Axiomatique Physique

Les mathematiques

de la physique moderne

Frederic Paugam

c© Brouillon 1 du 8 decembre 2009

1Notes en preparation dont les destinataires eventuels seront les (malheureux?) etudiants en masterde mathematiques qui feront le voeux (pieux?) de comprendre les modelisations modernes de la physiquedes particules elementaires.

Table des matieres

1 Introduction 71.1 Le probleme de la definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Modelisation et deux principes de la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Probleme variationnels lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Principe de moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Principe d’oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Physique classique 132.1 Mecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Version lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Traduction hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Theorie des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Mecanique des champs classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 L’electromagnetisme local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 La relativite generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.4 Theorie de Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.5 Sigma-modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.6 Cordes classiques et lagrangien de Polyakov . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Theorie de Jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.1 Theorie de Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Theorie de Jauge avec matiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.3 Le processus de fixation de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Champs classiques fermioniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Particules classiques de matiere et d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.1 Un dictionnaire entre physique et geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.2 Particules de spin 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.3 Particules de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.4 Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Physique quantique sans interactions 313.1 Premiere quantification Hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Representations des groupes de Lie et particules . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2 Rappels de mecanique quantique Hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . 32

3

4 TABLE DES MATIERES

3.1.3 Quantification de Heisenberg/Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.4 Quantification de Weyl infinitesimale et calcul pseudo-differentiel . . . . . 353.1.5 Quantification de Connes et groupoıde tangent . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Quantification canonique des champs libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.1 Quantification de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Quantification du champ scalaire libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.3 Quantification infinitesimale des champs classiques . . . . . . . . . . . . . 423.2.4 Les axiomes de Wightman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Quantification covariante des champs libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.1 Espace des phases covariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.2 Calcul differentiel sur les fonctionnelles locales . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.3 L’integrale fonctionnelle des physiciens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.4 L’integrale fonctionnelle formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.5 Le modele ludique du champ scalaire libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.6 Les propagateurs des equations de Klein-Gordon et de Dirac . . . . . . . 50

4 Physique quantique avec interactions 534.1 Les equations du mouvement quantique de Dyson-Schwinger . . . . . . . . . . . . 534.2 Quantification perturbative des champs de matiere en interaction . . . . . . . . . 56

4.2.1 Axiomatique minimale pour les champs quantiques perturbatifs . . . . . . 564.2.2 Developpements perturbatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2.3 Le modele ludique ϕ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Quantification covariante des theories de Jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.1 L’espace des phases covariant en presence de liberte de jauge . . . . . . . 594.3.2 Antichamps et resolution de la surface stationnaire . . . . . . . . . . . . . 594.3.3 Fantomes et resolution des invariants de jauge . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.4 Actions fantomatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4.1 Le groupe de renormalisation de Connes et Kreimer . . . . . . . . . . . . 624.4.2 Relation avec la theorie de Galois differentielle . . . . . . . . . . . . . . . 634.4.3 Renormalisation des theories de Jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Theories quantiques des champs 655.1 L’electrodynamique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 L’interaction faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3 L’interaction electrofaible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4 La chromodynamique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5 Le mecanisme de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.6 Le modele standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 Outils mathematiques 696.1 Formules fondamentales pour les gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.1 Integrales gaussiennes avec source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.1.2 Diagrammes de Feynman en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

TABLE DES MATIERES 5

6.1.3 Les regles de Feynman en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2 Rappels de geometrie differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2.1 Definition par les cartes des varietes et fibres differentiables . . . . . . . . 736.2.2 Faisceaux, varietes et fibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2.3 Points de vue fonctoriel sur le calcul differentiel . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.4 Jets de fonctions et formes differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.2.5 Champs de vecteurs et operateurs differentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.6 Connexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.7 Varietes symplectiques et varietes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3 Equations aux derivees partielles lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.3.1 Distributions, theoreme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.3.2 Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.3 Solutions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.4 Probleme de Cauchy pour les systemes hyperboliques . . . . . . . . . . . 856.3.5 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.6 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.7 Equation de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.8 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.9 Equation de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4 Theorie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.5 Geometrie des jets et equations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5.1 D-schemas et equations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . 886.5.2 Champs de vecteurs evolutionnaires et symetries . . . . . . . . . . . . . . 886.5.3 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.5.4 Bicomplexe et suite spectrale variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.5.5 Calcul differentiel secondaire sur les fonctionnelles locales . . . . . . . . . 886.5.6 L’espace des phases covariant lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.5.7 L’espace des phases covariant multisymplectique . . . . . . . . . . . . . . 88

6.6 Geometrie des jets et equations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . 886.6.1 Jets d’applications et jets de sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.6.2 Geometrie sur les jets infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.6.3 Distribution de Cartan et equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . 936.6.4 Le calcul differentiel fonctionnel hors coquillage . . . . . . . . . . . . . . . 946.6.5 Champs de vecteurs evolutionnaires et symetries de jauge . . . . . . . . . 956.6.6 Connexion de Cartan et bicomplexe variationnel . . . . . . . . . . . . . . 976.6.7 La suite spectrale variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.6.8 Calcul differentiel secondaire sur les fonctionnelles locales . . . . . . . . . 996.6.9 L’espace des phases covariant lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.6.10 Calcul differentiel secondaire gradue et champs fermioniques . . . . . . . 101

6.7 Calcul differentiel sur les espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.7.1 Points de vue diffeologique sur les espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . 1016.7.2 Differentielles de Gateaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.7.3 Derivation de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.8 Formalisme multisymplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 TABLE DES MATIERES

6.8.1 Operateur d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.8.2 Champs de Jacobi dans le formalisme multisymplectique . . . . . . . . . . 1066.8.3 L’espace des phases covariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.9 Groupes algebriques lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.9.1 Structure des groupes algebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.9.2 Representations des groupes algebriques reductifs . . . . . . . . . . . . . . 1116.9.3 Algebre de Clifford et groupes spinoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.10 Categories : la covariance en mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.10.1 Categories et foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.10.2 Proprietes universelles et foncteurs representables . . . . . . . . . . . . . . 1146.10.3 Geometrie virtuelle et espaces de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.10.4 Cohomologie et suites spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.10.5 Resolutions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.10.6 Cohomologie de groupe et d’algebre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.10.7 Algebres de Lie differentielles graduees et deformations . . . . . . . . . . . 120

Chapitre 1

Introduction

Ce document est destine a des mathematiciens. L’auteur se libere, au moins provisoirement,de la responsabilite des eventuels desagrements qu’un physicien pourrait subir en lisant ce texte.

1.1 Le probleme de la definition

Une des difficultes principale a laquelle est confronte un mathematicien (etudiant ou cher-cheur) s’il s’interesse a la physique est ce que l’on appellera le probleme de la definition :quelle est la definition mathematique precise de l’objet qui modelise une situation physiquedonnee. La resolution complete et detaillee de ce probleme somme toute anodin est souventconsideree comme inutile voir allienante pour un physicien (admettons que le physicien et lemathematicien soient deux personnes distinctes, ce qui semble etre une hypothese raisonnabledans la communaute scientifique francaise, mais peut-etre considere comme peu pertinent si ontravaille, par exemple, a Moscou). On pourrait, en caricaturant un peu, dire que le travail dumathematicien est justement, de resoudre ledit probleme. Le resultat de ce travail est d’ailleurssouvent aussi utile aux physiciens. On peut souhaiter se convaincre que la resolution du problemede la definition donnera au mathematicien des outils precieux, qui lui permettront de discuteravec le physicien, sans s’exposer au risque de le vexer, par exemple par une affirmation a l’em-porte piece du type :

“Mais bon sang ! Tout ceci n’est pas bien defini !”.

En tout cas, c’est ce probleme de la definition que ce document se propose de resoudre, enpresentant, dans des termes mathematiques pragmatiques et sans pretention a la nouveaute, lesmodeles mathematiques de la physique (experimentale) moderne. Ce travail se veut accessibleau plus grand nombre, dans la limite du raisonnable, c’est a dire aux etudiants et chercheurs enmathematiques a partir du Master. Les outils mathematiques necessaires a la comprehension dutexte sont fournis dans un chapitre separe, pour ne pas alourdir la presentation.

Il est bon de commencer par une definition mathematique de la notion de theorie physique,qui n’a aucune valeur philosophique ni epistemologique, mais qui sera suffisamment precise pourles besoins de cette introduction. Notre but est ici de preciser ce que ce document propose et cequ’il ne fournit pas.

7

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Definition 1. Une experience est un couple E = (A,O) forme d’une liste A d’actions a realiseret d’une liste O d’observations (ou mesures) a faire pendant ou apres ces actions qui porterontsur des objets ou phenomenes de la nature, et qui ont ete realisees et peuvent-etre repetees. Onconsidere qu’une liste (necessairement finie car realisee) d’experiences est aussi une experience.Une modelisation M de l’experience E est un objet mathematique qui contient des informationssur les actions et les observations de l’experience, lien qu’on notera E `→M. Un principe physiqueP est un enonce qui porte sur la modelisation M d’une experience E , et notamment sur les liensentre les ensembles M(A) et M(O) d’informations modelisant les d’actions et observationsde l’experience. Une theorie physique est un quadruplet T = (E `→ M,P) forme d’une (listed’)experience(s) E , liee(s) par un lien ` a une modelisation M, et d’un principe physique Pportant sur M tel que le principe physique soit conforme a l’experience, i.e., tel que le lienfourni entre les informations sur les actions et celles sur les observations par le principe nesoit pas contradictoire avec les experiences deja realisees. Une bonne 1 theorie physique est unetheorie qui permet de predire, en appliquant le principe P a la modelisation M le resultat del’experience E .

L’art de la physique est donc de trouver une modelisation pour les experiences ainsi qu’unprincipe physique qui permettra de faire des predictions. On considere que la description precisedu lien ` entre la modelisation mathematique M et l’experience E (ordres de grandeur, simplifi-cations, etc...), si elle n’a pas de justification mathematique theorique liee au modele considere,est du ressort du physicien.

On peut maintenant definir la physique naıvement de la maniere suivante.

Definition 2. La physique est l’accumulation des theories physiques T = (E `→ M,P) et del’ensemble des concepts qui permettent de les relier.

Un outil precieux pour le physicien theoricien est, a notre gout, l’activite d’intuiter lesconcepts qui permettent de relier les differentes theories physiques entre elles.

Un exemple typique de concept physique d’une richesse exceptionnelle est le concept de par-ticule. La dualite onde-corpuscule montre a quel point ce concept relie des theories/experiencesqui a priori n’ont pas grand chose en commun. Les concepts d’atomes, d’electrons, de protonset de neutrons fournissent aussi les liens entre de nombreuses theories dont les experiences n’ontpas de lien evident, comme par exemple, la chimie moleculaire, l’electronique, et la radioactivite.

Notre definition de theorie physique etant donnee, on peut dire que ce document ne presenteque tres partiellement les theories physiques qu’il aborde. Son objectif est de fournir a ses lecteursmathematiciens les outils pour comprendre les objets mathematiques qui apparaissent dans lesmodelisations M de certaines theories de la physique moderne T = (E `→M,P), ainsi que lesenonces des principes P de ces theories. On donnera de breves indications sur les experiencesqui permettent de valider les principes de ces theories et de les utiliser dans la vie courante.Pour une introduction plus physique, relativement complete, aux bases mathematiques de laphysique, on se refere au bel ouvrage de Penrose [Pen05]. On utilisera aussi enormement le livre

1On s’interesse uniquement ici a la qualite formelle. On pourra ajouter a la definition d’une bonne theoriephysique les conditions plus subjectives suivantes : elle est acceptee par les pairs, elle est plus simple et compacteque les theories precedentes avec de meilleures predictions et elle englobe un ensemble plus grand d’experiences.

1.2. MODELISATION ET DEUX PRINCIPES DE LA PHYSIQUE 9

de Folland [Fol08] pour aborder les aspects mathematiques des theories quantiques des champs.

Remerciements : L’auteur remercie M. Bermudez de lui avoir (re)donne gout a la physique ala faveur de discussions tumultueuses. Il a aussi beneficie de cours d’A. Connes au college deFrance et de discussions avec D. Bennequin, P. Cartier, S. Chemla, P. Dingoyan, M. Dubois-Violette, G. Ginot, F. Helein, Y. Kosmann-Schwarzbach, L. Lazzarini, V. Minerbe, J. Oesterle,G. Skandalis, W. van Suijlekom, A. Vinogradov, L. Vitagliano, J. Zinn-Justin. Il remercie aussiles membres du groupe de travail de physique, et tout particulierement les exposants : M.Bermudez, L. Boutet de Monvel, P. Cartier, O. Gabriel, G. Godefroy, F. Helein, B. Jacob, L.Vitagliano, W. van Suijlekom. Il remercient enfin l’equipe “Algebres d’Operateurs” ainsi quel’Institut de Mathematiques de Jussieu pour une ambiance stimulante et des conditions detravail exceptionnelles.

1.2 Modelisation et deux principes de la physique

La physique moderne utilise deux principes de base :

1. Le principe de moindre action, qui s’applique aux situations macroscopiques : on se donneune fonctionnelle S, appelee action, qui depend naturellement des trajectoires possiblespour un systeme physique et les trajectoires physiques classiques sont celles qui minimisent(ou extremisent) l’action. C’est la formulation lagrangienne de la physique classique.

2. Le principe d’oscillation, qui s’applique aux situations microscopiques : on se donne lafonctionnelle P = eiS , appelee phase, ou S est la fonctionnelle d’action d’un systememacroscopique et les trajectoires physiques microscopiques oscillent naturellement autourdes trajectoires physiques classiques (qui correspondent aux phases stationnaires) avec l’“amplitude de probabilite” donnee par la phase P .

1.2.1 Probleme variationnels lagrangiens

On choisit pour commencer d’utiliser une version simplifiee des problemes variationnels la-grangiens, qui pourront etre mieux formalises (point de vue cohomologique de Vinogradov etses confreres) dans la section 6.6.7.

Definition 3. Un probleme variationnel lagrangien est un tuplet

(I,X, JHom(I,X),WX ,L : JHom(I,X) → ∧maxT ∗I)

forme des donnees suivantes :

1. un espace I appele espace des parametres pour les trajectoires.

2. un espace X appele espace des coordonnees.

3. un espace JHom(I,X) muni d’une projection JHom(I,X) → I×X, souvent donne par unespace de jets d’applications I → X, et appele espace des histoires. Ses elements pourrontetre decrits par des variables independantes de la forme (t, x,

.x,

..x, . . . ) ou (x, ϕ(x), ∂ϕ(x), ∂2ϕ(x), . . . )

selon la situation.


4. Une application J : Hom(I,X) → Hom(I, JHom(I,X)) appelee application des jets.5. un sous-espaceWX ⊂ Hom(I,X) appele espace des trajectoires du systeme. Ce sous-espace

peut etre une variable du probleme, qu’on ecrira alors eventuellement WX,B, determineepar des familles de conditions au bord du type (Jx)|b = Jb avec(a) B une famille de sous-espaces de l’espace des parametres pour les trajectoires I ap-

pelee famille des bords,(b) b ∈ B et Jb ∈ Hom(b, JHom(I,X)) des applications appelees jets aux bords.

6. Une application appelee densite lagrangienne

L : JHom(I,X) → ∧maxT ∗I

sur l’espace des histoires a valeurs dans les formes de degre maximal sur l’espace de pa-rametres pour les trajectoires, ou plus generalement une application

L : JHom(I,X) → Dens(I)

sur l’espace des histoires a valeurs dans l’espace des densites sur I.

Un probleme variationnel lagrangien etant donne, on peut naturellement lui associer la fonc-tionnelle S : WX → R donnee par

S(ϕ) =∫IL(ϕ) :=

∫IL J(ϕ).

L’exemple le plus simple est celui ou I = [0, 1]. On a alors une identification entre JHom1(I,X)et la variete I × TX. Le lagrangien est donc dans ce cas une fonction

L : I × TX → R

et si x : I → X est un chemin, on lui associe une application I → I × TX donnee par t 7→(t, x(t), dtx.v1) ou v1 est un vecteur de base fixe de TI ∼= I × R. C’est cette section que lesphysiciens notent (x,

.x).

On pourra aussi, pour avoir plus de flexibilite, parfois remplacer l’anneau R des valeurs pourla densite lagrangienne par une autre R-algebre A, munie d’une trace Tr : A → R et/ou d’unenorme |.| : A→ R.

1.2.2 Principe de moindre action

L’action associee a un probleme variationnel lagrangien est la fonctionnelle S : WX → Adonnee par

S(x) =∫IL(x).

Principe 1. (de moindre action) Les trajectoires physiques macroscopiques d’un systemevariationnel lagrangien sont celles qui minimisent (ou plus exactement les extremales locales de)la fonctionnelle d’action S, c’est a dire les solutions x de l’equation aux derivees partielles

δSδx (x) = 0

1.2. MODELISATION ET DEUX PRINCIPES DE LA PHYSIQUE 11

1.2.3 Principe d’oscillation

La phase lagrangienne associee a un probleme variationnel lagrangien est la fonctionnelleeiS : WX → A donnee par exponentiation complexe de l’action. On suppose que S se decomposeen S = Slibre + Sint avec Slibre quadratique en les champs et leurs derivees.

Principe 2. (d’oscillation) Les trajectoires physiques microscopiques d’un systeme variation-nel lagrangien sont toutes les trajectoires. La fonctionnelle de phase eiS represente l’amplitudede probabilite d’observation des trajectoires. Plus precisement, la valeur moyenne quantique d’unobservable classique F : WX → A est donnee par l’integrale fonctionnelle

〈F 〉 =RF (x)eiS(x)[dx]ReiS(x)[dx]

:=

[(F.eiSint)( δ

δJ ).e−i2J.S

−1libre

.J

eiSint( δδJ ).e−

i2J.S

−1libre

.J

]∣∣∣∣∣J=0

.

La definition formelle precise de cette expression est tres difficile a formuler (a cause ducalcul de S−1

libre et des derivees fonctionnelles formelles, qui necessitent une regularisation et desrenormalisations compliquees) et sera donnee dans la section 4.

Chapitre 2

Physique classique

On pourra avantageusement ouvrir le livre [Buh06] qui donne une tres bonne introductionmathematique aux divers aspects de la mecanique classique.

2.1 Mecanique

2.1.1 Version lagrangienne

L’exemple le plus simple de probleme lagrangien est celui fourni par la mecanique lagran-gienne classique :

1. On pose I = [0, 1] et on se fixe une section unite de I × 1 de TI ∼= I × R.

2. L’espace des coordonnees X est une variete C∞, par exemple l’espace euclidien R3, lasphere S2 ou l’espace lorentzien R3,1.

3. Le fibre JX = TX → X est le fibre tangent.

4. L’espace des chemins WX s’identifie a C∞(I,X) (car une application x : I → X induit uneapplication tangente Tx : TI → TX dont on peut prendre la valeur en la section unitepour obtenir (x,

.x) : I → TX).

5. La densite Lagrangienne L = L : TX → R.µI est un lagrangien classique independant dutemps, i.e., une fonction independante de la variable dans I (qu’on multiplie par la mesurede Lebesgue µI pour obtenir une densite).

Dans ce cadre, l’action est donnee par

S(x) =∫ 1

0(L x)(t)dt

et on peut trouver ses extremales en resolvant l’equation d’Euler-Lagrange correspondante (sile Lagrangien est suffisamment convexe : voir cours de Pansu). Ceci met essentiellement toutesles equation classiques des mecaniques newtoniennes et relativiste dans un cadre Lagrangien.

On peut aussi formaliser la mecanique de la relativite restreinte dans ce cadre : l’espace I estalors R+ (representant le temps propre, i.e., celui que vous mesurez a votre montre) et l’espace

13

14 CHAPITRE 2. PHYSIQUE CLASSIQUE

des phases X est l’espace de Minkowski. Le lagrangien est la fonction L : TX → R donnee par

L(x,.x) =

√g(x,

.x)

ou g : TX → R est la metrique de Minkowski g(t, x) = ct2 − x2. C’est le lagrangien dontles extremales sont les geodesiques dans l’espace de Minkowski. Les particules en mouvementsuivent donc les geodesiques, dont la longueur est exactement le temps propre de la particule.

2.1.2 Traduction hamiltonienne

On se refere a [Wikipedia :mecanique hamiltonienne] pour formuler nos axiomes. Cette tra-duction hamiltonienne est utile pour quantifier la mecanique classique non relativiste.

Definition 4. Un probleme variationnel hamiltonien est un tuplet

(I, P,WP ,H : P → R, , : C∞P × C∞P → C∞P )

forme par les donnees suivantes :

1. Un espace de parametre pour les trajectoires I qui est souvent un intervalle de R maispeut aussi etre l’espace de Minkowski R3,1.

2. Un espace P appele espace des phases. Les fonctions sur P sont appelees les observables.

3. Un ensemble WX ⊂ Hom(I, P ) de trajectoires dans l’espace des phases.

4. Une fonction H : P → R appele Hamiltonien, et qui represente l’energie du systeme.

5. Un crochet de Poisson 1 , : C∞P × C∞P → C∞P .

Si x : I → P est une trajectoire dans l’espace des phases, et f ∈ C∞(P ) est un observable, lesequations d’Hamilton pour f le long de x sont donnees par

∂(f x)∂t

= H, f x.

De nombreux exemples de problemes variationnels hamiltoniens portent sur des trajectoiresdans un espace de phases P qui est l’espace cotangent P = T ∗X a un espace X appele espace descoordonnees du systeme. Dans ce cas, les points de P sont notes (q, p) et le crochet de Poissonsur les fonctions sur l’espace des phases est defini de la maniere suivante. On munit P = T ∗Xde sa forme symplectique canonique donnee par

ω : T (T ∗X) ∧ T (T ∗X) → RT ∗X ,

qu’on peut voir comme une section ω ∈ Ω2(T ∗X) de la forme ω = dα avec α ∈ Ω1(T ∗X)donnee par α(v) = Dπ(v) ∈ R ou v ∈ T (T ∗X) est une section du fibre tangent a T ∗X etDπ : T (T ∗X) → TX est la differentielle de π : T ∗X → X. Si f ∈ C∞(T ∗X), on definit le champde vecteur hamiltonien correspondant ξf ∈ T (T ∗X) sur T ∗X par l’equation

ω(ξf , .) = −df1Ou, de maniere equivalente, un bivecteur η ∈ ∧2TM tel que [η, η]SN = 0 (voir la section 6.2.7).

2.2. THEORIE DES CHAMPS 15

dans Ω1(T ∗X). Le crochet de Poisson ., . : C∞(T ∗X)×C∞(T ∗X) → C∞(T ∗X) est alors donnepar la derivee de Lie le long de ξf de ξg, i.e.,

f, g = Lξf (ξg).

Definition 5. Si on se donne un probleme variationnel lagrangien classique de type

(I,X, JX,WX ,L : JX → A) = (I,X, TX,WX , L : TX → R)

ou I est un intervalle de R, X est un espace de coordonnees et TX sont fibre tangent, et qu’onsuppose de surcroit que

(hypothese de convexite du lagrangien)pour tout q ∈ X, l’application L(q, .) : TqX → R,

donnee par.q 7→ L(q,

.q) est convexe,

on peut lui associer naturellement un probleme variationnel hamiltonien d’espace des phasesP = T ∗X en posant

(q, p) = (q,∂L(q,

.q)

∂.q

)

et H(q, p) la transformee de Legendre de L(q,.q) donnee par

H(q, p) := sup.q∈TqX

p(.q)− L(q,

.q).

Sous des hypotheses de convexite un peu plus fortes, on peut retrouver le lagrangien enrefaisant une transformee de Legendre sur l’hamiltonien.

2.2 Theorie des champs

2.2.1 Mecanique des champs classiques

Un champ classique ϕ est une section d’un fibre p : F →M sur une variete M de dimensionn munie d’une mesure. On notera F le faisceau des sections de F . Un champ est donc une sectionglobale ϕ ∈ F(M). Par exemple, le potentiel electromagnetique A est un tel champ classiquesection du fibre F = T ∗M des 1-formes differentielles, i.e., A ∈ Ω1(M).

Un probleme variationnel de champs classiques sur (M,V ) est un probleme variationnellagrangien de la forme

(I = M,X = F, JHom(X,F ) := Jnp (X,F ),WX = Γp(X,F ),L : JHom(X,F ) → ∧nT ∗M)

dans lequel1. l’espace de parametre pour les trajectoires I est la variete M , le plus souvent Lorentzienne

(i.e., l’espace temps).2. l’espace des coordonnees est l’espace fibre X = F .3. l’espace des phases est JHom(X,F ) est l’espace des jets de section du fibre p : F → M

(d’ordre 1 ou 2, rarement plus).4. l’espace des trajectoires WX est l’espace Γp(X,F ) des sections du fibre F sur X.5. la densite lagrangienne est une fonction L : JHom(X,F ) → ∧nT ∗M .


2.2.2 L’electromagnetisme local

Un exemple physique de telle donnee lagrangienne est celle donnee par le potentiel electro-magnetique A ∈ Ω1(M) sur l’espace de Minkowski M = R4 (muni de sa metrique lorentzienneg) avec F = T ∗M . On peut le voir comme minimisant l’action du lagrangien L de l’electro-magnetisme

Lem : J1(M,T ∗M) → ∧4T ∗M.

Les equations d’Euler-Lagrange correspondantes sont les equations de Maxwell (sur le champelectromagnetique F = dA ∈ Ω2(M) qui derive du potentiel electromagnetique A) donnees par

dF = 0d∗F = J

ou J ∈ Ω3(M) est une 3-forme qui designe la densite de charge-courant (verifiant la loi de conser-vation de la charge d∗J = 0) et d∗ : Ω2 → Ω3 est l’adjoint de d pour la metrique lorentzienne g,i.e., g(d∗ω, η) = g(ω, dη). On suppose que F derive d’un potentiel A ∈ Ω1(M), i.e., F = dA. Lelagrangien de l’electromagnetisme est donne par

Lem(A, ∂µA) = (∂µA) ∧ ∗(∂µA) +A ∧ J

ou ∗ : Ω2(M) → Ω2(M) est l’adjonction pour la metrique, i.e., g((∗ω)(v), w) = g(v, ω(w)).On relie ce modele a l’experience en choisissant une decomposition temps/espace M = T×N

de l’espace temps et en definissant les champs magnetiques et electriques EA ∈ Ω1(N) et BA ∈Ω2(N) par l’equation

dA = BA − dt ∧ EA.

On obtient alors comme densite lagrangienne

L(A, ∂µA) =|EA|2

c2− |BA|2

quand la source J vaut zero.

2.2.3 La relativite generale

Principe 3 (Principe de relativite). L’expression du resultat d’une experience physique nedoit pas dependre du referenciel dans lequel on l’exprime et la vitesse de la lumiere est uneconstante universelle. Si on formule ce principe pour des referenciels en mouvement uniforme(non accelere) les uns par rapport aux autres, il s’appelle principe de la relativite restreinte. Pourles referenciels en mouvement accelere, on parle du principe de relativite generale.

Une des consequences de ce principe est l’abandon de la notion de simultaneite.


La relativite generale dans le vide

Pour la relativite generale, on considere le champ g ∈ F(M) := Sym23,1(Ω

1)(M) donne parune metrique lorentzienne sur une variete M de dimension 4. On definit ensuite le lagrangien deEinstein-Hilbert

LEH : J2(M,F ) → R

donne par

LEH(g, ∂µg, ∂2µg) =

12κR(g, ∂µg, ∂2

µg)

ou κ = 8πGc4

est une constante universelle et R est la courbure scalaire de g, et l’equationd’Einstein est l’equation d’Euler-Lagrange de ce lagrangien. C’est une equation non lineaire en(g, ∂µg, ∂2

µg).

Definition 6. Une variete metrique est un couple (X, g) forme d’une varieteX et d’une metriqueg sur le fibre tangent, c’est a dire une section globale du fibre Sym2Ω1

X des 2-formes symetriquesnon degenerees.

Plus generalement, une metrique sur un fibre F est une section globale de Sym2F∨.Rappelons qu’une connexion sur un fibre F sur une variete relative X/S est un morphisme

∇ : F → Ω1X/S ⊗OS F

tel que∇(gf) = g∇(f) + dg ⊗ f.

Une connexion affine est une connexion sur le fibre tangent d’une variete.Soit ∇ : T → T ⊗Ω1 une connexion affine. On dit que la connexion affine est sans torsion si

∇xy −∇yx = [x, y].

Ici, ∇x ∈ End(T ) est defini par ∇x := (evx ⊗ idT ) ∇ ou evx : Ω1 = T ∗ → RX est l’evaluationd’une forme differentielle en le champ de vecteur x.

On dit qu’elle respecte la metrique (ou que la metrique est parallele pour ∇) si

∇g = 0.

Ceci signifie qu’on fait la construction tensorielle (Sym2Ω1,∇) a partir de (T ,∇) et qu’onsouhaite que la connexion induite sur cette construction tensorielle annule la section g corres-pondant a la metrique. Plus precisement, pour tout champs de vecteurs X, Y et Z, on a

dZg(X,Y ) = g(∇ZX,Y ) + g(X,∇ZY ).

Theoreme 1. Il existe une unique connexion sans torsion et qui respecte la metrique sur lefibre tangent.


Demonstration. Comme g respecte la connexion ∇, pour tout triplet de champs de vecteurs(X,Y, Z), on a

dZg(X,Y ) = g(∇ZX,Y ) + g(X,∇ZY )dXg(Z, Y ) = g(∇XZ, Y ) + g(Z,∇XY )dY g(X,Z) = g(∇YX,Z) + g(X,∇Y Z).

Si on fait la somme alternee de ces trois equations, on obtient l’egalite

dXg(Y, Z)+dY g(Z,X)−dZg(X,Y ) = g(∇XY+∇YX,Z)+g(∇XZ−∇ZX,Y )+g(∇Y Z−∇ZY,X)

dont on peut tirer, en utilisant le fait que la torsion est nulle, l’equation

2g(∇XY, Z) = dX(g(Y, Z))+dY (g(Z,X))−dZ(g(X,Y ))+g([X,Y ], Z)+g([Z,X], Y )−g([Y, Z], X).

Comme g est non degeneree, ceci determine ∇ de maniere unique. On peut preciser cela endisant que g(∇XY, .) ∈ Ω1 donc on peut prendre son image par g−1 : Ω1 → T pour obtenir∇XY . On verifie alors que c’est une connexion sans torsion et qu’elle respecte g.

Cette connexion est appelee la connexion de Levi-Civita ou encore connexion metrique.On a donc construit une correspondance

g 7→ ∇g : T → T ⊗ Ω1.

Maintenant, on associe a ceci le tenseur de courbure de Riemann, note Rg. C’est la courbureusuelle de la connexion, c’est a dire

Rg := ∇1 ∇ : T → T ⊗OS Ω2X/S .

On peut aussi voir Rg comme une 2-forme symetrique a valeur dans End(T ) (car contraire-ment a la connexion de depart, c’est un operateur OX -lineaire), i.e.,

Rg ∈ End(T )⊗OX Sym2Ω1X .

La courbure de Ricci est simplement la trace

Ric := −Tr(Rg) ∈ Sym2Ω1X .

On remarque que

Sym2Ω1 ∼= HomO(Sym2T ,O) → HomO(T ⊗2,O) ∼= HomO(T ,Ω1)

donc la courbure de Ricci donne un morphisme

Ric : T → Ω1X .

D’autre part, la metrique g est un morphisme g : T → Ω1 et son inverse g−1 : Ω1 → T . Lacourbure scalaire est obtenue en contractant la courbure de Ricci avec la metrique, c’est a dire

Rscal(g) := Tr(g−1 Ric)


avec g−1 Ric ∈ End(T ).Le lagrangien de Einstein-Hilbert dans le vide est donne par

LEH,vide(g, ∂µg, ∂2µg) = Rscal(g).

Il est aussi commun retirer a ce lagrangien un terme constant λ ∈ R appele constante cosmolo-gique. Ce terme permet de modeliser le decallage vers le rouge dans l’observation du decalagedu spectre de l’hydrogene des etoiles lointaines que les physiciens interpretent comme un signede l’expansion de l’univers.

L’equation d’Euler-Lagrange de LEH,vide est appelee equation d’Einstein dans le vide ets’ecrit, dans Sym2(Ω1), par

Ric(g)− 12Rscal(g)g = 0.

Action de Palatini et de Cartan

Remarquons qu’il n’est pas necessaire d’utiliser la connexion de Levi-Civita pour calculer lesequations d’Einstein. En effet, la courbure de Riemann peut-etre consideree comme le terme deplus haut degre ∂2

µg du jet d’ordre 2 de la metrique g, qui est une section du fibre π : Sym2T ∗X →X. Ce terme d’ordre 2 n’est cependant pas canoniquement defini dans les sections de J2(π) → Xdonc il est peut etre necessaire de considerer que le lagrangien depend de deux donnees : unemetrique et une connexion, et que les couples (g,∇) extremaux pour l’action verifient ∇ = ∇g.

L’action de Palatini porte sur un couple (g,∇) forme d’une metrique lorentzienne sur M etd’une connexion ∇ sur le fibre tangent de M . Elle est egale a l’action d’Einstein (ou on remplacela connexion de Levi-Civita par la connexion donnee) :

L(g,∇) = Rg(∇)− Λ.

La condition d’annulation de la differentielle de S =∫L par rapport a ∇ implique que si

(g,∇) est une trajectoire classique (point critique de δS), la connexion ∇ est la connexion deLevi-Civita de g. La condition d’annulation de la differentielle de S par rapport a g impliqueles equations d’Einstein pour g. L’avantage de l’action de Palatini est qu’on peut l’ecrire sansconnaıtre l’existence et l’unicite de la metrique de Levi-Civita. Sa definition ne necessite doncaucun autre connaissance que celle de la notion de contraction d’un tenseur par une metriqueet de connexion sur le fibre tangent.

L’action de Cartan est tres proche de celle de Palatini et leurs donnees sont d’ailleursequivalentes. La donnee de la metrique sur TM permet de considerer le O(n) fibre PO(TM,g)

des reperes orthogonaux sur TM pour g donne par les isometries entre les fibres quadratiques(TM, g) et (M × Rn, glorentz). C’est un sous fibre du GLn-fibre PTM = Isom(TM,M × Rn) desreperes de TM , qui est suppose O(n)-stable. La donnee de ce sous-O(n)-fibre

e : PO(TM,g) → PTM

est appelee la donnee d’un repere mobile par Elie Cartan. On peut voir cela conceptuellementen disant qu’un repere mobile est simplement un sous-O(n)-fibre principal

e : PO → PTM .


Dans les notations de Cartan, on choisit un O(n)-fibre principal PO sur M , et on note V le fibresur M associe a la representation standard de O(n). On peut ensuite associer au repere mobilee : PO → PTM une application

e : TM → V

que Cartan appelle le repere mobile. On garde la meme notation car les deux e sont des donneesequivalentes.

