Ball and Beam
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1
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACION ENCOMPUTACION
Control Dual PD con compensador no-lineal parael sistema mesa esfera
Tesis que presenta elM. en C. Sergio Galvan Colmenares
para obtener el grado deDoctor en Ciencias de la Computacion
Directores de Tesis:Dr. Marco Antonio Moreno ArmendarizDr. Floriberto Ortiz Rodrıguez (ESIME Zacatenco)
Mexico D.F. 29 de Julio del 2013.
2
3
Dedicatoria
A Frida, el amor de mi vida,por su apoyo, carino y motivacion.
4
Agradecimientos
Hace cuatro anos cuando inicie el doctorado, el final se veıa muy lejano y el camino parecıa muycomplicado. Hoy que he logrado mi objetivo, el principio me parece cercano y el camino recorrido loobservo sencillo. Esta sensacion, estoy seguro, la debo en gran manera al apoyo de muchas personase instituciones. En forma especial quiero agradecer a los siguientes:
A mi asesor, el Dr. Marco Antonio Moreno Armendariz por su apoyo incondicional, sus multiplesconsejos y sus valiosas ensenanzas. A mi codirector, el Dr. Floriberto Ortiz Rodrıguez, por toda sumotivacion, su enorme confianza, y su paciencia.
A mis companeros y amigos, por todo su apoyo, su companerismo, y sus valiosas sugerencias ycomentarios.
Al CONACYT por el apoyo economico que me otorgo durante estos cuatro anos, al Centrode Investigacion en Computacion, por la gran oportunidad de realizar mis estudios en la mejorinstitucion de computacion del paıs.
Finalmente, a mi familia, mis papas, hermanas, por su gran carino y motivacion.
Tambien a mi esposa por su paciencia, confianza, y por todas esas alegrıas y preocupaciones quecompartimos.
5
Resumen
El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados de libertad y consta de una esfera que puede moverse
libremente sobre el plano. Esto lo hace atractivo para poner a prueba multiples estrategias de
control. Este trabajo discute un metodo de regulacion para el sistema mesa-esfera, el problema
es disenar leyes de control las cuales generan un voltaje u para los servomotores, los cuales mueven
la esfera de su posicion actual hacia la posicion deseada. Los controladores son construidos agregando
compensadores no-lineales a controladores tipo PD. Ası es posible mejorar la precision del control.
Para llegar a esto, primero se describe en que consiste el modelado del sistema a controlar, ası como
el modelo dinamico al cual es transformado y se describen las propiedades de los elementos que
conforman el modelo dinamico. Tambien se hace mencion del metodo empleado para encontrar las
leyes de control. Se explica las diferentes representaciones del sistema a controlar y se establecen sus
respectivas ventajas y desventajas. Para asegurar la estabilidad del sistema completo acoplado,se
emplea el metodo directo de Lyapunov. Para ello se realiza una transformacion del sistema mesa
esfera, al modelo general la ecuacion dinamica de un robot manipulador. Se plantea el desarrollo
matematico para obtener la ley de control propuesta, analizando el sistema en lazo cerrado. Por
ultimo, se ilustran los resultados obtenidos mediante simulaciones numericas. Se muestran las graficas
del desempeno del controlador propuesto, se observa el comportamiento de la posicion y velocidad de
la esfera en cada uno de sus ejes de referencia. Tambien se realizan diversas simulaciones comparando
con otros dos metodos para validar las leyes de control propuestas.
6
Abstract
The ball and plate system has four degrees of freedom and consists of a ball that can move freely
on the plate. This makes it attractive for multiple testing control strategies.
In this thesis, the normal proportional derivative (PD) control is modificated into a new dual
form for the regulation of a ball and plate system. First, to analyze this controller, a novel complete
nonlinear model of the ball and plate system is obtained. Second, an asymptotic stable dual PD
control with a nonlinear compensation is developed. Finally, the simulation results of ball and plate
system are provided to verify the effectiveness of the proposed methodology.
7
Indice general
Dedicatoria 4
Agradecimientos 5
Resumen 6
Abstract 7
1. Introduccion 11.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.2. Objetivos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.3. Aportacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7. Trabajos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Marco Teorico 112.1. El sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Dinamica y Control de un Robot Manipulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Modelo mecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2. Control tipo PD de un Robot Manipulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Analisis de la Estabilidad de los Sistemas no-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1. Estabilidad de los Puntos de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2. Aproximaciones Lineales de los sistemas no-lineales . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3. Estabilidad en el sentido de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.4. Principio de Invariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5. Logica Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.1. Aplicaciones de la logica difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5.2. Teorıa de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.3. Funciones de Pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.4. El Controlador Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6. Fusificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7. Defusificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
INDICE GENERAL I
3. Control Dual PD con compensador 283.1. Diseno del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2. Transformacion del modelo mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. Analisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Evaluacion y discusion 444.1. Fase de simulacion: Modelado Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Fase de simulacion a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1. Control PD con Compensador y sin compensador . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2. Control con logica difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3. Resultados de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. Conclusiones y trabajos futuros 565.1. Artıculos aceptados y en revision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Referencias 57
Indice de figuras
1.1. Sistema barra esfera construido por Berkeley Robotics Laboratory [38] . . . . . . . . 71.2. Ball and Beam Balancer construido por la universidad de Lakehead [43] . . . . . . . 81.3. Ball and Beam module construido por Quanser [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Ball and Beam construido por Hirsch [40] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. A Robotic Ball Balancing Beam construido por Lieberman [41] . . . . . . . . . . . . 101.6. Mesa-esfera construido por Cheng [42] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Trayectorias: (a) estable, (b) inestable y (c) asintoticamente estable. . . . . . . . . . 182.3. Ejemplos de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Funcion de pertenecıa de un conjunto difuso triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5. Funcion de pertenecıa de un conjunto difuso trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Estructura de un modelo difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1. Esquema de control del sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1. Bloque de simulink del sistema completo a lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . 454.3. Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-y . . . . . . . . . 454.4. Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la mesa sobre el eje-x . . . . . . . . . 464.5. Resultados de Simulacion; Desplazamiento la mesa sobre el eje-y . . . . . . . . . . . 464.6. Esquema de control PD Dual con compensador en Simulink . . . . . . . . . . . . . . 474.7. Bloque de simulink del controlador fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.8. Bloque de simulink de la funciones de membresia de posicion . . . . . . . . . . . . . 484.9. Bloque de simulink de la funciones de membresia de velocidad . . . . . . . . . . . . . 494.10. Bloque de simulink de la funciones de membresia del par . . . . . . . . . . . . . . . . 494.11. Bloque de simulink de las reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.12. Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x sin compensador 504.13. Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y sin compensador 514.14. Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x con compensador 514.15. Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y con compensador 524.16. Comparacion tres metodos; Posicion de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . . . . . 524.17. Comparacion tres metodos; Velocidad de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . . . . 534.18. Comparacion tres metodos; Senales de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II
Indice de tablas
4.1. Constantes de los controladores PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2. Simulaciones con el control PD Dual con Compensador . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3. Simulaciones con el control de logica difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4. Simulaciones con el control PD Dual sin Compensador . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. Motivacion
La motivacion principal de este trabajo es mostrar la importancia del diseno de controladores
para sistemas no-lineales, ası como las ventajas y desventajas que conlleva el usar este tipo de
controladores. Tambien se pone enfasis en como el modelado de un sistema fısico que es descrito
mediante ecuaciones matematicas, puede utilizarse para disenar las leyes de control necesarias para
que se comporte de acuerdo con los requerimientos propuestos, tomando en cuenta las limitaciones
propias del sistema y de los dispositivos utilizados para alcanzar dichos requerimientos.
1.2. Planteamiento del Problema
Hoy en dıa el control de procesos es usado en una gran variedad de ambitos por la eficiencia y
seguridad que dan a los sistemas en general, dicho control se realiza ya sea por medio de dispositivos
fısicos o de software, de los cuales existe una gran diversidad, entre ellos se encuentra el controlador
PD que es utilizado extensamente en la industria por las importantes funciones que realiza, las
cuales permiten un amplio control de los multiples sistemas existentes. En la actualidad son muchas
las funciones y problemas se trabajan mediante el control de un proceso, ya sea para controlar
lo posicion de un objeto, el nivel de una sustancia, o la temperatura de un lıquido, estos controles
pueden ser mediante los metodos clasicos de control despues de linealizar el sistema a controlar, o por
las nuevas tecnicas como la logica difusa, redes neuronales, etc... Tambien se realizan controladores
para sistemas no-lineales, determinando las leyes de control para los diversos procesos.
Lo anterior lleva a la siguiente pregunta: ¿Como poder realizar el control de la posicion mediante
1
2 CAPITULO 1. INTRODUCCION
un esquema de control que considere todos el modelo completo y acoplado no-lineal del sistema
mesa-esfera?
1.3. Hipotesis
Es posible desarrollar un sistema de control, para un sistema no-lineal sin tener la necesidad de
tener que hacer el proceso de linealizar el modelo, y que mediante la comparacion con otros metodos
se demuestre que el control propuesto alcanza el valor deseado en menor tiempo.
1.4. Objetivos
1.4.1. Objetivo General
Disenar un control PD con compensador no-lineal, para control de regulacion del sistema mesa-
esfera y su analisis de estabilidad mediante el metodo directo de Lyapunov.
1.4.2. Objetivos Particulares
1. Realizar un estudio del estado del arte sobre los trabajos que utilizan el sistema mesa-esfera.
2. Disenar las leyes de control para en un sistema de control en cascada para controlar la posicion
de la esfera sobre la mesa.
3. Desarrollar el analisis de estabilidad de un control PD con compensador no-lineal.
4. Llevar a cabo simulaciones en Matlab del sistema, considerando el modelo completo y acoplado.
1.4.3. Aportacion
La principal aportacion de esta tesis es el desarrollar el analisis de estabilidad del sistema no-
lineal completo y acoplado. Para ello adicionalmente se realiza la transformacion del modelo del
sistema a la forma de la dinamica de un robot manipulador.
1.5. ESTRUCTURA DE LA TESIS 3
1.5. Estructura de la tesis
La conformacion de la tesis es la siguiente:
En la Introduccion se explica con detalle la motivacion de la tesis, se plantea de forma general
cual es el problema de control, cual es su relevancia y se detalla cada uno de los objetivos particulares.
En el Capıtulo 2 se describe en que consiste el modelado del sistema a controlar, ası como
el modelo dinamico al cual es transformado y se describen las propiedades de los elementos que
conforman el modelo dinamico, por ultimo se hace mencion del metodo empleado para encontrar las
leyes de control. Se explica las diferentes representaciones del sistema a controlar y se establecen sus
respectivas ventajas y desventajas.
En el Capıtulo 3 se describe la aportacion principal de esta tesis, a saber, condiciones para la
estabilidad del sistema mesa-esfera bajo una accion PD mas un compensador no-lineal. Se plantea
el desarrollo matematico de la ley de control propuesta, analizando el sistema en lazo cerrado.
El Capıtulo 4 ilustra los resultados obtenidos mediante simulaciones numericas. En este capıtulo
se observa de manera grafica el desempeno del controlador propuesto, se muestra el comportamiento
de la posicion y velocidad de la esfera en cada uno de sus ejes de referencia. Tambien se realizan
diversas simulaciones comparando con otros dos metodos, para validar las leyes de control propuestas.
En el Capıtulo 5 se discuten los resultados obtenidos en esta tesis, es decir, cuales son las
implicaciones de los resultados obtenidos, el impacto de estos, ademas de detallar cual a sido la
principal aportacion en el campo de control no-lineal. En esta seccion tambien se mencionan los
trabajos futuros que se puede desarrollar a partir de este trabajo de tesis. Finalmente se describe un
listado de los artıculos que se encuentran aceptados y en revision derivados de este trabajo.
