aula9 m2015
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#omo pode apreciar-se em cada ponto arecta tangente muda$ indicando %ue uma
função pode ter valores diferentes da
derivada em cada ponto.
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)ortanto toda função de duas variáveis x e ypode ter duas derivadas parciais,
Nome Símbolo
*erivada parcial comrespeito a x
*erivada parcial comrespeito a y
ssim$ se existeo limite.
nalogamente$
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• ssim$ toda função de n variáveis x$ x/$0$ xn pode ter n derivadas parciais.
• s derivadas parciais duma função num pontopodem, existir as todas$ existir algumas$ existir
uma soin1a ou não existir nen1uma.• ! valor de cada derivada parcial é independente
do valor da outra.
• ! valor da derivada parcial duma função comrespeito a uma variável no ponto representa ataxa de crescimento da função como resultadodo crescimento dessa variável somente$ ou se2aa in3uencia dessa variável no crescimento da
função no ponto.
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• 4m a%ueles pontos do dom'nio da funçãoonde existe a derivada parcial com respeito ax$ pode formar-se uma nova função$ %uenomearemos derivada parcial com respeito a
x.
!nde * representa o con2unto de pontos dodom'nio de f onde f possui derivada parcialcom respeito a x.
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4xemplo
• 42emplos y / pag 676-678
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+e f é uma função de duas variáveis$ asseus derivadas parciais f x y f y tam9ém
são funções de duas variáveis$ de modo%ue podemos considerar novamentesuas derivadas parciais f xx , f xy , f yx y
f yy , c1amadas derivadas parciais de
segunda ordem de f .
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4xemplo,
#alcular as funções derivadas parciaisde segunda ordem da função,( )
424 6, y x x y x f +=
Solução:
)rimeiro$ calculamos as primeiras derivadas parciais e depois$ apartir de estas$ as segundas derivadas parciais,
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)or analogia com as funções de uma variável$ vamosa de&nir o conceito de função diferenciável de duasvariáveis.
4m funções duma variável se de&niu comodiferenciável a toda função cu2o incremento ∆f podiaexpressar-se como a soma duma parte linear (odiferencial e um resto %ue era uma função máscomplexa a %ual dependia do incremento ∆x e %ue%uando ∆x→:$ esse resto tendia mais rapidamente a: %ue o pr;prio incremento ∆x.
Em símbolos:( ) 0
x
)x(lime)x(xf )(f
0xlinear parte
ldiferencia
=
∆
∆ε∆ε+∆′=∆
→∆
aa
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4m funções de várias variáveis a de&nição ésimilar,
)ranteando a de&nição para funções de /
variáveis,Em símbolos:( ) ( )
0)y,x()y,x(lime
)y,x(y,f x,f ),(f
)0,0()y,x(
deroelinear parte
totalldiferencia
yx
=∆∆∆∆ε
∆∆ε+∆+∆=∆
→∆∆
ãointerpolaçr
bababa
.yx
) b,a(df ),(f
∆∆
≈∆
esincrementodospe%uenosvalorespara
entãovel$diferenciáéf +e ba
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! conceito de diferencia9ilidade de funções devárias variáveis$ se 9em não diferencia-se muitodo conceito de funções duma variável$ temimportantes implicações,
•)odem existir as duas derivadas parciais dumafunção de duas variáveis e a função não serdiferenciável.
•+e uma função é diferenciável$ então é continuae possui todas as suas derivadas parciais.
•+e todas as suas derivadas parciais dumafunção são cont'nuas numa viin1ança dumponto$ então pode a&rmar-se %ue a função édiferenciável em esse ponto.
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• grá&ca duma funçãodiferenciável numponto possui 9emmais %ue duas rectastangentes no ponto detangencia$ possui umplano tangenteplano tangente.
• +uperf'cies como ocone possuem planotangente em todoponto$ excepto novértice.
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4xerc'cio para a pr;ximaaula,
• c1ar a e%uação do plano tangente "superf'cie de e%uação noponto ($