BasisboekWiskunde2HP

BASISBOEK WISKUNDE

Jan van de Craats en Rob Bosch

Tweede editie

ISBN: 978-90-430-1673-5NUR: 123Trefw: wiskunde, wiskundeonderwijs

Dit is een uitgave van Pearson Education Benelux bv,Postbus 75598, 1070 AN AmsterdamWebsite: www.pearsoneducation.nl e-mail: [email protected]

Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de CraatsOmslag: Inkahootz, Amsterdam

Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit vanAmsterdam en de Open Universiteit, dr. R. Bosch is universitair hoofddocentwiskunde aan de Nederlandse Defensie Academie.

Dit boek is gedrukt op een papiersoort die niet met chloorhoudende chemicalien is gebleekt.Hierdoor is de productie van dit boek minder belastend voor het milieu.

Copyright c 2009 Jan van de Craats en Rob Bosch

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in anyform or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording orby any information storage retrieval system, without permission of the publisher.

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, op-geslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vormof op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieen, opnamen, of eni-ge andere manier, zonder voorafgaande toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieen uit deze uitgaven is toegestaan op grond van artikel16BAuteurswet 1912 j het Besluit van 20 juni 1974, St.b. 351, zoals gewijzigd bij Besluitvan 23 augustus 1985, St.b. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoorwettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de Stichting Reprorecht. Voorhet overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers of anderecompilatie- of andere werken (artikel 16 Auteurswet 1912), in welke vorm dan ook,dient men zich tot de uitgever te wenden.

Leeswijzer

Dit is een oefenboek. Elk hoofdstuk begint op de linkerbladzijdemet opgaven.Je kunt er direct mee aan de slag, want de eerste opgaven zijn altijd gemakke-lijk. Geleidelijk worden ze moeilijker. Zodra je een opgave gemaakt hebt, kunje je antwoord achterin controleren.

Op de rechterbladzijden staat, heel beknopt, de theorie die je nodig hebt omde opgaven links te kunnen maken. Je kunt daar naar behoefte gebruik vanmaken. Kom je termen of begrippen tegen die daar niet verklaard worden,dan kun je via het trefwoordenregister dat achterin het boek staat, de plaatsvinden waar die uitleg wel staat.

Belangrijke formules, definities en stellingen zijn op de rechterbladzijden inde kleur blauw gedrukt. De meeste ervan vind je ook weer terug in het for-muleoverzicht op bladzijde ?? en verder.

In dit boek werken we met een decimale punt, en niet met een decimale kom-ma, in overeenstemming met wat thans algemeen gebruikelijk is in de inter-nationale wetenschappelijke en technische literatuur.

Het Griekse alfabet

A alfa B be`ta gamma deltae E epsilon Z ze`ta H e`ta the`ta

I jota K kappa lambda M mu N nu xio O omicronpi pi

P rho sigma T tau upsilon phi X chi psi omega

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

iii

Inhoudsopgave

Voorwoord 1

I Getallen 51 Rekenen met gehele getallen 6

Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen . . . . . . . . . . . . . 7Delen met rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Delers en priemgetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9De ggd en het kgv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Rekenen met breuken 12Rationale getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Optellen en aftrekken van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Vermenigvuldigen en delen van breuken . . . . . . . . . . . . . 17

3 Machten en wortels 18Gehele machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Wortels van gehele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Wortels van breuken in standaardvorm . . . . . . . . . . . . . . 23Hogeremachtswortels in standaardvorm . . . . . . . . . . . . . . 25Gebroken machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II Algebra 294 Rekenen met letters 30

Prioriteitsregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Rekenen met machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Haakjes uitwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Factoren buiten haakjes brengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37De bananenformule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Merkwaardige producten 40Het kwadraat van een som of een verschil . . . . . . . . . . . . . 41Het verschil van twee kwadraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


v

6 Breuken met letters 46Splitsen en onder een noemer brengen . . . . . . . . . . . . . . . 47Breuken vereenvoudigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III Getallenrijen 517 Faculteiten en binomiaalcoefficienten 52

De formules voor (a+ b)3 en (a+ b)4 . . . . . . . . . . . . . . . . 53Binomiaalcoefficienten en de driehoek van Pascal . . . . . . . . 55Het berekenen van binomiaalcoefficienten . . . . . . . . . . . . . 57Het binomium van Newton en de sigma-notatie . . . . . . . . . 59

8 Rijen en limieten 60Rekenkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Meetkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Repeterende decimale getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Speciale limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Limieten van quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Snelle stijgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Wat is precies de limiet van een rij? . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

IV Vergelijkingen 719 Eerstegraadsvergelijkingen 72

Algemene oplossingsregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Een vergelijking reduceren tot een eerstegraadsvergelijking . . . 77

10 Tweedegraadsvergelijkingen 78Tweedegraadsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Kwadraatafsplitsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81De abc-formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11 Stelsels eerstegraadsvergelijkingen 84Twee vergelijkingen met twee onbekenden . . . . . . . . . . . . 85Drie vergelijkingen met drie onbekenden . . . . . . . . . . . . . 87

V Meetkunde 8912 Lijnen in het vlak 90

De vergelijking van een lijn in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . 91De vergelijking van de lijn door twee punten . . . . . . . . . . . 93Het snijpunt van twee lijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

13 Afstanden en hoeken 96Afstand en middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97De normaalvector van een lijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Loodrechte stand van lijnen en vectoren . . . . . . . . . . . . . . 101Het inproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

vi


14 Cirkels 104Cirkelvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105De snijpunten van een cirkel en een lijn . . . . . . . . . . . . . . 107De snijpunten van twee cirkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Raaklijnen aan een cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

15 Meetkunde in de ruimte 112Coordinaten en inproduct in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . 113Vlakken en normaalvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Evenwijdige en elkaar snijdende vlakken . . . . . . . . . . . . . 117De drievlakkenstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Bollen en raakvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

VI Functies 12316 Functies en grafieken 124

Eerstegraadsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Tweedegraadsfuncties en parabolen . . . . . . . . . . . . . . . . 127Snijpunten van grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Gebroken lineaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Machtsfuncties, wortelfuncties en de absolute-waardefunctie . . 133Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

17 Goniometrie 138Hoekmeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139De sinus, de cosinus en de tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . 141De tangens op de raaklijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143De rechthoekige driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Optelformules en dubbele-hoekformules . . . . . . . . . . . . . 145Grafieken van goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . 147De arcsinus, de arccosinus en de arctangens . . . . . . . . . . . . 149De grafieken van de arcsinus, de arccosinus en de arctangens . . 151Een standaardlimiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Driehoeksmeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

18 Exponentiele functies en logaritmen 156Exponentiele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159De functie e x en de natuurlijke logaritme . . . . . . . . . . . . . 161Meer over de natuurlijke logaritmefunctie . . . . . . . . . . . . . 163Standaardlimieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165


vii

19 Geparametriseerde krommen 166Krommen in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Poolcoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Krommen in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Rechte lijnen in parametervorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

VII Calculus 17520 Differentieren 176

Raaklijn en afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Rekenregels en standaardafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . 179Differentieerbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Hogere afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Stijgen, dalen en het teken van de afgeleide . . . . . . . . . . . . 185Extreme waarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Stationaire punten en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Puzzelen met functies en hun afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . 191

21 Differentialen en integralen 192Differentialen definitie en rekenregels . . . . . . . . . . . . . . 193Foutenschattingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Hoe goed is de differentiaal als benadering? . . . . . . . . . . . . 197Een oppervlakteberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Oppervlakte en primitieve functie . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Integralen algemene definitie en rekenregels . . . . . . . . . . 203Primitieven van standaardfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Nogmaals het verband tussen oppervlakte en integraal . . . . . 207Onbepaalde integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209De primitieve functies van f (x) = 1x . . . . . . . . . . . . . . . . 211

22 Integratietechnieken 212De substitutieregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Expliciete substituties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Partieel integreren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Gemengde opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Voorbeelden van partieel integreren . . . . . . . . . . . . . . . . 219Oneigenlijke integralen van type 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Oneigenlijke integralen van type 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Sommen en integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Numerieke integratiemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Is primitiveren in formulevorm altijd mogelijk? . . . . . . . . . . 229

viii


23 Toepassingen 230De raakvector aan een geparametriseerde kromme . . . . . . . . 231De lengte van een kromme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233De inhoud van een omwentelingslichaam . . . . . . . . . . . . . 235De oppervlakte van een omwentelingsoppervlak . . . . . . . . . 237Exponentiele groei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Logistische groei het lijnelementenveld . . . . . . . . . . . . . 241Logistische groei de oplossingsfuncties . . . . . . . . . . . . . 243

VIII Achtergronden 24524 Reele getallen en coordinaten 247

De reele getallenrechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247De accolade-notatie voor verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . 248Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Wiskunde en werkelijkheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Coordinaten in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249De stelling van Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Coordinaten in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

25 Functies, limieten en continuteit 253Functie, domein en bereik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Inverteerbare functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Periodiciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Continuteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

26 Aanvullende afleidingen 261Inproduct en cosinusregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Exponentiele en logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . 261Rekenregels voor afgeleide functies . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Differentialen en de kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Standaardafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264


ix

Dankbetuiging

Veel lezers en gebruikers hebben in 2005 commentaar gegeven op voorlopigeinternetversies van dit boek en daarbij onduidelijkheden en fouten gesigna-leerd. Met nadruk willen we in dit verband Frank Heierman bedanken, die degehele tekst nauwkeurig heeft doorgelezen en tal van nuttige suggesties voorverbeteringen heeft gedaan. Daarnaast zijn we ook Henk Pfaltzgraff, Hans DePrez, Erica Mulder, Rinse Poortinga, Jaap de Jonge, Jantine Bloemhof, Wou-ter Berkelmans en Pia Pfluger erkentelijk voor hun commentaar. Chris Zaal,Andre Heck en Wybo Dekker hebben ons met raad en daad bijgestaan. RosaGarcia Lopez en Eveline Korving van Pearson Education Benelux danken wevoor de plezierige en stimulerende samenwerking.

