Aula 11 LeiFaraday

8/17/2019 Aula 11 LeiFaraday

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Profª Drª Simone F. Souza

Aula 11

Indução eletromagnética e Lei de

Faraday


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Introdução

Na aula passada discutimos o fato de que uma corrente produz um

campo magnético. Isso foi uma surpresa para os cientistas que

observaram o fenômeno pela primeira vez.

Talvez ainda mais surpreendente tenha sido a descoberta do efeito

oposto: um campo magnético pode gerar um campo elétrico

capaz de produzir uma corrente. Essa ligação entre um campo

magnético e um campo elétrico produzido (induzido) é hoje chamada

de lei de indução de Faraday.

A indução é responsável pelo funcionamento das guitarras elétricas.Também é essencial para a operação dos geradores que fornecem

energia elétrica para as cidades. Fornos de indução são comuns nas

fábricas onde grandes quantidades de metal têm que ser fundidas

rapidamente.


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Dois experimentos

Antes de tratar de aplicações, vamos discutir dois experimentos simples relacionados à

lei de indução de Faraday.

Primeiro experimento

A figura ao lado mostra uma espira de material

condutor ligada a um amperímetro.

Como não existe uma bateria ou outra fonte de

tensão no circuito, não há corrente.

Entretanto, quando aproximamos da espira um

ímã em forma de barra o amperímetro indica a

passagem de uma corrente!

Figura 1


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A corrente desaparece quando o ímã pára.

Quando afastamos o ímã da espira, a corrente

torna a aparecer no sentido contrário.

1) A corrente é observada somente se existe um movimento relativo entre a espirae o ímã; a corrente desaparece no momento em que o movimento relativo deixa de

existir.

Repetindo o experimento algumas vezes

chegamos às seguintes conclusões:

2) Quanto mais rápido o movimento, maior a corrente.

3) Quando aproximamos da espira o polo norte do ímã a corrente tem o sentido

horário, quando afastamos o polo norte a corrente tem o sentido anti-horário. O

inverso acontece para o polo sul.


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Segundo experimento

Para este experimento usamos o arranjo mostrado na figura abaixo:

Neste caso teremos duas espiras

condutoras próximas uma da outra, mas

que não se tocam.

Quando a chave S é fechada, fazendo passar uma

corrente na espira direita, o amperímetro

registra, por um breve instante, uma corrente na

espira da esquerda.

Quando a chave S é aberta, o instrumento também

registra uma corrente, no sentido oposto.

Figura 2


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Observamos uma corrente induzida (e,

portanto, uma força eletromotriz induzida)

quando a corrente na espira da direita

está variando (aumentando ou

diminuindo), mas não quando é constante

(com a chave permanentemente aberta ou

permanentemente fechada).

A força eletromotriz induzida e a corrente induzida nesses experimentos são

aparentemente causadas pela variação de alguma coisa, mas qual é essa “coisa”?

Michael Faraday (1791 – 1867),

físico e químico inglês.


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A lei de indução de Faraday

Faraday descobriu que uma força eletromotriz e uma corrente

podem ser induzidas em uma espira, como em nossos dois

experimentos, fazendo variar a “quantidade de campo

magnético” que atravessa a espira.

Faraday percebeu ainda que a “quantidade de campo magnético” pode ser visualizada

em termos das linhas de campo magnético que atravessam a espira.

A lei de indução de Faraday, enunciada em termos dos experimentos mostrados

anteriormente, diz o seguinte:

Uma força eletromotriz é induzida na espira da esquerda das figuras

1 e 2 quando o número de linhas de campo magnético que atravessa

a espira varia.


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A lei de indução de Faraday – um tratamento quantitativo

Para aplicar a lei de Faraday a problemas específicos precisamos saber calcular a

quantidade de campo magnético que atravessa uma espira.

