Capıtulo 20

Fotometria

Fotometria e a medida da luz proveniente de um objeto. Ate o fim daIdade Media, o meio mais importante de observacao astronomica era o olhohumano, ajudado por varios aparatos mecanicos para medir a posicao doscorpos celestes. Depois veio a invencao do telescopio, no comeco do seculoXVII, e as observacoes astronomicas de Galileo. A fotografia astronomicainiciou no fim do seculo XIX e, durante as ultimas decadas, muitos tipos dedetectores eletronicos sao usados para estudar a radiacao electromagneticado espaco. Todo o espectro electromagnetico, desde a radiacao gama ate asondas de radio sao atualmente usadas para observacoes astronomicas.

Apesar de observacoes com satelites, baloes e espaconaves poderem serfeitas fora da atmosfera, a grande maioria das observacoes e obtida da su-perfıcie da Terra.

Como a maioria das observacoes utiliza radiacao eletromagnetica e po-demos obter informacoes sobre a natureza fısica da fonte estudando a dis-tribuicao de energia desta radiacao, introduziremos alguns conceitos para acaracterizacao dessa radiacao.

λ =c

νν =

c

λc = λν

• λ ≡ comprimento de onda

• ν ≡ frequencia

• c ' 300 000 km/s ≡ velocidade da luz

187

20.1 Grandezas tıpicas do campo de radiacao

A grandeza mais caracterıstica de um campo de radiacao e uma constantechamada intensidade especıfica monocromatica Para melhor entende-la, va-mos antes revisar o conceito de angulo solido.

20.2 Angulo solido

Assim como podemos entender um angulo plano como um setor de umcırculo, definido como a razao entre o arco e o raio do cırculo, podemos en-tender um angulo solido como um ”setor”de uma esfera, definido pela razaoentre o elemento de area na superfıcie da esfera e o seu raio ao quadrado:

r

ωA

a

α r

α =a

rω =

A

r2

A unidade de angulo solido (dω = sen θdθdφ) e o esferorradiano (sr).O maior angulo plano e aquele que subtende toda circunferencia do

cırculo, e vale 2π radianos; o maior angulo solido subtende toda a areasuperficial da esfera, e vale 4π esferorradianos.

20.3 Intensidade especıfica

Quando a luz e emitida de uma fonte isotropica em um meio homogeneo,(que nao depende da direcao) ela se expande esfericamente, em todas asdirecoes. E como se a fonte estivesse no centro de uma esfera, composta de4π angulos solidos unitarios, e cujo raio vai aumentando a medida que a luz

188

se propaga. A energia que atravessa a unidade de area da fonte, por unidadede tempo e por unidade de angulo solido, e chamada intensidade especıfica:

I⊥ =dE

dt dAdω

Se consideramos apenas a energia emitida em um intervalo de compri-mentos de onda [ν, ν +dν], chamamos a intensidade especıfica de intensidadeespecıfica monocromatica:

Iν⊥ =dE

dt dAdω dν

Num caso mais geral a energia nao se propaga isotropicamente. (Porexemplo, se observamos a fonte atraves de um orifıcio em uma placa opacacolocada na frente dela). Nesse caso, a energia que atravessa a unidade dearea nao e a mesma em todas as direcoes, mas vai depender do angulo (θ)entre a direcao considerada e a normal a area, ou seja:

Iν =dE cos θdt dAdω dν

(20.1)

I

P

S

dω

dA

θ

Geralmente, a intensidade especıfica e medida em J m−2s−1sr−1Hz−1 nosistema MKS, ou erg cm−2s−1sr−1Hz−1 no sistema cgs.

Podemos, tambem, definir a intensidade especıfica monocromatica porintervalo de comprimento de onda, notando que, por definicao:

Iν |dν| = Iλ |dλ|. (20.2)

A intensidade especıfica integrada em todo o espectro de frequencias edada por:

I =∫ ∞

oIν dν =

∫ ∞

oIλ dλ. (20.3)

189

A intensidade especıfica nao varia com a distancia da fonte, pois a quan-tidade de energia dentro do angulo solido permanece sempre a mesma.

Outra grandeza de grande interesse e o fluxo, que e o que se mede real-mente.