Sinds enige jaren is Marc Appels onze uitgever bij Pearson. Het is een grootgenoegen met hem samen te werken. Ook de verdere contacten met directieenmedewerkers van Pearson verlopen altijd buitengewoon plezierig, efficienten professioneel. Namen noemen brengt het risico met zich mee dat we stillewerkers vergeten. Daarom bij deze een collectief dankwoord voor allemaal!

De auteurs

x


Voorwoord

Dit boek bevat alle basiswiskunde die nodig is als ingangsniveau voor eenuniversitaire of hogeschoolstudie op het gebied van de be`tavakken, informa-tica, economie en verwante studierichtingen. Voor be`tastudies zijn alle behan-delde onderwerpen van belang, voor informatica en economische richtingenkunnen sommige stukken uit de hoofdstukken 17 (goniometrie), 22 (integra-tietechnieken) en 23 (toepassingen) terzijde gelatenworden. Met basiswiskun-de bedoelen we algebra, getallenrijen, vergelijkingen, meetkunde, functies encalculus (dat wil zeggen differentiaal- en integraalrekening). Kansrekeningen statistiek aparte wiskundevakken met een eigen invalshoek behande-len we niet.

In de hier gekozen didactische opzet staat oefenen centraal. Net als bijiedere vaardigheid, of het nu om voetballen, pianospelen of het leren van eenvreemde taal gaat, is er ook maar een manier om wiskunde onder de knie tekrijgen: veel oefenen. Bij voetballen moet je trainen, bij pianospelen studerenen bij het leren van een vreemde taal woordjes leren. Zonder basistechniekkom je nergens; bij wiskunde is het niet anders.

Waarom wiskunde leren? Natuurlijk gaat het de meeste gebruikers uit-eindelijk om toepassingen in hun vak. Maar daarbij kun je wiskunde als taalen als instrument niet missen. Wie bijvoorbeeld een studieboek op het gebiedvan de exacte vakken openslaat, ziet vaak een stortvloed aan formules. For-mules die wetmatigheden in het vak uitdrukken die met behulp van wiskun-dige technieken afgeleid zijn. Via wiskundige bewerkingen worden ze metandere formules gecombineerd omweer nieuwe wetmatigheden op het spoorte komen. Die manipulaties omvatten gewone algebrasche omvormingen,maar ook het toepassen van logaritmen, exponentiele functies, goniometrie,differentieren, integreren en nog veel meer. Dat zijn wiskundige techniekendie de gebruiker moet leren hanteren. Het invullen van getalswaarden in for-mules om in een concreet geval een numeriek eindresultaat te verkrijgen, isdaarbij slechts bijzaak; waar het om gaat, zijn de ideeen die erachter zitten, dewegen naar nieuwe formules en de nieuwe inzichten die je daardoor verwerft.

Het hoofddoel van wiskundeonderwijs dat voorbereidt op het hoger on-derwijs moet dan ook het aanleren van die universele wiskundige vaardig-heden zijn. Universeel, omdat dezelfde wiskundige technieken in de meestuiteenlopende vakgebieden toegepast worden. Formulevaardigheid verwer-


1

Voorwoord

ven, daar draait het vooral om. En vaardigheid in het omgaan met functies enhun grafieken. Gecijferdheid, het handig kunnen rekenen en het vlot kunnenwerken met getallen, is bij dit alles slechts een klein onderdeel. De rol van eenrekenmachine (al dan niet grafisch) is in dit boek dan ook uitermate beschei-den; we zullen er nauwelijks gebruik van maken. Waar zon apparaat bij hetmaken van de opgaven noodzakelijk is, hebben we dat expliciet aangegeven.

Voor wie is dit boek bedoeld?Om te beginnen voor alle scholieren en studenten die zich bij wiskunde onze-ker voelen omdat er gaten in hun basiskennis zitten. Zij kunnen hun wiskun-dige vaardigheden hiermee bijspijkeren. Maar het kan ook gebruikt wordenals leerboek of als cursusboek. Door de doordachte, stapsgewijze opbouw vande stof met korte toelichtingen is het geschikt voor zelfstudie. Toch zal het al-tijd moeilijk blijven een vak als wiskunde helemaal door zelfstudie te leren:de waarde van een goede leraar als gids door de lastige materie kan moeilijkoverschat worden.

Hoe zit dit boek in elkaar?Alle hoofdstukken (op de laatste drie na) zijn op dezelfde manier opgebouwd:op de linkerbladzijden opgaven, op de rechterbladzijden de bijbehorende uit-leg. De gebruiker wordt uitdrukkelijk uitgenodigd om eerst aan de opgavenlinks te beginnen. Wie vastloopt, onbekende begrippen of notaties tegenkomtof bepaalde details niet helemaal goed meer weet, raadpleegt de tekst rechtsen indien nodig het trefwoordenregister. De opgaven zijn zorgvuldig uitgeko-zen: eenvoudig beginnen met veel soortgelijke sommen om de vaardighedengoed te oefenen. Met heel kleine stapjes wordt de moeilijkheid geleidelijk op-gevoerd. Wie alle opgaven van een hoofdstuk gemaakt heeft, kan er zeker vanzijn dat hij of zij de stof begrijpt en beheerst.

Bij onze uitleg gaan we niet op alle wiskundige finesses in. Wie meer overde wiskundige achtergronden wil weten, vindt achterin drie hoofdstukkenzonder opgaven met verdere verklaringen. Ze staan niet voor niets achterin:alleen wie al behoorlijk wiskundig bedreven is, zal ze kunnen waarderen. Ende lezer die er niet aan toe komt, heeft geen probleem: wat voor de toepas-singen nodig is, staat in de eerdere hoofdstukken. Een formuleoverzicht, eentrefwoordenregister en een volledige antwoordenlijst completeren het boek.

Bij de tweede editieWanneer een boek binnen vier jaar acht drukken bereikt, kun je gerust van eensucces spreken. Dat stemt tot dankbaarheid. Van heel wat gebruikers hebbenwe positieve reacties ontvangen, somsmet suggesties voor verbeteringen. Ge-signaleerde fouten in de antwoordenlijst konden we telkens al in de volgendedruk corrigeren. De eerste auteur houdt een erratalijst bij op zijn homepage(gemakkelijk te vinden via Google). Daarnaast konden we tussentijds enigekleine verbeteringen in de tekst doorvoeren. Zo ontstond een steeds beterproduct.

2


Maar volmaakt was het niet: gebruikers meldden ons dat we sommige onder-werpen te summier behandeld hadden en dat er in enkele gevallen ook be-hoefte was aan meer opgaven op elementair niveau. Een apart probleem washet gebrek aan rekenvaardigheid onder studenten: de vrucht van falend re-kenonderwijs op de basisschool. Om dit te repareren, hebben we het Basisboekrekenen geschreven. Wie al in de eerste hoofdstukken van Basisboek wiskundevastloopt op rekenproblemen, zou dat boek eerst door moeten werken, liefstvan a tot z.

Met deze tweede editie van Basisboek wiskunde zijn we in de gelegenheidenige meer ingrijpende wijzigingen en uitbreidingen aan te brengen. Aan deopzet en de structuur van onze succesformule veranderenwe echter niets: hel-dere opbouw, opgaven links, uitleg en theorie rechts. Er zijn ook geen nieuweonderwerpen toegevoegd; de hoofdstukindeling is ongewijzigd gebleven.

De belangrijkste wijzigingenDe belangrijkste veranderingen zijn de volgende. De algebra-hoofdstukken 4en 5 zijn beter gestructureerd. Hoofdstuk 8 (rijen en limieten) is uitgebreid. Inde meetkunde-hoofdstukken 12 tot en met 15 zijn tekstverbeteringen aange-bracht en enige minder geslaagde opgaven verwijderd.

In hoofdstuk 16 is in verband met de factorstelling een eenvoudig gevalvan de staartdeling voor polynomen toegevoegd, samen met een aantal nieu-we opgaven. Substantiele uitbreidingen zijn er in de hoofdstukken 17 (gonio-metrie) en 18 (exponentiele functies en logaritmen). Deze hoofdstukken zijndeels herschreven om beter aan te sluiten op de voorkennis van scholieren inhet voortgezet onderwijs. Ook de calculus-hoofdstukken 20, 21 en 22 hebbenwe nog een keer onder handen genomen. Daarbij is tevens de opgavencollec-tie aangevuld.

Niet alle suggesties voor wijzigingen en verbeteringen die we de afgelo-pen jaren ontvingen, hebben we overgenomen. Wel hebben we ze allemaalzeer serieus in overweging genomen. Maar in een klein aantal gevallen had-den we andere ideeen over wat belangrijk is voor onze doelgroep en hoe jebepaalde stukken wiskunde voor hen zou moeten presenteren.

