Automazione nei Sistemi Energetici - Intranet...

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Automazione nei Sistemi EnergeticiLaurea Specialistica in Ingegneria dell'Automazione

Alberto Leva

Dipartimento di Elettronica e Informazione, Politecnico di [email protected]

a.a. 2010-2011

c©2011 A. Leva

- extremely draft version -

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 1/ 189

Lecture 1 (2L)

Course introduction and overview(general concepts on energy systems and their main functionalities)

A few words on the involved regulatory frameworks

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Course introduction and overview

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Foreword and rationale

Systems that produce, distribute and use energy are becoming more andmore complex and articulated:

dierent sources (renewable or not);dierent types of generation (e.g., centralised vs. distributed);complex markets in rapid evolution;...

Therefore, energy system experience an increasing need for automation

at more and more levels (from the power plant to the town grid, down to thesingle house);more and more integrated (e.g., to coordinate the generation and use ofelectricity and heat);and for new demands (comfort, economy, environmental impact,...).

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Foreword and rationale

Purpose of the course:address the scenario just sketched

providing the student with a system-level view typical of the AutomationEngineer on the encountered control problems, the solutions adopted for themto date, and the possible future developmentsavoiding details on the various types of generators, utilisers and so forthamatter to which specialised courses are devoted.

Caveat emptor:

An exhaustive treatise of the matter is absolutely impossible, even at quitehigh and abstract a level;thus we shall proceed by introducing general concepts and then going througha few case studies.It will be the duty of you engineers to abstract, generalise and transpose thelessons learnt wherever the underlying concepts will need putting at work.

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Where is automation in energy systems?Let us analyse some introductory schemes

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Where is automation in energy systems?A bit of generalisation

Carrying on with the list:

other generators (solar, wind, geothermal,...);other utilisers (heating elements, fan coils,...);maybe a home/building automation system, not installed (only) for energypurpose but surely with a relevant energy eect;...

Scaling up:

larger components (building or compound-level HVAC,...);industrial machines/installations;power plants;...

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Where is automation in energy systems?Let us now start aggregating

NOTE: each part of the system has its own controls and must somehowcoordinate with the others.

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Summing up...

Where is automation in energy systems?Everywhere:

everything transforms energy

although depending on the main purpose of each object the verbtransform gets specialised for that object as, for example, generate,transport, distribute, consume (in the end, such specialisations are littlemore than conventional)

and each object (or aggregate of objects) can be controlled in a view toachieving local goals (cook some food as quickly as possible; maximise theeconomic revenue of a household photovoltaic generator based on forecasts ofweather, energy use and prices of electricity and gas; generate the total powerrequired at any time by the national network while maintaining each plant asclose as possible to its optimal operating point and without overloading thetransmission lines;...)

bearing however in mind that any action on that individual object will (moreor less) inuence the overall system.

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Is there any hierarchy in energy ststems?

Rigorously, no. However such a position, albeit formally correct, is extremelynaïve from the engineering point of view

To unserstand that, let us see what happens if we attempt to write the wholedynamic model of the world energy system (which is plain crazy, beware)and observe its incidence matrix (a boolean matrix showing which variablesappear in which equations):

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Why is this naïve?

Because only a fool could think of a Giga-controller doing the entire job:

even if one could undertake such a design (just think of how measurementscould be collected...)and admitting (we may be crazy, but up to a point) that each componentcomes with some control already installed (as a proof of limited craziness,nobody would dismantle the thermostat of each household fridge)the problem would be

enormous,of variable structure (components are installed, turned on and o, and someday disposed of),where objectives are decided at various levels, in a time-varying and oftenconictual manner (we all cook our dinner in the evening while the gas supplierwould like a at delivery prole),),involving physically heterogeneous objects,designed with standard specications and then installed in extremely dierentconditions (the same air conditioner model can be used in a dining room intown, in a mansard in the mpuntains, in a tropical beach bar,...),with local controllers (see above) generally designed without having in mind anycommunication (let alone cooperation) among them,...

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Consequences

Therefore, some hierarchy - or better, as we shall see, some structuring of theproblems is in order.

In other words, we need

to understand which are the relevant problems (a task already carried out,although the matter is continuously evolving, think e.g. of environmentalissues)and that can reasonably be dominated (whih is often not trivial),nd for them solution that are sound from an enginnering standpointand gure out how to put said solutions at woke also when the boundaryconditions for the problem at hand vary, which can also be due to how the restof the system is aected by the introduced solutions.

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Conseguences

Cosa vuol dire che un problema si può dominare?

Essenzialmente che una volta posto tale problema nei termini della teoria deisistemiavendone esteso le dimensioni (cioè l'insieme dei fenomeni descritti)abbastanza perché il resto del mondo sia correttamente rappresentato dacondizioni al contorno e/o disturbi (ovvero entità esogene)si riesce per esso a trovare una soluzione di complessità accettabile eimplementabile con informazioni disponibili in pratica.

Un concetto rilevante in proposito è quello di separazione dinamica, su cui asuo tempo torneremo.

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Conseguenze

Per fare tutto questo è poi necessario un approccio sistemico in cui icomponenti

si possano descrivere a diversi livelli di dettaglioma preservando le loro interfacce col resto del sistemae in modo il più possibile indipendente da come a tale resto del sistema sonoconnessi

e al contempo i problemi si possano porre in modo tale da essere arontabilicon le metodologie di controllo note (anche se il contesto power ha portatoe probabilmente porterà a svilupparne di nuove).

Inoltre un ruolo cruciale è svolto dalle tecniche di simulazione.

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Due parole sulla storia

Come si è sviluppata l'automazione nei sistemi energetici?

Inizialmente (e banalmente) per riuscire a farli funzionare: senza sistemi dicontrollo

non si esercisce una centrale elettricané si evita il collasso della rete di trasmissionené si mantengono i livelli di pressione necessari in una rete gas che si sviluppaper decine di migliaia di km;

poi (quasi subito, peraltro) per ragioni di ecienza nei grossi componentidel sistema (per esempio, appunto, le centrali),

sempre però avendo in mente, in modo più o meno esplicito, una strutturadel sistema abbastanza ben denita (pensando al sistema elettrico pochigrossi generatori, trasmissione, distribuzione, tanti utilizzatori di tagliavariabile ma tendenzialmente piccola rispetto ai generatori).

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Due parole sulla storia

Oggi però il panorama è cambiato:

c'è sempre più generazione distribuita da integrare con la rete,si considerano fonti diverse, rinnovabili e non,si creano sistemi di taglia non decisa a priori e piccola (per esempio ilriscaldamento casalingo, tutti termoautonomi!) ma tale da sfruttare economiedi scala (si pensi al teleriscaldamento cittadino),si comincia a considerare l'integrazione di minimo dei diversi controlli (mettiuna compensazione in andata sul controllo di temperatura della cucina checosì se accendo il forno il fan coil si abbassa e magari se aggiungi qualche altroblocco allo schema ne tiene conto anche il controllo della temperatura dimandata della caldaia)e qualche volta anche delle vere e proprie macchine (per esempio conrecuperatori di calore che preriscaldano l'acqua sanitaria con quella scaricata,calda, dalla lavatrice oppure con batterie che, se ben governate, disaccoppianoalmeno in parte gli usi energetici di casa dalle necessità di prelievo dalla rete).

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Morale

Nei sistemi energetici ci sono un mare di problemi di controllo da arontare ediversi sono nuovi.

Molte soluzioni una volta accettabili oggi non lo sono più (le richieste diecienza sono sempre più stringenti).

Nel corso pensiamo quindi di vedere tutto ciò che abbiamo noramenzionato?

Nemmeno per idea: ci vorrebbe troppo tempo e non sarebbe nemmenofurbo.

Rivediamo infatti l'aermazione iniziale sullo scopo del corso perché adessopossiamo darle un senso più preciso...

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Morale

...con un altro piccolo schema:

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Morale

I modelli di dettaglio (1) sono oggetto di ricerca e di corsi molto avanzati equi non ne parleremo;

qualcosa su di essi, più precisamente quanto basta per arrivare ai modellisemplicati (2), si dice in corsi quali Modellistica e Controllo dei ProcessiContinui e delle Reti di Pubblica Utilità; di questa materia qualcosa diremoanche qui, almeno per i tipi di componenti che altrove non sono trattati;

la corerenza (3) viene dalla conoscenza della sica di (1) almeno suciente acomprendere (2).

Noi, ripetendoci (ma ora dovrebbe essere più chiaro), mireremo a una visionedi sistema tipica dell'ingegnere dell'automazione dei problemi [...] senzascendere in dettagli sui vari tipi di generatori, utilizzatori e così via.

Come scoprirete, già così ce n'è più che a sucienza per il corso ;-)

E ora due parole per collocare il corso nel vostro curriculum e vedere qualistrumenti utili già possedete e quali apprenderete.

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Quel che sapete già dal 1 livelloda un punto di vista system and control-theoretical (lista non esaustiva)

Da Fondamenti di Automatica

l'abc (sintesi del controllore in retroazione, essenzialmente nelle ipotesi diBode),il controllo PID,i sistemi di controllo ad architettura non elementare, aka strutture dicontrollo) ovvero il controllo in cascata, il controllo multivariabile(decentralizzato), il controllo nello spazio di stato;

da Complementi di Controlli Automatici

le strutture di controllo (more on the matter) ovvero la compensazione inanello aperto, il predittore di Smith, i regolatori di disaccoppiamento,un po' di controllo digitale ovvero (date per note le premesse) ladiscretizzazione di un regolatore analogico e la sintesi diretta a tempo discreto;

da Modellistica e Controllo di Sistemi a Eventi Discreti

i vari tipi di processo (essenzialmente continui vs. batch),i concetti di supervisione e controllo stricto sensu,la modellizzazione e il controllo dei sistemi dinamici ad eventi discreti.

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Quel che sapete già dal 1 livelloda un punto di vista (per voi) più applicativo (lista non esaustiva)

Da Controllo dei Processi

il ruolo (coordinato) della modellistica, della simulazione e del controllo,le tecniche di modellistica e simulazione con i principi (primi) che ne sono ilfondamento,la dinamica e il controllo dei processi a uido (essenzialmente termoidraulici),la strutturazione degli schemi di controllo industriali;

da Modellistica delle Macchine Elettriche

i principi di conversione elettromeccanica dell'energia,le reti elettriche;

da Informatica Industriale

i concetti base sui sistemi di controllo distribuiti;

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Quel che c'è di correlato al 2 livelloOvviamente anche qui lista non esaustiva

In Complementi di Automatica

le proprietà strutturali dei sistemi lineari,i sistemi retroazionati multivariabili,gli osservatori dello stato,il controllo lineare quadratico gaussiano,il controllo predittivo;

in Tecniche e Strumenti di Simulazione

i concetti relativi alla simulazione dinamica,l'architettura dei più diusi strumenti software di modellistica e simulazione,l'approccio causale e a-causale;

altri corsi quali Automazione nei Mezzi di Trasporto, Modellistica e Controllodei Processi Continui,...

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Conseguenze

Come vedete le vostre faretre non sono vuote (e si riempirannoulteriormente).