20.4 Fluxo

O fluxo (F) e a energia por unidade de area e por unidade de tempo quechega ao detector. Formalmente, o fluxo em uma certa frequencia, em umdado ponto e em uma dada direcao, e a quantidade lıquida de energia radi-ante cruzando a unidade de area, por unidade de tempo, e por intervalo defrequencia, ou seja,

dFν =dE cos θdAdtdν

= Iν⊥ cos θdω (20.4)

que integrando nos da o fluxo em uma frequencia (ν)

Fν =∫Iνdω =

∫ 2π

0

∫ π2

0Iν⊥ cos θsen θdθdφ (20.5)

O fluxo, portanto, significa potencia atraves de uma superfıcie, e e ex-presso em erg cm−2s−1, ou em watt m−2. O fluxo integrado no espectrode frequencias sera:

F =∫ ∞

oFν dν =

∫ ∞

oFλ dλ.

Ao contrario da intensidade especıfica, o fluxo de radiacao cai com o qua-drado da distancia (r), de forma que o fluxo que chega na Terra e muitomenor do que o fluxo na superfıcie do astro, estando diluıdo por um fatorde 1

r2 .Para uma estrela esferica de raio R, o fluxo na sua superfıcie sera:

F (R) =L

4πR2(20.6)

onde L e a luminosidade intrınseca, que e a energia total emitida por unidadede tempo em todas as direcoes.

O fluxo a uma distancia r da estrela sera:

F (r) =L

4πr2(20.7)

190

Nesse caso, F (r) e o fluxo integrado sobre toda a superfıcie da estrela, e aluminosidade da estrela L pode ser obtida diretamente multiplicando o fluxodela proveniente pela area sobre a qual o fluxo se distribui, integrado sobretodas as frequencias.

Para objetos extensos (os que nao tem aparencia estelar), podemos de-finir, ainda, o brilho superficial, que e o fluxo por unidade de area angulardo objeto. Assim como a intensidade especıfica, o brilho superficial naodepende da distancia, pois tanto o fluxo como a area angular do objeto di-minuem com o quadrado da distancia entre o objeto e o observador. Porexemplo, o fluxo do Sol, na Terra, e 25 vezes maior do que o fluxo do Solem Jupiter, que esta 5 vezes mais distante. Mas o fluxo por unidade de area(brilho superficial) do Sol e o mesmo na Terra e em Jupiter, pois o tamanhoangular do Sol em Jupiter e 25 vezes menor do que na Terra, compensandoo decaimento do fluxo.

A figura abaixo mostra um objeto extenso com unidade de area A que,a uma distancia d, tem tamanho angular Ω. E facil imaginar que, quando daumenta, Ω diminui.

ΩA

d

20.5 Magnitudes

O brilho aparente de um astro e o fluxo medido na Terra e, normalmente, eexpresso em termos da magnitude aparente m, que por definicao e dada por:

m = −2, 5 logF + const. (20.8)

Por que o brilho de um astro e medido em magnitudes? Ha 2000 anosatras, o grego Hiparco (160-125 a.C.) dividiu as estrelas visıveis a olho nude acordo com seu brilho aparente, atribuindo magnitude 1 a mais brilhantee 6 as mais fracas. Em 1856, Norman Robert Pogson (1829-1891) propos(Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 17, p. 12) que o sis-tema, baseado na percepcao de brilho do olho humano, e logarıtmico, e o

191

fluxo correspondente a uma estrela de primeira magnitude (m=1) era 100vezes mais brilhante que uma estrela de magnitude 6, de modo que:

m1 −m2 = K logF1

F2−→ 1− 6 = K log

(F1

F2

)

−5 = K log(100) −→ K = −2, 5

como na definicao anterior. Logo:

m2 −m1 = −2, 5 logF2

F1(20.9)

Mais precisamente, 2, 5125 = 100. A constante (const.) na definicao demagnitude (eq. 20.8) define o ponto zero da escala. Normalmente, utiliza-sea magnitude aparente da estrela Vega como m ≡ 0.

Para comparacao m(Sırius)=-1,46, m(Lua cheia)=-12,8, m(Sol)=-26,74.As magnitudes dos planetas, no brilho medio, sao: m(Mercurio) = -1,9,m(Venus) = -4,4, m(Marte)= -2,0 , m(Jupiter) = -2,7, m(Saturno) = 0,6,m(Urano)=5,5, m(Netuno)=7,8 e m(Plutao)=15.

Uma estrela de magnitude visual V = 0 tem um fluxo observado deFλ = 3.69 × 109 ergcm−2s−1A−1 que corresponde a cerca de 1000 fotonscm−2s−1A−1. O numero de fotons detectado no filtro V e de cerca de106 fotons cm−2s−1.

A pupila do olho humano, quando adaptada ao escuro, tem aproxima-damente 7 mm. Um telescopio com 7 cm de diametro, tem uma area (70mm/7 mm)2=100 vezes maior e portanto capta 100 vezes mais fotons. Destamaneira este telescopio de 7 cm de abertura permite observar 5 magnitudesmais fracas do que o olho humano, ou seja, ate magnitude 6+5=11.

