Bag 7 Koordinat Kutub (4)

8/17/2019 Bag 7 Koordinat Kutub (4)

1/20

Bagian 7

Koordinat Kutub

Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Andapelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yangberhubungan dengan koordinat kutub, yaitu sistem koordinat yang terdiri dari nilai xdan nilai sudut. Pengetahuan teknik integrasi dan teknik differensial yang telah

Anda pelajari pada bagian sebelumnya, sangat bermanfaat untuk digunakan padabagian tujuh ini. Untuk itu kuasai teknik integrasi dan differensial agar Anda tidakmempunyai masalah dalam penyelesaian soal koordinat kutub.

Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan bagian 7 Koordinat

Kutub adalah Anda akan mampu:1. Membuat gambar grafik yang berasal dari persamaan kutub.2. Menentukan koordinat kartesius yang berasal dari koordinat kutub, dan

sebaliknya.3. Menentukan persamaan ellips untuk koordinat kutub.4. Menentukan titik potong untuk dua grafik koordinat kutub.5. Menghitung garis singgung dan menghitung luas grafik koordinat kutub.

7.1 Sistem Koordinat Kutub

Dua orang Perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes, telah

memperkenalkan system koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutansystem koordinat Cartesius atau siku-siku. Dasar pemikiran mereka ialah untukmenunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulisdengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari duasumbu yang tegak lurus sesamanya (Gambar 7.1). Sistem koordinat ini adalah dasardari geometri analitik, dan sangat membantu pengembangan kalkulus diferensialdan kalkulus integral yang kita capai hingga saat ini.

Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satu-satumya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lainadalah menggunakan apa yang disebut koordinat kutub.

Gambar 7.1 Gambar 7.2

Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 119


2/20

7.1.1 Koordinat Kutub

Kita mulai dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan

sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titikasal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan danoleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuahsystem koordinat siku-siku. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotonganantara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yangmemancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudutantara sinar dan sumbu kutub, maka (r, θ) dinamakan sepasang koordinat kutub dari titik P (Gambar 7.2).

Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kitamenggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas demikian telah tergambar lingkaran-lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. Kita dapatmelihatnya pada Gambar 4.3, pada gambar ini telah terlukis beberapa titik.


Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinatCartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwasudut-sudut θ + 2πn, n = 0, ±1, ±2,…memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titikdengan koordinat kutub (4, π/2) juga memiliki koordinat (4, 5π/2), (4, 9π/2), (-4,3π/2), dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilaiyang negatif. Dalam hal ini (r, θ) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan

sinar yang dibentuk oleh θ dan yang terletak r satuan dari titik asal. Dengandemikian, titik dengan koordinat kutub (-3, π/6) dapat kita lihat pada Gambar 4.4,sedangkan (-4, 3π/2) adalah koordinat lain untuk (4, π/2). Titik asal mempunyaikoordinat (0, θ), di mana θ sudut sembarang.

7.1.2. Persamaan KutubContoh persamaan kutub adalah:

r = 8 sin θ dan r =θ cos-1

2



3/20

Seperti halnya dengan system koordinat siku-siku, kita juga dapat menggambarkangrafik sebuah persamaan kutub. Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titikyang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhipersamaan yang bersangkutan. Salah satu cara untuk menggambar grafik itu adalahdengan menyusun daftar nilai-nilai koordinat, kemudian menggambar titik dengankoordinat-koordinat yang bersangkutan dan akhirnya menghubungkan titik itudengan sebuah kurva yang mulus.

Contoh 7.1. : Gambar grafik persamaan kutub r = 8 sin θ

Penyelesaian :Kita ganti kelipatan π/6 untuk θ dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabilaθ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali (Gambar 4.5).

Contoh 7.2

Gambarlah grafik dari r =θ cos-1

2

Penyelesaian :Lihat Gambar 4.6. Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan systemkoordinat siku-siku. Koordinat (-2, 3π/2) tidak memenuhi persamaan. Walaupun

demikian titik P (-2, 3π/2) terletak pada grafik, sebab (2, π/2) merupakan koordinat Pdan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwadalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidakmemenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yangbersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Kenyataan ini mengakibatkanbanyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.