4 CAPITULO 1. INTRODUCCION
1.6. Estado del arte
Los sistemas de control son una parte integral de la sociedad moderna y muchas aplicaciones
que nos rodean hace uso de un sistema de control. Un ejemplo de un sistema que utiliza la teorıa de
control es el sistema mesa-esfera. El sistema mesa-esfera es un modelo muy popular e importante de
laboratorio y muy utilizado en la ensenanza de la ingenierıa de control del sistemas.
El presente trabajo de tesis, trata del modelado, analisis y control visual de un sistema mesa-
esfera. El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados de libertad y consta de una esfera que puede
moverse libremente sobre el plano. Esto lo hace atractivo para poner a prueba multiples estrategias
de control. En nuestro caso, incorporamos un sistema de vision y un controlador proporcional-
derivativo mas un compensador no-lineal. Debido a la naturaleza del objeto a manipular en algunos
sistemas, como es el caso del sistema mesa-esfera, es casi imposible utilizar sensores convencionales
(ultrasonicos, infrarrojos, de presion, etc.) que permitan adaptarse a su entorno y proporcionar
informacion adecuada para realizar una determinada tarea, ya que esta depende de un conocimiento
a priori de su espacio de trabajo y de la localizacion del objeto a manipular. Una caracterıstica
importante del sistema mesa-esfera es la incorporacion del sistema de vision, el cual tienen como
ventaja principal mimetizar el sistema de vision humana que es capaz de obtener rasgos del objeto
a manipular. Esta informacion sera usada por el controlador.
Muchos investigadores han investigado el problema de regulacion en el sistema mesa-esfera.
El sistema mesa-esfera es uno de los mas famosos e importantes modelos de laboratorio para la
ensenanza. El sistema mesa-esfera es una planta multi-variable, la cual es la extension de el tradicional
sistema barra-esfera [1]-[6]. El sistema barra-esfera tiene dos grados de libertad el cual consiste en una
esfera rodando sobre una barra rıgida. De otra manera, El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados
de libertad el cual consiste en que una esfera puede rodar libremente sobre una mesa rıgida. Este
sistema no a atraıdo demasiado la atencion ; la principal desventaja de este sistema es la dificultad
de construirlo. Sin embargo, se considera que este sistema tiene un enorme potencial como mesa de
pruebas para diferentes estrategias de control como control con redes neuronales [7], logica difusa
[8]-[12], [13] y [6], control convencional [14], analisis de estabilidad [15] y [16], control no-lineal [17]-
1.7. TRABAJOS RELACIONADOS 5
[19], control con modos deslizantes [20],[21] y [22], etc. El objetivo de esta investigacion es desarrollar
un control PD para regulacion con compensacion de los terminos no-lineales del sistema, capaz de
controlar la posicion de la esfera sobre la mesa para ambos ejes (x, y). La posicion inicial de la mesa
es aquella donde no existe inclinacion en ninguno de los ejes. Para mover la esfera de la posicion
inicial a la posicion deseada, se generan inclinaciones del plano mediante un servomotor para cada
eje. La posicion de la esfera sobre la mesa sera medida mediante una camara, ver todos los detalles
en [13]. Se ha trabajado con una version del sistema barra-esfera, este sistema tiene dos grados de
libertad y nuestro grupo de investigacion a obtenido muy buenos resultados [23]. En este trabajo fue
realizado usando el prototipo del sistema mesa-esfera [24], en esta tesis se analizara la estabilidad
del control PD para regulacion con el modelo no-lineal completo del sistema mesa-esfera.
Ası que con el fin de mejorar la precision del control y la estabilidad del sistema, se introduce un
compensador no-lineal, y se utiliza junto con PD para controlar el movimiento de la esfera sobre el
plano.
Las dificultades para controlar el sistema son los siguientes:
1. El sistema mesa-esfera tiene 8 variables de estado, que es difıcil de ser representado por
un modelo matematico preciso y ser controlado de manera eficaz por algoritmos de control
tradicionales.
2. El sistema es no-lineal e inestable.
Las principales aportaciones de este trabajo son la introduccion de un nuevo algoritmo de control
para el sistema mesa-esfera y el analisis de estabilidad.
1.7. Trabajos relacionados
En [25], una nueva funcion de Lyapunov es propuesta la cual puede ser utilizada para disenar
un esquema de control estable (switching control). Ellos introdujeron nuevos conceptos acerca de
sus metodos de control mediante Lyapunov. Ellos implementaron herramientas para encontrar un
6 CAPITULO 1. INTRODUCCION
esquema de control que sea asintoticamente estable para el sistema mesa-esfera. En [19], presentan
un metodo de control de modos deslizantes para el sistema barra-esfera. Los autores disenaron un
modelo deslizante estacionario y uno dinamico del sistema. El primero usa el modelo simplificado
del sistema barra-esfera para disenar el modelo estacionario, el segundo es un controlador dinamico
de modos deslizantes para el sistema, los autores usan el modelo completo para disenar estos
controladores. En [26], el objetivo de control es controlar un brazo de robot para alcanzar el objeto
deseado mediante un sistema de vision. Este estudio incluye tambien un analisis de estabilidad
mediante Lyapunov. En esta tesis incluiremos un analisis similar de estabilidad mediante el metodo
de Lyapunov, transformamos el sistema completo del mesa-esfera en una estructura dinamica de
robot. En [27] discuten la concepcion y desarrollo de un sistema mesa-esfera basado en los principios
de un diseno mecatronico. Ellos disenan un controlador basado en el modelo lineal del sistema mesa-
esfera, un controlador PID controlador es adecuado para obtener una respuesta muy rapida. Ellos
desarrollan su propio prototipo usando la herramienta para prototipos de control en tiempo real del
programa dSpace. En [22] los autores presentan un control servo-visual para el sistema mesa-esfera
para guiar a la esfera a su trayectoria deseada. Un controlador de modos deslizantes es disenado.
Muchos autores prefieren los tecnicas de control difuso, tales como [28], ellos proponen un esquema
de control difuso jerarquico y ellos proponen algoritmos geneticos para controlar y ajustar el valor
de las funciones de membrecıa de salida del controlador difuso para optimizar la trayectoria de
la esfera. En [29] y [15], los autores usan un control PD con compensador exacto para realizar la
sincronizacion de dos sistemas barra-esfera, despues una red neuronal de funcion radial es aplicada
para aproximar el compensador no-lineal. En este trabajo la sincronizacion puede ser en paralelo y
serie y ellos tambien discuten la estabilidad del esquema de sincronizacion. En [31] G. Wang y Z.S.
Sun han realizado una investigacion preliminar sobre el sistema mesa-esfera, en el que se detecta la
posicion de la esfera mediante una camara, un motor paso a paso se utiliza como mecanismo, y el
controlador ha sido disenado utilizando el metodo de control difuso.
El sistema de mesa-esfera en [32] se ha disenado para propositos educativos y desarrolla para
control de seguimiento a traves de control geometrico y controladores PID. HUMUSOFT [33] es un
sistema mesa-esfera que esta disponible comercialmente.
1.7. TRABAJOS RELACIONADOS 7
El sistema es un punto de referencia para poner a prueba diferentes sistemas de control no-
lineal. La regulacion de la salida (output regulation) del sistema mesa-esfera incluye el control de
la regulacion y el control de seguimiento de trayectoria. El control de regulacion es mantener la
esfera en una posicion deseada sobre la mesa y el seguimiento de una trayectoria se trata de que
el control mueva a la esfera para seguir un trazado geometrico sobre el plano. Ambas tareas son
difıciles, especialmente cuando los problemas de la precision deseada del seguimiento sea alta.
Arroyo [38] construyo el sistema denominado Barra esfera en 2005, como se observa en la Figura
1.1. El sistema emplea el sensor de hilo resistivo para medir la posicion de la bola. El sensor de
posicion actua como un limpiador similar a un potenciometro.
Figura 1.1: Sistema barra esfera construido por Berkeley Robotics Laboratory [38]
Quanser [39] en el 2006 desarrollo un sistema barra esfera donde la senal del sensor se procesa en
un DSP. Se utilizo un motor de corriente continua con un reductor. El sistema estaba controlado por
un controlador PD. Este sistema es facil de construir, y el controlador PD era facil de disenar. Aunque
la posicion de la pelota fue controlada por el controlador PD, el angulo de inclinacion de la barra no
fue medido ni controlado. Por lo tanto, el sistema puede no ser muy robusto. El Departamento de
Ingenierıa Electrica de la Universidad de Lakehead construyo un sistema llamado el Ball and Beam
8 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Balancer [43], como se muestra en la Figura 1.2. El sistema emplea un motor de CC con una caja de
cambios integrada, un sensor de la posicion del alambre resistivo, y un codificador digital. El sistema
tenıa una entrada (entrada de tension del motor) y dos salidas (la posicion de la bola y el angulo
de inclinacion de la barra). El sistema puede ser muy robusto debido a que el metodo de espacio de
estado con el controlador disenado.
Figura 1.2: Ball and Beam Balancer construido por la universidad de Lakehead [43]
Quanser [39] presenta su producto comercial llamado ball and beam module, que se muestra en la
Figura 1.3. El modulo de barra y esfera consistio en el sensor de posicion hecho por cables resistivos
y un servo motor de corriente continua con una caja reductora. El sistema podrıa ser controlado por
un controlador PID o un controlador de espacio de estado.
Hirsch [40] construyo su Ball on Beam System en 1999. Una fotografıa del sistema se muestra en
la Figura 1.4. El sistema emplea un sensor ultrasonico para medir la posicion de la bola. El angulo
de la viga se midio mediante el uso de un potenciometro. El motor con una caja de cambios fue
impulsado con un circuito amplificador operacional de alta potencia. El sistema esta controlado por
un controlador PD. El sistema de Hirsch era facil de construir debido a la configuracion mecanica
sencilla.
Lieberman [41] construyo un sistema llamado A Robotic Ball Balancing Beam’, que se muestra
en la Figura 1.5. El sistema es similar al sistema barra esfera [40]. La diferencia entre los dos sistemas
es que el sistema de Lieberman utiliza un sensor de la posicion del alambre resistivo, y el sistema de
Hirsch utiliza un sensor de posicion ultrasonico.
1.7. TRABAJOS RELACIONADOS 9
Figura 1.3: Ball and Beam module construido por Quanser [39]
Figura 1.4: Ball and Beam construido por Hirsch [40]
Cheng [42] desarrollo un prototipo de mesa-esfera, figura 1.6. El sistema se construye mediante
dos actuadores magneticos de suspension de dos grados de libertad. Para obtener un rendimiento de
control, emplean un microprocesador de un solo chip, sirviendo como nucleo de control. Realizan el
diseno del control a lazo cerrado, y el analisis de estabilidad mediante Lyapunov. Varios escenarios
de operacion dinamica, incluyendo oscilatoria, estabilizacion y seguimiento de la trayectoria circular
ponen a prueba para verificar el funcionamiento del sistema y su capacidad. El modelado del sistema
se reduce de forma que el sistema queda desacoplado, y ası resulta mas facil realizar el control.
10 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Figura 1.5: A Robotic Ball Balancing Beam construido por Lieberman [41]
Figura 1.6: Mesa-esfera construido por Cheng [42]
Capıtulo 2
Marco Teorico
En este capıtulo se describe en una primera parte el modelo del sistema mesa esfera, el cual
consta de cuatro ecuaciones diferenciales, obtenidas mediante el metodo de Lagrange, despues se
describen las principales caracterısticas del controlador PD, este controlador es el seleccionado para
controlar la posicion de la esfera sobre la mesa, como se trata de un sistema no-lineal y acoplado
se le agrega un compensador para la parte no-lineal, este compensador es encontrado a partir de la
transformacion del sistema en una ecuacion que representa la dinamica de un robot manipulador,
cuyas caracterısticas se describen en este capıtulo, por ultimo se mencionan las definiciones de
estabilidad en el sentido de Lyapunov.
