b1.3 analisi armonica del sistema biella-manovella · biella-manovella Lo studio che ha condotto...

equilibratura del sistema biella-manovella e degli alberi a gomito b11

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b1.3 analisi armonica del sistema biella-manovella

Lo studio che ha condotto alla formulazione approssimata della velo-cità (4Form. 1.6) e dell’accelerazione del piede di biella (4Form. 1.7) è stato condotto utilizzando equazioni semplificate nelle quali sono stati trascurati alcuni termini. È pur sempre possibile sviluppare le deriva-te dello spostamento x, operando a partire dalla formulazione completa (4Form. 1.3 ), senza trascurare nessun fattore, onde ricavare formule esatte per la velocità e soprattutto per l’accelerazione.

Per ovviare alle difficoltà concettuali causate dalla presenza della radice quadrata all’interno della parentesi tonda nella [1.3], è possibile sostituire la radice quadrata mediante uno sviluppo in serie di potenze.

Poiché:

1 2 2− λ ϑsen

è riconducibile alla seguente funzione generale:

(1 + x)a

in cui la variabile indipendente x è pari al prodotto (-λ2 sen2 ϑ) e l’espo-nente a è pari a 1/2. Sviluppando (1 + x)a in serie di Mc Laurin e tra-lasciando i passaggi relativi allo sviluppo in serie e alle successive ope-razioni di derivazione, per i quali si rimanda a testi specialistici, si per-viene alla seguente formulazione dell’accelerazione del piede di biella:

ap = ω2 r(cos ϑ + A2 cos 2 ϑ + A4 cos 4 ϑ + A6 cos 6 ϑ + A8 cos 8 ϑ + …)

in cui l’angolo ϑ può essere sostituito con il prodotto della pulsazione ω per la variabile tempo t:

ap = ω2 r(cos ω t + A2 cos 2 ω t + A4 cos 4 ω t ++ A6 cos 6 ω t + A8 cos 8 ω t + …) [1.10]

L’accelerazione del piede di biella si presenta in forma di serie, i cui termini sinusoidali sono detti componenti armoniche.

Attraverso una rigorosa procedura matematica si è ottenuta la [1.10], che costituisce l’espressione esatta per l’accelerazione del piede di biella, le cui caratteristiche sono riportate di seguito.— Essa si presenta sotto forma di somma di infinite funzioni coseno

che differiscono fra loro per ampiezza e pulsazione.— La prima delle funzioni coseno, avente ampiezza A1 unitaria e pul-

sazione ω pari alla velocità angolare dell’albero, è detta componen-te fondamentale o del primo ordine.

— La seconda delle funzioni coseno, avente ampiezza A2 e pulsazione pari al doppio della velocità angolare dell’albero, è detta compo-nente del secondo ordine.

— La terza delle funzioni coseno, avente ampiezza A4 e pulsazione pari al quadruplo della velocità angolare dell’albero, è detta componente del quarto ordine; per le componenti di ordine superiore si procede

poliglottaComponente armonicaGB: Harmonic componentF: Composante harmoniqueD: Teilschwingung

richiamoLa formula che pone in relazione la pulsazione con la frequenza è la seguente: ω = 2 π f.


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utilizzando lo stesso principio, per cui si avranno componenti del se-sto ordine, dell’ottavo ordine e così via.

— Tranne la componente fondamentale, tutte le componenti armoni-che hanno ordine pari: ciò si nota dal fatto che in esse la pulsazione ω è moltiplicata per un numero multiplo di 2.

— Le ampiezze A2, A4, A6 sono dette coefficienti armonici e decre-scono all’aumentare dell’ordine:

A2 > A4 > A6 > A8 > …

— Di norma solo i primi due termini hanno importanza nello studio dei fenomeni vibratori (specie nello studio dinamico del sistema biella-manovella), poiché l’ampiezza delle componenti armoniche si riduce man mano che si prendono in considerazione gli ordini più elevati.

— Le armoniche di ordine elevato non sono tuttavia trascurabili, qua-lora una di esse risulti in fase con la frequenza propria di alcu-ni organi appartenenti al macchinario e che entrano in risonanza quando sono eccitati dalla componente con frequenza uguale a quel-la dell’organo.

— L’insieme delle frequenze delle diverse armoniche generate nel moto alterno del piede di biella, induce nei vari organi sottoposti a vibrazio-ne uno stato di sollecitazione che causa l’affaticamento della struttura.

— La formulazione semplificata dell’accelerazione del piede di biella (4Form. 1.7) si ottiene dalla formulazione completa (4Form. 1.10), di cui rappresenta un caso particolare. È sufficiente prendere in considerazione i primi due termini della serie (4Form. 1.10), aventi ampiezze A1 = 1 e A2 = λ, per ottenere esattamente la [1.7].

— Anche la forza d’inerzia si presenta in forma di somma di infinite fun-zioni coseno; essa è ottenuta moltiplicando l’accelerazione (4Form. 1.10) per la massa mp applicata nel piede di biella. Le componenti più importanti per l’esecuzione del calcolo strutturale della biella sono la componente fondamentale e la componente di secondo ordine.

EsempioUna pompa alternativa monocilindrica funziona a regime, alla frequen-za di rotazione n = 1800 giri/min. Calcolare i valori delle pulsazioni re-lative alle componenti dell’accelerazione al piede di biella del primo, del secondo, del quarto, del sesto e dell’ottavo ordine.

SoluzioneSi calcola per prima la velocità angolare a cui corrisponde la pulsazione dell’armonica fondamentale ωI:

ω π πI rads

= = =260

2 180060

188 5n

,

cui corrisponde la frequenza f I:

f II

Hz= = =ωπ π2

188 52

30,

La pulsazione della componente del secondo ordine vale il doppio rispetto

richiamoLo studio delle frequenze proprie dei corpi è analizzato nellaUnità didattica A1.