4/20

Gambar 7.6

7.1.3. Hubungan dengan Koordinat Cartesius Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius.Maka koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itudihubungkan oleh persamaan :

x = r cos θ r 2 = x2 + y2

y = r sin θ tan θ =

x

y

Hubungan tersebut jelas berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadranpertama, yang dapat kita lihat pada Gambar 4.7. mudah dibuktikan untuk titik-titikdalam kuadran lain.


Contoh 7.3Tentukan koordinat Cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah (4, π/6).

Tentukan juga koordinat kutub titik yang koordinat Cartesiusnya adalah (-3, 3 ).

Penyelesaian :Jika (r, θ) = (4, π/6), maka



5/20

x = 4 cos6

π = 4 .

2

3 = 2 3

y = 4 sin6

π = 4 .

2

1 = 2

Jika, (x, y) = (-3, 3 ), maka (lihat Gambar 8)

r 2 = (-3)2 + ( 3 )2 = 12

tan θ =3

3

−

Salah satu nilai (r, θ) adalah (2 3 , 5π/6). Nilai lainnya adalah (-2 3 , -π/6).

Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannya

dalam system Cartesius. Sebagai contoh kita sajikan kasus di bawah ini.

Contoh 7.4Buktikan bahwa grafik persamaan r = 8 sin θ (Contoh 1) adalah sebuah lingkarandan bahwa grafik persamaan r = 2 / (1- cos θ) (Contoh 2) adalah sebuah paraboldengan jalan menulis persamaan Cartesius kurva tersebut.

Penyelesaian :Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan r = 8 sin θ dengan r, kita peroleh

r 2 = 8r sin θ dalam bentuk Cartesius persamaan tersebut, menjadi :

x2 + y2 = 8ydan persamaan ini dapat diubah sebagai berikut :

x2 + y2 - 8y = 0x2 + y2 - 8y + 16 = 16

x2 + (y - 4)2 = 16Persamaan terakhir ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 4) danberjari-jari 4.

PERHATIKANKarena r bisa bernilai 0, ada kesalahan yang mungkin terjadi dalam mengalikankedua sisi pada suatu persamaan kutub dengan r atau dalam membagi keduabagian tersebut dengan r. Pada kasus yang pertama, kita dapat menambahkankutub pada grafik; pada kasus kedua, kita dapat menghilangkan kutub dari grafik.Dalam Contoh di atas, kita kalikan kedua sisi dari r = 8 sin θ dengan r tanpamenimbulkan kesalahan karena kutubnya telah terdapat pada grafik sebagaimanatitik dengan koordinat-θ 0.

Persamaan kedua kita ubah berturut-turut sebagai berikut :

r =θ cos-1

2

r – r cos θ = 2r - x = 2

r = x + 2r 2 = x2 + 4x + 4

x2 + y2 = x2 + 4x + 4

y2

= 4(x + 1)



6/20

Kita lihat bahwa persamaan terakhir ini adalah persamaan parabol dengan puncak di(-1, 0) dan dengan fokus di (0, 0)

7.1.4. Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran dan Konik

Jika sebuah garis melalui kutub, persamaannya adalah θ = θ0. Apabila garis tidakmelalui kutub, maka garistersebut berjarak misalnya d dari kutub (d>0). Andaikan θ0 sudut antara sumbu kutub dan garis tegak lurus dari kutub pada garis itu (Gambar7.9). Apabila P (r, θ) sebuah titik pada garis, maka cos (θ - θ0) = d/r, atau

Garis : r =)-(cos

d

0θ θ

Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di kutub, pesamaannya adalahr = a. Apabila pusatnya di (r 0, θ0), persamaannya agak rumit, kecuali kalau kita pilih

r 0 = a (Gambar 7.10). Maka menurut hukum kosinus, a2 = r2 + a2 – 2ra cos (θ - θ0)yang dapat disederhanakan menjadi :

Lingkaran : r = 2a cos (θ - θ0)


Suatu hal yang menarik jika θ0 = 0 dan θ0 = π/2. Yang pertama menghasilkan

persamaan r = 2a cos θ ; yang kedua menghasilkan r = 2a cos (θ – π/2) atau r = 2asin θ. Persamaan terakhir hendaknya dibandingkan dengan Contoh 1.