2.1. El sistema mesa-esfera
Para el sistema mesa-esfera descrito en la Figura 2.1, una esfera es puesta sobre una superficie
lisa donde podra rodar. El modelado del sistema mesa-esfera es presentado anteriormente en [24],
en esta tesis se desarrolla el modelo completo del sistema mesa-esfera, tomando en cuenta el sistema
acoplado, para el analisis de estabilidad se convertira el modelo en la forma de una ecuacion general
para representar sistemas mecanicos de la forma descrita en la ecuacion (2.1).
M(q)q + C(q, q)q + G(q) = Bq + Dπ (2.1)
En ausencia de friccion o de otros disturbios, la dinamica del sistema mesa-esfera puede ser
obtenida mediante el metodo de Lagrangiano.
11
12 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
Figura 2.1: Sistema mesa-esfera
La energıa cinetica del sistema es:
Ec =12mv2
cdm +12Icdmw2 (2.2)
=12m(x2 + y2) +
12m(xθx + yθy)2 +
12Icdm
(x2 + y2
R
)+
12Icdm(θ2
x + θ2y) (2.3)
donde Ec es la energia cinetica de la esfera; m es la masa de la esfera; Icdm es el momento de inercia
de la esfera; R es la velocidad de la esfera; (x2 + y2) es la velocidad lineal de la esfera; x y y son la
posicion de la esfera sobre la mesa; θx y θy son posiciones angulares de la mesa; w es la velocidad
angular de la esfera; (θx2
+ θy2) es la velocidad angular de la mesa.
Por otro lado, la energıa potencial debido a la gravedad es:
Ep = −mG(x sin(θx) + y sin(θy)) (2.4)
donde Ep es la energıa potencial de la esfera; G es la aceleracion debido a la gravedad.
De (2.3) y (2.4), la ecuacion de Lagrange es:
L =12m(x2 + y2) +
12m(xθx + yθy)2 +
12Icdm
(x2 + y2
R
)+
12Icdm(θ2
x + θ2y)
−mG(x sin(θx) + y sin(θy))
(2.5)
2.1. EL SISTEMA MESA-ESFERA 13
Las ecuaciones de Lagrange de movimiento son:
∂
∂t
[∂L
∂x
]− ∂L
∂x= 0 (2.6)
∂
∂t
[∂L
∂θx
]− ∂L
∂θx= τx (2.7)
∂
∂t
[∂L
∂y
]− ∂L
∂y= 0 (2.8)
∂
∂t
[∂L
∂θy
]− ∂L
∂θy= τy (2.9)
donde τx y τy son el torque aplicado a la mesa.
El sistema completo mesa-esfera esta dado por las ecuaciones (2.10),(2.11),(2.12) y (2.13):
(m +
Icdm
R2
)x−mxθ2
x −myθxθy + mG sin θx = 0 (2.10)
(Icdm + mx2
)θx + 2mxxθx + mxyθy + (mxy + mxy)θy + mGx cos θx = τx (2.11)
(m +
Icdm
R2
)y −myθ2
y −mxθxθy + mG sin θy = 0 (2.12)
(Icdm + my2
)θy + 2myyθy + mxyθx + (mxy + mxy)θx + mGy cos θy = τy (2.13)
donde:
x: Representa la posicion de la esfera sobre el plano en el eje x
y: Representa la posicion de la esfera sobre el plano en el eje y
θx: Representa la posicion angular de la mesa en el eje x
θy: Representa la posicion angular de la mesa en el eje y
τx: Torque aplicado al plano en el eje x
τy: Torque aplicado al plano en el eje y
G: Aceleracion debido a la gravedad
R: Radio de la esfera
M : Masa de la esfera
Icdm: Momento de inercia de la esfera es 25MR2
14 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
2.2. Controlador PD
Un tipo de controlador que funciona como un amplificador con una ganancia constante k se conoce
como control proporcional, ya que la senal de control a la salida del controlador esta relacionada con
la entrada del controlador mediante una constante proporcional. El controlador de tipo Proporcional
derivativo (PD) presenta la siguiente funcion de transferencia (2.14):
G(s) = KP + KDs (2.14)
donde KP , KD son las constantes proporcional y derivativa. El control proporcional es un tipo
de controlador basico, pero utilizado ampliamente en la industria y en muchos de los aparatos de
uso cotidiano. La gran extension de su uso radica en que no se necesita conocer mucho sobre teorıa
de control o modelado matematico de sistemas para utilizarlo de forma eficiente, dado la facilidad
de sintonizacion, si los requerimientos de desempeno no son muy estrictos.
Una de las desventajas de los controladores P y PI, es que su respuesta al escalon presenta un
sobrepaso maximo muy grande. Esto es generalmente indeseado, con mayor razon en sistemas como
el presentado en este trabajo, en donde un sobrepaso grande puede convertirse en sacar la esfera
fuera de la mesa. Ademas de esto, el sobrepaso demanda un esfuerzo extra para los motores y para
las partes mecanicas de la mesa, ocasionando desgaste de los mecanismos y desperdicio de energıa.
Si en un control proporcional se intenta disminuir el sobrepaso se debe de disminuir la ganancia
proporcional (KP) y esto implica que el sistema sea mas lento y que tenga un error en estado
estacionario mayor. Por otra parte, el controlador PI por sı mismo tiene el efecto de aumentar el
sobrepaso maximo. Si se intenta reducir, se disminuyen las ganancias proporcionales (KP) e integral
(KI), lo que tendrıa como consecuencia el aumento en el tiempo de asentamiento del sistema y en el
tiempo en el que el sistema llega al error cero en estado estacionario. El controlador proporcional y
derivativo (PD), soluciona el problema del sobrepaso maximo anadiendo una accion correctiva que
es proporcional a la derivada del error de posicion.
2.3. DINAMICA Y CONTROL DE UN ROBOT MANIPULADOR 15
2.3. Dinamica y Control de un Robot Manipulador
2.3.1. Modelo mecanico
En este trabajo se transforma el modelo completo y acoplado del sistema mesa-esfera en la forma
de la dinamica de un robot manipulador rıgido de n eslabones conectados de manera serial[46], la
cual se escribe como:
M(q)q + C(q, q)q + G(q) + F (q) = τ (2.15)
donde q ∈ < es el vector de variables articulares y determina la posicion de los eslabones, q ∈ <n
es el vector de velocidades articulares, M(q) ∈ <n×n es la matriz de inercia, C(q, q) ∈ <n×n, es la
matriz de fuerzas centrıpetas y de Coriolis, G(q) ∈ <n representa el vector de gravedad, F (q) ∈ <n,
es un vector que contiene los terminos de friccion (friccion de Coulomb) y τ ∈ <n es el vector que
representa la entrada de control.
La ecuacion dinamica del robot (2.15) tiene las siguientes propiedades estructurales [46].
Propiedad 1. La matriz de inercia M es simetrica y definida positiva, es decir,
m1 ≤‖ M(q) ‖≤ m2 (2.16)
donde m1, m2 son escalares constantes positivos, y ‖ M(q) ‖ es la norma euclidiana del vector.
Propiedad 2. La matriz de fuerzas centrıpetas y de Coriolis es antisimetrica,
S(q, q) = M(q)− 2C(q, q) (2.17)
Por lo que la siguiente relacion se satisface
xT [M(q)− 2C(q, q)]x = 0 (2.18)
Propiedad 3. El vector de friccion es acotado, es decir,
‖F (q)‖ ≤ k (2.19)
con k constante
16 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
Propiedad 4. El vector de gravedad es acotado, es decir,
‖G(q)‖ ≤ gb (2.20)
con gb constante
2.3.2. Control tipo PD de un Robot Manipulator
La estructura de un control PD tradicional es:
τ = −KP (q − qd)−KD(q − qd) (2.21)
donde KP ,KD ∈ <n×n; son matrices diagonales definidas positivas, simetricas y constantes,
las cuales corresponden a las ganancias proporcional y derivativa, qd ∈ <n es la posicion articular
deseada, qd ∈ <n es la velocidad articular deseada. En esta tesis se discute el problema de regulacion,
por lo que qd = 0. En el caso de regulacion cuando se alcanza la posicion deseada se tiene que la
velocidad es cero.
2.4. Analisis de la Estabilidad de los Sistemas no-lineales
La estabilidad es una de las caracterısticas mas importantes de los sistemas dinamicos. Al analizar
la estabilidad de dichos sistemas, surgen diferentes problemas segun la manera en que se la caracterice
y los sistemas en consideracion. Por ejemplo, considerando sistemas lineales y estacionarios, existen
metodos para poder determinar su estabilidad, como el criterio de la respuesta al impulso, el criterio
de Routh y el de Nyquist. Sin embargo cuando se tratan sistemas no-lineales, estos metodos no
tienen validez.
La riqueza dinamica de los sistemas no-lineales presenta ciertos fenomenos que no se evidencian al
estudiar los sistemas lineales [34]-[35]. Uno de estos fenomenos es la existencia de multiples puntos de
equilibrio aislados. Un sistema lineal puede tener un solo punto de equilibrio aislado, y por lo tanto
un solo estado de regimen estacionario que“si el punto es asintoticamente estable ”atrae al estado del
sistema independientemente del estado inicial. En cambio, los sistemas no lineales pueden tener varios
puntos de equilibrio, y la convergencia a uno estable depende del estado inicial. Debido a esto, resulta
2.4. ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS NO-LINEALES 17
importante estudiar la estabilidad de los diferentes puntos de equilibrio de los sistemas no-lineales
para poder entender mejor el comportamiento del mismo. En este trabajo se presenta la estabilidad
de los puntos de equilibrio de los sistemas no-lineales mediante el estudio del comportamiento del
estado en un entorno de los mismos. Para ello se presenta el concepto de estabilidad en el sentido
de Lyapunov como ası tambien una introduccion de los metodos de Lyapunov para el analisis de
estabilidad.
2.4.1. Estabilidad de los Puntos de Equilibrio
Un punto de equilibrio de un sistema dinamico es estable en el sentido de Lyapunov si todas las
soluciones que nacen en las cercanıas del punto de equilibrio permanecen en dichas cercanıas; de otra
forma resulta inestable. El punto de equilibrio ademas es asintoticamente estable si las soluciones
ademas de permanecer en las cercanıas del mismo, tienden hacia el punto de equilibrio a medida que
transcurre el tiempo. Considerese el siguiente sistema autonomo:
x = f(x) (2.22)
Suponiendo que x ∈ D es un punto de equilibrio de 2.22; o sea f(x) = 0 , se pretende caracterizar
y analizar la estabilidad de x . Por conveniencia se considera x = 0 lo cual no representa una perdida
de generalizacion ya que cualquier punto de equilibrio x 6= 0 puede ser trasladado al origen mediante
el cambio de variable y := x− x con lo que se tiene:
y = x = f(x) = f(y + x) := g(y) (2.23)
con
g(0) = 0
En esta nueva variable y, el sistema y = g(y) tiene como punto de equilibrio al origen del espacio
de estados. En consecuencia , de ahora en mas se considerara que f(x) satisface f(0) = 0 y se
estudiara la estabilidad del origen del espacio de estados x = 0 como punto de equilibrio.
Definicion 1: Si φ(t; t0, x0) representa la solucion de 2.22 dada a partir de la condicion inicial
x(t0) = x0 a partir del instante inicial t = t0 , entonces el punto de equilibrio x = 0 de 2.22 es:
Lyapunov estable si para cada ε > 0, hay un δ = δ(ε) > 0 tal que
18 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
‖x(0)‖ < δ ⇒ ‖φ(t; t0, x0)‖ < ε, ∀t > 0 (2.24)
Inestable si no es estable.
