fiks *r* r$atch tleseFle qxre: Te*Erprryerty, l:---*-:3,, . m,m...J

t*urr#iedr ,'l;il;il"--**: ,, l.sgryqq' trFles of b,pe: lText Files

t ftds) furd.

Gambar 9-1. F'e teks bernama OZONE dipilih untuk diimpor ke dalam ExcEr-

The Text $/iaard has determined that your data is Delimited.If this is corr*ct, chr:ose N*xt, *r eho*se th* Data Type that best desrribes y*ur data.

: Original data type

Choose the fil€ type that best d*scribes your data;,;

ipgl1f1tp.$) 5 - Characters such as commas sr tabs sepsrate each field..* Fixed,,'ridth'[ - Fields are aligned in (olumfis with spac*s between each field.

sla* impr'rl {t Lowl file Qrigirrr lv'/indsh'5 {A$51}

Preview af file F:tOata Files\Pnllulion\Ol0lllE.txt,

ter 9

ltr *x*na lev*l*rllevel

stl0l . B*1

*:g --j -*:;::: .--.-l l- Jre-t tl l " " " :T,*- " ".1

9.1 Menqimpor data

Gambar 9-2. Step 1 di dalam wizard yang secara otomatrs akan menentukan tipe file dan memberikan wujudtampilan.

Gambar 9-3. Step 2 di dalam wizard yang memungkinkan Anda memilih pembatas data (delimiter). Pergunakar'lembar kerja Anda untuk melakukan eksperimen dengan pembatas berupa Tab dan Space.

This srreen l*tr yru r*l th* dslir*ilffs ysff dalr rrr,llins, 1'*u aan siehavo your text is affpcled in the pr*view belou*,

il ?$$t crrns*rutir,*I Comma

i Trxt (ualifirr:

{nurIy{aur]{,[[17001,30fftutttl

3S,fnts-*rel. ilfi1. il01.002nn:3

l"sve-ls

ii'*s screen lets yau s*lect xach rslumn *nd sstihe Data Formet,

'General'crnverts numerir valueE to nurnbers, detevalues tc dates, xnd *ll r*maining velurs lu lxsi,

:'Cthntn d;ta l*rmst. ""

r {i gen*ral

: {-" Tr*xt

{*' Do n*t ilnp*rt c*fumn {5hip}

evsl*

N

Bab 9: Pemakaian Excel di Lab

Gambar 9-4. Step 3 di dalam wizard yang memungkinkan Anda mengubah format seluruh kolom ataumenghentikan proses irnpor atas kolom-kolom tertentu.

ditunjukkan di dalam window; gulunglah layar Anda ke bawah untuk melihat file itu lebih jauh,

rpalagi jika Anda ingin mulai mengimpor di baris yang lain'

Setelah Anda selesai membuat pilihan, klik Next dan Gambar 9-3 akan muncul memuat Step

l. Sekarang Anda dapat mengeset pembatas (delimiter) sesuai dengan kebutuhan dan melihat

tampilan file itu ketika muncul pada saat file tersebut diimpor. Pisahkan teks dari data menggunakan

Tert Qualifier.Setelah Anda puas dengan tampilannya, klik Next dan Gambar 9-4 akan muncul berisikan

Srep 3. Di sini Anda dapat memilah tanggal, bilangan, dan teks secara otomatis dengan memilih

General di bawah Column Data Format, kemudian Anda dapat memilih untuk mengabaikan satu

.rtru lebih kolom dalam proses impor.

Jika Anda ingin membuat beberapa perubahan dalam proses ini, klik Back. Jika segalanya

.utiah cocok, klik Finish dan Anda akan kembali melihat Gambar 9-4'

Jika seluruhnya berlangsung dengan baik, Anda akan melihat Gambar 9-5 ketika Anda mengklik

itrntbol Finish. Setelah file tersebut berada di dalam Excst-, Anda dapat menerapkan sentuhan

,rkhir apa pun untuk memperbaiki tampilan.

g: Membuat program makro untuk mengotomatiskan tugas

T-_tj:-rugas 1'ang berulang dapat dilakukan secara otomatis dengan membuat sebuah program

,,.;:.",,Ji ErcEl. Cara yang paling mudah untuk membuat program makro adalah menggunakan

.:...t:> Record \Iacro: fasilitas ini akan merekam setiap ketukan tombol keyboard dan mouse

-;.,:i:;.\nJa.iapat mengulangi operasinya dengan membuat tombol singkat (shortcut), misalnya

, i,- -i Tr::tt'trl iingkar ini begitu nyaman bilaAnda sering menggunakannya, namun bila jarang

9.2 Membuat proqram makro untuk menqotomasikan tuqas 191

,l

i3

4

_q,

fiI1n

1l-121?

l4

Ittt:

- -,q _-

Hrurlyi-'lo-ur

5till700DnnUUU

srfir1nn011ff11

I IUU13001 jttlll1500't500

1r001800

.... B$z0nB

Le'trxl

[.0010.0010.0020.0030 tl040 0040 0050.0040 0040.003CI.002

0 CI02

0.D01

levxl*

rTl

Gambar 9-5. lni adalah bentuk impor data yang lengkap. Saat ini proses analisis dan pembuatan diagram telahsiap dilakukan.

Anda gunakan kemungkinan Anda akan lupa. Tombol cepat Anda akan menggantikan semuatombol singkat Excst- dengan nama yang sama ketika buku kerja yang memuat tombol singkatAnda itu dibuka. Anda pun dapat menggunakan mouse untuk memilih program makro di dalammenu [Tools][Macro][Macros]. Apabila Anda ingin yang lebih berfantasi lagi, Anda dapat membuattombol kustomisasi di toolbar untuk menjalankan program makro ini atau menciptakan sebuahhotspot di dalam objek grafik yang dapat di-klik. Lihatlah di menu Help untuk metode-metode ini.

TIPS

Untuk dapat menggunakan Perekam makro, Anda harus memberi tanda cek diToolPak-VBA di dalam [Tools][Add-ins]. Lihatlah Gambar 9-6. Setelah inidapat merekam program makro menggunakan [Tools][Macro][Record NewGambar 9-7.

menu Analysisterpilih, AndaMacrol. Lihat

Kotak dialog yang ditunjukkan di Gambar 9-6 memiliki beberapa Add-Ins penting yan-e dap..Anda jelajahi bila Anda memiliki waktu. Pilihan Solyer Add-In adalah salah satu yang bersultrkarena fasilitas ini dapat memecahkan sebuah nilai untuk memaksimalkan nilai yang lain.

Pergunakanlah Solver untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari sebuah .;dengan mengubah sel-sel lain. Contoh, Anda mungkin ingin memaksimalkan volume konr::.::.::dengan mengubah dimensinya, dengan memaksakan beberapa nilai dimensi. Sel-sel vang {:.:-pilih harus dihubungkan dengan rumus di dalam buku kerja. Jika sel-sel tersebut tidak dihubu:,i^--mengubah isi sebuah sel tidak akan mengubah isi sel lainnya. Untuk informasi mengenai :rlS,,::''-yang menggunakan Solver, Anda dapat melihatnya di menu Help Excor-.

Lookup Wizard dapat menjadi penghemat waktu karena memungkinkan Anda unruk n.:. -.kan nilai tertentu di dalam daftar. Anda dapat membuat rumus untuk mencari suaru nr.- :-,.--gunakan label baris dan kolom dari daftar. Contoh, jika Anda memiliki datiar inre.: : .---


Add-Ins srsilshlf ;

Analysis ToslPlk - \,BA l\Aulosave 'sffi (*nditi*nsl Surrr Y,Jisard

ffi tnnkuP l,liirard

ffi"* hlicrns*f t Brnkhelf Int*qrati*rt* T*mplal* UtilitiesI upd*te &dd-in rink

f-*qr**3{LAn(er $

3

Erows*.,. I""".;---..t

"'Analy*is TrdF*k ""' "'-

Gambar 9-6. Kotak pilihan Analysis ToolPak - VBA diberi tanda cek menggunakan klik kiri di tombol mousePergunakanlah kotak dialog ini untuk menambah atau menghapus Add-lns.

loak $ala Sndow gxlp

lF Spettl*s,., r?

{utoCorrect.,,

la*l Up Reierenc*.. ,

'',:.:). a: '',,'. : 'l ,,r a

lrack{harrges ?

i lr,:;.ir:';r.1t,.., ;

grot*{ti{n ,

6*al 5eek..,

5cgnerios.,,

Sgditing )

& g i*B:-L-Li*3 t3ci- :r !

&iS

Al zrZ+ A+

$.* .0f.BS +.0

f*xoi

100?-o . I

,&.d

Gambar 9'7 Anda dapat menjalankan program makro atau merekam program makro baru menggunakan menu--': s pe-a: (an bahwa Anda dapat juga mengaktifkan Visual Basic Editor untuk memodifikasi program makro.:-l s,:e- arlz 3JBt. Perhatikan tombol singkat di keyboard, seperti Alt+FB.

i Eecord Neb.' trlacro.,.

l{l $suol tsesic €ditor Alt+Ft I

9.3 Menggunakan Excel denqan PASCO Science Workshoo 193

Shortrut Uv, h Stcre macra in:

[escriptiont

lHacro r*rordrd UlJ2000 by Dorth $/aderI

Gambar 9'8. lni adalah kotak dialog Record Macro. Anda dapat menyimpan program makro ke dalam ThisWorkbook, New Workbook, atau Personal Macro Workbook. Dengan menyimpannya ke dalam Personal MacroWorkbook Anda dapat dengan mudah memanggil makro tersebut untuk digunakan di buku kerja mana pun.Pilihlah tombol cepat (shortcut) dengan atau tanpa tombol Shift; ini akan menggantikan setiap tombol cepatdengan nama yang sama pada saat buku kerja dibuka.

memuat nomor part mikrochip, deskripsi, dan harga. maka Anda dapat membuat rumus untukmencari deskripsi atau harga part dengan mencari berdasarkan nomor part tertentu. ktokup Wiz.artlakan membantu Anda menuliskan rumus yang dibutuhkan.l. Klik salah satu se1 di dalam daftar.2. Di dalam menu Tools, arahkan ke Wizard kemudian klik Lookup.3. Ikuti petunjuk di dalam Wizard.Excpl juga memiliki fungsi LOOKUP yang dapat menghasilkan suatu nilai dari range satu barisatau satu kolom atau dari array. Bentuk vektor dari LOOKUP nampak dalam range satu baris atausatu kolom (dikenal sebagai vektor) untuk nilai dan menghasilkan sebuah nilai dari posisi yan-esama di range satu baris yang kedua atau satu kolom yang kedua. Bentuk array LOOKUP nampakdi baris atau kolom pertama dari sebuah array untuk nilai tertentu dan menghasilkan suatu nilaidari posisi yang sama di baris atau kolom terakhir ar:ray.

Gambar 9-8 menunjukkan kotak dialog Record Macro. Jika nama makronya tidak dideskripsi-kan secara lengkap, sertakanlah intbrmasi lainnya di dalam kotak Description. Hal ini dapatmembuat Anda frustrasi jika nanti dihadapkan dengan program makro misterius yang Anda buatsendiri! Gambar 9-9 menunjukkan kotak dialog Macro untuk memilih dan mengedit.

Gambar 9-10 menunjukkan Msual Basic Editor (lihat Gambar 9-7). Anda juga dapar men-s-aksesnya menggunakan tombol cepat dengan menekan ALT+Fll.

9.3 Menggunakan Excel dengan PASCO Science Workshop

Cara dasar untuk memasukkan data ke dalam Excpr- adalah dengan keyboard. namun ini ment-bosankan, makan waktu, dan berpeluang besar memunculkan kesalahan. Software akuisisi data laL,yang modem biasanya memiliki ketentuan untuk mengekspor dan menyimpan file data. Memindah-kan data langsung dari program akuisisi data ke dalam Excpr- atau pengolah kata kerap dibanrr,oleh operasi Copy di Windows. Ini adalah bantuan besar dalam menghasilkan laporan lab 1un:profesional. Marilah kita lihat bagaimana hal ini dilakukan oleh program lab yang populer unr.-imembantu eksperimen melalui komputer.

Interface untuk PASCO Science Workshop ditampilkan di Gambar 9-11. Dengan inrer:.-,software ini, Anda dapat secara otomatis mengkoneksi dan mengkonfigurasikan masukan ar.. ,:

dan digital; hanya dengan mengklik dan menyeret salah satu tombol ke saluran pilihan. Perh:: . *-


lvlgrrus inr l*tt *pen ![rorl]suks

OescriptaonFkcro rccard*d lJl/2*$f by es*h l4lader

Gambar 9-9. Kotak dialog Macro. Pergunakanlah kotak dialog ini sebagai sebuah alternatif tombol cepat untukmemilih program makro. Kotak ini juga menyediakan pilihan untuk mengedit.

Gambar 9-10. Visual Basic Editor adalah fasilitas yang luar biasa dengan banyak pilihan, namun tetap mudahdigunakan untuk memodifikasi apa yang telah Anda buat sebelumnya.

tS ft* gUir ges Intrri FB-td Dsbrru 8un Igds L&de Heb

:X'6- E&l :' r,i $s:!.!::.1,i i,r ) fi r N &lestf = l3

nalrl6FivdtTabl Fil*

trdsdt/,lidh fr,1{

9.3 Menggunakan Excel dengan PASCO Science Workshop

r;f3fffiffitl#$s;ll; .Irffif,l

, lxffi'lktfi'lffilr--lll Cltck and drag thls digltet

plus t€ a th*nne{ for fftotion,

Hr$l

{SS.lr.--iH

Slltk and d{sg lnls analssplr:u t* e hh*nEe{ tos vslta*e.

lffiii*E*tffi:li.?

ffiffiffit

Gambar 9-11. lnterface dari PASCO Science Workshop. Tidak ada saluran yang dipilih di gambar ini. Fungsi

Scope-nya menyerupai Graph, namun dioperasikan untuk data yang cepat. Pengukur analog dan digital berguna

untuk melihat kondisi selama eksperimen.

bahwa terdapat tiga saluran analog dan empat saluran digital. Sistem ini dapat juga digunakan

sebagai pembangkit sinyal; konektor OUT di sisi kanan berada di sinyal tingkat rendah dari suatu

pilihan bentuk gelombang yang dapat dikuatkan untuk keperluan selanjutnya.

Sollware ini akan men-ehasilkan sebuah grafik dan tabel data. Walaupun hal ini cocok untuk

keperluan cepat dalam eksperimen, hasil ini <lapat ditingkatkan kualitasnya dengan cara mengekspor-

nya ke Excer-. Perhatikan bahwa software ini memiliki FFT (Fast Fourier Transform) yang

disediakan untuk analisis spektrum. Sekali lagi, ini baik untuk tampilan cepat namun mengguna-

kan FFT Excsl memberikan hasil yang sangat baik dan memungkinkan Anda untuk mengontrol

seluruh proses (lihat Bab 1l). Seluruh pilihan FFT telah terdapat di software Science Workshop,

kecuali untuk memilih jumlah titik data (yang harus berupa bilangan bulat pangkat 2, seperti 256

atau 512). Bab l1 akan memperlihatkan bagaimana menggunakan zero-padding untuk menangani

kumpulan data yang bukan bilangan bulat pangkat 2'

Marilah kita lihar eksperimen lengkapnya melalui tabel data di Gambar 9-12. Begitu mudah

untuk mengkopi seluruh data eksperimen ke dalam Excel jika Anda tahu di mana harus mengklik.

Perhatikan posisi pointer mouse di Force Table di Gambar 9-12.

. Klik di area ini, seluruh tabel dan grafik akan ditampilkan dengan tulisan putih di atas

dasar hitam. Lihat Gambar 9-13. (JikaAnda klik di bagian masukan data yang lain di

dalam tabel, hanya titik itulah yang akan dikopikan).

. Sekarang gerakkan pointer mouse ke kiri atas dan klik [Edit] di bar menu.

. Di menu [Edit] yang tergulung ke bawah, klik tCopyl, maka seluruh data di dalam tabel

akan ditransfer ke Windows clipboard.

. Sekarang Anda dapat meletakkan data ke dalam Excst- atau pengolah kata menggunakan

[Paste]. Hasilnya di Excrt- diperlihatkan oleh Gambar 9-14.

Data di dalam tabel harus dikopikan secara serentak.

':l-:"i' *Y111'll: - - -'--ii :'-:1::11.

--:T*' -'t "

i fl iiril,r, m W''W ffi Ldii#,'-. i::gn" -S:$:---I*os* " f.r]-:''1*31?. ?.Tl"li e

. Ctick a*d drag a dlsFlay ltsn l$ &r', I channel0rsgn$6rmdit$la!.'d*'ga

Bab g: Pemakaian Excel di Lab

Click in thisarea to copyall data in aTable

Gambar 9-12. Di dalam eksperimen ini, sebuah pegas bermassa digantungkan dari sensor pengukur gayategangan dan pegas tersebut dibuat bergerak. Hasil osilasi direkam ke dalam grafik dan Tabel (kiri), kemudiandianalisis dengan FFT untuk memperoleh spektrumnya. Klik di area yang ditunjukkan untuk mengkopi data kedalam Windows clipboard.

Gambar 9-13. K iklah di area tempat beradanya pointer mouse dan Anda akan meletakkan seluruh data dj tabel-'::a:-,"/i"dowsclipboardpadasaatAndamemilihtEditl[Copy].Tulisanputihdi atasdasarhitammenunluk-..^ -:s -.^.kllk tabel Force.

l t--**--'::-{

J la.srliib sltue..s

in,iElffil.:li.I#iffi

9.3 Menggunakan Excel dengan pASCO Science Workshop

- ...,.".- -q*---i---'F;-* i..-*.f :.. i.*'-_q** :"-_*.Data lnportfrom PA$Co Scienca lffortshop

197

. $- jch $, ,(h A..Q*1Run #1 Rpt #1

.],lTlme i9] ,Fo1ce {N)

-q, o--i3g9l 0051 .3.2461

_Ilil ' n.l .3 2!6

.,l-i..] fl 15, -3 2,16

1"?_i 0.2 .3 ?48

1X.i 0,S -3.216

.1*,j . n3 -3185

:!s-l n 35 .3 ffi416.i 04 .2972

"f_.r 0 45 ,? 8€

.1,Q-: 0 5 .27w15 i 0.55 .3 m72[ i n.6 -2 U4}j_l o 6s .2 3e2

wi 07 "22re_?$j rl 75 .2 17824, rl.8 .1.m7x: 0.85 ,tw5:6-i oe .1m4

FFT FFTFreq {Hz) FFI g

0.n78 4.031

a2y uoar8.391 ff.m60 547 0 2S8

0703 1

0 859 o.ril1 816 0.1311 172 B.m61 328 0081 484 0.G91 641 0 0591 797 B.B51 953 U 0442 1m DB432M iE32 472 I C34

2 578 C 0372.7U rl 031

oscttAH i I I J :i l{ l

Chapter 10

8pccln fir, illa*s on a Sprirx

5

4

x3

1

il

Fr.qeulcy tl'h)X-j,i L i *\s*r"etr l sreeta { green IGambar 9'14. Tabel data Force yang telah berhasil dimasukkan ke dalam Excrr- diperlihatkan seluruhnya diGambar9-13. Selainitu,padaoperasi Copyyangkedua.datanyasudahdikopikandandipastekan,diagramnyapun sudah dibuat. Diagram spektrum perlu disesuaikan karena bentuk pakunya mendekati frekuensi noi Bentuksumbu log akan membantu memperjelas secara grafis untuk analisis spektrum. Modifikasi untuk hal tersebutterdapat di Gambar 9-15 dan 9-16.

Sp€ctrum, Mass on Sprlng

0 1 2 3 4 5 6 7 I S IQ i1FGqwnry (H.,

Gambar 9-15, Diagram hasil modifikasi untuk spektrum yang diimpor dari PACSO Science Workshop. Bandinoka-dengan spektrum di Gambar 9-14; bentuk paku "dc" pada frekuensi 0.078 Hz yang berupa artefak dar r.e:-dihapus. Garis spektrumnya berada pada frekuensi 0.703 Hz. Di Excer-, letakkan pointer mouse ke data- ;-:..untuk membaca frekuensi dan amplitudonya.

oE3ic6.E

.ffilrl

I

I

I

{*-1ga1r'.Dlla


Spectrum, Mass on Spring

8.1 1

Fraquency (Hz)

Gambar 9-16. Data di Gambar 9-15 ditunjukkan di sini dengan format diagram log ke log.

Lebar garis spektrum di Gamhar 9-1.5 dan 9-16 bukanlah estimasi yang baik untuk lebar yangsesungguhnya dan bukan pula pengukuran yang baik untuk Q osilator. Alasannya adalah bahwaFFT yang digunakan di sini hanya baik untuk tampilan cepat, namun jendela data kotak digunakanuntuk menghasilkan tambahan sebaran di garis. (Bab 11 akan mendiskusikan data yang lebihbaik.) Penggunaan Excr,L dengan data waktu asli (yaitu berbentuk gelombang) dapat menghasilkansosok spektrum yang lebih akurat dengan mempekerjakan teknik-teknik lain FFT. Kita akan lihatbagaimana melakukannya melalui Bab I l, namun marilah kita membandingkan hasil awalnya diGambar 9-17. Perhatikan sosok spektrum yang lebih baik dihasilkan dengan ExcEr-.

9.4 Menggunakan Excel dengan lnterface Lab VernierMultifungsi

Interface ini berbasis papan rangkaian standar (ISA) 12-bit, 3-masukan, dan konverter analog kedigital yang diperuntukkan bagi keperluan mahasiswa di lab. Laju maksimum pengumpulan dataadalah 75.000 sampel per detik. Tiga range software yang dapat dipilih bisa didukungnya, keluarananalog dan jalur VO digital juga tersedia.

Kotak lnterface Lab MultifungsiKotak tambahan ini memiliki soket S-pin DIN (Saluran A, B, dan c) yang memperbolehkankoneksi cepat ke sensor range lebar. Bagian dalam kotak adalah soket 16-pin DIP yang digunakanoleh pelaku eksperimen untuk membuat prototipe area tempat rangkaian dibuat.

Software lnterface Lab MultifungsiSetiap saluran masukan dapat dikalibrasi menjadi tampilan untuk beberapa macam sinyal masukan;- -:,,i:. .rluran A dapat membaca temperatur, saluran B membaca pH dan saluran C membaca

€cE

9.4 Menqounakan Excel denqan lnterface Lab Vernier Multifunqsi 199

Gambar 9-17. Kiri: Spektrum menggunakan PASCO Science Workshop FFf . Kanan: Spektrum menggunakanEXCEL FFT dengan data bentuk gelombang dari PASCO Science Workshop. Kedua diagram menggunakanformat log ke log. Perhatikan penurunan kebocoran spektrum.

tekanan. Data dari masing-masing saluran masukan analog tersebut dapat ditarik, dibuatkan grafik-nya, dan disimpan ke dalam disk. Grafik waktu terkini, histogram, osiloskop seperti tampilanmonitor, dan analisis Fourier seluruhnya dapat disediakan. Program-program tersebut menyertakansebuah pilihan yang akan mengeset komputer menjadi digital, bersaluran tunggal maupun menjaditampungan osiloskop yang mengukur Y terhadap / dan Y terhadap X.

Program MPLI for Windows membolehkan penarikan data cepat terhadap grafik, osiloskop,dan hasil pengukuran terkini. Uji coba kelajuan dapat mencapai 75.000 data uji/detik atau lebihlambat lagi sehingga data dapat ditarik dalam beberapa hari.