De vraag van enige gebruikers om ook aandacht te schenken aan on-derwerpen als matrixrekening en complexe getallen, hebben we niet geho-noreerd. Daaraan wordt tegemoetgekomen in het Vervolgboek wiskunde van deeerste auteur dat eveneens in 2009 bij Pearson is verschenen.

Veel dank!Zonder anderen tekort te willen doen, willen we in de eerste plaats Lia vanAsselt, Henri Ruizenaar, Frank Arnouts, Doortje Goldbach, Abdelhak El Ja-zouli, Robbert van Aalst en Rene van Hassel bedanken. Hun commentaarheeft tot substantiele verbeteringen geleid. Ook de opmerkingen van Jan Es-sers, Jan Los, Wim Caspers, Adri van den Boom, C.E. van Wijk, G.J.J. Baas,Erik Beijeman, Hermien Beverdam, A. Dolfing, en Marjan van der Vegt heb-


3

Voorwoord

ben we zeer op prijs gesteld. Daarnaast zijn we de gebruikers die fouten inde antwoordenlijst hebben gesignaleerd, zeer erkentelijk: Nabi Abudaldah,ing. A.S. Tigelaar, N.J. Schoonderbeek, Evert van de Vrie, Mathijs Schuts, NielDogger, Paul Bles, J. Bon, Max van den Aker, Evelien de Greef, Bas Bemel-mans, Kevin de Berk, Veditam Bishoen, Loek Spitz en Robert van Eekhout.Een antwoordenlijst zonder fouten is ons doel; alle bijdragen die dat ideaaldichterbij brengen, zijn welkom!

We hopen dat ook de tweede editie van Basisboek wiskunde voor studenten enscholieren een betrouwbare gids in de wiskunde zal zijn.

Oosterhout en Breda, maart 2009,Jan van de Craats en Rob Bosch

4


I Getallen

2 e pi 227 85 311 94

3 2 1 0 1 2 3

Dit deel gaat over het rekenen met getallen. Ze komen in aller-lei soorten voor: positieve getallen, negatieve getallen, gehelegetallen, rationale en irrationale getallen. De getallen

2, pi

en e zijn voorbeelden van irrationale getallen. In de hogerewiskunde wordt ook met imaginaire en complexe getallen ge-werkt, maar in dit boek zullen we ons beperken tot de reele ge-tallen, dat wil zeggen de getallen die je meetkundig voor kuntstellen als punten op een getallenlijn.

In de eerste twee hoofdstukken worden de rekenvaardighe-den van de basisschool (optellen, aftrekken, vermenigvuldi-gen en delen van gehele getallen en breuken) in kort bestekopgehaald. Wie hier moeite mee heeft, doet er verstandig aanom eerst ons Basisboek rekenen (Pearson Education, 2007) doorte werken.

1 Rekenen met gehele getallenVoer de volgende berekeningen uit:

1.1a. 873

11217181573461

+

b. 1578955372182124139

+

1.2a. 9134

4319

b. 45853287

c. 70331398

1.3 Bereken:a. 34 89b. 67 46c. 61 93d. 55 11e. 78 38

1.4 Bereken:a. 354 83b. 67 546c. 461 79d. 655 102e. 178 398

Bereken het quotient en de rest met behulp van een staartdeling:

1.5a. 154 : 13b. 435 : 27c. 631 : 23d. 467 : 17e. 780 : 37

1.6a. 2334 : 53b. 6463 : 101c. 7682 : 59d. 6178 : 451e. 5811 : 67

1.7a. 15457 : 11b. 4534 : 97c. 63321 : 23d. 56467 : 179e. 78620 : 307

1.8a. 42334 : 41b. 13467 : 101c. 35641 : 99d. 16155 : 215e. 92183 : 83

6


1 Rekenen met gehele getallen

Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen

De rij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . .is de rij van de positieve gehele getallen.Met deze rij leert ieder kind tellen. Op-tellen, aftrekken en vermenigvuldigenvan zulke getallen zonder rekenmachi-ne leer je op de basisschool. Hiernaaststaan voorbeelden.

34129571812

1431+

2797

81353297 4838

431728 3448862

3017

313768

Delen met rest

Delen zonder rekenmachine gaat meteen staartdeling. Hiernaast zie je destaartdeling voor 83218 : 37, dat wilzeggen 83218 gedeeld door 37. Hetquotient 2249 vind je rechtsboven, en derest 5 onderaan de staart. De staartde-ling leert dat

83218 = 2249 37+ 5

We kunnen dit ook schrijven als

8321837

= 2249+537

Het rechterlid wordt meestal vereen-voudigd tot 2249 537 , zodat we krijgen

8321837

= 2249537

37/

83218

224974 92 quotient74

181148

338333

5 rest


7

I Getallen

Ontbind de volgende getallen in priemfactoren:

1.9a. 24b. 72c. 250d. 96e. 98

1.10a. 288b. 1024c. 315d. 396e. 1875

1.11a. 972b. 676c. 2025d. 1122e. 860

1.12a. 255b. 441c. 722d. 432e. 985

1.13a. 2000b. 2001c. 2002d. 2003e. 2004

1.14a. je geboortejaarb. je postcodec. je pincode

Bepaal alle delers van de volgende getallen. Werk nauwkeurig en systema-tisch, want als je niet goed oplet, mis je er snel een paar. Het is handig omeerst de priemontbinding van zon getal op te schrijven.

1.15a. 12b. 20c. 32d. 108e. 144

1.16a. 72b. 100c. 1001d. 561e. 196

8



Delers en priemgetallen

Soms gaat een deling op, dat wil zeggen dat de rest nul is. Zo is bijvoorbeeld238 : 17 = 14. Dan geldt dus 238 = 14 17. De getallen 14 en 17 heten delersvan 238 en de schrijfwijze 238 = 14 17 heet een ontbinding in factoren van238. De woorden deler en factor zijn in dit verband synoniemen.

Van de beide delers is 14 zelf ook weer te ontbinden, namelijk als 14 = 2 7,maar verder kan de ontbinding van 238 niet worden voortgezet, want 2, 7en 17 zijn alle drie priemgetallen, dat wil zeggen getallen die niet in kleinerefactoren zijn te ontbinden. Daarmee is de ontbinding in priemfactoren van 238gevonden: 238 = 2 7 17.Omdat 238 = 1 238 ook een ontbinding van 238 is, zijn 1 en 238 ook delersvan 238. Elk getal heeft 1 en zichzelf als deler. De interessante, echte delers zijnechter de delers die groter dan 1 zijn en kleiner dan het getal zelf. De priem-getallen zijn de getallen die groter dan 1 zijn en geen echte delers hebben. Derij van alle priemgetallen begint als volgt:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, . . .

Elk geheel getal dat groter dan 1 is,kan ontbonden worden in priem-factoren. Hiernaast staat in voor-beelden gellustreerd hoe je zonpriemontbinding vindt door syste-matisch naar steeds grotere priem-delers te zoeken. Telkens als je ereen vindt, deel je die uit, en ga jemet het quotient verder.

1802

902

453

153

55

1

5853

1953

655

1313

1

30033

10017

14311

1313

1

Je bent klaar als je op 1 bent uitgekomen. De priemfactoren staan rechts. Uitde drie ladderdiagrammen lezen we de priemontbindingen af:

180 = 2 2 3 3 5 = 22 32 5585 = 3 3 5 13 = 32 5 133003 = 3 7 11 13

Je ziet dat het handig is om priemfactoren die vaker dan een keer voorkomen,samen te nemen als een macht: 22 = 2 2 en 32 = 3 3. Nog meer voorbeel-den (maak zelf de ladderdiagrammen):

120 = 2 2 2 3 5 = 23 3 581 = 3 3 3 3 = 3448 = 2 2 2 2 3 = 24 3


9

I Getallen

Bepaal de grootste gemene deler (ggd) van:

1.17a. 12 en 30b. 24 en 84c. 27 en 45d. 32 en 56e. 34 en 85




Bepaal het kleinste gemene veelvoud (kgv) van:





Bepaal de ggd en het kgv van:

1.25a. 9, 12 en 30b. 24, 30 en 36c. 10, 15 en 35d. 18, 27 en 63e. 21, 24 en 27

1.26a. 28, 35 en 49b. 64, 80 en 112c. 39, 52 en 130d. 144, 168 en 252e. 189, 252 en 315

10



De ggd en het kgv

Twee getallen kunnen delers gemeen hebben. De grootste gemene deler (ggd)is, zoals de naam al zegt, hun grootste gemeenschappelijke deler. Wanneer deontbinding in priemfactoren van beide getallen bekend is, kan de ggd hieruitdirect worden afgelezen. Zo hebben we op bladzijde 9 de volgende priemont-bindingen gevonden:

180 = 22 32 5585 = 32 5 133003 = 3 7 11 13

Hieruit zien we dat

ggd(180, 585) = ggd(22 32 5 , 32 5 13) = 32 5 = 45ggd(180, 3003) = ggd(22 32 5 , 3 7 11 13) = 3ggd(585, 3003) = ggd(32 5 13 , 3 7 11 13) = 3 13 = 39