Asintoticamente estable si es estable y δ se puede elegir de modo que
‖x(0)‖ < δ ⇒ lımt→∞
φ(t; t0, x0) = 0 (2.25)
Figura 2.2: Trayectorias: (a) estable, (b) inestable y (c) asintoticamente estable.
En la Figura 2.2 se muestra una representacion grafica de la definicion 1 para los tres casos de
estabilidad definidos.
Una vez definidos los diferentes tipos de estabilidad de los puntos de equilibrio, es necesario
encontrar metodos para determinar la misma.
2.4.2. Aproximaciones Lineales de los sistemas no-lineales
Usualmente, el primer paso en el analisis de sistemas no-lineales es realizar una linealizacion en
torno a un punto de equilibrio y analizar el comportamiento del modelo lineal. Entonces el siguiente
teorema establece condiciones bajo las cuales es posible extraer conclusiones sobre la estabilidad
del origen como punto de equilibrio del sistema no-lineal a traves del analisis de estabilidad del
modelo linealizado en torno a dicho punto de equilibrio [34]-[35]. El Teorema se conoce como metodo
indirecto de Lyapunov.
Teorema 1 (Metodo Indirecto de Lyapunov): Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema
2.4. ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS NO-LINEALES 19
no-lineal dado por x = f(x) donde f : D → <n , con D ⊂ <n, es continuamente diferenciable y D
es un entorno del origen. Sea la matriz Jacobiana
A =∂f
∂x(x)|x=0 (2.26)
Entonces, notando con λi a los autovalores de A(i = 1, ..., n).
El origen es asintoticamente estable si <eλi < 0, para todo λi.
El origen es inestable si <eλi > 0, para uno o mas autovalores de A.
Este Teorema brinda un simple procedimiento para determinar la estabilidad del origen como
punto de equilibrio de un sistema no lineal a traves de su modelo incremental lineal. Sin embargo,
todavıa es posible extraer mas informacion del sistema linealizado como lo muestra el siguiente
teorema:
Teorema 2 (Hartman-Grobman): Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema no-lineal
dado por x = f(x) donde f : D → <n , con D ⊂ <n , es continuamente diferenciable y D es un
entorno del origen. Sea la matriz Jacobiana
A =∂f
∂x(x)|x=0, (2.27)
continua sobre D.
Entonces, si A no tiene autovalores nulos o imaginarios con parte real nula, existe un
homeomorfismo h, es decir una funcion que tiene inversa y ambas continuas definida en un entorno
abierto U del origen, tal que para cada x0 ∈ U , hay un intervalo abierto I0 ⊂ < que contiene al
cero de modo que para todo x0 ∈ U y t ∈ I0:
h(φ(t; t0, x0)) = eA(t−t0)h(x0) (2.28)
donde φ(t; t0, x0) representa la solucion de x = f(x) dada a partir de la condicion inicial x(0) = x0
a partir del instante inicial t =0.
Es decir, que h transforma las trayectorias del sistema no-lineal en las del sistema linealizado,
preservando la parametrizacion, o sea el sentido en el que se recorren.
Este teorema no solo brinda informacion sobre la estabilidad del punto de equilibrio sino que
20 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
tambien permite conocer cualitativamente el comportamiento de las trayectorias en un entorno del
mismo.
Ninguno de ambos teoremas establece condicion alguna cuando <eλi 6 0 para todo i, y
<eλi = 0 para algun i. En este caso, la linealizacion no es suficiente para determinar la estabilidad
del origen como punto de equilibrio del sistema no-lineal, como ası tampoco para establecer la forma
del retrato de fase entorno al origen, y se debe recurrir a alguna otra herramienta para el analisis.
2.4.3. Estabilidad en el sentido de Lyapunov
De la teorıa clasica de la Mecanica, es sabido que un sistema es estable si su energıa, una funcion
positiva, es continuamente decreciente, o sea tiene derivada negativa, hasta que el sistema alcanza
su estado de equilibrio [36]. El segundo metodo de Lyapunov es una generalizacion de este hecho.
Lyapunov demostro que ciertas otras funciones aparte de la funcion energıa pueden ser usadas para la
determinacion de la estabilidad del punto de equilibrio de un sistema. Antes de presentar el teorema
de Lyapunov se necesario revisar algunos conceptos.
Sea V : D → <. un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio D ⊂ <n
que contiene al origen, entonces:
V (x) se dice que es una funcion definida positiva si V (0) = 0 y V (x) > 0 en D.
V (x) se dice que es una funcion semidefinida positiva si V (0) = 0 y V (x) > 0en D.
V (x) se dice que es una funcion definida negativa si −V (x) es definida positiva.
V (x) se dice que es una funcion semidefinida negativa si −V (x) es semidefinida positiva.
La derivada temporal de V sobre las trayectorias de 2.22 se denomina derivada orbital, se
denota V (x), y esta dada por:
V (x) =∂V
∂xx =
∂V
∂xf(x) = ∇V (x) • f(x) =
[∂V∂x1
∂V∂x2
... ∂V∂xn
]
f1(x)
f2(x)
f3(x)
f4(x)
(2.29)
La derivada de V sobre las trayectorias del sistema depende de la ecuacion vectorial de estado
del sistema. De este modo, V (x) sera diferente para diferentes sistemas. Si φ(t; t0, x0) representa la
2.4. ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS NO-LINEALES 21
solucion de 2.22 dada a partir de la condicion inicial x(0) = x0 a partir del instante inicial t = t0 ,
entonces
V (x) =d
dtV (φ(t; t0, x0)) (2.30)
Consecuentemente, si V (x) es negativa, V sera decreciente sobre las trayectorias solucion de 2.22.
Ahora se esta en condiciones de presentar el segundo metodo o metodo directo de Lyapunov:
Teorema 3 (Metodo directo de Lyapunov): Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema
x = f(x) y sea V : D → < un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio
D ⊂ <n que contiene al origen, entonces
Si V (x) es definida positiva y V (x) es semidefinida negativa, el origen es un punto de
equilibrio estable.
Si V (x) es definida positiva y V (x) es definida negativa, el origen es un punto de equilibrio
asintoticamente estable.
Una funcion V (x) que cumple con las condiciones impuestas en el teorema anterior se denomina
funcion de Lyapunov. Este metodo es una herramienta de analisis muy poderosa. Sin embargo,
presenta dos desventajas. La primera es que no hay un metodo sistematico para hallar una funcion de
Lyapunov por lo tanto hay que proponer una funcion candidata a funcion de Lyapunov y probar si la
misma cumple con los requisitos de estabilidad. La segunda es que el teorema solo brinda condiciones
suficientes por lo tanto el hecho de no encontrar una funcion candidata a Lyapunov que satisfaga
las condiciones de estabilidad o de estabilidad asintotica no significa que el origen es inestable o no
asintoticamente estable.
Se puede demostrar que si V (x) es una funcion de Lyapunov, el conjunto de los x tal que V (x) = c,
para alguna contante c > 0 es una hypersuperficie cerrada (denominada superficie de Lyapunov
o superficie de nivel) en el espacio de estados que encierra al origen. El uso de las superficies
de Lyapunov hace que el teorema sea facilmente interpretable. Las superficies que corresponden a
constantes decrecientes 0 < c2 < c1, se encuentran ıntegramente contenidas para el caso de <2.
La condicion V (x) ≤ 0 se puede interpretar geometricamente a traves de 2.29 ya que la misma
significa que el producto escalar entre el gradiente de V y el campo vectorial f es negativo:
22 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
∇V (x) • f(x) ≤ 0 (2.31)
Teniendo en cuenta que f es un vector tangente a la trayectoria solucion, la condicion V (x) =
∇V (x) • f(x) ≤ 0 significa que cuando una trayectoria cruza una superficie de Lyapunov, esta
trayectoria lo hace hacia adentro y nunca vuelve a salir. Ademas cuando V (x) < 0 las trayectorias se
mueven desde una superficie hacia otra interior correspondiente a un c menor. Cuando c decrece, las
superficies de Lyapunov correspondientes se achican hacia el origen mostrando que las trayectorias
se aproximan al origen a medida que transcurre el tiempo. En cambio, si V (x) ≤ 0 no se puede
asegurar que las trayectorias converjan al origen, pero se puede concluir que el origen es estable ya
que las trayectorias quedaran contenidas en algun entorno ε del origen si la condicion inicial x0 esta
dentro de alguna superficie de Lyapunov contenida en dicho entorno ε [34]-[35].
2.4.4. Principio de Invariancia
Cuando V (x) es semidefinida negativa, todavıa es posible determinar la estabilidad asintotica del
origen como lo muestra el siguiente corolario del Principio de Invariancia de LaSalle:
Corolario: Sea x = 0 un punto de equilibrio de 2.22. Sea V : D → <. una funcion definida
positiva continuamente diferenciable sobre el dominio D ⊂ <n que contiene al origen x = 0 ,y ademas
V (x) ≤ 0 en D. Sea S = x ∈ <n|V (x) = 0 . Si ninguna trayectoria solucion de 2.22 que entra en
la region S permanece alli indefinidamente salvo la solucion trivial, entonces el origen es un punto
de equilibrio asintoticamente estable.
Este Corolario establece que si para un sistema de la forma de 2.22 se encuentra una funcion
de Lyapunov que es semidefinida positiva, para concluir que el origen es asintoticamente estable se
debe demostrar que cuando las trayectorias entran en la zona del espacio de estado donde se anula
V no permanecen allı para siempre a menos que se este en el punto de equilibrio [34].
2.5. Logica Difusa
La cantidad y variedad de aplicaciones de la logica difusa han crecido considerablemente. La logica
difusa es una logica alternativa a la logica clasica que pretende introducir un grado de vaguedad en
las cosas que evalua. En el mundo en que vivimos existe mucho conocimiento ambiguo e impreciso
2.5. LOGICA DIFUSA 23
por naturaleza. El razonamiento humano con frecuencia actua con este tipo de informacion. La logica
difusa fue disenada precisamente para imitar el comportamiento del ser humano. La logica difusa
se inicio en 1965 por Lotfi A. Zadeh, profesor de la Universidad de California en Berkeley. Surgio
como una herramienta importante para el control de sistemas y procesos industriales complejos,
ası como tambien para la electronica de entretenimiento y hogar, sistemas de diagnostico y otros
sistemas expertos [37]. La logica difusa en comparacion con la logica convencional permite trabajar
con informacion que no es exacta para poder definir evaluaciones convencionales, contrario con la
logica tradicional que permite trabajar con informacion definida y precisa.
¿En que situaciones es util aplicar la logica difusa? La logica difusa se puede aplicar en procesos
demasiado complejos, cuando no existe un modelo de solucion simple o un modelo matematico
preciso. Es util tambien cuando se necesite usar el conocimiento de un experto que utiliza conceptos
ambiguos o imprecisos. De la misma manera se puede aplicar cuando ciertas partes de un sistema
a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma confiable y cuando el ajuste de una
variable puede producir el desajuste de otras. No es recomendable utilizar la logica difusa cuando
algun modelo matematico ya soluciona eficientemente el problema, cuando los problemas son lineales
o cuando no tienen solucion.
2.5.1. Aplicaciones de la logica difusa
Actualmente la logica difusa tiene un sin numero de aplicaciones que afectan nuestra vida
cotidiana de alguna u otra manera, pero en ocasiones no nos percatamos. La logica difusa se ha
desarrollado en diferentes areas y a continuacion se mencionan algunas:
Control de sistemas: Control de trafico, control de vehıculos, control de compuertas en plantas
hidroelectricas, centrales termicas, control en maquinas lavadoras, control de metros (mejora
de su conduccion, precision en las paradas y ahorro de energıa), ascensores, etc. [37].
Prediccion de terremotos, optimizacion de horarios [37].