Nas aulas anteriores calculamos a quantidade campo elétrico que atravessa uma

superfície. Para isso definimos um fluxo elétrico:

Vamos agora definir o fluxo magnético: suponha uma espira que envolve uma área

A seja submetida a um campo magnético . Nesse caso, o fluxo magnético que

atravessa a espira é dado por:

é um vetor de módulo dA perpendicular a superfície.


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Como um caso especial da última equação, suponha que

a espira esteja em um plano e que o campo magnético seja

perpendicular ao plano da espira.

Se, além disso, o campo magnético é uniforme, B pode ser colocado do lado de forado sinal da integral. Nesse caso, teremos:

De acordo com as equações anteriores, a unidade de fluxo magnético é o tesla-metro

quadrado, que recebe o nome de weber:

A

Neste caso, podemos escrever o produto escalar como:


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Usando a definição de fluxo magnético, podemos enunciar a lei de Faraday de

modo mais rigoroso:

Como vamos verificar na próxima seção, a força eletromotriz induzida se opõe à

variação do fluxo, de modo que, matematicamente, a lei de Faraday pode serescrita na forma:

O sinal negativo é frequentemente omitido, já que em muitos casos estamos

interessados apenas no valor absoluto da força eletromotriz induzida.


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Se o fluxo magnético através de uma bobina de N

espiras sofre uma variação, uma força eletromotriz é

induzida em cada espira e a força eletromotriz total

é a soma dessas forças eletromotrizes.

Se as espiras da bobina estão muito próximas (enrolamento compacto), o mesmo

fluxo magnético Φ atravessa todas as espiras, e a força eletromotriz total

induzida na bobina é dada por:

Existem três formas de mudar o fluxo magnético que

atravessa uma bobina. Vejamos quais são elas!


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(2) Mudar a área total da bobina ou a parte da área atravessada pelo campo magnético

Aumentando ou diminuindo o tamanho da bobina, no primeiro caso, e colocando

uma parte maior ou menor da bobina na região do campo, no segundo caso.

(3) Mudar o ângulo entre a orientação do campo magnético e o plano da bobina

(fazendo girar a bobina, por exemplo).

(1) Mudar o módulo B do campo magnético.


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Exemplo 1: força eletromotriz induzida em uma bobina por um

solenóide.


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A lei de Lenz

Pouco depois de Faraday propor a lei de indução Heinrich Friedrich Lenz inventou uma

regra, hoje conhecida como lei de Lenz, para determinar o sentido da corrente

induzida em uma espira.

Heinrich Friedrich Lenz (1804 – 1865) foi um

cientista alemão que realizou de modo independentemuitas das experiências feitas por Faraday.

Lei de Lenz: a corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o

campo magnético produzido pela corrente se opõe ao campo magnético que

induz a corrente.

A força eletromotriz induzida tem o mesmo sentido que a corrente induzida.


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Para ter uma ideia melhor de como funciona a lei de Lenz, vamos aplicá-la à situação

da figura abaixo, na qual o polo norte de um ímã está se aproximando de uma espira

condutora:

Na figura ao lado, com o ímã inicialmente distante o fluxo

magnético que atravessa a espira é zero.

Quando o polo norte do ímã se aproxima da espira com o campo

magnético apontando para baixo, o fluxo através da espira

aumenta.

Para se o por a esse aumento de fluxo a corrente induzida i deve

criar um campo apontando para cima como mostrado na

figura abaixo:

Nesse caso, o fluxo para cima de se opõe ao

aumento do fluxo para baixo causado pela

aproximação do ímã e o consequente aumento de .


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De acordo com a regra da mão direita (polegar apontado na

direção do campo ), a corrente induzida i deve estar no

sentido anti-horário, para gerar um campo na direção

indicada na figura.

Note que o fluxo de sempre se opõe à variação do fluxo de ,

mas isso não significa que e sempre têm sentidos opostos.

Por exemplo, quando afastamos o ímã da espira o fluxo Φ

produzido pelo ímã tem o mesmo sentido que antes (para

baixo), mas agora está diminuindo.