Het kleinste gemene veelvoud (kgv) van twee getallen is het kleinste getal datzowel een veelvoud van het ene getal, als van het andere getal is. Met anderewoorden, het is het kleinste getal dat door allebei die getallen deelbaar is. Ookhet kgv kan uit de priemontbindingen worden afgelezen. Zo is

kgv(180, 585) = kgv(22 32 5 , 32 5 13) = 22 32 5 13 = 2340Een handige eigenschap van de ggd en het kgv van twee getallen is dat hunproduct gelijk is aan het product van de beide getallen. Zo is

ggd(180, 585) kgv(180, 585) = 45 2340 = 105300 = 180 585

Ook vanmeer dan twee getallen kun je de ggd en het kgv direct uit hun priem-ontbindingen aflezen. Zo is

ggd(180, 585, 3003) = 3

kgv(180, 585, 3003) = 22 32 5 7 11 13 = 180180

Een slim ideeEr is een methode om de ggd van twee getallen te bepalen waarbij priemontbindingenniet nodig zijn, en die vaak veel sneller werkt. Het basisidee is dat de ggd van tweegetallen ook een deler moet zijn van het verschil van die twee getallen. Zie je ookwaarom dit zo is?Zo moet ggd(4352, 4342) ook een deler zijn van 4352 4342 = 10. Het getal 10 heeftalleen maar de priemdelers 2 en 5. Het is duidelijk dat 5 geen deler is van de beidegetallen, maar 2 wel, en dus geldt ggd(4352, 4342) = 2. Wie slim is kan zich door ditidee te gebruiken veel rekenwerk besparen!


11

2 Rekenen met breuken2.1 Vereenvoudig:

a.1520

b.1845

c.2149

d.2781

e.2496

2.2 Vereenvoudig:

a.60144

b.144216

c.135243

d.8641024

e.168288

2.3 Maak gelijknamig:

a.13en

14

b.25en

37

c.49en

25

d.711

en34

e.213

en512


a.16en

19

b.310

en215

c.38en

56

d.59en

712

e.320

en18


a.13,14en

15

b.23,35en

27

c.14,16en

19

d.210

,115

en56

e.512

,718

en38


a.227

,536

en524

b.715

,320

en56

c.421

,314

en730

d.463

,542

en156

e.578

,539

en365

Bepaal telkens welke van de volgende twee breuken de grootste is door zeeerst gelijknamig te maken.

2.7

a.518

en619

b.715

en512

c.920

en1118

d.1136

en932

e.2063

en2572

2.8

a.47en

23

b.1485

en751

c.2663

en3984

d.3190

en2372

e.3780

en2960

12


2 Rekenen met breuken

Rationale getallen

De rij . . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . . is de rij van alle gehele getallen. Een meet-kundig beeld ervan geeft de getallenlijn die hieronder is getekend.

3 2 1 0 1 2 3

Ook de rationale getallen, dat wil zeggen de getallen die als een breuk geschre-ven kunnen worden, liggen op de getallenlijn. Hieronder zijn enige rationalegetallen op die lijn aangegeven.

227 85 311 28953

3 2 1 0 1 2 3

In een breuk staan twee gehele getallen, de teller en de noemer, gescheidendoor een horizontale of een schuine breukstreep. Zo is 28 de teller en 6 denoemer van de breuk 286 . De noemer van een breuk mag niet nul zijn. Een ra-tionaal getal is een getal dat je als breuk kunt schrijven, maar die schrijfwijzeligt niet ondubbelzinnig vast: als je teller en noemer met hetzelfde gehele ge-tal (ongelijk aan nul) vermenigvuldigt of door een gemeenschappelijke delerdeelt, verandert de waarde ervan niet. Zo is

286

=143

=143 =

7015

Breuken als 53 en227 schrijven we meestal als 53 , respectievelijk 227 . Ook

gehele getallen kun je als breuk schrijven, bijvoorbeeld 7 = 71 , 3 = 31 en0 = 01 . De gehele getallen behoren dus ook tot de rationale getallen.

Delen van teller en noemer door dezelfde factor (groter dan 1) heet vereenvou-digen. Zo kun je 286 vereenvoudigen tot

143 door teller en noemer door 2 te

delen. Een breuk is onvereenvoudigbaar als de grootste gemene deler (ggd) vanteller en noemer 1 is. Zo is 143 een onvereenvoudigbare breuk, maar

286 niet.

Je kunt van elke breuk een onvereenvoudigbare breuk maken door teller ennoemer te delen door hun ggd.

Breuken heten gelijknamig als ze dezelfde noemer hebben. Twee breuken kunje altijd gelijknamig maken. Voorbeeld: 415 en

521 zijn niet gelijknamig. Je kunt

ze gelijknamig maken door ze allebei als noemer 15 21 = 315 te geven:415 =

84315 en

521 =

75315 . Maar als je als gemeenschappelijke noemer het kgv van

de oorspronkelijke noemers kiest, in dit geval dus kgv(15, 21) = 105, krijg jede eenvoudigste gelijknamige breuken, namelijk 28105 en

25105 .


13

I Getallen

Bereken:

2.9

a.13+

14

b.15 1

6

c.17+

19

d.19 1

11

e.12+

115

2.10

a.23+

34

b.35 4

7

c.27+

34

d.49 3

8

e.511

+415

2.11

a.16+

14

b.19 2

15

c.38+

112

d.13+

56

e.415 3

10

2.12

a.245

+121

b.527 1

36

c.572

+760

d.334

+185

e.730

+8105

2.13

a.13+

14+

15

b.12 1

3+

17

c.14 1

5+

19

d.12 1

7 1

3

e.18+

13 1

5

2.14

a.12+

14+

18

b.13+

16+

14

c.112

+18 1

2

d.19 1

12+

118

e.110 1

15+

16

2.15

a.12 1

4+

18

b.13+

16 1

4

c.112 1

8 1

2

d.19 1

12 1

18

e.110

+115

+16

2.16

a.13 1

9+

127

b.12+

110 2

15

c.118 7

30 3

20

d.314 1

21+

56

e.25 3

10+

415

2.17

a.25 1

7 1

10

b.32+

23 5

6

c.821 2

7+

34

d.211 5

13+

12

e.417 3

10+

25

14



Optellen en aftrekken van breuken

Optellen van twee gelijknamige breuken is eenvoudig: de noemer blijft het-zelfde en de tellers worden bij elkaar opgeteld. Hetzelfde geldt voor het af-trekken van gelijknamige breuken. Voorbeelden:

513

+1213

=1713

en513 12

13=713

= 713

Zijn de breuken niet gelijknamig, dan moet je ze eerst gelijknamig maken.Het is weer het zuinigst om als gemeenschappelijke noemer het kgv van deafzonderlijke noemers te kiezen. Voorbeelden:

25+

83

=615

+4015

=4615

712

+415

= 3560

+1660

= 1960

137 18

5= 65

35 126

35= 191

35

Ook wanneer je meer dan twee breuken moet optellen of aftrekken, is hethandig om ze eerst allemaal gelijknamig te maken. Het zuinigste is het om alsnoemer het kgv van de oorspronkelijke noemers te kiezen. Voorbeeld:

23+

310 2

15=

2030

+930 4

30=

2530

=56

Je ziet dat je je antwoord soms nog kunt vereenvoudigen.

Breuken en rationale getallenEen breuk is een schrijfwijze van een rationaal getal. Door teller en noemer met dezelfdefactor te vermenigvuldigen, verander je wel de breuk, maar niet het rationale getal daterdoor wordt voorgesteld. Je kunt ook zeggen dat de waarde van de breuk niet verandertals je teller en noemer met dezelfde factor vermenigvuldigt. De breuken 52 ,

156 en

5020

hebben allemaal dezelfde waarde, en op de getallenlijn hebben ze ook allemaal dezelfdeplaats, namelijk halverwege 2 en 3.In de praktijk is men overigens meestal niet zo precies: vaak wordt breuk gebruikt opplaatsen waar je strikt genomen waarde van de breuk zou moeten zeggen. We doendat trouwens ook wanneer we schrijven 52 =

156 of wanneer we zeggen dat

52 gelijk is

aan 156 .


15

I Getallen

Bereken:

2.18

a.23 5

7

b.49 2

5

c.213 5

7

d.913 7

2

e.130 13

10

2.19

a.23 9

2

b.89 3

4

c.1415 10

7

d.2512 18

35

e.3621 28

27

2.20

a.6340 16

27

b.4925 30

21

c.9926 39

44

d.5136 45

34

e.4657 38

69

2.21

a.23 6

5 15

4

b.635 15

4 14

9

c.2633 22

9 15

39

d.1849 35

12 4

21

e.2415 4

27 45

16

2.22

a.23:57

b.13:12

c. 6 :15

d.65:109

e.45:57

2.23

a.23:49

b.710

:2115

c. 10 :53

d.1225

:1835

e.2449

:3649

2.24

a.

2334

b.

65910

c.

127914

2.25

a.

12+

13

14+

16

b.

59+

310

34 8

9

c.

43 3

423+

32

2.26

a.

27+

56

15+

34

b.

16 5

327 2

5

c.