Akhirnya kalau sebuah konik (elips, parabol atau hiperbol) diletakkan sedemikianhingga fokusnya berada di kutub, garis arahnya berjarak d satuan dari kutub

(Gambar 7.11), maka dengan menggunakan definisi konik, yaitu PLePF = kita

akan memperoleh

r = e [ ])-cos(r-d 0θ θ

atau secara setara : Konik : r =

)-cos(e1

ed

0θ θ +



7/20

Gambar 7.11

Ada lagi kasus yang menarik, yaitu untuk θ0 = 0 dan θ0 = π/2. Perhatikan bahwaapabila e = 1 dan θ0 = 0 kita memperoleh persamaan dalam Contoh 7.2.

Hasil di atas kita ikhtisarkan dalam diagram berikut:



8/20

Contoh 7.5

Tentukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan21 , berfokus di kutub

dan dengan garis arah tegak yang jaraknya 10 satuan disebelah kanan kutub.

Penyelesaian :

r =θ cos1

10.

21

21

+ =

θ cos2

10

+

Contoh 7.6

Tentukan jenis konik dan gambarlah grafik yang persamaannya r =θ sin42

7

+

Penyelesaian Kita tulis persamaan itu dalam bentuk baku sebagai berikut.

r =θ sin42

7

+ =

θ sin21

27

+ =

θ sin21

)(227

+

yang kita kenal sebagai koordinat kutub menggambar sebuah hiperbol dengan e = 2,

berfokus di kutub dan dengan garis arah yang mendatar, sejauh47 satuan di atas

sumbu polar (Gambar 7.12).

Gambar 7.12

7.1.5 Grafik Persamaan Kutub

Grafik persamaan kutub yang telah dibahas sebelumnya terdiri atas garis, lingkarandan konik. Sekarang kita akan membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya,yaitu kardioid, limason, mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namunpersamaannya tetap sederhana kalu digunakan persamaan kutub. Dituangkandengan koordinat siku-siku, persamaannya tidak lagi sederhana. Jadi kita dapatmelihat keuntungan adanya system koordinat ini. Ada kurva-kurva yangpersamaannya sederhana dalam suatu system dan ada kurva yang persamaannyasederhana dalam system lain. Sifat demikian akan kita gunakan kelak untukmemecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu system koordinat yang tepat.



9/20

Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini adabeberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannyadapat dilihat pada gambar yang bersangkutan.

1. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x (yaitu sumbu kutub danperpanjangannya ke kiri) apabila θ diganti dengan –θ menghasilkan persamaanyang sama (Gambar 7.13).

2. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y (yaitu garis θ = π/2) apabila θ diganti dengan π-θ menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.14).

3. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila r diganti –rmenghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.15).

Karena penggambaran banyak titik di dalam koordinat kutub, maka kemungkinanadanya simetri tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.

Gambar 7.13 Gambar 7.14 Gambar 7.15

7.2 Kardiod dan Limason

Kita perhatikan persamaan yang berbentuk

r = a ± b cos θ r = a ± b sin θ

a, b konstanta yang positif. Grafiknya dinamakan limason, di mana dalam halkhusus yaitu untuk a = b disebut kardiod. Grafiknya untuk tiap-tiap kasus dapatdilihat pada Gambar 7.16.



10/20

Gambar 7.16

Contoh 7.7Selidiki persamaan r = 2 + 4 cos θ mengenai kesimetrian dan gambarlah grafiknya.

