Aula Teórica 12 & 13

Equação de Bernoulli e Equação de Conservação da Energia

Bernoulli’s Equation

• Let us consider a Stream - pipe such as indicated in the figure and an ideal fluid (without viscosity) .

• Using the mass and momentum conservation principles,

• obtain an equation relating the energy in two sections.

Mass conservation

• Being a stream pipe there flow on the tops only.

Performing a mass balance

0

0

;0

mdAdst

mddVt

mmdVt

CV

inout

CV

0

mdAdst

V Below we will use:

Momentum Balance

Forces

Bernoulli’s Equation

Considerations

• The Mechanical energy remains constant along a streamline in steady, incompressible, frictionless flow.

• Pressure is a form of energy: is the energy (work) necessary for moving a unit of volume from null pressure to P.

• Total pressure:

• Piezometric Pressure:

2

2

1VPPtotal

gzPPpiezo

Problems

Nozzle: compute the force knowing the discharge.

Chaminé

• Considere uma chaminé que escoa um gás cuja massa volúmica é 1.1 kgm-3 relacione a velocidade à saída com a altura da chaminé e com a massa volúmica do ar exterior.

A equação de Bernoulli só é aplicável se as propriedades do fluido forem uniformes e por isso pode ser aplicada no interior da chaminé ou no exterior, mas não para relacionar pontos do interior com pontos do exterior. A diferença de pressões entre a entrada e a saída da chaminé é determinada pelas condições exteriores:

Chaminé - Resolução

• Considere o escoamento num tubo de Ventouri cuja área de entrada (e saída) é de 5 cm2 e na garganta é 2 cm. Se o fluido que circula no Ventouri for ar e h for 10 cm de água, determine o caudal que circula no Ventouri.

The Energy Equation

• Let us consider a control volume, and apply the Reynolds theorem to the Energy conservation principle.

• If we assume – uniform properties at the inlet and outlet,– Steady conditions and incompressible and

adiabatic flow.• We will obtain a generalised form of the

Bernoulli’s equation.

The Energy Equation

• Applying the Reynolds Theorem to the Energy conservation principle one could write:

Pressure force work

• Per unit of time (Power):

In a steady, with one inlet and one outlet with uniform properties one gets:

If incompressible and adiabatic

In case of incompressible flow, adiabatic , the equation becomes:

That is a generalised form of the Bernoulli Equation.

Problem• Consider the reservoir of problem 3.21. If

a horizontal pipe 10 meters long was connected to the outlet and the velocity was reduced to one half, compute the rate of energy dissipation per unit of volume and per unit of time?

• How much should the exit be lowered to increase the original discharge?

• Compute the shear stress on the pipe walls.

Força exercida por um jacto sobre superfície

Considere um jacto de água de 10 cm de diâmetro e velocidade média de 4 m/s. que incide perpendicularmente a uma placa plana.a) Calcule o caudal de água.b) Calcule os fluxos de quantidade de movimento e de energia cinética.c) Calcule a força normal exercida sobre a placa. d) Repita os cálculos, para o caso de a placa fazer um ângulo de 45º com o jacto.e) Repita os cálculos para o caso de a placa se deslocar à velocidade de 2 m/s. Neste caso quanto vale a potência fornecida à placa? f) Suponha que esta placa era uma pá de uma turbina, e que a geometria da roda é tal que quando o fluido deixa de incidir numa pá, passa a incidir na seguinte.

VC

F

x