Elle est equivalente a celle d’une metrique sur TM car les sections locales de P(TM,g) sont desisomorphismes de fibres TU ∼= U × Rn sur des ouverts U de M qui permettent de transporterla metrique lorentzienne de Rn sur TU . La condition d’etre un sous-O(n)-fibre garantit qu’onpeut recoller ces metriques en une metrique sur TM .

La donnee d’une connexion sur TM induit une connexion A∇ sur son fibre des reperes PTMet ces deux donnees sont equivalentes.

On peut ensuite ecrire le lagrangien de la relativite generale en fonction du repere mobilee : TM → V et de sa connexion A par

L(e,A) = ε(e ∧ e ∧ dA),

avec ε une contraction naturelle liee a la structure d’algebre de Lie de O(n). A un changementde variable pret, cette action de Cartan pour M de dimension 3 est equivalente a l’action deChern-Simons (meme equations du mouvement) qui est une theorie topologique des champs (nedependant pas d’un choix de metrique et invariante par diffeomorphisme de M). Sa fonction derepartition donne des invariants topologiques, de type polynome de Jones, pour les varietes dedimension 3.

Un point interessant est qu’on peut generaliser directement cette construction a des fibresprincipaux sous le groupe spinoriel, ce qui permet d’ecrire le lagrangien de la gravite couplee ala matiere fermionique.

La relativite generale avec matiere

Si (M, g) est une variete Lorentzienne, g ∈ Sym2(Ω1) etant fixee, on peut se donner deschamps de matiere ou d’interaction, i.e., des sections d’un fibre donne F sur M . Si le fibre a unlien avec la metrique (par exemple, si F = T ∗M comme dans le cas du potentiel electromagnetique),on peut combiner les deux pour ecrire un lagrangien qui portera sur les jets de sections ϕ ∈ F(M)de F sur M . On a alors un lagrangien

Lmat,g : JHom(M,F ) → ∧4T ∗M

qui depend de g et de ϕ. On peut aussi etendre Lmat,g a

Lmat : JHom(M,F ⊗ Sym2T ∗M) → ∧4T ∗M,

ce qui rend la dependance en la metrique plus claire. Si on lui ajoute le lagrangien de Einstein-Hilbert dans le vide etendu au meme espace de jets, on obtient un lagrangien Ltot = Lmat+Lvideet une action S(ϕ, g) qui depend de la metrique g et du champ de matiere/energie ϕ. Resoudre larelativite generale en presence de matiere, c’est trouver une extremale (ϕ0, g0) de cette action. Les


equations d’Euler-Lagrange, appelees equations d’Einstein en presence de matiere, font intervenirle tenseur d’energie impulsion T (g, ϕ) ∈ Sym2(Ω1) dont la definition depend du lagrangien dematiere Lmat(g, ϕ). Elles portent sur les sections (g, ϕ) de Sym2(Ω1)⊗F et s’ecrivent

Ric(g)− 12Rscal(g)g =

8πκc4

T.

Applications physiques

On se refere a Arthur L. Besse [Bes08] chapitre 3, et Landau-Lifchitz [LL66] pour plus dedetails sur les calculs des solutions des equations d’Einstein.

Les modeles de Schwartzshild et de Kerr. Perihelie de Mercure et decallage de la lumiered’une etoile par le soleil.

On pose maintenantM = R4−(R×B3) ou R×B3 decrit la trajectoire d’un astre spherique (lesoleil) de masse importante m. L’equation d’Einstein dans le vide pour une metrique a symetriespherique autour de 0 ∈ R4 definie sur M ⊂ R4 ont ete resolues par Schwarzschild (1916) et leursolution est donnee par

ds2 = −(

1− 2Gmrc2

)c2dt2 +

(1− 2Gm

rc2

)−1

dr2 + r2 dΩ2

en coordonnees spheriques avec m la masse du soleil et G la constante cosmologique de Newton.L’etude des geodesiques dans ce modele explique l’experience suivante : on attend une eclipse

solaire totale et on suppose que les astres du systeme solaire ont une masse negligeable parrapport au soleil. On observe la lumiere de deux etoiles tres eloignees du systeme solaire situeesderriere le soleil. L’ecartement entre les deux etoiles semble etre plus important que celui qu’onobserve d’habitude. Ceci vient du fait que les rayons lumineux des etoiles suivent une geodesiquede la metrique de Schwarzschild au voisinage du soleil et que cette geodesique rend leur trajectoirecourbe. On peut comprendre cette experience de maniere imagee en en presentant une autrerealisable chez soi sans outillage important. On tend un film plastique sur une poubelle circulaireet on y depose une bille de plomb (le soleil). Cette masse importante courbe l’espace (le filmplastique). Si on lance une bille de verre legere (la lumiere) dans une direction sur le filmplastique, sa trajectoire va se courber et suivre une geodesique de la surface du film plastique.

On remarque qu’a partir d’une certaine “distance” r0 du centre de l’astre (attention, cettedistance n’est pas observable et n’a donc rien de physique) telle que r0c2

G = 3m, les geodesiquesde la metrique sont incluses dans R × S(0, 3m), i.e., se deplacent spacialement dans la sphereappelee horizon du trou noir. Si un rayon de lumiere part de l’interieur de cette sphere, il estnecessairement dirige vers le centre de la sphere, ce qui fait que toute geodesique de type espacea l’interieur du trou noir sera dirigee vers le centre de l’astre.

2.2.4 Theorie de Kaluza-Klein

Le but de la theorie de Kaluza-Klein est de donner une combinaison de la theorie de larelativite generale avec la theorie de l’electromagnetisme. Cette construction utilise un espacede dimension 4 + 1 = 5 localement donne par un produit M × S1.


Soit M une variete de dimension 4 munie d’un U(1)-fibre principal p : P → M . On se fixeune metrique sur U(1) qui est U(1)-invariante. On munit P d’une metrique gP : TP ⊗TP → RP

qu’on suppose aussi U(1)-invariante. La longueur d’une fibre de P (isomorphe a U(1)) pour cettemetrique est notee ΛP . La metrique sur P induit une connexion de Levi-Civita sur TP . Cetteconnexion induit une decomposition TP = TPh ⊕ TPv ou TPv = Ker(dp) sont les vecteurstangents verticaux. On suppose que la restriction de gP aux fibres de TPv donne la metriquefixee sur U(1) et que la restriction aux fibres de TPh ∼= TM est une metrique lorenztienne g surM . Le lagrangien est donne par

L(gP ) = R(gP )vol(gP )

ou R est la courbure scalaire. La courbure scalaire se decompose alors en coordonnees en

R(gP ) = p∗(R(g)− Λ2

2|F |2)

et si on integre sur les fibres, on obtient l’action

S(gP ) :=∫PL(gP ) = Λ

∫M

(R(g)− 1Λ2|F |2)vol(g).

Si on fixe g et qu’on varie cette action par rapport a la primitive A de F , on obtient la theoriede Maxwell. Si on fixe F et qu’on fait varier la metrique g, on obtient l’equation d’Einstein avectenseur d’energie electromagnetique.

2.2.5 Sigma-modele

Un sigma modele est defini en posant I = M (souvent l’espace temps) comme espace de pa-rametres pour les trajectoires et X = A comme espace de coordonnees avec A une variete munied’une metrique et appelee espace d’arrivee ou espace but. Le champ est alors une applicationΣ : M → A, qu’on voit comme une trajectoire.

Le lagrangien L : J(M → A) → R est defini par

L(x) =12g(∂µx, ∂µx)− V (x)

avec V : X → R un potentiel et le lagrangien rond sur les champs est donne par

L(Σ) =12g(∂µΣ, ∂µΣ)− V (Σ).

2.2.6 Cordes classiques et lagrangien de Polyakov

Dans la theorie des cordes classiques (qui jouent le role des champs), on pose I = Σ unesurface de Riemann et X = (Sym2T ∗Σ)×A avec A un espace d’arrivee (par exemple M×S1 avecM l’espace temps usuel dans un cas comme Kaluza-Klein) muni d’une metrique G : TA⊗TA→RA et (Sym2T ∗Σ) le fibre des metriques g : TΣ ⊗ TΣ → RΣ sur la surface Σ. Les champs (outrajectoires) sont les applications (g, x) : I = Σ → X = (Sym2T ∗Σ) × A et le lagrangien dePolyakov est

L(g, x) = gab(∂xµ

∂σa,∂xν

∂σb)Gµν .

2.3. THEORIE DE JAUGE 23

On peut voir ceci algebriquement de la maniere suivante. Soit G : TA→ T ∗A et g : TΣ → T ∗Σles (iso)-morphismes de fibres induits par les metriques. On note g−1 : T ∗Σ → TΣ l’inverse de get x∗G = G (Dx⊗Dx) : TΣ → T ∗Σ le tire en haut sur Σ de G. On considere l’endomorphismeg−1 (x∗G) ∈ End(TΣ) (appele par les physiciens la contraction des metriques l’une sur l’autre)et Le lagrangien est donne par la formule

L(g, x) = Tr(g−1 (x∗G)) ∈ RΣ,

qu’on peut integrer le long de la forme volume sur Σ induite par G pour obtenir l’action.Si on fixe x et qu’on fait varier g, les (x, g) qui minimisent l’action sont ceux pour lesquels

g = x∗G. Cependant, si on veut quantifier, il est bon de pouvoir faire varier g et la voir commeune donnee intrinseque a la corde consideree pour que sa valeur puisse osciller librement autourde la phase stationnaire qui correspond a g = x∗G.

On remarque ici que le lagrangien de Polyakov n’est pas de meme nature que les lagrangiensde la mecanique classique car il a vocation a etre applique a des surfaces de Riemann (et donc desespaces de parametres pour les trajectoires) I = Σ variables. Il necessite donc une formalisationplus generale que celle des problemes variationnels lagrangiens classiques.

2.3 Theorie de Jauge

La theorie de Jauge est une methode qui permet de rendre les symetries des fibres locales.Par exemple, le fibre trivial C ×M → M admet pour groupe de symetries globales C∗. Unesymetrie locale de ce fibre est une section locale du fibre C∗ × M , c’est a dire une fonctiong : U → C∗ avec U ⊂M ouvert.

La formalisation mathematique de cette situation fait intervenir un fibre principal P → Mde fibre C∗ et une connexion sur P , c’est a dire une 1-forme A sur M a valeurs dans Lie(G). Sion trivialise P sur un recouvrement ouvert Ui de M , la forme de connexion est une collectionde sections des fibres T ∗Ui × Lie(G) → Ui qui sont reliees entre elles par des actions localesde groupes gij : Ui ∩ Uj → G sur les Ui ∩ Uj . Ces actions locales de groupes sont appelees lestransformations de Jauge.

2.3.1 Theorie de Yang-Mills

Le champ electromagnetique F ∈ Ω2(M) n’est en general que localement integrable en unpotentiel A ∈ Ω1(M). La comprehension de ce qui se passe quand on passe d’une primitive A aune autre est appelee theorie de Jauge par les physiciens.

Definition 7. Une donnee de Yang-Mills est un tuplet (M, g,G, P ) ou

1. (M, g) est une variete metrique,

2. G est un groupe de Lie,

3. P est un fibre principal homogene sous G sur M ,

On associe a une donnee de Yang-Mills le probleme variationnel lagrangien donne par I = M ,X = Conn(P )G = (T ∗P⊗RLie(G))G et JX = J1Conn(P )G. L’espace des trajectoires est l’espace


WX = Hom(I,X) des sections de Conn(P )G, c’est a dire l’espace des connexions G-principalesA ∈ Ω1(P )⊗ Lie(G). On note FA ∈ Ω2(P )⊗ Lie(G) la courbure d’une telle connexion A.

Le lagrangien L : JX → C∞(M,R) est donne par

L(A) = −12Tr(FA ∧ ∗FA),

ou Tr : Lie(G) → R designe la trace sur l’algebre de Lie. L’action correspondante est

S(A) = −12

∫M

Tr(FA ∧ ∗FA)dµg.

La trajectoire qui minimise cette action est un potentiel A ∈ (Ω1(P )⊗ Lie(G))G.La theorie de l’electromagnetisme de Maxwell se formule avantageusement en la voyant

comme une theorie de Yang-Mills pour G = U(1) sur un U(1)-fibre principal donne P . Lepotentiel qui le minimise est le potentiel electromagnetique A.

2.3.2 Theorie de Jauge avec matiere

Definition 8. Une theorie de Jauge avec matiere est un tuplet

(M, g, U,E,G, P, V,EV ,Lloc,Ljauge)

ou

1. (M, g) est une variete metrique,

2. U ⊂ TMC est une structure spinorielle, i.e., un sous-fibre tel qu’on ait un isomorphismed’espaces quadratiques entre l’espace hyperbolique (U ⊕ U∗, gU ) et l’espace quadratique(TMC, g) (on a alors que S = ∧∗U est une representation de l’algebre de Clifford appeleerepresentation spinorielle double),

3. E est un fibre vectoriel naturel sur M (i.e., un fibre dans la categorie tensorielle engendreepar TM et ResC/RU , et dont l’extension de scalaires a C est donc naturellement munid’une metrique induite par g et d’une connexion),

4. G est un groupe de Lie,

5. P est un fibre principal homogene sous G sur M ,

6. V est une representation de G respectant une forme bilineaire gV ,

7. EV := (V × P )/G est le fibre vectoriel associe a la representation V ,

8. L : J1Γ(Conn(P )×M (E ⊗ EV )) → ∧maxT ∗M est une densite lagrangienne de la forme

L(A,ϕ⊗ ϕV ) = Lloc(A,ϕ⊗ ϕV ) + Ljauge(A)

avec Ljauge(A) = −12Tr(FA ∧ ∗FA) un lagrangien de Yang-Mills et Lloc(A,ϕ ⊗ ϕV ) un

lagrangien localement invariant de jauge defini en utilisant la derivation covariante

∇A,g := ∇g ⊗ id + id⊗∇A : E ⊗ EV → E ⊗ EV ⊗ Ω1M ,

et la metrique g.

2.3. THEORIE DE JAUGE 25

Dans le cas des particules bosoniques (voir plus loin), le lagrangien localement invariant dejauge est un lagrangien de Klein-Gordon de masse m de la forme

Lloc(A,ϕ⊗ ϕV ) =12g(∇A,gϕ⊗ ϕV ,∇A,gϕ⊗ ϕV )− 1

2m2g(ϕ⊗ ϕV , ϕ⊗ ϕV ).

On remarque que si on est sur l’espace de Minkowski plat M muni de sa connexion canonique∇, on peut decomposer le lagrangien localement invariant de jauge en utilisant ∇A,g = ∇+e.Aavec A la 1-forme de connexion et e la “constante de couplage” correspondante (coefficient qu’ilest utile de faire varier). Ceci donne

Lloc(A,ϕ) = Lglobal(ϕ) + Lint(A,ϕ)

avecLglobal(ϕ) =

12g(∇ϕ,∇ϕ)− 1

2m2g(ϕ,ϕ)

le lagrangien globalement invariant de jauge et

Lint(A,ϕ) = e.g(Aϕ,∇ϕ) +e2

2.g(Aϕ,Aϕ)

le lagrangien d’interaction.

2.3.3 Le processus de fixation de jauge

Fixer la jauge dans une theorie de Yang-Mills, c’est se donner une section s : M → P dufibre principal de la theorie (qui si elle n’existe pas globalement va induire ce que les physiciensappellent une anomalie). Ceci permet de parametrer les orbites du groupe de jauge sur les fibresconsideres par la section choisie, et d’ainsi ecrire des formules qui ne necessitent pas de travailleravec des classes d’equivalences de champs modulo symetries de jauge, plus difficiles a manipuler.

Cependant, le fait de fixer une section du fibre principal rend les constructions qui endependent non invariantes par diffeomorphisme de l’espace temps (on dit aussi non covariantes),et la correction de ce probleme de covariance demande un travail important qui sera aborde dansla section 4.3. On remarque au passage qu’une transformation de jauge est une transformationentre deux sections (eventuellement locales) donnees du fibre principal de la theorie de Yang-Mills, c’est a dire une fonction (eventuellement locale) f : M → G permettant de passer de l’unea l’autre par multiplication externe de G sur P .

On remarque que du point de vue de l’integrale fonctionnelle, la fixation de jauge estdonnee par une equation (ou famille d’equations) aux derivees partielles qui rend la solution desequations d’Euler-Lagrange pour des conditions au bord donnees unique. En effet, l’equationd’Euler-Lagrange d’un lagrangien de Yang-Mills sans matiere est de la forme

d ∗ (dA) = 0

et si on se fixe des conditions au bord raisonnables, la solution de cette equation n’est pas unique,a cause des symetries de la situation. Il est necessaire de se donner une condition additionnellepour avoir une unique fonction de Green, condition qu’on appelle la fixation de jauge, et quipeut prendre par exemple la forme

div(A) =∑

∂µA = 0.


2.4 Champs classiques fermioniques

On se refere a la section 6.9.3 pour la theorie des algebres de Clifford. L’essentiel pour cettesection est le fait qu’on peut voir une section ϕ : M → S du fibre spinoriel sur une varietemetrique (M, g), appelee champ fermionique, comme etant a valeurs impaires. Ceci signifie quel’algebre des fonctions sur S est donnee par Γ(M,∧∗S∗).

Les physiciens considerent pour des raisons experimentales que ces champs classiques ontdes valeurs qui anticommutent. La quantification de tels champs est tres differente de celle deschamps bosoniques.

2.5 Particules classiques de matiere et d’interaction

On se refere au livre de Derdzinski [Der92] qui traite precisement et de maniere complete leschamps de particules classiques du modele standard. On se base aussi sur l’expose plus court[Der93].

2.5.1 Un dictionnaire entre physique et geometrie

On se donne une variete lorentzienne (M, g) appelee espace temps. Les liens entre la physique(classique) et la geometrie peuvent etre resumes par le tableau suivant.

Physique Geometrie

Particule Faisceau F sur M muni de structures geometriquesEtats (semi-)classiques de la particule

(appeles histoires par Feynman)Sections ϕ du faisceau F

Etats physiques de la particule(appeles solutions

ou espace des phases covariant)

Sections extremales pour le lagrangien,verifiant les equations d’Euler-Lagrange

Symetries de l’espace Le groupe de Lorentz SO(3, 1)

Particule de matiere libreFibre vectoriel naturel complexe, i.e.,faisceau F localement libre sur C∞M,C

Symetries des particules

Groupe spinoriel Spin(3, 1) → SO(3, 1)(qui s’identifie a ResC/RSL2,C → SO(Endherm,R(C2), 〈., .〉),Endherm,R(C2) = B ∈ EndR(C2)|Ω(., B.) hermitienne,

Ω : C2 ∧ C2 → C la forme symplectique canonique)

Spin d’une particulePoids (s1, s2) de la representation complexe

de Spin(3, 1)C ∼= SL22,C

Antiparticule d’une particule de matiere Fibre vectoriel F conjugue complexe du fibre FGeneralisation de n particules somme directe F1 ⊕ · · · ⊕ Fn

Systeme a plusieurs particulesmorphisme surjectif F1 ⊗ · · · ⊗ Fn → Fpartant du produit tensoriel des fibres

Pour pouvoir ecrire sereinement les lagrangiens libres des particules de matiere, qui devraient

2.5. PARTICULES CLASSIQUES DE MATIERE ET D’INTERACTION 27

etre des applicationsL : JHomΓ(M,F ) → ∧maxT ∗M

des jets de sections du fibre F →M considere vers les formes integrables sur M , ou encore

L : JHomΓ(M,F ) → R,

il convient de se donner une connexion∇ : F → F ⊗ Ω1

M

afin de pouvoir decrire concretement le jet d’une section. On fera ce choix auxiliaire pour tousles fibres vectoriels representant les particules de matieres rencontrees.

2.5.2 Particules de spin 0

Si (F ,∇) est un fibre vectoriel naturel, et ∇ : Ω1 → Ω1⊗Ω1 est une connexion (par exemple

celle de Levi-Civita de la metrique g sur M), son operateur d’Alembertien : F → F est definipar contraction de la derivee seconde avec la metrique :

(ϕ) = Tr(g−1((∇⊗∇)

∇)ϕ).

Plus precisement, l’inverse de la metrique donne un isomorphisme g−1 : Ω1M∼→ TM et donc un

isomorphismeg−1 ⊗ id : Ω1

M ⊗ Ω1M → TM ⊗ Ω1

M∼= End(TM ).

Si on note∇⊗∇ : F ⊗ Ω1 → F ⊗ Ω1 ⊗ Ω1

l’operateur∇⊗∇ :=

∇⊗ id + id⊗∇, on peut ecrire

((∇⊗∇)

∇)ϕ ∈ Ω1

M ⊗ Ω1M ⊗F

g−1⊗id∼= End(TM )⊗F

et d’appliquer la trace a cette derivee convariante seconde. L’equation de Klein-Gordon s’ecritalors

(− m2c2

~2)ϕ = 0.

Si on se donne une metrique 〈., .〉 (Riemannienne ou Hermitienne) sur F , on peut aussi ecrire lelagrangien de Klein-Gordon

L(ϕ) = −12

[〈∇ϕ,

∇ϕ〉+

m2c2

~2〈ϕ,ϕ〉

].

Les particules de spin 0 et de parite 1 sont representees par un fibre trivial C∞M et leurs etatssont donc des fonctions. Les particules de spin 0 et de parite −1 sont representees par le fibreen droite Ω4

M ou par sa complexification Ω4M ⊗R C. Ces particules evoluent selon l’equation de

Klein-Gordon.


2.5.3 Particules de spin 1/2

Si (S,∇) est un fibre naturel spinoriel, on dispose par definition d’une multiplication de

Cliffordc : Ω1

M ⊗ S → S,

et l’operateur de Dirac est simplement la composition

6D = c ∇ : S → S.

On conviendra que la composition avec la multiplication de Clifford ou sa duale d’un operateurD sera toujours notee avec la barre de Feynman 6D.

Les particules de spin 1/2 qui distinguent une orientation de l’espace vivent dans un fibre despineurs de Weyl Sw (i.e. demi-representation complexe spinorielle du groupe spinoriel, contrai-rement aux spineurs de Dirac qui sont dans la representation standard complexe de l’algebre deClifford complexe, qui est une algebre de matrices) et verifient l’equation de Weyl

6Dϕ = 0

qui derive du lagrangien

L(ψ) =12Imω(ψ, 6Dψ).

Les autres particules de spin 1/2 vivent dans un fibre de spineurs de Mayorana Sm (representationreelle du groupe spinoriel) et verifient l’equation de Dirac

(6D +mc

~)ψ = 0

qui derive du lagrangien

L(ψ) =12Im (ψ, (6D +

mc

~)ψ).

En pratique, sur M = R1,3, Cliff1,3(R) ∼= M2(H) contient trois copies de ResC/RM2,C, dontl’une contient le groupe spinoriel Spin(1, 3) ∼= SL2,C. La representation standard reelle de Cliff1,3

est H2. Les matrices de Dirac, qui forment une base de l’algebre de Clifford, sont donneespar une base de M2(H). Un spineur de Dirac est un vecteur de la representation standardde Cliff1,3(C) ∼= M4(C), c’est a dire un element de C4. Cette representation se decompose ensomme de deux representations irreductibles C2 du groupe spinoriel Spin1,3(R), qu’on appelleles spineurs de Weyl complexes droits et gauches. On remarque que la representation C4 deCliff1,3(C) peut-etre aussi vue comme l’algebre exterieure sur un sous-espaceH = C2 ⊂MC = C4

qui rend la forme quadratique hyperbolique, i.e., tel que (MC, q1,3) ∼= (H ⊕H∗, 〈., .〉). En effet,dans cette situation, on a un isomorphisme naturel Cliff1,3(C) ∼= End(∧∗H). On obtient ainsiune autre maniere de voir C4 comme

∧∗C2 ∼= [∧0C2 ⊕ ∧2C2]⊕ [∧1C2] = [C⊕ C]⊕ [C2].

La partie de degre impair de l’algebre exterieure correspond aux spineurs de Weyl gauche etcelle de degre pair aux spineurs de Weyl droits.

2.5. PARTICULES CLASSIQUES DE MATIERE ET D’INTERACTION 29

Le groupe spinoriel Spin(1, 3) est isomorphe a ResC/RSL2,C (c’est a dire SL2(C) vu commegroupe reel) et la representation spinorielle reelle est S = ResC/RC2 (c’est a dire C2 vu comme es-pace vectoriel reel). C’est l’espace vectoriel reel des spineurs de Majorana. On a donc Spin1,3,C

∼=SL2,C × SL2,C et SC = C2 ⊕ C2. Un champ de spineurs de Dirac est une fonction

ψ : M → SC ∼= C4

et l’action de Spin(1, 3) sur ses valeurs le decompose en ses deux composantes ψ+ : M → C2 laparticule (qui est un spineur de Weyl gauche complexe) et ψ− : M → C2 l’anti-particule (quiest un spineur de Weyl droit complexe). Un champ de spineurs de Majorana est une fonction

ψ : M → S

a valeurs dans les spineurs reels S = ResC/RC2 (qui sont accessoirement representes par descouples de nombres complexes).

2.5.4 Interactions

Une particule d’interaction est une connexion ∇ sur un fibre principal P sous un groupe G.Elle doit extremiser le lagrangien de Yang-Mills

L(∇) =1

4g2Tr(R∇ ∧ ∗R∇)

avec g2 une constante (qui ne sera parfois pas si constante que cela) appelee constante decouplage.

La formulation des interactions se fait en utilisant le dictionnaire suivant, qui se base surl’idee qu’on veut remplacer les symetries globales du lagrangien de matiere, par exemple la phaseψ 7→ eiθψ dans le lagrangien de Dirac pour les electrons par des symetries locales ψ 7→ eiθ(x)ψavec θ dependant du point x de l’espace temps. Si on se donne un fibre vectoriel naturel Vavec action de Spin(3, 1) et une autre action du groupe de Jauge G (les symetries globales), ceremplacement des symetries globales par des symetries locales se fait en remplacant V par

W = V ×G P

avec P fibre principal sous G. Les sections de ce nouveau fibre sont dans (V ⊗C P)G avec V etP les sections locales de V et P , qui sont par exemple les champs d’electrons ψ de l’equationde Dirac et les champs de jauge electromagnetique (symetries locales). Ensuite, on construit lelagrangien en utilisant une connexion variable sur le fibre principal, par exemple le champ dephotons A de l’electromagnetisme.

Si on se donne une famille de lagrangiens libres (d’ecriture suffisamment simple) L1(ϕ1), . . . ,Ln(ϕn),le lagrangien libre associe est obtenu en additionnant chacun des lagrangiens et il porte sur dessections de la somme directe F1⊕· · ·⊕Fn des fibres consideres. Typiquement, parmi les champs,il y aura des paires (ϕ,∇) formees d’un champ de matiere et d’un champ de jauge et si

Llibre(ϕ)(x) = L0(ϕ(x),∇ϕ(x)),


Physique Geometrie

Interaction

Fibre vectoriel G non naturel sur M(le fibre d’interaction) muni d’une G-structure,souvent defini comme fibre associe Γ(V ×G P )

avec P fibre principal sous G et V unerepresentation (fidele) de G.

Transporteurs de l’interaction

Sections ∇ du fibre affine Conn(G)des connexions G-equivariantes sur G

(ou de maniere equivalente des connexions Conn(P )sur le fibre principal P ).

Particule elementaire d’interaction

Section ∇ de Conn(P ) dont les composantes le longdes generateurs de l’algebre de Lie sont toutes nulles sauf une.

Il y a autant de particules elementaires d’interactionque de generateurs de l’algebre de Lie du groupe de jauge.

Particule de matiere en interaction

Sections du fibre H(F ,G) fonctorielen F et G, le plus souvent egal a F ⊗ G

avec des connexions∇⊗∇

∇ variable (champ de jauge)

on obtient le lagrangien d’interaction en posant (une paire comme ci-dessus ayant ete choisie)ψ = ϕ⊗ γ avec γ une section du fibre non naturel G et

L(ψ,∇) = L0(ψ, (∇⊗∇)ψ)− 1

4〈R∇, R∇〉.

Chapitre 3

Physique quantique sans interactions

3.1 Premiere quantification Hamiltonienne

Pour des raisons historiques, on presente les premieres theories quantiques telles qu’ellesont ete pensees par Heisenberg, Schrodinger et von Neumann entre autres. Ces methodes dequantification necessitent des choix qu’un mathematicien aura du mal a trouver canoniques.Le point de vue de l’auteur est que les methodes covariantes, qui sont plus fonctorielles et segeneralisent “mieux” aux systemes relativistes ayant un nombre variable de particules, sontplus satisfaisantes. Un passage par ces methodes hamiltoniennes permet cependant une meilleurcomprehension des intuitions des physiciens. Le lecteur paresseux peut directement aller a lasection 3.3.

On va utiliser systematiquement la theorie spectrale dont un resume se trouve dans la section6.4.

3.1.1 Representations des groupes de Lie et particules

On utilise ici le delicieux cours de Master de Bertrand Delamotte [Un soupcon de theorie desgroupes : groupe des rotations et groupe de Poincare] ainsi que le livre de Derdzinski [Der92]pour les cas des champs.

Les groupes de Lie jouent un role important de groupes de symetries des situations phy-siques. Ils permettent d’imposer des conditions si drastiques aux formules des lagrangiens qu’unlagrangien pour un type de particule donne est essentiellement unique, si on exige qu’il soitinvariant par les transformations donnees et qu’il soit “le plus simple possible”.

On rappelle que le groupe de Poincare est le produit semi-direct

P = V o SO(V, g)

ou (V, g) est un espace vectoriel de dimension 4 avec une forme quadratique de type (1, 3). Lesphysiciens utilisent sans doute sa version spinorielle donnee par

Ps = V o Spin(V, g).

31

32 CHAPITRE 3. PHYSIQUE QUANTIQUE SANS INTERACTIONS

Ses representations irreductibles sont liees a celles du groupe reel SU(2)×R∗ = Spin(3)×R∗ etleur classification fait intervenir deux nombres qu’on appelle la masse (poids de l’action de R∗)et le spin (poids de la representation de SU(2)).

La notation des physiciens pour les vecteurs des espaces de Hilbert est donnee par les braet les kets : |x〉 designe un vecteur dans un espace de Hilbert H et 〈x| designe un vecteur dansle dual H∨ (qui s’identifie a H par l’accouplement sesquilineaire donne sur H). Les etats dusysteme sont alors des elements de l’espace projectif de H, i.e.,

P(H) := H/C∗.

L’espace de Hilbert est muni d’operateurs de projections Pi ∈ B(H) orthogonaux 2 a 2 (ilsprojettent sur des sous-espaces d’intersection nulle) appeles regles de super-selections, tels queles etats admissibles du systeme ne puissent etre que dans l’image d’un de ces projecteurs. Unexemple de tel operateur est donne par la charge, car deux etats de charges differentes ne peuventetre additionnes (on ne peut observer deux charges differentes pour un meme systeme). On peutainsi en general ecrire H = ⊕iHi et les etats du systeme sont les elements de l’espace∐

ens

P(Hi)

car on ne peut additionner deux etats de super-selection (par exemple charge) differente.L’espace de Hilbert H sera souvent muni de l’action d’un groupe de Lie G, i.e., d’une ap-

plication G → L(H). Les vecteurs interessant de l’espace de Hilbert H seront souvent donnespar une sous-representation R ⊂ H. On notera par des kets |x〉 une base choisie dans larepresentation R et par des bras la base duale 〈x|. Les sous-representations irreductibles deR (ou les sommes de telles sous-representations d’un meme type fixe) sont ce que les physiciensappellent les particules. Les invariants de ces representations irreductibles (i.e., leurs plus hautpoids) sont les invariants de la particule (par exemple, la masse, le spin,...).

3.1.2 Rappels de mecanique quantique Hamiltonienne

On rappelle le point de vue de von Neumann/Schrodinger sur la mecanique quantique, qu’onpeut trouver dans le bijou pedagogique de von Neumann [vN96]. Il est bon d’insister sur le faitque la definition d’un systeme quantique ne fait a priori pas intervenir d’espace classique sous-jacent. Le fait d’associer a un systeme hamiltonien classique (qu’on pourra voir comme un espacesous-jacent pour) un systeme hamiltonien quantique est un art appele la quantification.

Definition 9. Un systeme de mecanique quantique est un tuplet

(I,H,WH,H : H → H,A)

forme des donnees suivantes :

1. un intervalle I de R qui parametre l’evolution dans le temps physique,

2. un espace de Hilbert H qui joue le role de l’espace des phases T ∗X des problemes hamil-toniens, et dont les elements de norme 1 sont les etats physiques du systeme.

3.1. PREMIERE QUANTIFICATION HAMILTONIENNE 33

3. Une C*-algebre A ⊂ Bsa(H) d’operateurs bornes autoadjoints sur H appeles grandeurs,proprietes ou observables du systeme.

4. deux ensembles d’applications WH ⊂ Hom(I,H) et WA ⊂ Hom(I,A) appeles respective-ment espace des evolutions possibles pour les etats et les observables (analogue des espacesde trajectoires de la mecanique hamiltonienne classique).

5. Un operateur H : H → H appele hamiltonien du systeme.

Si A est un observable, les elements de son spectre λ ∈ Sp(A) ⊂ R sont les mesures possibles pourla valeur de A, i.e., les nombres reels qu’on pourra obtenir en observant A avec une machine. Lespectre Sp(A) est donc le spectre des mesures possibles pour la valeur de A.

A partir d’un systeme de mecanique quantique, on definit l’espace E ⊂ WH des evolutionspossibles des etats du systeme comme les solutions de l’equation de Schrodinger

ϕt0 = ϕ et~

2iπ∂ϕt∂t

= −Hϕt.

Ceci se traduit plus generalement sur les evolutions d’observables A. ∈WA du systeme par

i~∂A

∂t= [H,A],

ce qui correspond a la quantification naıve de la mecanique hamiltonienne obtenue en remplacantle crochet de Poisson par les commutateurs (voir la section 3.1.3).

On peut considerer que la mecanique quantique repose sur les principes physiques suivant,qui font le lien direct avec l’experience :

Principe 4. 1. Si A ∈ A ⊂ B(H) est un observable (operateur autoadjoint borne) du systemephysique et [b, c] ⊂ R est un intervalle, la probabilite qu’on trouve un nombre de l’intervalle[b, c] en mesurant avec un appareil la valeur de A ∈ B(H) sur le systeme dans l’etat ϕ ∈ Hest

P(A, [b, c]) :=√〈ϕ,1[b,c](A)ϕ〉.

2. Deux observables sont mesurables en meme temps si et seulement si ils commutent.

3. Une mesure de l’observable A sur un etat ϕ change l’etat ϕ en l’etat Aϕ.

4. Un projecteur P est un observable qui donne une propriete vraie ou fausse pour un etatdu systeme.

Si R et S sont deux observables qui ne commutent pas, on leur associe l’operateur P deprojection sur le noyau M du commutateur [R,S] (qui est un sous-espace ferme de H). Ceprojecteur correspond a la propriete pour les deux operateurs d’etre mesurables simultanement.Si on suppose que M = 0, ceci signifie que R et S ne sont pas simultanement mesurables. Onpeut se restreindre a deux operateurs comme les P et Q de la mecanique quantique qui sont liespar

[P,Q] =~

2iπId.


