Astrodinamica_10

E. Lorenzini

Orbite interplanetarie

Testi consigliati: V.A. Chobotov, “Orbital Mechanics” AIAA Education Series, 1991 R.R. Bate, D.D. Mueller and J.E. White, “Fundamentals of

Astrodynamics” Dover Publications, 1971 M.H. Kaplan, “Modern Spacecraft Dynamics & Control” Wiley, 1976

E. Lorenzini Astrodinamica 2

La sfera di influenza •  Un metodo per semplificare l’analisi di traiettorie influenzate da piú di

un corpo celeste e quello di ridurre il problema (localmente) all’ analisi di singoli problemi dei due corpi. Il metodo si basa sull’ introduzione del concetto di sfera di influenza

•  Il confine della sfera di influenza é definito come il luogo dei punti dove i rapporti fra le accelerazioni perturbative e quelle primarie dei due corpi celesti sono uguali (e quelle priamrie sono piú importanti dentro la sfera di influenza)

•  Chiamiamo a e Φ le accelerazioni primarie e di perturbazione dei due corpi di attrazione e A1 ed A2 i due poli di attrazione con masse m1 e m2

r

A2, m2

ρ

r12 A1, m1

P, m

a1 φ2


La sfera di influenza •  Il moto del punto P di massa m rispetto al centro gravitazionale A1 é

dato da

in cui si ha per l’accelerazione primaria a1 di A1 e quella di perturbazione Φ2 dovuta al corpo A2 !

d2"dt 2

= a1 + #2

!

a1 = "G(m1 + m)

#3#

$2 = Gm2r " #r123 "

rr3

%

& '

(

) * = Gm2

r12r123 "

rr3

%

& '

(

) *

• Il rapporto Φ2/a1 determina il livello di deviazione dall’orbita Kepleriana del punto P riferito al centro gravitazionale A1


La sfera di influenza •  In modo analogo, il moto del punto P di massa m rispetto al centro

gravitazionale A2 si esprime come

in cui l’accelerazione primaria a2 di A2 e quella di perturbazione Φ1 dovuta al corpo A1 sono date da

!

d2rdt 2

= a2 + "1

!

a2 = "G(m2 + m)

r3r

#1 = Gm1$ " rr123 "

$$3

%

& '

(

) * = Gm1 "

r12r123 "

$$3

%

& '

(

) *

• Anche qui il rapporto Φ1/a2 determina il livello di deviazione dall’orbita Kepleriana del punto P riferito al centro gravitazionale A2


La sfera di influenza •  La sfera di influenza di A1 é definita come Φ2/a1 ≤ Φ1/a2 per cui il confine

della sfera si ottiene da (con m << m1, m2)

si ha r12 = r - ρ e per ρ << r -> r ≈ r12 e quindi

!

m12r2 r12

r123 +

""3

= m22"2r12r123 #

rr3

• Risolvendo per la distanza ρ da A1 si ottiene il raggio di influenza RS

!

"r12

#

$ %

&

' (

5

=m1

m2

#

$ %

&

' (

2

) > RS = " = r12m1

m2

#

$ %

&

' (

2 / 5

!

"2r12r123 #

rr3

$ "2r12 # rr123 =

"r12

%

& '

(

) *

3

!

r2 r12r123 +

""3

# r122 r12r123 +

""3

=r122

"3"r12

$

% &

'

( )

6

r122 + "2

*

+ , ,

-

. / /

1/ 2

=r12"3$

% &

'

( )

2"r12

$

% &

'

( )

4

+ 1*

+ , ,

-

. / /

1/ 2

=r12"

$

% &

'

( )

2


La sfera di influenza •  Per esempio nel sistema terra luna: m1/m2 = 1/81 (con m1 la luna ed m2 la

terra) ed r12 = 384400 km, la sfera di influenza della luna é

• La sfera di influenza non deve essere confusa con la sfera di attrazione gravitazionale

• Quest’ultima é definita come il luogo dove le forze di attrazione gravitazionale dei due corpi celesti sono uguali F1 = F2

• Per la luna il raggio della sfera di influenza é piú grande del raggio della sfera di attrazione gravitazionale

!