35 11

1267+

311

16



Vermenigvuldigen en delen van breuken

Het product van twee breuken is de breuk die als teller het product van detellers, en als noemer het product van de noemers heeft. Voorbeelden:

513 12

7=

5 1213 7 =

6091

en87 5

11=

8 (5)7 11 =

4077

Voor delen van breuken geldt: delen door een breuk is vermenigvuldigen met deomgekeerde breuk. De omgekeerde breuk krijg je door teller en noemer te ver-wisselen. Voorbeelden:

513

:127

=513 7

12=

35156

en87

:511

=87 115 =

8835

Soms gebruikt men ook een andere notatie voor het delen van breuken, name-lijk met de horizontale breukstreep. Voorbeeld:

513127

in plaats van513

:127

Er staat dan dus een breuk met een breuk in de teller en een breuk in denoemer.

Andere notaties voor breukenIn plaats van een horizontale scheidingsstreep tussen teller en noemer wordt soms ookeen schuine streep gebruikt: 1/2 in plaats van 12 . Soms is het ook om typografischeredenen handiger om de schuine-streepnotatie te gebruiken. De notaties worden ook welsamen gebruikt, vaak ook weer om de typografie overzichtelijker te maken, bijvoorbeeld

5/1312/7

of513

/ 127

In sommige situaties kan het voordelen hebben om breuken in een gemengde notatie teschrijven, dat wil zeggen dat men het gehele deel ervan apart zet, bijvoorbeeld 2 12 inplaats van 52 . Bij vermenigvuldigen en delen is die notatie echter niet handig, vandaardat we er in dit boek haast nooit gebruik van zullen maken.


17

3 Machten en wortelsSchrijf alle volgende uitdrukkingen als een geheel getal of als een onvereen-voudigbare breuk:

3.1a. 23

b. 32

c. 45

d. 54

e. 28

3.2a. (2)3b. (3)2c. (4)5d. (5)4e. (2)6

3.3a. 23

b. 42

c. 34

d. 71

e. 27

3.4a. 20

b. 91

c. 112

d. 93

e. 104

3.5a. (4)3b. 35

c. (3)3d. 24

e. (2)4

3.6a. (2)0b. 02

c. 121

d. (7)2e. (2)7

3.7a. ( 23 )

2

b. ( 12 )4

c. ( 45 )3

d. ( 27 )2

3.8a. ( 23 )

2

b. ( 12 )3

c. ( 79 )1

d. ( 32 )4

3.9a. ( 43 )

2

b. ( 12 )4

c. ( 45 )1

d. ( 23 )5

3.10a. ( 14 )

1

b. ( 65 )0

c. ( 43 )3

d. ( 52 )4

3.11a. ( 67 )

2

b. ( 87 )0

c. ( 67 )2

d. ( 27 )3

3.12a. ( 49 )

3

b. ( 53 )3

c. ( 511 )2

d. ( 36 )5

18


3 Machten en wortels

Gehele machten

Voor ieder getal a ongelijk aan 0 en elk positief geheel getal k is

ak =k maal

a a aa0 = 1

ak =1ak

Hiermee is an voor ieder geheel getal n gedefinieerd. Het getal a heet hetgrondtal en n heet de exponent. Voorbeelden:

74 = 7 7 7 7 = 2401(13

)0= 1(

38

)1=

138

=83

103 =1103

=1

1000

Eigenschappen:

an am = an+man : am = anm

(an)m = anm

(a b)n = an bn( ab

)n=

an

bn

Een bijzondere plaats neemt het grondtal 0 in. We hebben hierboven a ongelijkaan 0 genomen om te voorkomen dat er bij een negatieve gehele exponent nin de macht an een breuk met nul in de noemer verschijnt.

Voor positieve gehele n definieert men echter gewoon 0n = 0, en verder ishet in de wiskunde ook gebruikelijk om 00 = 1 te definieren. Dat laatste iseenvoudig een afspraak die maakt dat bepaalde veel voorkomende formulesook voor 0 geldig blijven. Een voorbeeld is de formule a0 = 1, die nu dus vooralle a, ook voor a = 0, geldt. Het blijft echter een afspraak; zoek hier verderniets diepzinnigs achter!


19

I Getallen

Schrijf alle volgende uitdrukkingen in standaardvorm, dat wil zeggen in devorm a

bwaarin a een geheel getal en

b een onvereenvoudigbare wortel is.

3.13a.36

b.81

c.121

d.64

e.169

3.14a.225

b.16

c.196

d.256

e.441

3.15a.8

b.12

c.18

d.24

e.50

3.16a.72

b.32

c.20

d.98

e.40

3.17a.54

b.99

c.80

d.96

e.200

3.18a.147

b.242

c.125

d.216

e.288

3.19a.675

b.405

c.512

d.338

e.588

3.20a.1331

b.972

c.2025

d.722

e.676

3.21a.63

b.1015

c. 214321

d. 422 533e. 3

30 242

3.22a.53

b. 27c.352

d. 214 36

e. 3526 410

3.23a. 3

6 215 410

b. 55 1010 22c. 2

2114310

d.15 23335

e. 330 1214221

20


3 Machten en wortels

Wortels van gehele getallen

De wortel van een getal a 0 is het getal w waarvoor geldt dat w 0 enw2 = a is. Notatie: w =

a.

Voorbeeld:25 = 5 want 52 = 25. Merk op dat ook (5)2 = 25, dus ook

5 zou men misschien een wortel van 25 willen noemen. Zoals in de defi-nitie staat, wordt onder

a echter uitsluitend het niet-negatieve getal verstaan

waarvan het kwadraat gelijk is aan a, dus25 = +5.

Het getal20 is geen geheel getal want 42 = 16 < 20 en 52 = 25 > 20 dus

4 1 definieren we

amn = n

am

In het bijzonder is (neem m = 1)

a1n = na

dusa12 =a, a

13 = 3a, a

14 = 4a enzovoort.

Evenzo is (neem m = 1)

a12 =

a1 =

1a=

1a, a

13 =

3

a1 = 3

1a=

13a

enzovoort.

Verdere voorbeelden:

732 =

73 = 7

7, 5

27 =

1725 en 2

53 =

325 = 2 3

4

Het laatste voorbeeld kun je ook als volgt vinden via 53 = 123 = 1+

23 .

253 = 21+

23 = 21 2 23 = 2 3

22 = 2 3

4

Rekenregels voor machten:

ar as = ar+sar : as = ars(ar)s = ars

(a b)r = ar br( ab

)r=

ar

br

Deze rekenregels zijn geldig voor alle rationale getallen r en s en alle positievegetallen a en b.


27

II Algebra

(a+ b)(c+ d) = ac+ ad+ bc+ bd

De algebra is de kunst van het rekenen met letters. Die let-ters stellen meestal getallen voor. In de eerste twee hoofd-stukken van dit deel behandelen we de grondprincipes vande algebra: prioriteitsregels, haakjes uitwerken, termen buitenhaakjes brengen, de bananenformule en de merkwaardige produc-ten. Het laatste hoofdstuk gaat over het rekenen met breukenwaarin letters voorkomen, met name over het vereenvoudi-gen, het onder een noemer brengen en het splitsen van zulkebreuken.

4 Rekenen met lettersBij de volgende opgaven gaat het er om de gegeven waarden in te vullen (tesubstitueren) in de gegeven algebrasche uitdrukking en het resultaat te bere-kenen. Voorbeeld: als je a = 5 substitueert in de uitdrukking 3a3 2a+ 4 krijgje 3 53 2 5+ 4 = 375 10+ 4 = 369.

4.1 Substitueer a = 3 ina. 2a2

b. a2 + ac. 4a3 2ad. 3a3 3a2e. a(2a 3)

4.2 Substitueer a = 2 ina. 3a2

b. a3 + ac. 3(a2 2a)d. 2a2 + ae. 2a(a+ 3)

4.3 Substitueer a = 4 ina. 3a2 2ab. a3 + 2a2c. 2(a2 2a)d. (2a 4)(a+ 2)e. (3a 4)2

4.4 Substitueer a = 3 ina. a2 + 2ab. a3 2a2c. 3(a2 2a)d. (2a 1)(3a+ 2)e. (2a+ 1)2

4.5 Substitueer a = 3 en b = 2 ina. 2a2bb. 3a2b2 2abc. 3a2b3 + 2ab2d. 2a3b 3ab3e. 5ab2 2a2 + 3b3

4.6 Substitueer a = 2 en b = 3ina. 3ab ab. 2a2b 2abc. 3ab2 + 3abd. a2b2 2a2b+ ab2e. a2 + b2 + 4ab

4.7 Substitueer a = 5 en b = 2ina. 3(ab)2 2abb. a(a+ b)2 (2a)2c. 3ab(a+ 2b)2d. 3a(a 2b)(a2 2ab)e. (a2b 2ab2)2

4.8 Substitueer a = 2 en b = 1ina. (a2b)3 2(ab2)2b. b(3a2 2b)2c. (3a2b 2ab2)(2a2 b2)d. (a2 + b2)(a2 b2)e.

((a2b+ 2b)(ab2 2a))2

30


4 Rekenen met letters

Prioriteitsregels

Letters in algebrasche uitdrukkingen stellen in dit deel steeds getallen voor.Met die letters zijn dan ook gelijk rekenkundige bewerkingen gedefinieerd.Zo is a+ b de som van a en b, a b het verschil van a en b enzovoort.Bij het vermenigvuldigen vervangen we het maalteken vaak door een punt, ofwe laten het helemaal weg. We schrijven dus vaak a b of ab in plaats van a b.Vaak gebruiken we ook mengvormen van letters en getallen: 2ab betekent2 a b. Het is gebruikelijk om in zulke mengvormen het getal voorop tezetten, dus 2ab en niet a2b of ab2.

