BAB III MODEL THRESHOLD GENERALIZED …repository.upi.edu/18264/2/S_MTK_1104622_Chapter3.pdfModel...

19 Ryaneka Darmawan, 2015 PENERAPAN MODEL THRESHOLD GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTIC (TGARCH) DALAM PERAMALAN HARGA EMAS DUNIA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

BAB III

MODEL THRESHOLD GENERALIZED AUTOREGRESSIVE

CONDITIONAL HETEROSCEDASTIC (TGARCH)

3.1 Desain Penelitian

Dalam skripsi ini, penulis menerapkan model Threshold Generalized

Autoregressive Conditional Heteroscedastic (TGARCH) dalam peramalan harga

emas dunia. Skripsi ini, menjelaskan dan mengaplikasikan model TGARCH dalam

sebuah studi kasus untuk lebih mudah dipahami dan sebagai referensi mengenai

peramalan.

3.2 Jenis dan Sumber Data

Data yang digunakan dalam skripsi ini adalah data sekunder yang didapat dari

situs www.kitco.com, data lengkapnya dapat dilihat pada lampiran satu. Data yang

digunakan dalam skripsi ini adalah data harga emas dunia harian dalam satuan troy

ounce dan mata uang dollar dengan periode 03 Januari 2006 sampai 30 Januari

2015.

3.3 Metode Pengumpulan Data

Metode pengumpulan data yang digunakan dalam skripsi ini adalah observasi

tanpa melibatkan responden yang berarti penulis mendapatkan data yang telah ada

atau sudah disediakan.

3.4 Model Threshold Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic

(TGARCH)

Model Threshold Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic

(TGARCH) pertama kali diperkenalkan oleh Zakoian pada tahun 1994. Model

TGARCH merupakan salah satu model kasus heteroskedastisitas. Model TGARCH

yang memiliki orde 𝑝 dan 𝑞 dituliskan TGARCH(𝑝, 𝑞), yang didefinisikan sebagai

berikut

𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝑎𝑡

𝜎𝑡2 = 𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖

2

𝑝

𝑖=1

+ ∑ 𝛾𝑖 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

+ ∑ 𝛽𝑗 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

http://www.kitco.com/

20

Ryaneka Darmawan, 2015 PENERAPAN MODEL THRESHOLD GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTIC (TGARCH) DALAM PERAMALAN HARGA EMAS DUNIA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

dimana

𝑁𝑡−𝑖 = {1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎𝑡−𝑖 < 00, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎𝑡−𝑖 ≥ 0

𝛼0, 𝛼𝑖, dan 𝛽𝑗 adalah parameter model TGARCH, sedangkan 𝛾𝑖 adalah nilai

threshold dari model TGARCH. 𝑎𝑡 berdistribusi normal dengan mean nol dan

variansi 𝜎𝑡2, selanjutnya dapat dituliskan 𝑎𝑡~𝑁(0, 𝜎𝑡

2).

3.5 Pembentukan Model TGARCH

Tahap pembentukan model merupakan salah satu langkah sebelum

melakukan peramalan. Berikut adalah pembentukan model TGARCH yang

disajikan pada gambar 3.1. Setelah memahami langkah-langkah pembentukan

model TGARCH, selanjutnya dilakukan uji efek asimetris untuk melihat ada

tidaknya efek asimetris pada data.

3.5.1 Uji Efek Asimetris

Diperlukan pengujian efek asimetris sebelum mengindentifikasi model

TGARCH. Uji efek asimetris dilakukan setelah dibentuk kedalam model GARCH,

dengan model GARCH akan diidentifikasi adanya efek asimetris atau tidak.

Apabila uji ini dipenuhi maka dilanjutkan ke identifikasi model TGARCH, apabila

tidak maka dilakukan pemodelan dengan model GARCH. Uji efek asimetris

diusulkan oleh Enders pada tahun 2004, dengan melihat korelasi antara kuadrat

standar residual (𝑎𝑡2) dengan lag standar residual (𝑎𝑡−𝑘) menggunakan estimasi

dari regresi berikut: (Julianto, 2012)

𝑎𝑡2 = 𝛼0 + 𝛼1𝑎𝑡−1 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑎𝑡−𝑘

Hipotesis yang digunakan uji ini adalah

𝐻0 : 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑘 = 0 Model tidak memiliki efek asimetris