Sta a voi mettere insieme tutto (quel che serve): aiutarvi in ciò è uno degliobiettivi di questo corso...

...insieme ovviamente all'insegnarvi come si trattano i principali problemi diautomazione in un campo dove essa è particolarmente importante comequello dei sistemi energetici.

Non intendo essere pedante ma di tutto questo - soprattutto del metodo dilavoro che cercherò di trasmettervi - cercate di far tesoro.

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Organizzazione del corsoInformazioni generali

Il corso è organizzato in

30 ore circa di lezione,20 ore circa di esercitazione,

per un totale di 5 CFU.

Le lezioni sono (in parte) guidate con slide,

le esercitazioni sono svolte con l'ausilio della lavagna e/o del proiettore.

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Organizzazione del corsoSchema sintetico degli argomenti di lezioni ed esercitazioni

Introduzione alla materia (questa lezione);

richiami sui principi modellistici e matematici che saranno usati nel seguito;

i principali oggetti sici (generatori, utenze, reti di distribuzione) coinvolti neisistemi energetici:

descrizione sintetica e comportamento dinamico nei confronti del sistema incui operano,modelli semplicati e parametrizzabili con una quantità minima d'informazione,

i principali problemi di controllo nei sistemi energetici e le strategie con cui lisi aronta

Le esercitazioni, intervallate alle lezioni, contengono esempi e studi di semplici casiapplicativi, anche con uso di strumenti di simulazione e sintesi del controllo opensource.

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Informazioni sul docente e sito del corso

Alberto LevaDipartimento di Elettronica e InformazionePolitecnico di MilanoTel. 02 2399 3410E-mail [email protected]

Ricevimento:

al DEI (2 piano, stanza 234), il venerdì dalle 13.30 alle 15.30,in altri orari per appuntamento.

Pagina web del corso:http://home.dei.polimi.it/leva/CorsoASE/

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Materiale didattico

Quest'anno il materiale è estremamente uido.

Le slide sono in eri e verranno messe sulla pagina del corso man mano che sirendono disponibili.

Altri riferimenti bibliograci utili (in rete, essenzialmente) saranno forniti manmano e ove opportuno linkati dalla pagina del corso.

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Software impiegato

Scilab (open source, Scilab license):software di calcolo con capacità di analisi e simulazione di sistemi dinamiciorientati (approccio block-oriented).Info e download: http://www.scilab.org/

OpenModelica (free software, BSD license):ambiente per la creazione e la simulazione di modelli dinamici a-causali(approccio object-oriented).Info e download: http://www.openmodelica.org

wxMaxima (free software, GPL license): CAS (Computer Algebra System)ovvero ambiente di calcolo simbolico.Info e download: http://www.wxmaxima.org/

Nota importante:non è obiettivo di questo corso insegnare (né tantomeno confrontare)approcci alla modellistica e alla simulazione;non lo è nemmeno addestrarvi all'uso di questo o quell'altro software;i pacchetti menzionati sono per noi soltanto strumenti di servizio permettere all'opera i concetti appresi.

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Modalità d'esame

Dato il carattere decisamente multidisciplinare del corso e la coesistenza inesso di parti matematiche e descrittive, il miglior modo di vericare lapreparazione degli studenti è far svolgere loro un semplice progetto.

Quindi, da soli o al massimo a coppie,

risolverete uno dei problemi che saranno presentati a lezione come temi diprogettoe preparerete una breve presentazione (510 slide max) dei vostri risultati;all'appello presenterete il vostro lavoro (1015 minuti circa a testa)e risponderete a qualche domanda individuale sia sul progetto svolto che sullamateria del corso in generale:

tutto questo produrrà la vostra valutazione.

Memento: siete al 2 livello e dovete saper presentare il vostro lavoro inmodo professionale, quindi la qualità e la chiarezza (non le dimensioni) dellapresentazione fanno espressamente parte della valutazione.

Sono previsti 4 appelli d'esame nei periodi stabiliti dalla Facoltà.

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Cenni minimi ai principali quadrinormativi di riferimento

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Cosa va normato nei sistemi energetici?...e soprattutto, quanto ciò può aver connessioni con l'automazione?

La qualità dell'energia:frequenza e potenza prelevabile ndel caso elettrico,potere calorico e portata prelevabile nel caso del gas,...

I rapporti tra generatori e utilizzatori:contributi alla regolazione di frequenza,politiche di scambio energetico tra produttori/trasportatori,utilizzo del mezzo di trasporto (es. la rete gas),contabilizzazione del contributo degli autoproduttori,...

Gli aspetti di prevenzione e protezione:conformità elettrica e gas,requisiti di ridondanza nei sistemi di controllo,...

Gli aspetti ambientali:emissioni,impatto termico (es. scarico acqua calda),...

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Principali enti normatori e di controllo (a vario titolo)

Aspetti tecnici e di conformità: UNI, CEI,...

Reti: GRTN (Gestore della Rete di Trasmissione Nazionale), accordiinternazionali...

Emissioni: ARPA,...

Sistemi di automazione: IEC,...

Un utile riferimento nazionale è l'ente di controllo e regolazione (non dinormazione) costituito dall' Autorità per l'energia elettrica e il gas(http://www.autorita.energia.it), dove si trovano informazioniaggiornate (si veda per es. il link Riferimenti normativi).

Le connessioni tra alcune entità normate e aspetti tecnico-progettuali sonoevidenti (se no discutiamone).

Non andiamo oltre ( i cenni sono davvero minimi...) ma spero cogliate lavastità della materia. Andando avanti spero coglierete anche quantoconoscenze tecniche e in particolare sistemiche sono cruciali persino perinterpretare la normativa (se si riesce vi mostrerò degli esempi).

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Lezione 2 (2L)

Principi modellistici: equazioni di conservazione e loro rilevanza nelcontesto del corso

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Equazioni di conservazionePremessa: bilanci statici e dinamici

Bilanci statici (a parametri concentrati)

Servono a determinare le condizioni di equilibrio di un sistema.Sono quindi rappresentati matematicamente da equazioni algebriche.Queste equazioni hanno la forma la sommatoria di qualcosa è uguale a zero".Esempi:

per l'equilibrio meccanico di un corpo rigido vincolato a un punto sso ∑(forze) = 0∑

(coppie) = 0

per l'equilibrio termico di un corpo solido∑(potenze termiche) = 0

...

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Equazioni di conservazionePremessa: bilanci statici e dinamici

Bilanci dinamici (a parametri concentrati)

Servono a determinare il comportamento dinamico di un sistema (noteovviamente le condizioni iniziali e l'andamento delle variabili d'ingresso oesogene).Sono quindi rappresentati matematicamente da equazioni dierenziali.Queste equazioni hanno la forma la sommatoria di qualcosa è uguale alladerivata temporale di qualcos'altro".Esempi:

per il moto rettilineo di un punto materiale∑(forze) =

d

dt(quantità di moto)

per l'andamento della temperatura di un corpo solido∑(potenze termiche) =

d

dt(energia termica)

...

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Equazioni di conservazionePremessa

Considerazioni generaliOgni bilancio statico è la restrizione a regime di uno dinamico, ovvero siottiene da quello ponendo a zero le derivate temporali.I bilanci sono quindi equazioni di conservazione:

nel caso statico lo sono nel senso ovvio che qualcosa non cambia, ovvero siconserva (avendo derivata temporale nulla),nel caso dinamico lo sono ancora perché dicono che lo stesso qualcosa siconserva a patto di mettere nel conto, istante per istante, quanto ne entra e/one esce dal sistema per cui il bilancio si scrive, ovvero descrivono l'accumulo diquel qualcosa.

Le equazioni di conservazione si scrivono per un corpo, un insieme di corpi,......in generale, per un volume che ha per frontiera una supercie. Ad esempio,

la derivata temporale della massa contenuta in un volume eguaglia la sommaalgebrica di tutte le portate massiche che attraversano la supercie frontiera diquel volume,la derivata temporale dell'energia contenuta in un volume eguaglia la sommaalgebrica di tutte le potenze che attraversano la supercie frontiera di quelvolume,...(ohibò, due equazioni di conservazione che c'interessano le abbiamo giàdenite).

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Equazioni di conservazionePremessa

Considerazioni generali

Ci sono poi i sistemi a parametri distribuiti, dove (a dierenza del caso aparametri concentrati) le variabili indipendenti, oltre al tempo, sono una o piùcoordinate spaziali. Ad esempio, la temperatura in un corpo solido esteso èfunzione del tempo e del punto, ovvero di una coordinata temporale e trespaziali.Nei modelli a parametri distribuiti compaiono equazioni dierenziali allederivate parziali. Ad esempio, nel corpo de quo vi sono ussi termici interniche dipendono dal gradiente della temperatura, ovvero dalle sue tre derivateparziali rispetto alle coordinate spaziali: per capirlo pensate al nito che ognivolumetto entro il corpo scambia coi volumetti adiacenti una potenza termicadipendente dal salto di temperatura e quindi immaginate di passare al limitefacendo tendere a zero il volume dei volumetti, col che i salti termici (niti)tra volumetti (niti) divengono appunto il gradiente della temperatura.Naturalmente per risolvere (cioè integrare) tali sistemi occorreranno sia lecondizioni iniziali (nel tempo) che quelle al contorno (nello spazio, o piùprecisamente alla frontiera).

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Equazioni di conservazionePremessa (1/3)

Considerazioni generali

Classicamente i problemi di controllo si classicano in di processo e delmoto.Ai ni di questo corso domina il primo tipo.Fortunatamente, poi, nella modellistica di processo a ni di controllo

praticamente non servono equazioni alle derivate parziali, se non al più conuna coordinata spaziale.Lo scopo della nostra modellistica, infatti, è capire del processo abbastanzaper controllarlo, non - ad esempio - scoprire se una zona della parete di unacamera di combustione va o meno in crisi termica: per capire cose comequesta servono modelli tridimensionali, ovvero alle derivate parziali con iltempo e tre coordinate spaziali, ma problemi di questo genere interessano achi dimensiona e costruisce la camera di combustione, non tanto a chi ne fa ilcontrollo......né tantomeno a chi (come noi) è interassato alla centrale che contiene quellacamera di combustione come parte di un sistema elettrico.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 38/ 189

Equazioni di conservazionePremessa (2/3)

Considerazioni generali (cont'd)Nella modellistica di processo a ni di controllo si distinguono

elementi di accumulo come i serbatoi, dove è lecito pensare che lecaratteristiche del uido contenuto (ad esempio la temperatura) siano uniformie dove i moti del uido medesimo entro l'elemento non interessano perchéconta essenzialmente cosa entra e cosa esce: qui bastano pertanto equazionidierenziali ordinarie (con derivate soltanto temporali);elementi di usso e corti come le valvole o le pompe, dove i volumi in giocosono talmente piccoli che non soltanto le distribizioni spaziali non interessano,ma gli accumuli stessi di massa ed energia sono trascurabili: qui bastanoaddirittura equazioni algebriche;elementi di usso e lunghi (ovvero con una dimensione prevalente) come itubi, dove al più interessa la distribuzione spaziale delle variabili lungo ladimensione prevelente (ossia lungo il tubo, si pensi ad esempio ai proli ditemperatura in uno scambiatore di calore): qui occorrono equazioni dierenzialialle derivate parziali ma bastano due variabili (il tempo e l'ascissa curvilinea deltubo).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 39/ 189

Equazioni di conservazionePremessa (3/3)

Considerazioni generali (cont'd)

Nella modellistica del moto a noi interessa praticamente solo il caso dellemasse rotanti coinvolte nella generazione elettrica.Inne avremo bisogno di qualche elemento modellistico di tipo elettrico ma perquello ci basteranno le nozioni di Elettrotecnica che già possedete (e checomunque anch'esse provengono da principi di conservazione, quindi tout setient)

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Equazioni di conservazionePremessa

In questo corso trattiamo soltanto (semplici) modelli, e quindi scriviamoequazioni di bilancio, a parametri concentrati. Vedremo un solo esempioelementare di bilancio dinamico a parametri distribuiti per intuire cosamatematicamente succede (richiamando di fatto concetti tipici del Controllodei Processi).

