BỔ SUNG KIẾN THỨC VỀ TOÁN - timoday.edu.vn...Tính chấtcủaEntropy 0 Q𝐻( ) Q𝑔2 J (...

BỔ SUNG KIẾN THỨC VỀ TOÁN

Tài liệu: Handbook of Applied Cryptography

Katz Jonathan, Menezes Alfred J, Van Oorschot Paul C, Vanstone Scott A

CRC Press

CHƯƠNG 2

1

Nội dung

▪ Lý thuyết xác suất

▪ Lý thuyết thông tin

▪ Lý thuyết về số học

2

Xác suất

▪ 𝑃 𝑠ự 𝑘𝑖ệ𝑛 𝐴 =# 𝑠ự 𝑘𝑖ệ𝑛 𝑠ơ 𝑐ấ𝑝 𝑐ủ𝑎 𝐴

σ 𝑠ự 𝑘𝑖ệ𝑛 𝑠ơ 𝑐ấ𝑝

Ví dụ 1:

➢ Tung xúc xắc 1 lần. Gọi 𝐴 là số chấm xuất

hiện. P 𝐴 = 𝑘 = Τ16

➢ Tung xúc xắc 2 lần độc lập. Gọi 𝐴 là tổng số

chấm. P 𝐴 = 3 = Τ118

3

Xác suất

▪ Ví dụ 2: Bài toán trùng ngày sinh nhật

Trong một phòng khách có n người. Hỏi khả năng

xảy ra hai người có trùng ngày sinh là bao nhiêu?

▪ Bài toán tương tự:

Trong 1 bình chứa m quả bóng đánh số khác. Rút

ngẫu nhiên lần lượt từng quả có hoàn lại. Tính xác

suất sau n lần rút xuất hiện ít nhất hai quả giống

nhau?4

Xác suất

5

➢ Kết quả tổng quát:

𝑃 𝑚, 𝑛 = 1 −𝑚 𝑚 − 1 … 𝑚 − 𝑛 + 1

𝑚𝑛

≈ 1 − 𝑒−𝑛2

2𝑚 ≈𝑛2

2𝑚𝑘ℎ𝑖 𝑚 → ∞

➢ 𝑃 𝑚 = 365, 𝑛 = 23 ≈ 1 − 𝑒−232

2∗365 ≈ 0.52

➢ Trung bình số lần rút trước khi lặp lại quả đã rút là

𝜋𝑚

2

Xác suất

6

➢ Ví dụ (về đung độ của hàm băm):

𝐻 𝑠 = 11001 … 10 , ∀ 𝑥â𝑢 𝑠

𝑛 𝑏𝑖𝑡

▪ Hỏi số trung bình thử các xâu đầu vào s làbao nhiêu để bắt gặp có 2 xâu cho cùng kếtquả?

▪ ≈ 2 Τ𝑛2

Entropy (Độ không chắc chắn)

▪ Định nghĩa: Giả sử X là một biến ngẫu nhiên nhận

các giá trị {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 } và 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] = 𝑝𝑖.

Entropy của X được xác định là:

𝐻(𝑋) = − 𝑖=1

𝑛

𝑝𝑖𝑙𝑜𝑔2𝑝𝑖

𝑣ớ𝑖 𝑞𝑢𝑖 ướ𝑐 𝑝𝑖 = 0 𝑡ℎì 𝑙𝑜𝑔2𝑝𝑖 = 0

7

Tính chất của Entropy

▪ 0 ≤ 𝐻(𝑋) ≤ 𝑙𝑜𝑔2𝑛

( 𝑙𝑜𝑔2𝑛 𝑝ℎả𝑛 á𝑛ℎ 𝑠ố đơ𝑛 𝑣ị 𝑡ℎô𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑛 )

▪ 𝐻 𝑋 = 0 ⇔ 𝑝𝑖 = 1 𝑣ớ𝑖 𝑚ộ𝑡 𝑠ố 𝑖 𝑣à 𝑝𝑖 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑖 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖,

𝑛𝑔ℎĩ𝑎 𝑙à 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ó 𝑘ế𝑡 𝑞𝑢ả 𝑛à𝑜 𝑥𝑢ấ𝑡 ℎ𝑖ệ𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑋 𝑙à 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ℎắ𝑐 𝑐ℎắ𝑛