Het is gebruikelijk om de volgende prioriteitsregels te hanteren:

a. Optellen en aftrekken geschieden in de volgorde waarin deze bewerkin-gen voorkomen, van links naar rechts.

b. Vermenigvuldigen en delen geschieden in de volgorde waarin deze be-werkingen voorkomen, van links naar rechts.

c. Vermenigvuldigen en delen hebben voorrang boven optellen en aftrek-ken.

We geven hieronder enige getallenvoorbeelden, waarbij we in het rechterlideerst de volgorde van de bewerkingen met haakjes expliciet aangeven en ver-volgens het antwoord berekenen.

5 7+ 8 = (5 7) + 8 = 64 5 3 = 4 (5 3) = 119+ 14 : 7 = 9+ (14 : 7) = 1112 : 3 4 = (12 : 3) 4 = 16

Nu met letters. Het rechterlid geeft de uitrekenvolgorde met haakjes aan.

a b+ c = (a b) + ca bc = a (b c)a+ b : c = a+ (b : c)a : b c = (a : b) c

Let op: als je in het onderste voorbeeld het linkerlid noteert als a : bc zullenvelen dit opvatten als a : (b c), en dat is echt iets anders dan (a : b) c.Neem bijvoorbeeld a = 12, b = 3 en c = 4, dan is (12 : 3) 4 = 16 maar12 : (3 4) = 1. Schrijf dus niet a : bc maar a : (bc) wanneer je dat laatstebedoelt. Meer in het algemeen:

Gebruik haakjes in alle gevallen waarin misverstanden omtrent de volgordevan het uitvoeren van algebrasche bewerkingen zouden kunnen ontstaan!

Vuistregel: beter te veel haakjes gebruiken dan te weinig!


31

II Algebra

Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudigmogelijk als eenmacht of eenproduct van machten.

4.9a. a3 a5b. b3 b2c. a4 a7d. b b3e. a7 a7

4.10a. (a2)3

b. (b3)4

c. (a5)5

d. (b4)2

e. (a6)9

4.11a. (ab)4

b. (a2b3)2

c. (a4b)3

d. (a2b3)4

e. (a3b4)5

4.12a. a4 a3 ab. 2a5 3a5c. 4a2 3a2 5a2d. 5a3 6a4 7ae. a 2a2 3a3

4.13a. (2a2)3

b. (3a3b4)4

c. (4a2b2)2

d. (5a5b3)3

e. (2ab5)4

4.14a. 3a2b 5ab4b. 6a3b4 4a6b2c. 3a2b2 2a3b3d. 7a5b3 5a7b5e. 8a2b4 3ab2 6a5b4

4.15a. 3a2 2a3 4a5b. 5a3 2a2 4a3 3a2c. 4a2 2a4 5a5d. 2a4 3a5 3a6e. 3a2 2a4 4a

4.16a. (2a2)3b. (3a3)2c. (5a4)4d. (a2b4)5e. (2a3b5)7

4.17a. 3a2 (2a3)2b. (3a3)2 (2a2)3c. (3a4)3 5a6d. 2a2 (5a3)3 3a5e. 2a5 (2a)5 5a2

4.18a. 2a3b4(3a2b3)2b. (2a2b4)3(3a2b5)2c. 2a2b(2a2b)2(2a2b)3d. 3a4b2(3a2b4)3(2a3b2)2e. (2a3)4(3b2)2(2a2b3)3

4.19a. (3a2b3c4)2(2ab2c3)3

b. (2a3c4)2(a2b3)3(2b3c2)4c. 2a2c3(3a3b2c)4(5ab2c5)d. (2a3c)6(5a3b2)2(5b3c4)4e. (3a2b2c2)3(2a3b3c3)2

4.20a.

((a3)4

)3b.

((a2)3(2a3)2)2

c.((2a2b3)2(3a3b2)3)2

d.(2a(a3)2)5

e.(2(a2)3)2 (3(a4)2)3

32



Rekenen met machten

In het vorige hoofdstuk hebben we onder andere de volgende rekenregelsvoor machten behandeld:

an am = an+m(an)m = anm

(a b)n = an bnWehebben toen alleenmaarmet concrete getallenvoorbeelden gerekend, maarnu kunnen we het ook met letters. In deze paragraaf zullen de exponentenwel steeds gegeven gehele getallen zijn, maar voor de grondtallen nemen wenu letters. Met de rekenregels kunnen we dan ingewikkelde algebrasche uit-drukkingen met machten vereenvoudigen.

We geven een aantal voorbeelden. Eerst vier eenvoudige gevallen.

a4 a5 = a4+5 = a9(a2)4 = a24 = a8

(ab)5 = a5 b5 = a5b5(a2b4)3 = (a2)3(b4)3 = a6b12

Nu met getallen erbij:

2a3 5a7 = (2 5) a3+7 = 10 a10(2a)4 (5a)3 = (24 53) a4+3 = 2000 a7(2a)7 = (2)7 a7 = 128 a7(4a2)3 (5a)2 = 64 25 (a2)3 a2 = 1600 a8

Maak nu alle opgaven op de tegenoverliggende bladzijde. Let daarbij ook opde mintekens, als die er zijn. Bedenk:

Een negatief getal tot een even macht geeft een positief getal.Een negatief getal tot een oneven macht geeft een negatief getal.


33

II Algebra

Werk bij de volgende opgaven de haakjes uit.

4.21a. 3(2a+ 5)b. 8(5a 2)c. 5(3a 2)d. 12(5a+ 1)e. 7(7a+ 6)

4.22a. 2a(a 5)b. 7a(2a+ 12)c. 13a(9a 5)d. 8a(8a 15)e. 21a(3a+ 9)

4.23a. 2a(a2 + 9)b. 3a2(4a 7)c. 5a2(2a2 + 4)d. 9a2(a2 + 2a)e. 3a(a2 4a)

4.24a. 4a2(3a2 + 2a+ 3)b. 3a2(2a3 + 5a2 a)c. 7a3(2a2 + 3a 6)d. 12a2(6a3 2a2 + a 1)e. 5a2(3a4 + a2 2)

4.25a. 2(3a+ 4b)b. 5(2a 5b)c. 2a(a+ 2b)d. 16a(4a+ 6b)e. 22a(8a 11b)

4.26a. 3a(9a+ 5b 12)b. 2a2(7a 6b)c. 8a2(7a+ 4b 1)d. 6a2(2a+ 2b+ 2)e. 13a2(13a+ 12b 14)

4.27a. 2a2(3a2 + 2b 3)b. 5a3(2a2 + a 2b)c. 2b2(3a2 + 2b2)d. 4a3(2a2 + 5b2 2b)e. 14b3(14a2 + 2a 5b2)

4.28a. 2a2(a2 + 3ab)b. 5a2(3a2 + 2ab 3b2)c. 2a3(3a3 + 2a2b2 b2)d. 3a4(2a3 + 2a2b2 + 2ab2)e. 7a3(7a3 + 3a2b 4ab2)

4.29a. 2ab(a2 + 2ab b2)b. 5ab(3a2b+ 2ab2 6b)c. 6ab2(2a2b 5ab b2)d. 12a2b2(12a2b2 + 6ab 12)e. 6ab2(2a2b+ 9ab ab2)

4.30a. a3b2(5a2b3 + 2a2b2 ab3)b. a2b3(a3b2 a2b 14)c. 15a4b3(a3b4 6a2b3 + ab4)d. a5b4(13a4b5 12a2b3 + 9ab5)e. 7a2b2(7a3 7ab2 1)

4.31a. 2a(a+ 6) 4(a+ 2)b. 4a(3a+ 6) + 2(a 3)c. 7a(2a 1) 2a(7a+ 1)d. 8a(a 8) 2(a+ 5)e. 5a(2a 5) + 5(2a 1)f. 2a(a+ 1) (a 1)

4.32a. 3a(a+ 2b) b(2a+ 2)b. a(a b) + b(a+ 1)c. 2a(2a+ b) 2b(a+ b)

2(a b)d. b(a+ 2b) + 3(2a b)

a(2a+ b)

34



Haakjes uitwerken

De distributieve wetten luiden:

a(b+ c) = ab+ ac(a+ b)c = ac+ bc

Ze zijn algemeen geldig, welke getallen je ook invult voor a, b en c.Voorbeelden: 15(3+ 8) = 15 3+ 15 8 = 45+ 120 = 165,(3 8)(11) = 3 (11) + (8) (11) = 33+ 88 = 55.Met de distributieve wetten kun je haakjes uitwerken. Voorbeelden:

5a2(4b 2c) = 20a2b 10a2c3ab(c+ 2b) = 3abc+ 6ab2

(5a 2b)3c2 = 15ac2 6bc2

Let erop dat de distributieve wetten in hunmeest eenvoudige, kale vorm zijngeformuleerd, maar dat we bij de voorbeelden voor a, b en c allerlei algebra-ische uitdrukkingen hebben gesubstitueerd. Het is juist deze mogelijkheid ommet formules te manipuleren die de algebra tot zon nuttig instrument maakt.Bedenk ook dat het maalteken in al deze voorbeelden weggelaten is. Metmaaltekens luidt het eerste voorbeeld

5 a2 (4 b 2 c) = 20 a2 b 10 a2 c

waarmee zon formule weliswaar omslachtiger, maar voor de beginner welbegrijpelijker wordt.