In concreto, quel che sulla modellistica di processo non si sa dopo questocorso, che ha per focus il controllo e soprattutto l'aspetto di sistema sitrova in corsi più avanzati e specialistici.

...e ora passiamo alle equazioni di conservazione che c'interessano,scrivendole nella forma che c'interessa ed evidenziando le approssimazioniintrodotte e le relative motivazioni.

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Equazione di conservazione della massa

Vediamola prima nel caso a parametri concentrati. Detta M la massacontenuta in un volume e dette wi , i = 1 . . .N, le N portate massichescambiate tra quel volume e l'esterno, assunte con segno positivo se entrantinel volume, l'equazione è

dM(t)

dt=

N∑i=1

wi (t).

Soltanto per quest'equazione di conservazione, vediamo ora anche il caso aparametri distribuiti, Proviamo anche a considerare un uido generico, tantoper vedere che succede perché è molto istruttivo (dopo questa trattazione cilimiteremo, dato che ci basta, al caso a parametri concentrati con uidoincomprimibile).

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Equazione di conservazione della massa

Consideriamo un condotto. Chiamiamo x l'ascissa curvilinea lungo l'asse delcondotto e A(x) la sua sezione, che può quindi non essere uniforme e variarelungo x . Supponiamo però nota a priori la funzione A(x), ossia assumiamoche il condotto sia indeformabile. Chiamiamo poi ρ la densità del uido (chenon assumiamo costante, rilasciando quindi l'ipotesi d'incomprimibilità) e ula sua velocità, che riteniamo uniforme su ogni sezione di condotto ortogonaleall'asse (il che equivale a mantenere l'ipotesi di moto turbolento, senza laquale peraltro una sola coordinata spaziale non ci basterebbe).

Esprimiamo ora la portata massica w che attraversa una sezione di condotto,presa positiva nel verso positivo di x . Nel tempo innitesimo dt la sezione Aè attraversata da un volume di uido pari ad Audt, dato che udt è lo spaziopercorso in dt a velocità u. Allora, essendo ρ la densità,

w(x , t) =ρ(x , t)A(x)u(x , t)dt

dt= ρ(x , t)A(x)u(x , t).

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Equazione di conservazione della massa

Consideriamo ora un tratto di condotto di lunghezza innitesima dx :

la massa contenuta, essendo dx

innitesimo, si può calcolare come

Mdx = ρ(x , t)A(x)dx ,

la portata entrante all'ascissa x è

w(x , t) = ρ(x , t)A(x)u(x , t),

e inne la portata uscente all'ascissax + dx è

w(x+dx , t) = ρ(x+dx , t)A(x+dx)u(x+dx , t).

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Equazione di conservazione della massa(nel contesto del controllo di processo)

Quindi l'equazione di conservazione della massa si scrive come

d(ρ(x , t)A(x)dx)

dt= ρ(x , t)A(x)u(x , t)− ρ(x + dx , t)A(x + dx)u(x + dx , t)

da cui, separando le variabili,

d(ρ(x , t)A(x))

dt=ρ(x , t)A(x)u(x , t)− ρ(x + dx , t)A(x + dx)u(x + dx , t)

dx

e inne, introducendo le necessarie derivate parziali,

∂(ρ(x , t)A(x))

∂t+∂(ρ(x , t)A(x)u(x , t))

∂x= 0

o, equivalentemente ma più in sintesi,

∂ρA

∂t+∂w

∂x= 0.

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Equazione di conservazione della massa

Nel caso di uido incomprimibile (ρ costante) l'equazione si riduceovviamente a ∂w/∂x = 0, ovvero dice che

la massa contenuta nel condotto è costante (ovvio, la densità è costante e ilvolume pure perché il condotto è indeformabile);la portata lungo il condotto è uniforme (ovvio applicando lo stessoragionamento a qualsiasi tratto di condotto, anche innitesimo);Au non varia lungo x , quindi la velocità varia in modo inversamenteproporzionale alla sezione (conseguenza diretta del fatto che la densità ècostante e la portata uniforme).

Peraltro, capiamo che per un elemento sempre pieno di uido incomprimibilel'equazione di conservazione della massa non dice nulla di utile...

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Equazione di conservazione della massaConsiderazioni conclusive dell'excursus a parametri distribuiti

Abbiamo fatto questa breve parentesi

per farvi (ri)buttare un occhio al di là del contenuto di questo corso,per farvi capire (o ricordare) in un caso elementare cosa vuol dire fare unmodello a parametri distribuiti,per mostrare come lavora un modellista, ovvero che occorre imparare a capirequal è il problema, quali fenomeni contano, come cambiano le variabili e leequazioni in gioco a seconda delle ipotesi fatte, e così via.

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Equazione di conservazione dell'energia(nel contesto del controllo di processo)

Consideriamo un volume di uido che contiene un'energia totale E e doveentrano (o escono se hanno segno negativo) N portate wi e M potenzetermiche Qj , anch'esse considerate positive se entranti.

Ovviamente, la derivata temporale di E è la somma delle potenze termiche edei contributi energetici delle portate, che sono di due tipi coesistenti:

apporti (con segno) di energia legati al trasporto di massa, che hanno la forma

portata× energia specica del uido ([kg/s]× [J/kg ] = [J/s] = [W ])

e lavoro (sempre con segno) eseguito dal uido entrante o uscente su quellocontenuto nel volume, che in forma dierenziale e specica si esprime come

dL = d(pv) = d(p/ρ)

dove v è il volume specico e ρ la densità. Nota: è anche dL = pdv + vdp,dove pdv è il lavoro di compressione e vdp il lavoro di pulsione o di spinta.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 48/ 189

Equazione di conservazione dell'energia

Quindi la grandezza termodinamica che caratterizza l'apporto energetico diuna portata di uido entrante in un volume è l'entalpia specica h del uido,che si esprime come

h = e +p

ρ

dove e è l'energia interna specica.

Pertanto l'equazione di conservazione dell'energia si scrive

dE (t)

dt=

N∑i=1

wi (t)hi (t) +M∑j=1

Qj(t).

Fortunatamente per uidi incomprimibili alle pressioni e alle temperatured'interesse per noi l'apporto termico (il termine e) domina enormementequello di lavoro (il termine p/ρ)1. Corrispondentemente è lecito in talicondizioni confondere entalpia ed energia interna speciche esprimendoambedue come cT , dove c é il calore specico del uido (costante nellenostre ipotesi) e T la temperatura.

1Tuttavia, riuscireste a scrivere l'equazione esatta, ovvero in entalpia, per un gas ideale:pensateci perché potrebbe servirci

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 49/ 189

Equazione di conservazione dell'energia

Quindi per noi è lecito esprimere l'apporto energetico della portata wi comewicTi , dove Ti è la temperatura2 del uido i-esimo.

Inoltre in questo corso tratteremo soltanto processi con un solo uido (nientemiscele, cioè) e quindi avremo sempre un solo calore specico c.

Tutto ciò premesso, ai nostri ni e con le nostre ipotesi l'equazione diconservazione dell'energia ha la forma

cdT (t)

dt= c

N∑i=1

wi (t)Ti (t) +M∑j=1

Qj(t).

dove T è la temperatura nel volume considerato, assunta ovviamenteuniforme in coerenza con l'approccio a parametri concentrati.

2Qualcuno potrebbe chiedersi in che scala. In tal caso cerchi di darsi una risposta e se non latrova pazienti: riparleremo della cosa e la chiariremo.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 50/ 189

Equazione di conservazione della quantità di moto(nel contesto del controllo di processo)

L'equazione di conservazione della quantità di moto è per noi d'interesseessenzialmente negli elementi di trasporto e lunghi, ovvero nei condotti.

Consideriamo quindi un condotto e scriviamo che la derivata temporale dellaquantità di moto del uido è la somma delle forze agenti sul uido medesimo,ovvero

forze di pressione agli estremi,gravitàe attrito sulla supercie laterale),

il tutto ai nostri ni proiettato sull'asse x del condotto.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 51/ 189

Equazione di conservazione della quantità di moto

Per mantenere la complessitá della trattazione a un livello adatto al corso,consideriamo un condotto a sezione A costante3 (e ricordiamo sempre chetrattiamo un uido incomprimibile).

Con queste ipotesi otteniamo

Mdu(t)

dt= Api (t)− Apo(t) + Mg sin(α)− fa(t).

L'angolo α è tale che sin(α) = ∆z/∆x ,∆z essendo la dierenza tra le quoteiniziale e nale.

La forza d'attrito fa, che si oppone sempreal moto, si esprime (detta A` la supercielaterale) come

fa = Kf A`ρu|u|

3Spunto di riessione: che succede se la sezione non è costante?

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 52/ 189

Equazione di conservazione della quantità di moto

La quantità Kf è detta coeciente d'attrito, dipende dalle caratteristiche delcontatto uido/parete ed è rabulata sulla base di correlazioni empiriche tratteda esperimenti: si vedano le dispense per ulteriori commenti sulla suaespressione.

L'equazione contiene ovviamente un termine d'inerzia, che tuttavie neimodelli per il controllo di processo si puó in generale trascurare dato che ifenomeni idraulici sono enormemente più rapidi di quelli termodinamici, chesono quanto in genere interessa.

In altri termini, dato che le quantità termiche (temperature, etc.) sipropagano essenzialmente con la velocità del uido mentre quelle idrauliche(pressioni e portate) si propagano con la velocità del suono nel uido, è lecitopensare che l'idraulica sia sempre a regime.

Quindi ai nostri ni la conservazione della quantità di moto si riduceall'equazione algebrica

A (pi (t)− po(t)) + Mg∆z

∆x− Kf A`ρu(t)|u(t)| = 0.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 53/ 189

Equazione di conservazione della quantità di moto

Conclusione: indicandocon A la sezione (costante, si ricordi) del condotto,con L la sua lunghezzae con ω il suo perimetro interno,

semplicando un po' la notazione e ricordando che w = ρAu, si ha

A(pi − po) + ρALg∆z

L− Kf ωLρu|u| = 0

pi − po = KfωL

ρA3w |w | − ρg∆z .

