Bab I Matriks Dan Operasinya
-
Upload
yosef-ganang-jati-nugroho -
Category
Documents
-
view
48 -
download
3
Transcript of Bab I Matriks Dan Operasinya
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 1
AljabarAljabar Linear Linear ElementerElementerMA1223 MA1223
3 SKS3 SKS
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 2
JadwalJadwal KuliahKuliahHariHari I I jamjamHariHari IIII jamjam
SistemSistem PenilaianPenilaianUTSUTS 40%40%UASUAS 40%40%QuisQuis 20%20%
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 3
Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 4
REFERENSI : Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear
Algebra : Applications Version, 6th edition, John Willey and Sons, New York
Arifin, A., 2001, Aljabar Linear, edisi kedua, Penerbit ITB, Bandung
Durbin, J. R., 1992, Modern Algebra : An Introduction, 3rd edition, John Willey and Sons, Singapore
Kreyszig E., , 1993, Advanced EnginereengMathematics, 8th edition, John Willey & Sons, Toronto
Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 5
1. Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan)
Beberapa Aplikasi Matriks Representasi image (citra) Chanel/Frequency assignment Operation Research dan lain-lain.
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 6
1. Matriks dan Jenisnya
Notasi Matriks
Matriks A berukuran (Ordo) mxn
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
LMOMM
LL
11
21111
11111 Baris pertama
Kolom kedua
Unsur / entri /elemen ke-mn(baris m kolom n)
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 7
Misalkan A dan B adalah matriks berukuran samaA dan B dikatakan sama (notasi A = B)
jika
aij = bij untuk setiap i dan j
Jenis-jenis Matriks Matriks bujur sangkar (persegi) Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama (n x n)Contoh :
=
210121012
B Unsur diagonal
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 8
Matriks segi tigaAda dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.
Matriks segi tiga atas Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol.
Matriks segi tiga bawah Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol.
=
8 0 0 7 1 0
3 9 5 E
=
2 0 3 0 1 5 0 0 2
F
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 9
Matriks Diagonal Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur
yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.
Matriks satuan (Identitas) Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya
adalah satu.
=
1 0 0 0 2 0 0 0 3
D
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
I
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 10
Transpos MatriksMatriks transpos diperoleh dengan menukarbaris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya. Notasi At (hasil transpos matriks A)
Contoh :
maka
Jika matriks A = At maka matriks A dinamakanmatriks Simetri.Contoh :
=
0 1- 2- 3 1 2
A
=
0 2- 1 1- 3 2 tA
=
3112
A
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 11
2. Operasi Matriks
Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :
1. Penjumlahan Matriks
2. Perkalian Matriks
Perkalian skalar dengan matriks
Perkalian matriks dengan matriks
3. Operasi Baris Elementer (OBE)
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 12
Penjumlahan MatriksSyarat : Dua matriks berordo sama dapat
dijumlahkanContoha.
+
b.
+
dcba
hgfe
++++=hdgcfbea
4 3 2 1
8 7 6 5
=
106 8
12
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 13
Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
=
Perkalian Matriks dengan MatriksMisalkan A berordo pxq dan B berordo mxnSyarat : A X B haruslah q = m
hasil perkalian AB berordo pxn
B X A haruslah n = phasil perkalian BA berordo mxq
Contoh :Diketahui
dan
srqp
k
skrkqkpk
32
xfedcba
A
=23
xurtqsp
B
=
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 14
Maka hasil kali A dan B adalah :
Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran samadan , merupakan unsur bilangan Riil, Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :1. A + B = B + A2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C3. ( A + B ) = A + B4. ( + ) ( A ) = A + A
=
=
2332
xx ur
tqsp
fedcba
ABap+bq+crdp+eq+fr
as+bt+cuds+et+fu 2x2
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 15
=
0 1- 2- 3 1 2
A
Contoh :Diketahui matriks :
Tentukana. A At
b. At A
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 16
Jawab :
=
0 2- 1 1- 3 2 tA
maka
=
0 1- 2- 3 1 2
tAA
0 2- 1 1- 3 2
sedangkan
0 1- 2- 3 1 2
=
0 2- 1 1- 3 2
AAt
=
=
5-2
-213
-2-31-3
4
-4
-4 5
14
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 17
Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :1. Pertukaran Baris2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan barisyang lain.