Reconocimiento de patrones y Vision por ordenador: Seguimiento de objetos con camara, re-
conocimiento de escritura manuscrita, reconocimiento de objetos, compensacion de vibraciones
en la camara, sistemas de enfoque automatico [37].
24 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
Sistemas de informacion o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos [37].
2.5.2. Teorıa de conjuntos difusos
La logica difusa permite tratar con informacion que no es exacta o con un alto grado de
imprecision a diferencia de la logica convencional la cual trabaja con informacion precisa. El problema
principal surge de la poca capacidad de expresion de la logica clasica.
Conjuntos Clasicos
Los conjuntos clasicos surgen por la necesidad del ser humano de clasificar objetos y conceptos.
Estos conjuntos pueden definirse como un conjunto bien definido de elementos o mediante una funcion
de pertenencia µ que toma valores de 0 o 1 de un universo en discurso para todos los elementos que
pueden o no pertenecer al conjunto [37].
Un conjunto clasico se puede definir con la funcion de pertenencia mostrada en la ecuacion (2.32).
µA(x) =
0 Si x /∈ A
1 Si x ∈ A(2.32)
La necesidad de trabajar con conjuntos difusos surge del hecho que existen conceptos que no
tienen lımites claros. Un conjunto difuso se encuentra asociado por un valor linguıstico que esta
definido por una palabra, etiqueta linguıstica o adjetivo. En los conjuntos difusos la funcion de
pertenencia puede tomar valores del intervalo entre 0 y 1, y la transicion del valor entre cero y uno
es gradual y no cambia de manera instantanea como pasa con los conjuntos clasicos [7]. Un conjunto
difuso en un universo en discurso pude definirse como lo muestra la ecuacion (2.33).
A = (x, µA(x)) | x ∈ U (2.33)
Donde µA(x) es la funcion de pertenecıa de la variable x, y U es el universo en discurso. Cuando
mas cerca este la pertenencia del conjunto A al valor de 1, mayor sera la pertenencia de la variable
x al conjunto A, esto se puede ver en la figura 2.3
2.5. LOGICA DIFUSA 25
Figura 2.3: Ejemplos de conjuntos difusos
2.5.3. Funciones de Pertenencia
Aun cuando cualquier funcion puede ser valida para definir un conjunto difuso, existen ciertas
funciones que son mas comunmente utilizadas por su simplicidad matematica, entre estas se
encuentran las funciones de tipo triangular (2.34), mostrado en la figura 2.4, trapezoidal (2.35)
mostrado en la figura 2.5, gaussiana,etc.
µ(x) =
0 Para x ≤ a
x−am−a Para a < x ≤ m
b−xb−m Para m < x ≤ b
0 Para x > b
(2.34)
Figura 2.4: Funcion de pertenecıa de un conjunto difuso triangular
26 CAPITULO 2. MARCO TEORICO
µ(x) =
0 Para x ≤ a
x−ab−a Para a < x ≤ b
1 Para b < x ≤ c
d−xb−c Para c < x ≤ d
0 Para x > d
(2.35)
Figura 2.5: Funcion de pertenecıa de un conjunto difuso trapezoidal
2.5.4. El Controlador Difuso
La logica difusa se aplica principalmente en sistemas de control difuso que utilizan expresiones
ambiguas para formular reglas que controlen el sistema. Un sistema de control difuso trabaja de
manera muy diferente a los sistemas de control convencionales. Estos usan el conocimiento experto
para generar una base de conocimientos que dara al sistema la capacidad de tomar decisiones sobre
ciertas acciones que se presentan en su funcionamiento [37]. Los sistemas de control difuso permiten
describir un conjunto de reglas que utilizarıa una persona para controlar un proceso y a partir de
estas reglas generar acciones de control. El control difuso puede aplicarse tanto en sistemas muy
sencillos como en sistemas cuyos modelos matematicos sean muy complejos. La estructura de un
controlador difuso se muestra en la figura 2.6.
2.6. FUSIFICACION 27
Figura 2.6: Estructura de un modelo difuso
2.6. Fusificacion
La fusificacion tiene como objetivo convertir valores reales en valores difusos. En la fusificacion
se asignan grados de pertenencia a cada una de las variables de entrada con relacion a los conjuntos
difusos previamente definidos utilizando las funciones de pertenencia asociadas a los conjuntos difusos
[37].
Base de Conocimiento
La base de conocimiento contiene el conocimiento asociado con el dominio de la aplicacion y los
objetivos del control. En esta etapa se deben definir las reglas linguısticas de control que realizaran
la toma de decisiones que decidiran la forma en la que debe actuar el sistema.
Inferencia
La inferencia relaciona los conjuntos difusos de entrada y salida para representar las reglas que
definiran el sistema. En la inferencia se utiliza la informacion de la base de conocimiento para generar
reglas mediante el uso de condiciones, por ejemplo: si caso1 y caso2, entonces accion1.
2.7. Defusificacion
La defusificacion realiza el proceso de adecuar los valores difusos generados en la inferencia en
valores crisp, que posteriormente se utilizaran en el proceso de control. En la defusificacion se utilizan
metodos matematicos simples como el metodo del Centroide, Metodo del Promedio Ponderado [37].
Capıtulo 3
Control Dual PD con compensador
En este capıtulo se desarrolla el diseno del controlador de la posicion de la esfera sobre la mesa,
primero se obtienen las leyes de control mediante una configuracion cascada, se determinan cuantos
controladores se necesitan para realizar la tarea deseada, despues se transforma el modelo del sistema
mesa-esfera en la forma de la ecuacion dinamica de un robot manipulador para poder realizar el
analisis de estabilidad, con el modelo transformado se realiza el analisis de estabilidad mediante el
metodo directo de Lyapunov con lo cual se obtiene las ecuaciones del compensador no-lineal.
3.1. Diseno del controlador
Para realizar el diseno del controlador se considera primero el modelado del mesa-esfera descrito
en el capitulo 2.
(m +
Icdm
R2
)x−mxθ2
x −myθxθy + mG sin θx = 0 (3.1)
(Icdm + mx2
)θx + 2mxxθx + mxyθy + (mxy + mxy)θy + mGx cos θx = τx (3.2)
(m +
Icdm
R2
)y −myθ2
y −mxθxθy + mG sin θy = 0 (3.3)
(Icdm + my2
)θy + 2myyθy + mxyθx + (mxy + mxy)θx + mGy cos θy = τy (3.4)
En la Figura 3.1 se muestra el diagrama de control a lazo cerrado con compensador. El diseno
28
3.1. DISENO DEL CONTROLADOR 29
Figura 3.1: Esquema de control del sistema mesa-esfera
del controlador PD se realizo en configuracion cascada, teniendo dos lazos de control para cada uno
de los ejes (x, y), La configuracion cuenta con un lazo externo de control el cual calcula el error de
posicion de la esfera para obtener el valor de salida del controlador PD1, esta salida es la posicion
angular deseada de la mesa para cada uno de sus ejes(θx, θy), el lazo interno de control determina el
error de la posicion angular de la mesa para obtener el valor de la salida del controlador PD2, esta
salida es el par aplicado a la entrada del modelo del sistema mesa esfera.
Primero se define la variable q, como un vector que contiene la posicion de la esfera (x, y) y la
posicion angular de la mesa (θx, θy):
q =
x
θx
y
θy
(3.5)
Por lo tanto qT se define como:
qT =[x θx y θy
](3.6)
Para el caso de regulacion la velocidad q = 0, por lo tanto el error de reguacion se define como:
El error de regulacion eje x:
x = x∗ − x (3.7)
30 CAPITULO 3. CONTROL DUAL PD CON COMPENSADOR
El error de regulacion eje y:
y = y∗ − y (3.8)
La ley de control del eje x, es de la siguiente forma:
Para obtener el valor de entrada al sistema mesa-esfera, se considera el valor del controlador PD
mas el valor de un compensador no-lineal πx. Por lo tanto, se tiene que la ley del lazo interno de
control se describe como sigue,
Ux = kpmx(θ∗x − θx) + kdmx(θ∗x − θx) + πx (3.9)
para el lazo externo, la ley de control es descrita de la siguiente forma,
θ∗x = kpex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x) (3.10)
La ley de control del eje y, es de la siguiente forma:
Para obtener el valor de entrada al sistema mesa-esfera, se considera el valor del controlador PD
mas el valor de un compensador no-lineal πy. Por lo tanto, se tiene que la ley del lazo interno de
control se describe como sigue,
Uy = kpmy(θ∗y − θy) + kdmy(θ∗y − θy) + πy (3.11)
para el lazo externo, la ley de control es descrita de la siguiente forma,
θ∗y = kpey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y) (3.12)
Donde kpmx,kdmx y kpmy,kdmy son constantes positivas de los controladores de la mesa, kpex,kdex
y kpey,kdey son ganancias de los controladores de la esfera.
Para problemas de regulacion el objetivo de control es estabilizar la esfera en una posicion deseada
(x∗, y∗), por lo tanto (x∗, y∗) = (0, 0). Tomando en consideracion esto, las leyes de control pueden
ser simplificadas sustituyendo la ecuacion (3.10) en la ecuacion (3.9) para el eje x de la siguiente
forma:
3.1. DISENO DEL CONTROLADOR 31
Ux = kpmx [(kpex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x))− θx] + kdmx(θ∗x − θx) + πx (3.13)
Para el eje y sustituimos la ecuacion (3.12) en la ecuacion (3.11):
Uy = kpmy [(kpey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y))− θy] + kdmy(θ∗y − θy) + πy (3.14)
Se calcula θ∗x, derivando la ecuacion 3.10:
θ∗x = kpex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x) (3.15)
Y se calcula θ∗y, derivando la ecuacion 3.12:
θ∗y = kpey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y) (3.16)
Como x y y, representan a la derivada, se tiene que las constantes kpex y kpey se transforman en
kdex y kdey, reescribiendo las ecuaciones (3.15) y (3.16) de la siguiente forma:
θ∗x = kdex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x) (3.17)
θ∗y = kdey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y) (3.18)
Sustituyendo ecuacion 3.17 y 3.18 en 3.13 y 3.14, respectivamente.
Ux = kpmx [(kpex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x))− θx] + kdmx
[(kdex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x))− θx
]
+πx
(3.19)
Uy = kpmy [(kpey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y))− θy] + kdmy
[(kdey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y))− θy
]
+πy
(3.20)
Desarrollando las ecuaciones, tenemos:
32 CAPITULO 3. CONTROL DUAL PD CON COMPENSADOR
Ux = kpmxkpexx∗ − kpmxkpexx + kdexkpmxx∗ − kpmxkdexx− kpmxθx + kdmxkdexx
−kdmxkdexx + kdmxkdexx∗ − kdmxkdexx− kdmxθx + πx
(3.21)
Uy = kpmykpeyy∗ − kpmykpeyy + kdeykpmy y∗ − kpmykdey y − kpmyθy + kdmykdey y
−kdmykdey y + kdmykdey y∗ − kdmykdey y − kdmy θy + πy
(3.22)
Como se enuncio anteriormente que en los problemas de regulacion x∗ = 0, por lo tanto x∗ = 0,
entonces:
Ux = kpmxkpexx∗ − kpmxkpexx− kpmxkdexx− kpmxθx − kdmxkdexx− kdmxkdexx
−kdmxθx + πx
(3.23)
y y∗ = 0, por lo tanto y∗ = 0, entonces:
Uy = kpmykpeyy∗ − kpmykpeyy − kpmykdey y − kpmxθy − kdmykdey y − kdmykdey y
−kdmy θy + πy
(3.24)
Sustituyendo ecuaciones 3.7 y 3.8, tenemos:
Ux = kpmxkpexx− kpmxkdexx− kpmxθx − kdmxkdexx− kdmxkdexx− kdmxθx + πx (3.25)
y
Uy = kpmykpeyy − kpmykdey y − kpmyθy − kdmykdey y − kdmykdey y − kdmy θy + πy (3.26)
Ordenando las ecuaciones:
Ux = kpmxkpexx− (kpmx + kdmx)kdexx− kdmxkdexx− kpmxθx − kdmxθx + πx (3.27)
3.2. TRANSFORMACION DEL MODELO MESA-ESFERA 33
Uy = kpmykpeyy − (kpmy + kdmy)kdey y − kdmykdey y − kpmyθy − kdmy θy + πy (3.28)
Se definen las siguientes constantes:
Para el eje x:
a1 = kpmxkpex a2 = (kpmx + kkdmx)kdex
a3 = kdmxkdex a4 = kpmx
a5 = kdmx
(3.29)
y para el eje y, tenemos:
b1 = kpmykpey b2 = (kpmy + kkdmy)kdey
b3 = kdmykdey b4 = kpmy
b5 = kdmy
(3.30)
Finalmente Ux y Uy pueden escribirse de la forma:
Ux = a1x− a2x− a3x− a4θx − a5θx + πx (3.31)
y
Uy = b1y − b2y − b3y − b4θy − b5θy + πy (3.32)
3.2. Transformacion del modelo mesa-esfera
Sustituyendo las ecuaciones (3.31) y (3.32) en las ecuaciones (3.1-3.4).