20.5.1 Sistemas de magnitudes

Quando medimos uma estrela, o fluxo obtido depende da sensibilidade es-pectral do equipamento, ou seja, do conjunto telescopio + filtro + detector.Se chamamos de Φ(λ) a eficiencia espectral do equipamento, normalizada,temos:

Fobs =∫ ∞

0Φ(λ)F (λ)dλ ' F (λo)

∫ ∞

0Φ(λ)dλ, (20.10)

onde F (λo) e o fluxo no comprimento de onda efetivo do filtro.Um sistema de magnitudes e definido por seu Φ(λ) e por sua constante

(const.). Um sistema muito usado e o sistema UBV, desenvolvido por Ha-rold Lester Johnson (1921-1980) e William Wilson Morgan (1906-1994) em

192

1951, que define magnitudes em tres bandas espectrais: U de ultravioleta,B de blue (azul), e V de visual (amarelo). Essas magnitudes tem seus com-primentos de onda efetivos em 3600 A, 4200 A e 5500 A.

Assim, a magnitude aparente na banda V, por exemplo, e:

V = −2, 5 logFV + const. (20.11)

Para determinar a constante (const.) do sistema, usamos estrelas padro-es, ou seja, estrelas que tem magnitudes bem determinadas.

Vega e a estrela Alfa Lyrae, a uma distancia de d=25 anos-luz, a 5a. estrelamais brilhante no ceu, com Teff=9500 K, log g = 4, 0, fλ(U) = 4, 35 ×10−12W cm−2 µm−1, fλ(B) = 7, 20× 10−12W cm−2 µm−1 e fλ(B) = 3, 92×10−12W cm−2 µm−1.

ComoV = −2, 5 logFV + const.

eFobs =

∫ ∞

0Φ(λ)F (λ)dλ

obtemos:

mV = −2, 5 log(∫ ∞

0ΦVF (λ)dλ

)− 13, 74

mB = −2, 5 log(∫ ∞

0ΦBF (λ)dλ

)− 12, 97

mU = −2, 5 log(∫ ∞

0ΦUF (λ)dλ

)− 13, 87

193

elog fλ(V ) = −0, 4mV − 8, 43

onde fλ(V ) e o fluxo em ergs cm−2 s−1 A−1 fora da atmosfera em 5500A. eainda

logFλ(V ) = −0, 4mV − 8, 85− 2 log (R/R¯)

onde Fλ(V ) e o fluxo em ergs cm−2 s−1 A−1 na fotosfera da estrela em 5500A.Ou seja

fλ(V = 0) = 3, 631×10−9 ergs cm−2 s−1 A−1 = 3, 631×10−8 Watts m−2 µm−1

oufν(V = 0) = 3631 Janskys = 3631× 10−26 W m−2 Hz−1

Tabela 20.1: Magnitude do ceu, por segundo de arco ao quadrado

Cor Comprimento de onda Do espaco Lua Nova Lua CheiaU 3700A 23,2 22,0B 4400A 23,4 22,7 19,4V 5500A 22,7 21,8 19,7R 6400A 22,2 20,9 19,9I 8000A 22,2 19,9 19,2J 1,2µm 20,7 15,0 15,0H 1,6µm 20,9 13,7 13,7K 2,2µm 21,3 12,5 12,5

20.5.2 Indices de cor

Em qualquer sistema de magnitudes multicor define-se os ındices de cor comoa razao entre os fluxos em duas bandas diferentes, ou equivalentemente, comoa diferenca entre duas magnitudes do sistema. Por exemplo, subtraindo amagnitude V da magnitude B temos o ındice de cor B − V , subtraindoa magnitude B da magnitude U temos o ındice de cor U − B, e assimpor diante. Como veremos adiante, os ındices de cor sao importantes paradeterminar a temperatura das estrelas. Os ındice de cor tem valores tıpicosde decimos ou centesimos de magnitudes.

194

20.5.3 Magnitude absoluta

A magnitude aparente de uma estrela mede seu brilho aparente, que dependede sua distancia. Por exemplo, sera Sırius, com m=-1,42, intrinsicamentemais brilhante do que Vega, com m=0? Para podermos comparar os brilhosintrınsecos de duas estrelas, precisamos usar uma medida de brilho queindependa da distancia. Para isso, definimos como magnitude absoluta (M)a magnitude teorica que a estrela teria se estivesse a 10 parsecs de nos.