Contoh : OBE 1
=
4 2 0 3 2 1 1- 2- 3-
A
4 2 0 1- 2- 3- 3 2 1
~21 bb
Baris pertama (b1) ditukardengan baris ke-2 (b2)
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 18
OBE ke-2
b1 ~
OBE ke-3
=
3 1 1- 2 7 1 2 0
4- 0 4- 4 A
3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1
Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan
=
3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1
A
+
7 1 2 0 1- 0 1- 1
~2 31 bb
Perkalian (2) dengan b1 lalutambahkan pada baris ke-3 (b3)
0 1 1 5
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 19
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.
Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.
=
000013003111
B
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 20
Sifat matriks hasil OBE :1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1
(dinamakan satu utama).2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah
memuat 1 utama yang lebih ke kanan.3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),
maka ia diletakkan pada baris paling bawah.4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur
yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jikadipenuhi sifat 1, 2, dan 3
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jikadipenuhi semua sifat
(Proses Eliminasi Gauss)
(Proses Eliminasi Gauss-Jordan)
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 21
Contoh :Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari
Jawab :
=
3 1 1- 2 7 1 2 0 1- 0 1- 1
A
+
7 1 2 0 1- 0 1- 1
2~ 31 bbA
1- 0 1- 1 ~ 32 bb
0 1 1 5
0 1 1 5 0 2 1 7
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 22
+
5 1 1 0 1- 0 1- 1
2~ 32 bbA
5 1 1 0 1- 0 1- 1
~3b
+
3 1 0 0
1- 0 1- 1 ~23 bb
+
3 1 0 0 2 0 1 0
12 bb
0 0 -1 -3
00 1 3
0 2
0
1
1 0 1
0
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 23
Perhatikan hasil OBE tadi :
Setiap baris mempunyai satu utama.
Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlahbaris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)
3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 24
Invers MatriksMisalkan A adalah matriks bujur sangkar.B dinamakan invers dari A jika dipenuhi
A B = I dan B A = ISebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.Notasi A = B-1
Cara menentukan invers suatu matriks A adalah
( )1| AI( )IA | OBE~Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriksidentitas maka A dikatakan tidak punya invers
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 25
Contoh : Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :
Jawab :
b1b2~
=
122011123
A
100010001
122011123
100001010
122123
011
010011-3b1+b22b1+b3
0 -1 100 21 1
0
0
-1 -3
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 26
-b2
-b3+ b2
-b2+ b1
Jadi Invers Matriks A adalah
120
010
100
011
120
010
100
011
120111
100010
120031010
100110
011
=120111
1011A
1 1 -1 3 00
10 0 1-1 -1
111 0 0 0
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 27
Perhatikan bahwa :
dan
maka
=120111
1011A
=
122011123
A
=
120111
101
210121012
1AA
=
100010001
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 28
11 Ak
Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :
i. (A-1)-1 = A
ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers
maka (A . B)-1 = B-1 . A-1
iii. Misal k Riil maka (kA)-1 =
iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 29
Latihan
Diketahui
, dan
Tentukan (untuk no 1 5) matriks hasil operasi berikut ini :1. AB 2. 3CA3. (AB)C 4. (4B)C + 2C
=
112103
A
=2014
B
=513241
C
-
07/03/2007 11:21 MA-1223 Aljabar Linear 30
Untuk Soal no. 5 7, Diketahui :
dan
5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A,
B, C, D, dan E 7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)
=
2 1 0 1 2 1 0 1 2
D
=
144010023
E