On peut alors evaluer la dispersion des mesures de P et Q sur un etat ϕ en posant pour R = P,Q,

d(R,ϕ) = ‖Rϕ− 〈Rϕ,ϕ〉ϕ‖.

Ceci indique la difference entre l’etat Rϕ obtenu apres la mesure de R et l’etat 〈Rϕ,ϕ〉ϕ essen-tiellement equivalent a ϕ (les etats physiques devant etre unitaires). On obtient alors la relationd’incertitude d’Heisenberg :

d(P,ϕ).d(Q,ϕ) ≥ ~4π

qui signifie que moins la mesure de la valeur de P sur ϕ change l’etat ϕ, plus la mesure de lavaleur de Q sur ϕ change l’etat ϕ du systeme donne. Ceci peut aussi se traduire en disant queplus on mesure P avec precision, moins on mesure Q avec precision et reciproquement.

Remarquons que la theorie de l’electromagnetisme peut-etre vue comme une theorie quan-tique en considerant que la forme differentielle A ∈ Ω1(M) sur l’espace de Minkowski M quidonne le potentiel electromagnetique est une fonction d’onde sur R3 ⊂M qui depend du tempst. L’equation de Maxwell est alors tres similaire a l’equation de Schrodinger pour cette fonctiond’onde.

3.1.3 Quantification de Heisenberg/Schrodinger

On definit une realisation classique du systeme quantique Hq = (I,H,WH,WA,H : H → H)de la maniere suivante : c’est un systeme lagrangien classique

Lc = (R, I,X, TX,WX ,L : TX → R)

comme dans la section 2.1.1, ou plutot le systeme hamiltonien correspondant

Hc = (R, I,X, T ∗X,WX ,H : T ∗X → R)

comme defini dans la definition 2.1.2 de la section 2.1.2, ou WX ⊂ Hom(I, T ∗X) est l’espace destrajectoires hamiltoniennes dans l’espace des phases T ∗X qui est une variete symplectique dontles fonctions sont munies d’un crochet de poisson

., . : C∞(T ∗X)× C∞(T ∗X) → R

associe a la forme symplectique ω.La relation entre les systemes classique et quantique Hc et Hq est donnee par la methode

suivante :

1. on pose H = L2(X) et les etats sont les vecteurs de norme 1 dans H,

2. on associe aux fonctions q ∈ C∞(X) les operateurs (observables) Q = mq de multiplicationpar q dans H. Les fonctions coordonnees sur X = R3 sont notees les qi.

3. on associe aux sections V ∈ T (X) du fibre tangent les operateurs (observables) PV (.) =~

2iπdV (.) de derivation de Lie le long du champ de vecteur V , donne par

dV (f) = Df V : X → R.

Les derivations le long des coordonnees sont notees Pi.


4. On souhaite plus generalement disposer d’un morphisme d’algebres de Lie

ϕ : (A, ., .) → (End(H), [., .])

(ou A ⊂ C∞(T ∗X) est une sous-algebre des observables interessants du systeme quicontient notamment l’hamiltonien H, les fonctions coordonnees qi et les derivees par rap-port aux qi, qu’on peut voir comme les applications

.qi(x, ω) = ω(

.qix)) qui permette de

quantifier toutes les fonctions utiles sur l’espace des phases et de retrouver les constructionsprecedentes comme cas particulier. Ceci peut-etre deja utilise dans des cas tres particulierspour calculer les commutateurs entre les quantifies d’observables en posant

[A,B] =~ia, b.

Ce probleme est difficile en general et resolu en partie par la theorie de la quantifica-tion par deformation. C’est la difficulte presente ici qui fait dire aux physiciens que “laquantification est un art”. Ceci sera aborde dans la section suivante.

5. En particulier, on obtient le hamiltonien quantique en remplacant, quand c’est possible,les variables qi et pi de T ∗X par les operateurs Qi et Pi correspondants.

L’amplitude de probabilite de presence de l’etat f ∈ H du systeme dans un borelien B del’espace X est la valeur

AB(f) :=∫B|f |2dµ.

3.1.4 Quantification de Weyl infinitesimale et calcul pseudo-differentiel

On se donne une variete X et une metrique g : TX×TX → RX sur X. Pour la quantificationde Weyl, on a besoin de transformee de Fourier et de structure lineaire sur l’espace. On va donctravailler sur l’approximation lineaire de X, c’est a dire dans les fibres de son fibre tangent TX.On note (x, q) les coordonnees locales sur TX et (x, p) les coordonnees locales sur T ∗X. On note

〈., .〉 : T ∗X × TX → RX

l’accouplement naturel donne par

〈(x, p), (x, q)〉 = (x, p(q)).

On dispose de la transformee de Fourier fibre a fibre

F : S(T ∗X) → S(TX)

sur les espaces de Schwartz (fonctions a decroissance rapide le long des fibres des fibres consideresavec leur mesure de Lebesgue et a support compact sur la base X) donnee pour f ∈ S(T ∗X)par

F(f)(x, q) =∫T ∗xX

ei〈p,q〉f(x, p)dp.

Si on se donne un symbole H(x, p, q) ∈ S(T ∗X ×X TX) (pour la quantification, ca seratypiquement l’hamiltonien, qui ne dependra que de p et q et pas de x) et une fonction f(x, q) deS(TX), on peut lui associer le produit H.(f π) ∈ S(T ∗X ×X TX) ou π : T ∗X ×X TX → TXest la projection.


Definition 10. On note L2∞,c(TX) les fonctions sur TX lisses a support compact sur X et de

carre integrable dans les fibres. L’operateur H sur L2∞,c(TX) associe a H est alors donne par la

formule

(H.f)(x, q) :=∫TxX

∫T ∗xX

ei〈p,q−q0〉H(x, p, q).f(x, q0)dµg(q0)dµg∗(p).

Cette correspondanceS(T ∗X ×X TX) → L(L2

∞,c(TX))H 7→ H

s’appelle la quantification de Weyl ou le calcul pseudo-differentiel infinitesimal.

La rapport avec le calcul pseudo-differentiel usuel est le suivant : si U ⊂ Rn est un ouvertet h : T ∗U ∼= U × Rn → R est un symbole h(x, p) sur U , on lui associe une fonction H :T ∗U ×U TU → R par

H(x, p, q) := h(p, q)

en identifiant U a un sous espace de la fibre de son fibre tangent Rn, par le theoreme des fonctionsimplicites (cet espace tangent est un plan dans Rn × Rn). On obtient ainsi un operateur H surL2∞,c(TU), qui est constant sur U et donne donc un operateur sur L2(Rn).

En pratique, on suppose souvent X = Rn, ce qui donne TX = Rn × Rn et on peut alorsconsiderer des fonctions sur TX ne dependant que de q dans les coordonnees (x, q) sur TX. Lechoix de cette decomposition n’est evidemment pas canonique, mais la quantification de Weylest souvent plutot decrite comme une correspondance

S(T ∗X) → L(L2(X))H 7→ H.

Si on normalise convenablement la transformee de Fourier, la quantification de Weyl redonnela quantification de Heisenberg decrite dans la section 3.1.3. En effet, une coordonnee lineaireest une fonction qn : TX → R (coordonnee dans les fibres de TX) qu’on peut composer avec laprojection πT : T ∗X ×X TX → TX, ce qui donne par quantification un operateur

Qn := qn πT

dans C∞(X,L(L2∞,c(TX))) qui est simplement la multiplication par la coordonnee qn fibre a

fibre.Si on se donne un champ de vecteur ~vn ∈ Γ(X,TX) (derivation dans la direction d’un

coordonnee xn surX, et non pas sur TX, cette fois-ci : c’est a cet endroit que l’identification entreles coordonnees sur X et celles sur TX, xn = qn utilisee par les physiciens est non canonique),on peut le voir comme l’application pn,h : T ∗X → C, donnee par pn,h(x, p) = h

i 〈p,~vn〉, etcomposable avec la projection πT ∗ : T ∗X ×X TX → T ∗X, ce qui donne par quantification unoperateur

Pn := pn,h πT ∗

dans C∞(X,L(S(TX))) qui n’est autre que Pn = 12iπ

∂∂qn

.


3.1.5 Quantification de Connes et groupoıde tangent

Soit M une variete, ∆ : M → M ×M sa diagonale et i = (∆, 0) : M × 0 → M ×M × Rl’inclusion naturelle. On definit le groupoıde tangent de M comme la variete algebrique relativesur (M, C∞) donnee par l’eclatement G (voir [Hartshorne, p 163]) de M ×M × R le long del’application i. Si I ⊂ C∞M×M×R est l’ideal des fonctions qui s’annulent sur l’image de i, i.e., desf telles que f i = 0, on definit

G := Proj(⊕n∈NIn).

Cette variete algebrique relative verifie la propriete universelle suivante : tout morphisme f :Y →M ×M ×R relativement algebrique tel que f−1I.OY soit un fibre inversible factorise parG → M ×M × R. On peut naturellement associer a G une variete C∞ qui sera aussi noteeG → M × M × R. Par construction, la fibre de G le long de R∗ ⊂ R est le groupoide despaires M ×M × R∗. On obtient aussi par la propriete universelle appliquee a T (M ×M) =T (M ×M × 0) →M ×M × R un morphisme

T (M ×M) → G

et l’image du fibre d∆ : TM → T (M ×M) par cette application s’identifie a e(M × 0) ou eest la section unite de la projection canonique G0 →M × 0. On obtient ainsi une application

N∆ = NM×MM := ∆∗(T (M ×M))/TM → G0

qui est un isomorphisme et identifie G0 avec le fibre normal a la diagonale.On voit donc que G est une deformation de parametre h ∈ R du groupoıde des paires

Gh = M × M pour h ∈ R∗ vers le fibre normal a la diagonale G0 = N∆ pour h = 0. Lechoix d’un point x dans M fournit une application tx : M = x ×M → M ×M donnee partx(y) = (x, y) et permet de construire une identification dt : TM ∼→ N∆ et donc d’identifier G0

au fibre tangent TM = T (x×M). C’est plutot en ces termes qu’on considere le groupoıde G.C’est la C*-algebre C∗(G) qui va jouer le role de la quantification de l’algebre des fonctions

C∞(T ∗M). Pour cela, on utilise la transformee de Fourier

F : S(TM) → S(T ∗M)

etendue convenablement pour identifier les fonctions sur le cotangent aux fonctions sur le tan-gent. L’inclusion G0 ⊂ G induit une suite exacte

0 → A→ C∗(G) → C0(G0) → 0

qu’on peut identifier en utilisant la transformee de Fourier et le choix d’un point x ∈ M a lasuite

0 → C0(R∗,K) → C∗(G) → C0(T ∗M) → 0

ou K designent les operateurs compacts sur L2(X). Une C*-quantification est le choix d’unesection s de la projection C∗(G) → C0(T ∗M).

On remarque que la construction des operateurs pseudo-differentiels (quantification de Weyl)fournit une section s particuliere. Elle a malheureusement un certain nombre de mauvaisesproprietes.


3.2 Quantification canonique des champs libres

On se refere au superbe livre de Folland [Fol08] pour un traitement tres complet et detailledu contenu de cette section. Comme dit precedemment, les methodes hamiltoniennes presenteesici donnent a la quantification un air peu canonique (quoique), qui l’est encore moins quandon passe aux interactions. Le point de vue de l’auteur est que les methodes covariantes sontplus succeptibles de satisfaire les mathematiciens car elles sont plus fonctorielles. Les methodeshamiltoniennes ont cependant des atouts certains et une grande popularite ce qui les rends dif-ficilement contournables dans la litterature. Le lecteur paresseux est invite a passer directementa la section 3.3.

3.2.1 Quantification de l’oscillateur harmonique

L’oscillateur harmonique quantique est a la base de la theorie des champs quantiques libres.Sa resolution par la methode de l’echelle (operateurs de creation et d’annihilation) est due aDirac [Dir82]. On se refere a [Wikipedia : quantum harmonic oscillator].

L’oscillateur harmonique classique sur X = R est donne par le systeme variationnel hamil-tonien dont les trajectoires sont des applications de R dans la variete de Poisson T ∗X ∼= R× R(coordonnees (q, p) notees parfois (x, p) et appelees position et impulsion) et dont l’hamiltonienest la fonction H : T ∗X → R donnee par

H(q, p) =1

2m(p2 +m2ω2q2).

Rappelons que la solution classique des equations de Hamilton est ici donnee par∂q∂t = ∂H

∂p = pm

∂p∂t = −∂H

∂q = mω2q,

ce qui donne les equations du mouvement newtoniennes

∂2q

∂t2= ω2q.

La quantification canonique de ce systeme hamiltonien est obtenue en considerant l’espace deHilbert (espace des phases quantiques) H = L2(X) et en remplacant la position et l’impulsionpar les operateurs Q = mq de multiplication par la fonction q : X → R et P = −i~∂q dederivation par rapport a q.

On recherche ensuite le spectre de l’Hamiltonien (dont les elements sont les niveaux d’energiepossibles pour le systeme)

H(Q,P ) =1

2m(P 2 +m2ω2Q2),

c’est a dire, a la resolution de l’equation aux valeurs propres

Hψ = Eψ.

3.2. QUANTIFICATION CANONIQUE DES CHAMPS LIBRES 39

Pour determiner les solutions de cette equation aux valeurs propres, on utilise, en suivant lamethode de l’echelle due a Dirac, deux operateurs auxiliaires

a =√mω

2~

(Q+

i

mωP

)a† =

√mω

2~

(Q− i

mωP

)Ceci permet aussi d’obtenir les relations

x =

√~

2mω

(a† + a

)p = i

√~mω

2

(a† − a

)Theoreme 2. On peut resoudre l’equation aux valeurs propres pour l’operateur H en utilisantles operateurs a et a†. Plus precisement, on a :

1. On a H = ~ω(a†a+ 1/2

).

2. Le spectre de a†a est l’ensemble N des entiers naturels et celui de H est ~ω(N + 1/2).

3. Si ψ0 est non nul et tel que aψ0 = 0, on note ψn = (a†)nψ0 et ψ0 = |∅〉 est appele l’etatvide. On a alors

Hψn = ~ω(n+ 1/2)ψn.

4. On a les relations de commutation [a, a†

]= 1[

a†,H]

= ~ωa†

[a,H] = −~ωa

Remarquons que l’etat vide ψ0 a pour energie (valeur propre) ~ω2 et est donne par la fonction

(solution de l’equation differentielle en q du premier ordre aψ0 = 0)

ψ0(x) =(mωπ~

) 14e−

mω2~ x

2.

On peut generaliser ces resultats a un oscillateur harmonique de dimension n en utilisant npaires d’operateurs de creation et d’annihilation.

3.2.2 Quantification du champ scalaire libre

Le champ scalaire libre de masse m est une fonction sur l’espace de Minkowski X = R3,1,solution de l’equation de Klein-Gordon

( +m2c2

~2)ϕ = (

1c2∂2t − ∂2

x +m2c2

~2)ϕ = 0.


La transformee de Fourier partielle sur la variable espace x de ϕ(t, x), notee (Fxϕ)(t, ξ) verifie,en chaque point ξ ∈ R3 l’equation differentielle de l’oscillateur harmonique classique

(1c2∂2t + ξ2 +

m2c2

~2)(Fxϕ)(t, ξ) = 0

dont l’hamiltonien classique est la fonction h(q, p) = p2 +ω2q2 avec pour ξ fixe, ω2 = ξ2 + m2c4

~2 ,q = (Fxϕ)(t, ξ) et p = ∂q

∂t .La quantification du champ scalaire se fait essentiellement en remplacant cet oscillateur

harmonique classique par un oscillateur harmonique quantique d’hamiltonien Hξ(Q,P ) = P 2 +ω2Q2 agissant sur L2(R3). On remarque que cet hamiltonien depend de ξ ∈ R3 qui est la variableduale de Fourier de la position x dans l’espace.

Il existe une maniere agreable de formaliser rigoureusement cette construction. On se place enunites relativistes, i.e., c = ~ = 1. Soit ϕ une distribution temperee sur R4 qui resoud l’equationde Klein-Gordon

( +m2)ϕ = 0.

Alors, sa transformee de Fourier est une distribution temperee qui verifie (−p2 +m2)ϕ = 0 doncelle est supportee sur l’hyperboloıde a deux nappes

Xm = p ∈ R3,1|p2 = m2

appele hyperboloıde de masse. On peut decomposer Xm en deux composantes X+m et X−m cor-

respondant au signe de la premiere coordonnee p0 (duale de Fourier du temps). On munit X+m

de sa mesure normalisee

dλ =d3p

(2π)3ωp

avec ωp = p0 =√|p|2 +m2. On considere l’espace de Hilbert

H = L2(X+m, λ).

Definition 11. L’espace de Fock total (resp. bosonique, resp. fermionique) sur H, note F(H)(resp. Fs(H), Fa(H)) est le complete de l’algebre tensorielle F0(H) (resp. symetrique F0

s (H) :=SymC(H), resp. exterieure F0

a (H) := ∧CH). Les sous-espaces donnes par les sommes directesalgebriques F0, F0

s et F0a sont appeles sous-espaces des particules finies.

On definit l’operateur de nombre N sur F0(H) par

N = kI sur ⊗k H.

Pour v ∈ H, on definit les operateurs B et B† sur F0(H) par

B(v)(u1 ⊗ · · · ⊗ uk) = 〈v|u1〉.u2 ⊗ uk,

B(v)†(u1 ⊗ · · · ⊗ uk) = v ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ uk,

et on voit facilement que ces deux operateur sont adjoint pour v ∈ H fixe. L’operateur B(v)† nepreserve pas l’espace symetrique F0

s (H) mais B(v) le preserve. On definit aussi A(v) = B(v)√N


et on note A†(v) l’adjoint de l’operateur A(v) sur l’espace de Fock bosonique F0s (H). On peut

aussi le voir comme l’operateur

A(v)† = PsB(v)†√N + 1Ps

avec Ps : F0(H) → F0(H) la projection sur le sous-espace bozonique F0s (H).

On a les relations de commutation entre operateurs sur l’espace de Fock bosonique [A(v), A(w)†] =〈v|w〉I et [A(v), A(w)] = [A(v)†, A(w)†] = 0.

On a une application naturelle R : S(R4) → H definie par

Rf = f|X+m

avec f(p) =∫eipµx

µf(x)d4x la transformee de Fourier Lorentz-covariante.

Definition 12. Le champ scalaire neutre quantique libre de masse m est la distribution sur R4

a valeurs dans les operateurs sur l’espace de Fock bosonique des particules finies F0s (H) donne

par

Φ(f) =1√2

[A(Rf) +A(Rf)†

].

On remarque que Φ est une distribution solution de l’equation de Klein-Gordon, i.e., Φ((+m2)f) = 0 pour tout f ∈ S(R4) car (−p2 +m2)f = 0 sur X+

m.Dans le cas d’un champ scalaire charge (i.e. a valeurs complexes), il est necessaire d’utiliser

les deux espaces de Hilbert H+ = L2(X+m) et H− = L2(X−m) et l’operateur anti-unitaire C :

H± → H∓ donne par Cu(p) = u(−p)∗. On definit les operateurs d’annihilation et de creationpour v ∈ H− sur H+ par

B(v) = A(Cv) et B(v)† = A(Cv)†.

Maintenant, attention a l’astuce. On considere comme avant l’espace de Fock F0s (H+) et on

le voit comme defini sur R en considerant ResC/RF0s (H+). Les operateurs B(v) et B(v)† sont

bien R-lineaires car l’operateur C : H± → H∓ l’est, et c’est exactement pour cela qu’on restreintles scalaires.

Ensuite, on etend a nouveau les scalaires de R a C en appliquant . ⊗R C pour obtenir unespace qu’on va noter F0

s , et qui peut etre decompose comme produit tensoriel de deux espacesde Fock isomorphes a F0

s (H+), et echanges par un automorphisme induit par la conjugaisoncomplexe. On definit alors, pour f ∈ S(R4), deux applications R± : S(R4) → H± par

R±f = f|X±m.

Definition 13. Le champ quantique scalaire libre charge de masse m est la donnee des deuxdistributions sur R4 a valeurs dans les operateurs sur l’espace de Fock F0

s definies par

Φ(f) = 1√2

[A(R+f) +B(R−f)†

],

Φ(f)† = 1√2

[A(R+f)† +B(R−f)

].


3.2.3 Quantification infinitesimale des champs classiques

Dans cette section, dont les objectifs sont plutot de nature epistemologique, on considereque les physiciens, quand ils font de la physique quantique, ne travaillent pas dans l’espace usuelmais dans son espace tangent en un point, qui permet d’exprimer les choses a petite echelle. Legros avantage de cet espace tangent est que, contrairement a un espace temps relativiste general,il est lineaire. Ceci permet de parler de transformee de Fourier sur ce dernier. Avec le fait quecela nous fournit une maniere elegante de relier les champs classiques aux champs quantiques,c’est ce qui justifie notre travail fibre a fibre sur le fibre cotangent TM .

Soit E → M un fibre vectoriel reel sur l’espace temps (qu’on pense comme a un typede particule de matiere), muni d’une action du groupe spinoriel Spin(3, 1) sur ses fibres. Lessections d’un tel fibre sont ce qu’il est souvent convenu d’appeler des champs classiques. On vaessentiellement s’interesser au cas E = T ∗M , correspondant au photon, et E = S le fibre spinoriel(donne par la representation standard ResC/RC2 de Spin(3, 1) = ResC/RSL2,C) correspondant al’electron.

On se donne une equation du mouvement Dϕ = 0 donnee par un operateur differentiel relatifa la projection p : TM →M sur les sections du fibre p∗E → TM ,i.e.,

D ∈ DTM/M ⊗C∞TM p∗E .

Ceci permet de travailler fibre a fibre sur un espace vectoriel de Minkowski qui est l’espacetangent TxM .

On peut maintenant definir la transformee de Fourier

F : S(TM) → S(T ∗M)

par la formule

F(f)(x, ω) =∫TxM

e−i〈ω,v〉f(x, v)dv

avec dv la mesure induite par la metrique de lorentz sur TxM .On utilise la dualite induite par la metrique g : TM → T ∗M pour definir un fibre E∨ :=

(g−1)∗p∗(E ⊗R C) sur T ∗M a partir de p∗E → TM .Maintenant, on considere dans T ∗M le support des solutions de la transformee de Fourier

de l’equation differentielle Dϕ = 0 donnee par l’operateur D ∈ DTM/M ⊗C∞TM p∗E .Si E est le fibre cotangent T ∗M (photon) ou E est le fibre spinoriel S (electron), l’operateur

D est l’operateur de Klein-Gordon +m2 ou celui de Dirac i6D −m qui sont relies par

+m2 = (i6D +m)(i6D −m).

Le support de leur transformee de Fourier est alors simplement l’hyperboloıde de masse

Xm = (x, p) ∈ TM |p2 = m2

qui se decompose en deux parties (une fois un feuilletage de temps fixe (x, p0) ⊂ TM) X+m et

X−m comme avant.


On definit H comme le fibre sur l’espace temps M en espaces de Hilbert donne par H :=L2(X+

m, i∗(E∨ ⊗R C)) avec i : X+

m → T ∗M l’inclusion canonique et on peut aussi definir sonespace de Fock F qui sera un fibre en espaces de Hilberts sur M . La transformee de Fourierfibre a fibre F : S(TM) → S(T ∗M) permet de definir une application R : S(TM) → L(H) versles operateurs sur H donnee par

R(f).v := f|X+m.v.

Le champ quantique libre associe au fibre E → M est la distribution Φ sur l’espace T ∗M avaleurs dans les operateurs fibre a fibre sur l’espace de Fock Fs donnee par

Φ(f) =1√2

[A(Rf) +A(Rf)†

]dans le cas d’un champ de particules bosoniques (par exemple le photon donne par E = T ∗M).Pour les particules fermioniques la construction est sans doute similaire.

Le probleme de cette construction est qu’elle ne permet pas a priori de se localiser surl’espace. On peut relier ceci aux constructions precedentes en identifiant tous les L2(X+

m) entreeux et a celui qui etait defini sur l’espace des moments de Fourier de l’espace de base M etc’est par cette methode qu’on peut retrouver le champ quantique de Wightman qui est unedistribution sur l’espace temps plat.

3.2.4 Les axiomes de Wightman

Soit M = R3,1 l’espace de Minkowski.

Definition 14. Une theorie des champs quantiques libres sur M est la donnee d’un espace deHilbert F muni de

1. un sous-espace dense D,

2. un ensemble ϕ1, . . . , ϕN de distributions sur M a valeurs operateurs,

3. une representation unitaire U du groupe de Poincare spinoriel R4 o SL2(C), et

4. une representation (non unitaire) S de SL2,C sur CN .

Comme les operateurs U(a, id) commutent tous pour a ∈ R4, ils ont une resolutions spec-trale commute, i.e., il existe une mesure a valeurs projections sur R4 telle que U(a, id) =∫e−ipµx

µdE(p). Les axiomes sont les suivants :

1. Chaque ϕn est une application de S(M) vers les operateurs lineaires sur F telle que

(a) Pour tout f ∈ S(M), on a D ⊂ Dom(ϕn(f))∩Dom(ϕn(f)†), ϕn(f)D∪ϕn(f)†D ⊂ D ;

(b) pour tout ξ, η ∈ D, l’application f 7→ 〈ξ|ϕn(f)|η〉 est une distribution temperee surM .

2. Il existe un vecteur unitaire Ω ∈ D (l’etat vide) unique a une phase pres tel que U(a,A)Ω =Ω pour tout (a,A) ∈ R4 o SL2,C.

3. L’ensemble des vecteurs de la forme ϕn1(f1) . . . ϕnk(fk)Ω avec k ≥ 0, nj ∈ 1, . . . , N, etfj ∈ S(M) est dense dans F .


4. Pour tout f ∈ S(M) (a,A) ∈ R4 o SL2,C et n ∈ 1, . . . , N,

U(a,A)ϕn(f)U(a,A)−1 =N∑m=1

S(A−1)mn ϕm((a,A).f)

comme operateurs sur D, ou [(A, a).f ](x) = f(p(A)−1(x−a)) avec p : SL(2,C) → SO(1, 3)est la projection naturelle.

5. Le support de la mesure a valeurs projections E est contenue dans la region (p0,p)|p0 ≥|p| dans le cone de lumiere.

6. Si f et g sont dans S(M) et le support de f et g sont separes dans l’espace (i.e., x− y estde type espace quand f(x).g(y) 6= 0) et m,n ∈ 1, . . . , N, alors comme operateurs sur D,

soit [ϕm(f), ϕn(g)] = [ϕm(f), ϕn(g)†] = 0,soit ϕm(f), ϕn(g) = ϕm(f), ϕn(g)† = 0.

3.3 Quantification covariante des champs libres

La quantification covariante est une methode alternative pour calculer les nombres de latheorie quantique des champs sans choisir de coordonnee temps specifique avant la fin descalculs (ce qui est necessaire dans le point de vue hamiltonien), avec pour avantage princi-pal d’etre une construction intrinsequement invariante sous le groupe de Lorentz, et disonsmeme, completement fonctorielle (d’ou le mot covariant). Elle ne se base pas sur un formalismeoperatoriel, mais sur la notion d’integrale et de derivee fonctionnelle.

Pour un traitement mathematique agreable de l’integrale fonctionnelle, on se refere au livrede Cartier et Dewitt-Morette [CDM06], ainsi qu’a ceux de Zinn-Justin [ZJ05] et surtout [ZJ93],chapitre 4.

3.3.1 Espace des phases covariant

Dans la perspective de quantifier les champs libres sans utiliser le formalisme hamiltonien,il est possible de definir un crochet de Poisson sur les fonctionnelles definies sur l’espace dessolutions classiques d’un probleme variationnel lagrangien appele crochet de Dewitt/Peierls, etamplement utilise par Dewitt dans son livre [DeW03] (voir aussi [DDM04] et [Pei52]).

Son gros avantage sur le crochet de Poisson du point de vue hamiltonien est que sa definitionne necessite pas le choix d’une coordonnee temps privilegiee, ce qui en fait un objet intrinsequementcovariant sous les transformations de Lorentz. C’est de plus un objet non pas statique mais de na-ture dynamique puisqu’il depend par definition de la fonctionnelle d’action qui regit les equationsdu mouvement.

On peut penser a cet objet de la maniere suivante. On se donne un probleme variationnellagrangien dont les trajectoires sont des sections ϕ d’un fibre F sur l’espace temps M et lafonctionnelle d’action est notee S : C∞b (M,F ) → R (b designe ici des conditions au bord fixantla valeur des champs ϕ sur deux hypersurfaces de type espace). Par derivation fonctionnelle,on associe a S l’equation d’Euler-Lagrange E. L’espace de ses solutions X ⊂ C∞b (M,F ) (qu’onpeut plonger si necessaire dans un espace plus gros que celui des fonctions lisses), muni de ses

3.3. QUANTIFICATION COVARIANTE DES CHAMPS LIBRES 45

fonctionnelles locales C∞X (qui sont des fonctionnelles F : X → R dont une classe precise estdifficile a donner et qui ne dependent que d’un nombre fini de derivees des champs) est appeleespace des phases covariant. Cette denomination vient du fait qu’il est possible de definir uncrochet sur C∞X par la formule

A,B = DAB −DBA

ou DAB designe la variation infinitesimale de B obtenue en changeant l’action S en S + εA.La definition precise de cette variation infinitesimale et donc de l’espace des phases covariant

peut etre abordee de plusieurs manieres et demande des efforts d’abstraction mathematiqueque nous traiterons dans les sections sur le formalisme multisymplectique 6.8 et sur le calculdifferentiel secondaire 6.6.9.

3.3.2 Calcul differentiel sur les fonctionnelles locales

On dispose de plusieurs approches complementaires au calcul differentiel sur les fonctionnelles(fonctions sur des espaces de fonctions). L’approche utilisant les differentielles de Gateaux etdifferentielles de Freschet a son importance (voir section 6.7.2). On pourra aussi utiliser le pointde vue geometrique sur les jets (voir section 6.6.8).

On retiendra dans cette section la definition approximative suivante : si X est un espacelineaire de fonctions generalisees contenant les distributions de Dirac sur un espace de base Met F : X → C est une fonctionnelle (non necessairement lineaire), la derivee fonctionnelle de Fest definie par

δF (f)δf(x)

:=δF (f)δ(δx)

= limε→0

F (f + εδx)− F (f)ε

.

C’est donc essentiellement la derivee de Gateaux de F le long de δx comme definie dans lasection 6.7.2.

Les derivees fonctionnelles les plus utiles pour la theorie des champs sont fournies dans laproposition suivante (qu’on peut trouver dans le livre de Folland [Fol08], page 269).

Proposition 1. On dispose des resultats suivants pour les calculs de derivees fonctionnelles defonctionnelles remarquables :

Nature de la fonctionnelle Formule Derivee fonctionnelle

Integrale F (f) =∫f(y)h(y)dy δF (f)

δf(x) = h(x)

Exponentielle d’integrale exp[∫f(y)h(y)dy

] δJF (f)δf(x1)...δf(xJ ) = h(x1) . . . h(xJ)F (f)

Integrale quadratique F (f) =∫ ∫

f(x)K(x, y)g(y)dxdy δF (f)δf(u) = 2

∫K(u, z)f(z)dz

Exponentielle quadratique F (f) = exp(∫ ∫

f(x)K(x, y)g(y)dxdy) δF (f)

δf(u) =[2∫K(u, z)f(z)dz

]F (f)

Demonstration. On va donner la preuve pour les deux premieres integrales. La fonctionnelleF (f) =

∫f(y)h(y)dy se prolonge de S(R) aux distributions f sur S(R) par F (f) = f(h) :


c’est simplement l’evaluation des distributions en la fonction h donnee. C’est une fonctionnellelineaire en la distribution f . On peut ainsi calculer F (f + εδx) = F (f) + εF (δx) et on obtient

δF (f)δ(δx)

= δx(h) = h(x).

De meme, pour F (f) = exp[∫f(y)h(y)dy

], qu’on peut etendre aux distributions par F (f) =

exp(f(h)), on obtient

δF (f)δ(δx)

= limε→0

exp(f(h) + εδx(h))− exp(f(h))ε

= limε→0

exp(f(h)).exp(εδx(h))− 1

ε= h(x) exp(f(h)).

Les autres egalites s’obtiennent de maniere similaire.

3.3.3 L’integrale fonctionnelle des physiciens

D’un point de vue de physicien, un champ quantique est une distribution sur l’espace tempsa valeurs operateurs (sur un espace de Hilbert H non determine a priori, dans le cas des inter-actions, et bien determine comme vu dans la section 3.2.2, dans le cas des champs libres). Onpeut avantageusement le voir comme etant determine par la donnee d’un etat vide |0〉 ∈ H etde ses “fonctions de Green”

G(x1, . . . , xn) = 〈0|Tϕ(x1) . . . ϕ(xn)|0〉,

avec T l’operateur d’ordonnancement dans les temps t = x0 croissants.Feynman a donne un procede heuristique pour calculer explicitement les fonctions de Green :

elles sont decrites par une integrale fonctionnelle (notation formelle qui ne designe pas exacte-ment une integrale mais une famille de regles de calculs bien definies deduites d’une analogieavec la theorie des integrales gaussiennes) sur l’espace des champs classique :

G(x1, . . . , xn) = N−1

∫[dϕ]eiS(ϕ)ϕ(x1) . . . ϕ(xn)

ou S(ϕ) est l’action classique et N =∫

[dϕ]eiS(ϕ) est un facteur de normalisation assurant que〈0|0〉 = 1.

Les expressions ϕ 7→ ϕ(xi) et ϕ 7→ eiS(ϕ) doivent ici etre pensees comme des fonctionnellessur l’espace de tous les champs classiques, appele aussi espace des histoires, et l’expressionO 7→ 〈O〉 = N−1

∫[dϕ]eiS(ϕ)O(ϕ) est une notation formelle dont la variable est une fonctionnelle

O sur l’espace des champs et dont il faut expliciter le sens de maniere indirecte. Une expressionde la forme

〈O〉 = N−1

∫[dϕ]O(ϕ)eiS(ϕ)

designe la valeur quantique (le plus souvent donnee par une serie formelle) d’un observableclassique O.


3.3.4 L’integrale fonctionnelle formelle

On se donne un probleme variationnel lagrangien au sens de la section 1.2.1 qu’on supposed’ordre 1. Ainsi, les trajectoires sont les sections ϕ d’un fibre (disons vectoriel) E sur l’espacetemps M . Ceci signifie que la densite lagrangienne est une application

L : J1E → ∧4TM.

On suppose de surcroit que E est muni d’une forme quadratique g : E ⊗ E → RM qu’on peutaussi etendre a J1E ∼= E ⊕ T ∗M ⊗ E en utilisant la forme quadratique fixee par la relativitegenerale sur T ∗M . On se donne une connexion∇ : Γ(E) → Ω1

M⊗Γ(E) compatible aux metriquesdonnees.

