Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

30
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Aljabar Linear Linear Elementer Elementer MA1223 MA1223 3 SKS 3 SKS

Transcript of Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

Page 1: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 1

AljabarAljabar Linear Linear ElementerElementerMA1223 MA1223

3 SKS3 SKS

Page 2: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 2

JadwalJadwal KuliahKuliahHariHari I I jamjamHariHari IIII jamjam

SistemSistem PenilaianPenilaianUTSUTS 40%40%UASUAS 40%40%QuisQuis 20%20%

Page 3: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 3

Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen

Page 4: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 4

REFERENSI :• Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear

Algebra : Applications Version, 6th edition, John Willey and Sons, New York

• Arifin, A., 2001, Aljabar Linear, edisi kedua, Penerbit ITB, Bandung

• Durbin, J. R., 1992, Modern Algebra : An Introduction, 3rd edition, John Willey and Sons, Singapore

• Kreyszig E., , 1993, Advanced EnginereengMathematics, 8th edition, John Willey & Sons, Toronto

• Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta

Page 5: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 5

1. Matriks dan Operasinya

Sub Pokok Bahasan– Matriks dan Jenisnya– Operasi Matriks– Operasi Baris Elementer– Matriks Invers (Balikan)

Beberapa Aplikasi MatriksRepresentasi image (citra) Chanel/Frequency assignmentOperation Researchdan lain-lain.

Page 6: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 6

1. Matriks dan Jenisnya

Notasi Matriks

Matriks A berukuran (Ordo) mxn

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MOMM

L

L

11

21111

11111 Baris pertama

Kolom kedua

Unsur / entri /elemen ke-mn(baris m kolom n)

Page 7: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 7

Misalkan A dan B adalah matriks berukuran samaA dan B dikatakan sama (notasi A = B)

jika

aij = bij untuk setiap i dan j

Jenis-jenis Matriks• Matriks bujur sangkar (persegi)

Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama (n x n)Contoh :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

210121012

B Unsur diagonal

Page 8: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 8

Matriks segi tigaAda dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.

• Matriks segi tiga atasMatriks yang semua unsur dibawah unsur diagonal

pada kolom yang bersesuaian adalah nol.

• Matriks segi tiga bawahMatriks yang semua unsur diatas unsur diagonal

pada kolom yang bersesuaian adalah nol.

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

8 0 0 7 1 0

3 9 5 E

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

2 0 3 0 1 5 0 0 2

F

Page 9: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 9

• Matriks DiagonalMatriks bujur sangkar dimana setiap unsuryang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.

• Matriks satuan (Identitas)Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnyaadalah satu.

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

1 0 0 0 2 0 0 0 3

D

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

I

Page 10: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 10

• Transpos MatriksMatriks transpos diperoleh dengan menukarbaris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya. Notasi At (hasil transpos matriks A)

Contoh :

maka

Jika matriks A = At maka matriks A dinamakanmatriks Simetri.Contoh :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

0 1- 2- 3 1 2

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 2- 1 1- 3 2 tA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3112

A

Page 11: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 11

2. Operasi Matriks

Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :

1. Penjumlahan Matriks

2. Perkalian Matriks

• Perkalian skalar dengan matriks

• Perkalian matriks dengan matriks

3. Operasi Baris Elementer (OBE)

Page 12: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 12

• Penjumlahan MatriksSyarat : Dua matriks berordo sama dapat

dijumlahkanContoha.

+

b.

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba

⎥⎦

⎤⎢⎣

hgfe

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=hdgcfbea

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ 4 3 2 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡8 7 6 5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

106 8

12

Page 13: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 13

Perkalian Matriks• Perkalian Skalar dengan Matriks

Contoh :

=

• Perkalian Matriks dengan MatriksMisalkan A berordo pxq dan B berordo mxnSyarat : A X B haruslah q = m

hasil perkalian AB berordo pxn

B X A haruslah n = phasil perkalian BA berordo mxq

Contoh :Diketahui

dan

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡srqp

k ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡skrkqkpk

32

xfedcba

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

23

xurtqsp

B⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

Page 14: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 14

Maka hasil kali A dan B adalah :

Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran samadan α, β merupakan unsur bilangan Riil, Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :1. A + B = B + A2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C3. α ( A + B ) = αA + αB4. (α + β ) ( A ) = αA + βA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2332

xx ur

tqsp

fedcba

ABap+bq+crdp+eq+fr

as+bt+cuds+et+fu 2x2

Page 15: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 15

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

0 1- 2- 3 1 2

A

Contoh :Diketahui matriks :

Tentukana. A At

b. At A

Page 16: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 16

Jawab :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 2- 1 1- 3 2 tA

maka

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

0 1- 2- 3 1 2

tAA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0 2- 1 1- 3 2

sedangkan

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

0 1- 2- 3 1 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 2- 1 1- 3 2

AAt

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

5-2

-213

-2-31-3

4

-4

-4 5

14

Page 17: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 17

• Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi baris elementer meliputi :1. Pertukaran Baris2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan

konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan barisyang lain.