M = −2, 5 log[F (10 pc)] + const. (20.12)

A diferenca entre a magnitude aparente e a absoluta e dada por:

m−M = −2, 5 log[F (r)] + 2, 5 log[F (10 pc)] = −2, 5 logF (r)

F (10 pc)(20.13)

ComoF (r)

F (10 pc)=

F (R)4πR2

4πr2

F (R)4πR2

4π(10 pc)2

=(10 pc)2

r2=

100 pc2

r2(20.14)

onde R e o raio da estrela, ou seja,

m−M = −2, 5 log100 pc2

r2(20.15)

oum−M = 5 log r − 5 (20.16)

o chamado modulo de distancia. Nesta formula a distancia da estrela, r,tem que ser medida em parsecs.

Logo,r(pc) = 10

m−M+55

20.5.4 Magnitude bolometrica

Se tivessemos um equipamento que tivesse 100% de sensibilidade em todosos comprimentos de onda, teoricamente poderıamos obter o fluxo em todoo intervalo espectral. A magnitude correspondente ao fluxo em todos oscomprimentos de onda e a magnitude bolometrica mbol.

L = 4πR2

∫ ∞

0Fνdν = 4πR2Fbol

195

pois ∫ ∞

0Fνdν =

∫ V−

0Fνdν + FV +

∫ ∞

V+

Fνdν

Na pratica, e difıcil medir a magnitude bolometrica porque a atmosferaimpede a passagem de certos intervalos espectrais, de forma que se determinaessa magnitude a partir da magnitude visual (mV ≡ V ) como:

mbol = mV − C.B. (20.17)

onde C.B. e a correcao bolometrica, que por definicao tem valores proximosa zero para estrelas parecidas com o Sol, e valores maiores para estrelas maisquentes ou mais frias do que o Sol.

Como a magnitude bolometrica absoluta do Sol e M¯bol = 4, 72, a mag-

nitude bolometrica absoluta de uma estrela qualquer e dada por

Mbol = 4, 72− 2, 5 log(L

L¯

)(20.18)

mas precisamos levar em conta o efeito da atmosfera da Terra e do materialinterestelar.

20.5.5 Sistema de Stromgren

Um dos sistemas de banda intermediaria mais usado e o definido em 1963pelo dinamarques Bengt Georg Daniel Stromgren (1908-1987), no QuarterlyJournal of the Royal Astronomical Society, 4, 8, consistindo de filtros comlargura entre 180 e 300A, centrados em 3500, 4110, 4670 e 5470A, cujasmagnitudes sao chamadas: u, v, b e y.

20.5.6 Extincao atmosferica

Embora a atmosfera seja praticamente transparente na faixa visıvel (3500 Aa 6500 A), ela absorve fortemente no ultravioleta (1000 A a 3500 A) e emvarias bandas do infravermelho (1 µm a 1 mm), de modo que nao podemosmedir ultravioleta do solo, e infravermelho somente acima de 2000 m dealtura.

Na atmosfera, existem varios componentes que difundem a luz em todasas direcoes (moleculas, partıculas solidas de poeira e fumaca), causando umaextincao contınua, em todos os comprimentos de onda. A extincao e tantomaior quanto maior for a quantidade de ar atravessada pela luz. E por

196

Figura 20.1: Curvas de transmissao dos filtros de Stromgren.

esse motivo que podemos olhar diretamente para o Sol quando ele esta nohorizonte.

A atmosfera da Terra afeta as medidas, de forma que as magnitudesobservadas devem ser ajustadas aos valores que terıamos se as observacoesfossem feitas fora da atmosfera. O efeito da atmosfera e o de absorver eespalhar a radiacao em outras direcoes, processos esses que sao descritospor um coeficiente de absorcao k, usualmente medido em cm−1.

dF = −F · k · ds⇒ dF

F= −k · ds

x+dx

xdx z

ds

I

oI

Z

197

F (x+ dx) = F (x)− kF (x)ds,

dF = F (x+ dx)− F (x) = −kF (x)ds

Para distancias zenitais pequenas, podemos aproximar a atmosfera por umacamada plana de espessura constante e, entao, podemos escrever dx =ds cos z → ds = sec zdx, onde z e a distancia zenital,

dF

F= −k sec z dx

Sendo H a altura da atmosfera, Fo o fluxo no topo da atmosfera e F oque chega ao observador. Entao:

∫ F

Fo

dF

F= −k sec z

∫ H

odx

elnF

Fo= −k sec zH −→ F = Foe

−k sec z H .