𝐻1 : paling sedikit ada satu 𝛼𝑘 ≠ 0 Model memiliki efek asimetris

Dengan kriteria uji

Tolak H0, jika p-value < 𝛼

21


Gambar 3.1

Langkah Pemodelan Model TGARCH

3.6 Identifikasi Model

Untuk megidentifikasi model Box Jenkin’s atau model homoskedastisitas

dengan mudah digunakan grafik ACF dan PACF. Namun untuk kasus

heteroskedastisitas belum ada kriteria untuk mengidentifikasi model tersebut,

sehingga digunakan metode trial dan error dalam pemilihan model. Dalam skripsi

ini digunakan model TGARCH sederhana yaitu TGARCH (1, 1), TGARCH (1, 2),

TGARCH (2, 1), dan TGARCH (2, 2).

Data Harga Emas Dunia

Gambaran Umum Data

Uji Stasioner

Grafik ACF dan PACF

Pemeriksaan Model Box-Jenkin’s

Uji Efek ARCH/Heteros

kedastisitas

Pembentukan Model Box-Jenkin’s

Ya

Uji Efek Asimetris

Tidak

Ya

Tidak

Peramalan

Pembentukan Model TGARCH

Pembentukan Model GARCH

Pemeriksaan Model GARCH

Pemeriksaan Model TGARCH

22


3.7 Estimasi Parameter

Setelah identifikasi model TGARCH dilakukan, selanjutnya dilakukan

estimasi parameter pada model TGARCH. Untuk estimasi parameter model

TGARCH digunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE). Maximum

Likelihood Estimator (MLE) pertama kali diperkenalkan oleh R. A. Fisher, metode

ini digunakan untuk menduga parameter dengan cara memaksimumkan fungsi

likelihood yang telah dibentuk. Diketahui model TGARCH sebagai berikut

𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝑎𝑡

𝜎𝑡2 = 𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖

2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

Parameter yang akan diestimasi adalah 𝛼0, 𝛼𝑖, 𝛾𝑖, dan 𝛽𝑗 dengan menggunakan

metode MLE. Diketahui bahwa 𝑎𝑡 berdistribusi normal dengan mean nol dan

variansi 𝜎𝑡2, selanjutnya dapat dituliskan 𝑎𝑡~𝑁(0, 𝜎𝑡

2). Indeks 𝑡 dari 𝜎𝑡2 diubah

untuk memudahkan dalam estimasi parameter dan tidak tertukar dengan indeks 𝑎𝑡.

Oleh karena itu 𝜎𝑡2 diubah menjadi 𝜎𝑛

2 dan T banyaknya pengamatan, selanjutnya

estimasi parameter menggunakan MLE sebagai berikut.

Model TGARCH

𝜎𝑛2 = 𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖

2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

dimana 𝑎𝑡~𝑁(0, 𝜎𝑡2) dan memiliki fungsi kepadatan peluang (fkp) sebagai berikut:

𝑓(𝑎𝑡) =1

√2𝜋 𝜎𝑛2

𝑒𝑥𝑝 [−𝑎𝑡

2

2𝜎𝑛2

]

Fungsi likelihood

𝐿(𝑎𝑡|𝛼0, 𝛼𝑖, 𝛾𝑖, 𝛽𝑗) = ∏1

√2𝜋 𝜎𝑛2

𝑒𝑥𝑝 [−𝑎𝑡

2

2𝜎𝑛2

]

𝑇

𝑡=1

= (2𝜋 𝜎𝑛2)−

𝑇2 𝑒𝑥𝑝 [

−1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

]

Kemudian kedua ruas di 𝑙𝑛-kan

ln 𝐿(𝑎𝑡|𝛼0, 𝛼𝑖, 𝛾𝑖, 𝛽𝑗) = ln ((2𝜋 𝜎𝑛2)−

𝑇2 𝑒𝑥𝑝 [−

1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

])

23


= −𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2) −1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

Selanjutnya akan diturunkan terhadap 𝛼0, 𝛼𝑖, 𝛾𝑖, dan 𝛽𝑗 untuk mendapatkan

penaksirnya.