PenyelesaianOleh karena kosinus adalah fungsi genap (artinya cos(-θ) = cos θ, untuk semua θ),grafiknya simetrik terhadap sumbu x. Pengujian kesimetrian yang lain tidak berhasil.Daftar nilai dan grafiknya dapat dilihat pada Gambar 7.17.

Gambar 7.17

7.2.1. Lemniskat

Grafik dari:

r 2 = ± a cos 2θ r 2 = ± a sin 2θ

dinamakan lemniskat, dan berbentuk angka delapan.

Contoh 7.8Selidiki persamaan r 2 = 8 cos 2θ tentang kesimetrian dan gambarlah grafiknya.

Penyelesaian Oleh karena cos (-2θ) = cos 2θ dan cos (2(π-θ)) = cos (2π - 2θ) = cos (-2θ) = cos2θ



11/20

Maka grafiknya adalah simetrik terhadap sumbu x dan sumbu y (garis θ =21 π). Jadi

simetrik juga terhadap titik asal. Daftar nilai dan grafik diperlihatkan pada Gambar

4.18.

Gambar 7.18

7.2.2. Mawar Grafik persamaan kutub yang berbentuk

r = a cos nθ r = a sin nθ

adalah kurva-kurva berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Banyaknya daunmawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap.

Contoh 7.9Selidiki r = 4 sin 2θ mengenai kesimetrian dan kemudian gambarlah grafiknya.

PenyelesaianPersamaan tersebut tidak memenuhi pengujian kesimetrian yang pertama dan yangketiga. Sedangkan yang kedua menghasilkan :sin 2(θ - π) = sin (2π - 2θ) = sin 2θ

Akan tetapi, grafiknya mempunyai ketiga jenis kesimetrian yang segera akan kitatemukan. Ingat bahwa pengujian kita di atas adalah cukup, bukannya perlu.

Untuk menggambar grafik yang benar, kita menyusun sebuah daftar nilai yang agak

lengkap untuk 0 ≤ θ ≤ π/2 dan yang agak ringkas untuk π/2 ≤ θ ≤ 2π. Daftar ini dangrafiknya dapat dilihat pada Gambar 7.19. Anak panah pada grafik menggambarkanarah gerak titik P(r, θ) sepanjang grafik apabila θ naik dari 0 hingga 2π.



12/20

Gambar 7.19

7.2.3. Spiral

Grafik persamaan r = aθ disebut spiral Archimedes; grafik persamaan r = aebθ dinamakan spiral logaritma.

Contoh 7.10Gambarlah grafik r = θ untuk θ ≥ 0.

PenyelesaianKita hilangkan daftar nilai, tetapi perhatikan bahwa grafik memotong sumbu kutub di(0, 0), (2π, 2π), (4π, 4π),…dan memotong perpanjangannya yang ke kiri di (π, π),

(3π, 3π), (5π, 5π),…seperti dapat dilihat pada Gambar 4.20.

7.3 Perpotongan Kurva-kurva Dengan Koordinat Kutub

Dalam koordinat Cartesius, semua titik potong dua kurva dapat dicari dengan jalanmenyelesaikan persamaan kurva bersama-sama. Hal ini tidak selalu mungkin jikakita menggunakan koordinat kutub. Ini disebabkan sebuah titik P memiliki banyakkoordinat kutub, dan

Gambar 7.20

Satu pasang dapat memenuhi persamaan polar dari kurva yang lain. Misalnya (lihat

Gambar 4.21), lingkaran r = 4 cosπ memotong garis θ = π/3 di dua titik, yaitu kutubdan (2, π/3). Tetapi harga pasangan terakhir inilah yang memenuhi kedua



13/20

persamaan tersebut. Ini disebabkan koordinat kutub yang memenuhi persamaangaris adalah (0, π/3) dan yang memenuhi persamaan lingkaran adalah (0, π/2).

Kesimpulan kita adalah sebagai berikut: Untuk dapat memperoleh semuaperpotongan dua kurva dengan koordinat kutub, selesaikanlah persamaan-persamaan bersama-sama; kemudian gambarlah grafiknya secara seksama untukmemperoleh titik potong lain yang masih mungkin.