We kunnen het bovenstaande ook toepassen in samenstellingen en combina-ties. Voorbeelden:

3a(4b 2c) + 2b(a 3c) = 12ab 6ac+ 2ab 6bc = 14ab 6ac 6bc4a(b+ c) 5a(2b 3c) = 4ab+ 4ac 10ab+ 15ac = 6ab+ 19ac2a(b 3c) 5c(a+ 2b) = 2ab+ 6ac 5ac 10bc = 2ab+ ac 10bc

Let in de laatste twee voorbeelden vooral op de tekens. Bedenk dat bij verme-nigvuldigen geldt:

Plus maal plus is plus Min maal plus is minPlus maal min is min Min maal min is plus


35

II Algebra

Breng bij de volgende opgaven zo veel mogelijk factoren buiten haakjes.

4.33a. 6a+ 12b. 12a+ 16c. 9a 12d. 15a 10e. 27a+ 81

4.34a. 3a 6b+ 9b. 12a+ 8b 16c. 9a+ 12b+ 3d. 30a 24b+ 60e. 24a+ 60b 36

4.35a. 6a+ 9b 15b. 14a+ 35b 21c. 18a 24b 12cd. 28a 70b+ 42ce. 45a+ 27b 63c 18

4.36a. a2 + ab. a3 a2c. a3 a2 + ad. a4 + a3 a2e. a6 a4 + a3

4.37a. 3a2 + 6ab. 9a3 + 6a2 3ac. 15a4 10a3 + 25a2d. 27a6 18a4 36a2e. 48a4 24a3 + 36a2 + 60a

4.38a. 3a2b+ 6abb. 9a2b 9ab2c. 12ab2 4abd. 14a2b2 21ab2e. 18a2b2 15a2b

4.39a. 3a3b2 + 6a2bb. 6a4b3 9a3b2 + 12a2bc. 10a3b2c2 5a2bc2 15abcd. 8a6b5c4 12a4b4c3 + 20a3b4c3e. a3b3c3 + a3b3c2 + a3b3c

4.40a. 4a2b3c2 + 2a2b2c2 6a2bc2b. a6b5c4 a4b6c4 a3b7c3c. 2a3c4 + 2a2b2c3 4a2bc2d. a7b6 + a6b7 a5b6e. a8b7c6 a7b6c7 + a6b6c6

4.41a. a(b+ 3) + 3(b+ 3)b. a(b 1) 2(b 1)c. 2a(b+ 4) + 7(b+ 4)d. a2(2b 1) + 2(2b 1)e. a(b 2) (b 2)

4.42a. a2(b+ 1) a(b+ 1)b. 6a(2b+ 1) + 12(2b+ 1)c. 2a(b 1) + 4(b 1)d. a3(4b+ 3) a2(4b+ 3)e. 6a2(2b+ 3) 9a(2b+ 3)

4.43a. (a+ 1)(b+ 1) + 3(b+ 1)b. (2a 1)(b+ 1) + (2a 1)(b 1)c. (a+ 3)(2b 1)+

(2a 1)(2b 1)d. (a 1)(a+ 3) + (a+ 2)(a+ 3)e. (a+ 1)2 + (a+ 1)

4.44a. 2(a+ 3)2 + 4(a+ 3)b. (a+ 3)2(b+ 1) 2(a+ 3)(b+ 1)c. (a 1)2(a+ 2) (a 1)(a+ 2)2d. 3(a+ 2)2(a 2)+

9(a+ 2)(a 2)2e. 2(a+ 4)3 + 6(a+ 4)2(a+ 2)

36



Factoren buiten haakjes brengen

De distributieve wetten kun je ook andersom lezen:

ab+ ac = a(b+ c)ac+ bc = (a+ b)c

en ze op die manier gebruiken om een factor buiten haakjes te brengen. Wegeven weer een aantal voorbeelden. Eerst brengen we alleen maar gehelegetallen buiten haakjes:

3a+ 12 = 3(a+ 4)27a+ 45b 9 = 9(3a+ 5b 1)

Maar het kan ook met letters of combinaties van letters en getallen:

a4 a = a(a3 1)15a2b+ 5ab3 = 5ab(3a+ b2)

Of zelfs met hele algebrasche uitdrukkingen:

(a+ 1)b 3(a+ 1) = (a+ 1)(b 3)7a2(b2 3) 35(b2 3) = 7(a2 5)(b2 3)


37

II Algebra

Werk de haakjes uit.

4.45a. (a+ 3)(a+ 1)b. (2a+ 3)(a+ 3)c. (a 6)(3a+ 1)d. (4a 5)(5a+ 4)e. (3a+ 9)(2a 5)f. (6a 12)(4a+ 10)

4.46a. (3a+ 8)(8a 3)b. (7a+ 12)(8a 11)c. (17a+ 1)(a 17)d. (2a+ 6)(3a 6)e. (a+ 3)(b 5)f. (2a+ 8)(3b+ 5)

4.47a. (4a+ 1)(b 1)b. (3a 1)(b+ 3)c. (13a+ 12)(12b 13)d. (a2 + 4)(a 4)e. (a 1)(a2 + 7)f. (a2 + 3)(a2 + 9)

4.48a. (2a2 7)(a+ 7)b. (3a2 + 2)(2a2 + 3)c. (a2 + 2a)(2a2 a)d. (3a2 4a)(2a2 + 5a)e. (6a2 + 5)(a2 + a)f. (9a2 + 7a)(2a2 7a)

4.49a. (8a2 3a)(3a2 8a)b. (2a3 a)(5a2 + 4)c. (a3 + a2)(a2 + a)d. (9a4 5a2)(6a3 + 2a2)e. (7a3 1)(8a3 5a)f. (6a5 5a4)(4a3 3a2)

4.50a. (2ab+ a)(3ab b)b. (3a2b+ ab)(2ab2 3ab)c. (2a2b2 + 3a2b)(2ab2 2ab)d. (8a3b2 6ab3)(4a2b3 2ab2)e. (a5b3 + a3b5)(a3b5 ab7)f. (2a+ 3)(a2 + 2a 2)

4.51a. (3a+ 2)(4a2 a+ 1)b. (2a+ b)(a+ b+ 4)c. (3a+ 3b)(3a 3b 3)d. (9a+ 2)(2a 9b+ 1)e. (a2 + a)(a2 a+ 1)f. (2a2 + 2a 1)(3a+ 2)

4.52a. (2a 1)(a2 3a 4)b. (a b 1)(a+ b)c. (a2 + ab+ b2)(a2 b2)d. (a+ 1)(a+ 2)(a+ 3)e. (a 1)(a+ 2)(a 3)f. (2a+ 1)(a 1)(2a+ 3)

4.53a. (2a+ b)(a b)(2a b)b. (5a 4b)(4a 3b)(3a 2b)c. 3a(a2 + 3)(a 2)d. (3a+ 1)(a+ 3)(a+ 1)e. 2a2(a2 1)(a2 + 2)f. (a2b ab)(ab2 + ab)(a+ b)

4.54a. 3a2b(a2 b2)(2a+ 2b)b. (a+ 1)(a3 + a2 a+ 2)c. (a2 + 2a+ 1)(a2 a+ 2)d. (2a2 + 3a+ 1)(3a2 2a 1)e. 3a(a2 + 1)(a2 2a+ 4)f. (2a+ b 5)(5a 2b+ 2)

38



De bananenformule

Voor het product van twee sommen van twee termen geldt de formule

(a+ b)(c+ d) = ac+ ad+ bc+ bd

die, zoals de boogjes al aangeven, ontstaat door twee maal een distributievewet toe te passen:

(a+ b)(c+ d) = a(c+ d) + b(c+ d) = ac+ ad+ bc+ bd

De boogjes vormen een handig geheugensteuntje; vanwege de vorm van deboogjes wordt deze formule soms de bananenformule genoemd. Ook deze for-mule kan weer in allerlei gecompliceerdere situaties gebruikt worden. Voor-beeld:

(3a2 + 7bc)(5ab 2c) = 15a3b 6a2c+ 35ab2c 14bc2

In sommige gevallen kunnen na uitwerken van de haakjes met behulp van debananenformule nog termen worden samengenomen. Voorbeeld:

(5a+ 3b)(2a 7b) = 10a2 35ab+ 6ab 21b2 = 10a2 29ab 21b2

Wanneer er meer dan twee termen tussen haakjes staan, gaat het uitwerkenvolgens hetzelfde principe als bij de bananenformule. Voorbeeld:

(3a+ 2b)(2c d+ 8e) = 3a(2c d+ 8e) + 2b(2c d+ 8e)= 6ac 3ad+ 24ae+ 4bc 2bd+ 16be

Producten met meer dan twee factoren werk je stap voor stap uit. Voorbeeld:

(3a+ 2b)(a 4b)(2a+ c) = (3a2 12ab+ 2ab 8b2)(2a+ c)= (3a2 10ab 8b2)(2a+ c)= 6a3 + 3a2c 20a2b 10abc 16ab2 8b2c