RS,M = r12m1

m2

"

# $

%

& '

2 / 5

= 384400 181"

# $

%

& '

2 / 5

( 66300 km


La velocitá all’infinito •  La velocitá all’infinito v∞ é il valore della velocitá del veicolo al confine

della sfera di inflenza rispetto al sistema di coordinate che si muove con il pianeta

•  Una velocitá all’infinito v∞ ≠ 0 vuol dire che il veicolo ha sufficiente energia per lasciare la sfera di influenza del pianeta e quindi che gli é stata impartita una velocitá di fuga al punto di inserzione orbitale (burnout point)

•  La velocitá all’infinito si ottiene facilmente in funzione delle condizioni di inserzione (burnout) dall’espressione dell’energia

!

E =vbo

2

2"

µrbo

=v#

2

2"

µr#$v#

2

2 - > v# = vbo

2 " 2µ /rbo

•  Analogamente si ottiene la velocitá di burnout vbo in funzione della velocitá all’infinito

!

vbo = v"2 + 2µ /rbo


vbo

La velocitá all’infinito

!

cos" = #1/e

!

e = 1+ 2Eh2 /µ2

con l’eccentricitá dell’orbita iperbolica

!

h = rbovbo• La velocitá all’infinito v∞ deve essere quindi aggiunta alla velocitá del

pianeta per ottenere la velocitá (inerziale) rispetto al sole • La velocitá all’infinito fornisce l’energia caratteristica C3 = (v∞)2 che é

usata per definire i requisiti energetici di partenza dalla sfera di influenza del pianeta

ed il momento angolare espresso in ��funzione delle condizioni di burnout

con l’inserzione al periasse

•  L’angolo di fase del punto di burnout rispetto al vettore velocitá orbitale della terra é dato da (nel caso di trasferimento di Hohmann vP é parallela a v∞)


Assist gravitazionale •  Quando un satellite entra nella sfera

di influenza di un corpo celeste (secondario) é possibile che aquisti o perda energia rispetto al sole (corpo primario)

•  Il cambio di energia é dovuto alla rotazione del vettore velocitá del satellite per effetto del campo gravitazionale del secondario

•  Il fatto che il satellite entri nella sfera di influenza vuol dire che la velocitá v∞ > 0 (all’ingresso) e quindi che si tratta di un passaggio iperbolico del satellite rispetto al corpo secondario

•  Il grafico a lato mostra i parametri dell’orbita iperbolica


Assist gravitazionale •  Ricordando che per l’orbita iperbolica si trasformano le formule

dell’orbita ellittica prendendo il semiasse maggiore a negativo •  L’energia del orbita iperbolica, che é positiva e costante durante il

passaggio, é data da

!

E =v2

2"

µr

=v#2

2=

µ2a da cui

!

v"2 = 2E =

µa

e siccome l’energia si conserva il modulo della velocitá all’infinito (rispetto al corpo secondario) all’ingresso ed uscita della sfera di influenza non cambia, per cui

!

v"+ = v"

#

• Il vettore velocitá invece ruota dell’angolo δ


Assist gravitazionale •  I parametri orbitali d’interesse si calcolano dall’equazione dell’orbita

iperbolica

per ottenere

• Dall’equazione dell’energia si ottiene il semiasse maggiore

!

r =p

1+ ecos"=a(e2 #1)1+ ecos"

!

cos"# = limr$>#

1ea(e2 $1)

r$1

%

& '

(

) * = $

1e

$ > "# = cos$1 $1e

+

, -

.

/ 0

inoltre

!

"# =$2

+%2

& > %2

= sin&1 1e'

( ) *

+ ,

!

a =µ

v"2

con p il semilato retto


Assist gravitazionale •  Il momento angolare si ottiene dalle condizioni all’infinito come

in cui Δ é la distanza di puntamento da cui si ottiene e come

• In alternativa, risolvendo l’equazione dell’orbita al periasse e sostituendo l’espressione di a prima ricavata si ottiene

!

h = v"# = µa e2 $1( ) =µ2

v"2 e2 $1( ) $ > # =

µ

v"2 e2 $1

!

e2 = 1+v"4#2

µ2

!

e = 1+rpv"