O termo k sec z H e a espessura otica τ . Temos, assim, a espessura oticaexpressa em funcao da distancia zenital z e, supondo que a camada at-mosferica e formada por camadas plano-paralelas, ela pode ser expressa porτ = τo sec z, onde τo = kH e a espessura otica na direcao do zenite, e ofluxo sera:

F = Foe−τ = Foe

−τosec z (20.19)

Em magnitudes, essa equacao fica:

m = −2, 5 logFo + (2, 5 log e) τo sec z = mo +K ·X

m = mo + 1, 086 τo sec z = mo + 1, 086 τ = mo +K ·X (20.20)

onde K = 1, 086τo e o coeficiente de extincao, e X = sec z e a massa de ar.Um exemplo de aplicacao deste conceito e considerarmos uma estrela

observada a uma distancia zenital de 45o. Como sec 45o = 1, 41 e usando umcoeficiente kH = 0, 46, tıpico de observacoes oticas, obtemos F = 0, 52Fo,ou seja, a atmosfera terrestre absorve 48% da luz da estrela ao observarmosa 45o do zenite.

A diferenca (m−mo) e a extincao atmosferica em magnitudes e e deter-minada atraves de estrelas padroes para as quais mo e conhecido.

A constante K e caracterıstica do meio e depende do comprimento deonda, sendo mais correto escrever

m(λ) = mo(λ) +K(λ) ·X

198

Para o sistema UBV, e para locais situados acima de 2000 m de altitude,os valores dos coeficientes medios de extincao sao: K(U) ' 0, 48, K(B) '0, 25 e K(V ) ' 0, 14.

No nosso exemplo de observarmos uma estrela a 45o do zenite, vemosque a extincao atmosferica neste caso equivale a 0, 48 sec 45o = 0, 68 mag emU, 0, 25 sec 45o = 0, 35 mag em B e 0, 14 sec 45o = 0, 20 mag em V.

Como vemos, os coeficientes de extincao decrescem de U para V, indi-cando que os comprimentos de onda menores sao mais absorvidos e espa-lhados do que os maiores, e portanto a luz azul e mais extinguida do que avermelha. Portanto, a extincao torna as estrelas mais avermelhadas.

20.5.7 Extincao interestelar e Excesso de cor

Alem da extincao atmosferica, e necessario levar em conta tambem a ex-tincao interestelar, devido a poeira interestelar concentrada principalmenteno plano da Galaxia e que tambem extingue e avermelha a luz das estrelas.Essa extincao foi descoberta por Robert Julius Trumpler (1886-1956), em1930.

A extincao interestelar em magnitudes e representada pela letra A comum subscrito indicando a banda espectral a que se refere, por exemplo, aextincao interestelar na banda B e AB e na banda V e AV .

Aλ1 −Aλ2 = 2, 5

log

[F0 (λ1)F0 (λ2)

]− log

[F (λ1)F (λ2)

]

onde F0 e o fluxo real e F o fluxo observado. Michael J. Seaton, em seuartigo de 1979 no Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 187,73, apresenta a variacao da extincao com o comprimento de onda.

Se nao existisse extincao interestelar, a magnitude visual absoluta MV

de uma estrela de magnitude aparente V0 (ja corrigida por extincao at-mosferica), localizada a uma distancia d seria:

MV = V0 − 5 log d(pc) + 5

Considerando que a magnitude aparente V esta afetada por avermelha-mento interestelar, V0 = V −AV , a magnitude visual absoluta sera:

MV = V −AV − 5 log d(pc) + 5

onde AV e a extincao interestelar no visual, em magnitudes, e e da ordemde 1 magnitude por kiloparsec.

199

Similarmente, a magnitude azul absoluta sera:

MB = B −AB − 5 log d(pc) + 5

e o ındice de cor da estrela e:

MB −MV = (B − V )− (AB −AV )

ou

(B − V )0 = (B − V )−EB−V

onde (B−V )0 = MB−MV e o ındice de cor intrınseco e EB−V = (AB−AV ),e o excesso de cor.

Vemos assim que, embora a magnitude aparente uma estrela dependa desua distancia, o ındice de cor nao depende da distancia e, por isso, e muitoutil para determinar a temperatura da estrela.

Em princıpio, poderıamos obter a temperatura de uma estrela medindoo fluxo em dois comprimentos de onda diferentes, como U e B, ou B e V.A razao dos fluxos (diferenca de magnitudes) e uma funcao somente detemperatura, ja que a distancia se anula. Na pratica, precisamos de doisındices de cor, (U-B) e (B-V), devido a poeira interestelar na direcao daestrela, que reduz U, B e V diferencialmente, ja que e maior a reducao paracomprimentos de onda menores. Consequentemente, existe uma distorcaonos valores observados dos ındices em relacao aos valores reais, mas podemosremover as distorcoes medindo dois ındices, isto e, podemos corrigir poravermelhamento interestelar. Na ausencia de avermelhamento interestelar,as cores (B-V) e (U-B) das estrelas se encontram em um curva ondulada.