Perangkat-perangkat penunjang datanya termasuk perangkat analisis, garis tangen, integral,jendela FFI jendela histogram, kolom perhitungan dan pencocokan kurva. Program MPLI forWindows mendukung pencocokan kun'a secara otomatis menjadi fungsi-fungsi yang lebih beragam.termasuk linier, polinomial. logaritma. dan trig. Selain itu mendukung pula terhadap pencocokankurva secara manual, dengan cara para mahasiswa yang mengetikkan nilainya kemudian mencobamencocokkan datanya ke model matematika.

Begitu mudah untuk mengkopi data dari program MPLI ke dalam EXCEL atau softwarepengolah kata. Tatanan jendela tertentu ditunjukkan oleh Gambar 9-18 dan 9-19. Jendela MPLIdapat diubah ukurannya dan dihapus; jendela tambahan dapat disertakan pula.

TIPS

Kliklah di bagian kepala tabel data di layar MPLI untuk memilih seluruh tabel. Setelah itu klik[Edit][Copy Data] di bagian atas bar menu. Langkah ini akan meletakkan isi tabel data kedalam Windows clipboard. Bukalah sebuah buku kerja EXCEL, pilihlah sebuah sel, kemudianklik ikon [Paste]. Anda akan melihat hasilnya seperti di Gambar 9-20.

Anda dapat juga mengkopi seluruh jendela di MPLI menggunakan [Edit][Copy Windorr ;:bagian atas bar menu. Langkah ini berguna apabila Anda ingin meletakkan sebuah diagram \IPLIke dalam pengolah kata atau lembar kerja.

MPLI memuat beberapa fasilitas analisis yang berguna. Contoh, Anda dapat membuar :ebu:-histogram dari suatu bentuk gelombang untuk mempelajari distribusi amplitudonya. Sepuluh;:-:.pemantasan kurva data eksperimen secara manual maupun otomatis dapat dilakukan.

_ -l- Bab 9: Pemakaian Excel di Lab

aH

F'

rxn3e&

l

I

Gambar 9-18. Konfigurasi MPLI dengan grafik, tabel data, dan jendela spektrum (FFT). Eksperimen ini berupamassa yang berosilasi di udara, digantungkan di sebuah pegas dengan sensor gaya. Keluaran dari sensor gayadigambarkan dalam grafik. Perhatikan kursor yang berada di grafik. Kursor tersebut menghasilkan pembacaanwaktu dan gaya dan berhubungan dengan bagian yang dipilih di tabel data. Kursor juga dapat mengukurperbedaan waktu dan perbedaan gaya. Di sini FFT ditampilkan menggunakan 256 titik; jumlah titik ini bisadiatur namun harus berupa bilangan bulat pangkat 2, seperti 128,256, 512, dan seterusnya. Untuk mentransfertabel data ke Excer, klik bagian atas tabel kemudian klik [Edit][Copy].

9.5 Menggunakan Excel dengan software MEASURE buatanNational lnstruments

Plket software bernama MEASURE adalah sebuah software tambahan serba guna untuk keperluanindustri yang memungkinkan EXCEL menarik data lab, mengontrol eksperimen, dan membangkitkanrin1,al. MEASURE memiliki tiga bagian: Serial, GPIB (General Purpose Interface Bus), dan DAQrlkuisisi data dari National Instruments). Dengan software tambahan ini Anda dapat:

. menarik data analog dan mengontrol instrumen menggunakan EXCEL,

. mengkonfigurasi operasi masukan/keluaran (l/O) dengan kotak-kotak dialog yang mudahdigunakan,

. meletakkan data langsung ke dalam sel-sel lembar kerja, tanpa bantuan program danalgoritma konversi.

. mengotomatisasi eksperimen dengan program makro VBA.

Dengan Add-ins Serial dan GPIB Anda dapat mengontrol instrumen-instrumen yang kompatibelji:r langsung menarik data melalui EXCEL dengan menggunakan instrumen-instrumen yang ter-- --.-rnS ke port serial atau kartu GPIB di komputer Anda.

1s_ @n software lvl E4q!8E ICqIA! llCllo1qLl1gtqqg{9 * 201

Gambar 9-19. Sebuah massa silinder yang tergantung ke pegas direndam separuhnya di dalam air. Pegas ini

digantungkan ke sebuah sensor gaya. Osilasi mengalami redaman karena gerakannya di dalam air. Gayamengalami gangguan berupa turbulensi di dalam air dan beberapa osilasi lainnya di dalam pegas-

'-,_31 E

1 ;OSC.DAMP.XLS? :Chnrier lB3 l-14

IE.7

D E F . G .r.11.....\lass euependrd verlrrally by epffng frlrn for{e gengor

lUaos og|liales rn a"ler

[.Bs$ed S$*r*si#

K: Irl ; tl!

Ma$s: 0 351? t!diamBtsr 3 cml9 !l1lr,iq sr

Time Polenlral FrequencJl,,legnrtudeeVFz\,1

.8.-r 0 1{649$3 D 2974 .!

S r 0.?t10t12 1 462621 C.0.1BB!4 0.Dmll1ff I B.r-140tltr9 1.482683 0 rB7B47 0 000t491t 0660006 1,rE53b3 C 14b771 iJ000l8it!^ amwnt r 4eiali o,9i69s ooooi2!'13 j 0.l}99*1 1.489t:6 8.24.4616 0 0003:ts

14] 0 !2008? r d9ffi13 0 ?935{2 0.000371

15:013999: I d91%: 11.34.?466 000042316,0159991 149334.? 05913a9 00m{81.1-.a D 180087 1 -{93981 rr.{i0313 0 000555

1ti81999S3 1 195111 0.489237 0D0m4A

lls,r 0.22 1 .4ffi3' 0 53816 0 rlDB/g1

:g i 0.?3S993 1 .501 562 C.S?081 ! .!t:r 1 1 9n)r". ozsesgn 1 501562 8635006 000112!2?t B.:ADD04, '1.4S51r B.€8493r 0.00225823 , t -tsss9: r agagli r: i:l9ls o ooszl324: 0.3?lilB4 1.501197 0.78?7fiS ll.flE6{6* olqo&r: rso2r;ts og3l;,Bi ooo2toi,fi D.-355992 1 50142' C.mrt6:t 0.081t19z o :eotrrr 1 5001 19 t 92955 0 000847 :

Gambar 9-20. Data dari Gambar 9-19 telah diimpor ke EXCEL. Spektrumnya telah dipetakan menjadi diag:'a-semi-log untuk melebarkan penampilan sebagian spektrum amplitudo rendah. Penampung air memiliki diar-e::'dalam sebesar 5,9 cm. Turbulensi terjadi ketika massa yang berdiameter 3 cm berosilasi pada saat dicei-:.e-ke dalam air.

Mass oislrinq:0.15{d k


Dengan \dd-in Serial Anda dapat mengontrol setiap instrumen melalui interface RS-232atau RS{85. seperti skala elektronik, analizer, spektrografi, kaliper, dan modul I/O jaraktauh di dalam lab atau di tempat manapun di dunia melalui Internet.

\dd-in GPIB memungkinkan Anda untuk mengakses setiap instrumen GPIB sepertimultimeter, osiloskop, dan pembangkit fungsi. (GPIB merupakan singkatan dari GeneralPurpose Interface Bus. Bus ini memungkinkan beberapa instrumen maupun komputeruntuk berkomunikasi satu sama lain; instrumen-instrumen tersebut harus memiliki kartuGPIB).

Add-in DAQ bekerja dengan standar industri berupa kartu PCI, ISA, dan PCMCIA yangdimasukkan ke dalam slot di komputer untuk menarik data, membangkitkan sinyal,mengoperasikan relay, dan banyak lagi. Penarikan data dengan DAQ berkisar anta.ra

100.000 hingga 300.000 sampel/detik, lebih cepat daripada menggunakan port Serial.

Ketika MEASURE sudah diinstal dan diaktifkan, Anda akan melihat pilihan tambahan dibagian atas menu bar EXCEL. Sebagai contoh, pada Bab I Gambar 1-4, Anda dapat melihat menuSerial di antara menu Data dan Window di bagian atas lembar kerja. Add-in Serial dan GPIB yangdiakses melalui menu-menu yang dapat digulung ke bawah ini secara otomatis ditambahkan keEXCEL ketika Anda menginstal MEASURE. Anda dapat menonaktifkan menu ini melalui menu

ITools][Add-ins].Pertama Anda harus mengkonfigurasikan setting spesifik di instrumen seperti koneksi port

COM, baud rate, dan bit data untuk instrumen serial, atau alamat GPIB untuk instrumen GPIB.Setelah itu Anda dapat membuat tugas khusus untuk mengirimkan perintah atau menangkap datadari instrumen yang terhubung, kemudian Anda dapat menentukan algoritma terpisahnya. Gambar9-21 menunjukkan menu yang dapat digulung ke bawah untuk Add-in Serial.

Klik menu lSerial][Instruments] dan Anda akan melihat Gambar 9-22, yaitu yang memulaisetup instrumen. Di dalam contoh ini, perangkat penyeimbang elektronik (electronic balance)dalam kondisi terpilih. Perangkat ini memiliki konektor RS-232 9-pin di belakangnya. Kabel serialstandar digunakan untuk menghubungkan perangkat penyeimbang elektronik ini ke Port COM 1

di komputer.Di sisi kiri Gambar 9-22, Anda akan melihat tiga buah tombol: New, Delete, dan Test. Ketika

Anda menekan tombol Test, Anda akan melihat Gambar 9-23, kotak dialog Instrument Test.Kliklah di bagian Send Data dan Read Serial Port. Setelah instrumen mengalami setup dan ujicoba, klik di Tasks. Kotak dialog Capture Task akan muncul seperti di Gambar 9-24.

Bukalah buku kerja bernama INSERT-MOVIE dan Anda akan melihat konektor 9-pin tertentudi bagian belakang dari sebuah perangkat penyeimbang elektronik. Anda dapat menghubungkankabel standar di antara konektor ini dan pofi COM (uga 9-pin) di komputerAnda untuk membentukkoneksi Serial ke proses transfer data dan perintah melalui protokol RS-232.

Gambar 9-21. Klik menu Serial untuk mengakses menu-menu Tasks dan lnstruments.

9.5 Menqqunakan Excel denqan software MEASURE buatan National lnstruments

Ells Edh VIew lnsert Fgrmst Ipolr Qatr lYlndo* DAO gerirl Help

203

I f-{st qg$dr-;;u}:.:Yir*r,:rt CryP#t

S8iri| ftirt&r

{?{oo l*l' ,, , 1:,'l:'

fffit ., ::,,

rH$r

@ffiffi:"!Gambar 9-22. Add-in Serial dikonfigurasikan untuk masukan data otomatis dari perangkat penyeimbang elektronikKotak dialog ini berada di menu lnstruments.

lffi f ffi Wtrf.-q.ffi FS".{}m.E}ffi }$ffi @rfi r*ffi n-ffi

1t*rfttd*i

t

) llar: :

lEl."t,*t" B"t"*- ,,h(

-

lEq'li

i fH,F l

Wffiil#-ffi IE36lGIffi lElEl lx3-r] ffi tffi fsr*ffi ffiin*rsa**:. t llh$-

Tredeii*i

Ssd:Sa*a

n"ijsi*Yr:

\1 $r {nI 3S"3e311 }\'t *X-B$\}n3gtl 311.{}

,il

*]:ffiit"ffi,l::I

Gambar 9-23. Kotak dialog lnstrument Test. Klik di Read Serial Port. Gambar 9-24 menunjukkan kotak diato,;Capture Task dan pembacaan yang diimpor dari EXCEL.

fIl* gdit Yieur lnsert Fgrmat Iosls Data llfindas BAg Srrial

.,

2.TX($r"ss-Isc!a13

F?

Bab 9: Pemakaran Excel di Lab

-, Elc Edit Vierv lnsrrl Farrnrt lonl* Oxtc

ffirEl'' "' ..:i:lilt 'l'trsffi

?rs&s

{8cad Scde

r,ht '$:

DAg $erial

$.S fi* *aStffiii*ffi$r- '"":

ffi $i$ff*rffi g*F ' ,,,it' Aoc* oa sarftg snstfl* es{ry{ry$*!{qanrryxfWsrtfusl'tllfsr llsffiffit i, l

ss,-.s* ryw+*h*19*dffir1@

tft# tff lhi: Bn$od-em rir*q$ryft Srir rea${s11g s*tqh6; ,

Isooo

S*&t! *h

I

S$e$bsl$lei&S.lirls.*cA4 *€&*k

Gambar 9-24. Kotak dialog Capture Task mengeset parameter-parameter penangkapan (capture). Perhatikanbahwa data yang ditangkap akan disimpan di range $A1 :$A10, seperti ditunjukkan di Gambar 9-25.

fil* Edif Eleu lr*rrl fi

ffif**Xrle"hmi* sdance

Xa*.*r

f-$*w-f rJt*-J

[&&,**l *

Htu*&lfi&"M

fffc$* * tx**:

&ixffi*

[ds

Iz1

s.3:2 LS$

s.?11 LS$5.bi r' L5b1&{ I AC

n ft.ts'i I cl{il01* LSSn frB-l r &q

n.fls"3 LBSil t1tfr LsS

$67

E

I

1

12

13

1t15t617'lal

Sridtiigtfun: - -* --.--''**'-'..-"-'. -.-:-*-*-:*-.:nedr isai$N frnm EbiJkimie 8afia*ee

ffi ffiterns;3.il#s";

tr H'4 #W

il12

I1S

*.ffi s

Gambar 9-25. {. . :.^lbol Run yang telah ditandai untuk menjalankan Task

9.6 Menggunakan Excel dengan TAL Technologies SOFTWAREEDGE 205

9.6 Menggunakan Excel dengan TAL TechnologiesSorrweneWeoce

Anda tidak perlu rnengetikkan data ke dalam software aplikasi dari tampilan di panel instrunrenAnda atau rnemasukkan nilai-nilai hasil tulisan tangan jika perangkat Anda telah merniliki portRS-232 (Serial). WIxWEocr. bagian dari keluarga SonrweepWEoce, merupakan solusi lain untukrnenarik data melalui perangkat I/O Serial yang sungguh dapat diubah-ubah sesuai keperluan.

Pada dasarnya. WrxWeocE memasukkan data dari perangkat apa pun yang dipasangkan kesalah satu port Serial komputer ke dalam program aplikasi Windows langsung saat itu juga. KartuSerial tambahan yang memiliki 2 clan 4 port pun tersedia.

Seluruh informasi yang muncul di tampilan instrumen Anda (dan di banyak perangkatlainnya) tersedia melalui port Serial. WrrvWpocE melakukan pengambilan intisari informasi yangAnda butuhkan dari data Serial yang masuk ke komputer dari berbagai instrumen. Software inisecara cepat menyelipkan data ke dalam program aplikasi Anda (Excel, Accpss, software statistik,maupun matematika) atau program-program di Windows 3.x, 95, 98, atau NT. Anda dapatmenarik data langsung dari pengukur elektronik, gage, scanner barcode, pengukur aliran. pengukurpH, spektrorneter, analiser, densitometer, sensor, pencatat log data, kontroler, Global PositioningSystem (GPS), atau perangkat lain, secara langsung ke dalam field-field atau sel-sel di dalamlembar pengolah angka atau database yang akan langsung menghasilkan grafik beserta analisisnya.

Dalam model yang sederhana. WrsWEocE mengkonversikan data serial yang datang menjadi"ketukan tombol" sehingga data yang masuk ke dalam program aplikasi hanya bagaikan mengetikkandata. Alternatifnya, model yang canggih untuk nientransmisikan data serial adalah melalui DDE(Dynamic Data Exchange) untuk mendefinisikan lokasi di aplikasi tu.juan.

WTNWEocE dapat memasukkan data dari berbagai instrumen. tidak peduli seberapa komplekskeluarannya. Software ini dapat melayani hingga 100 port serial secara bersamaan dan mendukungpula kornunikasi TCPiIP untuk Internet. Data dimurrgkinkan untuk ditarik dari perangkat yangterkoneksi ke sebuah jaringan Ethernet atau Internet, selain ke port serial. Untuk informasi lebihlanjut. silakan melihat ke Bagian 9.8.

Berikut ini adalah dua buah contoh penalikan data beserla analisisnya dengan Excer-:

Lapisan OzonLapisan ozon adalerh daerah di atmosfer atas. berada pada ketinggian kira-kira 10 hingga 20 mil(atau l5 sampai 30 kilometer), yang mengandung konsentrasi ozon (bentuk natural dari oksigenO.,) yang relatif tinggi. Lapisan ini menyerap radiasi ultraviolet dari matahari dalarn suatu rangepanjang gelombang yang tidak dapat disaring oleh komponen-komponen atmosfer lainnya dan inimembantu melindrrngi kita dari pengaruh bumk sinar matahari.

Fakultas Ilmu Bumi dan Planet Universitas Harvard telah melakukan pengembangan sebuahmetode analisis lapisan ozon. Penelitian ini termasuk melacak karbondioksida di atmosf'er yangdapat membuka wawasan kita mengenai bagaimana polusi udara itu menyebar dan et'eknya terhadaplapisan ozon.

Kampus tersebut mengembangkan sebuah sistem melalui alat ukur karbon dioksida yang akanmenangkap data melalui logger data. Instrumennya dipasangkan ke sebuah balon udara. Data daribalon udara ini diukur dari jarak jauh ke stasiun penerima di bumi kemudian ditransf'er ke ponSerial di sebuah kornputer berbasis Windows 95 dan Soprw.,\neWrpcE 32-bit versi Pro (Wrr\\'rnr,r232). WINWTDGE menguraikan dan menyaring datanya kemudian mentransfernya melalui dinarni;data exchange (DDE) ke dalam Exc's.t-. Data akan secara otomatis dianalisis dan dibuatkan gral-iknr u

oleh Excnr..


Bola golf sempurnaP::'.rin golf di seluruh dunia menyadari bahwa begitu penting untuk menemukan bola yang.r'n-rpurna dan cocok dengan permainan mereka - tidak terlalu lunak, tidak terlalu keras, untuk:rr'rJrprtkun jumlah putaran yang sesuai.

\lemilih bola golf yang sempurna bukan tugas mudah. Asosiasi Golf Amerika Serikat memiliki:ekitar 1900 bola di dalam daftar mereka untuk hal ini. Bola-bola itu adalah bola two-piece, bolathree-piece, bola balata dan Surlyn, bola wound, bola liquid-center, bola titanium-center, bola"\enior". bola "ladies", bola yang memberikan "tambahan jarak" atau "tambahan putaran", dan

terrrr.ra kasih kepada bagian riset dan pengembangan dalam industri bola golf, terdapat banyak bolar ang rnengkombinasikan karakteristik-karakteristik di atas.

Suatu pabrik pembuat bola golf, yang sejak lama telah dianggap sebagai pemegang merekpaling bergengsi dalam industri bola golf dengan laba $1 miliar per tahun, menawarkan sebuah

array tipe bola golf untuk hampir semua tipe pemain golf. Pabrikan tersebut membuat begitubanyak tipe bola dengan tingkat kepadatan berbeda-beda. yang bahkan dapat membingungkan parapemain golf profesional sekalipun. Untuk para pemain rata-rata yang bermain secara 'untung-untungan', apakah ada tipe bola yang dapat memperbaiki permainan mereka?

Departemen Riset dan Pengembangan di pabrikan tersebut memiliki tanggung jawab untukterus melakukan perbaikan kualitas dan komposisi bola-bola golf mereka, sekaligus melakukanperluasan di jalur-jalur produksi. Salah satu elemen kritis dari bola golf adalah komposisi intinya.lnti adalah sumber utama simpanan energi potensial dan kinetik di bola golf. Perbedaan padakonstruksi inti akan mempengaruhi laju putaran (kontrol), kecepatan awal (arak), dan kompresi (rasa).

Konstruksi inti tertentu, baik yang terbuka maupun padat, dapat menghasilkan perbedaanmencolok dalam kontrol dan rasa. Bola bertipe terbuka memiliki tiga bagian: pusat, lilitan, danbungkus. Bola terbuka ini menawarkan putaran dan kontrol yang lebih baik namun menghasilkanjarak yang pendek. Bola bertipe padat terdiri dari dua bagian: inti padat dan bungkus. Bola padat,atau bola two-piece, memberikan jarak yang lebih jauh namun kurang di sisi putaran dan kontrolnya.Inti pada umumnya tersusun dari karet alami dan sintetis (polimer).

Departemen Riset dan Pengembangan memimpin eksperimen kompresi inti untuk memperbaikidesain bagian dalam bola-bola golf buatan mereka. Mereka menggunakan rheometer, yaitu sebuahinstrumen pengukur aliran viskositas zat cair buatan Monsanto yang akan dipergunakan untukmengukur perbedaan siklus panas polimer yang masuk ke dalam pusat bola. Mengukur perbedaan

siklus panas memberikan simulasi terhadap bagian dari proses aktual dalam pengembangan inti bola.Dengan melakukan simulasi proses melalui reometer ini. mereka dapat mengatur panas dan proses

kompresi untuk memperbaiki inti bola golf dan selanjutnya mempengaruhi kontrol dan rasa bola.Monsanto, pencipta rheometer, menawarkan software buatannya untuk dipakai menganalisis

keluaran dari perangkat. Namun demikian, pihak Departemen Riset dan Pengembangan mem-butuhkannya untuk melapisi kurva perbedaan siklus panas mereka yang tidak dapat dilakukandengan paket software tambahan. Dengan menggunakan SoprwaneWrocE versi Profesional(WrrWeocn Pro) sebagai interface antara reometer dengan komputer yang menjalankan Windows9-5. rnereka dapat melapisi pemanasan kurva dan menganalisis hasilnya di Excst-. Kelompok risetdan pengembangan menyarankan penggunaan Excnl karena telah dikenal, mudah digunakan dan

nremiliki kemampuan analisis statistik yang luar biasa.

Rheometer dikoneksikan melalui kabel Serial ke komputer yang menjalankan Excr,l dan\\'rrWrocE. WrNWsoce menguraikan dan menyaring data dari rheometer dan mengarahkannyalansruns ke Exclt-. Data-data tersebut kemudian langsung dibuatkan grafiknya di ExcEr-.

9.7 Penarikan data port serial DATAQ

f.:.i. .:reni \furst'ne dan Sor"'rweneWrocE, perangkat ini dan software yang berhubungan dengan--r.: i.i-\ ::r:nrbutuhkan Serial RS-232 sebagai sumber data. Modulnya memiliki dua ciri, single-

9.8 Penarikan data melalui Dort oaralel 207

ended, masukan analog bipolar (batas maksimum pengukuran + 5 volt), dan port masukan digitaluntuk mematikan/menghidupkan dari jarak jauh atau pengontrol aktivitas jarak jauh. Modul inijuga mencirikan sebuah generator bentuk gelombang onboard yang dapat digunakan sebagai sinyalmasukan ke perangkat luaran. Kit softwarenya menyertakan software perekam WINDAQ/LiIe danWINDAQ Waveform Browser playback beserta software analisis.

Kit DI-190 menl''ediakan sebuah pilihan daya dan kecepatan selain yang mungkin telahdisediakan oleh software WINDAQ for Windows. Sollware ini akan mengimpor dan mengekspordata melalui EXCEL secara mudah. Software gralls versi download memperlihatkan WINDAQWaveform Browser. plalback yang berhubungan dan software analisisnya (lihat Bagian 9.10).namun untuk mendapatkan suatu demo langsung mengenai perekaman data dan kemampuanmenampilkan WINDAQ/LiIe. Anda membutuhkan Starter Kit DI-190.

Ketika terkoneksi ke port Serial komputer, Stafier Kit DI-190 memungkinkan Anda untukmerekam, menampilkan. dan rnenganalisis data menggunakan sinyal Anda sendiri. Starter Kit DI-190 dapat dijinjing. terdiri dari modul 2x3-inci A/D, dua saluran dan sebuah kabel komunikasiserial yang memungkinkan Anda untuk terhubung ke port serial komputer mana pun (bukalahbuku kerja DAIA-INPLT untuk melihat kedua fotonya).