Se poi il condotto è installato in modo che w abbia lo stesso segno (con laconvenzione di considerarla positiva se va dall'estremo a pressione maggiore aquello a pressione minore) in tutte le condizioni operative d'interesse, si puòscrivere

pi − po = KfωL

ρA3w2 − ρg∆z .

che spesso riassumeremo in

pi − po =KT

ρw2 − ρg∆z .

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 54/ 189

Equazione di conservazione della quantità di moto(unico caso sul moto di nostro interesse)

In generale i generatori elettrici coinvolgono organi in rotazione, dalla velocitàdei quali dipende la frequenza generata (che è una delle quantità dacontrollare in una rete).

A tal ne ricordiamo che per un corpo in rotazione su un asse (per noisempre principale d'inerzia) la derivata temporale del momento della quantitàdi moto eguaglia il bilancio delle coppie relative a quell'asse, ovvero

d

dt(Jω) =

∑i

τi

dove J è il momento d'inerzia relativo all'asse considerato, ω la velocitàangolare e τi le coppie.

Vedremo, al momento di fare i semplici modelli di generatori che ciserviranno, come connettere ciò agli opportuni bilanci energetici.

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Lezione 3 (2L)

Modelli di primo principio e loro strutturazione modulare per studi disistema

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 56/ 189

PremessaRimettiamo in la alcuni concetti base

Per l'automazione ci servono dei modelli, sia degli oggetti controllati che deisistemi di controllo.

Dei secondi parleremo più avanti. Concentriamoci ora sui primi.

E' bene che siano rst principle (per varie ragioni già discusse) esoprattutto adatti a studi di sistema,

ovvero di complessità scalabile ma con interfacce uniformi,...

...ovvero ancora, come si suol dire, modulari.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 57/ 189

Scopo di questa lezione

Vogliamo comprendere cosa signica strutturare modelli di primo principio inmodo modulare e con complessità scalabile in modo da renderli adatti a studidi sistema.

Per farlo opereremo su un esempio (una lavatrice domestica).

Lo scopo della lezione sarà conseguito se alla ne sarà chiaro cosa signicadenire l'interfaccia di un modello (o, come anche si capirà, di unaggregato di modelli).

Caveat: ricordate sempre che questo è un corso di automazione e che lamodellistica è trattata in quanto, ai nostri ni, asservita all'automazione; nonstupitevi quindi se su alcuni dettagli tecnici sorvoleremo, ci sono corsi e testiapposta per approfondirli (chi è curioso/a chieda e avrà i riferimenti).

Ora procediamo per un po' senza slide guida.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 58/ 189

Riepilogo

Dovrebbe essere chiaro cosa s'intende per interfaccia di un modello, anche(almeno in nuce) nel caso di modelli non orientati.

Si dovrebbe quindi capire cosa vuol dire incapsulare il comportamentopreservando l'interfaccia.

Si dovrebbe anche aver compreso cosa vuol dire aggregare i modelli insistemi e sostituire parte di un sistema con condizioni al contorno per ilresto di esso.

Seguono 2 esercitazioni (4 ore) in cui c'impadroniremo di questi concettianche in senso operativo e inizieremo a declinarli nel contesto della messa apunto dei sistemi di controllo.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 59/ 189

Lezione 4 (2E)

Esercizi sulla scrittura di semplici modelli di primo principio

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 60/ 189

Contenuto dell'esercitazione

Scriveremo alcuni modelli semplici

imparando a contare variabili ed equazioni (banale?)

e distinguendo per le seconde tra costitutive e di legame.

Perché lo facciamo?

Perché è funzionale alla creazione di modelli di sistema nell'accezione che altermine diamo in questo corso.

Illustriamo gli esempi e poi procediamo (quasi) senza slide guida.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 61/ 189

I due esempi

Esempio 1 Esempio 2

Questo lo sappiamo fare

e ci servirà a vedere come unapproccio modulare rende facilemodicarlo (e come uno nonmodulare lo rende invecescomodo).

Neanche questo è dicile

e ci servirà a vedere come unapproccio modulare permette discalare la complessità deicomponenti.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 62/ 189

Esempio 1

Scriviamolo in modo non modulare (LKT,LKC,...)

e poi proviamo ad aggiungere un altro ramo RC serie tra il capo superiore diC2 e la massa e un resistore tra i capi superiori del generatore e di C2.

In quanti posti abbiamo dovuto toccare le equazioni?

La versione modulare e i suoi vantaggi la vediamo in seguito.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 63/ 189

Esempio 2

Identichiamo elementi di accumulo e di usso (termici, qui apposta nonho messo scambi di massa) e le loro interfacce (elettriche e termiche)

e poi usiamoli per rappresentare il tutto.

Visto come le equazioni di legame sono uniformi?

Visto anche come il comportamento è incapsulato entro le altre equazioni(quelle costitutive)?

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 64/ 189

Lezione 5 (2E)

Esercizi sulla scrittura e la simulazione di semplici modelli di primo principio(approccio OOMS)

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 65/ 189

Contenuto dell'esercitazione

Il concetto di OOMS in estrema sintesi (per noi è uno strumento e infatti lotrattiamo a esercitazione)...

...e, come ovvia conseguenza, perché è funzionale al tipo di modelli che ciservono nel corso.

OOMS per exemplum: Modelica.

Esempi di applicazione.

Conclusioni.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 66/ 189

Il concetto di OOMS

Scrivere i modelli in modo indipendente da come saranno assemblati

anche se tali modelli individualmente non sono orientatiovvero la causalità del sistema complessivo dipende da come essi sonocollegati.

Separare l'interfaccia dal comportamento...

...più altre cose (ereditarietà et similia) non oggetto di questo corso diautomazione.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 67/ 189

OOMS per exemplum: ModelicaPanoramica: linguaggio e traduttori

Modelica (http://www.modelica.org) è un object-oriented modellinglanguage.

In Modelica si scrivono modelli (non programmi!) e qui vedremo quel pocodella sintassi del linguaggio che serve per il corso.

Per simulare un modello Modelica ci vuole un Modelica translator che

acquisisce il modello Modelica,verica che il modello sia chiuso correttamente (di questo parleremo perché alivello di sistema bisogna trattare oggetti complessi e aggregati),lo manipola simbolicamente se necessario (di questo non parleremo),genera da esso un sorgente in un linguaggio di programmazione (c, c++,...)che lo simula,compila questo programma e lo linka a quel che serve (solutore numerico,...)e inne lo esegue.

Vi sono traduttori Modelica commerciali (ad esempio Dymola,http://www.dynasim.se) e open source.

OpenModelica (http://www.openmodelica.org) è un traduttore Modelicaopen source.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 68/ 189

ModelicaModellazione a-causale e concetti base

I modelli in Modelica sono a-causali, ovvero non orientati, ovvero scritti inmodo indipendente da come saranno connessi ad altri modelli.

Al nostro livello, Modelica si regge su 4 concetti base:

il concetto di terminale o porta o connettore (in Modelica connector),i concetti di variabile di sforzo e di usso (in Modelica eort, che siomette, e ow),il costrutto equation, che ammette l'operatore derivata temporale (in Modelicader) e quindi le equazioni dierenziali ordinarie (ODE),il costrutto connect.

Adesso li spiegheremo.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 69/ 189

ModelicaConnettori, variabili e connect

Un connector corrisponde a un terminale sico di un modello.

Un connector contiene delle variabili, di sforzo e/o di usso.

Quando il costrutto connect connette due terminali si generano dueequazioni:

una dice che le variabili di sforzo sono uguali,l'altra che la somma di quelle di usso è zero.

La cosa si capisce bene denendo il connector Pin, che useremo per iterminali elettrici (i li) degli elementi del circuito del primo esempio:

connector Pin

Real v; // tensione sul pin

flow Real i; // corrente entrante nel pin

end Pin;

Nota: usiamo il tipo Real per semplicità, anche se in Modelica sono denitetutte le unità dimensionali del SI.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 70/ 189

ModelicaConnettori, variabili e connect

E' ora semplice capire il funzionamento di connect. Il testo

...

Pin tizio, caio;

...

connect(tizio,caio);

...

genera (notare il consueto signicato del punto) le due equazioni

tizio.v = caio.v;

tizio.i+caio.i = 0;

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 71/ 189

ModelicaModelli

Ora vediamo com'è strutturato un model scrivendo e commentando il modelloResistor del resistore: la sintassi dovrebbe quasi essere autoesplicativa.

model Resistor

Pin a,b;

parameter Real R=1000;

equation

0 = a.i+b.i;

0 = a.v-b.v-R*a.i;

end Resistor;

I parameter non variano durante una simulazione e si può dar loro un default,che ovviamente può essere overridden quando s'istanzia il modello.

Nella sezione equation ci sono equazioni (non assegnamenti!), che il solutoresi occuperà di rendere vere in ogni istante.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 72/ 189

ModelicaModelli

Inne vediamo un model dinamico, ovvero dove si usa der e vi sono variabilidi stato. Per farlo scriviamo e commentiamo il modello Capacitor delcondensatore

model Capacitor

Pin a,b;

Real V(start=V_start);

parameter Real C=1e-6;

parameter Real V_start=0;

equation

0 = a.i+b.i;

0 = a.v-b.v-V;

0 = C*der(V)-a.i;

end Capacitor;

rendendo V_start un parameter è possibile assegnare il valore iniziale dellavariabile di stato V per ogni simulazione.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 73/ 189

ModelicaModelli

Già che ci siamo, scriviamo i modelli del generatore di tensione (comandato,e infatti Vg non à un parameter bensì un input) e della massa.

model IdealVoltageGenerator

Pin a,b;

input Real Vg; // nel conto V/E Vg si assume nota

equation

0 = a.i+b.i;

0 = a.v-b.v-Vg;

end IdealVoltageGenerator;

model Ground

Pin a;

equation

0 = a.v;

end Ground;

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 74/ 189

Esempio 1

Scriviamo e simuliamo per t ∈ [0, 8] il modello del circuito (già visto...)mostrato in gura

R1 = 1kΩ, R2 = 680Ω,C1 = 220µF , C2 = 180µF ,

Vg (t) =

5 sin(10(t − 1)) 1 ≤ t ≤ 50 altrimenti

partendo da condizioni iniziali nulle.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 75/ 189

ModelicaRisoluzione dell'esempio

model Esercizio_01

Resistor R1(R=1000);

Resistor R2(R=680);

Capacitor C1(C=220e-6,V_start=0);

Capacitor C2(C=180e-6,V_start=0);

IdealVoltageGenerator VG1;

Ground G;

equation

connect(VG1.a,R1.a);

connect(R1.b,C1.a);

connect(R1.b,R2.a);

connect(R2.b,C2.a);

connect(VG1.b,G.a);

connect(C1.b,G.a);

connect(C2.b,G.a);

VG1.Vg = if (time>=1 and time<=5)

then 5*sin(10*(time-1))

else 0;

end Esercizio_01;

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 76/ 189

ModelicaSessione minima con OpenModelica

Scritto nel le Esercizio_01.mo tutto quanto sopra (dalla denizione delpin al modello complessivo), è possibile simulare il tutto con OpenModelica evedere i risultati.