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a quella della componente fondamentale:

ω ωII I rads

= = × =2 2 188 5 377,

cui corrisponde la frequenza f II:

f IIII

Hz= = =ωπ π2

3772

60

La pulsazione della componente del quarto ordine vale il doppio rispetto a quella del secondo:

ω ωIV II rads

= = × =2 2 377 754

cui corrisponde la frequenza f IV:

f IVIV

Hz= = =ωπ π2

7542

120

La pulsazione della componente del sesto ordine vale il sestuplo rispetto a quella della componente fondamentale:

ω ωVI rads

= = × =6 6 188 5 1131I ,

cui corrisponde la frequenza f VI:

f VIVI

Hz= = =ωπ π2

11312

180

La pulsazione della componente dell’ottavo ordine vale il doppio rispet-to a quella del quarto:

ω ωVIII IV rads

= = × =2 2 754 1508

cui corrisponde la frequenza f VIII:

f VIIIVIII

Hz= = =ωπ π2

15082

240

analisi sperimentale dell’accelerazione del piede di biella

È possibile effettuare il percorso inverso a quello della somma delle componenti armoniche appena descritto, grazie al teorema formulato dal matematico Jean Baptiste Fourier, per il quale:

una qualsiasi funzione periodica, non importa quanto complessa, può essere decomposta nella somma di un numero infinito di componenti si-nusoidali, aventi diverse ampiezze e con le frequenze correlate fra loro.


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L’insieme delle componenti armoniche di una vibrazione costituisce lo spettro delle frequenze.

Osservazione: su questo principio si basano i rilevamenti sperimentali eseguiti applicando accelerometri su macchinari vibranti, allo scopo di prelevare segnali proporzionali all’accelerazione complessiva; tale se-gnale viene amplificato e inviato ad apparecchiature in grado di deco-dificarlo e scomporlo nelle sue componenti armoniche.

È possibile rappresentare lo spettro riportando le ampiezze delle com-ponenti su un grafico, in cui sull’asse delle ascisse sono indicate le fre-quenze, anziché il tempo o l’angolo di rotazione; pertanto il grafico in dominio di tempo diventa un grafico in dominio di frequenza, evi-denziando il valore dell’ampiezza di ciascuna componente armonica.

Nella figura 1.7a si riporta lo spettro in dominio di frequenza per l’accelerazione del piede di biella, in cui sono state prese in considerazione le componenti fino al quarto ordine. Il grafico indicato nella figura 1.7b cor-risponde a un rilievo sperimentale con l’accelerometro posto, per esempio, sulla testata di un motore monocilindrico in funzione, dotato quindi di un solo meccanismo biella-manovella; anche in questo caso sono stati riportati i contributi delle componenti comprese tra il primo e il quarto ordine.

poliglottaSpettro delle frequenzeGB: Frequency spectrum F: Spectre de fréquences D: Frequenzspektrum

richiamoLe apparecchiature in grado di scomporre un segnale di natura acustica o vibrazionale nelle sue componenti armoniche sono dette Sound Intensity Analyzer o Fast Fourier Transformer (FFT).

Fig. 1.7Analisi spettrograficadell’accelerazione del piede di biella: a) schema teorico; b) risultato sperimentale.

Dal confronto fra i due grafici, rispettivamente teorico e sperimentale, tracciati nella figura 1.7, emergono diverse considerazioni:— si conferma il ruolo preponderante svolto dall’armonica fondamen-

tale e, in percentuale minore, da quella del secondo ordine;— l’ampiezza dall’armonica fondamentale e quella del secondo ordine

stanno fra loro nel rapporto λ;— gli spettri indicano il decadere dei contributi delle funzioni al cresce-

re del loro ordine, soprattutto per gli ordini superiori al secondo;— le ampiezze rilevate per via sperimentale sono di poco superiori a quelle

teoriche: ciò è dovuto alle componenti vibrazionali generate all’atto della combustione, che si propagano attraverso la struttura e che ven-gono percepite dal sensore e poi trasmesse lungo la catena di misura;

— lo spettro rilevato per via sperimentale evidenzia anche la presenza delle ampiezze di ordine dispari, seppure di bassa entità: anche que-ste sono generate dalla combustione.

poliglottaVibrazioneGB: VibrationF: VibrationD: Schwingung


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motori e compressori con cilindri a v e contrapposti

La ripartizione dei cilindri a V consiste nello sdoppiamento del ba-samento in due bancate parallele e inclinate; il numero dei cilindri vie-ne suddiviso a metà per ciascuna bancata.

Tale architettura è molto diffusa quando è presente un elevato numero di cilindri (per esempio nei motori con otto e più cilindri), mentre è meno diffusa nei motori a due e a sei cilindri. Il vantaggio che ne deriva consiste essenzialmente nel contenimento dell’ingombro longitudinale dell’albero e del motore in generale. Infatti la lunghezza di un basamento formato da un certo numero di cilindri in linea è pari alla somma degli alesaggi di cia-scun cilindro più gli spessori di parete fra un cilindro e l’altro.

Suddividendo i cilindri alternativamente su due bancate affiancate si ottiene una macchina di forma più compatta: infatti all’aumento delle dimensioni trasversali segue una riduzione di ingombro longitudinale, poiché le due bancate sono affiancate e ciascuna occupa circa la metà della lunghezza del basamento unico.

A questo punto è opportuno montare due bielle per manovella, colle-gate con pistoni operanti il primo in una bancata, il secondo nell’altra; in tal modo si sono ridotti sia l’ingombro in longitudinale del basamento sia la lunghezza complessiva dell’albero; l’angolo fra le due bancate è scelto fra pochi valori, principalmente 60°, 90° e 120°.