Laju penarikan data vang mencapai 240 sampel per detik didukung oleh resolusi 12-bitdengan WINDAQ,TI-iIe atau \\-INDAQ Serial Acquisition for Windows. Ini cukup cepat untukbenda-benda seperti termistor dan pengukuran mekanikal yang lambat, namun perlu diingat bahwa240 sampel/detik memiliki arti bahu a frekuensi tertinggi yang dapat Anda percayai adalah 120 Hz(lihat Bab 11 untuk diskusi mengenai tiekuensi Nyquist). Kecepatan tertinggi hingga 240 jalurmasukan tersedia di peran-ukat DATAQ lainnra. Gambar 9-26 menunjukkan diagram rangkaiankotak masukan. Kotak ini mengambil dala dari komputer.

Gambar 9-27 menunjukkan bentuk gelombang detak jantung tidak beraturan. Sebuah bagiandari bentuk gelombang ini akan dipilih untuk diekspor ke EXCEL. Kursor diletakkan di awalbagian tersebut kemudian Tombol Fungsi F4 ditekan. Setelah itu kursor diletakkan di akhir bagiantersebut. Gambar 9-28 menunjukkan bentuk gelombang yang diimpor ke EXCEL.

9.8 Penarikan data melalui port paralel

Port paralel di komputermelalui PC Analog Datacontoh yang murah.

Anda dapat digunakanSampler. Ada beberapa

untuk menarik aliranmodel yang tersedia;

data yang relatif lambatkita akan mendiskusikan

4l'€AD€&

J OOFi

RJO

1'l0X :; ClLtr"fI

a; !:1.

I .ol uF

IA/D Cln've*nr

Gambar9-26. Diagram rangkaian modul masukan. Empat koneksi di sisi kiri adalah terminal-terminal mas-.:-Konektor Serial DBg di sisi kanan menerima kabel ke konektor port COM di komputerAnda. Daya dipaso< :=.port COM ini.


-

Efl Uht" $Acrsk1 2500

- 41CA?t:11

B* *E:{TEr'l 14:59iri;:iitl;rrt4dry;aryFr &d;**

*. x7fl?ffi ?u1t.

I$ffi

;*..i*-*'-^-i--;.*

-l$*S{ 14 I S$

*

Gambar 9-27. Atas: Awal bentuk gelombang detak jantung tidak beraturan dipilih dengan kursor. Barazah: Akhirbagian bentuk gelombang yang dipilih dengan kursor. Perhatikan bagian-bagian menunya.

Sebuah contoh A/D tertentu memonitor perubahan tegangan dalam batasan milidetik hinggabulan yang dihasilkan dari port paralel. Perangkat pengukur ini dibungkus dalam kemasan luarDB-25 dan penampilannya seperti konektor di ujung kabel paralel printer. Perangkat ini berupasaklar yang dapat diatur ke 2V atau ke batasan skala penuh 20V.

Contoh ini dapat digunakan sebagai cakupan digital fiekuensi rendah untuk menjangkausinyal audio maupun sinyal lainnya hingga 5 kHz. Perangkat ini tidak membutuhkan baterai atausumber daya luar dan tersedia bersama dengan software Windows. Anda dapat memetakan dia-gran.r penarikan data dan menyimpan datanya sebagai file teks agar memungkinkan untuk meng-irnpornya ke suatu lembar pengolah angka (lihatlah ke Bagian 9.12, Marlin P. Jones & Associates,.\nalog Data Samplers).

9.9 Penarikan data melalui Universal Serial Bus (USB)

Kecepatan USB 2.0 adalah 480 Megabit per detik (Mbps), 40 kali lebih cepat daripada USB 1.1.L'ntuk membandingkannya, Anda dapat mem-backup data berukuran gigabyte dari komputer Andaj.l:nl saktu kurang daripada satu menit melalui USB 2.0, dibandingkan dengan sekitar setengah::---. ;:relului USB 1.1.

P,'n paralel atau port printer memiliki laju transfer arah maju sebesar 150 Kbps. Lajunya ke:i:1 ^: :rr :J.rllh :epertiga daripada ke arah majunya, yaitu 50 Kbps. Port Serial RS-232 memiliki-. . -..'.::'-:li .ebesar -j8.100 bps. Port USB 1.1 yang terdapat di sistem-sistem lama memiliki

9.9 Penarikan data melalui Universal Serial Bus (USB) 209

{.5

b

I6

I1n

1:l

12

13

!1tb

16

tt'ts

1s?fl11

23

fi

t627Jdl

w

5 B!8

4 756

e t:t3 473': 799':11n

1.3S7

0 sfi4-n.078-[.820-'t 549-225fr-2 UJq.J DUJ

-.1 :bt

-5 q59

-0.0 r i-6 55i-7 n7tl

-? 800-o 171o a?n

E ...F.j 0 , H , I

&cguiring data in EXfXL via $erial F*rt

0.000 is tlre lrigger level irr ?slts0 i$ lhr triuqer slope i0 pc:itive, 1 negatrve]

50 is thP pre-tnggsr lerrgth

0 rs the AD C h.lnnel

^t",op

I

15.890

'10.000

5 rg0

0.000

-5.ggg

-10.000

"'t1.gg0

\L-J

1: 18 25 3t 37 43 {8 55 61 67 7' ?9 $5 SJ gI

Gambar 9-28. Gelombang sinus telah ditarik dan diimpor ke dalam EXCEL. Keluaran Analog-ke-Digital (fuD)berada di kolom A. Tiga tombol kotak mengontrol program makro VBA. Pada saat Anda membuka buku kerjaini, Anda akan diberikan pilihan untuk menonaktifkan program makro. Anda perlu menonaktifkannya jika Andatidak memiliki WINDAQ yang sudah terinstal. Ketiga tombol itu membutuhkan hardware dan software WINDAQuntuk beroperasi.

laju transfer maksimum sebesar l2 Mbps untuk perangkat yang berkecepatan penuh. Meskipun

demikian, versi yang baru tetap kompatibel terhadap versi yang lama.

Selain menawarkan band*'idth yang besar, keuntungan USB lainnya adalah hanya satu buah

IRQ yang diperlukan oleh kontroler USB yang dapat menangani hingga 127 perangkat. Bandwidth

USB dapat dipakai secara bersarna oleh seluruh perangkat. Tidak terdapat konfigurasi jumper yang

menyebalkan atau pengesetan hardware terhadap perangkat USB ini. Konfigurasinya pun tidak

memusingkan.USB begitu luar biasa bermanf'aat untuk penarikan data dengan berbagai alasan, yaitu:

. Perangkat bisa memperoleh daya dari port USB; tidak dibutuhkan tenaga baterai maupun

kabel yang dicolokkan ke dinding. Hal ini membuat USB menjadi ideal untuk penarikan

data yang dibawa-bawa dengan notebook.

. Dengan menggunakan hub USB, Anda dapat menghubungkan beberapa perangkat ke

sebuah port USB sehingga memudahkan Anda dalam mengembangkan sistem.

. Pofi USB telah disediakan di seluruh komputer keluaran terbaru sehingga tidak perlu

membuka komputer untuk menginstal kartu adaptor.

. Anda dapat mencolokkan atau mencabut kabel perangkat Anda tanpa perlu memati\:,komputer maupun sekedar me-restart Windows.

SetUp and

Frn

Acqurre andRe-arm


Kabel USB dapat mencapai panjang maksimum -5 m. Akan tetapi, dengan menggunakanhub USB di antara kabel, Anda bisa mencapai jarak hingga 30 m.

.\nda dapat menggunakan perangkat USB dengan perangkat penarik data lainnya (seperti

kartu yang Anda pasang di komputer atau instrumen yang terhubung langsung dengan

port serial RS-232).

Jika Anda memiliki komputer tua yang tidak memiliki port USB, Anda dapat menggunakan

kanu berbasis PCI yang memilikinya. Namun demikian, Anda perlu menggunakan Windows 98

rrilu vcrsi yang sesudahnya. (Keluaran awal Windows 95 tidak mendukung penggunaan USB.

K'.luaran yang terakhirnya memang memiliki dukungan narrun lebih disukai menggunakan Win-dous 98 atau versi sesudahnya). Anda dapat menguji apakah kornputerAnda kompatibel dengan

USB melalui situs http://www.usb.org dan men-download program utiliti evaluasinya. Solusi lainnyauntuk komputer-komputer tua adalah dengan menggunakan adaptor USB-ke-Serial, seperti Keyspan

Tu'in USB ke Adaptor Serial, dengan nomor part #USA-2SX. Hubungilah [email protected] dan

r,, ww.keyspan.com.Di dalam komputer-komputer baru, USB kemungkinan menggantikan port serial dan paralel.

Perangkat penarik data USB untuk dunia pendidikan dan industri kini tersedia secara luas dan

teknologinya pun berkembang pesat. Lakukanlah pencarian di Internet dengan kata kunci "USBdata acquisition" untuk mendapatkan infbrmasi terbaru. Lihat pula Daftar Pustaka di halaman2.19.

9.10 Merata-ratakan gabungan data eksperimen

Data yang diperoleh dari eksperimen biasanya mendapatkan gangguan. Begitu Anda mengulangi

eksperimen, Anda akan mendapatkan hasil yang sedikit berbeda, bila Anda amati lebih jauh. Ada

banyak eksperimen yang datanya tidak dapat Anda lihat karena tertutup oleh gangguan. Untungnya,ada sejumlah metode yang memungkinkan Anda untuk mengambil intisari sinyal-sinyal dari datayang terganggu. Jika Anda dapat mengulangi eksperimen hingga beberapa kali dan jika record

datanya cukup panjang. maka merata-ratakon gabttngann\o (ensenlble averaging) menjadisederhana, efektif, dan berguna. (Kita telah mempertimbangkan penggtnaan movittg average diBagian 5.3). Merata-ratakan gabungan memiliki beberapa keuntungan di sepanjang tilter frekuensi

untuk high-pass, low-pass, dan band-pass:

. Tidak ada perubahan fase (atau distorsi tase, yaitu artefak untuk waktu tunda) melaluiperata-rataan gabungan ini,

. Varians dapat direduksi (gangguan acak dikurangi) ketika jumlah record bertambah.(Lihat halaman 89.)

Reduksi varian akan menggambarkan sesuatu yang baik dalam proses perata-rataan; kita ulas

kembali bahwa varian adalah perbedaan antara rata-rata kuadrat dan kuadrat rata-rata, inilah kuadrat

dari standar deviasi. Reduksi varian berhubungan dengan gangguan namun dalam beberapa jenis

tilter juga berhubungan dengan reduksi infbrmasi!Jika S, adalah sinyal + gangguan dan S, adalah sinyal keluaran yang diproses, akan muncul

',;r'i-rn i. dan V. dari data-data tersebut. Perbandingan varian VrlV, adalah pengukuran reduksi

I 1 0 lt4eelq:lqlqkan galq1gqn dqtgsEpqti[e!

TIPS

Varians berhubungan dengan perpangkatan,perlu untuk menggunakan akar kuadrat darianalisis yang berbasis pengukuran tegangan.

deviasi, sehingga sangat

ketika Anda melakukan

Dalam beberapa c'ksperirnen, Anda akan menemukan bahwa gangguan acak menin-gkat

mengikuti akar kuadrat jumlah record N dalam gabungan dan sinyal meningkat mengikuti N. Oleh

karena itu. sinyal/rasio gangguan naik sebesar r Iy'. Contoh, 100 buah record menghasilkan sepuluh

lipatan peningkatan dan l0l record menghasilkan seratus lipatan peningkatan. Hal ini terjadi.jiklsetiap record merupakan pengukuran yang independen, yaitu tidak memuat gangguan yan-c

berkorelasi di sepanjang record. Gangguan di frekuensi sangat rendah dapat memunculkan korelasi.sehingga begitu penting untuk menjadikan setiap record itu sedapat mungkin dalam kondisi bersih.Semakin panjang record dan semakin besar jumlah record ,V, maka semakin baik hasil yang akan

diperoleh.Kunci keberhasiian dalam merata-ratakan gabungan yang koheren (tasenya terjaga) adalah

gangguan. ditandai dengan amplitudo dan f'ase yang acak, cenderung akan meningkat lebih lambatdaripada informasi sinyal pada tiap-tiap pengamatan tambahan. Ketidaksinkronan sinyal koherenberkurang karena terjadi dalam fase berbeda di setiap urutan data. Lihatlah ke Bab I I untukperata-rataan gabungan yang inkoheren.

Lantaran perata-rataan gabungan koheren didasari oleh pengukuran yang berulang, makabegitu penting untuk membuat waktu (fase) sinyalnya rnenjadi benar-benar sinkron (strobed) dengan

sistem penarikan data. Pengerlip waktu dalam proses sinkronisasi akan mereduksi ketinggiursinyal karena tampilannya samar-samar: hal ini menjadi serius ketika sisi depan atau belakangsinyal membawa intbrrnasi penting nilmun pengerlip juga mereduksi efektivitas perata-rataan sinr al

sepanjang seluruh proses.

Berlawanan dengan proses-pr()ses penyaringan yang berputar-putar (Bab l2), perata-rataangabungan dengan sinkronisasi yang ketat tidak akan meluaskan, mencoreng, mengubah. atau

mengaburkan garis spektrum ketika spektrum dirata-ratakan. Harga yang harus Anda bayarkanadalah waktu untuk menarik record yang berulang-ulang itu.

Walaupun kita sudah menekankan bahwa perata-rataan gabungan hanya bermanfaat untuksinyal yang berulang, ada beberapa kasus khusus yang dapat menggunakan perata-rataan gabunganuntuk sinyal yang tidak berulang. Contoh, pada komunikasi ruang angkasa antara pesa\\.at ruaniangkasa dan bumi. sebuah urutan data tunggal telah ditransmisikan namun data tersebut tenggelantdalarn gangguan. Dengan mengirimkan perintah ke pesawat ruang angkasa untuk mentransnti\ik-,:ldata berulang-ulang, stasiun di bumi menggunakan perata-rataan gabungan untuk memperh.,..data. Dengan kata lain, sinyal yang tidak berulang dibuat menjadi berulang dan sinlal ter..-,:sama untuk tiap-tiap transmisi nlrmun gangguannya berbeda.

Perata-rataan gabungan dapat dilakukan dalam dua cara, single-sw,eep dan lirrlli-'.,,,Keduanya begitu mudah diirnplementasikan di dalam lembar pengolah angka. Nlari krt: r':-.pelajarinya satu per satu dan rnelihat apakah kelebihan dan kekurangannya.

Single-sweepDi dalam cara ini, seluruh record ditarik kemudian seluruh gabungannya dirata-ratakan. P: r-.merata-ratakannya dilakukan terhadap titik data yang sama untuk setiap record. (Lihar G:::.:-.'9-29. Jeta.jahilah rumus lembar kerjanya dengan mouse Anda).

yaitu kuadrat standarperbandingan varians


Tabel $,1. Perata-rataan gabungan single-sweep

raaa.ar Kekurangan

::-:J.gan hanya dibutuhkan di bagianar-: penarikan data

Perata-rataan gabungan tidak tersedia hinggaakhir dari penarikan data

t,r:dah diimplementasikan dalam bentuk: grtal dan analog

Keputusan menjadi tertunda hingga prosesperata-rataan gabungan ini selesai

,laktu integrasi yang panjang dan waktupenyapuan (sweep) yang panjang begitudimungkinkan

Tidak efektif untuk mereduksi gangguanhingga 1/f

Resolusi waktunya bagus Frekuensi pemakaian maksimumnya dibatasi olehcontoh lebar pulsa. Pulsa yang lebih pendekdibutuhkan untuk penggunaan frekuensi yang lebiltinggi

Seluruh data asli disimpan untuk penggunaanpada suatu saat nanti

Memori yang besar dibutuhkan untuk menyimpangabungan yang besar

Multi-sweepDi dalam cara ini, perata-rataan bobot (weighted average) dihitung setelah setiap record ditarik.Contoh, pada saat record keempat selesai ditarik maka akan digabungkan dengan tiga recordsebelumnya. Rata-rata dari tiga record tersebut tiga kali lebih berbobot daripada record keempat,dan seterusnya. Di dalam cara multi-sweep ini Anda dapat melihat sinyal yang dikeluarkan olehgangguan pada saat setiap record baru ditarik. Bandingkanlah Tabel 9.2 dengan Tabel 9.1.

Gambar 9-29 menunjukkan lembar kerja Micro-Tutorial yang mendemonstrasikan kedua caraperata-rataan tersebut. Perhatikan sel-sel yang menghasilkan varians; kedua cara itu memilikirr'duksi varians dan rata-rata gabungan yang sama.

\licro-Tutorial memperlihatkan dua cara yang diterapkan untuk gabungan skalar yang terdirijrE .mPit record sinyal terganggu, yaitu sebuah pulsa tunggal beramplitudo 1 di titik data 4.Bu\.1,h buku kerja MICRO-TUTOR dan jelajahilah rumus di dalam sel-selnya. Dalam cara sing-:-.'.\e.i. .eluruh record merupakan data mentah. Tekanlah Tombol Fungsi F9 untuk mengubah- -i L _i:l:l_iU-tfl.

Tabel 9.2 Perata-rataan gabungan multi-sweep

Kelebihan Kekurangan

Perata-rataan gabungan yang terbaruselalu tersedia

Memerlukan perhitungan setelah setiaprecord ditarik

Perbandingan sinyal terhadap gangguanakan bertambah untuk setiap record baru

Resolusi waktu dibatasi oleh memoriyang tersedia

Reduksi gangguan 1/f telah diperbaiki Membutuhkan perhitungan yang lebih banyak danlebih cepat

Hanya memerlukan memori yang kecil.Data yang sebelumnya dapat dibuangsetelah perhitungan rata-rata gabunganterbaru dilakukan

Frekuensi penggunaan maksimum dibatasioleh Teorema Sampling. Laju samplingharus dua kali daripada frekuensipenggunaan maksimum

9.'10 Merata-ratakan gabungan data eksperimen 213

rrollriD HO:

MICRO.TUTOR.XLS

itlapter 9:

:i{i*o-Tutariolr*\ffifrtrTffi'l-rlPecordl lDTlYll{[,Awn$ l0.1li3B4

Single.Ssiep i

$weep 2 -0.381$3 -tj$A42 $.rfi74Sw?eD 3 0.f,15:15 {.5l8gl -0.134ffisweeir ozuur@ortrsa

1 6t57741 312925i tt5t02{

-0 556& ,0.0:5'11.0 i104d,0.2c28a301a18 0.056?9

ilfil

iiBri?8ii21 :

i zrr:la3ii24 |

tffii

i,/ "i&:ipii 3ll31 l

1

0.8

8,6

ct 4

D2

0

-o2

^8.4

-tt.6

1

0.8

D,I

04

0.?

B

-0.2

-il.4

S:nql&5weEF Mod€. Record 4 En$ernble Averag*

=o

1 7 5 6

datang. Rumusnya

datang. Rumusnya

Gambar 9-29. Rata-rata gabungan single-sweep dan multi-sweep di Micro-Tutorial. Sinyal tanpa gangguanadalah pulsa dengan amplitudo 1, terletak di titik data 4. Di dalam diagram, nilai-nilai negatif tidak diarsir (inidilakukan melalui chart wizard).

Bagian single-sweepRumus di sel B13 adalah =AVERAGE(B8:B11). Rumus ini dikopikan ke sel-sel Cl3:G13.Perhatikan bahwa operasi kopi ini melibatkan sel-sel dengan alamat sel-sel relatif, sehingga setiaprata-rata mengacu ke kolomnva sendiri.

Rumus di sel E3 adalah =VARP (88 : G8 ) . Rumus ini menggambarkan populasi varian Recordl. Rumus di sel E4 adalah =VARP ( 813 : G13 ) dan menggambarkan populasi varian rata-rata darigabungan single-sweep.

Perhatikan bahwa rata-rata single-sweep (sel E4) identik dengan bagian akhir rata-rata multi-sweep (sel L4). Selain itu. rata-rata gabungan single-sweep (sel-sel Bl3:G13) identik denganSweep 4 (sel-sel I11:Nl l) dari bagian multi-sweep.

Bagian multi-sweepRumus multi-sweep membutuhkan sedikit penjelasan tambahan. Dalam versi metode multi-sweepini, seluruh record adalah sama secara bobot. Contoh, Sweep 3 adalah rata-rata untuk tiga buahrecord, sehingga ini tiga kali lebih berbobot daripada record keempat (lihatlah penjelasan untukrumus Sweep 4 ini di bawah).

Sweep 1 menyederhanakan data pertama yang datang, identik dengan Record I di metodesingle-sweep.

Sweep 2 menghitung rata-rata Sweep I dan dua record berikutnya yangadalah = (.18+C9 ) /2 di sel J9.

Sweep 3 menghitung rata-rata Sweep 2 dan tiga record berikutnya yangadalah = (2*Jg+cto ) /3 di sel J9.

HtJtlt5in9le-Sweep and ltlulii-Sweep Ensemble Aver,ag*

Tvrflffi;EEooli-]i I lSEs 'l i0 712015

I I ls6l-jo rz:xa

lm EffiSiffiffiffi#Irffil |lfEfl ffiffifrx*l lrt{X{ ffi#H**l Wffil &dHffi " ffi, ffiffi _ffi "_ffiffi.-_,_=l2rrrlI


S.. eep { menghitung rata-rata Sweep 3 dan empat record berikutnya yang datang. Rumusnya

:r:."r = :---10+C11) /4 di sel Jll. Rumus ini ditampilkan dalam kotak editor sel di Gambar

--'u..\nda dapat menemukan rumus pembobotan yang tidak sama sehingga gabungan ini akan

::-,elupakan data-data lama. Hal ini berguna untuk perubahan data masukan yang relatif lamban.

TIPS

Contoh-contoh berikut ini mendemonstrasikan gabungan data skalar. Ini merupakan tambahan

sederhana untuk mengoperasikan data vektor. Untuk gabungan vektor, buatlah bagian lembar

kerja untuk data se-fase dan bagian lainnya untuk data kuadrat. Sebagai alternatif, Anda dapat

membuat sebuah bagian lembar kerja untuk besar vektor dan bagian lain untuk fase vektor.

Perata-rataan gabungan vektor (yang fasenya terjaga) sering dinamakan perata-rataan pra-

deteksi karena digunakan di bidang telekomunikasi dan radar. Serupa dengannya, perata-

rataan skalar dinamakan perotd-rataan pasca-deteksi.

Gambar 9-30 dan 9-3 1 menunjukkan tampilan buku kerja ENSEMBLE. Sembilan buah record

dan sembilan sapuan tergambar di dalam tab lembar bernama Single & Multi, namun Anda dapat

menambahkan lebih banyak lagi. Buku kerja ini mendemonstrasikan penggunaan hyperlink dr

clalcmt buku kerja untuk melornpat ke tampilan lain. Pada saat melihat tampilan Home (Gambar

9-30), klik GoTo Multi-Sweep Average dan Anda akan mendapati Gambar 9-31.

Sekarang klik Go To Single-Sweep Averagc dan Anda akan melompat kembali ke tampilan

Home. Klik kanan di hyperlink untuk mengaktifkan menu pop-up, kemudian klik kiri di hyperlinkdan Anda akan melihat menu editor hyperlink. Lihatlah ke lEdit Hyperlink] dan Anda akan

rnenjumpai Go To Multi-Sweep Average yang mengacu ke sel AM4. Anda dapat menguhah

referensi sel melalui kotak dialog ini. Tentu saja, Anda dapat juga menggunakan hyperlink untuk

mengacu ke file lain di komputer Anda atau ke URL di Internet.