▪ 𝐻 𝑋 = 𝑙𝑜𝑔2𝑛 ⇔ 𝑝𝑖 = Τ1𝑛 ∀ 𝑖,

𝑛𝑔ℎĩ𝑎 𝑙à 𝑡ấ𝑡 𝑐ả 𝑐á𝑐 𝑘ℎả 𝑛ă𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑋 đề𝑢 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑛ℎư 𝑛ℎ𝑎𝑢

8

Hợp entropy của hai biến ngẫu nhiên

▪ 𝐻 𝑋, 𝑌 = − σ𝑥,𝑦 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦)𝑙𝑜𝑔2(𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦)

▪ 𝐻 𝑋, 𝑌 ≤ 𝐻 𝑋 + 𝐻 𝑌

Dấu = ⇔ 𝑋, 𝑌độ𝑐 𝑙ậ𝑝

9

Entropy điều kiện của hai biến ngẫu nhiên

▪ 𝐻 𝑋|𝑌 = 𝑦

= −

𝑥

𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦)𝑙𝑜𝑔2(𝑃(𝑋 = 𝑥 | 𝑌 = 𝑦)

▪ 𝐻 𝑋|𝑌 = σ𝑦 𝑃 𝑌 = 𝑦 𝐻(𝑋 | 𝑌 = 𝑦)

10

Tính chất của entropy điều kiện

▪ 𝐻 𝑋|𝑌 = 𝑦

= −

𝑥

𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦)𝑙𝑜𝑔2(𝑃(𝑋 = 𝑥 | 𝑌 = 𝑦)

▪ 𝐻 𝑋|𝑌 = σ𝑦 𝑃 𝑌 = 𝑦 𝐻(𝑋 | 𝑌 = 𝑦)

11

Lý thuyết số học

12

Cho a, b là 2 số tự nhiên. Ta nói a chia hết b (hoặc a là ước của b;

b chia hết cho a; a là nhân tử của b) nếu tồn tại số tự nhiên c sao

cho b = ac

Khi a là ước số của b, ta ký hiệu a | b

Định nghĩa:

Ví dụ:

• 5 | 15

• 17 | 85


14

Cho 𝑎, 𝑏 là 2 số tự nhiên với 𝑏 ≥ 1, phép chia 𝑎 cho 𝑏 được

thương là 𝑞 và dư 𝑟 sao cho:

𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟, ở đó 0 ≤ 𝑟 < 𝑏.

Cặp q, r là duy nhất. Ký hiệu phần thương và dư lần lượt là

𝑎 𝑑𝑖𝑣 𝑏, và 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑏.

Định nghĩa: (Phép chia hai số tự nhiên)

Ví dụ:

• 15 mod 4 = 3, 15 div 4 = 3


15

• Số tự nhiên 𝑐 gọi là ước chung của 𝑎 và b nếu c|𝑎 và 𝑐|𝑏.

• Một số không âm 𝑑 gọi là ước chung lớn nhất của 𝑎 và b, ký

hiệu d = gcd(𝑎, 𝑏), nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:

✓ d là ước chung của 𝑎 và 𝑏; và

✓ ∀ c|a và c|b thì c|d

Định nghĩa: (ước số chung)

Ví dụ:

• gcd(15,10) = 5


17

Hai số tự nhiên a, b gọi là nguyên tố cùng nhau nếu gcd 𝑎, 𝑏 = 1

Định nghĩa: (hai số nguyên tố cùng nhau)

Ví dụ:

• 21 và 17 là nguyên tố cùng nhau vì gcd(21,17) = 1


18

Số tự nhiên a gọi là số nguyên tố a chỉ có ước dương duy nhất là 1

và chính nó.

Nếu a không là số nguyên tố thì được gọi là hợp số.

Định nghĩa: (số nguyên tố)

Ví dụ:

• 17 là số nguyên tố

• 21 là hợp số


19

Tính chất của số nguyên tố:

• Nếu 𝑝 là số nguyên tố và 𝑝|𝑎𝑏 thì 𝑝|𝑎 hoặc 𝑝|b

• Tập các số nguyên tố là vô hạn

• lim𝑥→∞

𝜋(𝑥)

Τ𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑥= 1, với 𝜋(𝑥) ký hiệu số các số nguyên

tố ≤ 𝑥.


20

Mọi số tự nhiên n ≥ 2 đều được phân tích thành tích của lũy thừa

các số nguyên tố:

n = 𝑝1𝑒1𝑝2

𝑒2 … 𝑝𝑘𝑒𝑘 ,

ở đó 𝑝𝑖 là các số nguyên tố. Sự phân tích trên là duy nhất không kể

thứ tự.