Nesse caso, como mostra a figura ao lado, o fluxo de

também deve ser para baixo, de modo a se opor à

diminuição do fluxo . Nesse caso, portanto, e têm o

mesmo sentido.


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Exemplo 2:


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(1) De acordo com a lei de Faraday, o valor absoluto da força

eletromotriz induzida é igual à taxa de variação do fluxo magnéticoatravés da espira:

(2) O fluxo através da espira depende da área A da espira e da

orientação da espira em relação ao campo magnético

(3) Como é uniforme e perpendicular ao plano da espira, o fluxo é

dado por

(4) O campo induzido (produzido pela corrente induzida0 se

opõe à variação do fluxo magnético (lei de Lenz).


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Usando a equação Φ = BA e levando em conta o fato de que

apenas o módulo B do campo varia com o tempo (a área A é

constante), podemos escrever a lei de Faraday na forma:


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Crescente,

pois B cresce

com o tempo.


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Exemplo 3:


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(1) Como o módulo do campo magnético varia com o tempo, o fluxo

magnético através da espira também varia.(2) De acordo com a lei de Faraday, a variação do fluxo induz na

espira uma força eletromotriz

(3) Para usar a equação acima precisamos de uma expressão para o

fluxo em função do tempo. Entretanto como B não é uniforme nointerior da espira, não podemos usar a equação Φ = BA para calcular

essa expressão, mas devemos usar a seguinte equação:


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W = 3,0 m


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Indução e transferência de energia

De acordo com a lei de Lenz, quando o ímã da figura ao lado

é aproximado ou afastado da espira, uma força magnética

oferece resistência ao movimento e, portanto, é preciso

realizar um trabalho positivo para executá-lo.

Ao mesmo tempo uma energia térmica é produzida na espira por causa da

resistência elétrica do material à corrente induzida na espira pelo movimento.

A energia transferida ao sistema espira + ímã pela força aplicada acaba sendo

transformada em energia térmica. Quanto mais rápido o movimento do ímã,

mais rapidamente a força aplicada realiza trabalho e maior a rapidez com a qual a

energia se transforma em energia térmica, em outras palavras, maior a

potência associada a essa transferência de energia.


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Na figura ao lado temos outra situação

que envolve uma corrente induzida.

Suponha que a espira seja puxada para a direita com velocidade constante .

Uma espira retangular de largura L

está parcialmente imersa em um campo

magnético externo uniforme

perpendicular ao plano da espira. As

retas tracejadas mostram os limites docampo magnético. Os efeitos de borda

são considerados desprezíveis .

A situação da figura acima é essencialmente a mesma da figura anterior. Nos dois

casos existe um movimento relativo entre um campo magnético e uma espira

condutora. Nos dois casos, o fluxo do campo através da espira varia com o tempo.


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Para esta configuração o fluxo varia

porque a parte da espira que está imersa

no campo magnético varia.

Como vamos ver, para puxar uma espira com velocidade constante é preciso aplicar

uma força constante à espira, pois esta está sujeita a uma força magnética de

mesmo módulo e sentido oposto.

Vamos agora calcular a taxa com a qual

é executado trabalho mecânico

quando a espira da figura ao lado é

puxada com velocidade constante.

De acordo com as equações da mecânica, a taxa com a qual esse trabalho é

executado, ou seja, a potência, é dada por:

F é o módulo da força aplicada.


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Estamos interessados em obter uma

expressão para a potência P em

função do módulo B do campo magnético

e dos parâmetros da espira que são, nocaso, a resistência R e a largura L.

Quando deslocamos a espira para a direita

na figura ao lado a parte da espira que

está imersa no campo magnético

diminui. Assim, o fluxo através da espira

também diminui e, de acordo com a lei de

Faraday, uma corrente é induzida na

espira

É a presença dessa corrente que produz a força que se opõe ao movimento.

Para determinar o valor da corrente começamos por aplicar a lei de

Faraday.