1. Diturunkan terhadap 𝛼0

𝜕(ln 𝐿(𝑎𝑡|𝛼0, 𝛼𝑖, 𝛾𝑖, 𝛽𝑗))

𝜕𝛼0=

𝜕

𝜕𝛼0(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2) −1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

)

Bagian pertama

𝜕

𝜕𝛼0(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2))

=𝜕

𝜕𝛼0(−

𝑇

2ln (2𝜋 (𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖

2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

)))

= −𝑇

2(

2𝜋

(2𝜋 𝑎0̂ + 2𝜋 ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + 2𝜋 ∑ 𝛾𝑖 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + 2𝜋 ∑ 𝛽𝑗 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1 ))

= −𝑇

2(𝛼0̂ + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛾𝑖 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛽𝑗 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1 )

Bagian kedua

𝜕

𝜕𝛼0(−

1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

)

=𝜕

𝜕𝛼0(−

1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )∑ 𝑎𝑡

2

𝑇

𝑡=1

)

=2 ∑ 𝑎𝑡

2𝑇𝑡=1

(2(𝛼0̂ + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 ))2

=∑ 𝑎𝑡

2𝑇𝑡=1

2(𝛼0̂ + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )2

Untuk memaksimumkan fungsi likelihood maka


𝜕𝛼0=

𝜕

𝜕𝛼0(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2) −1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

) = 0

24


−𝑇

2(𝛼0̂ + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )

+∑ 𝑎𝑡

2𝑇𝑡=1

2(𝛼0̂ + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )2 = 0

−𝑇(𝛼0̂ + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 ) + ∑ 𝑎𝑡2𝑇

𝑡=1

2(𝛼0̂ + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )2 = 0

−𝑇 (𝛼0̂ + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

) + ∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

= 0

−𝑇 𝛼0̂ − 𝑇 ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

− 𝑇 ∑ 𝛾𝑖 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

− 𝑇 ∑ 𝛽𝑗 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

+ ∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

= 0

𝑇 𝛼0̂ = −𝑇 ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

+ ∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

𝛼0̂ = − ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

− ∑ 𝛾𝑖 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

− ∑ 𝛽𝑗 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

+∑ 𝑎𝑡

2𝑇𝑡=1

𝑇

Jadi, penaksir dari 𝛼0 adalah

𝛼0̂ = − ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

+∑ 𝑎𝑡

2𝑇𝑡=1

𝑇

2. Diturunkan terhadap 𝛼𝑖


𝜕𝛼𝑖=

𝜕

𝜕𝛼𝑖(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2) −1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

)

Bagian pertama

𝜕

𝜕𝛼𝑖(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2))

=𝜕

𝜕𝛼𝑖(−

𝑇

2ln (2𝜋 (𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖

2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

)))

= −𝑇

2(

2𝜋 ∑ 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1

(2𝜋 𝛼0 + 2𝜋 ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 ))

= −𝑇 ∑ 𝑎𝑡−𝑖

2𝑝𝑖=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )

25


Bagian kedua

𝜕

𝜕𝛼𝑖(−

1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

)

=𝜕

𝜕𝛼𝑖(−

1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )∑ 𝑎𝑡

2

𝑇

𝑡=1

)

=2 ∑ 𝑎𝑡−𝑖

2𝑝𝑖=1 ∑ 𝑎𝑡

2𝑇𝑡=1

(2(𝛼0 + ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 ))2

=∑ 𝑎𝑡−𝑖


2𝑇𝑡=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )2



𝜕𝛼𝑖=

𝜕

𝜕𝛼𝑖(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2) −1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

) = 0

−𝑇 ∑ 𝑎𝑡−𝑖

2𝑝𝑖=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )

+∑ 𝑎𝑡−𝑖


2𝑇𝑡=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )2 = 0

−𝑇(𝛼0 + ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 ) + ∑ 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 ∑ 𝑎𝑡2𝑇

𝑡=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )2 = 0

−𝑇 (𝛼0 + ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

) + ∑ 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

= 0

−𝑇 𝛼0 − 𝑇 ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

+ ∑ 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

= 0

𝑇 ∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

= −𝑇 𝛼0 − 𝑇 ∑ 𝛾𝑖 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

+ ∑ 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

= −𝛼0 − ∑ 𝛾𝑖 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1



2𝑇𝑡=1

𝑇

Jadi, penaksir dari 𝛼𝑖 adalah

∑ 𝛼�̂� 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

= −𝛼0 − ∑ 𝛾𝑖 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1



2𝑇𝑡=1

𝑇

26


3. Diturunkan terhadap 𝛾𝑖


𝜕𝛾𝑖=

𝜕

𝜕𝛾𝑖(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2) −1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

)

Bagian pertama

𝜕

𝜕𝛾𝑖(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2))

=𝜕

𝜕𝛾𝑖(−

𝑇

2ln (2𝜋 (𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖

2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

)))