Il est aussi utile de definir un espace des histoires de Feynman correspondant a une experiencedonnee. La donnee d’un experimentateur permet de fixer une decomposition (au moins locale)M = R ×M3 de l’espace temps fournie par la ligne de temps dudit personnage. On supposeensuite que l’experimentateur sait mesurer le champ classique ϕ(t, x) au depart t0 de l’experienceet a l’arrivee t1. En fait, en pratique, il mesure plutot ϕ(t, x) pour un intervalle de temps avantle depart t0 de l’experience (ce qui permet de connaıtre la masse de la particule correspondante)et il me sure aussi ϕ(t, x) pour un intervalle de temps apres le depart t1 de l’experience.

Ceci nous donne pour espace des histoires d’une experience donnee demarree au temps t0pour l’experimentateur et finie au temps t1 par

H = Ht0,ϕ0;t1,ϕ1 := ϕ : M → E,ϕ(t0, .) = ϕ0, ϕ(t1, .) = ϕ1, ∂µϕ(t0, .) = 0, ∂µϕ(t1, .) = 0.

On peut retrouver la trajectoire libre de ϕ avant le temps t0 (resp. apres le temps t1) commefonction de Green retardee (resp. avancee) pour l’equation du mouvement libre avec conditionau bord ϕ0 (resp. ϕ1), mais la connaissance de cette equation du mouvement libre correspondessentiellement a la connaissance de la masse de la particule consideree, qui ne peut etre mesureeque sur un intervalle de temps.

On impose a L d’etre somme d’un terme quadratique en ϕ et ∂µϕ = ∇ϕ, note L0, et d’unterme polynomial en ϕ, note P (ϕ). On appelle L0 la densite lagrangienne libre et P (ϕ) lepotentiel ou densite lagrangienne d’interaction. On doit donc pouvoir ecrire

L0(ϕ) =12ϕ(x).D.ϕ(x)dx

avec D un operateur differentiel lineaire essentiellement donne par l’equation d’Euler-Lagrangedu probleme variationnel. On considere l’espace des histoires F comme permettant de definirles conditions de Cauchy pour trouver la fonction (ou distribution) de Green de l’operateurdifferentiel D.

On note J une section quelconque de E sur M . On associe a ces donnees une action classiqueS = S0 + S1 donnee par S0(ϕ) =

∫L0(ϕ) et S1(ϕ) =

∫P (ϕ) et une action avec terme de source

(qu’on peut aussi appeler action generatrice) donnee par

S(ϕ, J) := S0(ϕ) +∫J.ϕ+ S1(ϕ).


C’est cette action la qui est succeptible d’etre utilisee pour definir axiomatiquement l’integralefonctionnelle, en utilisant la formule calculant les gaussiennes normalisees avec terme de sourceen dimension finie comme definition. On remarque que S0(ϕ) peut-etre symboliquement noteϕ.K.ϕ avec K la fonctionnelle quadratique donnee par hypothese. On notera K−1 son inverse(qu’il sera necessaire de calculer au cas par cas mais qui est toujours fourni par une fonctionde Green de l’operateur differentiel lineaire D relative aux conditions au bords donnees pardefinition de l’espace F des histoires de l’experience).

Definition 15. Si F est une fonctionnelle locale en ϕ, on definit sa fonctionnelle generatricenormalisee par

〈F 〉J =∫ [

ei2ϕ.K.ϕ+iJ.ϕdϕ∫ei2ϕ.K.ϕdϕ

]F (ϕ) := F

(iδ

δJ

)e−

i2JK−1J .

La valeur moyenne 〈F 〉0 de F est la valeur en J = 0 de la fonctionnelle generatrice normalisee〈F 〉J .

On doit preciser que l’enorme expression entre crochets est ici consideree comme un symboleformel encodant la transformee de Fourier-Laplace d’une mesure Gaussienne normalisee associeea la fonctionnelle quadratique ϕ.Kϕ, le terme de source jouant le role de variable de la trans-formee de Fourier-Laplace. Les expressions obtenues sont en general des derivees fonctionnellesd’exponentielles d’integrales de dimension finie, qui malheureusement ont le mauvais gout desouvent diverger, ce qui impose de les renormaliser.

Cette definition permet de calculer, dans le cas d’un champ libre, i.e., S1 = 0, les valeursmoyennes par la formule

〈0|T [ϕ(x1) . . . ϕ(xn)]|0〉 = 〈evx1 . . . evxn〉0 := (−i)n δn

δJ(x1) . . . δJ(xn)e−

i2JK−1J

∣∣∣J=0

.

En particulier, dans le cas d’une valeur moyenne a 2 points x et y, on obtient simplement〈evxevy〉 = K−1(x− y) la fonction de Green de l’operateur differentiel K.

On remarque, en suivant Dewitt [DDM04], postulat 25, qu’il peut etre utile d’ajouter al’action classique S(ϕ) avec terme de source J un terme supplementaire de la forme −i lnµ(ϕ)avec µ(ϕ) une fonctionnelle determinee par l’action classique S, tel que les equations dynamiquesoperatorielles prennent la forme

T

(δ

δϕS(ϕ)− i ln µ(ϕ)

)= −J

au lieu de l’equation habituellement utilisee

T

(δ

δϕS(ϕ)

)= −J

qui donne l’equation d’Euler-Lagrange ordonancee dans le temps

T

(δ

δϕS(ϕ)

)= 0


en l’abscence du terme de source.Ceci permet d’une part de corriger le fait que l’ordonancement dans le temps de l’equation

d’Euler-Lagrange T (δS) ne soit pas un operateur autoadjoint (du point de vue de l’integralefonctionnelle). On obtient aussi une justification de la rotation de Wick.

3.3.5 Le modele ludique du champ scalaire libre

On va maintenant appliquer les methodes formelles de la section 3.3.4 dans le cas particulierd’un champ scalaire libre ϕ dont la densite lagrangienne avec terme de source J est donnee par

L(J, ϕ) =12[(∂ϕ)2 −m2ϕ2

]+ J.ϕ.

La fonctionnelle generatrice normalisee, pour prendre un sens precis, va dependre d’un parametreε, qui donne un terme supplementaire dans l’action. On va donc considerer l’action

S(J, ϕ, ε) :=∫ML(J, ϕ)− iεϕ2 =

∫M

12[(∂ϕ)2 − (m2 − iε)ϕ2

]+ J.ϕ.

Afin de bien faire apparaıtre la partie quadratique de l’action, on utilise l’integration par partie∫M

(∂ϕ)2 = −∫Mϕ∂2ϕ

dans laquelle on ignore les termes de bord en les supposant nuls (conditions au bord de l’integraled’action). On obtient alors l’expression

S(J, ϕ, ε) =∫M−1

2ϕ(∂2 +m2 − iε)ϕ+ J.ϕ

qui fait clairement apparaıtre la composante quadratique de l’action donnee par K = (∂2 +m2−iε).

Si F est une fonctionnelle locale des champs (observable), on lui associe alors formellementsa fonctionnelle generatrice normalisee

〈F 〉J =∫ [

ei2ϕ.K.ϕ+iJ.ϕdϕ

[∫ei2ϕ.K.ϕdϕ]

]F (ϕ) := F

(iδ

δJ

)e−

i2JK−1J

avec K−1 l’inverse de l’operateur differentiel K = (∂2 +m2 − iε), i.e., sa fonction de Green ∆F

appelee propagateur de Feynman.Il suffit donc de calculer l’exponentielle

e−i2JK−1J = exp

[− i

2

∫M

∫MF (x)∆F (x, y)F (y)

].

Si l’operateur differentiel K est a coefficients constants sur M (ce qui est en pratique souventle cas quand la metrique est fixee, par exemple sur l’espace de Minkowski plat), on peut utiliserla transformee de Fourier et une methode de regularisation analytique comme le polynome de


Sato-Bernstein pour obtenir ∆F (x, y) en comme un noyau distribution temperee (c’est une desdemonstrations du theoreme de Malgrange-Ehrenpreis qui dit que toute equation aux deriveespartielles a coefficients reels constants admet une solution fondamentale). On peut aussi si l’onprefere fixer une coordonnee temps et resoudre l’equation differentielle ordinaire obtenue parune transformee de Fourier sur l’espace (methode bien adaptee au operateurs differentiels hy-perboliques a coefficients constants omnipresents en theorie des champs).

Si l’operateur differentiel K n’est pas a coefficients constants, il est utile d’utiliser unemethode similaire a celle du present modele ludique, c’est a dire d’ajouter a l’operateur d’Euler-Lagrange libre autoadjoint mais pas inversible, un terme de la forme iε, qui le rend inversible.Il faut ensuite passer a la limite ε → 0, ce qui peut poser de nouveaux problemes. En fait, lecas particulier des operateurs hyperboliques du type d’Alembertien perturbe par un champ devecteur sur une variete Lorentzienne sont traites en utilisant des estimees et leur resolution parCauchy-Kowalewskaia dans le cas des coefficients analytiques reels approchant des coefficientsmoins reguliers.

En general, cependant, la methode de regularisation utilisee par les physiciens est plus fineet fait appel a une combinaison de la regularisation analytique (sur la dimension d) et a ladecomposition combinatoire des diagrammes de Feynman.

3.3.6 Les propagateurs des equations de Klein-Gordon et de Dirac

On a vu ci-dessus que le calcul des integrale fonctionnelles necessitait d’inverser des operateursdifferentiels. Du point de vue mathematique, on appelle un tel inverse une solution fondamentalede l’operateur. On va utiliser ici le theoreme des noyaux de Schwartz comme dans la these deSusama Agarwala. On utilise aussi la page [propagators, english wikipedia].

Soit E un fibre vectoriel sur l’espace temps M . Le fibre des densites DensM sur M est lefibre des applications µ : ∧maxT ∗M → RM telles que µ(λω) = |λ|µ(ω) pour toute fonction λ.On note Dens+M le sous-fibre des applications a valeurs dans (R∗+)M . C’est un fibre R∗+-principaltel que le fibre vectoriel associe a la representation de R∗+ sur R est DensM .

Soient E et F deux fibres vectoriels sur M et D : Γ(E) → Γ(F ) un operateur differentiellineaire. On a une application naturelle i : Γc(F ⊗DensM ) → Γ−∞(F ∗) donnee par

〈i(ϕ⊗ µ), ψ〉 =∫〈ψ,ϕ〉dµ

ou dµ est la mesure sur M associee a µ (c’est localement une mesure a densite, i.e., de la formefdν avec f lisse). Ceci nous permet de prolonger D en un operateur

D : Γc(E ⊗DensM ) → Γ−∞(F ∗).

Le theoreme des noyaux de Schwartz affirme qu’il existe une distribution section K du fibre(E ⊗DensM ) F ∗ qui est un noyau de l’operateur D au sens ou

〈D(ϕ, µ), ψ〉 = K(ϕ⊗ µ ψ).

Si D est un operateur differentiel sur les section d’un fibre trivial E = R×M sur l’espace deMinkowski, et δ(x,y) est la distribution sur M ×M a valeurs dans R qui associe a une fonction sa


valeur en x ∈M , on definit un propagateur (fonction de Green) pour D comme une distributionG sur M ×M telle que

DxG(x, y) = δ(x,y)

ou Dx designe l’operateur D applique a la coordonnee x. On note souvent D−1 l’operateur surC∞(M) defini par

D−1f = 〈G(x, y), f(y)〉.

En pratique, la definition des propagateurs n’est pas unique.Par exemple, si D = +m2 est l’operateur de Klein-Gordon, on peut calculer sa fonction

de Green en utilisant la transformee de Fourier Lorentz-equivariante. L’operateur transforme Dest simplement la multiplication par −p2 +m2. On aurait donc envie d’ecrire

G(x, y) =1

(2π)4

∫d4p

e−ip(x−y)

p2 −m2

malheureusement, ceci n’a pas de sens car p2 −m2 s’annule et la fonction correspondante n’estpas une distribution temperee. Les deux poles sont pour p0 := ±

√~p2 +m2. On peut regulariser

l’integrale en contournant ces poles. Ceci permet de construire un inverse distributionnel pour Dde plusieurs manieres et a chaque maniere correspond un propagateur different pour l’operateurD.

Par exemple, le propagateur de Feynman est donne par

G(x, y) = limε→0

1(2π)4

∫d4p

e−ip(x−y)

p2 −m2 + iε.

Il correspond a tourner une fois dans le sens des aiguilles d’une montre et l’autre fois dans lesens inverse autour des deux poles. En termes de champs quantiques, on ecrit

G(x, y) = 〈0|T (ϕ(x), ϕ(y))|0〉.

De maniere similaire, on definit le propagateur retarde (obtenu en tournant deux fois dans lesens direct)

Gret(x, y) = limε→0

1(2π)4

∫d4p

e−ip(x−y)

(p0 + iε)2 − ~p2 −m2,

et le propagateur avance (obtenu en tournant deux fois dans le sens indirect)

Gav(x, y) = limε→0

1(2π)4

∫d4p

e−ip(x−y)

(p0 − iε)2 − ~p2 −m2.

En termes de champs quantiques, on ecrit

Gret(x, y) = 〈0|[ϕ(x), ϕ(y)]|0〉H(x0 − y0)

etGav(x, y) = 〈0|[ϕ(x), ϕ(y)]|0〉H(y0 − x0)

avec H la fonction de Heaviside sur R.


Le propagateur de Dirac est donne par

SF (x− y) = limε→0

∫d4p

(2π)4e−ip·(x−y)

(γµpµ +m)p2 −m2 + iε

.

Il est relie au propagateur de Feynman par l’equation

SF (x− y) = (i∂/+m)GF (x− y).

Chapitre 4

Physique quantique avec interactions

4.1 Les equations du mouvement quantique de Dyson-Schwinger

Pour cette section, on utilisera sans la detailler la notion d’espace des champs presentee dansl’article [Pau10]. Pour comprendre les calculs ci-dessous, le plus simple est de penser a l’espacedes champs comme un espace vectoriel de dimension finie X et a la fonctionnelle generatricecomme a la transformee de Fourier-Laplace d’une gaussienne sur X.

L’equation de Dyson-Schwinger est l’equation de definition de la fonctionnelle generatrice(i.e., de l’integrale fonctionnelle sur l’espace des champs), dont on peut trouver la version phy-sique dans l’article de Dewitt-Dewitt-Morette [DDM04] et le livre de Cvitanovic [Cvi04] et uneversion plus mathematique dans le livre de Zinn-Justin [ZJ93] ainsi que celui de Rivers [Riv90].

La fonctionnelle generatrice Z(J) verifie les equations du mouvement de Dyson-Schwinger[δS

δϕ(x)

(−i δ

δJ(x)

)− J(x)

].Z(J) = 0.

Il est difficile de donner un sens mathematique precis a ces equations, car l’action S utiliseedoit etre renormalisee par l’ajout d’une fonctionnelle de mesure i ln(µ(ϕ)) (contretermes) et doitdependre d’un parametre d’echelle λ (cut-off ou parametre de regularisation), telle que

Seff,λ(ϕ) := Sλ(ϕ)− i ln(µλ(ϕ))

soit ce qu’on appelle une action effective, mais elles ont l’avantage de donner une formulationuniforme de la theorie des champs quantiques pour les fermions et les bosons.

Plus precisement, considerons une variete M et une fibration π : E → M . On considere lefaisceau sur les algebres Γ(M,E) donne par les sections parametrees par des spectres d’algebress : M × Spec(A) → E. On se donne une action locale

S : Γ(M,E) → R.

On pose X = Γ(M,E) pour simplifier les notations. La differentielle de S

DS : TX → TR

53

54 CHAPITRE 4. PHYSIQUE QUANTIQUE AVEC INTERACTIONS

est aussi donnee par un calcul local (voir [Pau10]). On peut eventuellement aussi considerer ladifferentielle

dS ∈ Ω1X ,

selon les besoins, mais la dualite entre DS et dS peut poser probleme en raison de la dimensioninfinie.

L’equation d’Euler-Lagrange sur ϕ ∈ X est simplement donnee par la condition

∀~h ∈ TϕX, DϕS.~h = 0.

On considere maintenant l’espace Y = Hom(X,R) des fonctions lisses sur X. Un element decet espace sera note J . On peut eventuellement se restreindre a l’espace Yloc des fonctionnelleslocales sur X. On pense notamment, si E → M est un fibre vectoriel et j est une section dufibre dual twiste Hom(E,Ωn

M ) →M , a J ∈ Y defini par

J(ϕ) :=∫M〈j, ϕ〉.

C’est un terme de source pour le lagrangien, et on note Ylin,loc le sous-espace de Y des fonction-nelles de cette forme. On peut aussi considerer des elements plus generaux de Y comme

J(ϕ) := ln(A(ϕ)) +∫M〈j, ϕ〉

avec A un observable.La fonctionnelle generatrice est une fonction Z sur Y (ou Yloc,lin), dont les valeurs sont

notees Z(J), pour J ∈ Y . Elle est obtenue de maniere informelle par l’integration fonctionnellenormalisee ∫

XeS(ϕ)+J(ϕ)[dϕ].

Si ~h : X → TX est un champ de vecteurs, on note

δS

δ~h(ϕ) := DϕS.~h(ϕ).

De la meme maniere, pour ~k : Y → TY un champ de vecteur, on note

δZ

δ~k(J) := DJZ.~k(J).

L’equation de Dyson-Schwinger est obtenue de maniere informelle par integration fonction-nelle et analogie avec les mesures gaussiennes : l’integrale d’une divergence etant nulle, on a∫

X

δ

δ~heS(ϕ)+J(ϕ)[dϕ] = 0,

ce qui donne ∫X

[δS

δ~h(ϕ) +

δJ

δ~h(ϕ)]eS(ϕ)+J(ϕ)[dϕ] = 0

4.1. LES EQUATIONS DU MOUVEMENT QUANTIQUE DE DYSON-SCHWINGER 55

puis, si on pense a une transformee de Fourier-Laplace par rapport a la variable de source J(ϕ)(qui transforme la multiplication par une fonction en l’application d’un operateur differentiel)(

δS

δ~h+δJ

δ~h

)[δ

δ~k

].

∫XeS(ϕ)+J(ϕ)[dϕ] = 0.

Finalement, l’equation de Dyson-Schwinger peut s’ecrire(δS

δ~h+δJ

δ~h

)[DY ] .Z(J) = 0

ou DY designe ici un operateur de differentiation fonctionnelle universelle du type de δ

δ~ksur

Hom(Y,R) (on pense ici a l’analogue de l’operateur D sur C∞(Rn,R) a valeurs dans C∞(Rn,Rn)donne par D = (∂1, . . . , ∂n) tel que tout operateur differentiel lineaire s’ecrive P (D) avec P unpolynome a plusieurs variables a coefficients dans C∞(Rn)).

On rappelle que, dans cette expression Z : Y → R, ~k : Y → TY est un champ de vecteurs,~h : X → TX aussi. L’expression

F =(δS

δ~h+δJ

δ~h

)est a priori une fonction F : X → R qui sait donner l’image F (ϕ) d’un champ.

On doit donc disposer, pour ecrire les equations de Dyson-Schwinger, d’un sous-espace AX ⊂C∞(X) de fonctions et d’une composition avec “l’operateur differentiel universel DY sur Y ”

quant : AX → Hom(C∞(Y ), C∞(Y ))

permettant d’associer a une fonction F sur X et au champ de vecteur universel ~k sur Y unoperateur de differentielle fonctionnelle partielle

quant(F ) =: F[δ

δ~k

].

Dans le cas ou le fibre considere E →M est lineaire, on utilise pour Y le sous-espace donne parles courants externes obtenus a partir de sections de Hom(E,Ωmax

M ) → M . L’identification desespaces tangents des espaces lineaires a eux-meme permet d’obtenir l’equation utilisee par lesphysiciens. En particulier, si F est un polynome en ϕ, on prend ses monomes et on les remplacepar des puissances multi-indicees de l’operateur

DY : C∞(Y ) → Hom(Der(C∞(Y )), C∞(Y ))Z 7→ [D 7→ D(Z)].

Il est necessaire de modifier l’action S par les methodes de la renormalisation, ce quifournit une action effective Seff , pour definir les equations de Dyson-Schwinger renormaliseesdont une solution perturbative est la fonctionnelle generatrice physique, reliee directement auxexperiences.

Il serait bon de savoir si– d’une part, ces equations se generalisent aux fonctionnelles generatrices d’observablesZ(J, F ) avec F une fonctionnelle des histoires : oui,

– d’autre part, elles sont formulables purement en terme de calcul differentiel secondaire surles jets : non.


4.2 Quantification perturbative des champs de matiere en in-teraction

On pense proceder pour cette partie tres difficile d’un point de vue lagrangien a la Feyn-man/Dirac et covariant dans l’esprit du livre de Dewitt [DeW03] et de celui de Cartier-Dewitt[CDM06]. On pourra aussi utiliser l’article de Dewitt-Dewitt-Morette [DDM04] ainsi que le livrede Zinn-Justin [ZJ93].

4.2.1 Axiomatique minimale pour les champs quantiques perturbatifs

On utilise la definition des problemes variationnels lagrangien donnee dans la section 1.2.1.

Definition 16. Une theorie quantique des champs S = (Slibre,Spert),est la donnee :

1. d’un probleme variationnel lagrangien

Slibre = (M,E, JHom(M,E),WE ,Llibre : JHom(M,E) → ∧maxT ∗M)

appele probleme libre, portant sur les sections d’un fibre (vectoriel ou affine) E → M , etdont est supposee parfaitement connue la solution ∆ = ∆X0,ϕ0,X1,ϕ1 de l’equation dumouvement avec conditions au bord

(a) ϕ|X0= 0, ϕ|X1

= 0,

(b) ∂µϕ|X0= ϕ0 et ∂µϕ|X1

= ϕ1,

ou X0 et X1 sont deux hypersurfaces de type espace disjointes dans l’espace M , qu’on asuppose muni d’une metrique Lorentzienne. En pratique, l’equation d’Euler-Lagrange deSlibre est supposee lineaire, ce qui equivaut a supposer l’action quadratique en les champs.

2. d’un probleme variationnel lagrangien

Spert = (M,E, JHom(M,E),WE ,Lpert : JHom(M,E) → ∧maxT ∗M),

appelee probleme perturbe et dont la densite lagrangienne s’ecrit Lpert = Llibre + Lint.

L’ideal, d’un point de vue mathematique, serait de pouvoir etudier la theorie quantiquedes champs en se passant de l’information fournie par le probleme libre Slibre et en etudiantdirectement le probleme Spert. Ce n’est malheureusement pas possible avec les technologiesactuelles, qui ne permettent que d’etudier le probleme Spert comme une perturbation du problemeSlibre. C’est pour cette raison qu’on a inclus ce terme libre dans les donnees de la theorie. Onsupposera en fait qu’on peut ecrire l’action libre

Slibre(X0, X1;ϕ) :=∫ X1

X0

L j(ϕ)

sous la forme Slibre(X0, X1;ϕ) =∫ X1

X0ϕEϕ avec E l’operateur differentiel lineaire (a coefficients

constants) hyperbolique donne par l’equation d’Euler-Lagrange du probleme variationnel libre.

4.2. QUANTIFICATION PERTURBATIVE DES CHAMPS DE MATIERE EN INTERACTION57

Definition 17. Une experience de la theorie quantique des champs S = (Slibre,Spert) est ladonnee B de conditions au bord garantissant l’unicite des solutions de Slibre, conditions qui enpratique s’ecrivent B = (X0, ϕ0;X1, ϕ1) avec X0 et X1 deux hypersurfaces de type espace dansM et ϕ0 et ϕ1 des sections respectives de E|X0

et E|X1. L’espace des histoires de l’experience B

est l’espace H des sections ϕ de E nulles aux bords et verifiant ∂µϕ|X0= ϕ0 et ∂µϕ|X1

= ϕ1. SiF : H → R est une fonctionnelle locale sur les histoires, on definit sa fonctionnelle generatricelibre par

〈F 〉J =∫

H

[ei2Slibre(ϕ)+iJ.ϕdϕ∫ei2Slibre(ϕ)dϕ

]F (ϕ) := F

(iδ

δJ

)e−

i2J.∆.J ,

ou ∆(., .) est l’unique solution fondamentale au probleme au bord B prescrit par l’experiencepour l’operateur differentiel E.

4.2.2 Developpements perturbatifs

On se donne une action non libre avec source de la forme

S(ϕ, J) = S0(ϕ) + J.ϕ+ V (ϕ)

ou S0(ϕ) est un terme quadratique qu’on peut noter symboliquement 12ϕ.K.ϕ et V (ϕ) =

∫P (ϕ)

avec P un polynome en ϕ et ses derivees.Le point central est que le potentiel est une integrale de fonctionnelle locale (evaluations).Si F est une fonctionnelle locale, on ne peut utiliser telle quelle la fonctionnelle generatrice

normalisee

〈F 〉J =∫ [

ei2ϕ.K.ϕ+iJ.ϕdϕ∫ei2ϕ.K.ϕdϕ

]F (ϕ) := F

(δ

δJ

)e−

i2JK−1J .

car elle ne tient pas compte du potentiel d’interaction V (qui n’est pas quadratique et n’a doncaucune raison d’etre relie au calcul Gaussien).

Il nous faut donc donner un sens a un symbole de la forme

〈F 〉J,V =∫ [

ei2ϕ.K.ϕ+iJ.ϕ+V (ϕ)dϕ∫ei2ϕ.K.ϕ+V (ϕ)dϕ

]F (ϕ).

On remarque que meme la normalisation fait intervenir le potentiel d’interaction V =∫Lint.

La methode standard est alors de remplacer V par λV avec λ variable formelle et d’appliquerla formule

〈e−iλV 〉J,for = e−iλV ( δδJ )e−

i2JK−1J :=

∞∑k=0

(−iλ)k

k!

∫. . .

∫︸︷︷︸k termes

(Lint

(δ

δJ

)e−

i2JK−1J

)dx1 . . . .

en terme de serie formelle en λ, ce qui permet d’obtenir une serie formelle qu’on pourra quotien-ter par la serie formelle 〈e−λV 〉0,for. On remarque que la formule definissant le developpementperturbatif est obtenue en echangeant formellement le signe de l’integrale fonctionnelle avec celui


de l’integrale usuelle. L’idee etant simplement que le terme de potentiel V n’est pas une fonc-tionnelle locale (ce qui nous interdit de calculer directement sa fonctionnelle generatrice) maisc’est l’integrale de la fonctionnelle locale Lint donnee par la densite lagrangienne d’interaction.

Si on le souhaite, on peut aussi faire intervenir une fonctionnelle locale F (par exemple unproduit d’evaluations) dans la serie formelle au numerateur. Le quotient des deux series formellesa pour coefficients des valeurs moyennes d’observables pour les champs libres (sans interactions)qui sont calculables par l’integration fonctionnelle formelle expliquee dans la section 3.3.4.

Par les calculs de derivees fonctionnelles fournies dans la section 3.3.2, on obtient finalementles fonctions de correlations avec interactions comme quotient de deux series formelles dont lescoefficients sont des valeurs moyennes d’observables libres.

4.2.3 Le modele ludique ϕ4

On se refere au seminaire Bourbaki de Louis Boutet de Monvel sur les travaux de Connes etKreimer [dM98] ainsi qu’au livre de Connes et Marcolli [CM08].

On se donne maintenant une action S(ϕ) = S0(ϕ) + Sint(ϕ) decomposee en sa partie libreS0(ϕ) qui est en general de la forme S0(ϕ) =

∫M L0(ϕ) avec M l’espace temps et L0(ϕ) au plus

quadratique en ϕ et ses derivees premieres, par exemple

L0(ϕ) =12(∂ϕ)2 − m2

2ϕ2

pour un champ scalaire libre de masse m. Le lagrangien d’interaction Lint (tel que Sint(ϕ) =∫M Lint(ϕ)) est en general polynomial de degre superieur a 2 en ϕ et ses derivees premieres et

chacun de ses monomes depend d’une constante de couplage notee g, λ ou avec des indices sinecessaire.

Dans le cas du champ scalaire en interaction, on developpe d’exponentielle eiSint(ϕ) en seriepour obtenir une version dite perturbative des fonctions de Green

G(x1, . . . , xn) = N−1∑n

in

n!

∫[dϕ]eiS0(ϕ)(Sint(ϕ))nϕ(x1) . . . ϕ(xn)

avecN =

∑n

in

n!

∫[dϕ]eiS0(ϕ)(Sint(ϕ))n.

4.3 Quantification covariante des theories de Jauge

Les theories de Jauge sont les elements essentiels de la description moderne des interactions,et notamment des diverses theories quantiques des champs utilisees dans la description desexperimentations sur accelerateurs. Leur quantification par l’integrale fonctionnelle est similairea celle des theories des champs bosoniques, mais elle exige cependant l’introduction de methodescohomologiques pour traiter les espaces de champs invariants par symetries de jauge, qui ont“des degres de liberte en trop”, ce qui signifie que l’integrale fonctionnelle naıve ne peut jamaisetre definie et qu’il est necessaire de modifier l’action pour tenir compte des symetries.

On se refere a l’ouvrage tres complet [HT92] pour un traitement plus detaille de cette theoriedifficile.

4.3. QUANTIFICATION COVARIANTE DES THEORIES DE JAUGE 59

4.3.1 L’espace des phases covariant en presence de liberte de jauge

Rappelons que si un probleme variationnel lagrangien classique portant sur les sections d’unfibre vectoriel (particule de matiere) est donne, on lui associe son espace des phases covariant P,qui joue le role de la variete des solutions de son equation d’Euler-Lagrange. On va raisonner,dans cette section et la suivante, en supposant que l’espace P et l’espace des histoires H sontdans une categorie d’espace similaire a celle des varietes differentiables (pour plus de details,voir la section 3.3.1).

L’espace des phases covariant P est un sous-espace algebrique de l’espace H des histoire, quijoue, lui, le role de la variete de tous les champs. Ceci signifie que si C∞(H) definit l’espacedes fonctions lisses (ou fonctionnelles locales) sur les histoires, il existe un ideal I ⊂ C∞(H)(essentiellement engendre par l’equation d’Euler-Lagrange) tel que

1. l’espace des fonctions lisses sur l’espace des phases covariant s’ecrive C∞(P) = C∞(H)/Iet

2. P ⊂ H soit exactement l’ensemble des zeros des fonctions de l’ideal I.

Dans la situation des theories de jauge, les solutions du probleme variationnel sont muniesd’une action du groupe de jauge, qui est typiquement un groupe G de fonctions f : M → G(des ouverts) de la variete de base a valeur dans le groupe de Lie de symetries globales de latheorie. Dans ce cas, l’espace des phases covariant n’est pas defini comme l’espace des solutionsdes equations du mouvement, mais comme l’espace quotient de ces solutions par les symetrie deJauge. Ceci signifie qu’il existe un ideal I ⊂ C∞(H) tel que

1. l’espace des fonctions lisses sur l’espace des phases covariant s’ecrive C∞(P) = (C∞(H)/I)G

(invariants de l’algebre quotient) et

2. P est le quotient par le groupe G (espace des orbites de jauge) de l’ensemble des zeros del’ideal I dans H.

Pour pouvoir appliquer les methodes d’integration fonctionnelle aux champs de jauge, ilconvient de fixer la jauge, ce qui brise la symetrie et rend les integrales fonctionnelles divergentespar nature. La methode pour resoudre ce probleme est d’ajouter au lagrangien des termes qu’onobtient en combinant une resolution cohomologique du quotient C∞(H)/I avec une resolutioncohomologique des invariants par G. L’une des resolutions s’appelle la methode des antichamps etl’autre la resolution par les fantomes. L’ensemble de ce formalisme s’appelle la methode BRST-BV (Becchi-Rouet-Stora-Tyutin, adaptee aux theories de jauge ayant un formalisme hamitoniencontraint par un groupe de Lie, et sa generalisation Batalin-Vilkovisky, adaptee au theories dejauge plus generales).

4.3.2 Antichamps et resolution de la surface stationnaire

On se refere a la section 6.6.4 sur le calcul differentiel hors coquillage ainsi qu’au livre [HT92]de Henneaux et Teitelboim et a l’article court [Hen94] pour des exemples specifiques.

On se donne une densite lagrangienne L portant sur les sections d’un fibre E sur l’espacetemps M de dimension m. On note (x, ua,α) les coordonnees sur le fibre J∞E avec α ∈ Nm

des multi-indices. On note A l’algebre C∞(J∞E). L’espace des phases covariant est l’espace des


zeros de l’ideal I = (DαδLδu ) engendre par l’equation d’Euler lagrange δL

δu et ses consequencesdifferentielles.

Une relation non triviale ∑α

Rα.DαδL

δu= 0

entre les generateurs de l’ideal I est appelee une identite de Noether. On peut montrer (voir[FLS02], section 3) qu’une telle identite induit une symetrie de jauge.

Si E est un fibre vectoriel et L est un lagrangien de matiere bosonique libre

L(ϕ, dϕ) = dϕ ∗ dϕ,

on peut montrer qu’il n’y a pas de relations non triviales entre les generateurs de l’ideal I car detelles relations induiraient des symetries de jauge. Les u†α := Dα

δLδu , appeles les antichamps, sont

donc lineairement independants sur A et le A-module I est isomorphe au module libre A(u†α).On a ainsi obtenu une suite exacte

0 → A(u†α) → A→ A/I → 0.

Les u†α sont appeles les antichamps dans la litterature physique. On complique ensuite un peu leschoses (c’est inutile mais mieux vaut le faire tout de meme pour obtenir une algebre de champs)en considerant l’algebre exterieure sur les antichamps ∧•A(u†α) munie de sa differentielle deKoszul definie dans la section 6.10.5. La cohomologie de degre 0 de cette differentielle est A/Iet toutes les autres cohomologies sont nulles. Cette algebre est munie d’un anticrochet, quiressemble fort au crochet de Schouten-Nijenhuis sur les multivecteurs. Ceci n’est pas un ha-sard car les antichamps peuvent etre aussi parametres par les operateurs variationnels Dα

δδu

(l’evaluation en L fournit cette parametrisation). On pourrait donc aussi noter u†α := Dαδδu .

Une autre maniere agreable de proceder est de considerer les antichamps comme des champs devecteurs verticaux ∂

∂u sur E et de remplacer E par le fibre V E →M des tels champs de vecteurs,donc les coordonnees sont notees (x, u, u†). On voit cette variete plutot comme une supervarietedont les coordonnees forment une algebre B contenant A essentiellement de la forme ∧•A(u†).

Dans le cas d’un lagrangien de Yang-Mills sans matiere

L(A, dA) = dA ∗ dA

portant sur une connexion A sur un fibre principal P sur l’espace temps M de groupe structurelG, la situation se complique. En effet, les symetries de jauge induisent des relations non trivialesde la forme ∑

α

Rα.DαδL

δu= 0,

ce qui fait que l’ideal I n’est pas un A-module libre.On est donc amene a construire une resolution libre de A/I en tant que A-module, qui va etre

un complexe (M•, d) de A-module libre. On definit alors l’algebre B• des antichamps generalises(appeles aussi antifantomes, fantomes des antifantomes, etc...) comme l’algebre graduee com-mutative libre

B• = Lsc,AM•.