Contoh 7.11Tentukan titik potong kardioid r = 1 + cos θ dan r = 1 - sin θ.

Penyelesaian Apabila r dihilangkan dari dua persamaan tersebut, kita peroleh 1 + cos θ = 1 - sin

θ. Jadi cos θ = - sin θ, atau tan θ = -1. Kita simpulkan bahwa θ =43 π dan θ =

47 π,

yang menghasilkan dua titik potong (1- 221 , π

43 ) dan (1+ 2

21 , π

43 ). Grafik pada

Gambar 7.22, memperlihatkan, adanya titik potong yang ketiga, yaitu kutub. Inidisebabkan r = 0 dalam persamaan r = 1 + cos θ menghasilkan θ = π, tetapi r = 0dalam persamaan r = 1- sin θ kita peroleh θ = π/2.

7.4 Kalkulus Dengan Koordinat KutubDua persoalan paling mendasar dalam kalkulus adalah menentukan kemiringangaris singgung kurva dan menentukan luas suatu daerah yang dibatasi oleh sebuahkurva. Dalam sub bab ini, kita akan membahas kedua persoalan itu denganmenggunakan koordinat kutub. Dengan koordinat Cartesius, unsure luas dasaradalah luas persegi panjang. Dengan koordinat kutub unsure luas dasar ini adalahluas suatu juring (sektor) lingkaran (Gambar 7.23). Oleh karena luas lingkarandengan jari-jari r adalah πr 2 , kita dapat menarik kesimpulan bahwa luas sektorlingkaran dengan sudut pusat θ radian adalah (θ/2π)πr 2 . Sehingga :



14/20

Gambar 7.23

7.4.1. Luas dalam Koordinat Kutub

Andaikan r = f(θ) menentukan sebuah kurva pada bidang dengan f kontinu dan taknegatif untuk α ≤ θ ≤ β dan β-α ≤ 2π. Maka kurva r = f(θ), θ = α’ dan θ = β membatasi sebuah daerah R (Gambar 7.24 kiri); kita hendak menentukan luas

A(R).

Kita bagi selang [ ] β α , menjadi n bagian selang oleh bilangan-bilangan θi, I = 0, 1,2, …n dengan α = θ0 < θ1 < θ2 < …< θn = β dengan demikian daerah R terbagimenjadi daerah yang lebih kecil, yaitu R1, R2,…, Rn (Gambar 7.24 kanan). Maka

A(R) = A(R1) + A(R2) + … + A(Rn).

Kita aproksimasi luas A(Ri) dengan dua jalan. Pada selang ke-I, [ ]i1-i ,θ θ , f

mencapai nilai minimum di ui dan mencapai nilai maksimumnya di v i (Gambar 4.25).Jadi, apabila Δθi = θi - θi-1, kita peroleh

[ ] )f(u 2i21

iθ Δ ≤ A(Ri) ≤ [ ] )f(v

2

i21

iθ Δ

dengan demikian

≤ ∑ ≤ =

n

i 1

i )A(R [ ]∑=

Δn

i 1

i

2

i21 )f(v θ [ ]∑

=

Δn

i 1

i

2

i21 )f(u θ

Gambar 7.24



15/20

ambar 7.25

Ruas pertama dan ruas ketiga pertidaksamaan tersebut adalah jumlah Riemann

dan integral yang sama, yaitu,

G

∫ β

1 2

α

2[f(θ)] dθ. Apabila norm partisi kita buat menuju

nol, kita peroleh (Prinsip Apit) rumus untuk luas, yaitu:

A = ∫ β

α

21 [f(θ)]2dθ

entu saja rumus ini dapat dihafalkan. Akan tetapi yang lebih penting ialah

Contoh 7.12

Tmengingat cara bagaimana rumus ini kita peroleh. Juga dalam koordinat kutub, tigakata kunci yang diperlukan ialah, potongan, aproksimasi , dan integralkan. Di bawahini diberikan contoh-contoh tentang apa yang kita maksud.

daerah yang dibatasi oleh limason r = 2 + cos θ.

enyelesaianada di Gambar 7.26; θ bergerak dari 0 hingga 2π. Kita potong,

.4.2. Titik-titik Ekikordial

ama dengan lingkaran memiliki suatu titik ekikordial (yaitu suatu titik

Tentukan luas

PGambar grafikaproksimasi dan kemudian integralkan.