= −𝑇

2(

2𝜋 ∑ 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1

(2𝜋 𝛼0 + 2𝜋 ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + 2𝜋 ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 ))

= −𝑇 ∑ 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖

2𝑝𝑖=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 )

Bagian kedua

𝜕

𝜕𝛾𝑖(−

1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

)

=𝜕

𝜕𝛾𝑖(−

1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )∑ 𝑎𝑡

2

𝑇

𝑡=1

)

=2 ∑ 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖


2𝑇𝑡=1

(2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 ))2

=∑ 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖


2𝑇𝑡=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 )2


𝜕(ln 𝐿(𝑎𝑡|𝛼0, 𝛼𝑖 , 𝛾𝑖, 𝛽𝑗))

𝜕𝛾𝑖=

𝜕

𝜕𝛾𝑖(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2) −1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

) = 0

−𝑇 ∑ 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖

2𝑝𝑖=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 )

+∑ 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖


2𝑇𝑡=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 )2 = 0

−𝑇(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 ) + ∑ 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑡=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 )2 = 0

27


−𝑇 (𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

+ ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

) + ∑ 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

= 0

−𝑇 𝛼0 − 𝑇 ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

− 𝑇 ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

+ ∑ 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

= 0

𝑇 ∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

= −𝑇 𝛼0 − 𝑇 ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

+ ∑ 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

= −𝛼0 − ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1



2𝑇𝑡=1

𝑇

Jadi, penaksir dari 𝛾𝑖 adalah

∑ 𝛾�̂� 𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1

= −𝛼0 − ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1



2𝑇𝑡=1

𝑇

4. Diturunkan terhadap 𝛽𝑗


𝜕𝛽𝑗=

𝜕

𝜕𝛽𝑗(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2) −1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

)

Bagian pertama

𝜕

𝜕𝛽𝑗(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2))

=𝜕

𝜕𝛽𝑗(−

𝑇

2ln (2𝜋 (𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖

2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1


𝑞

𝑖=1

)))

= −𝑇

2(

2𝜋 ∑ 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1

(2𝜋 𝛼0 + 2𝜋 ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 + 2𝜋 ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1 ))

= −𝑇 ∑ 𝜎𝑡−𝑗

2𝑞𝑖=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 + ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1 )

Bagian kedua

𝜕

𝜕𝛽𝑗(−

1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

)

=𝜕

𝜕𝛽𝑗(−

1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝



𝑖=1 )∑ 𝑎𝑡

2

𝑇

𝑡=1

)

28


=2 ∑ 𝜎𝑡−𝑗

2𝑞𝑖=1

(2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 + ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1 ))2

=∑ 𝜎𝑡−𝑗

2𝑞𝑖=1 ∑ 𝑎𝑡

2𝑇𝑡=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 + ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1 )2


𝜕(ln 𝐿(𝑎𝑡|𝛼0, 𝛼𝑖 , 𝛾𝑖, 𝛽𝑗))

𝜕𝛽𝑗=

𝜕

𝜕𝛽𝑗(−

𝑇

2ln(2𝜋 𝜎𝑛

2) −1

2𝜎𝑛2

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

) = 0

−𝑇 ∑ 𝜎𝑡−𝑗

2𝑞𝑖=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 + ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1 )

+∑ 𝜎𝑡−𝑗


2𝑇𝑡=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛾𝑖𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1 )2 = 0

−𝑇(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝


𝑖=1 + ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1 ) + ∑ 𝜎𝑡−𝑗2𝑞


𝑡=1

2(𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛾𝑖𝑁𝑡−𝑖 𝑎𝑡−𝑖2𝑝

𝑖=1 + ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2𝑞

𝑖=1 )2 = 0

−𝑇 (𝛼0 + ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1

+ ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

) + ∑ 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

= 0

−𝑇 𝛼0 − 𝑇 ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1

− 𝑇 ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

+ ∑ 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

= 0

𝑇 ∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

= −𝑇 𝛼0 − 𝑇 ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1

+ ∑ 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

∑ 𝑎𝑡2

𝑇

𝑡=1

∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

= −𝛼0 − ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1



2𝑇𝑡=1

𝑇

Jadi, penaksir dari 𝛽𝑗 adalah

∑ 𝛽�̂� 𝜎𝑡−𝑗2

𝑞

𝑖=1

= −𝛼0 − ∑ 𝛼𝑖 𝑎𝑡−𝑖2

𝑝

𝑖=1


𝑝

𝑖=1



2𝑇𝑡=1

𝑇

Hasil estimasi parameter memang kurang sederhana sehingga untuk melakukan

estimasi parameter dengan cara manual akan membutuhkan waktu yang lama dan

perhitungan yang rumit. Oleh karena itu, untuk lebih mudah dalam mengestimasi

parameter model TGARCH pada peramalan harga emas dunia dengan bantuan

software Eviews 8.