4.3. QUANTIFICATION COVARIANTE DES THEORIES DE JAUGE 61

On peut raisonnablement etendre la differentielle d en la combinant avec la differentielle deKoszul sur le produit exterieur pour obtenir une differentielle dite de Koszul-Tate sur B•. Ondefinit aussi sur cette algebre des derivations variationnelles gauche et droite (a voir) et uncrochet (la sommation etant omise) par

(A,B) =δDA

δu

δGA

δu†− δDA

δu†δGA

δu.

On dispose aussi d’une derivation graduee donnee eventuellement par

∆(F ) =δDF

δu†δGF

δu.

4.3.3 Fantomes et resolution des invariants de jauge

On se donne une densite lagrangienne L portant sur les sections d’un fibre E sur l’espacetemps. On note (x, ua,α) les coordonnees sur le fibre J∞E avec α des multi-indices. On note Al’algebre C∞(J∞E). Les symetries de jauge sont des applications A → Varsym(L) de la forme

Ri : ε 7→∑α,a

Rα,ai (Dαε)∂

∂ua.

avec (Ri)i∈I = (Rα,ai )i∈I des familles de fonctionnelles locales qui parametrent les-dites symetries.En pratique, dans une theorie de Yang-Mills, les symetries de Jauge sont donnees par des champsde vecteurs verticaux sur E de la forme ∇Aε

∂∂A avec ε : M → g une fonction a valeur dans

l’algebre de Lie.Pour chaque telle famille Ri, i ∈ I etant fixe, on se donne un champ supplementaire Ci

appele fantome de la symetrie de jauge correspondante et de meme nature que ε. On associeensuite aux relations entre ces symetries d’autres champs appeles les fantomes de fantomes etnotes c∆. Et on continue ainsi pour construire une resolution libre des invariants de jauge. Onnote maintenant F • le fibre gradue donne par la somme de E avec les fibres fantomatiques etles coordonnees sur J∞E sont notees (x, vb,α).

On utilise ensuite la resolution libre de l’ideal I ⊂ A engendre par les consequences differentiellesDα

δLδu des equations d’Euler-Lagrange, dont les generateurs sont appeles les antichamps, puis

les antifantomes (qui sont aussi les fantomes d’antichamps) et ainsi de suite. On construit ainsiun fibre gradue G•.

Les identites de Noether fournissent une relation directe entre les antifantomes (qui encodentles relations entre les consequences differentielles des equations d’Euler-Lagrange) et les fantomes(qui encodent les symetries de jauge). Ceci permet, dans les cas les plus reguliers (par exemple pasde relations superieures) et en utilisant les deux resolutions de Koszul (de I et des symetries dejauge) de construire une algebre de Gerstenhaber (A†, (., .)) qui contient l’algebre des observablesclassiques A et qui est munie d’une differentielle ∆ interieure, i.e, telle qu’il existe Lmc verifiant∆(.) = (Lmc, .) et l’equation maıtresse classique ∆2 = 0, i.e.,

(Lmc, Lmc) = 0.


Dans le cas de la theorie de Yang-Mills libre, si on note par une etoile le produit de Hodge,on obtient la densite lagrangienne

Lmc = −14dA ∗ dA+A† ∗ ∇AC +

12C† ∗ [C,C],

avec A ∈ Ω1(g) le champ de jauge, C ∈ Ω0(M, g) le fantome, On doit penser a [C,C] comme unanticrochet et non pas comme le crochet de Lie induit par celui de l’algebre de Lie (qui seraitnul).

On est ensuite amene a resoudre dans A† l’equation maıtresse quantique portant sur unefonctionnelle Lmq ∈ A†[[~]] avec Lmq,0 = Lmc et donnee par

∆(ei~

RW ) = 0

ou en d’autres termes12(W,W )− i~∆(W ) = 0.

Les integrales fonctionnelles a calculer seront alors de la forme∫F (ϕ,ϕ†)[dϕ] =

∫F (ϕ,ϕ† =

δψ

δϕ)[dϕ]

avec ψ une fonctionnelle choisie telle que ϕ† = δψδϕ et F une fonctionnelle invariante par BRST

au sens ou∆(F ) := (Scl, F ) = 0.

Cette derniere condition est necessaire pour garantir l’independance de l’integrale fonctionnelleconsideree par rapport au choix de ψ.

4.3.4 Actions fantomatiques

On donne maintenant des precisions sur la methode generale pour construire une actionfantomatique verifiant l’equation maıtresse quantique a partir d’une action classique.

4.4 Renormalisation

On se base ici sur le livre de Connes-Marcolli [CM08] pour le formalisme mathematique de larenormalisation ainsi que sur le travaux de van Suijlekom [van08a] et [van08b] pour les aspectsplus specifiques aux theories de Jauge.

4.4.1 Le groupe de renormalisation de Connes et Kreimer

Rappelons que la methode des antichamps permet, a partir d’une theorie physique classique(E →M,L) eventuellement munie de symetries de jauge, de construire :

1. une algebre graduee B• sur l’algebre A des fonctionnelles locales sur les champs (fonctionslisses sur les jets de champs, appelees observables classiques hors coquillage),

4.4. RENORMALISATION 63

2. un crochet (., .) : B• × B• → B•,3. un element Sc ∈ B• tel que ∆(.) := (S, .) soit une derivation de carre nul de B•, S0

c = S etles premiers termes de S1

c soient determines et non triviaux,

4. un element Sq ∈ B•[[~]] tel que

12(Sq, Sq) = i~∆Sq.

Modulo le choix d’une fonctionnelle locale ψ ∈ B1 appelee fixation de jauge, on peut appliquerles methodes classiques d’integration fonctionnelle avec la “mesure” donnee par

[dϕ]ei~Sq(ϕ,

δψδϕ

).

Cette mesure ne s’applique qu’aux extensions Aq des observables classiques A ∈ A

4.4.2 Relation avec la theorie de Galois differentielle

4.4.3 Renormalisation des theories de Jauge

Chapitre 5

Theories quantiques des champs

5.1 L’electrodynamique quantique

Cette theorie physique decrit l’interaction entre les electrons entre eux, qui est portee parl’interaction electromagnetique, i.e., par les photons.

On considere la theorie de Jauge avec interactions

(M, g, U,E,G, P, V,EV ,Lloc,Ljauge)

sur l’espace de Minkowski (M, g), muni de son fibre spinoriel S ∼= ResC/RC2 × M → M .Le fibre naturel de matiere libre E est fixe comme etant egal a S. Il represente le coupleelectron/antielectron libre. Le groupe de jauge est G = U(1) et on se donne le fibre princi-pal trivial P = U(1)×M → M sur M . On considere la representation standard V = ResC/RCde U(1) et son fibre vectoriel associe EV = ResC/RC ×M → M . Le champ de jauge A est unesection du fibre Conn(P ) des connexions sur P et induit sur EV une connexion hermitienne (carelle respecte l’action de U(1)). Le lagrangien de jauge est comme d’habitude defini par

Ljauge(A) = −14F ∧ ∗F

avec ∗ l’operateur de Hodge defini par la structure Hermitienne fournie par l’action de U(1). Lelagrangien local est donne par

Lloc(A,ϕ⊗ ϕV ) =12Im(ψ ⊗ ϕV , (DA +

mc

~)ψ ⊗ ϕV ),

avec DA la derivation covariante sur S ⊗ E, donnee par tensorisation de la derivation de Levi-Civita de la metrique g sur les sections de S avec la connexion ∇A induite sur les sections deEV par le champ de jauge A.

5.2 L’interaction faible

Cette theorie physique decrit l’interaction entre les nucleons (neutrons et protons) et leselectrons (et anti-electrons appeles aussi positrons) et explique les reactions de radioactivitebeta, dans laquelle des neutrons/protons emettent des electrons et positrons.

65

66 CHAPITRE 5. THEORIES QUANTIQUES DES CHAMPS

On considere une theorie de jauge avec interactions sur l’espace de Minkowski muni de sonfibre spinoriel S. Le fibre de matiere libre E est fixe comme etant egal a S. Le groupe de jaugeest egal a SU(2) et on se donne le fibre principal trivial sur M . On considere deux copies de larepresentation standard V de SU(2) et le fibre vectoriel associe EV .

Les generateurs de l’algebre de Lie de SU(2) sont les bosons d’interaction. Les deux produitstensoriels SC ⊗ V correspondent a deux couples particule/antiparticule.

Le lagrangien est un lagrangien de Yang-Mills avec interactions standard.

5.3 L’interaction electrofaible

Il a ete observe experimentalement qu’a certaines energies, il n’etait plus possible de differentierl’interaction electromagnetique de l’interaction faible. Ceci se traduit en considerant une theoriede jauge pour le groupe U(2), avec un fibre de matiere fournit par trois copies de la representationstandard V de U(2), et le fibre de matiere libre toujours donne par le fibre des spineurs S.

On obtient ainsi trois couples particule/antiparticule correspondant aux trois produits ten-soriels V ⊗ S.

Pour expliquer la separation aux plus bases energies des interactions faibles et electromagnetiques,on utilise une brisure de symetries, c’est a dire qu’on se restreint a des sous-groupes SU(2) etU(1) dans U(2). A mieux regarder dans Derdzinski.

5.4 La chromodynamique quantique

La chromodynamique quantique decrit l’interaction forte entre des particules de matiere hy-pothetiques appelees les quarks. Ces objets sont les composantes des nucleons et leurs interactionsfortes expliquent la cohesion du noyau qui devrait etre compromise par l’interaction electromagnetique(repulsion des protons charges entre eux).

C’est une theorie de jauge pour le groupe SU(3).

5.5 Le mecanisme de Higgs

Le mecanisme de Higgs (appele aussi mecanisme de Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble sur scholarpedia) est un procede qui permet de donner une masse aux bosons de jauge destheories de Yang-Mills avec une brisure spontanee de symetrie. La methode prend ses originesdans la theorie de la supraconductivite.

L’idee de depart de la brisure spontanee de symetrie est classique : meme si une actionclassique S est invariante de Jauge sous un groupe de Lie G, ses extremas peuvent etre invariantssous un plus petit groupe H. Les generateurs de G qui ne sont pas dans H introduisent alors denouvelles particules (bosons de Higgs) qui ont le bon gout, en pratique, de permettre de donnerune masse aux champs d’interaction (bosons de jauge), qui a priori n’en ont pas.

5.6. LE MODELE STANDARD 67

5.6 Le modele standard

Le modele standard est la combinaison de l’interaction electrofaible, et de la chromodyna-mique quantique, du mecanisme de Higgs et des methodes de renormalisation des theories deJauge.

68 CHAPITRE 5. THEORIES QUANTIQUES DES CHAMPS

Chapitre 6

Outils mathematiques

6.1 Formules fondamentales pour les gaussiennes

6.1.1 Integrales gaussiennes avec source

Pour comprendre les notations utilisees par les physiciens, il est bon de reprendre leursmethodes de normalisation. On peut cependant utiliser d’autres normalisations pour echapperau probleme de l’infinitude de la normalisation en dimension infinie. Ceci est explique en detailsdans le livre de Cartier et DeWitt-Morette [CDM06] et repris dans le cas des champs dans lathese de J. Lachapelle.

On reprend essentiellement le chapitre 1.2.2 du livre de Zinn-Justin [ZJ05]. Soit A unematrice symetrique definie positive qui induit une forme quadratique q sur Rd et ∆ = A−1 soninverse (qu’on appelera plus tard le propagateur) qui induit forme quadratique w sur (Rd)∨.Pour b ∈ (Rd)∨ une forme lineaire, on note

Z(A, b) =∫

Rdexp

(−1

2q(x) + b.x

)dx.

Le changement de variable x = y + ∆.b donne que cette integrale vaut

Z(A, b) = exp(

12w(b)

)∫Rd

exp(−1

2q(y)

)= exp

(12w(b)

)Z(A, 0).

La valeur de Z(A, 0) s’obtient par diagonalisation a partir de la dimension 1 et donne

Z(A, 0) =(2π)d/2√det(A)

.

On remarque que la limite quand d tend vers l’infini de Z(A, b) n’a pas de sens mais que celledu quotient Z(A,b)

Z(A,0) peut en avoir une, car on a la formule

Z(A, b)Z(A, 0)

= exp(

12w(b)

).

69

70 CHAPITRE 6. OUTILS MATHEMATIQUES

Si F est une fonction sur Rn, sa valeur moyenne est donnee par

〈F 〉 :=

∫Rn F (x)e−

12q(x)dx

Z(A, 0).

Remarquons qu’on a en particulier

〈exp(b.x)〉 =Z(A, b)Z(A, 0)

.

Si on note b.x =∑bi.xi, on peut trouver les valeurs moyennes des monomes en developpant

exp(b.x) en serie entiere :

〈xk1 . . . xkr〉 =[∂

∂bk1. . .

∂

∂bkr

Z(A, b)Z(A, 0)

]∣∣∣∣b=0

=[∂

∂bk1. . .

∂

∂bkrexp(

12w(b))

]∣∣∣∣b=0

.

Chaque derivee partielle ∂∂bki

peut soit faire sortir un facteur lineaire bi, soit en differentier undeja present. Le resultat est non nul s’il y a autant d’operations des deux types, ce qui donne

〈xk1 . . . xkr〉 =∑

appariemments d’indices

wij1 ,ij2 . . . wijl−1,ijl

avec wi,j les coefficients de la matrice w. Cette formule s’appelle formule de Wick.Plus generalement, si F est une serie entiere en les xi, on trouve l’identite

〈F 〉 =[F

(∂

∂b

)exp

(12w(b)

)]∣∣∣∣b=0

.

C’est cette fonctionnelle valeur moyenne dont les physiciens utilisent une generalisation for-melle a la dimension infinie. La forme lineaire auxiliaire b est souvent notee J et appelee unesource externe.

6.1.2 Diagrammes de Feynman en dimension finie

On se refere a l’article introductif [Phi01]. Le but des diagrammes de Feynman est d’encoderla combinatoire des calculs de valeurs moyennes

〈F 〉 =[F

(∂

∂b

)exp

(12w(b)

)]∣∣∣∣b=0

de fonctions pour une mesure gaussienne.Pour calculer ces valeurs dans le cas ou F est un monome, on developpe l’exponentielle

exp(

12w(b)

)en serie formelle :

exp(

12w(b)

)=∑n

w(b)n

2nn!=∑n

12nn!

d∑i,j=1

wi,jbibj

n

.

6.1. FORMULES FONDAMENTALES POUR LES GAUSSIENNES 71

Les termes de cette serie sont homogenes en les bi de degre 2n. Si on differentie k fois un telmonome et qu’on l’evalue en 0, on obtient 0, sauf si k = 2n. Il s’agit donc d’etudier la valeur de2n differentiations sur un monome de la forme (

∑di,j=1wi,jbibj)

n.La differentiation la plus frequemment utilisee dans ce calcul est

∂

∂bk

12

d∑i,j=1

wi,jbibj

=d∑i=1

wi,jbi,

ou on utilise la symetrie de la matrice de la forme quadratique w, inverse de la forme quadratiqueq. On va noter ∂i = ∂

∂bi.

Calculons quelques exemples :

1. Le terme d’ordre n = 1 donne

〈x1x2〉 = ∂2∂1

12

d∑i,j=1

wi,jbibj

= ∂2

∑j

w1,jbj

= w1,2

en utilisant la symetrie de la matrice w, et

〈x1x1〉 = ∂1∂1

12

d∑i,j=1

wi,jbibj

= w1,1.

2. Le terme d’ordre n = 2 donne

〈x1x2x3x4〉 = ∂4∂3∂2∂1

(1

222!

∑di,j=1wi,jbibj

)2

= ∂4∂3∂2

(12(∑wi,jbibj)(

∑w1,jbj

)= ∂4∂3

[(∑w2,jbj)(

∑w1,jbj) + 1

2(∑wi,jbibj)w1,2

]= ∂4 [w2,3(

∑w1,jbj) + w1,3(

∑w2,jbj) + w1,2(

∑w3,jbj))]

= w2,3w1,4 + w2,4w1,3 + w3,4w1,2.

On trouve de maniere similaire que

〈x1x1x3x4〉 = ∂4∂3∂1∂1

(1

222!

∑di,j=1wi,jbibj

)2= 2w1,4w1,3 + w3,4w1,1,

〈x1x1x1x4〉 = ∂4∂1∂1∂1

(1

222!

∑di,j=1wi,jbibj

)2= 3w1,4w1,1,

〈x1x1x4x4〉 = ∂4∂4∂1∂1

(1

222!

∑di,j=1wi,jbibj

)2= 2w1,4w1,4 + w4,4w1,1,

〈x1x1x1x1〉 = ∂1∂1∂1∂1

(1

222!

∑di,j=1wi,jbibj

)2= 3w1,1w1,1.

La combinatoire de ces calculs etant assez complexe, il est pratique de representer chacundes produits y apparaissant comme un graphe, dont les sommets correspondent aux indices descoordonnees xi apparaıssant dans les fonctions dont ont calcule la valeur moyenne et chaque wi,jdevient une arete entre le sommet i et le sommet j.

On obtient ainsi les diagrammes suivants :


〈x1x2x3x4〉 =

x2

x1

x4

x3

+

x2

x1

x4

x3

+

x1

x2

x4

x3

〈x1x1x3x4〉 = 2.

x1

x4

x3

+

x1

x4

x3

〈x1x1x1x4〉 = 3.

x1 x4

〈x1x1x4x4〉 = 2. x1 x4 +

x1 x4

〈x1x1x1x1〉 = 3. x1

6.1.3 Les regles de Feynman en dimension finie

On conserve les notations des sections precedentes et on se donne un polynome V en lescoordonnees x1, . . . , xd. Les integrales dont les generalisations sont interessantes pour la physiquesont de la forme

Z(A, V ) :=∫

Rdexp

(−1

2q(x) + ~V (x)

)dx,

que l’on reecrit sous la forme

Z(A, V ) =∫

Rdexp

(−1

2q(x)

)[∑n

1n!

(~V (x))n]dx.

On peut evaluer ces integrales comme precedemment en utilisant la formule formelle

Z(A, V ) = Z(A, 0) exp(

~V(∂

∂b

))exp

(12w(b)

)∣∣∣∣b=0

,

dont le developpement en serie se calcule en utilisant les calculs precedents pour les fonctionsa n-points. La combinatoire de ces calculs est encodee par des diagrammes dont les sommetscorrespondent aux coefficients ai1,...,id des monomes du polynome V =

∑i∈Nd aix

i et les aretesaux coefficients wi,j de la forme quadratique apparaissant dans la formule de Wick pour les-ditsmonomes.

Par exemple, on peut considerer un polynome de la forme V (x) =∑

i,j,k vijkxixjxk (situationsimilaire au modele ludique “ϕ3”) et calculer

Z(A, V ) =∫

Rd exp(−1

2q(x) + ~∑

i,j,k vijkxixjxk

)dx

= Z(A, 0) exp(~∑

i,j,k vijk∂i∂j∂k

)exp

(12w(b)

)∣∣b=0

.

6.2. RAPPELS DE GEOMETRIE DIFFERENTIELLE 73

Calculons les termes de degre 2 en ~. Ces termes comportent 6 derivees et leur somme est

∑i,j,k

∑i′,j′,k′

vijkvi′j′k′∂i∂j∂k∂i′∂j′∂k′ exp(

12w(b)

)∣∣∣∣b=0

.

Par le theoreme de Wick, on peut reecrire cette somme comme∑i,j,k

∑i′,j′,k′

wi1,i2wi3,i4wi5,i6vijkvi′j′k′

ou la somme interne est prise sur tous les appariements (i1, i2), (i3, i4), (i5, i6) de i, j, k, i′, j′, k′.On associe a ces appariements des graphes dont les sommets trivalents correspondent aux fac-teurs vijk et les aretes correspondent aux wi,j . Dans ce cas, on obtient exactement deux graphesdistincts nommes respectivement haltere et tetard :

Il convient ensuite de numeroter les aretes au niveau de chaque sommet pour encoder lemonome correspondant.

6.2 Rappels de geometrie differentielle

On utilisera librement l’appendice 6.10 sur les categories et foncteurs dans cette section, maisl’essentiel de ce paragraphe peut etre lu sans connaissances prealables sur ces notions.

Notre approche est relativement abstraite car on souhaite pouvoir l’appliquer directementaux jets infinis. Pour une approche plus elementaire et relativement complete du calcul differentiellocal (sur les ouverts de Rn), on pourra se referer au livre de Taylor [Tay96].

6.2.1 Definition par les cartes des varietes et fibres differentiables

6.2.2 Faisceaux, varietes et fibres

On donne maintenant une definition plus intriseque de la notion de variete, basee sur lanotion de faisceau. Ce point de vue est relativement incontournable pour donner une definitiondes invariants differentiels par leur propriete universelle.

Definition 18. Soit X un espace topologique. Un faisceau F sur X est la donnee

1. pour chaque ouvert U ⊂ X d’un ensemble F(U) appele les sections du faisceau,

2. pour chaque inclusion V ⊂ U d’ouverts d’une application appelee restriction des sectionsρU,V : F(U) → F(V ) qu’on notera f 7→ f|V .


3. (condition de recollement) pour chaque recouvrement Ui d’un ouvert U , si fi ∈ F(Ui)sont des sections dont les restrictions (fj)|Ui∩Uj = (fi)|Ui∩Uj sont egales sur les intersectionsdes Ui, il existe une unique section f ∈ F(U) dont les restrictions fUi = fi aux Ui est egaleaux sections donnees au depart.

Plus generalement, si C est une categorie dont les objets sont des ensembles munis de structuressupplementaires (par exemple les anneaux ou les groupes abeliens), un faisceau sur X a valeursdans les C est un foncteur contravariant F : Ouv(X)op → C de la categorie Ouv(X) des ouvertsde X munis des morphismes donnes par les inclusions dans la categorie C verifiant la conditionde recollement ci-dessus. Un morphisme de faisceaux sur X est une transformation naturelleentre les foncteurs correspondants.

Par exemple, si U est un ouvert de Rn, les fonctions C∞ sur les ouverts de U a valeurs reellesforment un faisceau sur U note C∞U . Un modele local lisse est un couple (U, C∞U ). Si I ⊂ C∞U estun ideal (sous-module), on appelle le couple (U, C∞U /I) un modele local lisse general. On definitde maniere analogue le faisceau Hol des fonctions holomorphes sur un ouvert U de Cn et desmodeles locaux holomorphe et holomorphes generaux.

Definition 19. Un espace annele est un couple (X,OX) forme d’un espace topologiqueX et d’unfaisceau d’anneaux OX sur X. Un morphisme entre deux espaces anneles X et Y est un couple(f, f+) forme d’une application continue f : X → Y et d’un morphisme f+ : f−1OY → OX .Une variete lisse (resp. lisse generale, resp. holomorphe, resp. holomorphe generale) est un espaceannele (X,O) localement isomorphe a un modele local lisse (resp. lisse general, resp. holomorphe,resp. holomorphe general).

Soit X = (X,OX) est un espace annele. La categorie (Affine)X des schemas affines sur Xest la categorie opposee a celle des faisceaux A en O-algebres sur X. On note Spec(A) l’objetcorrespondant de cette categorie. On identifie cette categorie a une sous-categorie de sa duale(Affine)∨X = (Fonct)((Affine)X , (Ens)) par le plongement de Yoneda :

(Affine)X → (Affine)∨XSpec(A) 7→ Hom(.,Spec(A)).

Soit S un objet de (Affine)∨X . Un sous-foncteur U ⊂ S sera dit ouvert si pour tout schemaaffine Spec(A) → S, la fibre de U → S est plate (respecte les suites exactes de modules) et depresentation finie (commute aux limites inductives). Un objet S de (Affine)∨X sera appele unschema s’il peut-etre recouvert par des ouverts isomorphes a des ouverts affines.

Si F est un faisceau en O-modules de presentation finie sur X, on note V (F) le schema affinesur X donne par le spectre de la O-algebre symetrique SymO(F∗).

Si (X,O) = (X, C∞) est une variete C∞, i.e., un espace annele localement isomorphe a unouvert de Rn muni de ses fonctions C∞ et F est un C∞-module localement libre de rang fini surX, on peut associer au schema V (F) sur X une variete C∞ obtenue en identifiant les sectionssur un petit ouvert U de X a F∗(U) = (C∞)n, ce qui donne V (F)|U = Spec(C∞[X1, . . . , Xn]),qui represente l’espace affine de dimension n sur U , c’est a dire la variete C∞ donnee par

U × Rn → U.


On peut definir une variete lisse sur X notee aussi V (F) et dont la fibre au dessus de U estU × Rn → U . Un F → X de la forme V (F) est appele un fibre vectoriel. La correspondance

F 7→ V (F)

est une equivalence de categories entre la categorie des faisceaux localement libres et celle desfibres vectoriels (munis des morphismes lineaires sur les fibres).

Une autre approche possible aux varietes lisses est celle des spectres a valeurs reelles d’algebreslisses, traitee dans le livre de Nestruev [Nes03]. Ces methodes jouent un role important dans laformulation algebrique du calcul differentiel sur les varietes lisses.

6.2.3 Points de vue fonctoriel sur le calcul differentiel

Une methode efficace pour aborder le calcul differentiel est fournie par Nestruev [Nes03]dans le cadre de l’algebre commutative. Les formes differentielles et jets sont definis commerepresentant les foncteurs derivations et operateurs differentiels. Ceci permet de traiter sur unpied d’egalite les algebres de fonctions sur les varietes C∞ (formes differentielles lisses) et lesschemas affines (formes differentielles de Kahler).

Dans la suite, tous les anneaux sont supposes commutatifs unitaires. Soit K un anneau.

Definition 20. Soit A une K-algebre et P un A-module. Une K-derivation de A a valeurs dansP est une application K-lineaire ∆ : A→ P qui verifie la regle de Leibniz

∆(fg) = f∆(g) + g∆(f) ∀f, g ∈ A.

L’espace des telles derivations est note Der(A,P ).

On pense aux derivations dans Der(A,A) comme a des champs de vecteurs sur le spectrede A. Si P est le A-module donne par un K-point x : A → K (morphisme de K-algebre), lesderivations de Der(A,P ) sont les vecteurs tangents au spectre de A en le point x.

Definition 21. Soit A une K-algebre, P et Q deux A-modules et ∆ : P → Q une applicationK-lineaire. Pour a ∈ A, on note δa(∆) = [∆, a] : P → Q l’application definie par δa(∆)(p) =∆(ap) − a∆(p) pour p ∈ P . On dit que ∆ : P → Q est un operateur differentiel d’ordre ≤ l sipour tous a0, . . . , al ∈ A, on a

(δa0 · · · δal)(∆) = 0.

On note Diff l(P,Q) l’ensemble des tels operateurs muni de la structure de A-module a gauche.

Definition 22. Soit A une algebre commutative unitaire etM une sous-categorie de la categoriedes A-modules. Les formes differentielles relatives aM sur A sont donnees par le A-module Ω1

A,Mde M (s’il existe) representant le foncteur Der(A, .) : M→M. Soit P un A-module dans M.Les jets d’elements de P d’ordre l sur A relatives a M sont donnes par le A-module J l

P,M (s’ilexiste) representant le foncteur Diff l(P, .) : M→M.

En geometrie algebrique, on utilisera la categorie M de tous les modules sur A pour obtenirles differentielles de Kahler et les jets de fonctions algebriques. En geometrie differentielle, onutilise la categorie des modules geometriques (voir [Nes03] pour plus de details) sur A = C∞(M).


On introduit maintenant la notion fonctorielle de connexion de Ehresman (pour laquelle onse refere a [KV98], 5.2) qui sera utile pour l’etude cohomologique des fibres a connexion. Soitf : A → B un morphisme d’anneaux et P un B-module. On note Der(A,P ) le B-module desderivations P -valuees A→ P et Der(P ) le B-module des derivations P -valuees B → P .

Definition 23. Une connexion (de Ehresman algebrique) sur le morphisme f : A→ B est unetransformation naturelle

∇• : Der(A, .) → Der(.)

entre les endofoncteurs Der(A, .) et Der(.) de la categorie des B-modules telle que ∇P (X)|A = Xpour tout X ∈ Der(A,P ).

6.2.4 Jets de fonctions et formes differentielles

On va maintenant donner une version algebrique de la notion de jets pour des fonctionssur une variete relative. Cette definition, qu’on peut trouver dans EGA [Gro67], a l’avantagede pouvoir se generaliser a des situations ou X et Y sont des espaces de modules munis destructures de “varietes virtuelles” difficiles a decrire explicitement.

L’idee de depart pour definir algebriquement les objets infinitesimaux sur une variete Xest d’utiliser des points (x, y) ∈ X × X qui sont infinitesimalement proches (en geometriedifferentielle, on ecrit souvent x − y = h avec h petit, et on calcule la derivee comme unelimite quand h tend vers 0 de f(x)−f(y)

x−y ). Ceci se formalise naturellement en utilisant les voisi-nages infinitesimaux de la diagonale ∆ = (x, x) ⊂ X ×X. On pense ainsi a un point d’un telvoisinage comme a deux points (x, y) ∈ X ×X qui sont infinitesimalement proches a un certainordre.

Soit f : X → S un morphisme de varietes. Soit ∆X/S : X → X ×S X le morphisme diagonaldonne par ∆X/S(x) := (x, x) pour x ∈ X. Soit I ⊂ OX×SX l’ideal de ce morphisme donne par

I := f ∈ OX×SX |f ∆ = 0X.

On suppose que le morphisme naturel

∆∗(OX×SX/I) → OX

est un isomorphisme.

Definition 24. L’anneau (non reduit) des parties principales d’ordre n de X/S est defini par

PnX/S := ∆∗X/S(OX×SX/In+1).

Cet anneau est muni de deux structures (appelees respectivement structure gauche pouri = 0 et droite pour i = 1)

di : OX = id∗XOX = ∆∗X/S(p∗iOX) → PnX/SdeOX -algebre donnees par les deux projections p0, p1 : X×SX → X, et par l’egalite pi∆ = idX .Elle est filtree par les puissances de I. Le couple

∆(n)X/S = (X,PnX/S)

est appele voisinage infinitesimal de X/S d’ordre n dans sa diagonale.


Definition 25. Le fibre sur X correspondant au OX -module PnX/S est appele fibre des jets defonctions pour le morphisme f et note

JnX/S → X.

On remarque que les jets classiques de fonctions JnX sont obtenus en supposant S reduit aupoint, i.e., S = Spec(R). Les jets JnX sont alors donnes par JnX = JnX/Spec(R). On a en particulierP0X = OX donc

J0X = X × R.

Si F est un OX -module, on note Sym∗OX (F) l’algebre symetrique sur F . On definit les formesdifferentielles par

Ω1X/S := ∆∗X/S(I/I2).

et la suite exacte de OX×SX -modules

0 → I/I2 → OX×SX/I2 → OX×SX/I → 0

induit (ceci peut eventuellement etre une hypothese sur ∆ : X → X ×S X liee a la lissite deX → S) une suite exacte de OX -modules

0 → Ω1X/S → P1

X/S → OX → 0

qui induit un morphisme canonique (la structure de OX -algebre sur P1X/S etant induite par

d0 : OX → PnX/S)Sym∗OX (Ω1

X/S) → P1X/S

qui factorise par Sym∗OX (Ω1X/S)/(Ω1

X/S)2 et donne ainsi dans les bons cas un isomorphismecanonique

a : Sym∗OX (Ω1X/S)/(Ω1

X/S)2 ∼→ P1X/S .

Plus generalement, on a le resultat suivant.

Proposition 2. Le choix 1 d’une section s de la projection

∆∗(I/In+1) → ∆∗(I/I2) = Ω1X/S

permet de definir un morphisme

as : Sym∗OX (Ω1X/S)/(Ω1

X/S)n+1 → PnX/S

qui est un isomorphisme si X/S est lisse. Ceci permet de voir les jets comme des polynomes enles formes differentielles.

Le fait que c’est un isomorphisme si X/S est lisse peut se verifier localement sur un ouvertde Rn, et ceci decoule alors de la description locale des jets comme developpement limites desfonctions.

1Ce choix est non canonique pour n > 1, mais il est possible si X/S est lisse car Ω1X/S est alors localement

libre donc projectif sur OX .


Exemple 1. Si on pose X = R et S = ., les parties principales d’ordre 1 sur X sont donneespar la R[X]-algebre R[X,X0]/I2 avec I2 = (P |P (X,X) = 0)2 = ((X − X0)2). On remarqueque l’application des jets envoie un polynome P (X) ∈ R[X] sur le polynome

JP := P (X0) +∂P

∂X(X0)(X −X0),

qui est une section de P1X sur X. Du point de vue des fibres vectoriels, un point du fibre J1

R → Rest defini par des coordonnees (x, a0, a1) avec x ∈ X = R, (a0, a1) ∈ R × R. On remarque icique les coordonnees a0 et a1 dans l’espace des jets sont en general completement independantes.Si f : R → R est une fonction, son jet d’ordre 1 est une section du fibre J1

R → R donne parx 7→ (x, a0 = f(x), a1 = f ′(x)).

Les parties principales PX/S (resp. jets JX/S) sont la limite projective (resp. projective) desparties principales (resp. jets) d’ordre fini.

6.2.5 Champs de vecteurs et operateurs differentiels

Definition 26. Les operateurs differentiels d’ordre n sur X/S sont definis 2 par dualite :

DnX/S := HomOX (PnX/S ,OX).

Les operateurs differentiels DX/S sont la limite inductive des operateurs differentiels d’ordre fini.

Le morphisme naturel Pn+mX/S → PnX/S ⊗OX P

mX/S induit par les deux projections permet de

definir la composee DD′ ∈ Dn+mX/S de deux operateurs differentiels D ∈ DnX/S et D′ ∈ DmX/S en

posantDD′ : Pn+m

X/S → PnX/S ⊗OX PmX/S

id⊗D′−→ PnX/SD−→ OX .

On a deux morphisme naturels

i0, i1 : DnX/S → EndOS (OX)

donnes par composition d’un operateur differentiel D : PnX/S → OX avec les applications natu-relles

d0, d1 : OX → PnX/S .

On a une application OS-lineaire

d = d1 − d0 : OX → Ω1X/S → P1

X/S

donnee par le fait que (p]1 − p]0) ∆X/S = 0 ou p]i : p∗iOX → OX×SX sont les deux morphismesnaturels.

Definition 27. Les champs de vecteurs (sections du fibre tangent) sont definis par dualite :

TX/S := HomOX (Ω1X/S ,OX).

2Les deux structures d’algebres d0, d1 induisent la meme structure de OX -module sur PnX/S , ce qui rend cettedefinition intrinseque.


On dispose d’un morphisme naturel des operateurs differentiels d’ordre 1 dans les champsde vecteurs

σ1princ : D1

X/S → TX/Squi donne le symbole principal d’un operateur differentiel d’ordre 1. Mieux encore, on a unmorphisme canonique

D1X/S → OX ⊕ TX/S

qui est un isomorphisme si X/S est lisse.Plus generalement, si on note P [n]

X/S := ∆∗X/S(In/In+1) et T [n]X/S := HomOX (P [n]

X/S ,OX), ona un morphisme naturel

P [n]X/S → PnX/S

induit par l’inclusion In ⊂ OX et le morphisme dual donne un morphisme naturel

σnprinc : DnX/S → T [n]X/S

appele symbole principal des operateurs differentiels d’ordre n.