TIPS

Anda dapat menampilkan buku kerja Anda dengan jenis huruf yang berbeda. Judul di Gambar

9-30 menggunakan jenis huruf Comic Sans MS dengan ukuran l6 poin. Perhatikan bahwa

EXCEL secara otomatis mengubah ukuran baris untuk mengakomodasikan huruf yang lebih

besar.

Jika Ancla benar-benar ingin mengesankan instruktur lab. klik ikon [Drawing] di menu bagian

atas. kemudian klik ikon [Insert WordArtl di menu Drawing yang muncul di bagian bawah

lay'ar Anda dan pergunakanlah kreatifitas artistik Anda.

Di buku kerja ENSEMBLE, klik tab bernama SingleSweep dan Anda akan melihat sebuah

lL.nrhiir ker-ja den-uan 25 record. Perhatikan perbaikan reduksi dalam varians yang dibandingkanJili:lr1 9 rec<trd.

9.10 Merata-ratakangeqqngan data eksperimen

clo :i = =''./A8Fifi29:223)"-;-- E,-*_:j_It D'-"-"*-E- r r- ii

INSEiiBLT,XLS

---Erter ilE mfi ii0;tei---r_-l

215

..{rL

(r , r?'::' i 1..: :,iY.

Silrgle-Sts!ep Etrsertlre

'Jafiinres

i,tr,r.e .rrnpte [IJ54fi]

Pr ess frlDlion Ki,y tltil nsw nlixB

,s,lB (:inJri S. **t.

Gambar 9-30. Tampilan utama buku kerja ENSEMBLE. Perhatikan varians-varians dan hyperlink di layar rata-rata multi-sweep. Bandingkan dengan varians-varians gabungan single-sweep dengan gabungan multi-sweep(lihat Gambar 9-31).

1' 1 0g8l:7 tl6a.i.11ti 2 .0l1387 B{I'l!,117 : -1,414112 u4ii2.119 4 -r-ruhi:r{ ,r:r i-lBi!l$ i I ir51 I tr 11 2d]2it 6 t6161 08C6!l!1 I B385rii 0?811i1.? a t,Bil{1 0rBii{23 I -l.liri8t9 -t*i813?4 1l25 i1

!i 12

11 1?

29 1q

1,

3

4

6

7

81g

11i::a:I. ?{1130t

15 .0.1:2::iE i:."q&li217 .D.41'fr6

18 tJ 2f:831

13 -D AE5A1

l0 ^rl 659;ri21 ri.6105t312 .8.345)A

2t | ! r](r0113

0 43!t7 0 041:1 1.i:1 I "r:r.6[161 9844t 1.10r1IP 1-1.0,91 5? .r.B(7r-ig

1 61lqA 1 tI324 1 nt3?S 0 1758C !:15{3 1.55411 .].11063 0.8518I1 ti1538 1.5e8i8

'.119:r -0273r.1

0 56d:1: 0 10vi,q d.d*:Jl -r.r.0r:r*5.9

1.83!ti7 0.ii*t2 1.37t:t4it r-1.1!{}1\ 6412A

'.fi551 1.t!56{ -0.t2751

I 1 2i!?O: 1.95.{S4 I 309?1 ,0 ,r39I9

-0 t03 f r'*ilei2 ir.1 !352 0 1 iJlo?i !7t{6 tr 6[103 0.n972 ,0.7aiB:"0 1 657 ,0 905119 ,0.i ?157 -d.4e!1 4

.0.sd4 31 0 0530Ii 0 6097F 0.53€5X

.0 ?c31.! ^0 2iarn -il 91!,t5 -0.3t4{tIr.d425i i:, 1 1 3S2 -i:r 415,,1 n rl:803.{.r-lui42 [ :*565 [ :21 t7 -0.4&304.n6i7?4,035t9i !.3r4:5 n.56:!10.0i91 4 0 1 004ii ,0.51 0!l 0.808!1

0 *0301 -0.3$3?1 0 r04e8 0 2tgl 7 .0 5

0 n53.18 0 ,q6 jJ!5

0 Sr:1 1 0 888!,J 0 :rr Phl]i5 .0 ddaoi 0 dl76i .Lr dirlcj .0 irl 30{51 r.t l,itl r^r 4451r ,ti gel-rr .r lt '.j1191 n !J[ ] -)! tl !!16 ,n .11-qa6 I :

0.:5057 n 8550{ 0:50?7 0 155lri "0 50.153S3 .0.28S:l 0.31343 0 231tt .t

0 I i40 0.14i6! B 50641 0 ir 1t u I0 er3Jr I aa]:' A rl91a8 r:,.+i5:i u 4

AC:.'lMultr- Sweep Ensemble Average

S*€Epir.,*9p

Clicki

So Tc, $n$l*"$*e+p Ai*rage

Pres Filtrciiotr hey F9 for rrew rroise

tilulli. FDserrhle

,t 1:1il.l i6lr,1t 4iliisa

.1 r.5542-it 32r3d-t] 2:b-?3-i 55tE-'l-0.t i).ir.Egr7

14',1E

26

l/

2e -}1673s -:ii-:E!6

il 5llt59 6.[e!'53!I 1irES7 -0 35i2'.D 1|91 0 31X39-0 3d;14 -0.15!d7,r_r 4 r117 -tt 17S11

-ri:!133 .0 29421,tr llBr6 -ar 321i19

.0 1B(r1t

.(1 )6i,115

I t6B5t6 ,tr t2:11 .tl 1[712 .D.iE5:1 tr ]7:i$r'.l 15401 .nn70;5 0 i4;.ri? lor:iil I ll,":Jl"':colEs; D0ts:11 0:t9lr c 271716 ff r5l,iie.r:15cas o:lt6'lr .cc,]];5 {.,1:rf25s ir..20i95.ai llE6l [,l]firitg r]f.rdjlnt t'r?[,iri: 07.r:9ji,[i1605 0.37{5?A D0i7?58 [1i6456 0110515-c.44C81 0.43r.?11 0 [56961 0.]r,1trS D rD?lt:r.[ 27q5i 0 Ji-]165-: 0 I ln2:5 0 23f?Ii 0;$l5,lB.r-,,-'il6.i.5 ar )416?1 C f{la,{ n :frt?i.l n 0l6il7.:

"tr.1 t6tr7 .[ !68".6 0 107!qr6 0.I3B5glrr 10p?l 1 ,i.l 4D2l! -.rr lolll 1 216B111

(1.1:151rS ! l1!q []1641 1,10tS81-rl 33411 a C.i:72 -0 15[21 1 3:5]91-fi 11197 0 1863E: "[ i].17:6 I d4,l0.i,l-[.'1665 l]2iE9]2 -8n553 1 :'?571:^,125618 0.ll5l5?,] 11ffi,110.1 I Ir'5lli,l-Q.lte1i Bt12A:il r:.181d,{i 1.15,1825.B.1IS7n (r 11406: 0ii23507 1.1461]i3

Gambar 9-31. Layar rata-rata gabungan multi-sweep di buku kerja ENSEMBLE. Kliklah hyperlink untuk kembalke layar utama. Perhatikan penggunaan fungsi lembar kerja VARP untuk menghitung varians.


9.11 Menyisipkan lembar kerja Excel ke dalam Microsoft Wono

?:j: -rrl .{nda menulis laporan lab, Anda dapat mengikutsertakan sebuah lembar kerja kecil dij;.:::r teks. Hal ini lebih baik daripada sebuah tabel biasa karena Anda dapat melakukan kalkulasi:: dalamnra. Bukalah file baru di Microsoft WORD. Di bagian atas menu bar, klik ikon bertajukli.en \licrosoft Excel Worksheet (ikon ini berada di antara ikon Insert Table dan ikon Columns).\nda dapat memilih jumlah baris dan kolom yang akan ditampilkan. Gambar 9-32 menunjukkanrebuah lembar kerja yang telah disisipkan, terdiri dari 5 baris dan 5 kolom.

Pada saat Anda telah menyelesaikan lembar kerja, gerakkan pointer mouse Anda ke bagianteks di dokumen dan lakukan klik kiri satu kali. Lembar kerja akan bertransformasi menjaditampilan tabel yang lebih baik tanpa alamat sel, seperti ditunjukkan di Gambar 9-33. Untukmengedit lembar kerja, klik ganda saja tabel tersebut.

',9.12 Menempelkan klip film ke dalam lembar kerja

Foto dan gambar seringkali berguna dalam menjelaskan tentang isi lembar kerja. Klip film bahkanlebih berguna ketika sebuah gerak akan dideskripsikan oleh lembar kerja Anda. Namun demikian,video lebih daripada sekedar dekorasi. Anda dapat membuat pengukuran kuantitatif di dalam klipfilm dengan menyertakan jam digital dan batang (atau kisi) pengukur di film, kemudian menggeserpointer di Media Player (dijelaskan di bawah) sehingga Anda akan melihat gerak yang berhenti,yaitu satu buah kerangka (frame) sesaat. Untuk pengukuran gerak robot, kadang perlu untukmenyertakan pengukuran angular.

Begitu mudah untuk menempelkan klip film ini. Bukalah buku kerja baru, klik [Insert][Object]dan Anda akan melihat kotak dialog seperti di Gambar 9-34. Pilihlah tipe film, Movie Clip (AVI)atau QuickTime Movie sebagai contoh.

"t2-Jn

"$ ":ll (

Tl-lT, Kg 1

# s.t*rstsr S-*pth, m

,

Craier 0iameter. nll-ltmaiaaaaarai.I

i l.iii\srreetl l

Dry Sand

r{ ffi'l

&ry $and

Gambar 9-32. Sebuah lembar kerja aktif disisipkan ke dalam dokumen Microsoft WORD.

ThlT, l{pCratxr S*pth- mC rat er Dia m BIB r, m

1

s"33I

s.1

3ambar $33. ,enbar kerja akan nampak seperti ini di dokumen Microsoft WORD pada saat tidak Anda edit.:: -: ::.' .2'.2'.3' Anda memiliki pilihan untuk memunculkan atau menyembunyikan catatan tersebut.

9.12 Menempelkan klip film ke dalam lembar keria 217

.'::-.,,-::: .::t4t,,,..:

{rsatew* ,l creatC*omnU I

#,M*S#sr 3"* $ew:

e*#1k'd$ffi &#q *.* ri iilr ffi

:iI : I . ,, t::i ... .;...'. 1+eSS r nar iloe Q {AyI} ry.,.;;t3i,:liI rfie= ' ,.ry1o"'&"ffi . ,:jiiiri;!i;iiili,Eil *-**I : ll

Gambar 9-34. Kotak dialog Object di dalam menu lnsert digunakan untuk meletakkan klip film ke dalam lembar

kerja. Gulunglah ke bawah untuk mendapatkan objek berupa QuickTime Movie.

Gambar 9-35. Klik kanan di tombol mouse akan memunculkan menu seperti di ataslPilihtan Play atau Open.

Klik di foto AVI untuk memunculkan menunya.

Bab 9: Pemakaian Excel di La:

tilst RT Hovl[.xl.s

Gambar 9-36. Pada saat Anda memilih open, Anda menampilkan panel kontrol video

ms.rfi&? rx','

ri +@*fui*...-.-, -*,--. ..:I *lJ*T../fu, { !{ ,

.sffiri,,:: ffi,.., , Lfi

Gambar 9-37. lni adalah panel kontrol yang muncul ketika Anda memilih [Video Clip Object][Open]. Bukalahbuku kerja INSERT-MovlE dan jelajahilah menu-menunya di komputer Anda.

Panel kontrol video bekerja seperti sebuah VCR. Anda dapat melakukan play, stop, fastIbr\r'ard, rewind, dan sebagainya. Yang lebih baik lagi, Anda dapat menggunakan pointer mouseuntuk menggeser-geser pointer waktu ke arah mundur dan maju, satu kerangku .".u.o serentak.Perhatikan indikator waktu di Gambar 9-36 dan 9-37; pembac aannyaberada di 02,60 (derik). Jikat ideo Anda dibuat pada 30 kerangka per detik, data Anda akan memiliki resolusi yang baik. Contoh.'\nda dapat mengukur posisi baseball pada setiap kerangka waktu untuk menentukan lintasannya.Percunakanlah diferensial numerik dari posisi data untuk mendapatkan komponen kecepatan.Dit'erensialkan komponen kecepatan untuk mendapatkan komponen p"...putun. (Lihatlah Bab 5).

Beberapa sumber bacaan untuk interface software dan hardware labBuatlah inrerf:tce USB Anda sendiri:'''\ L-nirersal Serial Bus interface for electronics projects anil instruments,,,T. Z. Fullem and C.I) Srencer. Attreric.an Journal of physic:s 70 (g), 9j2_g74 OO0 .

:r iT\Q In.rrurnents'::":l 'r' l:n'rrik dan playback hardware dan software yang murah, tersedia download gratis-:.-i. ::.,,irrll \\ I\DAQ.- ": .;, .:.

..t. JrlJq_a\rr]l

Daftar Pustaka 219

Marlin P. Jones & Associates

8412-KT Analog parallel port S-bit data sampler $23.21.8418-KT l2-bit data acquisition s\stem $55.00.http://www.mpja.com

National Instruments

Software gabungan dan hards are tingkat laboratorium

http://www.ni.comJika Anda tidak menriliki salinan lisensi MEASURE, Anda dapat men-download demo

MEASURE dari http:llu s ri.ni.com.

PASCO ScientificHardware dan sr:rftri are untuk pendidikan: Biologi, Kimia, dan Fisika.

http://www'. pa\co. c Lrnl

TAL Technologie.. lne .

WinWedge menuinrpor data dari setiap instrument RS-232 ke dalam EXCEL.

http://ww$.taltech.conr/

TEL-AtomicHardware dan sofiu are untuk pendidikan

http ://wwr.l'. te I atornic. cont

Vemier Sollu are

Hardware dan softu are untuk pendidikan: Biologi, Kimia, dan Fisika'

http://u wll.r ernier.e ortt

Apa selanjutnya?

Bab 10 akan menunjukkan ba-saimana menggunakan operator-operator dan fungsi-fungsi kompleks

dalam Excpr-. Bab ini rerdapar di dalam CD. Klik ganda file bernama Chapter-10 dan file ini akan

muncul di monitor Anda. Perhatikan: terdapat error di dalam file Acrobat untuk Bab 10 ini. Baris

di bawah Persamaan t l()-lt seharusnya:

Perhatikan bahw a Persantaan t l 0-2) menyatakan z" = y'' cos(n 0) + iy'' sin(n?) = y''ei"o .

Fungsi-fungsi konrpleks dibutuhkan diBab 1l dan 12. Bab 11 akan menunjukkanbagaimana

menggunakan fasilitas Transformasi Fourier di Analisis ToolPak. Ini adalah Fast Fourier Trans-

fom (FFT) versi ExcEr. iasilitas yang sangat luar biasa di lembar pengolah angka. FFT di banyak

paket sofiware lab baik unruk nlenampilkan spektrum secara cepat, namun Anda akan mendapatkan

informasi lebih ban.vak dan lebih akurat dengan mengimpor ctata di domain waktu ke dalam Excel<lan menggunakan merode-metode di bab selanjutnya. Bab I I terdapat di dalam CD' Bab l2menunjukkan aplikasi-aplikasi FFT untuk teknik rekayasa dan sains.

R. Stephens, Advanc'ed \li.sual Bttsic Techniques, (Wiley, New York, 1997).

Microsoft OfficeNisuul Bctsic Pro.e,runlrner's Guide mengajarkan kepada siapa saja yang memahanti

dasar-dasar Visual Basic mengenai bagaimana membuat kode yang singkat dan efisien densr,n

bahasa pemrograman di Microsoft Office yang begitu kuat. Buku tersebut mengajarkan pembacrnr -,

:L- Bab 9: Pemakaian Excel di Lab

r:j-irltaflil menjadi lebih produktif melalui Visual Basic for Application dengan fasilitas untuk-:::rgubah dan mengadaptasikan kebutuhan-kebutuhan khusus, termasuk bagaimana membuat

:.nnrah. menu. kotak dialog, pesan, dan tombol tertentu seperti halnya bagaimana dapat

::enumpilkan menu Help untuk seluruh elemen ini.Anda bisa mendapatkan Microsoft OfficeNisual Basic Programmer's Guide di toko-toko

b'uku. toko komputer, maupuu langsung dari Microsoft Press. Untuk memesan Programnrer's Guide

ISBN: l-57231-340-4) secara langsung, hubungi (800) MSPRESS di Amerika Serikat atau (800)

667-lll5 di Kanada. Untuk informasi lebih lanjut, kunjungilah situs http://www.microsoft.com/.r.{nda juga akan menemukan beberapa software gratis yang di-download dari situs ini.)

Selain itu, kunjungilah http://www.amazon.com dan http://www.barnesandnoble.com./ untuk

buku terbaru mengenai VBA.

Uji kemampuan Anda

L Mengirnpor data. Bukalah buku kerja baru menggunakan [File][New]. Ikutilah instruksi dihalaman 188 kemudian impor-lah file teks bernama OZONE.txt. File ini terdapat di CD di

dalam folder POLLUTION.

2. Menyisipkan film ke dalam lembar kerja. (Ini adalah Nomor 2 di Top Ten List of Ways toImpress Your Laboratory Instructor.) Bukalah buku keda INSERIMOVIE. Anda akan melihatdua metode menyisipkan film. Metode I menggunakan menu [Insert][Object] untukmenyisipkan ikon Movie Clip (AVI) yang akan Anda lihat di dalam daftar di kotak dialog.Metode 2 menyisipkan foto di kerangka pertama klip film. Anda dapat rnenjalankan klip filmdengan dua cara: (1) Klik ganda di ikon atau foto. (2) Gunakanlah klik kanan untuk membuka

menu pop-up. Pilihlah "Video Clip Object" kemudian pilih "Play". Sekarang. tutuplah buku

kerja kemudian klik [File][New]. Gunakan menu [Insert][Object] untuk menyisipkan klipfilm dari CD ke dalam lembar kerja Anda. Uji cobalah lembar kerja untuk menyakinkan inisemua berjalan dengan baik.

-3. Merekam program makro untuk melakukan Moving Average. Bukalah buku kerja baru diEXCEL, imporlah file data bernama DAMP-MASS.IxI yang terdapat di folder Data Files.

Ikutilah petunjuk di Bagian 9.2 untuk membuat sebuah program makro yang ekan melakukanmoving average 3 titik di dalam data Force menggunakan fasilitas Moving Average di AnalisisToolPak. Pilihlah Chart Output.

1. Untuk Soal 3, gunakanlah fungsi lembar kerja VARP untuk menghitung varian data mentah

Force dan data moving average 3 titik.

-5. Merata-ratakan gabungan single-sweep. Bukalah buku kerja baru di EXCEL kemudian impor-lah file bernarna ENSEMBLE-OSC.IxI yang terdapat di folder Data Files. Buatlah rata-rata

gabungan single-sweep untuk 4 record. Hitunglah varian populasi rata-rata gabungan dan

record individualnya.

6 \Ierata-ratakan gabungan multi-sweep. Bukalah buku kerja baru di EXCEL kemudian impor-lah file bernama ENSEMBLE-OSC.IxI yang terdapat di folder Data Files. Buatlah tata-rata

-labungan n.rulti-sweep untuk 4 record. Hitunglah varian populasi rata-rata gabungan dan

record indi r,idualnya.

- G:n!SUan acak dan SNR. Bukalah buku kerja NOISE. Gunakanlah beberapa nilai gangguan

-:-::lirudr.'r dan aniati hasil varian dan SNR-nya. Pergunakan mouse untuk menjelajahi rumus--..:ru: tl.rn komposisi lembar kerja.

O P=:.:lr:k.i.rn elektromekanika virus dan bakteri. Perangkat getar elektromekanika dapat

Uii kemamouan Anda 221

digunakan untuk pendeteksian cepat mengenai kehadiran bentuk khusus mikroba. Untukinformasi lebih lanjut silakan mengunjungi situs http://www.akubio.com. Anda dapat jugamelakukan pencarian di Internet untuk kata akubio, menggunakan mesin pencari Google,sebagai contoh. Pendeteksian dilakukan berdasarkan percepatan (atau g) yang berhubungan

dengan mikroba lain ketika mereka terlepas dari sel induk. Nilai maksimum g berdasarkanpengalaman para pilot adalah 7 atau 8. Ingat kembali, satu g adalah percepatan gravitasi

bumi, 9,8 m/sr. Hal ini nrungkin mengejutkan bahwa sebuah perangkat elektromekanik dapat

mendeteksi sesuatu sebe :ar \ irus atau bakteri, namun dapat dijelaskan kembali bahwa mikroskop

elektron penama dibuat berdasarkan ikatan antara sebuah potongan alumunium foil dapur

biasa.

Pertama. kitl kembali ke Bagian 7.4, halaman 143. Untuk percepatan, pergunakan

Persamaan r --ll t dalanr bentuk,

d2x 1

d,' = -a;' r'

Ingat. ro = 'r dengan ro memiliki satuan rad/detik danf'memiliki satuan Hz. Pergunakanlah

amplitudo maksimum untuk -r.

Buatlah buku kerja untuk menghitung percepatan dalam m/s2 dan hubungkan g untukvibrasi kri:tel ksana pada beberapa frekuensi dan amplitudo. Berikan frekuensi yang bervariasi

dari t hinggri l0 \IHz dengan kenaikan sebesar I MHz dan berikan amplitudo yang bervariasi

dari 5 x lt) hingga I x l05mdengankenaikansebesarl0Tm.Buatkangrafikhasilinidalam e terhadrp liekuensi. g terhadap amplitudo dan dengan grafik 3-D gunakanlah frekuensi

dan amplitudr) sebasai sumbu x dan y, dan g sebagai sumbu z.

Anda rlungkin rercenean_9 melihat nilai g. Pertanyaan pentingnya adalah, mengapa orang

tidak memikirkan hal sederhana ini bertahun-tahun yang lalu?

Catatan: Pada .aar .\nda mengimpor file-file teks, Anda mungkin membutuhkan eksperimen

dengan mernilih teb delimited, space delimited, dan sebagainya untuk mencapai hasil yang

diinginkan.

File trlm di dalam CD menggunakan nama Codec "Indeo Video Interactive R4. I byIntel". Ini sansar munqkin diinstal di komputer Anda. Klik Control Panel, kemudian klikMultimedia. lalu klik tab Advanced. Selanjutnya, klik di "kotak+" dengan Video Compression

Codecs. Anda dapar melihat Codec di dalam daftar (Gambar 9.38). Jika tidak ada, silakan

men-dounloadnla dari situs http://www.intel.com atau dari CD instalasi Windows Anda.

(Codec adalah singkatan dari Compressor Decompresor.)

URL berikut akan membawa Anda ke Indeo Codecs:http://support.intel.com/support/technologies/multimedia/indeo/enduser/index.htm


Gambar 9-38. lni adalah kotak Multimedia Properties yang dipilih dengan mengklik di ikon Multimedia di dalamControl Panel Windows. Anda dapat memperoleh daftar Video Compression Codecs yang berbeda.