7

Limason bersyang dilalui oleh talibusur-talibusur yang panjangnya sama). Untuk limason r = 2 +cos θ pada Contoh 7.12.



16/20

Gambar 7.26

Semua talibusur yang melalui kutub memiliki panjang 4. Perhatikan bahwa limasonini mempunyai luas 9π/2, sedangkan lingkaran berdiameter 4 yang bersesuaiandengannya mempunyai luas 4π. Jadi, memiliki talibusur yang panjangnya samadalam semua arah melalui suatu titik belum cukup untuk menghitung luas.

Di sini diberikan satu soal terkenal yang tidak terpecahkan yang pertama kalidiajukan pada tahun 1916. Dapatkah sebuah daerah pada bidang memiliki dua titikekikordal ? Jawaban yang benar untuk pertanyaan ini (dengan buktinya) akanmembuat Anda menjadi terkenal. Tetapi kami sarankan agar Anda menjawab soalini pada bagian akhir pasal ini sebelum mencoba menjawab tantangan ini.

Karena kesimetrian, integral kita peroleh dengan batas antara 0 dan π dankemudian mengalikannya dengan 2. Jadi,

A = ∫ ++π

θ θ θ 0

2 d )coscos44(

= ∫ ∫ ∫ +++π π π

θ θ θ θ θ 0 0 0

d )2cos1(2

1 d cos44d

=

∫ ∫ ∫++

π π π

θ θ θ θ θ 0 0 0

d 2.2cos4

1 d cos4

2

9d

=

π

θ 02

9⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ [ ] +π θ 0sin4

π

θ 0

2sin4

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=2

9π

Contoh 7.13Tentukan luas satu daun dari mawar berdaun-empat r = 4 sin 2θ.

Penyelesaian

Mawar lengkap telah digambar pada Contoh 7.13, subbab sebelumnya. Di sini kitaperlihatkan daun yang ada dalam kuadran pertama (Gambar 7.27).



17/20

[ ] θ θ Δ≈Δ 2)f(2

1 A

A = ∫2/

0

2d )2sin4(2

1 π θ θ

A = ∫2/

0

2 d 2sin162

1π

θ θ = θ θ

π

d 2

4cos-1 8

/2

0

∫

A = ∫∫/2

0

2/

0

d 4.4cos - d 4π π

θ θ θ

A = [ ] -2/04 π

θ [ ] 2/04sinπ

θ = 2π

Gambar 7.27

Contoh 7.14Tentukan luas daerah yang ada di luar kardioid r = 1 + cos θ dan di dalam lingkaran

r = 3 sin θ.

PenyelesaianGrafik kurva yang diketahui digambarkan pada Gambar 7.28. Kita perlukan

koordinat θ titik-titik potong; nilai θ kita tentukan dengan mencoba menyelesaikankedua persamaan secara serentak.

1 + cos θ = 3 sin θ

1 + 2 cos θ + cos2 θ = 3 sin2 θ 1 + 2 cos θ + cos2 θ = 3(1 - cos2 θ)