Nei motori bicilindrici a V l’albero a gomiti presenta una sola ma-novella su cui sono montate affiancate entrambe le bielle, consentendo di ottenere una buona riduzione degli ingombri in senso assiale unitamente a un’elevata rigidezza torsionale (4Fig.1.25a). Si tratta di un’architettura adottata frequentemente sia nei motori motociclistici sia nei compressori.

richiamoI motori a V, aventi l’angolo fra le due bancate pari a 60°, sono detti motori a V stretto o a V scalato (4Fig.1.28 ).

Fig. 1.25Imbiellaggio per: a) motore bicilindrico a V di 90°; b) motore bicilindrico contrapposto; c) motore bicilindrico boxer, di produzione BMW.

Con riferimento allo schema rappresentato nella figura 1.25a è possibile notare la presenza di un abbondante contrappeso, il cui asse di simme-tria è in linea con l’asse del cilindro destro, proprio quando il pistone


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destro si trova al PMS. Quest’ultimo è dimensionato in modo da con-trobilanciare al 100% sia la forza alterna del primo ordine, agente sul pistone destro, sia la forza centrifuga dell’albero.

Nella suddetta configurazione, inoltre, il pistone sinistro si trova esattamente a metà della sua corsa, e la sua forza alterna del primo ordine vale 0.

Eseguendo una rotazione oraria di 90° le parti si invertono; il pi-stone destro si trova a metà corsa (quindi la sua forza alterna del pri-mo ordine è nulla); il pistone sinistro si trova al PMI, pertanto la forza alterna del primo ordine è massima ma del tutto controbilanciata dal contrappeso: in questa seconda configurazione esso si dispone con l’asse di simmetria allineato all’asse del cilindro sinistro.

Si può affermare che adottando l’architettura a due cilindri a V di 90° mediante contrappesatura si ottiene la completa equilibratura delle for-ze alterne del primo ordine.

Un’interessante variante consiste nell’aumentare l’angolo fra i due cilin-dri fino a 180°, così che le loro posizioni siano contrapposte. L’albero a gomiti è ora formato da due manovelle pure contrapposte, in modo che entrambi i pistoni giungano contemporaneamente al PMS, condizione necessaria per il funzionamento regolare dei bicilindrici a quattro tempi (4Fig.1.25b). L’albero a gomiti è analogo a quello impiegato nelle pompe e nei compressori. Nella figura 1.25c è riportata la vista in elevazione del motore motociclistico bicilindrico contrapposto R 1100 S, di produzione BMW, in cui è posto in evidenza il pistone destro al PMS e un contrappe-so a mannaia: tale contrappeso più un secondo ribaltato di 180° servono per assicurare l’equilibratura dinamica dell’albero (4Fig.1.18b).

Nella figura 1.26 è riportato il compressore modello XLE, di produ-zione Ingersoll-Rand, avente due cilindri a 90°.

1

9

2

34

5

7

8

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Fig. 1.26Compressore bicilindrico a V di 90°, modello XLE, di produzione Ingersoll-Rand.


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Fig. 1.27Cilindri a V:a) compressore tricilindrico a W, di produzione Ingersoll-Rand; b) motore quadricilindrico Honda a V di 90°.

Si possono osservare le valvole (1), il pistone (2), il passaggio dell’aria proveniente dal primo stadio (3), l’interrefrigeratore (4), il vano sepa-ratore di condensa (5), due intercapedini di passaggio dell’acqua di raffreddamento (6), la flangia di fissaggio del cilindro di alta pressione all’incastellatura (7), la superficie di scorrimento della testa a croce in materiale antifrizione (8) e l’indicatore del livello dell’olio (9).

Nella figura 1.27a è raffigurato il compressore modello T 30, di produ-zione Ingersoll-Rand, avente tre cilindri a doppia V: tale soluzione è detta a W. Poco diffusa è la soluzione a quattro cilindri a V, usata su alcuni mo-delli motociclistici, come riportato in sezione nella figura 1.27b, in cui sono posti in evidenza i pistoni e le bielle della prima manovella, orientati fra loro a 90°, dietro ai quali vi sono le due cascate di ingranaggi, una per ban-cata, di comando delle due coppie di assi a camme della distribuzione. La soluzione a V trova un vasto campo di applicazione nei motori a sei cilindri.

Nell’esempio illustrato nella figura 1.28 l’albero motore ha sei manovelle orientate fra loro a 60°, presentandosi come un doppio motore tricilin-drico simmetrico: pertanto quando un pistone di una bancata giunge al PMS, anche nell’altra bancata si ha un pistone al PMS.

Questa proprietà rende la successione delle combustioni molto rego-lare, tuttavia, venendo a mancare il piano mediano di simmetria, nasce uno squilibrio nelle coppie centrifughe.

In tal modo sorgono due momenti squilibrati:— il primo è orientato secondo un asse verticale che determina un mo-

to vibratorio di imbardata;— il secondo è orientato sull’asse orizzontale, perpendicolare all’asse

dell’albero motore, che determina un moto vibratorio di beccheggio, per la cui equilibratura si deve ricorrere alle contrappesature.

poliglottaImbardata, beccheggioGB: Yaw, pitchF: Lacet, galopD: Gieren, Stampfen


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Fig. 1.28Motore Duratec V6 da 2544 cc di produzione Ford: a) sezione trasversale; b) vista in esploso con il basamento a V, l’albero motore e i semigusci, il sottobasamento e la coppa dell’olio.

Nei motori a otto, dieci, dodici e più cilindri l’architettura a V permette di dimezzare il numero di manovelle: per esempio, nei motori a otto cilin-dri l’albero motore si presenta con solo quattro manovelle orientate fra di loro a 90°, con due bielle su ciascun perno di manovella, realizzando un ingombro longitudinale notevolmente ridotto (Figg. 1.14 e 1.29).