Untuk informasi terbaru mengenai teknologi multimedia dari Microsoft, silakan mengunjungi:http ://w ww. micro soft. com

Hypercam begitu luar biasa, software penangkap gambar video yang tidak mahal yang dapatmerekam film AVI langsung dari monitor Anda, untuk keperiuan presentasi, training, demo,tutorial, dan keperluan ringan. Versi terbaru dapat beroperasi di Windows XP. Anda dapatmen-download versi trial-nya. Hypercam mendukung keterangan berupa teks, suara, dancatatan layar (baik untuk membuat laporan lab dan mengotomatiskan software demo). Andajuga dapat memilih Frame Rate dan Compression Quality utama untuk menangkap video.Kunj ungi lah http ://www.hyperionics.com./

I fideo f,ompression frdecs.r& ATI VCR 1.rl Fsrnrat f,udec [1".CR1]

:'& ATI \tCfr? F)anar F*rmal C*der [1/ma;r& ATI YUU turrnat Ccrder IUYUY]rS al YV12 Flener Fnrnrat {odec [YVl;]1ffi ATI YVUB Fl,:nar Fnrrnat C{:rder IYVUS]:S firrepak [Thl]rffi {rystal Net Ccrrpnratinn $Flt4 Video {od*c [5:S Dir*ctt/ideo 0river [nni\\4r]r{d lndeua video interartive ft4.1 by Intel

fi lndeox tidao [3,3 by Intellffi lndere uider F.3,? by Intelrm pr.$FEGre [F,up6]:fu{ HLE

& tlid*o t;ffi vtn5,cC0l:tdlicrr:silft (arnrcrder F.ender Cnd,S Whrte Prrre H ?61

ffil#sei

Lampiran 1

Buku Kerja

Buku k di dalam CD

Lampiran ini heri.i Jrftar-datiar buku kerja dan file data di dalam CD. Dalam Lampiran ini, ada

buku kerja \ anS nrerupakun pelengkap dari buku kerja yang sudah dibahas dan adajuga buku ker.ju

yang berhubunlrn dl'nLrrt :oal-soal di akhir bab.

Dalant Llnrprrln ini. ada buku kerja yang tidak dibahas sebelumnya. Buku kerja ini bermantaat

sebagai "re\er\e engin.-erinr" atau "forensic engineering" dalan.r rangka mempelajari kegunaan

suatu buku keriu Jan .rra lnenggunakannya. Jenis latihan seperti ini sesuai der.rgan praktik di dunia

nyata. Anda munSkin harus rnernakai buku kerja yang dibuat oleh orang lain yang ternyata tidak

memiliki dokunte nta,i r ang memadai. Anda mendapat tugas untuk mendokumentasikan buku

kerja tcrsebut :chingru orang lain dapat memahaminya. Gunakan kornentar EXCEL (lihat halaman

24 dan 2-5) dan tuli:kan cara-cara pemakaian dalam bentuk narasi pada lembar tersendiri di dalam

buku kerja ter'ehut.

File-file update din do\\ nload tersedia di http://sylr,anbloch.hypermart.net/.

Bab 1 MemulaiNama Buku Keria Deskripsi

AASEBALI- Buku keria tutorial yang mengilustrasikan beragam teiq! qLEIC+MY WORKBOOK Pengenalan terhadap buku kerja EXCTL

Bab 3 Membuat Grafik di ExcelNama Buku Keria Deskripsi

EXP-POLAR Contoh qrafik polar, fungsi dari fungsi

GRAVITY Grafik loq-loq dan pemakaian Trendline dalam grafik

IDEAL.GAS Relasi tekanan-isi, T konstan

OBJECT DETECTOR sensor nendeteksi ob;ek bergerak pada berbagai posisi. Buku kerja ini men-

demonstrasikan orafik EXCEL bidanq 3D

OLYMPIC Contoh trendline dari rekor renang Olimpiade

PLANETS Membuat qrafik data planet-planet dalam tata surya

POLAR Grafik polar

ROCKET SCIENCE Roket denqan massa variabel, persamaan Tsiolkovskii

SINE-SUM Jumlah dari 2 gelombang sinus. Peragaan fungsi lFSURFACE Grafik hidann ?l-)

Excel untuk lnsinvur dan llmuwan

Rekor renang SO-meter gaya bebas, menurut kelompok umurJarak antara gambar dan objeknya

-,i:-v Sumbu Y kiri dan kanan,,.:)(ANIPLE Grafik XY atau scatter

\ama Buku

;OURIER

NCLINE

Bab 7 Persamaan Diferensial

EXP.D.K-2FREE-FALL

QUANTUMTEN4PERATURE

.,ECTORS

Deret Fourier, sintesapada bi ing dengan friksi

Bab 5 Diferensiasi dan lntegralffiDERIVATIVE Turunan Mundur, Maju, dan TengahEXP-SMOOTH Fasilitas Exponential Smoothing di EXCELINTEGRATION Persegi Panjang, Trapesium, dan Kaidah 1/3 SimpsonINTEGRATION-101 Perbandingan antara integral Persegi Panjang-Kiri, Persegi panjang Kanan, dan

Trapesium dengan pilihan ukuran loncatanENTS Pusat massa dan momen inersia

I\4OVE-AVGSinXoverX

Fasilitas Moving Average di EXCELContoh integral numerik

SMOOTH lntegrator jendela geser, uli tanpa qanqquanSMOOTH-2 lntegrator jendela geser, data terganqguSMOOTH-2A FIR dengan pilihan bobot dan pemulusan Savitsky-GolaySUNSPOTS Data sejarah bercak matahari, dipakai dalam pemulusan dataTRAPEZOID Contoh integrasi trapesium dan persegi panjangTREND-INTEGRAL Fasilitas Trendline di EXCEL yang dipakai mengintegrasikan data terganggu

Bab 6 Fungsi-fungsi EngineeringNama Rrrkrr K DeskripsiATWOOD Menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar simultan memakai nretooe rnatrirr

untuk mesin AtwoodBESSEL Fungsi-fungsi BesselENTROPY Tutorial entropi memakai fasilitas COMBIN di EXCELENTROPY-2 Enkopi dari sistem biner (pelemparan koin)IUATRIX Operasi matriks di EXCELROTATE Rotasi koordinat memakai metode matriksVECTOR ALGEBRA Jumlah, selisih, perkalian dot dan silang, magnitudo, sudut

hambatan dari cairan kentalTutorial metode Euler

antara solusi numerik dan analitisData untuk analisisPersamaan dua dimensi memakai FEM

Getaran harmonik sederhana dengan pilihan kelembaman

Fasilitas Correlation di EXCELasilitas Covariance di EXCEL

SRATIONS

Lampiran 1: Buku Keria 225

EXP-AVG Fasilitas Exoonential Smoothino di EXCELHISTOGRAM Fasilitas Histoqram di EXCELMOVING AVERAGE Fasilitas Movinq Averaqe di EXCELRANDOM Fasilitas Random Number di EXCELREGRESSION Fasilitas Reqression di EXCEL

Bab 9 Pemakaian Excel dr Lab

Nama Buku Keria Deskilpsi

DATA-INPUT Cara memakai Wizard Text lmportEKG Data EKG eksperimentalFREE-FALL Data eksperimental dari obiek iatuh bebasHYPERLINK Pemakaian hvperlink dalam buku keriaENSEMBLE Rata-rata qabunqan, tunqqal dan iamakINSERT.MOVIE Cara menyisipkan klip video di EXCELINSERT-MOVIE2 Cara menvisipkan klip video di EXCELMICRO-TUTOR Tutorialrata-Gtaqabunqansinqle-sweepdanmulti-sweepNOISE Data qanqquan acak. Menqhitunq rata-rata dan r.m.sPASCO-EXCEL Data eksperimental PASCO diimpor ke dalam EXCELRADIOACTIVE Memakai fasilitas Trendline untuk mengestimasi paruh-hidup isotopTITRATION Penerapan fasilitas Reqression dalam titrasi NaOH dan HCI

Bab 10 Matematika KompleksNama Buku Kerla Deskriosi

COMPLEX Menuniukkan pemakaian beberapa operasi kompleks di EXCEL

Bab 11 Analys,s ToolPak: Fast Fourier TransformNama Buku Kerla Deskripsi

ALIAS-DATA Efek-efek samplinq dan aliasinq, frekuensi NyquistCOLLISION Tumbukan antar magnet. Menunjukkan kegunaan fungsi-fungsi lF dan MAX di

buku keria, dan FFTDATA-WINDOWS Tutorial iendela dataEKG Data elektrokardioqrafEKG.2 Data elektrokardioqramFFT-IFFT Tutorial FFT dan IFFTFFT-TEST Uii FFT di EXCELFORCE SENSOR Sensor gaya mengukur gaya tergantung-waktu yang disebabkan oleh objek ber-

oerak. Ketebalan soektrum dari dava iuqa diperhitunqkanFREQUENCY Cara menentukan skala frekuensi dalam Hz, memakai frekuensi sampling danSCALING lumlah sampel. Teorema ParsevalPSD Tutorial ketebalan spektrum daya; Teorema Parseval

Bab 12 Analysis ToolPak: Penerapan FFTNama Buku Keria Deskriosi

COHERENCE Funosi Coherence dan funosi SNRCONVOLTIME Tutorral konvolusi, tanpa FFTCONVOLVE Tutorial konvolusi memakai FFTCORRELTIME Tutorial fungsi Cross-correlation, tanpa FFT

CROSSCORR Tutorral funqsi Cross-correlation memakai FFTDECONVOLVE Dekonvolusi memakai FFTDECONVOLVE-2 Dekonvolusi memakai FFTRC-CIRCUIT-FFT Analisrs ranqkaian RC memakai FFT dan IFFTRC-CIRCUIT-2 Ranqkaian RCSYSTEM-I-D ldentifikasi sistem memakai FFTSYSTEM-FUN sistem dan respons

Excel untuk bqlnyuldan llmuwan

Persamaan TrendLine

File-file data di dalam CD

File-trle ini berfbrmat teks ASCII dalam fblder bemama Data Files. File-file tersebut dapat dimanfaat-kan rebagai latihan mengimpor data mentah ke dalam EXCEL dalam hal analisis dan pembuatan

crliik.

l',lama File Data Ukuran File, kB Deskripsi

DAMP-MASS 14 Massa pada peqas, berosilasi di airEKG 20 Data elektrokardiooramENSEMBLE.OSC 9 Catatan ganqguan dari massa pada peoas

OSC.DATA 3 Massa pada pegas, berosilasi di udaraPOLLUTION 43 Folder File berisi data ozonPV.GAS 1 Data tekanan dan volume qas

RADIOACTIVE-DK 10 Peluruhan radioaktif, counts/sSOUNDWAVE tr Perekaman suara denoan mikrofon

SUNSPOTS 5 Catatan bercak matahari historis

C0t0tan:Latihan tambahan untuk setiap bab tersedia di dalam CD.

Lampiran 2Link-link lnternet

Internet beri.i .c'.iunrlah besar sumber daya yang bermanfaat. Rasanya seperti memiliki komputerdengan hard di.k .epuluh juta gigabyte. Berikut ini ada sekelumit URL pilihan yang bagus.

Masing-nrasing L RL rnerniliki link-link ke banyak situs lainnya. Untuk kemudahan Anda, Lampiranini juga tersr'dir Ji dalam CD yang disc'rtakan bersama buku ini. dalam format Microsott WORDT lAppendir-l..loc.rdan tirrnrat HT\IL. Jalankan hrorrser uebAnda untuk membuka file HTMLtersebut. Setellh \nda rnernbuka Lanrpiran ini d: konrputr'r..\nda bisa mengklik salah satu URL(diberi garis ba*ah. beruarna hrru pa.ia nrr)njton.lan.\nda akan terkoneksi ke situs internettersebut. jika rntrdern .\nda herfunori denSan benar.

Internet relalu berubah. sehingga rcbagian dari URL iniini juga tcrsc'dir J.rlant tbrntat .\SCII. dalarn file apdx-2

Koneksi alternrtii ke .rtu. Inte nrer:

Dial up konek:i Intenret .\nda dan jalankan brc'rwser web.Ketikkan URL .itu. r.rns .irnrakrud dan tckan E,nter.l.

Alih-alih mensetik. \nJ.r br..r rnenrrnfaatkan operasi Copy.bawah ini dan klik menu Edit brorrser Anda dan Paste pada

tekan EnterJ.

nrun-skin tidak lagi tersedia. Lampiran. txt dl CD.

Copy salah satu alamat dari daftar dibaris alamat browser web Anda. Lalu

http://wwu'. rnicro:otl. eonl' Oil ree/archive/xl97brch/detauit.htmInfornrasi terbaru. dan urrip-arsip EXCEL.

http : //w u' w. m ic rcl s o l't. e o nV d o u n l oad s/se arch. as p

File-flle dou nload gratis untuk mempercanggih produk-produk Microsofi.

http ://ofllceupdate. ru icrosoft.com/dow nloadCatalog/dldExcel.htmBanyak file-flle dori'nload gratis terutama untuk EXCEL. Tersedia EXCEL Internet Assistant

(konversi instan dari sprcadsheet menjadi HTML), EXCEL Viewer (menampilkan spreadsheet dikomputer yang tidak niemiliki EXCEL), tambahan fungsi-fungsi baru untuk spreadsheet, dan

banyak lagi.

http ://www. microsoti. con/mspre ss/defaul t. asp

Home page dari Microsoti Press. Tersedia buku-buku mengenai produk-produk Microsoft dan

beberapa file downloutl gratis.


-::;',i i\ \\.\preadsheet\\'orld.com/H.,rre page dari Spreadsheet World. Banyak link ke informasi tentang spreadsheet.

P:Ju tanggal 17 Juli 1999, Microsoft menyadari isu keamanan yang melibatkan driver databaseODBC vang terinstal sebagai bagian dari EXCEL 91 . Ada kemungkinan bahwa seorang coder

_;ihat sen-eaja membuat sebuah spreadsheet EXCEL 97 yang dapat mengeksploitir kelemahandrirer database ini sehingga dapat menghapus file-file dan melakukan aksi jahatnya. Seorangpengguna bisa mendapati masalah ini setelah membuka spreadsheet yang terlampir dalam pesane-rnail atau berupa link dalam suatu situs Web.

Pada saat proses menghasilkan solusi bagi isu kemanan ini, penguji Microsoft menyadari satula-si kelemahan lain pada driver database ODBC yang bisa mempengaruhi pengguna Excel 2000.Kelemahan ini terkait dengan komponen IISAM dari driver database ODBC dan bisa dieksploitirdengan query EXCEL 2000 untuk menjalankan aksi-aksi jahat yang serupa dengan deskripsiEXCEL 97 "ODBC Driver" Vulnerability. Microsoft telah membuat solusi untuk kelemahan khususini dan mewujudkannya dalam bentuk file update.

Telah tersedia untuk didownload, alamat berikut adalah update dari kelemahan EXCEL pada"ODBC Driver":

http://officeupdate.microsoft.com/Articles/mdac t],p.htmPada URL ini Anda dapat mencari pilihan download di bagian Table of Contents.

http ://www. dataq.com/windaq.htmDownload gratis perangkat lunak playback dan analisis WINDAQ yang bisa juga membaca file-

file spreadsheet. WINDAQ cukup baik kinerjanya (baca Bab 9). Dataq Instruments juga menyediakanperanti akuisisi data RS-232 yang sangat murah dan perangkat USB.

http://www.senn.com/Science and Engineering Network News. Situs besar dengan banyak link dan panduan yang

baik atas sumber daya Internet bagi insinyur dan ilmuwan.

http ://lcweb.loc.gov/homepage/lchp.htmlHome page dari Library of Congress. Gunakan mesin pencarinya untuk mengakses sumber

daya informasi yang besar dari Perpustakaan ini.

http ://www. tc.cornell.edu/Edu/MathSciGatewafThe Comell Theory Center Math and Science Gateway. Memiliki link ke hampir semua sirus

r ang terkait.

http : //archives.math.utk.edu/calculus/crol.htmlSumber daya Kalkulus on-line.

http : //euclid.math.fsu.edu/Science/math.htmlThe Florida State University Mathematics Department memiliki link ke sumber daya matematis

di internet.

http://u ww.maa.org/Home page dari Mathematical Association of America.

htti : rrr u u -sci.lib.uci.edu/HSG/Ref.htmlErcineerinc Center. Science Tables & Databases, Bioscience Center, Chemistry Centeq Math-

::r'j:.-. Center. Phrsics Center, Space & Astrophysics Center, dan banyak lagi.

1 : ,; ,t".t, '.r, l -'. 3. trf o/

:: ^-: r:j: :.r IEEE. Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc.

Lampiran 2: Link-link lnternet

http ://www.ieee.org/societ),/i nder. htmlHome page ini memiliki link-link ke masyarakar teknik IEEE berikut ini.IEEE Aerospace and Elecrronic Systems SocietyIEEE Antennas and Propagation SocietyIEEE Broadcast Technolo-e1 SocietyIEEE Circuits and Sr \rems SocieryIEEE Communicationr SocietrIEEE Componenr\. Packaeing. and Manufacturing Technology SocietyIEEE Computer Srrr'ltr-rIEEE Consurner Elecrrtrnics SocietyIEEE, Control Sr:rern: SocietyIEEE Dielectric. an.l Electrical Insulation SocietvIEEE Educutior) S(\rit)IEEE Electromagneric Compatibility SocietyIEEE Electron Der icer SocietyIEEE Engineering in \ledicine and Biology SocietyIEEE Engineenng \lanrsement SocietyIEEE Geoscience ln.i Remote Sensing SocietyIEEE Industnal Elecrrtrnics SocietyIEEE Indurtrr .\ppli;ations SocietyIEEE Intbrrnarion Therrrr SocietyIEEE Instrunlentarlrrn and Measurement SocietyIEEE Laser. rnti Elecrrtr-Optics SocietyIEEE Nlagnetii. StuierrIEEE N{icrtrrr lr e Ther'rrr and Techniques SocietyIEEE Neural \etur-rrk' CouncilIEEE Nuclear an,j Pla:nra Sciences SocietyIEEE Oceanic En_gineering SocietyIEEE Porier Elecrronic. SocietyIEEE Pouer Enginc'ering SocietyIEEE Protes:ional Contmunication SocietyIEEE Reliahilitr S,'e ierrIEEE Robotic: and .\utomation SocietyIEEE Si-enal Prt)ce::ins SocietyIEEE Social Inrplicarions of Technology SocietyIEEE Solid-Stare Circuirs Council/SocietyIEEE S1'stems. \Ian and Cybernetics SocietyIEEE Ultrasonics. Ferroelectrics and Frequency Control SocietyIEEE Vehicular Technology, Society

http://www.asme.orsHome page dari Anterican Society of Mechanical Engineers. Kunjungi halaman untuk pelajar

di http://www.asme.ors/\tudents/

htto://www.asce.ors/Home page dari Arnerican Sociery of Civil Engineers (ASCE)

htto://www.acs.ors/Home page dari American Chemical Society (ACS). Kunjungi halaman untuk pelajar di hnp:/

/www.acs. org/edugen2/education/stu aff/sa. htm

229


- :: : :,..Sp. pt'rmona. edu/medchem/chem/index.htmli-:rt'er Jara kinria di Internet

I :: i : * rr ri . I i r . ac. uk/Chemistryr/Links/links.htmlKt'rlek:i besar link-link kimia dari University of Liverpool.

http://u rr r.l'.aibs.org

Home page dari American Institute of Biological Sciences. Tersedia link-link ke seluruh

II)r\\ arakut anggotanya.

http : //www.orst.edu/-ahernk/biochemlinks.htmlBiotechnology Software and Internet Journal.

http ://www. mpae. gwdg. de/EGS/EGS.htmlHome page dari European Geophysical Society.

http://www.agu.org/Home page dari American Geophysical Union (AGU). Memiliki lebih dari 35,000 anggota di

I 15 negara.

http ://physicsweb.org/TIPTOP/The Internet Pilot To Physics (TIPTOP). Kunjungi koleksi dunia dari applet-applet Java di

Virtual Laboratory. Anda akan belajar banyak di sini.

http ://www.psrc-online.org/Physical Science Resource Center di American Association of Physics Teachers.

http : //www.phys. washin gton.edu/groups/peg/

Center for Physics Education di University of Washington.

http : //www.phlzsics.umd.edu/deptinfo/facilities/lecdem/Physics Demonstration Lab di University of Maryland.

http ://www2.ncsu.edu/ncsu/pams/physics/Physics Ed/Physics Education Research and Development di North Carolina State University

http ://mazur-www. harvard.edu/EducationlEducationMenu. htmlScience Education Research di Harvard, Eric Mazur Group.

http ://u ww.me.umn.edu/Department of Mechanical Engineering di University of Minnesota, Twin Cities Campus

http :i/rr * r.r'.unl.edu/phlzsics/Education.htmlPhr:ics Education Research di University of Nebraska at Lincoln.

::; .i s rl.nsf.gor,/home/ehr/start.htmi- : :.'::::.lulte \ISE&T Education Program, National Science Foundation.

@:- - -. l::-:::-.:nt Ji L. S. Air Force Academy.

Lampten 2: Link-link lnternet 231

http://webphysics.iupui.edu/152 25 I mainpage.htmlJust-in-Time Teaching of Physics di IUPUI.

http://www.aip.org/pt/Home page dari PHYSICS TODAY. Kunjungi situs ini untuk berita-berita hangat, artikel-artikel

menarik. dan Web \\'atch.

http://www.aas.org/American Astrononrical Society (AAS).

http ://earth. agu.or-s/

American Geophlricai Union (AGU).

http://www.aapt.org/American Association trt' Phr sics Teachers - AAPT. Situs web dari American Journal of Physics

ada di http://wwu.kzoo.edu/ajp. Anda bisa mencarinya menlrrut penulis, judul, dan pokok bahasan

dalam database di http://cIps.aip.org/ajp/

http://www.aip.org/American Institute ol' Phr:ics (AIP).

http;//aps.org/American Phrsical Streietr t.\PSt.

http://wwu'.anl.gor /Argonne National Laboratory.

http://ww u.bnl.gor ibnl.htmlBrookhaven National Laboratorv.

http://wwu,.cebaf. gov/The Thomas Jeft-erson National Accelerator Facility, atau Jefferson Lab, adalah laboratoriun.t

riset dasar yang dibangun untuk melakukan probe terhadap inti atom, struktur quark dari zat.

http://www.fhal.gov/Fermi National Accelerator Laboratory.

http://www.11n1.gov/Lawrence Livermore National Laboratory (LLNL). LLNL dioperasikan oleh Universitl' ot

California sesuai kontrak dengan US Department of Energy.

http://www-phys.lIn1. gov/Lawrence Livermore National Laboratory, Physics and Space Technology.

http ://www. lanl. gov/external/Los Alamos National Laboratory.

http://www.nas.edu/National Academy of Sciences. Home page ini juga memiliki link ke National Acadent.' :

Engineering, Institute of Medicine, dan agensi operasi utamanya yaitu National Research Cr'.r:.-

http://www.nasa.gov/Home page dari NASA. Persiapkan satu hari untuk situs web ini.

232 Excel untuk ln dan llmuwan

http: ,,,r ir rr jpl.nasa.gor'/\ {S.\ Jet Propulsion Laboratory.

hnp: ri ri rr.gslc.nasa.gov/GSFC orgpage.html\.\S.VGoddard Space Flight Center.

http: .i Itpu w w.gsfc.nasa.gov/\AS,VGoddard Space Flight Center, Laboratory for Terrestrial Physics.

ht tp : //ri ww.ornl.gov/home.htmlOak Ridge National Laboratory.

http://www.pnl.gov: 2080/Pacific Northwest Laboratorv.

http ://www. sandia. gov/Sandia National Laboratories.

http ://www. slac. stanford. edu/Stanford Linear Accelerator Center.

http ://www.ioppubli shing. com/The Institute of Physics (United Kingdom).

http://nobelprizes.com/Penghargaan Nobel. Tersedia database dengan mesin pencari. Kaum wanita telah mendapatkan

Penghargaan Nobel dalam semua bidang kecuali ekonomi. Situs web ini membahas beberapa teoritentang jarangnya Penghargaan Nobel matematika.

http://www.ibm.com/Home page dari IBM.

httg//www.intel.com/Home page dari Intel.

http ://telerobot. mech. uwa.edu. au/Situs telerobot Australia. Operasikan telerobot dari u,eb. Ada link-link ke telerobot lainnya,

termasuk sebuah robut kecil yang bagus di EE Depanment dari Mississippi State University:http://space ghost.ece.msstate.edu/telerobot.html

http ://www. usno. navv. milU.S. Naval Observatory menjalankan peran ilmiah utama untuk Angkatan Laut, untuk Depart-

men Pertahanan, dan untuk Amerika Serikat. Misinya adalah menentukan posisi dan gerakanobjek-objek angkasa luar, menyediakan data astronomis. mengukur rotasi Bumi, dan merawatMaster Clock.

http ://tycho.usno. navy.mil/Time Service Department dari U.S. Naval Observatory adalah pusat resmi dari waktu yang

dipakai di Amerika Serikat. Situs web ini memiliki beberapa bagian yang menarik, seperti GlobalPositioning System dan cara untuk mengatur jam PC Anda sesuai Master Atomic Clock.

http : /iphy sics. nist. gov/GenInt/Time/time. htmlThe National Institute of Standards and Technology mempersembahkan A Wctlk Through Time.