4 cos2 θ + 2 cos θ - 2 = 02 cos2 θ + cos θ - 1 = 0

(2 cos θ – 1)(cos θ + 1) = 0

[ ] θ θ θ Δ+≈Δ 22 )cos(1-sin32

1 A



18/20

A = [ ] θ θ θ π

π

d )cos(1-sin32

1

/3

22

∫ +

cos θ =2

1, -1 θ =→

3

π , π

A = [ ] θ θ θ θ π

π

d cos-cos2-1-sin32

1

/3

22

∫

= θ θ θ θ π

π

d )cos2(12

1 -cos2-1-)2cos-(1

2

3

2

1

/3

∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+

= [ ] θ θ θ π

π

d 2cos2- cos2-

2

1

/3

∫

= [ ]π π θ θ 3/2sin-sin2-2

1

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

2

3

2

32

2

1 = 1.299

4

33≈

Gambar 7.28

7.4.3. Garis Singgung dalam Koordinat KutubDengan koordinat Cartesius, kemiringan (slope) m dari garis singgung pada sebuahkurva adalah m = dy/dx. Dengan koordinat kutub kemiringan ini bukanlah dr/dθ.

Apabila r = f(θ) menentukan persamaan kurva, kita tulis

y = r sin θ = f(θ)sin θ x = r cos θ = f(θ)cos θ

Jadi,

θ

θ

θ

θ

θ dx/d

dy/d

x/

y/ lim

x

y lim

dx

dy

00x=

ΔΔ

ΔΔ=

Δ

Δ=

→Δ→Δ



19/20

karena itulah,

θ θ θ θ θ θ θ θ )cos(f' )sinf(

)sin(f' )cosf( m+−

+=

Rumus di atas menjadi sederhana apabila grafik r = f(θ) melalui kutub. Andaikan,sebagai contoh, untuk suatu sudut α, r = f(α) = 0 dan f’(α) ≠ 0. Maka di kutubtersebut kita peroleh

α α α

α α tan

)cos(f'

)sin(f' m ==

Oleh karena garis θ = α memiliki kemiringan tan α juga, maka kita dapat

mengatakan bahwa garis tersebut menyinggung kurva di kutub.Jadi dapat ditarikkesimpulan bahwa garis singgung kurva di kutub dapat ditemukan denganmenyelesaikan persamaan f( θ ) = 0. Kita beri contoh sebagai berikut.

Contoh 7.15Perhatikan persamaan kutub r = 4 sin 3θ.

a. Tentukan kemiringan garis singgung di θ = π/6 dan θ = π/4.b. Tentukan garis singgung di kutub.c. Gambar grafik.d. Tentukan luas satu daun kurva.

Penyelesaian

a.θ θ θ θ

θ θ θ θ )cos(f' )sinf(

)sin(f' )cosf( m+−

+= =θ θ θ θ

θ θ θ θ cos3cos12 sin3sin4sin3cos12 cos3sin4

+−+

Di θ = π/6,

m = 3-

2

3 .0.12

2

1 .1.4-

2

1 .0.12

2

3 1..4

=

+

+

Di θ = π/4,

m =21

6-2-6-2

2

2 .

2

2 .12-

2

2 .

2

2 .4-

2

2 .

2

2 .12

2

2 .

2

2 .4

==

+

b. Kita misalkan f(θ) = 4 sin 3θ = 0. Setelah iselesaikan diperoleh θ = 0, θ = π/3,θ = 2π/3, θ = π, θ = 4π/3, dan θ = 5π/3.

c. Berhubungsin 3(π-θ) = sin (3π-3θ) = sin 3π cos 3θ - cos 3π sin 3θ = sin 3θ Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik simetri terhadap sumbu y, kita susundaftar nilai fungsi dan kemudian kita gambar grafik fungsi. Grafik ini diperlihatkan

pada Gambar 7.29.



20/20

Gambar 7.29

d. A = ∫ ∫=3/

0

/3

0

22 d 3sin8 d )3sin4(2

1π π

θ θ θ θ

= ∫ ∫ ∫=3/

0

/3

0

/3

0

d 6.6cos6

4 -d 4 d )6cos-1(4

π π π

θ θ θ θ θ

=3

4 6sin

3

2 -4

3/

0

π θ θ

π

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡


Bag 7 Koordinat Kutub (4)

Documents

Transcript of Bag 7 Koordinat Kutub (4)