Osservazione: nel caso del motore 8V la numerazione prevede che, osser-vando il motore dal lato della puleggia, il cilindro 1 sia il primo della bancata sinistra e che il cilindro 5 sia il primo della bancata destra.

Anche nel motore 8V sono presenti due momenti squilibrati: il primo è orientato secondo un asse verticale, mentre il secondo è orientato secon-do un asse orizzontale, perpendicolare all’asse dell’albero motore, per la cui equilibratura è necessario ricorrere alle contrappesature.

Fig. 1.29Albero a gomiti a otto cilindri a V, di 90° per un motore a quattro tempi: a) schema;b) vista frontale.

Osservazione: l’architettura a otto cilindri a V di 90° è usata anche per le auto da competizione, come per esempio la monoposto Ferrari 248 F1 di Formula 1, destinata a disputare il campionato 2006: il motore ha una cilindrata di 2398 cc, ha 32 valvole ed eroga una potenza di circa 720 CV.

Nella figura 1.30 sono riportate le sezioni longitudinale e trasversale del motore automobilistico 8V a 90° a ciclo Otto, di produzione Daimler Benz, che equipaggia l’autovettura Mercedes 300.

In particolare è possibile osservare l’albero a gomiti cruciforme (22), la biella (21), il pistone (49) e il basamento (17).


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Fig. 1.30Motore M119 per l’autovettura Mercedes 300:a) sezione longitudinale;b) sezione trasversale (archivio Mercedes-Benz).Si riportano i seguenti dati tecnici:— ciclo di lavoro: iniezione

di benzina a quattro tempi;— potenza nominale:

KAT 240 kW/326 CV (normativa 80/1269/CEE);

— coppia nominale: KAT 480 N m (normativa 80/1269/CEE);

— numero dei cilindri: 8— rapporto alesaggio/corsa:

96,5/85,0 mm;— cilindrata totale effettiva:

4973 cm3.

33 34 14 35 36 37 11 38 8 4

39

7

40

41

42

434425454647

48

49

10

50

9

6

1 Occhio di sospensione 2 Dispositivo di regolazione albero

a camme 3 Catena a rulli doppia 4 Coperchio testa cilindri 5 Cappuccio candela 6 Filtro aria 7 Albero a camme agente sulle valvole

di scarico 8 Albero a camme agente sulle valvole

di aspirazione 9 Valvola di aspirazione10 Valvola di scarico11 Distributore carburante12 Regolatore di pressione carburante13 Tiranteria di regolazione14 Valvola d’iniezione15 Tubo di mandata acqua di riscaldamento

16 Ritorno acqua di riscaldamento17 Basamento18 Anello di tenuta19 Cappello cuscinetto di banco20 Corona dentata del volano21 Biella22 Albero motore23 Interruzione indicazione livello olio24 Valvola di sovrappressione olio25 Pompa olio26 Smorzatore di vibrazioni27 Catena a rulli singola (azionamento

pompa olio)28 Ventilatore a giunto viscoso29 Pompa acqua30 Ventilatore31 Distributore alta tensione32 Manicotto entrata acqua

33 Canale olio34 Bocchettone dell’olio35 Tubo di aspirazione36 Misuratore masse d’aria a filo caldo (HLM)37 Tubazione ricircolo gas di scarico38 Parte inferiore tubo di aspirazione39 Supporto albero a camme40 Punteria idraulica42 Collettore di scarico42 Canale principale olio43 Supporto motore44 Foro di compensazione della pressione45 Asta controllo livello olio46 Trasduttore di pressione47 Tubo radiatore olio48 Filtro olio49 Pistone50 Testa cilindri

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13

14

15

16

17

18

19

20

2122232425

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In diverse applicazioni, per ragioni di semplicità di lavorazione e di elevata rigidità, l’albero motore degli 8V presenta le quattro manovel-le complanari, esattamente come nel caso del motore quadricilindrico: questa è la soluzione adottata in molti motori Ferrari 8V di 90°, come il motore dell’autovettura modello 360 Modena, il cui albero è riportato nella figura 1.31.

Fig. 1.31Imbiellaggio completo per il motore 8V dell’autovettura Ferrari, modello 360 Modena (per cortesia Ferrari Image Service).

Nella figura 1.32 sono riportate due immagini dell’albero del motore a 12 cilindri a V di 60°, dell’autovettura Ferrari F 50.

L’albero presenta sei manovelle e sette supporti ed è analogo all’al-bero di un motore a quattro tempi a sei cilindri in linea, illustrato nella figura 1.24.

Fig. 1.32Motore a 12 cilindri a V a 60°, per l’autovettura Ferrari F 50 (per cortesia Ferrari Image Service): a) albero a gomiti; b) imbiellaggio completo.


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Nella figura 1.33 è riportata la sezione del motore della vettura Ferrari 458 Italia. La vettura è una berlinetta a due posti che monta un motore 8V di 90° in posizione posteriore/longitudinale. Il motore ha la cilindra-ta di 4499 cc e sviluppa la potenza massima di 570 CV alla frequenza di rotazione di 9000 giri/min. La coppia massima vale 540 Nm al regime di 6000 giri/min.

Fig. 1.33Sezione trasversale del motore della vettura FERRARI 458 Italia (per cortesia Ferrari Image Service).

equilibratura mediante alberi ausiliari contrappesati

L’evoluzione raggiunta dalla tecnica motoristica nel corso degli anni Ottanta e Novanta ha consentito di raggiungere regimi di rotazione sempre più elevati, in modo da ottenere elevate prestazioni da cilindra-te minori e con architetture semplificate come lo schema a quattro cilin-dri e a quattro tempi.