Lampiran 2: Link-lin! lllgllet 233

http://http.ee.queensu.ca:8000/www/dept/courses/elec33l/eleclink.htmElectrical Engineering Software and Reference Materials di Queen's University, Canada.

http ://t),cho.usno. navy. mi Ugps.htmlThe Global Positioning System (GPS).

http://www.its.bldrdoc._sor'/f s- I 037/Glossary of Teleconrmunication Terms, U.S. Federal Standard 1037C.

http://www.bldrdoc. gor /Home page dari \ational Institute of Standards and Technology Boulder, Colorado Laboratories.

http ://bul.eec s. u rl i ch. edu/uf f c/uf fc fc.htmlJam and uaktuDaftar komprehensif dari situs-situs horologis di internetGlosari dari Time and Frequency Control TermsCPS Internet CrrnnectionsAktiritas \lST Time and FrequencySinyal riaktu dan emisi-emisi standar frekuensi, Daftar ITU-R RecommendationsUFFC Sensors and Actuators Section

http ://u' u rr . s lac. stantbrd.edu/librar),/nobel. htmlPemenang Penuhargaan Nobel yang berhubungan dengan kontrol frekuensi dan timekeeping:

Rabi. Ramser. Dehmelt. Paul, Chu. Cohen-Tannoudji. dan Phillips.

http://wu ri.patent-inf.tu-ilmenau.de/links/patinfo-eng.hrm I

Infbrmasi paten. Baca situs IB\1 untuk semua paten U. S. sejak 197L

http://wu u. patents. ibnt.corn/Situs IBNI untuk paten-paten U. S. sejak 197 l. Database gratis dengan mesin pencari.

http://physics.nist. gor i luncon. htntlFundamental Phr rrcal Con:tants. milik National lnstitute of Standards and Technology Physics

Laboratory.

http://bul.eecs.umich.eduiuttciuf tL fc.htmlKontrol frekuensi. Unirersin ol Michigan.

http://bul.eecs.umich.edui ufti/qualrz/v i g/vi gtoc.htmApakah Anda merasa tahu segalanya tentang osilator kristal? (Fort Monmouth)

http://www.npl.co.uUNational Physical Laboratorl. Queens Road, Teddington, Middlesex, United Kingdom.

http ://www.Colorudo. ED U/ph) sics/1000/University of Colorado di Boulder; applet-applet Java interaktif yang bagus.

http ://www.wiley.com/Home page wilayah Barat dari John Wiley & Sons, Inc. penerbit sejak 1807. Untuk Eropa,

kunjungi http://www.wiley.co.uU untuk pengoperasian yang lebih cepat. Untuk Australia dan wilayahPacific Barat, kunjungi http://www.jacwiley.com.au.

: i-l Excel untuk lnsin dan llmuwan

-- ; .i ri rr.aaii.trrS/dltrads/sprsheets/

'''; hr\nrc.S\ i.net/-epearson/excel/pivots.htmTutorial Pir otTable

.rrl: trorrre.gr i. net/-cpearson/excel/topic. htm

Indeks topik EXCEL

Lampiran 3Persamaan Trendline

Berikut ini adalah persar.naan-persamaan yang digunakan oleh EXCEL untuk menghitung trendline

dengan diagrant. rLiharlah Ba-sian 3.6 dan gambar-gambar yang menunjukkan kotak dialog Add

Trendline). Pada saat Anda rnemilih sebuah tipe trendline tertentu, ini akan secara otomatis dihitung

menggunakan data-data milik Anda.

Untuk menggunakan rrendline secara e1-ektif, Anda perlu memahami apa yang Anda pilih

Pencocokan rang baik untuk data-data terganggu menggunakan trendline seringkali dapat

menyiratkan sr.sllatLl r.nerrgenai proses yang membangkitkan data. Secara umum, Anda perlu

melakukan eksperirnen dengan tipe-tipe trendline dan parameter yang berbeda untuk mendapatkan

hasil yang cocok.

Linier

Pilihan ini menghitunc least \quare yang cocok untuk data Anda melalui garis

)'=nN+b'Dengan lr adalah keniiringan -earis dan b adalah titik potong di sumbu-.t'.

lurus,

(L3- I )

Polinomial

Least square polinontial mencocokkan terhadap data yang dihitung dengan'

,r' = 1, + t,.f + r'r-r2 + r'.,r3 + ... +.',r.16 (L3-lr

dengan b dan c,, aclalah konstanrir yang Anda pilih. Anda tidak dapat menggunakan polinomial

yang lebih tinggi daripada,tn karena itu sudah cukup untuk menyelesaikan beberapa kasus.

Logaritma

Least square logaritma menyelesaikan pencocokan data Anda melalui persamaan'

,r'= r' ln(,r) + b

dengan c' dan b adalah konstanta clan ln(,r) adalah logaritma natural r.

rL-l--:

Lampiran 3; Persamaan Trendline

Eksponensial

Su,tu least square eksponensial mencocokkan data Anda melalui perhitungan,

Y=ceb'Jen-gan c dan b adalah konstanta.

(L3-4)

Perpangkatan

Least square perpangkatan mencocokkan

-)' -dengan c dan b adalah konstanta.

data Anda melalui.

,rb (L3-5)

Nilai R-kuadrat

Nilai R-kuadrat adalah pengukuran kecocokan yang terbaik, yaitu seberapa baikkahtrendline mencocokkan data. Nilai sempurnanya adalah I dan yang terburuk adalah 0kuadrat dihitung berdasarkan,

ssERr=l-ssr

dengan SSE adalah jumlah aljabar dori ,rro) madrat (sum oJ'squarecl errors).

ssr=)rYj -i'jlDan SSI adalah jumlah aljabar dari kundrttt deviasi dari nilai mean (.sum of the scluared devia-tions from the mean),

ssr = (f r,:)- ' (tr,)' (Lr-8)\L.i I n\u.j ,

Dalam Persamaan (L3-7), )', adalah titik data dan t, adalah titik penghubung dalam model untuktrendline.Catatan: dalam pekerjaan lain, SSI'dinamakan SSI dan didefinisikan sebagai,

ssy = I(I - 1)2 (L3-9)

dengan I adalah nilai mean. Contoh, lihatlah referensi kedua di bagian akhir lampiran ini.

Moving Average

Trendline moving average di ExcEl dihitung dengan,

F, = !(.A,+ Al 1 + ... * A,-,11).n

P:::-,rikan bahua jumlah titik di dalam trendline moving average sama dengan total jumlah titikj -;..:i: Jer.'t. dikurangi jumlah titik yang Anda pilih untuk periode average. Contoh, jika Anda'r': :...:r..: ,lr trtik di dalam sebuah deret dan Anda memilih 3 titik moving average. maka trendline

-.:: :-'i:-.:.:L: ll-< titik. Di dalam Excrl jumlah maksimum titik yang dapat Anda gunakan dalam- - --^ :(:t 'a- .,'.31-.rge adalah 20.

hitunganNilai R-

(L3-6)

(L-1-7)

(L3- r 0)

Contoh trendline 23=

Contoh trendline

Bukalah buku kerja TRENDLINE dan Anda akan melihat sesuatu seperti di Gambar L3- l. Lenibarkerja ini memiliki sekumpulan data yang terdiri dari pengukuran tegangan di kolom A dan peng-

ukuran arus di kolom B. Pengukuran arusnya mengalami gangguan dan kita akan melihat apa jeni:hubungan kuantitatif antara tegangan dan arus. Dari data tersebut, jelas nampak bahwa pada saat

tegangan naik, arus cenderung naik sepanjang waktu namun kesalahan acak membuat arus ber-

fluktuasi di sepanjang kecenderungan umum yang menaik.Tekanlah Tombol Fungsi F9 untuk mengubah gangguan serta melihat perubahan nilai persamaan

dan nilai R-kuadrat. Masukkanlah sebuah nilai baru untuk amplitudo gangguan di sel E2. Tekanlah

Tombol Fungsi F9 berulang kali untuk mendapatkan contoh gangguan baru. Contoh lain ditunjukkandi Gambar L3-2.

Nilai perpotongan-y seharusnya nol karena tidak ada arus yang dapat mengalir jika tegangannya

nol. Jadi untuk kumpulan data terganggu ini. trendline mengatakan bahwa sekitar 99 persen yakinbahwa resistansi R dari sistem adalah

Cobalah trendline polinomial dengan data yang berasal dari lembar kerja ini. Anda akan melihatbahwa koefisien pangkat x yan-s lebih besar daripada I adalah sangat kecil. Jelasnya, pencocokan

secara linier adalah yang terbaik untuk kumpulan data seperti ini.

R='t=l'= I =looo.r' 1 .01

(L3- l l)

L

Pr*** ilrrrr*tir:n l'i*i; F* l* $h*il,I* tttri** l::trtpl*

A.BiTREHDtII{EApperrliu !

(- Lt a

Enler NDise .".*pl,tuo, [--llll

567a

910l112

ritt1fi

IE1/18

ts

21

i!2:243536;;It I l1 l1\rqenttl1ns.,{ r: Ilieriept /'

Gambar L3-1. Tampilan utama lembardengan nilai persamaan dan R-kuadratsecara linier nampak begitu cantik.

1r I

kerja TRENDLINE. Sebuah trendlineditampilkan pula. Dengan mengacu

%,linier dihitung secara otomatis.ke nilai R-kuadrat, pencocokan

0 82783,6

0 83303:(t 057672[.067031n.u7gutl40 rr7073F

o r:aqlgt0.1196857

0.101 183

R.llt6E1;

ir 1?92t11

tr.14t-r588

r1.16{05

0.168/S5n 17362

rl.1!6?fi1t:r.2rlEil l

Current vs. Voltage

025

02

015

Ci I

0 t15

0

y=DrJ$$u+rlfiD23^,i-.:- : u !t4\.,,

oo,

0o.E

10 15 ')0 |5Volts

AIRTHOLINE

-F,PErr,lr l

ll',: --F.rifj- s]LB

.DE

:i1Er l,JDrse A*,pl,trl, l-*--fill

L

Current l,si rr 0r-r7136

: 0 1125178

J rl 0:5x;6.{ B 1353165 U 0508:6I t].0531]9!7 il.A8249E t1 0898329 0.0975

10 0 1457751l r:r.1r14176'12 1 1 1451

1:1 rl 13026/t{ u t1tial

l5 0 15i86:1Li t-r.183532

1l t] 161r0:lE rl 179296

19 n.18rll.l3lll 0 190323

Gambar L3-2. Gambar inr menunjukkan kumpulan data terganggu lainnya yang berbasis pada sistem fisik yangsama dengan yang ditunjukkan oleh Gambar L3-1. Di sini pilihannya diberi tanda cek untuk mengeset trendlinedi perpotongan-y sama dengan 0. Bandingkan persamaan-persamaan trendline dan nilai-nilai R-kuadrat.

I Beberapa fasilitas di Excer- yang berhubungan Itr

Seperti yang telah Anda lihat, fasilitas trendline br-roperasi dalam bentuk cliagram clan mudahciigunakan. Excnt memiliki beberapa f'asilitas lain rang berhubunsan. r'aitLr LINEST. LOGEST.dan REGRESSION. vanc dapat digunakan terhadap duta lenrbar kcrja tanpa mengambilnya darioperasi diagranr.

Berikut ini adalah beberapa tlisilitas yang clrkup anrpuh dln rnenrerlukan beberapa pengetahuan

statistik untlrk dtrpat mcngaplikasikannya secara et'ektil'. LINEST digunakan untuk rnenghasilkankecocokan linier terbaik: LOGEST pun serupa, namun cligunakan untuk kecocokan eksponensialterbaik. Lihatlah Bab 9 untuk REGRESSION.

LINESTHitunglah statistik di sebuah garis menggunakan mctode least square untuk rnenghitung sebuahgaris lurus -vang akan memberikan kecocokan terhadap clata Anda dan men-{hasilkan sebuah arrayyang dapat menjeiaskan garis tersebut. Lantaran fungsi ini n.renghasilkan sebuah array nilai. makatungsi ini harus dirnasukketn sebagai sebuah array runrus. Lihatlah ke Help untuk infbrrnasi lebihliinjut rnengenai rumus array. Persamaan garisnya adalah:

.\'= ,r,.r * D

1111r jika terdapat beberapa range untuk nilai .r (,r,..r:..r.r. ...). persamaannya rnenjadi,

.\ - //lt.\'l + /il-.1- + ... + b

derrsan nilai l yane dependen adalah suatu fungsi dari nilai -r yang independen. Nilai rr adalahkt,clisien ymg beihubirngan dengan setiap nilai ,r dan D adalah nilai konstanta. Perhatikan bahwa

Daftar Pustaka 239

r'..r. dan m dapat berupa vektor. Array yang dihasilkan oleh LINEST adalah {rirrr. tnn-|. .... rttl.lr). LINEST dapat juga menghasilkan tambahan statistik regresi.

SyntaxLINEST( y_diketahui. r_diketahui.const.stats )

y-diketahui adalah kunrpulan nilai y yang Anda ketahui di dalarn hubungan )' = rr?i. + lr.

. Jika arral )-dikr-tahui merupakan sebunh kolor.t.r tunggal, maka setiap kolom dari

x-diketahui akan diinterpretasikar.r sebagai sebuah variabel teryisah.

. Jika artal r tliku-rahui merupakan sebuah baris tunggal, maka setiap baris dari x-diketahui

akan diinterprctasikan sebagai sebuah variabel teryisah.

. x_dikt'rrrhui nrerupakan pilihan kumpulan nilai r yang mungkin telah Anda ketahui di

dalanr hubungan r' - tl1-Y + b.

. Arrar r_diketahui dapat memuat satu atau lebih kumpulan variabel. Jika hanya satu

variahel rlng digr-rnakan, y_diketahui dan x_diketahui dapat berupa range dari bentuk

apa \airr \epanjang rnemiliki dimensi yang sarna. Jika lebih daripada satu variabel yang

digunlkln. ntaka ;-'_diketahui harus berupa vektor (yaitu sebuah range yang berupa

tingri dari :ebr.rah baris atau lebar dari sebuah kolom).

. Jikri r_dikctahui dihilangkan, rnaka x_diketahui diasumsikan sebagai anay t1,2.3.... )

rang nrtnriliki ukuran sat'na den-uan 1-diketahui.. Ctrtr:r adalah nilai logika vang nrenetapkan atau memaksa konstanta 1r meniadi sama

dc'n!all ().

. Jika c(rn.t hernilai TRL'E atau dihilrrnskun. nraka /r dihitung secara nortnal.

. Jika i()n.r hernilui F\LSE. nutkl /, ditentukan sama densan 0 dan nilai rrr diatur agar

C(lC(rl (lr'nqllll \ = rll.r.

. St.rr:.r.1.,1.rh nil,rr ltrgikl ]irnS nreni'tllpkun atau tidak nienghasilkan tambahan statistik

l'egl't\l.

Jika stats bcrnillr TRt E. LI\EST ntr.nghasilkan tanrbahan statistik regresi. sehingga array hasilnya

rnenjadi {mn.ntn-1.. ..nti.b..en.ren-l.....sel.seb;r2,sey;F.df;ssreg,ssresid}.JikastatsbernilaiFALSEatau dihilangkan. Ll\EST ntenghasilkan hanya koeflsien-rr dan konstanta b.

Lihatlah ntenu l{cl;. Er.t.rr- untuk tambiihan infbrmasi mengenai statistik dan contoh-contoh

penggunaan LINEST

Daftar Pustaka

H. Skala, "Will the rcal l'r.'.r tlt curve please stand up!".College Mathenrutics Journol 27 \3),224'223 t 1996).

B. Rossa, D. Pulskrrnp ,lrrn I) Otelo. "Remarks on fitting functictns to data". Primus 8 (4), 2U9-

304 ( 1998).

Lampiran 4Wizard untuk Goal Seek, Solver,dan Lookup

Apakah perbedaan antara Goal Seek, Solver, dan Lookup?Anda dapat menggunakan operasi Goal Seek ketika Anda telah mengetahui hasil yang diharapkanatas sebuah rumus tunggal namun Anda tidak tahu nilai masukan yang dibutuhkan untuk menentukanhasil tersebut. Pada saat goal seek bekerja, ExcEI- memvariasikan nilai di dalam sebuah seltertentu hingga suatu rumus yang bergantung pada sel tersebut mendapatkan hasil yang Andainginkan.

Dengan Solver Anda dapat menentukan nilai sebuah sel pada saat Anda perlu mengubah nilai-nilai di lebih daripada satu sel yang memiliki beberapa kendala atas nilai-nilai tersebut. Pada saatAnda menggunakan Solver, sel-sel yang akan Anda ikut sertakan harus berhubungan denganrumus di lembar kerja. Solver menggunakan algoritma yang canggih untuk mendapatkan hasil.Wizard Lookup digunakan unttk data empiris ketika tidak ada rumus yang diketahui.

Lihatlah ke dalam CD untuk contoh-contoh yang lebih banyak beserta soal-soal latihanmengenai Goal Seek dan Solver.

i L4.1 Goal Seek

Bagaimana menemukan hasil tertentu untuk sebuah sel dengan caramengatur nilai di salah satu sel1. Di menu Tools, klik Goal Seek.l. Di dalam kotak Set Cell, masukkan referensi untuk sel yang memuat rumus yang ingin Anda

tetapkan. Lihatlah Gambar L4-1.-1. Di dalam kotak To Value, ketikkan hasil yang Anda inginkan.-+. Di dalam kotak By Changing Cell, masukkan ref-erensi untuk sel yang memuat nilai yang

insin Anda ubah.

Tutorial mikro mengenai Goal SeekC-:rr'r*!-LJ-1 ntenunjukkan sebuah tutorial mikro mengenai Goal Seek. Di dalam persoalan ini,- *:-:.:r rual di sel Bl. 82. dan 83 telah diberikan. Sel 84 berhubungan dengan ketiga sel ini'-':. -: '-r':r. )anu diperlihatkan. Sasaran kita adalah mengubah sel 84 menjadi 63 dengan- r-=-'": .:. B1.

\

L4.1 Goal Seek

=E 1 32+LN(Bli-Si H{nrC REE

7

3 14t*s12

4 7012S

Gambar L4-l . Goal Seek ditentukan untuk mencoba mengubah nilai di sel B1 ke sebuah nilai yang akan

membuat sel 84 menjadi sama dengan 63, mengikuti rumus di sel 84 yang diperlihatkan di kotak editor sel

=81^2+ln(E2r -sr::,ie;:=:s,33) ).

Pilihlah lToolsl[Goa1 Seek] dan masukkan sasaran yang 63 itu sebagaimana diperlihatkanoleh Gambar L4- l. Pada saat Anda rnengklik tombol OK, Goal Seek akan mengubah nilai sel B Imenjadi nilai baru 7.89296 dan sel B-1 sekarang menjadi 63.00010315.

Setelah Anda mengklik OK. .\nda akan melihat hasil seperti ditunjukkan di dalam Gambar

L4-2. Perhatikan bahwa Goal Seek tidak dapat mencapai suatu hasil yang eksak untuk 63. Hal iniakibat dari logaritma natural dan lungsi sinus di dalam rumus yang membuatnya tidak mungkin

untuk mendapatkan bilangan bulat t6-it sebagai hasil.

Perhatian: beberapa rumus Goal Seek tidak dapat rnencapai hasil yang diminta karena ketidak-

mungkinan secara matematis. Contoh. tidak niungkin untuk menemukan logaritma untuk bilangan

negatif.Berikut ini adalah soal-soal lans bukan merupakan suatu ketidakmungkinan. Cobalah dengan

Goal Seek:

Di sel A l. masukkan .1.

Di sel A.2. masukkan 16.

Di sel A3. masukkan l.Di sel A4. masukkan rumus = (-A2+SQRT (A2^2-4*A1*A3)) / (2*AL) .

Di se1 A5 Anda dapat melihat hasil, -0.06351.Pergunakanlah Goal Seek untuk mengeset sel A,5 menjadr bernilai -0.5 dengan mengubah sel

A3.

abcX

1.){

3

1

't{)

i

i5.

*-**____f\

a

bcX

= n 1 ^t +LH{a2J-slN{nEGEErsiB-)}

7 fiS2SS3 14153

12

s3 0001

Setcell, F***----:#To v,lh;e: le:

Byghsngngrett: ml--X

G--*ry] -fq!.t-l

,.!aal 5eekinq ruith dell 84

f*urd a sc,lutian.

I&r€el: value; $3

{urrent,reiuer S3,iX01Dil5

|'l,s

,' DK :iI

LdI 'LB

I

1,:.:.| l....,_-:---1

Gambar L4-2. Goal Seek Status melaporkan bahwa telah ditemukan suatu solusi yang mendekati

La m pi ra n 4 : W izar d u n tu k G oa lSeq(..Qqlvelqen-LgqKqp

I

1:dr dapal menggunakan Solver untuk menentukan nilai maksimum atau minimuur dari sebuah

r-l den-uan mengubah sel lain. Contoh, anggaplah Anda ingin mengetahui volume maksimum

.ehuah kotak persegi panjang yang akan Anda hitung dengan mengubah-ubah panjang sisinya.

) ang rerap mengacu pada beberapa keterbatasan panjang maksimum atau lninimum. Sel-sel yang

{nda pilih hnru.s dihubungkan melaltti nrmus-runur.r di dalam lembar ker.la. Jika tidak berhubungan.

rnaka perubahan atas satrt sel tidak akan mengubah sel lainnya.

Solyer adalah suatu fasilitas yang ampuh yang dapat Anda pergunakan segera untuk masalah-

rnasalah sederhana. Untuk aplikasi-aplikasi tingkat lanjut Anda perlu menjelajahi kemampuan

penuh Solver. Diskusi lengkapnya akan rnembutuhkan beberapa bab, namun Anda dapat mem-

pelajarinya sanrbil mempraktikkannya selain dengan membaca materinya. CD 1,ang disertakan

nrerniliki banyak informasi mengenai penggunaan Solr'er'

O Setelah pengenalan singkat mengenai Solver, kita akan r.nenge{akan masalah terdahulu

r ang telah kita selesaikan dengan Goal Seek clan Anda dapat membandingkan hasilnya. Contoh di,ini tidak akan menunjukkan kekuatan penuh Solver namun Anda akan melihat bagairnana rnulainrenggunakannya.

0 Solve. di Excer menggunakan kode optimalisasi nonlinier Generalized Reduced GradientrGRG2) yang dikembangkan oleh Leon Lasdon (University of Texas di Austin) dan Allan WarenrCleveland State University). Untuk masalah-masalahlinier danbilangan bulat, Solvermenggunakanrnetode yang sederhana berupar pembatasan di variabel-variabelnya dan metode cabang-dan-batas,rang diimplementasikan oleh John Wat.son dan Dan Fylstra dari Front.line Systenrs, lnc. Untukinfbrmasi lebih lanjut mengenai proses solusi intelnal yang digunakan oleh Solver, si.lakannrengunjungi situs http://www.solver.com. Anda juga akan menernukan tutorial mengenaioptinralisasi Iinier dan nonlinier lanjutan.

