Basic probability and applications

Conceptos fundamentales de probabilidad

G. Edgar Mata Ortiz

„The most important questions of life are

indeed, for the most part, really only

problems of probability."

Pierre-Simon Laplace

(Théorie Analytique des Probabilités: 1812)

Las preguntas más importantes de la vida son, en su mayor parte, realmente sólo

problemas de probabilidad

Introducción

Determinísticos o deterministas

- Son aquellos en los que podemos predecir su resultado,

aún antes de realizar un experimento

- Ejemplo: El valor de una variable en cualquier fórmula de

física

Dos tipos de fenómenos

Introducción

Aleatorios

- Son aquellos en los que no podemos predecir su

resultado, sin importar cuánta información tengamos

disponible

- Ejemplo: El resultado al lanzar un dado

Dos tipos de fenómenos

Introducción

El estudio de los fenómenos aleatorios es menos

usual que el de los fenómenos determinísticos.

Se estudia la geometría y física, donde las fórmulas

nos entregan resultados exactos y predecibles

Los fenómenos aleatorios

b = base

h = altura

Área del triángulo

Introducción

Sin embargo, la mayor parte de los fenómenos y

hechos de la vida cotidiana, no tienen este

comportamiento.

Muchos fenómenos son aleatorios, es decir, los

resultados no son predecibles.

La probabilidad se ocupa del estudio de los:

La probabilidad y los fenómenos aleatorios

Conceptos fundamentales

Definición de la real academia española

¿Qué es probabilidad?


Como pudimos observar, la palabra probabilidad tiene

varios significados.

Es conveniente distinguir los diversos significados de

acuerdo al uso que se hace de la palabra

probabilidad.

Vamos a estudiar los cuatro enfoques de probabilidad:

Probabilidad subjetiva, probabilidad frecuencial,

probabilidad clásica y probabilidad axiomática




Probabilidad

Subjetiva Objetiva

Frecuencial Clásica Axiomática


Es el grado de certeza que tenemos de que un suceso

va a ocurrir.

Suele indicarse como un número decimal, menor que

uno o como un porcentaje.

Probabilidad subjetiva


Se basa en la opinión personal, la experiencia o la

intuición

En ocasiones hace uso de datos históricos.

No siempre se cuantifica



Las estimaciones subjetivas de probabilidad cambian

de una persona a otra

No es necesario realizar ningún experimento para

estimar la probabilidad subjetiva de un evento



A pesar del uso ocasional de datos históricos, dichas

estimaciones presentan un elevado grado de

incertidumbre

No obstante dicha incertidumbre, en muchas

circunstancias, es necesario recurrir a la probabilidad

subjetiva.



Richard Von Mises

Generalmente la teoría de

probabilidad es considerada

una rama de las matemáticas,

sin embargo, sus fundamentos

son puramente filosóficos, y

Richard von Mises, desarrolló

la correcta teoría de

probabilidad objetiva o “de

frecuencia”.

Probabilidad frecuencial


Es una forma empírica de calcular

probabilidades

Es necesario repetir el experimento

varias veces para calcular la

probabilidad

La tabla muestra el número de veces

que se obtuvo cada resultado al lanzar

dos dados, cien veces.


Resultados 100

2 5

3 9

4 10

5 9

6 15

7 15

8 11

9 14

10 7

11 4

12 1


Cuanto más

grande es el

número de veces

que se lanzan los

dados, la

frecuencia relativa

se aproxima a la

probabilidad de

ocurrencia de

cada evento

Probabilidad

frecuencial Resultados 100 1000 30000 100000

2 0.05000 0.02200 0.02737 0.02825

3 0.09000 0.05700 0.05483 0.05558

4 0.10000 0.07700 0.08607 0.08156

5 0.09000 0.11100 0.10947 0.11214

6 0.15000 0.14000 0.13927 0.13915

7 0.15000 0.17800 0.16720 0.16560

8 0.11000 0.13700 0.13530 0.13961

9 0.14000 0.11300 0.11177 0.11169

10 0.07000 0.08800 0.08503 0.08336

11 0.04000 0.05400 0.05570 0.05501

12 0.01000 0.02300 0.02800 0.02805

Probabilidades frecuenciales


La probabilidad frecuencial, a diferencia de la

subjetiva, siempre se cuantifica

Puede expresarse como fracción, número decimal o

porcentaje

Se calcula mediante la fórmula:


𝑝 𝒂 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑣𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝒂

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠


Ejemplo de aplicación de la fórmula:

Se lanzan dos dados 100 veces y se

cuenta el número de ocasiones en las

que la suma de las caras es igual a 2,

3, 4, ..., 12

La tabla de la derecha contiene los

resulados de este experimento

aleatorio


Resultados 100

2 5

3 9

4 10

5 9

6 15

7 15

8 11

9 14

10 7

11 4

12 1


Ejemplo de aplicación de la fórmula:

En la tabla de distribución de

frecuencias, se observa que el número

3 se obtuvo en 9 ocasiones, por lo

tanto:

También puede expresarse como: 9%


𝑝 3 =9

100𝑝 3 = 0.09

Resultados 100

2 5

3 9

4 10

5 9

6 15

7 15

8 11

9 14

10 7

11 4

12 1


La ley de los grandes números

(también llamada ley del azar),

propuesta por J. Bernoulli,

afirma que al repetir un

experimento aleatorio un

número cada vez más grande

de veces, la frecuencia relativa

de cada suceso elemental

tiende a aproximarse a un

número fijo, llamado

probabilidad de un suceso.


Jakob Bernoulli (Basilea, 27 de

diciembre de 1654 -ibíd. 16 de

agosto de 1705), también conocido

comoJacob, Jacques o James

Bernoulli, fue un

genialmatemático y científico suizo y

hermano mayor deJohann

Bernoulli (parte de la familia Bernoulli).

http://es.wikipedia.org/wiki/Basilea

http://es.wikipedia.org/wiki/27_de_diciembre

http://es.wikipedia.org/wiki/1654

http://es.wikipedia.org/wiki/16_de_agosto

http://es.wikipedia.org/wiki/1705

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Cient%C3%ADfico

http://es.wikipedia.org/wiki/Suiza

http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli

http://es.wikipedia.org/wiki/Bernoulli


Estableció la “regla de Laplace”

para el cálculo de

probabilidades cuando los

eventos posibles en un

experimento aleatorio tienen la

misma probabilidad de suceder.

Además de sus trabajos sobre

probabilidad se destacó en

ecuaciones diferenciales y

mecánica celeste.

Probabilidad clásica

Pierre Simón Marqués de

Laplace.(1749-1827)


La probabilidad de un evento es la razón entre el

número de casos favorables y el número total de

casos que pueden presentarse, siempre que los

resultados sean equiprobables.

Es una forma de probabilidad objetiva

No es necesario realizar ningún experimento para

determinar la probabilidad de un evento


𝑝 𝐴 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝐴

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠


Un ejemplo típico de este modelo de probabilidad

hace referencia al lanzamiento de una moneda “legal“

Entendemos por “legal“, que la probabilidad de que se

obtenga un águila o un sol es la misma, son eventos

equiprobables.

Entonces, el número de casos favorables para que se

obtenga un águila es 1, y el número de casos totales

es dos


𝑝 á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠=1

2


Otro ejemplo citado con frecuencia es el lanzamiento

de un dado

Se asume que, al igual que en la moneda, la

probabilidades de cada cara del dado, es la misma.

Entonces, el número de casos favorables para que se

obtenga, por ejemplo, un tres; es 1, y el número de

casos totales es seis


𝑝 𝑡𝑟𝑒𝑠 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑒𝑠

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠=1

6


Andréi Kolmogórov,

matemático ruso, entre

muchos otros trabajos

científicos, estructuró el

sistema axiomático de la

probabilidad.

Se basó en la teoría de

conjuntos.

Fundamenta matemáticamente

la probabilidad.

Probabilidad axiomática

Andréi Kolmogórov.


Axiomas de la probabilidad

- La probabilidad de un suceso X es un número real

mayor o igual a cero: P(X)≥0

- La probabilidad del universo W es igual a 1: P(W)=1

- Si A1, A2, … Ai son sucesos mutuamente

excluyentes, entonces P(A1UA2…UAi) = SP(Ai)

Probabilidad axiomática

Gracias por su atención

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