L’aumento dei regimi di potenza massima ha richiesto l’esecuzione di interventi volti al miglioramento del comfort e dell’affidabilità degli organi, costringendo all’adozione di misure di contenimento delle vi-brazioni emesse dal motore e in particolare dagli organi alterni. Rela-tivamente ai problemi legati all’equilibratura del motore a quattro cilin-dri, il principale difetto consiste nello squilibrio delle forze alterne del secondo ordine.

La soluzione adottata da molti costruttori consiste nel realizzare dei contrappesi rotanti a velocità doppia rispetto a quella dell’albero moto-re, sistemando all’interno del basamento due alberi paralleli all’albero motore, ma rotanti a velocità doppia. Tali alberi sono muniti di masse

richiamoIl sistema formato da alberi ausiliari rotanti è detto Lanchester Harmonic Balancer, dal nome dell’inventore.


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eccentriche, generando forze centrifughe rotanti in grado di controbilan-ciare gli effetti delle forze alterne squilibrate del secondo ordine. Il prin-cipio di funzionamento è illustrato nella figura 1.34.

Fig. 1.34Sistema di equilibratura delle forze alterne d’inerzia del secondo ordine mediante alberi ausiliari:a) pistone al PMI; le masse degli alberi ausiliari sono rivolte verso il basso;b) manovella a 45°; le masse degli alberi ausiliari sono orizzontali;c) manovella a 90°; le masse degli alberi ausiliari sono rivolte verso l’alto;d) manovella al PMI; le masse degli alberi ausiliari sono rivolte verso il basso.

Due alberi gemelli, che portano ciascuno una massa eccentrica, ruotano a velocità doppia rispetto all’albero motore, il primo nello stesso senso dell’albero motore, mentre il secondo in senso opposto. Quando il pisto-ne è al PMS, i due contrappesi sono rivolti verso il basso, con le due for-ze centrifughe pari ciascuna alla metà della forza alterna d’inerzia del secondo ordine: le tre forze appaiono quindi in equilibrio (4Fig.1.34a).

Quando l’albero motore ha compiuto una rotazione di 45°, la forza alterna d’inerzia del secondo ordine è nulla (4Fig.1.34b); i due alberi ausiliari hanno compiuto una rotazione di 90°, dato che ruotano a velo-cità doppia; le due masse eccentriche si trovano in posizioni opposte, per cui le due forze centrifughe risultano opposte.

Facendo compiere all’albero motore altri 45°, il pistone ha effettua-to circa metà corsa in discesa, mentre la forza alterna d’inerzia del se-condo ordine è orientata verso il basso, avendo raggiunto il suo valore massimo negativo: le due masse centrifughe hanno compiuto un altro mezzo giro e si trovano ora rivolte verso l’alto, equilibrando il sistema (4Fig.1.34c ).

richiamoL’albero ausiliario rotante nello stesso verso dell’albero motore è dettocorotante, quello rotante in verso opposto è detto controrotante.


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Si analizza infine la configurazione in cui il pistone è al PMI: dopo una rotazione complessiva di 180°, la forza alterna d’inerzia del secondo ordine ha compiuto un ciclo completo, raggiungendo di nuovo il valore massimo positivo; anche gli alberi ausiliari hanno compiuto una rotazione comple-ta, per cui i due contrappesi sono di nuovo rivolti verso il basso: le tre forze pertanto si annullano (4Fig.1.34d ).

Nella figura 1.35 viene illustrato il montaggio e l’azionamento me-diante cinghia bidentata dei due alberi ausiliari. Si noti come i due albe-ri ausiliari sono posizionati ad altezza diversa rispetto all’albero moto-re, allo scopo di generare anche una coppia di riequilibrio, per annullare l’effetto rollio dovuto alle spinte laterali dei pistoni sulle pareti.

Fig. 1.35Motore a quattro cilindri munito di due alberi ausiliari perl’equilibratura della forze alterne d’inerzia del secondo ordine.

Nei motori monocilindrici e bicilindrici spesso si ricorre alla pratica dell’albero controrotante singolo per bilanciare gli squilibri del primo ordine: in tal modo, malgrado la complicazione costruttiva introdotta, si opera un alleggerimento della contrappesatura dell’albero motore, ridu-cendo le inerzie dell’imbiellaggio e gli ingombri radiali.

La figura 1.36 riporta due immagini del motore Rotax V 990, che equipaggia la moto Aprilia RSV 1000. Si tratta di un motore bicilindrico a V stretto di 60°, con due assi a camme per ciascuna testata. È possibi-le osservare lo schema della trasmissione del moto dall’albero motore ai quattro assi a camme, mediante due catene, una anteriore e una poste-riore, con interposto un ingranaggio riduttore con rapporto 2:1.

Anche il moto dell’albero controrotante laterale di equilibrio delle forze alterne del primo ordine viene trasmesso da un ingranaggio, in questo caso con rapporto 1:1 (4Fig.1.36b).


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Fig. 1.36Motore bicilindrico Rotax V 990, con un albero ausiliario perl’equilibratura della forze alterne d’inerzia del primo ordine: a) vista a motore semismontato;b) schema della trasmissione del moto agli organi interni.

Si osserva inoltre la parte di propulsore su metà basamento con in primo piano, da sinistra verso destra, la trasmissione primaria, l’albero motore a gomito unico, con le due bielle e con il contrappeso a mannaia; sulla de-stra è collocato l’albero controrotante con il suo contrappeso in evidenza (4Fig.1.36a).

Il motore bicilindrico Twin-Air che equipaggia la vettura Fiat 500 presenta le due manovelle allineate, secondo lo schema già de-scritto nella figura 1.20. Esso ha l’albero motore in ghisa con quattro contrappesi (anziché un unico contrappeso centrale a mannaia, come raffigurato nella figura 1.17) e poggia su tre supporti di banco.