Addendum: facciamo il conto di variabili ed equazioni e commentiamo ilrisultato.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 77/ 189

Cosa viene dopo

Prima una panoramica su quel che tratteremo;

poi la trattazione di generatori, reti di distribuzione e utenze di nostrointeresse

facendone prima una descrizione per capirne i principi,poi identicandone interfaccia e fenomeni rilevantie inne scrivendo i necessari modelli da sistemail che, come vedrete, ci porterà in modo naturale a trattare i relativi problemidi automazione.

poi qualche richiamo/complemento sulle strutture di controllo;

poi quel (poco...) che ci serve qui sapere sulle architetture usate.

Tutto questo durerà circa 24 ore e ci metterà in grado di arontare i casi distudio.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 78/ 189

Lecture 6 (2L)

Overview of the addressed energy system elements and control-relatedentities

A simplied general framework for generator modelling

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 79/ 189

Overview of the addressedenergy system elements

and control-related entities

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 80/ 189

Energy system elementsElectric generators

Contents:

generators of the most used types, briey described from the constructivepoint of view and then as simplied models of uniform structure and interface;a few words on the connections with other courses.

Relevance for the course:

generators are apparently among the rst points where to act for system-levelcontrol;new types are emerging (e.g., co-generators) and new topologies are spreadingout, particularly distributed generation, leading to new and partially untreatedproblems.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 81/ 189

Energy system elementsElectric distribution networks (just the basics of)

Contents:

synthetic elements of a generic network, described in such a way to minimisethe details on the individual devices (basically,nodes and branches);a few words on the connections with other courses.

Relevance for the course:

a major problem in transmission and distribution is the so-called load owone;an optimised use of the network transport capabilities (do not overload thelines,...) is becoming more and more an issue owing to the increasing presenceof distributed generation.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 82/ 189

Energy system elementsThermal generators (combustor-based and solar)

Contents:

generators of the most used types, briey described from the constructivepoint of view and then as simplied models of uniform structure and interface;a few words on the connections with other courses.

Relevance for the course:

thermal generators exist in an impressing variety of sizes and serve manydierent purposes (powe generation, HVAC,...);in general they are part of more than one system (e.g., in the case ofco-generation, they aect both electric and thermal networks).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 83/ 189

Energy system elementsHeat distribution networks

Contents:

main network elements (piping, heat exchangers, pumps, valves,...), brieydescribed from the constructive point of view and then as simplied models ofuniform structure and interface;a few words on the connections with other courses.

Relevance for the course:

analogously to thermal generators, these elements generally participate inmore than one networks (e.g., for heating, at the building, compound, or evendistrict level).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 84/ 189

Energy system elementsEnergy-relevant building components

Contents:

constructive descriptions and simplied models of walls, glazing, airvolumes,...;a few words on the connections with other courses.

Relevance for the course:

without a description of these elements, no credible control synthesis ispossible;the same elements have a dramatic impact on energy assessment (and possiblycertication) issues. which rigorously cannot ignore the control systems'behaviour.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 85/ 189

Control-related entitiesThe main control structures used (review of and complements on)

Contents:

a review and some complements on cascade control, multivariable control(decentralised and with decoupling), Smith predictor and Internal ModelControl (IMC);a few words on the connections with other courses.

Relevance for the course:

it is extremely important that the engineer be able to structure controlschemes also in the presence of possible constraints (e.g., because the systemis heterogeneous and part of the control already comes packed into somecomponent).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 86/ 189

Control-related entitiesThe main control architectures employed

Contents:

general facts on Distributed Control Systems (DCS), eld busses, networkedcontrol systems, sensor and actuator networks;the basics on how the used architecture may inuence the control design;a few words on the connections with other courses.

Relevance for the course:

in energy systems, controls have tendentiously complex architectures, thesometimes cannot be neglected in the synthesis phase;or, in other words, the eects of a particular implementation (architectureincluded) can lead, if neglected, to results that are very dierent from thoseexpected based on the design.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 87/ 189

Where we shall set the focus(aka, motivation of the didactic choices)

Electric problems require a phasor-based formalism (not too heavy but thatcould distract from a system-level view on the matter, which conversely iswhat we want),

while the same does not hold so true for thermal problems;

moreover, the present quest for an use of automation to improve energyeciency contains relevant issues that pertain to the thermal needs ofresidential and industrial structures.

All the conceptual aspects we want to address, can be treated in thermalcases, with just a few exceptions

relative e.g. to the contextual presence of energy source of both types

or to on-line consumption optimisation.

Therefore (we have 5 CFU...) we shall concentrate mostly, not exclusively, onenergy system of the thermal type.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 88/ 189

A simplied general frameworkfor generator modelling

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 89/ 189

Some schemes at a very high-level......but general (to be specialised for the various cases addressed)

Generator with rotating masses

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 90/ 189

Some schemes at a very high-level......but general (to be specialised for the various cases addressed)

Generator without rotating masses

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 91/ 189

A general framework for generator modelling......valid for the example problems addressed here

Problem type: frequency and (active) power control with cost-optimisedproduction distribution among the available generators.

Main hypothesis: synchronous network.

Later on in the course some words will be spent on generalisations todierent generator types and on the consequences of relaxing the hypothesisand/or extending the problem to e.g. load control including the eects ofreactive power, yet the treated problems are enough to induce the requiredconceptual attitude.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 92/ 189

A general framework for generator modelling(we do not repeat the validity limits from now on)

Necessary model elements:

a source of energy,possibly a rst conversion process (combustion),possibly an intermediate energy storage (in the steam generator),a (second) conversion in the turbine,an electro-mechanical dynamic relationship involving powers (mechanic endelectric) and frequency,some eciencies to account for losses,some cost curves to allow for cost-based optimisation.

As an exercise, let us sketch out a rst model that will form the conceptualbasis for those used in the next lectures.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 93/ 189

A general framework for generator modellingExample model (electric equivalent of e.g. a thermoelectric generator)

Mechanical power: Pm = ηmPt(ηm eciency)

Alternator energy balance: ddt

(12Jω2

)= Pm − Pe

(J moment of inertia, ω angular speed, i.e. frequency, Pe electric power)

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 94/ 189

Lectures 7,8 (4L)

Electric generators

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 95/ 189

Our reference case:a thermoelectric generator

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 96/ 189

A high-level schemebased on the reference thermoelectric case

θ turbine valve position Pc turbine powerp steam pressure Pt combustion powerSG Steam Generator wc fuel (mass) owrate

NOTE: the ∆ prex recalls that in general, although the matter strays from thiscourse, models are obtained by linearisation.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 97/ 189

High-level generator controlagain, on the reference case

A coordinated load4/pressure control is necessary, and various strategies can beenvisaged.

Boiler followsIdea: use θ to modulate Ptand Pc , i.e. wc , to keep p as constant as possible.Pros: very fast response of Pt to its set point.Cons: transient pressure variations, generally not excessive but of noticeableentity, and potentially detrimental especially in the long run (stress).

Turbine followsIdea: use θ and wc the other way round wrt boiler follows.Pros: far better pressure control.Cons: power response much slower.

4i.e., roughly, generated power

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 98/ 189

High-level generator control(cont'd)

Sliding pressureIdea: set θ to its max value (valves fully open)and control Pt by acting on wc .Pros: minimun turbine upset.Cons: power response extremely slow (the boiler is not even concerned withrestoring its pressure).

How is a policy chosen? Generator size, type (e.g. circulating vs. once-through,details in specic courses), role in the network (base load vs. fast dispatching),cost of transients (overring and so on).

Quite often the policy varies depending e.g. on the present load.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 99/ 189

A system-level viewon power control

The most relevant control for the generator/network interaction is powercontrol (frequency will come into play shortly). To this end, we shall assumea generstor to be described by a transfer function

∆Pt(s)

∆Θ(s)= Gtype(s),

where type means standard forms for the generator type and coordinatedcontrol policy. Generally G (s) is however of low order (three at most), andapparently asymptotically stable. Furthermore, introducing a mechanicaleciency,

∆Pm(s) = ηm∆Pt(s).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 100/ 189

A system-level viewon cost evaluation

The transfer function C (s) accounts for the time required for a fuel owvariation to eventually result in more power released to the metal tubes. Ingeneral a rst-order lag, i.e.,

C (s) =µc

1 + sτc,

is enough.

In any case, it is reeasonable to assume that the time scale of combustioncontrol is much faster then the SG proper dynamics.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 101/ 189

A system-level viewon cost evaluation (cont'd)

As such, we can assume that the combustion power always equals its setpoint. As for the cost evaluation, boilers are characterised by an eciencycurvem, that as a rst-cut form suitable for our studies depends on theload and dictates how much fuel power, i.e., fuel owrate, is needed togenerate a given power at a given load.

As we shall briey see, the concepts above carry over to other generator typesin quite straightforward a manner.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 102/ 189

Some wordson other generator types

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 103/ 189

Solar plantof the thermal (thermodynamic) type

Quite traditional type (receiver = SG)

The prime energy source (sun) is clearly uncontrollable⇒ one can think of a varying HH.What is controllable, by focusing or de-focusing the mirrors, is the amount ofthe available power that the plant actually draws⇒ the mirror focusing plays more or less the fuel valve role.Main problems: the mentioned variability and the diculty of introducinglarge energy storages (wrt that provided by the SG alone).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 104/ 189

Solar plantof the thermal (thermodynamic) type

More recent type (an example)

The primary uid (e.g., molten salt) allows for a signicant heat storage,thereby smoothing the prime source variability as seen by the SG⇒ the situation is more similar to the reference thermo case.Note: the gure is highly simplied as for the storage management.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 105/ 189

Hydro plant

Very simple scheme:

On the generator control time scale the energy reserve (basin) may beconsidered practically unlimited.The mechanical power can be assumed to be an algebraic function of theturbine valve command, i.e.,

Pm = f (θ),

although rigorously depending also on the rotor and uid speed (losses are duee.g. to residual jet kinetic energy).

...and so forth for other generator types.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 106/ 189

Generator/networkcoupling

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 107/ 189

A framework to describe the couplingand two ponts of view

Main hypothesis: the frequency ω is controlled (we shall see how shortly).

First wiewpoint (mainly electrical):the network voltage is a constant phasor VN ,and the main coupling variable is the angle δ between the generator voltageand said phasor.Such a viewpoint is suitable to evidence electrical issues like those relative topowers, line overloading, and so on.

Second wiewpoint (mainly energy-related):there is a balance between mechanical power and electric power required bythe loads.This viewpoint is suitable for power/frequency control and cost issues,with which we begin.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 108/ 189

Generator/network interactionEnergy-related viewpoint

Energy balance:

d

dt

(1

2Jω2

)= Pm − Pe ⇒ Jωω = Pm − Pe ⇒ ω =

Pm − Pe

where J is the moment of inertia seen at the generator shaft.