Contoh : OBE 1

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

4 2 0 3 2 1 1- 2- 3-

A⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡↔

4 2 0 1- 2- 3- 3 2 1

~21 bb

Baris pertama (b1) ditukardengan baris ke-2 (b2)

Page 18: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 18

OBE ke-2

¼ b1 ~

OBE ke-3

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

3 1 1- 2 7 1 2 0

4- 0 4- 4 A

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1

Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan ¼

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1

A⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡+−

7 1 2 0 1- 0 1- 1

~2 31 bb

Perkalian (–2) dengan b1 lalutambahkan pada baris ke-3 (b3)

0 1 1 5

Page 19: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 19

• Beberapa definisi yang perlu diketahui :

– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.

– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.

– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.

– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ −=

000013003111

B

Page 20: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 20

Sifat matriks hasil OBE :1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1

(dinamakan satu utama).2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah

memuat 1 utama yang lebih ke kanan.3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),

maka ia diletakkan pada baris paling bawah.4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur

yang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jikadipenuhi sifat 1, 2, dan 3

Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jikadipenuhi semua sifat

(Proses Eliminasi Gauss)

(Proses Eliminasi Gauss-Jordan)

Page 21: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 21

Contoh :Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari

Jawab :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1

A

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+−

7 1 2 0 1- 0 1- 1

2~ 31 bbA

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛↔

1- 0 1- 1 ~ 32 bb

0 1 1 5

0 1 1 5 0 2 1 7

Page 22: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 22

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+−

5 1 1 0 1- 0 1- 1

2~ 32 bbA

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

5 1 1 0 1- 0 1- 1

~3b

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+−

3 1 0 0

1- 0 1- 1 ~23 bb

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

3 1 0 0 2 0 1 0

12 bb

0 0 -1 -3

00 1 3

0 2

0

1

1 0 1

0

Page 23: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 23

Perhatikan hasil OBE tadi :

Setiap baris mempunyai satu utama.

Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlahbaris lebih sedikit dari jumlah kolom

(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1

Page 24: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 24

Invers MatriksMisalkan A adalah matriks bujur sangkar.B dinamakan invers dari A jika dipenuhi

A B = I dan B A = ISebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.Notasi A = B-1

Cara menentukan invers suatu matriks A adalah

( )1| −AI( )IA |OBE

~

Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriksidentitas maka A dikatakan tidak punya invers

Page 25: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 25

Contoh : Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :

Jawab :

b1↔b2

~

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−=

122011123

A

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

100010001

122011123

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−

100001010

122123

011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ 010011-3b1+b2

2b1+b3

0 -1 100 21 1

0

0

-1 -3

Page 26: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 26

-b2

-b3+ b2

-b2+ b1

Jadi Invers Matriks A adalah

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

120

010

100

011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

120

010

100

011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−120111

100010

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−−

120031010

100110

011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−=−

120111

1011A

1 1 -1 3 00

10 0 1-1 -1

111 0 0 0

Page 27: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 27

• Perhatikan bahwa :

dan

maka

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−=−

120111

1011A

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

−=

122011123

A

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=−

120111

101

210121012

1AA

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

100010001

Page 28: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 28

11 −Ak

Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :

i. (A-1)-1 = A

ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers

maka (A . B)-1 = B-1 . A-1

iii. Misal k ∈ Riil maka (kA)-1 =

iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n

Page 29: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 29

Latihan

Diketahui

, dan

Tentukan (untuk no 1 – 5) matriks hasil operasi berikut ini :1. AB 2. 3CA3. (AB)C 4. (4B)C + 2C

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−=

112103

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

2014

B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

513241

C

Page 30: Bab I Matriks dan Operasinya.pdf

07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 30

Untuk Soal no. 5 – 7, Diketahui :

dan

5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A,

B, C, D, dan E 7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

2 1 0 1 2 1 0 1 2

D⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

144010023

E