29


3.8 Verifikasi Model

Setelah melakukan estimasi parameter maka selanjutnya dilakukan verifikasi

model untuk memilih model yang terbaik dengan cara uji keberartian koefisien dan

perbandingan AIC dan SC terkecil.

3.8.1 Uji Keberartian Koefisien

Untuk menguji keberartian koefisien dari model, hipotesis yang digunakan

adalah

𝐻0 ∶ 𝐶 = 0 koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol

𝐻1 ∶ 𝐶 ≠ 0 koefisien berbeda secara signifikan dengan nol

dengan 𝐶 adalah koefisien dari model TGARCH dan kriteria uji sebagai berikut:

(dengan menggunakan 𝛼 = 5%)

1. Tolak 𝐻0, jika p-value < 𝛼

2. Terima 𝐻0, jika p-value ≥ 𝛼

3.8.2 Perbandingan Nilai Akaike Info Criterion (AIC) dan Schwarz Criterion

(SC)

Apabila uji keberartian koefisien terpenuhi, verifikasi model selanjutnya

yaitu perbandingan nilai AIC dan SC. Model yang terbaik memiliki nilai AIC dan

SC yang terkecil dibandingkan dengan model lainnya. Berikut merupakan rumus

untuk menentukkan nilai AIC dan SC.

𝐴𝑖𝑘𝑎𝑘𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑛 (𝐴𝐼𝐶) = −2 (𝑙

𝑁) +

2𝑘

𝑁

𝑆𝑐ℎ𝑤𝑎𝑟𝑧 𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑛 (𝑆𝐶) = −2 (𝑙

𝑁) +

𝑘(𝑙𝑛𝑁)

𝑁

dengan

𝑙 = −1

2(𝑁 𝑙𝑛2𝜋 + ∑ 𝑙𝑛𝜎𝑡

2 − ∑ (𝑎𝑡

𝜎𝑡)

2𝑁

𝑡=1

𝑁

𝑡=1

)

𝑘 ∶ banyaknya parameter

𝑁 ∶ banyaknya observasi.

3.9 Peramalan

Setelah mendapatkan model yang terbaik, maka dilakukan peramalan dengan

menggunakan model yang telah melewati tahapan verifikasi. Dalam peramalan

30


dengan menggunakan model terbaik tetap saja masih memiliki error pada hasil

peramalan tersebut. Oleh karena itu, setelah mendapatkan hasil peramalan perlu

dilakukan evaluasi peramalan. Ada beberapa metode evaluasi peramalan yaitu

Mean Squared Error (MSE), Mean Absolute Deviation (MAD), The Mean Absolute

Persentage Error (MAPE), dan The Mean Percentage Error (MPE). Untuk skripsi

ini menggunakan evaluasi peramalan MSE dan MAPE dengan menggunakan rumus

sebagai berikut

1. Mean Squared Error (MSE)

𝑀𝑆𝐸 =1

𝑛∑(𝑌𝑡 − 𝑌�̂�)

2𝑛

𝑡=1

2. The Mean Absolute Persentage Error (MAPE)

𝑀𝐴𝑃𝐸 =1

𝑛∑

|𝑌𝑡 − 𝑌�̂�|

𝑌𝑡

𝑛

𝑡=1

Metode evaluasi peramalan dapat digunakan dalam peramalan dengan

membandingkan dua model atau lebih untuk memilih model yang memiliki hasil

peramalan yang terbaik. Dalam skripsi ini akan digunakan metode peramalan MSE

dan MAPE. Berikut kategori evaluasi peramalan menggunakan metode MAPE,

peramalan dikatakan sangat baik apabila MAPE kurang dari 10% dan dikatakan

baik apabila MAPE berada diantara 10% sampai dengan 20% (Zainun dan Majid,

2003).

BAB III MODEL THRESHOLD GENERALIZED …repository.upi.edu/18264/2/S_MTK_1104622_Chapter3.pdfModel...

Documents

Transcript of BAB III MODEL THRESHOLD GENERALIZED …repository.upi.edu/18264/2/S_MTK_1104622_Chapter3.pdfModel...