Equilibrium: Pm = Pe but, notice, ∀ω.Let ω be the equilibrium frequency, and linearise (∆ indicates variation wrtequilibrium values, in turn denoted by an overbar):

∆ω = −Pm − Pe

Jω2∆ω︸ ︷︷ ︸

zero, as Pm=Pe

+1

Jω(∆Pm −∆Pe)

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 109/ 189

Generator/network interactionEnergy-related viewpoint (cont'd)

Therefore, dening δω := ∆ω/ω, one obtains

δω =∆ω

ω=

1

Jω2(∆Pm −∆Pe)

Multiplying and dividing by the nominal generator power P and rearranging,

δω =∆ω

ω=

1

Jω2(∆Pm −∆Pe)

P

P=

P

Jω2

(∆Pm

P− ∆Pe

P

)And nally, dening δPm,e := ∆Pm,e/P,

δω =P

Jω2(δPm − δPe)

where the quantity Jω2/P has the dimensions of time (energy over power),and is typically denoted by TA.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 110/ 189

Power and frequency controlGenerator/network interaction

Islanded generator (one generator feeding its own load):

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 111/ 189

Power and frequency controlGenerator/network interaction

Multiple generators, synchronous network:

Notice that powers, not normalised powers, must be added up.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 112/ 189

Power and frequency controlGenerator/network interaction

Multiple generators, synchronous network (cont'd):

Here too the network intrinsic integrator guarantees zero steady-state powererror.However, if regulators Ri (s) are of type 1, there are N integrators in parallel.Thus in such a case the system is not controllable, and the steady-statedistribution of the total power among the generators is undetermined.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 113/ 189

Power and frequency controlGenerator/network interaction

Multiple generators, synchronous network (cont'd).The adopted solution is as follows.

Employ for the primary regulators Ri (s) a type 0 structure, most frequently apure proportional term K , whence the name K∆f frequently encountered forthem.Introduce a secondary frequency control in the form of a single integrator pernetwork, having as input the frequency error.The output of the secondary regulator acts as an additive correction on theoutput of each K∆f controller via a gain βi that can be dierent for eachgenerator, and dictates how much that generator will be asked to participate tothe secondary control.At present generators under a certain size (typ. 1MW) are not asked toparticipate.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 114/ 189

Lezione 10 (2L)

Reti di distribuzione elettrica (cenni)

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 115/ 189

Elementi e problemi principali

I principali costituenti sono

l'insieme delle macchine generatrici quello dei carichi (collettivamente i nodio bus)e i sistemi elettrici di distribuzione che li collegano (le linee).

Per lo studio (essenzialmente in regime permanente)

linee, trasformatori e carichi sono descritti con circuiti equivalenti semplicie passivimentre i generatori sono descritti come sorgenti ideali di tensione sinusoidale.

I problemi (di controllo e ottimizzazione) fondamentali sono

il load ow,il controllo di frequenza e potenzae l'ottimizzazione dell'esercizio.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 116/ 189

Load owIl problema

Determinare il punto di funzionamento del sistema elettrico complessivoavendo classicato i bus come segue:

un bus senza generatori collegati è detto di carico e vi si assumono note lapotenza attiva e reattiva assorbite (per questo i nodi di carico sono anche dettiPQ busses),un bus con almeno un generatore collegato (tranne uno di essi, vedi sotto) èdetto di generazione e vi si assumono noti la potenza attiva generata e ilmodulo della tensione,uno dei bus con almeno un generatore collegato è scelto come bus di slack odi ilancio (tipicamente a rappresentare il punto di connessione con reti a montese ve ne sono) e in esso si assumono noti modulo e fase della tensione;

e conoscendo le ammettenze (G + jB) delle linee.

Ai nostri ni basta formulare e comprendere il problema: la soluzionecoinvolge aspetti di calcolo numerico esterni al corso.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 117/ 189

FormulazioneGli elementi

Le incognite sono

fasi delle tensioni ai nodi generatorie ampiezze e fasi delle tensioni ai nodi di carico,mentre il nodo di slack non introduce incognite.

In una rete con N bus e NG generatori vi sono dunque 2(N − 1)− (NG − 1)inognite.

Le equazioni, dato il carattere dell'analisi, sono bilanci di potenza.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 118/ 189

FormulazioneLe equazioni

Bilanci di potenza attiva

0 = −Pi +N∑k=1

|Vi ||Vk |(Gikcosθik + Biksinθik)

dove Pi è la potenza netta (quella del generatore) iniettata al bus i ,Gik + jBik è l'elemento (i , j) della matrice delle ammettenze della rete, e θik èlo sfasamento tra le tensioni al bus i e al bus k.

Bilanci di potenza reattiva

0 = −Qi +N∑k=1

|Vi ||Vk |(Giksinθik − Bikcosθik)

dove Qi è la potenza reattiva iniettata al bus i ,

Scrivendo i bilanci di potenza attiva e reattiva per i PQ bus e il solo bilanciodi potenza attiva per i bus di generazione si ottengono le necessarie2(N − 1)− (NG − 1) equazioni.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 119/ 189

Commenti

Soluzione:

il sistema di equazioni è non lineare (Newton,...) e sono stati sviluppati moltialgoritmi ad hoc per esso.

Risultato dell'analisi:

conoscenza completa di moduli e fasi delle tensioni su ogni bus, quindipotenza reattiva generata da ogni generatoree ussi di potenza attiva e reattiva in ogni linea.

Usi:

per vericare se una data distribuzione di potenza tra le centrali rispetta ivincoli tecnologici (carico delle linee,...);per provvedere parti di cifre di merito da usarsi per l'ottimizzazionedell'esercizio (per esempio si potrebbe voler minimizzare la potenza reattivatotale,...).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 120/ 189

Controllo di frequenza e potenzaIl problema (nel caso di una rete estesa)

Far sì che ogni generatore immetta in rete la potenza richiesta

e al contempo che la frequenza di rete resti costante.

Le due cose, come sappiamo, sono accoppiate.

Ci concentriamo sul caso dei generatori con masse rotanti (con gli inverter inun certo senso è più facile).

Nota: l'argomento è trattati più a fondo in altri corsi. Qui procediamo in tresemplici passi:

caso con un generatore su un carico (isola),caso con più generatori e sola regolazione primaria,caso con più generatori, regolazione secondaria e controllo di ripartizione.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 121/ 189

Optimal Power Flow (OPF)Problema a parole

Generare la potenza richiesta

rispettando i vincoli tecnici della rete (per esempio non sovraccaricndo lelinee)

al costo minimo possibile

tenendo conto del fatto che alcuni generatori (in linea di principio tutti macome abbiamo visto il contributo si può ripartire) dovranno impegnarsi anchea regolare la frequenza.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 122/ 189

Optimal Power Flow (OPF)Formulazione

Individuare una funzione di costo, tipicamente il costo stricto sensu:

J =

Ngeneratori∑i=1

Pg ,i

ηi (Pg ,i );

individuare i vincoli di uguaglianza (equazioni del Load Flow);

individuare i vincoli di disuguaglianza (limiti sici delle macchine),tipicamente del tipo

Pming ,i ≤ Pg ,i ≤ Pmax

g ,i .

Questo conduce a un problema di ottimizzazione vincolata che si risolvetipicamente con metodi numerici (gradiente, Newton,moltiplicatori diLagrange...) dato che non è in generale detto che si pervenga a funzioni dicosto quadratiche.

Le incognite principali sono i coecienti di ripartizione della generazione(ovvero i coecienti βi nello schema visto);

a volte (se è possibile, anche contrattualmente) si può agire sulla prontezzadelle regolazioni di centrale (se ne ricordi chi un dì parlerà di statismo).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 123/ 189

Generatori e reti elettricheTiriamo le somme

Abbiamo visto come concettualmente guardare il sistema,

quali sono dal nostro punto di vista i componenti fondamentali,

quali sono i problemi ai vari livelli e come li si formula.

Come annunciato la soluzione di tali problemi, pur potendosi fare con metodiche già conoscete, è molto complessa...

...ovvero non aggiungerebbe valore didattico al corso perché i concetti base(ottimizzazione ad alto livello per dare set point a quelli più bassi) si possonovedere anche in casi dalla sica più semplice

come quello dei sistemi termici, verso cui ora ci muoviamo.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 124/ 189

Lezione 11 (2L)

Generatori termici e reti di distribuzione del calore

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 125/ 189

Schema della presentazione

Elementi d'interesse,

ipotesi modellistiche,

modelli degli elementi,

primi modelli aggregati (per quelli completi ci serviranno gli elementi diedicio) e loro analisi dinamica,

sistemi di controllo e conseguenti semplicazioni di alcuni modelli(es. caldaia).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 126/ 189

Elementi principalicome schemi di principio

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 127/ 189

Generatori a combustoreSchema generale di principio

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 128/ 189

Generatori solariSchema generale di principio

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 129/ 189

Elementi riscaldantiSchema generale di principio

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 130/ 189

Elementi di accumulo termicoSchema generale di principio

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 131/ 189

Conclusioni......prima di passare a scrivere i modelli

Altri elementi:

pompe,valvole di vario tipo (2 vie, 3 vie,...),tubielementi di accumulo di massa (vasi a espansione,...).

Ipotesi:

uido incomprimibile,calori specici (uido e metallo) costanti,discretizzazione spaziale (quando serve) a volumi niti,niente inversione di portata (con alcuni incisi capiremo perché).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 132/ 189

Lezioni 12,13,14 (6L)

Modelli di elementi di sistemi energetici termici(nei limiti del corso)

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 133/ 189

Modelli degli elementiParte 1: mattoni base (2h)

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 134/ 189

Modello della valvola

Sperimentalmente, ad apertura ssata, si rileva quanto sopra.Nella zona lineare, la sola che c'interessa (e dove peraltro una valvola di solitova fatta lavorare), la valvola si comporta come una resistenza variabile conl'apertura (la curva si alza aprendo e si abbassa chiudendo). Si noti che lalegge è quadratica, coerentemente con l'equazione di conservazione dellaquantità di moto per un condotto: qui la valvola si comporta proprio cone uncondotto a sezione variabile.Nelle altre zone intervengono fenomeni che si spiegano soltanto con un'analisidella trasformazione termodinamica del uido che esula del tutto da questocorso: noi ci accontentiamo di sapere che l'esperienza mostra che le cosavanno come illustrato.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 135/ 189

Modello della valvola

Detta allora x ∈ [0, 1] la posizione della valvola, il modello è per noi

w = CvmaxΦ(x)√

∆p

doveCvmax è il coeciente d'eusso della valvola, corrispondente alla massimaapertura, ovvero alla massima area del convergente;Φ(x), Φ(0) = 0, Φ(1) = 1, è la caratteristica intrinseca della valvola, ovverouna funzione che dice come l'apertura della valvola varia, andando da zero almassimo, quando la posizione (che si chiama così perché di fatto è proprio laposizione dello stelo o del volantino) varia tra l'estremo tutto chiuso (0) equello tutto aperto (1).

Un altro parametro caratteristico, detta pvc la pressione di vena contratta, èil coeciente di recupero

F =pi − pvc

pi − po.