Se a estrela a e encontrada fora dessa curva, assumimos que ela sofreuavermelhamento interestelar e movemos a medida para cima ao longo dadiagonal de inclinacao conhecida

EU−B

EB−V= 0, 72

ate que esteja sobre a curva. O deslocamento de a ate a′, e o excesso de cor.

200

A correcao ao fluxo observado em V, F obsV , tambem pode ser obtida do

avermelhamento, ja que a poeira interestelar produz uma razao constantede fluxos:

AV = R · EB−V

ou seja:V = −2, 5 logF obs

V −AV − CV

onde CV e a constante do sistema e a magnitude absoluta visual sera:

MV = −2, 5 logF obsV −AV − 5 log d(pc) + 5

O valor de R esta entre 3,0 e 5,0, dependendo da direcao na Galaxia, devidoa variacao no tamanho e composicao quımica dos graos de poeira. O valormais provavel, fora das regioes de grande extincao, e de R=(2.99 ± 0.27),de acordo com Edward L. Fitzpatrick & Derck Massa (2007, AstrophysicalJournal, 663, 320).

20.6 Teoria da Radiacao

20.6.1 O corpo negro

Em 1859-60, Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), de Heidelberg, definiuum corpo negro como um objeto que absorve toda a luz que incide sobreele, sem refletir nada da radiacao. Um corpo com essa propriedade, emprincıpio, nao pode ser visto e, portanto, e negro. Para tal corpo estar emequilıbrio termodinamico, ele deve irradiar energia na mesma taxa em que aabsorve, do contrario ele esquentaria ou esfriaria, e sua temperatura varia-ria. Portanto, um corpo negro, alem de ser um absorsor perfeito, e tambem

201

um emissor perfeito. Em 1886, Samuel Pierpont Langley (1834-1906) usouseu espectro-bolometro para medir a distribuicao de radiacao para diversasfontes de calor, de baixas e altas temperaturas. Em 1893, o alemao Wi-lhelm Wien (1864-1928), do Physikalisch-Technische Reichsanstalt (PTR),instituto de metrologia alemao, descobriu empiricamente a chamada Lei deWien:

hνmax = 2, 821 k T.

Em 1895, os alemaes Wien e Otto Richard Lummer (1860-1925) propuseramque um corpo negro nao existe na natureza, mas poderia ser construıdo, de-monstrando que a radiacao emergente de um pequeno buraco em um corpooco, com paredes internas a mesma temperatura, tem a mesma forma daradiacao de um corpo negro. Lummer e Ernst Pringsheim (1859-1917) des-cobriram que corpos nao negros tambem obedecem a lei do deslocamento deWien, porem com valor distinto da constante; dessa forma, a temperaturados corpos pode ser medida com a mesma formula. Em 1899, Lummer,Pringsheim, Heinrich Leopold Rubens (1865-1922) e Ferdinand Kurlbaum(1857-1927), tambem do PTR, mediram a forma do espectro e observa-ram que a forma derivada classicamente por Wien era valida para altasfrequencias, mas simplesmente nao funcionava para baixas frequencias.

Em 1900, o fısico alemao Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) daUniversidade de Berlim 1, postulou que a energia eletromagnetica so pode sepropagar em quanta discretos, ou fotons, cada um com energia E = hν. Comessa quantizacao da energia, ele pode deduzir teoricamente a intensidade deum campo de radiacao, como demonstrado a seguir.

A intensidade especıfica monocromatica (energia por unidade de compri-mento de onda, por unidade de tempo, por unidade de area, e por unidadede angulo solido) de um corpo que tem uma temperatura uniforme T queesta em equilıbrio termodinamico com seu proprio campo de radiacao, istoe, e opaco, e chamada Iλ ≡ Bλ(T ) e e dada pela Lei de Planck:

Bλ(T )dλ = −cE4πdnb(p),

1Max Karl Ernest Ludwig Planck nasceu em 23 de abril de 1858 na cidade de Kiel, nonorte da Alemanha. Cursou a Universidade de Munique e depois foi para Berlin estudarcom Hermann von Helmoltz (1821-1894) e Gustav Kirchhoff (1824-1887). Obteve seu dou-torado em Munique em 1879, com uma tese sobre o segundo princıpio da termodinamica.Em 1885 tornou-se professor na Universidade de Kiel e quatro anos mais tarde na Uni-versidade de Berlin, onde passou a catedratico em 1892. Permanceu no cargo ate seus 70anos, quando aposentou-se e passou a dar palestras sobre ciencia e religiao. Morreu em 4de outubro de 1947.