39

5 Merkwaardige productenWerk de haakjes uit:

5.1a. (a+ 6)2

b. (a 2)2c. (a+ 11)2

d. (a 9)2e. (a+ 1)2

5.2a. (b+ 5)2

b. (b 12)2c. (b+ 13)2

d. (b 7)2e. (b+ 8)2

5.3a. (a+ 14)2

b. (b+ 5)2c. (a 15)2d. (b 2)2e. (a+ 10)2

5.4a. (2a+ 5)2

b. (3a 6)2c. (11a+ 2)2

d. (4a 9)2e. (13a+ 14)2

5.5a. (5b+ 2)2

b. (2a 3)2c. (9b+ 7)2

d. (4a 3)2e. (8b+ 1)2

5.6a. (2a+ 5b)2

b. (3a 13b)2c. (a+ 2b)2

d. (2a b)2e. (6a+ 7b)2

5.7a. (12a 5b)2b. (2a+ b)2c. (7a 5b)2d. (14a+ 3)2e. (a+ 11b)2

5.8a. (a2 + 5)2

b. (a2 3)2c. (b2 1)2d. (a3 + 2)2

e. (b4 7)2

5.9a. (2a+ 7b)2

b. (3a+ 8b)2

c. (5a 9b)2d. (7a 8b)2e. (6a 11b)2

5.10a. (a2 + 3)2

b. (b2 4)2c. (2a3 13)2d. (5b2 + 14)2

e. (12a3 5)2

5.11a. (2a2 3b)2b. (3a2 + 2b)2

c. (9a2 5b2)2d. (12a3 + 2b2)2

e. (20a2 6b3)2

5.12a. (2a+ 3)2 + (a 1)2b. (a 5)2 (a+ 4)2c. (3a 1)2 (2a 3)2d. (2a+ b)2 + (a+ 2b)2

e. (7a2 + 9b2)2 (9a2 7b2)2

40


5 Merkwaardige producten

Het kwadraat van een som of een verschil

Enige bijzondere gevallen van de bananenformule worden zo vaak gebruiktdat ze een eigen naam gekregen hebben. Ze heten merkwaardige producten.

De eerste twee merkwaardige producten die we hier behandelen verschillenalleen in het teken. Eigenlijk zou het tweede product niet apart vermeld hoe-ven te worden, want het ontstaat uit het eerste door b te vervangen door b.Toch is het handig om de beide gevallen paraat te hebben.

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a b)2 = a2 2ab+ b2

Men leidt ze als volgt uit de bananenformule af:

(a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = a2 + ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2

(a b)2 = (a b)(a b) = a2 ab ab+ b2 = a2 2ab+ b2

Als vermakelijke, maar op zichzelf natuurlijk niet erg belangrijke toepassingberekenen we 20032 en 19982 uit het hoofd:

20032 = (2000+ 3)2 = 20002 + 2 2000 3+ 32= 4 000 000+ 12 000+ 9 = 4 012 009

en

19982 = (2000 2)2 = 20002 2 2000 2+ 22= 4 000 000 8 000+ 4 = 3 992 004

Belangrijker zijn natuurlijk de algebrasche toepassingen, dat wil zeggen toe-passingen waarbij formules in een andere vorm worden geschreven. Hier zijnenige voorbeelden:

(a+ 4)2 = a2 + 8a+ 16(a 2b)2 = a2 4ab+ 4b2(2a+ 3b)2 = 4a2 + 12ab+ 9b2


41

II Algebra

Ontbind de volgende uitdrukkingen in factoren:

5.13a. a2 16b. a2 1c. a2 144d. a2 81e. a2 121

5.14a. a2 36b. a2 4c. a2 169d. a2 256e. a2 1024

5.15a. 4a2 9b. 9a2 1c. 16a2 25d. 25a2 81e. 144a2 169

5.16a. 36a2 49b. 64a2 121c. 400a2 441d. 196a2 225e. 144a2 49

5.17a. a2 b2b. 4a2 25b2c. 9a2 b2d. 16a2 81b2e. 196a2 169b2

5.18a. a2b2 4b. a2b2 625c. 9a2b2 25c2d. 25a2 16b2c2e. 100a2b2 9c2

5.19a. a4 b2b. 25a4 16b2c. 16a4 b4d. 81a4 16b4e. 256a4 625b4

5.20a. a4b2 1b. a2b4 c2c. a4 81b4c4d. a8 b8e. 256a8 b8

5.21a. a3 ab. 8a2 50c. 27a2 12b2d. 125a3 45ae. 600a5 24a3

5.22a. 3a2b3 27bb. 128a3b3 18abc. a6b3 a2bd. 5a3b3c+ 125abce. 3a2b 3b

5.23a. a5 ab. 2a5 32ac. a5b5 81abd. a7 + 625ae. a9b 256ab9

5.24a. (a+ 3)2 (a+ 2)2b. (2a 1)2 (a+ 2)2c. (a+ 5)2 (2a+ 3)2d. (a+ 1)2 (3a 1)2e. (2a+ 1)2 (3a+ 2)2

Werk de haakjes uit:

5.25a. (a 2)(a+ 2)b. (a+ 7)(a 7)c. (a 3)(a+ 3)d. (a+ 12)(a 12)e. (a 11)(a+ 11)

5.26a. (2a 5)(2a+ 5)b. (3a 1)(3a+ 1)c. (4a+ 3)(4a 3)d. (9a 12)(9a+ 12)e. (13a+ 14)(13a 14)

42



Het verschil van twee kwadraten

Het volgende merkwaardige product gaat over het verschil van twee kwadra-ten:

a2 b2 = (a+ b)(a b)Ook dit product kan direct uit de bananenformule worden afgeleid:

(a+ b)(a b) = a2 ab+ ab b2 = a2 b2

Als vermakelijke toepassing berekenen we uit het hoofd:

1997 2003 = 20002 32 = 4 000 000 9 = 3 999 991

Ook hier gaat het natuurlijk weer vooral om de algebrasche toepassingen,dat wil zeggen toepassingen waarbij formules in een andere vorm wordengeschreven. Hier zijn enige voorbeelden:

a2 25 = (a+ 5)(a 5)4a2b2 1 = (2ab+ 1)(2ab 1)a6 9b6 = (a3 + 3b3)(a3 3b3)

In deze gevallen wordt het linkerlid, dat telkens het verschil is van twee kwa-draten, ontbonden in twee factoren. Maar je kunt dit merkwaardige product na-tuurlijk ook de andere kant op gebruiken, en zon product van twee factorendie alleen een minteken schelen, dus schrijven als het verschil van twee kwa-draten. Ook dat wordt in de dagelijkse wiskundepraktijk heel vaak gebruikt.Voorbeelden:

(a+ 2b)(a 2b) = a2 4b2(3a+ 5)(3a 5) = 9a2 25(a2 b2)(a2 + b2) = a4 b4

Op de bladzijde hiertegenover en op de volgende bladzijde staan opgavenwaarmee je dit alles kunt oefenen.


43

II Algebra

Werk de haakjes uit:

5.27a. (6a 9)(6a+ 9)b. (15a 1)(15a+ 1)c. (7a 8)(7a+ 8)d. (16a+ 5)(16a 5)e. (21a+ 25)(21a 25)

5.28a. (a2 5)(a2 + 5)b. (a2 + 9)(a2 9)c. (2a2 3)(2a2 + 3)d. (6a2 5)(6a2 + 5)e. (9a2 11)(9a2 + 11)

5.29a. (a3 4)(a3 + 4)b. (a5 + 10)(a5 10)c. (9a2 + 2)(9a2 2)d. (11a4 3)(11a4 + 3)e. (12a6 + 13)(12a6 13)

5.30a. (2a+ 3b)(2a 3b)b. (6a 10b)(6a+ 10b)c. (9a+ 2b)(9a 2b)d. (7a 5b)(7a+ 5b)e. (a 20b)(a+ 20b)

5.31a. (a2 + b)(a2 b)b. (2a2 + 3b)(2a2 3b)c. (5a2 3b2)(5a2 + 3b2)d. (6a2 11b2)(6a2 + 11b2)e. (13a2 + 15b2)(13a2 15b2)

5.32a. (a3 + 2b2)(a3 2b2)b. (2a2 + 9b3)(2a2 9b3)c. (5a4 + 3b3)(5a4 3b3)d. (7a2 19b4)(7a2 + 19b4)e. (15a5 8b4)(15a5 + 8b4)

5.33a. (2ab+ c)(2ab c)b. (3a2b+ 2c)(3a2b 2c)c. (5ab2 + c2)(5ab2 c2)d. (9a2b2 4c2)(9a2b2 + 4c2)e. (18a3b2 7c3)(18a3b2 + 7c3)

5.34a. (2a2 3bc2)(2a2 + 3bc2)b. (7a3b 8c3)(7a3b+ 8c3)c. (13a5b3 + 14c5)(13a5b3 14c5)d. (5abc+ 1)(5abc 1)e. (9a2bc3 + 7)(9a2bc3 7)

Gemengde opgaven: werk steeds de haakjes uit

5.35a. (a+ 4)2

b. (a+ 4)(a 4)c. (a+ 4)(a+ 3)d. 4(a+ 3)e. (a 4)(a+ 3)

5.36a. (a 7)(a+ 6)b. (a+ 7)2

c. (a 6)(a+ 6)d. (a 6)2e. (2a+ 6)(a 6)

44



5.37a. (a+ 13)

BasisboekWiskunde2HP

Documents

Transcript of BasisboekWiskunde2HP