All’estremità dell’albero lato volano si osserva la presenza di una ruota dentata (4Fig. 1.37a) che ingrana con la rispettiva ruota com-pagna posta sull’albero controrotante, con rapporto di trasmissio-ne unitario: l’albero controrotante ruota quindi alla stessa velocità dell’albero motore ma in senso opposto (4Fig. 1.37b); tale albero por-ta due masse eccentriche di estremità (4Fig. 1.37c) per equilibrare le forze alterne del primo ordine che, per la [1.9], su un singolo pistone valgono Fi

I = mP ω2 r cos ϑ.


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Fig. 1.38Contrappesatura di una maschetta dell’albero a gomiti del motore Twin Air e scomposizione della forza centrifuga parziale Fmc applicata sul singolo contrappeso; in figura compare anche la forza alterna del primo ordine Fi

I applicata nel piede di biella P.

Da notare come l’albero controrotante sia stato dimensionato per equi-librare le forze alterne del primo ordine solo al 50%, mentre il restan-te 50% viene equilibrato dai quattro contrappesi presenti sull’albero motore: ne consegue che i quattro contrappesi assolvono alla duplice funzione di equilibrare sia le forze centrifughe sia le forze d’inerzia del primo ordine, ma quest’ultime solo al 50%. In altri termini, è come se ciascun contrappeso fosse formato da due masse contigue, una per bilanciare le forze centrifughe, l’altra per equilibrare parte delle forze alterne d’inerzia del primo ordine. La maggiorazione così ottenuta ha come conseguenza la migrazione del baricentro al di fuori dell’asse di rotazione, con la conseguente perdita dell’equilibratura statica, per-dita che tuttavia viene compensata dal benefico effetto di bilanciare parzialmente le forze d’inerzia: questa soluzione è detta sovraequili-bratura.

Nello schema delle forze rappresentato nella figura 1.38 si nota la presenza della forza alterna del primo ordine Fi

I applicata sul piede di biella con direzione assiale e della quota parte della forza cen-trifuga che si origina nel contrappeso, destinata esclusivamente a equilibrare la forza alterna: questa quota parte è indicata con la sigla Fmc; tale forza parziale, concentrata nel baricentro del singolo contrappeso, può essere scomposta in due componenti, di cui una assia-le di valore Fa = mc ω2 rc cos ϑ, orientata in figura verso destra, l’altra normale all’asse, di valore Fn = mc ω2 rc sen ϑ.

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Fig. 1.37Albero motore e albero controrotante del motore Twin Air (FPT Fiat Powertrain Technologies); a) vista dell’albero motore con in evidenza i supporti di banco (1), i perni di biella (2) e il semianello di rasamento per la regolazione del gioco assiale; b) schema dell’insieme formato dall’albero motore (3) con relativo imbiellaggio e dall’albero controrotante (1) con le sue massedi bilanciamento (2); c) albero controrotante con in evidenza le masse eccentriche a mannaia.

Scegliendo opportunamente la geometria del contrappeso, si ha che Fa = ¼ Fi

I e ricordando che i contrappesi sono due per ogni manovella, si è ottenuta l’equilibratura al 50% della forza alterna d’inerzia del primo ordine.


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richiamoL’operazione di disaccoppiamento comporta un grosso vantaggio dal punto di vista del comfort vibrazionale, essendo i tamponi in gomma molto più rigidi in verticale (nella direzione del peso e dei sobbalzi della vettura) che in orizzontale. Pertanto l’effetto di filtraggio di una vibrazione orizzontale risulta molto più efficace.

Fig. 1.39Motore a tre cilindri in linea orizzontali, modello BMW K 75, con un albero ausiliario per l’equilibratura delle coppie causate dalle forze alterne d’inerzia del primo ordine.

Osservazione: si noti come la funzione cosϑ compaia in entrambe le formule, in quella della Fi

I come pure in quella della Fa: da ciò si de-duce che l’equilibratura apportata dai contrappesi si realizza con un effetto continuativo e costante, cioè, sempre al 50% di Fi

I per qualun-que valore istantaneo dell’angolo ϑ di rotazione dell’albero.

La componente normale Fn evidenziata nella figura 1.38 non prende parte in alcun modo al fenomeno dell’equilibratura. Pertanto risulta totalmente squilibrata e va a scaricarsi sui tamponi in gomma della so-spensione del motopropulsore, come già visto in precedenza nella figura 1.4 in cui il motore è montato su vettura con l’asse del cilindro verti-cale. In tale caso, la condizione di squilibrio dovuto alle forze alterne assiali verticali, destinata a scuotere il motopropulsore in verticale, nel senso della gravità, è stata ruotata di 90° ed ora agisce in senso oriz-zontale: questo effetto è noto come disaccoppiamento.

Nella figura 1.39 si possono osservare diversi organi interni del mo-tore K 75, di produzione BMW, tra cui l’albero motore a tre cilindri e l’albero controrotante laterale, per equilibrare le coppie dovute alle for-ze alterne del primo ordine. Questa soluzione consente di raggiungere un livello elevato di equilibratura complessiva.


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l’unità didattica in breve b1

velocità e accelerazione del piede di biella

Il sistema biella-manovella è un meccanismo articolato che trasfor-ma il moto alternativo in rotatorio o viceversa. Esso è costituito dalla manovella di lunghezza r e dalla biella di lunghezza l; i punti principali sono il bottone di manovella B, il piede di biella P e i punti estremi della corsa, detti punto morto superiore PMS e punto morto inferiore PMI. Il sistema biella-manovella viene descritto inoltre dalle seguenti grandezze cinematiche:— lo spostamento x del piede di biella, quotato a partire dal PMS;— l’angolo β‚ formato dall’asse della biella con l’asse del cilindro; — l’angolo ϑ, corrispondente allo spostamento angolare della manovella.