2

µ


Assist gravitazionale •  Il passaggio iperbolico al secondario deve poi essere riferito alla terna

inerziale (e.g., il sole come corpo primario nel caso di missioni inter-planetarie)

•  Se chiamiamo vB la velocitá del secondario rispetto alla terna inerziale, allora le velocitá all’infinito (riferite al secondario) di ingresso ed uscita sono espresse come

• Il passaggio iperbolico non cambia il modulo della v∞ (riferita al scondario) ma vi é una sostanziale variazione della velocitá del satellite rispetto alla terna inerziale come consequenza dell’incontro gravitazionale (gravity assist)

!

v"# = v# # vB # > v# = v"

# + vBv"

+ = v+ # vB # > v+ = v"+ + vB

con v+ e v- le velocitá inerziali


Assist gravitazionale

•  Geoetria del passaggio di gravity assist con velocitá del pianeta allineata con l’asse dell’iperbole di approccio


Assist gravitazionale •  Ci mettiamo nel caso particolare

(per semplificare la geometria vettoriale) in cui il pianeta si muove lungo l’asse dell’iperbola

•  Si hanno due casi come segue (vedere grafici): ��- passaggio del satellite davanti al �� pianeta: ��in questo caso la velocitá inerziale v+ del satellite diminuisce��- passaggio del satellite dietro al �� pianeta:��in questo caso la velocitá inerziale v+ del satellite aumenta

Passage in front

Passage behind B


Il metodo delle patched conics •  Il metodo delle patched conics consente di semplificare lo studio delle

traiettorie interplanetarie usando il concetto della sfera di influenza •  In questa schematizzazione semplificata, un trasferimento planetario

(dalla terra ad un altro pianeta) viene diviso in tre fasi��- nella prima fase di fuga dalla terra consideriamo solo l’influenza del campo gravitazionale terrestre. Questa fase comporta lo studio della traiettoria iperbolica dal punto di iniezione orbitale (burnout point) fino al confine della sfera di influenza della terra.��- nella seconda fase di trasferimento orbitale terra-pianeta (trascuriamo la gravitazione terrestre) e consideriamo solo l’effetto gravitazionale del sole. L’orbita di trasferimento é quindi una conica eliocentrica.��- nella terza fase di avvicinamento al pianeta in cui il satellite entra nella sfera di influenza dil pianeta, consideriamo solo l’effetto gravitazionale del pianeta di arrivo. Questa fase comporta lo studio della traiettoria iperbolica di avvicinamento al pianeta.

•  Le condizioni dinamiche alla fine di una fase vengono usate come condizioni iniziali della fase successiva con possibili ulteriori semplificazioni geometriche come mostrato negli esempi seguenti.


Esempio di traiettoria terra-venere •  Applichiamo il metodo delle patched conics ad un sorvolo (flyby) di

venere con partenza dalla terra •  Vogliamo far passare il satellite a 500 km di quota sopra il lato illuminato

dal sole di venere •  Dobbiamo prima calcolare le condizioni di iniezione orbitale (alla terra)

per poter raggiungere venere •  Assumendo una traiettoria Hohmaniana con perielio (venere é a distanza

minore dal sole della terra) a venere si ottiene la velocitá v+ con cui il satellite deve lasciare la sfera di influenza della terra

!

EHohm =(v + )2

2"

µsole

rterra= "

µsole

2aHohm con 2aHohm = rterra + rven

!

v + = µsole2rterra

"1

aHohm

#

$ %

&

' (


Esempio di traiettoria terra-venere •  Essendo: aHohm = 1.29x108 km, rterra = 1 AU = 1.496x108 km, rven =

1.082x108 km, µsole = 1.327x1011 km3/s2 si ottiene v+ = 27.30 km/s •  Il tempo di trasferimento di Hohman é di circa 146 giorni •  Se vogliamo usare un ΔV minimo dobbiamo usare la velocitá della terra

(vterra = 29.78 km/s) a nostro vantaggio e siccome la velocitá della terra é piu’ alta della velocitá (inerziale) di trasferimento, l’eccesso iperbolico di velocitá (v∞,terra) deve essere in direzione opposta a vterra.