Định lý: (về phân tích ra thừa số nguyên tố)

Ví dụ:

• 105 = 3.5.7

• 196 = 22. 72


21

Tìm gcd và lcm của hai số:

Giả sử a = 𝑝1𝑒1𝑝2

𝑒2 … 𝑝𝑘𝑒𝑘 và b = 𝑝1

𝑓1𝑝2𝑓2 … 𝑝𝑘

𝑓𝑘, khi đó:

• gcd(a, b) = 𝑝1min(𝑒1,𝑓1)

𝑝2min(𝑒2,𝑓2)

… 𝑝𝑘min(𝑒𝑘,𝑓𝑘)

• lcm(a, b) = 𝑝1max(𝑒1,𝑓1)

𝑝2max(𝑒2,𝑓2)

… 𝑝𝑘max(𝑒𝑘,𝑓𝑘)


22

Với số tự nhiên n ≥ 2, ký hiệu ϕ(𝑛) là số các số tự nhiên trong

khoảng [1, n] mà nguyên tố cùng nhau với n.

Định nghĩa: (hàm Ơ le)

Ví dụ:

• ϕ 10 = 4 vì trong khoảng từ 1,…,10 có 4 số

nguyên tố cùng nhau với 10 là: 1, 3, 7, 9


23

Tính chất của hàm Ơ le:

• Nếu 𝑝 là số nguyên tố thì ϕ 𝑝 = 𝑝 − 1

• Hàm ϕ bảo toàn với phép nhân, tức là nếu

gcd 𝑚, 𝑛 = 1 thì ϕ 𝑚. 𝑛 = ϕ(m). Φ(n).

• Nếu có phân tích thành nhân tử n = 𝑝1𝑒1𝑝2

𝑒2 … 𝑝𝑘𝑒𝑘

thì: ϕ 𝑛 = 𝑛 1 −1

𝑝11 −

1

𝑝2… (1 −

1

𝑝𝑘)

Lý thuyết đồng dư

24

Với 2 số tự nhiên a, b, khi đó 𝑎 được gọi là đồng dư với b modulo

𝑛, ký hiệu a ≡ b mod n , nếu 𝑛 |(𝑎 − 𝑏). Số n gọi là modulo của

đồng dư.

Định nghĩa:

Ví dụ:

• 15 ≡ 3 mod 4 vì 4 | (15-3)


25

Tính chất của đồng dư:

• 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑛 ⟺ 𝑎, 𝑏 có cùng số dư khi chia cho 𝑛.

• 𝑎 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑛

• 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑛 ⇒ 𝑏 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑛

• Nếu 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , 𝑏 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑 𝑛 ⇒ 𝑎 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑 𝑛

• Nếu 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , 𝑐 ≡ 𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛

⇒ 𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛

⇒ 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛


26

Tập các số tự nhiên modulo 𝑛, ký hiệu ℤ𝑛, là tập các số tự nhiên

gồm {0, 1, … , 𝑛 − 1} (hay chính xác là lớp các số có cùng số dư). Ở

đó các phép toán cộng ,trừ, nhân được thực hiện theo modulo 𝑛.

Định nghĩa: (tập các lớp đồng dư)

Ví dụ:

• Trong ℤ13 thì 6+7 =0, 7+9 = 3


27

Giả sử 𝑎 ∈ ℤ𝑛, ta gọi nghịch đảo modulo 𝑛 của 𝑎 (nếu có) là số

x sao cho 𝑎𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Trong trường hợp tồn tại x thì ta nói 𝑎 khả nghịch và nghịch đảo

của 𝑎 ký hiệu là 𝑎−1.

Phép chia 𝑎 cho 𝑏 theo modulo 𝑛 là phép nhân a với nghịch đảo

của 𝑏 nếu tồn tại.

Định nghĩa: (nghịch đảo modulo)

Ví dụ:

• Trong ℤ9 thì 5, 7 khả nghịch và 5−1 = 2, 7−1 = 4• Và trong ℤ9 thì 5:7 = 5.4 = 2


28

Kết quả chú ý:

• 𝑎 ∈ ℤ𝑛, 𝑎 khả nghịch ⇔ gcd 𝑎, 𝑛 = 1

• Hệ phương trình:

𝑥 ≡ 𝑎1 𝑚𝑜𝑑 𝑛1

𝑥 ≡ 𝑎2 𝑚𝑜𝑑 𝑛2

⋮𝑥 ≡ 𝑎𝑘 𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑘

ở đó {𝑛𝑖} là nguyên tố cùng nhau từng đôi có nghiệm duy

nhất x ≡ σ𝑖=1𝑘 𝑎𝑖𝑁𝑖𝑀𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , 𝑛 = 𝑛1𝑛2 … 𝑛𝑘,

𝑁𝑖 = Τ𝑛 𝑛𝑖 , 𝑀𝑖 = 𝑁𝑖−1 𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑖 .

Nhóm ℤ𝑛∗

29

Ta gọi nhóm với phép nhân modulo 𝑛 của ℤ𝑛 là:

ℤ𝑛∗ = 𝑎 ∈ ℤ𝑛 𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑛 = 1}

Định nghĩa:

Ví dụ:

• ℤ8∗ = {1, 3, 5, 7}

• ℤ11∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

• ℤ𝑛∗ có số phần tử bằng với số các số ≤ 𝑛 và nguyên tố

cùng nhau với 𝑛. Do đó số phần tử của ℤ𝑛∗ là ϕ 𝑛

Nhóm ℤ𝑛∗

30

Ta gọi cấp của ℤ𝑛∗ là số phần tử trong ℤ𝑛

∗ và ký hiệu là |ℤ𝑛∗ |.

Ta có |ℤ𝑛∗ | = ϕ 𝑛

Định nghĩa: (cấp của nhóm ℤ𝑛∗ )

Ví dụ:

• |ℤ25∗ | = ϕ 25 = 20

Nhóm ℤ𝑛∗

31


• Nếu 𝑎 ∈ ℤ𝑛∗ thì 𝑎ϕ 𝑛 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

• Nếu 𝑝 là số nguyên tố và 𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑝 = 1 thì

𝑎𝑝−1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝)

• ∀𝑎 ∈ ℤ, 𝑎𝑝≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑝)

Nhóm ℤ𝑛∗

32

Ta gọi cấp của 𝑎 ∈ ℤ𝑛∗ , ký hiệu ord 𝑎 , là số nguyên dương

nhỏ nhất t sao cho 𝑎𝑡 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Định nghĩa: (cấp của phần tử trong ℤ𝑛∗ )

Ví dụ: Trong ℤ21∗ = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}

có |ℤ21∗ | = 12

𝑎 1 2 4 5 8 10 11 13 16 17 19 20

ord 𝑎 1 6 3 6 2 6 6 2 3 6 6 2

❖ Cấp của các phần tử đều là ước số của 12

Nhóm ℤ𝑛∗

33

Giả sử 𝑎 ∈ ℤ𝑛∗ , nếu ord 𝑎 = ϕ 𝑛 thì 𝑎 được gọi là phần tử

sinh của ℤ𝑛∗ .

Nếu ℤ𝑛∗ có phần tử sinh thì ta nói ℤ𝑛

∗ là nhóm cyclic.

Định nghĩa: (phần tử sinh của ℤ𝑛∗ )

Ví dụ:

• ℤ9∗ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, có 2 phần tử sinh là 2 và 5 nên là cyclic

𝑎 1 2 4 5 7 8

ord 𝑎 1 6 3 6 3 2

• ℤ21∗ không có phần tử sinh nên không là nhóm cyclic

Phần tử sinh của ℤ𝑛∗

34


• ℤ𝑛∗ có phần tử sinh ⇔ 𝑛 = 2, 4, 𝑝𝑘 ℎ𝑜ặ𝑐 2𝑝𝑘, với 𝑝 là số

nguyên tố lẻ

• Nếu 𝑎 là phần tử sinh của ℤ𝑛∗ thì

ℤ𝑛∗ = 𝑎𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑛 0 ≤ 𝑖 ≤ ϕ 𝑛 − 1}

• Nếu 𝑎 ∈ ℤ𝑛∗ là phần tử sinh thì 𝑎𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑛 cũng là phần tử

sinh của ℤ𝑛∗ . Do đó nếu ℤ𝑛

∗ là cyclic thì ℤ𝑛∗ có ϕ(ϕ 𝑛 )

phần tử sinh

Thặng dư bậc hai modulo 𝑛

35

Giả sử 𝑎 ∈ ℤ𝑛∗ , 𝑎 được gọi là thặng dư bậc hai hay số chính

phương modulo 𝑛 nếu tồn tại 𝑥 ∈ ℤ𝑛∗ sao cho 𝑥2 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Ngược lại thì 𝑎 gọi là phi thặng dư bậc hai modulo 𝑛.