Il parametro λ, detto lunghezza ridotta della biella, è pari al rappor-to fra il raggio r di manovella e la lunghezza l della biella.

Nelle macchine motrici il sistema biella-manovella trasforma la forza di compressione Fg, agente sulla biella, in momento motore agente sull’albero; tale forza è costituita dalla pressione p esercitata dai gas in combustione, moltiplicata per l’area di base del cilindro di alesaggio A. Nelle macchine operatrici il momento motore M che agisce sull’albero e proviene da un motore esterno si trasforma in forza motrice agente alla base della biella, destinata a trasformarsi a sua volta in pressione sul fluido in pompaggio. La forza esercitata dai gas Fg viene scomposta in due componenti: la componente Fb si scarica lungo la biella sul bottone di manovella B; la componente Fn, normale all’asse del cilindro, si scarica sul basamento. Per determinare la velocità vp del piede di biella si esegue la derivata dello spazio x rispetto all’angolo di manovella e la si moltiplica per la velocità angolare. La velocità media vm è proporzionale alla corsa e alla frequenza di rotazione: in campo motoristico essa assume valori compresi tra 8÷20 m/s. Per determinare l’accelerazione si esegue la derivata della velocità del piede di biella rispetto alla variabile angolare, moltiplicata per la velocità angolare. Conviene semplificare la formula della velocità trascurando i termini meno influenti sul risultato: in tal caso la velocità e l’accelerazione sono costituite dalla somma di due funzioni trigonometriche, di cui la prima ha pulsazione ω, mentre la seconda ha pulsazione 2 ω, essendo la pulsa-zione ω pari alla velocità angolare dell’albero.

La sinusoide con pulsazione ω è detta componente armonica fon-damentale, o del primo ordine; la sinusoide con pulsazione doppia, pari a 2 ω, è detta componente armonica del secondo ordine; è pos-sibile ottenere la risultante sommando punto a punto le due sinusoidi.

Forze alterne d’inerzia del primo e del secondo ordine

Per calcolare la forza alterna d’inerzia agente sul piede di biella si moltiplica l’accelerazione ap del piede di biella per la massa mp applicata nel piede medesimo. La forza così trovata ha andamento periodico, è costante come direzione (orientata secondo l’asse x), alterna come verso


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e varia periodicamente come ampiezza. Adottando la procedura di calco-lo semplificata, tale forza può essere considerata come la somma di due componenti: una forza alterna Fi

I del primo ordine e una forza alterna Fi

II del secondo ordine. Nel tempo in cui la manovella compie una rota-zione, la forza del primo ordine compie un’onda completa, mentre la forza del secondo ordine ne compie due, poiché ha pulsazione doppia.

analisi armonica del sistema biella-manovella

Eseguendo la derivata della velocità del piede di biella, senza trascurare nessun fattore, e servendosi dello strumento matematico dello svilup-po in serie di Mc Laurin si perviene alla formulazione esatta e com-pleta dell’accelerazione del piede di biella in serie, i cui termini sinusoidali sono detti componenti armoniche.

L’accelerazione è pari a una somma di infinite funzioni coseno che differiscono fra loro per ampiezza e pulsazione. La prima delle funzioni coseno, avente ampiezza A1 e pulsazione ω pari alla velocità angolare dell’albero, è detta componente fondamentale o del primo ordine. La seconda delle funzioni coseno, avente ampiezza A2 e pulsazione pari al doppio della velocità angolare dell’albero, è detta componente del secondo ordine. La terza delle funzioni coseno che compare nello sviluppo in serie, avente ampiezza A4 e pulsazione pari al quadruplo della velocità angolare dell’albero, è detta componente del quarto ordine; per le componenti di ordine superiore si procede utilizzando lo stesso principio, per cui si avranno componenti del sesto ordine, dell’ot-tavo ordine e così via. Tranne la componente fondamentale, tutte le componenti armoniche hanno ordine pari. Il rilievo sperimentale della vibrazione dovuta al sistema biella-manovella conferma quanto trovato per via teorica. Lo spettro delle frequenze è un grafico su cui sono riportate le am piez ze delle componenti, in funzione delle frequenze rica-vate mediante l’analisi armonica.

equilibratura del sistema biella-manovella

Attraverso l’albero a gomito, detto anche albero a manovelle, la biella scambia la forze motrici con l’esterno; esso è formato da campate in numero proporzionale al numero dei cilindri. La campata è costitui-ta da due bracci di manovella paralleli, detti maschette, e da un perno di manovella parallelo all’asse di rotazione, sul quale è montata la testa di biella. Le campate possono essere fra loro adiacenti oppure separate da un perno, detto perno di banco, coassiale con l’asse di rotazione dell’albero. Ogni perno di banco poggia su un supporto di banco con interposto un cuscinetto di strisciamento.

Il bloccaggio dell’albero sui supporti avviene mediante ponticelli muniti di semigusci, detti cappelli di banco.

Nei motori endotermici l’angolo di orientamento fra le manovelle è scelto in modo da distribuire simmetricamente le masse, regolarizzando la coppia motrice e ottenendo la successione delle fasi utili nei cilindri con


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intervalli uguali. Nelle macchine operatrici è fondamentale distribuire le masse con regolarità. Nei motori bicilindrici a quattro tempi le manovelle sono orientate a 360°; nei compressori e nelle pompe bicilindriche e nei motori quadricilindrici a quattro tempi le manovelle sono orientate a 180°.