202

2000 4000 6000 8000

0

10

20

30

T=10 000K

T=7000K

T=5500K

T=9000K

Lei de Planck

onde E e a energia da partıcula, c e a velocidade da luz, e dnb(p) e o numerode fotons com momentum p, associado a energia E, e e dado pela distribuicaode momentum p de Bose-Einstein de um gas de bosons de spin s [veja secao(23.1)]:

dnb(p) =(2s+ 1)

exp[(E − µ)/kT ]− 14πp2dp

h3,

sendo µ o potencial quımico [secao (23.9.1)], que depende da densidade departıculas (numero de partıculas por unidade de volume, N) e e obtidointegrando-se:

N =∫ ∞

0n(p)dp.

O termo (2s + 1) representa o numero de partıculas (estados independen-tes) possıveis com mesma energia E, e o termo h−3 e necessario devidoao princıpio da incerteza de Heisenberg, proposto em 1927 por Werner KarlHeisenberg (1901-1976), que define o menor tamanho possıvel da celula parao produto do volume de espaco e de momentum.

203

Para um foton, que e um boson de massa zero e spin 1, E = hν, p = hν/c,λ = c/ν e µ = 0. Com esses valores se pode obter:

Bλ(T ) =2hc2

λ5

1ehc/λkT − 1

(20.21)

onde h e a constante de Planck, e k = 1, 38× 10−16ergs/K e a constante deBoltzmann.

Para escrever a lei de Planck em termos de frequencia, precisamos utilizara equacao (20.2), e

dν

dλ= − c

λ2

obtendo

Bν = Bλλ2

c

ou

Bν(T ) =2hν3

c21

ehν/kT − 1(20.22)

onde, em unidades do sistema internacional:

h = constante de Planck = 6, 63× 10−34 Js,c = velocidade da luz = 3× 108 m s−1,k = constante de Boltzmann = 1, 38× 10−23 J K−1.

Essa intensidade especıfica nao depende de qualquer propriedade docorpo a nao ser sua temperatura, e Bν tem unidades de W m−2 Hz−1 sr−1.Qualquer corpo em equilıbrio termodinamico emitira fotons com uma dis-tribuicao de comprimentos de onda dada pela Lei de Planck. Esta radiacao,chamada de radiacao de corpo negro, ou radiacao termica, nao depende dadirecao de emissao e nao e polarizada.

Para o caso mais geral de radiacao, propagando-se em um meio comındice de refracao (real) µν , a intensidade especıfica sera dada por:

Iν = µ2νBν(T )

20.6.2 Lei de Wien

Como podemos ver da figura com a Lei de Planck, a frequencia em que aintensidade e maxima varia com a temperatura. O maximo (e o mınimo) de

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qualquer funcao e dado para o ponto em que a derivada e nula. Derivandoa Lei de Planck Bλ(T ) e igualando a derivada a zero,

dBλ(T )dλ

= − 10hc2

λ6(ehc/λkT − 1

) +2hc2

λ5

hcλ2kT

ehc/λkT

(ehc/λkT − 1

)2 = 0

logohc

λkT

ehc/λkT

(ehc/λkT − 1

) = 5

Fazendo-se a substituicao de variaveis x ≡ hcλkT , obtem-se uma equacao

transcendental:e−x +

15x− 1 = 0

que pode ser resolvida numericamente, obtendo-se:

λmaxT = 0, 0028978 K m = 28978000 K A ' 5383× 5383 K A (20.23)

e o maximo de Bν(T ) ocorre em

hνmax = 2, 821 k T (20.24)

Note que λmax nao e igual a c/νmax pois Bλ nao e igual a Bν . Essa relacao,encontrada empiricamente por Wilhelm Wien, mostra que, a medida que Taumenta, νmax aumenta, ou λmax diminui. Dessa maneira, se explica porquequando se aquece uma barra de ferro, ela torna-se primeiro vermelha e depoisesverdeada e azulada.