Ký hiệu tập các thặng dư, phi thặng dư bậc hai của ℤ𝑛∗ là 𝑄𝑛, ത𝑄𝑛

Định nghĩa:

Ví dụ:

• ℤ9∗ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, có:

𝑄9= {1, 4, 7}, ത𝑄9 = {2, 5, 8}

Căn bậc hai modulo 𝑛

36

Giả sử 𝑎 ∈ 𝑄𝑛, nếu 𝑥 ∈ ℤ𝑛∗ thỏa mãn 𝑥2 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) thì 𝑥 gọi

là căn bậc hai của 𝑎 modulo 𝑛.

Định nghĩa:

Ví dụ:

• Trong ℤ9∗ = {1, 2, 4, 5, 7, 8} thì 2 và 7 là căn bậc hai của 4

modulo 9

Căn bậc hai modulo 𝑛

37


• Nếu 𝑝 là số nguyên tố lẻ và 𝑝 ∈ 𝑄𝑛 thì 𝑝 có chính xác

hai căn bậc hai

• 𝑛 = 𝑝1𝑒1𝑝2

𝑒2 … 𝑝𝑘𝑒𝑘 , ở đó 𝑝𝑖 là các số nguyên tố lẻ đôi

một khác nhau thì với mỗi 𝑎 ∈ 𝑄𝑛 sẽ có 2𝑘 căn bậc

hai của 𝑎

Ký hiệu Legendre

38

Giả sử 𝑝 là số nguyên tố lẻ, 𝑎 là số tự nhiên. Ký hiệu Legendre

𝑎

𝑝xác định bởi:

𝑎

𝑝= ൞

0 𝑛ế𝑢 𝑝|𝑎

1 𝑛ế𝑢 𝑎 ∈ 𝑄𝑝

−1 𝑛ế𝑢 𝑎 ∈ ത𝑄𝑝

Định nghĩa:

Ví dụ:

•5

9= −1,

4

9=1

Ký hiệu Legendre

39

Kết quả chú ý: Nếu 𝑝 và 𝑞 là hai số nguyên tố lẻ khác nhau thì

• Định lý Euler:𝑎

𝑝≡ 𝑎 ൗ𝑝−1

2 𝑚𝑜𝑑 𝑝 .

Đặc biệt1

𝑝= 1,

−1

𝑝= (−1) ൗ(𝑝−1)

2

•𝑎𝑏

𝑝=

𝑎

𝑝

𝑏

𝑝, nếu 𝑎 ∈ ℤ𝑝

∗ thì𝑎

𝑝

2= 1

• Nếu 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) thì 𝑎

𝑝=

𝑏

𝑝

• Luật tương hỗ:𝑝

𝑞=

𝑞

𝑝(−1) ൗ(𝑝−1)(𝑞−1)

4

Ký hiệu Jacobi (mở rộng của Legendre)

40

Giả sử 𝑛 ≥ 3 có phân tích ra thừa số nguyên tố 𝑛 = 𝑝1𝑒1𝑝2

𝑒2 … 𝑝𝑘𝑒𝑘.

Khi đó ký hiệu Jacobi 𝑎

𝑛xác định bởi:

𝑎

𝑛=

𝑎

𝑝1

𝑒1 𝑎

𝑝2

𝑒2…

𝑎

𝑝𝑘

𝑒𝑘

Định nghĩa:

Ví dụ:

•5

21=

5

3*

5

7= (−1) ∗ (−1) = 1

Ký hiệu Jacobi

41

Kết quả chú ý: 𝑚, 𝑛 𝑙ẻ 𝑣à ≥ 3

•𝑎

𝑛∈ 0,1, −1 ,

𝑎

𝑛= 0 ⇔ 𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑛 ≠ 1.

•𝑎𝑏

𝑛=

𝑎

𝑛

𝑏

𝑛

•𝑎

𝑛𝑚=

𝑎

𝑛

𝑎

𝑚

• Nếu 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) thì 𝑎

𝑝=

𝑏

𝑝

•1

𝑛= 1,

−1

𝑛= (−1) ൗ(𝑛−1)

2, 2

𝑛= (−1) ൗ(𝑛2−1)

8

• Luật tương hỗ:

𝑚

𝑛=

𝑛

𝑚(−1) ൗ(𝑚−1)(𝑛−1)

4

BỔ SUNG KIẾN THỨC VỀ TOÁN - timoday.edu.vn...Tính chấtcủaEntropy 0 Q𝐻( ) Q𝑔2 J (...

Documents

Transcript of BỔ SUNG KIẾN THỨC VỀ TOÁN - timoday.edu.vn...Tính chấtcủaEntropy 0 Q𝐻( ) Q𝑔2 J (...