Un albero rotante è detto già di per sé staticamente (dinami-camente) equilibrato se non necessita dell’aggiunta di contrappesi per raggiungere lo stato di equilibratura statica (dinamica). Si raggiunge l’equilibratura dinamica di un corpo rotante nel caso in cui la risul-tante dei momenti dovuti alle forze centrifughe, riferiti a un punto qualunque dell’asse, risulti uguale a 0. Un albero è in condizione di equilibratura dinamica se, essendo già equilibrato staticamente, ammette un piano di simmetria perpendicolare all’asse di rotazione. Ciò è ottenuto automaticamente sia per l’albero a gomito a una sola mano-vella sia per l’albero del motore bicilindrico a quattro tempi. L’albero a gomito del motore bicilindrico a due tempi ha le forze centrifughe uguali, parallele e con versi opposti, formanti una coppia; pertanto, per equilibrare tale coppia occorre applicare due contrappesi.

Per quanto concerne l’equilibratura delle forze alterne d’inerzia vale la seguente regola: nessuna delle due componenti alterne d’inerzia può essere completamente equilibrata con la sola applicazione di con-trappesi sull’albero a gomito. Bilanciando la forza alterna d’inerzia del primo ordine mediante contrappeso si crea uno squilibrio agente in senso perpendicolare all’asse della corsa. Nella maggioranza dei casi, infatti, è preferibile raggiungere solo un’equilibratura parziale della forza alterna d’inerzia del primo ordine.

Fra le infinite componenti armoniche, la forza alterna del secon-do ordine, avente frequenza doppia rispetto alla frequenza dell’albero, per essere equilibrata richiede una forza opposta rotante a velocità dop-pia rispetto a quella dell’albero motore.

Da queste considerazioni derivano le seguenti regole:— né le forze né le coppie del secondo ordine sono equilibrabili parzial-

mente attraverso contrappesi posti sull’albero a gomito;— non è possibile formulare relazioni fra lo stato di equilibratura

dell’albero e quello delle forze e delle coppie del secondo ordine.

Esistono comunque alcuni tipi di imbiellaggi completamente equili-brati come forze alterne del primo e del secondo ordine, senza dovere ricorrere a contrappesi o a altri dispositivi, come l’imbiellaggio a sei cilindri per motori a quattro tempi.

Si esegue lo studio dell’equilibratura dei carichi alterni trac-ciando un diagramma circolare: se la distribuzione dei raggi che rappre-sentano le forze di uno stesso ordine presenta una simmetria, si deduce che la somma vettoriale delle forze è pari al vettore nullo e la macchina risulta equilibrata relativamente a quell’ordine specifico.

Gli alberi motore a due cilindri e a quattro tempi sono squilibrati sulle forze alterne e centrifughe; gli alberi motore a quattro cilindri e a quattro tempi sono squilibrati sulle forze alterne del secondo ordine: tale squilibrio viene annullato ricorrendo a una coppia di alberi ausi-liari, uno controrotante e uno corotante, che ruotano a velocità dop-pia di quella dell’albero. Gli alberi motore a cinque cilindri sono invece equilibrati sulle forze alterne del primo e del secondo ordine.


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1. Calcolare l’angolo di orientamento delle manovelle per un motore a sei cilindri a due tempi.

2. La lunghezza della biella misurata fra l’asse del piede e l’asse della testa per il motore a quattro cilindri e a quattro tempi, modello M41 di produzione BMW, vale l = 130 mm. La corsa vale C = 82,8 mm. Ipotizzando che la pressione dei gas valga p = 10 bar quando la biella e la manovella sono in quadratura, calcolare il momento motore istanta-neo nella suddetta configurazione.

3. Calcolare il tratto di corsa, misurato a partire dal PMS, descritto dal piede di biella quando l’angolo di manovella passa da ϑ = 0 a ϑ = π/4. La corsa vale C = 140 mm, mentre la lunghezza ridotta della biella vale λ = 0,28.

4. Un motore motociclistico monocilindrico ha un’accelerazione massima al piede di biella pari ad ap = 24 000 m/s2, alla frequenza di rotazione n = 7600 giri/min. Sapendo che la corsa vale C = 62,6 mm, calcolare la lunghezza ridotta della biella.

5. Una pompa alternativa monocilindrica funziona a regime alla frequen-za di rotazione n = 1200 giri/min. Calcolare i valori delle pulsazioni e delle frequenze relative alle componenti dell’accelerazione al piede di biella del primo, del secondo, del quarto, del sesto e dell’ottavo ordine.

6. Calcolare le forze alterne del primo e del secondo ordine al PMS, agenti sul piede di biella di un motore ad accensione per compressione camioni-stico, la cui corsa vale C = 150 mm, mentre la lunghezza della biella mi-sura l = 250 mm e funziona alla frequenza di rotazione n = 2200 giri/min. La massa concentrata al piede della singola biella vale mp = 7,5 kg.

7. Un motore ha la corsa che vale C = 58 mm. La forza alterna d’iner-zia del secondo ordine vale Fi

II = 3200 N, quando ruota alla velocità n = 8000 giri/min. La lunghezza ridotta della biella vale λ = 0,24. Calcolare la massa mp concentrata al piede di biella.

8. Un motore marino a due tempi e sei cilindri ha il raggio di manovella r = 300 mm e la lunghezza ridotta della biella λ = 0,282. Il rapporto corsa/alesaggio vale C/A = 1,14, mentre la frequenza di rotazione vale n = 200 giri/min. La massa mp concentrata al piede di biella è mp = 1350 kg. Calcolare l’alesaggio, la lunghezza della biella e la forza alterna d’inerzia agente sul piede di biella al PMS.

9. Un motore motociclistico a tre cilindri ha alesaggio A = 53,4 mm, corsa C = 52 mm, lunghezza della biella l = 118 mm e frequenza di rotazione n = 11 000 giri/min. Determinare la cilindrata e l’accelerazione ap al piede di biella al PMS e al PMI.

Problemi di riePilogo b1

b1.3 analisi armonica del sistema biella-manovella · biella-manovella Lo studio che ha condotto...

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