(m +
Icdm
R2
)x−mxθ2
x −myθxθy + mG sin θx = 0 (3.33)
(Icdm + mx2
)θx + 2mxxθx + mxyθy + (mxy + mxy)θy + mGx cos θx = Ux (3.34)
(m +
Icdm
R2
)y −myθ2
y −mxθxθy + mG sin θy = 0 (3.35)
34 CAPITULO 3. CONTROL DUAL PD CON COMPENSADOR
(Icdm + my2
)θy + 2myyθy + mxyθx + (mxy + mxy)θx + mGy cos θy = Uy (3.36)
Igualando todas las ecuaciones a cero, tenemos:
(m +
Icdm
R2
)x−mxθ2
x −myθxθy + mG sin θx = 0 (3.37)
(Icdm + mx2
)θx + 2mxxθx + mxyθy + (mxy + mxy)θy + mGx cos θx − a1x + a2x+
a3x + a4θx + a5θx − πx = 0(3.38)
(m +
Icdm
R2
)y −myθ2
y −mxθxθy + mG sin θy = 0 (3.39)
(Icdm + my2
)θy + 2myyθy + mxyθx + (mxy + mxy)θx + mGy cos θy − b1y + b2y+
b3y + b4θy + b5θy − πy = 0(3.40)
Se determina la matriz de inercias M(q):
M(q) =
m +Icdm
R20 0 0
a3 Icdm + mx2 0 mxy
0 0 m +Icdm
R20
0 mxy b3 Icdm + my2
(3.41)
La matriz de coriolis C(q, q):
C(q, q) =
0 −mxθx 0 −myθx
2mxθx + a2 a5 0 mxy + mxy
0 −mxθy 0 −myθy
0 mxy + mxy 2myθy + b2 b5
(3.42)
3.3. ANALISIS DE ESTABILIDAD 35
La matriz B:
B =
0 0 0 0
−a1 a4 0 0
0 0 0 0
0 0 −b1 b4
(3.43)
La matriz de gravedades G:
G(q) =
mGsenθx
mGx cos θx
mGsenθy
mGy cos θy
(3.44)
La matriz de compensadores D:
D =
0
πx
0
πy
(3.45)
Por lo tanto el modelo del sistema mesa-esfera puede ser descrito de la forma:
M(q)q + C(q, q)q + G(q) = Bq + Dπ (3.46)
3.3. Analisis de estabilidad
Antes de realizar el analisis de estabilidad, se determina si las matrices M y B pueden ser
consideradas para ser funciones candidates de Lyapunov.
Primeramente la matriz M es no simetrica para probar que es definida positiva, son calculados
los determinantes menores de la matriz. Si las constantes m > 0, R > 0, Icdm > 0, y M es un
matriz cuadrada, entonces se tiene que todos los determinantes menores de M son mayores que cero,
ademas como la posicion de la esfera es mayor que cero (x, y) > 0, se tiene que la matriz M satisface
las condiciones (3.47,3.48) para ser funcion candidata de Lyapunov.
36 CAPITULO 3. CONTROL DUAL PD CON COMPENSADOR
V (0) = qT M(q)q = 0 (3.47)
V (q) = qT M(q)q > 0 (3.48)
La matriz B es no simetrica para probar que puede ser utilizada como funcion candidata de
Lyapunov, se determina la forma cuadratica de la siguiente manera:
qT Bq = a4θ2x + a1xθx + b4θ
2y + b1yθy (3.49)
La posicion de la mesa es (θx, θy) > 0, y las constantes (a1, a4, b1, b4) > 0. Si B es una matriz
cuadrada, entonces la forma cuadratica satisface:
V (0) = qT Bq = 0 (3.50)
V (q) = qT Bq > 0 (3.51)
Despues de demostrar que aunque las matrices M y B no cumplan con las caracteristicas de
simetria, se pueden considerar para formar parte de la funcion de Lyapunov. Por lo tanto, La
estabilidad del sistema en lazo cerrado se establece en el siguiente teorema.
Despues de escribir el modelo del sistema mesa-esfera en la forma de una ecuacion 3.46, podemos
realizar el analisis de estabilidad mediante el metodo de Lyapunov.
Teorema 3.1. Considerando el sistema mesa-esfera (3.1-3.4) descrito en la forma de robot
manipulador (3.46) y las leyes de control (3.31) y (3.32), si los compensadores πx y πy son:
πx =
a2x−mxθx + mxxθx −mxθy + myxθy if x 6= 0
−mxθx −mxθy if x = 0
πy =
b2y −myθy + myyθy −myθx + mxyθx if y 6= 0
−myθy −myθx if y = 0
(3.52)
entonces el sistema mesa-esfera a lazo cerrado es asintoticamente estable,
lımt→∞ x (t) = 0
lımt→∞ y (t) = 0(3.53)
3.3. ANALISIS DE ESTABILIDAD 37
Demostracion. Si la matriz M(q) es una matriz que en su forma cuadratica es definida positiva, B
en (3.49) esta en su forma cuadratica, y recordando que θx y θy son no negativos, la siguiente funcion
descrita en forma cuadratica es usada como la funcion candidata de Lyapunov.
V (q, q) =12qT M(q)q +
12qT Bq + mGxsenθx + mGysenθy (3.54)
Para asegurar que la energia potencial EP = mG(xsenθx + ysenθy) sea positiva, dejamos que
θx ≥ 0 y θy ≥ 0, V (x, x) ≥ 0. Calculando la derivada con respecto al tiempo de la funcion candidata
y recordando que x∗ y y∗ son constantes, entonces:
dV = qT M(q)q +12qT M(q)q − qT Bq + mGxsenθx + mGx cos θx + mGysenθy + mG cos θy
(3.55)
Despejamos de la ecuacion 3.46, la matriz de inercias M(q)q:
M(q)q = Bq + Dπ − C(q, q)q −G(q) (3.56)
Sustituyendo la ecuacion 3.56 en 3.55:
dV = qT [Bq + Dπ − C(q, q)q −G(q)] +12qT M(q)q − qT Bq (3.57)
Desarrollando la ecuacion 3.57:
dV = qT Bq + qT Dπ − qT C(q, q)q − qT G(q) + 12 qT M(q)q − qT Bq (3.58)
Factorizando terminos semejantes:
dV = qT [Bq −Bq + Dπ −G(q)] +12qT M(q)q − qT C(q, q)q (3.59)
Eliminando terminos y agrupando, tenemos:
dV = qT [Dπ −G(q)] +12qT
[M(q)− 2C(q, q)
]q (3.60)
A partir de la ecuacion 3.60, diferenciamos la matriz de inercias M(q):
38 CAPITULO 3. CONTROL DUAL PD CON COMPENSADOR
M =
0 0 0 0
0 2mx 0 m(x + y)
0 0 0 0
0 m(x + y) 0 2my
(3.61)
La ecuacion 3.61, se sustituye en[M(q)− 2C(q, q)
]:
[M(q)− 2C(q, q)
]=
0 0 0 0
0 2mx 0 m(x + y)
0 0 0 0
0 m(x + y) 0 2my
−
2
0 −mxθx 0 −myθx
2mxθx + a2 a5 0 mxy + mxy
0 −mxθy 0 −myθy
0 mxy + mxy 2myθy + b2 b5
(3.62)
Desarrollando la ecuacion 3.62 y separando terminos variables de las constantes:
=
0 2mxθx 0 2myθx
−4mxθx 2mx 0 −2mxy − 2mxy + m(x + y)
0 2mxθy 0 2myθy
0 m(x + y)− 2mxy − 2mxy −4myθy 2my
−
0 0 0 0
2a2 2a5 0 0
0 0 0 0
0 0 2b2 2b5
(3.63)
Se define una nueva matriz P :
3.3. ANALISIS DE ESTABILIDAD 39
P =
0 0 0 0
−2a2 −2a5 0 0
0 0 0 0
0 0 −2b2 −2b5
(3.64)
Derivando la ecuacion 3.5, tenemos que:
q =
x
θx
y
θy
qT =[
x θx y θy
](3.65)
Por lo tanto12qT P q se calcula multiplicando primero qT P :
qT P =[
x θx y θy
]
0 0 0 0
−2a2 −2a5 0 0
0 0 0 0
0 0 −2b2 −2b5
(3.66)
qT P =[−2a2θx −2a5θx −2b2θy −2b5θy
](3.67)
Despues se multiplica la ecuacion 3.67 por q:
qT P q =[−2a2θx −2a5θx −2b2θy −2b5θy
]
x
θx
y
θy
(3.68)
qT P q = −2a2θxx− 2a5θx2 − 2b2θy y − 2b5θy
2 (3.69)
Por ultimo multiplicando la ecuacion 3.69 por (1/2),tenemos que:
12qT P q = −a2θxx− a5θx
2 − b2θy y − b5θy2 (3.70)
40 CAPITULO 3. CONTROL DUAL PD CON COMPENSADOR
Despues de la ecuacion 3.63, se calcula:
=12qT
0 2mxθx 0 2myθx
−4mxθx 2mx 0 −2mxy − 2mxy + m(x + y)
0 2mxθy 0 2myθy
0 m(x + y)− 2mxy − 2mxy −4myθy 2my
q
(3.71)
De la ecuacion 3.71, primero se realiza:
[x θx y θy
]
0 2mxθx 0 2myθx
−4mxθx 2mx 0 −2mxy − 2mxy + m(x + y)
0 2mxθy 0 2myθy
0 m(x + y)− 2mxy − 2mxy −4myθy 2my
(3.72)
=
−4mxθx
22mxxθx + 2mxθx + 2mxyθy + mθy(x + y)− 2mθyxy − 2mθyxy−
4myθy2
2myxθx − 2mθxxy − 2mθxxy + mθx(x + y) + 2myyθy + 2myθy
(3.73)
Luego multiplicamos la ecuacion 3.73 por q:
−4mxθx
22mxxθx + 2mxθx + 2mxyθy + mθy(x + y)− 2mθyxy − 2mθyxy−
4myθy2
2myxθx − 2mθxxy − 2mθxxy + mθx(x + y) + 2myyθy + 2myθy
x
θx
y
θy
(3.74)
3.3. ANALISIS DE ESTABILIDAD 41
= −4mxxθx2
+ 2mxxθx2
+ 2mxθx2
+ 2mxyθy θx + mθy θx(x + y)− 2mθy θxxy − 2mθy θxxy−
4myyθy2
+ 2myxθxθy − 2mθxθyxy − 2mθxθyxy + mθxθy(x + y) + 2myyθy2
+ 2myθy2
(3.75)
= −2mxxθx2 − 2myyθy
2+ 2mxθx
2+ 2myθy
2+ 2mxθy θx + 2myθy θx − 2mxyθy θx − 2mxyθxθy
(3.76)
Finalmente multiplicando la ecuacion 3.76 por 12 , obtenemos:
= −mxxθx2 −myyθy
2+ mxθx
2+ myθy
2+ mxθy θx + myθy θx −mxyθy θx −mxyθxθy (3.77)
Por lo tanto de la ecuacion 3.60, tenemos que el termino 12 qT
[M(q)− 2C(q, q)
]q es igual a la
suma de las ecuaciones 3.77 y 3.70:
= −a2θxx− a5θx2 − b2θy y − b5θy
2 −mxxθx2 −myyθy
2+ mxθx
2+ myθy
2+ mxθy θx + myθy θx−
mxyθy θx −mxyθxθy
(3.78)
De la ecuacion 3.60, calculamos el termino −qT G(q):
−[
x θx y θy
]
mGsenθx
mGx cos θx
mGsenθy
mGy cos θy
(3.79)
= −mxGsenθx −mxθxG cos θx −myGsenθy −myθyG cos θy (3.80)
Por ultimo se calcula el termino qT Dπ de la ecuacion 3.60:
42 CAPITULO 3. CONTROL DUAL PD CON COMPENSADOR
[x θx y θy
]
0
πx
0
πy
(3.81)
= πxθx + πy θy (3.82)
Por lo tanto, para obtener la derivada de la funcion de Lyapunov, sumamos las ecuaciones 3.78,
3.80 y 3.82:
V = πxθx + πy θy − a2θxx− a5θx2 − b2θy y − b5θy
2 −mxxθx2 −myyθy
2+ mxθx
2+ myθy
2+
mxθy θx + myθy θx −mxyθy θx −mxyθxθy + mxGsenθx −mxθxG cos θx + myGsenθy−
myθyG cos θy
(3.83)
Factorizando θx y θy:
V = −a5θx2
+ θx
[πx − a2x + mxθx −mxxθx + mxθy −myxθy −mGx cos θx
]−mxGsenθx + mxGsenθx
−b5θy2
+ θy
[πy − b2y + myθy −myyθy + myθx −mxyθx −mGy cos θy
]−myGsenθy + myGsenθy
(3.84)
Sustituyendo los compensadores:
πx =
+a2x−mxθx + mxxθx −mxθy + myxθy Si x 6= 0
−mxθx −mxθy Si x = 0(3.85)
πy =
+b2y −myθy + myyθy −myθx + mxyθx Si y 6= 0
−myθy −myθx Si y = 0(3.86)
Por lo tanto dV es:
3.3. ANALISIS DE ESTABILIDAD 43
V ≤ −a5θx2 − b5θy
2 −mG(xG sin θx + y sin θy) (3.87)
Si a5 > 0 y b5 > 0 por lo tanto V es una funcion semidefinida negativa, si el sistema se encuentra
en un punto de equilibrio, entonces [x, y] = [0, 0], por lo tanto:
V ≤ −a5θx2 − b5θy
2 (3.88)
Se concluye que el sistema es estable. Para probar si es estable asintoticamente, se usa el teorema
de LaSalle’s en la siguiente region:
Ω = [x, θx, y, θy] | dV = 0 (3.89)