Nota: con un uido incomprimibile il modello è del tutto analogo se si usa laportata volumetrica q invece di quella massica w (cambiano ovviamentevalore e dimensioni di Cvmax).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 136/ 189

Modello della valvola

Per dimensionare una valvola, argomento su cui torneremo e faremo esempi,occorre allora

scegliere Cvmax in modo che, in tutte le condizioni di lavoro previste, la valvolace la faccia a far passare la portata richiesta;dato per scontato che il ruolo della valvola sia quello di modulare una certaportata w (di solito, ma non sempre, quella che attraversa lei stessa), sceglierela caratteristica intrinseca Φ(x) in modo che la caratteristica installata w(x)sia (il più possibile) lineare;scegliere F in modo che, in tutte le condizioni di lavoro previste, pvc nondivenga troppo bassa (se questo avvenisse il uido alla ne del convergentepotrebbe uscire dalle condizioni di incomprimibilità o addirittura vaporizzare).

Inoltre è bene far lavorare sempre le valvole tra il 25% e il 75% di aperturacirca, perché quando sono quasi del tutto aperte o chiuse le imperfezioninella loro costruzione cominciano a contare e l'azione di modulazione dellaportata si fa imprecisa. Se serve si possono montare in serie e/o parallelo dueo più valvole di taglia diversa: ad esempio per modulare una portata no azero tipicamente si mette una valvola grande in parallelo a una piccola e,vicino a portata zero, si chiude del tutto la grande e si lavora con la piccola.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 137/ 189

Modello della pompa

Pompa centrifuga Pompa volumetrica

Sperimentalmente si rileva quanto sopra:

una pompa centrifuga si comporta come un generatore di (aumento di)pressione ideale in serie a una resistenza (quadratica, al solito, quindiproveniente dagli attriti che compaiono nella conservazione della quantità dimoto);una pompa volumetrica (si ricordi sempre che con gli incomprimibili w = ρq)si comporta come un generatore di portata ideale o quasi, nel senso che a saltidi pressione molto alti una piccola resistenza si avverte per l'eetto congiuntodella comprimibilità del uido e della deformabilità della pompa (noicomunque non consideriamo tali eetti).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 138/ 189

Modello della pompa

Quindi per una pompa centrifuga (ssato il uido) il modello è

∆p = H0(n)− H1(n)w2

dove n è il numero di giri e, assegnato un numero di giri nominale n0 cuicorrispondono H0 = H0 e H1 = H1, si ha tipicamente

H0(n) = H0n

n0, H1(n) = H1

n

n0.

Per una pompa volumetrica invece si ha semplicemente

w = Kn

dove K è un parametro caratteristico della pompa (tralasciamo qui ladierenza tra i casi a usso continuo e pulsante)

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 139/ 189

Modello del tubo

Per valvole e pompe i fenomeni termici sono spesso (e ai nostri ni sempre)trascurabili.Nel caso dei tubi, almeno a volte, non è così (pensiamo per esempio agliscambiatori di calore).Dovremo allora tener conto sia dell'idraulica che della termica, ovveroscrivere sia la conservazione della massa (equazione algebrica dato che pernoi l'idraulica è innitamente rapida) che quella dell'energia (e questa saràinvece un'equazione dierenziale, ordinaria perché operiamo a parametriconcentrati).Inoltre, valvole e pompe sono costruite e installate per funzionare con laportata in un solo verso e quindi a noi non interessa scrivere modelli chetengano conto dell'inversione di portata. Per questo abbiamotranquillamente scritto w2 mentre, per tener conto del fatto che l'attrito sioppone sempre al moto, avremmo dovuto scrivere per l'esattezza w |w |.Anche per questo aspetto, nel caso dei tubi almeno a volte non è così.Occorrerebbe quindi scrivere le equazioni in modo che possano funzionareindipendentemente dal verso (ossia dal segno) assunto dalla portata. Inquesto corso non lo faremo perché ci porterebbe via troppo tempo ma. comenel caso delle equazioni a paramteri distribuiti, faremo un piccolo inciso perfar capire cosa signica.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 140/ 189

Modello del tubocon inciso sull'inversione di portata

Richiamiamo l'equazione di conservazione della quantità di moto per un tuboa sezione costante (ci limitiamo a questo caso, come già detto):

pi − po = KfωL

Aρu|u| − ρg∆z .

Ricordando che w = ρAu, quindi,

∆p = KfωL

Aρw |w |ρ2A2

− ρg∆z ,

∆p = KfωLw |w |ρA3

− ρg∆z .

Inne, inglobando in un solo coeciente KT tutte le caratteristiche del tuboma lasciando per chiarezza espressa la dipendenza da ρ, si ha

∆p =KT

ρw |w | − ρg∆z

che fornisce la parte idraulica del modello.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 141/ 189

Modello del tubocon inciso sull'inversione di portata

Passiamo ora alla parte termica. Introducendo la nota semplicazioneh = cT , se w > 0 risulta subito

ρVcdT

dt= cw(Ti − To) + Q, To = T ,

dove V è il volume (ovviamente costante) del tubo.

Se invece w < 0 sarà

ρVcdT

dt= cw(Ti − To) + Q, Ti = T .

Decisamente un modello scritto così non è chiaro e al momento diconnetterlo con altri è molto facile che si generi confusione. Conviene alloraadottare (e non soltanto per i tubi) un approccio più uniforme e sistematico.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 142/ 189

Modello del tubocon inciso sull'inversione di portata

Allora d'ora in poi tutti gli elementi (non solo i tubi anche se cominciamo daloro)

saranno considerati dei volumi di controllo,avranno portate di scambio con altri volumi e il verso di tali portate saràpositivo se esse sono entranti nel volume,avranno potenze termiche di scambio con altri volumi e il verso di tali potenzesarà positivo se esse sono entranti nel volume,

Applichiamo ciò al tubo:

wi + wo = 0

pi − po =KT

ρwi |wi | − ρg∆z

ρVcdT

dt= cwiTi + cwoTo + Q

if wi > 0 thenTo − T = 0

else

Ti − T = 0

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 143/ 189

Modello del tubocon inciso sull'inversione di portata

Questo modello contiene delle equazioni condizionali (e per inciso non trattail caso in cui w resti nulla a lungo perché ai nostri ni non interessa)5.

Ricordiamo che nel modello ci sono equazioni, non assegnamenti! Chi nonha ancora compreso la dierenza colmi subito questa lacuna perchè altrimentinon capirà nulla né di modellistica e nemmeno di software per la medesima,anche se sa tutti i linguaggi di programmazione e di specica del mondo.

Proprio per evidenziare questo fatto ed eliminare potenziali equivoci leequazioni entro il costrutto if sono scritte facendole terminare con =0: ilcostrutto if nei modelli con equazioni condizionali NON signica se questo èvero si fa questo calcolo ma se questo è vero deve valere quest'equazione.

Per inciso, ci occorreranno ambienti (software) di simulazione capaci ditrattare le equazioni condizionali. Ne vedremo brevemente uno(OpenModelica, che avrete a disposizione) ma non potremo qui approfondirel'argomento. Chi è interessato a questo importante mondo è invitato, alla LS,a seguire il corso di Tecniche e strumenti di simulazione.

5Spunto di riessione: perché non lo tratta? Cosa manca? Come si potrebbe fare per ovviarea tale mancanza?

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 144/ 189

Modello del serbatoio a pelo liberocon inciso sull'inversione di portata

Consideriamo un serbatoio a pelo libero (per semplicità cilindrico), di area dibase A. Dobbiamo scrivere, stanti le premesse, le equazioni di conservazionedi massa ed energia.

Esprimiamo prima la massa M e l'energia E contenute e poi le loro derivate.Indichiamo con l il livello; il signicato degli altri simboli usati è il solito.Facendo l'ipotesi che il serbatoio non tracimi6 otteniamo

M = ρAlE = McT

dM

dt=

N∑i=1

wi

dE

dt=

N∑i=1

wicTi +M∑j=1

Qj

for i = 1 : Nif wi < 0 then Ti − T = 0

Ovviamente il signicato di for i=1:N qui è si scrivono N equazioni...6Spunto di riessione: e se no?

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 145/ 189

Modelli degli elementiParte 2: strutturazione OO e scrittura in Modelica (4h)

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 146/ 189

La libreria ASE_Thermo

Per questa parte del corso (e anche per lo svolgimento dei progetti d'esamesu questi argomenti) è stata creata una libreria Modelica.

Tale libreria è disponibile sul sito insieme alla relativa documentazione informato pdf. Naturalmente il progetto è in continua evoluzione...

Ora esaminiamo insieme i modelli principali della libreria, direttamente inModelica.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 147/ 189

Principali strutture di controllo

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 148/ 189

Principali strutture di controlloPremessa

Qui (ri)vedremo alcune delle principali strutture di controllo, ovvero

la compensazione in anello aperto,il controllo in cascata,il controllo multivariabile con disaccoppiamento (nel caso 2× 2),il predittore di Smith,il controllo a modello interno (IMC, Internal Model Control).

Impareremo anche a cosa esse servono nel nostro contesto, cercando diqualicarle come adatte a un problema con certe caratteristiche dinamiche(non necessariamente siche).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 149/ 189

Compensazione in anello aperto (feedforward)

Quando c'è un disturbo in andata d(t) e se ne può ottenere una misura dm(t)tramite un misuratore M(s), ha senso tentare di annullare - o quantomenoridurre - la sua inuenza su y con un compensatore in anello aperto C (s).

A tale scopo occorre calcolare C (s) in modo che la funzione di trasferimentoda d a y sia nulla.

Fatelo (avete 1 minuto) e poi ne discutiamo.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 150/ 189

Compensazione in anello aperto

Risulta

H(s) + M(s)C (s)P(s)

1 + R(s)P(s)= 0, ⇒ C (s) = − H(s)

M(s)P(s)

Prima osservazione: R(s) non c'entra. Ovviamente la retroazione aiuta arigettare d ma lo fa soltanto quando i suoi eetti si sono manifestati su y ,mentre la compensazione agisce subito. Pernsando allora ad esempio a undisturbo costante,

la compensazione agisce prontamente ma funziona soltanto se il modello èpreciso (opera in anello aperto),mentre la retroazione non agisce prontamente ma può annullare a regimel'eetto del disturbo anche a fronte di errori di modello.

In generale, retroazione e compensazione cooperano. Con una terminologianon del tutto rigorosa ma espressiva si dice che la compensazione contrastail disturbo in modo rapido ma approssimato e poi interviene la retroazione asistemare le cose a regime.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 151/ 189

Compensazione in anello aperto

Seconda osservazione: il compensatore trovato è ideale, e infatti scriveremo

CID(s) = − H(s)

M(s)P(s),

perché

potrebbe avere più zeri che polie/o potrebbe avere poli nel semipiano destro.

In tali casi occorre ottenere dal compensatore ideale CID(s) un compensatorereale CR(s)

togliendo zeri e/o aggiungendo polie comunque omettendo eventuali poli nel semipiano destro.