•  L’eccesso iperbolico di velocitá si calcola in generale come

• E nel caso in cui vterra e v+ sono allineate si ottiene ��

v∞,terra = 2.48 km/s !

v",terra = vterra # v+


Esempio di traiettoria terra-venere

•  Questa é la velocitá che garantisce al satellite di lasciare la sfera di influenza della terra con la velocitá inerziale necessaria per raggiungere venere seguendo l’orbita di trasferimento di Hohman !

E fuga =(v",terra )2

2=

(vbo)2

2#

µterra

rbo # > vbo = (v",terra )2 +

2µterra

rbo= 11.28 km /s

•  Calcoliamo adesso la traiettoria iperbolica di fuga dalla terra mostrata in figura dal punto di iniezione orbitale. Dall’energia associata a questa traiettoria si ottiene la velocitá di iniezione (burnout) come segue


Esempio di traiettoria terra-venere •  Siccome il satellite si trova originariamente nell’orbita circolare di

parcheggio il ΔV necessario al punto di burnout é dato da

!

"V = vbo #µterra

rbo= 3.5 km /s

•  In una missione reale vi sono sempre errori di orientamento o modulo dei ΔV applicati per cui la traiettoria del satellite viene corretta con ulteriori piccoli ΔV chiamati mid-course corrections durante la traiettoria di trasferimento

•  Calcoliamo adesso la posizione del punto di iniezione orbitale (burnout point). Da una delle equazioni dell’eccentricitá dell’orbita iperbolica derivata in precedenza si ottiene

!

e = 1+rbo(v",terra )

2

µterra

= 1.1


Esempio di traiettoria terra-venere •  Gli altri parametri che definiscono l’orbita iperbolica sono dati da

•  Mentre la distanza dell’asintoto dalla terra (distanza di puntamento) é !

"#,terra = cos$1 $ 1e

%

& '

(

) * = 155.2°

+2

= "# $,2

= 65.2°

!

" =µterra

(v#,terra )2 e2 $1 = 2.97 %104 km

•  La posizione del vero apoelio dell’orbita di trasferimento sarebbe quindi un po’ piu’ basso di rterra (della distanza Δ) ma questa correzione viene di solito trascurata nell’ambito dell’approssimazione generale del metodo delle patched conics


Esempio di traiettoria terra-venere •  Nella fase di approccio a venere, la velocitá di arrivo al confine della

sfera di influenza, trascurando la gravitazione di venere, é v- che si ottiene dal momento angolare dell’orbita di trasferimento

per cui considerando che in un trasferimento Hohmaniano le due velocitá precedenti sono allineate, si ottiene l’eccesso iperbolico di velocitá nell’approccio al pianeta semplicemente come �� v∞,ven = v- - vven = 2.71 km/s

e la velocitá (rispetto al pianeta) al periasse con altezza = 500 km��

!

hHohm = rterrav+ = rvenv

" " > v" =rterrarven

v + = 37.71 km /s

•  La velocitá orbitale di venere

!

vven =µsole

rven= 35 km /s

!

vp,ven = (v",ven )2 +2µven

rp,ven

= 10.18 km /s


Esempio di traiettoria terra-venere •  Le caratteristiche dell’orbita iperbolica di approccio si ottengono in modo

analogo all’orbita di fuga dalla terra, considerando che il passaggio piú vicino é a 500 km di altezza per cui rp,ven = 6100 + 500 = 6600 km

•  Le caratteristiche dell’orbita di approccio sono date da

!

e = 1+rp,ven (v",ven )

2

µven

= 1.14

# = 2sin$1 1e%

& ' (

) * = 122.2°


•  Per cui l’angolo di traiettoria dopo l’incontro (cioé all’uscita della sfera di influenza) ed il modulo della velocitá di uscita sono

!

vr+ = v",ven

+ sin(# $ %) = 2.29 km /s

v&+ = vven $ v",ven

+ cos(# $ %) = 33.56 km /s

!

" = tan#1 vr+

v$+

%

& '

(

) * ; v + = (vr

+ )2 + (v$+ )2

• La velocitá inerziale dopo l’incontro con venere si ottiene sommando i due vettori vven e v+∞,ven per ottenere le componenti radiale e trasversa (eliocentriche)

Esempio di traiettoria terra-venere

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