Bagaimana mengeset waktu dan iterasi solusi Solveri Di menu Tools. klik Solver.

: Klik Options..

r Di dalam kotak Max Tinte. ketikkan jumlah detik yang akan Anda perbolehkan sebagai waktusolusi. Lihatlah Gambar L.1-8. yang akan kita diskusikan kemudian.

I Di clalarn kotak {terations, masukkan bilangan iterasi maksimum yang akan Anda perbolehkan.Lihatlah Gambar L4-8.

C.rtaton: Jika proses solusi mencapai waktu atau bilangan iterasi maksimum sebelum Solver menemu-\.rn \uatLl solusi, maka Solver akan rnenampilkan kotak dialog Show Trial Solution. Untuk informasiehih lanjut rnengentri pilihan-pilihan di kotak dialog Show Trial Solution. tekanlah Tombol FungsiF. .rtau lihatiah ke menu Help.

Gantbar Lrl-3 rnenunjuktrian kotak dialog Solver Parameters dan sebuah lembal kerja sederhana.::r .\1. .-\1. dan A3 memuat nilai ntasing-masing 4. [6, dan l. Rumus rnenghubungkan data-data. -,:t,r ditunjukkan di kotak editor rumus. Rumus ini merupakan rumus persamaan kuadrat standar,

=, Al+SQRT(A2"2-4'F Al {'A3)y(2'r'A I).

>: :.,rs.'t adalah A.l dan Anda dapat mengeset Target Cell menjadi Max, Min, atau memilih Valuet-): !.:nrudian ntasukkan nilainya ke dalam kotak isian.

Bu"tluh lenrbar kerja seperti Gambar L4-3 di komputer Anda agar Anda dapat mengikuti:: -: j ..:ri" l. Perhatikan tombol Options di sisi kanan-tengah Gambar L4-3. Kita akan kembali ke-:: i- r.r .r'teLh kita melihat hasil dari penekanan tombol Solver di sisi kanan-atas. Solusi kita- ,- -*.!.i: ,.reh Crembar L-1-;1.

L4.2 Solver 243

:lI3,{

= i ={-A} +$SHT{A},12-4*41 *43)}{?*A1 }

i-----f;"--.".,i.-""""""..$-"".""...i.----- "1.1*-"-","i".

s&i?rq6. r

t*"*dTrl ,.f*'ffi 1.f*ffi,,,: Fgp*xrd;

Gambar L4-3. Kotak dialog Solver Parameters. Sel 44 berhubungan dengan sel-sel 41 , A2, dan A3 melaluirumus yang ditun.iukkan di dalam kotak dialog. Kita akan mengeset sel A4 (sel target) menjadi bernilai -0.5dengan mengubah sel A3.

= -/-A?+S. \' -.- ^2-4*Ali A1)

.I

tn1

ffit$&eI{;;;;riE;l*;a;.!{tl:t: : 1r !.! ri.: ;:,i,,:ii: i::::::

{M{s.n?(

o

*1ilI1ll:t?14

15

n&#*r*--;-ry;---- e

*MI*

S*lets E:u=.1.:::..::::t ,_ ". IFgE& $., -:3,:;-*it

1

;J{

4

165ol'rfund ar€ffim,cordir|' ri rtiru.

*t g sffi&tr

(e*ffi-ffiffi$jC nc*rc$drt${

t--E*]', . ,

Gambar L4-4. Kotak dialog Solver Results. Lihat Gambar L4-5 untuk Answer Report.

Di Gambar L4-4 perhatikanlah kotak Reports. Anda dapat meminta laporan (report) berupa

Answer, Sensitivity, dan Limits. Ketiga laporan tersebut ditampilkan dalam Gambar L4-5, L4-6,dan L4-7.

Selain itu, perhatikan pula tombol Save Scenario di bagian bawah kotak dialog. Kliklahtombol ini jika Anda ingin menggunakannya kembali. Apakah skenario itu? Skenario adalah

sekumpulan nilai yang Anda gunakan untuk meramal keluaran dari suatu model lembar kerja.

Anda dapat membuat dan menyimpan kelompok nilai berbeda ke dalam lembar kerja kemudianberpindah ke skenario baru manapun untuk menampilkan hasil yang berbeda.

Sekarang Anda telah selesai mengerjakan sebuah contoh sederhana, marilah kita lihat pilihan-pilihan apakah yang tersedia di Solver untuk membantu mengerjakan solusi-solusi tingkat lanjutan.

M

Lampiran 4: Wizard untuk Goal Seek, Solver, dan Lookup

A FiC_ j B , E

i 1 Microsoft Excel 10.0 Answer Reportj 2 Worksheet: [$dver-l.xlslMain! 3 ,Report Created: {0/12/I00t 8:52:SI PM

14,lb,{ S lTarget Cellfvalue Of}

I 7 1 Cell Name OriginalYalueFinalValuc

isriei{ 1ff

"Adiusta$e Cells _*

i 11 j Cell Name Original Valu*FinalValue

\ 1? &A&3 7.000S51S7 7.000005167

I 13

udi rs,{ 16 rConstraints

I rr i NCIr..lE

Gambar L4-5. lni adalah contoh sederhana mengenai Answer Report. Bandingkan Final Value untuk sel 43 danA4 dengan nilai yang didapatkan untuk kasus yang sama melalui Goal Seek.

Af B i C 0 ,8' , F

Microsoft Excel{S.S Limits RepartWorksheet: [$olver-l.xlsllimit Report 2

Rcport Crcated: 101121?0fi2 8:52:07 FM

G H I

,1,?3i4;

:

o'7

Iu

10

11

12g

TargetCell Name Value$A$4 -0.500000431

AdiustahleCell Name Value

LowerLimit

TargetResult

Upper TargrtLimit Result

&A*J 7.00005167 #N/A #NIA #N/A #N/A

Gambar L4-6. lni adalah kotak Limits Report. Limit tidak dapat diaplikasikan ke dalam persoalan sederhanakita. Perhatikan pengaturan otomatis untuk lebar kolomnya.

EL

L4.2 Solver 245

1

2

J

45

6

7

I

10

11

12

A Br C i 0 i E

Microsoft Exsrl {0.0 Sensitivity ReprfiWorksheet : [$olver-{. xlslMainReport Crrat*d: {01{112002 8:52:07 PM

Adjustable Selle

Cell ltlameFinal ReductdValue Gradient

L9-] $A$3 7.00005167 0

ConstraintsNONE

Gambar L4-7. Sensitivity Report diaplikasikan untuk masalah-masalah yang lebih rumit.

Mengenai kotak dialog Solver OptionsAnda dapat mengontrol tampilan-tampilan lanjutan proses solusi, menarik atau menyimpan definisimasalah dan mendef-rnisikan parameter-parameter untuk masalah-masalah linier dan nonlinier.Setiap pilihan memiliki patokan default yang cocok untuk kebanyakan jenis masalah.

lffii ;,:affi: ,iit!i''iii'ii

UertrSll ,l S:

BE(kisr::

fBErtrlc*irylswt-l0.rx1

i ffilirl:irifi t ,

li!ili ii

Gambar L4-8. Kotak dialog Solver Options. Kotak dialog ini memberikan kendali lengkap mengenai pilihan-pilihan yang tersedia dalam algoritma Solver.

f Ass*ff*tffiiffi,f A.".*tre,

;ffi*

r] ffiffir.q ffi

246 Lampiran 4: Wizard untuk Goal Seek, Solver, dan Lookup

Max Time (Waktu maksimum)Waktu masksimum ini membatasi waktu yang diperbolehkan untuk proses solusi. Ketika Andadapat memasukkan sebuah nilai sebesar 32.161 . nilai detaultnya yang 100 (detik) adalah cukupuntuk kebanyakan masalah kecil.

Iterations (lterasi)Pilihan iterasi membatasi waktu yang diperlukan oleh pr(r\e\ solusi dengan cara membatasi jumlahperhitungan sementaranya. Ketika Anda dapat memasukkan nilai sebesar 32.161 . nilai defaultnyayang 100 adalah cukup untuk kebanyakan masalah kecil.

Precision (Presisi)Precision ini mengontrol ketelitian solusi menggunakan bilangan 1'an-r Anda masukkan untukmenentukan apakah nilai dari sel batasan mencapai tarset rtru nrenrenuhi btrtas bawah atau atas.Precision harus ditandai dengan sejumlah kecil angka antara [) dan l. Precision tinggi ditandaipada saat bilangan yangAnda masukkan rnemiliki banlak ansk.i iie'irral. Contoh,0.0001 merupakanprecision yang lebih tinggi daripada0,01. Semakin tin-sgr trnrkJt precision. maka semakin banyakwaktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi.

Tolerance (toleransi)Toleransi adalah suatu persentase solusi sel target )ang dlrpat nrembuat barasan bilangan bulatnyaberbeda dari nilai optimal yang sesungguhnya namun tetap .l.rpi.rt diterinta dengan baik. Pilihan iniditerapkan hanya untuk masalah-masalah batas bilanean hulat. Suatu rolL-ransi tinggi cenderungmempercepat proses solusi.

Convergence (Konvergensi)Solver berhenti ketika perubahan relatif di nilai sel tarce t l.'i.ih k.'cil daripada bilangan di dalamkotak Convergence untuk lima iterasi terakhir. Conrergence hanra diterapkan untuk masalah-masalah nonlinier dan harus ditandai ketika bilangan \ ilng .\nda masukkan memiliki banyakbilangan desirnal. Contoh, 0,0001 adalah relatif kecil peruhahannra dibandingkan 0,01. Semakinkecil nilai convergence, maka semakin banyak waktu lanr diperlukan oleh Solver untuk men-dapatkan solusi.

Assume Linear ModelGunakan pilihan ini untuk mempercepat proses solusi pada \aat seluruh hubungan model adalahlinier dan Anda ingin memecahkan masalah optimalisa:i hnier rlaupun pendekatan linier untukmasalah nonlinier. Berhati-hatilah ketika Anda menggunakan hasil pendekatan linier untuk sistemyang Anda ketahui merupakan nonlinier.

Show lteration ResultsSilakan pilih bagian ini untuk menghentikan Solver rejenak guna melihat hasil dari tiap-tiapiterasi.

Use Automatic ScalingPilihlah bagian ini untuk rnenggunakan skala otonratis ketika masukan dan keluaran memilikiperbedaan yang besar di sisi besarnya. Contohny'a ketika Anda memaksimalkan persentase ke-.nrtLrngan berdasarkan investasi terakhir Anda sebesar rniliaran dolar.

R.

L4.2 Solver 247

Assume Non-NegativePilihlah bagian ini untuk membuat Solver mengasumsikan limit terendah yang 0 (nol) untukseluruh sel yang dapat diubah karena sebelumnya Anda tidak lnengeset lirnit terendah di kotakConstraint dalam kotak dialoc Add Constraint.

Estimates (Perkiraan)Estimates menetapkan pendekatan yang digunakan untuk mendapatkan perkiraan variabel-variabeldasar di setiap pencarian satu dirnensi.

Tangent (Tangen)

Tangen mensgunrk.rn ek\trapolasi linier dari sebuah vektor tangen.

Quadratic (Kuadrat)

Quadratic nrenL!Lrn.rkalr ek\trapolasi kuadrat yang dapat nremperbaiki hiisil dalam masalah-masalahnonlinrcr tinrk,rt trir:!i.

Derivatives (Turunan)Derivativer nrL'nerJlkrn nretode turunan yang digunakau untuk memperkirakan turunau parsial

dari tirngri-funi.i ,.hiektif dan terbatas (Lihatlah Bagian -5.1).

ForwardPergunakrinl,:: F',:,rard untuk kebanyakan masalah yang nilai-nilai terbatasnya berubah relatiflarnbtrt t Lrhrt.-,:'. B.rrran -5. I ).

CentralPergunlkuni.ri: Cr'nrr;rl untuk masalah-masalah yang batas-batasnya berubah secara cepat, khususnyavang rrenJck.,ll li;nrt. \\'alaupun pilihan ini mernbutuhkan lebih banyak perhitungan, naurun akar.t

cukup menrhrntu prda saat Solver menghasilkan pesan yang menyatakan bahwa ia tidak dapat

meniperheiki .1'ls.i rLihat Bagian 5.1).

SearchSearch rr1eil€t.:pk.:i) .,lgtritma yang digrrnakan di setiap iterasi untuk menentukan arah pencarian.

NewtonN-r-\\ tt)n nrf Dr!u0;k.rn rnetr)de kuasi-Newton yang secara khusus rnembutuhkan lebih banyak memot'inanrun lc'bih ..'Jikit rt.'ra'i daripada metode gradien konjugasi (conjugate).

ConjugateConjugate nrernhutuirkan nremori yang lebih sedikit daripada metode Newton namun secara khususmemerlukan lehih h.rnr ak iterasi untuk mencapi.ri tingkat keakuratan tertentu. Pergunakanlah pilihanini ketika Andl nrenrrliki nra:alah besar dan penggunaan memori sebagai titik berat, atau krncatansepanjan-t iterrr.i nrenrrrrpilkan kemajuiur yang lamban. Gunakan dan bandingkanlah Conjugatedan Nervton untuk rla..rlah rang sama guna melihat perbedaannya.

- ta Lampiran 4: \Nizard untuk Goal Seek, Solver, dan Lookuo

Load Xlodellnr alian menampilkan kotak dialog Load Model, Anda dapat menetapkan referensi untuk modeli;ne ingin ^A.nda muat.

Save ModelIni akan menampilkan kotak dialog Save Model, Anda dapat menetapkan ke mana akan menyimpanmodel tersebut. Kliklah hanya jika Anda ingin menyimpan lebih daripada satu model dalam satulembar kerja. Model pertama akan disimpan secara otomatis.

Download-lah lebih banyak macam Solver dari http://sylvanbloch.hypermart.net.

L4.3 Lookup Wizard

Goal Seek dan Solver menghitung nilai-nilai berdasarkan rumus. Seringkali data-data eksperimendikumpulkan dalam bentuk tabel yang tidak menyertakan rumus yang diketahui. Ini adalah data-data empiris. Lookup Wizard akan sangat nyaman dipakai ketika Anda perlu mencari hasil suatueksperimen dalam tabel data yang besar. Kita akan mendemonstrasikan penggunaan Lookup Wizarddengan contoh yang sederhana.

Klik [Tools][Wizard][Lookup] dan Anda akan melihat Gambar L4-9. Lookup Wizard akanmemandu Anda untuk menemukan hasil yang diinginkan dan Wizard akan menuliskan rumusnyadi dalam kotak editor rumus. Dalam Langkah I dari 4langkah, Anda memilih range untuk sel yangakan dicari. Pergunakan mouse Anda untuk memilih range baris dan kolom. Dalam Gambar L4-9, seluruh tabel dalam keadaan terpilih.

EJFGauge Pressure {N/m2} Water,4 degrees C

Ths tuqtrp $fizad @l y*u w:it* * fonrnrla that finds tl'p vah.nat ihe intersectis-r d a cdm and a row.

2i15,ts4 1l;1*,!4 7f25$5S:45 3 31 i{r 51.55llr: i : 1 Ll 3+ 13 'n4 .r?15:30 12.83 rf 83.8?

1S45 15.96 1g;.t3 S$.02

girare k tha range te seanh, imluding tha rolt and co{urnnhbels?

I she*il1$A$1r$B$32 *l

*J ::::q i

Gambar L4-9. Langkah 1 dari 4 langkah di dalam Lookup Wizard. Dalam contoh sederhana ini kita akan-e--- -<-ran tekanan (gauge pressure) yang berhubungan dengan kedalaman sejauh 11 m di dalam air:::: :--- -: :e'arat C. Tentu saja dalam tabel dua kolom ini Anda cukup melihat ke kolomAuntuk kedalaman,'-=-,' :aa-'.eae besar yang multikolom akan menjadi tugas yang membosankan untuk mencari nilai yang: -': -..:^

rCBA

I iDepth {m)?: 03j 1

41 2

5; 3

6475869V10 I11 S

0gs00

i s6oo2S400

39200+900058800686007840088i00s8000lil 10

\

L4.3 Lookup Wizard

Setelah Anda memilih range yang diinginkan, klik tombol Next dan Anda akan melihatGambar L4-10. Jika Anda berubah pikiran tentang pilihan Anda setelah menjalankan beberapalangkah, klik tombol Back.

Setelah memilih kolom dan baris, klik tombol Next dan Anda akan melihat Gambar L4-11.Anda dapat memilih untuk mengkopi hanya rumus atau mengkopi rumus beserta parameter-pa-rameter lookup-nya.

249

Depth (mi Gauge Pressure {Nfin2} Wat*r,4 degrees Cl1\,>l-lsi41isIi6i

i7t8isi 10

JlJi12I 13

1 98002 196003 ?$4004 rgzoo5 4s0006 rago07 6fiS00I 78400I 88200

10 9s0001 1 10780CI

Which cdumn cw*ainr the vdue to findlSelect the rohrrrr iabel,

Mich row contains tle value lr fird?lelect tlre rrw label.

[ttt*7_* < gark tdext >

Gambar Lzt-10. Langkah 2 dari 4langkah di dalam Lookup Wizard. Di kotak yang paling atas, pilihlah labelkolom untuk nilai yang ingin Anda cari. Di kotak terbawah, pilihlah label barisnya (nilai masukan dalam contohini).

AB.C,Depth (m) Gauge Pressure {N/mr;

E .t fWater,4 degrees C

001 98002 1$6003 !94004 3S2005 4S0006 5880fl7 63S00I 78400e 88200

10 9800011 107800

1

2

3

45

6aIolJg

1(

1'

The t6ol,iip wi?ard can display the result in huo differeflt forms.

,- eopy iust the forrm.da to a srngle cell.

fro-ro?srlo---"I

s irrsi $Pieidde ers jp*ii rs#s* i

Gambar L4-11. Langkah 3 dari 4langkah. Pilihlah satu dari dua pilihan di atas.

Lampiran 4: Wizard untuk Goal Seek, Solver, dan Lookup

A:- -.-::!-i199,!!,.?.9.!Y*U*Fl$SiS.-$Q$l-1F.$yJ.,':i*IgIE I59lIyH'L*

BrC FE

Depth(m) Gauge Pressure (N1mr) Water, 4 degrees CU

1

z.

34

n

$soor$aoo29400jgzoo

Gauge Pressure (N/m2)11

Gambar L4-12. Sel D3:D5 berisi keluaran Lookup Wizard. Rumus-rumus di dalam kotak editor sel dituliskansecara otomatis oleh Wizard.

Hasil akhir Lookup Wizard ditunjukkan dalam Gamb ar L4-12. Dalam contoh ini, keluarannyadiletakkan di dalam tiga buah sel dalam kolom yang sama (D3:D5) namun Anda dapat memilihlokasi manapun yang Anda inginkan. Perhatikan penggunaan fungsi lembar kerja MATCH didalam rumus yang dihasilkan oleh Wizard. Untuk informasi mengenai MATCH, tekanlah TombolFungsi Fl atau lihatlah ke menu Help.

Daftar Pustaka

Untuk informasi terbaru mengenai Solver dari Frontline Systems Inc., kunjungilah:http://www. solver. com,/

Untuk tutorial pemula, kunjungilah: http://www.solver.com./tutorial.htrn

Tutorial ini juga tersedia di dalam CD yang disertakan. Tutorial ini akan menjawab pertanyaan:Untuk Keperluan Apakah Solver Digunakan?Apa yang Harus Saya Lakukan untuk Menggunakan Solver?Bagaimana Saya Mendefinisikan sebuah Model?Solusi Seperti Apakah yang Dapat Saya Harapkan?Apa yang Membuat suatu Model Begitu Sulit Memecahkan Masalah?Dapatkah Anda Menunjukkan Langkah Demi Langkahnya?

Setelah menyelesaikan tutorial untuk pemula, Anda dapat mempelajari lebih banyak topik sepertilinieritas terhadap nonlinieritas dan kejarangan (sporsity) dalam optimalisasi model melalui Tuto-ri al Lanjutan di: http://www.solver.com/tutorialadv.htm

Tutorial Lanjutan ini juga tersedia di dalam CD yang disertakan. Tutorial Lanjutan melingkupibeberapa konsep yang mendasari seluruh masalah optimalisasi:

Turunan, Gradien, dan JacobianLinieritas, Nonlinieritas. dan Non-SmoothnessFun-esi-tungsi dan ketentuan-ketentuan linier dan nonlinier campuran.Penv-eunaan langsung matriks koefisien LP

I

2

45

Lampiran 5PivotTable Wizard,lnternet Assistant Wizard

L5.1 PivotTable

siapakah yang membutuhkan dan apa yang dapat dilakukan pivotTabre?Anda rnembutuhkan PivotTable jika Anda menginginkan sebuah tabel interaktif yangdapat membuatringkasan secara cepat atau membuat tabulasi silang terhadap clata berjumlah besar. Anda dapatmerotasi baris dan kolomnya untuk mendapatkan ringkasan yang berbeda dari sumber data, melakukanpenvaringan data dengan menampilkan halaman yang berbeda atau menampilkan rincian area tefientu.

PirotTable meringkas data menggunakan tungsi summary yang Anda tentukan, seperti Sum.Count. atau Average. Anda dapat menyertakan subtotal dan ,erand total secara otomatis, atau meng-gunakan runtus Anda sendiri dengan menambahkan field dan item terhitung. Untuk info lebih lanjut,silakan .\nda rnengunjungi: http:///home.gvi.net/-cpearson/excel/pivots.htm.

Terdiri dari apakah PivotTable itu?Anda dapat ntenrbuat PivotTable dari daftar EXCEL atau database, database eksternal. lembar-lembarkerja EXCEL ganda. atau PivotTable lainnya. PivotTable berisi field, yang masing-masingnyamerinskas bari.-baris informasi ganda dari sumber data.

Apakah tombol field itu dan apa yang dapat dilakukannya?Dengan men\ eret ttrntbol fleld ke bagian lain dari PivotTable, Anda dapat melihat data Anda dalambentuk lain. Ctrntt',h. .\nda dapat melihat nama-nama pabrikan CPU dan kecepatan chip buatan merekadengan ntenuruni bari: atau melintasi kolom.

Bagaimana saya memulai PivotTable?EXCEL membuatnr a begitu niudah. Gunakanlah PivotTable Wizard sebagai panduan untukmenempatkan dan tnengatur data r ang akan Anda analisis. Untuk memulai, klik PivotTable Reportdi menu Data.

Lampiran 5: PivotTable Wizard, lnternet Assistant Wizard

Membuat PivotTable dari daftar atau database Microsoft ExcelKlik sebuah sel dalam daftarAnda sebelum menialankan PivotTable Wizard. Dalam PivotTable\\-izard-kotak dialog Langkah 2 dari 4 langkah-wizard akan memasukkan referensi ke dalamdaltar untuk Anda.

l. EXCEL mengabaikan filter-filter yang Anda terapkan atas daftar melalui perintah di submenuFilter di menu Data. PivotTable secara otomatis mengikutsertakan seluruh data dalam daftar.Untuk membuat PivotTable dari data tersaring, pergunakanlah perintah Advanced Filter untukmengekstraksi range data ke lokasi lembar kerja lain dan memasukkan PivotTable ke dalamrange terekstraksi. Untuk informasi mengenai advanced filtering, lihatlah ke menu Help.

-1. EXCEL secara otomatis membuat grand total dan sub total di PivotTable. Jika daftar di sumbernyasudah otomatis berisi grand total dan subtotal, buanglah keduanya sebelum membuat PivotTable.