Facendo così si avrà un compensatore buono no a una certa frequenza,quella dove CR(jω) inizia a dierire in modo signicativo da CID(jω),considerando sia il modulo che la fase.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 152/ 189

Controllo in cascata (cascade control)

Quando nel sistema di controllo c'è una variabile y1 che

risponde al segnale di controllo u1 più rapidamente (in senso dinamico) diqualto faccia la variabile controllata y2e si può misurare (il che, sappiate e ricordate, costa)

allora può convenire usare lo schema illustrato.

Un caso tipico è quello in cui P1 e P2 rappresentano, rispettivamente,l'attuatore e il processo vero e proprio.

Il principio è avere un anello interno veloce, che nasconde all'esterno sia ladinamica di P1 che il disturbo d1.

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 153/ 189

Controllo in cascata

La gura illustra il principio di funzionamento dello schema in cascata,ponendo LI = RIP1 e indicando con ωcI e ωcE le pulsazioni critiche deglianelli interno ed esterno

Ai ni pratici occorre una separazione minima di mezza decade (meglio una)tra i due anelli, ovvero che ωcI sia almeno 5 (meglio 10) volte più grande diωcE . In tale ipotesi ha senso calcolare ωcE usando come fumzione ditrasferimento d'anello esterno REP2-

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 154/ 189

Controllo in cascata

Infatti, nel caso ideale, l'anello interno chiuso produce la situazione quimostrata.

Per la sintesi

prima si determina RI basandosi sul solo P1

e quindi si sintetizza RE basandosi sul solo P2, mantenendo la separazione dibanda richiesta.

E' ora utile analizzare lo schema un po' più a fondo. Calcoliamo le 6 funzionidi trasferimento dagli ingressi yo2 , d1 e d2 alla variabile controllata y2

con lo schema in cascata idealizzato (Tci , Hci , Kci ),e con quello reale (Tcr , Hcr , Kcr ),e senza cascata, ossia con un solo regolatore R agente su u1 (Tnc , Hnc , Knc).

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 155/ 189

Controllo in cascata

Cascata con anello interno idealizzato:

Tci (s) := Y (s)Y o(s)

∣∣∣a.i. ideale

= RE (s)P2(s)1+RE (s)P2(s)

Hci (s) := Y (s)D1(s)

∣∣∣a.i. ideale

= 0

Kci (s) := Y (s)D2(s)

∣∣∣a.i. ideale

= 11+RE (s)P2(s)

Cascata con anello interno reale:

Tcr (s) := Y (s)Y o(s)

∣∣∣a.i. reale

= RE (s)RI (s)P1(s)P2(s)1+RI (s)P1(s)(1+RE (s)P2(s))

Hcr (s) := Y (s)D1(s)

∣∣∣a.i. reale

= P2(s)1+RI (s)P1(s)(1+RE (s)P2(s))

Kcr (s) := Y (s)D2(s)

∣∣∣a.i. reale

= 1+RI (s)P1(s)1+RI (s)P1(s)(1+RE (s)P2(s))

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 156/ 189

Controllo in cascata (cascade control)

Osservazione importante:

|RIP1| → ∞ ⇒

Tcr → Tci

Hcr → Hci

Kcr → Kci

Senza il controllo in cascata, ovvero singolo anello con regolatore R(s):

Tnc(s) := Y (s)Y o(s)

∣∣∣single loop

= R(s)P1(s)P2(s)1+R(s)P1(s)P2(s)

Hnc(s) := Y (s)D1(s)

∣∣∣single loop

= P2(s)1+R(s)P1(s)P2(s)

Knc(s) := Y (s)D2(s)

∣∣∣single loop

= 11+R(s)P1(s)P2(s)

Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 157/ 189

Controllo multivariabile con disaccoppiamento (decoupling)

Iniziamo descrivendo un processo LTI multivariabile. Ci limitiamo al caso2× 2 (2 ingressi e 2 uscite) per semplicità di trattazione; l'estensione al cason × n è comunque ovvia.

Un processo LTI MIMO (Multiple Input, Multiple Output) si descrive con unamatrice di trasferimento, quadrata se - come nel nostro caso - ci sono tantiingressi quante uscite. L'elemento (i , j) di tale matrice è la funzione ditrasferimento dall'ingresso j-esimo all'uscita i-esima.

Ad esempio, un processo con 2 ingressi u1, u2 e 2 uscite y1, y2 (il nostro caso)si descrive come[

Y1(s)Y2(s)

]=

[P11(s) P12(s)P21(s) P22(s)

] [U1(s)U2(s)

]dove la matrice di trasferimento è

P(s) =

[P11(s) P12(s)P21(s) P22(s)

]

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Controllo multivariabile con disaccoppiamento

Vediamo per maggior chiarezza la cosa in termini di schema a blocchi:

Y1 = P11U1 + P12U2

Y2 = P21U1 + P22U2

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Controllo multivariabile con disaccoppiamento

Il controllo multivariabile con disaccoppiamento aronta il problema in duepassi:

prima si antepone a P(s) una matrice di trasferimento 2× 2 D(s), cherappresenta il sistema detto disaccoppiatore, ovvero si costruisce il sistema

dove D(s) si determina in modo che l'ingresso v1 non abbia eetto sull'uscitay2 e, simmetricamente, l'ingresso v2 non ne abbia su y2;quindi, avendo ridotto il problema di controllare un sistema MIMO 2× 2 aquello di controllare due sistemi SISO (Single Input, Single Output)indipendenti, si procede con i metodi noti.

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Controllo multivariabile con disaccoppiamento

Procediamo ora alla determinazione di D(s).

Vogliamo ottenere quanto indicato in gura

ovvero, ponendo Y ′ = [Y1 Y2], U ′ = [U1 U2] e V ′ = [V1 V2], che

Y = PU =

7︷︸︸︷PD V =

[P11(s) 0

0 P22(s)

]V

Allora D(s) si determina, moltlipicando a sinistra per P−1(s) i fattori matricedell'ultima eguaglianza, come

D(s) = P−1(s)

[P11(s) 0

0 P22(s)

]7ATTENZIONE: il prodotto di matrici non commuta, quindi PD e non DP!

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Controllo multivariabile con disaccoppiamento

Interpretiamo il risultato:

D =

[P11 P12

P21 P22

]−1 [P11 00 P22

]quindi

D−1 =

([P11 P12

P21 P22

]−1 [P11 00 P22

])−1

=

[P11 00 P22

]−1 [P11 P12

P21 P22

]

=1

P11P22

[P22 00 P11

] [P11 P12

P21 P22

]

=1

P11P22

[P11P22 P12P22

P11P21 P11P22

]=

[1 P12/P11

P21/P22 1

]Alberto Leva Automazione nei Sistemi Energetici 162/ 189

Controllo multivariabile con disaccoppiamento

Allora, dato che U = DV , è anche V = D−1U, ovvero[V1(s)V2(s)

]=

[1 P12

P11P21P22

1

] [U1(s)U2(s)

]⇒

V1 = U1 + P12

P11U2

V2 = P21P22

U1 + U2

Si ha quindi immediatamenteU1 = V1 − P12

P11U2

U2 = V2 − P21P22

U1

e il disaccoppiatore è pertanto descritto dallo schema a blocchi

che spiega anche perché spesso lo si chiama disaccopppiatore all'indietro.

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Controllo multivariabile con disaccoppiamento

Lo schema illustra il funzionamento del disaccoppiatore all'indietro,evidenziando come esso annulli il cammino netto di segnale tra v1 e y2 (lasomma di quelli rosso e blu).

Osservatelo attentamente e ritrovatevi i concetti che abbiamo esposto. Fatedomande se necessario.

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Controllo multivariabile con disaccoppiamento

Anche qui può presentarsi il problema di realizzabilità visto per lacompensazione in anello aperto. Infatti i blocchi presenti nel disaccoppiatore

potrebbero avere più zeri che polie/o potrebbero avere poli nel semipiano destro.

In tali casi il disaccoppiamento ideale non è possibile e occorrerà rendererealizzabili i blocchi che non lo fossero

togliendo zeri e/o aggiungendo polie comunque omettendo eventuali poli nel semipiano destro.

Facendo così si avrà un disaccopiamento buono no a una certa frequenza,quella dove almeno uno dei blocchi del disaccoppiatore eettivamenteimplementato inizia a dierire in modo signicativo dalla sua espressioneideale, considerando sia il modulo che la fase.

Una trattazione approfondita degli eetti del disaccoppiamentoapprossimato sulla successiva sintesi dei due regolatori SISO esula da questocorso.

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Controllo multivariabile con disaccoppiamento

Schema completo del sistema di controllo

I regolatori R1(s) e R2(s) si progettano coi metodi noti, come se si avesse ache fare con due sistemi da controllare indipendenti, aventi funzione ditrasferimento rispettivamente P11(s) e P22(s).

Anche sul disaccoppiamento vedremo più avanti degli esempi.

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Predittore di Smith (Smith predictor)

Serve quando il processo contiene un ritardo così grande che per avere unmargine di fase accettabile bisogna limitare la banda di controllo in un modoche invece accettabile non è.

Sfrutta il fatto che, nello schema mostrato, risulta

Y (s)

U(s)= PR(s)

dove la funzione di trasferimento PR(s) si assume razionale fratta.

Il blocco C (s) si può quindi sintetizzare, coi metodi noti, tenendo conto dellasola dinamica razionale del processo.

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Predittore di Smith

Dallo schema, infatti, risulta subito

Y (s)

Y o(s)=

C (s)PR(s)

1 + C (s)PR(s)

Inoltre, il regolatore indicato nello schema stesso è evidentementeequivalente a uno in retroazione con funzione di trasferimento

R(s) =C (s)

1 + C (s)PR(s)(1− e−sτ )

per cui

Y (s)

Y o(s)=

R(s)PR(s)e−sτ

1 + R(s)PR(s)e−sτ

=

C(s)1+C(s)PR (s)(1−e−sτ )PR(s)e−sτ

1 + C(s)1+C(s)PR (s)(1−e−sτ )PR(s)e−sτ

= . . . =C (s)PR(s)e−sτ

1 + C (s)PR(s)

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Predittore di Smith

In conclusione, allora,Y (s)

Y o(s)=

Y (s)

Y o(s)e−sτ

ovvero, sintetizzando C (s) sulla base di PR(s) e usando lo schema apredittore di Smith, il comportamento di y che si ottiene è quello di y ,semplicemente ritardato di τ .

Naturalmente occorre

che il modello sia preciso (più di quanto serve per la sintesi di un normaleregolatore in retroazione), specialmente per il ritardo (tanto più quanto questodomina la dinamica razionale)e che non vi siano disturbi (signicativi),

perché se non è così y non è una buona predizione di y e lo schema nonfunziona.

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Controllo a modello interno

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Controllo a modello interno

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Controllo a modello interno

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Controllo a modello interno

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Complemento sul controllo con disaccoppiamento

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Complemento sul controllo con disaccoppiamento

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Complemento sul controllo con disaccoppiamento

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Complemento sul controllo con disaccoppiamento

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Complemento sul controllo a due gradi di libertà

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Complemento sul controllo a due gradi di libertà

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Lezione 17 (2L)

Inuenza dell'architettura di controllo sul progetto dei controllori (cenni)

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