20.6.3 Lei de Stefan-Boltzmann

Em 1884, o matematico austrıaco Josef Stefan (1835-1893) e seu aluno naepoca, o tambem austrıaco Ludwig Boltzmann (1844-1906), descobriramempiricamente que o fluxo (energia por unidade de area, por unidade detempo) de um corpo negro de temperatura T e dado por:

F = 2π∫ π/2

0cos θ senθ dθ

∫ ∞

0Bν(T )dν = σT 4

onde σ = 5, 67× 10−5ergs cm−2 K−4 s−1 = 5, 67× 10−8W m−2 K−4 e a cons-tante de Stefan-Boltzmann. Essa lei pode ser demonstrada considerandoque:

B(T ) ≡∫ ∞

0Bνdν =

2hc2

∫ ∞

0

ν3dν

ehνkT − 1

205

e definindo-se α ≡ hνkT ,

B(T ) =2hc2

(kT

h

)4 ∫ ∞

0

α3dα

eα(1− e−α)

=2hc2

(kT

h

)4[

6∞∑

n=0

1(n+ 1)4

]

=2hc2

(kT

h

)4 π4

15=σ

πT 4

Uma estrela nao e um corpo negro, pois suas camadas externas, de ondeprovem a radiacao, nao estao exatamente em equilıbrio termico. 2

Escrevemos para o fluxo na fotosfera da estrela:

F ≡ σT 4ef (20.25)

definindo um parametro chamado temperatura efetiva Tef . Portanto, parauma estrela esferica de raio R, a luminosidade e obtida multiplicando-se ofluxo pela area da fotosfera 4πR2:

L = 4πR2σT 4ef (20.26)

A temperatura efetiva de uma estrela e, portanto, a temperatura de umcorpo negro que emite a mesma quantidade de energia por unidade de areae por unidade de tempo que a estrela.3

Exemplo: energia do Sol na Terra: a luminosidade do Sol, isto e, aenergia total emitida pelo Sol e L¯ = 3, 9 × 1033ergs/s, sendo que 1 Joule

2Nas estrelas nao acontece o equilıbrio termodinamico propriamente dito, pois as ca-madas que a compoem nao estao todas a mesma temperatura, sendo tanto mais quentesquanto mais proximas estao do nucleo, onde a energia e gerada. Mas o transporte dessaenergia para as camadas superiores se da sem alteracao significativa da distribuicao de tem-peratura das camadas intermediarias, de forma que cada camada permanece em equilıbriotermodinamico com ela mesma. Isso denomina-se equilıbrio termodinamico local.

3A definicao de temperatura de um objeto astronomico nao e unica, pois depende dometodo que estamos usando para medi-la. Assim, a temperatura de uma estrela medidapela lei de Wien (a partir da intensidade em um comprimento de onda), e ligeiramentediferente da sua temperatura medida pela lei de Stefan-Boltzmann (a partir da lumino-sidade e do raio). Esta ultima e a temperatura efetiva, enquanto a primeira e chamadatemperatura de brilho. Pode-se ainda definir a temperatura de cor, determinada a partirda razao de fluxos em dois comprimentos de onda diferentes. Essas temperaturas nao saoiguais porque os corpos astronomicos nao sao corpos negros perfeitos.

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= 107 ergs. Como o raio do Sol e de R¯ = 700 000 km, segue da equacao(20.26) que a temperatura efetiva do Sol e T¯ef = 5400 K.

A energia que atinge a Terra por unidade de area e de tempo, por de-finicao de fluxo, e de:

F⊕ =L¯

4πr2

onde r e a distancia do Sol a Terra, de 1 unidade astronomica (UA) = 150milhoes de km.

Portanto, a potencia luminosa interceptada pela Terra, que tem umaseccao reta πR2⊕, onde R⊕ e o raio da Terra, R⊕ = 6400 km, e dada por:

P = πR2⊕F⊕ = πR2

⊕L¯

4πr2

Devido a rotacao da Terra, o fluxo medio incidente e obtido dividindo apotencia interceptada na Terra pela area total da Terra, 4πR2⊕.

F⊕ =P

4πR2⊕=

L¯16πr2

= 3, 5× 105ergs s−1 cm−2

A Terra absorve 61% da luz incidente, refletindo os outros 39%. Aenergia absorvida aquece a Terra, que irradia como um corpo negro a umataxa σT 4 por unidade de area. Logo:

σT 4⊕ = 0, 61F⊕

o que resulta em uma temperatura para a Terra de T⊕ = 249 K.De fato, devido ao efeito estufa do gas carbonico (CO2) e da agua, a

temperatura da Terra e de 290 K. Portanto, o efeito estufa mantem a aguana superfıcie da Terra acima do ponto de congelamento, de 273 K. A escalade temperatura que usamos quotidianamente e a Celsius [Anders Celsius(1701-1744)], comumente chamada de escala centıgrada. A relacao entre osdois sistema e: T(C)=T(K)-273, ou seja, 0o C=273 K.

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