Desde (3.54), dV = 0 si y solo si θx = θx = 0. Para una solucion θx,y(t) que pertenece a Ω para
todo t ≥ 0, es necesario y suficiente que θx = θy = 0 para todo t ≥ 0. Se concluye que en el sistema de
control a lazo cerrado la condicion inicial esta en Ω para cada x(t) ∈ Ω para todo t ≥ 0. Finalmente,
el origen del sistema de control a lazo cerrado es estable asintoticamente en [x, θx, y, θy] = [0, 0, 0, 0]
Comentario 3.1. En [48], [49], [50] y [51], los autores proponen controladores proporcional integral
derivativo; Sin embargo, el controlador propuesto es diferente, ya que tiene cuatro alternativas
dinamicas seleccionadas por el controlador en funcion de los valores de x e y en el sistema mesa-
esfera, que se llama Control Dual PD.
Capıtulo 4
Evaluacion y discusion
En este capıtulo se llevan a cabo diversas simulaciones empleando el controlador PD Dual
no-lineal mas el compensador. Se realizan comparaciones con otros metodos para observar el
comportamiento de nuestro metodo con respecto a los demas.
4.1. Fase de simulacion: Modelado Matematico
Antes de que las leyes de control sean aplicadas al sistema real, se realizan simulaciones. Para
estas simulaciones el modelo del sistema mesa-esfera descrito por (3.1-3.4) es usado. Estas ecuaciones
son necesarias solo para los resultados de simulacion. Para la aplicacion real no son requeridas.
Resultados de simulacion a lazo abierto, utilizando el modelo completo y acoplado del sistema
mesa-esfera.
Figura 4.1: Bloque de simulink del sistema completo a lazo abierto
En la figura 4.1, se muestra el bloque que contiene el modelo completo del sistema mesa-esfera, en
la simulacion se le aplico a la entrada un par constante, para obtener la respuesta del modelo a lazo
44
4.2. FASE DE SIMULACION A LAZO CERRADO 45
abierto. En la figura 4.2 se tiene la respuesta de la salida del modelo en el eje x, se puede observar
que la esfera al no tener un valor de referencia a seguir, su posicion crece exponencialemente. En la
figura 4.3, se tiene el comportamiento de la esfera en el eje y, que al igual su comportamiento es
alejarse exponencialmente, por lo cual se concluye que este sistema es inestable a lazo abierto.
Figura 4.2: Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-x
Figura 4.3: Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-y
En las figuras 4.4 y 4.5 se grafica la posicion de la mesa con respecto a la respuesta despues de
aplicar un par a lazo abierto, el comportamiento en el eje x es similar en el eje y, aproximadamente
las dos respuestas se estabiizan en π/2 radianes, por lo cual se puede concluir que la mesa quedo a
90o por lo cual la esfera es arroja fuera de la mesa.
4.2. Fase de simulacion a lazo cerrado
En esta seccion se realizaron diferentes simulaciones utilizando tres metodos de control. El primero
es el control propuesto en esta tesis, el cual consta de dos lazos de control en cascada mas un
46 CAPITULO 4. EVALUACION Y DISCUSION
Figura 4.4: Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la mesa sobre el eje-x
Figura 4.5: Resultados de Simulacion; Desplazamiento la mesa sobre el eje-y
compensador no lineal, el cual fue determinado mediante el analisis de estabilidad. El segundo metodo
fue emplear los mismos dos lazos de control pero en este caso no se le anade un compensador para las
no linealidades. Por ultimo se realizan simulaciones con dos lazos de control en cascada pero en lugar
de utilizar controladores PD se sustituyen por controladores mediante logica difusa. A continuacion
se presentan los esquemas de cada uno de estos controladores.
4.2.1. Control PD con Compensador y sin compensador
En la figura se muestra el diseno del controlador mediante los bloques de simulink, el bloque
denominado “BPsystem” contiene el modelo del sistema mesa esfera transformado en la forma de
la ecuacion dinamica de un brazo manipulador (3.46) , los bloques de nominados “compensador
x” y “compensador y” contienen las ecuaciones del compensador (3.52) que se determino despues
de realizar el analisis de estabilidad del sistema mediante el metodo directo de Lyapunov. Las
simulaciones con el metodo PD sin compensador se realizaron con el mismo esquema solo que el
4.3. RESULTADOS DE SIMULACION 47
switch que tienen los compensadores se cambian para anularlos. Las constantes proporcionales y
derivativas empleadas se describen en la siguiente tabla 4.2.1
Figura 4.6: Esquema de control PD Dual con compensador en Simulink
4.2.2. Control con logica difusa
En la figura 4.7, se muestra el bloque empleado de simulink para el control del sistema meas-
esfera. El modulo esta constituido por dos entradas y una salida. La primera entrada representa el
error de la posicion de la esfera y la segunda entrada corresponde a la velocidad de la esfera. La
salida del modulo representa el par aplicado al modelo del sistema mesa-esfera. Se empleo el metodo
de logica difusa del tipo Mandani. El metodo de defusificacion elegido fue del centroide.
En la figura 4.8, se muestran las funciones de pertenencia empleadas para la entrada de la posicion
de la esfera. La figura 4.9, contiene el conjunto de funciones de pertenecia empleadas para definir
al entrada de la velocidad de la esfera. La salida del modulo del controlador de logica difusa es
mostrado en la figura 4.10. En la figura 4.11, se observa el conjunto de 25 reglas utilizadas en las
simulaciones [44]
4.3. Resultados de simulacion
En esta seccion se realizan las simulaciones del metodo propuesto y de otros dos metodos (Logica
difusa y PD sin compensador no-lineal), mediante Simulink para probar el modelo (3.1-3.4), donde
M = 0,11 kg, R = 1,27 cm y G = 9,81 m/s2. Considerando que el movimiento de la esfera lento y
que no muestra tendencia a deslizar (smooth bearing), debido a la baja velocidad y aceleracion de
48 CAPITULO 4. EVALUACION Y DISCUSION
Figura 4.7: Bloque de simulink del controlador fuzzy
Figura 4.8: Bloque de simulink de la funciones de membresia de posicion
la mesa, la interaccion de los movimientos de la mesa se consideran desacoplados, por lo tanto son
aplicados dos controladores PD uno para cada eje. Primero se realiza el experimento A mostrado
en las Figuras. 4.12 y 4.13, en el cual se estan realizando la simulacion del control PD no-lineal
sin compensador, y se obtiene como resultado un error de 0.02 con respecto al valor de referencia.
Despues se realiza el experimento B mostrado en las Figuras 4.14 y 4.15, en el cual se estan realizando
4.3. RESULTADOS DE SIMULACION 49
Figura 4.9: Bloque de simulink de la funciones de membresia de velocidad
Figura 4.10: Bloque de simulink de la funciones de membresia del par
la simulacion del control PD no-lineal con compensador, y se obtiene como resultado que se elimina
el error con respecto al valor de referencia y se muestra un buen comportamiento de nuestro sistema
de control.
Para comprobar las ventajas de la doble controlador PD Dual con compensador no-lineal, se
realizaron varios experimentos de regulacion. Un primer conjunto de experimentos se llevaron a cabo
50 CAPITULO 4. EVALUACION Y DISCUSION
Figura 4.11: Bloque de simulink de las reglas
Figura 4.12: Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x sin compensador
utilizando el metodo propuesto, que implementa las leyes de control (3.31 y 3.32), estos experimentos
se repitieron utilizando el controlador de doble PD sin compensador, es decir, en las ecuaciones (3.31
y 3.32). Por ultimo, el controlador propuesto se compara con un controlador de logica difusa [47]
utilizando los mismos experimentos. Se muestran los detalles de la simulacion en las figuras 4.16
y 4.17, en donde la posicion, la velocidad y las senales de control son mostradas para el control
dual PD con compensador, control Dual PD sin compensacion, y la respuesta del controlador de
logica difusa. La figura 4.16 muestra la posicion de la esfera en el eje x, en este experimento la
4.3. RESULTADOS DE SIMULACION 51
Figura 4.13: Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y sin compensador
Figura 4.14: Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x con compensador
posicion inicial es 0,02587 m y la posicion final es 0,4375 m, se observa que el control Dual PD con
compensador alcanza el valor deseado mas rapido que los otros dos metodos . La Figura 4.17 muestra
el comportamiento de la velocidad de la esfera en el eje x, en este experimento, la velocidad inicial
es 0, la respuesta del control Dual PD con compensador logra estabilizarse mas rapidamente que los
otros dos metodos. La Figura 4.18 muestra el comportamiento de las senales de control sobre el eje
x, donde el control de doble PD con compensador muestra un mejor comportamiento.