6.2.6 Connexions

Une connexion sur un fibre F sur une variete X est un outil permettant de dire si une sectiondu fibre est constante le long d’un chemin donne dans X. On dispose de plusieurs definitionsmathematiques precises de cette notion intuitive : les connexions de Koszul, de Ehresman et deGrothendieck.

La definition suivante se trouve dans l’article de Katz [Kat70].

Definition 28. Soit f : X → S un morphisme de varietes et F un faisceau en O-modules surX. Une connexion (de Koszul) relative sur X/S (appelee aussi derivation covariante) est unmorphisme f∗OS-lineaire

∇ : F → F ⊗OX Ω1X/S

tel que pour f ∈ O et s ∈ F , on ait la relation de Leibniz

∇(f.s) = f.∇(s) + df ⊗ s.

On associe a ∇ des morphismes

∇n := idF ⊗ d+ (−1)n∇∧ idΩ1 : F ⊗ Ωn → F ⊗ Ωn+1.

La suite des ∇n forme un complexe si et seulement si la connexion est plate, i.e., sa courbure

C(∇) := ∇1 ∇ : F → F ⊗ Ω2

est nulle.Si (E ,∇E) et (F ,∇F ) sont deux modules a connexion, on definit une connexion sur E ⊗ F

par∇E⊗F = ∇E ⊗ idF +∇F ⊗ idE


et sur Hom(E ,F) par

∇Hom(E ,F)(ϕ) = ∇F ϕ− (ϕ⊗ idΩ1) ∇E .

Le point de vue de Grothendieck sur les connexions en termes de voisinage infinitesimal dela diagonale permet de generaliser la notion de connexion a tout type d’objet (variete, faisceauen groupes,...) sur une variete f : X → S.

Definition 29. Si f : X → S est une application et F est un O-module, une connexion deGrothendieck sur F est la donnee d’un isomorphisme

τ : p∗1F ∼= p∗2F

sur ∆(1) se reduisant a l’identite sur X, ou ∆(1) := (X,P1X/S) est le voisinage infinitesimal

d’ordre 1 de X dans sa diagonale et p1, p2 : ∆(1) → X sont les deux projections canoniques.

Si on note p1,2, p2,3, p1,3 : X ×S X ×S X → X ×S X les 3 projections naturelles, la connexionest dite plate si elle verifie la condition de cocyle

p∗1,2τ p∗2,3τ ∼= p∗1,3τ

et si c’est le cas, cette connexion se releve en des isomorphismes

τn : p∗1,(n)F → p∗2,(n)F

sur les voisinages ∆(n)X/S d’ordre n de la diagonale de X/S.

On remarque qu’une connexion plate sur le fibre tangent devrait permettre de donner unedescription des operateurs differentiels utilisant cette connexion.

Proposition 3. Soit F un O-module. Les donnees d’une connexion de Koszul et d’une connexionde Grothendieck sur F sont equivalentes.

Demonstration. On se refere a [BO78] pour plus de details sur le lien entre connexions et voisi-nages infinitesimaux. Rappelons que la differentiel exterieure est une application d : OX → Ω1

X ⊂P1X . Si τ : P1⊗F → F⊗P1 est une connexion de Grothendieck, et d1,F := d⊗idF : F → F⊗Ω1,

le morphisme θ = τ d1,F : F → F ⊗ P1 nous permet de construire une connexion de Koszulpar ∇(f) = θ(f)− f ⊗ 1. En effet, on a ∇(f) ∈ F ⊗Ω1 car τ est l’identite sur X. L’associationτ 7→ ∇ repose sur une suite de proprietes universelles qui la rendent biunivoque.

On peut directement generaliser cette definition aux fibres principaux sur une variete sousun groupe G ou plus generalement aux varietes quelconques sur X/S. Dans le cas d’un fibreprincipal P → X, une connexion est un isomorphisme G-equivariant

τ : p∗1P ∼= p∗2P

avec p1, p2 : ∆(1) → X les deux projections naturelles. Une telle connexion sur P definit naturelle-ment une connexion sur tous les fibres Vρ := V ×GP associes aux representations ρ : G→ GL(V )de G sur un espace vectoriel par fonctorialite de P 7→ V ×G P .

Si p : E → X est un fibre sur X, E designe le faisceau de ses sections, et dp : TE/S → p∗TX/Sest la differentielle sur les sections, on note VE/S le noyau de dp.


Definition 30. Une connexion (de Ehresman) sur E est une section σ de la suite exacte donneepar

0 // VE/S // TE/S // p∗TX/S //σ

rr 0,

c’est a dire une decomposition TE ∼= HE ⊕ V E si X est lisse. Cette connexion est dite lineairesi elle est OE-lineaire.

Si E est un fibre vectoriel, et si la connexion est lineaire, l’espace vertical VE/S est cano-niquement isomorphe a p∗E . Si on se donne une section s ∈ E , on a ds : TX/S → s∗TE/S et siσ : TE/S → VE/S est la section correspondant a la connexion, on a

s∗σ ds : TX/S → s∗p∗E ∼= E

et par dualites∗σ ds ∈ E ⊗ Ω1

X/S

ce qui definit bien une derivation covariante ∇ : E → E ⊗ Ω1 par ∇(e) = (s∗σ ds)(e).Reciproquement, si E est un fibre vectoriel et ∇ : E → E ⊗Ω1 est une connexion (de Koszul)

sur E, on lui associe une connexion de Ehresman σ : p∗TX → TE en posant σ(e⊗D) = e.∇D ∈Der(Sym(E∗)) pour e ∈ C∞(E) et D ∈ Der(OX).

On introduit maintenant une notion plus fonctorielle de connexion de Ehresman (pour la-quelle on se refere a [KV98], 5.2) qui sera utile pour l’etude cohomologique des fibres a connexion.Soit f : A → B un morphisme d’anneaux et P un B-module. On note Der(A,P ) le B-moduledes derivations P -valuees A→ P et Der(P ) le B-module des derivations P -valuees B → P .

Definition 31. Une connexion (de Ehresman algebrique) sur le morphisme f : A→ B est unetransformation naturelle

∇• : Der(A, .) → Der(.)

entre les endofoncteurs Der(A, .) et Der(.) de la categorie des B-modules telle que ∇P (X)|A = Xpour tout X ∈ Der(A,P ).

Si A et B sont respectivement les fonctions sur une variete X et sur un fibre p : E → X,cette definition se reduit a la definition usuelle de connexion de Ehresman car l’application

Der(A) ⊂ Der(A,B) ∇B

→ Der(B)

permet de relever un champ de vecteur sur X en un champ de vecteur p-projectable sur E.Reciproquement, comme Der(A,P ) ∼= P⊗ADer(A) et Der(P ) ∼= P⊗BDer(B) pour un B-modulearbitraire, on peut etendre l’application ci-dessus en une transformation naturelle d’endofonc-teurs par tensorisation.

Definition 32. Soit P un fibre principal sous un groupe de Lie G. Une connexion de Cartansur P est une 1-forme sur P a valeurs dans Lie(G) invariante par l’action adjointe de G.


6.2.7 Varietes symplectiques et varietes de Poisson

La structure de variete de Poisson est un outil tres utile en dynamique hamiltonienne etles structures qui en decoulent (crochet de Schouten-Nijenhuis par exemple) fournissent desexemples important en dimension finie des objets des theories quantiques des champs, et no-tamment du formalisme des antichamps.

Definition 33. Une variete symplectique est la donnee d’un couple (P, ω) forme d’une varieteet d’une 2-forme fermee non degeneree ω ∈ Ω2(P ).

L’exemple standard d’une variete symplectique est celle du fibre cotangent P = T ∗M a unevariete M . On munit P = T ∗M de sa forme symplectique canonique donnee par

ω : T (T ∗M) ∧ T (T ∗M) → RT ∗M ,

qu’on peut voir comme une section ω ∈ Ω2(T ∗M) de la forme ω = −dα avec α ∈ Ω1(T ∗M)donnee par α(v) = Dπ(v) ∈ R ou v ∈ T (T ∗M) est une section du fibre tangent a T ∗M etDπ : T (T ∗M) → TM est la differentielle de π : T ∗M →M .

Si f ∈ C∞(P ), on definit le champ de vecteur hamiltonien correspondant Xf ∈ T (P ) sur Ppar l’equation

ω(Xf , .) = df

dans Ω1(P ). Le crochet de Poisson ., . : C∞(P ) × C∞(P ) → C∞(P ) est alors donne par laderivee de Lie le long de Xf de Xg, i.e.,

f, g = LXf (Xg).

Revenons maintenant a une variete P quelconque.

Definition 34. L’algebre des multivecteurs sur P est l’algebre antisymetrique Γ(∧•TP ) sur leschamps de vecteurs.

Proposition 4. Il existe une unique extension

[., .]SN : Γ(∧•TP )× Γ(∧•TP ) → Γ(∧•TP )

du crochet de Lie des champs de vecteurs qui est une derivation bigraduee. Ce crochet s’appellecrochet de Schouten-Nijenhuis et munit les multivecteurs d’une structure d’algebre de Gersten-haber (algebre graduee anti-commutative munie d’un crochet de Lie gradue), i.e., verifie lesconditions suivantes :

1. Identite de Jacobi graduee :

[X, [Y, Z]] = [[X,Y ], Z] + (−1)(|X|−1)(|Y |−1)[Y, [X,Z]],

2. Derivation bigraduee :

[X,Y ∧ Z] = [X,Y ] ∧ Z + (−1)(|X|−1)|Y |Y ∧ [X,Z],

6.3. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES LINEAIRES 83

3. Anticommutativite graduee :

[X,Y ] = (−1)(|X|−1)(|Y |−1)[Y,X]

Definition 35. Une variete de Poisson est un couple (P, π) forme d’une variete P et d’unbivecteur π ∈ Γ(∧2TP ) dont le crochet de Schouten-Nijenjuis avec lui meme

[π, π]SN = 0

est nul. Si f, g ∈ C∞(P ) sont des fonctions, on definit leur crochet de Poisson par

f, gπ := 〈π, df ∧ dg〉.

Remarquons que la condition sur π est equivalente a la combinaison de l’identite de Jacobi etde la propriete de derivation du crochet de Poisson des fonctions. Si on note π] : T ∗P → TP lemorphisme induit par π, on associe a une fonction f ∈ C∞(P ) le champ de vecteur hamiltonien

Xf := π](df) ∈ Γ(TP ).

Si π] est inversible, on definit une 2-forme ω ∈ Ω2(P ) par

ω[ := (π])−1 : TP → T ∗P.

La nullite du crochet de Schauten-Nijenhuis implique que ω est une forme fermee.La notion de structure de Poisson non degeneree est donc essentiellement equivalente a la

notion de structure symplectique.

6.3 Equations aux derivees partielles lineaires

On rassemble ici quelques methodes et resultats classiques necessaires a la comprehensiondes equations aux derivees partielles de la physique des particules, qu’on pourra trouver parexemple dans le livre de Taylor [Tay96] et dans les volumes de Gelfand-Chilov [GC62].

6.3.1 Distributions, theoreme des noyaux

L’espace des fonctions test sur un ouvert U de Rn a valeurs dans Rm est l’espace C∞c (U,Rm)des fonctions lisses a support compact munie de la topologie limite inductive des topologies surles espaces C∞(K,Rm) de fonctions lisses sur un compact K ⊂ U induites par les normes

NK,k(f) = supx∈K,|α|≤k

|∂αf(x)|.

Une distribution sur U a valeurs dans Rm est une forme lineaire continue sur C∞c (U,Rm). L’espacedes distributions est note C−∞(U,Rm) ou plus simplement C−∞(U) si m = 1.

On dispose d’une injection naturelle

i : C∞(K,Rm) → C−∞(U, (Rm)∗)


donnee par 〈i(f), g〉 =∫U 〈g, f〉dµ avec µ la mesure de Lebesgue.

Si T ∈ C−∞(U,Rm) est une distribution, on definit sa derivee par rapport a xi, i = 1, . . . ,mpar

〈 ∂T∂xi

, ϕ〉 = −〈T, ∂ϕ∂xi

〉

pour tout ϕ ∈ C∞c (U,Rm) et plus generalement, si α ∈ Nn est un multi-indice,

〈∂αT, ϕ〉 = (−1)|α|〈T, ∂αϕ〉.

Si E → M est un fibre vectoriel sur une variete M , l’espace Γc(E) des sections a supportcompact de E sur M est muni de la topologie limite inductive des topologies des espaces desections a support dans les compacts K ⊂ U de cartes U de M (definie ci-dessus). L’espace dessections distributions de E est le dual topologique de l’espace Γc(E). On le note Γ−∞(E). Pourdefinir la section distribution associee a une section, on a besoin de la notion de densite.

Si β ∈ C est un nombre complexe, le fibre des β-densites DensβM sur M est le fibre desapplications µ : ∧maxT ∗M → RM telles que µ(λω) = |λ|βµ(ω) pour toute fonction λ. On noteDens+M le sous-fibre de Dens1M des applications a valeurs dans (R∗+)M . C’est un fibre R∗+-principaltel que le fibre vectoriel associe a la representation de R∗+ sur R est Dens1M .

On dispose d’une application naturelle

i : Γc(E ⊗DensβM ) → Γ−∞(E∗ ⊗Dens1−βM )

donnee par 〈i(ϕ⊗µ), ψ⊗ν〉 =∫〈ψ,ϕ〉d(µν) ou d(µν) est la mesure sur M associee a la 1-densite

µν (c’est localement une mesure a densite, i.e., de la forme fdx avec f lisse et dx la mesure deLebesgue).

Si on munit E d’une connexion ∇ : Γ(E) → Γ(E ⊗ T ∗M), on peut definir les derivees desdistributions le long de champs de vecteurs X ∈ Γ(TM), et on notera la derivation correspon-dante

∇X : Γ−∞(E) → Γ−∞(E).

Soient E et F deux fibres vectoriels sur M et D : Γ(E) → Γ(F ) un operateur differentiellineaire. En utilisant l’application naturelle i : Γc(F ⊗ Dens1/2M ) → Γ−∞(F ∗ ⊗ Dens1/2M ), onprolonge D en un operateur lineaire continu

D : Γc(E ⊗Dens1/2M ) → Γ−∞(F ∗ ⊗Dens1/2M ).

L’enonce suivant se trouve dans le livre de Hormander [Hor07], page 93.

Theoreme 3. (des noyaux de Schwartz) Soit D : Γc(E ⊗ Dens1/2M ) → Γ−∞(F ⊗ Dens1/2M ) uneapplication lineaire continue. Il existe une section distribution K du fibre (E∗F )⊗Dens1/2M×Mqui est un noyau de l’operateur D au sens ou

〈D(ϕ⊗ µ), ψ ⊗ ν〉 = K

(([ϕ∗ 7→

∫〈ϕ∗, ϕ〉(µν)] ψ)⊗ (µ ν)

).

Ce theoreme permet de considerer tous les operateurs lineaires continus comme des convo-lutions par des distributions. Par exemple, l’operateur identique id : Γ(E) → Γ(E) induit unoperateur id : Γc(E⊗Dens1/2) → Γ−∞(E∗⊗Dens1/2) dont le noyau est une section distributionδ sur M ×M de (E∗ E∗)⊗Dens1/2M×M .

6.4. THEORIE SPECTRALE 85

6.3.2 Transformee de Fourier

La transformee de Fourier est une construction qui porte necessairement sur un espace Mlineaire. Pour la prolonger aux varietes, il convient dont de la construire sur les fibres du fibretangent.

6.3.3 Solutions fondamentales

6.3.4 Probleme de Cauchy pour les systemes hyperboliques

6.3.5 Equation des ondes

6.3.6 Equation de Klein-Gordon

6.3.7 Equation de Maxwell

6.3.8 Equation de Dirac

6.3.9 Equation de Schrodinger

6.4 Theorie spectrale

La mecanique quantique etant essentiellement basee sur la theorie spectrale des operateurssur les espaces de Hilbert, on va en rappeler ici les lignes essentielles. Cette theorie est unegeneralisation a la dimension infinie de la theorie de la diagonalisation des matrices hermitiennescomplexes.

Definition 36. Un espace de Hilbert complexe est un couple H = (H, 〈., .〉) forme d’un espacevectoriel topologique complexe H et d’un accouplement sesquilineaire 〈., .〉 : H×H → C tel queH soit complet pour la norme ‖f‖ =

√〈f, f〉.

L’objet principal de la theorie spectrale est l’etude du spectre d’un operateur sur un espacede Hilbert.

Definition 37. Si A : H → H est un operateur, son spectre Sp(A) est le sous-ensemble de Cdefini par

Sp(A) = λ ∈ C|A− λ.Id non inversible.

Definition 38. Si A : H → H est un operateur, son adjoint A∗ est definit par

〈Af, g〉 = 〈f,A∗g〉.

On definit maintenant plusieurs classes d’operateurs sur l’espace de Hilbert H.

Definition 39. Soit A : H → H un operateur lineaire.

1. On dit que A est borne si il existe une constante C ≥ 0 telle que

‖Ax‖ ≤ C‖x‖,

et une telle constante C minimale sera notee ‖A‖.


2. On dit que A est (borne) positif si Sp(A) ⊂ [0,+∞[⊂ C.

3. On dit que A est compact si l’image de la boule unitee B(0, 1) = f ∈ H| ‖f‖ ≤ 1 de Hpar A est d’adherence compacte, i.e.,

A(B(0, 1)) compacte.

4. On dit que A est autoadjoint si A∗ = A.

5. On dit que A est une projection si A est borne et

A = A∗ = A2.

On note B(H) (resp. B(H)+, resp. K(H), resp. Proj(B(H)), resp. Bsa(H)) les operateur bornes(resp. positifs, resp. compacts, resp. les projections, resp. bornes autoadjoints) sur H. Si A,B ∈B(H) sont deux operateurs bornes, on dit que A est inferieur a B si B −A est positif, i.e.,

A ≤ B ⇔ B −A ∈ B(H)+.

Theoreme 4. Soit A : H → H un operateur borne. On a une inclusion Sp(A) ⊂ R si etseulement si A est autoadjoint. Si A ∈ K(H) est compact alors Sp(A) ⊂ C est discret.

Definition 40. On note Borel(Sp(A)) la tribu des boreliens sur l’espace topologique Sp(A).Une mesure spectrale pour un operateur borne A ∈ B(H) est une mesure multiplicative sur lespectre de A a valeurs projecteurs. Plus precisement, c’est une application

E : Borel(Sp(A)) → Proj(B(H))B 7→ E(B)

telle que

1. E(∅) = 0,

2. E(Sp(A)) = 1,

3. E est sigma-additive, i.e.,

E

( ∞∐i=1

Bi

)=∞∑i=1

E(Bi),

4. E est multiplicative, i.e., E(B ∩ C) = E(B).E(C).

Le theoreme spectral, qui est une generalisation a la dimension infinie du theoreme de dia-gonalisation des endomorphismes symetriques ou hermitiens, peut se formuler alors comme suit.

Theoreme 5. Soit A ∈ B(H) un operateur borne qu’on suppose de surcroit autoadjoint. Il existeune unique mesure spectrale

EA : Borel(Sp(A)) → Proj(B(H))

telle que

A =∫

Sp(A)λdEA(λ).

6.5. GEOMETRIE DES JETS ET EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 87

Ce theoreme est aussi valable pour un operateur autoadjoint non borne (densement defini)et sa demonstration se trouve dans Reed-Simon [RS80], chapitres VII.2 et VIII.3.

L’interet majeur de ce theoreme est qu’il fournit le calcul fonctionnel borelien, qui permetpar exemple d’evaluer une fonction mesurable positive f : R → R+ sur un operateur borneautoadjoint A par

f(A) =∫

Sp(A)f(λ)dEA(λ).

Ce type de calcul est notamment tres utile en mecanique quantique pour les fonctions indicatrices1[a,b] : R → R, qui permettre de se restreindre aux valeurs du spectre contenues dans unintervalle.

On a aussi le theoreme suivant :

Theoreme 6. Si deux operateurs A et B de B(H) commutent, il existe un operateur R ∈ B(H)et deux fonctions mesurables f, g : C → C telles que

A = f(R) et B = g(R).

Le theoreme de Stone permet de ramener l’etude des operateurs autoadjoints (non bornes) acelle des groupes a un parametre d’operateurs bornes. On trouve sa demonstration dans Reed-Simon [RS80], chapitre VIII.4.

Theoreme 7. La donnee d’une famille fortement continue a un parametre d’unitaires dans H,i.e., un morphisme de groupe U : R → U(H) verifiant

si ϕ ∈ H et t→ t0 dans R, alors U(t)ϕ→ U(t0)ϕ,

est equivalente a celle d’un operateur autoadjoint A, par l’application A 7→ eitA.

6.5 Geometrie des jets et equations aux derivees partielles

Cette section doit etre completement reredigee pour des raisons pedagogiques mais aussiesthetiques, en utilisant les D-schemas et en introduisant d’abord le calcul concret des symetrieset des lois de conservations, pour ensuite decrire en details la suite spectrale variationnelle. Cesmodifications sont dues a la participation de l’auteur a une ecole des diffietes, et notamment aucours de Luca Vitagliano, ainsi qu’a la lecture du livre de Beilinson-Drinfeld [BD04].


6.5.1 D-schemas et equations aux derivees partielles

6.5.2 Champs de vecteurs evolutionnaires et symetries

6.5.3 Lois de conservation

6.5.4 Bicomplexe et suite spectrale variationnelle

6.5.5 Calcul differentiel secondaire sur les fonctionnelles locales

6.5.6 L’espace des phases covariant lagrangien

6.5.7 L’espace des phases covariant multisymplectique

6.6 Geometrie des jets et equations aux derivees partielles

La geometrie des jets permet de formaliser de nombreuses informations (symetries, trans-formations) concernant les equations differentielles et les problemes variationnels lagrangiens demaniere tres compacte.

6.6.1 Jets d’applications et jets de sections

Soient X et Y deux varietes. On peut definir la fibration

Jn(X,Y ) → X × Y

des jets d’ordre n d’applications X → Y comme l’espace dont les points sont des classesd’equivalences [x, f, U ]n de triplets (x, f, U) ou U ⊂ X est un ouvert, x ∈ U et f : U → Yest un morphisme, et deux tels triplets (x, f, U) et (x′, f ′, U ′) sont equivalents si x = x′, et pourtoute application lisse sur ϕ : X → R, ϕ f et ϕ f ′ ont toutes leurs derivees jusqu’a l’ordre ren x egales. A chaque fonction f : X → Y , on peut associer le jet jnf , qui est une section deJn(X,Y ) →M donnee pour chaque x ∈ X par la classe d’equivalence

jnf(x) := [U, f, x]n

avec U une carte autour de x.On va maintenant donner une definition plus intrinseque des jets d’applications. Soient X et

Y deux varietes (sur une base S qu’on va omettre pour simplifier les notations). On munit PnX etPnY de leurs structures gauches deOX etOY -algebres, fournies par les morphismes d0 : OX → PnXet d0 : OY → PnY .

On note pX : X × Y → X et pY : X × Y → Y les projections canoniques. On pose

Pn(X,Y ) := HomOX×Y −Alg(p∗Y PnY , p∗XPnX)

les germes de morphismes de OX×Y -algebres.

Definition 41. On appelle Pn(X,Y ) le faisceau surX×Y des parties principales de morphismesX → Y . Si Pn(X,Y ) est un OX×Y -module localement libre, le fibre vectoriel associe a Pn(X,Y )est note Jn(X,Y ) → X × Y et appele fibre des jets d’applications X → Y .


Avec cette definition, comme p∗XP0X = p∗XOX = OX×Y et p∗Y P0

Y = OX×Y , on obtientdirectement un isomorphisme

P0(X,Y ) := HomOX×Y −alg(OX×Y ,OX×Y ) = id

donc J0(X,Y ) = X × Y .On remarque qu’il est possible de composer les jets de la maniere suivante. Si f ∈ Pn(X,Y )

et g ∈ Pn(Y, Z), on va definir la composition f g comme une section sur X × Y × Z dep∗X×ZPn(X,Z). Considerons le diagramme

X × Y × ZpX×Y

ttjjjjjjjjjjjjjjjjpX×Z

pY×Z

))TTTTTTTTTTTTTTTT

X × Y

pX ##GGGG

GGGG

G

pY

;;

X × Z

pXyyssssssssss

pZ

%%KKKKKKKKKK Y × ZpZ

xxxx

xxxx

x

pY

ccX Y Z

dans lequel on a ecrit plusieurs fois des fleches distinctes par le meme symbole pour des raisonsde simplicite de la notation. On remarque d’abord qu’on a les egalites

pX pX×Z = pX pX×Y , pZ pX×Z = pZ pY×Z , pY pY×Z = pY pX×Y ,

ce qui permet de dire que

p∗Y×Z(g) ∈ Hom(p∗X×Zp∗ZPnZ , p∗X×Y p∗Y PnY )

etp∗X×Y (f) ∈ Hom(p∗X×Y p

∗Y PnY , p∗X×Zp∗XPnX),

donc on peut definir

f g := p∗Y×Z(g) p∗X×Y (f) ∈ p∗X×ZPn(X,Z).

Proposition 5. On dispose d’une application naturelle

J : Hom(X,Y ) → Γ(X, pX,∗Pn(X,Y ))

qu’on peut aussi voir 3 comme une application

J : Hom(X,Y ) → Hom(X, Jn(X,Y )),

qui envoie une application f : X → Y sur une section Jf sur X du fibre Jn(X,Y ) → X.

3Si les parties principales sont les sections d’un fibre vectoriel sur X × Y


Demonstration. Si f : X → Y est un morphisme, on lui associe (par fonctorialite des partiesprincipales de fonctions)

f ] : f∗PY → PX ,

i.e., f ] ∈ HomOX−Alg(f∗PY ,PX). Dans la suite de cette preuve, on utilisera uniquement desmorphismes d’algebres en omettant le symbole Alg dans les notations des homomorphismes.Soit Γf : X → X × Y l’application graphe donnee par Γf (x) = (x, f(x)). On a le diagrammecommutatif

XΓf //

idX ##GGGGGGGGG

f

++

X × Y

pX

pY

~~

X

Y

qui correspond aux egalites f = pY Γf et idX = pX Γf . On a des bijections naturellesd’ensembles de morphismes

HomOX (f∗PY ,PX) = HomOX (Γ∗f (p∗Y PY ),PX)

adj∼= HomOX×Y (p∗Y PY ,Γf,∗PX),

celle de gauche etant donnee par f = pY Γf et celle de droite par l’adjonction de l’image directeet image inverse par pY : X × Y → Y . Par image directe par pX , on obtient une application

HomOX×Y (p∗Y PY ,Γf,∗PX)pX,∗−→ HomOX (pX,∗p∗Y PY , pX,∗Γf,∗PX) = HomOX (pX,∗p∗Y PY ,PX),

la derniere egalite etant donnee par idX = pX Γf . Pour toute OX -algebre A, on a par imageinverse par pX un morphisme naturel

HomOX (A,PX)p∗X−→ HomOX×Y (p∗XA, p∗XPX)

adj∼= HomOX×Y (A, pX,∗p∗XPX),

ce qui donne, applique a la situation precedente avec A = pX,∗p∗Y PY ,

HomOX (pX,∗p∗Y PY ,PX)p∗X−→ HomOX (pX,∗p∗Y PY , pX,∗p∗XPX).

On remarque maintenant que nous avons obtenu une application

HomOX (f∗PY ,PX)p∗XpX,∗−→ HomOX (pX,∗p∗Y PY , pX,∗p∗XPX)

et on dispose d’une application naturelle

HomOX (pX,∗p∗Y PY , pX,∗p∗XPX) // Γ(X, pX,∗HomOX×Y ((pY )∗PnY , (pX)∗PnX))

Γ(X, pX,∗Pn(X,Y )).


L’application f ] 7→ Jf ] := p∗XpX,∗(f]) nous permet ainsi d’associer a toute fonction f : X → Y

une section Jf ] ∈ Γ(X, pX,∗Pn(X,Y )), c’est a dire une section

Jf : X → Jn(X,Y )

de la projection canonique Jn(X,Y ) → X.

Definition 42. Soit π : Y → X un morphisme de varietes. Le faisceau des parties principalesde sections de π est le sous-faisceau

Pnπ (X,Y ) ⊂ Pn(X,Y )

donne par les morphismes f : p∗Y PnY → p∗XPnX de OX×Y -algebres tels que

f J(π) = id ∈ pY,∗p∗XHom(PnX ,PnX).

Pour donner un sens precis a l’egalite de cette definition, on remarque que J(π) ∈ pY,∗Pn(Y,X)et qu’on a par adjonction une identification

pY,∗Pn(Y,X) := Hom(pY,∗p∗XPnX , pY,∗p∗Y PnY ) ∼= Hom(p∗Y pY,∗p∗XPnX , p∗Y PnY ),

ce qui permet, par une nouvelle adjonction, d’identifier f J(π) a une section de

Hom(p∗Y pY,∗p∗XPnX , p∗XPnX) ∼= pY,∗p

∗XHom(PnX ,PnX).

On va maintenant donner le lien entre la definition faisceautique des jets et celle qui estfournie dans le precis de geometrie differentielle de Nicolas Bourbaki.

Proposition 6. Si X et Y sont lisses et sX et sY sont des sections des projections

∆∗(I/In+1) → ∆∗(I/I2) = Ω1

canoniques associees a X et Y , on a un isomorphisme

ϕsX ,sY : Pn(X,Y ) ∼→n∏i=0

HomOX×Y −Mod(SymiOX×Y (p∗XTX), p∗Y TY )

qui montre que Pn(X,Y ) est localement libre de rang fini sur OX×Y .

Demonstration. On sait par la proposition 2 que les deux sections sX et sY definissent desisomorphismes

aX : Sym∗OX (Ω1X)/(Ω1

X)n+1 → PnX ,aY : Sym∗OY (Ω1

Y )/(Ω1Y )n+1 → PnY .

On a alors

Pn(X,Y ) := HomOX×Y −Alg(p∗Y PnY , p∗XPnX)∼= HomOX×Y −Alg(Sym∗OX×Y (p∗Y Ω1

Y )/(p∗Y Ω1Y )n+1,Sym∗OX×Y (p∗XΩ1

X)/(p∗XΩ1X)n+1),


et par la propriete universelle de l’algebre symetrique et du quotient, on obtient que le faisceaudes parties principales

Pn(X,Y ) ⊂ HomOX×Y −Mod(p∗Y Ω1Y ,Sym∗OX×Y (p∗XΩ1

X)/(p∗XΩ1X)n+1)

s’identifie au faisceau des morphismes tels que pour tout ω0, . . . , ωn ∈ p∗Y Ω1Y , on ait

∏ni=0 f(ωi) =

0. Pour des raisons de degre des polynomes consideres (qui ont un sens car Ω1 est localementlibre), une condition necessaire pour ces egalites est que f(p∗Y Ω1

Y ) soit inclus dans l’ideal (p∗XΩ1X),

et c’est alors aussi une condition suffisante. On obtient donc un isomorphisme

Pn(X,Y ) ∼= HomOX×Y −Mod(p∗Y Ω1Y ,Sym∗OX×Y (p∗XΩ1

X)/(p∗XΩ1X)n+1).

On a suppose que Ω1X est localement libre, donc le morphisme naturel

⊕ni=0SymiOX×Y (p∗XΩ1

X) → Sym∗OX×Y (p∗XΩ1X)/(p∗XΩ1

X)n+1

est un isomorphisme. Par transposition, i.e., application de la dualite OX×Y -lineaire, on obtient

Pn(X,Y ) ∼= HomOX×Y −Mod(⊕ni=0SymiOX×Y (p∗XTX), p∗Y TY )

et par propriete universelle de la somme, on conclut que

Pn(X,Y ) ∼=n∏i=0

HomOX×Y −Mod(SymiOX×Y (p∗XTX), p∗Y TY ).

La proposition precedente permet de faire le lien entre notre definition des jets et celle qu’onpeut trouver dans le fascicule de resultats de geometrie differentielle de Nicolas Bourbaki.

Corollaire 1. Si U et V sont des ouverts de Rn, le choix de trivialisations de leurs fibrestangents donne un isomorphisme

Jn(U, V ) = U × V ×∏

0≤k≤nHomR−mod(Symk

R(Rn),Rm).

6.6.2 Geometrie sur les jets infinis

Si X et Y sont des varietes lisses, on definit les jets infinis d’applications entre X et Y commela pro-variete lisse

(J∞(X,Y ), C∞) := lim←− n

(Jn(X,Y ), C∞).

L’espace topologique sous-jacent est simplement la limite projective usuelle des espaces topo-logiques des jets d’ordre finis. Les fonctions sont donnees par la limite inductive des fonctionslisses sur les espaces de jets d’ordre finis. On peut appliquer a l’espace annele (J∞(X,Y ), C∞)toutes les constructions precedentes (en tenant cependant compte partout de la filtration surles fonctions induite par la limite inductive) et ainsi etudier ses proprietes geometriques etdifferentielles. On va en general considerer toutes les donnees fonctionnelles comme filtrees parles donnees d’ordre fini.


6.6.3 Distribution de Cartan et equations differentielles

Un des objets centraux de la theorie geometrique des equations differentielles est la distri-bution de Cartan. Soient X et Y deux varietes lisses et n un entier eventuellement infini. Pourtout U ⊂ X, on dispose d’une application des jets

JU : Hom(U, Y ) → Hom(U, Jn(X,Y )).

On considere le sous-faisceau

CΩ∗Jn(X,Y ) ⊂ Ω∗Jn(X,Y )

des formes differentielles ω sur Jn(X,Y ) telles que pour tout ouvert U et tout f ∈ Hom(U, Y ),on ait

J(f)∗ω = 0 ∈ Ω∗U .

Ce faisceau est le faisceau des formes differentielles de contact qui s’annulent sur la distributionde Cartan

CTJn(X,Y ) ⊂ TJn(X,Y ),

localement engendree par les images des differentielles

D(JU (f)) : JU (f)∗TU → TJn(X,Y )

des jets de fonctions f : U → Y .Soit u : J1(X,R) → RX → R la coordonnee reelle et ω ∈ Ω1

T ∗X la forme differentiellecanonique. La distribution de Cartan sur J1(X,R) ∼= T ∗X ⊕ RX est engendree par la 1-formede Cartan

c = du− ω ∈ Ω1J1(X,R).

Une section s = (ν, v) : X → J1(X,R) est le jet d’une fonction f : X → R si et seulement sic df = 0, et on voit que ceci est equivalent a ν = dv ∈ Ω1

X .