-1. Lantaran EXCEL menggunakan data di baris pertama dari daftar untuk nama-nama field diPivotTable, daftar sumber atau database harus memuat label kolom. Untuk arahan mengenaiformat daftar, lihatlah di menu Help.

r*,&&

TIPS

Untuk membuat PivotTable mudah memperbaharui dan meng-update ketika mengubah daftarsumber atau database, beri nama range sumber dan gunakan namanya pada saat Anda membuatPivotTable. Jika range yang sudah dinamai mengalami pemekaran untuk mengikutsertakan banyakdata, Anda dapat memperbaharui PivotTable guna mengikutsertakan data-data baru tersebut.

Bagaimana menggunakan total dan subtotal di dalam PivotTableAnda dapat mengikutsertakan grand total untuk data-data di dalam baris-baris dan kolom-kolomPivotTable (lihat Lampiran 5), dihitung menggunakan fungsi summary yang sama dengan field datayang akan ditotalkan.

EXCEL secara otomatis menampilkan subtotal untuk field baris atau kolom terjauh ketikaAndamembuat dua atau lebih field baris atau kolom di dalam PivotTable. Untuk field baris atau kolomterdalam, EXCEL menampilkan subtotal hanya jikaAnda menambahkannnya. Anda dapat menentukanlungsi summary untuk digunakan dalam subtotal.

Ba gaimana menam pi I kan atau menyembunyi kan grand total dalam PivotTablel. Pilihlah sebuah sel di dalam PivotTable.l. Dalam toolbar PivotTable, klik Options di dalam menu PivotTable.-r. Untuk menampilkan grand total, di bawah pilihan Format, berilah tanda cek di Grand total forcolumns. Grand total for rows, atau keduanya.Untuk menyembunyikannya, hilangkan tanda cek di salah satu atau keduanya.

Bagaimana menambahkan atau menghilangkan subtotal di PivotTable. Klik ganda tombol field apabila Anda ingin menampilkan atau menghilangkan subtotal.I L-ntuk menampilkan subtotal jika field-nya merupakan field baris atau kolom terluar, klik Auto-:'.:'.:r Ji harlah Subtotals.':'::ti n:nantpilkan subtotal jika field-nya merupakan field baris atau kolom terdalam, klik Custom- -:,i :h Suhtrrtrl: kernudian klik fungsi summary di dalam kotak di sisi kanan.

\.

L5.2 \Nizard untuk lnternet Assistanl 253

Untuk menghilangkan subtotal, klik None di bawah Subtotals.1. Untuk menggunakan fungsi summary yang berbeda atau untuk menampilkan lebih daripadasatu tipe subtotal, klik fungsi summary yang ingin Anda gunakan di dalam kotak di sisi kanan Cus-tom. Untuk deskripsi mengenai fungsi summary yang tersedia, lihatlah ke menu Help.

Catatan: EXCEL menambahkan satu baris subtotal untuk setiap fungsi summary yang Andapilih.

Untuk menyertakan item-item field di halaman tersembunyi, klik Options di menu PivotTableyang terdapat di toolbar PivotTable, kemudian berilah tanda cek ke item Subtotal hidden page dibawah pilihan format.

Bagaimana mengubah fungsi summary yang digunakan untuk menghitungsubtotal di PivotTablel. Klik ganda tombol field apabila Anda ingin mengubah fungsi summary subtotal.2. Di bawah Subtotals, klik satu atau lebih fungsi summary. Untuk informasi mengenai fungsi-fungsi summary yang dapatAnda tentukan untuk tipe subtotal, lihatlah di dalam menu Help. Catatan:Untuk menambahkan subtotals ke dalam field baris atau kolom terdalam, atau untuk menggunakandua atau lebih tipe subtotal (seperti Sum dan Average) terhadap field PivotTable terpilih, klik Cus-tom.

L5.2 Wizard untuk lnternet Assistant

Anda dapat menggunakan EXCEL untuk membuka buku kerja di \\'eb lokal atau intranet. Jika Andamemiliki koneksi ke Internet. Anda juga dapat membuka buku kerja di situs-situs Internet seperti ke

server FTP (File Transfer Protocolr dan HTTP {Hipertert Transter Protocol). Anda pun dapatmenggunalian EXCEL untuk membuka l"ile-t'ile Web r ang tersimpan dalam bentuk HTML (HypenextMarkup Languaee ). suatu tbrmat y ang digunakan dalam World Wide Web.

Klik [Tools][Add-inr] dan periksalah daftarnya untuk memastikan bahwa Internet AssistantWizard sudah terin:tal , lihat Gantbar L-5- I ).

Analysis TooFakAnalysis TooPak - VEA

AutoSaveCondrtional Sum WizardFile Conversion Wiaard

Hfu#Eiir::,?$ XI:ffiYYt:',Y11ffi,M

ffi,l, pr:L..... I:I ii:a i iit i:iii; i i;i;:;i:: i:

,Cx, l l,: :l:: : :a li: !ri: 1 : :: :ta : :t:l:.t:

,nfffr8,;.]r rl:I ? :: U: t: :::::t:

Gambar L5-1. lnternet Assistant Wizard diberi tanda cek untuk membuatnya tersedia di dalam kotak dialog Add-ins.

Lookup WizardMicrosoft Access Links Add-lnl*licrosof t Bookshelf IntegrationM5 Query Add-in for rxcl s crmpatib$

Ad*Insard*h:

AS#tElX WEtr

CmvertsFlktffi:Elm*lldfi&i tlrcit*i$a*ii fds.

Lampiran 5: PivotTable Wizard, lnternetAssistant Wizard

I r" Edit uew tnsert rsryf!*S*i Hli:g1sg "HlIDE*Arial

+. "6Gambar L5-2. Tombol lnsert Hyperlink berada di sebelah tombol Web. Toolbar Web nampak di baris bawah.

Pergunakanlah toolbar Web untuk memindahkan file. Anda dapat melompat ke depan atau kebelakang di antara buku kerja dan file lain yang telahAnda kunjungi. kemudian menambahkan sesuatur ang ingin Anda kembalikan ke dalam list "favorites".

Hyperlink merupakan tombol singkat yang menyediakan cara cepat untuk melompat ke bukukerja atau file lain. Arrda dapat melompat ke lile di dalam komputer Anda sendiri, jaringan Anda,Internet maupun World Wide Web. Anda dapat membuat hyperlink dari teks sel atau objek berupagrafik, seperti bentuk bangun atau gambar. Tombol hyperlink berada di bagian atas toolbar setelahtornbol Web. Lihatlah ke Gambar L5-2.

Untuk rnelompat ke buku kerja atau file lain, arahkan pointer mouse ke hyperlink, kemudiankliklah ketika pointer rnouse berubah menjadi sebentuk tangan. Teks untuk hyperlink berwarna birudan bergaris bawah. Pada saat Anda kembali ke buku kerja setelah mengunjungi file lain melalui klikhlperlink, warna hyperlink akan berubah menjadi ungu.

Anda dapat membuat data EXCEL Anda tersedia bagi para pengguna di intranet atau WorldWide Web sehingga setiap orang yang uremiliki web browser dapat melihatnya. Pergunakanlah pro-gram add-in Internet Assistant Wizard untuk mengkonversi data lembar kerja atau diagram-diagrammenjadi halarnan web HTML yang dapat Anda kirimkan ke World Wide Web.

Jika Anda ingin mengumpulkan informasi yang telah dikirin*an oleh para pengguna Web. Andadapat mendesain sebuah formulir dalam EXCEL untuk mengumpulkan data, kemudian menggunakan\\'eb Form Wizard untuk melakukan set up sistem database di server Web.

Bagaimana menambahkan data lembar kerja atau diagram ke halaman Webyang adaPerintah Save As HTMLbiasanya muncul dalam menu File di EXCEL, seperti ditunjukkan di GambarL5-3. Jika perintah Save As HTML tidak tersedia, Anda perlu menginstal program add-in InternetAssistant Wizard. (Lihatlah menu Help atau tekan Tombol Fungsi Fl.)

Pergunakan web browserAnda atau sebuah editor teks, editlah sotrrce code untuk halarlan WebHT\IL Anda. Conroh, di dalam Microsofr INTERNET EXPLORER, Anda dapat mengklikperintah Open di dalam menu File kemudian mengklik Open File untuk membuka file .htm.Kliklah llle tersebut dengan tombol kanan mouse. kemudian klik View Source di menu shortcut-

Di lokasi yang Anda ingin lembar kerja tambahan muncul, sisipkan baris kosong baru, kemudianiEtikkan 1'ang berikut ini di baris baru tersebut:

<l-##Table##->

C :-:,,h. jika Anda memiliki halaman Web yang telah dibuat sebelumnya dengan Microsoti:\CEL Intern.'t.\ssistant. Anda dapat menambahkan baris baru mengikuti baris di file .htm. -- i ll:'u-.;-1i <Tlrble>.

LS.S Program-pr 1e!]rygq 255

itl* Ed*

U New.

t@ 14,fi

ehr:

El 5are

gi*lil ftsert FBIn-l€t Trok Ai*o Utn&

{td+t'J

{rd+0

L(rt+5

**---*-------*-- salt rr lillvll ."5at& lfolksF{te,

Fdg€ sPtup,, "

Prinl*(fi

k prir* p,*ri*t*

&erint,,.freal* &d*Le POF .

Gambar L5-3. Perintah Save As HTML seharusnya nampak di menu File, tepat di bawah perintah Save As

3. Save-lah halaman Web HTML yang telah di-edit ini. Contoh, di dalam Microsoll INTERNET

EXPLORER, Anda dapat mengklik Save As di menu File, kemudian memasukkan nama file

.htm.4. Di EXCEL, klik sebuah sel di dalam data yang Anda ingin tambahkan ke dalam halaman Web.

5. Di menu File, klik Save As HTN,IL.

6. Ikutilah instruksi-instruksi di dalam Intemet Assistant Wizard'

Bagaimana membuat halaman Web dari data lembar kerja atau diagram

Jika perintah Save As HTML tidak muncul di menu File EXCEL. Anda perlu menginstal program

acld-in Intemet Assistant. Untuk infbrmasi lebih lanjut. iihatlah menu Help. Untuk membuat halaman

Web:L klik sebuah sel di dalam data yang ingin Anda konversikan menjadi halaman Web.

2. Di menu File, klik Save As HTML.3. Ikutilah instruksi-instruksi di Internet Assistant.

L5.3 Program-program halaman Web

Ada beberapa program yang dapat memudahkan pembuatan halaman Web. Program yang sangat

populer di antaranya adalah Microsoft FRONTPAGE, Macromedia DREAMWEAVER dan Adobe

GOLIVE. FRONTPAGE tersedia sebagai program yang berdiri sendiri dan disertakan sebagai

komponen di dalam Microsoft OFFICE 2000 dan 2002. Adobe GOLIVE dijalankan di dalam sistem

operasi Apple MACINTOSH. (http://www.adobe.com)Daftar singkat men,eenai referensi untuk desain halaman web dapat ditemukan di:

http://www.macromedia.com/support/dreamweaver/ts/documents/dreamweaver-books.htm

Daftar Pustaka

Buku

E. J. Billo, Excel for Chemi,sts: A Comprehensive Guide (John Wiley & Sons, Inc., New York,1997).

S. C. Bloch, E.tcel per Ingegneri, (Apogeo, Turino, Italia, 2001).

http ://www. apogeonline.com/libri/OO827/scheda

S. C. Bloch, Spreadsheet Analysis for Engineers and Scientists (John Wiley & Sons, Inc., NewYork. 1995).

S. C. Bloch, SSP, The Spreodsheet Signal Processor (Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,

1992t.

S. C. Bloch, Introduction to Classical and Quantum Harmonic Oscillators (John Wiley & Sons,

Inc.. New York, 1997).

D. Diamond dan V. C. A. Hanratty, Spreadsheet Applications in Chetnistry Using Micntsoft Excelr\\'ile1'. New York, 1997).

B. S. Gottfried, Spreaclsheet Tbols .for Engineers (WCB/McGraw-Hill, New York, 1998).

B. \. Liengme, A Guide to Microsoft Excelfor Scientists and Engineers (John Wiley & Sons, Inc.,\elr York. 1997).

\\ J Orri:. E.rcel for Scientists ond Engineem (SYBEX, Alameda, CA, 1996).

-- ! F\\r\\rhe dan W. R. Wasow, Finite-Difference Methods for Partial Dffirential Equalions. -- \\.ler & Sons. Inc., New York, 1960), hal.242-283.

''l -- - : :-.:::::i:l.rn buku-buku untuk beberapa versi EXCEL: http://www.microsoft.com

\

Daftar Pustaka 257

Artikel

Kyle Forniash dan Raymond Wisman, "Simple Internet data collection for physics laboratories,"American Journal of Phvsics 10 (4),458-461 (2002).

K. R. Morison dan P. J. Jordan, "Spreadsheet documentation for students and engineers," Inter-national Journal of Engineering Education 16, No. 6, 509-515 (2000)

S. C. Bloch dan R. Dressler. "Statistical estimation of n using random vectors," American Journalof Physics 67(4).298-303 (1999).

L. N. Long dan H. Weiss "The Velocity Dependence of Aerodynamic Drag: A Primer for Math-ematicians," Americcut tVathematical Monthly, 106, 121 - 133 (February 1999)

T. A. Moore dan D. \'. Schroeder, "A different approach to introducing statistical mechanics,"American Journal o.f Physics 65(l),26-36 (1997).

S. C. Bloch. "Fine-tune sliding-window integrators in a spreadsheet before processing real-worldsignals." Persotnl Enqineerhg and Instrumentation News 10(5), 46-52 (1993).

S. C. Bloch. "Compression of wavelets," American Journal of Physics 6l(9),789-798 (1993).

S. C. Bloch. "Spreadsheet implements scalar ensemble averaging for dramatic yet simple noisereduction." Personal Etteineering and Instrumentation News 9(ll), 45-52 (1992).

S. C. Bloch. "Spreadsheet implements easy, cost effective matched filters," Personal Engineeringand lttstruntenttttiort Ne}ts 9(8). 39-44 (1992).

R. Smith. "Spreadsheets as a mathematical tool," Journal on Excellence in College Teaching, 3,

l3l-l+9 tl99lr.

F. X. Hart. "\'alidating spreadsheet solutions to Laplace's equation," American Journal of Physics57( 1l ). l0l7- 10-3-1 ( 1989).

R. L. Borrn.ran. "Electronic spreadsheets for physics students' use," American Journal of Physics56. 18-t- 18-5 ( 1988 ).

W. H. Lockrear. "Spreadsheets cut finite-difference computing costs," Microwaves & RF,99-108,November (1988).

F. X. Hart, "Soft*are for introductory physics," American Journal of Physics 55, 200-201 (1987).

T. T. Crow, "Solutions to Laplace's equation using spreadsheets on a personal computer," Ameri-can Journal of Plq'sit's 55. 817-823 (1987).

J. M. Crowley, "Electrostatic fieids on PC spreadsheets," J. Electrostnt. 19, 131-149 (1987).

R. Feinberg dan M. Knittel. "Microcomputer spreadsheet programs in the physics laboratory,"American Journal of Physics 53, 631-634 (1985).

Daftar Pustaka

lurs dan J. L. Daiis. IEEE Trans. Edttcation, vol. E-26, 138 (1983).

Fri.rr. ".\ note on the roundoff error in the Numerov algorithm," J. Contputational Phys. 28,l9-S r.

Perangkat Lunak

Add'ln Statistik untuk Excel.\Jd-in buatan NAG adalah fungsi-fungsi Excel, bukan makro, sehingga hasil perhitungan AndaJiperbaharui secara otomatis ketika datanya direvisi. Ada lebih dari 50 algoritma statistik di dalamplket ini. Algoritma-algoritma tersebut diorganisir ke dalam empat buku: statistika dasar. metode-rnetode multivariasi. analisis-analisis deret waktu. serta analisis variansi dan model-model lineartergeneralisir.

http://www.nag.com/http : //www. nag. co. uk/

Numerical Algorithms Group, Inc.1400 Opus Place, Suite 200Downers Grove. Illinois 605 l5-5702

ESIM Monte Carlo Simulation fbr Microsoff Excel 2000File download ini mendukung Excel 97 dan Excel 2000. Tersedia juga dukungan untuk versi-

versi yang lebih lama. Metode Monte Carlo menghasilkan ribuan input acak sembari melacakkisaran dari output yang tidak pasti. Hasilnya ditampilkan secara grafis dengan histogram dandistribusi kumulatif.

Dua bab dari buku Dr. Sam Savage disertakan sebagai panduan tutorial. Tersedia juga file-tlle contoh. File download gratis tersedia di URL:

hnp ://ofliceupdate. microsoft.com/2000/downloadDetail s/esim50.htmSelain itu. kunjungi situs web AnalyCorp untuk mendapatkan lebih banyak infbrmasi dan tile-fileclounload gratis:

http ://www. analycorp.com/

Indeks

Aalarniit sel I

Albcrt Einstein l4laljiibar matriks I 18, 127

iinalisis data 169

arralisis Fourier 63. 173

anali:is korelasi 169

anrli:is statistik dasar 47

anllr:is ToolPak 11, 83,

apliku:i matriks 12zl

Archim.-dc-s 75

Ari.totr'L's lJ I

aritnretika -5-5

AucLrrtin Cauchy, 76

B

BarL'tt S-bidlng nrrring 6lbilangrn .rerk-pllsu 98

bilancan inrajincr 108

billng;rn ku.Lntunt 157

Bodr' -1t)

BukLr kerja l. 60. - I

Burtrrr.r Richter 96

Cchart oLrtput S-i

chart u iziird 16. -l I

cornment r-l

CONVERT 1+. I16

DDarren Aronofskl, 81

dasar-dasar operator 55

data analysis I idata eksperirrren 2l0

r6.l

data pairs 32

de Broglie 155

deretFourier 62. 148

determinan matriks I 19

diagram kolom 42diagram polar 45

diagram radar 31, r15

diagram xy 31

diferensial 70distorsi amplitudo 96

distorsi frekuensi 64distorsi harmonika 64

distribus Gauss 179

distribusi dan momen 99

dynamic data exchange 205

EEdward R. Tufie 50

EcIi in Hubble 167

ENIAC 76

Ernst Rurka l-5-i

Excel l. 11. -l I . 83. 187

exponential \moothing 89. 96

Ftasilitas Trendline 70Fast Fourier Transfbrm 46. 16,5

fiber optik silikon ,10

fill handle .1. 6

flnite element method (FEM) 1,+8

fbrmat data series 38

furn'rat desibel 39

tirngsi analisis Fourier 165

fungsi Bessel 111, 148

fun-ssi Bessel sferis 107

fungsi engineering 27

fungsi engineering EXCEL 115

fungsi hiperbola 66, 148

lungsi kompleks 113

fungsi konversi bilangan I l3fungsi langkah 64fungsi lembar kerja 1 l6fungsi matematika khusus 107

fungsiortogonal 111

fungsi Paste 27

:f,: lndeks

'-:...r pembulatan -1

:-:.::i Sa\ itskl -Gola1 70, 94:rngri sirkular trigonometri 57

iunrri trigonometri 8, 60:ungsi-fun_usi engineering 107

G

Konstantin Tsiolkovskii 49korelasi 166

Kotak dialog 35

kovarian 170

kursor sel 4

LGenius 21 lapisan ozon 205

GeorgeAtwood 124 least-mean-square 64

GottfriedWilhelmvonleibniz 76 lembarkerja 1, 9, 15,216_erafik polar 31 lembar kerja CORREL 169

lembar kerja INDEX 128

H Leonhard Euler 138

Hendrik Bode 39 lintasan baseball 8

Hippocrates 88 logaritma natural 66histogram 173 Lookup Wizard 191

hukum Archimedes 103

hukum kedua Newton 139 Mhukum Newton 124 matematika kompleks I 13

hyperlink 29 matriks invers 120, 125

Measure Serial Add-In l2I MediaPlayer 216ilmu roket 49 menu Chart 26

impor data 187 menu Help 25

indikatorwaktu 218 menulnsert 24,29Informasi sel 5 menu pop-up 13

input range 83 menu Tools 11

integral 76 Merlin 21

integrator 92 mesinAtwood 124

interface Lab Vernier 198 metode elemen hingga 148, 154interval 84 metode Euler 140, l4l

metode numerik 133

J Metode numerik Euler 138

Jacob Amsler 76 metode pemisahan variabel 153

iendela geser 87 metode persegi panjang 78

metode pisau cukur 77

K Metode Runge-Kutta 146

kabel fiber 40 metode trapesium 78

kabel koaksial 40 momen inersia 101.126kaidah l/3 Simpson 80 Monsanto 206kaidah 3/8 Simpson 8l Moving average 83, 96, 116,210kulkulus modern 76 multi-sweep 2ll, 212, 213kerapatan spektrum daya 158 multimeter 202

t lip t-rlm ll6r,r:llf l-illl:i 5-5 Nr,,,:r-.lt,nen Fclurier 63 Neper 40r. ,r.' j,ia.i kompleks l-58 Newton 63.. -..i:iir kllenrbaman l;14r -.i:t-ir :re:'.t.;h;n I -56 Or - -i:rr: .i .{i- . -:6 Office Assistant 21. 35

lndeks 261

Office Binder 16

operasi copy 6operator aritmetika 56

operator komparasi 56

operator referensi 57

operator teks 57

optical character recognition 188

oprik 40ordinary differential equations (ODE) 147

osilator harmonik 157

osiloskop 202

output range 8.1

Ppandu gelombang 10partial differential equations (PDE) 147

Parzen 8JPascal 63

PASCO Science \lbrkshop 193

Paste Special 13

pembangkit bilangan acak 177

pembangkit fungsi 201pemisahan variabel I 5-l

Pemulusan eksponensial l7-iPersamaan diferensial l liPersamaan diferensial biasa 1-17. 154

persamaan diferensial parsial 111.154, 156persamaan Hamilton 13-1

persamaan parametrik 138

persamaan simultan 12.1

Planck 155

plot area 36pointer mouse 3

poiinomial 148

port paralel 207

port serial 206probabilitas amplitudo 158program makro 190

puli bermassa 126

pusat gravitasi 98pusat massa 98

Rradian 8

random number generation 177

reduksi informasi 210reduksi varian 210referensi 55

referensi eksternal 7

referensi lembar kerja 3-D 28

referensi remote 7

referensi sel 7. 83

referensi sirkular 28, 141, 150

regresi 180

respon impuls 87

respon impuls tak berhingga 89

respon impuls terhingga 87

rheometer 206rotasi koordinat 127

rumus 6

rumus aray ll8, 120, 122

Runge-Kutta 147

Rusia 49

S

Samuel Chao Chung Ting 96

Sartor Resartus III 98

Schrcidinger 155

sel Isingle-sweep 2ll, 212, 213sintesis Fourier 63

Sir Isaac Newton 76, 141

skala desibel 39

skala grafik logaritma 39

skala logaritma 39

sottware MEASURE 200SofiwareWedge 205

solver 191

spreadsheet 1

standard errors 85

statistika deskriptif 170

sumbu-y 38

Ttask pane 17

teks 55

tensor 101

Thomas Carlyle 98

tipe kolom bebas 43tipe kolom standar 43

tombol fungsi 15

tombol kanan mouse 13

tombol kiri mouse 13

tombol singkat 15

tombol-tombol fungsi l3Tool Bar Excel 35

transfbrmasi Fourier 62transformasi Legendre 134

transformasi Lorentz 127

transformasi ortogonal 128

lndeks

i....r.lne 96

:-:-rrn kedua 75

IL'nir ersal Serial Bus 208

\vibrasi 143

Visual Basic Editor 193

Visual Basic for Applications

wweighted average 87

WinWedge 205

workbook 4

t81

Belajar excel

Documents

Transcript of Belajar excel