La Tabla 4.3, muestra el tiempo en alcanzar la posicion deseada la esfera. El eje y muestra un
comportamiento muy similar como en el eje x por lo tanto, solo se presentan los graficos de las del
52 CAPITULO 4. EVALUACION Y DISCUSION
Figura 4.15: Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y con compensador
Figura 4.16: Comparacion tres metodos; Posicion de la esfera sobre el eje-x
eje x.
La Tabla 4.3, muestra el tiempo que le toma a la esfera el alcanzar la posicion deseada. En esta
tabla se realizan las simulaciones tomando los mismos puntos de inicio y final de la posicion de la
esfera, empleando un controlador con logica difusa. Dado que el eje y muestra un comportamiento
muy similar como en el eje x por lo tanto, solo se presentan los graficos de las del eje x.
La Tabla 4.3, muestra el tiempo que le toma a la esfera el alcanzar la posicion deseada al igual
que en los metodos anteriores. Esta simulacion se puede llevar a cabo, mediante el empleo de las
leyes de control determinadas en este trabajo. La conclusion despues de realizar los experimentos en
4.3. RESULTADOS DE SIMULACION 53
Figura 4.17: Comparacion tres metodos; Velocidad de la esfera sobre el eje-x
Figura 4.18: Comparacion tres metodos; Senales de control
los tres diferentes metodos, es que se encontro una mejora en el tiempo en que la esfera alcanzaba
la posicion deseada.
54 CAPITULO 4. EVALUACION Y DISCUSION
PD1 eje x Kp=11 Kd=0.5PD2 eje x Kp=325 Kd=0.1PD1 eje y Kp=11 Kd=0.5PD2 eje y Kp=325 Kd=0.1
Tabla 4.1: Constantes de los controladores PD
No. Inicial (x0, y0) Final (x, y) Tiempo Error1 (0,041, 0,455) (0,25, 0,25) 2,05 (8,7e− 4, 8,8e− 4)2 (0,257, 0,477) (0,25, 0,25) 2,8 (8,5e− 4, 7,6e− 4)3 (0,470, 0,470) (0,25, 0,25) 3,05 (8,7e− 4, 8,7e− 4)4 (0,480, 0,251) (0,25, 0,25) 2,75 (8,4e− 4, 9,5e− 4)5 (0,464, 0,022) (0,25, 0,25) 2,05 (8,7e− 4, 8,4e− 4)6 (0,249, 0,020) (0,25, 0,25) 2,6 (9,6e− 4, 8,2e− 4)7 (0,032, 0,038) (0,25, 0,25) 2,9 (9,2e− 4, 9,2e− 4)8 (0,018, 0,250) (0,25, 0,25) 2,6 (8,2e− 4, 9,7e− 4)9 (0,239, 0,247) (0,12, 0,12) 2,65 (9,2e− 4, 9,1e− 4)10 (0,410, 0,460) (0,12, 0,12) 3,2 (9,4e− 4, 9,3e− 4)11 (0,274, 0,025) (0,12, 0,12) 2 (9,5e− 4, 9,4e− 4)12 (0,472, 0,235) (0,12, 0,12) 3,1 (8,4e− 4, 9,0e− 4)13 (0,290, 0,062) (0,43, 0,43) 2,9 (9,5e− 4, 8,8e− 4)14 (0,252, 0,108) (0,43, 0,43) 2,8 (9,6e− 4, 8,9e− 4)15 (0,025, 0,248) (0,43, 0,43) 2,95 (8,8e− 4, 9,7e− 4)16 (0,020, 0,020) (0,47, 0,47) 3,25 (9,2e− 4, 9,2e− 4)17 (0,472, 0,020) (0,47, 0,47) 2,9 (9,2e− 4, 7,8e− 4)18 (0,020, 0,472) (0,47, 0,47) 2,9 (7,8e− 4, 9,2e− 4)
Tabla 4.2: Simulaciones con el control PD Dual con Compensador
No. Inicial (x0, y0) Final (x, y) Tiempo Error1 (0,041, 0,455) (0,25, 0,25) 2,95 (8,7e− 4, 4,1e− 4)2 (0,257, 0,477) (0,25, 0,25) 2,95 (1,6e− 7, 7,6e− 4)3 (0,470, 0,470) (0,25, 0,25) 2,9 (7,8e− 4, 6,8e− 4)4 (0,480, 0,251) (0,25, 0,25) 3 (7,8e− 4, 2,5e− 6)5 (0,464, 0,022) (0,25, 0,25) 3,05 (2,3e− 4, 9,4e− 4)6 (0,249, 0,020) (0,25, 0,25) 3,1 (3,3e− 6, 9,2e− 4)7 (0,032, 0,038) (0,25, 0,25) 3 (9,7e− 4, 9,9e− 4)8 (0,018, 0,250) (0,25, 0,25) 3,15 (9,2e− 4, 3,4e− 6)9 (0,239, 0,247) (0,12, 0,12) 2,5 (8,8e− 4, 8,5e− 4)10 (0,410, 0,460) (0,12, 0,12) 3.35 (8,1e− 4, 0,005)11 (0,274, 0,025) (0,12, 0,12) 2,5 (9,3e− 4, 0,001)12 (0,472, 0,235) (0,12, 0,12) 3,85 (8,2e− 4, 2,9e− 6)13 (0,290, 0,062) (0,43, 0,43) 2,9 (4,9e− 4, 0,0615)14 (0,252, 0,108) (0,43, 0,43) 3,85 (4,5e− 5, 8,0e− 4)15 (0,025, 0,248) (0,43, 0,43) 4,45 (8,8e− 4, 2,6e− 6)16 (0,020, 0,020) (0,47, 0,47) 4,65 (9,6e− 4, 9,6e− 4)17 (0,472, 0,020) (0,47, 0,47) 4,65 (3,6e− 6, 9,6e− 4)18 (0,020, 0,472) (0,47, 0,47) 4,65 (9,6e− 4, 3,6e− 6)
Tabla 4.3: Simulaciones con el control de logica difusa
4.3. RESULTADOS DE SIMULACION 55
No. Inicial (x0, y0) Final (x, y) Tiempo Error1 (0,041, 0,455) (0,25, 0,25) 3,8 (9,1e− 4, 9,2e− 4)2 (0,257, 0,477) (0,25, 0,25) 3,85 (2,8e− 5, 9,2e− 4)3 (0,470, 0,470) (0,25, 0,25) 3,85 (8,9e− 4, 8,9e− 4)4 (0,480, 0,251) (0,25, 0,25) 3,85 (9,3e− 4, 7,5e− 6)5 (0,464, 0,022) (0,25, 0,25) 3,85 (8,7e− 4, 8,9e− 4)6 (0,249, 0,020) (0,25, 0,25) 3,85 (1,8e− 6, 8,9e− 4)7 (0,032, 0,038) (0,25, 0,25) 3,8 (9,6e− 4, 9,3e− 4)8 (0,018, 0,250) (0,25, 0,25) 3,85 (9,0e− 4, 1,0e− 6)9 (0,239, 0,247) (0,12, 0,12) 3,85 (9,2e− 4, 9,8e− 4)10 (0,410, 0,460) (0,12, 0,12) 4 (7,8e− 4, 9,5e− 4)11 (0,274, 0,025) (0,12, 0,12) 3,6 (9,5e− 4, 6,3e− 4)12 (0,472, 0,235) (0,12, 0,12) 4 (9,9e− 4, 2,8e− 4)13 (0,290, 0,062) (0,43, 0,43) 4 (3,5e− 4, 9,6e− 4)14 (0,252, 0,108) (0,43, 0,43) 3,95 (5,3e− 4,9,7e− 4)15 (0,025, 0,248) (0,43, 0,43) 4,05 (9,0e− 4, 8,0e− 4)16 (0,020, 0,020) (0,47, 0,47) 4,1 (8,2e− 4, 8,2e− 4)17 (0,472, 0,020) (0,47, 0,47) 4,1 (0, 8,2e− 4)18 (0,020, 0,472) (0,47, 0,47) 4,1 (8,2e− 4, 0)
Tabla 4.4: Simulaciones con el control PD Dual sin Compensador
Capıtulo 5
Conclusiones y trabajos futuros
Se disenaron nuevas leyes de control para controlar la posicion de la esfera sobre la mesa, mediante
controladores PD en cascada. En este trabajo, un nuevo control PD con compensador exacto para
regulacion es presentado, este nuevo esquema garantiza la estabilidad a lazo cerrado del sistema.
Para comprobar esto, primero se realizo el analisis de estabilidad mediante el metodo directo de
Lyapunov. El compensador exacto requiere tener un conocimiento preciso de las no linealidades del
sistema, sin embargo, la metodologıa de como obtenerlo se presento en detalle. Por otra parte, el
resultado de las simulaciones muestra su excelente rendimiento, dado el mejor comportamiento en
comparacion con los otros controladores seleccionados.
El control PD Dual con compensacion no-lineal se ha presentado para resolver el problema de
regulacion del sistema mesa-esfera. Para utilizar estos controladores, se obtuvo un nuevo modelo
dinamico en la forma de un robot manipulador. El modelo no-lineal propuesto es muy util para
disenar y validar diferentes algoritmos de control que a continuacion se pueden extrapolar a los
problemas con las mismas caracterısticas, una de las ventajas de trabajar con un modelo no-lineal es
que la dinamica completa se puede ver, por lo que es posible analizar el comportamiento del sistema
en cada punto de equilibrio. Primero se describio en un modelo del sistema mesa esfera, el cual
consta de cuatro ecuaciones diferenciales, obtenidas mediante el metodo de Lagrange, despues se
enunciaron las principales caracterısticas del controlador PD, este controlador fue seleccionado para
controlar la posicion de la esfera sobre la mesa, como se trata de un sistema no-lineal y acoplado
se le agrego un compensador para la parte no-lineal, este compensador es encontrado a partir de la
transformacion del sistema en una ecuacion que representa la dinamica de un robot manipulador.
Se desarrollo el diseno del controlador de la posicion de la esfera sobre la mesa, obteniendo las leyes
56
5.1. ARTICULOS ACEPTADOS Y EN REVISION 57
de control mediante una configuracion cascada, se determinaron cuantos controladores se necesitan
para realizar la tarea deseada, modelo del sistema mesa-esfera en la forma de la ecuacion dinamica
de un robot manipulador se utilizo para realizar el analisis de estabilidad, mediante el metodo
directo de Lyapunov con lo cual se obtiene las ecuaciones del compensador no-lineal. Al utilizar
el primer metodo de Lyapunov, una nueva funcion de Lyapunov se presenta, con esta funcion la
estabilidad asintotica del sistema a lazo cerrado puede ser garantizada. El compensador exacto
requiere tener un conocimiento preciso de las no linealidades del sistema, sin embargo, la metodologıa
de como obtenerlo se presento en detalle. Por otra parte, el resultado de las simulaciones muestra su
excelente rendimiento, dado el mejor comportamiento en comparacion con los otros controladores
seleccionados. Como trabajo futuro, se desarrollara un regulador PD con un compensador inteligente
ademas de incorporar un observador.
5.1. Artıculos aceptados y en revision
1. PD regulation for Ball and Plate System, World Automation Congress - Special session – 9th
International Symposium on Intelligent Automation and Control (ISIAC), enviado el 17 de
octubre del 2011.
2. Dual PD control regulation with nonlinear compensation for a ball and plate system,
International Journal of Advanced Robotic Systems, enviado el 14 de abril de 2013.
3. PD visual control with nonlinear compensation for a ball and plate system, Congreso Nacional
de Control Automatico AMCA 2013, enviado el 3 de junio de 2013.
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