Definition 43. Soient X et Y deux varietes lisses. Une equation differentielle d’ordre n surles applications X → Y est un couple (E, CT ) forme d’une sous-variete 4 de l’espace des jetsE ⊂ Jn(X,Y ), munie de la restriction CT = CT|E ⊂ TE de la distribution de Cartan a E. Unefonction f : X → Y est une solution de l’equation E si Jn(f)(X) ⊂ E. Une sous-variete F deE localement integrale maximale pour la distribution de Cartan CT|E est appelee une solutiongeneralisee de l’equation differentielle E.

Si une equation E ⊂ Jn(X,Y ) est le support d’un ideal I ⊂ C∞Jn(X,Y ), le plongementC∞Jn(X,Y ) → C∞J∞(X,Y ) permet de prolonger E a une equation E∞,n sur J∞(X,Y ) donnee parl’ideal I.C∞J∞(X,Y ). Il convient ensuite de prendre sa cloture differentielle pour les differentiellestotales DI (voir la section suivante) pour obtenir l’equation prolongee E∞ de E au jets infinis.On peut ainsi considerer qu’une equation differentielle est toujours un couple

(E, CT )

forme d’une sous-variete de J∞(X,Y ) et de sa distribution de Cartan restreinte de celle des jets.4On pense ici a priori a des zeros locaux (i.e., le support d’un faisceau d’ideaux) de fonctions sur Jn(X, Y ), mais

il n’est pas deraisonnable de considerer, dans les cas analytiques ou algebriques reels, des varietes plus generalesdonnees par exemple par des inequations algebriques, i.e. des domaines algebriques reels, ou des inequations surles valeurs absolues de fonctions, i.e., des domaines analytiques.


6.6.4 Le calcul differentiel fonctionnel hors coquillage

Une premiere approche au calcul differentiel fonctionnel local est de le formuler en terme decalcul differentiel usuel sur les jets. Il est ensuite necessaire de tenir compte de la distributionde Cartan pour etudier les solutions formelles des equations differentielles considerees, mais onva commencer par presenter les definitions formelles de quelques operateurs qui jouent un roleimportant pour cette etude plus detaillee. On se refere a l’article [FLS02] pour le contenu decette section.

On se place pour simplifier sur un fibre trivial π : E = Rm ×M → M sur une variete. Onnote (xi)i=1,...,n les coordonnees sur M , (uk)k=1,...,m les coordonnees sur Rm. Les coordonneessur le fibre des jets J∞E sont donnees par les familles

(x, uα)α∈Nn = (xi, uk,α)i=1,...,m;k=1,...,m;α∈Nm

indexees notamment par les multi-indices α ∈ Nm. On pense aux coordonnees uk,α commerepresentant les derivees partielles ∂αuk := ∂αuk

∂xα et si u : M → E est une section de E, son jetinfini est la fonction j∞(u) : M → J∞E donnee par

j∞(u)(x) = (x, ∂αu)α∈Nm .

Les fonctionnelles locales C∞(J∞E) sont les fonctions lisses qui ne dependent que d’unnombre fini de coordonnees, i.e., qui viennent de fonctions lisses sur un JrE pour r ∈ N.

Definition 44. Les operateurs de derivation totale sur C∞(J∞E) sont les operateurs

Di =∂

∂xi+∑k,α

uk,iα∂

∂uk,α

avec uk,iα la coordonnee de multi-indice 1i + α ∈ Nn (a laquelle on pense formellement commea ∂∂xiuk,α). Si α ∈ Nn est un multi-indice, la derivee totale correspondante est definie par

Dα = Di1 · · · Din .

L’operateur d’Euler-Lagrange (aussi appele la derivee fonctionnelle ou variationnelle, attentiona ne pas confondre avec la derivee partielle ∂

∂uk) sur C∞(J∞E) est

δ

δuk:=

∑α∈Nn

(−1)|α|Dα∂

∂uk,α.

On remarque que les operateurs de derivation totale Di engendrent la distribution de CartanCTJ∞E .

Si I ⊂ C∞(JkE) est un ideal representant une equation aux derivees partielles, l’ideal

I∞ := C∞(J∞E). (DαPP∈I,α∈Nn)

engendre par les derivees totales de ses elements represente une equation aux derivees par-tielles sur J∞E appelee la prolongation infinie de l’equation de depart. Si L ∈ J∞E est une


fonctionnelle locale, son espace des phases covariant P est l’equation differentielle prolongee del’equation

I =

(δL

δuk

k=1,...,m

)engendree par les equations d’Euler-Lagrange. C’est donc une sous-variete algebrique P ⊂ J∞Edont les fonctions sont C∞(P) = C∞(J∞E)/I∞.

Considerons l’espace A ⊂ DJ∞ engendre par les operateurs Dαδδuk

sur J∞E obtenus parcomposition des derivees totales avec les derivees variationnelles et dont l’evaluation en L estnon nulle. Leurs evaluations en L donnent donc les generateurs de l’ideal I∞. Ces operateurssont appeles les antichamps et notes

u∗k,α = Dαδ

δuk.

On considere ensuite le sous-module I∞,1 ⊂ A donne par le noyau (relations entre les u∗k,α(L))de l’evaluation en L. Les generateurs de ce noyau, notes ci sont appeles les anti-fantomes et sontsimplement les identites de Noether associees au lagrangien L.

Notons A = C∞(J∞E) et I = I∞. Si on continue ainsi, on construit un complexe A• quidonne une resolution de l’algebre A/I en tant que A-module. En d’autres termes, on disposed’un quasi-isomorphisme de complexes de A-modules

A•qis∼= A/I.

Par les resultats generaux de la theorie de l’homotopie, on munit A• d’une structure de A∞-algebre ∞-commutative et d’une ∞-structure de Poisson.

6.6.5 Champs de vecteurs evolutionnaires et symetries de jauge

On se refere aux sections 2 et 3 de [FLS02].

Definition 45. Un champ de vecteur evolutionnaire sur E est une section Q du faisceau π∗∞VEavec π∞ : J∞E → E la projection et VE ⊂ TE le fibre des champs de vecteurs verticaux surE. La prolongation Q∞ d’un champ de vecteur evolutionnaire Q est l’unique champ de vecteurQ∞ sur J∞E tel que Dπ∞(Q∞) = Q et Q∞ stabilise la distribution de Cartan C ⊂ TJ∞ , i.e.,LQ∞C ⊂ C.

Localement, un champ de vecteurs vertical evolutionnaire s’ecrit Q =∑Qa

∂∂ua

avec ua lescoordonnees verticales sur (i.e., dans les fibres de) E et Qa ∈ C∞(J∞E). Sa prolongation s’ecritalors

Q∞ =∑α∈Nn

(DαQa)∂

∂ua,α.

On peut aussi voir (Qa) comme une section du fibre π∗∞E sur J∞E qu’on appellera alors lasection generatrice du champ de vecteur evolutionnaire.


Si un groupe de Lie G agit par automorphismes sur un fibre vectoriel E → M en laissantfixe l’action S d’un lagrangien L ∈ C∞(J∞E), cette action induit une application

g → VEde l’algebre de Lie g de G dans les champs de vecteurs verticaux VE ⊂ TE sur E. La prolongationde l’image m d’un element m de g donne un element m∞ des champs de vecteurs sur J∞E telque dL(m∞)volM soit dh-exacte avec dh la differentielle horizontale. Cette prolongation m∞ estrelativement simple car les coordonnees ma de m sont constantes le long des variables verticalesdonc la derivee totale Dα se restreint a la derivee partielle ∂α par rapport a la variable x ∈M .

Definition 46. Un champ de vecteur evolutionnaire Q sur E est appele une symetrie variation-nelle du lagrangien L si dL(Q∞)volM est dh-exacte. On note Varsym(L) le faisceau des symetriesvariationnelles de L.

En coordonnees locales, Q est une symetrie variationnelle si il existe des fonctionnelles localesjα telles que ∑

α

Dα(Q∞)∂L

∂ua,α=∑

Dαjα.

Definition 47. Une symetrie de Jauge du lagrangien L est une application lineaire

R : C∞(J∞E) → Varsym(L)

donnee localement par le choix de fonctionnelles Ra,α ∈ C∞(J∞E) et par la formule

R(ε) :=∑a,α

Ra,α(Dαε)∂

∂ua,α.

On trouvera dans la section 3 de [FLS02] une demonstration de l’equivalence portant sur unefamille de fonctionnelles Ra,α ∈ C∞(J∞E) entre le fait qu’elles definissent une symetrie de jaugeet le fait qu’elles induisent des identites de Noether. C’est le deuxieme theoreme de Noether.

Exemple 2. Dans le cas d’une theorie de Yang-Mills classique munie d’une algebre de jauge g,l’equation d’Euler-Lagrange est

∇A ∗ F = 0,

les identites de Noether sont∇A∇A ∗ F = 0

et les symetries de Jauge correspondantes sont

A 7→ A+∇Aε

avec ε : M → g une fonction arbitraire (donc ∇Aε ∈ Ω1M ⊗ g est bien de meme nature que

A). On remarque que l’algebre de Lie des symetries de jauge est definie hors coquillage (au sensou le crochet de Lie de deux symetries de jauge est une symetrie de jauge). Il peut exister dessituations ou le crochet de Lie de deux symetries de jauge est une symetrie de jauge seulementdans le coquillage, c’est a dire si les equations du mouvement sont verifiees. L’application lineairecorrespondante

R : C∞(J∞E) → Varsym(L)

est definie par prolongation de la derivation ∇A aux jets infinis.


6.6.6 Connexion de Cartan et bicomplexe variationnel

On se refere a [KV98], 5.2 pour une presentation formelle concise du bicomplexe variationnel.

6.6.7 La suite spectrale variationnelle

Cette suite spectrale decouverte par Vinogradov est nommee par lui “the C-spectral sequen-ce”. On prefere lui donner un nom plus suggestif, et qui permet de mieux situer le role qu’ellejoue dans la formalisation mathematique des problemes variationnels.

L’idee de depart dans la definition de cette suite (qui sert a etudier le complexe variationnel)est qu’on dispose d’un complexe

Champs de vecteurs Div // LagrangiensEuler-Lagrange// Equations differentielles

Hemholtz

Operateurs differentiels

qui permet de comprendre quels lagrangiens ont une equation d’Euler-Lagrange triviale et quellesequations differentielles ont une chance de decouler d’un probleme variationnel (probleme varia-tionnel inverse).

Le complexe de de Rham des jets (Ω∗J∞(X,Y ), d) est naturellement filtre par les puissancesexterieures CiΩ∗ de l’ideal CΩ∗ des formes de contact (qui s’annulent sur la distribution deCartan). Si S ⊂ J∞(X,Y ) est une equation differentielle, on peut restreindre le complexevariationnel filtre a cette equation et on notera (Ω∗S , CΩ∗S) cette restriction.

On se refere a l’appendice 6.10.4 pour la definition de la suite spectrale associee a un complexefiltre.

Definition 48. La suite spectrale Ep,qr (S) associee au complexe filtre (Ω∗S , d, C∗Ω∗S) est appeleela suite spectrale variationnelle.

On remarque d’abord que, par definition de la suite spectrale d’un complexe filtre, la limitede cette suite est

Ep,q∞ (S) = grpHp+q(Ω∗S) = grpH

p+qdR (S).

Le complexe de de Rham vertical est le complexe quotient Ω∗S de Ω∗S par les formes de contactqui s’annulent sur la distribution de Cartan, muni de la differentielle induite par la differentielleexterieure. La cohomologie de de Rham vertical H∗dR(S) est la cohomologie de ce complexe. Lecomplexe d’Euler (L∗, E∗) est le complexe (E∗,n1 , di,n1 : Ei,n1 → Ei+1,n

1 ). Le complexe variationnelest le complexe obtenu en recollant le complexe d’Euler au complexe de de Rham vertical

0 → Ω0S → · · · → Ωn

S → L1 → L2 → . . . ,

par l’application naturelle

ΩnS → Hn

dR(S)d0,n1→ L1.


Un champ de vecteur X ∈ TS est appele un champ variationnel s’il respecte la distributionde Cartan, i.e.,

[X, CTS ] ⊂ CTS .

On ecrit alors X ∈ TC,S ⊂ TS . Les champs de vecteurs verticaux sont donnes par l’espace

TS := TC,S/CTS .

Cet espace est aussi appele espace des symetries (infinitesimales) superieures de S et noteSym(S).

Dans le cas S = J∞π (E) avec π : E → M un fibre vectoriel, on peut donner de Sym(S) unedescription explicite. On considere le fibre tangent vertical VE ⊂ TE a E, noyau de la differentielleDπ : TE → π∗TM et si p∞,0 : S = J∞(E) → E est la projection canonique, on definit VS commele fibre VS := p∗∞,0(VE) sur S = J∞E. On a un morphisme naturel TS → p∗∞,0(TE) et l’imagedes champs de vecteurs variationnels TC,S ⊂ TS s’identifie a VS , ce qui induit un isomorphisme

Sym(S) ∼→ VS .

Si E est un fibre vectoriel de rang n sur M , VS est aussi un fibre vectoriel (faisceau localementlibre) de rang n sur S.

La proposition suivante est extraite de la section 4.3 du livre [Vin01] de Vinogradov.

Proposition 7. Les premiers termes de la suite spectrale variationnelle sont donnes par :

1. Pour tout q ≥ 0, les termes E0,q0 (S) = Ωq

S et E0,q1 (S) = Hq

dR(S) donnent respectivement lecomplexe et la cohomologie de de Rham verticaux.

2. Si S est libre, i.e., une sous-variete ouverte de l’espace des jets infinis, Le terme L1 = E1,n1

est donne par HomC∞S (VS , ΩnS) (module localement libre de rang n sur C∞S ).

3. Pour tout q < 0 et p ∈ Z, on a Ep,q0 (S) = 0.

4. Si ΩsS = 0 pour un s ≥ 0 (type de condition verifiee sur les equations differentielles d’ordre

s), alors Ep,q0 (S) = 0 pour tout q > s.

Definition 49. Soit π : E → M un fibre vectoriel sur une variete de dimension n et soitS ⊂ J∞π (M,E) une sous-variete des jets de sections de π. Une action lagrangienne cohomologiquesur S est un element L de

E0,n1 (S) = Hn

dR(S).

L’equation d’Euler-Lagrange associee est la section

E(L) := d0,n1 (L) ∈ E1,n

1 = HomC∞S (TS , ΩnS)

image de L par la differentielle de la suite spectrale variationnelle. Cette section d’un fibrevectoriel de rang n sur J∞E a pour composantes locales les derivees variationnelles δL

δuα avec uα

les sections generatrices du fibre E →M .


Remarquons qu’un lagrangien est ainsi toujours represente localement par des n-formesdifferentielles verticales, mais pas toujours globalement. Le complexe variationnel permet d’etudierles lagrangiens, leurs equations d’Euler-Lagrange et le probleme variationnel inverse d’un pointde vue cohomologique. L’interet principal de ce point de vue est d’etre bien covariant commeil faut et de permettre un traitement tres efficace de la theorie des invariants et des symetries(theoreme de Noether generalise).

Pour faire le lien avec un lagrangien classique

L : J∞π (M,E) → ΩnM ,

on remarque que L ∈ p∗∞ΩnM et qu’on peut toujours lui associer son image par

π] : p∗∞ΩnM → Ωn

J∞π (M,E)

avec p∞ : J∞π (M,E) → M la projection canonique. Ensuite, en prenant la classe modulo lesformes de contact, on obtient une forme differentielle verticale

¯π](L) ∈ ΩJ∞π (M,E) := ΩnJ∞π (M,E)/C

nΩn,

dont le bord par d est nul par construction, ce qui donne une classe

[L] ∈ HndR(J∞π (E,M))

qui est justement le lagrangien cohomologique correspondant.

6.6.8 Calcul differentiel secondaire sur les fonctionnelles locales

La calcul differentiel secondaire, ainsi nomme par Vinogradov, se base sur l’idee que lasuite spectrale variationnelle Ep,qr (S) associee au complexe filtre (Ω∗S , d, C∗Ω∗S) d’une equationdifferentielle S ⊂ J∞(X,Y ), est un analogue pour les equations aux derivees partielles (i.e. endimension infinie) du complexe de de Rham d’une variete differentiable de dimension finie. Onconsidere le cas ou Y → X est un fibre et les jets sont les jets de section et la variete de base Xest de dimension n.

Le calcul de la suite spectrale variationnelle explique dans la proposition 7 permet de mettreen place cette analogie.

Le complexe donnee par le terme E0,•1 (S) de la suite spectrale variationnelle s’identifie a

la cohomologie du quotient du complexe de de Rham de S par la distribution de Cartan. Cecomplexe est appele complexe de de Rham vertical et sa cohomologie la cohomologie de de Rhamverticale de l’equation S.

Definition 50. Les formes elements de Ωn−1S sont appelees les courants conserves et leurs

classes de cohomologie dans HndR(S) sont les lois de conservations de l’equation S. Les champs

de vecteurs verticaux (quotient des champs de vecteurs par ceux qui preservent la distributionde Cartan), notes TS sont appeles les symetries superieures infinitesimales de l’equation.

On va maintenant preciser la definition des objets secondaires. On peut penser au complexe dede Rham vertical, ou selon les gout, a sa cohomologie, comme a l’espace des fonctions secondairessur l’espace represente par l’equation S.


Definition 51. L’espace des fonctions secondaires est l’espace gradue

C∞(S)• := E0,•1 = H•dR(S)

de cohomologie de de Rham verticale sur S ⊂ J∞(X,Y ). L’espace des p-formes differentiellessecondaires est l’espace gradue

Ωp(S)• := Ep,•1 (S).

Les elements de Ω∗(S)n sont appelees formes variationnelles dans la litterature.On definit aussi un complexe a partir des champs de vecteurs verticaux sur S, donne par

0 → TS → · · · → TS ⊗ Ωq(S) S→ TS ⊗ Ωq+1(S) S→ · · ·

avecS(X ⊗ ω) := S(X) ∧ ω +X ⊗ dω

et S(X)(Y ) := [Y,X].

Definition 52. La cohomologie du complexe TS ⊗ Ω•(S) est appelee espace des champs devecteurs secondaires sur S et notee T •S .

6.6.9 L’espace des phases covariant lagrangien

On se refere a l’article de Vitagliano [Vit08].

Definition 53. Soit π : Y → X un fibre avec X de dimension n. On se donne une sous-varieteH ⊂ J∞(π) (qui donnera typiquement les conditions aux bords pour le probleme variationnel).La donnee d’un triplet (π,H, S) avec S ∈ Hn

dR(H) est appelee une theorie des champs lagran-gienne. L’espace H est appele espace des histoires et l’espace des phases covariant associe est lasous-variete P ⊂ H donnee par l’equation d’Euler-Lagrange correspondante

E(L) = 0.

On supposera maintenant H = J∞(π) mais la definition plus generale ci-dessus est utile pourprendre en compte les donnees au bord necessaires a la definition des integrales fonctionnelles.

On remarque que par definition, si L est une forme verticale representant l’action S, on a

dV L − E(L) = dθ

avec θ ∈ CΩ1(J∞)⊗ Ωn−1(J∞) appelee forme de legendre.

Theoreme 8. (Zuckerman) Il existe une 2-forme differentielle secondaire ω sur P canonique-ment determinee par (π, S).

Demonstration. On pose ω := −i∗E(dV θ) ∈ CΩ2(E) ⊗ Ωn−1(E). On verifie que dω = 0 et que laclasse de ω dans Ω2(P)n−1 ne depend pas du choix de L car deux formes de Legendre differentpar un cobord.

On remarque que si cette forme est non-degeneree (i.e. induit un isomorphisme T •P →Ω1(P)•), elle induit un crochet de Poisson sur les fonctions secondaires C∞(P)•.

6.7. CALCUL DIFFERENTIEL SUR LES ESPACES FONCTIONNELS 101

6.6.10 Calcul differentiel secondaire gradue et champs fermioniques

6.7 Calcul differentiel sur les espaces fonctionnels

6.7.1 Points de vue diffeologique sur les espaces fonctionnels

Ce point de vue est tres proche, en pratique, de celui utilise par les physiciens pour faire ducalcul fonctionnel sur un espace de champs. L’idee, si E est un fibre vectoriel trivial sur l’espacetemps M , est de considerer des familles st de sections de E parametrees par t ∈ [−1, 1] et aderiver F (st) par rapport a t.

Rappelons qu’une variete differentiable M definit un “foncteur des points” M sur la categorieOuv des ouverts de Rn pour n variable par

M(U) := Hom(U,M).

Ce foncteur est en fait un faisceau sur la categorie Ouv et la categorie des varietes se plonge ainsipleinement fidelement dans celle des faisceaux. Ce plongement a aussi le bon gout de respecterles limites projectives (prefaisceaux) et les limites inductives (faisceaux), quand elles existentdans les varietes. La categorie des faisceaux contient toutes les limites et colimites ainsi que deshomomorphismes internes donnes par

Hom(M,N)(U) := HomU (M × U,N × U) = Hom(M × U,N).

Une diffeologie est un tel faisceau. Ceci permet de parler d’espace des fonctions entre deuxvarietes ou de sections d’un fibre. Si on souhaite faire du calcul differentiel, on peut utilisercomme categorie de depart (blocs de base) pour les faisceaux la categorie des algebres de laforme C∞(U)/I avec U ∈ Ouv et I un ideal.

Soit E →M un fibre sur l’espace temps. L’espace des champs est la diffeologie X = Γ(M,E).Si F : Γ(M,E) → R est un morphisme de faisceau sur Ouv (observable reel), on peut ledifferentier en regardant le morphisme

U 7→ [TF (U) : TΓ(M,E)(U) := Γ(M,E)(U [ε]) → Hom(U [ε],R) =: TR(U)]

avec U [ε] donne par l’algebre C∞(U)[ε]/(ε2).

6.7.2 Differentielles de Gateaux

On se place dans le cadre relativement general d’un espace vectoriel topologique localementconvexe X dont la topologie est definie par une famille de semi-normes (pi)i∈I . On pense ici aun espace vectoriel topologique de fonctions, de sections de fibres vectoriels, ou de distributions,eventuellement solutions d’une equation aux derivees partielles, verifiant certaines conditionsau bord. On prend volontairement une notation proche de celle des physiciens. Cette approchepermet de faire du calcul fonctionnel uniquement sur des sections de fibres vectoriels (objetslineaires) car elle necessite une addition sur les fonctions considerees. Pour disposer de deriveespour des fonctionnelles a valeurs reelles sur des espaces d’applications plus generaux, on pourrautiliser les methodes de la section 6.6.8, ou la derivation de Wiener definie dans la section 6.7.3.


Definition 54. Soient (X, (pi)i∈I) et (V, (qj)j∈J) des espaces vectoriels topologiques localementconvexes. Soit F : X → V une application et f, g ∈ X deux vecteurs. La derivee de Gateaux deF en f le long de g (appelee aussi derivee fonctionnelle de F en f dans la direction de g) est lalimite

δF

δg[f ] := lim

ε→0

F (f + ε.g)− F (f)ε

.

Si cette limite existe pour tout g ∈ X, on dit que F est Gateaux differentiable en f dedifferentielle

〈δF [f ], .〉 : X → V

donnee par 〈δF [f ], g〉 := δFδg (f). Si 〈δF [f ], .〉 est lineaire, on l’appelle la derivee de Gateaux.

On peut notamment appliquer ceci aux espaces de fonctions test X = C∞c (Rn) et X = S(Rn)(munis de la topologie donnee par la famille usuelle de seminormes) ainsi qu’aux espaces dedistributions (munis de la topologie donnees par les seminormes ‖.‖ϕ : D 7→ |〈F,ϕ〉|). Ainsi, laderivee de Gateaux d’une fonctionnelle F : S ′(Rn) → R le long de la distribution de Dirac δx(qu’on trouve souvent dans les livres de physique), si elle existe, definit une application

〈δF [.], δx〉 : S ′(Rn) → R,

associant par exemple a chaque fonction localement integrable ϕ une derivee

〈δF [ϕ], δx〉 =δF

δ(δx)(ϕ) ∈ R

de F en ϕ le long de la distribution de Dirac, notee par les physiciens δF (ϕ(y))δ(ϕ(x)) .

Exemple 3. Si on considere par exemple la fonctionnelle F = evx : S(Rn) → R donnee parl’evaluation f 7→ f(x), on a

δF

δg[f ] := lim

ε→0

F (f + ε.g)− F (f)ε

= limε→0

f(x) + ε.g(x)− f(x)ε

= g(x)

donc pour tout f ∈ S(Rn) la derivee fonctionnelle de F en f existe est vaut

〈δF [f ], .〉 = 〈F, .〉.

On voit ici que la derivee fonctionnelle n’a rien a voir avec la derivee des distributions car memesi F = δx, on a

〈δF [f ], g〉 = 〈F, g〉 = g(x) 6= g′(x) = δ′x(g).

On remarque aussi que la fonction F = evx ne s’etend pas aux distributions temperees et qu’onne peut donc pas calculer la derivee fonctionnelle de F le long de δx, notee δF

δ(δx)car F (δx) =

evx(δx) n’est pas bien definie. C’est une des explications de l’apparition d’infinis dans les calculsd’integrales fonctionnelles, ce qui impose la renormalisation desdites integrales.

6.7. CALCUL DIFFERENTIEL SUR LES ESPACES FONCTIONNELS 103

Exemple 4. Soit L : [a, b]×Rn×Rn → R une fonction des variables notees (t, x,.x) ∈ R×Rn×Rn

et X ⊂ C∞s,e([a, b],Rn) l’espace des chemins x : [a, b] → Rn d’extremites fixees s = x(a) ete = x(b), muni de sa topologie de frechet (cette situation s’appelle un probleme variationnellagrangien pour des chemins dans Rn). Considerons la fonctionnelle d’action S : X → R donneepar

S(x) :=∫ b

aL(t, x(t),∇x(t)).

Pour x, u ∈ X avec u(a) = u(b) = 0, on a alors, par derivation sous l’integrale et integrationpar parties, les egalites

〈δF [x], u〉 := limε→0

F (x+ ε.u)− F (x)ε

=∫ b

a

[∂F

∂x(t, x(t),∇x(t)).u(t) +

∂F

∂.x

(t, x(t),∇x(t)).∇u(t)]dt

=∫ b

a

[∂F

∂x(t, x(t),∇x(t))− d

dt

(∂F

∂.x

(t, x(t),∇x(t)))]

.u(t)dt.

On a ainsi obtenu l’egalite

δF [x] =∂F

∂x(t, x(t),∇x(t))− d

dt

(∂F

∂.x

(t, x(t),∇x(t))),

et x est un extremum de F si et seulement si δF [x] = 0, ce qui est l’equation d’Euler-Lagrangequi donne les extremales de l’action S.

Definition 55. Soit X ⊂ S ′(Rn) un ensemble fini de distributions et F : S(Rn) → C unefonctionnelle definie par une serie formelle F =

∑n∈NX anX

n ∈ C X convergente dansS ′(Rn). L’operateur de derivation fonctionnelle correspondant sur les fonctionnelles G sur S ′(Rn)est donne par

F

(δ

δX

):=

∑n∈NX

an

(δ

δX

)n.

On remarque que cette definition impose que F et G soient toutes les deux des fonctionnellesdes distributions. Dans la pratique, la fonctionnelle a deriver est plutot une fonctionnelle surS(Rn), ce introduit des difficultes car le calcul de sa derivee fonctionnelle impose de l’etendreaux distributions. Si par exemple X ne contient qu’une distribution notee x et F = x, on obtient,par application a une fonction G, la fonctionnelle

F

(δ

δx

)(G) =

δG

δx

qui associe a une distribution f la limite

δG

δx(f) = lim

ε→0

G(f + εx)−G(f)ε

.


6.7.3 Derivation de Wiener

Soit X un espace topologique (on pense par exemple a l’espace des sections locales d’un fibreprincipal sous un groupe de Lie sur une variete differentiable) et (V, (pi)i∈I) un espace vectorieltopologique localement convexe (souvent, on a simplement V = R). Soit F : X → V uneapplication. On note WX,F l’espace des applications continues c : R → X telles que F c : R → Vsoit differentiable en 0.

La differentielle de Wiener de F est l’application

δF : WX,F → V

qui envoie un chemin c sur

δcF := limt→0

(F c)(t)− (F c)(0)t

.

On remarque que si X est un espace localement convexe et F est Gateaux differentiable en f ,on a une injection naturelle

if : X →WX,F

donnee par les chemins lineaires if (g) : t 7→ f + t.g le long de g et passant par f en t = 0, et ladifferentielle de Wiener contient la differentielle de Gateaux car on a alors par definition

δif (g)F =δF

δg[f ].

6.8 Formalisme multisymplectique

On va presenter la construction du crochet de Peierls dans le cas d’une theorie lagrangienned’ordre 1 sur un fibre vectoriel (particules de matiere), en utilisant le formalisme multisymplec-tique. On se refere a l’article de Forger et Romero [FR05] ainsi qu’au survol [GIMM98] pour desreferences plus precises.

6.8.1 Operateur d’Euler-Lagrange

Soit M une variete et π : E → M une fibration localement triviale. L’espace J1E :=J1π(M,E) des jets d’ordre 1 de sections de E est un fibre affine sur E homogene sous le fibre

vectoriel T ∗M ⊗ V E avec V E ⊂ TE l’espace des vecteurs tangents verticaux, defini comme lenoyau de la differentielle Dπ : TE → TM .

On va noterJ1E := HomAff/E(J1E, π∗(∧nT ∗M))

l’espace des applications affines relatives de base E des jets de sections de E dans les formesdifferentielles sur T ∗M . Cet espace s’appelle l’espace des multiphases etendu.

C’est un espace affine homogene sous le fibre vectoriel

T ∗M ⊗ V E ⊗ π∗(∧nT ∗M)

6.8. FORMALISME MULTISYMPLECTIQUE 105

de base E.Un lagrangien d’ordre 1 est un morphisme d’espaces fibres sur E

L : J1E → π∗(∧nT ∗M).

La transformee de Legendre est le morphisme

FL : J1E → J1E

d’espaces fibres sur E encodant le developpement de Taylor au premier ordre de L le long desfibres, defini pour γ ∈ J1

eE par l’application relativement affine sur E de J1E vers π∗(∧nT ∗M)donnee par

FL(γ).κ := L(γ) +d

dλL(γ + λ(κ− γ)||λ=0 pour κ ∈ J1E.

On dispose sur l’espace des multiphases etendu J1E d’une forme canonique θ ∈ Ωn et d’uneforme symplectique ω ∈ Ωn+1 donnee par ω = −dθ. Definissons precisement θ en suivant l’article[GIMM98]. On note Λ le fibre ∧n+1T ∗E sur E. On considere le sous-fibre Z ⊂ Λ de base E dontla fibre en e ∈ E est donnee par

Zy = z ∈ ∧n+1T ∗E | iviwz = 0 pour tous v, w ∈ VyY

ou iv designe l’insertion a gauche du champ de vecteur v. On definit une application Φ : Z →J1E par

〈Φ(z), γ〉 = γ∗z ∈ ∧n+1x T ∗M

avec z ∈ Ze, γ ∈ J1yE, x = π(e) et 〈., .〉 est l’accouplement de dualite affine. L’application ainsi

construite est un isomorphisme (voir loc. cit.) comme on peut le verifier en coordonnees. La(n+ 1)-forme canonique θΛ sur Λ est definie par

θΛ(z)(u1, . . . , un+1) = (π∗Λ,Ez)(u1, . . . , un+1),

ou z ∈ Λ et u1, . . . , un+1 ∈ TzΛ. On utilise ensuite l’inclusion i : Z → Λ et l’isomorphismeΦ−1 : J1E → Z pour definir la (n+ 1)-forme canonique sur J1E par

θ = (i Φ−1)∗θΛ.

On obtient les formes de Poincare-Cartan sur J1E en tirant ces formes le long de la trans-formee de Legendre FL : J1E → J1E pour obtenir

θL := FL∗θ et ωL := FL∗ω.

On note V E := HomAff/E(V E, π∗(∧nT ∗M)) le dual affine de l’espace des vecteurs verticauxV E ⊂ TE.

Definition 56. L’operateur d’Euler-Lagrange associee a la densite Lagrangienne L est l’appli-cation

DL : J2E → V E


de fibres vectoriels sur J1E qui associe a chaque 2-jet de E sur M et chaque champ de vecteurvertical V sur E la n-forme sur M definie par

DL(ϕ, ∂ϕ, ∂2ϕ).V = (ϕ, ∂ϕ)∗(iV ′ωL)

ou V ′ est un champ de vecteur vertical sur J1E qui se projette sur le champ de vecteur vertical Vdonne sur E. On remarque que ϕ est une solution de l’equation d’Euler-Lagrange si et seulementsi DL(ϕ, ∂ϕ, ∂2ϕ) est nul.

6.8.2 Champs de Jacobi dans le formalisme multisymplectique

On definit tres brievement l’operateur de Jacobi. Les details de cette construction ainsi quedes calculs en coordonnees sont disponibles dans l’article de Forger et Romero [FR05].

L’operateur de Jacobi est un operateur differentiel lineaire du second ordre

JL[ϕ] : Γ(ϕ∗V E) → Γ(ϕ∗V E)

obtenu en linearisant l’operateur d’Euler-Lagrange DL autour d’une solution donnee ϕ ∈ Γ(E)des equations du mouvement, i.e., un champ ϕ verifiant

DL(ϕ, ∂ϕ, ∂2ϕ) = 0.

On considere pour chaque λ ∈ R petit variation ϕλ de ϕ. L’evaluation de DL(ϕλ, ∂ϕλ, ∂2ϕλ)pour chaque λ est une section de ϕ∗λV

E. On pose alors δϕ = ∂∂λϕλ

∣∣λ=0

. On a δϕ ∈ ϕ∗V E.On dispose d’une projection canonique

σ : VM (V E)|0 → V E

du tire en haut le long de la section nulle 0 : M → E du fibre vertical relatif a la projectionV E →M sur V E.

Si ϕ est une solution de l’equation d’Euler-Lagrange, l’operateur de Jacobi en ϕ est definipar

JL[ϕ].δϕ := σ

(∂

∂λDL(ϕλ, ∂ϕλ, ∂2ϕλ)

∣∣∣∣λ=0

)6.8.3 L’espace des phases covariant

Cette section est redigee de maniere tres succinte et le lecteur est invite a se referer a l’articlede Forger et Romero [FR05] qui l’a inspire pour plus de details.

On pense a l’espace des phases covariant P comme le sous-ensemble de l’espace des histoires H(champs quelconques ou avec des conditions au bord) donne par les points critiques de l’action :

P = ϕ ∈ H|S′[ϕ] = 0.

Formellement, on peut penser a P comme la “sous-variete” de H dont l’espace tangent en unpoint ϕ ∈ P est le sous-espace TϕP de TϕH donne par les solutions des equations du mouve-ment linearisees (ou la linearisation est faite autour d’une solution donnee ϕ des equations du

6.8. FORMALISME MULTISYMPLECTIQUE 107

mouvement), qu’on definit precisement comme les section de ϕ∗V E qui sont dans le noyau del’operateur de Jacobi J [ϕ] : Γ(ϕ∗V E) → Γ(ϕ∗V E) :

TϕP := ker J [ϕ].