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No instante em que x é o comprimento

da parte da espira que ainda está na

região onde existe campo magnético,

a área da parte da espira que ainda estána região onde existe campo é:

Neste caso, o valor absoluto do fluxo

através da bobina é:

Quando x diminui, o fluxo diminui. De acordo com a lei de Faraday, essa

diminuição do fluxo faz com que uma força eletromotriz seja induzida na espira.

Ignorando o sinal negativo e usando a equação acima, podemos

escrever o valor absoluto dessa força eletromotriz como:


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onde v é a velocidade com a qual a espira está

se movendo.

Para determinar o valor absoluto da corrente induzida, aplicaremos a equação

O sentido da corrente induzida na espira

é dado pela regra da mão direita par um fluxo

decrescente. Aplicando a regra vemos que a

corrente circula no sentido horário; a força

eletromotriz tem o mesmo sentido.


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Observe que, por simetria, as forças 2 e 3 têm módulos iguais e sentidos opostos

e, portanto, se cancelam mutuamente.

Como três segmentos da espira se encontram

em uma região onde existe campo magnético,

os segmentos estão sujeitos a forças

transversais quanto são percorridos por umacorrente elétrica:

Usando a regra da mão direita encontramos as

forças mostradas na figura ao lado.

Isso deixa apenas a força 1 que tem o sentido oposto ao da força aplicada à

espira e resiste ao movimento. Assim:


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Note que, como B, L e R são constantes, a velocidade v com a qual a espira é

puxada é constante se o módulo da força F aplicada à espira for constante.

Note que o ângulo entre e o vetor é 90º,

logo, podemos escrever:

onde substituímos i pelo valor encontrado

anteriormente:

Substituindo a expressão encontrada para F naquela que fornece a potência P = Fv,

podemos obter a taxa com a qual executamos trabalho sobre a espira ao puxá-la na

presença de um campo magnético:


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Para finalizar a análise, vamos calcular a

taxa com a qual a energia térmica é

gerada na espira quanto ela é puxada com

velocidade constante.

Substituindo i pelo valor encontrado

anteriormente:

Que é exatamente igual à taxa com a qual executamos trabalho sobre a espira.Assim, o trabalho para puxar a espira na presença de um campo magnético é

transformado em energia térmica.


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Campos elétricos induzidos

Suponha que um anel de cobre de raio r (como

mostrado na figura ao lado) seja submetido a um

campo magnético externo uniforme.

O campo, desprezando os efeitos de borda, ocupa

um volume cilíndrico de raio R.

Suponha que a intensidade desse campo seja aumentada a uma taxa

constante. Nesse caso, o fluxo magnético através do anel também aumenta a

uma taxa constante e, de acordo com a lei de Faraday, uma força eletromotriz

induzida e uma corrente induzida no anel aparecem.

De acordo com a lei de Lenz, a corrente induzida tem o sentido anti-horário

(perceba que aponta para fora do plano da página).


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Uma reformulação da lei de Faraday

Considere um partícula de carga 0 que se moveao longo da circunferência imaginária da figura ao

lado.

O trabalho W realizado sobre a partícula pelo

campo elétrico induzido durante uma revolução

completa é =ℇ 0 , onde ℇ é a força eletromotriz

induzida (trabalho realizado por unidade de carga

para fazer uma carga de prova descrever a

trajetória).

Entretanto, por definição o trabalho também é dado por:


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Quando igualamos as duas expressões:

Vamos agora reescrever a expressão do trabalho

de outra forma para obter uma expressão mais

geral para o trabalho:

Substituindo o trabalho W por ℇ0, teremos:

Essa integral se reduz à eq.(1) quando é calculada para o caso especial da figura.

(1)


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Combinando o resultado anterior com teremos:

De acordo com essa equação, um campo magnético variável induz um campo

elétrico.


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Exercícios – lista 2

(1)


48/48

(2)

r (cm)0

E (

/ )

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