On suppose maintenant que les champs de Jacobi forment un systeme d’operateurs differentielshyperboliques du second ordre. Ceci garantit l’existence et l’unicite des fonctions de Greenavancees et retardees G±ϕ verifiant

Jx[ϕ].G±ϕ (x, y) = δ(x, y)

Ces fonctions s’annulent respectivement dans le cone de passe et d’avenir, i.e., verifientG±ϕ (x, y) =0 pour x /∈ (C±(y))c. La fonction de Green causale aussi appelee propagateur est donnee par

Gϕ = G−ϕ −G+ϕ .

Elle verifie les equations de Jacobi homogenes

Jx[ϕ].Gϕ(x, y) = 0, Jy[ϕ].Gϕ(x, y) = 0.

On souhaite ensuite definir les analogues des champs de vecteurs hamiltoniens dans ce contextecovariant. Ce sont les solutions (distributionnelles)XF [ϕ] des equations de Jacobi non homogenes

J [ϕ].XF [ϕ] = F ′[ϕ]

avec F : P → R une fonctionnelle (lisse et locale en temps) sur l’espace des phases covariant.Pour eliminer l’ambiguite de cette equation qui vient du fait que la derivee fonctionnelle F ′[ϕ]est dans l’espace T ∗ϕP, qui est seulement un espace quotient de l’image de l’operateur de Jacobidans l’espace T ∗ϕH, on etend la fonctionnelle F en une fonctionnelle F sur l’espace des histoiresH, dont la derivee fonctionnelle F ′[ϕ] appartient a l’espace T ∗ϕH := Γ(ϕ∗V E). Les fonctionsde Green introduites ci-dessus permettent d’associer a chaque solution ϕ ∈ P des equations dumouvement des sections (distributionnelles) X±

F[ϕ] qui satisfont les equations

J [ϕ].X±F

[ϕ] = F ′[ϕ]

ainsi que XF [ϕ] satisfaisant l’equation

J [ϕ].XF [ϕ] = 0.

Le point est que XF ne depend pas de l’extension F de F a H et qu’on peut donc le noter XF .Ce champ de vecteur formel joue le role du champ hamiltonien associe a la fonctionnelle F surl’espace des phases covariant P. Plus precisement, on peut l’utiliser pour ecrire le crochet dePoisson entre deux fonctionnelles F et G sur P par

F,G[ϕ] = F ′[ϕ].XG[ϕ] = −G′[ϕ].XF [ϕ].

Ce crochet est bien defini modulo certaines hypotheses de support et de localite pour F et Gque nous ne donnerons pas ici.


C’est essentiellement le meme crochet que celui defini par Peierls [Pei52] et etudie en detailspar Dewitt [DeW03], [DDM04]. Une des propriete inherente a ce crochet est qu’il est de naturedynamique par construction : le crochet entre deux fonctionnelles depend de la dynamiquesous-jacente des champs. Dans le cas ou les equations du mouvement son lineaires, l’operateurde Jacobi et la fonction de Green causale ne depend pas de la solution ϕ des equations dumouvement.

On remarque enfin que le point de vue de la suite spectrale variationnelle sur l’espacedes phases covariant donne dans la section 6.6.9 (et celui des formes differentielles locales deZuckerman-Witten-Crnkovic [Zuc87]) sur le crochet de Poisson est tres proche de celui proposeici.

6.9 Groupes algebriques lineaires

6.9.1 Structure des groupes algebriques

On utilisera ici uniquement des groupes algebriques affines. On notera maintenant R un desanneaux Q, R ou C. Le fait d’utiliser des groupes reels non scindes (par exemple le groupespinoriel Spin(3, 1)R tres utilise dans la description des particules elementaires) rend necessairele travail avec des groupes algebriques sur des corps non algebriquement clos. On choisit volon-tairement d’utiliser la methode qui nous semble la plus precise tout en etant tres flexible pourexpliquer cette situation, en suivant les references [DG62], [Wat79] et [Spr98]. Ce point de vueabstrait pourra cependant etre avantageusement remplace par un lecteur aimant la simplicitepar la theorie habituelle des groupes et algebres de Lie tels qu’ils sont presentes par exempledans la reference [Bou75].

Definition 57. Un groupe algebrique (affine) est la donnee d’un anneaux commutatif unitaireAG tel que le foncteur (appele foncteur des points du groupe)

G : (Anneaux) → (Ens)B 7→ Hom(Anneaux)(AG, B)

factorise par la categorie (Grp) des groupes. Si on remplace la categorie des anneaux par lacategorie des R-algebres, on obtient la notion de groupe algebrique sur R. Un morphisme degroupe algebrique est un morphisme de foncteur a valeurs dans les groupes (ce qui est equivalenta un morphisme d’algebres induisant des morphismes de groupes sur les points) et on note(Gralg) la categorie ainsi obtenue.

Le groupe algebrique le plus connu est le groupe GLn,R des matrices inversibles. C’est legroupe associe a l’algebre

AGLn := Z[X,Y ]/(XY = Y X = I)

avecX = (Xi,j)1≤i,j≤n et Y = (Yi,j)1≤i,j≤n deux familles de variables representant les coefficientsmatriciels de deux matrices abstraites. Ses points sont donnes par

GLn(A) = (X,Y ) ∈Mn(A)|XY = Y X = I.

6.9. GROUPES ALGEBRIQUES LINEAIRES 109

Une representation d’un groupe algebrique G est un morphisme de groupes algebriques G →GLn. Plus generalement, si V est un R-module libre, on definit

GL(V ) := GSymR(End(V )2)/(XY=Y X=I)

et une representation de G, appelee aussi G-module, est un morphisme

G→ GL(V )

avec V module libre de rang fini.On definit aussi le groupe additif Ga par AGa := R[X]. Ses points dans un anneaux A

donnent l’ensemble A muni de sa loi d’addition.

Definition 58. Un groupe algebrique est dit reductif si la categorie de ses representations surdes R-modules libres est semi-simple, i.e., toute suite exacte

0 → U → V →W → 0

de G-modules est scindee, i.e., induit une decomposition en somme directe

V ∼= W ⊕ U.

Un groupe algebrique est dit unipotent s’il est extension successive de groupes additifs. UnG-module simple est un G-module qui ne contient pas de sous-module non trivial.

On remarque que si G est un groupe reductif, un G-module qui ne peut s’ecrire commesomme de deux sous-modules (on dit qu’il est irreductible) est automatiquement simple. End’autres termes, un G-module est simple si et seulement s’il est irreductible.

Un tore est un groupe algebrique T sur R qui, s’il est etendu a une extension algebrique Sde R par ATS := AT ⊗R S, devient isomorphe a GLn1 (on dit que le tore se scinde sur S).

Soit T un tore. Son groupe de caracteres est le foncteur

X∗(T ) : (Anneaux) → (Grp)B 7→ Hom(Gralg)(TB,GL1,B)

a valeur dans la categorie des groupes abeliens et son groupe de cocaracteres est le foncteur

X∗(T ) : (Anneaux) → (Grp)B 7→ Hom(Gralg)(GL1,B, TB).

On dispose d’un accouplement parfait

〈., .〉 : X∗(T )×X∗(T ) → Z

donne par (r, s) 7→ rs avec Z le foncteur qui associe a une algebre A =∏Ai produit d’algebres

simples Ai le groupe Z.

Lemme 1. Si T = GLn1 , une representation T → GL(V ) se decompose en somme de caracteres :V ∼= ⊕χi avec χi ∈ X∗(T ).


L’algebre de Lie du groupe G est le foncteur

Lie(G) : (Anneaux) → (Grp)B 7→ X ∈ Hom(Anneaux)(AG ⊗B,B[ε]/(ε2)|X mod ε = I.

On peut penser a ses elements comme des points I + εX ∈ G(B[ε]/(ε2)) ou X joue le role d’unvecteur tangent a G en l’identite. Elle est munie d’une operation naturelle appelee crochet deLie

[., .] : Lie(G)× Lie(G) → Lie(G)

donnee pour X ∈ G(R[ε1]/(ε21)) et Y ∈ G(R[ε2]/(ε22)) par le commutateur

XYX−1Y −1 = I + ε1ε2[X,Y ] ∈ G(R[ε1ε2]/(ε1ε2)2) ∼= G(R[ε]/(ε2)).

On dispose d’une action du groupe G sur son algebre de Lie appelee action adjointe

ρad : G→ GL(Lie(G))

definie parg 7→

[X ∈ G(R[ε]/(ε2)) 7→ g−1Xg ∈ G(R[ε]/(ε2))

].

Elle est aussi munie d’une structure naturelle de module sur l’anneau A (espace affine sur R) depoints A(B) = B pour laquelle le crochet de Lie est lineaire.

Proposition 8. Soit G un groupe reductif. La famille des sous-tores T ⊂ G admet des elementsmaximaux, qu’on appelera les tores maximaux de G.

Le premier theoreme de structure nous donne un devissage des groupes affines generaux engroupes unipotents et groupes reductifs.

Theoreme 9. Soit P un groupe algebrique affine. Il existe un plus grand sous-groupe distingueunipotent RuP de P appele radical unipotent de P et le quotient P/RuP est reductif.

Pour etudier en details la structure des groupes reductifs, on definit des invariants du groupeappeles racines.

Definition 59. Soit G un groupe reductif et T un tore maximal de G. Les racines du groupe(G,T ) sont les poids de T dans la representation adjointe de G sur son algebre de Lie. Plusprecisement, elles forment un sous-foncteur du groupe X∗(T ) des cocaracteres dont les pointssont

R∗ = χ ∈ X∗(T )| ρad(t)(X) = χ(t).X.Les coracines R∗ ⊂ X∗(T ) sont les cocaracteres duaux des racines pour l’accouplement naturelentre caracteres et cocaracteres de T . Le quadruplet Φ(G,T ) = (X∗(T ), R∗, X∗(T ), R∗, 〈., .〉) estappele la donnee de racine du couple (G,T ).

Le theoreme central de la theorie de classification des groupes reductifs dit que le systeme deracines determine le groupe et que tout systeme de racine (non tordu) vient d’un groupe reductif(dont le tore maximal est scinde). On ne va pas rentrer en details dans la theorie des systemesde racines abstraits donc on enonce seulement la premiere partie du theoreme de classification.

Theoreme 10. Le foncteur (G,T ) 7→ Φ(G,T ) des groupes reductifs dans les donnees de racinesest conservatif : si deux groupes ont meme donnee de racine, ils sont isomorphes.

6.9. GROUPES ALGEBRIQUES LINEAIRES 111

6.9.2 Representations des groupes algebriques reductifs

Ordre sur les racines, reseau des poids, voir l’article de Borel.

6.9.3 Algebre de Clifford et groupes spinoriels

Ce paragraphe est traite en detail dans le livre des involutions [KMRT98]. La motivationphysique de l’etude de l’algebre de Clifford est la necessite de fabriquer une racine carree dulaplacien (ou plutot du D’Alembertien), comme l’explique tres bien Penrose [Pen05], section24.6.

Soit A un anneau commutatif unitaire, M un A-module et q ∈ Bilsym(M,M ;A) une formeA-bilineaire symetrique sur M×M a valeurs dans A. L’algebre de Clifford Cliff(M, q) de l’espacebilineaire (M, q) est la A-algebre associative unitaire universelle contenant M et dans laquelle qest la multiplication des vecteurs de M . Plus precisement, elle verifie la propriete universelle

HomA−alg(Cliff(M, q), B) ∼= j ∈ HomA−Mod(M,B)|j(v).j(w) = q(v, w).1B

pour toute A-algebre associative B.On montre facilement que Cliff(M, q) est le quotient de l’algebre tensorielle T (M) par l’ideal

bilatere engendre par les expressions de la forme m⊗ n− q(m,n).1 avec m,n ∈M .On suppose maintenant que A = K est un corps de caracteristique nulle et que la forme

bilineaire q est non degeneree (i.e. induit un isomorphisme M →M∨ de M avec son dual). Ona alors dimK(Cliff(M, q)) = 2dimKM . L’automorphisme α : M →M donne par m 7→ −m induitun automorphisme α : Cliff(M) → Cliff(M) tel que α2 = id. On en deduit une decomposition

Cliff(M, q) = Cliff0(M, q)⊕ Cliff1(M, q).

Le groupe de Clifford de (M, q) est le groupe

Γ(M, q) := c ∈ Cliff(M, q)×|cvα(c)−1 ∈ v for all v ∈M.

On a par definition une action naturelle (par conjugaison) de ce groupe sur M qui induit unmorphisme

Γ(M, q) → O(M, q).

Le groupe de Clifford special de (M, q) est le sous-groupe Γ+(M, q) des elements pairs dansΓ(M, q) donne par

Γ+(M, q) = c ∈ Cliff(M, q)×0 |cvα(c)−1 ∈ v for all v ∈M.

L’algebre tensorielle T (M) est naturellement munie d’un anti-automorphisme donne parm1 ⊗ · · · ⊗ mk 7→ mk ⊗ · · · ⊗ m1 sur la composante de degre k. L’ideal bilatere definissantl’algebre de Clifford etant stable par cet anti-automorphisme (car q est symetrique), on obtientun anti-automorphisme de Cliff(M, q) appele la transposition et note c 7→t c. Le groupe spinorielest le sous-groupe de Γ+(M, q) defini par

Spin(M, q) = c ∈ Γ+(M, q)| tcc = 1.


On dispose d’une action naturelle (par multiplication) de Spin(M, q) sur leK-espace vectorielCliff(M, q) qui commute a l’idempotent α : Cliff(M, q) → Cliff(M, q) et se decompose donc endeux representations Cliff0(M, q) et Cliff1(M, q).

La structure des algebres de Clifford paires est donnee par le theoreme suivant, qu’on peuttrouver dans le livre des involutions [KMRT98], page 88.

Theoreme 11. Soit K un corps et (M, q) un espace quadratique non degenere. Si dim(M) = 2mest pair, le centre de Cliff0(M, q) est une K-algebre Z etale de degre 2 (i.e., une extensionquadratique de K ou K×K). Si Z est un corps, Cliff0(M, q) est une algebre centrale simple surZ de degre 2m−1. Si Z ∼= K ×K, Cliff0(M, q) est un produit direct de deux algebres centralessimples sur K de degre 2m−1.

On peut aussi comprendre la structure des algebres paires en se placant sur un corpsalgebriquement clos. Sur un tel corps, un espace quadratique (M, q) avec M de dimension 2mest isomorphe a un espace quadratique hyperbolique de la forme (H(U), qh) avec U un espacede dimension m, U∗ sont dual et H(U) = U ⊕U∗ son espace quadratique hyperbolique muni dela forme qh(v ⊕ ω) = ω(v). Dans ce cas, on montre facilement que

Cliff0(H(U), qh) ∼= End(∧U).

Dans le cas particulier de la forme Lorenzienne q(t, x) = −c2t2 + x2 sur l’espace de Min-kowski M = R3,1, le centre Z de Cliff0(M, q) s’identifie a C/R et l’algebre Cliff0(M, q) estl’algebre ResC/RM2,C des matrices complexes vue comme algebre sur R. Le groupe Spin(3, 1) :=Spin(M, q) s’identifie alors au groupe ResC/RSL2,C des matrices complexes de determinant 1 vucomme groupe sur R. On a une representation naturelle de ResC/RM2,C sur ResC/RC2 et c’estcette representation de Spin(3, 1) qu’on va appeler la representation spinorielle. Son extensiona C se decompose en deux representations isomorphes a C2 et echangees par la conjugaisoncomplexe. Ces deux representations sont appelees les representations demi-spinorielles.

Pour une explication detaillee de la maniere de relier Spin(3, 1) a SL2,C, on se refere aDerdzinski [Der92]. Pour un point de vue plus concret et motive, on consultera avec plaisir lasection 24.6 du livre de Penrose [Pen05].

6.10 Categories : la covariance en mathematiques

6.10.1 Categories et foncteurs

La notion de categorie est un outil mathematique tres pratique pour encoder la notion decovariance physique. On peut considerer que si un objet mathematique de la physique est donnepar une propriete universelle, sa definition est covariante au sens des physiciens. Le langagedes categories est donc aux mathematiciens ce qu’est l’homogeneite (a une masse, a une vi-tesse) des valeurs physiques si chere aux physiciens. Nous prendrons donc pour parti d’utilisersystematiquement ce langage.

Definition 60. Une categorie C est la donnee

1. d’une classe Ob(C) dont les elements sont appeles les objets de C.

6.10. CATEGORIES : LA COVARIANCE EN MATHEMATIQUES 113

2. pour chaque paire (X,Y ) d’objets de C, d’un ensemble Hom(X,Y ) appele ensemble demorphismes. On note ses elements f : X → Y .

3. pour chaque objet X de C, d’un morphisme particulier idX ∈ Hom(X,X) appele identitede X.

4. pour chaque triplet (X,Y, Z) d’objets de C, les paires (f, g) ∈ Hom(X,Y ) × Hom(Y, Z)sont appeles morphismes composables et on se donne une application

Hom(X,Y )×Hom(Y, Z) → Hom(X,Z)(f, g) 7→ g f

appelee composition.

On impose que la composition de morphismes composables soit associative :

(f g) h = f (g h)

et que le morphisme identique soit une unite pour la composition, i.e., si f : X → Y est unmorphisme, on a f idX = f et idY f = f . On definit alors un isomorphisme f : X → Y commeun morphisme inversible pour la composition, c’est a dire pour lequel il existe g : Y → X telque g f = idX et f g = idY .

Il n’y a pas de raison de differentier deux objets d’une categorie s’ils sont isomorphes. Onpeut aussi considerer que les morphismes sont un moyen de comparer les objets entre eux. Lesexemples de categories bien connues de tous sont nombreux :

– la categorie (Ens) des ensembles dont les objets sont les ensembles et les morphismes sontles application.

– la categorie (Grp) des groupes donc les objets sont les groupes et les morphismes sont lesapplications.

– la categorie (Top) des espaces topologiques dont les objets sont les espaces topologiqueset les morphismes les applications continues.

– la categorie (Anneaux) des anneaux commutatifs unitaires muni des morphismes d’an-neaux unitaires.

Une foi definie la notion de categorie, on peut se poser la question de comparer les categoriesentre elles, c’est a dire de definir une notion de morphisme entre categories. On aboutit alors ala notion de foncteur.

Definition 61. Soit C et D deux categories. Un foncteur F : C → D est la donnee

1. Pour chaque objet X de C, d’un objet F (X) de D.

2. Pour chaque morphisme f : X → Y de C, d’un morphisme F (f) : F (X) → F (Y ).

On suppose de surcroit que F respecte la composition et l’identite, i.e.,

1. si f et g sont deux morphismes composables, on a l’egalite F (f g) = F (f) F (g),

2. F (idX) = idF (X).


Les foncteurs les plus simples sont les foncteurs d’oubli de structure. Par exemple, on aun foncteur d’oubli (Top) → (Ens) (resp. (Grp) → (Ens), resp. (Anneaux) → (Ens))qui associe a un espace topologique (resp. un groupe, resp un anneau commutatif unitaire)l’ensemble sous-jacent. On va voir dans la suite que la plupart des constructions (covariantes)d’objets mathematiques peuvent-etre considerees comme des foncteurs.

On peut aussi comparer les foncteurs entre eux, en definissant des morphismes entre fonc-teurs, qu’on appelle transformations naturelles (qui elle aussi sont comparables entre elles, etainsi de suite...). On remarque que ces nouveaux types de morphismes ne forment plus des en-sembles et que les foncteurs munis de ces morphismes ne forment donc pas une categorie au sensstrict du terme. On negligera ce probleme dans la suite.

Definition 62. Soit F,G : C → D deux foncteurs. Une transformation naturelle ϕ : F → G estla donnee

1. Pour chaque objet X de C d’un morphisme ϕX : F (X) → G(X).2. Pour chaque morphisme f : X → Y dans C d’un morphisme ϕ(f) : ϕX → ϕY entre

morphismes, i.e. d’un diagramme commutatif dans la categorie D de la forme

F (X)ϕX //

ϕF (f)

G(X)

ϕG(f)

F (Y )

ϕY // G(Y ).

Ces donnees etant aussi compatibles a la composition et au morphisme identique. On note(Fonct)(C,D) la “categorie” dont les objets sont les foncteurs F : C → D et donc lesmorphismes Hom(F,G) sont les transformations naturelles.

6.10.2 Proprietes universelles et foncteurs representables

Les categories peuvent-etre considerees comme un outil pour comparer entre eux les objetsmathematiques (en utilisant les morphismes). Dans cette perspective, on peut considerer que sil’on sait comparer un objet A d’une categorie C a tous les autres objets de C, on connait l’objetA a isomorphisme unique pres. C’est cet enonce, appele lemme de Yoneda, qui est a la base dela notion de propriete universelle.

Si C est une categorie, on note C∨ la categorie (Fonct)(C, (Ens)) donc les objets sont lesfoncteurs F : C → (Ens).

Lemme 2. (Yoneda) Soit A un objet de la categorie C. Le foncteur

FA := Hom(A, .) : C → C∨

U 7→ FA(U) := Hom(A,U)

f : U → V 7→[

Hom(A, f) : Hom(A,U) → Hom(A, V )g 7→ f g

]est pleinement fidele, i.e., l’application induite

Hom(U, V ) → Hom(FA(U), FA(V ))

pour toute paire (U, V ) d’objets de C est bijective.


On peut traduire cet enonce en disant que la connaissance d’un objet d’une categorie estequivalente a la connaissance des ensembles de morphismes de cet objet dans tous les autresobjets de ladite categorie et de leurs compatibilites. On peut maintenant enoncer l’adage deGrothendieck :

Les objets mathematiques en eux meme n’ont pas d’importance :ce qui compte, ce sont les relations qu’ils entretiennent,

i.e., les morphismes.

Definition 63. Une propriete universelle pour un objet A d’une categorie C est la donnee d’unfoncteur explicite F : C → (Ens) et d’un isomorphisme de foncteur

ϕ : F ∼→ FA = Hom(A, .).

On dit alors que l’objet A represente le foncteur F .

Pour illustrer l’utilisation de ces methodes, on peut definir differents objets mathematiquesen donnant leur propriete universelle :

1. l’ensemble vide est l’objet initial de la categorie (Ens) des ensembles : l’ensemble Hom(∅, X)est reduit a l’inclusion F∅(X) = ∅ ⊂ X pour tout ensemble X.

2. l’ensemble a un element 1 (le point) est l’objet final de la categorie (Ens) : Hom(X, 1) =F1(X) = pX : x 7→ 1 est aussi reduit a un element donne par la projection naturelle.

3. l’anneau des entiers Z est l’objet initial de la categorie (Anneaux) : Hom(Z, A) = FZ(A) =i : Z → A est reduit au morphisme canonique donne par i(n.1) = n.1A.

4. l’anneau nul 0 est l’objet final de la categorie des anneaux : Hom(A, 0) = F0(A) = 0 :A→ 0.

5. l’anneau norme (R, |.| : R → R+) est la completion de l’anneau norme (Q, |.| : Q → R+) :les homomorphismes bornes d’anneaux normes de (R, |.|) dans un anneau norme complet(A, |.|) sont identifies aux homomorphismes d’anneaux normes de Q dans cet anneau normecomplet (remarquons que le semi-anneau ordonne R+ utilise dans cette definition peut luiaussi etre defini par une propriete universelle faisant intervenir la notion de completionpour la borne superieure).

6. l’espace vectoriel norme (L2(R,C), ‖.‖2) est la completion de l’espace vectoriel norme(Cc(R,C), ‖.‖2) des fonctions continues a support compact sur R a valeurs complexes

pour la norme ‖f‖2 =√∫

R |f(x)|2dx.

Le lemme de Yoneda permet donc de considerer que tout objet mathematique peut-etredefini par une propriete universelle. L’avantage evident de ce type de definition est qu’elle permetexactement de dire ce qu’on peut faire avec ledit objet mathematique, alors qu’une definition“a la main” ne met pas en evidence les limites implicites mises a l’utilisation de ce dernier.

6.10.3 Geometrie virtuelle et espaces de modules

De nombreux objets geometriques de la physique ont une structure riche mais ne peuvent etreconsideres comme des varietes car leurs proprietes naıve ont un mauvais comportement : varietes


de dimension infinie, espace ne possedant pas de structure naıve de variete, etc... La geometrievirtuelle, inventee par Grothendieck pour les besoins de la geometrie algebrique, permet deremedier partiellement a ces problemes de definitions. Voici comment on procede :

Soit (ModLoc) une categorie appelee categorie des modeles locaux. On prendra par exemplela categorie des ouverts differentiables dont les objets sont des ouverts U ⊂ Rn avec n variableet dont les morphismes sont les applications infiniment differentiables f : U → V entre iceux (ouencore celle des ouverts differentiables mesures dont les objets sont les couples (U, µ) formes d’unouvert U de Rn et de la mesure induite par l’inclusion, et les morphismes sont les applicationsmesurees, c’est a dire qui preservent la mesure). Prenons le cas ou (ModLoc) est la categoriedes ouverts differentiables.

Une variete differentiable S comme definie precedemment definit alors un foncteur

S : (ModLoc) → (ModLoc)∨

par U 7→ C∞(U, S) appele foncteur des points de S a valeurs dans les modeles locaux. Lerecouvrement de

∐i Ui → S de S par un atlas de modeles locaux permet de montrer que la

variete S est uniquement determinee par le foncteur S. Ce foncteur verifie d’ailleurs une proprieterelativement fine : c’est un faisceau sur la categorie (ModLoc) pour ce qu’on appelle unetopologie de Grothendieck (dont les recouvrements sont donnes par les recouvrements ouverts).

Un foncteur plus general M de (ModLoc)∨ pourra ainsi, s’il verifie la propriete d’etre unfaisceau pour la topologie ouverte, etre considere comme une “variete virtuelle” ayant les objetsde (ModLoc) comme modeles locaux.

Definition 64. Une variete virtuelle sur une categorie ((ModLoc), τ) munie d’une topologiede Grothendieck est un foncteur S de (ModLoc)∨ qui est un faisceau pour la topologie τ .

La force de cette construction est que la plupart des proprietes et invariants d’une varietedonnee S peuvent etre definis en utilisant uniquement la variete virtuelle sous-jacente S surles modeles locaux et les proprietes et invariants des modeles locaux. Ceci permet par exemplede donner des definitions precises a de nombreux espaces consideres par les physiciens, commel’espace des sous-varietes de type espace d’un espace temps (M, g).

Si on veut considerer des invariants infinitesimaux, il est utile de disposer de foncteurs passeulement dans (ModLoc)∨ mais plutot

S : (ModLoc) → (Anneaux)(Ens)

de la forme U 7→ [f ∈ Hom(U, S) 7→ f∗OS(U)].

6.10.4 Cohomologie et suites spectrales

Definition 65. Une categorie additive est une categorie telle que

1. les ensembles de morphismes sont munis de structures de groupes abeliens,

2. les compositions sont des applications Z-bilineaires,

3. les produits et coproduits finis existent.


Une categorie abelienne est une categorie additive dans laquel tous les morphismes admettent unnoyau et un conoyau, et telle que les monomorphismes (resp. epimorphismes) soient des noyaux.

Un complexe C = (Cn, dn)n∈Z dans une categorie abelienne A est une famille d’objets Cnde A indexes par les entiers et une famille de morphismes appeles morphismes de cobordsdn : Cn → Cn+1 tels que dn+1 dn = 0. Un morphisme f : C → D de complexes est une familled’applications fn : Cn → Dn qui commute aux morphismes de cobords. La cohomologie ducomplexe est la famille d’objets Hn(C) indexee par les entiers donnee par les quotients

Hn(C) = Ker(dn)/Im(dn−1).

L’utilisation du lemme du serpent permet d’associer a toute suite exacte de complexes

0 → L→M → N → 0

une suite exacte longue

· · · → Hn(L) → Hn(M) → Hn(N) → Hn+1(L) → Hn+1(M) → · · ·

appelee suite exacte longue de cohomologie. Les suites spectrales sont des generalisations natu-relles des suites exactes longues de cohomologie.

Definition 66. Une suite spectrale dans une categorie abelienne est la donnee

1. d’une famille indexee par r ∈ Z d’objet bigradues

Er =⊕p,q∈Z

Ep,qr

appeles les feuilles de la suite spectrale,

2. d’endomorphismes dr : Er → Er tels que d2r = 0 (en pratique, ils seront de bidegre

(r, 1− r)),

3. d’isomorphismes Er+1∼= H(Er) entre la (r+1)-ieme feuille et la cohomologie de la r-ieme

feuille.

On dit que la suite spectrale converge vers Ep,q∞ si pour tout p, q, il existe r(p, q) tel que pourtout r ≥ r(p, q), les differentielles partant et aboutissant a Ep,qr (donnees par dp−r,q+r−1

r et dp,qr )sont nulles.

Si C est un complexe, on lui associe la suite spectrale dont la 0-feuille est

E0 = ⊕q∈ZE0,q0 = ⊕q∈ZCq

et la premiere differentielle d : E0,q0 = Cq → Cq+1 = E0,q+1

0 est celle du complexe. La 1-feuille ettoutes les autres sont alors donnees par la cohomologie H∗(C) munie des differentielles nulles.

Un complexe filtre est un couple (C,F ∗C) forme d’un complexe et d’une filtration decroissanteF pC ⊃ F p+1C decroissante (exhaustive et separee, i.e. l’intersection de tous les termes de lafiltration est nulle et leur reunion est le complexe C).


Definition 67. Soit (C,F ∗C) un complexe filtre. On pose

1. Zp,q0 = F pCp+q,

2. Bp,q0 = 0,

3. Zp,qr = Ker(d : F pCp+q → Cp+q+1/F p+rCp+q+1),

4. Bp,qr = F pCp+q ∩ Im(d : F p−rCr+q−1 → Cp+q).

La suite spectrale associee au complexe filtre (C,F ∗C) est

(Ep,qr :=Zp,qr

Bp,qr + Zp+1,q−1

r

, dr := d : Ep,qr → Ep+r,q−r+1r ).

On verifie aisement que Er+1 donne bien la cohomologie de Er. Si le complexe et la filtrationsont tous les deux bornes a gauche :

Ep,q∞ = grpHp+q(C).

La difficulte majeure dans l’utilisation des suites spectrales est d’expliciter les differentielleset les termes de la suite dans des cas particuliers.

La suite spectrale associee a un complexe seul correspond a la filtration triviale 0 ⊂ C. Si onse donne une suite exacte

0 → L→M → N → 0

de complexes, on peut poser F 0M = M , F 1M = L et F 2M = 0 et la suite spectrale correspon-dante a pour seuls termes non nuls dans la premiere feuille

E0,q1 = Hq(N) et E1,q

1 = Hq+1(L).

La differentielle donne l’application de bord de la suite exacte longue de cohomologie et ladegenerescence de la suite spectrale a la deuxieme feuille permet aussi de demontrer l’exactitudede ladite longue suite.

6.10.5 Resolutions classiques

Soit A une algebre sur un corps K et I ⊂ A un ideal. L’objectif est de definir une resolutionlibre explicite du quotient A/I en tant que A-module. Ceci permet de calculer le foncteurTorA(., A/I) derive du foncteur .⊗A A/I.

La methode generale n’utilisant aucune hypothese sur l’ideal I est de considerer un systemegenerateur S1 de l’ideal I et de considerer l’application A(S1) → A qui envoie les elements deS1 sur leur image dans I. Ensuite, on considere un systeme generateur S2 du noyau de cetteapplication et on construit l’application A(S2) → A(S1) aussi par une simple evaluation. Si onpose S0 = 0, on obtient par recurrence un complexe exact A(S.) de A-modules qui donne uneresolution libre du A-module A/I.

Si l’ideal est regulier (voir ci-dessous), on peut construire une resolution plus simple et quidepend de moins de choix, appelee resolution de Koszul. On se refere au chapitre XII, §4 dulivre de Lang [Lan93] pour l’etude detaillee de cette resolution.

Un systeme fini S = x1, . . . , xn de generateurs de I est regulier si


– A/I 6= 0,– x1 n’est pas un diviseur de zero dans A,– pour i ≥ 2, xi n’est pas un diviseur de zero dans A/(x1, . . . , xi−1).

On note A(S) le module libre sur A engendre par l’ensemble S.

Definition 68. Le complexe de Koszul du couple (A,S) est le complexe ∧•A(S) muni de ladifferentielle

d : ∧pA(S) → ∧p−1A(S)

donnee par d(xi) = xi sur A(S), et plus generalement par

d(ei1 ∧ · · · ∧ eip) =p∑j=1

(−1)j−1xij .ei1 ∧ · · · ∧ eij ∧ · · · ∧ eip

sur ∧pA(S).

Le complexe ∧•A(S) est une resolution libre du quotient A/I.

6.10.6 Cohomologie de groupe et d’algebre de Lie

Si g est une algebre de Lie sur un anneau A, son algebre enveloppante A(g) est l’algebreassociative universelle qui la contient. Plus precisement, c’est le quotient de l’algebre tensorielleTA(g) = ⊕g⊗n par l’ideal engendre par les relations [a, b] = ab − ba pour a, b ∈ g. Si M est ung-module, on peut le munir d’une structure de A(g)-module a gauche. La cohomologie d’algebrede Lie de g a coefficients dans le module M est le groupe

H∗(g,M) := Ext∗A(g)(A,M)

ou A est muni de l’action triviale de M .De maniere similaire, si G est un groupe agissant sur un A-module M , sa cohomologie est

definie parH∗(G,M) := Ext∗A[G](A,M)

avec A[G] l’agebre du groupe, i.e., l’algebre associative universelle sur le groupe G, definie commele quotient de l’algebre tensorielle sur le module libre engendre par G notee TA(A(G)) par l’idealengendre par les relations g1g2 = g1 .

Gg2 et 1G = 1. L’application A(G) → A[G] est une bijection

et identifie l’algebre de groupe au module libre muni de la multiplication par convolution.Dans ces deux cadres, on voit le module trivial comme un quotient du module libre A(g)

(resp. A[G]) sur l’algebre associative des symetries par un ideal I. Ceci permet d’utiliser lesresolutions libres standard de la section 6.10.5 pour calculer la cohomologie.

Le cas le plus simple est celui de la cohomologie d’algebre de Lie. L’ideal I ⊂ A(g) est l’idealengendre par le systeme generateur regulier donne par une base de g et la resolution libre deA = A(g)/(g) en tant que A(g)-module est la resolution de Koszul ∧•g. La cohomologie de g acoefficients dans un module M est alors donnee par le complexe

HomA(∧•g,M) ∼= ∧•g∗ ⊗AM


qu’on peut decrire explicitement comme suit. La premiere differentielle d : M → g∗ ⊗M estdonnee par

(dm)(g) = gm.

On etend cette application en d : ∧pg∗ ⊗M → ∧p+1g∗ ⊗M par

d(ω ⊗m) = dω ⊗m+ (−1)pω ∧ dm.

En degre 0, on obtient bien

H0(g,M) = m ∈M | gm = 0, ∀g ∈ g = Mg.

6.10.7 Algebres de Lie differentielles graduees et deformations

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